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Dérivés de calcul J'aimerais en savoir le plus possible sur les dérivés ; de la façon dont ils sont résolus à quelles sont leurs applications. Merci d'avance. Explique comme si j'avais cinq ans.
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Vraiment facile ! Dites que vous avez une ligne. y = 3x + 2 . Quelle est la pente ? Si vous avez répondu 3, vous vous souvenez de l'algèbre du collège. Si vous ne l'avez pas fait, vous devriez revenir en arrière et l'apprendre. N'importe quel enfant de quatre ans devrait le savoir, et comme vous avez cinq ans, vous devriez LE SAVOIR DÉFINITIVEMENT. En tous cas . Disons que vous avez une * courbe * au lieu d'une ligne , comme y = x^2 . Quelle est la pente ? Eh bien, il n'y en a pas ! C'est une courbe ! Mais à n'importe quel point particulier de la courbe, vous pouvez tracer une ligne qui la touche à peine et ne la traverse pas (à quelques exceptions près, mais c'est plus tard). CETTE ligne a une pente. A x = 0 , par exemple , la courbe y = x^2 est plate , donc la pente est 0 . À x = 1 , cependant , la pente est de 2 , et à x = -3 , la pente est de -6 . En fait , quel que soit x , la pente est 2x . On appelle 2x la dérivée de x^2 . Il est beaucoup plus facile de le faire en utilisant des images. Allez à URL_0 et regardez-en quelques-unes, car cela vous aidera. Maintenant , vous voulez savoir comment prendre une dérivée , n'est - ce pas ? C'est ce qu'on appelle différencier, PAS "dériver". Eh bien , si vous avez un polynôme , où chaque terme est quelque chose comme ax^k , il est vraiment facile de prendre la dérivée : la dérivée de x^n est nx^(n-1 ) . Et les dérivées s'additionnent, donc la dérivée de x^2 est 2x et la dérivée de x^3 est 3x^2 , donc la dérivée de 5x^2 - 4x^3 est 10x - 12x^2 . Simple ! Il y a aussi tout un tas de règles. Si f(x ) est la fonction , f'(x ) est la dérivée , ou vous pouvez l'écrire df / dx , ou ( d / dx)f . Si vous voulez prendre la dérivée en x = 1 , alors vous feriez f'(1 ) ou ( df / dx)|_1 ( c'est une longue ligne verticale avec un 1 en bas , ou un x = 1 si il y a beaucoup de variables). Si vous avez une fonction f(x , y ) , vous pouvez également prendre une dérivée de juste x ou juste y , mais c'est du calcul multivariable et c'est LY12 . En tous cas . Voici certaines de ces règles , où f et g sont des fonctions , x est la variable , et tout le reste est un nombre : ( af + bg ) ' = af ' + bg ' ( facile ) ( fg ) ' = f'g + fg ' ( règle de multiplication , ce n'est pas évident ) ( f(g ) ) ' = f'(g)g ' ( règle de chaîne ) ( f / g ) ' = ( f'g - fg')/g^2 ( règle du quotient ) Quelques dérivées courantes : ( d / dx)ax^n = anx^(n-1 ) ( polynômes ; cela s'applique aussi à n négatif , mais rappelez-vous que si n = -1 , alors n-1 = - 2 ) ( d / dx)ax = a ( cas particulier pour une droite -- rappelez-vous que la dérivée est la pente ) ( d / dx)a = 0 ( la dérivée d'une constante est 0 , puisque la pente est 0 ) ( d / dx)sin(x ) = cos(x ) ( d / dx)cos(x ) = -sin(x ) (pour différencier les autres fonctions trigonométriques, il suffit d'utiliser les règles ) ( d / dx)e^x = e ^x ( d / dx)ln(x ) = 1 / x Si vous allez à URL_0 , vous verrez beaucoup plus d' exemples et de problèmes pratiques . Que sont les dérivées * pour * ? Eh bien, beaucoup de choses ! Tout d'abord, la dérivée a une définition formelle : f'(x ) = lim ( f(x + h ) - f(x))/h lorsque h tend vers 0 . Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie ceci : pour un très petit changement de x , quel est le très petit changement qui se produit dans f(x ) ? Si y = 2x , alors si x devient plus grand d'un petit nombre h , y devient plus grand de 2h . Donc la dérivée est ( 2h)/h = 2 . Si y = x^2 , si x devient plus grand de h , y devient ( x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 , donc il devient plus grand de 2xh + h^2 . Donc la dérivée est ( 2xh + h^2)/h = 2x + h , mais comme h est infiniment petit -- nous prenons la limite lorsque h tend vers 0 -- c'est juste 2x . Cela signifie que chaque fois que nous parlons de petits changements, les dérivés sont importants, car ils vous indiquent comment une chose change quand une autre chose change. Une équation différentielle est une équation où vous avez une équation impliquant des dérivées d'une fonction et vous essayez de découvrir la fonction d'origine. L'équation des ondes, l'équation de la chaleur, les équations des fluides et à peu près tout ce qui est utilisé en physique sont des équations différentielles. Les produits dérivés sont également utiles pour optimiser quelque chose. Regardez n'importe quelle courbe. N'importe quelle courbe. Votre rouleau de ruban adhésif, ou une canette, ou les pales de votre ventilateur, ou quoi que ce soit, tant qu'il est lisse - sans coins. Regardez le point le plus bas de cette courbe. Si vous dessiniez une ligne qui la touche à ce point , sans traverser la courbe , cette ligne ne serait - elle pas horizontale ? Autrement dit, avec une pente 0 ? Les points les plus hauts et les plus bas d'une courbe ont la dérivée 0 (Fermat le savait avant même que Newton n'invente le calcul). Ainsi, si vous prenez une fonction et définissez la dérivée sur 0, vous trouverez l'un des points les plus hauts ou les plus bas. Bien sûr , il pourrait y avoir un point plus haut ou plus bas ailleurs -- un sommet est le point le plus haut de la montagne , mais à moins que ce ne soit l' Everest , ce n'est pas le point le plus haut du monde -- mais ça . est toujours utile de connaître tous les points où la dérivée est 0 . Bien sûr , parfois vous connaissez la dérivée mais vous voulez trouver de quoi elle est dérivée . Peut-être que vous savez f'(x ) = 2x mais vous voulez savoir ce qu'est f(x ) . Sauf que vous savez que c'est x^2 , n'est-ce pas ? FAUX . Cela pourrait être x^2 + 1 , puisque la dérivée d'une constante ( 1 ) est 0 ! Cela pourrait être x^2 + C , où C est n'importe quel nombre. C'est ce qu'on appelle une primitive ou une intégrale. Et nous n'allons pas les aborder pour l'instant. (: