Bruhat-Tits-Gebäude
# Bruhat-Tits-Gebäude

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

## Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K)

Sei $K$ ein Körper und $v$ eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{v}$ ist definiert durch ${\mathcal {O}}_{v}=\left\{x\in K\colon v(x)\geq 0\right\}$.
Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe $G=SL(n,K)$ ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.
Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in $K^{n}$. (Ein Gitter ist ein ${\mathcal {O}}_{v}$-Modul vom Rang $n$, zwei Gitter $\Lambda ,\Lambda ^{\prime }$ gehören zur selben Homothetieklasse wenn $\Lambda ^{\prime }=\alpha \Lambda$ für ein $\alpha \in K$.)
Simplizes: $m+1$ Ecken $s_{0},\ldots ,s_{m}$ bilden genau dann einen $m$-dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter $\Lambda _{0},\ldots ,\Lambda _{m}$ mit
    $\omega \Lambda _{m}\subset \Lambda _{0}\subset \Lambda _{1}\subset \ldots \subset \Lambda _{m}$
mit einem irreduziblen Element $\omega \in {\mathcal {O}}_{v}$ repräsentiert werden.
Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von $SL(2,K)$ ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz $char(k)+1$ haben, wobei $k$ der zu $K$ assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.
Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe $G$ über einem lokalen Körper $K$ definiert werden.

## Eigenschaften

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.
Die Gruppe $G$ wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.
Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.