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Qu'est-ce qu'une « limite » en maths ? J'ai fait des exercices avec eux au lycée et j'ai su les résoudre, de toute façon je n'ai jamais vraiment compris ce qu'ils représentaient. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Les limites sont une manière rigoureuse de parler d'approximation. En particulier, les approximations que vous pouvez faire avec une précision arbitrairement bonne. Les limites sont des instructions sophistiquées que nous pouvons utiliser pour approximer une valeur avec une précision arbitrairement bonne. Choisissez n'importe quelle erreur avec laquelle vous pouvez vivre, puis vous pouvez utiliser les instructions contenues dans une limite pour être assuré d'avoir une approximation qui est dans votre erreur. Par exemple, nous avons que la limite de sin(pi\*x)/x à x=0 est pi . Si vous voulez ensuite approximer pi à, disons, deux chiffres, alors nous pouvons lire les instructions pour la limite (la preuve que cela fonctionne) et trouver que tant que nous choisissons un x assez petit, alors nous pouvons simplement brancher cela x et obtenir une évaluation suffisamment proche. Heureusement, nous pouvons calculer sin(pi/96) à la main, et donc si nous choisissons simplement x=1/96, puis poursuivons le calcul, la sortie sera quelque chose d'assez proche de pi. (C'est, essentiellement, en langage moderne, ce qu'Archimède a fait pour approximer pi.) Si vous savez que la limite de f(x) à x = A est L, alors cela signifie que pour toute erreur de votre choix, que nous notons par E , alors il y aura un certain écart par rapport à A , que nous notons D , de sorte que pour tout x dont la distance de A est inférieure à D , alors vous êtes assuré que la distance entre f(A ) et L sera inférieure à E. C'est une façon très précise de parler d'approximation de la valeur L en utilisant la fonction f(x ) . Presque chaque fois que vous utilisez une approximation en mathématiques, nous savons que cela fonctionne parce que quelqu'un, quelque part, a prouvé qu'une limite fonctionne. Fonction approchée de la série de Taylor en raison des limites . La méthode de Newton se rapproche des zéros en raison des limites. La moyenne arithmétique se rapproche de la vraie moyenne en raison des limites. Le temps de calcul des algorithmes évolue d'une certaine manière à cause des limites. Les dérivées fonctionnent parce qu'elles s'approchent de la pente des droites sécantes donnant par des points proches. Les intégrales donnent l'aire sous les courbes parce que nous nous rapprochons de cette aire en utilisant des rectangles puis en utilisant des limites. Les limites sont la façon dont les approximations fonctionnent et ont du sens.