L'étape clé pour prouver l'unicité est la proposition 30 d'Euclid du livre 7 -LRB- connu sous le nom de lemma -RRB- d'Euclid, qui énonce que, pour tout nombre p de premier ordre et pour tous les nombres naturels a, b : si p divise ab puis p divise a ou p divise b.
Pour cela, nous utilisons le lemma suivant : si un premier nombre p divise un produit ab, il divise un ou il divise b -LRB- Euclid 's lemma -RRB-.