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en mathématiques , que font sin , cos et tan à un nombre ? Je sais que ce sont des fonctions mathématiques comme la multiplication et la division, mais il y a la plupart des moyens de les définir Expliquez comme si j'avais cinq ans.
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Vous pouvez, en effet, définir des fonctions trigonométriques en utilisant des opérations arithmétiques ordinaires. Le hic, comme vous pouvez le voir, c'est que nous devons utiliser des nombres imaginaires. En particulier , nous devons utiliser des * exposants * imaginaires , qui se comportent bizarrement par rapport aux exposants réels . La raison pour laquelle ces fonctions semblent si étranges est que lorsque vous les rencontrez pour la première fois, vous ne vous souciez pas des nombres imaginaires, vous ne pouvez donc pas les mettre en termes de quelque chose que vous comprenez déjà. En fait, la trigonométrie dans son ensemble est bien antérieure à l'idée formelle des nombres imaginaires. Quelle que soit la manière dont ces fonctions ont été traitées historiquement, je trouve personnellement que la définition usuelle en termes de triangles est inutilement opaque. Je préfère les définir en termes de * cercles * . * [ Ceci ] ( URL_4 ) * est la signification du sinus et du cosinus . [ Version animée ] ( URL_3 ) . Maintenant , quel est le lien avec les nombres imaginaires ? Prenons la fonction f(t ) = e^(i·t ) . Cela semble plutôt abstrus^([difficile à comprendre ; obscur ] ) — qu'est-ce que cela signifie d'élever quelque chose à une puissance * imaginaire * ? Eh bien , il s'avère que cela signifie * le faire tourner * ! La fonction e^(i·t ) , lorsque t est un nombre réel ( donc i·t est imaginaire ) produit toujours un point sur le cercle unité . Lorsque t=0 , e^(i·t ) = 1 . Mais à mesure que t augmente , e^(i·t ) tourne autour du cercle unitaire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre . Lorsque t = 2π , e^(i·t ) a fait tout le tour et est revenu à 1 . [ Image ] ( URL_5 ) . Vous pouvez voir qu'il s'agit presque exactement de la même image que celle définissant le sinus et le cosinus . En fait , il existe une façon encore plus simple de définir le sinus et le cosinus : [ Image ] ( URL_0 ) Dans ces équations , « Im(x ) » signifie la partie imaginaire de x et « Re(x ) » est la partie réelle de x . Par exemple, Re(2 + 3i ) = 2 et Im(2 + 3i ) = 3 . Les fonctions de la partie réelle et de la partie imaginaire ne sont pas des fonctions arithmétiques ordinaires — elles ressemblent davantage à la fonction valeur absolue . Mais en utilisant ces définitions , nous pouvons en effet définir le sinus et le cosinus en utilisant des fonctions arithmétiques ordinaires : [ Image ] ( URL_1 ) . Un peu de bricolage donnera la « formule d'Euler » : [Image] (URL_2) Nous avons ainsi une définition explicite du sinus et du cosinus en termes de fonctions familières. Le compromis , évidemment , est que nous avons maintenant des nombres imaginaires à affronter ! Mais les nombres imaginaires ne sont pas si mauvais, et ils simplifient vraiment d'autres choses. Je trouve qu'expliquer les choses * sans * nombres imaginaires est souvent plus difficile et compliqué que d'expliquer d'abord les nombres imaginaires. Je me suis toujours demandé à quel point il serait plus facile de triger au lycée si vous commenciez avec des nombres imaginaires et procédiez à partir de là. Bien sûr, ce n'est pas la façon dont les anciens le faisaient, mais alors quoi ? EDIT : J'ai pensé à supprimer « abstrus », mais j'ai plutôt ajouté une définition parce que j'aime vraiment ce mot.