Periodogramm
# Periodogramm

Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion $P\left(\omega \right)$, welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz $\omega$ angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt. Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.
Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer, siehe auch Spektraldichteschätzung.

## Kontext und Konventionen

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals $f\left(t\right)$ zu diskreten Zeitpunkten $t_{n}=nT$ mit konstanter Abtastdauer $T$ gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf $N$ Abtastwerte, z. B. $f\left(t_{n}\right)$ mit $0\leq n<N$, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$.
Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer $NT$ lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion $w\left(t\right)$. Im einfachsten Fall ist $w\left(t\right)$ eine Rechteckfunktion der Breite $NT$.
Um Artefakte im Spektrum (aufgrund der Unstetigkeiten des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das Parzen-Fenster oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.
Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals $f\left(t\right)w\left(t\right)$ wird die Schreibweise $F^{\left(w\right)}\left(\omega _{m}\right)=\sum \limits _{n}f\left(t_{n}\right)w\left(t_{n}\right)e^{i\omega _{m}t_{n}}$ verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen $\omega _{m}=2\pi m/(NT)$ mit $0\leq m<N$ zulässig.

## Definition

Das Periodogramm ist definiert gemäß
    $P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}}.$
In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm $2\pi /T$-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) $0\leq \omega \leq 2\pi /T$ oder $-\pi /T\leq \omega \leq \pi /T$.
Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat $\left\langle A^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}$ (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von $P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)$ bestmöglich mit $\left\langle A^{2}\right\rangle$ übereinstimmt.
Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert $A$ hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale $f=Ae^{-i\omega t}$ erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist
    $P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\left(\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}}.$

## Beispiele
### Weißes Rauschen

Es sei $f\left(t\right)$ ein weißes Rauschen mit Varianz $\left\langle A^{2}\right\rangle$, $\left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta _{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle$. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann
    $\left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum \limits _{m,n}e^{i\omega \left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta _{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.$
Das Periodogramm hat den Mittelwert $\left\langle A^{2}\right\rangle$, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

### Konstantes Signal

Für den Frequenz-Mittelwert von $\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}$ lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist
    $\sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=\sum _{\omega }\sum \limits _{t,t'}e^{i\omega \left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum _{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).$
Für konstantes Signal $f\left(t\right)=A$ wird
    $\sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{t}w^{2}\left(t\right).$
Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von $N$) ebenfalls $\left\langle A^{2}\right\rangle$. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz $0$. Mit wachsendem $N$ wird dieser Peak höher und schmäler.

### Rechteck-Fenster

Im Fall eines Rechteck-Fensters $w=1$ gilt die Parseval-Gleichung $\sum _{\omega }\left|F\left(\omega \right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle$. Durch Division durch $N^{2}$ folgt der Mittelwert des Periodogramms $\sum _{\omega }P\left(\omega \right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle$. Dieser Wert ist von $N$ unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat $\left\langle A^{2}\right\rangle$ gilt.

## Einschränkungen und Verbesserungen

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge $N$, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude $A$ bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung $A^{4}$. Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.

## Kontinuierliches Signal

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal $f(t)$ ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion
    $F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.$
Das Periodogramm ist
    $P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{T\int _{-\infty }^{\infty }w^{2}\left(t\right)dt}}.$
Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge $T$ im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.