Gromov-Produkt
# Gromov-Produkt

In der Mathematik ist das Gromov-Produkt, benannt nach Michail Leonidowitsch Gromow, ein Konzept aus der Theorie der metrischen Räume. Anschaulich misst es, wie lange zwei in einem Punkt startende Geodäten "nahe beieinander" bleiben.

## Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $x,y,z\in X$. Das Gromov-Produkt von $y$ und $z$ in $x$ ist definiert als
    $(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\bigd(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.$

## Beispiele
### Bäume

In einem metrischen Baum ist $(y,z)_{x}$ genau die Länge der Schnittmenge der (eindeutigen) kürzesten Verbindungen von $x$ nach $y$ und von $x$ nach $z$. Im Bild rechts (alle Kanten sollen Länge 1 haben) ist
    $(b,w)_{m}=0,(b,i)_{m}=1,(e,i)_{m}=2$.

### Euklidische Ebene

Für ein Dreieck ABC in der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ist $(A,B)_{C}$ gerade die Länge des Abschnittes auf der Strecke ${\overline {AC}}$ (oder ${\overline {BC}}$) von $C$ bis zum Berührpunkt der Strecke mit dem Inkreis des Dreiecks. Im Bild rechts unten ist $(A,B)_{C}=p$.

## Eigenschaften

* Symmetrie: $(y,z)_{x}=(z,y)_{x}$.
* Degeneration in Endpunkten: $(y,z)_{y}=(y,z)_{z}=0$.
* Für alle $p,q,x,y$ und $z$,
       $d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},$
       $0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \d(y,x),d(z,x){\big \}},$
       ${\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),$
       ${\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).$
* Das Gromov-Produkt misst, wie lange Geodäten nahe beieinander bleiben: wenn $x,y$ und $z$ drei Punkte eines $\delta$-hyperbolischen metrischen Raumes sind, dann entfernen sich die Segmente der Länge $(y,z)_{x}$ der beiden Geodäten von $x$ nach $y$ und von $x$ nach $z$ nicht mehr als Abstand $2\delta$ voneinander.
* Ein metrischer Raum ist genau dann $\delta$-hyperbolisch, wenn für alle $p,x,y$ und $z$ in $X$ gilt
    $(x,z)_{p}\geq \min {\big \(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

## Gromov-Rand

Der Gromov-Rand $\partial _{\infty }X$ eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes $X$ ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen $(x_{n})_{n\in N}\subset X$ mit $\lim _{i,j\to \infty }(x_{i},x_{j})_{0}=\infty$ (sogenannten zulässigen Folgen, anschaulich handelt es sich um gegen unendlich divergierende Folgen) bzgl. der Äquivalenzrelation
    $(x_{n})_{n\in N}\sim (y_{n})_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim(x_{n},y_{n})_{o}=\infty$
für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt $o\in X$. Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis
    $U(\xi ,r):=\left\{\eta \in \partial _{\infty }X:\exists (x_{i}),(y_{j})\ s.d.\ \xi =\left[x_{i}\right],\eta =\left[y_{j}\right],\liminf _{i,j\to \infty }(x_{i},y_{j})_{o}\geq r\right\},\xi \in \partial _{\infty }X,r\geq 0$
Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion
    $(.,.)_{o}\colon \partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\to \left[0,\infty \right]$
fortsetzen.