Sellmeier-Gleichung
# Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex $n$ eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte. Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

## Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7 :
| Koeffizient | Wert |
| B$_1$ | 1,03961212 |
| B$_2$ | 0,231792344 |
| B$_3$ | 1,01046945 |
| C$_1$ | 6,00069867·10$^{−3}$ μm$^2$ |
| C$_2$ | 2,00179144·10$^{−2}$ μm$^2$ |
| C$_3$ | 103,560653 μm$^2$ |
Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:
    $n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}$
mit B$_{1,2,3}$ und C$_{1,2,3}$ als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B$_{1,2,3}$ sind dimensionslos und die C$_{1,2,3}$ werden gewöhnlich in μm² angegeben.
Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als $\pm 5\cdot 10^{-6}$.
Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:
    $n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}$
Setzt man $C_{i}=\lambda _{i}^{2}$, so lassen sich die $\lambda _{i}$ als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.