Punktierter topologischer Raum
# Punktierter topologischer Raum

Ein punktierter topologischer Raum ist ein Paar (X,x$_0$), bestehend aus einem topologischen Raum X und einem Punkt x$_0$ in X (Grundpunkt, Basispunkt, ausgezeichneter Punkt). Eine punktierte (stetige) Abbildung (X,x$_0$) → (Y,y$_0$) ist eine stetige Abbildung X → Y, die x$_0$ auf y$_0$ abbildet.
Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.
Ist die Inklusion $\{x_{0}\}\hookrightarrow X$ eine Kofaserung, so spricht man von einem wohlpunktierten Raum.
Ein topologischer Raum heißt homogen, wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

## Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kommakategorie $\{\star \}\downarrow \operatorname {Top}$. Sie besitzt Nullobjekte (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). Produkte sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, Koprodukte sind Ein-Punkt-Vereinigungen, also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben $X\vee Y$.

## Homotopieklassen punktierter Abbildungen

Zwei punktierte Abbildungen
    $f,g\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$
heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung $H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y$ mit
    $H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)\ \forall x\in X$
    $H(x_{0},t)=y_{0}\ \forall t\in \left[0,1\right]$
gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit $\left[X,Y\right]$ bezeichnet.