human
Que sont les vecteurs propres et les valeurs propres ? J'ai du mal à comprendre ce qu'est une valeur propre et à quoi elle sert. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Je vais essayer d'offrir une meilleure explication. Vous savez ce qu'est une matrice et comment multiplier une matrice par un vecteur. Cette matrice représente une * transformation linéaire * relative à un * choix de base * . Que veulent dire ces termes ? Une transformation est une machine qui transforme des vecteurs. Le mécanisme de transformation de ces vecteurs est, dans ce cas, la multiplication par une matrice. Il en existe d'autres, comme la mise à l'échelle, la rotation, etc. Il s'avère cependant que *toutes* les transformations linéaires peuvent être représentées sous forme de matrice. Une base est un outil que nous utilisons pour représenter des vecteurs dans un espace vectoriel. Etant donné un espace vectoriel à n dimensions, et n vecteurs b_1...b_n- si ces vecteurs forment une base, alors on peut écrire n'importe quel vecteur comme une somme de ces vecteurs de base multipliés par des nombres. Le temps d'un exemple. Dans l' espace vectoriel normal à deux dimensions , le choix habituel de la base est [ 1,0 ] et [ 0,1 ] . Alors , un vecteur [ x , y ] est " x du premier vecteur de base et y du second " . Mais il n'y a rien de particulier dans le choix de [1,0] et [0,1]. Si à la place la base était [ 1,2 ] et [ 2,3 ] , alors un vecteur [ 5,-6 ] signifierait " 5 de [ 1,2 ] " ( c'est-à-dire [ 5,10 ] ) moins " 6 de [ 2,3 ] " ( c'est-à-dire [ 12,18 ] ) , ou , en d'autres termes , [ -7,-8 ] . Revenons maintenant à la matrice. Lorsque nous avons une matrice telle que [ [ 1 0 ] , [ 0 1 ] ] , cela signifie que " la transformation du premier vecteur de base est l'un des premiers et aucun des seconds vecteurs de base , et la transformation du deuxième vecteur de base vector n'est aucun des premier et un des seconds vecteurs de base " . Vous pouvez reconnaître cela comme la matrice d'identité ou la transformation d'identité. Il laisse tout inchangé, et ce, peu importe ce que sont réellement ces vecteurs de base. Pour d'autres matrices, ce n'est pas le cas. Si vous voulez réellement * dessiner * la transformation, vous devez savoir quels sont les vecteurs de base. En classe , cela fonctionne bien car nous supposons simplement que les vecteurs de base sont [ 1,0 ] et [ 0,1 ] et ainsi de suite , mais pour des applications plus sophistiquées , ce n'est plus le cas . Voici le truc : lorsque vous changez de base, la matrice change. Il représente toujours la même transformation sous-jacente (quand vous le dessinez), mais les nombres dans le tableau changent, car ces nombres dépendent non seulement de la transformation mais aussi de la base. Voici le deuxième kicker : certaines bases sont meilleures que d'autres. Pour certaines matrices , et certaines bases , la matrice devient * diagonale * ( comme la matrice identité , mais éventuellement avec d' autres nombres que des 1 ) . Il s'avère que les matrices diagonales ont des qualités extrêmement utiles ! Donc, si nous pouvions trouver une base qui rend notre matrice diagonale, ce serait incroyable. Et le troisième kicker : Cette super-base, si elle existe, est juste les vecteurs propres, et les nombres dans la matrice diagonale, sont juste les valeurs propres ! Donc, comme vous pouvez le voir, la base des vecteurs propres représente une base dans laquelle la transformation en question devient aussi simple que possible. C'est le choix ultime de la longue-vue avec laquelle enquêter sur une transformation.