Pythagoraszahl
# Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers $F$ ist definiert als das kleinste $p(F)\in \mathbb {N}$, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in $F$ schon als Summe von $p(F)$ Quadraten schreiben lässt.

## Definition

Für einen Körper $F$ sei
    $\sum F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}$
die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.
Mit
    $\sum ^{k}F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\leq k,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}$
bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in $F$, die höchstens Länge $k$ haben. Offensichtlich gilt $\textstyle \sum ^{k}F^{2}\subseteq \sum F^{2}$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Unklar ist dagegen, ob immer ein $k\in \mathbb {N}$ existiert, so dass $\textstyle \sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}$. Als Pythagoraszahl von $F$ bezeichnen wir die folgende Größe:
    $p(F):=\min \left\{k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}\;{\Big |}\;\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}\right\}$
wobei $p(F)=\infty$ genau dann, wenn $\textstyle \sum ^{k}F^{2}\varsubsetneq \sum F^{2}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt. Es ist stets $p(F)\geq 1$.

## Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

* Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ ein $b\in \mathbb {R}$, so dass $a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=b^{2}$. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen $p(\mathbb {R} )=1$. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in $\mathbb {R}$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
* Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen $p(\mathbb {C} )=1$.
* Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen $p(\mathbb {Q} )=4$, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

## Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls $F$ nicht-reeller Körper ist, (das heißt $-1\in \sum F^{2}$,) lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s(F)$ von $F$:
    $s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1$
Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)
Falls $F$ ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade, nach dem für einen beliebigen Körper $F$ mit ${\text{char}}(F)>0$ gilt, dass $s(F)\leq 2$ (zum Beweis vgl. Stufe).
Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass $p(F)\leq 3$.
Ganz exakt kann man im Fall $F=\mathbb {F} _{q}$ werden, wo $q$ eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:
Satz $p(\mathbb {F} _{q})=2$ für alle $q=p^{n}$ wo $p>2$ prim und $n>0$ ist.
Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

## Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei $F/\mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter $d={\text{trdeg}}(F)$ der Transzendenzgrad von $F$ über $\mathbb {Q}$.
Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass $p(F)\leq 2^{d+2}$ für alle $d$ gilt.
Wegen $p(\mathbb {Q} )=4$ ist diese Abschätzung scharf für $d=0$.
Für $d=1$ wurde bisher $p(F)\leq 6$ gezeigt. Vermutlich gilt aber sogar $p(F)\leq 5$, was dann wegen $p(\mathbb {Q} (t))=5$ eine scharfe Abschätzung wäre.
Eine ausführliche Darstellung des Beweises von $p(F)\leq 2^{d+2}$ findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.