Le postulat parallèle dans la géométrie euclidienne est équivalent à l'affirmation que, dans l'espace bidimensionnel, pour n'importe quelle ligne l et le point P non sur l, il y a exactement une ligne à travers P qui n'intersecte pas l, c'est-à-dire qui est parallèle à l / O. Dans la géométrie hyperbolique, il y a au moins deux lignes distinctes à travers P qui n'ont pas d'intersection l, de sorte que le postulat parallèle est faux.
Le postulat parallèle de la géométrie euclidienne indique que dans l'espace bidimensionnel, pour n'importe laquelle des raies l et P non sur l, il y a exactement une ligne passant par P qui n'intersecte pas l / O. Cette raie est appelée parallèle à l / O. Dans la géométrie hyperbolique, il y a au moins deux de ces raies à travers le P / O. Comme elles ne se croisent pas l, le postulat parallèle est faux.