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Pourquoi le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes n'a pas encore été résolu. Qu'est-ce qui rend si difficile la recherche d'une solution ou d'un contre-exemple aux équations de Navier-Stokes ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Le professeur Terence Tao de l'UCLA (médaillé Fields) explique le problème de lissage de Navier-Stokes (NS) dans son blog (ainsi que les moyens possibles d'attaquer le problème) : URL_0 EDP ​​) est au moins réalisable . Qu'y a-t-il de si unique à propos de NS ? En regardant la NS PDE tridimensionnelle, je vois trois caractéristiques majeures : (1) PDE elliptique, (2) dissipation visqueuse et (3) non linéarité. Avec la première caractéristique, lorsqu'une équation est elliptique, cela signifie essentiellement qu'un changement dans une partie du flux affectera immédiatement un changement dans une autre partie du flux. Par exemple, dans les écoulements subsoniques sur une aile, si vous avez une certaine activité d'écoulement comme un volet déviant au bord de fuite, cela aura un effet immédiat sur l'écoulement en amont, par ex. , bord d'attaque de l'aile . Cela ne se produit pas avec les EDP paraboliques/hyperboliques, c'est pourquoi nous sommes capables de faire quelques simplifications pour les écoulements supersoniques/hypersoniques. Avec la deuxième caractéristique de dissipation visqueuse , les structures d' écoulement se dissiperont en structures d' écoulement à plus petite échelle , par ex. , allant des échelles grossières aux plus fines . En combinant cela avec la non-linéarité de l'EDP, le flux peut passer d'une échelle grossière à une échelle fine et inversement pour différentes parties du flux à différents moments, par ex. , turbulences. Il y a de l'énergie à chacune de ces échelles (grossière/fine), et les mathématiciens ont du mal à confiner l'énergie de ces échelles ou même l'évolution de l'énergie de ces échelles au fur et à mesure que le flux évolue dans le temps. La combinaison du problème ci-dessus de non-linéarité/dissipation visqueuse avec la propriété elliptique signifie que la complexité d'une partie de l'écoulement est liée à la complexité d'une autre partie complètement différente de l'écoulement. Vous pouvez voir comment la complexité cascade facilement. Ainsi , pour le moment , même si vous programmez un modèle informatique des équations de Navier Stokes , nous ne saurons même pas si la simulation est numériquement correcte pour le problème général . TL;DR . Turbulence + EDP elliptique = problème difficile à résoudre.