Bethe-Sommerfeld-Vermutung
# Bethe-Sommerfeld-Vermutung

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus der Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren, welche sagt, dass die Anzahl der Lücken im Spektrum eines Schrödinger-Operators mit periodischem Potential in Dimension $d\geq 2$ endlich ist. Für ein Potential, welches gewisse Glattheitsbedingungen erfüllt, wurde die Vermutung 2008 von Leonid Parnowski bewiesen.
Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist nach den deutschen Physikern Arnold Sommerfeld und Hans Bethe benannt.

## Vermutung

Sei $V\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ ein periodisches, reelles Potential und $\Delta$ der Laplace-Operator.
Die Anzahl Lücken im Spektrum des Schrödinger-Operators
    $-\Delta +V(\mathbf {x} ),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}$
ist für $d\geq 2$ endlich.

## Resultate

* 1981 bewies Wiktor Nikolajewitsch Popow und Maxim Skriganov den Fall $d=2$.
* 1984 bewies Maxim Skriganov den Fall $d=3$.
* 1998 bewies Bernard Helffer und Abderemane Mohamed den Fall $d=4$.
* 2008 bewies Leonid Parnowski die Vermutung unter Glattheitsbedingungen für das Potential.