Maximin-Test
# Maximin-Test

Ein Maximin-Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Anschaulich ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner ist als die jedes weiteren Tests zu einem vorgegebenen Niveau. Vorteil von Maximin-Tests im Vergleich zu beispielsweise gleichmäßig besten Tests ist, dass erstere bereits unter deutlich schwächeren Zusatzannahmen existieren und somit ein handlicheres Optimalitätskriterium liefern.

## Definition

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge $\Theta$ in Nullhypothese $\Theta _{0}$ und Alternative $\Theta _{1}$.
Sei ${\mathcal {T}}_{\alpha }$ die Menge aller statistischen Tests zum Niveau $\alpha$. Ein $\psi \in {\mathcal {T}}_{\alpha }$ heißt ein Maximin-Test zum Niveau $\alpha$, wenn
    $\inf _{\vartheta \in \Theta _{1}}\operatorname {E} _{\vartheta }\psi =\sup _{\phi \in {\mathcal {T}}_{\alpha }}\inf _{\vartheta \in \Theta _{1}}\operatorname {E} _{\vartheta }\phi$
gilt.

## Interpretation

Für fixiertes $\vartheta \in \Theta _{1}$ ist $\operatorname {E} _{\vartheta }\psi$ die Trennschärfe des Tests $\psi$ an der Stelle $\vartheta$. Somit ist
    $\inf _{\vartheta \in \Theta _{1}}\operatorname {E} _{\vartheta }\psi$
die untere Schranke der Trennschärfe des Tests $\psi$ und somit die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zweiter Art zu machen.
Somit ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem diese Worst-Case-Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner oder gleich ist als bei jedem anderen Test.

## Existenz

Die Existenz von Maximin-Tests lässt sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen. Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach-*-Konvergenz in $L^{1}$ und $L^{\infty }$.
Zentrale Aussage ist, dass wenn ein σ-endliches Maß $\mu$ existiert, so dass $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta _{0}}$ oder $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta _{1}}$ von diesem Maß dominiert werden, ein Maximin-Test zum Niveau $\alpha$ existiert.