Nichtkommutative Potenzreihe
# Nichtkommutative Potenzreihe

Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

## Definition

Sei ${\mathcal {X}}$ eine Menge und $W({\mathcal {X}})$ das freie Monoid über ${\mathcal {X}}$. (Dann ist $W({\mathcal {X}})=\{x_{1}\cdots x_{n}|x_{i}\in {\mathcal {X}},\;n\geq 1\}\cup \{1\}$) Sei $R$ ein Ring. Der nichtkommutative Potenzreihenring über $R$ ist definiert als
    $R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R\}\cong \prod _{w\in W({\mathcal {X}})}R$
Die Addition auf $R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung
    $\sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w$
definiert.

## Eigenschaften

* Für endliche Mengen ${\mathcal {X}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ schreibt man $R\langle \langle X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle \rangle$.
* $R\langle \langle X\rangle \rangle =R[[X]]$ für eine Variable $X$
* $R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle /[R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle ,R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle ]=R[[{\mathcal {X}}]]$