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Veuillez expliquer ce qu'est "l'espace vectoriel"
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En mathématiques et en physique, un espace vectoriel (également appelé espace linéaire) est un ensemble dont les éléments, souvent appelés vecteurs, peuvent être additionnés et multipliés ("à l'échelle") par des nombres appelés scalaires.Les scalaires sont souvent des nombres réels, mais peuvent être des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments de n'importe quel champ.Les opérations de l'addition vectorielle et de la multiplication scalaire doivent satisfaire à certaines exigences, appelées axiomes vectoriels.Les termes de l'espace vectoriel réel et de l'espace vectoriel complexe sont souvent utilisés pour spécifier la nature des scalaires: un espace de coordonnées réel ou un espace de coordonnées complexes.
Les espaces vectoriels généralisent les vecteurs euclidiens, qui permettent la modélisation de quantités physiques, telles que les forces et la vitesse, qui ont non seulement une ampleur, mais aussi une direction.Le concept d'espaces vectoriels est fondamental pour l'algèbre linéaire, ainsi que le concept de matrice, qui permet le calcul dans les espaces vectoriels.Cela fournit un moyen concis et synthétique pour manipuler et étudier les systèmes d'équations linéaires.
Les espaces vectoriels sont caractérisés par leur dimension qui, à peu près, spécifie le nombre de directions indépendantes dans l'espace.Cela signifie que, pour deux espaces vectoriels avec la même dimension, les propriétés qui dépendent uniquement de la structure de l'espace vectoriel sont exactement les mêmes (techniquement les espaces vectoriels sont isomorphes).Un espace vectoriel est en dimension finie si sa dimension est un nombre naturel.Sinon, il est infini, et sa dimension est un cardinal infini.Les espaces vectoriels de dimension finie se produisent naturellement en géométrie et en zones connexes.Les espaces vectoriels à dimension infinie se produisent dans de nombreux domaines de mathématiques.Par exemple, les anneaux polynomiaux sont des espaces vectoriels de dimension infinisment incombrables, et de nombreux espaces de fonction ont la cardinalité du continuum comme dimension.
De nombreux espaces vectoriels envisagés en mathématiques sont également dotés d'autres structures.C'est le cas des algèbres, qui comprennent des extensions de champ, des anneaux polynomiaux, des algèbres associatives et des algèbres de mensonge.C'est également le cas des espaces vectoriels topologiques, qui comprennent des espaces de fonction, des espaces de produits intérieurs, des espaces normalisés, des espaces Hilbert et des espaces de Banach.