Frobenius-Methode
# Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
    $u''+p(z)u'+q(z)u=0$
zu finden, wobei $(z-z_{0})p(z)$ und $(z-z_{0})^{2}q(z)$ als analytisch in einer Umgebung von $z=z_{0}$ vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe
    $u(z)=(z-z_{0})^{\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(z-z_{0})^{n}$
anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten $\alpha ,u_{n}$ durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen und danach von Frobenius verallgemeinert.

## Satz von Fuchs

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir $z_{0}=0$ setzen. Gegeben sei die Differentialgleichung
    $u''+p(z)u'+q(z)u=0$
wobei $p(z)$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und $q(z)$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form
    $p(z)={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}z^{n},\qquad q(z)={\frac {1}{z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}$
geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.
Die charakteristischen Exponenten
    $\alpha _{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1-p_{0}\pm {\sqrt {(p_{0}-1)^{2}-4q_{0}}}\right)$
sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung
    $\alpha ^{2}+(p_{0}-1)\alpha +q_{0}=0,$
welche sich durch Koeffizientenvergleich für $z^{\alpha -2}$ in obiger Differentialgleichung ergibt,
und wir können sie gemäß $\mathrm {Re} (\alpha _{1})\geq \mathrm {Re} (\alpha _{2})$ ordnen.
Dann gilt folgende Fallunterscheidung:
* Ist $\alpha _{1}-\alpha _{2}$ keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
    $u_{j}(z)=z^{\alpha _{j}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{j,n}z^{n},\qquad u_{j,0}=1,\quad j=1,2.$
* Ist $\alpha _{1}-\alpha _{2}$ eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form
    $u_{1}(z)=z^{\alpha _{1}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{1,n}z^{n},\qquad u_{2}(z)=z^{\alpha _{2}}\sum _{n=0}^{\infty }u_{2,n}z^{n}+c\log(z)u_{1}(z),\qquad u_{j,0}=1.$
Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für $p(z)$ und $q(z)$.
Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat $p(z)$ bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und $q(z)$ bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.
Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive $\infty$) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

## Verallgemeinerungen

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

## Anwendungen

Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:
* Bessel’sche Differentialgleichung
* Legendre’sche Differentialgleichung
* Laguerre’sche Differentialgleichung
* hypergeometrische Differentialgleichung