Sl(2,C)
# Sl(2,C)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.
Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,\mathbb {C} )$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper $\mathbb {C}$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ und die Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$.
Die Gruppe $SL(2,\mathbb {C} )$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen $SO_{0}(3,1)$ ist.

## Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum $g=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {C} }$. Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:
    $[x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y$
Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:
    $x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

## Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

Durch die Definition des Kreuzproduktes in $\mathbb {C} ^{3}$ und der folgenden Vektoren
    $x=(1,\mathrm {i} ,0),\quad y=(-1,\mathrm {i} ,0),\quad h=(0,0,2\mathrm {i} )$
ergibt sich die gleiche Algebra:
    $x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y$

## Eigenschaften

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.
Beweis: Sei ${\mathfrak {a}}$ ein nichttriviales Ideal in ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ und sei $ax+bh+cy\in {\mathfrak {a}}\setminus 0$ mit $a,b,c\in \mathbb {C}$. Wenn $a=c=0$, dann $h\in {\mathfrak {a}}$, damit $2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak {a}}$ und $2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak {a}}$, also ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$. Also können wir $a\not =0$ oder $c\not =0$ annehmen, o. B. d. A $a\not =0$. Aus $\left[y,\left[y,ax+bh+cy\right]\right]=\left[y,-ah+2by\right]=-2ay$ folgt dann $y\in {\mathfrak {a}}$ und damit auch $h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak {a}}$, also wieder ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$.

## Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)
### Killing-Form

Die Killing-Form von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ lässt sich explizit durch die Formel
    $B(v,w)=4\,\operatorname {Spur} (vw)$
berechnen, es ist also
    $B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8$
    $B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.$

### Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe $SL(2,\mathbb {C} )$ ist $K=SU(2)$, ihre Lie-Algebra ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2)$ wird von $i(x+y),\ x-y$ und $ih$ aufgespannt.
Eine Cartan-Involution von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist gegeben durch
    $\theta (A)=-{\overline {A}}^{T}$.
${\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2)$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert $1$. Man erhält die Cartan-Zerlegung
    ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$,
wobei ${\mathfrak {p}}=\left\{A\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ):A={\overline {A}}^{T}\right\}$ der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ ist.

### Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist
    ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$
mit ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2),\ {\mathfrak {a}}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n}}=\left\{{\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {C} \right\}$.

### Reelle Formen

Die ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist ${\mathfrak {su}}(2)$, ihre spaltbare reelle Form ist ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$.

### Cartan-Unteralgebren

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist
    ${\mathfrak {h}}_{0}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {C} \right\}$.
${\mathfrak {h}}_{0}$ ist eine Cartan-Unteralgebra.
Jede Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ist zu ${\mathfrak {h}}_{0}$ konjugiert, d. h., sie ist von der Form
    ${\mathfrak {h}}=g{\mathfrak {h}}_{0}g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in {\mathfrak {h}}_{0}\right\}$
für ein $g\in SL(2,\mathbb {C} )$.

### Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu ${\mathfrak {h}}_{0}$ ist
    $R=\left\{\alpha _{12}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\ \alpha _{21}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}$.
Die dualen Wurzeln sind
    $\alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=2\lambda ,\ \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=-2\lambda$.
Die zugehörigen Wurzelräume sind
    ${\mathfrak {g}}_{\alpha _{12}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ {\mathfrak {g}}_{\alpha _{21}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$.
Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe $S_{2}$.