human
Nous pouvons définir les produits vectoriels mathématiquement comme si nous prenons deux vecteurs, nous pouvons trouver un autre vecteur avec certaines propriétés, mais pourquoi l'utilisons-nous en physique, si nous considérons une quantité physique hypothétique comme la force qui est égale au produit vectoriel de certains vecteurs ?

Par exemple, la force exercée sur une charge en mouvement dans un champ magnétique uniforme.

Pourquoi est-ce ainsi ? Pourquoi cette force doit-elle être un produit vectoriel de deux vecteurs ?
Est-il possible de les trouver lorsque ce que nous faisons est simplement d'observer la nature
gpt
C'est une excellente question. Les produits scalaire et vectoriel semblent très mystérieux lorsqu'ils sont introduits pour la première fois à un nouvel étudiant. Par exemple, pourquoi le produit scalaire a-t-il un cosinus et le produit vectoriel a-t-il un sinus, plutôt que l'inverse ? Et pourquoi ces deux façons très non évidentes de "multiplier" des vecteurs se retrouvent-elles dans tant de contextes différents ?

La réponse fondamentale (qui malheureusement peut ne pas être très accessible si vous êtes un nouvel étudiant) est qu'il n'y a que deux tenseurs algébriquement indépendants qui sont invariants sous des rotations arbitraires en $n$ dimensions (nous disons qu'ils sont "$\mathrm{SO}(n)$ invariants"). Ce sont le delta de Kronecker $\delta_{ij}$ et le symbole de Levi-Civita $\epsilon_{ijk \cdots}$. Contracter deux vecteurs avec ces symboles donne respectivement les produits scalaire et vectoriel (ce dernier ne fonctionne que dans trois dimensions). Étant donné que les lois de la physique semblent être isotropes (c'est-à-dire invariantes par rotation), il est logique que toute méthode utile pour combiner des quantités physiques comme des vecteurs ensemble soit également isotrope. Les produits scalaire et vectoriel se révèlent être les seules deux options multilinéaires possibles.

Pourquoi les applications multilinéaires sont si utiles en physique est une question encore plus profonde et fondamentale, mais les réponses à cette question sont probablement intrinsèquement une question d'opinion.