Hölderstetigkeit
# Hölderstetigkeit

Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.

## Definition

Sei $U\subset \mathbb {R}$ offen und $0<\alpha \leq 1$. Eine Abbildung $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ heißt hölderstetig zum Exponenten $\alpha$ genau dann, wenn eine positive reelle Zahl $C$ existiert, so dass für alle $x,y\in U$ gilt:
    $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y\vert ^{\alpha }$.
Allgemeiner heißt eine Funktion $f\colon \Omega \subset E\rightarrow F$ zwischen zwei metrischen Räumen $(E,d_{E})$ und $(F,d_{F})$ hölderstetig mit Exponent $\alpha$ und Konstante $C$, falls für alle $x,y\in \Omega$
    $d_{F}(f(x),f(y))\leq C(d_{E}(x,y))^{\alpha }$
gilt.

## Beispiel

Für $0<\alpha \leq 1$ ist die Funktion $f\colon {[0,\infty\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{\alpha }$ hölderstetig zum Exponenten $\alpha$ mit Konstante $C=1$, denn für $0<x<y$ ergibt sich $1-{\frac {x^{\alpha }}{y^{\alpha }}}\leq 1-{\frac {x}{y}}\leq {\bigg1-{\frac {x}{y}}{\bigg )}^{\alpha }$, also $\vert x^{\alpha }-y^{\alpha }\vert \leq \vert x-y\vert ^{\alpha }$.

## Eigenschaften

* Die Definition ergibt im Spezialfall $\alpha =1$ die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
* Hölderexponenten außerhalb von $(0,1]$ werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von $\alpha =0$ erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle $\alpha >1$ erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
* Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes $\varepsilon >0$ etwa $\delta :=(\varepsilon /C)^{1/\alpha }$. Dann folgt aus $|x-y|\leq \delta$ wie gewünscht $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon$.
* Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei $a\in (0,1)$ eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall $[0,a]$ gemäß $f(x):=\left\{{\begin{array}{cl}-1/\ln x&{\text{für }}0<x\leq a\\0&{\mbox{bei }}x=0\end{array}}\right.$ definierte Funktion $f$ ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten $C>0$ und $\alpha \in (0,1]$ mit $f(x)\leq Cx^{\alpha }$ für alle $x\in (0,a]$, also insbesondere $C\geq \lim \limits _{x\downarrow 0}{\frac {-x^{-\alpha }}{\ln x}}=\lim \limits _{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha }$ laut Regel von de L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.