Monotone Klasse
# Monotone Klasse

Eine monotone Klasse, auch monotones System genannt, ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften, welches in der Maßtheorie verwendet wird, um darauf weitere, komplexere Mengensysteme aufzubauen.

## Definition

Sei $X$ eine nicht leere Menge. Eine nicht leere Teilmenge ${\mathcal {M}}$ von $P(X)$ heißt monotone Klasse,
wenn der Grenzwert jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus ${\mathcal {M}}$ wieder in ${\mathcal {M}}$ enthalten ist.
Voll ausgeschrieben bedeutet dies:
* sind $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Mengen aus ${\mathcal {M}}$ mit
    $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots$,
    dann ist auch
    $\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ in ${\mathcal {M}}$
* sind $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Mengen aus ${\mathcal {M}}$ mit
    $A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$,
    dann ist auch
    $\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ in ${\mathcal {M}}$

## Erzeugte monotone Klasse

Schnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen. Somit lässt sich für ein beliebiges Mengensystem $K$ die durch $K$ erzeugte monotone Klasse definieren als
    ${\mathcal {M}}_{K}:=\bigcap _{{\mathcal {M}}{\text{ ist Monotone Klasse}} \atop K\subset {\mathcal {M}}}{\mathcal {M}}$.
Dies lässt sich als Hüllenoperator interpretieren.

## Beziehung zu anderen Mengensystemen

* Jede monotone Klasse, die die Obermenge $X$ enthält und für die gilt: sind $B\subset A$ in der monotonen Klasse enthalten, so ist auch $A\backslash B$ in der monotonen Klasse enthalten, ist ein Dynkin-System.
* Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten σ-Algebra.

### Ringe und σ-Ringe

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ im Ring enthalten, so ist auch
    $B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$
aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen $B_{n}$ bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert
    $\lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$
aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten, dieses ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.
Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse.