Realer Transformator
# Realer Transformator

Der reale Transformator ist ein in der Regel linearisiertes Modell eines Transformators, das den idealen Transformator um Streufelder, ohmsche Verluste, Hystereseverluste und ggf. kapazitive Effekte erweitert.
In einem realen Transformator fließt nicht der gesamte magnetische Fluss, den eine der Spulen hervorruft auch durch die andere Spule. Dieses Phänomen heißt Streuung. In vielen Anwendungsfällen ist Streuung unerwünscht, in anderen wiederum (z. B. resonante Wandler) wichtiger Bestandteil der Topologie, da mit gezielt gewählten Streufaktoren zusätzliche Spulen eingespart werden können.

## Ersatzschaltbild für niedrige Frequenzen
### Elektrischer und magnetischer Kreis

Die nebenstehende Abbildung wird anschaulich in folgendem Schaltplan abgebildet:
Dieser Schaltplan beinhaltet zwei elektrische Kreise und einen Magnetischen. Die Spulenwicklungen N$_1$ und N$_2$ fungieren als Kopplung zwischen elektrischem und magnetischem Kreis.
Die Streuflüsse werden im Ersatzschaltplan als magnetische Widerstände R$_{m,σ1}$ und R$_{m,σ2}$ dargestellt. Ein Strom I$_1$ erzeugt im magnetischen Kreis an N$_1$ eine Durchflutung $\Theta _{1}=N_{1}\cdot I_{1}$, sodass Φ$_{σ1}$=Θ$_1$/R$_{m, σ1}$ {\textstyle \Phi _{\sigma 1}={\frac {\Theta _{1}}{R_{m, \sigma 1}}}}. Der magnetische Widerstand R$_{m,h}$, den der Hauptfluss Φ$_h$ erfährt, ist hier aus Symmetriegründen geteilt. In sehr guter Näherung ist R$_{m,h}$ der magnetische Widerstand des Eisenjochs. Die Widerstände R$_1$ und R$_2$ repräsentieren den Widerstand der Spulenwicklungen.

### Symmetrisches Ersatzschaltbild

Im nächsten Schritt wird der magnetische Kreis in die elektrischen Kreise transformiert:
Die Spulenwicklungen N$_1$ und N$_2$ verschmelzen zu einem idealen Transformator mit Übersetzungsverhältnis u$^¨$=N$_1$/N$_2$ {\textstyle {\ddot {u}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}}. Bei der Transformation durch die gyratorischen Spulenkopplungen werden parallel geschaltete, magnetische Widerstände zu in Reihe geschalteten Induktivitäten: L$_{σ1}$=N$_1$$^2$/R$_{m, σ1}$ {\textstyle L_{\sigma 1}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m, \sigma 1}}}}, L$_{σ2}$=N$_2$$^2$/R$_{m, σ2}$ {\textstyle L_{\sigma 2}={\frac {N_{2}^{2}}{R_{m, \sigma 2}}}}, L$_{h, 1}$=N$_1$$^2$/R$_{m, h}$/2 {\textstyle L_{h, 1}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m, h}/2}}} und L$_{h, 2}$=N$_2$$^2$/R$_{m, h}$/2 {\textstyle L_{h, 2}={\frac {N_{2}^{2}}{R_{m, h}/2}}}.
Anmerkung: Oftmals ist auch von primärer- und sekundärer Hauptinduktivität die Rede, welche aber die Transformation beider Spulenhälften auf eine Seite meinen und daher nie im gleichen Ersatzschaltbild eingezeichnet werden dürfen! Dies führt oft zu Verwechslungen.

### T-Ersatzschaltbild

Jedes lineare Zweitor kann als T-Ersatzschaltbild dargestellt werden. Über die oben gezeigten Schritte bekommen die einzelnen Komponenten dieses Schaltbilds hier einen direkten, realen Bezug. Der ideale Transformator wird dafür aus dem Schaltbild herausgezogen:
Neu hinzugekommen ist hier der Widerstand R$_{Fe}$, der die bislang nicht beachteten Hystereseverluste im Kern symbolisiert.
Bei der Transformation durch die transformatorische Kopplung [ü] bleiben Parallel-/Reihenschaltungen erhalten und es gilt: L$_{σ2}$$^′$=u$^¨$$^2$⋅L$_{σ2}${\textstyle L'_{\sigma 2}={\ddot {u}}^{2}\cdot L_{\sigma 2}} und R$_2$$^′$=u$^¨$$^2$⋅R$_2${\textstyle R'_{2}={\ddot {u}}^{2}\cdot R_{2}} Die beiden Induktivitäten L$_{h,1}$ und L$_{h,2}$ verschmelzen zur (primären) Hauptinduktivität L$_h$=L$_{h, 1}$⋅L$_{h, 2}$$^′$/(L$_{h, 1}$+L$_{h, 2}$$^′$)=N$_1$$^2$/R$_{m, h}$ {\textstyle L_{h}={\frac {L_{h, 1}\cdot L'_{h, 2}}{L_{h, 1}+L'_{h, 2}}}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m, h}}}}.
Das oben gezeigte T-Ersatzschaltbild erweitert also den idealen Transformator [ü] um die realen Effekte. Das Übertragungsverhalten des realen Transformators ergibt sich durch die Verkettung des idealen- und des realen Transformators in Kettenparametern (Stromrichtung I$_2$ von Zweitor weg!) somit zu:
    ${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}=T_{\text{real}}\cdot {\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$ wobei $T_{\text{real}}={\begin{pmatrix}1+{\frac {Z_{1}}{Z_{h}}}&Z_{1}+Z_{2}+{\frac {Z_{1}\cdot Z_{2}}{Z_{h}}}\\{\frac {1}{Z_{h}}}&1+{\frac {Z_{2}}{Z_{h}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\ddot {u}}&0\\0&{\frac {1}{\ddot {u}}}\end{pmatrix}}$ mit ${\begin{aligned}&Z_{1}=R_{1}+i\omega L_{\sigma 1}\\&Z_{2}=R'_{2}+i\omega L'_{\sigma 2}\\&Z_{h}={\frac {R_{\text{Fe}}\cdot i\omega L_{h}}{R_{\text{Fe}}+i\omega L_{h}}}\end{aligned}}$
Für Schaltungsanalysen wird in aller Regel das T-Ersatzschaltbild verwendet.

## Kenngrößen
### Selbstinduktivität

Die Selbstinduktivitäten eines Transformators berechnen sich wie folgt:
    $L_{1}={\frac {N_{1}\cdot \Phi _{11}}{I_{1}}}={\frac {N_{1}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1})\cdot \Theta _{1}}{I_{1}}}=N_{1}^{2}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1})=L_{h}+L_{\sigma 1}$
    $L_{2}={\frac {N_{2}\cdot \Phi _{22}}{I_{2}}}={\frac {L_{h}}{{\ddot {u}}^{2}}}+L_{\sigma 2}$
wobei $\Lambda ={\frac {1}{R_{m}}}$ der magnetische Leitwert und Φ$_{11}$ der Anteil des magnetischen Flusses ist, der vom Strom I$_1$ hervorgerufen wird (Superposition) und durch die Spulenwicklungen N$_1$ verläuft (Φ$_{22}$ äquivalent).
Die Selbstinduktivitäten können an den Transformatorklemmen gemessen werden, wenn die andere Seite des Transformators offen (im Leerlauf) ist. Anmerkung: Im magnetischen Kreis aus dem ersten Schaltplan wirkt N$_2$ wie ein Kurzschluss, wenn die Klemmen im elektrischen Kreis offen sind (gyratorische Kopplung).

### Gegeninduktivität

Die Gegeninduktivitäten sind definiert als:
    $M_{12}={\frac {N_{1}\cdot \Phi _{12}}{I_{2}}}={\frac {N_{1}\cdot k_{2}\cdot \Phi _{22}}{I_{2}}}={\frac {N_{1}}{I_{2}}}\cdot {\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2})\cdot \Theta _{2}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}$
    $M_{21}={\frac {N_{2}\cdot \Phi _{21}}{I_{1}}}={\frac {N_{2}\cdot k_{1}\cdot \Phi _{11}}{I_{1}}}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}$
Wie oben gezeigt, sind die beiden Gegeninduktivitäten $M_{12}=M_{21}:=M$ im Falle linearer Materialien (wie bisher angenommen) gleich. Somit wird die Größe $M$ als Gegeninduktivität bezeichnet.

### Kopplungsfaktor

Die sogenannten Flusskoppelfaktoren sind wie folgt definiert:
    $k_{1}={\frac {\Phi _{21}}{\Phi _{11}}}={\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1}}}$
    $k_{2}={\frac {\Phi _{12}}{\Phi _{22}}}={\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}$
$\Phi _{12}$ ist der Anteil des magnetischem Flusses durch $N_{1}$, der von Strom $I_{2}$ hervorgerufen wird. Demnach gilt: $\Phi _{h}=\Phi _{12}+\Phi _{21}$.
Weiter lässt sich schreiben:
    $k_{1}\cdot L_{1}=N_{1}^{2}\cdot \Lambda _{h}$
    → $\Lambda _{h}={\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}={\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}$
    → $\Lambda _{h}^{2}=\Lambda _{h}\cdot \Lambda _{h}=\left({\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}\right)$
    → $M=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot {\sqrt {\left({\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}\right)}}={\sqrt {k_{1}\cdot k_{2}\cdot L_{1}\cdot L_{2}}}:=k\cdot {\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}$
mit gemeinsamem Kopplungsfaktor $k={\sqrt {k_{1}\cdot k_{2}}}={\frac {M}{\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}}$ wobei $0<k<1$ ist. Für vollkommene Kopplung ist $k=1$.

### Streufaktor

Äquivalent zum Kopplungsfaktor lassen sich Streufaktoren wie folgt definieren:
    $\sigma _{1}=1-k_{1}={\frac {\Lambda _{\sigma 1}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1}}}={\frac {L_{\sigma 1}}{L_{1}}}$
    $\sigma _{2}=1-k_{2}={\frac {\Lambda _{\sigma 2}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}={\frac {L_{\sigma 2}}{L_{2}}}$
Der Faktor $\sigma =1-k^{2}=\sigma _{1}+\sigma _{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}$ heißt Blondel-Koeffizient oder einfach Streufaktor.
Im Falle eines symmetrischen, kapazitätsfreien Transformators ( Λ$_{σ1}$=Λ$_{σ2}$↔L$_{σ1}$=L$_{σ2}$$^′$↔σ$_1$=σ$_2${\textstyle \Lambda _{\sigma 1}=\Lambda _{\sigma 2}\leftrightarrow L_{\sigma 1}=L'_{\sigma 2}\leftrightarrow \sigma _{1}=\sigma _{2}} ) lässt sich der Blondel-Koeffizient z. B. mit einem LCR-Meter durch Induktivitätsmessung leicht bestimmen:
    $\sigma =2\sigma _{1}-\sigma _{1}^{2}={\frac {L_{\mathrm {kurz} }}{L_{\mathrm {offen} }}}$
wobei L$_{offen}$ = L$_1$ die messbare Induktivität am Eingang bei offenem Ausgangs ist und L$_{kurz}$ die messbare Kurzschlussinduktivität am Eingang bei Kurzschluss des Ausgangs ist (Eingang und Ausgang sind hier vertauschbar).