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Comment calculer la demi‑vie d'une substance radioactive ?
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La demi-vie est un critère qui indique le temps mis par une substance (médicament, molécule ou noyau radioactif) pour perdre la moitié de son activité. La demi-vie est très liée au principe de la décroissance exponentielle, bien connue en physique nucléaire, les éléments radioactifs perdent la moitié de leurs atomes en un temps constant, mais variable d'un élément à l'autre. Dit plus simplement, la demi-vie correspond souvent au temps mis pour qu'une substance perde la moitié de sa masse.

1. Comprenez bien le concept de demi-vie.

Il y a une référence au temps et à une histoire de moitié : la demi-vie est le temps mis par une substance pour perdre la moitié de sa masse ou de son rayonnement, de son efficacité… En physique nucléaire, elle sert à savoir quand un élément cesse d'être dangereux pour le vivant.
Parmi les éléments connus pour leurs demi-vies, citons l'uranium 238 (4,5 milliards d'années !) et le plutonium (24 000 ans).

2. Sachez que la demi-vie est indépendante de certains facteurs.

Elle n'est affectée ni par la température ni par la concentration de la substance. Chaque isotope d'un élément radioactif a sa propre demi-vie (ou période) qui dépend en fait de sa structure.
Ne dépendant pas de facteurs autres que sa propre structure, vous allez pouvoir savoir en combien de temps une masse radioactive se dégrade et en quelles proportions.

3. Sachez que la demie-vie du carbone sert à la datation.

C'est une technique qui est utilisée depuis maintenant longtemps en archéologie afin de déterminer des dates. Tout être vivant (animaux, plantes) fixe durant sa vie du carbone, mais à sa mort (sa fin), ce carbone s'élimine au rythme de sa demi-vie. En résumé, plus l'être vivant est mort depuis longtemps, moins il y a d'atomes de carbone.
En fait, il existe deux isotopes principaux qui servent à la datation : le célèbre carbone 14 (5 700 ans) et le carbone 12. On calcule le rapport entre 14C{\displaystyle ^{14}C} (qui décroit) et 12C{\displaystyle ^{12}C} (qui est constant), ce qui donne « l'âge carbone 14 ».

4. Comprenez bien ce qu'est la décroissance exponentielle.

Parmi toutes les fonctions exponentielles décroissantes, il en est une qui nous intéresse pour le propos qui est le nôtre : la fonction f(x)=ax,{\displaystyle f(x)=a^{x},} avec |a|<1.{\displaystyle |a|<1.}.
Dit autrement, lorsque x{\displaystyle x} augmente, f(x){\displaystyle f(x)} diminue pour tendre vers 0, sans cependant l'atteindre. C'est exactement ce qui se passe avec la demie-vie d'un élément. Dans le cas de la demi-vie avec a=12,{\displaystyle a={\frac {1}{2}},} on peut écrire la relation suivante : f(x+1)=(12)x.{\displaystyle f(x+1)=({\frac {1}{2}})^{x}.}

5. Introduisez la demi-vie dans la fonction.

Dans le cas présent, il n'y a pas de variable x,{\displaystyle x,} mais la variable t,{\displaystyle t,} le temps.

f(t)=(12)t{\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}}
Nous avons remplacé x{\displaystyle x} par t{\displaystyle t}, mais nous ne sommes pas plus avancés. Il faut tenir en fait compte de la demi-vie qui est une constante, chaque élément ayant une demi-vie précise.
Il va falloir introduire la demi-vie (t1/2{\displaystyle t_{1/2}}) dans l'exposant. Celle-ci est exprimée en une unité de temps et un exposant est par définition une valeur sans unité. La quantité de substance diminuant avec le temps, il faut donc diviser le temps écoulé par la demi-vie. Les deux valeurs étant exprimées dans la même unité (mois, années), celle-ci s'annule.
C'est peut-être évident, mais il faut préciser que t1/2{\displaystyle t_{1/2}} et t{\displaystyle t} doivent être exprimés dans la même unité, si bien que l'on peut établir la fonction suivante :
f(t)=(12)tt1/2{\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}

6. Introduisez la quantité initiale dans la formule.

Telle qu'elle apparait ainsi, cette fonction est un peu théorique, car elle ne permet d'exprimer que la masse (ou le nombre de noyaux) restante en pourcentage de la masse de départ. Pour lui donner corps avec des valeurs absolues, de masse donc, il faut introduire la masse de départ, appelée N0{\displaystyle N_{0}}.
N(t)=N0(12)tt1/2{\displaystyle N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}

7. Calculez la demi-vie.

La formule que nous venons d'établir contient tout ce dont vous avez besoin pour calculer une demi-vie. Partons d'une certaine quantité d'une substance radioactive dont les atomes disparaissent à un certain rythme. S'il est facile de mesurer les quantités (ou les masses) de départ et de fin d'expérience, la demi-vie quant à elle ne se laisse pas deviner. C'est pourquoi il faut isoler la demi-vie dans la formule.

Divisez des 2 côtés par la quantité initiale (N0{\displaystyle N_{0}}).
N(t)N0=(12)tt1/2{\displaystyle {\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}

Prenez le logarithme de base 12,{\displaystyle {\frac {1}{2}},} des deux membres de l'égalité. Le second membre se résume alors à l'exposant.
log1/2⁡(N(t)N0)=tt1/2{\displaystyle \log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}}

Multipliez des 2 côtés par t1/2{\displaystyle t_{1/2}}, puis divisez de même par log1/2⁡(N(t)N0){\displaystyle \log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}. Comme vous allez calculer un logarithme, qui plus est de base 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, il vous faudra utiliser une calculatrice pour achever le calcul.
t1/2=tlog1/2⁡(N(t)N0){\displaystyle t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}}

8. Repérez la date de départ.

La décroissance radioactive est continue, mais il faut bien prendre un point de départ dans le temps : ce sera sur un graphe de décroissance le 0 de l'axe horizontal (axe du temps), lequel va influer sur l'axe vertical celui de la masse (ou du nombre de noyaux) de l'échantillon.
Sur un graphe de demi-vie, le temps est figuré sur l'axe des x{\displaystyle x}, tandis que la masse de l'échantillon l'est sur l'axe des y{\displaystyle y}.

9. Observez l'axe vertical d'origine.

La masse de départ de l'échantillon est pris au temps t=0{\displaystyle t=0}. Repérez la graduation qui se trouve à mi-distance du 0 et de la masse de votre échantillon, puis tracez une horizontale jusqu'à la courbe de décroissance.

Comme sur l'illustration, la masse de départ est de 1 640 g, et la moitié est 820 g (1 640/2).
Si votre graphe a été construit sur un papier semi-logarithmique, faites attention, car le point de demi-masse ne sera pas au milieu.

10. Tracez la verticale depuis le point.

Depuis le point d'intersection précédent, tracez une verticale qui va jusqu'à l'axe des abscisses. C'est à cette intersection que vous allez lire la demi-vie : vous faites une interpolation.

11. Déterminez la valeur de la demi-vie de votre substance.

C'est donc à ce point d'intersection que se trouve la valeur que vous cherchez, d'où l'importance d'avoir une ligne parfaitement verticale. Ce point n'a pas besoin d'être identifié par un symbole quelconque.

12. Soyez en possession de 3 des 4 variables.

Pour calculer une demi-vie, il vous faut connaitre la quantité initiale d'une substance, la quantité restante au terme de l'expérience et la durée de l'expérience. Ce sont là les mesures dont vous allez avoir besoin.
En fait, l'on a ici 4 variables qui ont un lien et il suffit d'en connaitre trois pour déterminer la quatrième. Avec la demi-vie d'un élément radioactif, une quantité restante et une durée de désintégration, vous pouvez retrouver la quantité initiale de la substance.

13. Calculez la constante de décroissance (λ{\displaystyle \lambda }).

Cette valeur est une constante, c'est la probabilité par unité de temps qu’un noyau de tel élément se désintègre. Elle s'exprime en inverses d'unité de temps (souvent s−1{\displaystyle s^{-1}}). Cette valeur, à la différence de la demi-vie, permet de dater, par exemple, des fossiles à partir de certains éléments qui se désintègrent (souvent le carbone 14). Cette constante permet aussi de calculer la durée de vie d'un organisme.
À l'inverse, la demi-vie d'un élément peut se calculer avec la seule constante de décroissance ou la durée de vie moyenne (notée τ{\displaystyle \tau }). En fait, il suffit que vous ayez une de ces trois valeurs pour déterminer les deux autres. La double égalité qui les unit est la suivante : τ=1λ=t1/2ln(2){\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}={\frac {t_{1/2}}{ln(2)}}}.

14. Saisissez la fonction de la demi-vie.

Vous avez votre équation de demi-vie et vous voulez voir son graphe. Ouvrez le menu  de la calculatrice, saisissez la fonction de désintégration, puis appuyez sur. Souvent, le graphe n'est pas complet, aussi faut-il redimensionner la fenêtre d'affichage pour voir, sinon toute la courbe, du moins celle où se trouve la quantité (y{\displaystyle y}) divisée par 2. Dans la partie , choisissez , puis entrez la valeur N02{\displaystyle {\frac {N_{0}}{2}}}, validez et vous obtenez la demi-vie.
Si vous ne voulez pas faire le calcul, mais seulement avoir un ordre de grandeur de la demi-vie, l'observation simple de la courbe est utile (fonction  pour plus de précision).

15. Résolvez ce problème.

Une masse de 300 g d'une matière radioactive est réduite à 112 g au bout de 180 secondes. Quelle est la demi-vie de cette substance ?

 les éléments en notre possession sont la masse de départ(N0=300 g),{\displaystyle N_{0}=300{\rm {\ g}}),} la masse d'arrivée (N=112 g),{\displaystyle N=112{\rm {\ g}}),} et le temps écoulé (t=180 s).{\displaystyle t=180{\rm {\ s}}).}

Reprenez la formule de la demi-vie : t1/2=tlog1/2⁡(N(t)N0).{\displaystyle t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}.} À gauche, la demi-vie est isolée, il faut donc procéder simplement à l'application numérique, puis faire les calculs.
t1/2=180 slog1/2⁡(112 g300 g)t1/2≈127 s{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\t_{1/2}&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}}

Vérifiez la cohérence de la réponse. Notre substance a perdu un peu plus de la moitié de sa masse, il est donc logique que sa demi-vie soit inférieure au temps écoulé durant l'observation.

16. Résolvez cet autre problème.

Un réacteur nucléaire a produit 20 kg d'uranium 232 (produit de fission). Si la demi-vie de l'uranium 232 est d'environ 70 ans, calculez au bout de combien de temps cette masse de déchet ne sera plus que de 100 g.

 les éléments en notre possession sont la masse de départ (N0=20 kg),{\displaystyle N_{0}=20{\rm {\ kg}}),} la masse d'arrivée (N=0,1 kg){\displaystyle N=0,1{\rm {\ kg}})} et la demi-vie de l'uranium 232 (t1/2=70 ans).{\displaystyle t_{1/2}=70{\rm {\ ans}}).} Ne manque donc que t !{\displaystyle t\ !}

Arrangez la formule de la demi-vie afin d'isoler la durée t.{\displaystyle t.}
t=(t12)log12⁡(N(t)N0){\displaystyle t=(t_{\frac {1}{2}})\log _{\frac {1}{2}}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}

Faites l'application numérique et les calculs.
t=(70 ans)log12⁡(0,1 kg20 kg)t≈535 ans{\displaystyle {\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ ans}})\log _{\frac {1}{2}}\left({\frac {0,1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\t&\approx 535{\rm {\ ans}}\end{aligned}}}
N'oubliez jamais de vérifier la cohérence de votre réponse pour détecter une éventuelle erreur.

17. Résolvez ce nouveau problème.

L'isotope 182 de l'osmium (182Os{\displaystyle ^{182}Os}) a une demi-vie de 21,5 heures. Quelle sera la perte de masse d'un échantillon de 10 g de cet élément au bout de 3 demi-vies  ?

 (12)3=0,125{\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{3}=0,125} (pourcentage de matière restant au bout de 3 demi-vies)

10,0 g×0,125=1,25 g{\displaystyle 10,0\ g\times 0,125=1,25\ g} (quantité restante)

10 g−1,25 g=8,75 g{\displaystyle 10\ g-1,25\ g=8,75\ g} (quantité ayant disparu)
Vous le voyez, dans ce calcul, la demi-vie n'a joué absolument aucun rôle.

18. Résolvez ce dernier problème.

Au bout d'une heure (60 minutes), la masse d'un isotope d'un élément radioactif X est réduite à 17/32 de sa masse de départ. Calculez la demi-vie de cet isotope.

 17/32=0,53125{\displaystyle 17/32=0,53125} (proportion décimale de la masse restante)

(12)n=0,53125{\displaystyle ({\frac {1}{2}})n=0,53125} (version décimale de la partie restante)

log(12n)=n log(0,5)=log(0,53125){\displaystyle log({\frac {1}{2}}n)=n\ log(0,5)=log(0,53125)} (on prend le log des 2 membres)

n=0,91254{\displaystyle n=0,91254} (nombre de demi-vies durant l'expérience)

t1/2=60 min/0,91254=65,75 min{\displaystyle t_{1/2}=60\ min/0,91254=65,75\ min} (calcul de la demi-vie entière)

t1/2≈66 min{\displaystyle t_{1/2}\approx {66}\ min} (valeur arrondie)