Killing-Form
# Killing-Form

Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.

## Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper $k$ und $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ihre adjungierte Darstellung.
Die Killing-Form ist die durch
    $B(X,Y):=\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} (X)\circ \operatorname {ad} (Y))$
für $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ definierte symmetrische Bilinearform
    $B:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow k$,
wobei $\operatorname {Tr}$ die Spur bezeichnet.

## Eigenschaften

* $B$ ist eine symmetrische Bilinearform.
* $B$ ist assoziativ, das heißt, es gilt $B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])$ für alle $X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}$.
* Für alle $Z\in {\mathfrak {g}}$ ist $\operatorname {ad} (Z)$ schiefsymmetrisch bzgl. $B$, das heißt für alle $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ gilt
    $B(\operatorname {ad} (Z)X,Y)=-B(X,\operatorname {ad} (Z)Y)$.
* Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ halb-einfach ist.
* Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ ist, dann ist $B$ $\operatorname {Ad}$-invariant, d. h. für alle $g\in G,X,Y\in {\mathfrak {g}}$ gilt
    $B(\operatorname {Ad} (g)X,\operatorname {Ad} (g)Y)=B(X,Y)$.
* Falls ${\mathfrak {g}}$ die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn $G$ kompakt ist. Insbesondere definiert $-B$ eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe $G$. Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.

## Beispiele

Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.
Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:
| g | $B(X,Y)$ |
| gl(n, R) | $2n\operatorname {Tr} (XY)-2\operatorname {Tr} (X)\operatorname {Tr} (Y)$ |
| sl(n, R) | $2n\operatorname {Tr} (XY)$ |
| su(n) | $2n\operatorname {Tr} (XY)$ |
| so(n, R) | $(n-2)\operatorname {Tr} (XY)$ |
| so(n) | $(n-2)\operatorname {Tr} (XY)$ |
| sp(n, R) | $(2n+2)\operatorname {Tr} (XY)$ |
| sp(n, C) | $(2n+2)\operatorname {Tr} (XY)$ |

## Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ

Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form
    $M=G/K$
mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ und einer maximal kompakten Untergruppe $K$.
Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$
und man kann den Tangentialraum $T_{\left[e\right]}G/K$ im neutralen Element mit ${\mathfrak {p}}$ identifizieren.
Die Killing-Form ist negativ definit auf ${\mathfrak {k}}$ und positiv definit auf ${\mathfrak {p}}$. Insbesondere definiert sie ein $\operatorname {Ad} (G)$-invariantes Skalarprodukt auf ${\mathfrak {p}}$ und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf $M=G/K$. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige $G$-invariante Metrik auf $M$.
Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

## Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik $0$.