Final-σ-Algebra
# Final-σ-Algebra

Die Final-σ-Algebra, auch Bild-σ-Algebra genannt, ist ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra, in der Maßtheorie. Die zu einer vorgegebenen Familie von Funktionen gebildete Final-σ-Algebra ist das größte Mengensystem auf der gemeinsamen Zielmenge dieser Funktionen, bezüglich der diese sämtlich messbar sind. Somit bildet das Konzept der Final-σ-Algebra das Pendant zum Konzept der Initial-σ-Algebra, welche die kleinste σ-Algebra auf der Definitionsmenge darstellt, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie messbar sind. Ein analoges Konzept findet sich in der Topologie; hier sind die Initialtopologie bzw. die Finaltopologie die gröbste bzw. feinste Topologie auf der Definitionsmenge bzw. Zielmenge, bezüglich der alle Funktionen der vorgegebenen Funktionenfamilie stetig ist.

## Definition

Für eine beliebige Indexmenge seien Messräume $(X_{i},{\mathcal {A}}_{i})$ gegeben sowie Abbildungen $f_{i}\colon X_{i}\to X$ für eine beliebige Menge $X$. Dann heißt die σ-Algebra
    ${\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I):=\bigcap _{i\in I}\{A\subset X\,|\,f_{i}^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{i}\}$
die Final-σ-Algebra der Abbildungen $f_{i}$ auf $X$.

## Eigenschaften

* Ist ein weiterer Messraum $(Y,{\mathcal {A}}^{*})$ gegeben und eine Funktion $g\colon X\to Y$, so ist $g$ genau dann ${\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I)$ - ${\mathcal {A}}^{*}$-messbar, wenn die Kompositionen $g\circ f_{i}$ alle ${\mathcal {A}}_{i}$ - ${\mathcal {A}}^{*}$-messbar sind.