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Comment résoudre un système d'équations à deux inconnues ?
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Résoudre un système d'équations, ensemble de deux équations (ou plus), c'est trouver toutes les solutions communes aux équations. Il y a toujours deux inconnues, x{\displaystyle x} et y{\displaystyle y} et pour qui n'a jamais résolu de tels systèmes, il y a de quoi être dérouté(e) ! En fait, c'est assez simple à la condition de bien comprendre ce que l'on fait et de ne pas compliquer inutilement le problème. Il faut faire passer des termes d'un membre à l'autre, soit additionner, soustraire…, rien de très compliqué en somme. Trouver les solutions d'un système d'équations peut se faire graphiquement et il est vrai que c'est plus parlant. Cette méthode par le graphique, qui prend plus de temps, permet aussi de confirmer les résultats obtenus par le calcul.

1. Arrangez l'équation pour plus de lisibilité.

Cette méthode repose sur le fait d'utiliser l'une des équations pour exprimer l'une des inconnues (x{\displaystyle x} ou y{\displaystyle y}) en fonction de l'autre. Admettons que vous ayez à résoudre le système composé des équations 4x+2y=8{\displaystyle 4x+2y=8} et 5x+3y=9{\displaystyle 5x+3y=9}. Réorganisez la première équation de façon à isoler le terme en x{\displaystyle x} à gauche : 4x=8−2y{\displaystyle 4x=8-2y}.
Cette méthode fait apparaitre des fractions. Si vous ne les aimez pas, utilisez la méthode de la combinaison linéaire.

2. Exprimez x{\displaystyle x} en fonction de y.

Une fois le terme en x{\displaystyle x} à gauche (mais cela aurait pu être y{\displaystyle y} !), divisez chaque membre de l'équation par le coefficient du terme en x{\displaystyle x} afin de connaitre la valeur de x{\displaystyle x}. Avec notre exemple, cela donne :

4x=8−2y{\displaystyle 4x=8-2y}
4x4=84−2y4{\displaystyle {\frac {4x}{4}}={\frac {8}{4}}-{\frac {2y}{4}}}
x=2−12y{\displaystyle x=2-{\frac {1}{2}}y}

3. Remplacez x{\displaystyle x} dans la seconde équation.

Ne vous trompez pas ! C'est bien la seconde équation qui va nous servir, celle qui pour l'instant n'a pas été sollicitée. Dans cette équation, remplacez x{\displaystyle x} par la valeur trouvée précédemment.

Vous avez précédemment trouvé que : x=2−12y{\displaystyle x=2-{\frac {1}{2}}y}.
La seconde équation, qui n'a pas été modifiée, est : 5x+3y=9{\displaystyle 5x+3y=9}.
Dans cette équation, remplacez x{\displaystyle x} par 2−12y{\displaystyle 2-{\frac {1}{2}}y} : 5(2−12y)+3y=9{\displaystyle 5(2-{\frac {1}{2}}y)+3y=9}.

4. Trouvez la valeur de y.

Il ne vous reste qu'une seule variable, qu'il va être facile de calculer moyennant l'utilisation des quatre opérations élémentaires.. Les calculs se présentent de la façon qui suit :

5(2−12y)+3y=9{\displaystyle 5(2-{\frac {1}{2}}y)+3y=9}
10−52y+3y=9{\displaystyle 10-{\frac {5}{2}}y+3y=9}

10−52y+62y=9{\displaystyle 10-{\frac {5}{2}}y+{\frac {6}{2}}y=9} (pour vous rafraichir la mémoire, lisez cet article sur l'addition des fractions. Cette méthode fait souvent apparaitre des fractions)
10+12y=9{\displaystyle 10+{\frac {1}{2}}y=9}
12y=−1{\displaystyle {\frac {1}{2}}y=-1}
y=−2{\displaystyle y=-2}

5. Utilisez cette variable pour trouver l'autre.

Vous devez déterminer l'autre variable, mais c'est très facile. Il suffit de remplacer dans une deux équations y{\displaystyle y} par la valeur trouvée et de faire les calculs.

Vous avez trouvé que : y=−2{\displaystyle y=-2}.
Prenez une des équations, disons 4x+2y=8{\displaystyle 4x+2y=8}, vous pouvez aussi prendre l'autre.
Faites l'application numérique avec -2 : 4x+2(−2)=8{\displaystyle 4x+2(-2)=8}.
Soit 4x−4=8{\displaystyle 4x-4=8}.
Soit 4x=12{\displaystyle 4x=12}.
Soit x=3{\displaystyle x=3}.

6. Sachez quoi faire en cas de neutralisation d'une variable.

Durant la seconde étape, celle de la découverte de la seconde variable, il peut arriver qu'après calculs vous n'ayez plus de variable. Ce n'est pas que ce soit impossible, mais la première chose à faire est quand même de vérifier que vous ne vous êtes pas trompé(e). Si vous n'avez commis aucune erreur, deux cas de figure peuvent se présenter.

Première possibilité : vous arrivez à une équation fausse du type 3=5{\displaystyle 3=5}. La conclusion que vous devez en tirer est que le système n'a pas de solution et graphiquement, cela signifie que les deux graphes ne se coupent pas en un point.
Seconde possibilité : vous arrivez à une équation vraie du type 3=3{\displaystyle 3=3}. En ce cas, il y a une infinité de solutions. Vos deux équations ne sont qu'une seule et même équation, avec une même pente et une même ordonnée à l'origine.

7. Déterminez la variable qui va devoir s'annuler.

Dans un système d'équations, il est rare qu'une variable (x{\displaystyle x} ou y{\displaystyle y}) se retrouve avec le même coefficient dans les deux équations, mais cela arrive comme avec le système 3x+2y=11{\displaystyle 3x+2y=11} et 5x−2y=13{\displaystyle 5x-2y=13} (+2y{\displaystyle +2y} et −2y{\displaystyle -2y} peuvent s'annuler). Observez bien les deux équations et voyez si vous êtes dans ce dernier cas, peu importe si le signe est différent. Si les variables ont des coefficients différents, passez à l'étape suivante.

8. Multipliez une des équations afin d'annuler une des inconnues.

Si les termes en x{\displaystyle x} ou y{\displaystyle y} ont des coefficients différents dans les deux équations, vous allez devoir multiplier l'une d'entre elles afin qu'une des variables se présente avec le même coefficient dans les deux équations.

Prenons comme exemple, le système d'équations composé de 3x−y=3{\displaystyle 3x-y=3} et de−x+2y=4{\displaystyle -x+2y=4}.
Modifiez la première équation afin de pouvoir éliminer y{\displaystyle y} en additionnant les deux équations. Partons de l'idée que nous voulions éliminer y{\displaystyle y}.
Pour éliminer le terme +2y{\displaystyle +2y}, il faut multiplier les deux membres de la première équation par 2 afin d'avoir −2y{\displaystyle -2y} qui viendront, par addition, éliminer +2y{\displaystyle +2y}.
Multipliez les deux membres de la première équation par 2, soit :2(3x−y)=2(3){\displaystyle 2(3x-y)=2(3)}, ce qui donne 6x−2y=6{\displaystyle 6x-2y=6}. Vous constatez que vous avez bien le terme −2y{\displaystyle -2y} qui va venir annuler le 2y{\displaystyle 2y} de l'autre équation.

9. Combinez les deux équations.

Combiner signifie ici additionner les deux équations, membre à membre. Le but de l'opération est de faire disparaitre une des deux inconnues, y{\displaystyle y} dans notre exemple. Concrètement, cela donne :

le système comprenait deux équations : 6x−2y=6{\displaystyle 6x-2y=6} et −x+2y=4{\displaystyle -x+2y=4} ;
additionnez les membres de gauche : 6x−2y−x+2y{\displaystyle 6x-2y-x+2y} ;
additionnez les membres de droite et combinez : 6x−2y−x+2y=6+4{\displaystyle 6x-2y-x+2y=6+4}.

10. Trouvez la valeur de la variable qui reste.

Vous vous êtes débrouillé(e) pour annuler une des deux variables afin de trouver la valeur de l'autre.. Dans tous les autres cas, la variable est définie par une valeur.

Partons de 6x−2y−x+2y=6+4{\displaystyle 6x-2y-x+2y=6+4}.
Groupez les inconnues afin de faciliter les calculs : 6x−x−2y+2y=6+4{\displaystyle 6x-x-2y+2y=6+4}.
Faites les calculs : 5x=10{\displaystyle 5x=10}.
Trouvez x{\displaystyle x} : 5x5=105{\displaystyle {\frac {5x}{5}}={\frac {10}{5}}}, c'est-à- dire x=2{\displaystyle x=2}.

11. Trouvez l'autre inconnue.

Une fois une inconnue trouvée, prenez une des deux équations, remplacez l'inconnue dont vous venez de trouver la valeur (par exemple, x{\displaystyle x}), puis faites les calculs afin de trouver l'autre inconnue (y{\displaystyle y}).

Nous savons que x=2{\displaystyle x=2} et une des équations de départ est : 3x−y=3{\displaystyle 3x-y=3}.
Remplacez x{\displaystyle x} par 2 dans cette équation : 3(2)−y=3{\displaystyle 3(2)-y=3}.
Faites le produit : 6−y=3{\displaystyle 6-y=3}.
Passez y{\displaystyle y} de l'autre côté en ajoutant y{\displaystyle y} des deux côtés : 6−y+y=3+y{\displaystyle 6-y+y=3+y}, soit3+y=6{\displaystyle 3+y=6}.
Le résultat est : y=3{\displaystyle y=3}.

12. Sachez quoi faire en cas de neutralisation d'une variable.

Il peut arriver qu'après calculs vous n'ayez plus de variable. La première chose à faire est quand même de vérifier que vous ne vous êtes pas trompé(e). Si ce n'est pas le cas, deux cas de figure peuvent se présenter.

Première possibilité : vous arrivez à une équation fausse du type 2=7{\displaystyle 2=7}. La conclusion que vous devez en tirer est que le système n'a pas de solution et graphiquement, cela signifie que les deux graphes ne se coupent pas en un point.
Seconde possibilité : vous arrivez à une équation vraie du type 0=0{\displaystyle 0=0}. En ce cas, vous en conclurez qu'il y a une infinité de solutions. En fait, vos deux équations ne sont qu'une seule et même équation.

13. N'utilisez cette méthode qu'à la demande.

Le plus souvent, un système est résolu par le calcul, mais une résolution graphique est possible. Ce travail peut être fait à la main, avec une calculatrice graphique ou un traceur de courbes sur ordinateur. Cette résolution peut vous être demandée par votre professeur. Un graphique permet aussi de vérifier la justesse d'une résolution par le calcul.
Le principe est simple : vous allez tracer les graphes des deux équations et voir s'il y a un point d'intersection. Les coordonnées de ce point seront les valeurs x{\displaystyle x} et y{\displaystyle y} qui satisfont les deux équations.

14. Isolez y{\displaystyle y} dans les deux équations.

En jouant sur les quatre opérations qui seront appliquées dans les mêmes termes sur les deux membres de l'équation, vous devez arriver à une écriture de la forme y=ax+b{\displaystyle y=ax+b}.

Admettons que la première équation soit 2x+y=5{\displaystyle 2x+y=5}. Récrivez-la sous la forme affine : y=−2x+5{\displaystyle y=-2x+5}.
Admettons que la seconde équation soit −3x+6y=0{\displaystyle -3x+6y=0}. Récrivez-la sous la forme affine : 6y=3x+0{\displaystyle 6y=3x+0}, soit y=12x{\displaystyle y={\frac {1}{2}}x}.

, alors il n'y a qu'une seule droite et le système a une infinité de solutions.

15. Tracez un repère dans le plan.

Sur une feuille de papier, tracez deux axes orthogonaux, un axe horizontal (x{\displaystyle x}) et un axe vertical (y{\displaystyle y}). Comme sur l'illustration, graduez-les à espaces réguliers à partir de l'origine (intersection de deux axes), à la fois positivement (vers le haut et la droite) et négativement (vers le bas et la gauche)

À défaut de papier millimétré, tracez un repère avec des graduations correctement espacées.
En fonction des équations, il faudra peut-être graduer de 10 en 10 (20, 30, 40…) ou de 0,1 en 0,1 (0,2, 0,3, 0,4…) À vous de voir !

16. Tracez pour chaque équation l'ordonnée à l'origine.

Il s'agit en fait des deux points d'intersection des droites avec l'axe des ordonnées. Sous la forme y=ax+b{\displaystyle y=ax+b}, les points d'intersection sont les points de coordonnées (0,b). En effet, 0x+b=b{\displaystyle 0x+b=b}.

Reprenons l'exemple. La droite d'équation y=−2x+5{\displaystyle y=-2x+5} coupe l'axe des ordonnées en y=5{\displaystyle y=5}. L'autre droite, d'équation y=12x{\displaystyle y={\frac {1}{2}}x}, le coupe en y=0{\displaystyle y=0}. Les points d'intersection ont pour coordonnées (0,5) et (0,0).
Vous pouvez sans problème utiliser de la couleur pour différencier les deux droites.

17. Servez-vous de la pente pour tracer vos droites.

Avec une fonction affine, de forme y=ax+b{\displaystyle y=ax+b} donc, a{\displaystyle a} est ce qu'on appelle la pente (ou le coefficient directeur). Chaque fois que x{\displaystyle x} augmente de 1, y{\displaystyle y} augmente de : 1 x pente. Mathématiquement, vous obtenez le même résultat que si vous remplacez x{\displaystyle x} par 1 dans l'équation.

Dans l'exemple, la droite d'équation y=−2x+5{\displaystyle y=-2x+5} a une pente de -2. Pour x=1{\displaystyle x=1}, vous avez un y{\displaystyle y} qui baisse de 2, c'est-à-dire que le point (1,3) est sur la courbe. Reliez à la règle (0,5) et (1,3).
La droite d'équation y=12x{\displaystyle y={\frac {1}{2}}x} a une pente de 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}. Pour x=1{\displaystyle x=1}, vous avez un y{\displaystyle y} qui augmente de 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, c'est-à-dire que le point (1,12{\displaystyle 1,{\frac {1}{2}}}) est sur la courbe. Reliez à la règle (0,0{\displaystyle 0,0}) et (1,12{\displaystyle 1,{\frac {1}{2}}}).

, alors jamais elles ne se croiseront : elles sont parallèles et distinctes. Il n'y a aucun point d'intersection et il n'y a aucune solution au système.

18. Continuez à tracer vos droites.

Continuez à marquer des points et tracez les segments jusqu'à ce que les deux droites se coupent en un point. Si vos droites se coupent déjà, passez à l'étape suivante. Sinon, placez d'autres points, mais pas n'importe comment.

Si les deux droites ont tendance à se rapprocher l'une de l'autre, continuez jusqu'à leur intersection.
Si les droites ont tendance à s'éloigner dans la direction que vous avez prise, prolongez les droites à l'opposé.
Si les droites n'ont pas d'orientation bien claire, marquez des points plus distants, essayez avec x=10{\displaystyle x=10}.

19. Présentez votre résultat.

L'exercice consistait à trouver la solution commune aux deux équations du système : la réponse est, sur un graphique, le point d'intersection des deux droites. Dans le meilleur des cas, vous avez un point avec des coordonnées entières, par exemple, le point P (2,1). Mais ce n'est pas toujours le cas, l'intersection tombe alors entre deux valeurs entières, aussi bien x{\displaystyle x} que y. Essayez d'estimer du mieux possible les coordonnées de ce point. Par contre, si vous voulez des coordonnées précises, il faudra recourir aux deux méthodes précédentes (substitution ou combinaison linéaire).