Satz von Forster-Swan
# Satz von Forster-Swan

Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen $M_{\mathfrak {p}}$ benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.
Der Satz wurde 1964 in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967 von Richard G. Swan verallgemeinert.

## Satz von Forster-Swan

Sei
* $R$ ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
* $M$ ein endlich-erzeugter $R$-Modul,
* ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$.
* $\mu (M),\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den $R$-Modul $M$ resp. den $R_{\mathfrak {p}}$-Modul $M_{\mathfrak {p}}$ zu erzeugen.
Um $\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes $M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M$ über dem Körper $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ zu berechnen, das heißt
    $\mu _{\mathfrak {p}}(M)=\operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M).$

### Aussage

Definiere die lokale ${\mathfrak {p}}$-Schranke
    $b_{\mathfrak {p}}(M):=\mu _{\mathfrak {p}}(M)+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}),$
dann gilt
    $\mu (M)\leq \sup _{\mathfrak {p}}\;\{b_{\mathfrak {p}}(M)\;|\;{\mathfrak {p}}\;{\text{ist prim}},\;M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.$