Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
# Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

## Definition

Die quadratische Form
    $t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\sim T(p,n-1)$
folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit
* $n$ einer Anzahl von Punkten
* ${\mathbf {x} }$ ist ein Spaltenvektor mit $p$ Elementen
* ${\mathbf {W} }$ ist eine $p\times p$-Kovarianzmatrix

## Eigenschaften

Es sei $x\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\mathbf {W} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ (unabhängig von $x$) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix $\mathbf {V}$ und mit $m=n-1$. Dann ist die Verteilung von $t^{2}$: $T^{2}(p,m)$, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern $p$ und $m$.
Für die F-Verteilung $F$ gilt:
    ${\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}$.
Unter der Annahme, dass
    ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}$
$p\times 1$-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.
    ${\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n$
sei der Mittelwert. Die positiv definite $p\times p$-Matrix
    ${\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)$
sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix $M$ sei mit $M'$ bezeichnet). $\mu$ sei ein $p\times 1$-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
    $t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).$
$t^{2}$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.
Wenn ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ unabhängig sind und ${\overline {\mathbf {x} }}$ und ${\mathbf {W} }$ wie oben definiert sind, dann hat ${\mathbf {W} }$ eine Wishart-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden, so dass
    $\mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)$
und ist unabhängig von ${\overline {\mathbf {x} }}$ und
    ${\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu ,V/n)$.
Daraus folgt
    $t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).$