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Valeurs propres et vecteurs propres Que sont les valeurs propres et les vecteurs propres et où les utilisons-nous ? Explique comme si j'avais cinq ans.
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Imaginez un plateau de petites particules de sable. C'est un champ. Maintenant vous appliquez une transformation au champ de particules de sable , comme disons que vous " écrasez " le champ pour que chaque grain de sable se déplace vers l' axe y , donc les particules à gauche de l' axe y s'en rapprochent , ainsi que les particules à droite . Ce que nous venons de faire, c'est de prendre un tas de vecteurs (un vecteur pour chaque particule de sable, allant de l'origine à la particule) et d'appliquer une fonction au champ qui transforme ces vecteurs. Maintenant, chaque particule est à un endroit différent, et le vecteur allant de l'origine à cette particule de sable est différent maintenant. Si vous pensez à ce que nous avons fait , il devrait être clair pour vous que tous ces vecteurs ont tourné lorsque nous avons appliqué cette transformation squish , n'est - ce pas ? Eh bien , attendez une seconde ... pas tout . En fait , toute particule qui a commencé sur l' axe des x n'a pas tourné , n'est - ce pas ? Ces vecteurs sont seulement devenus plus courts mais n'ont pas du tout changé de direction. Donc c'est cool parce que ces vecteurs particuliers nous disent exactement quelle est la transformation sur l'ensemble du champ... rien qu'en les regardant, nous pouvons comprendre la fonction écrasée plus près de l'axe y. Le problème est qu'il y a toujours un nombre infini de vecteurs qui n'ont pas changé de direction... chaque grain de sable sur l'axe des x. Si nous savons ce qui arrive à l'un d'entre eux, cependant, nous pouvons avoir une bonne idée de ce qui arrive au reste, alors ne choisissons que des vecteurs unitaires (longueur un) ... appelons ces "vecteurs propres" parce que ça a l'air cool, les gens seront vraiment intimidés par ça. C'est aussi un bon choix , car lorsque nous appliquons la transformation à ces vecteurs particuliers , nous pouvons déterminer leur longueur et savoir immédiatement combien de fois ils sont plus longs ou plus courts ( et ensuite nous pouvons imaginer l'effet de la transformation sur * tous * de ces vecteurs qui n'ont pas changé de direction ... et puis nous pouvons imaginer son effet sur tout le champ ! tant d'informations sur cette fonction rien qu'à partir de ce qui arrive à un petit vecteur ! ) . Appelons ce facteur la valeur propre de ce vecteur propre. Si vous imaginez écraser le champ de particules de sable , vous constaterez que vos vecteurs propres sont [ 1 0 ] et [ -1 0 ] . La valeur propre de chacun de ces vecteurs propres dépend de combien vous avez écrasé le champ. Si vous l'avez fait beaucoup, ils seront beaucoup moins d'un. Si vous étendez le champ en dehors de l'axe y, ils seront supérieurs à un. Si vous écrasez le côté gauche vers l'axe des y et que vous élargissez le côté droit en l'éloignant, la valeur propre de [1 0] sera supérieure à 1 et celle de [-1 0] sera inférieure. Si vous réfléchissez tout sur l'axe y, les vecteurs propres ne changent pas mais les valeurs propres pour les deux sont -1. À présent, il devrait être clair que vous pouvez en dire beaucoup sur une fonction simplement en connaissant ses vecteurs propres, et vous pouvez en savoir encore plus sur son effet en déterminant la valeur propre de chaque vecteur propre. En fait, vous pouvez avoir une bonne idée de l'ensemble de la fonction simplement en trouvant ces vecteurs propres et ces valeurs propres, quelle que soit la complexité de la fonction. Un jour, en mathématiques, vous découvrirez le concept de divergence et de courbure. La divergence est la mesure de la distance à laquelle une particule se déplace vers ou loin de l'origine et la courbure est la mesure de la distance à laquelle une particule tourne autour de l'origine sous transformation. Si vous pensez à de l'eau qui coule dans un drain, chaque particule dans l'eau a une courbure positive (elle tourbillonne dans la direction + θ, disons) et une divergence négative (parce qu'elle se rapproche de l'origine). Si vous pensez à une transformation qui n'applique que la divergence (une explosion ou une contraction loin de l'origine), notez que chaque vecteur ne fait que se dilater ou se contracter, aucun d'eux ne change de direction. Si vous pensez à une transformation avec chaque vecteur subissant curl , notez qu'il n'y a pas de vecteurs qui continuent à pointer dans la même direction . Donc, ces deux cas sont les extrêmes opposés en ce qui concerne les vecteurs propres : une transformation qui provoque une divergence pour chaque vecteur et zéro boucle a un nombre infini de vecteurs propres, et une transformation qui provoque une boucle pour chaque vecteur a zéro vecteur propre. (Ainsi, même le fait de savoir que la solution pour les vecteurs propres n'existe pas à ces deux extrêmes vous dit quelque chose sur la façon de continuer à analyser la fonction.)