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Veuillez expliquer ce qu'est "l'équation aux dérivées partielles"
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En mathématiques, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation qui impose des relations entre les différentes dérivées partielles d'une fonction multivariable.
La fonction est souvent considérée comme une "inconnue" à résoudre, de la même manière que x est considéré comme un nombre inconnu à résoudre dans une équation algébrique comme x2 - 3x + 2 = 0. Cependant, il est généralement impossible écrire des formules explicites pour les solutions d'équations aux dérivées partielles. Il existe, en conséquence, une grande quantité de recherches mathématiques et scientifiques modernes sur les méthodes permettant d'approcher numériquement les solutions de certaines équations aux dérivées partielles à l'aide d'ordinateurs. Les équations aux dérivées partielles occupent également un large secteur de la recherche mathématique pure, dans laquelle les questions habituelles portent, en gros, sur l'identification des caractéristiques qualitatives générales des solutions de diverses équations aux dérivées partielles, telles que l'existence, l'unicité, la régularité et la stabilité. citation nécessaire] Parmi les nombreuses questions ouvertes figurent l'existence et la fluidité des solutions aux équations de Navier-Stokes, désignées comme l'un des problèmes du prix du millénaire en 2000.
Les équations aux dérivées partielles sont omniprésentes dans les domaines scientifiques à orientation mathématique, tels que la physique et l'ingénierie. Par exemple, ils sont fondamentaux dans la compréhension scientifique moderne du son, de la chaleur, de la diffusion, de l'électrostatique, de l'électrodynamique, de la thermodynamique, de la dynamique des fluides, de l'élasticité, de la relativité générale et de la mécanique quantique (équation de Schrödinger, équation de Pauli, etc.). Ils découlent également de nombreuses considérations purement mathématiques, telles que la géométrie différentielle et le calcul des variations ; entre autres applications notables, ils sont l'outil fondamental de la preuve de la conjecture de Poincaré à partir de la topologie géométrique.
En partie à cause de cette variété de sources, il existe un large éventail de différents types d'équations aux dérivées partielles, et des méthodes ont été développées pour traiter de nombreuses équations individuelles qui se posent. En tant que tel, il est généralement admis qu'il n'existe pas de «théorie générale» des équations aux dérivées partielles, les connaissances spécialisées étant quelque peu divisées entre plusieurs sous-domaines essentiellement distincts.
Les équations différentielles ordinaires forment une sous-classe d'équations aux dérivées partielles, correspondant aux fonctions d'une seule variable. Les équations aux dérivées partielles stochastiques et les équations non locales sont, à partir de 2020, des extensions particulièrement étudiées de la notion "EDP". Des sujets plus classiques, sur lesquels il y a encore beaucoup de recherches actives, incluent les équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques, la mécanique des fluides, les équations de Boltzmann et les équations aux dérivées partielles dispersives.