Kohomologie mit Koeffizienten
# Kohomologie mit Koeffizienten

In der Mathematik ist Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Kohomologietheorien.

## Definition

Sei
    $0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots$
ein Kettenkomplex und $G$ eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in $G$ bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes
    $0\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{0},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{1},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{2},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{3},G)\rightarrow \ldots$.
Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.
Für einen topologischen Raum $X$ bezeichnet man mit $H^{*}(X,G)$ die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die singuläre Kohomologie.
Für einen Simplizialkomplex $S$ bezeichnet man mit $H^{*}(S,G)$ die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die simpliziale Kohomologie.

## Beispiel

Sei $K$ der Kettenkomplex
    $0\to \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \to 0$,
wobei die mittlere Abbildung $f(x)=2x$ und alle anderen Abbildungen konstant $0$ seien. Die Homologiegruppen sind
    $H_{0}(K)=\mathbb {Z} ,H_{1}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H_{2}(K)=0,H_{3}(K)=\mathbb {Z}$.
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $\mathbb {Z}$ sind
    $H^{0}(K)=\mathbb {Z} ,H^{1}(K)=0,H^{2}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K)=\mathbb {Z}$.
Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ sind
    $H^{0}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{1}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{2}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

## Berechnung

Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem
    $0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),G)\to H^{n}(X;G)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),G)\to 0$
eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.