human
Dérivés en calcul . En physique, nous utilisons des dérivées et je n'ai aucune idée de ce qui se passe. Je suis en première au lycée et je n'ai pas encore pris de calcul . Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Je suis dans une voiture, je roule sur l'autoroute et j'ai un chronomètre. Imaginez que je n'ai pas de compteur de vitesse (nous le remettrons en place dans un instant) et que je veux savoir à quelle vitesse je vais. Eh bien, je pourrais regarder les bornes kilométriques pendant une heure, et quel que soit le nombre de kilomètres que j'ai parcourus, cela me dirait quelque chose sur la vitesse à laquelle j'allais. Miles parcourus / temps passé nous donne des miles par heure, ou une sorte de vitesse. Mais c'est une *vitesse moyenne*. Vous pouvez imaginer que je l' ai immobilisé pendant un moment , puis que j'ai été pris dans les embouteillages -- si j'avais un compteur de vitesse , ça changerait beaucoup ! Ou peut-être que j'avais activé le régulateur de vitesse - alors mon compteur de vitesse ne changerait pas beaucoup du tout. OK, et si je ne mesurais que la distance parcourue en une minute ? Les conditions de circulation ne changent pas beaucoup en une minute, je devrais donc avoir une meilleure estimation de ma vitesse actuelle de cette façon : distance parcourue/(1/60 d'heure) = vitesse moyenne. La distance est plus courte ( je ne vais pas faire 60 milles ! ) , mais le temps est plus court aussi . Mais une minute, c'est encore beaucoup de temps - j'aurais pu aller très lentement et m'arrêter de toute façon. Et si je mesurais jusqu'où je vais pendant une seconde ? Ou un dixième de seconde ? Chaque fois , la distance que je parcoure se raccourcit , mais le temps aussi . Et à chaque fois je prends le changement de distance divisé par le changement de temps pour obtenir une vitesse. Et ce sera une vitesse moyenne, mais à mesure que le temps se raccourcit, ma vitesse devient de moins en moins susceptible de changer au cours de cette période. Ainsi, sur de courtes périodes, ma vitesse moyenne devrait être très proche de ce que mon compteur de vitesse indiquerait. Une dérivée pousse tout ce processus à son extrême - vous voyez ce qui se passe lorsque l'intervalle de temps diminue de plus en plus jusqu'à la "limite" (la signification précise de ce terme n'est pas importante pour le moment) du temps zéro. Dans ce cas, la vitesse que nous obtenons est appelée ma *vitesse instantanée*, et c'est ce que mon indicateur de vitesse indiquerait. ( Garder une trace du signe , + pour avancer et - pour reculer , me donne ma * vitesse instantanée * . La vitesse est en fait la dérivée de la position , et la vitesse est la valeur absolue de la vitesse . ) Le fait est que vous pouvez aussi faire ceci procédure pour la plupart des fonctions - si j'ai y = f(x ) , alors je peux savoir combien y change lorsque x change d'une quantité de plus en plus petite, et pour des fonctions assez raisonnables f , le changement de y sur le changement de x se rapproche de plus en plus d'un nombre unique qui dépend de l'endroit où x « commence ». C'est ce qu'on appelle la dérivée de y (ou de f) à l'endroit où x commence. Maintenant, ce nombre dépend souvent de l'endroit où x commence, donc je peux créer une nouvelle fonction appelée y ' = dy / dx = f'(x ) = df / dx (beaucoup de notations différentes, même chose) qui me dit la dérivée de y ( ou f ) en tout point donné x. Les gens ont fait un travail minutieux pour trouver les règles des dérivées de certaines fonctions typiques ( puissances , fonctions trigonométriques , logs , exposants , etc . ) , et vous devriez apprendre ces règles . Il existe également de nombreuses règles pour trouver les dérivées de sommes , de produits , de quotients et de compositions de fonctions -- vous devrez également les apprendre . Mais gardez toujours à l'esprit notre conducteur sans indicateur de vitesse.