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Comment peut-il y avoir des infinis plus grands que d'autres infinis ? Je comprends le concept de base du nombre infini, mais j'ai appris qu'il y en a qui sont plus grands que d'autres. Cela me dépasse, alors expliquez-moi s'il vous plaît. Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
D'accord, je vais vous donner une très longue réponse. La première chose est de décider ce que cela signifie pour un ensemble d'être plus grand qu'un autre ensemble. Pour les ensembles finis , la définition de « plus grand que » est si évidente intuitivement qu'elle ne vaut guère la peine d' en parler . Considérons les ensembles A={a , b , c } et B={e , f , g , h } . Quel ensemble est le plus grand ? Eh bien, évidemment, B est plus grand. Comment sait-on que B est plus grand ? Eh bien , B a plus d' éléments , n'est - ce pas ? On pourrait donc être tenté de définir « plus grand » comme suit : > Pour deux ensembles A et B, on dit que l'ensemble B est « plus grand » que l'ensemble A si B contient plus d'éléments que A. Et cela peut sembler être une façon satisfaisante de le définir , mais cela ne fait que balayer le problème sous le tapis : nous avons défini ce que signifie « plus grand que » , mais qu'est - ce que cela signifie pour un ensemble d' avoir « plus d' éléments » " ? Nous n'avons vraiment rien résolu du tout ! Nous aimerions avoir une définition mathématique précise de " plus grand que " , mais tout ce que nous avons fait est de définir " plus grand que " en termes d' une relation " plus que " qui n'est pas précisément définie . Comment résoudre cela ? Eh bien, votre cœur vous dit probablement que tout cela est très idiot et que les mathématiciens doivent se sortir la tête de leurs fesses et arrêter de faire des montagnes avec des taupinières. B est évidemment plus grand ! Il y a 4 éléments dans B , et seulement 3 dans A , et puisque 4 est supérieur à 3 alors évidemment B est plus grand que A , n'est-ce pas ? Cela nous rapproche en fait d'une manière satisfaisante de caractériser « plus grand que ». Nous pourrions aller avec , > Soit A et B des ensembles . Comptez tous les éléments de A , et laissez ce nombre être m. Comptez maintenant tous les éléments de B et laissez ce nombre être n. On dit alors que A est « plus grand que » B si n > m. C'est plus proche, mais il y a toujours un problème. Et quand je te dirai quel est le problème, tu soupireras probablement et tu voudras me frapper. Le problème est le suivant : que signifie « compter » ? * * Ughhhh * * , non ? Tout le monde sait ce que signifie « compter » ! Mais s'il est si évident de savoir ce que « compter » signifie, alors nous devrions être capables de le définir avec précision. Pour compter les éléments d'un ensemble, vous affectez simplement à chaque élément de l'ensemble un nombre naturel unique, commençant par 1 et augmentant par 1. Alors le dernier nombre que vous assignez est le nombre qui est retourné en « comptant les éléments ». Donc pour compter les éléments dans A , on irait , a < - > 1 b < - > 2 c < - > 3 Et conclure que A contient 3 éléments . Et pour compter les éléments de B on irait e < - > 1 f < - > 2 g < - > 3 h < - > 4 Et donc , B contient 4 éléments . Mais si vous réfléchissez vraiment à ce processus, vous pourriez vous demander : pourquoi avons-nous exactement besoin des chiffres ? Les chiffres sont en quelque sorte un intermédiaire ici. Si tout ce qui nous intéresse est de savoir quel ensemble est le plus grand , pourquoi ne pas sauter l' intermédiaire et faire correspondre directement les éléments de A et B , comme ceci : a < - > e b < - > f c < - > g ? <-> h Nous pouvons alors trouver une façon tout aussi satisfaisante de définir « plus grand que » qui ne fait pas appel à un intermédiaire. C'est bien - en mathématiques, plus vous pouvez sauter d'intermédiaires dans vos définitions, mieux c'est. On arrive donc à la façon suivante de caractériser les tailles relatives des ensembles : > Pour deux ensembles A et B , on dit que A et B sont " de même taille " si on peut faire une correspondance bijective entre tous les éléments dans A et tous les éléments dans B. Si toute tentative de le faire laisse des éléments restants dans B, alors nous disons que B est « plus grand que » A. C'est une belle façon de définir les choses. Ce n'est pas circulaire. Il ne balaie pas le problème sous le tapis. Il ne fait appel à aucun intermédiaire. Et le plus beau de tous, il se généralise à des ensembles infinis. Vous voyez, la définition de « comptage » de « plus grand que » s'effondre lorsque nous commençons à parler d'ensembles infinis. Par exemple , comment déciderions - nous si l' ensemble de tous les nombres naturels est plus grand , plus petit ou de la même taille que l' ensemble de tous les nombres naturels pairs ? Selon la première définition, nous aurions à décider quel ensemble a "plus" d'éléments, mais cela revient simplement à poser la même question dans des mots différents. Sous le second, nous devrions compter tous les nombres naturels, puis compter tous les nombres pairs, et comparer les deux résultats. Bonne chance . Mais selon la troisième définition, il * y a * un moyen de décider lequel est le plus grand. Notez simplement qu'il existe une correspondance 1 <-> 2 2 <-> 4 3 <-> 6... et donc, selon cette définition, l'ensemble de tous les nombres naturels est de la même taille que l'ensemble des nombres pairs. Maintenant que nous avons tout mis au point correctement , une question se pose naturellement : existe - t - il * des * ensembles infinis qui sont plus grands que tous les autres ensembles infinis ? C'est-à-dire, existe-t-il deux ensembles A et B tels que A et B soient tous deux infinis et si vous faites correspondre chaque élément de A à un élément unique de B, alors il restera des éléments dans B ? La réponse s'avère être oui , mais quand les choses sont définies rigoureusement telles qu'elles sont ici , je ne suis pas sûr que ce soit * si * surprenant . Peut etre c'est . Voici la preuve la plus simple de cela. Proposition. L'ensemble de toutes les séquences infinies de 0 et de 1 est plus grand que l'ensemble de tous les nombres naturels. Preuve . La preuve est par contradiction. Cela signifie que je vais supposer que l'affirmation est fausse, puis montrer que cela conduit à une contradiction et conclure que l'affirmation doit être vraie. La première étape consiste donc à supposer que l'ensemble de toutes les séquences infinies de 0 et de 1 a la même taille que l'ensemble de tous les nombres naturels. Cela signifie, par définition, qu'il existe un moyen de faire correspondre chaque séquence à un nombre naturel unique de sorte que chaque nombre naturel corresponde à une séquence unique. Ainsi , par exemple , peut - être que la correspondance ressemble à ceci 1 < - > { 0,1,0,0,1,1,0,1 , ... 2 < - > { 1,0,0,1,0,1 ,1,0 , ... 3 < - > { 0,0,1,1,1,0,1,0 , ... 4 < - > { 1,0,0,1,1,0,1 ,0 , ... 5 < - > { 0,0,0,1,1,0,1,0 , ... et ainsi de suite . Comment choisir cette correspondance ? Cela n'a pas vraiment d'importance. Vous pouvez choisir la correspondance comme bon vous semble - le fait est que par hypothèse , il * existe * un moyen de faire correspondre chaque séquence à chaque nombre . Maintenant, nous définissons une nouvelle séquence comme suit. Prenez la séquence formée par le premier élément de la première séquence , le deuxième élément de la deuxième séquence , le troisième élément de la troisième séquence , et ainsi de suite . Pour illustration, ce sont les nombres que nous prenons { * * 0**,1,0,0,1,1,0,1 , ... { 1,**0**,0,1,0, 1,1,0 , ... { 0,0,**1**,1,1,0,1,0 , ... { 1,0,0,**1**,1,0, 1,0 , ... { 0,0,0,1,**1**,0,1,0 , ... ... ( c'est la raison pour laquelle cet argument est appelé la * diagonalisation * de Cantor argument ) . Nous avons une suite { 0,0,1,1,1 , ... } qui dure indéfiniment . Changez maintenant chaque 0 en 1 , et chaque 1 en 0 , de sorte qu'à la place , nous ayons { 1,1,0,0,0 , ... } . Donnons un nom à cette séquence : appelons - la D. D est une séquence parfaitement correcte de 0 et de 1 , et donc , par hypothèse , D doit apparaître quelque part sur notre liste de * toutes * les séquences de 0 ' s et 1 . Alors où est-il sur la liste ? Supposons que D est la * n * ème séquence sur la liste des séquences - c'est-à-dire qu'elle correspond uniquement au nombre * n * . Mais vous voyez peut - être déjà le problème ici : si D est le nième élément de la liste , alors cela signifie que son nième chiffre est un 0 si et seulement si c'est un 1 , puisque nous avons construit D en changeant le nième chiffre de la nième élément de la liste pour chaque n. Il est donc impossible que D soit n'importe où sur la liste. Maintenant, nous avons montré l'existence d'au moins une séquence de 0 et de 1 qui ne peut être associée à aucun nombre naturel. Cela implique donc que l'ensemble de toutes les séquences de 0 et de 1 est plus grand que l'ensemble de tous les nombres naturels selon notre définition formelle de « plus grand que ». Par conséquent , différentes tailles d' infini . Je pense qu'il y a quelques points à retenir de ce fait, et ils ne correspondent pas nécessairement à ce que vous pourriez penser. Beaucoup de gens deviennent étrangement mystiques à propos de la cardinalité - Dieu est infini, l'univers est infini, il y a des liens vers des affirmations sur des vérités inconnaissables et des quantités infinitésimales et toutes sortes de paradoxes et tout ce qui n'est vraiment pas très important pour les mathématiques. Je pense que la grande leçon à retenir est que les mathématiques modernes consistent à déterminer très soigneusement comment nous savons ce que nous savons, puis à amener les arguments à leurs conclusions logiques. Comment savons-nous qu'un ensemble est « plus grand » qu'un autre ensemble ? Une fois que vous avez identifié cela, vous constatez que différents ensembles infinis ont des tailles différentes. Il existe des résultats intéressants similaires lorsque nous formalisons ce que l'on entend par d'autres idées intuitives : il y a tout un monde de mathématiques associé à la détermination de ce que l'on veut dire lorsque nous disons que deux objets sont " proches ", ou sont " similaires ", ou d'autres types de propriétés qui semblent intuitivement évidentes.