human
Je suis actuellement en train d'essayer de déchiffrer l'article sur l'idéal d'Eisenstein de Mazur (ce n'est pas un commentaire sur sa clarté, mais plutôt sur mes capacités actuelles). Une des raisons pour lesquelles je le fais est que beaucoup de gens m'ont dit que l'article était en quelque sorte révolutionnaire et introduisait une nouvelle méthode en théorie des nombres. 
Pourriez-vous expliquer exactement quels développements ultérieurs l'article a apportés, quelles idées dans l'article étaient considérées comme plus ou moins originales (au moment de sa publication), et exactement quelles difficultés ces idées ont-elles résolues que les gens n'avaient pas réussi à résoudre avant la publication de l'article (s'il y en a)
gpt
Tout d'abord, l'article de Mazur est sans doute le premier article où les nouvelles idées (et le langage) de la révolution de Grothendieck en géométrie algébrique ont été pleinement adoptées et utilisées de manière cruciale en théorie des nombres pures. Voici plusieurs exemples notables : Mazur utilise de manière cruciale la théorie des schémas de groupes plats finis pour comprendre le comportement des modules de Tate $p$-adiques des jacobiennes au premier $p$. Il étudie les formes modulaires de niveau un sur des anneaux finis (qui ne doivent pas se relever en caractéristique zéro lorsque la caractéristique résiduelle est $2$ ou $3$). Il démontre des théorèmes sur les formes modulaires mod-$p$ en utilisant ce qui sont essentiellement des théorèmes de comparaison entre la cohomologie étale et la cohomologie de de Rham, et bien d'autres exemples encore. La démonstration du théorème principal ($\S5$, à partir de la page 156) est elle-même une preuve très moderne qui utilise fondamentalement le point de vue de $X_0(N)$ en tant que schéma.

Deuxièmement, il y a de nombreuses idées magnifiques qui ont leur origine dans cet article : il contient bon nombre des premières idées innovantes pour l'étude des représentations de Galois de dimension $2$ (et au-delà), y compris le lien entre les propriétés géométriques (multiplicité un) et les propriétés arithmétiques, les conceptions géométriques pour l'étude des congruences entre les représentations de Galois, la compréhension de l'importance de la propriété de platitude finie des schémas de groupes, et l'identification de la propriété de Gorenstein. Il y a une descente théorique sur le quotient d'Eisenstein lorsque les descentes précédentes étaient presque toutes des descentes $2$ explicites avec des équations spécifiques. Il introduit le quotient de torsion, et ainsi de suite.

Troisièmement, bien que ce soit un article dense, il est dense de la meilleure façon possible : bon nombre des petites digressions auraient pu faire l'objet d'articles intéressants à part entière. En effet, même les lecteurs attentifs de l'article d'aujourd'hui peuvent trouver des liens entre les apartés de Mazur et les mathématiques de pointe. Lorsque Mazur pose une question dans le texte, elle est presque toujours très intéressante. Une habitude particulière (excellente) que Mazur a est de réfléchir à divers isomorphismes et, en fixant divers choix canoniques, d'identifier des invariants affinés. Pour prendre un exemple au hasard, considérez son exploration du sous-groupe de Shimura à la fin de la section 11. Il termine par une question qui, pour un lecteur occasionnel, pourrait tout aussi bien être une remarque anodine. Mais cette question a d'abord été résolue par Merel, et plus récemment généralisée dans un très beau travail d'Emmanuel Lecouturier. Les idées de Lecouturier ont ensuite joué un rôle important dans le travail de Michael Harris et Akshay Venkatesh. Encore une fois, on pourrait donner de nombreux autres exemples de cela. Très peu d'articles ont la richesse des notes de bas de page et des apartés que cet article a. N'oublions jamai