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Que sont les intégrales et les dérivées (en calcul) ? Chers gens de /r/explainlikeimfive , Comment les intégrales sont-elles liées aux dérivées et quelles sont-elles ? Comment trouver une intégrale et comment l'utiliser avec des dérivées ? Sincèrement, Krock999 Expliquez comme si j'avais cinq ans.
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Il y a deux choses appelées « intégrales ». Ils sont secrètement la même chose ! Mais pour comprendre de quoi il s'agit, nous devons commencer par la dérivée. Disons que vous conduisez le long de la route. Il y a du trafic, donc parfois vous roulez à 30 mi/h, parfois à 70 mi/h. Vous pouvez regarder les bornes kilométriques et voir votre position. Alors peut - être qu'à 6h00 vous êtes au mile 15 , et à 7h00 vous êtes au mile 65 . Soyons mathématiques -- votre position est x(t ) , où t est le temps en heures et x est la distance en miles . Donc x(6 ) = 15 et x(7 ) = 65 . Simple, non ? Maintenant, si vous regardez votre tableau de bord, vous pouvez voir quelle est votre vitesse. Peut-être qu'à 6 h 00, vous rencontrez un mauvais trafic et que vous roulez à 24 km / h , mais heureusement, le trafic s'est dégagé, donc à 7 h 00, vous naviguez à 75 mi / h, en espérant que vous ne serez pas pris en vitesse. un flic pour être à 10 mi/h au-dessus de la limite de vitesse ! Votre vitesse v(t ) est évidemment liée à la distance que vous avez parcourue , mais comment ? Vous pouvez facilement trouver votre vitesse *moyenne*. En 1 heure, vous avez voyagé du mile 15 au mile 65, donc votre vitesse moyenne à cette heure était de 50 miles/h. Mais votre vitesse réelle a changé tout le temps. Ce n'est que la moyenne. Cependant , ce que votre tableau de bord lit à un moment donné est la * * dérivée * * de la position à ce moment - là . Si vous tracez x(t ) sur un graphique , choisissez un point , choisissez un autre point VRAIMENT proche et tracez une ligne de l'un à l'autre , la pente de cette ligne sera v(t ) . C'est logique : pour deux instants t et t + h , la vitesse moyenne est la distance que vous avez parcourue entre eux -- x(t + h ) - x(t ) -- divisée par le temps qu'il a fallu -- h. La dérivée est ce qui se passe quand on prend la vitesse moyenne sur une distance VRAIMENT courte , quand h est très proche de 0 . Il s'avère qu'il est vraiment facile (parfois, en tout cas) de prendre la dérivée d'une fonction. Si x(t ) = t^2 , par exemple , alors la dérivée est v(t ) = 2 t. Cela signifie que si x(t ) = t^2 décrit votre position au temps t , alors v(t ) = 2 t est la pente de la tangente au temps t , qui est votre vitesse à ce moment . Ainsi, les dérivées ne sont pas seulement la pente de quelque chose sur un graphique ; c'est aussi une chose que vous pouvez faire à une fonction pour obtenir une autre fonction. Il existe différentes manières de noter cela. Si vous avez f(x ) , la dérivée sera généralement f'(x ) ou df(x)/dx . Vous pouvez prendre une dérivée de * que * si vous le souhaitez. C'est ce qu'on appelle la dérivée seconde , f''(x ) ou d^2 f(x)/dx^2 . Si vous avez une dérivée du temps - c'est-à-dire une dérivée où la variable est le temps, t - une autre façon de l'écrire est de mettre un point au-dessus de la fonction. Donc df(t)/dt peut être écrit comme f avec un point en haut. Les physiciens font cela. Maintenant , supposons que vous preniez une dérivée . Quelle était la fonction d'origine ? C'est ce qu'on appelle une * * intégrale * * , ou , dans ce cas , une primitive . Cela signifie simplement annuler une dérivée. Donc, si f'(x ) = 2x , vous pouvez prendre l'intégrale et obtenir f(x ) = x^2 + C. Le + C est important car la dérivée d'une constante est 0 - à quelle vitesse une constante change-t-elle ? Eh bien, ce n'est pas le cas ! Ainsi, vous pouvez ajouter une constante à une fonction et cela ne change pas la dérivée. x^2 , x^2 + 1 , x^2 - 500 , etc . ont tous la même dérivée , 2x . Ainsi, lorsque nous faisons une primitive, nous devons y mettre un + C car cette constante peut être n'importe quoi. Quoi qu'il en soit, vous pouvez écrire l'intégrale de f(x) sous la forme ∫f(x)dx . Cela a en fait un peu de sens. Vous savez comment est la dérivée df(x)/dx ? Cela signifie une petite différence de f(x ) divisée par une petite différence de x. Eh bien, avec les intégrales, le ∫ est en fait un grand S et cela signifie "somme", donc ∫f(x)dx signifie additionner f(x) fois la petite quantité dx. Toujours pas de sens ? C'est parce qu'il existe * une autre * chose appelée intégrale , et c'est en fait la même chose ! Disons que vous dessinez une courbe y = f(x ) . L'intégrale ∫f(x)dx de a à b ( le a va en bas du ∫ et b en haut ) est la * surface sous la courbe * de y = f(x ) entre x = a et x = b . Alors pourquoi sont-ils appelés la même chose avec le même symbole ? Eh bien , disons ∫f(x)dx = F(x ) , donc la primitive de f(x ) est F(x ) . Alors ∫f(x)dx de a à b = F(b ) - F(a ) . C'est ce qu'on appelle le théorème fondamental du calcul . Ce sont donc les mêmes après tout ! Quoi qu'il en soit, c'était probablement trop rapide pour un enfant de 5 ans, mais j'espère que la prochaine fois que vous le regarderez, vous en comprendrez un peu plus.