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Dans le modèle de volatilité locale de Dupire, la volatilité est une fonction déterministe du prix sous-jacent et du temps, choisie pour correspondre aux prix observés des options européennes.
Pour être plus précis, étant donné une surface lisse $(K,T)\mapsto C(K,T)$ où K est le prix d'exercice et T est le temps jusqu'à l'échéance. L'équation de Dupire implique qu'il existe une fonction continue unique $\sigma_{loc}$ définie par
$$\sigma_{loc}^{2}(K,T)=\frac{\partial_{T}C(K,T)+rK\partial_{K}C(K,T)}{\frac{1}{2}K^{2}\partial_{KK}C(K,T)}$$ pour tout $(K,T)\in(0,\infty)\times(0,\infty)$ telle que la solution de l'équation différentielle stochastique $dS_{t}/S_{t}=rdt+\sigma(t,S_{t})dW_{t}$ génère exactement les prix des options d'achat européennes.
Que signifient les dynamiques de la volatilité locale ? Les dynamiques sont-elles équivalentes à la surface de volatilité ? Pourquoi les dynamiques du modèle de volatilité locale sont-elles très irréalistes
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Un modèle général (avec des trajectoires continues) peut être écrit
$$
  \frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t^S
$$
où le taux court $r_t$ et la volatilité spot $\sigma_t$ sont des processus stochastiques. 
Dans le modèle de Black-Scholes, à la fois $r$ et $\sigma$ sont des fonctions déterministes du temps (même constantes dans le modèle original). Cela produit un sourire plat pour toute échéance $T$. Et nous avons la formule en forme fermée pour les prix des options
$$
  C(t,S;T,K) = BS(S,T-t,K;\Sigma(T,K))
$$
où $BS$ est la formule de Black-Scholes et $\Sigma(T,K) = \sqrt{\frac{1}{T-t}\int_t^T \sigma(s)^2 ds}$. Cela n'est pas cohérent avec le sourire observé sur le marché. Pour correspondre aux prix du marché, il est nécessaire d'utiliser une volatilité différente pour chaque échéance et chaque prix d'exercice. C'est la surface de volatilité implicite $(T,K) \mapsto \Sigma(T,K)$. 
Dans le modèle de volatilité locale, les taux sont déterministes, la volatilité instantanée est stochastique mais il n'y a qu'une seule source d'aléa
$$
  \frac{dS_t}{S_t} = r(t) dt + \sigma_{Dup}(t,S_t) dW_t^S
$$
il s'agit d'un cas particulier du modèle général avec
$$
  d\sigma_t = (\partial_t \sigma_{Dup}(t,S_t) + r(t)S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t) + \frac{1}{2}S_t^2\partial_S^2\sigma_{Dup}(t,S_t)) dt + \frac{1}{2}S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t)^2 dW_t^S
$$
Ce qui est intéressant avec ce modèle, c'est que la fonction $\sigma_{Dup}$ peut être parfaitement calibrée pour correspondre à tous les prix des options vanille du marché (et assez facilement aussi). 
Le problème est que bien que corrélée au spot, les études statistiques montrent que la volatilité a également sa propre source d'aléa indépendante de celle du spot. Mathématiquement, cela signifie que la corrélation instantanée entre le spot et la volatilité n'est pas de 1 contrairement à ce qui se passe dans le modèle de volatilité locale. 
Cela peut être vu de plusieurs manières :

1. Le sourire forward. La volatilité implicite forward est déduite des prix des options forward start : en ignorant les taux d'intérêt,
$$
  C(t,S;T\to T+\theta,K) := E^Q[(\frac{S_{T+\theta}}{S_{T}}-K)_+] =: C_{BS}(S=1,\theta,