human
Pourquoi E à la puissance π fois i est-il égal à -1 ? Qu'est-ce que ça veut dire ? Pourquoi est-ce vrai ? Qu'est-ce que cela implique ? Merci d'avance . :) Veuillez expliquer comme si j'avais cinq ans.
gpt
Ecrire e^x sous la forme d'une série entière : e^x = 1 + x + x^2 /2 + x^3 /6 + x^4 /24 + ... Substituer dans x = ix e^ix = 1 + ix + ( ix)^2 /2 + ( ix)^3 /6 + ( ix)^4 /24 + ... Utiliser le fait que i^2 = -1 : e^ix = 1+ix - x^2 /2 - i\*x^3 /6 + x^4 /24 + ... Maintenant factorisez les termes contenant i e^ix =( 1 - x^2 /2 + x^4 /4 + ... ) + i\*(x - x^3 /3 + x^5 /5 + ... ) Observez que ce sont les développements en série de Taylor pour cos et sin : e^ix = cos(x ) + i\*sin( x ) Soit maintenant x = π : e^iπ = -1