human
À quoi ressemblent les 3ème, 2ème et 1ère dimensions dans un espace à 4 dimensions ? Notre monde en 3 dimensions apparaîtrait-il comme notre monde en 2 dimensions (plat) dans la 4ème dimension ? Explique comme si j'avais cinq ans.
gpt
Sans entrer dans trop de détails : cela dépendrait de la façon dont notre monde 3D est intégré à côté du monde 4D. C'est-à-dire que les propriétés géométriques, disons, d'un morceau de papier changent selon que le papier est posé à plat sur une table ou enroulé dans un cylindre, bien que dans les deux cas ce soit un objet 2D intégré dans un espace 3D. (Ce qui suit ne sera pas tout à fait au niveau d'un enfant de 5 ans, j'en ai bien peur.) Par exemple, c'est amusant d'essayer de visualiser une sphère à 3 dans un espace à 4 dimensions. Tout comme une sphère 2 (c'est-à-dire une sphère ordinaire dans notre monde en 3 dimensions) est la limite d'une boule solide en 3 dimensions, une sphère 3 est la limite d'une boule solide en 4 dimensions. Une telle sphère peut être décrite comme l' ensemble de points équidistants d' un point fixe unique dans un espace à 4 dimensions , et il y a divers détails à régler , mais le fait est que cette description conduit à une manière assez nette de visualiser un peu de ce qui se passe dans l'espace 4D. Imaginez une balle de tennis dans un espace 3D, et fixez vos axes « xyz » directement au centre. Prenez des coupes transversales de la balle de tennis à différentes valeurs de z (plus techniquement : lorsque vous translatez votre plan xy le long de l'axe z, prenez l'intersection de la balle de tennis avec le plan). Vous pouvez supposer que la balle de tennis a un rayon de 1 . Vous constaterez que , lorsque vous vous déplacez de z=-1 dans la direction z positive , vos sections transversales commencent par un seul point , puis s'élargissent pour vous donner des cercles de largeur croissante jusqu'à ce que vous arriviez à z=0 , où le cercle dans votre section transversale atteint son rayon maximal (c'est-à-dire 1). Au fur et à mesure que vous dépassez z=0 , le cercle diminue de rayon jusqu'à ce que finalement à z=1 votre section transversale soit à nouveau un seul point . Ces sections transversales , à leur tour , finissent par déterminer complètement la balle de tennis : si vous ne receviez que ces sections transversales et leurs coordonnées z correspondantes , alors tout ce que vous avez à faire pour reconstruire la balle de tennis est simplement d' empiler les sections transversales dans le fichier . le bon ordre, tel que déterminé par leurs coordonnées z. Notez que ces coupes transversales sont des instantanés d'objets unidimensionnels (cercles) dans un espace bidimensionnel (les plans xy avec lesquels nous avons pris les coupes transversales). D'une manière complètement analogue, nous pouvons construire la 3-sphère, qui vit dans un espace à 4 dimensions, en utilisant des instantanés d'objets à 2 dimensions dans un espace à 3 dimensions. Prenez vos quatre axes ( disons , " xywz " ) dans l' espace 4 , et pour chaque valeur de z lorsque vous passez de -1 à 1 , vous avez des coupes transversales de la 3 - sphère en utilisant le xyw-"plan " ( je mets le mot plan entre guillemets parce qu'il est en fait en 3 dimensions ! ) . Tout comme vous découpez la balle de tennis à différentes hauteurs avec des plans bidimensionnels, vous découpez la sphère tridimensionnelle à différentes « hauteurs » avec des « plans » tridimensionnels. A quoi ressemblent ces tranches ? Tout comme vos tranches de balle de tennis, lorsque vous êtes passé de z=-1 à z=1, ressemblaient à un point qui s'élargissait en un cercle qui s'étendait jusqu'à ce qu'il ait un rayon de 1, puis se contractait à nouveau en un point, vos tranches du 3 - la sphère (lorsque vous passez de z=-1 à z=1) ressemble à un point qui s'étend en une 2 - sphère (juste la sphère familière habituelle que nous connaissons) qui continue de s'étendre jusqu'à un rayon maximum de 1 , puis se contracte jusqu'à un certain point. Une autre façon de visualiser cela est de vous limiter à un espace tridimensionnel et d'utiliser le temps comme 4ème dimension, et de dire que vous avez un point au temps z=-1 qui se dilate en une sphère. La sphère continue de s'étendre au fil du temps , jusqu'à ce qu'elle atteigne son rayon maximum de 1 au temps z=0 , après quoi elle commence à se contracter jusqu'à ce qu'elle redevienne un point au temps z=1 . ( Je n'aime pas cette dernière méthode parce que c'est une sorte d' échappatoire qui a tendance à obscurcir la géométrie brute de la chose que vous étudiez . ) Lorsque vous empilez toutes ces coupes transversales ensemble , la totalité de l' objet résultant est un 3 - sphère . Quoi qu'il en soit, j'espère que cela vous a même un peu intéressé/utile.