Multinomialkoeffizient
# Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen $k_{1},\dotsc ,k_{r}$ und $n:=k_{1}+\dotsb +k_{r}$ ist er definiert als
    ${n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}.$
Dabei ist $n!=n\cdot (n-1)\dots 2\cdot 1$ die Fakultät von $n$ bzw. analog $k_{i}!$ die Fakultät von $k_{i}$.
Für $r=2$ und $k:=k_{1}$ muss $k_{2}=n-k$ sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten ${n \choose k}={n \choose k_{1},k_{2}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.

## Eigenschaften

Multinomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig.
Sie lassen sich aus verschiedene Arten darstellen, zum Beispiel auch mithilfe von Binomialkoeffizienten als
    ${k_{1}+\cdots +k_{r} \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{r} \choose k_{r}}=\prod _{i=1}^{r}{\sum _{s=1}^{i}k_{s} \choose k_{i}}$.

## Anwendungen und Interpretationen
### Multinomialsatz

Multinomialkoeffizienen treten auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert. In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt nämlich nach dem Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)
    $(x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\dotsm x_{r}^{k_{r}}$.
Hieraus folgt sofort:
    $\forall r\in \mathbb {N} :r^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot 1^{k_{1}}\dotsm 1^{k_{r}}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}.$

### Multinomialverteilung

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung
    $P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\dotsm p_{r}^{k_{r}}$,
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

### Kombinatorische Deutungen
#### Objekte in Kisten

Der Multinomialkoeffizient ${\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, $n$ (unterscheidbare) Objekte in $r$ Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau $k_{1}$ Objekte sollen, in die zweite Schachtel $k_{2}$ Objekte usw.

##### Beispiel

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?
Da es sich um $n=32$ Objekte handelt, die in $r=4$ Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je $k_{1}=k_{2}=k_{3}=10$ Objekte und in die vierte Schachtel $k_{4}=2$ Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:
    ${32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640$

#### Anordnung von Dingen

Der Multinomialkoeffizient ${\tbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}$ gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von $n$ Objekten an, von denen $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}$ gleich sind.

##### Beispiel

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?
Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, elf Buchstaben ($n=11$) anzuordnen, wobei das "M" einmal ($k_{1}=1$), das "I" sowie das "S" jeweils viermal ($k_{2}=k_{3}=4$) und das "P" zweimal ($k_{4}=2$) vorkommt. Diese Anzahl beträgt
    ${\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34.650.$
Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf paarweise verschiedene Objekte anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

## Pascalsche Simplizes

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die $r$-ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu $r$-dimensionalen pascalschen Simplizes.