human
Un tesseract est un cube à 4 dimensions. Comment savons-nous cela et quels sont les analogues 4D d'autres formes ? Existe-t-il un moyen de comprendre/calculer comment une forme tridimensionnelle se traduira en 4 dimensions ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Je peux ajouter une autre approche à ce qui a déjà été écrit jusqu'ici. Il s'agit d'une approche visuelle, de sorte que certaines personnes trouvent qu'il est plus facile de se représenter. * * Une note rapide * * : vous n'avez qu'à lire les premières lignes pour que cet article soit utile . Laissez le reste si vous ne voulez pas lire un livre. :-) Comment dessine-t-on un carré ? Eh bien, commençons avec 0 dimension, juste un point. Prolongeons ce point en une ligne. Imaginez que vous faites glisser ce point dans une direction particulière et qu'il trace un segment de ligne de longueur ` s ` . Maintenant, nous avons une ligne. Prenons cette ligne et faisons-la glisser dans une direction perpendiculaire à la direction dans laquelle nous avons fait glisser le point. Ce faisant , laissez les points à chaque extrémité de la ligne tracer deux autres lignes de longueur ` s ` . Et voilà, un carré ! Ok , maintenant pouvons - nous suivre le même processus à nouveau ? Tu paries ! Saisissez le carré et faites-le glisser dans une direction perpendiculaire aux *deux* directions que nous avons utilisées jusqu'à présent. Laissez chaque coin du carré tracer 4 autres lignes de longueur ` s ` . Nous avons maintenant un cube. Comment continuer vers un tesseract ? Eh bien, prenez ce cube et faites-le glisser dans une direction perpendiculaire aux 3 autres que nous avons déjà utilisés. Laissez chaque coin du cube tracer 8 autres lignes de longueur ` s ` . C'est difficile à imaginer parce que nous avons utilisé les trois dimensions spatiales que nous connaissons déjà. Mais on peut encore raisonner si on fait un petit changement. Imaginons à quoi un objet 3D doit ressembler pour un homme 2D qui vit dans une feuille de papier. Vous pourriez montrer à cet homme une sphère et il dirait : « Quoi ? Je ne vois rien. » Vous dites, oh désolé, laissez-moi le mettre dans votre plan d'existence. Ainsi vous placez la sphère sur la page et elle touche à un point. L'homme le regarde et dit, « Ah, tu veux dire un point ! » Vous dites, ah, non, pas vraiment. Ici , permettez - moi de pousser un peu plus loin . Donc l'homme voit un segment de ligne s'étendre, et il monte pour l'étudier mais découvre que ce n'est pas vraiment un segment de ligne droite mais qu'il s'éloigne de lui. Il en fait le tour, l'investigant et le sentant, et finalement il dit, « Ah ha, je vois, tu veux dire un cercle ! » Hrm, non, dis-tu. Je veux dire une * sphère * . Ici , laissez - moi pousser , et vous regardez tout le temps . De cette façon, vous pouvez voir chaque tranche 2D de cette chose, et vous pouvez imaginer vous-même à quoi tout cela ressemble ! « D'accord », dit-il. Alors tu l'as posé. " Point ... " puis vous poussez " ... cercle ... " poussez " ... plus grand cercle ... maintenant il redevient plus petit , maintenant un point . " Le problème pour l' homme 2D est qu'il peut ne pas concevoir cette troisième dimension spatiale. Cependant, en le poussant dans son plan à une vitesse constante et en le laissant échantillonner chaque coupe transversale, vous avez établi une association entre le temps – une dimension qu'il comprend – et cette troisième dimension spatiale qu'il ne peut concevoir. C'est super pour une sphère, mais si vous pensez à d'autres formes, ça devient bien plus compliqué pour notre pauvre petit bonhomme 2D. Imaginez prendre notre cube et le faire passer. Si vous le posez sur la page, il voit un carré. Puis il ... continue de voir un carré . Puis un carré. Puis il disparaît. Génial . Ce n'est pas très utile. Pour l'homme 2D, il semble qu'un cube n'est qu'un carré qui traîne un peu. Ah, vous dites, c'est juste une vue d'un carré, permettez-moi de le faire pivoter vers le bas et de le pousser à travers. Maintenant, cela donne à 2D man toutes sortes de choses intéressantes à regarder pendant que vous le poussez, mais à la fin, c'est une sorte de fouillis de coupes transversales 2D déroutantes du cube. Il pourrait commencer à penser qu'il ne comprendra jamais ce truc de la troisième dimension. L'astuce consiste à le laisser vous dire toutes les différentes manières de faire pivoter la forme 3D et, s'il est intelligent, il commencera à remarquer que certaines choses sont invariantes. Par exemple , avec un cube , il ne peut jamais , jamais obtenir un segment de droite plus long que ` s ` , la longueur du côté du cube . Il verra toujours certaines relations entre ces segments de ligne de longueur ` s ` aussi , ils seront toujours perpendiculaires les uns aux autres . Ce qu'il fait dans ce processus d'investigation du cube, c'est qu'il apprend à identifier ses *invariants*. Il s'avère que c'est exactement de la même façon qu'il comprend les formes 2D... il n'y a simplement jamais pensé de cette façon, mais c'est vraiment ce qui se passe. C'est juste qu'ils sont simples pour qu'il puisse voir la totalité de la chose et ces invariants semblent évidents. Nous pouvons apprendre beaucoup de l'homme 2D. :-)