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Erklären Sie kurz, woraus die schnelle Fourier-Transformation besteht und einige ihrer Anwendungen, ohne auf die mathematischen Details einzugehen.<end_of_turn>
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Die Fast Fourier Transformation (FFT) ist ein Algorithmus, der eine effiziente Berechnung der diskreten Fourier-Transformation ermöglicht. Die Idee ist, dass die Fourier-Matrix der Größe N (bestehend aus den Einheitswurzeln von N) in das Produkt der Fourier-Matrix der Größe N/2 und mehrerer dünn besetzter Matrizen zerlegt werden kann. Daraus kann ein Divide-and-Conquer-Algorithmus verwendet werden, um die Transformation in O(n * log n)-Zeit zu berechnen, was viel effizienter ist als die naive Methode, die eine O(n^2)-Zeitkomplexität aufweist.

Dieser Algorithmus hat viele Anwendungen in der Signalverarbeitung, Rauschunterdrückung, Faltungen, Korrelationen usw. Im Kontext der kompetitiven Programmierung wird es hauptsächlich verwendet, um zwei Polynome vom Grad N in der Zeit O(n*log n) zu multiplizieren.<end_of_turn><eos>