Hilbert-Modul
# Hilbert-Modul

In der Mathematik sind Hilbert-Moduln eine Verallgemeinerung von Gruppenringen. Eine weitere Verallgemeinerung sind Hilbert-C*-Moduln.

## Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe $G$ mit Gruppenring $\mathbb {C} G$ bezeichnet $l^{2}G$ die Vervollständigung von $\mathbb {C} G$ bzgl. des Skalarprodukts
    $\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\rangle =\sum _{g\in G}{\overline {a_{g}}}b_{g}$.
$l^{2}G$ ist ein Hilbert-Raum mit einer $G$-Wirkung.
Ein Hilbert-$G$-Modul ist ein komplexer Hilbert-Raum $V$ mit einer $C$-linearen isometrischen $G$-äquivarianten Einbettung
    $V\to (l^{2}G)^{n}$
für ein $n\in \mathbb {N}$.
Ein Morphismus von Hilbert-$G$-Moduln $f\colon V\to W$ ist eine $G$-äquivariante beschränkte $\mathbb {C}$-lineare Abbildung.