Posterior predictive distribution
# Posterior predictive distribution

In der Bayesschen Statistik ist die Posterior predictive distribution eines statistischen Modells die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte neuer, unbeobachteter Werte ${\tilde {x}}$, gegeben alle bisherigen Beobachtungen $\mathbf {x}$. Man erhält sie durch Parameter-Integration der bedingten Dichte $p({\tilde {x}}|\theta )$ mit der Posterior-Dichte $p(\theta |\mathbf {x} )$.

## Definition

Die Posterior predictive distribution ist definiert als
    $p({\tilde {x}}|\mathbf {x} )=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta |\mathbf {x} )\operatorname {d} \!\theta =\mathbb {E} _{\theta |\mathbf {x} }[p({\tilde {x}}|\theta )],$
wobei $\Theta$ der Parameterraum und $p(\theta |\mathbf {x} )$ die Posterior-Dichte ist. Die Gleichheit lässt sich mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit direkt sehen.
Die Posterior predictive distribution spielt zum Beispiel im Rahmen der Gauß-Prozess-Regression eine wichtige Rolle.

### Abgrenzung gegenüber der Prior predictive distribution

Die Prior predictive distribution lässt die beobachteten Daten außer Acht: $p({\tilde {x}})=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta )\operatorname {d} \!\theta$

## Bootstrap predictive distribution

Die Posterior predictive distribution kann durch Anwendung der Bootstrap predictive distribution $p_{B}({\bar {x}}\mid X)=\int p({\bar {x}}\mid \theta _{MLE}({\tilde {X}})){\hat {p}}({\tilde {X}})d{\tilde {X}}$ genähert werden, wobei ${\tilde {X}}$ per Bootstrapping-Verfahren aus der empirischen Verteilungsfunktion gezogene Stichproben sind.