Gyromagnetisches Verhältnis
# Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis) $\gamma$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\vec {X}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\vec {\mu }}_{X}$
    ${\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}$.
Daher folgt: $\gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}$. Die SI-Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s$^{−1}$·T$^{−1}$.
Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors $g$ und seines Magnetons $\mu$, bezogen auf die reduzierte Planck-Konstante $\hbar$:
    $\gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}$
mit
* $\mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar$ dem Magneton des Teilchens
* $q$: elektrische Ladung
* $m$: Teilchenmasse.
Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von $\gamma$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

## γ$_ℓ$ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie im Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, gilt für das magnetische Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons:
    ${\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}$.
Mit
* $-e$ der Ladung des Elektrons
* $m_{e}$ seiner Masse.
Daher folgt:
    $\gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}$.
Mit
* $\mu _{\mathrm {B} }$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also $g_{\ell }=1.$

## γ$_S$ für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\vec {S}}$, so gilt:
    ${\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}$, beziehungsweise $\gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}$
Der Wert dieser Naturkonstante ist für jede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie
* für das freie Proton:
    $\gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$
* für das Elektron:
    $\gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,$
dabei geben die eingeklammerten Ziffern jeweils die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.
Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert $|e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,$), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die Substruktur des Neutrons.
Die elektronischen g-Faktoren der ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt und Nickel liegen nahe bei 2 (mit Abweichungen von nur etwa 10 %), d. h., dass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus ist mit nur einem geringen Bahnanteil.

## Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne kann dieses Verhältnis gemessen und angegeben werden. In der folgenden Tabelle sind einige Werte angegeben.
| Kern | $\gamma _{n}$ in 10$^7$ rad·s$^{−1}$·T$^{−1}$ | $\gamma _{n}/2\pi$ in MHz·T$^{−1}$ |
| $^1$H | +26,752 | +42,577 |
| $^2$H | 0+4,1065 | 0+6,536 |
| $^3$He | −20,3789 | −32,434 |
| $^7$Li | +10,3962 | +16,546 |
| $^{13}$C | 0+6,7262 | +10,705 |
| $^{14}$N | 0+1,9331 | 0+3,077 |
| $^{15}$N | 0−2,7116 | 0−4,316 |
| $^{17}$O | 0−3,6264 | 0−5,772 |
| $^{19}$F | +25,1662 | +40,053 |
| $^{23}$Na | 0+7,0761 | +11,262 |
| $^{31}$P | +10,8291 | +17,235 |
| $^{129}$Xe | 0−7,3997 | −11,777 |