Вклад Курта Гёделя в 1940 г. и Пола Коэна в 1963 г. показал, что эту гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать с помощью аксиом теории множеств Цермело - Френкеля, стандартной основы современной математики, при условии, что теория множеств непротиворечива.
Пол Коэн показал в 1960-х, что теория множеств Цермело-Френкеля также не может быть использована для доказательства гипотезы континуума.