Semiprimideal
# Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

## Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* Ist $I\triangleleft R$ ein Ideal von R mit $I^{2}\subseteq Q$, dann ist $I\subseteq Q$.
* Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

## Eigenschaften

* Ein Ring R heißt semiprim, wenn $\{0\}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung $R\rightarrow \prod _{P}R/P,\,x\mapsto (x+P)_{P}$, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.
* Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
* Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.