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Démontrer le théorème de Pythagore.
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Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AC est l'hypoténuse.

On note AB = a et BC = b.

D'après le théorème de Pythagore, on a :

AC² = AB² + BC²

Or, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit.

Donc le triangle ABC peut être inscrit dans un cercle de diamètre AC.

Ce cercle a pour centre O et pour rayon AC/2.

Par conséquent, les côtés AB et BC sont les deux segments tangents au cercle en A et en C.

D'après le théorème des tangentes, on a alors :

AB² = AO x AC

BC² = CO x AC

Or dans un triangle rectangle, l'angle ACB est complémentaire de l'angle ABC, donc les triangles ABC et AOC sont semblables.

On en déduit que :

CO x AC = BC²

De même, les triangles ABC et BOA sont semblables, donc :

AO x AC = AB²

En remplaçant AC², AB² et BC² par leurs expressions obtenues précédemment, on a :

CO x AC + AO x AC = AC²

soit :

CO + AO = AC

Ce qui prouve que O est bien le milieu de l'hypoténuse AC.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AOB, on a :

AC² = AB² + BO²

Or, BO = CO = AC/2

Donc :

AC² = AB² + (AC/2)²

soit :

AC² = AB² + BC²

Ce qui démontre le théorème de Pythagore.