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Qu'est-ce qui prouve qu'il existe deux nombres irrationnels où élever l'un à la puissance de l'autre produit un nombre rationnel ?
gpt
Considérons les nombres irrationnels $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Supposons que $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ soit un nombre rationnel, alors nous aurions terminé car nous aurions trouvé deux nombres irrationnels dont l'un élevé à la puissance de l'autre est un nombre rationnel.

Or, si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est un nombre rationnel, alors nous pouvons l'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers positifs premiers entre eux. Notons que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel, donc $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est également un nombre irrationnel ou un nombre rationnel. Puisque nous avons supposé qu'il s'agit d'un nombre rationnel, nous pouvons prendre sa racine carrée pour obtenir $\sqrt{2}$. Donc, $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\frac{a}{b}}$.

Maintenant, élevons les deux côtés à la puissance de $b$ pour obtenir $\sqrt{2}^{a} = (\sqrt{2}^{\frac{a}{b}})^{b} = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{b} = (\frac{a}{b})^{b} = \frac{a^{b}}{b^{b}}$.

Nous avons trouvé que $\sqrt{2}^{a}$ peut être écrit sous forme d'une fraction réduite. Cependant, cela signifie que $\sqrt{2}^{a}$ est un nombre rationnel, ce qui est une contradiction car $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Par conséquent, notre supposition selon laquelle $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est un nombre rationnel est fausse. Les nombres irrationnels $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ élevés l'un à la puissance de l'autre ne produisent donc pas un nombre rationnel.