Dedekindring
# Dedekindring

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch Dedekindbereich oder ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

## Definition

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsring.
Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

## Eigenschaften

* Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.
* Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.
* Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.
* Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.
* Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.

## Beispiele

* Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
* Ist $A$ ein Hauptidealring, und $L$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $L$ ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].$
* Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.
Keine Dedekindringe sind:
* $\mathbb {Z} [X]$ (zweidimensional),
* $\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ (nicht normal),
* $\mathbb {Z} [X]/(X^{2})$ und $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ (keine Integritätsringe),
* der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von $\mathbb {Z}$ in einem algebraischen Abschluss ${\overline {\mathbb {Q} }}$ der rationalen Zahlen (nicht noethersch).