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N'importe lequel des sept problèmes du prix du millénaire Je viens de lire un article sur ces problèmes sur Wikipédia mais je n'y ai pratiquement rien compris. Quelqu'un peut-il expliquer l'un de ces problèmes dans un langage simple ? Surtout celui qui a été résolu. Merci . Explique comme si j'avais cinq ans.
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* * La conjecture de Poincaré . * * Oh mon garçon. Celui-ci est rude. Je ne comprends que trois des problèmes du prix du millénaire, et c'est celui qui prend le plus d'informations de fond. Je vais essayer d'être le moins rigoureux et le plus rapide possible. ---- * I. Espaces euclidiens * Je suppose que vous avez entendu parler de certains des concepts suivants : points, lignes, plans, espace. Ce sont les « espaces euclidiens » à 0 dimension, 1 dimension, 2 dimensions et 3 dimensions respectivement. Qu'est-ce que cela signifie ? La dimension d'un espace est le plus petit nombre de directions dont vous avez besoin pour aller n'importe où. En avion, on peut aller n'importe où en allant un peu dans la direction est-ouest puis un peu nord-sud. Dans l'espace, vous devez ajouter de haut en bas. Sur une ligne , vous n'avez besoin que d' est - ouest . Sur un point, eh bien, vous n'avez besoin de rien du tout. Bon ? Bon . Alors pourquoi sont-ils euclidiens ? Cela signifie simplement qu'ils ne sont pas incurvés et qu'ils n'ont pas de trous. Pas courbé signifie que si vous marchez en ligne, vous ne rentrerez jamais chez vous. Une sphère est courbée. Si vous faites la queue, vous rentrerez chez vous. Aucun trou signifie que tout chemin aller-retour que vous empruntez peut être progressivement réduit jusqu'à ce qu'il devienne un point. Pourquoi ? Eh bien, si vous déchiriez un trou dans un morceau de papier et que vous fassiez un chemin en boucle autour de lui, vous pourriez le rétrécir et le rétrécir autant que vous vouliez, mais vous ne seriez pas capable d'en faire un point sans sauter par-dessus le trou. Et si vous pouvez y penser (et même si vous ne le pouvez pas), il existe un espace euclidien à 4 dimensions, et même un espace à 5 dimensions. Et 6 , 7 , et tous ces autres nombres aussi . Frais . Content que tu sois toujours avec moi . ---- * II . Collecteurs * Parlons maintenant des collecteurs . Ne vous inquiétez pas, ils ne sont pas aussi effrayants qu'ils en ont l'air ! En fait, vous vivez sur un. Alors n'ayez pas trop peur. Une variété est quelque chose qui « ressemble » à un espace euclidien où que vous vous trouviez. C'est-à-dire que si vous prenez votre collecteur et sautez dans Google Street View à n'importe quel endroit du collecteur, vous penseriez si vous ne saviez pas mieux que vous étiez dans un espace euclidien. Ne vous inquiétez pas, les exemples arrivent ! Je t'ai dit que tu vivais sur un collecteur. Vous faites ! Nous vivons sur une sphère. À n'importe quel point d'une sphère, si vous regardiez autour de vous, vous penseriez que vous êtes sur un plan, qui est un espace euclidien à 2 dimensions ! Cela fait d'une sphère une variété à 2 (le nombre est la dimension de l'espace euclidien dans lequel on a l'impression d'être). Vous craignez peut-être que la courbure de la Terre ne la trahisse, mais les topologues ne se soucient pas du tout des angles des choses. Un cube est aussi un collecteur, car même au coin, on a l'impression d'être dans un avion (quoique plutôt courbé). En fait, les topologues considèrent que les sphères et les cubes ont la même forme. Quel est un exemple de quelque chose qui n'est pas une variété ? Un chiffre 8 n'est pas une variété. À la plupart des points (tous sauf un en fait !), il semble que nous soyons dans un espace euclidien unidimensionnel (c'est-à-dire une ligne). Mais si vous vous tenez au point où les deux boucles se rencontrent, vous sauriez que quelque chose de bizarre est en train de se passer. Vous pouvez vous déplacer dans exactement quatre directions, ce qui ne ressemble à aucun espace euclidien dont nous ayons entendu parler. Une forme de bonhomme de neige (sphères collées ensemble) n'est pas non plus une variété, car aux points de collage nous voyons deux plans de liberté. Une autre chose qui n'est pas une variété, mais qui semble l'être, est une balle. Une balle est différente d'une sphère (une sphère * est * une variété, rappelez-vous) en ce qu'elle est remplie. La sphère n'est que la surface. À la plupart des points d'une balle, il semble que nous soyons dans un espace euclidien tridimensionnel. Mais sur n'importe quel point de la surface, nous avons un hémisphère de directions dans lesquelles nous pouvons aller, et l'autre moitié est interdite. Cela ne ressemble à aucun espace euclidien dont j'ai jamais entendu parler. Pour la même raison, un disque (cercle rempli) n'est pas non plus une variété. Remarquons aussi que les espaces euclidiens sont des variétés. À tout moment, ils ressemblent à des espaces euclidiens, parce que, eh bien, ce sont des espaces euclidiens. Frais . Joli ! Ces multiples choses sont plutôt chouette, hein ? Alors , et maintenant ? Vous dites vouloir retrouver et lister toutes les variétés existantes ? D'accord, ça me va. ---- *III. Classification des variétés connectées * Commençons par les 0-variétés. Hmm , eh bien , il ya un point ... rien d' autre ? D'accord, si vous êtes un malin, vous pourriez dire que deux points distincts fonctionnent aussi. Et c'est le cas ; à tout moment (tous les deux), si vous êtes assis là, on dirait que vous êtes juste dans un vieux point solitaire. Alors oui, deux points, ou trois points, vous voyez l'idée - ce sont tous des variétés à 0. Et c'est tout . Vous ne pouvez pas faire grand-chose en 0 dimension. D'accord, que diriez-vous de 1-variétés. Eh bien , il ya une limite . Et deux lignes. Et ainsi de suite . Cela devient assez ennuyeux , alors disons que nous ne regardons que les collecteurs connectés - c'est-à-dire les collecteurs où vous pouvez voyager de n'importe quel point à n'importe quel autre point sans sauter du collecteur n'importe où . Nous avons donc une ligne. Quoi d'autre ? Si vous vous sentez particulièrement intelligent aujourd'hui, vous remarquerez peut-être qu'un cercle est une variété à 1. À tout moment, on dirait que vous êtes sur une ligne. Et un carré ? Ou un hexagone ? N'oubliez pas que les topologues ne se soucient pas des angles . Carrés , hexagones , cercles ; elles ont toutes la même forme pour un topologue , car vous pouvez les mouler les unes dans les autres sans rien déchirer ni coller . Ils ne sont * pas * identiques à un chiffre 8 , car il faudrait qu'il y ait du collage ou du déchirement pour passer de l' un à l' autre . Kay ? Bon . Et c'est tout . Il existe deux 1-variétés distinctes : une droite et un cercle. Prêt pour 2 collecteurs ? Eh bien , il ya l' avion . Et nous avons déjà dit qu'il y a la sphère (et les cubes, yada yada – tous de la même forme). Rien d'autre ? Non ? Bon , avancez ! Attendez . Et un beignet ? Juste la surface, pas l'intérieur. C'est définitivement une variété 2 ; il ressemble à un avion où que vous soyez. Mais pouvez-vous le mouler en une sphère sans déchirer ni coller ? Ne pense pas. Comment as-tu pu te débarrasser de ce trou ? Très bien , nous avons donc le plan , la sphère , le tore ( beignet ) , et c'est tout . Je rigole ! Deux trous forment un double tore. C'est également différent de tout ce que nous avons examiné. Triple tore , quadruple tore , et oui , beaucoup plus de tores . Bon ! Avons-nous fini maintenant ? Non . Il y a quelque chose d'autre, appelé le plan projectif réel, qui est une 2-variété, mais qui ne peut pas exister en trois dimensions. Tout comme un cercle ne peut exister que dans un minimum de deux dimensions, le plan projectif réel n'existe que dans un minimum de quatre dimensions. Nous ne pourrons donc pas très bien l'imaginer. Pardon ! Si cela vous donne une idée, c'est la forme que vous obtenez lorsque vous collez chaque point sur le bord d'un disque (cercle rempli) au point antipodal (point opposé). Si vous commencez à faire cela dans votre tête, vous vous rendrez compte que vous rencontrez des problèmes assez rapidement, étant limité aux trois dimensions et tout. Putain ! D'accord d'accord . Nous avons la sphère , nous avons toute une famille de tori , et nous avons ce truc fou de plan projectif réel . Avons-nous fini ? Euh non . Tout comme un double tore est la somme connexe de deux tores (ouais, d'accord, je ne vous l'avais pas dit avant, mais maintenant vous savez), vous pouvez faire la somme connexe de plans projectifs réels pour obtenir toute une famille infinie de ces les bougres. D'accord, bien ! Avons-nous finit ? Ouais . Mais vous voyez à quelle vitesse ce problème de classification des variétés est devenu ridiculement difficile, n'est-ce pas ? Nous ne sommes arrivés qu'aux variétés à 2, et vous avez probablement déjà du mal à imaginer prouver que les variétés que nous avons énumérées sont toutes. Mais c'est fait. ---- * IV . La conjecture de Poincaré * Alors , avez - vous vraiment envie de classer les 3 - variétés ? Moi non plus . C'est dur . C'est vraiment très difficile. Au-delà de l'espace 3 (c'est-à-dire de l'espace euclidien tridimensionnel), même la variété 3 la plus simple (la sphère 3, c'est-à-dire l'hypersphère) a besoin de quatre dimensions pour exister. Alors ne le faisons pas. Ça va me faire mal au cerveau. Vous pouvez comprendre comment la classification des variétés pourrait conduire à l'un des sept plus grands problèmes ouverts en mathématiques. Mais ce que vous n'apprécierez peut-être pas, c'est à quel point nous sommes épouvantables dans la classification des variétés. La conjecture de Poincaré n'est pas une liste de toutes les variétés. C'est à peu près 3-variétés. En fait, il s'agit simplement de 3-variétés vraiment très simples. En fait, voici ce qu'elle dit : > La seule 3-variété finie sans aucun trou est la 3-sphère. Que . C'est le problème à un million de dollars. C'est le théorème que les mathématiciens ont mis un peu moins d'un siècle à prouver. Alors maintenant, nous réalisons peut-être à quel point ce genre de choses est difficile. C'est le seul problème du prix du millénaire résolu. Il a été prouvé en 2002 par Grigori Perelman, qui a refusé d'accepter le prix d'un million de dollars (ainsi que la médaille Fields qui lui a été offerte pour cette preuve). La preuve de ceci, bien sûr, n'est même pas près de mettre fin à la quête de la classification des variétés. En fait, la conjecture de Poincaré généralisée n'est toujours pas entièrement résolue : > La seule n-variété finie sans trous est la n-sphère. Non seulement elle n'est pas résolue, mais ce n'est même pas une question valable sans clarification. La réponse dépend de quelques citations effrayantes que j'ai utilisées il y a peu de temps dans cette explication. Faites défiler vers le haut. Vous les trouverez. Ouais . Juste là , au début de la section II . J'ai dit "ressemble à" dans ma définition des collecteurs. De toute évidence, les mathématiciens sont plus prudents que cela, et il existe trois définitions différentes de "ressemble" qui nous donnent trois définitions de variétés, qui sont appelées variétés topologiques, variétés différentiables et variétés linéaires par morceaux. La conjecture originale de Poincaré ( dimension trois ) est la même pour les trois définitions . Deux sur trois ont une valeur de vérité inconnue en dimension quatre. L'un est connu pour être faux dans la dimension sept. Donc voilà . Nous avons peut-être prouvé la conjecture de Poincaré, mais nous avons encore un long chemin à parcourir en termes de variétés de classification.