human
Comment Pi peut-il être à la fois infiniment long et non répétitif ? Je ne comprends pas. S'il est infiniment long, ne répéterait-il pas une chaîne de nombres infiniment longue un nombre infini de fois ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Cela va être une longue explication. Je vais montrer comment il y a des nombres qui sont infiniment longs et non répétitifs. Pi se trouve être l'un d'entre eux. Je vais le montrer en deux parties. Tout d'abord, je montrerai que tout nombre qui a un morceau répétitif à la fin peut être représenté par une fraction de la forme a/b. Deuxièmement, je montrerai qu'il existe au moins un nombre différent de TOUTE combinaison de a et b (a/b). Veuillez noter que je vais prendre quelques simplifications ici et là pour éviter que cela ne devienne TROP verbeux ! Notation : Au lieu de " 0.05050505 ... " j'écrirai " 0.[05 ] " . Étape 1a. Je vais me limiter aux nombres de la forme 0.[x ] où ' x ' est une suite finie d'entiers . Cela couvrira donc des nombres comme 0.111111 .... et 0.453453453453 .... Si vous voulez penser à des nombres comme 352.0124545454545 ... , vous pouvez le convertir en 352.012 + 0.000[45 ] . Cela devient 352012/1000 + 0.[45]/1000 , et si je peux trouver un c / d pour 0,45 , j'aurai la réponse 352012/1000 + c/(d*1000 ) . Cela devient ( c + 352012*d)/(1000*d ) , qui est de la forme a / b. Étape 1b. Regardons maintenant 0.[45 ] et montrons qu'il est de la forme a / b. * Définir a / b = 0.[45 ] * 100a / b = 45.[45 ] * 99a / b + a / b = 45 + .[45 ] * 99a / b = 45 ( soustrayez cette première égalité ci-dessus ) * a / b = 45/99 Waouh ! Tout nombre qui se répète à la fin peut être transformé en une paire d'entiers ! Et l'inverse est vrai si nous travaillons à l'envers. Chaque paire de la forme a / b se transformera en un nombre qui est soit fini ( se termine par ... [ 0 ] ) ou a un morceau répétitif à la fin . Il existe donc une équivalence exacte entre tous les nombres avec des éléments répétitifs (y compris la répétition [0]) et des paires d'entiers. N'importe quelle chose à nombre répétitif peut être transformée en a/b, et n'importe quel a/b se transformera en une chose à nombre répétitif. Étape 2 . Maintenant , les trucs amusants . Il y a au moins un nombre QUI NE PEUT PAS ÊTRE TRANSFORMÉ EN UNE PAIRE D'ENTIERS. C'est-à-dire, IL N'AURA JAMAIS DE RÉPÉTITION À LA FIN ! ! ! Il s'agit d'une simplification de l'argument Diagonal de Cantor. Il s'agit d'une preuve générée par Georg Cantor à la fin des années 1800 pour démontrer qu'il existe différents ordres d'infini. Et que l'ensemble des rationnels (tous les nombres de la forme a/b) est infini, mais l'ensemble de tous les réels (ajoutez pi et e et d'autres nombres amusants) est un plus grand infini. Faire une énorme grille. Étiquetez chaque ligne avec un entier . Étiquetez chaque colonne avec un entier . Mettez maintenant la valeur a/b dans chaque cellule où a est la ligne et b est la colonne. (Notez que b doit être > 0.) Tracez maintenant une ligne à travers toutes les cellules. Allez ( en utilisant la notation Excel ) A1 , B1 , A2 , A3 , B2 , C1 , D1 , C2 , B3 , A4 , A5 , B4 , C3 , D2 , E1 , ... Vous venez de produire une commande de CHAQUE nombre de la forme a/b. Maintenant, nous allons construire un NOUVEAU nombre Q. Commençons par « 0. » pour commencer notre nouveau nombre (Q). Allez maintenant le long de cette ligne. Nous obtiendrons le premier chiffre de Q (les dixièmes) en choisissant un nombre différent du premier chiffre du premier nombre sur la ligne. Nous obtiendrons le deuxième chiffre de Q en choisissant un nombre différent du deuxième chiffre du deuxième nombre sur la ligne. Ainsi de suite . Lorsque nous avons terminé (conceptuellement puisqu'il y a un nombre infini de chiffres dans Q), nous avons construit un nombre qui est différent de CHAQUE nombre sur la ligne ! C'est vrai , si vous dites " hé c'est le même que le 103 232ème numéro sur la ligne " , je dirai " non , parce que le 103 232ème chiffre de Q est différent du 103 232ème chiffre de tout ce qui était sur la ligne . " Nous avons donc terminé . Nous avons construit un nombre qui est différent de tout a/b. Il ne peut donc pas se terminer par une séquence répétitive d'aucune sorte. Hé , si ça vous épate , vous êtes en bonne compagnie . Pratiquement tous les mathématiciens de l'époque de Cantor ont été également époustouflés et ont refusé d'accepter les résultats. Il a fallu toute une nouvelle génération de mathématiciens pour vraiment accepter ce qui se passait ! Edit : mise en forme.