Slow Feature Analysis
# Slow Feature Analysis

Slow Feature Analysis ist ein unüberwachter Lernalgorithmus, der invariante oder sich zumindest nur langsam verändernde Merkmale aus einem vektoriellen Signal lernen soll. Er basiert auf der Hauptachsentransformation.

## Problembeschreibung

Wenn ein Eingabesignal $x(t)$ gegeben ist, wird eine Ein-/Ausgabefunktion $g(x)$ gesucht, für die $y(t)=g(x(t))$ so wenig wie möglich variiert und $g$ nicht konstant ist.
Formal schreibt man:
Gegeben sei ein $n$-dimensionales Eingabesignal $x(t)=[x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t)]$ mit $t\in [t_{0},t_{1}]$. Finde eine $m$-dimensionale Ein-/Ausgabefunktion $g(x)=[g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x)]$, die aus $x(t)$ die $m$-dimensionale Ausgabe $y(t)=[y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{m}(t)]$ mit $y_{i}(t)=g_{i}(x(t))$ für jedes $i\in \{1,\dots ,m\}$ erzeugt. Dabei müssen für alle $i\in \{1,\dots ,m\}$ folgende Nebenbedingungen erfüllt sein:
    ${\begin{aligned}\Delta _{i}=\Delta (y_{i}):&=\langle {\dot {y}}_{i}^{2}\rangle &{\text{ ist minimal}}\\\langle y_{i}\rangle &=0&{\text{(Mittelwert)}}\\\langle y_{i}^{2}\rangle &=1&{\text{(Varianz)}}\\\forall i'<i:\langle y_{i'}y_{i}\rangle &=0&{\text{(Dekorrelation)}}\end{aligned}}$
wobei ${\dot {y}}$ die Ableitung nach $t$ bezeichnet und $\langle \cdot \rangle$ ein Durchschnitt über die Zeit ist:
    $\langle f\rangle :={\frac {1}{t_{1}-t_{0}}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}f(t)\mathrm {d} t$