human
Mathématiques de première année Prouvez-moi que 2 + 2=4 , et non 5 . En surface, c'est évident, mais comme le dit le cliché, "prouvez-le." Ou prouvez d'autres mathématiques de première année. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
C'est une bonne question, une que de nombreux mathématiciens ont consacré leur vie à étudier. Je vais essayer de garder l'explication simple, mais puisque vous demandez un niveau de rigueur plus élevé, l'explication risque d'être un peu lourde. Ce que vous recherchez, ce sont les [axiomes de Peano] (URL_0). Il s'agit d'un ensemble d'énoncés supposés vrais pour les nombres naturels (les nombres 0,1,2,3, etc...). Une chose à laquelle vous devrez vous habituer est le fait que les mathématiques sont toutes construites sur des hypothèses comme celle-ci, sans aucune preuve. Le défi vient de l'exigence que vous n'utilisiez qu'un certain ensemble d'axiomes, et pas plus. Ainsi , il faut montrer que toute déclaration * autre * découle logiquement de ces axiomes . Quoi qu'il en soit , les axiomes de Peano sont : 1 . 0 est un nombre naturel. 2 . Pour tout nombre naturel n , S(n ) est aussi un nombre naturel . ( S(n ) est appelée la fonction successeur , elle vous donne juste le nombre naturel suivant . ) 3 . Il n'y a pas de nombres naturels n tels que S(n)=0 . 4 . Pour deux nombres naturels n & m , si S(n)=S(m ) , alors n = m. ( Si vous comparez avec la page Wikipédia , vous remarquerez qu'il y en a d' autres , mais je les ai ignorées afin de garder l' explication plus claire . ) Maintenant , nous devons dire quels sont les nombres : nous définissons 1 comme étant S (0 ) , 2 : = S(1 ) , 3 : = S(2 ) , etc. ( Le signe : = signifie que nous définissons quelque chose . ) Maintenant , nous devons dire ce qu'est l' addition . D'abord, pour un nombre naturel n, on dit que n+0 = n. Alors , pour l'entier naturel n & m , on dit que n+S(m)=S(n+m ) . Cela suffit, comme nous le verrons plus tard. Nous avons maintenant suffisamment d'hypothèses et de définitions pour prouver que 2 + 2=4 , et en plus , que 2 + 2 n'est pas 5 . Théorème : 2 + 2=4 . Preuve : Rappelez-vous comment nous avons défini les nombres , 2 = S(1)=S(S(0 ) ) , et 4 = S(3)=S(S(2))=S(S(S(S(0 ) ) ) ) . Donc , 2 + 2=2+S(1)=S(2 + 1 ) . Maintenant , 2 + 1=2+S(0)=S(2 + 0 ) et 2 + 0=2 . Donc , S(2 + 0)=S(2)=3 , donc S(2 + 1)=S(S(2 + 0))=S(S(2))=4 , donc puisque 2 + 2 = S(2 + 1 ) , on a que 2 + 2=4 . Théorème : 2 + 2 n'est pas 5 . Preuve : Rappelez-vous que 2 + 2=4 . Le problème est donc le même que celui de montrer que 4 ! = 5 . ( ! = signifie ' différent de ' ) . Et s'ils * étaient * pareils ? Cela signifierait que 4=5 , ou S(3)=S(4 ) . Par l'axiome 4 , cela signifie que 3=4 . De cela, nous voyons que S(2)=S(3 ) , donc 2=3 , donc S(1)=S(2 ) , donc 1=2 , donc S(0)=S(1 ) , donc 0 =1 , donc S(0)=0 . Ce dernier contredit l'axiome 3, un seul d'entre eux peut être vrai. Puisque nous supposons que les axiomes de Peano sont corrects, S(0)=0 doit être faux ! Mais cela signifie que 0=1 est faux , tout comme 1=2 , etc ... jusqu'à 4=5 . Donc 4=5 est faux , ce qui signifie que 2 + 2=5 est également faux , donc 2 + 2 ! = 5 .