Geschlecht (algebraische Kurve)
# Geschlecht (algebraische Kurve)

In der Mathematik ist das Geschlecht algebraischer Kurven eine Invariante.
Es ist definiert als
    $g:=\dim H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$,
wobei $X$ die algebraische Kurve, ${\mathcal {O}}_{X}$ die Garbe ihrer holomorphen Funktionen und $H^{1}$ die erste Garbenkohomologie ist. Diese ist für eine projektive Kurve stets endlich-dimensional.
Für eine in der projektiven Ebene durch ein Polynom vom Grad $d$ gegebene Kurve ist
    $g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$
wobei $s$ die (mit Vielfachheiten gezählte) Anzahl der Singularitäten ist.
Für eine singularitätenfreie algebraische Kurve stimmt das Geschlecht mit dem topologischen Geschlecht der entsprechenden Riemannschen Fläche überein.
Algebraische Kurven vom Geschlecht $0$ sind rationale Kurven. Algebraische Kurven vom Geschlecht $1$ sind Elliptische Kurven.
Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Geschlechts für algebraische Flächen, darunter das in Analogie zum Geschlecht Riemannscher Flächen definierte geometrische Geschlecht $p_{g}$ und das in Analogie zum Geschlecht algebraischer Kurven definierte arithmetische Geschlecht $p_{a}$. Die Differenz $p_{g}-p_{a}$ ist eine topologische Invariante und verschwindet für singularitätenfreie Flächen.