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Veuillez expliquer ce qu'est "l'analyse en composantes principales"
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L'analyse en composantes principales (ACP) est une technique populaire pour analyser de grands ensembles de données contenant un nombre élevé de dimensions/caractéristiques par observation, augmentant l'interprétabilité des données tout en préservant le maximum d'informations et permettant la visualisation de données multidimensionnelles. Formellement, l'ACP est une technique statistique pour réduire la dimensionnalité d'un ensemble de données. Ceci est accompli en transformant linéairement les données en un nouveau système de coordonnées où (la plupart de) la variation des données peut être décrite avec moins de dimensions que les données initiales. De nombreuses études utilisent les deux premières composantes principales afin de tracer les données en deux dimensions et d'identifier visuellement des groupes de points de données étroitement liés. L'analyse en composantes principales a des applications dans de nombreux domaines tels que la génétique des populations, les études du microbiome et les sciences de l'atmosphère. Les principales composantes d'un ensemble de points dans un espace de coordonnées réel sont une séquence de



p


{\displaystyle p}

 vecteurs unitaires, où les



je


{\displaystyle i}

-th vecteur est la direction d'une ligne qui s'adapte le mieux aux données tout en étant orthogonale au premier



je
−
1


{\displaystyle i-1}

 vecteurs. Ici, une ligne la mieux ajustée est définie comme celle qui minimise la distance perpendiculaire moyenne au carré entre les points et la ligne. Ces directions constituent une base orthonormée dans laquelle différentes dimensions individuelles des données sont linéairement non corrélées. L'analyse en composantes principales (ACP) consiste à calculer les composantes principales et à les utiliser pour effectuer un changement de base sur les données, en n'utilisant parfois que les premières composantes principales et en ignorant le reste.
Dans l'analyse des données, la première composante principale d'un ensemble de



p


{\displaystyle p}

 variables, supposées être conjointement normalement distribuées, est la variable dérivée formée comme une combinaison linéaire des variables d'origine qui explique le plus de variance. La deuxième composante principale explique le plus de variance dans ce qui reste une fois l'effet de la première composante supprimé, et nous pouvons passer par



p


{\displaystyle p}

 itérations jusqu'à ce que toute la variance soit expliquée. L'ACP est le plus couramment utilisée lorsque de nombreuses variables sont fortement corrélées les unes aux autres et qu'il est souhaitable de réduire leur nombre à un ensemble indépendant.
L'ACP est utilisée dans l'analyse exploratoire des données et pour créer des modèles prédictifs. Il est couramment utilisé pour la réduction de la dimensionnalité en projetant chaque point de données uniquement sur les quelques premières composantes principales pour obtenir des données de dimension inférieure tout en préservant autant que possible la variation des données. La première composante principale peut être définie de manière équivalente comme une direction qui maximise la variance des données projetées. Les



je


{\displaystyle i}

-ième composante principale peut être prise comme une direction orthogonale à la première



je
−
1


{\displaystyle i-1}

 composantes principales qui maximise la variance des données projetées.
Pour l'un ou l'autre objectif, on peut montrer que les composantes principales sont des vecteurs propres de la matrice de covariance des données. Ainsi, les composantes principales sont souvent calculées par décomposition propre de la matrice de covariance des données ou décomposition en valeurs singulières de la matrice de données. L'ACP est la plus simple des véritables analyses multivariées basées sur des vecteurs propres et est étroitement liée à l'analyse factorielle. L'analyse factorielle intègre généralement des hypothèses plus spécifiques au domaine concernant la structure sous-jacente et résout les vecteurs propres d'une matrice légèrement différente. L'ACP est également liée à l'analyse de corrélation canonique (ACC). CCA définit des systèmes de coordonnées qui décrivent de manière optimale la covariance croisée entre deux ensembles de données, tandis que PCA définit un nouveau système de coordonnées orthogonales qui décrit de manière optimale la variance dans un seul ensemble de données. Des variantes robustes et basées sur la norme L1 de l'APC standard ont également été proposées.