human
Pourquoi E à la puissance π fois i est-il égal à -1 ? Qu'est-ce que ça veut dire ? Pourquoi est-ce vrai ? Qu'est-ce que cela implique ? Merci d'avance . :) Veuillez expliquer comme si j'avais cinq ans.
gpt
Fondamentalement, ce que vous faites, c'est que vous faites pivoter le numéro 1 de 180 degrés sur une droite numérique, de sorte qu'il pointe maintenant vers le côté négatif. Pourquoi e à la puissance si i fois pi signifie la même chose que de faire ce que je viens de dire , eh bien , cela peut prendre quelques explications . Tout d'abord, les nombres complexes. Ils sont plutôt simples. Si vous connaissez les nombres réels comme des points sur une droite numérique réelle, alors les nombres complexes sont tout simplement des points, non pas sur une droite, mais sur un plan à deux dimensions. Les nombres réels sont là où ils étaient, sur une ligne, mais au-dessus de 0, il y a i. En dessous de 0 , il y a -i . En dessous de 1, il y a 1-i, et cetera. En gros , ce n'est qu'un avion . L'addition de deux nombres complexes est plus ou moins ce à quoi vous vous attendez. ( 2 + 3i ) + ( 3 - je ) = 5 + 2i . La multiplication est cependant de là où vient toute l'utilité. Si vous imaginez des nombres complexes comme des points sur un plan, alors chaque point a une distance par rapport au point 0, et il a un angle. Chaque nombre réel positif a un angle de 0 degré. Chaque nombre réel négatif a un angle de 180 degrés. En mathématiques, nous utilisons souvent des unités différentes pour les angles, donc au lieu de 360 ​​degrés, nous disons 2 pi radians. 180 degrés c'est pi radians. 0 degré correspond à 0 pi radian. Les raisons de cette unité distincte de mesure des angles sont un peu trop longues à inclure ici, mais il s'agit en fait de mesurer simplement des angles dans une unité différente. Miles ou kilomètres, kilogrammes ou livres, c'est toujours d'angles dont on parle. Ainsi, au lieu de nombres négatifs ayant un angle de 180 degrés, nous disons son angle pi radians. Ils pointent en direction de pi radians. Et il s'avère que lorsque nous multiplions des nombres réels, nous pouvons penser qu'il s'agit d'additionner les angles ! Si vous multipliez 2 avec -3 , la réponse a une longueur de 6 , mais puisque le premier multiplicateur a un angle de 0 et que le second a 180 degrés (ou pi radians ) , le résultat final a un angle de pi radians . -2 fois -3 a également une longueur de 6 , mais maintenant il a un angle de 2 pi radians , ce qui équivaut à 0 radians , car vous venez de boucler la boucle . La réponse est donc 6. Pour la multiplication de nombres complexes, c'est pareil. Vous multipliez les longueurs, puis additionnez les angles. Cela ne nous amène pas tout à fait à comprendre pourquoi e^i\*pi = -1, mais j'espère que cela a rendu plus facile à comprendre quand je prétends que pi dans cette équation dit essentiellement, "c'est de combien nous tournons ". Il convient également de noter que e^0 = 1 . Étant donné que l'exposant étire essentiellement le nombre, vous pouvez penser à l'exposant 0 disant simplement "nous n'étirons ni ne rétrécissons du tout", ne laissant que la longueur d'origine. Puisque dans notre équation d'origine, nous avons e^i\*pi = e^0+i\*pi Et parce que nous pouvons diviser cette somme en exposant sous forme de multiplication, nous obtenons e^0 \ * e^i\*pi e^0 il y a 1 , et il est multiplié , ou redirigé , par pi , donc vous le ferez pointer vers la direction négative . Je ne sais pas comment expliquer de manière accessible la preuve réelle de la raison pour laquelle l'exponentiation avec une unité imaginaire fait une telle rotation, cependant. Mais l'intuition derrière est que les nombres complexes aiment vraiment tourner et tourner, et si e^i veut tourner sans rien faire d'autre, c'est sa propre décision et nous devrions tous respecter cela.