Alpha-stabile Verteilungen
# Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe
    $X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und eine Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$,
so nennt man $X$ stabil verteilt, wobei $\sim$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

## Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:
* Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$, denn bekanntlich gilt
    $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter $\alpha =2$.
* Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung
    $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\rm {Cauchy}}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\,{\rm {Cauchy}}(0,a)$
    sie ist also stabil mit Formparameter $\alpha =1$.
* Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha ={\frac {1}{2}}$.

## Eigenschaften

* Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist durch
       $\psi _{\alpha ,\beta ,c,\mu }(t)={\begin{cases}\exp \left(i\mu t-c|t|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2]\\\exp \left(i\mu t-c|t|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\ln(|t|)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha =1\end{cases}}$
    gegeben Der Parameter $\alpha \in (0,2]$ heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ heißt Schiefeparameter. Der Parameter $c$ ist positiv. Der Parameter $\mu \in \mathbb {R}$ ist ein Lageparameter.
* Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$. Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für $\alpha =2$ spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu $\exp(i\mu t-ct^{2})$; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $2c$.
* Für $1<\alpha \leq 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert $\mu$, für $\alpha \leq 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
* Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

## Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen

Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung, ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten.