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Nombres complexes . En troisième année d'ingénierie, comprendre comment fonctionnent tous les calculs, mais fondamentalement, je ne comprends pas pourquoi nous avions besoin de quelque chose au carré égal -1 Veuillez expliquer comme si j'avais cinq ans.
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La réponse à cette question est que les nombres complexes ont des propriétés précieuses que les nombres réels n'ont pas. 1 . Soit f(*x * ) = 2*x * . Peut-on « diviser f en deux » ? Autrement dit, peut-on trouver une fonction g telle que ( g ∘ g)(*x * ) = f(*x * ) ? Oui ; on a g(*x * ) = √2 * x * . Qu'en est-il de ( h ∘ h ∘ h)(*x * ) = f(*x * ) ? Nous avons h(*x * ) = ∛2 * x * . Notez que cela ne fonctionne que parce que nous admettons des nombres * irrationnels * . Si on se limitait aux nombres rationnels , on ne pourrait pas « diviser » f ; nous ne pouvions « diviser » la multiplication que dans des cas particuliers. Mais en passant des nombres rationnels aux nombres réels complets, cela fonctionne pour tous les facteurs positifs, et même pour les facteurs négatifs si nous « divisons » en un nombre impair de fonctions. Qu'en est-il de f′(*x * ) = -2x . Peut-on trouver g′(*x * ) tel que ( g′ ∘ g′)(*x * ) = f′(*x * ) ? Certainement ! g′(*x * ) = √2 * je * * x * . En introduisant * i * , nous pouvons « diviser » n'importe quel facteur en * n'importe quel nombre * de fonctions plus petites ! Une propriété qui a fonctionné dans les rationnels dans des cas particuliers, et a fonctionné dans les réels dans de nombreux cas, fonctionne dans les nombres complexes dans tous les cas. Les nombres complexes comblent les trous. 2 . Considérez les polynômes. Ce sont parmi les fonctions les plus importantes en mathématiques ; tant est basé sur leurs propriétés pratiques. L'une de ces propriétés est le théorème fondamental de l'algèbre. Il stipule que tout polynôme de degré *n* a exactement *n* racines (avec multiplicité). Comme c'est pratique, comme c'est sublime ! Mais cela ne fonctionne pas dans les nombres réels. Combien y a-t-il de solutions à * x*^2 + 1 = 0 ? Dans les nombres réels , aucun . Il manque des racines ! Mais dans les nombres complexes , nous en avons deux : * x * ∈ { * i * , -*i * } . Les nombres complexes comblent les trous. 3 . Considérez les matrices carrées - des outils inestimables pour toutes sortes de problèmes. Parmi leurs merveilleuses propriétés, les principales sont peut-être les valeurs propres et les vecteurs propres. Combien de valeurs propres a une matrice réelle * n**×*n * ? Qui sait ? Jusqu'à * n * , mais peut-être aucun . Mais que se passe-t-il si vous autorisez des valeurs complexes ? Alors toute matrice complexe *n*×*n* (y compris une avec seulement des valeurs réelles) a exactement *n* valeurs propres complexes (avec multiplicité). Parce que les valeurs propres peuvent être trouvées en utilisant le polynôme caractéristique de la matrice, ce fait critique est une conséquence directe du théorème fondamental de l'algèbre, qui, comme nous le savons, ne fonctionne que pour les nombres complexes complets. 4 . Considérez le sinus. Hélas, toutes les fonctions ne peuvent pas être un polynôme. Le sinus est transcendantal, ce que j'ai compris dans ma jeunesse comme signifiant «boîte noire impénétrable». Mais avec un peu d'aide, les nombres imaginaires peuvent dissiper une partie du mystère. En fait, sin(*x * ) = ( exp(*ix * ) - exp(-*ix*))/(2*i * ) . Oui, lorsque * * x * * est réel, sin(*x * ) est réel — mais vous pouvez calculer sa valeur à l'aide de fonctions exponentielles simples, tant que vous utilisez * i * . En utilisant des nombres complexes, nous pouvons créer des représentations mathématiques simples de fonctions périodiques. Et , bien sûr , cette définition fonctionne pour n'importe quel argument complexe , sans laisser de trous . En fait , nous pouvons utiliser des nombres complexes pour créer des représentations directes de * n'importe quelle * fonction périodique , en utilisant des séries de Fourier . Fourier lui-même a utilisé cette technique pour trouver des solutions fermées à des problèmes autrement insolubles en thermodynamique. Il y a un sens réel dans lequel les nombres réels ne sont tout simplement pas complets. Tout comme vous obtenez des propriétés utiles en ajoutant les nombres irrationnels aux rationnels pour obtenir les réels, vous obtenez des propriétés utiles en additionnant les nombres imaginaires pour obtenir les nombres complexes.