human
Pourquoi les mathématiciens disent-ils toujours qu'une tasse de café équivaut à un beignet ? J'espère une explication sur le concept d'homéomorphisme (alias équivalence topologique) afin que je puisse mieux comprendre le concept de variétés géométriques. Merci d'avance ! Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
En géométrie euclidienne, vous pouvez comparer des triangles. Vous considérez que les triangles sont identiques s'ils deviennent identiques après avoir appliqué une transformation à partir d'un certain ensemble de transformations appelées mouvements . Ensuite, vous pouvez étudier les propriétés des triangles qui ne dépendent pas des positions réelles des triangles. Par exemple, vous pourriez trouver que deux triangles ne peuvent pas être identiques s'ils ont des ensembles différents de longueurs de leurs côtés, dans ce cas, leurs ensembles d'angles seraient également différents et vous ne pourriez pas inventer un mouvement qui ferait ces deux triangles coïncider. Il y a donc des propriétés d'objets qui sont conservées sous la collection de transformations que vous aviez en tête. Vous pourriez considérer une collection différente de transformations et poser la question quelles sont les propriétés des objets qui ne sont pas modifiées par ces transformations. Si vous prenez les homéomorphismes, vous obtiendrez des propriétés appelées topologiques. Ceux-ci sont très intéressants et très utiles. Quelques exemples : le nombre de composants connectés, le nombre de trous ou de poignées sont autant de propriétés topologiques. C'est-à-dire que si vous appliquez un homéomorphisme à l'objet qui vous intéresse, le résultat aura le même nombre ou des composantes connexes.