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Veuillez expliquer ce qu'est "l'échantillonnage de Monte Carlo"
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Les méthodes de Monte Carlo, ou expériences de Monte Carlo, sont une large classe d'algorithmes de calcul qui reposent sur un échantillonnage aléatoire répété pour obtenir des résultats numériques. Le concept sous-jacent est d'utiliser le caractère aléatoire pour résoudre des problèmes qui pourraient être déterministes en principe. Ils sont souvent utilisés dans des problèmes physiques et mathématiques et sont particulièrement utiles lorsqu'il est difficile ou impossible d'utiliser d'autres approches. Les méthodes de Monte Carlo sont principalement utilisées dans trois classes de problèmes : l'optimisation, l'intégration numérique et la génération de tirages à partir d'une distribution de probabilité.
Dans les problèmes liés à la physique, les méthodes de Monte Carlo sont utiles pour simuler des systèmes avec de nombreux degrés de liberté couplés, tels que des fluides, des matériaux désordonnés, des solides fortement couplés et des structures cellulaires (voir le modèle de Potts cellulaire, les systèmes de particules en interaction, les processus McKean – Vlasov, modèles cinétiques des gaz).
D'autres exemples incluent la modélisation de phénomènes avec une incertitude significative dans les intrants tels que le calcul du risque en entreprise et, en mathématiques, l'évaluation d'intégrales définies multidimensionnelles avec des conditions aux limites compliquées. Dans l'application aux problèmes d'ingénierie des systèmes (espace, exploration pétrolière, conception d'avions, etc.), les prédictions basées sur Monte Carlo des défaillances, des dépassements de coûts et des dépassements de calendrier sont systématiquement meilleures que l'intuition humaine ou d'autres méthodes "douces".
En principe, les méthodes de Monte Carlo peuvent être utilisées pour résoudre tout problème ayant une interprétation probabiliste. Par la loi des grands nombres , les intégrales décrites par la valeur attendue d'une variable aléatoire peuvent être approximées en prenant la moyenne empirique (alias la «moyenne de l'échantillon») d'échantillons indépendants de la variable. Lorsque la distribution de probabilité de la variable est paramétrée, les mathématiciens utilisent souvent un échantillonneur de chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC). L'idée centrale est de concevoir un modèle de chaîne de Markov judicieux avec une distribution de probabilité stationnaire prescrite. Autrement dit, à la limite, les échantillons générés par la méthode MCMC seront des échantillons de la distribution (cible) souhaitée. Par le théorème ergodique, la distribution stationnaire est approximée par les mesures empiriques des états aléatoires de l'échantillonneur MCMC.
Dans d'autres problèmes, l'objectif est de générer des tirages à partir d'une séquence de distributions de probabilité satisfaisant une équation d'évolution non linéaire. Ces flux de distributions de probabilités peuvent toujours être interprétés comme les distributions des états aléatoires d'un processus de Markov dont les probabilités de transition dépendent des distributions des états aléatoires courants (voir Processus de McKean-Vlasov, équation de filtrage non linéaire). Dans d'autres cas, on nous donne un flux de distributions de probabilité avec un niveau croissant de complexité d'échantillonnage (modèles d'espaces de chemin avec un horizon temporel croissant, mesures de Boltzmann-Gibbs associées à des paramètres de température décroissants, et bien d'autres). Ces modèles peuvent aussi être vus comme l'évolution de la loi des états aléatoires d'une chaîne de Markov non linéaire.[10] Une façon naturelle de simuler ces processus de Markov non linéaires sophistiqués consiste à échantillonner plusieurs copies du processus, en remplaçant dans l'équation d'évolution les distributions inconnues des états aléatoires par les mesures empiriques échantillonnées. Contrairement aux méthodologies traditionnelles de Monte Carlo et MCMC, ces techniques de particules à champ moyen reposent sur des échantillons en interaction séquentielle. La terminologie champ moyen reflète le fait que chacun des échantillons (particules, individus, marcheurs, agents, créatures ou phénotypes) interagit avec les mesures empiriques du processus. Lorsque la taille du système tend vers l'infini, ces mesures empiriques aléatoires convergent vers la distribution déterministe des états aléatoires de la chaîne de Markov non linéaire, de sorte que l'interaction statistique entre les particules s'annule.
Malgré sa simplicité conceptuelle et algorithmique, le coût de calcul associé à une simulation de Monte Carlo peut être incroyablement élevé. En général, la méthode nécessite de nombreux échantillons pour obtenir une bonne approximation, ce qui peut entraîner un temps d'exécution total arbitrairement grand si le temps de traitement d'un seul échantillon est élevé. Bien qu'il s'agisse d'une limitation sévère dans les problèmes très complexes, la nature parallèle embarrassante de l'algorithme permet de réduire ce coût important (peut-être à un niveau réalisable) grâce à des stratégies de calcul parallèle dans les processeurs locaux, les clusters, le cloud computing, le GPU, le FPGA, etc. .[12][13][14][15]