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Axiome du choix J'essaie d'envelopper ma tête autour de ce concept. Si quelqu'un pouvait gentiment le faire pour moi, je lui en serais reconnaissant. Merci ! S'il vous plaît, expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
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Vous avez un nombre infini de boîtes, chacune contenant des objets. Si l'axiome du choix est vrai, vous pouvez prendre une nouvelle boîte, parcourir les boîtes existantes et prendre un seul élément de chacune et le placer dans une nouvelle boîte. Si vous avez un moyen de choisir délibérément un objet , vous n'avez pas besoin d' axiome de choix , fondamentalement l' axiome de choix garantit que vous pouvez simplement choisir " n'importe quoi " . Cette hypothèse a d'abord été introduite d'une manière "bien, duh". Cela semblait si évident et si inoffensif qu'il ne semblait pas approprié qu'il ait même besoin d'être un axiome. Puis des résultats étranges ont commencé à affluer. De plus, des résultats très importants et non bizarres ont commencé à arriver. L'une des pierres angulaires des résultats étranges causés par l'Axiome du choix est l'existence d'ensembles non mesurables. Ces ensembles ne peuvent pas être prouvés sans AC , c'est-à-dire Axiom of Choice . Un ensemble non mesurable sur des nombres réels est un ensemble de nombres réels auquel vous ne pouvez pas attribuer de taille de manière cohérente. Par exemple, il existe une manière très naturelle d'attribuer des tailles à des ensembles de nombres réels. L'ensemble des nombres de 0 à 1 a une longueur de 1 . L'ensemble des nombres de 50 à 100 a une longueur de 50 . Vous pouvez étendre cette intuition apparemment à l' infini , par exemple , un seul point a une longueur de 0 . L'ensemble des nombres naturels a une longueur de 0 . Pendant un certain temps, les mathématiciens pensaient que chaque ensemble pouvait se voir attribuer une taille. Mais si vous pouvez utiliser l'axiome du choix, vous pouvez construire un ensemble qui refuse tout concept de taille que vous lui assignez. Ce n'est pas 0, ce n'est pas 1, ce n'est rien au-dessus ni rien entre les deux. Il existe des collections de résultats bizarres qui peuvent être prouvés une fois que vous avez mis la main sur un ensemble non mesurable, chacun plus bizarre que le précédent. Mais l'axiome de choix est également requis pour un tas de résultats très importants que nous pensons être vrais et qui devraient être vrais. Vous ne pouvez pas prouver ces choses importantes à moins d'assumer l'axiome du choix. Donc, ce que font les mathématiciens, c'est qu'ils supposent AC, mais ils prennent ensuite généralement des mesures supplémentaires pour interdire les ensembles non mesurables des parties qu'ils hébergent afin de maintenir les niveaux d'étrangeté bas. C'est un peu moche mais ça marche, vous obtenez tous les bons résultats de l'AC et vous n'avez surtout pas besoin de faire face à ces effets secondaires bizarres qu'il a. Enfin, mon favori personnel des résultats bizarres d'AC. La section des commentaires a Terence Tao expliquer cela et comment ce paradoxe ressemble au paradoxe de Banach-Tarski. L'article de blog lui-même est accessible aux profanes, le commentaire de Terry Taos n'est pas : URL_0 Pour la plupart, quand les gens disent "AC est faux", cela ne signifie pas vraiment qu'ils croient qu'il ne devrait pas être utilisé, mais trouver la bonne position dans le visage des choses bizarres qui en découlent peut être assez frustrant si vous êtes proche et personnel avec eux.