Siegelscher Halbraum
# Siegelscher Halbraum

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie bezeichnet der siegelsche Halbraum oder die siegelsche Halbebene eine Verallgemeinerung der Halbebene. Dieser Raum ist benannt nach dem Mathematiker Carl Ludwig Siegel, der dieses Objekt systematisch untersuchte.

## Definition

Der siegelsche (obere) Halbraum ${\mathcal {H}}^{g}$ von Grad $g\in \mathbb {N}$ ist definiert als die Menge der komplexen symmetrischen $(g\times g)$-Matrizen, deren Imaginärteil positiv definit ist.

## Wirkung der symplektischen Gruppe

Die symplektische Gruppe $Sp(2g,\mathbb {R} )$ wirkt auf dem siegelschen Halbraum durch
    $\left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)Z=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}$.
Diese Wirkung ist transitiv, ihre Stabilisatoren sind konjugiert zur orthogonalen Gruppe $SO(2g)$.
Man kann den siegelschen Halbraum mit einer riemannschen Metrik versehen, durch die er ein symmetrischer Raum wird isometrisch zu $Sp(2g,\mathbb {R} )/SO(2g)$.