human
Pourquoi le problème d'existence et de régularité de Navier-Stokes n'a pas encore été résolu. Qu'est-ce qui rend si difficile la recherche d'une solution ou d'un contre-exemple aux équations de Navier-Stokes ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
L'OP devrait se rendre compte qu'il a posé deux questions complètement différentes : * Pourquoi le * * problème d'existence et de douceur * * est-il si difficile ? ( demandé dans le titre ) * Pourquoi est - il difficile de * * trouver une solution * * ? (demandé dans le post) Toutes les réponses ici jusqu'à présent se sont concentrées sur la deuxième question et ont correctement dit que la non-linéarité est ce qui la rend difficile. Je voudrais expliquer la différence entre ces deux questions avec un exemple très simple. Le problème que j'aimerais que vous résolviez est le suivant : trouvez deux personnes dans votre état/pays qui ont exactement le même nombre de cheveux sur la tête. Je vais maintenant expliquer pourquoi l' * * existence * * ( pas d' unicité ) d' une solution est très facile à montrer , mais qu'il est très difficile de * * trouver la solution * * : * Nous savons qu'il doit exister une solution car tous les humains ont entre 0 et 200'000 cheveux sur la tête ( le nombre réel n'est pas si important , 200'000 est juste mon estimation ) et nous supposons que dans l'état / pays dont nous parlons il y en a beaucoup plus que 200'000 personnes vivant . Une solution existe car on peut imaginer toutes les personnes être rangées dans l'une des 200'001 catégories de 'a X cheveux sur la tête' une par une jusqu'à ce qu'on ait rempli toutes les catégories avec au moins une personne. La personne numéro 200'002 n'aura alors plus de catégorie propre et rejoindra une autre personne de sa catégorie et il y aura alors deux personnes avec le même nombre de cheveux sur la tête. Nous avons montré l' * * existence * * d' une solution , ce qui était * * facile * * . (Le principe que nous avons utilisé est aussi appelé le principe du casier) * En fait * * trouver deux personnes * * avec le même nombre de cheveux sur la tête sera très * * difficile * * comme vous pouvez l'imaginer. Il faudrait des années pour compter avec précision le nombre de cheveux sur des milliers de personnes et ce n'est tout simplement pas faisable. Donc montrer l'existence est souvent facile mais trouver la solution est plus difficile. Revenant maintenant à l'existence d'une solution de l'équation de Navier-Stokes, je ne peux pas dire pourquoi c'est si difficile. Dans un cas plus simple d'une équation différentielle ordinaire, il est facile de montrer l'existence d'équations non linéaires (toutes les fonctions "lipschitz-continues" feront l'affaire, en fait) donc la non-linéarité ne fait pas nécessairement partie de la réponse. Je ne suis pas mathématicien donc je ne peux pas donner plus de détails. Comme dernier commentaire, je tiens à préciser que vous obtenez le prix d'un million de dollars pour avoir montré l'existence d'une solution, et non pour en avoir donné une représentation. Vous devez faire la plus facile des deux équations, l'existence.