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Comment prouver la propriété de la somme des angles d'un triangle ?
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À l’école, nous apprenons tous que la somme des trois angles intérieurs d’un triangle est égale à 180°, mais comment le savons-nous ? Pour démontrer cette propriété, vous devez employer quelques théorèmes de géométrie communs. À l’aide de certaines de ces notions géométriques, vous pouvez écrire une preuve très simple.

1. Prenons un triangle ABC.

Tracez une droite parallèle à [BC] et passant par A. Appelez cette droite (MN). Elle doit être parallèle à la base [BC] du triangle.

2. Notez la somme des angles.

Écrivez cette équation en utilisant les angles qui touchent la droite (MN) : MAB + BAC + CAN = 180°. En effet, la somme de tous les angles qui forment un angle plat (une ligne droite) est 180°. Étant donné que les angles MAB, BAC et CAN forment l’angle plat MAN, leur somme doit être égale à 180°. Appelez cette équation, 1 équation.

3. Utilisez les angles alternes-internes.

Démontrez que MAB = ABC et que CAN = ACB. Étant donné que (MN) est parallèle à [BC], les angles alternes-internes MAB et ABC formés par la sécante [AB] sont isométriques (ils ont la même mesure). De même, les angles CAN et ACB formés par la sécante [AC] sont isométriques.

2 équation : MAB = ABC
3 équation : CAN = ACB
Il existe un théorème de géométrie selon lequel deux angles alternes-internes situés entre des droites parallèles sont isométriques.

4. Modifiez la 1 équation.

Dans cette équation que vous avez établie, remplacez MAB par ABC et CAN par ACB (que vous retrouvez dans la 2 et la 3 équation). Étant donné que vous avez démontré que les angles alternes-internes étaient isométriques, vous pouvez remplacer les angles formant l’angle plat MAN par les angles du triangle.

Vous obtenez ainsi ABC + BAC + ACB = 180°.
Autrement dit, dans le triangle ABC, la somme des angles ayant pour sommets A, B et C est égale à 180°. Vous avez ainsi prouvé que la somme des angles d’un triangle est 180°.

5. Définissez la propriété.

Selon ce théorème, la somme de tous les angles d’un triangle est toujours égale à 180°. Tout triangle est composé de trois angles et que son sommet soit aigu, obtus ou droit, la somme des trois est toujours égale à 180°.

Par exemple, dans le triangle ABC ci-dessus, ABC + BAC + ACB = 180°.
Ce théorème est utile pour déterminer la valeur d’un angle inconnu dans un triangle lorsque vous connaissez les deux autres.

6. Étudiez des exemples.

Pour bien comprendre ce concept, il peut être utile de regarder des exemples. Dans le triangle rectangle isocèle ci-dessus, un des angles est de 90° et les deux autres mesurent chacun 45°, or 90 + 45 + 45 = 180. Étudiez d’autres triangles de diverses formes et tailles et calculez la somme de leurs angles. Vous obtiendrez toujours 180°.
Pour l’exemple du triangle rectangle isocèle, ABC = 90°, BAC = 45° et ACB = 45°. Selon notre théorème, ABC + BAC + ACB = 180°. La somme des angles donne donc 90° + 45° + 45° = 180°, le côté [AB] étant égal au côté [BC].

7. Trouvez la valeur d’un angle inconnu.

Grâce à de l’algèbre simple, vous pouvez vous servir de la propriété de la somme des angles pour déterminer la valeur d’un angle dans un triangle dont vous connaissez déjà les deux autres. Servez-vous de l’équation de base pour trouver l’angle manquant.

Prenons un triangle ABC dans lequel BAC = 67°, ABC = 43° et ACB est inconnu.
BAC + ABC + ACB = 180°
67° + 43° + ACB = 180°
ACB = 180° - 67° - 43°
ACB = 70°