Rationalisierte Planck-Einheiten
# Rationalisierte Planck-Einheiten

Die rationalisierten Planck-Einheiten bilden ein Einheitensystem, das eng mit den Planck-Einheiten verwandt ist. Der Unterschied ist, dass nicht dieselben Naturkonstanten den Zahlenwert 1 annehmen.
In den originalen Planck-Einheiten gilt: $c=\hbar =G=k_{B}=k_{C}=1$.
In den rationalisierten Planck-Einheiten gilt: $c=\hbar =k_{B}=1$ und $G=k_{C}={\frac {1}{4\pi }}$.
Während mit den Planck-Einheiten das Umrechnen von physikalischen Größen im Bereich der Relativitätstheorie einfach ist, ist mit den rationalisierten Planck-Einheiten das Umrechnen von Größen in der Elektrodynamik einfacher.

## Gleichungen im Vergleich mit anderen Einheitssystemen

Wie bei allen rationalisierten Einheiten fallen bei den rationalisierten Planck-Einheiten in den Maxwell-Gleichungen die $4\pi$-Faktoren weg. Bei den rationalisierten Planck-Einheiten fallen zudem alle $c$ weg beziehungsweise nehmen den Zahlenwert $1$ an.
Maxwell-Gleichungen :
| Name | Formel | Konstante K (bzw. $K_{a}$, $K_{b}$) in folgenden Einheitensystemen: | Konstante K (bzw. $K_{a}$, $K_{b}$) in folgenden Einheitensystemen: | Konstante K (bzw. $K_{a}$, $K_{b}$) in folgenden Einheitensystemen: | Konstante K (bzw. $K_{a}$, $K_{b}$) in folgenden Einheitensystemen: |
| Name | Formel | SI | Planck-Einheiten | Rationalisierte Planck-Einheiten | Heaviside-Lorentz |
| Gaußsches Gesetz | ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=K\rho$ | ${\frac {1}{\varepsilon _{0}}}$ | $4\pi$ | $1$ | $1$ |
| Gaußsches Gesetz für Magnetfelder | ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ | - | - | - | - |
| Induktionsgesetz | ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-K{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ | $1$ | $1$ | $1$ | $c^{-1}$ |
| Durchflutungsgesetz | ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=K_{a}{\vec {J}}+K_{b}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ | $\mu _{0}$, $c^{-2}$ | $4\pi$, $1$ | $1$, $1$ | $c^{-1}$, $c^{-1}$ |
| Kraftgleichungen ||||||
| Coulombsches-Gesetz | $K_{C}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ | ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ | $1$ | ${\frac {1}{4\pi }}$ | ${\frac {1}{4\pi }}$ |
| Newtonsches Gravitationsgesetz | $K_{N}{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$ | $G$ | $1$ | ${\frac {1}{4\pi }}$ | $G$ |
| Berechnungen elektrischer Bauteile ||||||
| Widerstand | $R=\rho {\frac {l}{A}}$ | - | - | - | - |
| Scheiben-Kondensator | $C=K\varepsilon _{r}{\frac {A}{l}}$ | $\varepsilon _{0}$ | ${\frac {1}{4\pi }}$ | $1$ | $1$ |
| Zylinder-Spule | $L=K\mu _{r}{\frac {N^{2}A}{l}}$ | $\mu _{0}$ | $4\pi$ | $1$ | $1$ |

## Definition

Die rationalisierten Planck-Einheiten werden durch folgende Naturkonstanten definiert:
| Konstante | Symbol | Dimension | Größe in SI-Einheiten |
| Lichtgeschwindigkeit | $c$ | $LT^{-1}$ | 2.99792 · 10$^8$ ms$^{−1}$ |
| Gravitationskonstante | $G$ | $L^{3}M^{-1}T^{-2}$ | 6.67430 · 10$^{−11}$ m$^3$ kg$^{−1}$ s$^{−2}$ |
| Reduzierte Planck-Konstante | $\hbar$ | $L^{2}MT^{-1}$ | 1.05457 · 10$^{−34}$ J s |
| Elektrische Feldkonstante | $\varepsilon _{0}$ | $Q^{2}T^{2}M^{-1}L^{-3}$ | 8.85419 · 10$^9$ C$^2$ s$^2$ kg$^{−1}$ m$^{−3}$ |
| Boltzmann-Konstante | $k_{B}$ | $L^{2}M\Theta ^{-1}T^{-2}$ | 1,38065 · 10$^{−23}$ J k$^{−1}$ |

### Basisgrößen

Durch die Dimensionsbetrachtung dieser Konstanten lassen sich die Basisgrößen berechnen:
| Name | Größe | Dimension | Term | Wert in SI-Einheiten |
| Rationale Masse | Masse | $M$ | $m_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c}{(4\pi G)}}}$ | 6.1396166 · 10$^{−9}$ kg |
| Rationale Länge | Länge | $L$ | $l_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}}$ | 5.7294657 · 10$^{−35}$ m |
| Rationale Zeit | Zeit | $T$ | $t_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{5}}}}$ | 1.9111441 · 10$^{−43}$ s |
| Rationale Ladung | Ladung | $Q$ | $q_{R}={\sqrt {\hbar c\varepsilon _{0}}}$ | 5.2908176 · 10$^{−19}$ C |
| Rationale Temperatur | Temperatur | $\Theta$ | $T_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{(4\pi G)k_{B}^{2}}}}$ | 3.9966750 · 10$^{31}$ K |

### Abgeleitete Größen

Aus den Basisgrößen lassen sich alle anderen Größen berechnen:
| Name | Größe | Dimension | Term | Wert in SI-Einheiten |
| Mechanische Einheiten |||||
| Rationale Fläche | Fläche | $L^{2}$ | $A_{R}=l_{R}^{2}={\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}$ | 3.2826778 · 10$^{−69}$ m$^2$ |
| Rationales Volumen | Volumen | $L^{3}$ | $V_{R}=l_{R}^{3}=\left({\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}}\right)^{3}$ | 1.8807990 · 10$^{−103}$ m$^3$ |
| Rationale Dichte | Dichte | ${\frac {M}{L^{3}}}$ | $d_{R}={\frac {m_{R}}{V_{R}}}={\frac {c^{5}}{(4\pi G)^{2}\hbar }}$ | 3.2643661 · 10$^{94}$ kg m$^{−3}$ |
| Rationale Frequenz | Frequenz | ${\frac {1}{T}}$ | $f_{R}={\frac {1}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{(4\pi G)\hbar }}}$ | 5.2324679 · 10$^{42}$ Hz |
| Lichtgeschwindigkeit | Geschwindigkeit | ${\frac {L}{T}}$ | $v_{R}={\frac {l_{R}}{t_{r}}}=c$ | 2.9979246 · 10$^8$ m s$^{−1}$ |
| Rationale Beschleunigung | Beschleunigung | ${\frac {L}{T^{2}}}$ | $a_{R}={\frac {v_{R}}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{(4\pi G)\hbar }}}$ | 1.56868×10$^{51}$ m s$^{−2}$ |
| Rationale Kraft | Kraft | ${\frac {ML}{T^{2}}}$ | $F_{R}={\frac {m_{R}l_{R}}{t_{R}^{2}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}$ | 9.6309366 · 10$^{42}$ N |
| Rationale Energie | Energie | ${\frac {L^{2}M}{T^{2}}}$ | $E_{R}=m_{R}v_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}$ | 5.5180121 · 10$^8$ J |
| Rationale Leistung | Leistung | ${\frac {L^{2}M}{T^{3}}}$ | $P_{R}={\frac {E_{R}}{t_{R}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}$ | 2.8872822 · 10$^{51}$ W |
| Rationaler Druck | Druck | ${\frac {M}{LT^{2}}}$ | $\Pi _{R}={\frac {F_{R}}{A_{R}}}={\frac {c^{7}}{(4\pi G)^{2}\hbar }}$ | 2.93404 · 10$^{111}$ Pa |
| Elektromagnetische Einheiten |||||
| Rationaler elektrischer Strom | Elektrischer Strom | ${\frac {Q}{T}}$ | $i_{R}={\frac {q_{R}}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\varepsilon _{0}}{4\pi G}}}$ | 2.76840312 · 10$^{24}$ A |
| Rationales elektrisches Potential | Elektrisches Potential | ${\frac {L^{2}M}{QT^{2}}}$ | $U_{R}={\frac {P_{R}}{i_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{(4\pi G)\varepsilon _{0}}}}$ | 1.04294138 · 10$^{27}$ V |
| Impedanz des Vakuums | Elektrischer Widerstand | ${\frac {L^{2}M}{TQ^{2}}}$ | $Z_{R}={\frac {U_{R}}{i_{R}}}=Z_{0}$ | 3.7673031 · 10$^2$ Ω |
| Rationale Kapazität | Kapazität | ${\frac {T^{2}Q^{2}}{ML^{2}}}$ | $C_{R}={\frac {q_{R}}{U_{R}}}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar \varepsilon _{0}^{2}}{c^{3}}}}$ | 5.0729766 · 10$^{−46}$ F |
| Rationale Induktivität | Induktivität | ${\frac {L^{2}M}{Q^{2}}}$ | $L_{R}=Z_{R}\cdot t_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{7}\varepsilon _{0}^{2}}}}$ | 7.1998591 · 10$^{−41}$ H |
| Rationaler magnetischer Fluss | Magnetischer Fluss | ${\frac {L^{2}M}{TQ}}$ | $\Psi _{R}=U_{R}\cdot t_{R}={\sqrt {\frac {\hbar }{c\varepsilon _{0}}}}$ | 1.9932114 · 10$^{−16}$ Wb |
| Rationale magnetische Flussdichte | Magnetische Flussdichte | ${\frac {M}{TQ}}$ | $B_{R}={\frac {\Psi }{A_{R}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{(4\pi G)^{2}\hbar \varepsilon _{0}}}}$ | 6.07208 · 10$^{52}$ T |
| Thermische Einheiten |||||
| Rationale Wärmekapazität | Wärmekapazität | ${\frac {L^{2}M}{T^{2}\Theta }}$ | $\Gamma _{R}={\frac {E_{R}}{T_{R}}}=k_{B}$ | 1,3806490 · 10$^{−23}$ J K$^{−1}$ |
| Rationaler Wärmewiderstand | Wärmewiderstand | ${\frac {T^{3}\Theta }{L^{2}M}}$ | $R_{R}={\frac {T_{R}}{P_{R}}}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{5}k_{B}^{2}}}}$ | 1.3842346 · 10$^{−20}$ W K$^{−1}$ |

## Werte physikalischer Zahlen

| Physikalische Zahl | Wert |
| Eigenschaften der Erde ||
| Tag | 4.52086 · 10$^{47}$ t$_R$ |
| Jahr | 1.65127 · 10$^{50}$ t$_R$ |
| Alter | 7.49677 · 10$^{59}$ t$_R$ |
| Masse | 9.72741 · 10$^{32}$ m$_R$ |
| Fallbeschleunigung | 6.25153 · 10$^{−51}$ a$_R$ |
| Volumen | 5.75931 · 10$^{123}$ V$_R$ |
| Äquatorradius | 1.11321 · 10$^{41}$ l$_R$ |
| Normalatmosphäre | 3.45342 · 10$^{−107}$ Π$_R$ |
| Oberflächentemperatur | 7.20598 · 10$^{−30}$ T$_R$ |
| Eigenschaften von Wasser ||
| Schmelzpunkt bei Normaldruck | 6.83456 · 10$^{−30}$ T$_R$ |
| Siedepunkt bei Normaldruck | 9.33651 · 10$^{−30}$ T$_R$ |
| Temperatur beim Tripelpunkt | 6.83468 · 10$^{−30}$ T$_R$ |
| Druck beim Tripelpunkt | 2.08469 · 10$^{−112}$ Π$_R$ |
| Temperatur beim kritischen Punkt | 1.61910 · 10$^{−29}$ T$_R$ |
| Druck beim kritischen Punkt | 7.52001 · 10$^{−110}$ Π$_R$ |
| Eigenschaften von Elementarteilchen ||
| Elementarladung | 3.02822 · 10$^{−1}$ q$_R$ |
| Elektronenmasse | 1.48371 · 10$^{−22}$ m$_R$ |
| Protonenmasse | 2.72431 · 10$^{−19}$ m$_R$ |
| Neutronenmasse | 2.72807 · 10$^{−19}$ m$_R$ |
| Compton-Wellenlänge von Elektronen | 4.23479 · 10$^{22}$ l$_R$ |
| Compton-Wellenlänge von Protonen | 2.30634 · 10$^{19}$ l$_R$ |
| Compton-Wellenlänge von Neutronen | 2.30316 · 10$^{19}$ l$_R$ |
| Eigenschaften verschiedener Elemente ||
| Bohrscher Radius | 9.23607 · 10$^{23}$ l$_R$ |
| Kovalenter Radius von Wasserstoff | 5.41062 · 10$^{23}$ l$_R$ |
| Van-der-Waals-Radius von Wasserstoff | 2.09443 · 10$^{24}$ l$_R$ |
| Atomare Masseinheit | 2.70463 · 10$^{−19}$ m$_R$ |
| Masse von $^1$H | 2.72626 · 10$^{−19}$ m$_R$ |
| Mittlere Lebensdauer eines Neutrons | 4.60561 · 10$^{−45}$ t$_R$ |
| Halbwertszeit von $^3$H | 2.03433 * 10$^{51}$ t$_R$ |
| Halbwertszeit von $^8$B | 3.51726 * 10$^{26}$ t$_R$ |