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Comment établir une fonction exponentielle à partir d'un taux et d'une valeur initiale ?
gpt
Les fonctions exponentielles permettent de rendre compte de nombreux phénomènes à évolution importante. On s'en sert pour modéliser des hausses de population, pour prévoir la diminution de la radioactivité, la prolifération de telle ou telle bactérie, le comportement futur des marchés financiers, etc. Dans cet article, nous aborderons deux façons de libeller une fonction exponentielle en ne connaissant au départ que la valeur initiale du phénomène et son taux de croissance.

1. Prenons un exemple.

Vous déposez 1 000 euros sur un compte bancaire rémunéré à 3 % par an. Trouvez une équation exponentielle qui rende compte de l'évolution de ce capital au fil du temps.

2. Connaissez la forme d'une fonction exponentielle.

Elle peut se présenter sous la forme : f(t) = P0(1+r), dans laquelle P0 est la valeur initiale, t, la variable du temps, r, le taux de variation et h, l'unité de temps en liaison avec t.

3. Faites l'application numérique.

Donnez à P0 et à r leurs valeurs respectives. La fonction devient alors : f(t) = 1 000(1,03).

4. Trouvez h.

Souvenez-vous de votre équation. Vous touchez un intérêt de 3 % chaque année, ou si vous préférez, tous les 12 mois. Si le temps de placement (t) est donné en mois, vous divisez t par 12. C'est pourquoi, ici, h = 12. La fonction se présente alors ainsi : f(t) = 1 000(1,03). Si les unités de temps du taux (r) et du temps de placement (t) sont identiques, h est égal à 1.

5. Comprenez ce qu'est « e ».

Si vous prenez « e » comme base, vous utilisez ce qu'on appelle une « base naturelle », appelée aussi « constante de Néper ». Son utilisation permet de déduire directement la croissance exponentielle continue depuis l'équation.

6. Prenons un exemple.

Vous avez un échantillon de 500 g d'un isotope du carbone, dont on sait qu'il a une période radioactive de 50 ans, soit le temps nécessaire pour qu'il perde la moitié de sa masse.

7. Connaissez une autre forme de la fonction exponentielle.

Elle peut également se présenter sous la forme : f(t) = ae, dans laquelle a est la valeur initiale, e, la base, k, la croissance exponentielle continue et t, la variable du temps.

8. Remplacez la valeur initiale.

C'est la seule valeur constante qui nous est donnée dès le départ. Entrez-la dans l'équation, ce qui donne : f(t) = 500e.

9. Trouvez la croissance exponentielle continue.

Ce taux donne une indication sur la rapidité de développement de la fonction, à la hausse comme à la baisse. Cette rapidité est visible sur la courbe : la pente est plus ou moins raide. Si on reprend notre exemple, on sait qu'en 50 ans, l'échantillon perd la moitié de sa masse, soit 250 g. Cette date des 50 ans peut être considérée comme un des points du graphe, ce qui vous permet d'écrire : t = 50. Mettez cette valeur dans la fonction. On sait que f(50) = 500e, mais aussi que f(50) = 250. Si on fusionne les deux équations, on obtient l'équation exponentielle suivante : 250 = 500e. Il ne reste plus qu'à la résoudre. Divisez de chaque côté par 500, ce qui donne : 1/2 = e. On prend le logarithme naturel (fonction inverse de l'exponentielle) des deux membres et on obtient : ln(1/2) = ln(e). Il est une propriété du logarithme qui établit que : ln(e) = xln(e). Appliquée à notre équation, cette propriété nous permet d'écrire : ln(1/2) = 50k(ln(e)). On peut écrire « ln » (log népérien) ou « log » (log naturel). Il est une autre propriété des logarithmes qui établit que le log de la base est égal à 1, soit : ln(e) = 1. L'équation se résume alors à : ln(1/2) = 50k. Divisez de chaque côté par 50, ce qui donne : k = (ln(1/2))/50. Avec une calculatrice, vous trouverez que : ln(1/2) = -0,693147181. Divisé par 50, on trouve que k vaut environ -0,01386. Vous noterez que cette réponse est négative. Si la croissance est négative, comme ici, c'est que vous avez une baisse exponentielle (l'échantillon perd de sa masse). Si la croissance est positive, c'est que vous avez une hausse exponentielle.

10. Remplacez k par sa valeur.

La fonction de la période radioactive (ou demi-vie) est alors la suivante : f(t) = 500e.