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Veuillez expliquer ce que sont les "nombres réels"
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En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être utilisé pour mesurer une quantité unidimensionnelle continue telle qu'une distance, une durée ou une température. Ici, continu signifie que les valeurs peuvent avoir des variations arbitrairement petites.[a] Chaque nombre réel peut être représenté presque de manière unique par une expansion décimale infinie.[b]
Les nombres réels sont fondamentaux en calcul (et plus généralement dans toutes les mathématiques), notamment par leur rôle dans les définitions classiques des limites, de la continuité et des dérivées.[c]
L'ensemble des nombres réels est noté R ou




R



{\displaystyle \mathbb {R} }

 et est parfois appelé "les réels".
L'adjectif réel dans ce contexte a été introduit au XVIIe siècle par René Descartes pour distinguer les nombres réels, associés à la réalité physique, des nombres imaginaires (comme les racines carrées de −1), qui semblaient être un artifice théorique sans rapport avec la réalité physique.
Les nombres réels incluent les nombres rationnels, tels que l'entier −5 et la fraction 4 /  3. Le reste des nombres réels sont appelés nombres irrationnels et incluent des nombres algébriques (tels que la racine carrée √2 = 1,414...) et les nombres transcendantaux (tels que π = 3,1415...).
Les nombres réels peuvent être considérés comme tous les points d'une ligne infiniment longue appelée ligne numérique ou ligne réelle, où les points correspondant aux entiers (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...) sont Espacé équitablement.
Inversement, la géométrie analytique est l'association de points sur des lignes (en particulier des lignes d'axe) à des nombres réels tels que les déplacements géométriques sont proportionnels aux différences entre les nombres correspondants.
Les descriptions informelles ci-dessus des nombres réels ne sont pas suffisantes pour garantir l'exactitude des preuves de théorèmes impliquant des nombres réels. La prise de conscience qu'une meilleure définition était nécessaire, et l'élaboration d'une telle définition a été un développement majeur des mathématiques du XIXe siècle et est le fondement de l'analyse réelle, l'étude des fonctions réelles et des séquences à valeurs réelles. Une définition axiomatique actuelle est que les nombres réels forment le champ ordonné Dedekind-complet unique (jusqu'à un isomorphisme). représentations. Toutes ces définitions satisfont à la définition axiomatique et sont donc équivalentes.