Pythagoreisches Quadrupel
# Pythagoreisches Quadrupel

Ein pythagoreisches Quadrupel ist ein Tupel von ganzen Zahlen $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$, so dass gilt:
    $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$.
Es handelt sich dabei um die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Lösungen betrachtet.

## Primitive pythagoreische Quadrupeln

Ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ heißt primitives pythagoreisches Quadrupel, wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der größte gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist (wenn also $\operatorname {ggT} (a,b,c,d)=1$ gilt). Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels.
Beispiel 1:
    Das Tupel $(a,b,c,d)=(2,3,6,7)$ ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil $\operatorname {ggT} (2,3,6,7)=1$ ist und $2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}\quad (=49)$ gilt.
Beispiel 2:
    Das Tupel $(a,b,c,d)=(5\cdot 2,5\cdot 3,5\cdot 6,5\cdot 7)=(10,15,30,35)$ ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel, weil $\operatorname {ggT} (10,15,30,35)=5\not =1$ ist, obwohl $10^{2}+15^{2}+30^{2}=35^{2}\quad (=1225)$ gilt.

## Beispiele

Es gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel, bei denen alle Werte kleiner als 30 sind:
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ |
| 1 | 2 | 2 | 3 | $1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$ |
| 2 | 3 | 6 | 7 | $2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$ |
| 1 | 4 | 8 | 9 | $1^{2}+4^{2}+8^{2}=9^{2}$ |
| 4 | 4 | 7 | 9 | $4^{2}+4^{2}+7^{2}=9^{2}$ |
| 2 | 6 | 9 | 11 | $2^{2}+6^{2}+9^{2}=11^{2}$ |
| 6 | 6 | 7 | 11 | $6^{2}+6^{2}+7^{2}=11^{2}$ |
| 3 | 4 | 12 | 13 | $3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$ |
| 2 | 5 | 14 | 15 | $2^{2}+5^{2}+14^{2}=15^{2}$ |
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ |
| 2 | 10 | 11 | 15 | $2^{2}+10^{2}+11^{2}=15^{2}$ |
| 1 | 12 | 12 | 17 | $1^{2}+12^{2}+12^{2}=17^{2}$ |
| 8 | 9 | 12 | 17 | $8^{2}+9^{2}+12^{2}=17^{2}$ |
| 1 | 6 | 18 | 19 | $1^{2}+6^{2}+18^{2}=19^{2}$ |
| 6 | 6 | 17 | 19 | $6^{2}+6^{2}+17^{2}=19^{2}$ |
| 6 | 10 | 15 | 19 | $6^{2}+10^{2}+15^{2}=19^{2}$ |
| 4 | 5 | 20 | 21 | $4^{2}+5^{2}+20^{2}=21^{2}$ |
| 4 | 8 | 19 | 21 | $4^{2}+8^{2}+19^{2}=21^{2}$ |
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ |
| 4 | 13 | 16 | 21 | $4^{2}+13^{2}+16^{2}=21^{2}$ |
| 8 | 11 | 16 | 21 | $8^{2}+11^{2}+16^{2}=21^{2}$ |
| 3 | 6 | 22 | 23 | $3^{2}+6^{2}+22^{2}=23^{2}$ |
| 3 | 14 | 18 | 23 | $3^{2}+14^{2}+18^{2}=23^{2}$ |
| 6 | 13 | 18 | 23 | $6^{2}+13^{2}+18^{2}=23^{2}$ |
| 9 | 12 | 20 | 25 | $9^{2}+12^{2}+20^{2}=25^{2}$ |
| 12 | 15 | 16 | 25 | $12^{2}+15^{2}+16^{2}=25^{2}$ |
| 2 | 7 | 26 | 27 | $2^{2}+7^{2}+26^{2}=27^{2}$ |
| $a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ |
| 2 | 10 | 25 | 27 | $2^{2}+10^{2}+25^{2}=27^{2}$ |
| 2 | 14 | 23 | 27 | $2^{2}+14^{2}+23^{2}=27^{2}$ |
| 7 | 14 | 22 | 27 | $7^{2}+14^{2}+22^{2}=27^{2}$ |
| 10 | 10 | 23 | 27 | $10^{2}+10^{2}+23^{2}=27^{2}$ |
| 3 | 16 | 24 | 29 | $3^{2}+16^{2}+24^{2}=29^{2}$ |
| 11 | 12 | 24 | 29 | $11^{2}+12^{2}+24^{2}=29^{2}$ |
| 12 | 16 | 21 | 29 | $12^{2}+16^{2}+21^{2}=29^{2}$ |
Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht-primitive pythagoreische Quadrupel bilden. Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel $(a,b,c,d)=(1,2,2,3)$ durch Multiplikation mit $2,3,4,\ldots$ die nicht-primitiven pythagoreischen Quadrupel $(a,b,c,d)=(2,4,4,6)$, $(a,b,c,d)=(3,6,6,9)$, $(a,b,c,d)=(4,8,8,12)$ etc. bilden.

## Geometrische Deutung

Ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen $|a|,|b|$ und $|c|$ (wobei mit $|a|$ der Betrag von $a$ gemeint ist). Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Länge $|d|$. Pythagoreische Quadrupel heißen deswegen auf Englisch auch Pythagorean boxes.

## Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln

* Das pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist $(1,2,2,3)$.
* Sei $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$ mit $a,b,c,d\in \mathbb {N}$. Dann gilt:
       Das Produkt $abcd$ ist immer durch $12$ teilbar.
    Eine größere Zahl, die dieses Produkt teilt, gibt es nicht, denn für das kleinste pythagoreische Quadrupel (also für $(a,b,c,d)=(1,2,2,3)$) gilt $1\cdot 2\cdot 2\cdot 3=12$. Somit kann es keine größere Zahl geben, die das Produkt teilt.

## Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln

* Methode 1:
       Seien $(m,n,p,q)$ positive ganze Zahlen. Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem $a$ wie folgt erzeugt werden:
          ${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}\end{aligned}}$
       Gelten zusätzlich die folgenden elf Bedingungen, dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem $a$ erzeugt werden.
          ${\begin{array}{lll}nq>mp,&&m^{2}+n^{2}>p^{2}+q^{2},\\m\geq 0,\;n\geq 1,\;p\geq 0,\;q\geq 1,&&m+p\geq 1,\\m+n+p+q\equiv 1{\pmod {2}},&&{\text{ das heißt, }}m+n+p+q{\text{ ist ungerade (also muss ein Wert oder müssen drei Werte gerade Zahlen sein)}}\\ggT(m^{2}+n^{2},p^{2}+q^{2},mq+np)=1,&&\\m=0\;\Longrightarrow \;q\leq p,&&p=0\;\Longrightarrow \;n\leq m\end{array}}$
    Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfüllen somit die diophantische Gleichung $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$, welche man auch Lebesguesche Identität nennt:
       $(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}$
    Beispiel 1:
       Sei $m:=1,n:=7,p:=2$ und $q:=5$. Dann sind alle zusätzlichen Bedingungen erfüllt und es ist $a=21,b=38,c=66$ und $d=79$ und tatsächlich ist $a^{2}+b^{2}+c^{2}=21^{2}+38^{2}+66^{2}=79^{2}=d^{2}\quad (=6241)$ ein primitives pythagoreisches Quadrupel.
    Beispiel 2:
       Sei $m:=2,n:=3,p:=5$ und $q:=9$. Dann ist die zusätzliche Bedingung $m^{2}+n^{2}=13{\stackrel {!}{>}}106=p^{2}+q^{2}$ zwar nicht erfüllt, es ist aber $a=-93,b=66,c=34$ und $d=119$ wegen $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(-93)^{2}+66^{2}+34^{2}=119^{2}=d^{2}\quad (=14161)$ trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel, allerdings mit $a=-93<0$.
    Beispiel 3:
       Sei $m:=1,n:=3,p:=1$ und $q:=2$. Dann ist $a=5,b=10,c=10$ und $d=15$ und tatsächlich ist $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5^{2}+10^{2}+10^{2}=15^{2}=d^{2}\quad (=225)$. Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv, weil $\operatorname {ggT} (a,b,c,d)=5\not =1$ und die Bedingung $\operatorname {ggT} (m^{2}+n^{2},p^{2}+q^{2},mq+np)=5\not =1$ ist.
* Methode 2:
       Alle pythagoreischen Quadrupel (inklusive der nicht-primitiven) können wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen $a$ und $b$ erzeugt werden:
       Sei die Parität von $a$ und $b$ verschieden (sei also entweder $a$ gerade und $b$ ungerade oder $a$ ungerade und $b$ gerade). Sei weiters $p$ ein Faktor von $a^{2}+b^{2}$ mit $p^{2}<a^{2}+b^{2}$. Dann gilt:
          $c={\frac {a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2p}}$ und $d={\frac {a^{2}+b^{2}+p^{2}}{2p}}$ mit $p=d-c$
    Beispiel:
       Sei $a:=2,b:=11$ und $p:=5$. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt und es ist $c=10$ und $d=15$ (und es ist $p=d-c$) und tatsächlich ist $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2^{2}+11^{2}+10^{2}=15^{2}=d^{2}\quad (=225)$.
* Methode 3:
       Seien $a=2l$ und $b=2m$ gerade Zahlen. Sei außerdem $n$ ein Teiler von $l^{2}+m^{2}$ mit $n^{2}<l^{2}+m^{2}$. Dann gilt:
          $c={\frac {l^{2}+m^{2}-n^{2}}{n}}$ und $d={\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{n}}$
       Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal, wenn $l$ und $m$ alle Paare natürlicher Zahlen durchlaufen und $n$ alle möglichen Werte für jedes Paar durchläuft.
    Beispiel:
       Sei $a:=14,b:=6$ und $n:=2$. Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt, $l=7$, $m=3$ und es ist $c=27$ und $d=31$ und tatsächlich ist $a^{2}+b^{2}+c^{2}=14^{2}+6^{2}+27^{2}=31^{2}=d^{2}\quad (=961)$.
* Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel, bei dem mehr als eine der Zahlen $a$, $b$, $c$ ungerade ist.
* Methode 4:
       Sei $n$ eine positive ganze Zahl. Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden:
          ${\begin{aligned}a&=n,\\b&=n+1,\\c&=ab,\\d&=c+1\end{aligned}}$
    Beispiel:
       Sei $n=a=3$, $b=4$ und $c=12$. dann ist $d=13$, und tatsächlich ist $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}=d^{2}\quad (=169)$.
* Methode 5:
       Seien $x,y,z$ drei positive ganze Zahlen. Dann lässt sich ein pythagoreisches Quadrupel $(a,b,c,d)$ wie folgt erzeugen:
          ${\begin{aligned}a&=x^{2}-y^{2}-z^{2},\\b&=2xy,\\c&=2xz,\\d&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{aligned}}$
    Beispiel:
       Sei $x=2$, $y=1$ und $z=1$.
So ist $a=2$, $b=4$, $c=4$ und $d=6$ tatsächlich ein pythagoreisches Quadrupel, denn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2^{2}+4^{2}+4^{2}=6^{2}=d^{2}\quad (=36)$. Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven $(1,2,2,3)$ Quadrupels.