Normales Element
# Normales Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra normal, wenn es mit seinem Adjungierten kommutiert.

## Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ normal, falls es mit $a^{*}$ kommutiert, also die Gleichung $aa^{*}=a^{*}a$ erfüllt.
Die Menge der normalen Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{N}$ oder $N({\mathcal {A}})$ bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

## Beispiele

* Jedes selbstadjungierte Element einer *-Algebra ist normal.
* Jedes unitäre Element einer *-Algebra ist normal.
* Ist ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element, so erhält man aus dem stetigen Funktionalkalkül für stetige Funktionen $f$ auf dem Spektrum weitere normale Elemente $f(a)$.

## Kriterien

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:
* Ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ ist genau dann normal, wenn die von $a$ erzeugte *-Unteralgebra, d. h. die kleinste *-Unteralgebra, die $a$ enthält, kommutativ ist.
* Jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ lässt sich eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegen, das heißt es existieren selbstadjungierte Elemente $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$, sodass $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$, wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Genau dann ist $a$ normal, wenn $a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}$ gilt, das heißt, wenn Real- und Imaginärteil kommutieren.

## Eigenschaften
### In *-Algebren

Sei $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer *-Algebra ${\mathcal {A}}$. Dann gilt:
* Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls normal, da $a=(a^{*})^{*}$ für die Involution * gilt.

### In C*-Algebren

Sei $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$. Dann gilt:
* Es ist $\left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}$, da für normale Elemente mit der C*-Eigenschaft $\left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}$ gilt.
* Jedes normale Element ist ein normaloides Element, das heißt, der Spektralradius $r(a)$ ist gerade die Norm von $a$, also $r(a)=\left\|a\right\|$. Dies folgt aus der Spektralradiusformel durch wiederholtes Anwenden der vorherigen Eigenschaft.
* Es lässt sich ein stetiger Funktionalkalkül entwickeln, der es – vereinfacht gesagt – ermöglicht, $a$ in stetige Funktionen auf dem Spektrum von $a$ einzusetzen.