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Comment calculer l'aire d'un secteur angulaire ?
gpt
Au collège, on vous demandera certainement un jour de calculer l'aire d'un secteur angulaire. Un secteur est en fait une partie d'un cercle, un peu comme une part de pizza ou de tarte. Pour cela, on vous donnera certaines données comme la mesure du rayon, celle de l'angle ou celle de l'arc du secteur. Selon les informations, vous appliquerez telle ou telle formule toute faite. C'est simple à condition de connaitre les formules et de bien faire les calculs.

1. Posez la formule de calcul de l'aire (A{\displaystyle A}).

Elle est la suivante :A=(θ360)πr2{\displaystyle A=\left({\frac {\theta }{360}}\right)\pi r^{2}}. Dans cette formule, r{\displaystyle r} est la longueur du rayon, et θ{\displaystyle \theta } l'angle du secteur angulaire.

Pour rappel, la formule de l'aire d'un cercle est : A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}. Ce calcul est nécessaire pour pouvoir ensuite calculer la surface du secteur, lequel ne sera qu'une partie du cercle tout entier.
Un cercle mesure 360°, si bien que lorsque vous rapportez l'angle du secteur à 360°, vous obtenez un pourcentage qui sera aussi celui de l'aire du secteur par rapport à l'aire du cercle entier.

2. Faites l'application numérique.

Remplacez θ{\displaystyle \theta } par sa valeur réelle, puis divisez par 360. Vous obtenez ainsi le pourcentage de cet angle par rapport aux 360° du cercle entier..

Supposons que l'angle de votre secteur soit de 100°. Divisez 100 par 360 (mesure du cercle entier), cela vous donne 0,28, c'est-à-dire que l'aire du secteur représente 28 % (0,28×100{\displaystyle 0,28\times 100}) de l'aire du cercle entier.
Si, dans l'exercice, l'on vous donne non pas l'angle, mais la part que représente ce secteur par rapport au cercle entier, multipliez ce pourcentage par 360. Par exemple, si le secteur représente un quart du cercle (14=0,25=25 %{\displaystyle {\frac {1}{4}}=0,25=25\ \%}), multipliez 14{\displaystyle {\frac {1}{4}}} par 360, ce qui donne 90°.

3. Poursuivez l'application numérique.

Remplacez r{\displaystyle r} par sa valeur réelle. Vous devez donc, dans un premier temps, élever cette valeur au carré, puis multipliez le résultat par π{\displaystyle \pi } (3,14). Vous obtenez alors l'aire du cercle entier.

Supposons que le rayon d'un secteur soit de 5 cm, son carré est égal à :5×5=25{\displaystyle 5\times 5=25}. Multipliez ensuite par π{\displaystyle \pi } : 25×π=25×3,14=78,5{\displaystyle 25\times \pi =25\times 3,14=78,5}, l'aire du cercle entier.
Au cas où l'on vous donnerait le diamètre du cercle et non pas le rayon, il vous suffirait de diviser le premier par 2 pour avoir le rayon.

4. Multipliez l'aire du cercle par le pourcentage du secteur.

Le résultat précédent doit ensuite être multiplié par le pourcentage du secteur sous sa forme décimale. Le résultat ne sera rien d'autre que ce que vous cherchez : l'aire du secteur angulaire.

Le calcul est le suivant : 78,5×0,28=21,89{\displaystyle 78,5\times 0,28=21,89}.
Comme les données sont en centimètres, le résultat est lui en centimètres carrés (cm2{\displaystyle cm^{2}}).

5. Posez la formule de calcul de l'aire (A{\displaystyle A}).

Elle est la suivante : A=rL2{\displaystyle A={\frac {rL}{2}}}. Dans cette formule, r{\displaystyle r} est la longueur du rayon, et L{\displaystyle L} la longueur de l'arc.

Pour rappel, la formule de calcul de la circonférence (périmètre) du cercle est :A=2πr{\displaystyle A=2\pi r}. Connaissant la longueur de l'arc, lequel n'est jamais qu'une fraction de la circonférence totale, vous allez pouvoir déterminer le pourcentage de l'arc, mais aussi de l'aire du secteur.
La formule complète est : A=(L2πr)πr2{\displaystyle A=\left({\frac {L}{2\pi r}}\right)\pi r^{2}}, mais une fois simplifiée, elle se résume à : A=rl2{\displaystyle A={\frac {rl}{2}}}.

6. Faites l'application numérique.

Remplacez r{\displaystyle r} et L{\displaystyle L} par leurs valeurs réelles. Vous obtenez ainsi le numérateur de la formule.
Supposons que vous ayez un secteur angulaire avec une longueur d'arc de 5 cm et un rayon de 8 cm, en ce cas, le numérateur est de 40 (5 x8).

7. Divisez ensuite par 2.

Selon la formule, rL{\displaystyle rL} doit être divisé par 2. Le résultat n'est rien moins que ce que vous cherchez : l'aire du secteur angulaire.

Le calcul est le suivant : 402=20{\displaystyle {\frac {40}{2}}=20}.
Comme les données sont en centimètres, le résultat est lui en centimètres carrés (cm2{\displaystyle cm^{2}}).