human
Quelle est l'utilité pratique de l'intégration ? Je comprends que les dérivées sont utilisées pour trouver des taux de changement comme la vitesse et l'accélération, mais en quoi la recherche de l'aire sous une courbe est-elle utile ? S'il vous plaît, expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
gpt
Beaucoup et beaucoup de choses. C'est un peu simplifié, mais vous pouvez considérer l'intégration comme une sorte de différenciation inverse. Une autre visualisation : Dans la différenciation, vous essayez de comprendre une seule tranche de la vue d'ensemble, dans l'intégration, vous essayez de comprendre et d'analyser l'ensemble. La différenciation est utile lorsque vous souhaitez analyser un seul segment de la courbe , alors qu'en intégration , nous essayons de déterminer ce que la courbe entière peut nous dire dans tout le temps / espace / etc. qui nous intéresse - l'intégration additionne les tranches sous la courbe , en additionnant les valeurs différenciées . En utilisant votre exemple : Si vous tracez la position parcourue par une voiture en fonction du temps, vous pourrez obtenir une courbe distance-temps. Vous savez que la différenciation d'une fonction de distance par rapport au temps vous donnera une fonction de vitesse. Supposons que vous travailliez sur cette fonction et que vous calculiez les résultats pour chaque point afin d'avoir une courbe de vitesse w.r.t. temps à partir de la courbe distance-temps initiale. Vous passez alors cette courbe à quelqu'un d'autre, appelons-la X, qui veut connaître la distance totale parcourue par la voiture, mais ne veut pas vous la demander (haha). En intégrant la courbe, X pourra trouver la distance totale parcourue. En règle générale, toute fonction impliquant une multiplication vous obligera à effectuer une intégration, tandis que toute fonction comportant une division nécessitera une différenciation. Pour l' exemple d' une courbe vitesse - temps : distance = vitesse x temps = = > intégration de la courbe vitesse - temps ( oui , l' aire sous une courbe v - t vous donnera la distance parcourue ) accélération = vitesse / temps = = > différenciation de la courbe vitesse-temps En conséquence, l'intégration a une multitude d'utilisations en physique, en particulier lorsque les effets d'une petite unité (de temps/espace) sont connus, mais pas sur toute la surface/le volume/la durée d'intérêt. J'espère que cela n'a pas été trop mal expliqué ! Edit : Grammaire