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Comment calculer la hauteur d'un prisme ?
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Un prisme est un solide à trois dimensions ayant deux bases parallèles (ou faces) et congruentes. C’est la forme de la base qui donne son nom au prisme : on peut ainsi avoir des prismes rectangulaires ou triangulaires. Comme c’est un solide à trois dimensions, il est assez commun en mathématiques d’en calculer le volume intérieur. Pour cela, il est nécessaire d’avoir la hauteur du prisme en question. La formule de calcul de cette hauteur va dépendre des informations qui vous ont été données sur ce prisme. Ainsi, on pourra vous donner son volume, l’aire de surface ou encore le périmètre de la base. Les formules employées fonctionnent pour n’importe quel prisme, quelle que soit la forme de sa base, à condition de connaitre la formule pour calculer l'aire de cette dernière.

1. Inscrivez la formule du volume d’un prisme.

Cette dernière est assez simple, puisqu’elle se réduit à la suivante : V=Ah{\displaystyle V=Ah} , formule dans laquelle V{\displaystyle V} est le volume du prisme, A{\displaystyle A}, l’aire d’une base et h{\displaystyle h}, la hauteur du prisme.
Ce qu’on appelle base d’un prisme est un des polygones congruents. Par définition, deux faces opposées d’un prisme sont congruentes (c’est-à-dire identiques, moyennant un déplacement), vous pouvez donc prendre n’importe laquelle des deux.

2. Remplacez V{\displaystyle V} par sa valeur.

Bien entendu, si vous ne connaissez pas la valeur du volume, cette formule ne peut pas être mise en œuvre.
Admettons que vous ayez à travailler sur un prisme d’un volume de 64 m. La formule devient alors : 64=Ah{\displaystyle 64=Ah}.

3. Calculez l’aire de la base.

Pour calculer l’aire (A{\displaystyle A}), il faut connaitre la longueur (L{\displaystyle L}) et la largeur (l{\displaystyle l}) de la base. Si cette dernière est carrée, la longueur d’un seul côté est suffisante. La formule est la suivante : A=L×l{\displaystyle A=L\times l}.
Admettons que la base du prisme précédent ait 8 m de long sur 2 de large, l’aire de cette base se calcule ainsi : A=8 m×2 m=16 m2{\displaystyle A=8\ m\times 2\ m=16\ m^{2}}.

4. Remplacez dans la formule l’aire de la base par sa valeur.

Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez bien veiller à remplacer A{\displaystyle A}.
Vous avez donc trouvé que l’aire de la base était de 16 m. La formule devient alors : 64=16h{\displaystyle 64=16h}.

5. Trouvez la valeur de h{\displaystyle h}.

Ce faisant, vous obtiendrez la hauteur de votre prisme.

Reprenons la formule établie précédemment : 64=16h{\displaystyle 64=16h}. Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez diviser chaque membre de l’équation par 16, ce qui donne :6416=16h16{\displaystyle {\frac {64}{16}}={\frac {16h}{16}}}h=4{\displaystyle h=4}.
La hauteur de ce prisme rectangulaire est donc de 4 m.

6. Inscrivez la formule du volume d’un prisme.

Cette dernière est assez simple, puisqu’elle se réduit à la suivante : V=Ah{\displaystyle V=Ah} , formule dans laquelle V{\displaystyle V} est le volume du prisme, A{\displaystyle A}, l’aire d’une base et h{\displaystyle h}, la hauteur du prisme.
Ce qu’on appelle base d’un prisme est l'un des polygones congruents. La base d’un prisme triangulaire droit est… un triangle et les faces sont des rectangles.

7. Remplacez V{\displaystyle V} par sa valeur.

Bien entendu, si vous ne connaissez pas la valeur du volume, cette formule ne peut pas être mise en œuvre.
Admettons que vous ayez à travailler sur un prisme d’un volume de 840 m. La formule devient alors : 840=Ah{\displaystyle 840=Ah}.

8. Calculez l’aire de la base.

Pour calculer l’aire (A{\displaystyle A}), vous devez connaitre la longueur (b{\displaystyle b}) de la base du triangle et la hauteur (h{\displaystyle h}) de ce dernier. La formule est alors la suivante : A=12(b)(h){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b)(h)}.

Si vous avez seulement les longueurs des côtés du triangle, utilisez la formule de Héron et vous aurez l’aire de votre triangle. Pour savoir comment calculer l'aire d’un triangle, lisez cet article.
Si la base du triangle a une longueur de 12 m et si la hauteur de cette base est de 7 m, la formule de l’aire devient la suivante :A=12(12)(7){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(12)(7)}A=12(84){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(84)}A=42{\displaystyle A=42}.

9. Faites l’application numérique.

Dans la formule du volume du prisme, remplacez l’aire de la base par sa valeur numérique. Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez bien veiller à remplacer A{\displaystyle A}.
Vous avez trouvé que votre prisme avait une aire de base de 42 m. La formule devient alors : 840=42h{\displaystyle 840=42h}.

10. Trouvez la valeur de h{\displaystyle h}.

La valeur obtenue sera la hauteur de votre prisme.

Votre formule se présente alors ainsi : 840=42h{\displaystyle 840=42h}. Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez diviser chaque membre de l’équation par 42, ce qui donne :84042=42h42{\displaystyle {\frac {840}{42}}={\frac {42h}{42}}}h=20{\displaystyle h=20}

La hauteur de ce prisme triangulaire est donc de 20 m.

11. Inscrivez la formule de l’aire de surface d’un prisme.

Quel que soit le prisme, la formule est la suivante : AS=2B+Ph{\displaystyle AS=2B+Ph}, formule dans laquelle AS{\displaystyle AS} est l’aire de surface, B{\displaystyle B}, l’aire de la base, P{\displaystyle P}, le périmètre de la base et h{\displaystyle h}, la hauteur du prisme.
Pour pouvoir appliquer cette formule, vous devez connaitre l’aire de surface du prisme, de même que la longueur et la largeur de la base.

12. Remplacez dans la formule l’aire de la base par sa valeur.

Bien entendu, si vous ne connaissez pas l’aire de surface, cette formule ne vous sera d’aucune utilité.
Admettons que vous ayez un prisme d’une aire de surface de 1 460 cm. La formule devient alors : 1 460=2B+Ph{\displaystyle 1\ 460=2B+Ph}.

13. Calculez ensuite l’aire de la base.

Pour calculer l’aire (A), il faut connaitre la longueur (L) et la largeur (l) de la base. Si cette dernière est carrée, la longueur d’un seul côté est suffisante. La formule est la suivante : A=L×l{\displaystyle A=L\times l}.
Admettons que vous ayez une base rectangulaire de 8 cm de long sur 2 de large, l’aire de cette base se calcule ainsi : A=8×2=16{\displaystyle A=8\times 2=16}.

14. Faites l’application numérique.

Dans la formule de l’aire de surface, remplacez l’aire de la base par sa valeur numérique. Assurez-vous que vous remplacez bien la valeur littérale B{\displaystyle B} par l’aire de la base. Faites le calcul.
Vous avez précédemment trouvé que l’aire de la base était de 16 cm. La formule devient alors :1 460=2(16)+Ph{\displaystyle 1\ 460=2(16)+Ph}1 460=32+Ph{\displaystyle 1\ 460=32+Ph}.

15. Calculez le périmètre de la base.

Pour cela, il vous suffit d’additionner les longueurs des quatre côtés. Si la base était un carré, vous n’auriez qu’à multiplier la longueur du côté par quatre.

Les côtés opposés d’un rectangle sont égaux en longueur deux à deux.
Votre prisme a donc une base rectangulaire de 8 cm de long sur 2 de large, le périmètre (somme des longueurs des côtés) de cette base se calcule ainsi :P=8+2+8+2{\displaystyle P=8+2+8+2}P=20{\displaystyle P=20}.

16. Faites l’application numérique.

Dans la formule de l’aire de surface, remplacez le périmètre de la base par sa valeur numérique. Celle-ci remplacera la valeur littérale P{\displaystyle P} dans la formule.
Vous avez précédemment trouvé que le périmètre de la base de votre prisme était de 20 cm. La formule devient alors : 1 460=32+20h{\displaystyle 1\ 460=32+20h}.

17. Trouvez la valeur de h{\displaystyle h}.

Tous calculs faits, vous obtiendrez la hauteur de votre prisme.

Votre formule se présente alors ainsi : 1 460=32+20h{\displaystyle 1\ 460=32+20h}. Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez d’abord retirer 32 de chaque membre de l’équation, puis diviser à nouveau chaque membre par 20, ce qui donne :1 460=32+20h{\displaystyle 1\ 460=32+20h}1 428=20h{\displaystyle 1\ 428=20h}1 42820=20h20{\displaystyle {\frac {1\ 428}{20}}={\frac {20h}{20}}}h=71,4{\displaystyle h=71,4}

La hauteur de ce prisme triangulaire est donc de 71,4 cm.

18. Inscrivez la formule de l’aire de surface d’un prisme.

Pour tous les prismes, la formule est la suivante : AS=2B+Ph{\displaystyle AS=2B+Ph}, formule dans laquelle AS{\displaystyle AS} est l’aire de surface, B{\displaystyle B}, l’aire de la base, P{\displaystyle P}, le périmètre de la base et h{\displaystyle h}, la hauteur du prisme.
Pour pouvoir appliquer cette formule, vous devez connaitre l’aire de surface du prisme, l’aire de la base triangulaire et les longueurs des trois côtés de la base.

19. Remplacez dans la formule l’aire de surface du prisme par sa valeur.

Bien entendu, si vous ne connaissez pas l’aire de surface, cette formule ne vous sera d’aucune utilité.
Admettons que vous ayez un prisme d’une aire de surface de 1 460 cm. La formule devient alors : 1 460=2B+Ph{\displaystyle 1\ 460=2B+Ph}.

20. Calculez l’aire de la base.

Pour calculer l’aire (A), vous devez connaitre la longueur (l) de la base du triangle et la hauteur (h) de ce dernier. La formule est alors la suivante : A=12(l)(h){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(l)(h)}.

Si vous avez seulement les longueurs des côtés du triangle, utilisez la formule de Héron et vous aurez l’aire de votre triangle. Pour savoir comment calculer l'aire d’un triangle, lisez cet article.
Admettons que la longueur de la base de votre triangle soit de 8 cm et que la hauteur de ce même triangle soit de 4 cm, la formule devient :A=12(8)(4){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(8)(4)}A=12(32){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(32)}A=16{\displaystyle A=16}

21. Faites l’application numérique.

Dans la formule de l’aire de surface, remplacez l’aire de la base par sa valeur numérique. Assurez-vous que vous remplacez bien la valeur littérale B{\displaystyle B} par l’aire de la base. Faites le calcul.
Vous avez précédemment trouvé que l’aire de la base était de 16 cm. La formule devient alors la suivante : 1 460=2(16)+Ph{\displaystyle 1\ 460=2(16)+Ph}1 460=32+Ph{\displaystyle 1\ 460=32+Ph}.

22. Calculez le périmètre de la base.

Pour cela, faites tout simplement la somme des longueurs des trois côtés.
Admettons que le triangle de base du prisme ait des longueurs de côtés de 8, 4 et 9 cm. La formule du périmètre de ce triangle est alors la suivante :P=8+4+9{\displaystyle P=8+4+9}P=21{\displaystyle P=21}.

23. Faites l’application numérique.

Dans la formule de l’aire de surface, remplacez le périmètre de la base par sa valeur numérique. Celle-ci remplacera la valeur littérale P{\displaystyle P} dans la formule.
Vous avez trouvé que le périmètre de la base était de 21 cm. La formule devient alors la suivante : 1 460=32+21h{\displaystyle 1\ 460=32+21h}.

24. Trouvez la valeur de h{\displaystyle h}.

Cette valeur sera en fait celle de la hauteur de votre prisme.

Votre formule établie précédemment se présente ainsi : 1 460=32+21h{\displaystyle 1\ 460=32+21h}. Pour trouver h{\displaystyle h}, vous devez d’abord retirer 32 de chaque membre de l’équation, puis diviser à nouveau chaque membre par 21, ce qui donne :1 460=32+21h{\displaystyle 1\ 460=32+21h}1 428=21h{\displaystyle 1\ 428=21h}1 42821=21h21{\displaystyle {\frac {1\ 428}{21}}={\frac {21h}{21}}}h=68{\displaystyle h=68}

La hauteur de ce prisme triangulaire est donc de 68 cm.