Wesentliche Erweiterung
# Wesentliche Erweiterung

Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren.

## Definition

Sei R ein kommutativer Ring mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement und seien M und N zwei R-Moduln mit
    $M\subseteq N.$
Dann heißt N wesentliche Erweiterung von M, wenn für jeden R-Untermodul U von N mit $U\neq 0$ gilt:
    $U\cap M\neq 0.$

## Bemerkungen

Sind M und N zwei R-Moduln mit $M\subseteq N\,$. Dann gibt es einen Untermodul E von N, der maximale wesentliche Erweiterung von M in N ist. Ist N ein injektiver Modul, so ist auch E injektiv.
Wesentliche Erweiterungen graduierter Moduln über graduierten Ringen werden analog definiert.