Immanente
# Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.
Sei $\lambda =\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \right)$ eine Partition von $n$ und $\chi _{\lambda }$ der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe ${\mathfrak {S}}_{n}$. Die Immanente mit dem Charakter $\chi _{\lambda }$ einer $n\times n$-Matrix $A=\left(a_{ij}\right)_{ij}$ wird definiert als
    $\operatorname {Imm} _{\chi }(A):=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\chi (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}$
Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.
Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit $\chi _{\lambda }=\operatorname {sgn}$, dem alternierenden Charakter.
Beispielsweise gibt es für $3\times 3$-Matrizen drei irreduzible Darstellungen von ${\mathfrak {S}}_{3}$, wie folgende Tabelle zeigt.
| ${\mathfrak {S}}_{3}$ | $e$ | $(1\,2)$ | $(1\,2\,3)$ |
| $\chi _{1}$ | 1 | 1 | 1 |
| $\chi _{2}$ | 1 | −1 | 1 |
| $\chi _{3}$ | 2 | 0 | −1 |
Wie oben erwähnt ergeben $\chi _{1}$ und $\chi _{2}$ die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit $\chi _{3}$ die Abbildung
    $\operatorname {Imm} _{\chi _{3}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\quad =\quad 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$
Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

## Belege

* Dudley Littlewood, Archibald Richardson: Group characters and algebras. In: Philosophical Transactions of the Royal Society A. 233. Jahrgang, Nr. 721–730, 1934, S. 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 (englisch).
* Dudley Littlewood: The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups. 2. Auflage. Oxford Univ. Press (Nachdruck bei AMS, 2006), 1950, S. 81 (englisch).