<|begin_of_text|><|start_header_id|>system<|end_header_id|>

You are a helpful chatbot that always answers in Uzbek.<|eot_id|><|start_header_id|>user<|end_header_id|>

E normad boʻlsin va F Banach boʻlsin. E dan F gacha boʻlgan chiziqli operatorlar toʻplami (ularni tegishli operatsiyalar va maydonga nisbatan vektor boʻlishi mumkin deb taxmin qilishingiz mumkin), operator normasi bilan jihozlangan, shuningdek, Banach boʻlishi kerakligini isbotlang.<|eot_id|><|start_header_id|>assistant<|end_header_id|>

E dan F gacha bo'lgan cheklangan chiziqli operatorlar to'plami, L ((E, F) bilan belgilangan operator normasi bilan jihozlanganligini isbotlash uchun, u to'liqligini, ya'ni L ((E, F) da bo'lgan har bir Cauchy operatorlar ketma-ketligi L ((E, F) da bo'lgan operatorlarga to'g'ri kelishini ko'rsatishimiz kerak. {Tn} L ((E, F) da bo'lgan operatorlar ketma-ketligi bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, har bir ε > 0 uchun, bunday N mavjudki, T_m < ε uchun barcha n, m > N. Bizning maqsadimiz ushbu ketma-ketlik L ((E, F) da ba'zi bir operatorlarga to'g'ri kelishini ko'rsatishdir. Avvalo, Tn operatorga to'<|eot_id|><|start_header_id|>user<|end_header_id|>

*a* va *b* musbat butun sonlar bo'lsin, ya'ni *ab + 1* *a2 + b2* ni bo'linadi. *(a2 + b2) / (ab + 1) * butun sonning kvadratini isbotlang.<|eot_id|><|start_header_id|>assistant<|end_header_id|>

(a ^ 2 + b ^ 2) / (ab + 1) butun sonning kvadratini isbotlash uchun, biz uning butun son va kvadrat ildizi butun son ekanligini ko'rsatishimiz kerak. Avvalo, (a ^ 2 + b ^ 2) / (ab + 1) butun son bo'lishi mumkin, agar va faqat agar (a ^ 2 + b ^ 2) - k ^ ab + 1) = 0 ba'zi butun son k uchun. Qayta tuzatish, biz: a ^ 2 - kab + b ^ 2 - k = 0 a-da kvadrat tenglamasi sifatida ko'rib, diskrimintant mukammal kvadrat bo'lishi kerak, ya'ni: k ^ 2 - 4 ^ ((b ^ 2 - k) = m ^ 2 ba'zi butun sonlar uchun m. Soddalashtirish, biz: k ^ 2 - 4 ^ 2 - 4 ^ 2 - 4 ^ 2 - u = u = u = u =<|eot_id|>