Chi-Verteilung
# Chi-Verteilung

Die Chi-Verteilung bzw. $\chi$-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade $\nu$. Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.

## Definition

Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
    $f_{\nu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{(\nu /2)-1}\Gamma (\nu /2)}}x^{\nu -1}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}&{\text{für}}\ x>0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$
heißt chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter $\nu$. Dabei bezeichnet $\Gamma$ die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden.
Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter $\nu \in \mathbb {N}$ definiert.

## Eigenschaften

* Wenn $C_{\nu }$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist ${\sqrt {C_{\nu }}}$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
* Wenn $X_{\nu }$ Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden ist, dann ist $X_{\nu }^{2}$ Chi-quadrat-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden.
* $X_{\nu }$ sei Chi-verteilt mit $\nu$ Freiheitsgraden, dann gilt $P(X_{\nu }>0)=1$, der Erwartungswert ist
       $\mathbb {E} [X_{\nu }]={\sqrt {2}}{\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}$
    und die Varianz ist
       $\mathbb {Var} [X_{\nu }]=\nu -2\left({\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\;.$
* Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist $|Z|$ Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

## Beispiele

* Die Chi-Verteilung mit $\nu =1$ Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).
* Die Chi-Verteilung mit $\nu =2$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
* Die Chi-Verteilung mit $\nu =3$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
* Wenn $Z$ standardnormalverteilt ist, dann ist die auf $[0,\infty )$ gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.