R0-Raum
# R0-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R$_0$-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein R$_0$ zu sein, wird zu den sogenannten Trennungsaxiomen gezählt.

## Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.
X heißt R$_0$-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R$_0$-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.

## Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
* X ist ein R$_0$-Raum.
* Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
* Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
* Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein T$_1$-Raum.
In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation
    getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar
Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R$_0$-Raum.
Ist X ein R$_0$-Raum, so gilt dies auch für jeden Teilraum.
Ist (X$_i$) eine Familie von R$_0$-Räumen, so ist auch deren Produktraum ein R$_0$-Raum und umgekehrt.

## Beispiele

* $\mathbb {Z}$ sei die Menge der ganzen Zahlen. Für $x\in \mathbb {Z}$ sei $G_{x}$ definiert durch $G_{x}=X\setminus \{x,x+1\}$ für gerades $x$ und $G_{x}=X\setminus \{x-1,x\}$ für ungerades $x$. Durchläuft $A$ die endlichen Teilmengen von $\mathbb {Z}$, so bilden die Mengen $U_{A}=\cap _{x\in A}G_{x}$ eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R$_0$-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades $x$ sind $x$ und $x+1$ topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T$_1$-Raum ist.
* Ist $(X,d)$ ein pseudometrischer Raum, so ist dieser in Bezug auf die von der Metrik $d$ induzierte Topologie ein R$_0$-Raum. Für die von einem Punkt $x\in X$ topologisch nicht unterscheidbaren Punkte $y\in X$ gilt gerade $d(x,y)=0$.
| getrennt | Kolmogoroff (T$_0$) | symmetrisch (R$_0$) | Fréchet (T$_1$) | präregulär (R$_1$) | Hausdorff (T$_2$) | nüchtern | Urysohn (T$_{2½}$) | vollständig Hausdorff (vollständig T$_2$) | regulär | regulär Hausdorff | vollständig regulär | Tychonoff-Raum (T$_{3½}$) | normal (T$_4$) | vollständig normal | vollständig normal Hausdorff (T$_5$) | perfekt normal | perfekt normal Hausdorff (perfekt T$_4$) |
| zusammenhängend | lokal zusammenhängend | semilokal einfach zusammenhängend | total unzusammenhängend |
| kompakt | relativ kompakt | abzählbar kompakt | lokalkompakt | σ-kompakt | metakompakt | parakompakt | hemikompakt | orthokompakt |