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Donnez-moi une preuve que la racine carrée de 2 est irrationnelle
gpt
Une preuve par contradiction: 

Supposons que la racine carrée de 2 soit un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'elle peut être écrite sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs, $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont entiers premiers entre eux.

On peut alors carré chaque membre pour obtenir $2 = \frac{a^2}{b^2}$.

En multipliant chaque membre par $b^2$, on obtient $2b^2 = a^2$.

Cela signifie que $a^2$ est pair et par conséquent $a$ est pair, disons $a=2k$.

En substituant cela dans l'équation précédente, nous avons $2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$, donc $b^2 = 2k^2$.

Cela signifie que $b^2$ est pair et donc $b$ est également pair.

Mais cela contredit notre hypothèse de départ que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Nous avons donc atteint une contradiction et notre supposition initiale que la racine carrée de 2 est rationnelle est fausse.

Par conséquent, la racine carrée de 2 est nécessairement irrationnelle.