Rarita-Schwinger-Gleichung
# Rarita-Schwinger-Gleichung

In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita und Julian Schwinger, die sie 1941 formulierten) eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt, zusammengesetzte Teilchen wie das Delta-Baryon zu beschreiben und zu untersuchen, manchmal wird sie auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben:
    $\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0$
mit
* $\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }$ das Levi-Civita-Symbol
* $\gamma _{5}$ und $\gamma _{\nu }$ Dirac-Matrizen
* $m$ die Masse des Fermions
* $\sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]$
* $\psi _{\nu }$ eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex $\nu$. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher Vierervektor. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein Dirac-Spinor. Die Darstellung entspricht damit der $\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right)$, bzw. $\left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)$ Darstellung der Lorentz-Gruppe.
Die Rarita-Schwinger Gleichung kann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:
       ${\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }$
Dabei bezeichnet ${\bar {\psi }}_{\mu }=\psi _{\mu }^{\dagger }\gamma ^{0}$ den adjungierten Spinor zu $\psi _{\mu }$.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation $\psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon$. Dabei ist ${\mathcal {\epsilon }}$ ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld, das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört.
Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden.