human
infinity J'en entends parler tout le temps mais je ne le comprends vraiment pas Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Très souvent, en mathématiques, vous vous retrouvez avec des choses qui semblent devoir donner un nombre, mais lorsque vous essayez réellement de trouver le nombre que vous obtiendriez, vous vous retrouverez coincé dans une boucle. Par exemple : si je vous demande de compter sur vos doigts (c'est-à-dire d'attribuer un nombre à chaque personne) jusqu'à ce que vous manquiez de doigts, vous vous retrouvez avec 10 (en supposant que vous ayez 10 doigts, bien sûr). Si je vous demande de compter en utilisant les gens sur la planète (chaque personne obtient son propre numéro), alors vous vous retrouvez avec quelque chose de plus d'environ 7 milliards - un plus grand nombre, mais toujours un joli nombre fini. Si je vous demande de compter chaque atome de l'univers, vous vous retrouvez quelque part dans le voisinage de 10 ^ 80 environ (ne me citez pas sur ce nombre). Encore une fois , un plus grand nombre , mais c'est toujours un joli nombre fini . Que se passe-t-il quand je vous demande de compter tous les nombres entre 1 et 2 ? Il peut sembler que vous devriez vous retrouver avec un joli nombre fini comme les autres exemples (bien que le nombre avec lequel vous vous retrouverez sera probablement très très grand), mais voyons ce qui se passe dans la pratique. Vous commencez par prendre 1.0 , 1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4 , 1.5 , 1.6 , 1.7 , 1.8 et 1.9 ; c'est dix nombres . Vous avez également 1.01 , 1.02 , 1.03 , 1.04 , 1.05 , 1.06 , 1.07 , 1.08 et 1.09 , ainsi que 1.11 , 1.12 , ... , 1.19 , etc. Une fois que vous avez ajouté 1,01 à 1,99, vous avez 100 numéros. Lorsque vous approfondissez, vous constatez que vous avez 1 000 nombres en incluant 1,001 à 1,999, puis 10 000 nombres en incluant 1,0001 à 1,9999, et ainsi de suite. Où vous arrêtez-vous ? Nulle part . Si vous continuez cet exercice pour toujours, vous constaterez que vous ne manquez jamais de chiffres. Ainsi, le nombre de valeurs distinctes entre 1 et 2 est dit infini. (à part : cette expérience peut être poussée plus loin pour montrer la différence entre un « infini dénombrable » et un « infini indénombrable », mais cela dépasse le cadre de cette discussion). Infinity agit donc comme un espace réservé. Il dit essentiellement « nous attendions un nombre mais à la place nous sommes restés coincés dans une boucle. accepté que 1 / l'infini est égal à zéro (bien que l'inverse ne soit pas nécessairement vrai - 1/0 n'est pas toujours considéré comme égal à zéro). L' infini est aussi parfois utilisé comme une instruction -- il dit « continuez pour toujours » ou plus généralement « imaginez ce qui se passerait si vous * pouviez * continuer pour toujours ». En ingénierie ( par opposition aux mathématiques pures ) , il est parfois considéré comme une instruction " continuer jusqu'à aller plus loin ne fait pas beaucoup de différence . " Par exemple , vous pourriez voir " la somme de 1 / n ^ 2 de n = 1 à l'infini " , ce qui signifie prendre 1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/4 ^ 2 + ... et ainsi de suite, sans jamais s'arrêter. Évidemment, vous ne pouvez pas effectuer un nombre infini d'additions, mais il s'avère que cette somme infinie converge en fait vers une valeur (pi^2/6 dans ce cas, assez intéressant, bien que la preuve soit quelque peu compliquée). Vous voyez aussi fréquemment des sommes infinies comme celle-ci où si vous continuez, vous vous retrouvez avec un autre infini - la somme de "n" de n = 1 à l'infini (c'est-à-dire 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + . ..) diverge à l'infini, c'est-à-dire que si vous continuez à additionner des nombres dans l'ordre et que vous ne vous arrêtez jamais, vous continuez à obtenir un nombre (significativement) de plus en plus grand.