Orthokompakter Raum
# Orthokompakter Raum

Ein orthokompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.

## Definition

Eine Familie von Teilmengen eines topologischen Raumes, für die für jeden Punkt des Raumes der Schnitt der diesen enthaltenden Teilmengen der Familie offen ist, wird innererhaltende Familie (oder Q-Familie) genannt. Ein topologischer Raum, für den für jede (abzählbare) offene Überdeckung eine innererhaltende offene Verfeinerung existiert, wird (abzählbar) orthokompakt genannt.

## Eigenschaften

* Kompakte Räume sind orthokompakt. Das folgt daraus, dass eine endliche Teilüberdeckung insbesondere innererhaltend ist.
* (Abzählbar) metakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass punktendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
* (Abzählbar) parakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass lokalendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
* Abgeschlossene Unterräume von orthokompakten Räumen sind orthokompakt.
* Jeder orthokompakte Raum ist abzählbar orthokompakt. Das folgt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung insbesondere eine offene Überdeckung ist.
* Jeder abzählbar orthokompakte Lindelöf-Raum ist orthokompakt. Das folgt daraus, dass in Lindelöf-Räumen für jede offene Überdeckung bereits eine abzählbare offene Teilüberdeckung existiert.
* Für einen orthokompakten Raum $X$ ist $X\times [0,1]$ genau dann orthokompakt, wenn $X$ abzählbar metakompakt ist.
* P-Räume sind abzählbar orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung eines P-Raumes innererhaltend ist.
* Räume mit Alexandroff-Topologie sind orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede offene Überdeckung eines Raumes mit Alexandroff-Topologie innererhaltend ist.