Klassifizierender Raum von SU(n)
# Klassifizierender Raum von SU(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSU} (n)$ der speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ ist der Basisraum des universellen $\operatorname {SU} (n)$-Hauptfaserbündels $\operatorname {ESU} (n)\rightarrow \operatorname {BSU} (n)$. Das bedeutet, dass $\operatorname {SU} (n)$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in $\operatorname {BSU} (n)$ stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel.

## Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:
    $\operatorname {BSU} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k}).$
Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
    ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})=\operatorname {SU} (n+k)/(\operatorname {SU} (n)\times \operatorname {SU} (k))$
überträgt sich die $\operatorname {SU} (n+k)$-Wirkung auf $\operatorname {BSU} (n)$.

## Kleinster klassifizierender Raum

* Es ist $\operatorname {SU} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe und daher $\operatorname {BSU} (1)\cong \{*\}$ der triviale topologische Raum.
* Es ist $\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$ und daher $\operatorname {BSU} (2)\cong \operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$ der unendliche quaternionische projektive Raum.

## Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Für einen topologischen Raum $X$ sei $\operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X)$ die Menge der $\operatorname {SU} (n)$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist $X$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:
    $[X,\operatorname {BSU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESU} (n)$
bijektiv.

## Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSU} (n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:
    $H^{*}(\operatorname {BSU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{2},\ldots ,c_{n}].$

## Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SU} (n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\operatorname {BSU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSU} (n+1)$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
    $\operatorname {SU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SU} (n)$
    $\operatorname {BSU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSU} (n)$
bezeichnet. $\operatorname {BSU}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\operatorname {SU}$.