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Sommation de Ramanujan, la "preuve" que la somme de tous les nombres est en fait une fraction négative Nom complet de la "preuve" Sommation de Ramanujan : une application étendue de la régularisation de la fonction Zeta Veuillez expliquer comme si j'avais cinq ans.
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L'explication générale est quelque chose comme ça : Il y a une fonction, que nous appellerons Zeta parce que ça sonne cool et futuriste, que nous définissons d'abord en parlant de sommes. En particulier , des sommes de choses comme 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... , où chaque chose que nous ajoutons est moitié moins grande que la dernière . Pour une somme comme celle-ci, nous pouvons dire ce qui se passe si nous ajoutons un nombre infini de choses - nous obtenons 2 ! Simple vieux ennuyeux 2 . Alors Zeta prend un nombre et sort un nombre . Et quand nous le traitons comme une somme de choses, il prend un nombre positif et sort un nombre réel. Mais cela ne fonctionne pas si nous mettons un nombre négatif dans . Si nous essayons de mettre -1 dans Zeta , cela nous donne 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... , qui ne décide jamais vraiment ce qu'il veut être . Est-ce 1 ou est-ce 0 ? Heureusement, il se trouve qu'il existe une autre façon de définir Zeta, de sorte qu'il se comporte comme son moi sommatif normal pour les nombres positifs, mais continue ensuite à fonctionner sans à-coups dans les nombres négatifs. Et si nous faisons cela , et mettons -1 dans Zeta , alors nous obtenons 1/2 . Cela signifie-t-il donc 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1/2 ? Eh bien, oui et non. Avec la plupart des arithmétiques normales , nous sommes d' accord pour dire que 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2 , tout comme nous sommes heureux de dire 0,999 ... = 9/ 10 + 9/100 + 9/1000 + ... = 1 - et croyez-moi, les mathématiciens sont d'accord pour établir les règles de telle manière que le symbole "=", lorsqu'il est appliqué à des sommes infinies comme celle-ci, donne vraiment ces réponses. Mais selon ces règles , 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'est égal à rien . S'il ne peut pas décider ce qu'il veut égaler , nous ne le forcerons pas à égaler quoi que ce soit . Cependant , nous pouvons utiliser une arithmétique différente , qui fonctionne de la même manière si nous additionnons un nombre fini de choses , et qui dit toujours que 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 , mais cela dit que là où l' ancienne arithmétique * ne * fonctionne pas , nous appliquerons un peu de jiggery - pokery pour * la faire * fonctionner , et cela correspond au comportement de notre deuxième version de Zeta . Donc, dans un sens, nous redéfinissons ce que "=" signifie sous cette arithmétique légèrement différente (les programmeurs informatiques pourraient dire que nous "surchargeons" l'opérateur égal). Et c'est bien, mais cela signifie que certaines choses qui étaient vraies dans l'arithmétique la plus familière ne le sont plus tout à fait - par exemple, vous pouvez très rapidement voir que même si nous pouvons faire des additions comme 1 + 2 + 3 dans n'importe quel ordre et obtenez toujours 6, pour des séries comme 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... vous pouvez définir des manières de faire l'addition dans un autre ordre (tout en continuant à faire tous les +1 et -1) et obtenir à peu près n'importe quelle valeur que vous aimez , vous devez donc dire que vous ne pouvez pas réorganiser arbitrairement vos sommations tout en les gardant égales ( techniquement , vous ne pouviez pas toujours le faire dans l' ancienne arithmétique , non plus , mais ici c'est même plus évident). Alors cette nouvelle arithmétique est-elle utile ? Eh bien, ce n'est pas aussi utile que l'ancienne arithmétique pour un tas de raisons, mais cela a ses applications. Cependant , c'est aussi un peu contraire à l' éthique de dire " 1 - 1 + 1 - ... = 1/2 " et " 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 " sans ajouter l'avertissement que vous travaillez dans un autre type d'arithmétique.