Riesz-Mittel
# Riesz-Mittel

Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt. Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

## Definition

Gegeben sei eine Reihe $\{s_{n}\}$. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch
    $s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}$
Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als
    $R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}$
Dabei sind die $\lambda _{n}$ eine Folge mit $\lambda _{n}\to \infty$ und mit $\lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1$, wenn $n\to \infty$. Die anderen $\lambda _{n}$ sind beliebig.
Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{n}$ für Folgen $\{a_{n}\}$. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert $\lim _{n\to \infty }R_{n}$ vorhanden ist oder der Grenzwert $\lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )$ existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

## Spezialfälle

Sei $a_{n}=1$ für alle $n$. Dann gilt
    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.$
Dabei muss $c>1$ sein, $\Gamma (s)$ ist die Gammafunktion und $\zeta (s)$ ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe
    $\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}$
für $\lambda >1$ konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.
Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von $a_{n}=\Lambda (n)$, wobei $\Lambda (n)$ die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist
    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.$
Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und
    $\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,$
ist konvergent für ρ > 1.
Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.