Teilersumme
# Teilersumme

Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.
Beispiel:
    Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also $1+2+3+6=12$.
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

## Definitionen
### Definition 1: Summe aller Teiler

Sind $t_{1},t_{2},...,t_{k}$ alle Teiler der natürlichen Zahl $n$, so nennt man $\sigma (n)=t_{1}+t_{2}+\dotsb +t_{k}$ die Teilersumme von $n$. Dabei sind 1 und $n$ selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion $n\mapsto \sigma (n)$ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
    $\sigma (6)=1+2+3+6=12$.

### Definition 2: Summe der echten Teiler

Die Summe $\sigma ^{*}(n)$ der echten Teiler der natürlichen Zahl $n$ ist die Summe der Teiler von $n$ ohne die Zahl $n$ selbst.
Beispiel:
    $\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6$.
Es gilt die Beziehung
    $\sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)$.

### Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

Eine natürliche Zahl $n>1$ heißt
    defizient oder teilerarm, wenn $\sigma ^{*}(n)<n$,
    abundant oder teilerreich, wenn $\sigma ^{*}(n)>n$,
    vollkommen, wenn $\sigma ^{*}(n)=n$.
Beispiele:
    $\sigma ^{*}(6)=1+2+3=6$, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
    $\sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12$, d. h. 12 ist abundant.
    $\sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10$, d. h. 10 ist defizient.

## Eigenschaften der Teilersumme
### Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

Für jede Primzahl $p$ gilt
    $\sigma (p)=p+1$.
Beweis: Per Definition hat $p$ nur die Teiler $1$ und $p$. Daraus folgt die Behauptung.

### Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

Sei $p$ eine Primzahl und $k\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt für die Potenz $p^{k}$:
    $\sigma (p^{k})={\frac {p^{k+1}-1}{p-1}}$.
Beweis: Da $p$ eine Primzahl ist, hat $p^{k}$ nur die Teiler $p^{0},p^{1},\ldots ,p^{k}$. Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
    $\sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15$
    $\sigma (8)=1+2+4+8=15$

### Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

Seien $a$ und $b$ verschiedene Primzahlen. Dann gilt
    $\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.
Beweis: Die Zahl $ab$ besitzt genau die Teiler $1,a,b$ und $ab$. Daraus folgt
    $\sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.
Beispiel:
    $\sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24$
    $\sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24$

### Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

Sind $a$ und $b$ teilerfremde Zahlen, so gilt
    $\sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)$.
Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.
Beispiel:
    $\sigma (4\cdot 9)=\sigma (36)=1+2+3+4+6+9+12+18+36=91$
    $\sigma (4)\cdot \sigma (9)=(1+2+4)\cdot (1+3+9)=7\cdot 13=91$

### Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

Sei $n\in \mathbb {N}$ mit der Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}}$. Dann gilt
    $\sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}$.
Beispiel:
    $\sigma (84)=\sigma (2^{2}\cdot 3\cdot 7)={\frac {2^{3}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}\cdot {\frac {7^{2}-1}{7-1}}=7\cdot 4\cdot 8=224.$

## Satz von Thabit

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine natürliche Zahl $n$ seien $x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1$ und $z=9\cdot 2^{2n-1}-1$.
Wenn $x$, $y$ und $z$ Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen $a=2^{n}xy$ und $b=2^{n}z$ befreundet, d. h. $\sigma ^{*}(a)=b$ und $\sigma ^{*}(b)=a$.

### Beweis

    ${\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}$
Analog zeigt man $\sigma ^{*}(b)=a$.

## Teilersumme als endliche Reihe

Für jede natürliche Zahl $n$ kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von $n$ explizit Bezug genommen wird:
    $\sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}$
Beweis: Die Funktion
    $T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots$
wird 1, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist, ansonsten bleibt sie Null.
Sei nämlich $\mu$ ein Teiler von $n$. Dann ist der Quotient ${\frac {\nu n}{\mu }}$ ganzzahlig, somit ist $\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}$ gleich 1. Die Summation über $\nu$ ergibt $\mu$, woraus $T(n,\mu )=1$ folgt.
Sei nun $\mu$ kein Teiler von $n$. Es gilt dann
    $T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}={\frac {1}{\mu }}{\frac {\sin \pi n\cos {\frac {\pi (\mu +1)n}{\mu }}}{\sin {\frac {\pi n}{\mu }}}}=0.$
Damit ist gezeigt, dass $T(n,\mu )$ genau dann gleich 1 ist, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist, und ansonsten verschwindet.
Multipliziert man jetzt $T(n,\mu )$ mit $\mu ^{k}$ und summiert das Produkt über alle Werte $\mu =1$ bis $\mu =n$, so entsteht nur dann ein Beitrag $\mu ^{k}$ zur Summe, wenn $\mu$ ein Teiler von $n$ ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
    $\sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots$
deren Spezialfall $k=1$ die einfache Teilersumme $\sigma (n)$ ist.