H-Kobordismus
# H-Kobordismus

In der Mathematik ist der h-Kobordismus ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten.

## Definition

Ein $(n+1)$-dimensionaler Kobordismus $W$ zwischen $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ heißt h-Kobordismus, wenn die Inklusionen $M\to W$ und $N\to W$ Homotopieäquivalenzen sind.
Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch die a priori schwächere Bedingung $H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0$ für die relativen Homologiegruppen.

## Wichtige Sätze

In Dimensionen $n\geq 5$ ist nach dem h-Kobordismus-Satz (Stephen Smale) jeder h-Kobordismus zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten trivial, also ein Produkt $W\simeq M\times \left[0,1\right]$. (Dies gilt sowohl in der differenzierbaren wie in der stückweise linearen oder in der topologischen Kategorie.)
Wenn die Mannigfaltigkeiten nicht einfach zusammenhängend sind, dann werden nach dem s-Kobordismus-Satz (Barry Mazur, John Stallings, Dennis Barden) die h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe $Wh(\pi _{1}M)$ der Fundamentalgruppe klassifiziert.
In der topologischen Kategorie gilt der h-Kobordismus-Satz auch in Dimension 4, nicht jedoch in der differenzierbaren Kategorie. Dies hängt mit dem Scheitern des Whitney-Tricks in differenzierbaren 4-Mannigfaltigkeiten zusammen.