Beobachtbarer Durchmesser
# Beobachtbarer Durchmesser

In der Mathematik ist der beobachtbare Durchmesser (engl.: observable diameter) ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume.

## Definition

Sei $(X,d_{X},\mu _{X})$ ein metrischer Maßraum und definiere den Durchmesser
    $\operatorname {diam} (A):=\sup \limits _{x,y\in X}\{d_{X}(x,y)\}$
bezüglich der Metrik.
Für eine reelle Zahl $\kappa \geq 0$ wird zunächst der $\kappa$-partielle Durchmesser bezüglich $\mu _{X}$ definiert
    $\operatorname {ParDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\inf \limits _{A\in \{A\subset X\colon \mu _{X}(A)\geq 1-\kappa \}}\operatorname {diam} (A),$
das heißt das Infimum der Durchmesser der Teilmengen $A\subset X$, für deren Maß $\mu _{X}(A)\geq 1-\kappa$ gilt.
Sei $\operatorname {Lip} _{1}(X,\mathbb {R} )$ der Raum der Lipschitz-stetigen Abbildungen $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit Lipschitz-Konstante $1$ und $f_{*}\mu _{X}$ das Bildmaß unter der Funktion $f$. Der $\kappa$-beobachtbare Durchmesser $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa )$ von $X$ bezüglich $\mu _{X}$ ist definiert als
    $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\sup \limits _{f\in \operatorname {Lip} _{1}(X,\mathbb {R} )}\operatorname {ParDiam} _{f_{*}\mu _{X}}(\mathbb {R} ),$
das heißt das Supremum der $\kappa$-partiellen Durchmesser von $f(X)=\mathbb {R}$ bezüglich der Bildmaße $f_{*}\mu _{X}$ der $1$-Lipschitz-Funktionen.
Für $\kappa =0$ erhält man den Durchmesser von $X$ und für $\kappa \geq 1$ ist $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa )=0$.

## Lévy-Familien

Eine Folge metrischer Maßräume $X_{n}$ wird als Lévy-Familie bezeichnet, wenn es ein $\kappa >0$ gibt mit
    $\lim _{n\to \infty }\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X_{n}}}(X_{n},-\kappa )=0.$
Zum Beispiel ist eine Folge runder Sphären $S^{n}(r_{n})\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ genau dann eine Lévy-Familie, wenn $\lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{\sqrt {n}}}=0$ gilt.

## Eigenschaften

Der beobachtbare Durchmesser lässt sich in Beziehung zum Trennungsabstand (engl.: separation distance) setzen, der wiederum in Beziehung zu den Eigenwerten des Laplace-Operators (mit Neumann-Randbedingungen) steht.
Für geschlossene, $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten $M$ mit Ricci-Krümmung $\operatorname {Ric} \geq n-1$ gilt
    $\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(M,-\kappa )\leq \operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(S^{n}(1),-\kappa )$
für alle $0<\kappa <1$.