P-triviale σ-Algebra
# P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

## Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$. Eine σ-Algebra ${\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}$ heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle $O\in {\mathcal {O}}$ gilt, dass entweder $P(O)=0$ oder $P(O)=1$ ist.

## Elementare Beispiele

* Die triviale σ-Algebra $\{\Omega ,\emptyset \}$ ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer $P(\Omega )=1$ und $P(\emptyset )=0$ gefordert wird.
* Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{1},P_{2}$ gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also $\Omega =N_{1}\cup N_{2}$ und $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$, so dass $P_{1}(N_{1})=0$ und $P_{2}(N_{2})=0$. Dann ist die σ-Algebra $\{\Omega ,\emptyset ,N_{1},N_{2}\}$ sowohl $P_{1}$-trivial als auch $P_{2}$-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich $P_{1}(N_{2})=1$ und $P_{2}(N_{1})=1$, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

## Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:
* Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
* Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

## Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ist eine P-triviale σ-Algebra ${\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}$ von jedem anderen Mengensystem ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {A}}$ unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.
Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn ${\mathcal {O}}$ P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert $\operatorname {E} (X|{\mathcal {O}})=\operatorname {E} (X)$, denn $\sigma (X)$ und ${\mathcal {O}}$ sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L$^p$-Ergodensatz.