Quadratische Optimierung
# Quadratische Optimierung

Die quadratische Optimierung oder quadratische Programmierung und der damit eng verbundene Begriff des quadratischen Programms mit quadratischen Restriktionen ist ein spezielles Problem in der mathematischen Optimierung, das sich durch die Einfachheit der auftretenden Funktionen auszeichnet. Quadratische Programme treten zum Beispiel bei der Minimierung von Abstandsfunktionen auf oder als Unterprobleme von komplexeren Optimierungsproblemen.

## Definition

Es seien $E;G\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ reelle $m\times n$-Matrizen, $Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix, $c;x\in \mathbb {R} ^{n}$ sowie $f;h\in \mathbb {R} ^{m}$ reelle Vektoren und schließlich $d\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl.
Ein Optimierungsproblem der Form
    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&s(x)={\tfrac {1}{2}}x^{T}Qx+c^{T}x+d\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&Ex\leq f\\&Gx=h\end{aligned}}$
heißt ein quadratisches Optimierungsproblem oder ein quadratisches Programm (englisch quadratic program, kurz QP).
Ist das Problem von der Form
    ${\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&s(x)={\tfrac {1}{2}}x^{T}Qx+c^{T}x+d&\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&{\tfrac {1}{2}}x^{T}P_{i}x+r_{i}^{T}x+f_{i}\leq 0&i=1,\dots ,m\\&Gx=h&\end{aligned}}$
für symmetrische Matrizen $(P_{i})_{1\leq i\leq m}$ und Serien von Vektoren $(r_{i})_{i};(f_{i})_{i}$, so heißt es ein quadratisches Programm mit quadratischen Nebenbedingungen (englisch quadratically constrained quadratic program, kurz QCQP).