Hermitesches Polynom
# Hermitesches Polynom

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
    $H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}\,,$
bzw. $H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}\,.$
Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen $n$) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
    $H_{n}''(x)-2\,x\cdot H_{n}'(x)+2\,n\cdot H_{n}(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots ).$

## Explizite Darstellung

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung
    $H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}$
also
    $H_{0}(x)=1$
    $H_{1}(x)=2x$
    $H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2$
    $H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x$
    $H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12$
Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen $(n\in \mathbb {N} _{0},H_{-1}(x):=0)$:
    $H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)$
    $H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)$
Da bei jedem Iterationsschritt ein $x$ hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass $H_{n}(x)$ ein Polynom von Grade $n$ ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz $x^{n}$ ist $2^{n}$. Für gerade $n$ treten ausschließlich gerade Potenzen von $x$ auf, entsprechend für ungerade $n$ nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität
    $H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)$
ausdrücken lässt.
Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution $n'=n+1$ auch wie folgt schreiben:
    $H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2\ldots )$

## Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion $e^{-x^{2}}$ die Orthogonalitätsrelation
    $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.$
Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

## Erzeugende

Eine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist
    $F(x,t)=e^{2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}H_{n}(x)$ .

## Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
    $He_{n}(x)=2^{-n/2}H_{n}(x/{\sqrt {2}})=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.$
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion $e^{-x^{2}/2}$ orthogonal
    $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,He_{n}(x)\,He_{m}(x)\,dx={\sqrt {2\,\pi }}\,n!\,\delta _{mn}$
und erfüllen die Differentialgleichung
    $y''-x\,y'+n\,y=0.$
Sie lassen sich rekursiv durch
    $He_{n+1}(x)=x\,He_{n}(x)-n\,He_{n-1}(x)$
bestimmen.

## Binomischer Lehrsatz

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für $a^{2}+b^{2}=1$ ist
    $H_{n}(ax+by)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}H_{k}(x)H_{n-k}(y).$

## Index mit negativem Wert

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion $1-\operatorname {erf} (x)=\operatorname {erfc} (x)$ ist
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}$.
Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:
    $H_{n}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(-1)^{(n+1)}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}\operatorname {erfc} (x)$,
sodass man für $n=-1$ findet:
    $H_{-1}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)$.
Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
    $H_{n-1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{-n}}{\mathrm {d} x^{-n}}}H_{-1}(x)$ oder rekursiv $H_{n-1}(x)={\frac {1}{2n}}H_{n}'(x)$ mit $n=(-1,-2,-3,\dotsc )$.
Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.
Sie lauten:
    $H_{-1}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)$
    $H_{-2}(x)={\tfrac {1}{2}}(1-x{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))$
    $H_{-3}(x)={\tfrac {1}{8}}(-2x+(1+2x^{2}){\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))$
    $\ldots$

## Anwendungen

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.
Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.