Bolzano-Veyerstrass teoremasi, haqiqiy Yevklid fazasidagi har bir chegarali ketma-ketlik konvergent bo'lgan kichik ketma-ketlikka ega ekanligini ko'rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, agar sizda aniq bir oraliqda joylashgan nuqtalar ketma-ketligi bo'lsa, siz har doim ushbu nuqtalarning chegaralariga to'g'ri keladigan kichik ketma-ketligini topishingiz mumkin. Bu oddiy isbotni taqdim etish qiyin bo'ladi, lekin men qo'limdan kelganini qilaman. Isbot: Keling, cheklangan bo'lgan haqiqiy sonlar ketma-ketligini (a_n) ko'rib chiqaylik. Ta'rifga ko'ra, ikkita haqiqiy sonlar, L va U mavjud, shundayki, L <= a_n <= U barcha n uchun. Biz intervalni [L, U] yar
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence