human
Pourquoi ( e^Pi*i)+1=0 ? Ou vraiment pourquoi e^pi*i = -1 . pourquoi e et pi sont-ils liés de cette manière ? et comment le nombre imaginaire entre-t-il en jeu ? S'il vous plaît, expliquez-moi comme si j'avais cinq ans.
gpt
Il y avait un mathéticien très brillant qui a découvert que vous pouvez écrire (presque) n'importe quelle fonction comme un polynôme qui ressemble à * a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + .... + zx^n * où a , b , c , d , e , ... , z ne sont que des nombres . Pour certaines fonctions, c'est vraiment évident : vous pouvez écrire f(x ) = ( x+3)(x-2 ) comme un polynôme en effectuant simplement les calculs et en trouvant que f(x ) = -6 + 1 x + 1 x^(2 ) . C'est une fonction vraiment agréable et bien comportée et sa *série de Taylor* a un nombre fini de termes. Certaines fonctions sont légèrement plus compliquées lorsque vous essayez de les écrire. Si vous prenez la fonction sinus, par exemple, alors votre série devient sin(x) = x - x^(3)/3 ! +x^(5)/5 ! - x^(7)/7 ! + ... et ainsi de suite , où chaque terme a x^(le prochain nombre impair)/(ce même nombre impair ) ! avec des signes alternés. Ce polynôme a une infinité de termes, mais il fonctionne toujours. Notez que les termes sont divisés par 3 ! , 5 ! , 7 ! , et ainsi de suite , ce qui signifie que chaque terme est beaucoup plus petit que le précédent ( l'opérateur ! est factoriel ; 5 ! signifie 5\*4\*3\*2\*1 ; 7 ! signifie 7\*6\* 5\*4\*3\*2\*1 ) , donc cette série est utile pour approximer la fonction . Nous savons par l'étude de la signification géométrique de sin(pi ) que sin(pi ) = 0 . La prochaine série de Taylor à examiner est le cosinus . Le cosinus ressemble beaucoup au sinus , mais il est légèrement différent : cos(x ) = 1 - x^(2)/2 ! +x^(4)/4 ! - x^(6)/6 ! + ... et ainsi de suite . Remarquez comment c'est la même chose que le sinus, mais au lieu d'utiliser les puissances impaires, il utilise les puissances paires. Nous savons de la géométrie que cos(pi ) = -1 . La dernière série de Taylor à introduire est e^(x ) . Cette fonction ressemble à ceci : e^(x ) = 1 + x + x^(2)/2 ! + x^(3)/3 ! +x^(4)/4 ! + ... et ainsi de suite . Cette fonction utilise tous les exposants, pairs ou impairs, et aucun terme n'est soustrait. Lorsque vous regardez sin(x ) et cos(x ), il semble qu'il devrait y avoir un moyen de les combiner. Si vous les additionnez simplement, vous obtenez quelque chose de proche, mais vous avez le problème de la moitié des termes étant négatifs : sin(x ) + cos(x ) = 1 + x - x^(2)/2 - x^( 3)/3 + x^(4)/4 + x^(5)/5 - ... et ainsi de suite. Afin de contourner ce problème, vous commencez à utiliser * i * puisque i^2 = -1 et i^4 = 1 . Si vous prenez e^(ix ), cela signifie simplement que vous devez mettre un "i" dans la série e^x partout où il y a un x. Cela ressemble à ceci : e^(ix ) = 1 + ( ix ) + ( ix)^2/2 ! + ( ix)^(3)/3 ! + (ix)^4/4 ! + ... . Notez que si vous avez quelque chose comme ( ix)^6 alors vous pouvez le réécrire comme i^(6)\*x^(6 ) , qui peut ensuite être réécrit comme i^(4)\*i^(2 )\*x^(6 ) , alors vous pouvez utiliser le fait que i^4 = 1 et i^2 = -1 pour le réécrire simplement -(x^(6 ) ) . En appliquant cela à la série e^(ix ) vous avez : e^(ix ) = 1 + ix - x^(2)/2 ! - ix^(3)/3 ! +x^(4)/4 ! + i\*x^(5)/5 ! - ... etc . Regardez maintenant tous les exposants pairs de cette série : ce ne sont que les exposants du cosinus ! Nous sommes proches maintenant . Si vous retirez tous les exposants pairs, vous avez e^(ix ) - cos(x ) = ix - ix^(3)/3 ! + ix^(5)/5 ! - ix^(7)/7 ! + ... et ainsi de suite . C'est juste la série sinusoïdale , mais avec un " i " multiplié par lui , donc cette série est égale à i \ * sin(x ) . Nous avons maintenant e^(ix ) - cos(x ) = i \ * sin(x ) . Remettre le cosinus sur le côté droit nous laisse avec ce qu'on appelle la formule d'Euler ou l'identité d'Euler : e^(i\*x ) = cos(x ) + i\*sin(x ) . À partir de là, tout ce que nous avons à faire est de déposer x = pi et de voir ce qui se passe. Comme mentionné précédemment , nous savons que cos(pi ) = -1 et sin(pi ) = 0 , nous arrivons donc à e^(i\*pi ) = -1 + i\*0 . EDIT : formatage. e^(ix ) ne peut pas être écrit avec un astérisque sans annuler l'exposant avec le caractère d'échappement . TIL .