human
Valeurs propres et vecteurs propres Ils sont assez simples à calculer, mais que signifient-ils ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Bien . Hum. Voyons . Cinq . Droite . Donc . Prenez une grande feuille de papier et marquez un X au milieu. C'est l'origine, ou le point zéro. Maintenant , à partir de ce X , vous pouvez dessiner des flèches . Vous choisissez une direction et une longueur et dessinez simplement votre flèche. Ces flèches sont appelées * vecteurs * . Maintenant , vous pouvez multiplier une flèche par un nombre en la rendant plus longue ou plus courte , ou même en la pointant dans la direction opposée ( tant que vous ne la tournez pas autour d' un angle étrange ) . Vous pouvez également ajouter deux flèches ensemble. Comment ? Simple . Dessinez une flèche. Puis dessinez-en un autre. Déplacez la deuxième flèche pour qu'elle commence là où la première flèche s'est terminée . Dessinez ensuite une nouvelle flèche à partir du X jusqu'à la fin de la deuxième flèche . Cette nouvelle flèche est la somme des deux autres. (Essayez-le, c'est très facile à faire.) Parlons maintenant des fonctions. Ce sont des machines mathématiques qui mangent des flèches et en fabriquent de nouvelles. Si vous lui donnez une certaine flèche, il crache une autre flèche. Cette fonction n'est pas aléatoire. Si vous lui donnez deux fois la même flèche, il crachera également la même flèche deux fois. Il existe de très nombreuses fonctions possibles. Maintenant , un type de fonction très important est appelé les fonctions * linéaires * . Ils ont ces deux propriétés : 1 . Si vous multipliez une flèche par un nombre et que vous l'alimentez avec la fonction, le résultat sera le même que si vous alimentiez la première flèche avec la fonction, et que vous multipliiez ensuite. 2 . Si vous ajoutez deux flèches et introduisez le résultat dans votre fonction, vous obtiendrez la même chose que si vous introduisiez les deux flèches d'origine dans la fonction, puis additionniez les résultats à la place. Phew . Ainsi , même avec ces exigences très strictes , la quantité de fonctions linéaires est encore très importante . Maintenant, dessinez une flèche pointant tout droit vers la droite (appelez-la Righty) et une autre pointant vers le haut (appelez-la Uppy). Dessinez ensuite n'importe quelle autre flèche au hasard. Si vous choisissez deux nombres, multipliez-les par Righty et Uppy, puis additionnez les flèches que vous obtenez, vous obtenez une nouvelle flèche. Maintenant , * * quelle que soit la flèche aléatoire que vous venez de dessiner , il y a deux nombres qui feront la somme de Righty et Uppy pour cette flèche . * * C'est extrêmement important. Cela signifie que chaque flèche peut se résumer à Righty et Uppy ! Maintenant , prenons une fonction linéaire ( Bob ) et supposons que nous savons ce qui arrive à Righty et Uppy si nous les transmettons à Bob . Ensuite , nous savons ce qu'il advient de * * n'importe quelle autre flèche également * * ! Pourquoi ? Trouvez simplement les nombres avec lesquels vous devez multiplier , puis donnez Righty et Uppy à Bob , multipliez avec les nombres que vous avez et additionnez ! En raison de 1 et 2 ci-dessus, cela doit fonctionner ! Donc, tout ce que nous devons savoir sur Bob, c'est ce qui arrive à Righty et Uppy. Righty et Uppy sont appelés une * base * , et notre connaissance de ce qui se passe si nous les transmettons à Bob est appelée une * représentation de Bob dans cette base * . Nous n'avons pas à choisir Righty et Uppy , nous pouvons choisir n'importe quelle autre flèche . Ils n'ont même pas besoin d'être de la même longueur ou d'avoir un angle droit entre eux. Si nous savons comment Bob travaille sur Righty et Uppy, nous savons tout sur Bob. Maintenant , si nous ne sommes pas terriblement malchanceux , Bob aura deux * vecteurs propres * avec * valeurs propres * . Un vecteur propre est une flèche qui, si nous l'envoyons à Bob, sortira un peu plus longue ou plus courte, mais pointant toujours dans la même direction. C'est-à-dire que la flèche a été multipliée par un nombre. Ce nombre s'appelle la * valeur propre * . Chaque vecteur propre a une valeur propre. Maintenant , comme je l' ai dit , supposons que Bob a deux vecteurs propres . Appelez-les Victor et Vicki. Comme Righty et Uppy, nous pouvons faire une base de Victor et Vicki. Puisque ce qui arrive à Victor ou Vicki si nous les donnons à Bob est si simple ( juste un étirement ! ) , cela nous aide beaucoup . Maintenant , nous n'avons même pas besoin de nous souvenir de ce qui est arrivé à Victor et Vicki pour tout savoir sur Bob . Tout ce que nous avons à faire est de nous souvenir des nombres avec lesquels ils sont multipliés ! En résumé , la * représentation de Bob dans la base de Victor et Vicki est * * * * beaucoup plus simple * * que dans toute autre base * ! Cela ne semble pas beaucoup maintenant , mais si votre morceau de papier avait 1 000 000 de dimensions ( et papa travaille souvent avec de tels morceaux de papier ) , cela serait en effet très utile , s'il avait besoin de donner à Bob beaucoup de flèches ! Les vecteurs propres ont également de nombreuses autres applications, mais c'est probablement la plus simple.