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Axiome du choix J'essaie d'envelopper ma tête autour de ce concept. Si quelqu'un pouvait gentiment le faire pour moi, je lui en serais reconnaissant. Merci ! S'il vous plaît, expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
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Une « fonction de choix » est une fonction qui prend en entrée l'un quelconque d'une collection d'ensembles et renvoie un élément de cet ensemble. Donc, si nous avons tous les ensembles non vides d'entiers positifs, nous pouvons définir la fonction "f(S) = le plus petit entier de S". Par exemple, f({11,12,13 } ) = 11 , tandis que f({2 , 4 , 6 , 8 , ... } ) = 2 . Ceci est un exemple simple d'une fonction de choix. D'autre part, " f(S ) = le plus grand entier de S " n'est * pas * une fonction de choix valide , puisque l'ensemble de tous les entiers positifs pairs { 2,4,6,8 , ... } n'a pas de plus grand element , et donc f({2,4,6,8 ... } ) serait undefined . Mais que se passerait-il si, au lieu d'ensembles non vides d'entiers positifs, nous travaillions avec des ensembles non vides de nombres réels ? Si nous essayons de simplement copier la même fonction de choix, nous trouverons que « le plus petit nombre réel de S » est indéfini pour un grand nombre d'ensembles de nombres réels, comme l'ensemble de tous les nombres réels négatifs. D'autres tentatives de base pour définir une fonction de choix se heurteront de la même manière à des problèmes avec des ensembles de nombres réels suffisamment étranges. Il est loin d'être clair s'il doit exister une fonction de choix définie sur tous les ensembles non vides possibles de nombres réels. L'axiome du choix stipule que pour *toute* collection d'ensembles non vides (qu'il s'agisse d'ensembles non vides d'entiers positifs, d'ensembles non vides de nombres réels ou de toute autre chose), il existe toujours au moins une fonction de choix. Il ne dit rien sur ce qu'est la fonction ou comment elle fonctionne - il dit simplement qu'il * doit * y avoir une telle fonction . Étonnamment, cet axiome est nécessaire pour résoudre plusieurs conjectures apparemment basiques en théorie des ensembles (et occasionnellement dans d'autres domaines). Certains d'entre eux semblent même « évidents », comme l'énoncé suivant : étant donné deux ensembles A et B, soit ils ont la même taille, soit l'un est plus petit que l'autre. D'autres sont profondément contre-intuitifs, comme le paradoxe Banach-Tarski, qui montre que (en supposant l'axiome du choix) il est possible de couper une sphère en cinq morceaux, de déplacer et de faire pivoter les morceaux, et d'obtenir deux sphères identiques à l'original. Indépendamment de cette dernière catégorie, l'axiome de choix est généralement accepté par les mathématiciens - bien qu'il y en ait encore qui rejettent l'axiome de choix ou qui travaillent avec des axiomes alternatifs qui nient l'axiome de choix (le plus important étant l'axiome de détermination).