Dihedrale Primzahl
# Dihedrale Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine dihedrale Primzahl (vom englischen dihedral prime, auch dihedral calculator prime) eine Primzahl $p$ mit der folgenden Eigenschaft: wenn man sie wie bei einem Taschenrechner in einem 7-Segment-Display betrachtet, müssen die folgenden vier Zahlen:
* $p$
* $p$ um 180° gedreht
* $p$ horizontal gespiegelt
* $p$ horizontal gespiegelt und danach um 180° gedreht
alles Primzahlen sein.
Wie schon bei den strobogrammatischen Zahlen sind dihedrale Primzahlen von ihrer Basis $b$ abhängig. Üblicherweise wird die Basis $b=10$ betrachtet, also das Dezimalsystem.

## Spiegelung und Drehung der Ziffern

Auf 7-Segment-Displays kann man die Ziffern 0 bis 9 und die im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F darstellen (in der Form AbCdEF, die beiden Ziffern b und d allerdings nur in Kleinbuchstaben).
Die einzigen Ziffern, die für eine dihedrale Primzahl in Frage kommen, sind im Dezimalsystem die Ziffern 0, 1, 2, 5 und 8. Im Hexadezimalsystem kommen noch die Ziffern 3 und E dazu.
Es folgt eine Aufzählung der Eigenschaften der Ziffern 0 bis 9 und der im Hexadezimalsystem üblichen weiteren Ziffern A bis F.
* Die Ziffern 0, 1 und 8 bleiben nach Drehung und Spiegelung gleich. Die 1 wird zwar nach der einer Drehung bzw. einer Spiegelung vom rechten zum linken Rand des 7-Segment-Displays verschoben, letztendlich bleibt es aber noch immer eine 1.
* Die Ziffern 2 und 5 bleiben nach der Drehung gleich, bei der Spiegelung geht die 2 in die 5 über und umgekehrt geht die 5 in die 2 über.
* Die Ziffer 3 wird sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zum E. Umgekehrt wird aus E sowohl nach der Spiegelung als auch nach der Drehung zur 3 und ist für dihedrale Primzahlen im Hexadezimalsystem geeignet.
* Aus der Ziffer 6 wird nach der Drehung eine 9 und umgekehrt wird aus der 9 nach der Drehung eine 6. Allerdings ergeben diese beiden Ziffern nach der Spiegelung keine gültigen Ziffern, somit sind diese beiden Ziffern für dihedrale Primzahlen ungeeignet.
* Die im Hexadezimalsystem verwendete Ziffer A bleibt nach der Spiegelung gleich, gedreht ergibt sie aber keine gültige Ziffer, was sie für dihedrale Primzahlen ungeeignet macht.
* Aus der Hexadezimalziffer b wird nach der Spiegelung ein d und umgekehrt wird aus d nach der Spiegelung ein b. Allerdings ergeben auch diese beiden Ziffern nach der Drehung keine gültigen Ziffern und sind somit ungeeignet.
* Die Ziffern 4, 7, C und F ergeben weder bei der Drehung noch bei der Spiegelung gültige Ziffern und sind somit ungeeignet.

## Beispiele

* Die kleinsten dihedralen Primzahlen sind die folgenden:
       2, 5, 11, 101, 181, 1181, 1811, 18181, 108881, 110881, 118081, 120121, 121021, 121151, 150151, 151051, 151121, 180181, 180811, 181081, … (Folge A134996 in OEIS)
* Die kleinste dihedrale Primzahl, die bei jeder Drehung bzw. Spiegelung eine andere Primzahl ergibt, ist die Zahl $p=120121$, welche um 180° gedreht die Primzahl $121021$, gespiegelt die Primzahl $151051$ und gespiegelt und um 180° gedreht die Primzahl $150151$ ergibt.
* Die kleinste dihedrale Primzahl mit allen gültigen Ziffern ist $p=108225151$. Es gibt noch 2958 weitere solche Zahlen bis $10^{12}$. Die größte dihedrale Primzahl bis $10^{12}$ mit allen gültigen Ziffern ist $p=188885250551$.
* Die größte bekannte dihedrale Primzahl ist die folgende (Stand: 5. Februar 2020):
       $p=10^{180054}+8\cdot {\frac {10^{58567}-1}{9}}\cdot 10^{60744}+1=1\;\overbrace {00\dotso 0} ^{60743{\text{ Nullen}}}\;\overbrace {88\dotso 8} ^{58567{\text{ Achter}}}\;\overbrace {00\dotso 0} ^{60743{\text{ Nullen}}}\;1$
    Sie wurde im Jahr 2009 von Darren Bedwell entdeckt und hat 180.055 Stellen.

## Wissenswertes

* Strobogrammatische Primzahlen, in welchen keine 6 und keine 9 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.
* Primzahlen, die Repunits sind, sind dihedrale Primzahlen.
* Primzahlpalindrome, in denen nur die Ziffern 0, 1 und 8 vorkommen, sind dihedrale Primzahlen.

## Dihedrale Primzahlen in anderen Zahlensystemen

* Im Dualsystem, also im Zahlensystem mit Basis $b=2$, sind alle Primzahlpalindrome dihedrale Primzahlen.
       (Dies folgt aus dem vorher angeführten Satz, dass Primzahlpalindrome, in denen nur die Ziffern 0, 1 und 8 vorkommen, dihedrale Primzahlen sind. Da im Binärsystem nur Nullen und Einsen vorkommen, wird diese Bedingung erfüllt.)
* Im Hexadezimalsystem, also im Zahlensystem mit Basis $b=16$, gibt es keine dihedralen Primzahlen, die mit 3 beginnen.
       Beweis:
          Angenommen, es gibt eine dihedrale Primzahl $n$ im Hexadezimalsystem, welche mit 3 beginnt. Dann endet die horizontal gespiegelte Zahl mit E. Da aber im Hexadezimalsystem neben 0, 2, 4, 6 und 8 auch A, C und E gerade Zahlen sind, würde die horizontal gespiegelte Zahl, welche mit E endet, eine gerade Zahl und somit keine Primzahl sein. Somit kann $n$ keine dihedrale Primzahl sein. Die Annahme muss fallengelassen werden, es gibt keine dihedrale Primzahl im Hexadezimalsystem, welche mit 3 beginnt. $\Box$