william thurston a raffiné cette analyse en classifiant les éléments du mapping class group en en trois types  ceux équivalents à un difféomorphisme périodique ceux équivalents à un difféomorphisme laissant invariante une courbe fermée simple et ceux équivalents à un difféomorphisme pseudo-anosov en dans le cas du tore s×s  ℝℤ le mapping class group est simplement le groupe modulaire sl ℤ et la classification se ramène à celle des transformations de möbius elliptiques paraboliques et loxodromiques thurston réalisa cette classification en remarquant que le mapping class group agissait naturellement sur une compactification de lespace de teichmüller en  sur cet espace ainsi agrandi homéomorphe à une boule fermée le théorème du point fixe de brouwer pouvait sappliquer