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Veuillez expliquer ce qu'est un "processus stochastique"
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Dans la théorie des probabilités et les domaines connexes, un processus stochastique (/stoʊˈkæstɪk/) ou aléatoire est un objet mathématique généralement défini comme une famille de variables aléatoires. Les processus stochastiques sont largement utilisés comme modèles mathématiques de systèmes et de phénomènes qui semblent varier de manière aléatoire. Les exemples incluent la croissance d'une population bactérienne, un courant électrique fluctuant en raison du bruit thermique ou le mouvement d'une molécule de gaz. Les processus stochastiques ont des applications dans de nombreuses disciplines telles que la biologie, la chimie, l'écologie, les neurosciences, la physique,[10] le traitement d'images, le traitement du signal,[11] la théorie du contrôle,[12] la théorie de l'information,[13] l'informatique,[14] la cryptographie. [15] et télécommunications.[16] En outre, des changements apparemment aléatoires sur les marchés financiers ont motivé l'utilisation intensive de processus stochastiques en finance.[17][18][19]
Les applications et l'étude des phénomènes ont à leur tour inspiré la proposition de nouveaux processus stochastiques. Des exemples de tels processus stochastiques incluent le processus de Wiener ou le processus de mouvement brownien,[a] utilisé par Louis Bachelier pour étudier les variations de prix à la Bourse de Paris,[22] et le processus de Poisson, utilisé par A. K. Erlang pour étudier le nombre d'appels téléphoniques. dans un certain laps de temps.[23] Ces deux processus stochastiques sont considérés comme les plus importants et les plus centraux de la théorie des processus stochastiques[24] et ont été découverts à plusieurs reprises et indépendamment, avant et après Bachelier et Erlang, dans différents contextes et pays[22][25].
Le terme fonction aléatoire est également utilisé pour désigner un processus stochastique ou aléatoire, [26] [27] car un processus stochastique peut également être interprété comme un élément aléatoire dans un espace fonctionnel [28] [29]. Les termes processus stochastique et processus aléatoire sont utilisés de manière interchangeable, souvent sans espace mathématique spécifique pour l'ensemble qui indexe les variables aléatoires. Mais souvent ces deux termes sont utilisés lorsque les variables aléatoires sont indexées par des entiers ou un intervalle de la droite réelle.[30] Si les variables aléatoires sont indexées par le plan cartésien ou un espace euclidien de dimension supérieure, la collection de variables aléatoires est généralement appelée champ aléatoire à la place.[31] Les valeurs d'un processus stochastique ne sont pas toujours des nombres et peuvent être des vecteurs ou d'autres objets mathématiques.[29]
Sur la base de leurs propriétés mathématiques, les processus stochastiques peuvent être regroupés en différentes catégories, notamment les marches aléatoires,[32] les martingales,[33] les processus de Markov,[34] les processus de Lévy,[35] les processus gaussiens,[36] les champs aléatoires,[ 37] processus de renouvellement et processus de branchement.[38] L'étude des processus stochastiques utilise des connaissances et des techniques mathématiques issues des probabilités, du calcul, de l'algèbre linéaire, de la théorie des ensembles et de la topologie[39][40][41] ainsi que des branches de l'analyse mathématique telles que l'analyse réelle, la théorie de la mesure, l'analyse de Fourier, et analyse fonctionnelle.[42][43][44] La théorie des processus stochastiques est considérée comme une contribution importante aux mathématiques [45] et continue d'être un sujet de recherche actif pour des raisons théoriques et des applications. [46] [47] [48]