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Je suis habitué à considérer les différences finies comme un cas particulier des éléments finis, sur une grille très contrainte. Quels sont les critères pour choisir entre les différences finies et les éléments fini
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Il est possible d'écrire la plupart des méthodes spécifiques de différences finies comme des méthodes d'éléments finis de Petrov-Galerkin avec un choix de reconstruction locale et de quadrature, et la plupart des méthodes d'éléments finis peuvent également être montrées comme étant équivalentes algébriquement à certaines méthodes de différences finies. Par conséquent, nous devrions choisir une méthode en fonction du cadre d'analyse que nous voulons utiliser, de la terminologie que nous aimons, du système d'extensibilité que nous aimons et de la façon dont nous voulons structurer le logiciel. Les généralisations suivantes sont vraies dans la grande majorité des variations d'utilisation pratique, mais de nombreux points peuvent être contournés.
Différences finies
Avantages

* implémentation efficace sans quadrature
* indépendance du rapport d'aspect et conservation locale pour certains schémas (par exemple, MAC pour l'écoulement incompressible)
* méthodes non linéaires robustes pour le transport (par exemple, ENO/WENO)
* matrice M pour certains problèmes
* principe du maximum discret pour certains problèmes (par exemple, différences finies mimétiques)
* matrice de masse diagonale (généralement identité)
* résidu nodal peu coûteux permet un multigrille non linéaire efficace (FAS)
* les lisseurs Vanka par cellule donnent des lisseurs sans matrice efficaces pour l'écoulement incompressible

Inconvénients

* plus difficile à implémenter "la physique"
* les grilles décalées sont parfois assez techniques
* d'ordre supérieur à deux sur des grilles non structurées est difficile
* pas d'orthogonalité de Galerkin, donc la convergence peut être plus difficile à prouver
* pas une méthode de Galerkin, donc la discrétisation et les adjoints ne commutent pas (pertinent pour l'optimisation et les problèmes inverses)
* les problèmes continus auto-adjoints donnent souvent des matrices non symétriques
* la solution est uniquement définie ponctuellement, donc la reconstruction à des emplacements arbitraires n'est pas uniquement définie
* les conditions aux limites ont tendance à être compliquées à implémenter
* les coefficients discontinus rendent généralement les méthodes de premier ordre
* le stencil augmente si la physique inclut des "termes croisés"

Éléments finis
Avantages

* orthogonalité de Galerkin (la solution discrète aux problèmes coercitifs est à une constante près de la meilleure solution dans l'espace)
* flexibilité géométrique simple
* la méthode des éléments finis discontinus offre un algorithme de transport robuste, d'ordre arbitraire sur des grilles non structurées
* inégalité d'entropie par cellule garantissant la stabilité en $L^2$ indépendamment du maillage, de la dimension, de l'ordre de précision et de la présence de solutions discontinues, sans avoir besoin de limiteurs non linéaires
* facilité de mise en œuvre des conditions aux limites
* on peut choisir l'énoncé de conservation en choisissant l'espace de test
* la discrétisation et les adjoints commutent (pour les méthodes de Galerkin)
* fondement élégant dans l'analyse fonctionnelle
* à haut ordre, les noyaux locaux peuvent exploiter une structure de produit tensoriel qui fait défaut avec les différences finies
* la quadrature de Lobatto peut rendre les méthodes conservatrices de l'énergie (en supposant un intégrateur temporel symplectique)
* précision d'ordre élevé même avec des coefficients discontinus, tant que vous pouvez les aligner sur les frontières
* les coefficients discontinus à l'intérieur des éléments peuvent être pris en compte avec XFEM
* facile à gérer plusieurs conditions inf-sup

Inconvénients

* de nombreux éléments ont des problèmes avec un rapport d'aspect élevé
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