human
Soit $X$ une variable aléatoire non négative et $p \geq e$, $q \gt 0$ deux valeurs constantes telles que
$$P [X \geq x] \leq p e^{-x^2/q^2} \quad \forall x \geq 0$$.
Prouvez que
$$\mathbb{E}[X] \leq q(1+\sqrt{\log p})$$
gpt
Bien sûr, voici la solution.

En remplaçant $X$ par $X/q$, nous pouvons supposer sans perte de généralité que $q = 1$.

Remarquez que l'inégalité $\mathbb{P}(X \ge x) \le p e^{-x^2}$ est une inégalité forte pour les grandes valeurs de $x$, mais plutôt faible pour les petites valeurs de $x$. En effet, pour $x = 0$, cela ne donne que $\mathbb{P}(X \ge x) \le p$, ce qui, selon l'hypothèse, est supérieur à $e$. Étant donné que les probabilités sont bornées par $1$, cette inégalité est faible lorsque $pe^{-x^2} \gt 1$, ou de manière équivalente $x \lt \sqrt{\log(p)}$. Nous devons donc diviser l'intégrale en deux parties :
$$\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty \mathbb{P}(X \ge x) \,dx = \int_0^\sqrt{\log(p)} \mathbb{P}(X \ge x) \, dx + \int_{\sqrt{\log(p)}}^\infty \mathbb{P}(X \ge x) \, dx$$.
Maintenant, le premier terme est borné par $\sqrt{\log(p)}$. Pour le deuxième terme, utilisez l'inégalité de l'hypothèse, ainsi que $e^{-x^2} \le x e^{-x^2}$ pour $x \ge 1$.

J'espère que cela vous aide !