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Topologie Comment ça marche ? Comment est-ce utilisé ? URL_0 Expliquez comme si j'avais cinq ans.
gpt
Bonne question ! Typiquement , la topologie est introduite au niveau avancé du premier cycle ou au début des études supérieures , et comme la plupart de ces classes , elle commence par la théorie formelle . Il existe deux « branches » principales (même si l'une est assez dépendante de l'autre). Je vais commencer par les bases (qui sortent un peu du territoire ELI5) parce que c'est vraiment la base. Si vous voulez le vrai ELI5, ignorez le paragraphe suivant. La topologie point-set est vraiment la base (peut-être qu'elle peut être introduite d'une autre manière, mais je ne peux pas la comprendre). Une « topologie » sur un ensemble donné, à la base, n'est qu'un ensemble de sous-ensembles de cet ensemble qui obéissent à certaines propriétés. Les sous-ensembles de ce sous-ensemble sont appelés open . Les sous-ensembles qui sont les opposés exacts des sous-ensembles de ces ensembles sont appelés fermés. Ce verbe provient d'intervalles ouverts sur la ligne réelle par rapport à des intervalles fermés. Il s'avère que chaque métrique (mesure de distance) sur un ensemble donne lieu à une topologie, et donc la topologie peut être vue comme la généralisation d'un espace métrique (un ensemble équipé d'une mesure de « distance »). Revenons aux trucs intuitifs : Une ligne, un plan, un ou un espace à 3 dimensions n'est en réalité qu'un ensemble d'éléments (ou de morceaux, ou de points, ou...) JUSQU'À ce que nous lui donnions une mesure de distance. * * Toutes les propriétés géométriques viennent de cette idée de 'distance' * * . La topologie généralise l'idée de distance en disant que deux éléments sont « proches l'un de l'autre » s'ils se trouvent dans des ensembles ouverts de plus en plus petits. Sans entrer trop dans la théorie, cela s'appuie sur l'idée que les formes peuvent être étirées et comprimées sans perturber leur « essence ». C'est la source de cette plaisanterie ' beignets = tasses à café ' , car l' un peut être étiré dans l' autre . Enfin , nous arrivons à la topologie algébrique . Encore une fois, il peut être légèrement supérieur à 5 ans, mais je pense toujours compréhensible. Etant donné une surface ( ou une forme , ou une figure , ou un objet , ou ... ) ce sujet regarde l' ensemble des boucles sur la surface . Fondamentalement, nous disons que deux boucles sont identiques si l'une peut être pressée (ou resserrée, ou étirée, ou déformée) dans l'autre. Un exemple est la surface d'une sphère. Pensez-y une minute, mais N'IMPORTE QUELLE boucle sur la surface peut être resserrée en un seul point, ce qui signifie que la surface est en quelque sorte « simple ». Comparez cela avec un tore (une forme de beignet), où une boucle autour du «trou» au milieu ne peut pas être serrée jusqu'à un point. La topologie a un grand nombre d'applications, bien que beaucoup d'entre elles ne puissent pas être expliquées facilement. Notez que cette description s'en tient principalement à 1 , 2 ou 3 dimensions , mais la plupart des résultats s'appliquent à tous . La topologie est un domaine immense, avec de nombreuses directions différentes. L'ensemble de boucles est appelé le groupe fondamental et a des analogues de dimension supérieure. L' idée principale ( que je ne suis pas vraiment qualifié pour donner -- je suis un combinatoire , pas un topologue ) consiste à résumer la " différence " entre les formes ( ou les figures , ou les objets , ou les surfaces ... ) et en quelque sorte à quantifier et classer comment différents objets peuvent être différents.