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Veuillez expliquer ce qu'est "l'analyse des composants principaux"
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L'analyse des composants principaux (PCA) est une technique populaire pour analyser de grands ensembles de données contenant un nombre élevé de dimensions / caractéristiques par observation, augmentant l'interprétabilité des données tout en préservant la quantité maximale d'informations et en permettant la visualisation des données multidimensionnelles.Formellement, PCA est une technique statistique pour réduire la dimensionnalité d'un ensemble de données.Ceci est accompli en transformant linéairement les données en un nouveau système de coordonnées où (la plupart) la variation des données peut être décrite avec moins de dimensions que les données initiales.De nombreuses études utilisent les deux premiers composants principaux afin de tracer les données en deux dimensions et d'identifier visuellement des grappes de points de données étroitement liés.L'analyse des composants principaux a des applications dans de nombreux domaines tels que la génétique des populations, les études de microbiome et les sciences atmosphériques.Les principales composantes d'une collection de points dans un espace de coordonnées réel sont une séquence de



p


{\ DisplayStyle P}

 vecteurs unitaires, où le



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{\ displayStyle i}

-th vector est la direction d'une ligne qui correspond le mieux aux données tout en étant orthogonal au premier



je
-
1


{\ DisplayStyle i-1}

 vecteurs.Ici, une ligne la mieux adaptée est définie comme celle qui minimise la distance perpendiculaire carrée moyenne des points de la ligne.Ces directions constituent une base orthonormale dans laquelle différentes dimensions individuelles des données sont linéairement non corrélées.L'analyse des composants principaux (PCA) est le processus de calcul des composants principaux et de les utiliser pour effectuer un changement de base sur les données, en utilisant parfois uniquement les premiers composants principaux et en ignorant le reste.
Dans l'analyse des données, la première composante principale d'un ensemble de



p


{\ DisplayStyle P}

 Les variables, supposées être normalement distribuées, sont la variable dérivée formée comme une combinaison linéaire des variables d'origine qui explique le plus de variance.Le deuxième composant principal explique la plus grande variance de ce qui reste une fois que l'effet du premier composant est supprimé, et nous pouvons passer par



p


{\ DisplayStyle P}

 itérations jusqu'à ce que toute la variance soit expliquée.Le PCA est le plus souvent utilisé lorsque de nombreuses variables sont fortement corrélées les unes avec les autres et il est souhaitable de réduire leur nombre à un ensemble indépendant.
L'ACP est utilisée dans l'analyse des données exploratoires et pour créer des modèles prédictifs.Il est couramment utilisé pour la réduction de la dimensionnalité en projetant chaque point de données sur les premiers composants principaux pour obtenir des données à moindre dimension tout en préservant la variation de la données que possible.Le premier composant principal peut être défini de manière équivalente comme une direction qui maximise la variance des données projetées.Les



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{\ displayStyle i}

-th composant principal peut être considéré comme une direction orthogonale au premier



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-
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{\ DisplayStyle i-1}

 Composants principaux qui maximise la variance des données projetées.
Pour l'un ou l'autre objectif, on peut montrer que les principaux composants sont des vecteurs propres de la matrice de covariance des données.Ainsi, les principaux composants sont souvent calculés par la composition eigenden de la matrice de covariance des données ou la décomposition de la valeur singulière de la matrice de données.L'ACP est la plus simple des véritables analyses multivariées à base de vecteurs propres et est étroitement liée à l'analyse factorielle.L'analyse factorielle intègre généralement plus d'hypothèses spécifiques au domaine sur la structure sous-jacente et résout les vecteurs propres d'une matrice légèrement différente.L'ACP est également liée à l'analyse de corrélation canonique (CCA).Le CCA définit des systèmes de coordonnées qui décrivent de manière optimale la covariance croisée entre deux ensembles de données tandis que PCA définit un nouveau système de coordonnées orthogonales qui décrit de manière optimale la variance dans un seul ensemble de données.Des variantes robustes et basées sur la norme L1 de PCA standard ont également été proposées.