Legendre-Konstante
# Legendre-Konstante

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl $n$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.
Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:
    $\lim _{n\to \infty }{\biggl\!\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,$
dabei ist $\ln(n)$ der natürliche Logarithmus von $n$, $\pi (n)$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als $n$ sind, und $B$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst $n$=400.000, später $n$=1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.
Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849, dass dieser Grenzwert $B$ den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.
Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,
    $\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty$
(für eine positive Konstante $a$, wo $O(\dotso )$ das Landau-Symbol ist), dass $B$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles de La Vallée Poussin (ohne Restabschätzung) bewiesen.

## Literatur und Quellen

* ↑ Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
* ↑ Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.
* ↑ János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical MonthlyThe American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
* ↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
* ↑ Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)
* ↑ « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361

## Weblink

* Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).