Satz von Osgood (Funktionentheorie)
# Satz von Osgood (Funktionentheorie)

Der Satz von Osgood (nach William Osgood) ist eine Aussage der Funktionentheorie und besagt, dass jede injektive holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung auf ihr Bild ist.

## Satz

Sei $\Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen und $f\colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ eine injektive holomorphe Funktion. Dann ist $\Omega ':=f(\Omega )\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen und die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon \Omega '\to \Omega$ ist holomorph, also die Abbildung $f$ biholomorph.
Da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, gilt der Satz auch für Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

## Unterschied zum reellen Fall

Für reell-analytische Funktionen gilt die Aussage des Satzes nicht. Beispielsweise ist $f\colon (-1,1)\to (-1,1)$ mit $x\mapsto x^{3}$ bijektiv und analytisch, aber die Umkehrfunktion ist im Nullpunkt nicht mehr analytisch.