Äquivalenz (Matrix)
# Äquivalenz (Matrix)

Die Äquivalenz im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

## Definition

Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind per Definition äquivalent, wenn es eine lineare Abbildung
    $f\colon \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}$ gibt und es Basen $B_{1},B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1},C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$ gibt, so dass
    $A=_{B_{1}}M(f)_{C_{1}}$ und
    $B=_{B_{2}}M(f)_{C_{2}}$ gilt,
d. h. $A$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{1}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{1}$ von $\mathbb {K} ^{m}$, und $B$ ist eine Darstellung von $f$ bezüglich der Basen $B_{2}$ von $\mathbb {K} ^{n}$ und $C_{2}$ von $\mathbb {K} ^{m}$.

## Äquivalente Aussage

Zur Aussage „die $m\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind äquivalent über dem Körper $K$“ ist folgende Aussage äquivalent:
* Es gibt eine invertierbare $m\times m$-Matrix $S$ und eine invertierbare $n\times n$-Matrix $T$ über $K$, so dass $B=SAT$ gilt.

## Aussagen über äquivalente Matrizen

* Zwei reguläre Matrizen vom gleichen Typ sind äquivalent.
* Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.

## Äquivalente Matrizen und ähnliche Matrizen

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.