Negative Transitivität
# Negative Transitivität

Die negative Transitivität einer zweistelligen Relation $R$ auf einer Menge ist gegeben, wenn gilt:
    $\forall x,y,z:\neg xRy\land \neg yRz\Rightarrow \neg xRz.$
Strenge schwache Ordnungen erfüllen die negative Transitivität.

## Äquivalenzumformungen

Manchmal wird der Zusammenhang der negativen Transitivität auch wie folgt formuliert:
    $(x>y)\Rightarrow (x>z)\lor (z>y)$
Diese Darstellung erhält man durch Negation einer Implikation. Ersetzt man die Klammerausdrücke durch die allgemeinen Aussagen A, B und C, folgt:
    $\neg A\land \neg B\Rightarrow \neg C$
Wird dieser Ausdruck nun erneut negiert, dreht sich erstens die Implikationsrichtung um und zweitens werden nach den De Morgan’sche Gesetzen sowohl die Negationen von A und B aufgehoben, aber auch die Konjunktion in eine Disjunktion verwandelt:
    $\neg (\neg A\land \neg B)\Leftarrow C$
    $A\lor B\Leftarrow C$
Das entspricht dann grundsätzlich der Form, von der wir oben ausgegangen sind.

### Beispiel in Alltagssprache

Wenn Milch nicht weniger kostet als Brot, und Brot nicht weniger kostet als Kuchen, dann kostet Milch auch nicht weniger als Kuchen.

## Mikroökonomie

In der mikroökonomischen Haushaltstheorie werden negative Transitivität und Asymmetrie als Annahmen für die strenge Präferenzrelation benutzt.