human
Comment prouver le théorème de Pythagore ?
gpt
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque vous connaissez les deux autres. Ce théorème doit son nom à Pythagore, célèbre mathématicien de la Grèce antique. Selon lui, la somme des carrés des deux côtés courts d’un triangle rectangle est égale au carré du côté le plus long, appelé hypoténuse : a2+b2=h2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}. Il est possible de prouver ce théorème de plusieurs façons, que ce soit par l’utilisation de carrés, de triangles ou d’autres concepts géométriques.

1. Tracez des triangles identiques.

Deux triangles sont dits « isométriques » lorsque les côtés de l’un ont les mêmes longueurs que les côtés de l’autre. Dessinez quatre triangles rectangles isométriques. Appelez les côtés courts de chacun a et b et l’hypoténuse c. Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il s’agit donc ici de démontrer que a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
N’oubliez pas que ce théorème s’applique uniquement aux triangles rectangles  (ceux avec un angle droit).

2. Placez les triangles en carré.

Disposez-les de façon à ce que les côtés a et b des quatre triangles forment un grand carré tandis que les quatre hypoténuses c forment un carré plus petit à l’intérieur. Chaque côté du grand carré doit être composé d’un segment a et d’un segment b (et donc avoir pour longueur a + b).
Si vous faites pivoter la forme obtenue sur 90°, elle sera exactement la même. Vous pouvez le faire autant de fois que vous voulez. C’est seulement possible parce que les quatre angles extérieurs sont isométriques.

3. Formez deux rectangles.

Changez la disposition des quatre triangles isométriques de manière à ce qu’ils forment deux rectangles dans un grand carré. Ce dernier doit toujours avoir des côtés de longueur a + b, mais dans cette configuration, le grand carré extérieur contient deux rectangles de mêmes dimensions, un petit carré dont les côtés ont la longueur a et un carré moyen dont les côtés ont la longueur b.
Les hypoténuses c des triangles rectangles forment désormais les diagonales des deux rectangles obtenus.

4. Comparez les deux figures.

Affirmez que l’aire totale des parties qui ne se trouvent pas dans les triangles est identique dans les deux configurations ci-dessus. Dans les deux cas, vous avez un grand carré dont chaque côté a la longueur a + b. Ces deux carrés ont donc la même aire. En observant les deux figures, vous comprendrez que l’aire du carré formé par les hypoténuses c dans le premier cas (représenté en vert dans l’illustration ci-dessus) est égale à l’aire totale des deux carrés formés respectivement par les côtés a (en rouge) et les côtés b (en bleu) dans le deuxième cas.

Dans les deux configurations, une partie du grand carré est occupée par une aire totale identique correspondant aux quatre triangles rectangles isométriques qui ne se chevauchent pas. Cela signifie forcément que les parties qui ne sont pas occupées par ces triangles ont la même aire totale dans les deux cas.
La somme de l’aire du carré rouge et du carré bleu est donc forcément égale à l’aire du carré vert.

5. Transformez les aires en formules.

L’aire du carré rouge est égale à a x a (soit a), celle du carré bleu est égale à b x b (soit b) et celle du carré vert est égale à c x c (soit c). Étant donné que la somme des aires des carrés bleu et rouge est égale à l’aire du carré vert, vous pouvez affirmer que a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
Cette dernière formule mathématique permet de prouver le théorème de Pythagore.

6. Tracez un trapèze.

Tracez un trapèze avec les mesures suivantes : deux côtés verticaux parallèles de longueurs a (à droite) et b (à gauche) et une base de longueur a + b. Pour terminer le trapèze, reliez simplement l’extrémité supérieure du côté a à celle du côté b.

7. Formez des triangles.

Divisez le trapèze en trois triangles rectangles, dont deux sont isométriques. Commencez par diviser sa base en deux segments de longueur a (à gauche) et b (à droite) et reliez le point qui sépare ces deux segments aux extrémités supérieures des côtés a et b de manière à obtenir deux triangles rectangles avec pour côtés a, b et c l’hypoténuse. Vous obtiendrez aussi un troisième triangle rectangle avec deux côtés c et une hypoténuse d.
Les deux petits triangles rectangles sont isométriques.

8. Écrivez la formule de l’aire du trapèze.

L’aire d’un trapèze se calcule de la façon suivante : A=(b+B)h2{\displaystyle A={\frac {(b+B)h}{2}}}, b étant la petite base (le plus court des deux côtés parallèles), B la grande base (le côté parallèle le plus long) et h la hauteur du trapèze. Dans notre exemple, la petite base est a, la grande base est b et la hauteur est a + b.

L’aire du trapèze dans la figure ci-dessus peut donc se calculer ainsi : A=(a+b)(a+b)2{\displaystyle A={\frac {(a+b)(a+b)}{2}}}.
En décomposant cette formule, vous obtenez : A=a2+2ab+b22{\displaystyle A={\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{2}}}.

9. Additionnez les aires des triangles.

L’aire d’un triangle rectangle se calcule de la façon suivante : A=ab2{\displaystyle A={\frac {ab}{2}}}, a étant l’un des côtés adjacents à l’angle droit et b étant l’autre. Le trapèze dans l’illustration ci-dessus étant divisé en trois triangles rectangles, la somme des aires de ces triangles correspond à l’aire du trapèze. Vous devez donc déterminer l’aire de chaque triangle avant d’effectuer l’addition.

Étant donné que deux de ces triangles sont isométriques, vous pouvez simplement multiplier l’aire de l’un d’entre eux par 2. Vous obtenez ainsi : 2A1=2ab2=ab{\displaystyle 2A1=2{\frac {ab}{2}}=ab}.
L’aire du troisième triangle est : A2=cxc2=c22{\displaystyle A2={\frac {cxc}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}}.
L’aire totale du trapèze se calcule ainsi : 2A1+A2=ab+c22{\displaystyle 2A1+A2=ab+{\frac {c^{2}}{2}}}.

10. Comparez les deux formules.

Écrivez une équation dans laquelle les formules des deux étapes précédentes sont égales. Étant donné qu’elles permettent toutes deux de calculer l’aire totale du trapèze, elles sont forcément égales. Une fois que vous aurez établi cela, vous pourrez simplifier l’équation au maximum.

a2+2ab+b22=ab+c22{\displaystyle {\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{2}}=ab+{\frac {c^{2}}{2}}}.
Vous pouvez éliminer les divisions en multipliant la formule de chaque côté par 2 : a2+2ab+b2=2ab+c2{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}.
Soustrayez 2ab de chaque côté : a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
Il vous reste la formule simple a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. Celle-ci permet de prouver le théorème de Pythagore.