Verschobene Pareto-Verteilung
# Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

## Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der verschobenen Pareto-Verteilung $\operatorname {Par^{\star }} (a,b)$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f(x)={\begin{cases}ab(1+bx)^{-(a+1)}&x\geq 0\\0&x<0.\end{cases}}$
besitzt. Hierbei ist ${\frac {1}{b}}$ ein Skalenparameter der Verteilung.

## Eigenschaften
### Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für $x\geq 0$ gegeben durch
    $F(x)=P(X\leq x)=1-(1+bx)^{-a}$.
Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: $P(X>x)=1-F(x)=(1+bx)^{-a}$.

### Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:
    $\operatorname {E} (X)={\frac {1}{b(a-1)}}.$

### Varianz

Die Varianz ist angebbar als
    $\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)={\frac {a}{b^{2}(a-1)^{2}(a-2)}}.$

### Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung
    $\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)}}={\frac {1}{b(a-1)}}{\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.$

### Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten
    $\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.$

### Schiefe

Für die Schiefe resultiert
    $\operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {a}{a-3}}-3{\frac {a^{2}}{(a-2)(a-1)}}+2{\frac {a^{3}}{(a-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.