Wannier-Darstellung
# Wannier-Darstellung

Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:
    $\omega _{mn}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})$
Dabei ist
* $\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})$ eine Bloch-Funktion
* $\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})$ der zugehörige Wannier-Zustand
* $e$ die Eulersche Zahl
* $i$ die imaginäre Einheit
* ${\vec {k}}$ der Wellenvektor
* ${\vec {r}}$ der Ortsvektor
* $n$ der Bandindex.
Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann
    $\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{m}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{m}}\cdot \omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})$
Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):
    $\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})=\sum _{n\in U}a_{n}\cdot \varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})$
Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände $\varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{m})$ dar.