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Quelle est la différence entre le minimum et l'infimum
gpt
Le minimum est atteint, l'infimum ne l'est pas nécessairement. 
Exemple.
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. Alors $f$ n'a pas de valeur minimale sur l'intervalle $(0,\infty)$. Le minimum est le plus petit élément de l'ensemble. C'est-à-dire que
$$
\min\{f(x)\mid x\in (0,\infty)\}
$$
n'existe pas car il n'y a pas de plus petit nombre dans l'ensemble.
Un autre exemple est le minimum de l'ensemble $S = (0,1) = \{x\mid 0<x<1\}$. Ici encore, il n'y a pas de plus petit nombre
$$
\min\{x\mid 0<x<1\}
$$
n'existe pas.
L'infimum d'un ensemble $S$ est défini comme le plus grand nombre qui est inférieur ou égal à tous les éléments de S (d'après Wikipedia). L'infimum est parfois appelé la borne inférieure maximale.
Il est un fait que tout ensemble non vide (borné inférieurement) de nombres réels a un infimum. Mais, comme nous l'avons vu, tous les ensembles réels n'ont pas de minimum.
Donc, dans l'exemple
$$
\inf\{f(x)\mid x\in (0,\infty)\} = 0.
$$
Notez que l'infimum et le minimum peuvent être identiques. Considérez par exemple $S = \{1,2,3,\dots\}$. Alors l'infimum et le minimum sont tous les deux $1$.
Considérez cet autre exemple. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$, alors il est un fait que $f$ atteint un minimum sur cet intervalle. Donc ici encore
$$
\inf\{f(x)\mid x\in [a,b]\} = \min\{f(x)\mid x\in [a,b]\}.
$$