Satz von Gauß-Lucas
# Satz von Gauß-Lucas

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms $P$ und dessen Ableitung $P'$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung $P'$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

## Der Satz von Gauß-Lucas

Sei $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei $P^{\prime }$ die Ableitung von $P$. Dann liegen alle Nullstellen von $P^{\prime }$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$.

## Geschichte

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben, jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.

## Stärkere Aussage

Die Nullstellen von $P'$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte
    $\omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}$
mit $j\,,k=1,\ldots ,n$ und $j\neq k$, wobei $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die $n$ Nullstellen von $P$ sind.

## Verschärfung von Jensen

Wenn $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung $P^{\prime }$ innerhalb der Jensen-Scheiben, die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von $P$ bestimmt sind. Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.