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N'importe lequel des sept problèmes du prix du millénaire Je viens de lire un article sur ces problèmes sur Wikipédia mais je n'y ai pratiquement rien compris. Quelqu'un peut-il expliquer l'un de ces problèmes dans un langage simple ? Surtout celui qui a été résolu. Merci . Explique comme si j'avais cinq ans.
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* * L'hypothèse de Riemann. * * Vous avez peut-être entendu dire que 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +... additionne jusqu'à l'infini, même si chaque petit morceau devient de plus en plus petit. C'est ce qu'on appelle la série harmonique. Vous avez peut-être aussi entendu dire que 1 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/4 ^ 2 + 1/5 ^ 2 (ce qui revient au même que 1 + 1/4 + 1/9 + 1/ 16 + 1/25 + ... ) ne correspond pas à l'infini. Les morceaux deviennent assez petits assez rapidement pour que cette somme ne devienne jamais plus grande qu'un certain nombre fini. Vous avez peut-être aussi entendu dire que ce certain nombre fini est (étonnamment) pi au carré sur six. Pourquoi devrions-nous simplement mettre les choses au carré ? Qu'en est-il de 1 + 1/2 ^ 4 + 1/3 ^ 4 + 1/4 ^ 4 + 1/5 ^ 4 + ... ? Celui-là sort à pi au quatrième sur quatre-vingt-dix. Bizarre, hein ? Si vous les placez au cube à la place, vous obtenez la "constante d'Apery" qui est juste le nom que nous donnons à ce nombre car nous ne pouvons pas dire sa valeur exacte d'une autre manière. Cela prouve que ces calculs sont assez délicats ! Au lieu d'écrire toutes ces fractions à chaque fois, donnons un nom à cette chose. Lorsque l'exposant est s , nous appellerons cette somme ζ(s ) ou " zêta de s " . Nous avons donc regardé ζ(1 ) , ζ(2 ) , ζ(3 ) , ζ(4 ) . Maintenant je vais devenir un peu flou . Si nous utilisons des définitions étranges, nous pouvons définir ζ(s) pour s qui ne sont pas des entiers positifs. Nous l' étendons aux fractions , aux nombres négatifs , et même aux nombres complexes ( disons que nous savons ce que c'est ; c'est le sujet d' un autre ELI5 sinon ) de telle manière qu'il garde toutes les « belles propriétés » qu'il fait quand nous n'autorisions que les entiers positifs. C'est comme remplir un sudoku pour que tout se passe bien - nous savons ce que ζ devrait être à tous ces autres endroits pour que les choses aient un sens (même si vous pouvez avoir du mal à penser à élever les choses jusqu'au i ). Donc maintenant nous avons ζ défini partout . Frais ! Maintenant quoi ? Il s'avère que pour s = -2 , -4 , -6 , etc. , ζ(s ) = 0 . Hein ! C'est plutôt cool . Les mathématiciens les appellent les « zéros triviaux » parce qu'ils ont l'air assez simples, et les mathématiciens aiment appeler les choses triviales pour se sentir intelligents. Eh bien , est - ce 0 ailleurs ? Ouais . Où alors ? Eh bien, nous ne savons pas vraiment. L'hypothèse de Riemann dit que chaque s qui nous donne zéro (autre que ces "zéros triviaux") a une composante réelle de 0,5 (c'est-à-dire est de la forme 0,5+bi). Mais nous n'avons pas encore tout à fait pu le prouver. Nous sommes à peu près sûrs que c'est vrai, mais nous ne savons tout simplement pas pourquoi. ---- ---- * * MATERIEL BONUS : Jolies photos ! * * Si vous n'êtes pas convaincu à quel point la fonction zêta de Riemann est folle, bizarre et cool (c'est la fonction ζ dont nous avons parlé), voici un graphique de celle-ci. C'est un peu difficile de représenter graphiquement des fonctions comme celle-ci, parce qu'elles acceptent des nombres complexes et donnent des nombres complexes, donc nous ne pouvons pas les mettre dans nos graphes normaux du plan xy. Voici cependant notre meilleure solution à ce problème . URL_0 Maintenant, qu'est-ce qu'on regarde ici ? Le nombre que nous insérons est représenté par un point sur cette image. Si nous mettons a+bi et que nous voulons savoir ce que nous obtenons, nous regardons les unités a le long de l'axe des x et les unités b le long de l'axe des y. Le truc qu'on sort, c'est une couleur ! Plus la couleur est foncée, plus elle est proche de zéro. La couleur nous indique dans quelle direction à partir de zéro il se trouve ( rappelez - vous que les nombres complexes peuvent être exprimés comme a + bi ou une direction et une distance à partir de zéro ! ) Le rouge est la direction du " nombre réel " à partir de zéro , donc tout le côté droit de l'image représente les nombres pour la plupart réels que nous obtenons lorsque nous lui donnons un grand s positif. Si vous regardez attentivement , ζ(1 + 0i ) est blanc , car il est infini ( * très * loin de zéro ) , et lorsque vous allez vers la droite et passez ζ(2 ) , ζ(3 ) et ζ( 4 ) , il devient vite ce rouge foncé qui représente des choses très très proches de 1 . Regardez à gauche de l'origine, et vous voyez de minuscules points noirs tous les deux pas. Ce sont les zéros triviaux dont nous avons parlé. Maintenant, la seule chose intéressante dont il reste à parler est cette ligne verticale de points noirs avec des queues d'arc-en-ciel situées à environ... eh bien, à environ une partie réelle de 0,5. C'est là l'hypothèse de Riemann - pour prouver que tout autre point noir sur cette image infinie se situera sur cette "ligne critique". Et vous pouvez voir aussi qu'il ne s'agit pas seulement de zéros, le reste de la fonction semble être façonné autour de ces points noirs !