B+-Baum
# B+-Baum

Der B$^+$-Baum ist eine in Datenbanken und Dateisystemen verwendete Daten- oder Indexstruktur. Sie ist eine Erweiterung des B-Baumes. Bei einem B$^+$-Baum werden die eigentlichen Datenelemente nur in den Blattknoten gespeichert, während die inneren Knoten lediglich Schlüssel enthalten. Die Schlüssel in den Verzeichnisseiten bezeichnet man auch als Separatoren.
Der B$^+$-Baum wird aus historischen Gründen manchmal auch als B*-Baum bezeichnet. B*-Baum bezeichnet jedoch auch eine B-Baum-Variante mit einem Mindestfüllgrad von 2/3 durch eine verbesserte Split-Strategie.
Ziel dieses Verfahrens ist es, die Zugriffszeiten auf die Datenelemente zu verbessern. Dazu muss man die Baumhöhe verringern, was bedeutet, dass der Verzweigungsgrad des Baumes wachsen muss. Da die maximale Speicherbelegung eines Knotens begrenzt ist, gewinnt man durch das Verlegen der Daten in die Blätter mehr Platz für Schlüssel bzw. Verzweigungen in den inneren Knoten. Dies gilt insbesondere bei der Speicherung komplexer Objekte, die deutlich mehr Speicher belegen als die Schlüssel oder auch nicht über eine feste Größe verfügen. Die reduzierte Baumhöhe impliziert auch weniger innere Knoten. Diese können so leichter im Hauptspeicher gehalten werden, was die Leistung im wahlfreien Zugriff steigert.
Ein weiteres Ziel kann sein, die Operation Bereichssuche zu verbessern, bei der alle Daten in einem gewissen Schlüsselintervall sequentiell durchlaufen werden. Werden die Daten nämlich ausschließlich in den Blättern abgelegt, muss der jeweils nächste Datensatz der Sequenz nicht wieder von der Wurzel aus gesucht werden. So muss für einen Komplettdurchlauf der Daten nur der erste Schlüssel gesucht werden, ein Großteil des Baumes wird nicht gelesen. Um Nachfolger und Vorgänger eines Blattknoten effizient (d. h. in konstanter Zeit) zu finden, müssen die Blätter in einer doppelt verketteten Liste miteinander verbunden sein. Dieses Feature wird häufig in die Definition des B$^+$-Baumes mit aufgenommen.
Wesentlicher Vorteil eines externen Suchbaums (Daten nur in den Blättern) ist die Möglichkeit des Einsatzes von Sekundärindizes. Sie stellen einen weiteren – nach anderen Kriterien sortierbaren – Suchbaum auf denselben Daten zur Verfügung.

## Struktur

Jeder Knoten besteht aus $\textstyle n$ Suchschlüsseln und $\textstyle n+1$ Pointern. Blattnachfolger und (optional) Blattvorgänger werden in jedem Blatt gespeichert. Die restlichen Pointer in den Blattknoten zeigen jeweils auf die Datenelemente, die durch die Suchschlüssel repräsentiert werden.
Es ist auch möglich, Mittelknoten und Wurzel-/Blattknoten unterschiedliche Größen zuzuordnen. Hier spricht man von einem Baum des Typs $\textstyle (k,k^{\ast })$, wobei $\textstyle 2k$ die Größe von Mittelknoten und $\textstyle 2k^{\ast }$ die Größe von Wurzel- und Blattknoten bezeichnet. Im Folgenden gilt $\textstyle n=2k=2k^{\ast }$.
Beispiel: $n=3$
* Alle Knoten haben maximal 3 Suchschlüsselwerte und maximal 4 Pointer
* Die Wurzel hat mindestens einen Wert, also 2 Pointer
* Innere Knoten haben mindestens 1 Suchschlüssel und 2 Pointer
* Blätter haben mindestens 2 Suchschlüssel und 3 Pointer

## Regeln

* Wurzel: Mindestens zwei Pointer besetzt
* Mittelknoten: Mindestfüllgrad $\textstyle \left\lceil {\tfrac {n+1}{2}}\right\rceil$ Pointer
* Blätter: Mindestfüllgrad $\textstyle \left\lfloor {\tfrac {n+1}{2}}\right\rfloor$ Pointer (zeigen auf Datenblöcke, Pointer auf Nachbarknoten werden nicht gezählt)
Für Mittel- und Wurzelknoten gilt: Der links unter einem Suchschlüssel startende Pointer führt zu einem Knoten, dessen größter Suchschlüsselwert kleiner dem Suchschlüsselwert ist. Der rechts unter einem Suchschlüssel stehende Pointer führt zu einem Knoten, dessen kleinster Suchschlüsselwert größer gleich dem Suchschlüsselwert ist.

## Operationen
### Suchen

Beispiel anhand von obiger Grafik:
* Suche von Wert „9“: Start im Wurzelknoten, Wert ist größer als oder gleich 5, also gehe rechten Weg den Pointer entlang, durchsuche Blatt, nicht gefunden, Suche erfolglos.
* Suche von Wert „2“: Start im Wurzelknoten, Wert ist kleiner als 3, also gehe linken Weg dem Pointer entlang und durchsuche Blatt, gefunden, Suche erfolgreich.

### Einfügen

Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten beim Einfügen von neuen Suchschlüsseln:
* Es gibt im betreffenden Blatt Platz.
* Es gibt keinen Platz.
Im ersten Fall kann der Wert einfach in das Blatt eingetragen werden (siehe Suchen).
Im zweiten Fall wird der Wert an das Blatt „virtuell“ angefügt. Jetzt ergibt sich eine Überfüllung des Blattes. Es muss also geteilt werden. Dabei ist zu beachten, dass bei ungerader Suchschlüsselanzahl in einem Blatt das linke Teilblatt einen Suchschlüsselwert mehr als das rechte bekommt (Beispiel: n=4, 1 einfügen, links 3 Werte, rechts 2 Werte). Dies kann möglicherweise eine Kettenreaktion verursachen, die nach oben im Baum durchpropagiert werden muss, da ja die Mittel- und Wurzelknoten angepasst werden müssen. Bei dieser Kettenreaktion wird bei der Überfüllung eines Eltern-Knotens das mittlere Element eine Ebene nach oben befördert. Das wiederholt sich, bis genügend Platz ist, oder der B+-Baum um eine Ebene (Tiefe) erweitert werden muss.

### Löschen

Der Wert wird im Baum gesucht. Wenn er gefunden wird, dann wird der Wert entfernt. Eventuelle Änderungen müssen durch den Baum propagiert werden. Dabei gibt es zu beachten, dass unterbefüllte Knoten mit anderen verschmolzen oder Schlüssel von Geschwisterknoten umverteilt werden müssen. Beim Verschmelzen gibt es durchaus unterschiedliche Techniken. Am gebräuchlichsten sollte es sein, den Knoten mit seinem linken Nachbarn zu verschmelzen (wenn es keinen linken gibt, dann den rechten) und bei Bedarf diesen bei Überfüllung wieder nach obiger Regel zu teilen.

## Vorteile

Die Vorteile eines B$^+$-Baums im Vergleich zum B-Baum sind:
* Der B$^+$-Baum ist immer balanciert und hat eine geringere Höhe als ein B-Baum.
* Auf die Daten kann sowohl sequentiell als auch direkt zugegriffen werden.
* Die Schlüssel werden für die Indizierung verwendet.
* höherer Verzweigungsgrad als der B-Baum, und damit eine geringere Verzeichnisgröße und Tiefe
* Die Suche ist schneller, weil Daten nur in den Blattknoten gespeichert werden.
* für Bereichsanfragen (in Datenbanksystem) optimal geeignet, da immer alle Blätter sortiert und durch Pointer untereinander verbunden, sodass leicht iterierbar
* Referenzschlüssel entsprechen nicht zwingend einem realen Schlüssel und müssen daher nur in manchen Fällen beim Löschen eines entsprechenden Knotens gelöscht werden.

## Varianten

Eine wichtige Variante des B$^+$-Baums erlaubt die Verwendung von Schlüsseln und Daten mit variabler Länge. Hierzu muss der Begriff des Füllgrades umdefiniert werden, da größere Schlüssel natürlich mehr Speicherplatz benötigen als kleine Schlüssel. Ziel des Baumes bleibt weiterhin, alle Seiten mindestens zur Hälfte gefüllt zu lassen, und es werden die entsprechenden Balancierungs-Operationen weiterhin durchgeführt. Bei Löschvorgängen kann jedoch der Mindestfüllgrad unterschritten werden, wenn ein zu großer Separator die entsprechende Balancierungs-Operation verhindert. Es kann dann für Verzeichnisseiten nur noch der Mindestfüllgrad $\textstyle \left\lfloor {\tfrac {{\text{pageSize}}-{\text{maxKeySize}}+1}{2}}\right\rfloor$ ohne komplizierte Restrukturierungsmaßnahmen garantiert werden.
Durch Verwendung einer Varint-Kodierung kann der Verzweigungsgrad eines B$^+$-Baumes, wenn die Implementierung variable Längen erlaubt, meist deutlich gesteigert werden.
Mit Schlüsseln variabler Länge kann ein B$^+$-Baum auch als Trie (Präfix-B$^+$-Baum) eingesetzt werden.