Immersion (Mathematik)
# Immersion (Mathematik)

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F\colon M\rightarrow N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$, wenn der Pushforward $F_{\ast p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N.$
Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

## Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_{\ast }:T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

## Immersion in Mannigfaltigkeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F:M\rightarrow N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p\in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_{\ast }$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit $M$ ist, also gilt
    $\operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (F_{\ast p}))=\dim M.$

## Reguläre Homotopie

Zwei Immersionen $F_{0},F_{1}\colon M\to N$ heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie $F\colon M\times [0,1]\to N$ gibt mit $F(m,0)=F_{0}(m)$ und $F(m,1)=F_{1}(m)$ für alle $m\in M$, so dass für jedes $t\in \left[0,1\right]$ die Abbildung
    $F_{t}\colon \left\{{\begin{aligned}M&\to N\\m&\mapsto F(m,t)\end{aligned}}\right.$
wieder eine Immersion ist.
Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.