Шоу начал изучать саксофон, когда ему было 13 лет, а к 16 годам он переключился на кларнет и уехал из дома, чтобы отправиться в тур с группой.
Во время эры свинга его биг-бэнд был очень популярен с такими хитами, как «Begin the Beguine».