human
Nombres complexes Je ne trouve nulle part une réponse directe à ce qu'est un nombre complexe et je ne peux pas non plus commencer à le visualiser dans ma tête. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Rien de ce que je vais dire ne sera rigoureux. Je vais probablement me retrouver avec une petite armée de nerds en maths qui me foutent en l'air à propos des détails. Commencez par le numéro un, disons, et l'opération appelée addition. Ajoutez-en un à lui-même et vous obtenez deux. Ajoutez un à deux et vous obtenez trois. Et ainsi de suite . La soustraction est l'opération inverse de l'addition ; si une chose ajoutée à une autre donne une troisième chose, la soustraction est ce que vous devez faire à cette troisième chose pour récupérer les deux premières choses. Mais établir la soustraction comme l'inverse de l'addition crée un problème. Enlevez un de deux et vous vous retrouvez avec un ; enlevez-en un et vous n'avez plus rien. Mais enlevez-en un de rien et il vous reste… quoi exactement ? Pour s'adapter à ce genre de situation, nous devons introduire un tout nouveau type de nombre : un nombre *négatif*. Les nombres négatifs ne peuvent pas être produits par la simple addition de nombres normaux. Si vous ajoutez un nombre normal à un autre nombre normal, vous obtiendrez un nombre normal comme résultat. Mais si vous soustrayez deux nombres normaux, vous pouvez vous retrouver avec une situation où il n'y a pas de réponse significative parmi les nombres normaux (ou nous pourrions aussi bien les appeler "positifs"). Vous devez utiliser des nombres négatifs pour gérer ces situations. Il en est ainsi avec les nombres complexes. Les nombres réels sont les nombres que vous obtenez en commençant par des nombres réels et en effectuant des opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. N'importe laquelle de ces opérations, appliquée sur des nombres réels, vous renvoie un nombre réel comme résultat. L'une des opérations que vous pouvez effectuer sur les nombres réels s'appelle * l'exponentiation, * qui est un peu comme une multiplication répétée. Un nombre à la seconde puissance est ce nombre multiplié par lui-même ; un nombre à la troisième puissance est ce nombre multiplié par lui-même multiplié par lui-même. Et ainsi de suite . Mais lorsque vous introduisez l'*opération inverse* d'exponentiation, vous rencontrez un problème. Il s'avère que l'inverse d'élever un nombre à la seconde puissance - la racine carrée , en d'autres termes - n'a * aucune solution parmi les nombres réels * lorsque la chose dont vous prenez la racine carrée est négative . C'est exactement la même chose que soustraire un nombre d'un nombre plus petit n'a pas de solutions parmi les nombres positifs. Afin de soustraire cinq de trois, vous devez introduire les nombres négatifs, ainsi vous pouvez dire que la réponse est moins deux. Afin de prendre la racine carrée de moins un , vous devez introduire les * nombres imaginaires , * afin que vous puissiez dire que la réponse est un nombre spécial appelé * i. * Donc, tout comme les nombres négatifs n'ont vraiment aucune signification tangible — qu'est-ce que cela signifie d'avoir moins - deux pommes ? — les nombres imaginaires n'ont pas non plus de signification tangible . Mais tout comme vous devez avoir des nombres négatifs si vous voulez annuler l'addition, vous devez avoir des nombres imaginaires si vous voulez annuler l'exponentiation. Un nombre complexe est juste un nombre réel plus un nombre imaginaire. Il s'avère que ces nombres reviennent souvent et qu'ils sont incroyablement utiles (principalement pour des raisons liées à la trigonométrie, aux cercles et à tout ce qui oscille). Tout comme les nombres négatifs n'ont pas de véritable sens tangible, les nombres complexes n'ont pas non plus de véritable sens tangible… mais ils sont tous les deux très utiles, alors nous faisons des calculs avec eux.