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Veuillez expliquer ce qu'est la "théorie des catégories"
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La théorie des catégories est une théorie générale des structures mathématiques et leurs relations qui ont été introduites par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane au milieu du 20e siècle dans leur travail fondamental sur la topologie algébrique.De nos jours, la théorie des catégories est utilisée dans presque tous les domaines des mathématiques et dans certains domaines de l'informatique.En particulier, de nombreuses constructions de nouveaux objets mathématiques de celles précédentes, qui apparaissent de manière similaire dans plusieurs contextes, sont commodément exprimées et unifiées en termes de catégories.Les exemples incluent les espaces quotient, les produits directs, l'achèvement et la dualité.
Une catégorie est formée par deux types d'objets: les objets de la catégorie, et les morphismes, qui relient deux objets appelés la source et la cible du morphisme.On dit souvent qu'un morphisme est une flèche qui mappe sa source à sa cible.Les morphismes peuvent être composés si la cible du premier morphisme est égale à la source du second, et la composition du morphisme a des propriétés similaires à la composition de la fonction (association et existence de morphismes d'identité).Les morphismes sont souvent une sorte de fonction, mais ce n'est pas toujours le cas.Par exemple, un monoïde peut être considéré comme une catégorie avec un seul objet, dont les morphismes sont les éléments du monoïde.
Le deuxième concept fondamental de catégorie est le concept d'un foncteur, qui joue le rôle d'un morphisme entre deux catégories




C

1




{\ displayStyle c_ {1}}

 et




C

2


:


{\ displayStyle c_ {2}:}

 il mappe les objets de




C

1




{\ displayStyle c_ {1}}

 aux objets de




C

2




{\ displayStyle c_ {2}}

 et les morphismes de




C

1




{\ displayStyle c_ {1}}

 aux morphismes de




C

2




{\ displayStyle c_ {2}}

 De manière à ce que les sources soient cartographiées sur les sources et les cibles sont cartographiées sur des cibles (ou, dans le cas d'un foncteur contravariant, les sources sont cartographiées sur les cibles et vice-versa).Un troisième concept fondamental est une transformation naturelle qui peut être considérée comme un morphisme des fonds.