Isotomisch konjugierte Punkte
# Isotomisch konjugierte Punkte

Isotomisch konjugierte Punkte werden in der Dreiecksgeometrie betrachtet. Sie sind folgendermaßen definiert:
Gegeben sei ein Dreieck ABC. Die Seitenmittelpunkte seien mit D, E und F bezeichnet. Weiter seien auf den Seiten [BC], [CA] bzw. [AB] drei Punkte X$_1$, Y$_1$ und Z$_1$ gegeben, wobei sich die Geraden AX$_1$, BY$_1$ und CZ$_1$ (in der Skizze blau) in einem Punkt P$_1$ schneiden. Bezeichnet man die Spiegelpunkte von X$_1$, Y$_1$ und Z$_1$ an den jeweiligen Seitenmittelpunkten (D, E bzw. F) mit X$_2$, Y$_2$ und Z$_2$, so ergibt sich aus dem Satz von Ceva, dass sich auch die Geraden AX$_2$, BY$_2$ und CZ$_2$ (rot gezeichnet) in einem Punkt P$_2$ schneiden. Man bezeichnet die Punkte P$_1$ und P$_2$ als zueinander isotomisch konjugiert.

## Beispiele

* Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zu sich selbst isotomisch konjugiert.
* Der Nagel-Punkt und der Gergonne-Punkt sind zueinander isotomisch konjugiert.

## Eigenschaften

* Hat ein Punkt P$_1$ die trilinearen Koordinaten $x:y:z$, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P$_2$ die trilinearen Koordinaten ${\frac {1}{a^{2}x}}:{\frac {1}{b^{2}y}}:{\frac {1}{c^{2}z}}$. $a$, $b$ und $c$ stehen dabei für die Seitenlängen des gegebenen Dreiecks.
* Hat ein Punkt P$_1$ die baryzentrischen Koordinaten $x:y:z$, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P$_2$ die baryzentrischen Koordinaten ${\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}$ bzw. gleichwertig $yz:zx:xy$.