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Pourquoi les options de style américain valent-elles plus que les options de style européen ?
gpt
Si vous aimez les maths, faites cette expérience de pensée : Considérez le résultat X d'un processus de marche aléatoire (un stock ne se comporte pas de cette façon, mais pour comprendre la question que vous avez posée, c'est utile) : Le premier jour, X =un entier X1. Chaque jour suivant, X augmente ou diminue de 1 avec une probabilité de 1/2. Imaginons l'achat d'une option d'achat sur X. Une option européenne avec un prix d'exercice de S qui expire le jour N, si elle est détenue jusqu'à ce jour et ensuite exercée si elle est rentable, donnerait une valeur Y = min(X[N]-S , 0). Cela a une valeur attendue E[Y] que vous pouvez réellement calculer. (devrait être lié à la distribution binomiale, mais mon chapeau de probabilité et de statistiques ne fonctionne pas très bien aujourd'hui) La valeur marchande V[k] de cette option le jour #k, où 1 < k < N, devrait être V[k ] = E[Y]|X[k], que vous pouvez également calculer. Au jour #N, V[N] = Y. (la valeur est connue) Une option américaine, si elle est détenue jusqu'au jour #k puis exercée si elle est rentable, donnerait une valeur Y[k] = min(X[k]- S, 0). Pour le moment, oubliez de vendre l'option sur le marché. (donc, les choix sont soit de l'exercer un jour #k, soit de le laisser expirer) Disons que c'est le jour k=N-1. Si X[N-1] >= S+1 (in the money), alors vous avez deux choix : exercer aujourd'hui, ou exercer demain si c'est rentable. La valeur attendue est la même. (Les deux sont égaux à X[N-1]-S). Alors autant l'exercer et utiliser son argent ailleurs. Si X[N-1] <= S-1 (hors de la monnaie), la valeur attendue est 0, que vous fassiez de l'exercice aujourd'hui, quand vous savez que ça ne vaut rien, ou que vous attendiez jusqu'à demain, quand le meilleur des cas est si X [N-1]=S-1 et X[N] monte à S, donc l'option est toujours sans valeur. Mais si X[N-1] = S (à la monnaie), c'est là que ça devient intéressant. Si vous faites de l'exercice aujourd'hui, ça vaut 0. Si vous attendez demain, il y a 1/2 chance que ça vaille 0 (X[N]=S-1), et 1/2 chance que ça vaille 1 (X[N]=S +1). Ah ! La valeur attendue est donc 1/2. Par conséquent, vous devriez attendre jusqu'à demain. Disons maintenant que c'est le jour k=N-2. Situation similaire, mais plus de choix : Si X[N-2] >= S+2, vous pouvez soit le vendre aujourd'hui, auquel cas vous connaissez la valeur = X[N-2]-S, soit vous pouvez attendre jusqu'à demain , lorsque la valeur attendue est également X[N-2]-S. Encore une fois, vous pourriez aussi bien l'exercer maintenant. Si X[N-2] <= S-2, vous savez que l'option est sans valeur. Si X[N-2] = S-1, ça vaut 0 aujourd'hui, alors que si on attend demain, ça vaut soit une espérance de 1/2 si ça monte (X[N-1]=S), soit 0 s'il descend, pour une valeur nette attendue de 1/4, vous devez donc attendre. Si X[N-2] = S, ça vaut 0 aujourd'hui, alors que demain ça vaut soit une valeur attendue de 1 si ça monte, soit 0 si ça baisse -> valeur nette attendue de 1/2, donc il faut attendre . Si X[N-2] = S+1, il vaut 1 aujourd'hui, alors que demain il vaut soit une valeur attendue de 2 s'il monte, soit 1/2 s'il baisse (X[N-1]=S) -> valeur nette attendue de 1,25, vous devez donc attendre. Si c'est le jour k=N-3, et X[N-3] >= S+3 alors E[Y] = X[N-3]-S et vous devriez l'exercer maintenant ; ou si X[N-3] <= S-3 alors E[Y]=0. Mais si X[N-3] = S+2 alors il y a une valeur attendue E[Y] de (3+1.25)/2 = 2.125 si vous attendez jusqu'à demain, contre l'exercer maintenant avec une valeur de 2 ; si X[N-3] = S+1 alors E[Y] = (2+0,5)/2 = 1,25, vs valeur d'exercice de 1 ; si X[N-3] = S alors E[Y] = (1+0,5)/2 = 0,75 vs valeur d'exercice de 0 ; si X[N-3] = S-1 alors E[Y] = (0,5 + 0)/2 = 0,25, contre une valeur d'exercice de 0 ; si X[N-3] = S-2 alors E[Y] = (0,25 + 0)/2 = 0,125, contre une valeur d'exercice de 0. (Dans les 5 cas, attendez jusqu'à demain.) Vous pouvez continuer ainsi ; la formule de récurrence est E[Y]|X[k]=S+d = {(E[Y]|X[k+1]=S+d+1)/2 + (E[Y]|X[k +1]=S+d-1) pour N-k > d > -(N-k), quand il faut attendre et voir} ou {0 pour d <= -(N-k), quand ça n'a pas d'importance et que l'option est sans valeur } ou {d pour d >= N-k, quand vous devriez exercer l'option maintenant}. La valeur marchande de l'option le jour #k devrait être la même que la valeur attendue pour quelqu'un qui peut soit l'exercer, soit attendre. Il devrait être possible de montrer que la valeur attendue d'une option américaine sur X est supérieure à la valeur attendue d'une option européenne sur X. La raison intuitive est que si l'option est dans la monnaie d'un montant suffisamment important pour qu'elle ne soit pas possible d'être hors de la monnaie, l'option doit être exercée par anticipation (ou vendue), ce qu'une option européenne ne permet pas, alors que si elle est presque à la monnaie, l'option doit être conservée, alors que si elle est hors de la l'argent par un montant suffisamment important pour qu'il ne soit pas possible d'être dans l'argent, l'option est définitivement sans valeur. En ce qui concerne les vrais titres, ce ne sont pas des marches aléatoires (ou du moins, les probabilités varient dans le temps et sont plus complexes), mais il devrait y avoir des situations analogues. Et s'il y a une forte probabilité qu'une action baisse, il est temps d'exercer/vendre une option américaine dans le cours, alors que vous ne pouvez pas le faire avec une option européenne. edit: ... que savez-vous: le calcul que j'ai donné ci-dessus pour la marche aléatoire n'est pas trop différent sur le plan conceptuel du modèle de tarification des options binomiales.