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Comment multiplier des fractions ?
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Multiplier des fractions et des nombres fractionnaires peut sembler complexe à quelqu'un d'inexpérimenté, mais en fait c'est beaucoup plus simple que de les additionner. Les nombres fractionnaires doivent être transformés dans un premier temps en fractions impropres, il faut ensuite multiplier les numérateurs, puis les dénominateurs. Pour terminer, si cela est possible, il faut simplifier le résultat qui est une fraction. Ce n'est donc pas compliqué, il faut juste être attentif lors de ces différentes étapes.

1. Inscrivez l'opération sur une feuille de papier.

Écrire les différentes étapes de cette multiplication vous aidera à mieux comprendre. C'est aussi intéressant, car en cas d'erreur, vous allez pouvoir l'identifier rapidement. Toute fraction est composée d'un numérateur (nombre du haut) et d'un dénominateur (nombre du bas). Entre les deux, il y a un trait horizontal, dit « trait de fraction ».
Écrivez toujours vos fractions en alignant sur une même horizontale les traits de fraction. Vous éviterez ainsi bien des erreurs !

2. Multipliez

Ainsi, si vous devez trouver le résultat de 56×23{\displaystyle {\frac {5}{6}}\times {\frac {2}{3}}}, faites dans un premier temps 5×2{\displaystyle 5\times 2}, soit 10{\displaystyle 10}. Ce résultat sera le numérateur de la réponse définitive.
Autre exemple : trouvez le numérateur du produit 34×13{\displaystyle {\frac {3}{4}}\times {\frac {1}{3}}}. Tout nombre multiplié par 1{\displaystyle 1} laisse ce nombre inchangé : le nouveau numérateur est donc 3{\displaystyle 3} (3×1{\displaystyle 3\times 1}).

3. Calculez le dénominateur de la réponse.

Comme précédemment, vous devez multiplier les dénominateurs des deux fractions. Dans l'exemple étudié, 56×23{\displaystyle {\frac {5}{6}}\times {\frac {2}{3}}} multipliez 6{\displaystyle 6} par 3{\displaystyle 3}, ce qui donne 18{\displaystyle 18}. C'est le dénominateur de la réponse définitive.
Avec 34×13{\displaystyle {\frac {3}{4}}\times {\frac {1}{3}}}, faites 4×3{\displaystyle 4\times 3}, ce qui donne 12{\displaystyle 12}, le dénominateur de la réponse définitive. La réponse est donc : 34×13=312{\displaystyle {\frac {3}{4}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {3}{12}}}.

4. Simplifiez la fraction trouvée.

Vous devez donner comme réponse une fraction réduite à sa plus simple expression. Si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, ils peuvent alors être divisés exactement par ce facteur et vous devez faire cette simplification. Le produit 56×23{\displaystyle {\frac {5}{6}}\times {\frac {2}{3}}} donne comme réponse : 1018{\displaystyle {\frac {10}{18}}}. 10{\displaystyle 10} et 18{\displaystyle 18} étant tous deux pairs, ils sont divisibles par 2{\displaystyle 2}. La réponse simplifiée est donc : 56×23=59{\displaystyle {\frac {5}{6}}\times {\frac {2}{3}}={\frac {5}{9}}}.
Simplifiez la fraction 312{\displaystyle {\frac {3}{12}}}. Le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3{\displaystyle 3}, il est donc possible de simplifier et la réponse définitive est : 14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}.

5. Inscrivez sur le papier toutes les étapes du calcul.

Bien sûr, plus tard, vous pourrez faire les calculs de tête, mais au début, il vaut mieux tout écrire. Ainsi, si vous vous trompez, vous pourrez reprendre les différentes étapes, voir où vous avez commis une erreur et faire les corrections nécessaires.
Les fractions présentent deux valeurs : le numérateur (le nombre du haut) et le dénominateur (le nombre du bas), séparés par un trait de fraction horizontal. Un nombre fractionnaire est composé d'une partie entière à gauche et d'une fraction à droite.

6. Transformez le nombre fractionnaire en une fraction impropre.

Supposons que vous ayez à faire le produit 1 34×7 15{\displaystyle 1\ {\frac {3}{4}}\times 7\ {\frac {1}{5}}}. La première chose à faire est donc de transformer les deux nombres fractionnaires en fractions impropres, leurs numérateurs seront alors supérieurs à leurs dénominateurs.

1 34{\displaystyle 1\ {\frac {3}{4}}} est équivalent à 74{\displaystyle {\frac {7}{4}}}. Lors de la transformation, le dénominateur reste le même, la partie entière se doit d'être multipliée par ce dénominateur (1×4{\displaystyle 1\times 4}) et ramenée sur celui-ci (44{\displaystyle {\frac {4}{4}}}), puis vous additionnez les deux fractions :44+34=74{\displaystyle {\frac {4}{4}}+{\frac {3}{4}}={\frac {7}{4}}}.
Pour le nombre 7 15{\displaystyle 7\ {\frac {1}{5}}}, multipliez la partie entière par le dénominateur de la partie fractionnaire (7×5{\displaystyle 7\times 5}) et ramenez le tout sur le dénominateur, ce qui donne la fraction impropre 355{\displaystyle {\frac {35}{5}}} à laquelle vous ajoutez 15{\displaystyle {\frac {1}{5}}} pour obtenir 365{\displaystyle {\frac {36}{5}}}.

7. Si c'est possible, simplifiez les fractions impropres.

Reprenons l'exemple étudié, à savoir 74×365{\displaystyle {\frac {7}{4}}\times {\frac {36}{5}}}. Bien sûr, il est possible de multiplier les numérateurs et les dénominateurs, mais avant d'y procéder, voyez si une simplification est possible. Pour cela, voyez s'il n'existe pas un facteur commun aux numérateurs et aux dénominateurs, tous confondus. Ici, 7{\displaystyle 7} et 45{\displaystyle 45} ne peuvent être simplifiés, mais 36{\displaystyle 36} est multiple de 4{\displaystyle 4}, ce qui permet de simplifier par cette valeur.

Divisez le dénominateur de 74{\displaystyle {\frac {7}{4}}} par 4{\displaystyle 4}, ce qui donne 1{\displaystyle 1}, et vous obtenez la fraction simplifiée 71{\displaystyle {\frac {7}{1}}}.
Divisez le numérateur de 365{\displaystyle {\frac {36}{5}}} par 4{\displaystyle 4} ce qui donne 9{\displaystyle 9}, et vous obtenez la fraction simplifiée 95{\displaystyle {\frac {9}{5}}}.
Une fraction est simplifiable s'il y a un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Ainsi, si au lieu d'avoir 74{\displaystyle {\frac {7}{4}}}, nous avions eu 84{\displaystyle {\frac {8}{4}}}, cette fraction pouvait se simplifier par 4{\displaystyle 4} sous la forme 21{\displaystyle {\frac {2}{1}}}.

8. Poursuivez les calculs.

Vous devez à présent multiplier les numérateurs, puis les dénominateurs. Dans notre exemple, faites 7×9{\displaystyle 7\times 9} avec les numérateurs, soit 63{\displaystyle 63}, le numérateur de la réponse. Multipliez 1{\displaystyle 1} par 5{\displaystyle 5} et vous obtenez le dénominateur de la même réponse, soit 5{\displaystyle 5}. La réponse est donc : 635{\displaystyle {\frac {63}{5}}}, laquelle est une fraction impropre.

9. Transformez la réponse en un nombre fractionnaire

Le résultat est une fraction impropre qu'il faut transformer en nombre fractionnaire, et pour cela, il faut commencer par diviser le numérateur par le dénominateur. Dans l'exemple, divisez 63{\displaystyle 63} par 5{\displaystyle 5}, ce qui vous donne 12{\displaystyle 12} et un reste de 3{\displaystyle 3}. Ce 12{\displaystyle 12} sera la partie entière du nombre fractionnaire et le 3{\displaystyle 3} sera le numérateur de la partie fractionnaire. Quant au dénominateur, il est le même, à savoir 5{\displaystyle 5}. Le produit est le suivant : 1 34×7 15=12 35{\displaystyle 1\ {\frac {3}{4}}\times 7\ {\frac {1}{5}}=12\ {\frac {3}{5}}}.
Si vous n'arrivez pas à faire la division de tête pour trouver la partie entière, faites-la par écrit.

10. Transformez les fractions en nombres décimaux.

Tapez vos fractions l'une après l'autre pour obtenir leurs équivalents en valeurs décimales. Pour calculer 1 34×7 12{\displaystyle 1\ {\frac {3}{4}}\times 7\ {\frac {1}{2}}}, tapez sur la calculatrice la première fraction 3 ÷ 4 , ce qui donne 0,75{\displaystyle 0,75}. Calculez ensuite la seconde fraction en tapant 1 ÷ 2, le résultat est 0,5{\displaystyle 0,5}.
Certaines calculatrices permettent de rentrer sans difficulté les fractions sous la forme classique. Pour savoir si votre calculatrice accepte cette façon de présenter les fractions, consultez sa notice.

11. Transformez les nombres fractionnaires en nombres décimaux.

La chose est très simple, quand bien même votre calculatrice n'aurait pas une fonction « fraction » spécifique. Commencez par calculer la valeur de la partie fractionnaire de votre nombre, comme dans l'étape précédente, puis ajoutez la partie entière.
Pour avoir la valeur du nombre fractionnaire 3 34{\displaystyle 3\ {\frac {3}{4}}}, tapez sur votre calculatrice 3 ÷ 4 : 0,75{\displaystyle 0,75} s'affiche à l'écran. Ajoutez ensuite 3{\displaystyle 3} (+ 3), ce qui donne 3,75{\displaystyle 3,75} : votre nombre fractionnaire est désormais un nombre décimal.

12. Multipliez les valeurs décimales correspondantes.

Vous avez noté sur le papier les deux valeurs décimales, multipliez-les à l'aide de la calculatrice. Reprenons l'exemple 34×12{\displaystyle {\frac {3}{4}}\times {\frac {1}{2}}}. Faites 0,75×0,5{\displaystyle 0,75\times 0,5}. Vous obtenez comme réponse 0,375{\displaystyle 0,375}. Toutes les étapes du calcul doivent être notées, Ainsi, en cas d'erreur ou de dysfonctionnement de la machine, vous n'aurez pas tout perdu.
Si votre calculatrice gère les parenthèses, vous pouvez entrer toute l'opération d'une seule traite en tapant : (3/4)*(1/2). La touche / est celle de la division.

13. Convertissez les valeurs décimales en fractions

Sur votre feuille, notez une fraction qui aura pour numérateur le résultat et en dénominateur 1{\displaystyle 1}. Ici, vous écrirez 0,3751{\displaystyle {\frac {0,375}{1}}}. Multipliez le numérateur et le dénominateur par la puissance de 10 qui a autant de zéros que la réponse a de décimales, 0,375{\displaystyle 0,375} a trois chiffres après la virgule, vous devez donc multiplier la fraction par 1 0001 000{\displaystyle {\frac {1\ 000}{1\ 000}}}, la réponse définitive est la fraction : 3751 000{\displaystyle {\frac {375}{1\ 000}}}.
Si votre calculatrice est dotée d'une fonction « fraction », utilisez-la pour convertir vos fractions. Consultez la notice de la machine.

14. Simplifiez la fraction finale.

Face à une fraction obtenue par calcul, il faut toujours penser à la simplifier. Si les nombres de la fraction sont élevés, il faut songer que leur facteur commun est lui aussi élevé. Notre réponse est 3751 000{\displaystyle {\frac {375}{1\ 000}}} et à l'évidence, 5{\displaystyle 5} est un facteur commun. Simplification faite, 3751 000=75200{\displaystyle {\frac {375}{1\ 000}}={\frac {75}{200}}}. Cette fraction peut encore une fois être simplifiée par 5{\displaystyle 5}, ce qui donne :75200=1540{\displaystyle {\frac {75}{200}}={\frac {15}{40}}}. Et elle se simplifie encore une fois par 5{\displaystyle 5} : 1540=38{\displaystyle {\frac {15}{40}}={\frac {3}{8}}}.
Au début, vous simplifierez ainsi, facteur après facteur, mais avec l'habitude, vous trouverez plus vite un plus grand facteur commun. Ici, il était de 125{\displaystyle 125}.