human
comment les mathématiciens savent-ils que pi est irrationnel ? La principale réponse que je cherche est de savoir comment ils savent que cela ne se répète pas. Si cela continue indéfiniment, comment pouvons-nous savoir qu'à un moment donné, cela ne recommence pas sournoisement ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Parce que nous le savons parce que ça ne peut pas être un nombre rationnel. ( avertissement , maths à venir ) Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté comme un rapport de deux nombres entiers . Pour tout nombre décimal répétitif ou final, vous pouvez faire un peu de calcul pour l'exprimer sous forme de rapport. Avec un décimal final , c'est assez facile : 0,123 = 123/1000 Les décimales répétitives nécessitent un peu d' algèbre : n = 0,123123 ... 1000n = 123,123123 ... 1000n - n = 999n = 123 n = 123/999 = 41/333 Qu'est-ce que cela a à voir avec pi ? Cela signifie que soit a ) pi peut être exprimé comme un rapport de deux nombres entiers , soit b ) pi ne peut pas être représenté comme un décimal de fin ou de répétition . Si nous pouvons montrer qu'il n'y a aucun moyen d'exprimer pi sous forme de rapport, la seule possibilité restante est une décimale non répétitive. En 1761, c'est exactement ce que fit Johann Heinrich Lambert. Malheureusement , sa preuve , et d' autres semblables , nécessitent des mathématiques avancées que nous préférerions ne pas aborder . Heureusement pour nous , la preuve que √2 est irrationnel est assez simple et montre comment on pourrait procéder pour ce genre de preuve : supposons que a et b existent , tels que a / b = √2 , et a et b n'ont pas de facteurs communs a^2 / b^2 = 2 a^2 = 2 * b^2 donc a est pair , et il existe un k tel que a = 2k ( 2 * k)^2 = 2 * b^2 4 * k^2 = 2 * b^2 2 * k^2 = b^2 donc b est également pair Cependant , nous avons supposé que a et b n'avaient pas de facteurs communs , ils ne peuvent donc pas être tous les deux pairs . Cela contredit notre hypothèse de départ, ce qui prouve qu'elle doit être fausse. Il n'y a pas de tels nombres a et b , ce qui signifie que √2 ne peut pas être représenté comme un nombre décimal répétitif et doit être irrationnel .