Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel
# Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

Die Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel $H(\mathbb {Q} )$ besteht aus den Punkten $(x,y)$ mit rationalen Koordinaten, für die $x^{2}-y^{2}=1$ gilt. Die Gruppe $H(\mathbb {Q} )$ besteht aus der Vereinigung beider Hyperbeläste, jeweils für $x<0$ und $x>0$.

## Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt $(1,0)$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist $(x,y)+(t,u)=(xt+yu,xu+yt)$.
Geometrisch ist dies die Hyperbelwinkeladdition: wenn $x=\cosh(\alpha )$ und $y=\sinh(\alpha )$ ist, sowie $t=\cosh(\beta )$ und $u=\sinh(\beta )$, dann ist deren Summe $(xt+yu,xu+yt)$ der rationale Punkt auf der Einheitshyperbel mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Hyperbelwinkeln. Es gilt nämlich $xt+yu=\cosh(\alpha +\beta )$ und $xu+yt=\sinh(\alpha +\beta )$. Man beachte, dass die "Winkel" jeweils nur als Parameter zu betrachten sind und nicht den tatsächlichen Winkeln der Punkte auf der Hyperbel entsprechen.

## Gruppenstruktur

Die Gruppe $H(\mathbb {Q} )$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $H(\mathbb {Q} )$:
    $H(\mathbb {Q} )\cong H'\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} }H_{p}\right),$
wobei die Untergruppe $H'=\left\{\pm (1,0)\right\}$ aus zwei Elementen besteht und die Untergruppen $H_{p}$ die unendlichen zyklischen Gruppen sind, die jeweils von dem Punkt der Form $\left({\tfrac {p^{2}+1}{2p}},{\tfrac {p^{2}-1}{2p}}\right)$ erzeugt werden.