Negative hypergeometrische Verteilung
# Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.

## Definition

Eine Zufallsvariable $X$ auf dem Träger $T=\{k,\dots ,k+N-M\}$ heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
    $f(n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}\cdot {\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}={\frac {{\binom {-k}{n-k}}\cdot {\binom {k-M-1}{N-M-n+k}}}{\binom {-M-1}{N-M}}}$
hat. Dabei ist $k\leq M\leq N$. Man schreibt dann $X\sim \operatorname {NH} (N,M,k)$.

## Herleitung aus dem Urnenmodell

Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit $N$ Kugeln, von denen $M$ markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man $k$ markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür $n$ Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.
Denkt man sich dazu in $N$ Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt ${\tbinom {N}{M}}$ Möglichkeiten, die $M$ markierten Kugeln auf die $N$ Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im $n$-ten Zug die $k$-te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den $n-1$ Zügen davor $k-1$ markierte Kugeln gezogen werden und in den $N-n$ Zügen danach die restlichen $M-k$ markierten Kugeln. Hierfür gibt es ${\tbinom {n-1}{k-1}}\cdot {\tbinom {N-n}{M-k}}$ Möglichkeiten.

## Eigenschaften
### Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu
    $\operatorname {E} (X)={\frac {k(N+1)}{M+1}}$

### Varianz

Für die Varianz erhält man
    $\operatorname {Var} (X)={\frac {k(M+1-k)(N-M)(N+1)}{(M+1)^{2}(M+2)}}$