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Les théorèmes d'incomplétude de Gödel J'ai lu le wiki à ce sujet et je n'ai toujours pas la compréhension la plus élémentaire de ce qu'ils sont. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
La première chose que vous devez savoir est que les preuves nécessitent des hypothèses. Si vous n'avez jamais supposé quelque chose, les seules choses que vous pourriez prouver seraient des "tautologies", ou des déclarations qui sont vraies en raison de leur structure. Par exemple, « un oiseau est un oiseau ». Cette phrase ne révèle rien sur les oiseaux ni sur le monde. Vous pouvez remplacer " un oiseau " par n'importe quoi , même des choses qui n'existent pas , et l' affirmation est toujours vraie . Une fois que nous commençons à supposer des choses, nous pouvons commencer à faire des déclarations intéressantes sur le monde. Par exemple, si nous supposons que chaque nombre de notre système a un nombre qui peut s'additionner pour obtenir zéro, alors nous pouvons commencer à parler de soustraction et de nombres négatifs, et nous pouvons commencer à résoudre des équations comme x + a = b. Ces énoncés que nous assumons sont communément appelés axiomes s'ils concernent des nombres, ou postulats s'ils concernent des objets géométriques. Nous avons des intuitions sur le fonctionnement de notre système numérique. Nous rendons ces intuitions explicites avec les axiomes que nous choisissons. Avec moi jusqu'ici ? Maintenant, nous pouvons prendre nos axiomes et notre logique et commencer à construire des preuves. Les preuves sont source d'anxiété pour de nombreux étudiants en géométrie. La bonne chose est que chaque fois que vous établissez quelque chose comme étant vrai en utilisant une preuve, alors cette déclaration DOIT être vraie dans votre monde avec vos axiomes. Maintenant, est-ce que l'inverse est vrai ? CHAQUE énoncé vrai est-il démontrable ? C'est là qu'intervient le premier théorème d'incomplétude. Il dit que peu importe le nombre d'axiomes que vous proposez, tant que ~~il n'y en a pas une infinité (selon une définition spéciale)~~ ils sont tous décidables, alors il y aura toujours au moins une vraie déclaration arithmétique ce qui n'est pas démontrable. Le second va encore plus loin. Il dit que si vous prenez un ensemble fini d'axiomes, et que vous écrivez explicitement les règles de la logique et que vous prenez CES règles comme axiomes, alors vous ne pouvez jamais décider DANS ce système si oui ou non le système n'a pas de contradictions. C'est-à-dire qu'à partir du moment où nous formalisons notre logique, nous ne pouvons pas montrer que notre logique ne s'effondre pas à un moment donné. Veuillez étendre et corriger si nécessaire .