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Veuillez expliquer ce que sont les "équations de Navier-Stokes"
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En physique, les équations de Navier-Stokes (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) sont des équations aux dérivées partielles qui décrivent le mouvement de substances fluides visqueuses, du nom de l'ingénieur et physicien français Claude-Louis Navier et du physicien et mathématicien anglo-irlandais George Gabriel Stokes. Ils ont été développés sur plusieurs décennies de construction progressive des théories, de 1822 (Navier) à 1842–1850 (Stokes).
Les équations de Navier-Stokes expriment mathématiquement la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de la masse pour les fluides newtoniens. Elles sont parfois accompagnées d'une équation d'état reliant la pression, la température et la densité. Ils découlent de l'application de la deuxième loi d' Isaac Newton au mouvement des fluides, ainsi que de l'hypothèse que la contrainte dans le fluide est la somme d'un terme visqueux diffusant (proportionnel au gradient de vitesse) et d'un terme de pression - décrivant ainsi l'écoulement visqueux. La différence entre elles et les équations d'Euler étroitement liées est que les équations de Navier – Stokes prennent en compte la viscosité tandis que les équations d'Euler ne modélisent que l'écoulement non visqueux. En conséquence, les Navier-Stokes sont une équation parabolique et ont donc de meilleures propriétés analytiques, au détriment d'avoir moins de structure mathématique (par exemple, ils ne sont jamais complètement intégrables).
Les équations de Navier-Stokes sont utiles car elles décrivent la physique de nombreux phénomènes d'intérêt scientifique et technique. Ils peuvent être utilisés pour modéliser la météo, les courants océaniques, le débit d'eau dans un tuyau et le débit d'air autour d'une aile. Les équations de Navier-Stokes, dans leurs formes complètes et simplifiées, aident à la conception d'avions et de voitures, à l'étude du flux sanguin, à la conception de centrales électriques, à l'analyse de la pollution et bien d'autres choses. Couplées aux équations de Maxwell, elles permettent de modéliser et d'étudier la magnétohydrodynamique.
Les équations de Navier-Stokes sont également d'un grand intérêt dans un sens purement mathématique. Malgré leur large éventail d'utilisations pratiques, il n'a pas encore été prouvé si des solutions lisses existent toujours en trois dimensions, c'est-à-dire si elles sont infiniment différentiables (ou même simplement bornées) en tous points du domaine. C'est ce qu'on appelle le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes. Le Clay Mathematics Institute a qualifié ce problème de l'un des sept problèmes ouverts les plus importants en mathématiques et a offert un prix d'un million de dollars américains pour une solution ou un contre-exemple.