Satz von Fernique
# Satz von Fernique

Der Satz von Fernique ist ein Satz für gaußsche Maße in Banach-Räumen. Der Satz sagt, dass gaußsche Zufallsvariablen in Banach-Räumen exponentialfallende Ränder (tails) besitzen.
Der Satz wurde 1975 von dem französischen Mathematiker Xavier Fernique bewiesen.

## Aussage

Sei $(E,\|\cdot \|)$ ein separabler Banach-Raum und $\mu$ ein beliebiges symmetrisches gaußsches Maß auf $E$.
Seien $\lambda >0$ und $r>0$, so dass
    $\log \left({\frac {1-\mu ({\overline {B}}(0,r))}{\mu ({\overline {B}}(0,r))}}\right)+32\lambda r^{2}\leq -1.$
Dann gilt
    $\int _{E}e^{\lambda \|x\|^{2}}\mu (\mathrm {d} x)\leq e^{16\lambda r^{2}}+{\frac {e^{2}}{e^{2}-1}}.$

### Erläuterungen

Die Aussage sagt, dass $e^{\lambda \|x\|^{2}}$ bezüglich des gaußschen Maßes immer integrierbar ist.