Certaines preuves utilisent le fait que si un nombre primaire p divise le produit de deux numéros naturels a et b, p divise soit a, soit b, un énoncé connu sous le nom de lemme d'Euclid.
Nous savons donc pour le résultat des produits que A = B. Prenez n'importe quel prime p du premier produit A / O. Il divise la A, donc il divise aussi B. En utilisant plusieurs fois le lemma que nous venons de prouver, nous pouvons voir que p doit alors diviser au moins un facteur b de B / O. Mais les facteurs sont tous les primes elles-mêmes, donc aussi b est prime.