Theil-Index
# Theil-Index

Der Theil-Index gehört zu der Klasse der Ungleichverteilungsmaße und wurde von dem Ökonometriker Henri Theil entwickelt. Er dient der statistischen Beschreibung von Einkommens- und Vermögensverteilungen.
Der Theil-Index kann zur Beschreibung der Ungleichheit innerhalb und zwischen Gruppen zerlegt werden. Diese Zerlegbarkeit ist ein wichtiger Unterschied zu dem Gini-Koeffizient, einem populäreren Ungleichheitsmaß.

## Definition

Für $n$ Personen mit Einkommen $y_{1},\dots ,y_{n}$ ist das Durchschnittseinkommen $\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$ und es werden Theil-Indizes $T_{L},T_{T},T_{S}$ unter der Konvention $0\cdot \ln {0}=0$ wie folgt definiert:
    $T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}\cdot \ln {\frac {y_{i}}{\mu }}\right)$
    $T_{L}=T_{\alpha =0}=MLD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {\frac {\mu }{y_{i}}}\right)$
    $T_{S}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}-1\right)\ln(y_{i})\right]$
MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen
    $T_{L}(y)=T_{T}\left({\frac {1}{y}}\right)$
    $T_{S}={\frac {T_{T}+T_{L}}{2}}$
    $0\leq T_{L}$
    $T_{L}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{T}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{S}=0\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=\mu \quad {\text{für alle }}i$
    $T_{T}=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=n\mu \quad {\text{für ein }}i$
    $T_{S}(y)=T_{S}\left({\frac {1}{y}}\right)$

## Beziehungen/Ableitungen

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.
Ist $S$ das Shannons-Maß, so gilt
    $T=\ln(N)-S$.
$e^{T}$ ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß $\left(1-e^{T}\right)$.

## Zerlegbarkeit

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.
Wenn die Bevölkerung in $m$ Untergruppen aufgeteilt werden kann und $s_{k}$ der Einkommensanteil einer Untergruppe $k$ am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt $T_{k}$ die Ungleichverteilung in der Untergruppe und ${\overline {x}}_{k}$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe $k$. Der Theil-Index $T_{k}$ ist dann
    $T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{k}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}$.
So beschrieben, ist der Theil-Index $T_{k}$ dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.