Unitäres Element
# Unitäres Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra unitär, wenn es invertierbar ist und das adjungierte Element und das inverse Element dasselbe sind.

## Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra mit Einselement $e$, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ unitär, falls $aa^{*}=a^{*}a=e$, also wenn $a$ invertierbar ist und $a^{-1}=a^{*}$ gilt.
Die Menge der unitären Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{U}$ oder $U({\mathcal {A}})$ bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

## Kriterien

* Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element. Genau dann ist $a$ unitär, wenn das Spektrum $\sigma (a)$ nur aus Elementen der Kreisgruppe $\mathbb {T}$ besteht, das heißt $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}$.

## Beispiele

* Trivialerweise ist das Einselement $e$ unitär.
* Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre C*-Algebra. Ist $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$, dann definiert jede auf dem Spektrum $\sigma (a)$ stetige Funktion $f$, mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element $f(a)$, falls $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T}$.

## Eigenschaften

Sei ${\mathcal {A}}$ eine unitäre *-Algebra und $a,b\in {\mathcal {A}}_{U}$. Dann gilt:
* Das Element $ab$ ist unitär, da ((ab)$^∗$)$^{−1}$=(b$^∗$a$^∗$)$^{−1}$=(a$^∗$)$^{−1}$(b$^∗$)$^{−1}$=ab{\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}. Insbesondere bildet ${\mathcal {A}}_{U}$ eine multiplikative Gruppe.
* Das Element $a$ ist normal.
* Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls unitär, da $a=(a^{*})^{*}$ für die Involution * gilt.
* Wenn ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra ist, hat $a$ Norm 1, also $\left\|a\right\|=1$.