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Vous êtes endormi sur votre bateau en pleine mer. Quand vous vous réveillez, vous découvrez que vous avez été volé. Une inspection rapide des images de vidéosurveillance révèle que les pirates qui vous ont volé ont quitté votre navire il y a exactement une heure. La mer est calme, s'étend indéfiniment et est entièrement recouverte d'un épais brouillard persistant. Vous n'avez aucune idée dans quelle direction les pirates ont fui. Mais vous savez que ces pirates continuent toujours en ligne droite à pleine vitesse loin de leur victime. Leur vitesse maximale en eau libre est de 20 milles nautiques par heure. Votre bateau peut atteindre 21 milles nautiques par heure.
Comment attrapez-vous les pirates
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Si nous supposons que l'océan est plat et s'étend indéfiniment dans toutes les directions, il existe une stratégie qui garantit que nous pouvons attraper les pirates en au plus 800 000 ans.

Placez notre position actuelle comme l'origine d'un système de coordonnées. Nous décrirons notre position en coordonnées polaires, en fonction du temps : $(r(t),\theta(t))$ (où nous avons choisi arbitrairement une direction comme $\theta=0$, et $t=0$ est quand nous avons réalisé que nous avions été volés).

Nous commençons par voyager dans la direction $\theta=0$ pendant 20 heures, plaçant notre position à $(420, 0)$. Nous sommes alors à la même distance de l'origine que les pirates. Ensuite, nous voyagerons en spirale, de manière à ce que $r'(t)=20$ à tout moment. Cela garantit que nous serons toujours à la même distance de l'origine que les pirates. Pour $t\geq 20$, nous aurons $r(t)=420+20(t-20)=20t+20$.

Notre vitesse est
$$
\sqrt{(r')^2+r^2(\theta')^2} = 21\text{ mph},
$$
et $r'(t)=20$ pour $t>20$, donc
$$
\theta'(t)=\sqrt{\frac{41}{r^2}}=\frac{\sqrt{41}}{20+20t}.
$$
S'il existe un $t\geq 20$ pour lequel $\theta(t)$ est l'angle dans lequel les pirates ont fui, nous les attraperons. Cela signifie que nous attraperons certainement les pirates lorsque $\theta$ aura augmenté de $0$ à $2\pi$. Si $t_0$ est le moment où cela se produit, nous avons
$$
2\pi=\int_{20}^{t_0}\theta'(t)\,dt=\int_{20}^{t_0}\frac{\sqrt{41}}{20+20t}dt.
$$
En résolvant pour $t_0$, nous obtenons
$$
t_0=21\mathrm{exp}\left(\frac{40\pi}{\sqrt{41}}\right)-1\approx 7,005,043,026.
$$
Cela signifie que nous pouvons attraper les pirates en au plus 7,005,043,026 heures, soit environ 800 millénaires. Mieux vaut tard que jamais !