Lie-Gruppoid
# Lie-Gruppoid

In der Mathematik ist das Lie-Gruppoid eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Gruppe.

## Definition

Ein Lie-Gruppoid ist ein Gruppoid, dessen Menge von Objekten $G_{0}$ und Mengen von Morphismen $G_{1}=\bigcup _{x,y\in G_{0}}G(x,y)$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, dessen Strukturabbildungen $comp\colon G(x,y)\times G(y,z)\to G(x,z)$ und $inv\colon G(x,y)\to G(y,x)$ für alle $x,y,z\in G_{0}$ differenzierbare Abbildungen und dessen durch Quell- und Zielabbildungen $s,t\colon G_{1}\to G_{0}$ surjektive Submersionen sind.

## Beispiele

* Eine Lie-Gruppe $G$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_{0}=\left\{*\right\}$ und $X_{1}=G$. Die Strukturabbildungen $comp$ und $inv$ sind Multiplikation und Inversion in der Gruppe $G$.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_{0}=X_{1}=M$ und $G(x,y)=\emptyset$ für $x\not =y$ sowie $G(x,x)=\left\{id_{x}\right\}$ für alle $x\in G_{0}$.
* Eine differenzierbare Gruppenwirkung $M\times G\to M$ gibt ein Wirkungsgruppoid mit $X_{0}=M,X_{1}=G\times M,s(g,x)=x,t(x,g)=gx,comp((g,x),(h,gx))=(x,hg),inv((g,x))=(g^{-1},gx)$.
* Das Fundamentalgruppoid einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ besteht aus $X_{0}=M$ und den Homotopieklassen (bei die Randpunkte festlassenden Homotopien) von Wegen $w\colon \left[0,1\right]\to M$ als $X_{1}$, mit $s(w)=w(0),t(w)=w(1)$ sowie der Verknüpfung von Wegen (modulo Homotopie) als Komposition und der Umdrehung von Wegen (modulo Homotopie) als Inversion.