Blume-Capel-Modell
# Blume-Capel-Modell

Das Blume-Capel-Modell nach Martin Blume und Hans Willem Capel ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells in der Festkörperphysik. Es beschreibt eine Situation, in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel, antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten können, womit zusätzlich zum Ising-Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist. Anders ausgedrückt beschreibt das Blume-Capel-Modell Spins mit einem Betrag $s=1$, während das Ising-Modell Spins mit einem Betrag $s={\tfrac {1}{2}}$ beschreibt.

## Definition

Der dem Blume-Capel-Modell zugrunde liegende Hamilton-Operator ${\mathcal {H}}$, dessen Eigenwerte die möglichen Energien des Systems sind, lautet:
    ${\mathcal {H}}=-D\sum _{i}(1-s_{i}^{z2})-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}^{z}s_{j}^{z}-\mu H\sum _{i}s_{i}^{z}$
Dabei ist
* $D$ das zero-field splitting, das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett $s^{z}=0$ und dem Dublett $s^{z}=\pm 1$ angibt
* $J$ die Stärke der Wechselwirkung benachbarter Spins
* $\mu$ das magnetische Moment der Spins
* $H$ die Stärke des externen Magnetfeldes
* $s_{i}^{z}$ die $z$-Komponente des $i$-ten Spins.
Die Notation unter der Summe soll ausdrücken, dass nur über die jeweils nächsten Nachbarn summiert wird.
Der größte Unterschied zum Ising-Modell ist der zusätzliche, vom Parameter $D$ abhängige Term im Hamilton-Operator. Für nur zwei mögliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising-Modell wäre dieser Term eine Konstante und, wie ein konstanter Term in einem Potential, physikalisch bedeutungslos.

## Eigenschaften

Abhängig vom Wert von $D$ nimmt das System verschiedene Grundzustände ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenübergang.
Bezeichne $n$ die Anzahl der nächsten Nachbarn und $N$ die Anzahl der Spins im System, so gilt:
* Für $D>{\tfrac {1}{2}}nJ$ ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld, $s_{i}=0$. Die Grundzustandsenergie liegt bei $E_{0}=-ND$.
* Für $D={\tfrac {1}{2}}nJ$ ist der Grundzustand entartet.
* Für $D<{\tfrac {1}{2}}nJ$ ist der Grundzustand vollständig magnetisch geordnet. Das heißt, alle Spins nehmen den Wert $s_{i}=1$ an und die Grundzustandsenergie liegt bei $E_{0}=-{\tfrac {1}{2}}NnJ$. In diesem Bereich existiert also eine Curie-Temperatur $T_{\mathrm {C} }$, bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand übergeht. Dieser Phasenübergang ist
** für $-\infty <D<{\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4$ ein Phasenübergang zweiter Ordnung. Die Curie-Temperatur sinkt von ${\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}$ bei $D=-\infty$ auf ${\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}$ bei $D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4$ (darin ist $k_{\mathrm {B} }$ die Boltzmann-Konstante)
** für ${\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4<D<{\tfrac {1}{2}}nJ$ ein Phasenübergang erster Ordnung, bei dem die Magnetisierung abrupt von Null auf einen endlichen Wert springt. Die Curie-Temperatur sinkt weiter von ${\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}$ bei $D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4$ auf $0$ K bei $D={\tfrac {1}{2}}nJ$.