Frullanische Integrale
# Frullanische Integrale

Als frullanische Integrale werden uneigentliche Integrale vom Typ
    $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x$
bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von Giuliano Frullani in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:
Sei $f(x)$ eine für $x\geq 0$ stetige Funktion mit $A:=f(0)$ und dem endlichen Grenzwert $B:=\lim _{x\to \infty }f(x)$, dann gilt
    $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x=(A-B)\ln {\frac {b}{a}}$.
Wichtige Beispiele ergeben sich für $f(x)=e^{-x}\$ bzw. $f(x)=\arctan x\$ mit $a,b>0$:
    $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x=\ln {\frac {b}{a}}$
    $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(ax)-\arctan(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\ln {\frac {a}{b}}$