Cichoń-Diagramm
# Cichoń-Diagramm

In der Mengenlehre beschreibt das Cichoń-Diagram (oder englisch Cichoń’s diagram) beweisbare Größenverhältnisse von zehn Kardinalzahlen, die sich auf Teilmengen von reellen Zahlen beziehen. Alle dargestellten Kardinalzahlen liegen zwischen $\aleph _{1}$, der kleinsten überabzählbaren Kardinalzahl, und ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$, der Kardinalität des Kontinuums $\mathbb {R}$. Vier dieser Kardinalzahlen beschreiben Eigenschaften der Lebesgue-Nullmengen. Vier weitere beschreiben die entsprechenden Eigenschaften der mageren Teilmengen.
Der britische Mathematiker David Fremlin benannte das Diagramm nach dem polnischen Mathematiker Jacek Cichoń.

## Definitionen

Sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ein Ideal (das heißt: für $A,B\in {\mathcal {I}},Y\subseteq X$ gilt $A\cup B\in {\mathcal {I}}$ und $A\cap Y\in {\mathcal {I}}$), das alle endlichen Teilmengen von $X$ enthält.
* Die Additivität
       add⁡I=min{|A||A⊆I∧⋃A∉I}{\textstyle \operatorname {add} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \\, \left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \bigcup {\mathcal {A}}\notin {\mathcal {I}}\, {\bigr \}}}
    von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, deren Vereinigung nicht mehr in ${\mathcal {I}}$ liegt. Da das Ideal nach Definition unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist, ist $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\geq \aleph _{0}$. Ist ${\mathcal {I}}$ ein σ-Ideal (das heißt: ⋃$_{n=1}$$^∞$A$_n$∈I{\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {I}}} für $A_{n}\in {\mathcal {I}}$), so ist $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\geq \aleph _{1}$.
* Die Überdeckung
       cov⁡I=min{|A||A⊆I∧⋃A=X}{\textstyle \operatorname {cov} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \\, \left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \bigcup {\mathcal {A}}=X\, {\bigr \}}}
    von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, deren Vereinigung $X$ ergibt. Wegen $X\notin {\mathcal {I}}$ folgt $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cov} {\mathcal {I}}$.
* Die Uniformität
       non⁡I=min{|A||A⊆X∧A∉I}{\textstyle \operatorname {non} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \\, \left|A\right|\;{\big |}\;A\subseteq X\land A\notin {\mathcal {I}}\, {\bigr \}}}
    von ${\mathcal {I}}$ ist die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von $X$, die nicht in ${\mathcal {I}}$ liegt.
* Die Konfinalität
       cof⁡I=min{|A||A⊆I∧∀$_{B∈I}$∃$_{A∈A}$A⊇B}{\textstyle \operatorname {cof} {\mathcal {I}}=\min {\bigl \\, \left|{\mathcal {A}}\right|\;{\big |}\;{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {I}}\land \forall _{B\in {\mathcal {I}}}\, \exists _{A\in {\mathcal {A}}}A\supseteq B\, {\bigr \}}}
    von ${\mathcal {I}}$ ist die Konfinalität der Halbordnung $({\mathcal {I}},\subseteq )$, also die kleinste Kardinalität einer Teilmenge von ${\mathcal {I}}$, die kofinal in ${\mathcal {I}}$ ist.
Aus den Definitionen folgt unmittelbar, dass $\operatorname {non} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cof} {\mathcal {I}}$ und $\operatorname {cov} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cof} {\mathcal {I}}$ für jedes Ideal ${\mathcal {I}}$ gilt.
Daneben werden die Unbeschränktheitszahl ${\mathfrak {b}}$ und Dominierungszahl ${\mathfrak {d}}$ wie folgt definiert:
    ${\mathfrak {b}}=\min {\bigl \\,\left|F\right|\;{\big |}\;F\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\land \forall _{g\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }\,\exists _{f\in F}\,\exists _{n\in \mathbb {N} }^{\infty }\;g(n)<f(n)\,{\bigr \}}$ und
    ${\mathfrak {d}}=\min {\bigl \\,\left|F\right|\;{\big |}\;F\subseteq \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\land \forall _{g\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }\,\exists _{f\in F}\,\forall _{n\in \mathbb {N} }^{\infty }\;g(n)<f(n)\,{\bigr \}}$,
wobei $\exists ^{\infty }$ für es gibt unendlich viele steht und $\forall ^{\infty }$ für für alle bis auf endlich viele Ausnahmen.

## Das Diagramm

Schreibe ${\mathcal {B}}$ für das σ-Ideal der mageren reellen Mengen in der euklidischen Topologie und ${\mathcal {L}}$ für das σ-Ideal der Lebesgue-Nullmengen. Dann gelten folgende Ungleichungen:
| | | $\operatorname {cov} {\mathcal {L}}$ | $\leq$ | $\operatorname {non} {\mathcal {B}}$ | $\leq$ | $\operatorname {cof} {\mathcal {B}}$ | $\leq$ | $\operatorname {cof} {\mathcal {L}}$ |
| | | $\leq$ | | $\leq$ | | $\leq$ | | $\leq$ |
| | | $\leq$ | | ${\mathfrak {b}}$ | $\leq$ | ${\mathfrak {d}}$ | | $\leq$ |
| | | $\leq$ | | $\leq$ | | $\leq$ | | $\leq$ |
| $\aleph _{1}$ | $\leq$ | $\operatorname {add} {\mathcal {L}}$ | $\leq$ | $\operatorname {add} {\mathcal {B}}$ | $\leq$ | $\operatorname {cov} {\mathcal {B}}$ | $\leq$ | $\operatorname {non} {\mathcal {L}}$ |
Außerdem gelten
    $\operatorname {add} {\mathcal {B}}=\min\{\operatorname {cov} {\mathcal {B}},{\mathfrak {b}}\}$ und
    $\operatorname {cof} {\mathcal {B}}=\max\{\operatorname {non} {\mathcal {B}},{\mathfrak {d}}\}$.

## Analyse

Es hat sich herausgestellt, dass die dargestellten Ungleichungen alle in ZFC beweisbaren Ungleichungen zwischen diesen Kardinalitäten umfassen: Jede Zuweisung der zehn Kardinalitäten im Diagramm an $\aleph _{1}$ und $\aleph _{2}$, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzt, wird von einem Modell von ZFC realisiert (unter der Voraussetzung, dass ZFC konsistent ist).
Die Situation ist nicht abschließend für ${\mathfrak {c}}>\aleph _{2}$ geklärt. Es ist konsistent mit ZFC, dass alle dargestellten Kardinalzahlen verschieden sind, bis auf $\operatorname {add} {\mathcal {B}}$ und $\operatorname {cof} {\mathcal {B}}$, die notwendig mit einer anderen übereinstimmen müssen. Bisher (Stand: 2019) ist es eine offene Frage, ob alle Zuweisungen der zehn Kardinalitäten im Diagramm an beliebige Kardinalzahlen, die keine der dargestellten Ungleichungen verletzen, mit ZFC konsistent sind.
Einige Ungleichungen wie etwa $\operatorname {add} {\mathcal {I}}\leq \operatorname {cov} {\mathcal {I}}$ und ${\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {d}}$ folgen unmittelbar aus den Definitionen. Die Ungleichungen $\operatorname {cov} {\mathcal {B}}\leq \operatorname {non} {\mathcal {L}}$ und $\operatorname {cov} {\mathcal {L}}\leq \operatorname {non} {\mathcal {B}}$ sind klassische Resultate und folgen aus dem Umstand, dass das Kontinuum in eine magere Menge und eine Nullmenge zerlegt werden kann.
Aus der Kontinuumshypothese $\aleph _{1}={\mathfrak {c}}$ folgt unmittelbar, dass alle Kardinalzahlen im Diagramm gleich sind. Aus Martins Axiom, einer Abschwächung der Kontinuumshypothese, folgt, dass alle dargestellten Kardinalzahlen $\aleph _{1}$ oder ${\mathfrak {c}}$ sind.