Ω-reguläre Sprache
# Ω-reguläre Sprache

In der theoretischen Informatik bezeichnet die Klasse der ω-regulären Sprachen eine bestimmte Menge formaler Sprachen aus unendlichen Wörtern. Das Äquivalent im endlichen Fall ist die Klasse der regulären Sprachen.
Der griechische Buchstabe ω (omega) steht hier für die kleinste unendliche Ordinalzahl.
Der Schwerpunkt der Untersuchung ω-regulärer Sprachen liegt in der Automatentheorie. Es lässt sich beispielsweise zeigen, dass die ω-regulären Sprachen genau die Büchi-erkennbaren Sprachen sind.

## Unendliche Wörter

Ein unendliches Wort ist eine abzählbar unendliche Sequenz von Zeichen aus einem endlichen Alphabet. Über dem Alphabet $\{0,1\}$ kann z. B. das unendliche Wort $0101111111\ldots$ gebildet werden. Mengen von unendlichen Wörtern werden ω-Sprachen genannt.
Formal bedeutet dies:
Sei $\Sigma$ ein Alphabet, dann ist die Menge $\Sigma ^{\omega }$ aller unendlichen Wörter über $\Sigma$ definiert als die Menge aller Abbildungen von $\mathbb {N}$ nach $\Sigma$.
Jede Teilmenge von $\Sigma ^{\omega }$ heiße ω-Sprache.
Die ω-regulären Sprachen machen nun eine bestimmte Teilklasse der ω-Sprachen aus.

## Definition

Die Definition der ω-regulären Sprachen erfolgt rekursiv. Sei dazu $U\subseteq \Sigma ^{+}$ eine reguläre Sprache, die nicht das leere Wort enthält. Dabei bezeichne $\Sigma ^{+}$ die positive Hülle von $\Sigma$.
Dann ist $U^{\omega }$ die Menge aller abzählbar unendlichen Konkatenationen von Wörtern aus $U$.
Es gilt nun:
* $U^{\omega }$ ist eine ω-reguläre Sprache.
Seien außerdem $L_{1};L_{2}$ zwei ω-reguläre Sprachen, dann gilt weiter:
* $U\circ L_{1},L_{1}\cup L_{2}$ und $L_{1}\cap L_{2}$ sind ebenfalls ω-reguläre Sprachen.
* Außer den so konstruierten gibt es keine ω-regulären Sprachen.
Für die in der Definition verwendeten Verknüpfungen siehe auch: Formale Sprache#Operationen auf formalen Sprachen