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Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ? Par exemple, " 2 = 2 " est-il une preuve que deux égale deux ? Comment les maths peuvent-elles prouver quoi que ce soit ? ? S'il vous plaît, expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
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Une preuve est une séquence d'énoncés qui s'enchaînent logiquement pour arriver à une conclusion théorisée. Les preuves sont basées sur ce que nous appelons des « axiomes », les choses qui sont si fondamentales pour le système mathématique dans lequel vous travaillez, que vous pouvez supposer qu'elles sont vraies sans preuve. Les ensembles d'axiomes varient selon le type de calcul que vous faites. Parfois, les preuves sont plutôt basées sur les résultats d'autres preuves plus basiques. Voici un exemple de preuve assez simple utilisant un processus que nous appelons " induction " : J'affirme que pour tout nombre entier * n * , la somme de tous les nombres 1 + 2 + 3+ ... +n est égale à n \*(n+1)/2 . Vous pouvez choisir n'importe quel * n * que vous voulez et vérifier que c'est vrai , mais comment pouvons - nous * * prouver * * que c'est vrai pour * * chaque * * nombre unique * n * sans vérifier la formule pour chaque nombre unique ? C'est là que l'induction entre en jeu. Établissons un cas de base avec n=1 . La somme est juste 1 . La formule n\*(n+1)/2 avec 1 branché pour n s'avère être 1\*(1 + 1)/2=1\*2/2=1 . Cool donc notre cas de base est bon et vrai. Supposons maintenant * que la formule soit valable pour un certain nombre aléatoire * k * . Nous allons montrer qu'elle doit tenir pour le nombre suivant * k+1 * . Notre hypothèse que la formule est valable pour * k * signifie que nous supposons 1 + 2 + 3+ ... +k = k\*(k+1)/2 . Examinons-le maintenant pour * k+1 * . Nous allons d'abord regarder la somme 1 + 2 + 3+ ... +k+(k+1 ) . Nous voulons que cela soit égal à ( k+1)\*(k+2)/2 selon notre formule . Eh bien, vérifiez la première partie de la somme (la partie entre crochets): [ 1 + 2 + 3+ ... +k]+(k+1 ) . C'est la partie que nous avons supposée suivre la formule , nous pouvons donc remplacer les crochets par k\*(k+1)/2 . Donc 1 + 2 + 3+ ... +k+(k+1)=k\*(k+1)/2 + ( k+1 ) . Écrivons le terme ( k+1 ) sous la forme 2\*(k+1)/2 afin de pouvoir additionner les deux fractions avec un dénominateur commun . Nous obtenons ( k\*(k+1 ) + 2\*(k+1))/2 . Ou , plus simplement , ( k+1)\*(k+2)/2 comme nous le voulions ! Voici donc ce que nous avons fait. Nous avons montré que quelque chose était vrai dans un cas très simple. Ensuite, nous avons montré que si vous supposez que le résultat est vrai pour n'importe quel cas, il s'ensuit que le résultat est également vrai dans le cas suivant. En d'autres termes, si c'est vrai pour n=1 (ce que nous avons prouvé), alors c'est vrai pour n=2. Si c'est vrai pour n=2 , c'est vrai pour n=3 etc . Quelques lignes d'une preuve ont juste montré que quelque chose était vrai * * pour chaque nombre entier 1 et plus * * . C'est quelque chose de puissant. Bien sûr, toutes les preuves ne sont pas du type induction. Je voulais juste montrer un exemple de prouver quelque chose de grand sans trop de complexité. Source : Mineure en mathématiques .