human
Topologie Comment ça marche ? Comment est-ce utilisé ? URL_0 Expliquez comme si j'avais cinq ans.
gpt
Les mathématiques en général aiment étudier les propriétés des ensembles en recherchant et en prédisant des modèles et des symétries basés sur la structure sous-jacente. * Si tu me dis comment tu es fait, je te dirai comment tu te comporteras. * Dans sa forme la plus élémentaire, les ensembles n'ont pas de structure réelle pour commencer. À ce niveau, la théorie des ensembles de base est à peu près aussi fondamentale que les mathématiques, à ce niveau, vous faites aussi vraiment de la logique de base et des tables de vérité. La topologie est une branche des mathématiques où vous ajoutez une petite structure à la collection d'ensembles. Pas grand-chose, mais il vous suffit d'étiqueter certains ensembles et vous voyez avec quel type de motifs vous vous retrouvez. * * La topologie est l'étude d'ensembles étiquetés soumis à 3 règles de base. * * Dans la première petite étape de la structure, vous prenez certains de vos ensembles et vous les étiquetez (" CES ENSEMBLES SONT OUVERTS " est l'étiquette qui est toujours utilisée, peu importe pourquoi vous les étiquetez ou même quoi, mais les gens utilisent " ouvert " ). Chaque fois que vous étiquetez une collection différente d'ensembles de base, vous obtenez une topologie (éventuellement) différente, mais de nombreux modèles de base finiront toujours par être présents. Après avoir étiqueté vos ensembles de base ( et votre étiquetage doit toujours inclure l' ensemble vide de rien et l' ensemble universel de tout , à part cela vous pouvez faire tout ce que vous voulez . ) vous décrétez simplement que c'est vrai ... de toutes les unions d'ensembles étiquetés seront également étiquetés et l'intersection de deux ensembles étiquetés sera également étiquetée." Maintenant, tant que vos ensembles étiquetés suivent ces 3 règles simples : l'ensemble vide et l'ensemble universel sont étiquetés, toutes les intersections de deux ensembles étiquetés sont étiquetées toutes les unions possibles d'ensembles étiquetés sont étiquetées Alors vous avez une topologie. C'est très basique et vous étudiez simplement ce qui se passe lorsque vos sets suivent ces règles de base. Pour vous donner un exemple concret, considérons la ligne réelle . Appelez d'abord un ensemble de base sur la ligne réelle OPEN s'il contient tous les nombres réels supérieurs ou inférieurs à tout nombre fixe. Faites-le maintenant pour chaque nombre. Donc des intervalles comme ( 0 , infinity ) et ( -infinity , 0 ) ou ( 1 , infinity ) etc . sur et sur pour chaque nombre réel (ceux-ci pourraient être appelés rayons OUVERTS). Maintenant, prenez toutes les intersections de deux rayons OPEN et cela vous donne tous les intervalles OPEN (a, b). Enfin, prenez toutes les unions possibles des intervalles ouverts, cela pourrait en inclure une infinité et c'est OK, par exemple, toute la ligne numérique entière avec tous les entiers retirés serait toujours étiquetée OPEN. (vous pouvez décrire intelligemment l'ensemble vide et l'ensemble universel à partir de ces règles en utilisant (-infinity , 0 ) intersect ( 1 , infinity ) & ( -infinity , 1 ) union ( 0 , infinity ) . [ * * NOTE * * : vous peut construire cette topologie exacte en utilisant uniquement des nombres rationnels puisque chaque nombre réel est une limite de nombres rationnels, mais c'est une autre histoire] Il s'avère que lorsque vous construisez votre topologie (les mathématiques des ensembles étiquetés) de cette façon, les mathématiques que vous obtenez est l' algèbre / calcul de tous les jours que nous connaissons et aimons , la topologie euclidienne . Maintenant, comment la topologie est-elle utilisée ? Eh bien, une chose que vous pouvez faire est de définir les propriétés des fonctions ; les relations entre deux points ; les relations entre un point et un ensemble ; ou les relations entre deux ensembles et ensuite voir qui ces propriétés se comportent sous l' application des 3 règles de base des ensembles étiquetés balle dans la boîte est tirée mais chaque balle t n'atteint qu'une seule cible. Il n'y a pas de limite au nombre de fois que chaque cible est touchée ou non, la fonction qui ne s'occupe que de chaque balle est utilisée et chaque balle tirée touche une cible. Il mappe ainsi les éléments d'un ensemble (une boîte de puces) à un autre ensemble (la collection de cibles), du domaine à la plage. Une fonction est donc une carte entre des ensembles. Des ensembles étiquetés pourraient nous aider à voir quels types d'armes nous pouvons construire. Supposons qu'une fonction ait la propriété étrange que chaque fois que la sous-collection de cibles réellement touchées par une balle de la boîte forme un ensemble étiqueté à partir de la topologie, la boîte de balles utilisée forme également un ensemble étiqueté. C'est subtil, la plupart du temps lorsque vous utilisez votre arme, la boîte de balles et/ou la collection de cibles touchées ne formeront pas d'ensembles étiquetés. Mais parfois, certaines fonctions ont cette propriété *toucher la cible* où chaque fois que la sous-collection de cibles touchées est étiquetée, la boîte de puces est également étiquetée. Une autre façon d'y penser est de supposer que vous savez à l'avance que votre collection de cibles est un ensemble étiqueté. La seule façon de toucher chaque cible avec une arme à feu ayant cette propriété est d'utiliser une boîte de balles étiquetées. Une arme à feu avec cette propriété s'appelle une mitrailleuse, ou une arme à tir continu ou une fonction continue. Les mitrailleuses doivent utiliser des boîtes de balles étiquetées afin d'atteindre chaque cible dans un ensemble de cibles étiquetées. Grosse affaire . Eh bien , tout ce charabia est suffisant pour faire des tonnes de mathématiques de fonctions continues sur des espaces multidimensionnels . Vous avez une fonction qui prend chaque nombre de 0 à 1 et frappe chaque nombre * strictement entre * 0 et 1 ... s'avère que cette fonction , quoi qu'il arrive , n'est pas continue puisque [ 0 , 1 ] n'est pas ouvert ( certains travaux pour le montrer , mais il n'est pas ouvert ) il ne peut pas être utilisé pour toucher toutes les cibles de l' ensemble ouvert ( 0 , 1 ) .