Rayleigh-Quotient
# Rayleigh-Quotient

Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix $A$ verwendet.

## Definition

Sei $A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}$ eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrix und $x\in {\mathbb {K} }^{n}$ mit $x\neq 0$ ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient von $A$ zum Vektor $x$ definiert durch
    $R_{A}(x)={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}\,.$
Hierbei bezeichnet $x^{*}={\overline {x}}^{T}$ den adjungierten Vektor von $x$. Der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten ist genau der numerische Wertebereich von $A$.

## Eigenschaften

Bei einer Multiplikation des Vektors $x$ mit einem Skalar $\alpha \neq 0$ ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: $R_{A}(\alpha x)=R_{A}(x)$, er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.
Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von $A$. Ist $v$ ein Eigenvektor der Matrix $A$ und $\lambda$ der zugehörige Eigenwert, dann gilt:
    $R_{A}(v)={\frac {v^{*}Av}{v^{*}v}}={\frac {v^{*}\lambda v}{v^{*}v}}=\lambda \,.$
Durch den Rayleigh-Quotienten wird also jeder Eigenvektor von $A$ auf den dazugehörigen Eigenwert $\lambda$ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine symmetrische oder hermitesche Matrix $A$ mit dem kleinsten Eigenwert $\lambda _{\rm {min}}$ und dem größten Eigenwert $\lambda _{\rm {max}}$ nach dem Satz von Courant-Fischer:
    $\lambda _{\rm {min}}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{\rm {max}}\,.$
Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.
Die Eigenvektoren hermitescher $A$ bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten
    $R_{A}(x,y)={\frac {y^{*}Ax}{y^{*}x}}$
ein, wobei $y^{*}x\neq 0$, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren $x$ und $y$ ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

## Verwendung in der Numerischen Mathematik

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter $\theta$, der Shift, benötigt. Wird $\theta$ in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.