Differentialrechnung
Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine stetige Funktion ihren Eingabewerten kontinuierlich gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird.

Die Ableitung einer Funktion dient der Darstellung lokaler Veränderungen einer Funktion und ist gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung. Anstatt von der Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten, dessen geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist nach der Vorstellung von Leibniz der Proportionalitätsfaktor zwischen infinitesimalen Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Eine Funktion wird als differenzierbar bezeichnet, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor existiert. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird mit der Ableitung in dem Punkt eine lineare Näherung der Funktion gewonnen. Die Linearisierung einer möglicherweise komplizierten Funktion hat den Vorteil, dass eine einfacher behandelbare Funktion entsteht als die ursprüngliche Funktion oder überhaupt erst eine Handhabbarkeit.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse.
 Das Verhalten von Bauelementen mit nicht-linearer Kennlinie wird bei kleinen Signaländerungen in der Umgebung eines Bezugspunktes durch ihr Kleinsignalverhalten beschrieben; dieses basiert auf dem Verlauf der Tangente an die Kennlinie im Bezugspunkt.
 Die Ableitung nach der Zeit ist im untersuchten Sachverhalt die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- beziehungsweise Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit, und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung.
 In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung, zum Beispiel Grenzkosten oder Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors.

In der Sprache der Geometrie ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle  kann man als die Steigung der Tangente im Punkt  des Graphen von  definieren.

In der Sprache der Arithmetik schreibt man  für die Ableitung einer Funktion  an der Stelle . Sie gibt an, um welchen Faktor von  sich  ungefähr ändert, wenn sich  um einen „kleinen“ Betrag  ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert oder Limes verwendet.

Einführung

Heranführung anhand eines Beispiels 
Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d. h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei gehen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten Daten, in ein Kontinuum über. Die Gegenwart wird dann als Zeitpunkt, d. h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch bekannte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen.

Die Motivation hinter dem Begriff der Ableitung einer Weg-Zeit-Kurve oder -Funktion ist, dass nun angegeben werden kann, wie schnell sich das Auto zu einem momentanen Zeitpunkt bewegt. Aus einem Weg-Zeit-Verlauf soll also der passende Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf abgeleitet werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, wie stark sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit ändert. Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Kurve zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da jedem Messpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke  innerhalb einem Zeitintervall  gilt für die Geschwindigkeit

 

Sind also  und  zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitintervall zwischen diesen
 
Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls  zurückgelegte Strecke  interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für Zeitintervalle mit auseinander liegendem Anfangs- und Endpunkt gemessen wurden. Eine momentane Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein unendlich kurzes Zeitintervall. Dementsprechend ist der oben stehende Begriff „Geschwindigkeit“ durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ zu präzisieren. Auch wenn mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet wird, vereinfacht sich das Modell insofern, als für ein Auto innerhalb der betrachteten Intervalle keine schlagartige Ortsänderung und keine schlagartige Geschwindigkeitsänderung möglich ist. (Auch eine Vollbremsung benötigt Zeit, und zwar länger als die Zeit, in der die Reifen quietschen.) Damit ist auch in der Zeichnung der stillschweigend durchgehend eingetragene Kurvenzug ohne Sprung und ohne Knick gerechtfertigt.

Soll hingegen zu einem „perfekt passenden“ Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt  gewählt werden. Die Idee ist nun, „ausgedehnte Zeitintervalle“ in einem Grenzwertprozess gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner  dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „“ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken

 

exakt dieselben Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess keine Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos keine zum Zeitpunkt  gültige Geschwindigkeit zugeordnet werden, d. h., der Term „“ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung auf einen festen Wert, so existiert der Grenzwert

 

und drückt die exakt im Zeitpunkt  bestehende Geschwindigkeit aus. Der unbestimmte Term „“ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Die dabei entstehende Momentangeschwindigkeit wird auch als Ableitung von  an der Stelle  bezeichnet; für diese wird häufig das Symbol  benutzt. Mit dem Grenzwert wird die Momentangeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt definiert als

Prinzip der Differentialrechnung 

Das Beispiel des letzten Abschnitts ist dann besonders einfach, wenn die Zunahme der zurückgelegten Strecke mit der Zeit gleichförmig, also linear verläuft. Dann liegt speziell eine Proportionalität zwischen der Veränderung der Strecke und der Veränderung der Zeit vor. Die relative Veränderung der Strecke, also ihre Zunahme im Verhältnis zur Zunahme der Zeit, ist bei dieser Bewegung immer gleichbleibend. Die mittlere Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt auch die momentane Geschwindigkeit. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1 Sekunden eine gleich lange Strecke zurück wie zwischen 9 und 10 Sekunden und die zehnfache Strecke zwischen 0 und 10 Sekunden. Als Proportionalitätsfaktor über den ganzen Weg gilt die konstante Geschwindigkeit , wobei sie im nebenstehenden Bild  beträgt. Die zwischen beliebig weit auseinanderliegenden Zeitpunkten  und  zurückgelegte Strecke beträgt

.

Allgemein bewegt sich das Auto in der Zeitspanne  um die Strecke  vorwärts. Speziell bei  ergibt sich ein Wegstück .

Falls der Startwert bei  nicht  sondern  beträgt, ändert dies nichts, da sich in der Beziehung  die Konstante  durch die Differenzbildung aus  stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies bekannt: Die Startposition des Autos ist unerheblich für seine Geschwindigkeit.

Werden statt der Variablen  und  allgemein die Variablen  und  betrachtet, so lässt sich also festhalten:

 Lineare Funktionen: Bei Linearität hat die betrachtete Funktion die Gestalt . (Für eine lineare Funktion ist nicht notwendig eine Ursprungsgerade erforderlich!) Als Ableitung gilt hieran die relative Veränderung, mit einem anderen Wort der Differenzenquotient . Sie hat in jedem Punkt denselben Wert . Die Ableitung lässt sich aus dem Ausdruck  direkt ablesen. Insbesondere hat jede konstante Funktion  die Ableitung , da sich mit einer Änderung des Eingabewertes nichts am Ausgabewert ändert.

Schwieriger wird es, wenn eine Bewegung nicht gleichförmig verläuft. Dann ist das Diagramm der Zeit-Strecken-Funktion nicht geradlinig. Für derartige Verläufe muss der Ableitungsbegriff erweitert werden. Denn es gibt keinen Proportionalitätsfaktor, der überall die lokale relative Veränderung ausdrückt. Als einzig mögliche Strategie ist die Gewinnung einer linearen Näherung für die nicht-lineare Funktion gefunden worden, zumindest an einer interessierenden Stelle. (Im nächsten Bild ist das die Stelle .) Damit wird das Problem auf eine wenigstens an dieser Stelle lineare Funktion zurückgeführt. Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung. Sie ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Vorgänge lokal auf leichter verständliche Vorgänge, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren.

Die Strategie soll exemplarisch an der nicht-linearen Funktion  erläutert werden. Die Tabelle zeigt Werte für diese Funktion und für ihre Näherungsfunktion an der Stelle , das ist . Darunter enthält die Tabelle die Abweichung der Näherung von der ursprünglichen Funktion. (Die Werte sind negativ, weil in diesem Fall die Gerade immer unter der Kurve liegt – außer im Berührpunkt.) In der letzten Zeile steht der Betrag der relativen Abweichung, das ist die Abweichung bezogen auf die Entfernung der Stelle  vom Berührpunkt bei . Diese kann am Berührpunkt nicht berechnet werden. Aber die Werte in der Umgebung zeigen, wie sich die relative Abweichung einem Grenzwert nähert, hier dem Wert null. Diese Null bedeutet: Selbst wenn sich  ein wenig (infinitesimal) vom Berührpunkt entfernt, entsteht noch kein Unterschied zwischen  und .

Die lineare Funktion  ahmt das Verhalten von  nahe der Stelle  gut nach (besser als jede andere lineare Funktion). Die relative Veränderung  hat überall den Wert . Die nicht so einfach zu ermittelnde relative Veränderung  stimmt aber im Berührpunkt mit dem Wert  überein.

Es lässt sich also festhalten:
 Nicht-lineare Funktionen: Soll die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt werden, so wird sie (wenn möglich) dort linear genähert. Die Steigung der linearen Näherungsfunktion ist die an dieser Stelle vorliegende Steigung der betrachteten nicht-linearen Funktion, und es gilt dieselbe Anschauung wie bei Ableitungen linearer Funktionen. Dabei ist nur zu beachten, dass sich die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion von Punkt zu Punkt ändert.

Während im Beispiel oben (Fahrzeugbewegung) für die durchschnittliche Geschwindigkeit die Zeitspanne  angemessen willkürlich gewählt werden kann, ist die momentane Geschwindigkeit, wenn sie veränderlich ist, nur für kleine  angebbar. Wie klein  gewählt werden muss, hängt ab von der Anforderung an die Qualität der Näherung. In mathematischer Perfektion wird sie infinitesimal. Bei dieser wird für die relative Veränderung (wie schon oben angegeben) anstelle des Differenzenquotienten  der Differenzialquotient  geschrieben (in vereinfachter Schreibweise  oder ).

Die Gewinnung der linearen Näherung einer nicht-linearen Funktion an einer bestimmten Stelle ist zentrale Aufgabe des Kalküls der Differentialrechnung. Bei einer mathematisch angebbaren Funktion (im Beispiel war das ) sollte sich die Ableitung ausrechnen lassen. Im Idealfall ist diese Berechnung sogar so allgemein, dass sie auf alle Punkte des Definitionsbereichs angewendet werden kann. Im Falle von  kann gezeigt werden, dass an jeder Stelle  die beste lineare Näherung die Steigung  besitzen muss. Mit der Zusatzinformation, dass die lineare Funktion mit der Kurve im Punkt  übereinstimmen muss, kann dann die vollständige Funktionsgleichung der linearen Näherungsfunktion aufgestellt werden.

Der Ansatz zur Bestimmung des Differentialquotienten liegt in der Berechnung des Grenzwerts (wie oben bei der momentanen Geschwindigkeit):
  oder in anderer Schreibweise 

Bei einigen elementaren Funktionen wie Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion oder Sinusfunktion ist jeweils der Grenzwertprozess durchgeführt worden. Dabei ergibt sich jeweils eine Ableitungsfunktion. Darauf aufbauend sind Ableitungsregeln für die elementaren und auch für weitere Funktionen wie Summen, Produkte oder Verkettungen elementarer Funktionen aufgestellt worden.

Damit werden die Grenzübergänge nicht in jeder Anwendung neu vollzogen, sondern für die Rechenpraxis werden Ableitungsregeln angewendet. Die „Kunst“ der Differentialrechnung besteht „nur“ darin, kompliziertere Funktionen zu strukturieren und auf die Strukturelemente die jeweils zutreffende Ableitungsregel anzuwenden. Ein Beispiel folgt weiter hinten.

Berechnung von Grenzwerten 
Jeder Differenzialquotient an einer vorgesehenen Stelle erscheint als unbestimmter Ausdruck vom Typ „“. Zu seiner Berechnung wird vom Differenzenquotient ausgegangen, und dessen Verhalten in der Umgebung der vorgesehenen Stelle wird untersucht, ob er die Tendenz hat, einen bestimmten Wert anzunehmen. Einige Grenzwerte, die für Ableitungsregeln benötigt werden, werden nachfolgend hergeleitet. Selbstverständlich dürfen dazu keine Regeln der Differenzialrechnung verwendet werden, da diese erst nach der Kenntnis der Grenzwerte aufgestellt werden können.

Ein einfacher Fall 1 
Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient für die vorgesehene Funktion.
 
Wird die binomische Formel  eingesetzt, so kürzt sich ein Summand heraus.
 
Für  ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für  (dann und nur dann!) können Zähler und Nenner durch  dividiert werden.
 
Für jedes  ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert  nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach
 

Im Weiteren werden hier nur Grenzwerte berechnet, und ihre Einsetzung in Differenzenquotienten erfolgt weiter hinten im Abschnitt Ableitungsberechnung.

Fall 2 
Für  ist dieser Bruch unbestimmt. Zur Berechnung bei  wird die Fläche eines Kreissektors mit dem Bogen  verglichen mit den Flächen eines innen liegenden und eines außen liegenden Dreiecks gemäß der Zeichnung. Im gezeigten Quadranten gilt offensichtlich
 
Bei  kann diese Ungleichung mit  multipliziert werden.
 
Für  streben sowohl der linke als auch der rechte Ausdruck gegen eins. Damit muss auch der dazwischen liegende Ausdruck gegen eins streben. Für seinen Kehrwert gilt das ebenfalls. Für  strebt er im Grenzübergang nach
 

Zwischenüberlegung 
Der Logarithmus dieses Ausdrucks, das ist , strebt für  gegen „“. Dieser Logarithmus ist dort unbestimmt und damit auch der Ausdruck selber. Es ist aber bewiesen, dass
 
einen bestimmten endlichen Wert annimmt, der als Eulersche Zahl  bezeichnet wird. Dieses wird unter dem verlinkten Stichwort behandelt und hier als bekannt vorausgesetzt.

Fall 3 
Für  ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für  und  ist die Substitution
 , 
zulässig. Aufgelöst nach  unter Verwendung des natürlichen Logarithmus ergibt das
 
 
Für  streben  und der Nenner gegen . Für jedes  ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert  nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach
 
Als Voraussetzung für diese Herleitung muss  positiv sein. Für  ist dieses erfüllt mit negativem . Nähert man sich bei  dem Wert  von der Seite  her, so gilt derselbe Grenzübergang.

Fall 4 
Für  ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für  ist die Substitution  zulässig.
 
Für  strebt . Für jedes  ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert  nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

Einordnung der Anwendungsmöglichkeiten

Extremwertprobleme 

Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht darin, dass mit Hilfe der Ableitung lokale Extremwerte einer Kurve bestimmt werden können. Anstatt also anhand einer Wertetabelle mechanisch nach Hoch- oder Tiefpunkten suchen zu müssen, liefert der Kalkül in einigen Fällen eine direkte Antwort. Liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor, so besitzt die Kurve an dieser Stelle keinen „echten“ Anstieg, weshalb die optimale Linearisierung eine Steigung von 0 besitzt. Für die genaue Klassifizierung eines Extremwertes sind jedoch weitere lokale Daten der Kurve notwendig, denn eine Steigung von 0 ist nicht hinreichend für die Existenz eines Extremwertes (geschweige denn eines Hoch- oder Tiefpunktes).

In der Praxis treten Extremwertprobleme typischerweise dann auf, wenn Prozesse, zum Beispiel in der Wirtschaft, optimiert werden sollen. Oft liegen an den Randwerten jeweils ungünstige Ergebnisse, in Richtung „Mitte“ kommt es aber zu einer stetigen Steigerung, die dann irgendwo maximal werden muss. Zum Beispiel die optimale Wahl eines Verkaufspreises: Bei einem zu geringen Preis ist die Nachfrage nach einem Produkt zwar sehr groß, aber die Produktion kann nicht finanziert werden. Ist er andererseits zu hoch, so wird es im Extremfall gar nicht mehr gekauft. Daher liegt ein Optimum irgendwo „in der Mitte“. Voraussetzung dabei ist, dass der Zusammenhang in Form einer (stetig) differenzierbaren Funktion wiedergegeben werden kann.

Die Untersuchung einer Funktion auf Extremstellen ist Teil einer Kurvendiskussion. Die mathematischen Hintergründe sind im Abschnitt Anwendung höherer Ableitungen bereitgestellt.

Mathematische Modellierung 
In der mathematischen Modellierung sollen komplexe Probleme in mathematischer Sprache erfasst und analysiert werden. Je nach Fragestellung sind das Untersuchen von Korrelationen oder Kausalitäten oder auch das Geben von Prognosen im Rahmen dieses Modells zielführend.

Besonders im Umfeld sog. Differentialgleichungen ist die Differentialrechnung zentrales Werkzeug bei der Modellierung. Diese Gleichungen treten zum Beispiel auf, wenn es eine kausale Beziehung zwischen dem Bestand einer Größe und deren zeitlicher Veränderung gibt. Ein alltägliches Beispiel könnte sein:

 Je mehr Einwohner eine Stadt besitzt, desto mehr Leute wollen dort hinziehen.

Etwas konkreter könnte dies zum Beispiel heißen, dass bei  jetzigen Einwohnern durchschnittlich  Personen in den kommenden 10 Jahren zuziehen werden, bei  Einwohnern durchschnittlich  Personen in den kommenden 10 Jahren usw. – um nicht alle Zahlen einzeln ausführen zu müssen: Leben  Personen in der Stadt, so wollen so viele Menschen hinzuziehen, dass nach 10 Jahren weitere  hinzukommen würden. Besteht eine derartige Kausalität zwischen Bestand und zeitlicher Veränderung, so kann gefragt werden, ob aus diesen Daten eine Prognose für die Einwohnerzahl nach 10 Jahren abgeleitet werden kann, wenn die Stadt im Jahr 2020 zum Beispiel  Einwohner hatte. Es wäre dabei falsch zu glauben, dass dies  sein werden, da sich mit steigender Einwohnerzahl auch die Nachfrage nach Wohnraum wiederum zunehmend steigern wird. Der Knackpunkt zum Verständnis des Zusammenhangs ist demnach erneut dessen Lokalität: Besitzt die Stadt  Einwohner, so wollen zu diesem Zeitpunkt  Menschen pro 10 Jahre hinzuziehen. Aber einen kurzen Augenblick später, wenn weitere Menschen hinzugezogen sind, sieht die Lage wieder anders aus. Wird dieses Phänomen zeitlich beliebig engmaschig gedacht, ergibt sich ein „differentieller“ Zusammenhang. Allerdings eignet sich die kontinuierliche Herangehensweise in vielen Fällen auch bei diskreten Problemstellungen.

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann aus so einem kausalen Zusammenhang zwischen Bestand und Veränderung in vielen Fällen ein Modell hergeleitet werden, was den komplexen Zusammenhang auflöst, und zwar in dem Sinne, dass zum Schluss eine Bestandsfunktion explizit angegeben werden kann. Setzt man in diese Funktion dann zum Beispiel den Wert 10 Jahre ein, so ergibt sich eine Prognose für die Stadtbewohneranzahl im Jahr 2030. Im Falle oberen Modells wird eine Bestandsfunktion  gesucht mit ,  in 10 Jahren, und . Die Lösung ist dann
 
mit der natürlichen Exponentialfunktion (natürlich bedeutet, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen Bestand und Veränderung einfach gleich 1 ist) und für das Jahr 2030 lautet die geschätzte Prognose  Mio. Einwohner. Die Proportionalität zwischen Bestand und Veränderungsrate führt also zu exponentiellem Wachstum und ist klassisches Beispiel eines selbstverstärkenden Effektes. Analoge Modelle funktionieren beim Populationswachstum (Je mehr Individuen, desto mehr Geburten) oder der Verbreitung einer ansteckenden Krankheit (Je mehr Erkrankte, desto mehr Ansteckungen). In vielen Fällen stoßen diese Modelle jedoch an eine Grenze, wenn sich der Prozess aufgrund natürlicher Beschränkungen (wie eine Obergrenze der Gesamtbevölkerung) nicht beliebig fortsetzen lässt. In diesen Fällen sind ähnliche Modelle, wie das logistische Wachstum, geeigneter.

Numerische Verfahren 
Die Eigenschaft einer Funktion, differenzierbar zu sein, ist bei vielen Anwendungen von Vorteil, da dies der Funktion mehr Struktur verleiht. Ein Beispiel ist das Lösen von Gleichungen. Bei einigen mathematischen Anwendungen ist es notwendig, den Wert einer (oder mehrerer) Unbekannten  zu finden, die Nullstelle einer Funktion  ist. Es ist dann . Je nach Beschaffenheit von  können Strategien entwickelt werden, eine Nullstelle zumindest näherungsweise anzugeben, was in der Praxis meist vollkommen ausreicht. Ist  in jedem Punkt differenzierbar mit Ableitung , so kann in vielen Fällen das Newton-Verfahren helfen. Bei diesem spielt die Differentialrechnung insofern eine direkte Rolle, als beim schrittweisen Vorgehen immer wieder eine Ableitung explizit berechnet werden muss.

Ein weiterer Vorteil der Differentialrechnung ist, dass in vielen Fällen komplizierte Funktionen, wie Wurzeln oder auch Sinus und Kosinus, anhand einfacher Rechenregeln wie Addition und Multiplikation gut angenähert werden können. Ist die Funktion an einem benachbarten Wert leicht auszuwerten, ist dies von großem Nutzen. Wird zum Beispiel nach einem Näherungswert für die Zahl  gesucht, so liefert die Differentialrechnung für  die Linearisierung
 
denn es gilt nachweislich . Sowohl Funktion als auch erste Ableitung konnten an der Stelle  gut berechnet werden, weil es sich dabei um eine Quadratzahl handelt. Einsetzen von  ergibt , was mit dem exakten Ergebnis  bis auf einen Fehler kleiner als  übereinstimmt. Unter Einbezug höherer Ableitungen kann die Genauigkeit solcher Approximationen zusätzlich gesteigert werden, da dann nicht nur linear, sondern quadratisch, kubisch usw. angenähert wird, siehe auch Taylor-Reihe.

Reine Mathematik 

Auch in der reinen Mathematik spielt die Differentialrechnung als ein Kern der Analysis eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel ist die Differentialgeometrie, die sich mit Figuren beschäftigt, die eine differenzierbare Oberfläche (ohne Knicke usw.) haben. Zum Beispiel kann auf eine Kugeloberfläche in jedem Punkt tangential eine Ebene platziert werden. Anschaulich: Steht man an einem Erdpunkt, so hat man das Gefühl, die Erde sei flach, wenn man seinen Blick in der Tangentialebene schweifen lässt. In Wahrheit ist die Erde jedoch nur lokal flach: Die angelegte Ebene dient der (durch Linearisierung) vereinfachten Darstellung der komplizierteren Krümmung. Global hat sie als Kugeloberfläche eine völlig andere Gestalt.

Die Methoden der Differentialgeometrie sind äußerst bedeutend für die theoretische Physik. So können Phänomene wie Krümmung oder Raumzeit über Methoden der Differentialrechnung beschrieben werden. Auch die Frage, was der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche (zum Beispiel der Erdoberfläche) ist, kann mit diesen Techniken formuliert und oft auch beantwortet werden.

Auch bei der Erforschung von Zahlen als solchen, also im Rahmen der Zahlentheorie, hat sich die Differentialrechnung in der analytischen Zahlentheorie bewährt. Die grundlegende Idee der analytischen Zahlentheorie ist die Umwandlung von bestimmten Zahlen, über die man etwas lernen möchte, in Funktionen. Haben diese Funktionen „gute Eigenschaften“ wie etwa Differenzierbarkeit, so hofft man, über die damit einhergehenden Strukturen Rückschlüsse auf die ursprünglichen Zahlen ziehen zu können. Es hat sich dabei häufig bewährt, zur Perfektionierung der Analysis von den reellen zu den komplexen Zahlen überzugehen (siehe auch komplexe Analysis), also die Funktionen über einem größeren Zahlenbereich zu studieren. Ein Beispiel ist die Analyse der Fibonacci-Zahlen , deren Bildungsgesetz vorschreibt, dass eine neue Zahl stets aus der Summe der beiden vorangehenden entstehen soll. Ansatz der analytischen Zahlentheorie ist die Bildung der erzeugenden Funktion
 
also eines „unendlich langen“ Polynoms (einer sog. Potenzreihe), dessen Koeffizienten genau die Fibonacci-Zahlen sind. Für hinreichend kleine Zahlen  ist dieser Ausdruck sinnvoll, weil die Potenzen  dann viel schneller gegen 0 gehen als die Fibonacci-Zahlen gegen Unendlich, womit sich langfristig alles bei einem endlichen Wert einpendelt. Es ist für diese Werte möglich, die Funktion  explizit zu berechnen durch
 
Das Nennerpolynom  „spiegelt“ dabei genau das Verhalten  der Fibonacci-Zahlen  „wider“ – es ergibt sich in der Tat  durch termweises Verrechnen. Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich andererseits zeigen, dass die Funktion  ausreicht, um die Fibonacci-Zahlen (ihre Koeffizienten) eindeutig zu charakterisieren. Da es sich aber um eine schlichte rationale Funktion handelt, lässt sich dadurch die für jede Fibonacci-Zahl  gültige exakte Formel
 
mit dem goldenen Schnitt  herleiten, wenn  und  gesetzt wird. Die exakte Formel vermag eine Fibonacci-Zahl zu berechnen, ohne die vorherigen zu kennen. Der Schluss wird über einen sog. Koeffizientenvergleich gezogen und nutzt aus, dass das Polynom  als Nullstellen  und  besitzt.

Der höherdimensionale Fall 
Die Differentialrechnung kann auf den Fall „höherdimensionaler Funktionen“ verallgemeinert werden. Damit ist gemeint, dass sowohl Eingabe- als auch Ausgabewerte der Funktion nicht bloß Teil des eindimensionalen reellen Zahlenstrahls, sondern auch Punkte eines höherdimensionalen Raums sind. Ein Beispiel ist die Vorschrift
 
zwischen jeweils zweidimensionalen Räumen. Das Funktionsverständnis als Tabelle bleibt hier identisch, nur dass diese mit „vier Spalten“  „deutlich mehr“ Einträge besitzt. Auch mehrdimensionale Abbildungen können in manchen Fällen an einem Punkt linearisiert werden. Allerdings ist dabei nun angemessen zu beachten, dass es sowohl mehrere Eingabedimensionen als auch mehrere Ausgabedimensionen geben kann: Der korrekte Verallgemeinerungsweg liegt darin, dass die Linearisierung in jeder Komponente der Ausgabe jede Variable auf lineare Weise berücksichtigt. Das zieht für obere Beispielfunktion eine Approximation der Form
 
nach sich. Diese ahmt dann die gesamte Funktion in der Nähe der Eingabe  sehr gut nach. In jeder Komponente wird demnach für jede Variable eine „Steigung“ angegeben – diese wird dann das lokale Verhalten der Komponentenfunktion bei kleiner Änderung in dieser Variablen messen. Diese Steigung wird auch als partielle Ableitung bezeichnet. Die korrekten konstanten Abschnitte  berechnen sich exemplarisch durch  bzw. . Wie auch im eindimensionalen Fall hängen die Steigungen (hier ) stark von der Wahl des Punktes (hier ) ab, an dem abgeleitet wird. Die Ableitung ist demnach keine Zahl mehr, sondern ein Verband aus mehreren Zahlen – in diesem Beispiel sind es vier – und diese Zahlen sind im Regelfall bei allen Eingaben unterschiedlich. Es wird allgemein für die Ableitung auch
 
geschrieben, womit alle „Steigungen“ in einer sog. Matrix versammelt sind. Man bezeichnet diesen Term auch als Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix.

Beispiel: Wird oben  gesetzt, so kann man zeigen, dass folgende lineare Approximation bei sehr kleinen Änderungen von  und  sehr gut ist:
 
Zum Beispiel gilt
 
und
 

Hat man im ganz allgemeinen Fall  Variablen und  Ausgabekomponenten, so gibt es kombinatorisch gesehen insgesamt  „Steigungen“, also partielle Ableitungen. Im klassischen Fall  gibt es wegen  eine Steigung  und im oberen Beispiel  sind es  „Steigungen“.

Geschichte 

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung bildete sich als Tangentenproblem ab dem 17. Jahrhundert heraus. Hierunter versteht man die Aufgabe, bei einer beliebigen Kurve in einem beliebigen Punkt die Tangente zu bestimmen. Ein naheliegender Lösungsansatz bestand darin, die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als null), aber beliebig kleinen Intervall zu approximieren. Dabei war die technische Schwierigkeit zu überwinden, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. Die ersten Anfänge der Differentialrechnung gehen auf Pierre de Fermat zurück. Er entwickelte um 1628 eine Methode, Extremstellen algebraischer Terme zu bestimmen und Tangenten an Kegelschnitte und andere Kurven zu berechnen. Seine „Methode“ war rein algebraisch. Fermat betrachtete keine Grenzübergänge und schon gar keine Ableitungen. Gleichwohl lässt sich seine „Methode“ mit modernen Mitteln der Analysis interpretieren und rechtfertigen, und sie hat Mathematiker wie Newton und Leibniz nachweislich inspiriert. Einige Jahre später wählte René Descartes einen anderen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei nahe beieinanderliegenden Punkten; es sei denn, er berührt die Kurve. Dieser Ansatz ermöglichte es ihm, für spezielle Kurven die Steigung der Tangente zu bestimmen.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz mit unterschiedlichen Ansätzen unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln. Während Newton das Problem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging, löste es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem. Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Darin heißt es:

Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonhard Euler, der den Funktionsbegriff prägte.

Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen positiven Zahlen. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von George Berkeley in der polemischen Schrift The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician. Erst in den 1960ern konnte Abraham Robinson diese Verwendung infinitesimaler Größen mit der Entwicklung der Nichtstandardanalysis auf ein mathematisch-axiomatisch sicheres Fundament stellen. Trotz der herrschenden Unsicherheit wurde die Differentialrechnung aber konsequent weiterentwickelt, in erster Linie wegen ihrer zahlreichen Anwendungen in der Physik und in anderen Gebieten der Mathematik. Symptomatisch für die damalige Zeit war das von der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1784 veröffentlichte Preisausschreiben:

Erst zum Anfang des 19. Jahrhunderts gelang es Augustin-Louis Cauchy, der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge zu geben, indem er von den infinitesimalen Größen abging und die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen (Differenzenquotienten) definierte. Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß im Jahr 1861 formuliert.

Definition

Sekanten- und Tangentensteigung 
Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion  in einem Punkt . Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an  über einem endlichen Intervall  der Länge :

 Sekantensteigung = .

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation  für  kann man die Sekantensteigung abgekürzt als  schreiben. Der Ausdruck  verdeutlicht also die beliebig klein werdende Differenz zwischen der Stelle, an der abgeleitet werden soll, und einem benachbarten Punkt. In der Literatur wird jedoch, wie auch im Folgenden, in vielen Fällen aus Gründen der Einfachheit das Symbol  statt  verwendet.

Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl  als auch  gegen Null. Der Quotient  bleibt aber in vielen Fällen endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition.

Differenzierbarkeit 

Eine Funktion , die ein offenes Intervall  in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle , falls der Grenzwert

    (mit )

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von  nach  an der Stelle  und wird als

    oder      oder      oder   

notiert. Gesprochen werden diese Notationen als „f Strich von x null“, „d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null“, „d f nach d x von x null“ respektive „d nach d x von f von x null“. Im später folgenden Abschnitt Notationen werden noch weitere Varianten angeführt, um die Ableitung einer Funktion zu notieren.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat: Eine Funktion heißt an einer Stelle  differenzierbar, falls eine Konstante  existiert, sodass

 

Der Zuwachs der Funktion , wenn man sich von  nur wenig entfernt, etwa um den Wert , lässt sich also durch  sehr gut approximieren. Man nennt deshalb die lineare Funktion , für die also  für alle  gilt, auch die Linearisierung von  an der Stelle .

Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle  stetige Funktion  mit  und eine Konstante , sodass für alle  gilt

 .

Die Bedingungen  und dass  an der Stelle  stetig ist, bedeuten gerade, dass das „Restglied“  für  gegen  gegen  konvergiert.

In beiden Fällen ist die Konstante  eindeutig bestimmt und es gilt . Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Karl Weierstraß, Henri Cartan und Jean Dieudonné konsequent angewandt und wird auch Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.

Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.

Jede differenzierbare Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt jedoch nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die später Bolzanofunktion genannt wurde, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige Funktion (siehe Weierstraß-Funktion), was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes mehrdimensionales Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitungsfunktion 

Die Ableitung der Funktion  an der Stelle , bezeichnet mit , beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle . In einigen Fällen ist es möglich, an jedem Punkt des Funktionsgraphen eine Linearisierung vorzunehmen. Dies erlaubt die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) , die jedem Element des Definitionsbereichs  der Ausgangsfunktion  die Steigung der dortigen Linearisierung zuordnet. Man sagt in diesem Falle, „ ist in  differenzierbar“.

Beispielsweise hat die Quadratfunktion  mit  an einer beliebigen Stelle  die Ableitung  die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion  ist gegeben durch  mit .

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere Funktion als die ursprünglich betrachtete. Einzige Ausnahme sind die Vielfachen  der natürlichen Exponentialfunktion mit beliebigem  – unter denen, wie die Wahl  zeigt, auch alle Funktionen  mit beliebigem  enthalten sind (deren Graph aus dem der Exponentialfunktion  durch „seitliche“ Verschiebung um  entsteht und zu diesem daher kongruent ist).

Ist die Ableitung stetig, dann heißt  stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung  für die Gesamtheit (den Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge  wird der Raum der auf  stetig differenzierbaren Funktionen mit  abgekürzt.

Notationen 
Geschichtlich bedingt gibt es unterschiedliche Notationen, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

Lagrange-Notation 
In diesem Artikel wurde bisher hauptsächlich die Notation  für die Ableitung von  verwendet. Diese Notation geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte. Bei dieser Notation wird die zweite Ableitung von  mit  und die -te Ableitung mittels  bezeichnet.

Newton-Notation 
Isaac Newton – neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung – notierte die erste Ableitung von  mit , entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch . Heutzutage wird diese Schreibweise häufig in der Physik, insbesondere in der Mechanik, für die Ableitung nach der Zeit verwendet.

Leibniz-Notation 
Gottfried Wilhelm Leibniz führte für die erste Ableitung von  (nach der Variablen ) die Notation  ein. Gelesen wird dieser Ausdruck als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz  und die -te Ableitung wird mittels  bezeichnet. Bei der Schreibweise von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch. Die Symbole  und  werden „Differentiale“ genannt, haben aber in der modernen Differentialrechnung (abgesehen von der Theorie der Differentialformen) lediglich eine symbolische Bedeutung und sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen aber so, als wären sie gewöhnliche Terme.

Euler-Notation 
Die Notation  oder  für die erste Ableitung von  geht auf Leonhard Euler zurück. Dabei wird die Ableitung als Operator – also als eine besondere Funktion, die selbst auf Funktionen arbeitet, aufgefasst. Diese Idee geht auf den Mathematiker Louis François Antoine Arbogast zurück. Die zweite Ableitung wird in dieser Notation mittels  oder  und die -te Ableitung durch  oder  dargestellt.

Ableitungsberechnung 
Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation oder Differenziation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. , , …) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann  gegen Null gehen. Dieses Verfahren ist jedoch meistens umständlich. Bei der Lehre der Differentialrechnung wird diese Art der Rechnung daher nur wenige Male vollzogen. Später greift man auf bereits bekannte Ableitungsfunktionen zurück oder schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk nach (z. B. im Bronstein-Semendjajew, siehe auch Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) und berechnet die Ableitung zusammengesetzter Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln.

Ableitungen elementarer Funktionen 
Für die Berechnung der Ableitungsfunktion einer elementaren Funktion an einer vorgesehenen Stelle  wird der zugehörige Differenzenquotient gebildet, der in der Umgebung  mit  gültig ist, und dann wird der Grenzübergang  vollzogen.

Natürliche Potenzen 
Der Fall  ist bereits weiter oben behandelt worden.  Der zugehörige Differenzenquotient ergibt sich zu

 

Wenn  ist, lässt sich  kürzen,

 

und die Annäherung  führt auf

 

Allgemein für eine natürliche Zahl  mit  wird der binomische Lehrsatz herangezogen:

 

 

Wenn  für alle endlichen Werte von  endlich ist, ist auch  endlich. Der in der letzten Gleichung vor  stehende Faktor  führt auf . Damit entsteht

 

Zwei Ergänzungen:
 Ein konstanter Summand  in  kürzt sich in  heraus noch bevor der Grenzübergang vollzogen wird.
 Ein konstanter Faktor  in  kann in  ausgeklammert und vor den Bruch gezogen werden.

Exponentialfunktion 

Mit der Exponentialfunktion  ergibt sich der Differenzenquotient

 

Für jedes  gilt

 

Damit kann im Zähler  ausgeklammert werden.

 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 
entsteht
 

Darin ist  der natürliche Logarithmus von . Speziell für die Eulersche Zahl  ist . Damit entsteht die auszeichnende Zusatzeigenschaft

Logarithmus 
Mit der Logarithmusfunktion  zur Basis  ergibt sich der Differenzenquotient

 

Für jedes  gilt

 

 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 

und mit der Basisumrechnung  entsteht

 

Dieses existiert nur für . Für  existiert die Funktion . Mit der Substitution  und der Kettenregel ergibt ihre Ableitung

 

Beide Ableitungen können zusammengefasst werden für  zu

 

Speziell für den natürlichen Logarithmus gilt

Sinus und Kosinus 
Mit der Sinusfunktion  ergibt sich der Differenzenquotient

 

Mit dem Additionstheorem

 
gilt
 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 

und mit  entsteht
 

Für die Kosinusfunktion führt eine entsprechende Rechnung mit

 

auf

Weitere elementare Funktionen 
Mit den vorstehenden Ableitungen können Ableitungsfunktionen für weitere Funktionen aufgestellt werden. Dazu werden zusätzlich die Ableitungsregeln für die Grundrechenarten, die Kettenregel und die Umkehrregel benötigt.

Allgemeine Potenzen 
Die Funktion  ist bisher nur für  als natürliche Zahl abgeleitet worden. Die Anwendbarkeit der zugehörigen Ableitungsregel lässt sich bei  auf reelle Exponenten erweitern. Mit der Substitution
 
ist 

Wird dieses mit der Kettenregel differenziert, so entsteht das bekannte Ergebnis:

 

Eine Anwendung ist die Ableitung der Wurzelfunktion.
Für  gilt mit 
 
Der Fall  betrifft die Quadratwurzel:

Für  gilt

Tangens und Kotangens 
Mit Hilfe der Quotientenregel und den Ableitungsfunktionen für Sinus und Kosinus können auch die Ableitungsfunktionen für Tangens und Kotangens aufgestellt werden. Es gilt
 
Dabei wurde die als „Trigonometrischer Pythagoras“ bezeichnete Formel  verwendet. Ebenso wird gewonnen

Arkussinus und Arkuskosinus 
Arkussinus und Arkuskosinus sind als Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus definiert. Die Ableitungen werden mittels der Umkehrregel berechnet. Setzt man , so folgt im Bereich 
 
Für den Arkuskosinus ergibt sich mit  ebenso

Arkustangens und Arkuskotangens 
Arkustangens und Arkuskotangens sind als Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens definiert. Setzt man , so folgt mittels der Umkehrregel
 
Für den Arkuskotangens ergibt sich mit  ebenso

Zusammengesetzte Funktion 
Zusammengesetzte Funktionen lassen sich so weit strukturieren, bis sich zu jedem Strukturelement die jeweils zutreffende elementare Ableitungsregel finden lässt. Dazu gibt es die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Da diese in eigenen Artikeln erläutert werden, wird hier nur ein Beispiel vorgestellt.

{|
|  || mit  ||  ist ableitbar nach  als Potenz || 
|-
|  || mit  ||  ist ableitbar nach  als Summe mit einer Konstanten || 
|- 
|  || mit  ||  ist ableitbar nach  als trigonometrische Funktion || 
|- 
|  || ||  ist ableitbar nach  als Potenz mit konstantem Faktor   || 
|}
Nach der Kettenregel ergibt sich

Zusammenfassung 
Hier werden die Ableitungsregeln elementarer und zusammengesetzter Funktionen zusammengefasst. Eine ausführliche Liste findet sich unter Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen.

Höhere Ableitungen 
Ist die Ableitung  einer Funktion  wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von  als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einmal differenzierbar, zweimal differenzierbar etc. sein.

Ist die erste Ableitung eines Weges nach der Zeit eine Geschwindigkeit, so kann die zweite Ableitung als Beschleunigung und die dritte Ableitung als Ruck interpretiert werden.

Wenn Politiker sich über den „Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl“ äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Höhere Ableitungen können auf verschiedene Weisen geschrieben werden:

 

oder im physikalischen Fall (bei einer Ableitung nach der Zeit)

 

Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen  legt man außerdem  und  fest.

Höhere Differentialoperatoren 

Ist  eine natürliche Zahl und  offen, so wird der Raum der in  -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit  bezeichnet. Der Differentialoperator  induziert damit eine Kette von linearen Abbildungen
 
und damit allgemein für :
 
Dabei bezeichnet  den Raum der in  stetigen Funktionen. Exemplarisch: Wird ein  durch Anwenden von  einmal abgeleitet, kann das Ergebnis  im Allgemeinen nur noch -mal abgeleitet werden usw. Jeder Raum  ist eine -Algebra, da nach der Summen- bzw. der Produktregel Summen und auch Produkte von -mal stetig differenzierbaren Funktionen wieder -mal stetig differenzierbar sind. Es gilt zudem die aufsteigende Kette von echten Inklusionen
 
denn offenbar ist jede mindestens -mal stetig differenzierbare Funktion auch -mal stetig differenzierbar usw., jedoch zeigen die Funktionen
 
exemplarisch Beispiele für Funktionen aus , wenn – was ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich ist –  angenommen wird.

Höhere Ableitungsregeln 
 Leibnizsche Regel
Die Ableitung -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei -mal differenzierbaren Funktionen  und  ergibt sich aus

 .

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form  sind Binomialkoeffizienten. Die Formel ist eine Verallgemeinerung der Produktregel.

 Formel von Faà di Bruno
Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der -ten Ableitung der Komposition zweier -mal differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Taylorformeln mit Restglied 

Ist  eine in einem Intervall  -mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle  und  aus  die sogenannte Taylorformel:

 

mit dem -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle 

 

und dem -ten Restglied

 

mit einem . Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylorformel zur Taylorreihe von  mit Entwicklungspunkt  erweitert werden:

 
Es ist jedoch nicht jede glatte Funktion durch ihre Taylorreihe darstellbar, siehe unten.

Glatte Funktionen 

Funktionen, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs beliebig oft differenzierbar sind, bezeichnet man auch als glatte Funktionen. Die Menge aller in einer offenen Menge  glatten Funktionen  wird meist mit  bezeichnet. Sie trägt die Struktur einer -Algebra (skalare Vielfache, Summen und Produkte glatter Funktionen sind wieder glatt) und ist gegeben durch
 
wobei  alle in  -mal stetig differenzierbaren Funktionen bezeichnet. Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Damit ist gemeint, dass die Funktion mindestens so oft differenzierbar ist, wie es nötig ist, um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.

Analytische Funktionen 

Der obere Begriff der Glattheit kann weiter verschärft werden. Eine Funktion  heißt reell analytisch, wenn sie sich in jedem Punkt lokal in eine Taylorreihe entwickeln lässt, also
 
für alle  und alle hinreichend kleinen Werte von . Analytische Funktionen haben starke Eigenschaften und finden besondere Aufmerksamkeit in der komplexen Analysis. Dort werden dementsprechend keine reell, sondern komplex analytischen Funktionen studiert. Ihre Menge wird meist mit  bezeichnet und es gilt . Insbesondere ist jede analytische Funktion glatt, aber nicht umgekehrt. Die Existenz aller Ableitungen ist also nicht hinreichend dafür, dass die Taylorreihe die Funktion darstellt, wie das folgende Gegenbeispiel

 

einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt. Alle reellen Ableitungen dieser Funktion verschwinden in 0, aber es handelt sich nicht um die Nullfunktion. Daher wird sie an der Stelle 0 nicht durch ihre Taylorreihe dargestellt.

Anwendungen 

Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung in einer Variablen ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen, wie etwa im Kontext von Kosten, Material oder Energieaufwand. Die Differentialrechnung stellt eine Methode bereit, Extremstellen zu finden, ohne dabei unter Aufwand numerisch suchen zu müssen. Man macht sich zu Nutze, dass an einer lokalen Extremstelle  notwendigerweise die erste Ableitung der Funktion  gleich 0 sein muss. Es muss also  gelten, wenn  eine lokale Extremstelle ist. Allerdings bedeutet andersherum  noch nicht, dass es sich bei  um ein Maximum oder Minimum handelt. In diesem Fall werden mehr Informationen benötigt, um eine eindeutige Entscheidung treffen zu können, was meist durch Betrachten höherer Ableitungen bei  möglich ist.

Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, jedoch kann in diesem Falle die Differentialrechnung nicht verwendet werden. Im Folgenden werden daher nur zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir die Polynomfunktion  mit dem Funktionsterm

 

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Graphen von ,  und .

Horizontale Tangenten 
Besitzt eine Funktion  mit  an einer Stelle  ihren größten Wert, gilt also für alle  dieses Intervalls , und ist  an der Stelle  differenzierbar, so kann die Ableitung dort nur gleich Null sein: . Eine entsprechende Aussage gilt, falls  in  den kleinsten Wert annimmt.

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass der Graph der Funktion in lokalen Extrempunkten eine parallel zur -Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt.

Es ist somit für differenzierbare Funktionen eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert 0 annimmt:

 

Umgekehrt kann aber daraus, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert Null hat, noch nicht auf eine Extremstelle geschlossen werden, es könnte auch beispielsweise ein Sattelpunkt vorliegen. Eine Liste verschiedener hinreichender Kriterien, deren Erfüllung sicher auf eine Extremstelle schließen lässt, findet sich im Artikel Extremwert. Diese Kriterien benutzen meist die zweite oder noch höhere Ableitungen.

Bedingung im Beispiel 
Im Beispiel ist

 

Daraus folgt, dass  genau für  und  gilt. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind  und , d. h., die Kurve hat in den Punkten  und  waagerechte Tangenten, und nur in diesen.

Da die Folge

 

abwechselnd aus kleinen und großen Werten besteht, muss in diesem Bereich ein Hoch- und ein Tiefpunkt liegen. Nach dem Satz von Fermat hat die Kurve in diesen Punkten eine waagerechte Tangente, es kommen also nur die oben ermittelten Punkte in Frage: Also ist  ein Hochpunkt und  ein Tiefpunkt.

Kurvendiskussion 

Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie die Existenz von Wende- und Sattelpunkten, die Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen ist Gegenstand der Kurvendiskussion.

Termumformungen 
Neben der Bestimmung der Steigung von Funktionen ist die Differentialrechnung durch ihren Kalkül ein wesentliches Hilfsmittel bei der Termumformung. Hierbei löst man sich von jeglichem Zusammenhang mit der ursprünglichen Bedeutung der Ableitung als Anstieg. Hat man zwei Terme als gleich erkannt, lassen sich durch Differentiation daraus weitere (gesuchte) Identitäten gewinnen. Ein Beispiel mag dies verdeutlichen:

Aus der bekannten Partialsumme

 

der geometrischen Reihe soll die Summe

 

berechnet werden. Dies gelingt durch Differentiation mit Hilfe der Quotientenregel:

 

Alternativ ergibt sich die Identität auch durch Ausmultiplizieren und anschließendes dreifaches Teleskopieren, was aber nicht so einfach zu durchschauen ist.

Zentrale Aussagen der Differentialrechnung einer Variablen

Fundamentalsatz der Analysis 

Die wesentliche Leistung Leibniz’ war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, der besagt:

Ist  ein Intervall,  eine stetige Funktion und  eine beliebige Zahl aus , so ist die Funktion

 

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung  ist gleich .

Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Gesucht ist eine Funktion , deren Ableitung  der Integrand  ist. Dann gilt:

Mittelwertsatz der Differentialrechnung 

Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der 1821 von Cauchy bewiesen wurde.

Es sei  eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall  (mit ) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion  im offenen Intervall  differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein , sodass

 

gilt – geometrisch-anschaulich: Zwischen zwei Schnittpunkten einer Sekante gibt es auf der Kurve einen Punkt mit zur Sekante paralleler Tangente.

Monotonie und Differenzierbarkeit 
Ist  und  eine differenzierbare Funktion mit  für alle , so gelten folgende Aussagen:
 Die Funktion  ist strikt monoton.
 Es ist  mit irgendwelchen .
 Die Umkehrfunktion  existiert, ist differenzierbar und erfüllt .
Daraus lässt sich herleiten, dass eine stetig differenzierbare Funktion , deren Ableitung nirgends verschwindet, bereits einen Diffeomorphismus zwischen den Intervallen  und  definiert. In mehreren Variablen ist die analoge Aussage falsch. So verschwindet die Ableitung der komplexen Exponentialfunktion , nämlich sie selbst, in keinem Punkt, aber es handelt sich um keine (global) injektive Abbildung . Man beachte, dass diese als höherdimensionale reelle Funktion  aufgefasst werden kann, da  ein zweidimensionaler -Vektorraum ist.

Allerdings liefert der Satz von Hadamard ein Kriterium, mit dem in manchen Fällen gezeigt werden kann, dass eine stetig differenzierbare Funktion  ein Homöomorphismus ist.

Die Regel von de L’Hospital 

Als eine Anwendung des Mittelwertsatzes lässt sich eine Beziehung herleiten, die es in manchen Fällen erlaubt, unbestimmte Terme der Gestalt  oder  zu berechnen.

Seien  differenzierbar und  habe keine Nullstelle. Ferner gelte entweder
 
oder
 .
Dann gilt
 
unter der Bedingung, dass der letzte Grenzwert in  existiert.

Differentialrechnung bei Funktionenfolgen und Integralen 
In vielen analytischen Anwendungen hat man es nicht mit einer Funktion , sondern mit einer Folge  zu tun. Dabei muss geklärt werden, inwieweit sich der Ableitungsoperator mit Prozessen wie Grenzwerten, Summen oder Integralen verträgt.

Grenzfunktionen 
Bei einer konvergenten, differenzierbaren Funktionenfolge  ist es im Allgemeinen nicht möglich, Rückschlüsse auf den Grenzwert der Folge  zu ziehen, selbst dann nicht, wenn  gleichmäßig konvergiert. Die analoge Aussage in der Integralrechnung ist hingegen richtig: Bei gleichmäßiger Konvergenz können Limes und Integral vertauscht werden, zumindest dann, wenn die Grenzfunktion „gutartig“ ist.

Aus dieser Tatsache kann zumindest Folgendes geschlossen werden: Sei  eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, sodass die Folge der Ableitungen  gleichmäßig gegen eine Funktion  konvergiert. Es gelte außerdem, dass die Folge  für mindestens einen Punkt  konvergiert. Dann konvergiert  bereits gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion  und es gilt .

Vertauschen mit unendlichen Reihen 
Sei  eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, sodass die Reihe  konvergiert, wobei  die Supremumsnorm bezeichnet. Konvergiert außerdem die Reihe  für ein , dann konvergiert die Folge  gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion, und es gilt
 
Das Resultat geht auf Karl Weierstraß zurück.

Vertauschen mit Integration 
Es sei  eine stetige Funktion, sodass die partielle Ableitung
 
existiert und stetig ist. Dann ist auch
 
differenzierbar, und es gilt
 
Diese Regel wird auch als Leibnizsche Regel bezeichnet.

Differentialrechnung über den komplexen Zahlen 
Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Alle behandelten Regeln lassen sich jedoch auf Funktionen mit komplexen Eingaben und Werten übertragen. Dies hat den Hintergrund, dass die komplexen Zahlen  genau wie die reellen Zahlen einen Körper bilden, dort also Addition, Multiplikation und Division erklärt ist. Diese zusätzliche Struktur bildet den entscheidenden Unterschied zu einer Herangehensweise mehrdimensionaler reeller Ableitungen, wenn  bloß als zweidimensionaler -Vektorraum aufgefasst wird. Ferner lassen sich die euklidischen Abstandsbegriffe der reellen Zahlen (siehe auch Euklidischer Raum) auf natürliche Weise auf komplexe Zahlen übertragen. Dies erlaubt eine analoge Definition und Behandlung der für die Differentialrechnung wichtigen Begriffe wie Folge und Grenzwert.

Ist also  offen,  eine komplexwertige Funktion, so heißt  an der Stelle  komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert
 
existiert. Dieser wird mit  bezeichnet und (komplexe) Ableitung von  an der Stelle  genannt. Es ist demnach möglich, den Begriff der Linearisierung ins Komplexe weiterzutragen: Die Ableitung  ist die „Steigung“ der linearen Funktion, die  bei  optimal approximiert. Allerdings ist darauf zu achten, dass der Wert  im Grenzwert nicht nur reelle, sondern auch komplexe Zahlen (nahe bei 0) annehmen kann. Dies hat zur Folge, dass der Terminus der komplexen Differenzierbarkeit wesentlich restriktiver ist als jener der reellen Differenzierbarkeit. Während im Reellen nur zwei Richtungen im Differenzenquotienten betrachtet werden mussten, sind es im Komplexen unendlich viele Richtungen, da diese keine Gerade, sondern eine Ebene aufspannen. So ist beispielsweise die Betragsfunktion  nirgends komplex differenzierbar. Eine komplexe Funktion ist genau dann komplex differenzierbar in einem Punkt, wenn sie dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt und total differenzierbar ist.

Trotz (bzw. gerade wegen) des viel einschränkenderen Begriffs der komplexen Differenzierbarkeit übertragen sich alle üblichen Rechenregeln der reellen Differentialrechnung in die komplexe Differentialrechnung. Dazu gehören die Ableitungsregeln, also zum Beispiel Summen-, Produkt- und Kettenregel, wie auch die Umkehrregel für inverse Funktionen. Viele Funktionen, wie Potenzen, die Exponentialfunktion oder der Logarithmus, haben natürliche Fortsetzungen in die komplexen Zahlen und besitzen weiterhin ihre charakteristischen Eigenschaften. Von diesem Gesichtspunkt her ist die komplexe Differentialrechnung mit ihrem reellen Analogon identisch.

Wenn eine Funktion  in ganz  komplex differenzierbar ist, nennt man sie auch eine in  holomorphe Funktion. Holomorphe Funktionen haben bedeutende Eigenschaften. So ist zum Beispiel jede holomorphe Funktion bereits (in jedem Punkt) beliebig oft differenzierbar. Die daraus aufkommende Klassifizierungfrage holomorpher Funktionen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Es stellt sich heraus, dass im komplex-eindimensionalen Fall der Begriff holomorph äquivalent zum Begriff analytisch ist. Demnach ist jede holomorphe Funktion analytisch, und umgekehrt. Ist eine Funktion sogar in ganz  holomorph, so nennt man sie ganz. Beispiele für ganze Funktionen sind die Potenzfunktionen  mit natürlichen Zahlen  sowie ,  und .

Differentialrechnung mehrdimensionaler Funktionen 
Alle vorherigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zugrunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an den Funktionsgraph in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.

Mehrdimensionale Differenzierbarkeit und die Jacobi-Matrix

Richtungsableitung 

Es sei  offen,  eine Funktion,  und  ein (Richtungs-)Vektor. Aufgrund der Offenheit von  gibt es ein  mit  für alle , weshalb die Funktion  mit  wohldefiniert ist. Ist diese Funktion in  differenzierbar, so heißt ihre Ableitung Richtungsableitung von  an der Stelle  in der Richtung  und wird meistens mit  bezeichnet. Es gilt:
 
Es besteht ein Zusammenhang zwischen der Richtungsableitung und der Jacobi-Matrix. Ist  differenzierbar, dann existiert  und es gilt in einer Umgebung von :
 
wobei die Schreibweise  das entsprechende Landau-Symbol bezeichnet.

Es werde als Beispiel eine Funktion  betrachtet, also ein Skalarfeld. Diese könnte eine Temperaturfunktion sein: In Abhängigkeit vom Ort wird die Temperatur im Zimmer gemessen, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Wird das Thermometer in eine bestimmte Raumrichtung bewegt, ist eine Veränderung der Temperatur festzustellen. Dies entspricht genau der entsprechenden Richtungsableitung.

Partielle Ableitungen 

Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen , nämlich in die der Koordinatenachsen mit der Länge , nennt man die partiellen Ableitungen.

Insgesamt lassen sich für eine Funktion in  Variablen  partielle Ableitungen errechnen:

 

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben:
 
Meist wird der Gradient als Zeilenvektor (also „liegend“) geschrieben. In manchen Anwendungen, besonders in der Physik, ist jedoch auch die Schreibweise als Spaltenvektor (also „stehend“) üblich. Partielle Ableitungen können selbst differenzierbar sein und ihre partiellen Ableitungen lassen sich dann in der sogenannten Hesse-Matrix anordnen.

Totale Differenzierbarkeit 

Eine Funktion  mit , wobei  eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt  total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar, manchmal auch Fréchet-differenzierbar), falls eine lineare Abbildung  existiert, sodass

 

gilt. Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung  ist bei Existenz eindeutig bestimmt, ist also insbesondere unabhängig von der Wahl äquivalenter Normen. Die Tangente wird daher durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von  nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine -Matrix. Für  erhält man den weiter oben beschriebenen Gradienten.

Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang: Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein:
 
Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt  nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von  stetig, dann ist die Funktion in  auch total differenzierbar.

Rechenregeln der mehrdimensionalen Differentialrechnung

Kettenregel 

Es seien  und  offen sowie  und  in  bzw.  differenzierbar, wobei . Dann ist  mit  in  differenzierbar mit Jacobi-Matrix
 
Mit anderen Worten, die Jacobi-Matrix der Komposition  ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von  und . Es ist zu beachten, dass die Reihenfolge der Faktoren im Gegensatz zum klassischen eindimensionalen Fall eine Rolle spielt.

Produktregel 

Mit Hilfe der Kettenregel kann die Produktregel auf reellwertige Funktionen mit höherdimensionalem Definitionsbereich verallgemeinert werden. Ist  offen und sind  beide in  differenzierbar, so folgt
 
oder in der Gradientenschreibweise

Funktionenfolgen 
Sei  offen. Es bezeichne  eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen , sodass es Funktionen  und  gibt (dabei ist  der Raum der linearen Abbildungen von  nach ), sodass Folgendes gilt:
  konvergiert punktweise gegen ,
  konvergiert lokal gleichmäßig gegen .
Dann ist  stetig differenzierbar auf  und es gilt .

Implizite Differentiation 

Ist eine Funktion  durch eine implizite Gleichung  gegeben, so folgt aus der mehrdimensionalen Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt,

 

Für die Ableitung der Funktion  ergibt sich daher

 

mit  und

Zentrale Sätze der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher

Satz von Schwarz 

Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung partieller Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind. Dies bedeutet konkret: Ist  offen und die Funktion  zweimal stetig differenzierbar (d. h., alle zweifachen partiellen Ableitungen existieren und sind stetig), so gilt für alle  und :
 
Der Satz wird falsch, wenn die Stetigkeit der zweifachen partiellen Ableitungen weggelassen wird.

Satz von der impliziten Funktion 

Der Satz von der impliziten Funktion besagt, dass Funktionsgleichungen auflösbar sind, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen lokal invertierbar ist.

Mittelwertsatz 
Über den höherdimensionalen Mittelwertsatz gelingt es, eine Funktion entlang einer Verbindungsstrecke abzuschätzen, wenn die dortigen Ableitungen bekannt sind. Seien  offen und  differenzierbar. Gegeben seien zudem zwei Punkte , sodass die Verbindungsstrecke  eine Teilmenge von  ist. Dann postuliert der Mittelwertsatz die Ungleichung:
 
Eine präzisere Aussage ist indes für den Fall reellwertiger Funktionen in mehreren Veränderlichen möglich, siehe auch Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen.

Höhere Ableitungen im Mehrdimensionalen 
Auch im Fall höherdimensionaler Funktionen können höhere Ableitungen betrachtet werden. Die Konzepte haben jedoch einige starke Unterschiede zum klassischen Fall, die besonders im Falle mehrerer Veränderlicher in Erscheinung treten. Bereits die Jacobi-Matrix lässt erkennen, dass die Ableitung einer höherdimensionalen Funktion an einer Stelle nicht mehr die gleiche Gestalt wie der dortige Funktionswert haben muss. Wird nun die erste Ableitung  erneut abgeleitet, so ist die erneute „Jacobi-Matrix“ im Allgemeinen ein noch umfangreicheres Objekt. Für dessen Beschreibung ist das Konzept der multilinearen Abbildungen bzw. des Tensors erforderlich. Ist , so ordnet  jedem Punkt eine -Matrix (lineare Abbildung von  nach ) zu. Induktiv definiert man für die höheren Ableitungen
 
wobei  der Raum der -multilinearen Abbildungen von  nach  bezeichnet. Analog wie im eindimensionalen Fall definiert man die Räume der -mal stetig differenzierbaren Funktionen auf  durch , und die glatten Funktion via
 
Auch die Konzepte der Taylor-Formeln und der Taylorreihe lassen sich auf den höherdimensionalen Fall verallgemeinern, siehe auch Taylor-Formel im Mehrdimensionalen bzw. mehrdimensionale Taylorreihe.

Anwendungen

Fehlerrechnung 
Ein Anwendungsbeispiel der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher betrifft die Fehlerrechnung, zum Beispiel im Kontext der Experimentalphysik. Während man im einfachsten Falle die zu bestimmende Größe direkt messen kann, wird es meistens der Fall sein, dass sie sich durch einen funktionalen Zusammenhang aus einfacher zu messenden Größen ergibt. Typischerweise hat jede Messung eine gewisse Unsicherheit, die man durch Angabe des Messfehlers zu quantifizieren versucht.

Bezeichnet zum Beispiel  mit  das Volumen eines Quaders, so könnte das Ergebnis  experimentell ermittelt werden, indem man Länge , Breite  und Höhe  einzeln misst. Treten bei diesen die Fehler ,  und  auf, so gilt für den Fehler in der Volumenberechnung:
 

Allgemein gilt, dass wenn eine zu messende Größe funktional von einzeln gemessenen Größen  durch  abhängt und bei deren Messungen jeweils die Fehler  entstehen, der Fehler der daraus errechneten Größe ungefähr bei
 
liegen wird. Dabei bezeichnet der Vektor  die exakten Terme der einzelnen Messungen.

Lösungsnäherung von Gleichungssystemen 
Viele höhere Gleichungssysteme lassen sich nicht algebraisch geschlossen lösen. In manchen Fällen kann man aber zumindest eine ungefähre Lösung ermitteln. Ist das System durch  gegeben, mit einer stetig differenzierbaren Funktion , so konvergiert die Iterationsvorschrift
 
unter gewissen Voraussetzungen gegen eine Nullstelle. Dabei bezeichnet  das Inverse der Jacobi-Matrix zu . Der Prozess stellt eine Verallgemeinerung des klassischen eindimensionalen Newton-Verfahrens dar. Aufwendig ist allerdings die Berechnung dieser Inversen in jedem Schritt. Unter Verschlechterung der Konvergenzrate kann in manchen Fällen die Modifikation  statt  vorgenommen werden, womit nur eine Matrix invertiert werden muss.

Extremwertaufgaben 
Auch für die Kurvendiskussion von Funktionen  ist die Auffindung von Minima bzw. Maxima, zusammengefasst Extrema, ein wesentliches Anliegen. Die mehrdimensionale Differentialrechnung liefert Möglichkeiten, diese zu bestimmen, sofern die betrachtete Funktion zweimal stetig differenzierbar ist. Analog zum Eindimensionalen besagt die notwendige Bedingung für die Existenz für Extrema, dass im besagten Punkt  alle partiellen Ableitungen 0 sein müssen, also
 
für alle . Dieses Kriterium ist nicht hinreichend, dient aber dazu, diese kritischen Punkte als mögliche Kandidaten für Extrema zu ermitteln. Unter Bestimmung der Hesse-Matrix, der zweiten Ableitung, kann anschließend in manchen Fällen entschieden werden, um welche Art Extremstelle es sich handelt. Im Gegensatz zum Eindimensionalen ist die Formenvielfalt kritischer Punkte größer. Mittels einer Hauptachsentransformation, also einer detaillierten Untersuchung der Eigenwerte, der durch eine mehrdimensionale Taylor-Entwicklung im betrachteten Punkt gegebenen quadratischen Form lassen sich die verschiedenen Fälle klassifizieren.

Optimierung unter Nebenbedingungen 
Häufig ist bei Optimierungsproblemen die Zielfunktion  lediglich auf einer Teilmenge  zu minimieren, wobei  durch sog. Nebenbedingungen bzw. Restriktionen bestimmt ist. Ein Verfahren, das zur Lösung solcher Probleme herangezogen werden kann, ist die Lagrangesche Multiplikatorregel. Diese nutzt die mehrdimensionale Differentialrechnung und lässt sich sogar auf Ungleichungsnebenbedingungen ausweiten.

Beispiel aus der Mikroökonomie 

In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output  (z. B. Output einer Volkswirtschaft), wenn die Inputfaktoren (hier: Arbeit und Kapital) um eine infinitesimal kleine Einheit erhöht werden?

Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für eine Volkswirtschaft die Cobb-Douglas-Funktion

  mit 

maßgebend. Zu jedem Zeitpunkt wird in der Volkswirtschaft unter dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit  und Kapital  mithilfe eines gegebenen Technologielevels  Output produziert. Die erste Ableitung dieser Funktion nach den Produktionsfaktoren ergibt:

 

 .

Da die partiellen Ableitungen aufgrund der Beschränkung  nur positiv werden können, sieht man, dass der Output bei einer Erhöhung der jeweiligen Inputfaktoren steigt. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ergeben:

 

 .

Sie werden für alle Inputs negativ sein, also fallen die Zuwachsraten. Man könnte also sagen, dass bei steigendem Input der Output unterproportional steigt. Die relative Änderung des Outputs im Verhältnis zu einer relativen Änderung des Inputs ist hier durch die Elastizität  gegeben. Vorliegend bezeichnet  die Produktionselastizität des Kapitals, die bei dieser Produktionsfunktion dem Exponenten  entspricht, der wiederum die Kapitaleinkommensquote repräsentiert. Folglich steigt der Output bei einer infinitesimal kleinen Erhöhung des Kapitals um die Kapitaleinkommensquote.

Weiterführende Theorien

Differentialgleichungen 

Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht in der mathematischen Modellierung physikalischer Vorgänge. Wachstum, Bewegung oder Kräfte haben alle mit Ableitungen zu tun, ihre formelhafte Beschreibung muss also Differentiale enthalten. Typischerweise führt dies auf Gleichungen, in denen Ableitungen einer unbekannten Funktion auftauchen, sogenannte Differentialgleichungen.

Beispielsweise verknüpft das newtonsche Bewegungsgesetz

 

die Beschleunigung  eines Körpers mit seiner Masse  und der auf ihn einwirkenden Kraft . Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung die Ortsfunktion eines Körpers herzuleiten. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im Allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft von der Zeit  und vom Ort  abhängen kann.

Da viele Modelle mehrdimensional sind, sind bei der Formulierung häufig die weiter oben erklärten partiellen Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.

Differentialgeometrie 

Zentrales Thema der Differentialgeometrie ist die Ausdehnung der klassischen Analysis auf höhere geometrische Objekte. Diese sehen lokal so aus wie zum Beispiel der euklidische Raum , können aber global eine andere Gestalt haben. Der Begriff hinter diesem Phänomen ist die Mannigfaltigkeit. Mit Hilfe der Differentialgeometrie werden Fragestellungen über die Natur solcher Objekte studiert – zentrales Werkzeug ist weiterhin die Differentialrechnung. Gegenstand der Untersuchung sind oftmals die Abstände zwischen Punkten oder die Volumina von Figuren. Beispielsweise kann mit ihrer Hilfe der kürzestmögliche Weg zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche bestimmt und gemessen werden, die sogenannte Geodätische. Für die Messung von Volumina wird der Begriff der Differentialform benötigt. Differentialformen erlauben unter anderem eine koordinatenunabhängige Integration.

Sowohl die theoretischen Ergebnisse als auch Methoden der Differentialgeometrie haben bedeutende Anwendungen in der Physik. So beschrieb Albert Einstein seine Relativitätstheorie mit differentialgeometrischen Begriffen.

Verallgemeinerungen 
In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.

Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen  zwischen zwei normierbaren topologischen Vektorräumen  und  übertragen (s. Hauptartikel Fréchet-Ableitung, Gâteaux-Differential, Lorch-Ableitung):  heißt in  Fréchet-differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator  existiert, sodass

 .

Eine Übertragung des Begriffes der Ableitung auf andere Ringe als  und  (und Algebren darüber) führt zur Derivation.

Siehe auch 
 Formelsammlung Analysis

Literatur 
Differentialrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern dieser Stufe behandelt.

Lehrbücher für Mathematik-Studierende 
 Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01442-3.
 Henri Cartan: Differentialformen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01443-1.
 Henri Cartan: Elementare Theorien der analytischen Funktionen einer und mehrerer komplexen Veränderlichen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1966, 1981, ISBN 3-411-00112-7.
 Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bände. Springer 1928, 4. Auflage 1971, ISBN 3-540-02956-7.
 Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. Band 1. Vieweg, Braunschweig 1972, ISBN 3-528-18290-3.
 Gregor M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I–III. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1990–2004, ISBN 978-3-8171-1418-4 (kompletter Satz).
 Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
 Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im . Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005, ISBN 3-528-47231-6.
 Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bände. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
 Wladimir I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik (Teil 1–5). Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1995–2004, ISBN 978-3-8171-1419-1 (kompletter Satz).
 Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis. 2 Bände. Binomi, Springe 1993, ISBN 3-923923-50-3, ISBN 3-923923-52-X.
 Serge Lang: A First Course in Calculus. Fifth Edition, Springer, ISBN 0-387-96201-8.

Lehrbücher für das Grundlagenfach Mathematik 
 Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. Akademie-Verlag, Berlin 1994, 3. Auflage 2000, ISBN 3-527-40309-4.
 Günter Bärwolff (unter Mitarbeit von G. Seifert): Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, ISBN 3-8274-1688-4.
 Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-44355-3.
 Klaus Weltner: Mathematik für Physiker 1. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-15527-7.
 Peter Dörsam: Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften. 15. Auflage. PD-Verlag, Heidenau 2010, ISBN 978-3-86707-015-7.

Weblinks 

 Tool zur Bestimmung von Ableitungen beliebiger Funktionen mit einer oder mehreren Variablen mit Rechenweg (deutsch; benötigt JavaScript)
 Online-Rechner zum Ableiten von Funktionen mit Rechenweg und Erklärungen (deutsch)
 Anschauliche Erklärung von Ableitungen
 Beispiele zu jeder Ableitungsregel

Einzelnachweise 

Analysis