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Comment être sûr que les nombres irrationnels ne finissent jamais ? Juste parce que nous ne pourrions jamais calculer un nombre infini de chiffres (bien que nous ayons réussi à gérer des trillions), comment pouvons-nous être si sûrs que π ou √2 ne finissent jamais ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Pour la racine carrée de 2, il y a une preuve que c'est irrationnel. Si √2 était rationnel, il pourrait être exprimé comme une fraction de deux nombres entiers (c'est la définition d'un nombre rationnel), alors supposons que c'est vrai. √2 = a / b. Supposons également que a/b soit réduit autant que possible, de sorte qu'il n'y ait pas de facteurs communs entre a et b. Mettez les deux côtés au carré et vous obtenez 2 = a^2 / b^2 . Multipliez les deux côtés par b^2 pour obtenir a^2 = 2 * b^2 . Nous savons donc maintenant que a^2 doit être pair , puisque 2 * b^2 fera un nombre pair . Ensuite, nous savons aussi que a est pair, car vous ne pouvez pas obtenir un nombre pair en élevant au carré un nombre impair. Puisque nous savons que a est pair , nous pouvons le remplacer par 2k , où 2k = a et k est un entier . Branchez cela dans une étape précédente et nous obtenons 2 = ( 2k)^2 / b^2 . Effectuez le carré au numérateur du côté droit pour obtenir 2 = 4k^2 / b^2 . Déplacez-vous à nouveau sur b^2 pour obtenir 2 * b^2 = 4k^2 . Divisez les deux côtés par 2 pour obtenir b^2 = 2k^2 . Donc, nous savons que b^2 est pair pour la même raison que nous avons dit que a^2 était pair, et cela signifie également que b lui-même est pair. Mais cela signifie que a et b sont pairs , même si nous avons dit que a / b était une fraction réduite , où a et b n'avaient pas de facteurs communs ! Puisque supposer que √2 est rationnel conduit à une contradiction logique, nous savons que c'est irrationnel.