Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung
# Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.
Die Verteilung wurde 1972 von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

## Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Sei
* $V_{n,p}:=V_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als $V_{n,p}=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=I_{p},\;p\leq n\}$ identifizieren,
* $[dX]$ das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf $V_{n,p}$,
* $_{0}F_{1}^{(2)}(b;S)$ die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. $b\in \mathbb {C}$ und $S\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ symmetrisch,
* $\operatorname {etr} (S)=\exp(\operatorname {tr} (S))$,
dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum $n\times p$-Parameter $F$ definiert als
    $L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.$
$_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)$ kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

### Normalisierungskonstante

Die Integraldarstellung
    $\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]=_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)=_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)$
wurde 1961 von Alan T. James bewiesen. Sei $F$ vom Rang $p$ und $F=MDV^{T}$ die Singulärwertzerlegung, dann gilt
    $_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)=_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)$
mit $D^{2}=\operatorname {diag} (d_{1}^{2},\dots ,d_{p}^{2})$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist
    $M_{X}(Z)=\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)\operatorname {etr} (ZX)[dX]={\frac {_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}(F'+Z)(F'+Z)'\right)}{_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}}.$

## Verallgemeinerung

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit $S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\}$, wobei $C$ eine positiv definite $p\times p$-Matrix ist.