Hyperexponentialverteilung
# Hyperexponentialverteilung

Die Hyperexponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschaulich gesprochen ist sie eine Überlagerung mehrerer Exponentialverteilungen.

## Definition

Seien $Y_{i}$ (mit $i=1,\dotsc ,N$) unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Raten $\lambda _{i}$ und seien $p_{i}$ Wahrscheinlichkeiten, deren Summe 1 ergibt. Dann heißt die Zufallsvariable $X$ hyperexponentialverteilt, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt:
    $f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}f_{Y_{i}}(x)={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}\,x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

## Einordnung und Bemerkungen

Bei einer Exponentialverteilung ist der Variationskoeffizient (Standardabweichung geteilt durch Erwartungswert) gleich 1. Die Bezeichnung „hyper“-exponential rührt daher, dass der Variationskoeffizient hier größer als 1 ist (sofern verschiedene $\lambda _{i}$ auftreten). Im Unterschied dazu ist er bei der Hypoexponentialverteilung kleiner als 1. Während die Exponentialverteilung das stetige Analogon zur geometrischen Verteilung ist, ist die Hyperexponentialverteilung kein Analogon zur hypergeometrischen Verteilung. Die Hyperexponentialverteilung ist ein Beispiel für eine Mischverteilung.
Als Anwendungsbeispiel kann die Auslastung eines Internetanschlusses dienen, über welchen entweder (mit Wahrscheinlichkeit $p$ und Rate $\lambda _{1}$) Internettelefonie oder (mit Wahrscheinlichkeit $q$ und Rate $\lambda _{2}$) Dateiübertragungen laufen, wobei $p+q=1$. Die Gesamtauslastung ist dann hyperexponentialverteilt.
Eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung, inklusive endlastiger Verteilungen, kann durch eine Hyperexponentialverteilung angenähert werden, indem rekursiv verschiedene Zeitskalen ($\lambda _{i}$) mittels der sogenannten Prony-Methode angefittet werden.

## Eigenschaften

Aus der Linearität des Integrals ergibt sich:
    $\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}$
und
    $\operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{N}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}\;.$
Mit Hilfe des Verschiebungssatzes ergibt sich daraus die Varianz:
    $\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} \left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}\;.$
Sofern nicht alle $\lambda _{i}$ gleich groß sind, ist die Standardabweichung größer als der Erwartungswert.
Die momenterzeugende Funktion ist
    $\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}\;.$