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Veuillez expliquer ce qu'est "Quantificateur (logique)"
gpt
En logique, un quantificateur est un opérateur qui spécifie combien d'individus dans le domaine du discours satisfont une formule ouverte. Par exemple, le quantificateur universel



∀


{\displaystyle \forall}

 dans la formule du premier ordre



∀
X
P
(
X
)


{\displaystyle \forall xP(x)}

 exprime que tout dans le domaine satisfait la propriété désignée par



P


{\displaystyle P}

. D'autre part, le quantificateur existentiel



∃


{\displaystyle \existe }

 dans la formule



∃
X
P
(
X
)


{\displaystyle \existe xP(x)}

 exprime qu'il existe quelque chose dans le domaine qui satisfait cette propriété. Une formule où un quantificateur prend la portée la plus large est appelée une formule quantifiée. Une formule quantifiée doit contenir une variable liée et une sous-formule spécifiant une propriété du référent de cette variable.
Les quantificateurs les plus couramment utilisés sont



∀


{\displaystyle \forall}

 et



∃


{\displaystyle \existe }

. Ces quantificateurs sont normalement définis comme duaux ; en logique classique, ils sont interdéfinissables par négation. Ils peuvent également être utilisés pour définir des quantificateurs plus complexes, comme dans la formule



¬
∃
X
P
(
X
)


{\displaystyle \nég \existe xP(x)}

 qui exprime que rien n'a la propriété



P


{\displaystyle P}

. D'autres quantificateurs ne sont définissables que dans la logique du second ordre ou des logiques d'ordre supérieur. Les quantificateurs ont été généralisés à partir des travaux de Mostowski et Lindström.
Dans un énoncé logique du premier ordre, les quantifications du même type (soit des quantifications universelles, soit des quantifications existentielles) peuvent être échangées sans changer le sens de l'énoncé, tandis que l'échange de quantifications de types différents change le sens. À titre d'exemple, la seule différence dans la définition de la continuité uniforme et de la continuité (ordinaire) est l'ordre des quantifications.
Les quantificateurs du premier ordre se rapprochent de la signification de certains quantificateurs en langage naturel tels que "certains" et "tous". Cependant, de nombreux quantificateurs de langage naturel ne peuvent être analysés qu'en termes de quantificateurs généralisés.