Integralungleichung von Hadamard
# Integralungleichung von Hadamard

Die Integralungleichung von Hadamard (englisch Hadamard's integral inequality) oder auch Ungleichung von Hadamard (englisch Hadamard inequality) ist eine der klassischen Ungleichungen der Mathematik und als solche der Analysis zugehörig. Sie geht auf eine Publikation des französischen Mathematikers Jacques Salomon Hadamard aus dem Jahre 1893 zurück und gibt eine obere und untere Abschätzung für Integrale gewisser konvexer Funktionen. Die hadamardsche Integralungleichung gab Anlass zu zahlreichen Untersuchungen und Verallgemeinerungen.

## Formulierung

Die Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:
    Gegeben sei im Körper der reellen Zahlen ein kompaktes Intervall $J=[a,b]\;(a,b\in \mathbb {R} \;,a<b)$ und hierauf eine stetige Funktion $f\colon J\to \mathbb {R}$, deren Einschränkung $f|_{J^{\circ }}$ auf das Innere des Intervalls zudem Jensen-konvex sein soll.
    Dann gilt:
       $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}$ .