Riesz-Raum
# Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert und trägt deshalb heute seinen Namen.

## Definition

Sei $(X,+,\cdot )$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum und $(X,\leq )$ eine halbgeordnete Menge.
Dann heißt $(X,+,\cdot ,\leq )$ ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:
* Für alle $f,g,h\in X$ gilt: $f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h$.
* Für alle $f,g\in X$ gilt: $0\leq a\in \mathbb {R}$ und $f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g$.
* $(X,\leq )$ ist ein Verband.
Weiter notiert man $x\vee y=\sup(x,y)$ und $x\wedge y=\inf(x,y)$.

### Weitere Begriffe

* Für eine Menge $A\subset X$ ist $\sup(A)=\bigvee _{x\in A}x=\sup\{x\colon x\in A\}$ und $\inf(A)=\bigwedge _{x\in A}x=\inf\{x\colon x\in A\}$.
* Für ein Element $x\in X$ definiert man den positiven und negative Teil $x^{+}:=x\vee 0$ und $x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0$.
* Der Modulus von $x$ ist definiert als $|x|:=x\vee (-x)$.
* Zwei Elemente $x,y\in X$ sind disjunkt $x\perp y$ wenn für ihre Moduli $|x|\wedge |y|=0$ gilt.
* Sei $M\subset X$ eine beliebige Menge und $M\neq \emptyset$, dann definieren wir $M^{\perp }=\{x\in X\colon (\forall y\in M)\;x\perp y\}$, das heißt die Menge der zu $M$ disjunkten Elemente.
* Eine Teilmenge $M\subset X$ ist vollständig wenn $M\perp x$ impliziert das $x=0$, das heißt es gilt $M^{\perp }=0$.
* Eine Teilmenge $M\subset X$ ist solide oder normal, falls für jedes $x\in E$ und ein beliebiges $y\in M$ mit $|x|\leq |y|$ auch $x\in M$ gilt.
* Die Menge $M^{\perp \perp }$ nennt man das von $M$ generierte Band. Für eine einelementige Menge $\{x\}$ nennt man $\{x\}^{\perp \perp }$ das Prinzipalband.