Sexy Primzahl
# Sexy Primzahl

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz $6$ beträgt, als sexy Primzahlen. Zum Beispiel sind die Zahlen $5$ und $11$ sexy Primzahlen, weil die eine um $6$ kleiner (bzw. um $6$ größer) ist als die andere. Wenn $p$ und $p+6$ sexy Primzahlen sind und $p+2$ oder $p+4$ ebenfalls, dann sind die beiden sexy Primzahlen Teil eines Primzahldrillings.
Der Begriff sexy Primzahlen stammt von sex – dem lateinischen Wort für sechs.

## Typen von sexy Primzahl-Gruppen
### Sexy Primzahlzwillinge

Sexy Primzahlzwillinge haben die Form $(p,p+6)$. Es folgt eine Liste der Sexy Primzahlen bis $2.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):
| p | (p+6) |
| 5 | 11 |
| 7 | 13 |
| 11 | 17 |
| 13 | 19 |
| 17 | 23 |
| 23 | 29 |
| 31 | 37 |
| 37 | 43 |
| 41 | 47 |
| 47 | 53 |
| 53 | 59 |
| 61 | 67 |
| 67 | 73 |
| 73 | 79 |
| 83 | 89 |
| 97 | 103 |
| p | (p+6) |
| 101 | 107 |
| 103 | 109 |
| 107 | 113 |
| 131 | 137 |
| 151 | 157 |
| 157 | 163 |
| 167 | 173 |
| 173 | 179 |
| 191 | 197 |
| 193 | 199 |
| 223 | 229 |
| 227 | 233 |
| 233 | 239 |
| 251 | 257 |
| 257 | 263 |
| 263 | 269 |
| p | (p+6) |
| 271 | 277 |
| 277 | 283 |
| 307 | 313 |
| 311 | 317 |
| 331 | 337 |
| 347 | 353 |
| 353 | 359 |
| 367 | 373 |
| 373 | 379 |
| 383 | 389 |
| 433 | 439 |
| 443 | 449 |
| 457 | 463 |
| 461 | 467 |
| 503 | 509 |
| 541 | 547 |
| p | (p+6) |
| 557 | 563 |
| 563 | 569 |
| 571 | 577 |
| 587 | 593 |
| 593 | 599 |
| 601 | 607 |
| 607 | 613 |
| 613 | 619 |
| 641 | 647 |
| 647 | 653 |
| 653 | 659 |
| 677 | 683 |
| 727 | 733 |
| 733 | 739 |
| 751 | 757 |
| 821 | 827 |
| p | (p+6) |
| 823 | 829 |
| 853 | 859 |
| 857 | 863 |
| 877 | 883 |
| 881 | 887 |
| 941 | 947 |
| 947 | 953 |
| 971 | 977 |
| 977 | 983 |
| 991 | 997 |
| 1013 | 1019 |
| 1033 | 1039 |
| 1063 | 1069 |
| 1087 | 1093 |
| 1091 | 1097 |
| 1097 | 1103 |
| p | (p+6) |
| 1103 | 1109 |
| 1117 | 1123 |
| 1123 | 1129 |
| 1181 | 1187 |
| 1187 | 1193 |
| 1217 | 1223 |
| 1223 | 1229 |
| 1231 | 1237 |
| 1277 | 1283 |
| 1283 | 1289 |
| 1291 | 1297 |
| 1297 | 1303 |
| 1301 | 1307 |
| 1321 | 1327 |
| 1361 | 1367 |
| 1367 | 1373 |
| p | (p+6) |
| 1423 | 1429 |
| 1427 | 1433 |
| 1433 | 1439 |
| 1447 | 1453 |
| 1453 | 1459 |
| 1481 | 1487 |
| 1483 | 1489 |
| 1487 | 1493 |
| 1493 | 1499 |
| 1543 | 1549 |
| 1553 | 1559 |
| 1601 | 1607 |
| 1607 | 1613 |
| 1613 | 1619 |
| 1621 | 1627 |
| 1657 | 1663 |
| p | (p+6) |
| 1663 | 1669 |
| 1693 | 1699 |
| 1741 | 1747 |
| 1747 | 1753 |
| 1753 | 1759 |
| 1777 | 1783 |
| 1783 | 1789 |
| 1861 | 1867 |
| 1867 | 1873 |
| 1871 | 1877 |
| 1873 | 1879 |
| 1901 | 1907 |
| 1907 | 1913 |
| 1973 | 1979 |
| 1987 | 1993 |
| 1993 | 1999 |
    (Folge A023201 in OEIS) und (Folge A046117 in OEIS)
Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov das momentan größte sexy Primzahlpaar mit 51934 Stellen. Das Paar (p, p+6) lautet wie folgt:
       ${\begin{array}{rcl}p&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-5\\p+6&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}$
Die Zahl p ist allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie ist momentan nur eine PRP-Zahl, also eine Zahl, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist.

### Sexy Primzahldrillinge

Sexy Primzahlen können zu einer größeren Konstellation erweitert werden. Tripel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12)$ heißen sexy Primzahldrillinge, wenn p+18 eine zusammengesetzte Zahl, also keine Primzahl, ist. Die sexy Primzahldrillinge unter 1000 lauten:
    (7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983). (Folge A046118 in OEIS), (Folge A046119 in OEIS) und (Folge A046120 in OEIS).
Am 16. April 2022 entdeckte Serge Batalov den momentan größten sexy Primzahldrilling mit 15004 Stellen. Der Primzahldrilling $(p,p+6,p+12)$ lautet wie folgt:
       ${\begin{array}{rcl}p&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+1\\p+6&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+7\\p+12&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+13\end{array}}$
Die beiden Zahlen p+6 und p+12 sind allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie sind momentan nur PRP-Zahlen, also Zahlen, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit Primzahlen sind.

### Sexy Primzahlvierlinge

Quadrupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18)$ heißen sexy Primzahlvierlinge. Die erste Primzahl p muss in ihrer Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 enden (außer dem ersten Vierling mit p=5). Die sexy Primzahlvierlinge unter 1000 lauten:
    (5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).
    (Folge A023271 in OEIS), (Folge A046122 in OEIS), (Folge A046123 in OEIS) und (Folge A046124 in OEIS).
Im November 2005 entdeckte Jens Kruse Andersen den damals größten sexy Primzahlvierling mit über 1000 Stellen (nämlich 1002 Stellen). Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p
    $p=411784973\cdot 2347\#+3301$
Dabei ist 2347# = 2 · 3 · 5 · … · 2347 eine Primfakultät, d. h. das Produkt aller Primzahlen ≤ 2347.
Im Oktober 2019 entdeckten Gerd Lamprecht und Norman Luhn den momentan größten sexy Primzahlvierling mit 3025 Stellen. Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p
    $p={\frac {121152729080\cdot 7019\#}{1729}}+1$

### Sexy Primzahlfünflinge

Quintupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18,p+24)$ heißen sexy Primzahlfünflinge. Allerdings muss in einer arithmetischen Folge von fünf Zahlen, die alle eine Differenz von 6 haben, eine Zahl durch 5 teilbar sein. Somit ist der einzige sexy Primzahlfünfling (5, 11, 17, 23, 29).
Eine längere sexy Primzahlfolge kann es daher auch nicht geben.

## Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:
| (p, p+2) | Primzahlzwilling |
| (p, p+4) | Primzahlencousin |
| (p, p+6) | Sexy Primzahlzwilling |
| (p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6) | Primzahldrilling |
| (p, p+6, p+12) | Sexy Primzahldrilling |
| (p, p+2, p+6, p+8) | Primzahlvierling |
| (p, p+6, p+12, p+18) | Sexy Primzahlvierling |
| (p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12) | Primzahlfünfling |
| (p, p+6, p+12, p+18, p+24) | Sexy Primzahlfünfling |