Π-System
# Π-System

Ein $\pi$-System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

## Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )$, also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge $\Omega$. ${\mathcal {S}}$ heißt ein $\pi$-System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen $A,B$ aus dem Mengensystem ${\mathcal {S}}$ gilt, dass $A\cap B\in {\mathcal {S}}$ ist.

## Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge $\Omega$ sei das Mengensystem
    ${\mathcal {S}}:=\{A\subset \Omega \mid |A|<\infty \}$
aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige $A,B\in {\mathcal {S}}$ ist nun $|A\cap B|\leq \min(|A|,|B|)$, der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch $A\cap B\in {\mathcal {S}}$, es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

## Eigenschaften

* Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
* Ist das Mengensystem ${\mathcal {S}}$ stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus $A\cap B=A\setminus (A\setminus B)\in {\mathcal {S}}$.

## Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.
Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist ${\mathcal {S}}$ ein $\pi$-System, dann stimmen die von ${\mathcal {S}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also
    $\sigma ({\mathcal {S}})=\delta ({\mathcal {S}})$.