human
Comment fonctionne l'induction mathématique ? Je dois écrire un essai en mathématiques à ce sujet et je ne comprends pas vraiment. Quelqu'un pourrait-il l'expliquer pour un mannequin ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
L'induction utilise deux étapes. Le premier est de prouver un cas de base, et le second est de prouver que si une déclaration est vraie pour une valeur, elle est également vraie pour une autre. Par exemple, si je voulais prouver que 0 + 1 + 2 + ... + n = n\*(n+1)/2 par induction alors je dois prouver deux choses : que l'égalité est vraie pour n = 0 et que si c'est vrai pour n = k alors c'est vrai aussi pour n = k + 1 . La première étape est facile. Nous insérons 0 et évaluons l'expression . La somme à gauche est triviale -- c'est juste ' 0 ' . L'expression à droite devient 0\*(0 + 1)/2 , qui est également juste 0 . 0 = 0 donc nous sommes tous bons pour ce cas de base. Quant à la deuxième étape , nous devons montrer que * si * 0 + 1 + 2 + ... + k = k\*(k+1)/2 * alors * 0 + 1 + 2 + ... + k + ( k+1 ) = ( k+1)\*((k+1)+1)/2 . Pour ce faire, nous remarquons que pour la forme k+1 de l'expression, le côté gauche est presque le même que le côté gauche de l'expression k, que nous avons supposé égal au côté droit. Ainsi , nous remplaçons 0 + 1 + 2 + ... + k par k\*(k+1)/2 . Notre expression devient k\*(k+1)/2 + ( k+1 ) = ( k+1)\*((k+1)+1)/2 . Nous pouvons simplifier cela en effectuant le calcul - k^2/2 + 3k/2 + 1 = k^2 + 3k/2 + 1 (vous pouvez vous fier à mes calculs ou le faire vous-même). Ainsi , nous avons prouvé que l' expression est vraie pour tous les nombres -- elle est vraie pour 0 , et si elle est vraie pour 0 alors elle est vraie pour 1 . Si c'est vrai pour 1 alors c'est vrai pour 2. Si c'est vrai pour 2, alors c'est vrai pour 3, et ainsi de suite.