Problem invarianter Unterräume
# Problem invarianter Unterräume

Das Problem invarianter Unterräume ist eine mathematische Problemstellung aus der Funktionalanalysis. Die Fragestellung lautet, ob jeder nicht-triviale beschränkte und lineare Operator auf einem Banach-Raum einen invarianten Unterraum besitzt.
Ein erstes Gegenbeispiel wurde 1975 von dem schwedischen Mathematiker Per Enflo gefunden. Für Hilbert-Räume ist das Problem nach wie vor offen.

## Problemstellung

Grundbegriffe:
Sei $V$ ein komplexer Vektorraum und $\operatorname {T} :V\to V$ ein linearer Operator. Ein Unterraum $U\subseteq V$ ist $\operatorname {T}$-invariant, falls $\operatorname {T} (U)\subseteq U$, das heißt also $Tu\in U$ für alle $u\in U$. Gilt zusätzlich $U\neq V$ und $U\neq \{0\}$, dann ist $U$ nicht-trivial.
Ein Unterraum $U$ ist invariant unter der Familie von Operatoren $\{T_{i}\}_{i\in I}$, falls $U$ $T_{i}$-invariant für alle $i\in I$ ist.
Ein Unterraum ist hyperinvariant für $T$, falls er invariant für alle Operatoren $A$ ist, die mit $T$ kommutieren ($TA=AT$).
Mit ${\mathcal {B}}(V)$ bezeichnen wir den Raum der beschränkten und linearen Operatoren auf $V$.

### Das Problem invarianter Unterräume für Banach-Räume

Sei $V$ ein komplexer Banach-Raum mit $\dim(V)\geq 2$ und $\operatorname {T} \in {\mathcal {B}}(V)$. Existiert dann ein abgeschlossener, nicht-trivaler $T$-invarianter Unterraum?

## Lösungen

Die Problemstellung lieferte viele Teillösungen, die sich in zwei unterschiedliche Gruppen aufteilen lassen:
* Banach-Räume, auf denen jeder Operator einen invarianten Teilraum besitzt.
* Operatoren ohne invariante Teilräume auf einer großen Klasse von Funktionenräumen.

### Schlüsselergebnisse

1950 bewies John von Neumann, dass jeder kompakte Operator auf einem Hilbert-Raum einen nicht-trivialen hyperinvarianten Unterraum besitzt.
1973 publizierte Viktor Lomonossow den Satz von Lomonossow, welcher sagt, dass wenn der Operator $T$ auf einem Banach-Raum mit einem kompakten Operator $A\neq 0$ kommutiert, $T$ einen nicht-trivialen invarianten Unterraum hat.
1976 wurde der erste Operator auf einem speziellen Banach-Raum ohne invarianten Unterraum von Per Enflo publiziert. Seitdem gab es weitere Beispiele auch auf klassischen Funktionenräumen. Für Hilbert-Räume ist das Problem weiterhin ungelöst.