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Valeurs propres et vecteurs propres Ils sont assez simples à calculer, mais que signifient-ils ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Puisque vous posez des questions sur les valeurs propres et les vecteurs propres, je vais supposer que vous savez au moins qu'une matrice est un tableau de nombres et que vous pouvez considérer un vecteur comme une chaîne de nombres. La « dimension » d'un tel vecteur est le nombre de nombres qu'il y a dans la chaîne. Par exemple , [ 1,2,1 ] est un vecteur 3 - D tandis que [ 0,1 ] est un vecteur 2 - D ( en réalité , ceux - ci devraient être verticaux au lieu d' horizontaux si nous allons les appeler vecteurs , mais cela ' n'est pas super important ici). Si vous êtes habitué aux coordonnées , alors vous pouvez considérer les nombres comme les coordonnées d' un point dans un espace de dimension appropriée , et le " vecteur " comme une flèche s'étendant de ( 0,0 , ... ) à ce point . Donc [ 1,2,1 ] est la flèche qui s'étend de ( 0,0,0 ) au point ( 1,2,1 ) . Maintenant , ce que vous ne savez peut - être pas ou ne réalisez pas , c'est qu'une matrice * représente * une transformation : c'est une façon de transformer des vecteurs en d' autres vecteurs ( nous représentons cela en « multipliant » la matrice et le vecteur ensemble ) . Par exemple, si votre matrice comporte deux lignes et trois colonnes, elle transforme les vecteurs 3D en vecteurs 2D. Maintenant , si votre matrice est " carrée " , alors elle transforme les vecteurs en d' autres vecteurs de même dimension . Par exemple, s'il s'agit d'une matrice 3x3, elle transforme les vecteurs 3D en d'autres vecteurs 3D. Revenons maintenant à considérer les vecteurs comme des flèches. Si vous transformez un vecteur en un autre vecteur, cela revient à déplacer la pointe de la flèche d'un point à un autre. Par exemple , si vous transformez [ 1,2,1 ] en [ 2,3,1 ] , alors vous avez déplacé la pointe de la flèche du point ( 1,2,1 ) au point ( 2,3, 1 ) . Alors qu'est-ce qu'un vecteur propre ? C'est celui qui, lorsque vous faites cela, vous obtenez une flèche qui pointe toujours le long de la même ligne qu'au départ. Il peut être plus long ou plus court, ou pointer dans la direction opposée, mais c'est toujours sur la même ligne. Alors vous prenez votre nouvelle flèche, voyez sa longueur, et divisez cette longueur par la longueur de la première flèche (et faites ensuite ce résultat négatif si les flèches pointent dans des directions opposées) ; c'est ce que nous appelons la valeur propre * * . Revenons donc à [ 1,2,1 ] . Disons qu'il est transformé en [ 2,4,2 ] . Autrement dit , la flèche va de pointant vers ( 1,2,1 ) à pointant vers ( 2,4,2 ) . Ceux - ci sont sur la même ligne passant par l' origine , donc [ 1,2,1 ] est un vecteur propre de cette transformation . Puisque [ 2,4,2 ] est deux fois [ 1,2,1 ] , la valeur propre est 2 .