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Si j'ai échantillonné un signal en utilisant des méthodes d'échantillonnage appropriées (Nyquist, filtrage, etc.), comment puis-je relier la longueur de ma FFT à la résolution de fréquence résultante que je peux obtenir ?
Par exemple, si j'ai une onde sinusoïdale de 2 000 Hz et une onde sinusoïdale de 1 999 Hz, comment déterminer la longueur de la FFT nécessaire pour différencier avec précision ces deux ondes
gpt
La résolution de fréquence dépend de la relation entre la longueur de la FFT et le taux d'échantillonnage du signal d'entrée.

Si nous collectons 8192 échantillons pour la FFT, nous aurons :
$$\frac{8192\ \text{échantillons}}{2} = 4096\ \,\text{bins de FFT}$$

Si notre taux d'échantillonnage est de 10 kHz, alors le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon dit que notre signal peut contenir un contenu fréquentiel jusqu'à 5 kHz. Ensuite, notre résolution de bin de fréquence est :
$$\frac{5\ \text{kHz}}{4096\ \,\text{bins de FFT}} \simeq \frac{1,22\ \text{Hz}}{\text{bin}}$$

C'est peut-être la façon la plus simple de l'expliquer conceptuellement mais simplifiée : votre résolution de bin est simplement \$\frac{f_{samp}}{N}\$, où \$f_{samp}\$ est le taux d'échantillonnage du signal d'entrée et N est le nombre de points FFT utilisés (longueur de l'échantillon).

Nous pouvons voir à partir de ce qui précède que pour obtenir des bins de FFT plus petits, nous pouvons soit exécuter une FFT plus longue (c'est-à-dire prendre plus d'échantillons au même taux avant d'exécuter la FFT), soit diminuer notre taux d'échantillonnage.

## Le compromis :
Il y a toujours un compromis entre la résolution temporelle et la résolution fréquentielle.

Dans l'exemple ci-dessus, nous devons collecter 8192 échantillons avant de pouvoir exécuter la FFT, ce qui prend 0,82 seconde lorsque l'échantillonnage est effectué à 10 kHz.

Si nous essayions d'obtenir des bins de FFT plus petits en exécutant une FFT plus longue, il faudrait encore plus de temps pour collecter les échantillons nécessaires.
Cela peut être acceptable, ou non. Le point important est qu'à un taux d'échantillonnage fixe, une augmentation de la résolution fréquentielle diminue la résolution temporelle. Cela signifie que plus votre mesure est précise dans le domaine fréquentiel, moins vous pouvez être précis dans le domaine temporel. Vous perdez effectivement toutes les informations temporelles à l'intérieur de la longueur de la FFT.

Dans cet exemple, si une tonalité de 1999 Hz commence et s'arrête dans la première moitié de la FFT de 8192 échantillons et qu'une tonalité de 2002 Hz se joue dans la seconde moitié de la fenêtre, nous les verrions toutes les deux, mais elles sembleraient s'être produites en même temps.

Vous devez également prendre en compte le temps de traitement. Une FFT de 8192 points nécessite une puissance de traitement décente. Une façon de réduire ce besoin est de réduire le taux d'échantillonnage, qui est la deuxième façon d'augmenter la résolution fréquentielle.

Dans votre exemple, si vous réduisez votre taux d'échantillonnage à environ 4096 Hz, alors vous n'avez besoin que d'une FFT de 4096 points pour obtenir des bins de 1 Hz et vous pouvez toujours résoudre un signal de 2 kHz. Cela réduit la taille des bins de FFT, mais réduit également la bande passante du signal.

En fin de compte, avec une FFT, il y aura toujours un compromis entre la résolution fréquentielle et la résolution temporelle. Vous devez effectuer un acte d'équilibrage pour atteindre tous les objectifs.