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Veuillez expliquer ce qu'est "l'intégration de Lebesgue"
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En mathématiques, l'intégrale d'une fonction non négative d'une seule variable peut être considérée, dans le cas le plus simple, comme l'aire entre le graphique de cette fonction et l'axe des x. L'intégrale de Lebesgue, du nom du mathématicien français Henri Lebesgue, étend l'intégrale à une classe plus large de fonctions. Elle étend également les domaines sur lesquels ces fonctions peuvent être définies.
Bien avant le 20e siècle, les mathématiciens comprenaient déjà que pour les fonctions non négatives avec un graphique suffisamment lisse, telles que les fonctions continues sur des intervalles bornés fermés, l'aire sous la courbe pouvait être définie comme l'intégrale et calculée à l'aide de techniques d'approximation sur la région. par polygones. Cependant, à mesure que le besoin de considérer des fonctions plus irrégulières s'est fait sentir - par exemple, en raison des processus limitants de l'analyse mathématique et de la théorie mathématique des probabilités -, il est devenu clair que des techniques d'approximation plus minutieuses étaient nécessaires pour définir une intégrale appropriée. Aussi, on pourrait souhaiter intégrer sur des espaces plus généraux que la ligne réelle. L'intégrale de Lebesgue fournit les abstractions nécessaires pour cela.
L'intégrale de Lebesgue joue un rôle important dans la théorie des probabilités, l'analyse réelle et de nombreux autres domaines des mathématiques. Il porte le nom d'Henri Lebesgue (1875-1941), qui a introduit l'intégrale (Lebesgue 1904). C'est aussi un élément central de la théorie axiomatique des probabilités.
Le terme intégration de Lebesgue peut désigner soit la théorie générale de l'intégration d'une fonction par rapport à une mesure générale, telle qu'introduite par Lebesgue, soit le cas particulier de l'intégration d'une fonction définie sur un sous-domaine de la droite réelle par rapport à la Mesure de Lebesgue.