Leray-Schauder-Alternative
# Leray-Schauder-Alternative

Die Leray-Schauder-Alternative ist eine mathematische Aussage aus dem Bereich der nichtlinearen Funktionalanalysis.
Sie wurde von den Mathematikern Jean Leray und Juliusz Schauder bewiesen und nach ihnen benannt. Die Leray-Schauder-Alternative gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Fixpunktes. Die zentrale Bedingung der Aussage trägt einen eigenständigen Namen und wird Leray-Schauder-Randbedingung genannt. Der Satz hat zahlreiche Korollare, die schon vor Entdeckung der Leray-Schauder-Alternative bekannt waren und eigenständige Bedeutung haben.

## Leray-Schauder-Randbedingung

Sei $X$ ein normierter Raum. Die stetige Abbildung $f\colon X\to X$ erfüllt die Leray-Schauder-Randbedingung, falls ein $r>0$ existiert, so dass aus $\|x\|=r$ die Ungleichheit $f(x)\neq \lambda x$ für alle $\lambda >1$ folgt.

## Leray-Schauder-Alternative

Sei $X$ ein normierter Raum und $f\colon X\to X$ eine kompakte Abbildung, die der Leray-Schauder-Randbedingung genügt, dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt.
Die Aussage trägt die Bezeichnung Alternative, weil entweder die Gleichung $f(x)=\lambda x$ für ein $\lambda >1$ oder die Gleichung $f(x)=x$ eine Lösung hat. Jedoch bietet der Satz keine notwendigen Bedingungen, daher können für bestimmte $f$ auch beide Gleichungen erfüllt sein. Das zentrale Hilfsmittel für den Beweis des Satzes ist der Leray-Schauder-Abbildungsgrad.

## Spezialfälle

In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für Fixpunkte aufgeführt, die von Altman, Krasnoselskii und anderen bewiesen wurden und als Spezialfälle der Leray-Schauder-Alternative verstanden werden können. Im Folgenden sei $X$ normierter Raum, $f\colon X\to X$ eine stetige Funktion und $B_{r}=\{x:\|x\|<r\}\subset X$ eine Kugel mit Radius $r$.

### Satz von Altman

Sei $x\in \partial B_{r}$ und gelte
    $\|x-f(x)\|^{2}\geq \|f(x)\|^{2}+\|x\|^{2},$
dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt.
Diese Aussage wurde 1957 von Altman bewiesen.

### Satz von Petryshyn

Sei $x\in \partial B_{r}$ und gelte
    $\|x-f(x)\|\geq \|f(x)\|,$
dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt.
Diese Aussage wurde 1963 von Volodymyr Petryshyn bewiesen.

### Satz von Krasnoselskii

Sei $X$ ein Prähilbertraum, $x\in \partial B_{r}$ und gelte
    $\langle f(x),x\rangle \leq \|x\|^{2},$
dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt.
Diese Aussage wurde von Mark Krasnosel'skii im Jahr 1953 gezeigt. Sie kann als Spezialfall der Aussage von Altman für Prähilberträume verstanden werden.

### Satz von Rothe

Sei $x\in \partial B_{r}$ und gelte
    $\|f(x)\|\leq \|x\|,$
dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt.
Diese Aussage wurde 1937 von Rothe bewiesen.

## Quellen

* Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 204.
* Robert F. Brown: A topological introduction to nonlinear analysis. Birkhäuser 2004, ISBN 0817632581, Seite 27.
* Vasile I. Istratescu: Fixed Point Theory an Introduction. Springer Science & Business 2001, ISBN 9027712247, Seite 166.