human
Différents degrés d'infini J'ai même du mal à comprendre cette possibilité. Je veux savoir comment ils ont été trouvés, ce qu'ils sont en général et comment ils sont utilisés Expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
gpt
Tout d'abord, nous devons établir ce que cela signifie pour deux ensembles de choses d'avoir la même taille. Évidemment, la façon la plus simple de le faire est simplement de compter le nombre de choses dans chaque ensemble et de vérifier si les nombres sont égaux. Mais rappelez-vous, nous allons traiter ici de l'infini, donc nous ne voulons pas que notre définition repose sur la capacité de * compter * tout. Au lieu de cela, nous disons que deux ensembles ont la même taille lorsqu'il existe ce qu'on appelle une bijection entre eux. ( Si vous avez deux ensembles A et B , dire qu'une bijection existe entre eux signifie simplement que vous pouvez coupler des choses dans A avec des choses dans B , de telle sorte qu'aucun élément ne soit dans deux paires différentes et que tous les éléments soient dans une paire .) Maintenant, une sorte d'infini est la taille de l'ensemble de tous les nombres comptés. Il y a toujours un nombre un plus élevé que le nombre jusqu'auquel vous avez compté, il doit donc y avoir un nombre infini. Selon la définition ci-dessus, cela se trouve être de la même taille que beaucoup d'autres infinis (l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des nombres entiers, l'ensemble des fractions...). Mais il en existe de plus grands. Par exemple , si nous considérons l' ensemble contenant toutes les fractions , ainsi que ce qu'on appelle les * nombres irrationnels * ( ce sont ceux comme pi , qui ne peuvent être représentés par aucune fraction ) , nous constatons que ce n'est pas la même chose taille comme l'infini des nombres à compter. On peut prouver qu'il est * impossible * d'associer chaque nombre irrationnel à un nombre comptant ; il en restera toujours, quoi que vous fassiez. Cela n'a pas beaucoup d'utilité pratique, c'est surtout cool.