Quaternionische Darstellung
# Quaternionische Darstellung

In der Mathematik sind quaternionische Darstellungen ein Konzept der Darstellungstheorie, das unter anderem in der Spingeometrie Anwendung findet.

## Definition

Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung $V$ einer Gruppe $G,$ die einen $G$-invarianten Homomorphismus $J\colon V\to V$ besitzt, der antilinear ist und $J^{2}=-{\text{Id}}$ erfüllt. Der komplexe Vektorraum hat also eine durch die komplexe Zahl $i$ sowie $j:=J$ und $k=ij$ definierte Struktur eines quaternionischen Vektorraums. Eine quaternionische Darstellung definiert also einen Gruppenhomomorphismus $\rho \colon G\to GL(V,\mathbb {H} )$.

## Beispiel

Drehungen des 3-dimensionalen Raumes können durch Quaternionen beschrieben werden. Das definiert eine quaternionische Darstellung
    $\rho \colon Spin(3)\to GL(1,\mathbb {H} )$
der Spingruppe $Spin(3)$.
Allgemein sind die Spinor-Darstellungen der Spingruppe $Spin(d)$ quaternionische Darstellungen für $d=8k+3,d=8k+4$ und $d=8k+5$ mit $k\in \mathbb {N}$.

## Charakterisierung quaternionischer Darstellungen

Eine schiefsymmetrische nicht-ausgeartete $G$-invariante Bilinearform definiert eine quaternionische Struktur auf $V.$
Umgekehrt gibt es zu jeder quaternionischen Darstellung eine $G$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform auf $V$. Für irreduzible Darstellungen ist diese Bilinearform eindeutig bis auf Skalierung.
Eine irreduzible Darstellung $V$ ist genau eine der folgenden:
* komplex: der Charakter$\chi _{V}$ ist nicht reellwertig und $V$ hat keine $G$-invariante nicht-ausgeartete Bilinearform
* reell: $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,$ eine reelle Darstellung; $V$ hat eine $G$-invariante symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform
* quaternionisch: der Charakter $\chi _{V}$ ist reell, aber $V$ ist keine reelle Darstellung; $V$ hat eine $G$-invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform.