Ky-Fan-Ungleichung
# Ky-Fan-Ungleichung

In der Mathematik wird als Ky-Fan-Ungleichung eine von Ky Fan entdeckte und erstmals von (Lit.: Beckenbach und Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie durch ihre Ähnlichkeit mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

## Formulierung

In der einfachsten Form lautet die Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:
Falls $x_{i}$ für $i=1,\dots ,n\;$ Zahlen mit $0<x_{i}<{\frac {1}{2}}$ sind, dann gilt
    ${\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}{\left(\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)\right)^{\frac {1}{n}}}}\ \leq \ {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)}}$.
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn $x_{1}=\cdots =x_{n}\;$.
Bezeichnet man mit $A_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ das arithmetische Mittel und mit $G_{n}:=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$ das geometrische Mittel der Zahlen $x_{i}\;$ sowie mit $A_{n}^{\prime }:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})$ das arithmetische Mittel und mit $G_{n}^{\prime }:=\left(\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right)^{\frac {1}{n}}$ das geometrische Mittel der Zahlen $1-x_{i}\;$, so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form
    ${\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$
an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $G_{n}\leq A_{n}$ wird damit deutlich.

## Beweis

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion $f(x)=\ln x-\ln(1-x)\;$ anwendet, die für $0<x\leq {\frac {1}{2}}$ konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:
    ${\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\left(1-x_{i}\right)}}$,
wobei für die Gewichte $\gamma _{i}\geq 0$ und $\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}=1$ gelten muss.

## Verwandte Ungleichungen

(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte $H_{n}:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1/x_{i}}}$ und $H_{n}^{\prime }:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1/(1-x_{i})}}$ erweitert:
    ${\frac {H_{n}}{H_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$.