Hyperbolischer Graph
# Hyperbolischer Graph

In der Mathematik sind hyperbolische Graphen in Graphentheorie, Geometrie und Gruppentheorie von Bedeutung.

## Definition

Es sei $X=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph. Wir identifizieren jede Kante mit dem Einheitsintervall und machen den Graphen damit zu einem metrischen Raum. (Der Abstand zweier Knoten ist also die Anzahl der Kanten eines minimalen Verbindungsweges.)
Der Graph heißt hyperbolisch wenn es ein $\delta \geq 0$ gibt, so dass für alle Tripel von Knoten $v_{1},v_{2},v_{3}$ und alle kürzesten Verbindungswege $w_{ij}$ von $v_{i}$ nach $v_{j}$ für $i,j\in \left\{1,2,3\right\}$ gilt:
    $w_{12}$ liegt in der $\delta$-Umgebung von $w_{13}\cup w_{23}$
    $w_{13}$ liegt in der $\delta$-Umgebung von $w_{12}\cup w_{23}$
    $w_{23}$ liegt in der $\delta$-Umgebung von $w_{12}\cup w_{13}$

## Beispiele

* Endliche Graphen sind hyperbolisch, man kann für $\delta$ den Durchmesser des Graphen wählen.
* Bäume sind hyperbolisch, man kann $\delta =0$ wählen.
* Der Farey-Graph ist hyperbolisch, man kann $\delta =1$ wählen.
* Cayley-Graphen hyperbolischer Gruppen sind (per Definitionem) hyperbolisch.