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Veuillez expliquer ce qu'est la "géométrie projective"
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En mathématiques, la géométrie projective est l'étude des propriétés géométriques invariantes par rapport aux transformations projectives. Cela signifie que, par rapport à la géométrie euclidienne élémentaire, la géométrie projective a un cadre différent, un espace projectif et un ensemble sélectif de concepts géométriques de base. Les intuitions de base sont que l'espace projectif a plus de points que l'espace euclidien, pour une dimension donnée, et que des transformations géométriques sont autorisées qui transforment les points supplémentaires (appelés "points à l'infini") en points euclidiens, et vice-versa.
Des propriétés signifiantes pour la géométrie projective sont respectées par cette nouvelle idée de transformation, plus radicale dans ses effets que ne peuvent l'exprimer une matrice de transformation et des translations (les transformations affines). La première question pour les géomètres est de savoir quel type de géométrie est adéquat pour une nouvelle situation. Il n'est pas possible de se référer aux angles en géométrie projective comme c'est le cas en géométrie euclidienne, car l'angle est un exemple de concept non invariant par rapport aux transformations projectives, comme on le voit dans le dessin en perspective. Une des sources de la géométrie projective était en effet la théorie de la perspective. Une autre différence avec la géométrie élémentaire est la manière dont on peut dire que des lignes parallèles se rencontrent en un point à l'infini, une fois le concept traduit en termes de géométrie projective. Encore une fois, cette notion a une base intuitive, comme des voies ferrées se rencontrant à l'horizon dans un dessin en perspective. Voir plan projectif pour les bases de la géométrie projective en deux dimensions.
Alors que les idées étaient disponibles plus tôt, la géométrie projective était principalement un développement du 19ème siècle. Cela comprenait la théorie de l'espace projectif complexe, les coordonnées utilisées (coordonnées homogènes) étant des nombres complexes. Plusieurs grands types de mathématiques plus abstraites (dont la théorie des invariants, l'école italienne de géométrie algébrique et le programme Erlangen de Felix Klein aboutissant à l'étude des groupes classiques) étaient motivés par la géométrie projective. C'était aussi un sujet avec de nombreux praticiens pour lui-même, en tant que géométrie synthétique. Un autre sujet qui s'est développé à partir des études axiomatiques de la géométrie projective est la géométrie finie.
Le thème de la géométrie projective est lui-même désormais divisé en de nombreux sous-thèmes de recherche, dont deux exemples sont la géométrie algébrique projective (l'étude des variétés projectives) et la géométrie différentielle projective (l'étude des invariants différentiels des transformations projectives).