human
comment les mathématiciens savent-ils que pi est irrationnel ? La principale réponse que je cherche est de savoir comment ils savent que cela ne se répète pas. Si cela continue indéfiniment, comment pouvons-nous savoir qu'à un moment donné, cela ne recommence pas sournoisement ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
[ Ici ] ( URL_0 ) est une preuve simple que pi est irrationnel . Tout ce qu'il faut, c'est un calcul de base. L'idée est la suivante : Supposons que pi = A/B est un nombre rationnel. On peut alors construire une fonction de la forme f(x ) = x^(n ) ( A - Bx)^(n)/n ! , où n est tout entier positif . Pour avoir une idée de ce à quoi ressemble une fonction comme celle-ci , voir [ this ] ( URL_1 ) , où cela est fait pour 22/7 , plutôt que pi , et n=3 . En particulier , il passera par x=0 , fera une bosse puis redescendra pour passer par l' axe des x à x = A / B. Donc si pi = A / B , alors cela fera une bosse entre x= 0 et x = pi . Une autre fonction qui fait cela est sin(x ) . Il passe par x=0 puis fait une bosse avant de passer par x = pi . Donc, si nous faisons la fonction f(x)sin(x ) , alors elle le fera aussi. La chose intéressante à propos de f(x)sin(x ) est que la zone sous le graphique de x=0 à x = pi (donc sous la bosse ) sera toujours un entier . Intuitivement, c'est assez crédible car l'aire sous sin(x) de x=0 à x = pi est 2, et f(x) est un polynôme avec de beaux coefficients rationnels qui interagissent bien (ceci est explicitement trouvé en appliquant le Fondamental Théorème de calcul pour évaluer l'intégrale). Nous avons donc une fonction , f(x)sin(x ) , dont sont sous son graphe entre x=0 et x = pi est un entier . Mais cette fonction passe par l'axe des abscisses à x=0 et x=pi et atteint sa valeur maximale à x=pi/2, au milieu. Ici sin(pi/2)=1 et f(pi/2 ) = pi^(n)(A - B(A/2B))^(n)/n ! = pi^(n)A^(n)/2^(n)n ! . Cela signifie que l'aire totale sous la courbe est * inférieure * à pi^(n+1)A^(n)/2^(n)n ! . Ce qui est intéressant avec les factorielles, c'est qu'elles sont généralement plus grandes que les exposants. Cela signifie que , quelle que soit la valeur de A , nous pouvons toujours choisir n suffisamment grand pour que pi^(n+1)A^(n)/2^(n ) < n ! . Mais alors l'aire , qui est un entier positif , est inférieure à pi^(n+1)A^(n)/2^(n)n ! qui est inférieur à 1. Il n'y a pas d'entiers positifs inférieurs à 1 , donc nous ne devons pas pouvoir faire la fonction f(x ) , ce qui signifie que pi ne peut pas être rationnel .