Выпить чашку чая и присесть - это когда дело зашло дальше этого и возникает необходимость в более официальной и серьезной вежливости.
Выпить чашечку чая и присесть - это когда дело зашло далеко вперед и есть потребность в более формальной и серьезной вежливости.