human
Différentes tailles d'infinité Je n'ai jamais été capable d'envelopper ma tête à propos de celui-ci. Je connais les bases du truc de Cantor où vous faites correspondre les nombres, mais ça n'a jamais vraiment eu de sens non plus. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Il y a beaucoup d'idées fausses dans ces réponses. L'infini peut signifier plusieurs choses différentes, une déclaration plus précise serait qu'il existe différentes tailles d'ensembles infinis. On dit que les nombres naturels (ou nombres entiers) sont le « plus petit » ensemble infini. On peut prouver qu'on peut trouver une « copie » de cet ensemble dans n'importe quel autre ensemble infini. Cependant , il s'avère que l' ensemble des nombres naturels pairs ( que vous pourriez penser être un ensemble plus petit ) peut être mis en correspondance un à un ( ou peut être " mis en correspondance un par un " ) avec l' ensemble des tous les nombres naturels , ce qui nous indique qu'ils ont la même " taille " ( dans un sens ) . En prolongeant cela, nous disons que deux ensembles ont la même taille (ou cardinalité) s'ils peuvent être mis en correspondance biunivoque. Ceci est certainement vrai pour les ensembles finis , mais conduit à des choses étranges pour les ensembles infinis . L'ensemble des rationnels, par exemple, a la même cardinalité que les nombres naturels. Cependant, Cantor a montré que les réels ne peuvent pas être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels. Puisque les nombres naturels sont clairement un sous-ensemble des réels, cela montre que les réels doivent avoir une cardinalité « plus grande » que les nombres naturels et les rationnels. Il existe donc au moins deux cardinalités infinies *différentes*. Nous appelons « dénombrable » tout ensemble qui peut être mis en correspondance biunivoque avec les naturels. Cantor a montré que les réels sont innombrables. On peut facilement montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble a une plus grande cardinalité que l'ensemble sous-jacent, il s'ensuit donc qu'il existe en fait des niveaux infinis de cardinalité infinie.