EUCLIDIS 


* 


.* 


. ELEMENTORUM, 


SEX LIBRI PRIORES, 


Cum NorTis. 


« 
= 
« 


RADCLIFFE 
OBSTRVATERY 
OXFULD. 1 


Cura 


THOMAEA ELRINGTON, A. M. 
COLL. TRIN. DUB. Sci. & M. R. I. A, 


DUBLIN I I: 
GEORGIUS GRIERSON. 
Anno M DCC LXXX IX, 


U 


—_—- 


AD LECTOREM. 


IN hac editione quatuor priores 


libri, ut & ſextus, Euclidis ſunt, 


omiſſis tantummodo formis rati- 
ocinandi ſyllogiſticis, quibus ille 


fere ſingulis in demonſtrationibus 


uſus eſt, additiſque Scholiis & 
Corollariis e commentariis opti- 
mis excerptis; inſigniorum qua- 


rundam mutationum rationes in 


notis redduntur. In libro autem 
quinto affectiones proportiona- 


lium methodo nova demonſtran- 
tur, hæc vero pars operis non tota 


quidem mea eſt, propoſitionum 


enim a 33*. ad 38 *. & quoque 200. 


demonſtrationes mihi communi- 


cavit Collegii hujuſce Socius, vir 


rerum mathematicarum peritiſſi- 


mus, cum ipſe ex 1s ſolam 34”. 


eamque argumento multò difh- 
ciliori demonſtraveram. 


Txin. Col L. Dus. 
Cal. Mart. 1789. 


£ V0 b-4-B-t8 
ELEMENTORUM. 
LIBER PRIMUS. 
DEFINITIONES. 
UNCTUM eſt cujus nulla eft pars. 5 vid N. 
2. Linea eſt longitudo, latitudinis EXPETS. | 


. Linez termini ſunt puncta. 
4. Recta linea eſt quæ ex æquo ſuis terminis inter- Fioura l. 


jicitur. | Tabula 1. 
5. Superficies eſt id quod latitudinem & longitu- 
dinem tantum habet. | | 3 


6. Superficiei termini ſunt lineæ. 
7. Plana ſuperficies eſt, quæ ex æquo suas extremas . Vide N. 


ness rectas interjacet. 


8. Angulus rectilineus eſt duarum rectarum ſeſe tan- Ya . 


gentium & non in directum jacentium, alterius ad alte- Fig. 2 
ram inclinatio. 


9. Crura anguli, ſunt lineæ quæ angulum efficiunt. Vi N 

10. Vertex anguli, eſt punctum in quo crura ſibi 
mutuo occurrunt. 

11. Cum recta linea ſuper rea lines inſiſtens an- Fig. 3. 
gulos qui deinceps ſunt (ABC & ABD) æquales fecerit, 
uterque angulorum æqualium eſt rectus. linea vero in- 
— a velatur perpendicularis. 

pur (ABC) qui reQo major eſt, appellatur Fig. 4. 


| 1 


13. Angulus (ABD) qui recto minor eſt, appel- Fig. 4 


latur acutus. Vide N 


14. Figura plana eſt ſuperficies plana una vel plu- 
ribus lineĩs undique terminata. 

15. Circulus eſt figura plana, una linea contenta, Fig. 5. 
quæ circumferentia appellatur; ad quam ab uno puncto 
intra figuram exiſtente, omnes rectæ linez n 
ſunt æquales. 

16. Punctum iſtud appellatur centrum circuli. 
17. Diameter circuli eſt recta linea per centrum ducta Vie NV. 
& ex utraque parte in circumferentia terminata. 

B 18. Radius 


Fig. 10. 


. 11. 


V ide N. 


 Euclidis See 


18. Radius eſt recta ducta a centro ad circumferentiam 
19. Semicirculus eſt figura quz continetur diametro 
& parte circumferentiæ quz a diametro intercipitur. 

20. Rectilinea figura eſt ſuperficics plana rectis lineis 
undique terminata. 


41. Triangulum eſt plana ſuperficies quæ tribus rectis 


continetur. 


22. Triangulum æquilaterum eſt, quod tria latera 
habet zqualia. 


23. Triangulum iſoſceles eſt, quod duo latera habet 
æqualia. 


24. Triangulum ſcalenum eſt, quod tria latera in- 
æqualia habet. 


25. Triangulum rectangulum eſt, quod unum angu- 
lum habet rectum. 


26. Triangulum obruſangulum eſt, quod unum angu- 
lum habet obiuſum. 


27. Triangulum acutangulum eſt, quod tres habet 
angulos acutos. 
28. Rectæ lineæ parallelæ ſunt, quæ in eodem plano 


exiſtentes, in infinitum productæ ad neutram partem 
concurrant. 


29. Quadrilatera figura eſt rectilinea figura quæ qo 


tuor rectis continctur. 


30. Parallelogrammum eſt figura quadrilatera cujus 


ente latera ſunt parallela. 


31. Quadratum eſt figura quadrilatera quæ æquilatera 
& rectangula eſt. 8 1 


32. Figurz rectilineæ quz plura quam quatuor ha- 


bent latera, polygona appellantur. 


Poflulata. 


Oſtulatur, a quovis puncto ad quodvis punctum 
rectam lineam ducere. 


2. Rectam lineam terminatam, in continuum & di- 
rectum producere. 


3 Quovis centro & quovis intervallo circulum de- 


ſcribere. 


Commune, 


r 


P 


ren. 


e 


N 


rern. 


N = 2 EP ul 


C tt bio ͤ—Üů ö oe i os 68 


S 


Liber Primus. 


Cemmunes notiones ſeu Axiomata. 


1. Quæ eidem ſunt zqualia, & inter ſe zqualia ſunt. 

2. Si æqualibus æqualia adjiciantur tota erunt æqua- 
lia. 

3. Si ab æqualibus æqualia auferantur, reliqua ſunt 


æqualia. 


4. Si inæqualibus æqualia adjiciantur, tota ſunt 1 inæ- 
qualia. 

5. Si ab inzqualibus zqualia auferantur, reliqua ſunt 
inæqualia. 

6. Quæ ejuſdem vel æqualium ſunt duplicia, inter 


ſe ſunt æqualia. 


7. Quz ejuſdem vel æqualium ſunt dimidia, inter ſe 
"Ea æqualia. 
8. Quæ ſibi mutuo congruunt, inter ſe ſunt æqualia. 
9. Totum eſt ſua parte majus. 
10. Duæ rectæ linea ſpatium non comprehendunt. 
11. Omnes anguli recti inter ſe æquales ſunt. Vide N. 
12. Si in duas rectas lineas recta linea incidens, an- vid, N. 
2 interiores ad eaſdem partes duobus rectis minores 
ecerit, duæ illz rectæ lineæ in infinitum productæ, in- 
ter ſe convenient ad eam partem ad quam ſunt anguli 
Cucbus rectis minores. | | 


Fig. 13. 
Vide N. 


{1 ) per 
Pest. l. 
(2) per 
Prop. 1. 
(3) fer 
PN. 3. 


(4/ 4%. 
65 pe 

con 280 
{6} per 


ax. 3. 


(7) per ax. 
1. 


Euclidis Elementorum 


PROPOSITIO IL PROBLEMA. 
St: data redd Anitd (AB) triangulum equi- 


laterum conſtituere. 


Centro A & intervallo AB deſcribatur circulus BOD 


(1). Centro B & intervallo BA deſcribatur circulus 


ACE. Ab interſectione C ducantur rectæ C A & C B 


ad terminos date AB (2). 


Patet ACB eſie triang ulum ſuper data rectà confits.- 
tum; eſt vero zquilaterum, pam AC æqualis eſt AB 
BC vero 


quoniam radu ſunt e juſdem circuli DCB (3). 
ipſi BA æqualis eſt quoniam ſunt radii ejuſdem circuli 
ACE. Quoniam igitur utraque AC & BC eidem AB 


æqualis eſt, inter fe ſunt zquales (4), et ergo triangu- 


lum AC; eſt æquilaterum. 
Schol. 


teſt triangulum AGB eſſe zquilaterum. 


PROP. PROB. 


A 


A dato puncto ad terminum alterutrum B datæ rectæ, 
ducatur recta AB (1). Super AB conſtituatur triangu- 
lum æquilaterum ADB (2). Centro B, intervallo BC, 
deſcribatur circulus GCF (3). 
occurrat DB producta in G. Centro D, intervallo DG, 
deſcribatur circulus GLO. Circumferentiæ ejus occurrat 
DA preduQa in II. AL zqualis eft recta datæ BC. 

Nam DL æqualis eft ipſi DG, quoniam radi ſunt ejuſ- 
dem circuli GLO (4). auſerantur utrinque DA & DB 
cuz ſunt qucque æquales (5) & reliqua AL reliquæ 
BG zqualis crit (6). Bf vero wh EC æquatur quo- 
niam ſunt radii ejuſdem circuli GH. Ergo utraque ip- 


finite ( BC ) æqualem, ponere. 


ſarum AL & BC eidem BG zqualis eſt. Ergo & inter 


ſe ſunt æquales (7). Poſita eſt proinde ad punQum A. 
recta AL dai BC qualis. 


Schol. Variatur poſitio rectæ AL pro diverſo termi- 


no datz ad quem rea a dato puncto ducitur, & quo- 
que 


Ductis AG & GB ſimiliter demonſtrari po- 


D datum punctum (A N rectam, date rele 


Circumferentiæ ejus 


( 
4 


Liber Primus. 5 


que pro diverſis partibus iſtius rectæ ad quas conſtituitur 
triangulum. 


NOF. M. NO. 
Atis duabus rectis inequalibus (4B S CF ) ty. * 


a majore WN æqualem minori. Vide N. 


Ad terminum alterutrum A rectæ majoris ponatur AD U 1) per 
minori ex datis CF zqualis (1). Centro A intervallo . 2. 


AD deſcribatur circulus. Abſcindet AE ipſi AD æqua- os P "þ 
lem (2) & proinde datz CF CI æqualem (3). (3) per 
_ conſtruc 
PRO P. IV. THEOREM A. er 


I duo Wingels ( EDP, ABC, ) habeant 4 latera Fig. 15. 
duobus æqualia, alterum alteri, (ED & DF ip- Vi. NV. 


fis AB & BC) & angulos ſub iſtis lateribus quoque 
equales, ( D ipſt BJ, erunt & baſes (EF & AC) 


equales, & anguli ad baſes, equalibus lateribus oppoſutt, 
equales ( E ipſi A & F pf C), & quoque ipſa tri- 


| angula. 


Nam f ita ſi bi 8 triangula ut punctum D 
caderet in B, & latus DE in BA & ut latera DF & BC 
ſint ad eaſdem partes, tunc quoniam latera DE & BA 


| zqualia ſunt, punctum E caderet in A, & quoniam an- 


guli D & B æquales ſunt latus DF caderet in BG, & 
quoniam latus DF lateri BC quale cit punctum F c: ade- 
ret in C. | 
Sed congruentibus punctis E & F cum punts A& GC, (1) TR 
congruent reer EF & AC (1) & ergo baſes EF & AC A 
æquales ſunt (2). 8 per ax. 
Et cruribu: angulorum E & F congruentibus cum cru- 8. 
ribus os. nf Hung A&C, congruunt & ipſi anguli & er- 
go æquales ſunt (3). (3 Per ax. 
Et comgruentibus reds quibe 5 triangulum EDF con- S. 
tinetur cum rectis quibus triangulum ABC continetur, 


congruunt quoque ipſa triangula & ergo mn ſunt {4): (4) per ax. 
8. 


* 


PROP. 


v4 


Euclidis Elementorum 


PROP. v. THEOR. 
1 triang ulo quovis iſoſcele (BAC) anguli ad baſem 


GCB ) quoque equales. 


In crure alterutro producto ſumatur punctum quodvis 
F, & fiat AG ipſi AF æqualis (1), & ducantur CF 
& BG. 

In triangulis FAC & GAB, latera F. A & AC æquan- 
tur lateribus GA & AB (2), angulus vero A communis 
eſt, ergo angulus ACF ipſi ABG æqualis eſt, & angulus 


Ergo in triangulis BFC, CGB, angulus BFC angulo CGB 


æquatur, & latus FC lateri BG, & deſumptis zqualibus AB 
( (4) tor prop. & AC ab zqualibus AF & AG, latus quoque BF later: CG 


æquatur, ergo angulus FBC angulo GCB æqualis eſt (4), 
hi vero ſunt anguli infra baſem BC. 
Et in iiſdem triangulis angulus FCB æquatur angulo 
| GBC (4), & his deſumptis ab æqualibus FCA & GBA, 
. erunt reliqui anguli ACB & ABC æquales (5), hi vero 
ſunt anguli ad baſem BC dati trianguli. 


Cor. Hinc omne triangulum zquilaterum eſt quoque | 


æquiangulum; quodcunque enim latus pro baſe aſſumatur 
anguli ei adjacentes æquales erunt, quoniam æqualibus la- 
teridus opponuntur. 


PROP. VI. THEOR. 


. 1 trianguli BAC duo anguli (B & C) equa- 
Pe 37 8 les ſint, latera ns  oppefita (AC & AB) æquan- 


tur. 


{1) per Non enim, ſed fit alterutrum ex iis BA majus, & ſuma- 
Prep. 3. tur recta BD ipſi AC æqualis (1) & ducatur CD. 


Quoniam in triangulis DBC, ACB latera DB, BC, 
lateribus AC, CB æquantur & anguli DBC & ACB 


qui æqualibus lateribus continentur ſunt quoque æquales 

(+) per by- (2) erunt ĩpſa triangula DBC & ACB (3) zqualia, pars 

toti, quod abſurdum, neutrum ergo latus BA vel AC 

(3) per prep. altero majus eſt, ſunt proinde æqualia. 
4. 


Cor. 


(ABC & ACB. ) zquales ſunt : & ſi later a æqua- 
lia producantur erunt anguli infra baſem ( FBC & 


(3) per prop AFC ipfi AGB, & latus FC lateri GB æquale eſt (3.) 


ENG RCE ²— •ͤ 


£9 
ER 
4 
* 
1 
8 
+ + 
a3 
| 
— _ 
2 
* 


Liber Primus. 7 


Cor. Hinc omne triangulum æquiangulum eſt quoque 
æquilaterum; quodcunque enim latus pro baſe aſſumatur, 
anguli ipii adjacentes æquales erunt, & ergo latera us 


oppoſita. 
PROP. vn. THE OR. 


| UPER eãdem rectd [AB) & ad eaſdem partes, Fig. 18, 19 
non poſſunt conſtitui duo triangula ( ACB, ADB) & 20. 1 


4 quorum latera contermina ( AC & AD, BU & BD) 
int æqualia. 


Conſtituantur enim fi fieri poteſt & cadat primo vertex Fig. 18. 
utriuſque extra alterum, & ducatur CD. : 
| Quoniam in triangulo CAD latera AD & AC æqualia (1) Per Hy- 
ſunt (1) anguli ACD & ADC zquantur (2), ſed A0; 
| major eſt quam BCD, ergo ADC major eſt quam BCD, hong s. : 
& proinde BDC major eſt ipſo BCD; ſed in triangulo CBD (1) per . 
___  Iatera BC & BD zaualia ſunt (3), ergo anguli BDC & potrb. 
f BCD zquantur (4), eſt vero BDC ipſo BCD major, quod (4) Per 
abſurdum. Proinde triangula ſuper eadem re&a conſtituta, / T. 8. 
non habent latera contermina æqualia ſi vertex utriuſque 
cadat extra alterum. N 
Jam cadat vertex D alterutrius intra alterum, & ducta F. 19. 
CD, producantur AC & AD. | 
Quyvoniam in triangulo CAD latera AC & AD æqualia (5) per by. 
| ſunt (5) anguh ECD & FDC zquantur (6), ſed angulus pb. 
BDC major eſt quam FDC, ergo major quoque quam ( fer prop. . 
ECD, & proinde major quam BCD. Sed in triangulo * | 
CBD latera BC & BD zqualia ſunt (5), ergo anguli 
BDC & BCD æquantur (6), eſt vero BDC ipſo BCD 
major, quod abſurdum. Proinde triangula ſuper eadem 
re&ta conſtituta, non habent latera contermina zqualia fi 
vertex alterutrius ſit intra alterum. | 
Jam cadat vertex D alterutrius in latus AC alterius, & Fig. 20. 
patet latera AC & AD non eſſe æqualia. Utcunque ergo 
cadant vertices triangulorum, latera eorum contermina 
non erunt æqualia. 0 


m 


S N 77 


P'R-O-P. 


8 Euclidis Elementorum 


PROP. VIII. THE OR. 


duobus laterib:ts equalia, alterum aiteri ( AB ipſi 
EF & BC iph FD), habeant autem et baſem ( AC } 
Bai (ED) equalem ; angulos guoque (B & F) qui 


æqualibus lateribus continentur, æquules habebunt. 


(1) per prop. Nam ſi ita ſibi applicentur baſes æquales AC & ED, 
ut latura æqualia, Ah & EF, CB & DF, ſint contermina, 
= vertex B cadzret in F (1), & latera æqualia AB & EF, 
(3) per ax. CB & FD congruerent (2), ergo anguli B & F congrue- 
$. | rent & proinde zquales ſunt (3). 

Schol. Patet reliquos angulos A & E, C& D, æquali- 


7 
(2) per ax. 


bus lateribus oppoſitos eſſe æquales, & quoque ipſa trian- 


gula. 
PROP. IX. PROB. 
: Fig. 5 2 M angulum rectilineum ( BAC) bifariam 


ſecare. 


(1) per prop. Ab A ſumantur æquales AD & AE (1). Ducatur 
1 DE & ſuper ipſa conſtituatur triangulum æquilaterum 
2) ger prop. DFE (2). Recta jungens puncta A & F biſecabit da- 
. tum angulum BAC. ” 

Nam in triangulis FAD, FAE, latera AD & AE 
(3) per conf. qualia ſunt (3), AF vero communc, & baſis DF baſi 
EF zquatur (3), ergo anguli DAF & EAF zquales ſunt 
(4), & proinde recta AF biſecat angulum datum BAC. 


* Cor. Ope hujuſce propoſitionis dividi poteſt angulus 


quoque in partes 4. 8. 16, &c, ſingulas partes iterum 


biſecando. 
PROP. X. PROB. 
W 83 * rectam finitam ( AB I fecare bifariam., 


(1) er r. Super data AB conſtituatur triangulum æquilaterum 
. ACB (1). Biſecetur angulus ACB rectà CD (2). Hæc 
„%%% biſecabit datam in puncto D. 8 

am 


Fig. 3t. 87 duo triangula ( ABC & EFD ) habeant duo latera 


ad EAT Rong pry Rp er, 


„ A · Or Y—B | 


42 0 9 „„ 


l 


— ] — -u w. 


Liber Primus. 9 


Nam in triangulis ACD, BCD, latera AC & CB æqua- 
lia ſunt (3), C CH vero commune, & anguli ACD, BCD (3) per conft 
æquales (3), ergo baſes AD & DB zquantur (4), & pro- (4) per prop. 


| inde data recta AB biſecatur in D. 


PROP. XI. PROB. 


D Ate rectæ linee ( AB) perpendicularem ducere Fig. 24. 
a puncto C 7 in ipſd dato. 


Ex utrine oa pun&i dati C ſumantur zquales CD & 
CE (1). r DE conſtituatur triangulum zquilate- (1) per prop. 
rum DFE. . FC & erit datæ rectæ perpendicu- 3. 
laris. 
Nam in triangulis DFC, EFC, latera DF & DC lateribus 
EF & EC zqualia ſunt (2), & CF commune, ergo an- (2) per conf 
guli DCF & ECF oppoſiti zqualibus lateribus DF & EF 1 ſeb. 


(4 per def. | 


- equales ſunt 9 „& proinde FC perpendicularis eſt rec-? 


tz datæ AB ( Ac 
Schol. Eadem methodo a termino ate rectæ exci-.” 


tatur perpendicularis, fi primo rea producatur. 


PROP. XII. PROB. 


Punto dato ( C ) extra rectam infiitam datam Fig. ns. 
(4B ) perpenaicularem ad eam ducere. OY 


Centro C deſcribatur circulus ſecans datam rectam in 


E & F. Biſecetur EF (1) & a dato puncto ad punctum /t) per 


— ducatur CD, erit datæ rectæ perpendicu- prop. 10. 
aris 

Ducantur enim CE & CF, & in triangulis EDC & (=) er 
FDC erunt latera EC & FC (2), & ED & FD (3) zqua- 2 
lia, & CD commune, ergo anguli EDC & FDC o 39 8 
ſiti E e lateribus EC Fay FC ſunt æquales (9), £{ & Go per [chol. 
proinde DC perpendicularis eſt rectæ datæ AB (5). pro. 


"ONE 
 defin, II. 


C: PROP. 


10 


Fig. 26. 
Vide N. 


(1) pe 
of An, 


Fig. 27. | 


(1) per grey. anguli CBA & ABE duobus rectis zquales (1), ſed CBA 


Euclidis Elementorum 


PROP. XII. T H E O R. 


nm refa (AB) ſuper read (DC) inſiſtens an- 
Z gulos fecerit, aut duos reftos, aut angulos æqua- 
les duobus rectis facit. 


Si recta AB rectæ DC perpendicularis fit, anguli 
ABC & ABD recti ſunt (1). 5 
Si vero non, ducatur BE ipfi DC perpendicularis, & 
patet angulos CBA & ABD, angulis CBE & EBD, & 
ergo duobus rectis, æquales eſſe. 

Cor. 1. Si plures rectæ, eidem rectæ ad idem punc- 


tum inſiſtant, faciunt angulos duobus rectis zquales. 


Cor. 2. Duæ rectæ interſecantes faciunt angulos qua- 
tuor rectis æquales. 

Cor. 3. Si plures rectæ in eodem puncto ſeſe interſe- 
cent, omnes anguli æquales ſunt quatuor rectis. 


PROP. XIV. THE OR. 


8¹ ad idem punctum rectæ cujuſvis ( AB) & ad 
diverſas partes ejus, duæ rectæ (CB & DB) 


concurrentes, angulos cum ipſd fecerint duobus rectis 


equales, rectæ ipſe (CB & DB) erunt fibi invicem 


in directum. 


Non enim, ſed fit BE ipſi CB in directum, & erunt 


3. | N ; 
72 „& ABD æquales ſunt duobus rectis (2) ergo CBA & 
ou” * ABE ipſis CBA & ABD zquales ſunt, communis de- 


ſumatur CBA, & ABE ipfi ABD zqualis erit, pars toti, 
_ abſurdum. proinde BE non eft in rect 

B, & ſimiliter demonſtrari poteſt nullam aliam ge 
— ei in directum eſſe; in directum igitur eſt BD ipfi 


PROP. 


um ipfi 


| 

2 

1 

© 

2 
* 
s 
: 

* 

1 


AE & E 


Liber Primus. 44 


PROP. XV. THE OR. 


I due rectæ ( AB & CD) ſe ſecuerint, erunt an- Fig. 28. 
guli verticales æquales (CEA ipſi BED, & | 


CE ioh AED ). 


Quomiam enim rofl CE rectæ AB inſiſtit, angu- 
lus AEC cum CEB æqualis eſt duobus rectis 
(1); & quoniam recta BE rectæ CD inſiſtit, angulus /r) per 
CEB cum BED æqualis eſt duobus rectis (1) ; ergo AEC Prop. 13. 
& CEB ſimul ipſis CEB & BED ſimul æquantur (2) (2) per ax. 
communis deſumatur CEB, & erit AEC ipfi BED 1. | 
æqualis (3). fimiliter demonſtrari poteſt CEB & AED * _ 


eſſe æquales. 


PROP. XVI THEOR. 


I trianguli (BA 0 ) latus quodvis ( BC) produce- Fig. 29. 
tur, erit angulus externus ACD) alterutro ex 
internis remotis ( A vel B ) major. 


latus AC in E (1), & ducta BE . {r) per 


ut EF ipſi BE zqualis fit (2), & ducatur CF. PF. 10. 


In trian 12 CEF & AEB latera CE & EF lateribus 2 fe 

æqualia ſunt (3), & angulus CEF angulo fe. 
AEB æqualis (4), ergo anguli ECF & A zquantur (5), (4) Per prop. 
& proinde ACD ipſo A major 8 Similiter, produ- 15. 


cendo AC, demonſtrari poteſt angulum BCG angulo B (S) per prop. 


majorem eſſe, & ergo ACD, wii BCG 8 (6) 7, 
angulo B majorem eſſe. ge 
or. 1. Si a puncto B ad retam ED ducantur duz* F; 
rectæ, altera BA perpendicularis altera vero BC non, ca- * 


det perpendicularis ad partes anguli acuti. 


Sit enim, ſi fieri poteſt, BA, ad partes anguli obtuſi 


BCE, rectæ ED perpendicularis, & erit angulus BAE 


angulo BCE minor (1), ſed BAE ipſo BCE major eſt /1} per 
(2), quod abſurdum. non cadit ergo BA ad partes an- 7.4 2 
guli obtuſi, ergo cadit ad partes anguli acuti. þ 4 A 
Cor. 2. Duz perpendiculares duci non poſſunt ex hs 
eodem puncto B Ee rectam ED. Sint enim, ſi 
fieri poteſt, BA & BC ambæ perpendiculares rectæ ED, 
C 2 & * 


Fig. zo. 


1 2 ; Kuclhdis Elementorum 


(1) per ax. & angulus BAE angulo BCE zqualis erit (1), ſed & ip- 


11. ſo major (2), quod abſurdum. rectæ ergo BA & BC non 
(2)? PIP» ſunt ambz perpendiculares. 


P ROP. XVII THEOR. 


Fig. 31. D UO quivis anguli trianguli (BAC ) þ fo mul, mino= 


res ſunt duobus refs, 


Producatur enim latus quodvis BC, & erit ACD major 


(1) der prop. alterutro A vel B (1), ergo ACB cum alterutro A vel B 
16. minor eſt ipſo ACB cum ACD, & ergo minor duobus 


1. ber prop. rectis (2). Similiter, producto BC verſus B, demonſtrari 


poteſt angulum ABC cum angulo A minorem eſſe duobus 


rectis. Rive duo quivis anguli minores ſunt duobus 


rectis. 


Cor. Si in triangulo quovis unus angulus fit obtuſus 
vel rectus, erunt reliqui acuti. Et fi duo * ſint 
æquales ſunt ambo acuti. 


PROP. XVII. THEOR. 


Fg. 32. gf: in triangulo quovis (BAC) unum latus ( AC ) 
alio (AB ) majus fit, erit angulus i majori la- 


teri oppoſitus, major angulo * minor: lateri opponi- 
tur. 


A latere majore AC abſcindatur AD lateri minori æqua- 


| Ag Prep. lis (1) & contermina, & ducatur BD. 
75 ) per Quoniam triangulum BAD iſoſceles eſt (2), anguli 


ABD & ADB 505 es ſunt (3), ſed ADB major eſt an- 
| 05 per prop. * intemo ACB ( 


S. & proinde ABC ipſo ACB major eſt. ABC vero lateri 
(4) . * AC, & ACB lateri minori AB opponitur. 


PR OP. XIX. THEOR. 


| Fe. 32. OI in trianguls g quovis (BAC) * unus [B) 


angulo opponitur. 


Eſt 


4), ergo ABD major eſt angulo ACB, 


alio (C major fit, erit latus (A C ) Mi majori 
angulo oppęſitum, majus latere (AB) quod minori 


Liber Primus. 13 
Eſt enim latus AC aut æquale, aut minus aut maju, 
ipſo AB. ” 
Non eſt æquale ipſi AB, nam fi fuerit anguli B & C (1)per prop. 
forent zquales (1), contra hypotheſim. . 
Non eſt minus ipſo AB, nam fi fuerit angulus B angulo 2} per 
C minor foret, (2), contra hypotheſim. Prop. 18. 
Quoniam ergo latus AC nec æquale eſt nec minus la- 
tere AB, eſt ipſo majus. ps : i 
Cor. Si ab eodem puncto B ad eandem rectam ED Fg. 33. 
ducantur duæ rectæ BC & BA, altera BC perpendicularis 
altera vero non, erit BC minor ipſa BA. 
Nam in triangulo ABC quoniam angulus BCA rectus 
eſt, erit BAC acutus (1), ergo BC angulo minori opponi- — 8 
tur & proinde minor eſt (2) quam BA quæ majori oppo- (aj per prop. 
nitur. 5 19. 


PROP. XX. THE OR. 


| NV triangulo ( BAC) duo latera gquomodocunq ue Fig. 34. 
ſumpta (BA & AC) religus ( BC) majora ſunt, t N. 


Biſecetur angulus BAC, & quoniam angulus externus 
BDA interno DAC major eſt (1), BAD vero ipfi DAC (1) er prep. 
æquatur (2), eſt BDA ipſo BAD major, & proinde latus BA . 
latere BD majus (3), ſimiliter latus AC ipſo CD majus eſt, 3 2 
duo ergo BA, AC majora ſunt duobus BD, DC, ſeu ipſo 1 prop- 
BC. Et fic biſecto quovis alio angulo, latera circa ehm 
reliquo majora eſſe demonſtrantur. 


PROP. XXI. THE OR. 
87 a puncto quouis ( D intra triangulum ( BAC ) Fr. 35. 
ducantur due rectæ (DB & DC) ad termines 

lateris cujuſuis ( BC ), erunt he religuis duobus trian- 


guli lateribus (AB & AC) minores, angulum vero 
majorem continebunt. So 


| Producatur BD ad E, & quoniam in triangulo BAE la- 

tera BA & AE reliquo BE majora ſunt (1), utrinque ad- (1) per prey. 
dito EC erunt latera BA & AC ipſis BE & EC majora, 20. 

ſunt vero in triangulo EDC latera duo DE & EC reli- 

quo DC majora (1), ergo, fi utrinque addatur BD, * 


14 Euclidis Elementorum 


BE & EC ipſis BD & DC majora, ſunt vero BA & 
AC ipſis BE & EC majora, ergo BA & AC ipſis BD 
& DC majora ſunt. 9 3 
r. Quoniam angulus externus BDC, interno DEC major 
25 eſt (2), angulus vero DEC ſimiliter angulo inter- 
no BAE major eſt (2), erit angulus BDC ipſo BAE ma- 

A 


PROP. XXII. PRO B. 


Fig. 36. | pn tribus recti: (A, B & C), quarum due quo- 0 
Vide N. © 0 | | Ji ö 1111 
modocunque ſumptæ reliqud ſunt majores, trian- 
gulum conſtituere cujus latera ipſis datis fint æqualia. 


Ad punctum quodvis D ponatur recta DE zqualis 
datæ A, & ad idein punctum ponatur DG zqualis da- 
| _ tz B, & ad punctum E ponatur EF datz C æqualis (1). 
(1) per prop. Centro D, intervallo DG deſcribatur circulus, & centro 
7 3 E intervallo EF deſcribatur circulus (2). Ab inter- 
Pe. 4 ſectione K ducantur KD & KE. „ 
Patet latera DE, DK & KE trianguli DKE, datis A, 
B & C eſſe æqualia. 
Cor. Hinc dato triangulo conſtitui poteſt triangulum 
{1 ) per ſcb. æquale, conſtituendo ſcilicet triangulum cujus latera dati 
erop. 8. lateribus æqualia ſunt, hoc enim dato erit zquale (1). 


PROP. XXIII. PR OB. 


Fig. 37. D datam rectam (BE) & ad datum in ed punc- 
tum (B) angulum conſtituere dato (C) æqualem. 


Ducatur recta FD ſecans utcunque crura anguli dati 
C, & triangulo DCF conſtituatur æquilaterum EBA cu- 


jus latera AB & EB ad punctum datum B concurrentia | 


(1) Per prop. ſint æqualia cruribus FC & DC dati anguli C (1). Erit 
$$. - angulus B angulo dato C zqualis. 

am quoniam triangula DCF, & EBA zquilatera ſunt, 
anguli C & B æqualibus lateribus DF & EA oppoſiti, 
i, . ſunt æquales (2). 


Liber Primus. 15 
PROP. XXIV. THE OR. 


J duo triangula (BFD, BAC) duo latera duobus pig. 38 

equalia habeant, alterum alteri (FB ipſi AB & Vide N. 
FD iff AC), ex angulis vero ſub 15 lateribus unus 
(A) altere (F) major fit, erit latus (BC) angule iſti 


majori oppaſitum, majus latere (BD) anguls minor: 


Oppoſite. 


Ad punctum A & cum latere non majore AB con- d, * 
ſtituatur angulus BAG angulo BFD æqualis (1), & fat (2) pr prop 
AG ipfh FD æqualis (2), & ducantur BG & GC. | 
| Quoniam rectæ AG & AC zquales ſunt (3), erunt 0 per ly 
anguli ACG & AGC zquales (4). Sed BGC major eft Pets, 
quam AGC, ergo & major quam ACG & proinde major | (4 4 


8 BCG. 8 8 ol per Preps 
n triangulo i igitur BGC, angulus BGC angulo B 
major eſt & proinde latus BC latere BG 3 (5 1 W 


BG vero ipſi BD æquatur (6), & ergo BC ipſo BD majus (6 per conſt. 
eſt. : TOY > 


PROP. XXV. THEOR. 


J duo triangula (BAC & EFD) duo latera duobus Fig. 19 
habeant equalia (BA ipſi EF & AC iph FD) 

e vero latus (BC) majus reliquo ( ED), erit 

angulus (A) iſti majori lateri oppgſitus, major — 

(F ) gui minori lateri opponitur. 


Angulus A vel n, eſt ipſi F, vel minor eo, vel 

major. 

Non eſt æqualis, nam ſi fuerit, latus BC lateri ED (1 fer prop 

zquale eſſet (1), contra hypotheſim. 
Non eſt minor, nam ſi fuerit, latus BC latere ED mi- 

nus eſſet (2), contra hypotheſim. (2] fer rep 
Quoniam ergo angulus A nec zqualis eſt angulo F, > 

nec ipſo minor, major erit. | 


16 Euclidis Elementorum 
PROP. XXVI. THEOR. 


Fig. 40. CI duo triangula (BAC, DEF) habeant duos an- 
— 8 gulos duobus equales (B ig D & C ip F). 
& unum latus uni lateri equale, vel quod inter 


equales angulos eft, (ut BC ipf DF), vel quod equa- | 
libus angulis opponitur (ut BA iff DE ) 5 reliqua 


latera & h anguli æquantur. 


Ponatur primo latus BC lateri DF equile ; tune latus 
BA lateri DE qu uoque zquale erit. 
Non enim, fed fit alterutrum ex Us BA majus, & ab- 
ſcindatur recta BG minori DE æqualis, & ducatur CG. 
(x per conft. In triangulis GBC, EDF, latera GB, BC lateribus ED 
&& bypoth. DF æqualia ſunt (1), & angulus B angulo D nan 
(2) per 5y-" (z), ergo anguli BCG & F æquales ſunt (3), ſed an 
Pots. lus BCA 1 of F zqualis eſt (4), ergo BCG ipſi B A 
5 * æquatur ( 5) quod abſurdum ; ergo neutrum ex lateribus 
2 por by- BA & DE altero majus eſt, =qualia i igitur ſunt BA & 
DE, ſed & æqualia ſunt BC & DF (6), & anguli B & 
0 per ar. P æquantur (6) reliquum _ latus AC reliquo lateri 
76 ) ro G) æquatur, & quoque reliquus angulus A reliquo E 
er prop. Jam ponatur, latera BA & DE, æqualibus angulis C 
Oo 8 & F — æqualia eſſe, & erunt latera 1014 DF 
quoque æqualia. 
Non enim, ſed fit alterutrum ex us BC majus, & ab- 
ſcindatur rea BH minori DF zqualis, & ducatur AH. 
In triangulis ABH, EDF, latera AB, BH, lateribus ED, 
_ (8) per conf. DF æqualia ſunt (8), & angulus B angulo D zquatur 
a, cant (9), ergo 1 AHB & F zquales ſunt (10), fed an- 
7 "of pw Ciph F æqualis eſt (1 05 ergo AHB ipſi C æqua- 
(10) per eſt (12), quod fieri nequit (13), ergo neutrum ex 
BY. © lateribus BC & DF altero majus eſt, æqualia igitur ſunt 
(11) per BC & DF, ſed & æqualia ſunt BA & DE, (14) & an. 
c A) for 6 guli B & D zquantur (14), reliquum igitur latus AC 


8 EF æquatur, & quoque reliquus angulus A reli- 
(13) go quo E (15). 


100 pe 
bypat 


(15) per 
Prop. 4- 


Schol. 


1 1 2 * 


Liber Primus. 17 
Schol. Patet triangula ipſa quoque zquaha eſſe. 
Cor. 1. In iſoſcele triangulo ABC rea BD a vertice Fig. 4r. 


perpendicularis in baſem, biſecat & baſem & angulum ver- 
ticalem. | | 


Nam in triangulis ABD, CBD angul A & ADB 


angulis C & CDB zquales ſunt (1), latus vero BD, ,, , Sor by- 

æqualibus angulis A & C oppoſitum, commune eſt, ergo potb. 

anguli ABD, CBD zquales ſunt, & quoque latera AD & 

DC (2) ; & igitur biſecantur angulus verticalis & baſis. (2) per prop. 
Cor. 2. Patet ex prop. 4. hujuſce libri, rectam biſe- 26. 

cantem angulum verticalem iſoſcelis, & biſecare baſem & 

ei eſſe perpendicularem; & ex prop. 8. rectam ab angulo 

verticali biſecantem baſem, ei perpendicularem eſſe, & 

angulum verticalem biſecare. 8 


* PROP. XXVII. THE OR. 


Trecta (EF) ſecans duas rectas (AB & C D) alter- Fig. 42. 
nos angulos equales fecerit (AEF iꝑſi EFD) erunt V ide N. 


res iſtæ parallele. 


Non enim, fed concurrant fi fieri poteſt in G, & an- 
gulus externus AEF trianguli EGF, interno EFG major 
eſt (1), ſed & ipſi æqualis eſt (2), quod abſurdum; (7) Per prop. 


non ergo concurrunt rectæ AB & CD ad partes BD. . 
Sim:iliter demonſtrari poteſt eas non concurrere ad partes — vo 


AC. Quoniam ergo ad neutras partes concurrunt, ſunt 
parallelz (3). | 


5 (3) per def 
PROP. XXVII. THEOR. 


87 recta linea (EF) reftas duas (AB & CD) ſecans, Fig. 43. 


fecerit externum angulum interno oppoſito & ad 


eaſdem partes æq ualem (EGA ipſi GHC vel EG ipþ 


GHD) ; vel internos & ad eaſdem partes (AGH & 
CHC, vel BGH & DH) duobus refis equales ; 


rectæ iſtæ erunt parallele. | 


Sint primo EGA & GHC zquales, & quoniam EGA 


ipfi BGH æquatur (1), erunt OHC & BGH zquales, (x) per r 


& ſunt alterni, ergo rectæ AB & CD ſunt parallelz (2). 15. 
D Similiter . 


18 . Fuclidis Elementorum 


Similiter demonſtrari poteſt fi æquales fint EGB & 
GHD. 


Jam ſint AGH & CHG ſimul duobus rectis æquales, 
& quoniam GHD & CH duobus reQis quoque ſunt 


5 (3)per prop og (3), erunt AGH & CHG fimul ipſis GHD & 


G fimul æquales (4), communis auferatur CHG & 

(4) per ax. erit AGH ipſi GHD zqualis, ſed ſunt alterni, ergo rectæ 

| ( ; "OPT AB & CD {ſunt parallelæ (5). Similiter demonſtrari 
poo ada poteſt ſi BGH & DH zquales ſint duobus rectis. 


PROP. XXIX. THEOR. 
* 44. R A linea (EP) refas darallelas (AB & CD) 


ſecans, efficiet angulos alternos equales (AGH 

% GHD, & CHG % HGB); & angulum exter- 
num interno oppoſito equalem (EG i” GHC, & 
EGB ip GHD); & quoque angules internos & ad 
eaſdem partes AGH 8 HG, BGH & DH) 


duobus reflis æquales. 


Primo. anguli alterni ACH & GHD zquales fone, 

Nam fi non, fit alter eorum AGH major, & addito 

utrinque BGH, erunt AGH & BGH fimul ipſis BGH & 

GHD majores, ſed AGH & BGH duobus rectis æquan- 

(1) per prop. ng (1), ergo BGH & GHD duobus rectis minores ſunt 
roinde rectæ AB & CD conveniunt ad partes BD (2), 

975 Ms ff ſunt parallelz (3), & ergo non conveniunt, quod ab- 


(3) ver by- ſurdum ; ; ergo neuter ex angulis AGH & altero 
goth, © major eſt, ſunt = roinde æquales. ſimiliter demonſtrari po- 
: teſt BGH & GHC æquales eſſe. 


Secundo. Angulus externus EGB interno GHD 2 
(4) fer prop. is eſt. EGB enim angulo AGH zqualis eſt (4), & 
AGH alterno GHD æquatur (5), ergo EGB ipſi GHD 
907 par. æqualis eſt. Similiter demonftrari poteſt EGA & GHC 
hy equales eſſe. 
Tertio. Anguli interni ad eaſdem partes, BGH & 
GHD duobus rectis æquales ſunt. Nam quoniam anguli 
alterni GHD & AGH æquantur 30557 addito utrinque 
BGH, erunt BGH, & GHD ipſis BGH & AGH æquales, 
(6) per prop. & ergo duobus rectis æquantur (6). Similiter demon- 
13. 2 poteſt angulos AGH & GHC duobus rectis zquales 


PROP. 


OE 


ſunt parallelz (2). 


1 Liker Fi a 


PROP. XXX. THE OR. 


I due rectæ (AB, CF) ad eandem rectam (DN) 2 
parallelæ ſint, erunt inter ſe parallele. | 
Secentur enim rectà GP. Angulus externus GLB in- (1) Per Prop. 
terno LON æqualis eſt (1), & ſimiliter LON angulo OPF (2 A... 
zquatur, ergo GLB ipſi OP F zqualis eſt (2), & proinde 4 
retz AB & CF ſunt parallelæ (3). (3) per prop. 
3 


PROP. XXXI. PROB. OY 


\ D datam refam (AB), per datum, extra eam, Fig. 46. 
punfum (C) ducere parallelam. 


Ducatur recta CF ſecans utcunque datam AB. Ad 
punctum C & cum rectà CF conſtituatur angulus FEE 
angulo AFC æqualis (1), ad partes vero contrarias rectæ e ey 
CF; crit DE rectæ datæ AB parallela. 3: 
Nam reQa FC ſecans rectas DE & AB facit angulos. 
alternos ECF & AFC æquales, & proinde ipſæ rect ö 


PROP. XXIII. I HE O R. 


Nanni erigngude fi producatur latus quoduis (AB) F. 47. 


I externus angulus (FBC) duobus internis remotis (A 
C) equalis eft. Tres vero anguli interni duobus 


rectis equantur. 


Per B ducatur BE parallela ad AC (1). (1) per prop. 

Angulus FBE æqualis eft angulo interno remoto A (2), o per prop. 
angulus vero EBC alterno © zqualis eſt (2), ergo totus 29. 
angulus FBC, duobus A & C zquatur. 


Angulus ABC, cum F 8: duobus rectis æqualis eſt (3), ( 3) Per prop. 
ſed FBC duobus A & C zquatur (4), ergo angulus ABC 13. 
cum duobus A & C, rectis duobus angulis zquali. PSA par. 


eſt. 


Cor. 1. Si in triangulo unus angulus fit rectus, reliqui 
duo ſimul æquales ſw:t recto; & angulus qui reliquis 
duobus zquatur eſt rectus. | 


D 2 | | Cor. 


20 a, Euclidis Elementorum 
* Cor. 2. 


Si in duobus triangulis duo anguli duobus 
æquales ſint, erunt reliqui quoque æquales. 
Cor. 3. In triangulo rectangulo iſoſcele, ſingulus 
angulus ad baſem ſemiſſis eſt recti. 
or. 4. In triangulo æquilatero ſingulus angulus tertia 


Fis. 48 pars eſt duorum rectorum. 
ig. 48. 


V . Cor. 5. Hine triſecari poteſt angulus rectus FAC; 


ſumatur enim pars quævis cruris alterutrius AC & ſuper 


ipſa conſtituatur triangulum æquilaterum CBA cujus an- 


gulus CAB biſecetur rectà Ah, & quoniam CAB tertia 


(1) Per cor. Pars eſt duorum rectorum (1), æqualis erit duabus tertiis 
Prec. partibus unius recti & ergo BAF tertia pars eſt recti & 
proinde ipſis BAE & EAC æqualis. 
on. 49: Cor. 6. Omnes angvli ſimul cujuſcunque figuræ rec- 
1 . 
ftuor, quot ſunt latera figuræ. 


Aſſumatur enim punctum F intra figuram & ducantur 
rectæ FA, FB, FC, FD & FE. Tot conſtituentur triangula 


quot ſunt latera figurz, et ergo omnes eorum anguli æqua- 


(.) er prop. les erunt bis tot rectis quot ſunt latera figure (1). Ex 
5 ' _._ his demantur quatuor recti pro angulis ad punctum F (2) 
x: 7 gt z. & reliqui, ſcilicet anguli figuræ, zquales erunt bis tot 
rectis, demptis quatuor, quot ſunt atera figure. | 
ES! Cor. 7. Omnes anguli externi cujuſcunque figure 
Fig 50. rectilineæ zquales ſunt quatuor rectis. Singulus enim 
(1) per prop. externus cum interno adjacente æqualis eſt duobus rectis 
13. (1), ergo omnes externi cum omnibus internis æquales ſunt 
bis tot rectis quot ſunt latera figuræ. Sed interni cum 
(2) per cor. figuræ (2), auferantur utrinque anguli interni & erunt 
prec. anguli externi æquales quatuor rectis. 


PROP. XXII. THEO R. 


Fig. 51. R CTA (AC & BD) jungentes terminos adja- 
centes æqualium & parallelarum (AB & CD) 
ſunt ipſæ equales & parallelæ. 


: Ducatur enim diagonalis AD, & in triangulis CDA, 
(1) fer H- BAD latera CD & BA zqualia ſunt (1), AD vero com- 
pets. mune, & angulus CDA angulo alterno BAD zqualis 
3 (2), ergo rectæ AC & BD æquantur (3), & anguli CAD 


G) . & * æquales ſunt (3). ergo recta AD ſecans * 


tilineæ AB CDE, æquantur bis tot rectis, demptis qua- 


ag rectis æquales ſunt bis tot rectis quot ſunt latera 


a 1 | , 


2 
JF | 
4 , 
4 
* „ d; 


1 


a « a 


4 
* 
. 
* 6 


4 


b "10 
-. Ig 
* 1 
— w- 
= x: 


3 2 
«LIB © 
£ "IN 
8 \ 


} 


SF angulum 


5 
q 
f 


Cor. 2. Si duo parallelogramma unum angulum uni m” 


* | Liber Primus. 21 
C & BD facit angulos alternos zquales & proinde rectæ 


AC & BD ſunt parallelæ (4). (Op rt 


PROP. XXXIV. THEOR. 


: Pe roms (AD) latera oppoſita (AB & CD, Fig. 51. 


AC & BD) & anguli oppofiti (A & D, C & B) Vide N. 


E ö | equantur, ipſumque a diagonal: biſecatur. 


Nam in triangulis CDA, BAD, anguli CDA & 


BA, CAD & BDA zquantur , ſunt enim alterni (1), WS: 


latus veray AD inter angulos æquales commune eſt, ergo 


EH latera „se ipſis AB & BD zqualia ſunt (2), & tri- (2) per OP 


3 BAD æquale eſt (3), & anguli (3) ger [:5. 
quoque ACD & ABD æquantur (2), & quoniam ACD prop. 26 


F cum CAB duobus rectis æqualis eſt (3) & ABD cum (3) Per prop. 
T CDB quoque duobus rectis æqualis eſt, fi auferantur 29- 


utrinque æquales ACD & ABD erunt reliqu CAB & 


CDB quoque zquales. 


Cor. 1. In parallelogrammo quovis fi unus angulus 


fit rectus, reliqui erunt recti. 


Adjacens enim eſt rectus quoniam cum recto æqualis (1) fer prop. 
eſt duobus rectis (1), & oppoſiti ſunt recti quoniam hiſce 29: 
rectis æquantur (2). (2) Per Prue 


æqualem habeant, erunt quoque reliqui æquales, anguli 
enim qui hiſce opponuntur ipſis æquales ſunt (1) & ergo (1) per prop. 
inter ſe æquantur; anguli vero us adjacentes, quoniam 34. 3 
cum iphs zquales ſunt duobus rectis (2) ſunt quoque inter (2) per prop. 
ſe xquales, | 29. 


PROP. XXXV. THEOR. 


in iiſdem parallehs, equalia ſunt, Vide N. 


n PR (BD & BF) ſuper baſi eddem & G,; 1 53. 


Quoniam rectæ AD & EF æquales ſunt eidem rectæ 
BC (1), ſunt inter ſe æquales, ergo, addita DE utrinque (1) Per prep. 
in caſu fg. 53, & ſubtracta utrinque in caſu fig. 54, rectæ #F 
AE & DF æquantur, æquantur quoque rectæ BA & 
BE rectis CD & CF (2), ergo triangula BEA & CFD (20 Per Pr. 


ſunt æqualia (3), ſubtracto vero triangulo BEA a (3) per ſb. 


quadrilatero prop. 8. 


& ſubtraſtotriangulo CFD ab eodem quadrilatero, reli- 


quum eſt parallelogrammum BD, ſunt igitur parallelo- 


| 3 gramma BD & BF zqualia (4). 
PROP. XXXVI. THEOR. 


Fe: Ss. Pre (BD & EG J Auer baſibus egua- 
hibus, & in iiſdem parallelis, equalia ſunt. 


i 
cidem EH zquales ſunt (1) inter ſe ſunt zquales, ſed & 
g ſum (2), ergo BF & CG ipſas jungentes funt 
(3 ). & BG parallelogrammum eſt, proinde 


jr & quali (5). 
PROP. XXXVII. TH EOR. 


"ps (BAC & Wee, ſuper 346 eadem 


&i iſdem paralle is, equalia ſunt. 


| | Ducantur enim per punctum C, retz CE & CF, | 
(1) Ar fot rectis BA & BD parallelz (1), & parallelogramma 


BAEC, BDFC zqualia erunt (2), triangula vero BAC 
(3)p N & BDC ſunt ipſorum 2 (3) & ergo ſunt quoque 


e quali (4). 
() por — PROP. XXXVIIL THE OR. 


(BAC & HDE) ſuper bafbus ægun- 
„ 2 libus & i 


1 tiſdem parallelis, equalia ſunt. 


| Eacidis Blemenorms Fc 
BAFC, reliquum eſt parallclogrammum ., 


* | Docantar emm BF & CG, & quoniam BC & FG 


& EG zquale eft (4), & ergo funt ipſa BD 


Ducantur enim per puncta C & E rectæ CF & EG, 


| (7) por PP: rectis BA & HD parallelz (1) & parallelogramma BAFC, 


# 


6 per prop. HDGE zqualia erunt (2), triangula vero BAC & HDE 


ſunt ipſorum dimidia (3), & ergo ſunt quoque zqualia 
a) pr pp ri ph (3) n 


1 
i 


PROP. 


+ 


| Liber Primus, 23 


PROP. XXXIX. THE OR. 


1 equalia BAC & BDC) ſuper eddem Fig. 58. 
1 % & ad eaſdem partes, ſunt in iiſdem paral- 


lelis. 


Si enim AD non fit parallela ad BC, ducatur . A recta 
AF ipſi BC parallela ſecans alterutrum latus BD trianguli 
BDC in puncto E diverſo a vertice, & ducatur CE. 
Quoniam AF & BC parallelz ſunt, triangulum BEC | 
triangulo BAC æquale eſt (1), ſed BDC ipſa BAC (1) fer prep. 
æquale eſt (2), ergo æquantur BEC & BDC, pars & to- 25 8 
tum (3), quod abſurdum. Non eſt igitur AF ipfi BC ee 
parallela, & ſimiliter nec alia qnævis præter ipſam AD, (3) per ar. 
ergo eſt AD ipſi BC parallela. | „ 


PRO P. XL. THE OR. 


T equalia (BAC & GDH) fuper Bg 59. 
1 BGafibus æqualibus & ad eaſdem partes, ſunt in Vi N. 
iiſdem parallelis, bb 


si enim AD non fit parallela ad BH, ducatur per A 
rea AF ipſi BH parallela ſecans alterutrum latus GD tri- 
— 0 GDH in. puncto E diverſo a vertice, & ducatur 


Quoniam AF iph BH parallela eſt, & zquantur BC 
& GH, triangulum GEH triangulo BAC zquale eſt (1), (1) P. 
ſed GDH ipſi BAC zquale eſt (2), ergo zquantur GEH j A , 
& GDH, pars & totum (3) quod abſurdum. Non eſt pub. 
igitur AF ipſi BH parallela, & ſimiliter nec alia quævis (3) fer ax. 
præter ipſam AD, ergo eſt AD ipſi BH parallela. . 


ä 


PROP. 


24 Euclidis Blementerum 


PROP. XLI. THEOR. 


Fig. GO. 87 parallelagrammum (BF) @ tr iangulum 
(BAC) baſem habeant eandem, & fint in 
iiſdem parallelis, parallelogrammum trianguli duplum 


ent, 


Ducatur enim CD. Triangulum BDC triangulo BAC 
; . æquale eſt (1), BF vero trianguli BDC duplum eſt (2), 
(s) ber prop. er R BF quoque ipſius BAC —_ lt; - 


2 ſi æquales habeant baſes & ſint in uſdem paral- 


Fig. 61. Cor. Si triangulum BAC & parallelogrammum DF 
- fint in iiſdem parallelis, trianguli vero baſis dupla fit ba- 
ſis parallelogrammi, erit triangulum ipſi parallelogram- 
mo æquale. „%%% Gre < 

| Ducatur enim AD, & quoniam triangula BAD, DAC 
% h. 2qualia ſunt (1), eſt BAC duplum trianguli DAC, pa- 
72) fox prop. rallelogrammum vero DF ipſius DAC duplum eſt (2), 
41. ergo triangulum BAC & parallelogrammum DF æquan- 

) erer. 6. tur (3). e 


PROP. XIII. PRO B. 


Fig. i. TW Alto triangulo ( BAC ) æquale parallelogrammum 
LI conflituere, habens angulum dato ( O æqualem. 


Per A ducatur AF ipſi BC parallela. Ad punctum D 


Schol. Hinc patet parallelogrammum duplum efle 


& cum recta CD conſtituatur angulus CDE dato O 


equalis. Per C ducatur CF ipfi DE parallela. | 
| Quoniam EF parallela eſt ipſi DC (1) & CF ipſi DE 
(i) per conf. (1), DEFC parallelogrammum eſt (2), & angulum 
(3) per df. CDE dato O zqualem habet (1). Eft vero triangulo 
30. BAC æquale quoniam in iiſdem parallelis eſt & baſem 
i. ag 5 habet baſis trianguli dimidiam (3). 1 


PROP. 


Liber Primus. © 25 
PROP. XIII. THE OR. 


I parallelogrammo (AC) complementa (AK & KC) Fig. 6a. 
eorum que circa diagonalem ſunt (FA & GE), 
æqualia ſunt. 8 e 


Nam quoniam angels BAD, BCD zqualia ſunt (1), (1) per prop. 
& triangula BGK, KFD ipſis BEK, KHD quoque 34. 
æquantur (1), erunt, deſumptis his æqualibus BGK x 
KFD, BEK & KH, ab æqualibus BAD & BED, re- 
liqua, ſcilicet parallelogramma AK & KC æqualia. | 
Cor. Parallelogramma OF & EK circa diagonalem Fig. 63. 
quadrati AD, ſunt quadrata. ORD 5 
Nam quoniam triangulum BAC iſoſceles eſt, angulus | 
vero ad A rectus, erit ABC ſemirectus (1), cum ipitur (1) Per cor. 
in triangulo OBG angulus ad O rectus eſt, recto enim P. 32. 
BAC externus eſt (2), angulus vero OBG ſemirectus, (2) per prop. 
erit quoque OG ſemirectus & ergo OG & OB æquan- 29. 
tur (3), patet igitur OF eſſe quadratum. Et ſimiliter (3 Sow prop. 
demonſtrari poteſt EK quadratum eſſe. F 
PROP. XLIV. PR OB. 


D datam rectam (OS) porallelogramimum appli- Eig. EA. 


care, dato triangulo equale, & habens angu - Vide N. 
1 8 8 
lum dato (V) æqualem. 5 | 


Sit primo datum triangulum GHO, cujus unum la- 
tus GO datæ OS. eſt in directum. 
Biſecetur GO & conſtituatur parallelogrammum RC 
æquale dato triangulo & habens angulum BRO dato V_ 135 
æqualem (1); per 8 ducatur SD, alterutri OC vel (1) per prep. 
RB parallela, & ipſi occurrat BC producta in D, du- 42. 
catur DO & ipfi occurrat BR producta in A; per A 
ducatur AL alterutri RS vel BD parallela & prodecan- 
tur CO & DS ad Fœ L. Erit parallelogrammum FS 
datæ OS applicatum, æquale dato triangulo GHO & 
habet angulum OFL dato V zqualem. | | 
Quoniam parallelogrammum eſt ABDL (2), in ipſo (2) per conft. 
vero FS & RC complementa ſunt eorum circa diago- (3) per prop. 
nalem, erit FS ipſi RC æquale (3), ſunt vero RC & 43. 
datum triangulum GHO, — (4), ergo FS 1175 (4) per tog. 
GHO 


F 


oe. 


29. | 
(7) Per conſt. ſunt. 


26 Euchdis Elementorum 


(s) fer ax. GHO æquatur (5). Et quoniam angulus OFL interno 
5 BAF æqualis eſt (6), BAF vero externo BRO zqualis 


(6) per prop. (6), æquantur OFL & BRO, fed æquantur quoque 


BRO & datus V (7), ergo OFL & datus V zquales 
Jam vero detur triangulum KRO, cujus nullum latus 
datæ rectæ OS in directum eſt, & tunc producatur da- 

ta Os, & ſuper parte produta OG conſtituatur trian- 
687 per cor. gulum GHO ipſi KRO æquale (8), & applicetur datz 


15 3 Os parallelogrammum ipſi GH O zquale (9), erit dato 


pre. KRO quoque zquale ut patet. 


PROP. XLV. PROB. 


| Fig. 6s. D feguræ reflilines 7 ABCED) equale paral. 


lelogrammum conſtituere habens angulum dato 


Vide N. 
(Hy equalem, e 


Reſolvatur data figura rectilinea in triangula. 
(1) Per cer. Triangulo BDA æquale conſtituatur IPS (1), & ipfi 


% 7 on IPS zquale conſtituatur parallelogrammum RQ (2), 
44- 


PP: habens angulum RIQ dato H zqualem. Producatur VR 
Xe. ad partem produam conſtituatur triangulum RKO 


. triangulo DBC zquale (1), & ipfi æquale conſtituatur 


omnibus triangulis in quz data figura reſolvitur conſtitu- 
antur parallelogramma æqualia; erit LIQY parallelo- 
eee datz figurz rectilineæ ABC DE æquale & ha- 
ens angulum LIQdato H æ quale. 
Nam quoniam RV & IQ parallelæ ſunt, angulus 


(4)p*r prop. VRI cum angulo QIR duobus reQis zqualis eſt (4), 
29 


5 ſed VRX ipſi QIR æquatur (5), ergo VRI cum VRX 
( Aras, duobus rectis æqualis eſt „ IR & RX ſunt 
per de. in directum (7). Similiter demonſtratur RX & XL 


(7) per prop. eſſe in directum, eſt ergo IL una rea. Et quoniam | 


14. _ QV parallela eſt ad IR, eſt angulus QVR cum IRV 


æqualis duobus reQis (4), eſt vero IR ipfi VF paral- 


lela & proinde IRV angulo FVR zquatur (4), ergo 

A. cem FVR duobus rectis æqualis eſt (6) & pro- 

inde QV & FV ſunt in directum (7). Similiter demon- 
ſtratur VF & F eſſe in directum. Eſt ergo QY una 

{8 ) perconſi. Tecta, ſed & ipſi IL parallela eſt (8). Et quoniam LY 
X RV eidem XF parallelz ſunt, erit LY iv he 
: lela 


parallelogrammum XV ad rectam RV & habens angulum |} 
(3) Per prop. XRV alterutri RIQ vel] H æqualem (3), & fic reliquis 


RV paral-' 


Liber Primus. | 27 


lela (9), ſed ſunt IQ & RV parallelz, & ergo LY ipſi 
IQ parallela eſt (9). LIQY igitur parallelogrammum (9) Per prep. 
eſt (10), habet vero angulum LIQ dato H zqualem & 10) ter def 
ipſum eſt datz rectilineæ, ABCDE æquale (11). 5 
Cor. 1. Hinc patet quomodo ad datam rectam ap- (11) pe- 
plicatur parallelogrammum datæ figuræ rectilineæ æqua- conf. & ax. 
le & habens angulum dato zqualem, ſcilicet applicando % -- 
parallelogrammum primo triangulo æquale ad datam 
rectam. „ 
Cor. 2. Similiter ad datam rectam applicatur paral- 
lelogrammum duobus vel pluribus figuris rectilineis 
æquale. | 
Tor. 3. Datis duabus figuris rectilineis invenire licet 
parallelogrammum differentiæ earum zquale applicando 
ad eandem rectam & in eodem angulo parallelogramma 
utriſque æqualia, horum enim differentia parallelogram- 
mum erit datarum differentiæ æquale. 


PROP. XIVI. PRO B. 
A Datd rectd (AB) quadratum deſcribere. Fig. 66. 


A termino datæ A ducatur AC N (1) (1) fer cb. 
ipſi & æqualis (2). Per C ducatur CD ipfi AB paral- #79 If. 
lela (3) & per B ducatur BD ipſi AC parallela. ACDB C. 
quadratum eſt a data AB wok pond (3) per prop. 
Nam quoniam ACDB parallelogrammum eſt (4), an- 31, 
gulus vero A rectus (4) erunt reliqui C, D & B quo- (4 Per "ft. 
que recti (5). Et quoniam AC ipſi AB æquatur (4), (5) 8 
latera vero CD & DB ipſis AB & AC æqualia ſunt * 
(6) erunt quatuor latera AB, AC, CD & DB inter ſe (6) per prop. 
æqualia, ſed anguli omnes ſunt re&i, & proinde ACDB 34. 
quadratum eſt (7). . (7) Per def. 
Cor. 1. Quadrata ex rectis zqualibus AD & XS 3 . 

E be | 5 „ 
ucantur enim diagonales BD & YS, & quomam 
rectæ BA, AD, reis VX, XS æquales ſunt 10 an 1 the 
vero A & X quoque zquales, triangula BAD, YXS (2) er prep. 
æquantur (2). Ergo quadrata AC & XZ quz ipſo- 4. 
rum dupla ſunt (3), zquantur. fon (3) per prop. 

Cor. 2. Si 4 
eorum latera erunt æqualia. 


uo quadrata AC & XZ æqualia fint, Fie. 67. 
Non 


28 Euclidis Elenmientorum 


Non enim, ſed fit alterutrum ex iis AD majus, & ſu- 


(1) per prop. matur recta AF ipfi XS æqualis (1), & AE ipf XY 
3: æqualis & ducatur EF. Triangulum EAF triangulo 


(2) per prop. Y XS æquale erit (2), ſed YXS ipſi BAD zquatur quo- | 

15 niam dimidia ſunt zqualium quadratorum AC & XZ; 

(3) Fer ax. ergo EAF ipſi BAD æquale eſt (3), pars toti, quod 
T. abiurdum, neutrum 1gitur AD vel XS altero majus eſt, 


ergo æquantur. | 


PROP. XLVIL THEO R. 


Fig. 68. 3 omni triangulo rectangulo ( ABC) quacdlratum : 


ex latere (AC) recto angulo oppofito, equale eff 
quadratis ex reliquis lateribus ( AB& CB). 


Ducatur BE alterutri CF vel AD parallela, & jungan- 


tur BF & Al. 


(1) fer ax, Quoniam anguli ICB & ACF zquales ſunt (1), addito 
ah utrinque BCA, erunt ICA & BCF zquales, atera vero 


(2) per df. IC, CA, lateribus BC, CF æquantur (2), ergo triangula 
630 e ICA & BCF zqualia ſunt (3). Parallelogrammum vero 
4 C duplum eſt trianguli ICA quoniam ſunt in iiſdem pa- 
(4) fer prop. rallelis CI & AZ, & ſuper eadem baſi CI (4). Et pa- 
41. rallelogrammum CE duplum eſt trianguli BCF, quoniam 

| ſunt in uſdem parallelis CF & BE & ſuper eadem baſi 

CF (4). Sunt igitur parallelogramma CZ & CE dupla 


#qualium triangulorum ICA & BCF & proinde ipſa 


( 5) per ax. Equantur (5). Similiter demonſtrari poteſt AX & AE 


æqualia efle. Ergo totum DACF duobus CZ & AX 


æquale eſt. PE pod 

Lok Sch. Aſſumitur AZ ipf CI parallelam eſſe & inde 
(13. Prep. duas AB & BZ in directum eſſe. Hoc vero patet (1) 
* it angulis CBA & CBZ ex utrinque rectæ CB 
rectis. 


Cor. 1. Datis duobus lateribus trianguli rectanguli 


reliquum inveniri poteſt, eſt enim radix quadratica ſum- 
mz vel differentiæ quadratorum ex datis, prout data 
ſint latera circa angulum rectum vel non. 

Fig. bg. Cor. 2. Datis quotcunque quadratis, unum omnibus 
| _.zquale invenire. 


Sint rectæ A, B, & C datorum latera, & conſtituatur 


= angulus rectus FDE, & abſcindantur a cruribus ejus rectæ 
(er pre}. DG & DH datic A & B zquales (1), & ducatur 57 0 
5 = SOLES & ſu- 


reliquum erit zquale quadrato ex DE. 


Liber Primus. 29 


& ſumantur DI & DK ipſi GH & datæ C æquales, 


quadratum ex IK quadratis ex A, B & C zquale eſt. 
Eft enim quadratis ex Di & DK æquale (2), ſed qua- (2) Per pr. 
dratum ex DI quadratis ex DG & DH æquatur (2), ** “7 
ergo quadratum ex IK zquale eſt quadratis ex DK, DH 


G, ſeu ex C, B & Aipſis DK, DH, & DG zqua- 


libus. 
Cor. 3. Datis duabus rectis inæqualibus AB & BC, Fig. 70. 
invenire rectam cujus quadratum æquale eſt exceſſui qua- 
drati majoris ex datis ſupra quadratum minoris. 
Producatur alterutra ex datis AB & fit pars producta 


BD alteri datæ BC æqualis (1), centro B intervallo (1) hr prop 


majoris ex datis deſcribatur ſemicirculus AEF. Per Ds. 
CO DE perpendicularis ipſi AD, . recta quæ- 

ita. | | i | r | 
| Dueatur enim BE. Quadratum ex BE, ſeu ex BA 
ipſi BE zquali, quadratis ex BD & DE #huale eſt (2), (2) fer prop. 
fi ergo a quadrato ex BA auferatur quadffatum ex BD 47 


Cor. 4. Si ab angulo quovis 8 ABC cadat Fig. 51. 
recta perpendicularis lateri oppoſito, erit diffggentia 
quadratorum ex lateribus AB & BC circa angulum iſtum, 
æqualis differentiæ quadratorum ex ſegmentis AD & 

DC, lateris in quod cadit perpendicularis. | 

Nam quadratum ex latere AB . quadratis ex 
AD & DB (1) ; & quadratum ex BC æquatur quadratis (1) fer prop. 
ex BD & DC (1; ergo differentia quadratorum ex AB 47 


& BC zqualis eſt differentiæ inter ſummam quadratorum 


ex AD & DB & ſummam quadratorum ex CD & DB (2), 

ſeu, ablato communi e eee ex DB, æqualis eſt diffe- (2 88 
rentiæ inter quadrata ex AD & DC. : 
Cor. 5. Exceſſus quadratorum ex lateribus AB & Fig. 11. 
BC, ſuper quadrata ex ſegmentis conterminis AD & DC 
reliqui lateris, æquales ſunt. Patet enim utrumque ex- 
ceſſum æqualem eſſe quadrato ex perpendiculari BD 
SD fs. 


PROP. 


30 Euclidis Elementorum 


PROP. XLVII. THEOR. 
Fig. 52. 07 quadratum ex uno latere AC trianguli (ABC) 


equale fit duobus ſimul quadratis ex reliquis lateri- 


bus ( 4B, > BC), angulus ( ABC) ifti-lateri oppoſe 


tus erit rectus. 


(1) per ſeb. Ad AB unum ex lateribus circa * ABC, & ad 
Prop. 11. terminum alterutrum ejus B ducatur perpendicularis BD 


| Ore Prep. (1) alteri lateri BC zqualis (2), & jungatur A). 

Quadratum ex AD æquale eſt quadratis ex AB & BD 
( 3 per prop. ( 3), ſeu ex AB & BC ipfi BD æquali (4), ſed quadrata, 

x AB & BC æquantur quadrato ex AC (5), ergo qua- 
a) per 2 Friel ex AD quadrato ex AC zquale eſt; & proinde 
2 fer by- ipſæ rectæ AD & AC æquales ſunt (6). Sed zquantur 
prop. 46. mune eſt, proinde triangulum ABC triangulo ABD æqui- 
(7) perprop: laterum eſt & ergo angulus ABC angulo ABD zqualis 
G = eſt (7), ſed ABD reQus eft (8), ergo eſt ABC quoque 

er con 


1 


18 
* L. 


EUCLIDIS 


(6) per cor. 2 quoque DR & BC, & latus AB utrique triangulo com- 


LVL 1918 
ELEMENTORUM. 
 LIBER SECUNDUS: 


DEFINITIONES. 


N=. ll rammum rectangulum contineri 


dicitur a — rectis lineis, wu rectum angu- 
lum efficzunt. | 


Il. 


Omnis parallclogrammi unumquodque ipſorum quæ 
circa diametrum ſunt parallelogrammorum (EK vel Tf i 


OF) una cum duobus complementis wy & GD) Gno- Liker ſecun- 
mon vocetur. | Fig. 6. 


RO. 


32 Euclidis Elementorum 


PROPOSITIO I. THEOREMA. 


2 1 (BC) ſea fit in partes quotcungue ( BD, DE, 

ma. = C ) erit reffangulum ſub igſis rectis equale rectan- 
gulis ſub inſectd (A) & partibus ſectæa ( BD, 
DE, & EC). 


Ad B erigatur BH perpendicularis ad BC & in ea 
ſumatur BF ipſi A æqualis, & per F ducatur FL paral- 
lela ad BC, & ducantur DG, EK, & CL parallelæ ad 
=: . 

Patet rectangulum BL æquale eſſe rectangulis BG, 
DK & EE. Eſt vero rectangulum BL rectangulum ſub 
A & BC, BF enim ipfi A equalis eſt, rectangula vero 
BG, DK & EL ſunt re&angula ſub A & BD, ſub A & 
(i) per con. DE & ſub A & EC, ſingulæ enim BF, DG & EK ipfi A 


3 34. æquales ſunt (1). 
PRO P. U. THE OR. 


Vide V. 87 recta ( AB ) ſecetur utcungue (in C ) erit qua- 
Fig. 2. dratum ex totd æquale refangulis ſub totd 
(AB ) & partibus (AC, CB). 


(r)per prop. Deſeribatur enim ex AB quadratum ADFB (1) K 
46.1. 1. per C ducatur CE ipfi AD parallela. 
ee AF zquale eſt rectangulis AE & CF. 
Eſt vero retangulum AE rectangulum ſub AB & AC 
(2) per confl, quoniam AD ip AB æqualis eſt (2). Et rectangulum 
Gp eſt rectangulum ſub AB & CB quomam CE iph AB 
97. P zqualis eſt (3). 


Aliter. 


Fig. 3.  Sumatur recta, X, æqualis ipſi AB. Rectangulum ſub 
7 OT * X & AB ſeu quadratum ex AB (1) æquatur ſummz 


N. 


Liber Secundus. 33 
PROP. II. THEO R. 


_ CM rea (AB) ſecetur uicunque (in CJ, erit rect- pig. 4. 
angulum ſub totd ( AB) & und parte AC 

ce equale rectangulo ſub partibus (AC & CB) cum 

quadrato dictæ partis ( AC ). 


Deſeribatur enim ex AC quadratum ADFC, & per 

B ducatur BE parallela ad AD, cui occurat DF pro- 
ducta in E. Rectangulum AE zquatur quadrato ADFC 

& rectangulo CE. Fr. 3 
Eſt vero rectangulum AE rectangulum ſub AC & AB, (1) fer con. 
AD enim ipſi AC æqualis eſt (1) ; & · quadratum ADFC, % 3 
quadratum eſt ex AC (2); & rectangulum CE rectangu- / * 
lum eſt ſub AC & CB, CF enim ipſi AC æqualis eſt corp. 
33 5 ([.) Per conf, 


do def. 31. 

Aliter. N 
Sumatur X ipſi AC æqualis. Rectangulum ſub X & Fig. 8. 
AB æquatur ſummæ rectangulorum ſub X & AC & ſub b 
X& CB (1). Eft vero rectangulum ſub X & AB, rec- (1) per prope 

tangulum ſub AC & AB, & rectangulum ſub X & AC! © 

quadratum eſt ex AC, & rectangulum ſub X & CB eſt 
rectangulum ſub AC & CB. 


PROP. IV. THEOR. 
81 rela (AB) ſecetur utcungue (in O), erit qua- Fr. 6. 
0 dratum ex tot4 æquale quadratis ex partibus & 
duplo rectangulo ſub partibus. | 


Deſeribatur ex AB quadiatum ACDB, & dueatur CB, 


3 per O ducatur OK parallela ad AC & ſecans CB in 


G. & per G ducatur EF parallela ad AB. 3 5 
Quadratum ACDB, quadratis EK & OF cum rect- ) . 

angulis AG & GD, zquale eſt. vs . Wor. b. 43. 
Eſt vero OF quadratum ex OB (1); & quoniam EG . 1. 

iph AO æqualis eſt (2), EK quadratum eſt ex AO ; (2) fer conf. 

t quoniam OG & OB æquantur (3), eſt AG rectan- FP: 34. 
gulum ſub partibus AO & OB, eſt vero GD ipſi AG (z) ger %. 
WS æquale 3x, lib. I. 


34 | Euclidis Elementorum 


(4) per prop « xquale (4), ergo AG & GD ſimul zquantur duplo 
43. „1. rectangulo ſub partibus, 


Al * g 


Fig. Quadratum ex AB zquatur ſummæ rectangulorum 
(3) per pop ſub AB & AO & ſub AB & BO (1). ReQtangulum 

| 1. 2. vero ſub AB & AO zquatur ſummæ reQanguli ſub AO 
| 10 fer prop. & OB & quadrati ex AO (2), & — ſub AB 
. 2. & BO æquatur ſummæ rectanguli ſub AO & OB & 
quadrati ex OB. Ergo ſumma rectangulorum ſub AB 

& AO & ſub AB & BO (feu quadratum ex AB) æqua- 


tur ſummæ r © ex AO & OB, & dupli 2 


Sul ſub AO & OB. 


Cor. Hinc patet quadratum ex dimidia rectæ cuj juſ 


vis partem eſſe quartam quadrati ex tota, recta enim bi- 
G rectangulum ſub partibus æquatur quadrato | ex 
dimidia. 


PR 9 P., V. T H E 0 R. 
Fig. 8. 8¹ recta Aengen 8 AB ) \ſecetur i in partes equal (in 


C), & in partes inæquales (in Di, erit rectangu- 


lum ſub partibus inequalibus (AD & DB) una cum 


quadrato ex parte intermedid (CD ) equale quadrato 


guod fit ex dimidid (CB). 


Deſcribatur ex CB quadratum CKMB, & ducatur 
KB, & per D ducatur DL parallela ad CK & ho KB 
* currat ducta per A parallela ad CR. 
( * by- Quoniam AC & CB zquales ſunt (1), rectangula AF 


& CH zquantur (2), rectangula vero CG & GM zqua- 


97 per 4 . lia tunt (3), ergo rectangulum AG Gnomoni CHL ee 
( 3) per 3 eſt (4), addatur utrinque quadratum FL, & erit re 

„1. gulum AG cum quadrato FL æquale quadrato CKMB. 
(4) per ax. Eft vero AG rectangulum ſub AD & DB, DG enim 


ipſi DB æqualis eſt (5), & FL quadratum eſt ex CD 


(5) per 443 quoniam FG iph CD zqualis > (6), et CKMB qua- 


p. 4 
lib. 187 atum eſt ex CB. 
.. 


(6) per prop. 
26, 4, . 


Aliter. 


JT Tr ] .. ² ery A =— 


in G, & per G ducatur HGE parallela ad AB, cui oc- 


| lorum ſub AC & DB, & ſub CD 


diſtantia ſcilicet puncti Fa medio puncto lateris BC. 


Liber Secundus. 38 


Air. 
> 1 5 


Rectangulum ſub AD & DB 77 ſummæ rectangu- 5. 9. 
DB (1), rectangulum (1) per prop. 
vero ſub AC & DB" zquatue reftingulo fab CB & DB, 1. L 2 
(propter AC &jCB æquales), ſeu rectangulo ſub CD & 


Pz cum quadrato ex DB (2), ergo rectangulum ſub AD (2) Per Prob. 


& DB æquatur duplo rectangulo ſub CD & DB una cum 3. #. 2. 
quadrato ex DB, addatur utrinque quadratum ex CD et | 
erit rectangulum ſub AD & DB una cum quadrato ex CD (3) per prop 
æquale duplo rectangulo ſub CD & DB una cum quadratis 5 "ky 
ex CD & DB, hoc eſt quadrato ex CB (3). | 

Cor. 1. Hinc patet quod ſi linea biſecetur, rectangu- 


lum ſub partibus eſſet majus quam fi ſecetur inzqualiter, 


et ergo ſummam quadratorum ex partibus eſſe mino- (J) ,,, prop. 
rem (4): | | + 4. 4. 


| A. 
Cor. 2. Si duz rectæ zquales ita dividantur ut rec- 


tangulum ſub ſegmentis unius fit æquale rectangulo ſub 


ſegmentis alterius, erunt ipſa ſegmenta zqualia. e 
Si rectæ biſecentur, res patet. Si vero non biſecentur, Fg. 10. 
ſint AB & CD & ſecentur in E & F. 5 
Biſecentur in G & H, & quoniam ipſæ rectæ æquantur ( 
(1) erunt ipſarum ſemiſſes æquales, & ergo (2) ſemiſſium got. 4 
quadrata, ſed æquantur quoque rectangula ſub AE & (2) percor. 1. 
EB, & ſub CF & FD (3), deſumptis igitur his ab zquali- #- 40. /. 1. 
bus quadratis erunt reſidua, ſcilicet quadrata ex GE & ex (3) per * 
HF (4) æqualia, & ergo ipſæ rectæ GE & HF zquantur? 


(5), ergo ſummæ & differentiz ipſarum & ſemiſſium, ſei- (4) for Joy. 


8. 
licet ſegmenta AE & CF, EB & FD, zquantur. 75, fer 


Cor. 3. ReQangulum ſub ſumma & differentia dua- #97 2, F. 


rum rectarum æquatur differentiz quadratorum. 46. J. 1. 


Nam dictum rectangulum una cum quadrato minoris æqua- Hg. 9. 
tur quadrato majoris, ut patet ex propoſitione præcedente, 
eſt enim AC major recta, CD minor, & DB differentia. 
Cor. 4. Differentia quadratorum ex duobus lateribus Fig. 11. 


BA & AC trianguli cujuſvis BAC, æquatur duplo rec- 


tangulo ſub reliquo latere BC & diſtantia perpendiculi 
AF in ipſum ab angulo oppoſito, a medio ejus puncto. 
Nam differentia quadratorum ex lateribus BA & AC 

æquatur differentiæ quadratorum ex ſegmentis BF & FC 

lateris in quod cadit perpendiculum (1), & ergo, cum (1) Ser cor, 
perpendiculum cadit intra triangulum, rectangulo ſub BC 4. 2 47 
ſumma horum ſegmentorum & differentia inter BF & FC I I. 
(2), ſeu duplo rectangulo ſub BC & dimidia differentia, 


(2) per cor. 


3. . 5. 


F 2 Si J. 2. 


a 


36 Euclidis Elementorum 


Si vero perpendiculum cadit extra triangulum, erit dif-- 
ferentia quadratorum ex ſegmewtis BF & FC, æqualis rec- 


tangulo ſub BC eorum differentia, & ſumma eorum, BF 


& FC ſimul, ſeu duplo rectangulo ſub BC & ſemiſſe ipſo- 
rum BF & FC, diſtantia ſcilicet punQi F a medio puncto 


lateris BC. 
Fig. 13. Cor. 1 Si a vertice trianguli iſoſcelis ABC ducatur 
reſcta BE ad baſem, erit quadratum ejus cum rectangulo 
wr 5 Hi baſis zquale quadrato lateris alterutrius AB 
vel BC. 


(1 Jen (1), erit igitur rectangulum AEC æquale quadrato ex 
1. P. | 


4. æquale quadrato ex AB (2), & ergo rectangulum AEC 
an. 1. x1. cum quadrato ex EB quadrato ex AB zquatur. 

15 Sit jam BE non perpendicularis baſi & ducatur perpen- 
(3) Per cor. dicularis BD, biſecatur igitur AC in D (3) & ſecatur in- 
1. P. 26. æqualiter in E, & eſt proinde rectangulum CEA cum qua- 
1 1. drato ex DE zquale quadrato ex DA (4), addatur utrin- 
| We PrP: que quadratum ex BD, & erit rectangulum CEA cum 

(5) per prop. Juadratis ex DE & BD, ſeu cum quadrato ex BE (5), 
47. I. 1. æquale quadratis ex BD & DA ſeu quadrato ex BA (5). 


PROP. VI THEOR. 
* iz - 87 redta quevis (AB) biſecetur (in C) eique al- 


tera refla (BF) adjiciatur in directum, erit 


rectangulum ſub tot4 compaſit ( AF) & aqdjectã 


(BF) una cum quadrato ex dimidia (CB) equale 


guadraio ex (CF) compoſitd ex dimidid & adjeftd. 


Dteeſcribatur enim ex CF quadratum CEGF & duca- 
tur EF, & per B ducatur BP parallela ad FG ſecans 
EF in K, & per K ducatur LO parallela ad CF occur- 
rens AO ductæ per % arallelz ad CD. 5 
1 Quoniam AC & CB zquantur (1), erit / e 
* 5 ; ſunt vero CK & KG zqualia (3), AD 
(2) ver prep. ipfi KG æquale eſt, addatur utrinque CL, & erit AL 
63 ter a nomoni CLP zquale, utrinque addatur DP & erunt 
43. 1.1, AL & DP fimul quadrato ex CF æqualia. 
(4A) er cor. Eft vero AL rectangulum ſub totà compoſità & ad- 


P. 43. Lb jectä, FL enim ipſi BF zqualis eſt (4), et DP quadra- 


& def. 
iy 50s tum 


Sit primo BE baſi . wage & ipſam biſecabit | - 


AE, eſt vero quadratum ex AE cum quadrato ex EB 


"a ot. 


Liber Secundus. 37 


tum eſt dimidiz CB, eſt enim quadratum ex DK (4), & (4) per aer. 
DK ipſi CB æqualis eſt (5). | P. 43.1.1. 
| | | - ) Ber prop. 


Alter. 


Adjiciatur ad alterum terminum datæ recta LA ipf Fig. 14. 
BF æqualis, & erit LF biſecta in C & ſecta inzqualiter 
in B, & ergo rectangulum LBF una cum quadrato ex 
Cz zquale erit quadrato ex CF (1), eſt vero rectangu- (1) per prop. 
lum of rang zquale rectangulo AFB propter LA & BF 5. J. 2. 
' Zquales. . ; e 


PROP. VII. THE OR. 


87 rea (AB) ſecetur utcunque, erunt quadrata Fig. 1s. 

D totius (AB) & unius e ſegmentis (CB) ſimul 
ſumpta, æqualia duplo rectangulo ſub tot4 & dicto 
ſegmento, una cum quadrato ſegmenti alterius. = 


 Deſcribatur quadratum ex AB, & ducta FB, ducatur 
per C, CG parallela ad AF, & per P, interſectionem ; 
ejus cum FB, ducatur DE parallela ad AB. Ry 
Quadratum AK æquatur rectangulis AE & PK una 
cum quadrato DG, addatur utrinque quadratum CE, & 
uadrata AK & CE ſimul zquantur reQangulis AE & 
K una cum quadrato DG. Ws 
Eft vero AE æquale rectangulo ſub AB & CB, quo- 
niam CB & BE æquantur (1), & CK quoque æquale „) Per cr. 
rectangulo ſub AB & CB quoniam KB ipſi AB æquatur 7 : 7 3 : 
(2), & DG quadratum eſt ex AC quoniam DP & 47 l 1.7 


AC zquantur (3). (3) per prop 
. I 0 
Aliter. 


Quadratum ex AB æquatur duplo rectangulo ACB Fig. 16. 
una cum quadratis ex AC & CB, addatur utrinque qua- 
dratum ex CB, & quadratum ex AB una cum quadrato 
ex CB æquatur duplo rectangulo -ACB una cum qua- 
drato ex AC & duplo quadrato ex CB. Sed duplum rec- 

tangulum AC B una cum duplo quadrato ex CB æqua- 

tur duplo rectangulo ABC. Ergo quadratum ex AB una 

cum quadrato ex CB æquatur duplo rectangulo ABC 
una cum quadrato ex AC. N 8 
or. 


Euclidis Elementorum 


Cor. Hinc patet exceſſum ſummæ uadratorum ex 


rectis duabus AB & CB ſupra duplum angulum ABC 
AC. 


'PROP. VII. THEOR. 


Fig. 17. NI recta (AC) ſecetur utcunque (in B), erit recs 
tangulum ſub tota (AC) & parte alterutrd 


(BC) quater ſumptum, una cum quadrato ex (AB) 


parte reliqua, equale quadrato quod ex totd & dia 
parte, tanguam ex und rectd deſcribitur. 


{1 bur Producatur AC ut c ſit zqualis BC Wh & ex rec- . 
7. 3- ta AD deſcribatur quadratum ARZD (z), & per B & 


40 C ducantur BS & CV ipſi AR parallelæ, & ducta RD, 
TL. ducantur per G & K, EH & LP iph AD parallelz. 


7 


72 


0251 1 of $6 _ VH & AG (6) ergo & SG ipſi AG zquale eſt; 


(6) per orep. uoniam FG ipſi BC zquatur (4) zauales ſunt FG 


43. J. r. D & ergo den FO rr uadrato CH zquatur. 
eget prop: Sed & EX 8 KV zquantur (7), his æqualibus ergo ad- 


ditis æqualibus CH & FO, erunt EK & CH ſimul zqua- 


la 88 & ergo ipſi AG ; ergo AG, SG & VH una 
cum EK & Gn, i ipſius AG quadrupla ſunt. Sed AG, 
' SG & VH una cum EK & CH & quadrato LS zquan- 
tur quadrato AZ, ergo AG quater ſumptum una cum 
LS zquatur ipfi AZ. 
Sed AG reQangulum eſt ſub AC & BC, quoniam 
78 ) per cor. CG ipſi CD (8) & ergo ipſi BC (9) æqualis eſt; & LS 


P. 43. quadratum eſt ex AB quoniam AB & RS =quales ſunt 
pies Toy 


* Aliter. 


Producatur AC ut CD fit æqualis BC; quadratum ex 

Fig 18. AD æquatur quadratis ex AC & CD una cum duplo 
rectangulo ACD, hoc eſt, quoniam BC & CD æquan- 

{1 ) perconft. tur 5p quadratis AC & BC una cum duplo rectangu- 
lo ACB ; quadrata vero ex AC & BC zquantur duplo 

(2) per My. rectangulo ACB una cum quadrato ex AB (2) ergo 
quadratum 


ſub ipfis, æqualem eſſe quadrato differentiæ inter ipſas 


” i. Bs +. 8 dk 


(3) ſi Quomam BC & CD zquantur (3) & SV iph BC 
(4) per prop. æqualis eſt (4) & VZ ipſi CD, æquantur quoque SV & 
J. 1. VZ & 83 SG & VH zqualia ſunt 0 3 æquantur 


) 
J 
l 


87 recta (AB) ſea 
9 


Liber Secundus. 


quadratum ex AD æquatur rectangulo ACB quater 
ſumpto una cum quadrato ex AB. 5 
PROP. IX. THE OR. 
ö Z | | 
ſit in partes aquales (in C) Fig. 19. 
in partes inaquales (in D/, erunt qua. 


| drata ex partibus inequalitus (AD & DB). 


dupla quadrati ex dimidid (AC) & quadrati ex 


parte intermedi4 (CD) fimul. 


A puncto C ducatur CE ipfi AB perpendicularis & 
alterutri AC ve] CB zqualis (1), & ductis AE & EB, (1) per prep. . 
per D ducatur DF iph CE parallela & per F ducatur 11. &3.7. 1. 


FC ipſi CD parallela, & ducatur FA. 


Quoniam angulus ACE rectus eſt & latera AC, CE 


 #qualia (2), eſt CEA ſemireQus (3), ſimiliter demon- (2/þ . 
ſtratur CEB eſſe ſemirectum, eſt ergo AEB rectus; & (3 2 cor. 
32. J. 1 


cum propter parallelas GF & CD, EGF ipſi ECB 3. 
æquatur (4), et EG F quoque rectus, GEF vero ſemirectus (4) Per prep. 


eſt, ergo GFE quoque eſt ſemirectus & GE, GF æquan- 29. J. 1. 


tur (5), ſimiliter 'FDB rectus eſt, quoniam angulo ECB 5); 
æquatur propter parallelas FD & CE, eſt vero DBF 6. 77 . 
ſemirectus & ergo DFB ſemirectus & latera DF & DB | 
æquantur (5), {rd ergo AC & CE zquales ſunt, 

angulus vero ACE rectus, eſt quadratum ex AE du- 

plum quadrati ex AC; & quoniam EG & GF zquales 

ſunt & angulus EGF rectus, quadratum ex EF du- 
plum eſt quadrati ex GF, ſed æquantur GF & CD (6), (6) per 
ergo quadratum ex EF duplum eſt quadrati, ex CD, prop. 34. J. 
ergo quadrata ex AE & EF ſunt dupla quadratorum !- 

ex AC & CD; ſed propter angulum AEF rectum, 
quadratum ex AF quadratis ex AE & EF zquatur (7), 


ergo quadratum ex AF duplum eſt quadratorum ex AC (7) fer prop. 
& CP, eſt vero quadratum ex AF quadratis ex AD 


& DF wynnle proper angulum ADF rectum (7), ergo 
quadrata ex & DF dupla ſunt quadratorum ex AC 


& Cb, æquantur vero DF & DB & proinde qua- | 


drata ex AD & DB dupla ſunt quadratorum ex AC & 
„„ 


Aliter 


40 Euclidis Elementorum 


Aliter. 


Fig. 20. Quadratum ex AD zquale eſt quadratis ex A & er 
( ) per r prop CD cum duplo rectangulo ACD 9 ſeu propter AC &x 


CB æquales, duplo Leanne BC Ae utrinque 
quadratum ex DB, & quadrata ex AD & DB zquantur 

ry ex AC, eb. DB cum duplo rectangulo BCD, 

ed duplum rectang ulum BCD cum quadrato ex DB 

(z) perprop æquatur quadratis * CB & CD (2), ſeu propter AC & 
CB æquaſes, ex AC & CD, & ergo ſunt quadrata ex AD 


& DB zqualia duplo quadrato ex AC cum duplo quadrato | 


ex CD. 
PRO. X. THE OR. 


directum adjiciatur recta quevis ( BD ), erit qua- 
dra tum ex lotd compaſitd ( AD cum quadrato adjectæ 
(BD) equale duplo quadrato £4 e 1 D) quæ compo- 
Ita eft ex dimidid & adectd, cum duplo quadrato ex 
dimidid (AC). 


A punto C ducatur CE. iph AB perpendicularis atque 
(r)per prep. alterutri CA vel CB æqualis 615 , & ducta AE, per E - 


in. T3. catur EE ipſi ge ela i & per D ducatur DF i 577 


J. 1 
a CE parallela, & quoniam propter parallelas CE & 
30 T anguli CRF & DFE 2 rently æquales ſunt (3) erunt 


5 anguli BEF & DFE duobus rectis minores, ergo concur- 


4. . rectæ ſi us earum G & duca- 
, e eee 
| voniam CA & zquales ſunt (5), eſt vero angulus 
Det cor. ad C reQus (s ), eſt angulus CEA ſemirecuus (6), . — 
3 eſt CEB tenen, ergo angulus AEB rectus eſt; & quo- 
7 1. niam DG & EC parallelz ſunt (7) zquantur anguli alterni 
1 GDB, ECB, eſt ergo GDB rectus; ſed zquantur anguli 
(8 per, prep, DBG, EBC (8), eſt vero EBC ſemireQus ergo DBG ſe- 
15. J. 1. mirectus eſt, & proinde DGB ſemireQus, æquantur er 
a G0. fer prop. latera DB, DG (9); & quoniam EGF ſemirectus e 
angulus vero F rectus, eſt enim oppoſito C zqualis (10), 
(10)per bp FEG emirectus, et ergo latera EF & FG n 


— tur. 


Quoniam 


87 * quedam (4B) biſecelur (in C eique | in 


Liber Secundus. 8 : 
Quoniam ergo AC & CE zquales ſunt, angulus vero 
ACE rectus, eſt quadratum ex AE quadrati ex AC 'du- 
plum, & quoniam GF & FE æquales ſunt, angulus vero 
ad F rectus, erit quadratum ex GE quadrati ex EF du- 
plum, æquantur vero EF & CD (11), ergo quadratum ex (11) er 
GE quadrati ex CD duplum eſt, ſed & quadratum ex fr. 34. J. 
AE quadrati ex AC duplum eſt, ergo quadrata ex AE * 
& EG dupla ſunt quadratorum ex AC & CD, ſed qua- 
dratum ex AG quadratis ex AE & EG æquatur, & ergo 
duplum eſt quadratorum ex AC & CD; & quadrata ex 
AD & DG quadrato ex AG æquantur & ergo dupla ſunt 
quadratorum ex AC & CD, ſunt vero BD & DG zquales 
& ergo quadrata ex AD & DB dupla ſunt quadratorum 
ex AC & CD. 8 c e 


Aliter. 


Datz AB adjiciatur FA ipſi BD æqualis; biſecta eſt Fg. 22. 

ergo recta FD in C & ſea inzqualiter in B, & ergo 95 
quadrata ex FB & BD dupla ſunt quadratorum ex FC & | 
CB (1), ſed zquantur FB & AD, & quoque FC & CD (1) per prop. 
quoniam FA ipſi BD zqualis eſt, quadrata ergo ex AD & 9. J. 2. 
Pz dupla ſunt quadratorum ex CD & CB ſeu AC. j 


5 


f 


4 
PROP. XI. PRO B. 


. | er rectam finitam AB ua ſecare ut rectan- 

l b tatd & und parte contentum, æqua- f. 3 
gulum ſub to pa „ 4g 

le fit quadrato ex altera parte. 


Ex A ducatur AC datz AB perpendicularis, & fit 
AC ipf AB æqualis, & biſecetur in E, & ducta EB pro- 
ducatur CA donec EF ipſi EB æqualis ſit, & in data AB 
ſumatur AH ipfi AF æqualis, erit r ejus æqua- 
le rectangulo ſub reliquo ſegmento HB & tota AB. 

Perficiatur enim quadratum ex AB, ducaturque 
H reQa GK ipſi AC parallela, & per F recta FG ipſi 
AB parallela. | 85 

Quoniam CA biſecatur in E eique adjicitur AF, erit 
rectangulum ſub CF & FA cum quadrato ex EA, æqua- 
le quadrato ex EF (1), ſeu quadrato ex EB ipſi BE (3) pero. 
quali (2), & proinde quadratis ex EA & AB (3), com- 6.72 

mune auferatur quadratum ex EA & erit rectangulum (3) ** conf, 
| G ſab 0 7 7 


x 


A2 Euclidis Elementorum 


ſub CF & FA zquale quadrato ex AB, ſed quoniam 


AF & FG æquales ſunt, CG eſt rectangulum ſub CF & 
FA, æquantur ergo CG & AD, & fi commune CH au- 
feratur erunt AG & HD zqualia, eſt vero AG quadra- 

(4) per conf tum ex AH, AF enim & AH æquantur (4) & angulus 
A rectus eſt, & HD reQangulum eſt ſub AB & HB, 
-BD enim ipſi AB — eſt. 


PROP. XI. THE OR. 


Fig. 24. I N triangulis . gulis (ut BAC ), quadratum ex 
latere ( AB ) obtuſum angulum ſubtendente, ma- 

jus eft quam quadrata ex lateribus (BC & CA) 
 obtuſum angulum continentibus, duplo rectangulo quod 
continetur ſub alterutro ex his lateribus (BC) & 


| parte ejus externd (CD) inter perpendiculum de- 


miſſum ab angulo oppoſito, & angulum obtuſum. 


(10072 P. DB (1), fed quadratum ex DB zquatur quadratis ex ve 


(z) per prep, & CB cum duplo rectangulo ſub DC & CB (2), & er 
4.1.2. quadratum ex AB zquale eſt quadratis ex AD, DC, & B 
cum duplo W ſub DC & CB, quadratum vero ex 
er AC æquatur quadratis ex AD & DC (3), & proinde qua- 
dratum ex AB æquale eſt quadratis ex AC & CB cum du- 


plo rectangulo ſub DC & CB; quadratum ergo ex AB 


majus eſt quam quadrata ex AC & CB, duplo rectangulo 
ſub DC & CB. 


PROP. XIII. RE OR. 


Fig. 25. 15 omni triangul (ABC) 1 on e 
(AB) acutum angulum ſubtendente minus eff 
quam wad Ne ex lateribus ( AC & CB) circa illum 
angulum, duplo reftangulo ſub alterutro ex iis ( AC) 
& intercepto ejus inter perpendiculum ( BF ) demiſ- 
5” ab angulo bite, & . acutum. 


3 ſub 'AC & CF cum quadrate ex AF (1), 


mo 107 


Quadratum ex BA zquale eſt quadratis ex AD & 


Liber Secundus. 

rectangulo ſub AC & CF cum quadratis ex BF & AF 
ſeu cum quadrato ex AB ipſis æquali (2), ſed quadrata 
ex BF & CF zqualia ſunt quadrato ex BC (2), & ergo 
quadrata ex BC & AC æquantur duplo reQangulo ſub 
AC & CF cum quadrato ex AB. Minus eſt ergo qua- 
dratum ex AB quadratis ex AC & CB, duplo rectangu- 
lo ſub AC & CF. 3 


43 


(2) per prop. 


47.4. 1. | 


Schol. 1. Si angulus CAB fit rectus, coincidunt punc- 4 


ta F & A, & rectangulum ſub AC & CF erit quadra- 
tum ex AC, patet vero quadratum ex AB in tali caſu 


quadratis ex AC & CB fimul minus eſſe duplo quadrato 


ex AC (1). | | 8 + 
Schol. 2. Hinc datis cujuſvis trianguli lateribus (in 


biſecante. . : | | 
Si recta biſecans latus ſit ipſi perpendicularis patet 
propoſitio ex P. 47. l. 1. 


(1) Per prop. 


47. J. 1. 


Si vero non, ab angulo A ducatur ad latus oppoſitum 


perpendicularis AF, & cum ex angulis ACB & ACP al- 
ter obtuſus eſt, fit obtuſus AC B, & proinde quadratum 
ex AB æquale erit quadratis ex AC & ex CB cum du- 


plo rectangulo ſub BC & CF (1), angulus vero ACP acu- (1) per prop, 
tus eſt et = uadratum ex AP cum duplo rectangulo 12. /. 2. 


ſub PC & CF, ſeu propter æquales PC & BC (z) cum 
duplo rectangulo ſub BC & CF (3), zquale eſt quadratis 
ex AC & ex CP, ergo quadrataex AB & AP cum duplo 
rectangulo ſub BC & oF æquantur duplo quadrato ex 
AC cum quadratis ex BC & CP & cum duplo rectangulo 


rel.” 3 


ſub BC & CF, auferatur utrinque duplum rectangulum ſub / 3). per. P. 


BC & CF, & erunt quadrata ex AB & AP æqualia duplo 
quadrato ex AC cum quadratis ex BC & CP ſeu cum du- 
plo quadrato ex BC, quoniam BC & CP zquantur. 


G 2 Rr. 


13. J. 2. 


44 1 Euclidis Elementorum 


PROP. XIV, PRO B. 


Fig. 25. Ato reftilineo ( Z ) _ quadratum conſt. 
tuere. 

"ow reRtlineo kw æquale parallelogrammum 

( fer prep-reQtan re T e CI (1), & fi hujus latera adjacentia æqualia 

. um erit quod proponebatur. 

x 8 5 non, producatur latus alterutrum IA, & ſit pars 

burg 1 roduQta AL lateri adjacenti AC æqualis (2), biſecetur 

L in O & centro O intervallo vero OL deſcribatur ſe- 

= micirculus LBI, & producatur CA ut peripheriz occur- 

rat in B. N ex AB e 8 erit da- 

to rectilineo 


rn 


— a To erit rectangulum ſub IA & AL 


n to £x OA æquale quadrato ex OL (3), ſeu 


| 4 05 ipſi OL quali,” & proinde quadratis ex OA & 
47. J. 1. , ecken urring ue quadratum ex OA, & erit rec- 
(5) Per conft. 3 * ſub TA & AL æquale quadrato ex AB, eft 
vero 8 Al. K 8 ( IA & AL ipfi IC quale, æquantur 
650 quadratum ergo ex AB rectan- 

gulo — & * refllines Z zquale eſt. 


4 X 


EUCLIDIS 


LA 
3 
. 
: F, 

® — I Fo * f 
'y « 
1 : 
* * 4 0 on 


"I" 


FY CL 1D 16 
ELEMEN TORUM. 
LIBER TERTIUS. 


DEFINITIONES. 


; uales circuli ſunt, quorum diametri ſunt | 
2. Recta linea circulum contingere dicitur, quæ tangens g, mm 
_circulum & producta, ipſum man why . i. : | 7270 a 
3. Circuli ſeſe contingere dicuntur, qui tangentes ſe Dx 
mutuo, ſeipſos non ſecant. FE - 
4. In circulo æqualiter diſtare a eentro rectæ lineæ di- 
cuntur, quando a centro ad ipſas ductæ perpendiculares 
æquales ſunt. | = 
5. Magis autem diſtare a centro dicitur ea in quam ma- 
jor perpendicularis cadit. . 
6. Segmentum circuli eſt figura que rectà linea& parte Fi. 2. 
circumferentiz continetur. 
7. Angulus in ſegmento, eſt angulus ſub refs a quovis Fig. 3. 
puncto in parte circumferentiz qua continetur ſegmen- 
tum ductis ad ipſius extrema. | 
8. Angulus infiſtere dicitur parti circumferentiz (ſeu 
arcui) quam crura ejus includunt. 
9. Sector circuli eſt figura quz a duobus radus & parte x;g. 4. 
circumferentiz inter ipſos continetur. et 
10. Similia ſegmenta circulorum ſunt quz angulos ca- Yide N. 
piunt æquales. n 


PROP. 


46 Euclidis Elementorum 


PROPOSITIO I. PROBLEMA. 
*. 35 D* circuli ( ACB ) centrum invenire. 


Ducatur utcunque recta AB, Bites in D (1), 
N per D ducatur DC ipfi AB perpendicularis (2), quz 
ew prop. Producatur ad E, biſecetur CE in F (1), & erit F 
11. J. 1, Centrum. 
Non enim, ſed, fi fieri poteſt, ſit G centrum, & du- 
cantur GA, GD & GB. 
goniam igitur in triangulis GDA, GDB, latus GA 


(3) Ser by- * laten GB zquale eſt (3), & DA 1 8 DB (4), GD 


goth. TY "we commune eſt, ill GDA & GDB zquantur (5), 


15. J. 1 & ergo ſunt recti (6). Angulus vero CDB rectus eſt 0 
(4) per cf = * (7), GDB igitur ipſi CDB æqualis eſt (8), pars toti, 
g. Pere 7 quod abſurdum. Non eſt igitur G centrum cireuli ACB, 


(6) per def. & ſimiliter oſtendi poteſt nullum aliud punctum præter 


t. J. 1. ipſum F eſſe centrum. Ergo F centrum eſt circuli | 


(7) (8) pers 2 ACB. 

PROP, u. THEO R. 
Eg. 6. CI in 3 circumferentid duo quævis puncta 
Fide N. (4 & B) ſumantur, recta linea que ipſa con- 


jungit cadet intra circulum. 


Non enim, ed, ſi fieri poteſt, fit AEB recta, cujus 


ctum E cadit extra circulum, & ſit D centrum cir- 
= & ducantur DA, DE & DB. 

Quoniam igitur in triangulo ADB, latera DA & DB 
(i) per d,. Zquantur (1), angulus. DBA angulo DAB æqualis eſt 
15.1 1, (2); angulus vero externus DEA, angulo interno DBA 
| (9) for Prep. major eſt (3), & ergo angulo DAB major eſt, & proinde 
( Y latus DA latere DE majus eſt (4), recta DF vero ipſi 
F per 75 7. DA zquatur (5), & proinde latere DE major eſt, pars 
9 po Pro: toto, quod ab 


( 5 57 af. quodvis in circumferentia ipſa eſt, non eſſe rectam. 


* Rectæ igitur lineæ omne punctum intra circulum 
cadit. 


PR: O-P. 


urdum. Linea igitur AEB non recta eſt, . 
& ſimiliter demonſtrari poteſt lineam cujus punctum 


Pon. 


Liber Tertius. 47 
PROP. m. THEOR. 


87 in circulo recta ( BL ) per centrum ducta, aliam Fig. . 
1D (CF) non per centrum ductam ſecet bifariam, 
fecabit quoque perpendiculariter. 5 

Et ſi ſecet perpendiculariter, ſecabit bifariam. 


Pars. J. Ductis enim AC & AF, erit in trianguli i per dy. 
AOC, AOF latus AC ipſi AF (1) & quoque OC iph OF 15. L. 1. 
(2) æquale, AO vero commune, angulus igitur AOC (2) fer &y- 
angulo AOF æqualis eſt (3), & ergo uterque eſt rec- (), 2 
tus (4), BO igitur ipſi CF perpendicularis eſt (4). (3 Per Prop. 
R (4) per A. 
Pars. IT. Quoniam in triangulo CAF latus AC 11. J r. 
lateri AF æquale eſt (5), erit angulus AFC angulo ACF 4 
quoque æqualis (6), & ergo in triangulis CAO, FAO, 9 4 
anguli ACO, AFO æquantur, & ſunt quoque AOC & (6) 7 N 
AOP æquales (7), latus vero AO, angulis ws; „ 
AcoO, AFO, oppoſitum, commune eſt, & proinde latus (7) per 
OC lateri OF zquatur (8), & 1gitur recta CF biſeca- tb. 
tur. „ 9 


PRO P. IV. THE OR. 


J in circulo due rectæa, non ambæ per centrum Fig. J. & 8. 
dufte, fe invicem ſecent, ſeſe bifariam non ſe- 


cabunt. 


Si una ipſarum BL tranſeat per centrum, altera vero Fig. 7. 
CF non, patet priorem non biſecari. | 5 
Si vero neutra ipſarum BC & FL tranſeat per cen- Fig. 8. 
trum, ducatur OA a centro ad interſectionem, & ſi 
BC biſecetur in A, erit OA ipſi dicularis (1), (1) er prop. 
E igitur angulus OAC rectus; & ſi FL in ipſo A biſe- 3. J. 3. 
cetur erit OA iph FL perpendicularis (1), & igitur an- 
gulus OAL rectus, & proinde angulo OAC zqualis (2), (2) er x. 
pars toti, quod abſurdum. Rectæ igitur BC & FL non 11. 
ſeſe ſecant bifariam. 4 fo 


PROP. 


48 Euclidis Elementorum 


PROP. V. THEOR. 


WI duo circuli (ABC, ABF) fefe invicem Ie, 
centrum iþſorum Non erit 


Sit enim A, 6 fieri poteſt, centrum cireuli 
& ducatur AB ad intorſectionem, & ACF 


2 A circuli ABC centrum eft erit AB 
(1) per &f. "pſi AC onal (1), uoniam A circuli ABF cen- || 
15. L 1. trum eſt, erit AB aqualis (1), eſt igitur AC 
(2) per ax. 22 „ quod abſurdum. Non 


A centrum utrmſque, & fumiliter nec 
quodvis alind. 


PR OP. VI. THEOR. 


Fig. 10 I dus circuli ( ABC, ABE ) feſt intra contingant, 
centrum ipſorum non crit idem. 


Sit enim A, fi fieri poteſt, centrum circuli utriuſque, 

& ducatur AB ad contaftum, & ACF utcunque. 
(pena A carcuh ABC centrum eſt, erit AB 
(1) per af. Phi C zqualis (1), & quoniam A circuli ABF centrum 
15. J. 1. &, eric AB iph AF æqualis (1), eſt igitur AC ipk 
(6) pw a AF zqualis (2), pars toti, quod abſurdum. Non eft 
J ue «pe utriuſque, & fimiliter nec 


PROP. vn. THEOR. 


T1 ſumatur intra circulum a centro diver- 
ſum, & ab ipfo ad circumferentiam plures rette 


„ maxima erit ea que per centrum tranſit. 
Reliqua pays diametri erit minima. 
Due equals angules cum diametro faciunt, 
equantur. 
Due fit propior diametro, major eft remotiore. 
Plures quam due duci non poſſunt equales. 


/ Pars. J. 


„ 


L. iber Tertius. 49 
Pars. J. CB tranſiens per centrum, major eſt 


quivis alia CD. 


Ducatur enim AD, & eſt AB ipfi AD zqualis (1), (3) per ff 


+ orgs fi communis addatur CA, erit CB ipſis CA & 5 . 
AD 


imul zqualis ; ſunt vero CA & AD ſimul ipla CD, 
majores (2), & igitur CB ipſa CD major eſt. (2) per prop. 
Pars. 11. Reliqua pars diametri CF, quivis alia ** © © 
CE minor eſt. | | = | 
Ducatur enim AE, & ſunt AC & CE fimul ipſa 
AE majores (3), & ergo ipſa AF majores, auferatur (T. 
igitur communis AC & erit CE ipſa CF major. has 
Pars. III. Rectæ CL & CD, quæ æquales cum 
diametro CB faciunt angulos, æquantur. 
Non enim, fed, fi fieri poteſt, fit alterutra ex ipſis CL 
major, & abſcindatur CG ipſi CD zqualis, & ducantur 
AD & AG. 
In triangulis igitur ACG & ACD, latus AC com- 
mune eſt, & CG ipſi CD zquale (4), angulus quoque (40 Per corfe. 
ACG angulo ACD zqualis eſt (5), & proinde latera (% 


AG & AD zquantur (6), eſt vero recta AD ipſi AO) per prop. 


 zqualis, & ergo AG ipſi AO æquatur, pars toti, quod 4. J 1. 


abſurdum. Neutra igitur CL vel CD altera major eſt 
& ergo ſunt æquales. 5 . 

Pars. J. Cb vel CL quæ propior eſt diame- 
tro major eſt remotiore CE. 35 

Si datæ ſint CD & CE ad eaſdem partes ipſius CB, 
ducantur AD & AE, & in triangulis CAD, CAE, 
latera CA & AD lateribus - & r an- | 
gulus vero CAD angulo CAE major eſt, & ergo latus 
reliquum CD reliquo CE majus eſt (7). ail 27 n 
Sl vero date ſint CL & CE ad partes diverſas ipfius * 
CB, conſtituatur angulus ACD angulo ACL zqualis, 
& erit CD 1pfi CL æqualis (8), eſt vero CD ipià CE (8)fer per- 
major, & igitur CL ipla CE major eſt. | tem tertiam. 

Pars. J. Plures quam duz duci non poſſunt 
æquales. e 

Nam ducantur utcunque tres rectæ a puncto C ad 
circumferentiam, & erit aut una ipſarum pars diametri, 
& ergo major vel minor alterutra reliquarum, (per part. 
prim. & ſecun.) aut duæ ipſarum ad eaſdem partes dia- 
metri, & ergo inæquales, (per part. quart.) 


H — EET 


Euclidis Elementorum 


PROP. VIII. THEOR. 


Fg. 120 extra circulum aliquod bpinctum ſumatur, & ab 


— ipſo ad circumferentiam plures rectæ ducantur, 


gue æquales faciunt angulas cum ee oy centrum, 

erunt equales. 
Incidentium wero in circumferentiam concavam 

maxima eft ea que tranſit per centrum. 

| Reliquarum, que maximæ propiar major eſt remo- 

tiore. 


Incidentium vero in convexam circumferentiam mi- 


nima oft ea que produtta tranſiret per centrum. 
Keliquarum, que minimæ Prepior minor of remo- 
tiore. 
Due tantum duci poſſunt equales vel ad concavam 
vel convexam — 


Pare. J. AB & AX, que =quales faciunt an- 
gulos cum AZ, ſunt zquales. 

Non enim, ſed, fi fien poteſt, fit alterutra ex ipſis 
AB major, & abſcindatur AE ipſi AX æqualis, & ducan- 
tur ZE & ZX. 


In triangulis igitur Z AE, Z AX, latus ZA commune 


[x] peremft eſt, & AE ipfi AX zquale (1), angulus quoque Z AE 
2 * oye angulo ZAX æqualis eſt (2), & proinde latera ZE & ZX 
55 75 prop. 8 (3), eſt vero recta ZO ipfi ZX æqualis (4), 
ergo ZE ipſi ZO æquatur, pars toti, quod abſurdum. 
por of. bal ef igitur AB vel AX altera major eſt & ergo ſunt 
. 1. 2quales. 

Fig. 12. Pars. II. Incidentium in concavam circumferen- 


tiam, eſt AY quz tranſit per centrum, alia quavis AX | 


major. 


Ducatur enim ZX, & erit ZY ipſi ZX æqualis (5), 
(947 if: & ergo fi communis addatur AZ, erit AY ipis AZ & 


Zx nl æqualis; ſunt vero AZ & ZX ſimul ipſa AX 
(6) 1 goo majores (6), & igitur AY pla AX eſt major. 


Pars. III. AB vel AX quæ maximæ propior, ma- 


jor eſt remotiore AD. 
Si datz ſint AX & AD ad eaſdem partes ipſius AY, 
ducantur ZX & 2D, & in triangulis AX, AZD, latera 
AZ, 


Liber Tertius. 51 


AZ, ZX, lateribus AZ, 20 æquantur, angulus vero 
AZX angulo AZ D major eſt, & ergo latus relquum AX 
reliquo AD majus eſt (7). (77) ver prop. 

Si vero datæ fint AB & AD ad partes diverſas i wy” 4 1. 
AV, conſtituntur angulns ZAX anguto ZAB rqualis, & 
erit AX ipſi AB zqualis (8), * vero AX * AD major, 

(8) per pare 
& igitur AB ipſa AD major eſt. | tem primam. 

Pars. IV. Incidentium in convexam circumferen- . 13. 
tiam eſt AF quæ producta tranſiret per centrum, quavis 
alia AX minor. 

Ducantur enim 2 & ZX, & ſunt ZX & XA ipſa : 
ZA majores (9), & igitur, ablatis æqualibus Z X & (9) per prep. 
ZF, erit AX ipſa AF major. 

Pars. V. AB vel AX quz minimz propior, 
minor eſt remotiore AC. 

Si datæ fint AX & AC ad eaſdem parkes ipſius AZ, 
ducantur ZX & TC, & erunt ZC & CA ſimul, ipſis Zx 
& XA ſimul majores (10), ablatis igitur Sek us ZC (Us) oy 
& ZX, erit AC ipſa AX major. 

Si vero date fint AB & AC ad partes diverſas 77 
AZ, conſtituatur angulus ZAX angulo ZAB æqualis, & 
erit AX ipſi AB æqualis (11), eſt vero AC ipſa AX ma- (1x)perpar, 
jor, & ergo ipſa AB major. tem prima 

Pars. FI. Duæ tantdm duci poſſunt æquales „ 
ad concavam vel convexam cirrumſerentiam 1 

i tres enim utcunque ducantur, eriv vel una ipſarum 
tranſiens pet · centrum, & igitur aut major aut minor alte. 
rutra reliquarum, (per part. 2 & 4.) vel duz ad eaſdem 
partes tranſeuntis per centrum, & igitur inzquales- (per 
8 5. 
— Cum facils patet quamyis ductam ad coneavam 
circumferentiam ducta ad convexam eſſe majorem, ſequi- 
tur fi tres rectæ utennqne er d a p er circu- 
lum ad ejus eircumferemiam, d ex ĩis eſſe 
RE 

c ex parte 5. Pater n 

pain a quo; duci poſſunt ad eireuli circumferentians 
tres rectæ =quales, præter OO centrum. 


; ** — 


Hz PROP. 


$2  Eaclidis Elementorum 


PROP. IC. THEOR. 


| 8 ſumatar intra circulum annua quod vis, 8 ab 


ipſo ad circumferentiam duci poſſunt plures quam 


due rectæ equales, erit Mud punctum ceirculi cen- 
Is 


Non eſt enim a centro diverſum, nam ſi fuerit tantùm 
605 * prop duæ duct Poterint æquales ab 15 ad circumferen- 
. 3. tiam (1). 


PROP. X. THE OR. 


Fix 14 U 82 (BDF) ay ( BLF ') i in pluribus 


m duobus unctit non ſecat. 
„ gua 5 ſecat. 


Secet enim, ſi fieri poreſt, in tribus punctis B, F & C, 


& fit A centrum circuli BLF, & ducantur ab ipſo ad inter- 


per def. ſectiones rectæ AB, AF & AC, & hæ erunt zquales (1); 
5 2 Fin ſed quoniam circuli ſeſe interſecant centrum non habent 
(3) per prop idem (2), A igitur non eſt circuli BDF centrum, & ergo 
*. quoniam ad circumferentiam circuli BDF ducuntur tres 


rectæ AB, AC & AF, a puncto diverſo a centro ejus, 
(3) per 77: hz refit non der nales (3), oſtenſum vero fuit ipſas 
ur 


* 3- eſſe æquales, quod abſurdum.  Circuli igitur in tribus 
punctis ſeſe non interſecant. 


Schol. Hine patet circulum circulo i in _ quam 
Auobus * $ non omnino occurrere. 


PROP. NI. T HE OR. 


A duo circuli ECF Dc ſeſe infus contin- 


| gant, recta Wr centra yang tranfbit 
oy contact sum. 


Fig. 16. 


Non enim, ſed, fi fieri poteſt, ſit A centrum circuli 

ECF, & B centrum circuli DCL, & fit DL recta centra 
conjungens, & ducantur BC & AC. 

yoniam igitur in triangulo BAC latera BA & AC 

(1) fer 5 latere BC * ſunt ( 1 J. vero ipſi BD æquatur 


quoniam 


8 
8 
B 
c 
c 
f 
* 


9 © 


Liber Tertiur. 53 
quoniam radi ſunt circuli DC L, erunt recte BA & AC 
ipſa BD majores, & igitur, ablata communi BA, erit 
AC ipſa AD major, eſt vero AC ipfi AE æqualis quomam 
circuli ECF ſunt radii, & igitur AE ipſã AD eſt major, 
| pars toto, quod abſurdum. Non igitur ita poſita ſunt 
centra ut recta ipſa conjungens non tranſeat per contac- 


PROP. XII. THEO R. 
|| Oldw a 0 400 E BFC ) feſe extra contin- gg. 17 


\I gant, recta ipſorum centra conjungens tr. 


} 


Non enim, ſed, ſi fieri poteſt, ſint A & B centra, & 
. reta AB ipſa conjungens non tranſeat per contactum, & 
ducantur AC & BGG. 

Quoniam igitur in triangulo ACB latera AC & CB 
latere AB majora ſunt (1), recta vero AO ipſi AC æqua- (i) prop. 
lis eſt quoniam. circuli AOC ſunt radii, & recta BF ipfi 20. J. t. 
BC zqualis quoniam radi ſunt circuli BFC, erunt AO & 

BF fimul ipſa BA majores, pars 'toto, quod abſurdum. 
Non igitur ita poſita ſunt centra ut reRa 1pſa conjungens 
non tranſeat per contac tum. 


PROP. XI. THE O R. 


C Irculus circulum five intus  fove extra in uno tant 


unto contingit — bs 
P _—_ Vide N. 
Contingant enim intus, fi fieri poteſt, circuli ADE 
+ hn duobus punctis D & C, & ducantur AD, AC 
& BC. | | | 
Quoniam igitur BD & BC circuli BDF ſunt radii, eſt. 
DD ipſi BC æqualis, & ergo fi utrinque addatur AB, 
ent AD ipfis AB & BC æqualis; ſunt vero AD & AC 
— AB I 70 ink 18 analen e e er 
5 B & BC ipſi AC æqudales ſunt, fed & ipſa ma- (T) err 
pres (1), quod abfurdu. 7 e. 


Si vero puncta contactùs ſint ad terminos jungentis F. 19. 
centra, CD biſecta foret in A & quoque in B, quoniam 
eireuli utriuſque eſt diameter, quod abſurdum. | 
| Contingant 


84 N Euclidis Elementorum 
Fx. 20. Contingant jam extra, fi fieri poteſt, duo cjecal ADE 


& BDF in duobus punẽtis D & C, & ducantur AB, ADK 


BD. 
* igitur AD & AC.circuli ADE. ſunt radii, 
es ſunt, & quoniam BC & BD circuli BDF ſunt 
_ radu, ſunt q 2 2 æquales, ergo AD & BD ſimul ĩpſ 
20. l. 1. dum 
OO In nullo igitur caſu circuli ſeſe i in duobus punctis con 
tingunt. 


chol. Hinc patet circulum circulo contingentem 


non i iterum ipſi occurrere. 3 


PROP. XIV. THEOR. 


Fig. 21, N cirrulo equates ere (20 w FL) equaliter a 


Er rectæ ( BC: G FL Js que equaliter a "centro 
diſtant, Jus equales. | | 


Pars. I. Sit A centrum cixculi, & ducantur AC K 
AL, & quoque AO & Al ipfis BC & FL perpendiculs 
res. 
| - oniam igitur BC & FL =quales ſunt (1), perpendi. 
99 —_— vero 1 centro AO & From ipſas biſecant (2), erunt 
(2) per prop. quoque OC & IL æquales (3), & er Fi ipſorum quadrat 
ky 5 æquantur (4); ſed ou AC & 
. æquantur quoque ipſorum quadrata ( 
L -n. ex AO * 


4 is ex 
(Oper ee OC & a erunt — ex 40 & AI. æqaalia (6), & 


r 2. ergo i æ rectæ uantur (7). 
- t — nag enim A0, & Al s fut 


oy (7)» panty — — . A0 K 
1 AL = wo. 18 I quit 


es i L, pgs rhe ex 
997 75 ex Al & IL —4 e & igitur quadrata ex A0 4 
Wo Th. * 1 &. proinde, 


ed & ipſa ſunt majores (2), quod * 


tis en 
E quadiats 


eu + | 


a HY Qu 


* 


5 5 


r A EN 382 2 


major ( 5). & ergo ZX ipſũ IK eſt major. 


S Fd. aF „„ 


Liber Tertimns. = 4 


drata ex o & IL zqualia (10), & er * rec (10) fer ax. 
æquantur (1 1) quonlam vero AO & x BC & + 

FL biſecant (12,) ſunt OC & IL ipſarum BC & FL. 71 
ſemiſſes, & quoniam æquales ſunt, 898 BC & FL1.c 


_ mes | 55 — per 
8 Prop. 3. . 3. 
PROP. XV. THEOR., TS nba 


ER circule inſcriptarum, maxima eft diame- Fg 22. 
ter. Aliarum very, gue. propior centre, major . N. 


| f remotiore. 


8 J. Diameter AB alia q 88 ED major el. 
Ducantur enim CD & CE, & e ipſi CB æqualis, 
& CE ipfi CA (1), eſt igitur AB i ＋ 2 & CE fimul { 


æqualis; fed CD & CE fimul ipſa ED majores ſunt (2), er. 
& ergo AB ipſa ED eſt major. ( 


2) per prep. 
Pars. II. QD propior diametro, major eſt. re- 20. L. f. 
motiore. 
Primd date fint ED & IK quæ ſunt ad cafdem 
partes & non interſecant, & ducantur CD, CE, CI & 


oniam igitur in triangulis ECD, ICK. latera EC, 
ops — IC, CK zquales ſunt, an ang ulus vero ECD 
an ulo ICK major, erit latus ED latere IK majus (1). (i) pes fer pred. 
n uæ vel ſunt ad s diver- 24. J. 1. 
as, vel ſeſe interſecant, & ductis CO & CF ipſis ZX & 
IK perpendicularibus, a majore CF abſcindatur CV. 
minori CO — (2), & per V ducatur ED ipſi CF fr oe 
ndicularis 
oniam igitur ZX & ED æqualiter a centro diſtant 
(3), et ED ipfhi ZX zqualis {4), ED vero pla IK es 9 — 


14. 7 3. 
(5) fer part. 


Prac. 


PROP, 


383 Euclidi Elementorum - 


 . PROP. XVI. THEOR. 


1 R e per terminum diametri circuli dus 
7 eft ipfe perpendicularis, tota extra circulum cadit. 
Et i redta quevis inter ipſam & circulum ad contac- 
tum ducatur, circulum ſecar. 5 


Pr. I. Sit enim, fi fleri poteſt, BG, eiretlo 
e in G. ipſi AB perpendicularis, & duca- 

tar > ox © 

” Quoniam igitur in triangulo GCB, latus GC lateri 

(8) fer Jeeps CB . CG inge CGB zqualis eſt (1), 

4 Jer op, & ergo uterque eſt acutus (z), eſt vero CBG rectus (3), 

17. L. 1. quod abſurdum. Recta igitur duQa per B ipſi AB per- 

3) per &y- pendicularis circulo non ĩterum occurrit. | 

8. Pars. II. Sit BF ipſi AB perpendicularis, & inter 


 Ipfam & circulum ducatur EB quz, fi fieri poteſt, cir- 
culum non ſecat. 0 AY * 8 
Quoniam igitur angulus CBF rectus eſt, erit CBE | 
acutus, ++. a er > CL ipſi BE perpendicularis, & 
{4} Per cor. cadet ad partes anguli CBE (4): 35 —_ 
2. f. 16. . 1. Proinde in triangulo BCl, erit angulus CIB angulo 
CBI major, & ergo latus CB latere CI majus (5); eſt 
Th vero CO ipfi CB æqualis, & ergo CO ĩpſa CI ent ma- 
jor, pars toto, quod abſurdum. Non igitur cadit punctum 
| I extra circulum, & ergo recta BE circulum ſecat. 
Schol. 1. Hine patet rectam BF circulum contingere 
in B; contingentemque in uno tantum puncto circulo o- 
eurrere, & ad ſingulum punctum circumferentiæ unicam 


Fite N. Tn Patet quoque rectam quæ ad B ſacit cum 
| A angutum acutum utennque magnum, iterum cir- 
_ . cumferentiz occurrere. 5 
Cor. Ex hac propoſitione patet methodus ducendi 
dontingentem per datum quodvis punctum B in circult 
circumferentia ; ducere ſcilicet ad iſtud punctum diame- 
"_ AB, ipſique, per terminum ejus, perpendicularem 


85 | PROP. 


gat. 


Liber Tertius. 57 


PROP. XVII. PRO B. 


dato punto (A Js extra circulum datum Fig. 24. 
(CBF), rectam ducere que circulum contin= 


Sit C centrum circuli dati, & centro C, intervallo 
CA, deſcribatur circulus CAE; ducatur CA, & ipſi 
per F ducatur perpendicularis rea FE circulo CAE 
occurrens in E, ducatur CE & recta a dato puncto A 


ducta ad B circulum in B continget. 


Nam in triangulis ACB, ECF, latera AC, CB (I) per cf. 
lateribus EC, CF æqualia ſunt (1), angulus vero ad C's: bg 
communis, angulus igitur ABC angulo EFC zqualis eſt wp {ah 
(2), fed eſt EFC rectus (3), & ergo ABC rectus eſt, & (3) per cor. 

inde recta AB circulum CFB contingit (4). (4) Per rap. 

Schol. Patet duas duci poſſe contingentes a puncto 16. J. 3. 


A, utrinque ſcilicet rectæ AC una. 


PROP. XVII. THE SDR. 


J rea (DB) circulum contingat, ducta a centro Eig. 25. 
ad contactum (CD) erit igſi perpendicularis. 


Non enim, ſed, fi fieri poteſt, ſit CF ipſi BD perpen- 


dicularis, & in triangulo CFD quoniam angulus CFD 


rectus eſt, erit CDF acutus (1), eſt igitur latus CD latere (1) per cer. 
CF majus (2), ſed CE ipſi CD æqualis eſt, & ergo CE ©. 17. 4. t. 

ipſa CF major, pars toto, quod abſurdum. Non of (2) per prep. 
igitur CF ipſi BD . "pant & ſimiliter nec alia? 
quævis præter ipſam CD. 


PROP. XX. T HE O R. 


C1 rea (BC) circulum contingat, recta ( BA) Eg. 16. 


ducta per contactum contingenti perpendicularis, 
tranſit per centrum. 


Non enim, ſed, fi fieri poteſt, fit centrum Z extra 


rectam BA, & ducatur ZB. * 
1 Gdoniam 


48-25 _ Fuclidis Blementorum 


Quoniam gitar a centro ad contactum ducitur refta 
( ) fer prop. ZB, eſt contingenti perpendicularis (1), igitur angulus 


(2) * ZBC eſt rectus, angulus vero ABC rectus eſt (2), & 


oth. ergo ZBC ipſi ABC zquatur, pars toti, quod abſurdum. 


Non eſt igitur Z centrum, & ſimiliter nec aliud quodvis 
punctum extra rectam AB. 8 


PROP. X. THE OR. 
Fig. 2), 28, Ngulus [AC D) ad centrum, anguli (ABD) 


. * ad circumferentiam duplus eft, quando eandem 
eee partem circumferentie habent pro baſs. 
Fig. 27. Primam, habeant angel crus alterum ACB commune; | 
& quoniam in triangulo DCB latera DC & BC zquantur, 


( 1)per prep. anguli CBD & CDB æquales ſunt (1), angulus vero ex- 
5.4.1. ternus ACD utriſque fimul æqualis eſt (2), & ergo ipſius 
(2) ger prope ABD duplus eſt. 3 = 
F, . Secundd; cadat angulus ACD intra angulum ABD & 
.  ducatur BCE. Et quoniam angulus ACE æqualis eſt 
(3) fer par. duplo . RC (3), angulus vero DCE æqualis du- 
Prin. plo angulo DBC (3), erit totus ACD æqualis _ | 
Ah cum duplo BDC, & ergo æqualis duplo ipſius ABD. 


Fe 29 Tertid ; Secetur crus alterutrum anguli ACD crure . 


4) per par. anguli ABD, & ducatur BCE. Et quoniam angulus ECD 
Pr im. æqualis eſt duplo angulo EBD (4), ſeu duplo angulo 
EBA cum duplo angulo ABD, angulus vero ECA æqua- 
lis eſt duplo angulo EBA (4), his æqualibus deſumptis 
utrinque, erit angulus ACD duplo angulo ABD æqua- 
1 „„ 


PROP. XXI. THE OR. 


Fig. 30. & I N circulo anguli { BAD, BED) gui ſunt in eodem 
oy ſegmento, ſunt equales. | 


Fig. 30. Sit primùm ſegmentum BAD ſemicirculo majus, & fit 
C centrum cireuli, & ducantur CB & CD. . 

(1)per rep. Quoniam igitur angulus BCD ad centrum utriuſque 

20. J. 3. BAD & BED ad circumferentiam duplus eſt (1), erunt ipſi 


(2) fer «#8: BAD & BED æquales (2). | 


Sccundò, 


Liber Ton ©: EP 59 


Secundd, ſit ſegmentum BAD vel ſemicirculus, vel F. ... 
ſemicirculo minus, & ſit C centrum circuli, & ducantur 
ACF & EF. 
Quoniam igitur ſegmentum BDF ſemicirculo majus 
eſt, in ipſo vero ſunt anguli BAF & BEF, erit BAF ipſi 
BEF æqualis (3), & quoniam ſegmentum FAD ſemicir- (3) per par. 
culo majus eſt, in ipſo vero ſunt anguli FAD & FED, proc. 
erit FAD ipfi FED æqualis (3), duo igitur BAF & 
FAD, ſeu angulus BAD, duobus BEF & FED, ſeu an- 
gulo BED, zquales ſunt. 
Cor. Si ſuper eodem arcu BD inſiſtant duo anguli Fig. 32. 
zquales, & vertex alterutrius BAD, fit in circumfe- 
rentia oppolita, erit quoque vertex alterius in eadem cir- 
cumferentia. | 
Non enim, ſed, fi fieri poteſt, cadat vel extra, vel 
intra, ut ad F, & ducatur ED. Et quoniam anguli 
BAD & BED ſunt in eodem ſegmento, erit BAD ipſi 
BED zqualis (1), eſt vero BAD ipſi BFD zqualis (2), (1) per Sr. 
& ergo æquantur BED & BFD; eſt vero alter ipſorum | (2) BY F 
altero major (3), quod abſurdum. Non igitur cadit 2 On 
punctum F vel intra vel extra circulum, & ergo cadit in (3) per prop 
1pſam circumferentiam. 


PROP. XXII. THEOR. 


Uadrilateri ( FABC in circulo inſcripti, an- Fig. 33. 
guli 250 ti duobus rectis æquales ſunt. 


Ducantar enim AC & F B, & quoniam li ACB 
& AFB ſunt in eodem ſegmento AFCB, eſt ACB ipſi 
AFB zqualis (1), N anguli ACF & ABF ſunt (i) per prop. 
in eodem ſegmento her, eſt Acer ipſi ABF zqualis 21. 77 1. 
(1), totus igitur BCF duobus ſimul AFB & ABF æqua- 
tur; ſunt vero AFB & ABF cum FAB duobus regis 
æquales (2), & ergo BCF cum ipſo FAB duobus reQis ( 2) per prop | 
æqualis eſt. Similiter demonſtrari poteſt ABC & AFC 32. 15 
duobus rectis eſſe æquales. 

Cor. Si quadrilateri in circulo inſcripti, latus quod- (1) per 
vis producatur, erit angulus externus interno remoto 1)perp oY: 


æqualis, ſingulus enim cum interno adjacente duobus prop 13. 
rectis æquatur (1). 


by Te | PROP. 


66 Euclidis Elementorum 


PROP. XXIII. THE OR. 
Fig. 34. 8 Uper eddem rectd duo circulorum ſegmenta ſimilia, 
non ſibi mutuo cong ruentia, ex eddem parte non 


conſtituentur. 


Conſtituantur enim, fi fieri poteſt, & ſint ACB & ADB, 


& cadat punctum quodvis D alterutrius extra alterum, & 


ducantur DA, DB & CB. 
Quoniam igitur ſegmenta ACB & ADB ſimilia ſunt, in 
ipſis vero ſunt anguli ACB & ADB, eſt ACB ipſi ADB 


(1) per of. æqualis (1), eſt vero ACB ipſi ADB externus & proinde 


( a 1 190 major (2), quod abſurdum. Non igitur cadit punc- 


16. J. 1. tum quodyis ſegmenti alterutrius extra alterum, & igitur 


congruunt. 
PROP. XXIV. THE OR. 


Fig. 35. 8 Imilia ſegmenta circulorum, ſuper æqualibus rectis 
(AB & CD) conſtituta, ſunt equalia. 


Si enim ita ſibi applicentur æquales rectæ AB & CD, 
10 ) per ax. ut punctum A caderet in C, caderet quoque B in D & igi- 


(2) per prof, tur rectæ congruerent (1), & ergo ipſa quoque ſe gmenta | 


23. 1.3. congruerent (2), & proinde æqualia ſunt. 


PROP. XXV. PRO B. 


Fig. 36, Irculi ſegmento ABC) dato, deſcribere circulum 
Vide N. V cujus off ſegmentum. 


Subtendantur duz rectæ, non parallele, AB & CD, 
biſecentur, & per puncta biſectionis F & E ducantur duz 


rectæ FO & EO ipſis AB & CD perpendiculares, harum 


interſectio O eſt centrum. 


Quoniam enim recta AB in circulo terminata biſecatur 
1) p-r cor. perpendiculari FO, tranſit FO per centrum (1), ſimiliter 


prop. 1. 1. z. tranſit quoque EO per centrum, & ergo eſt centrum in 
5 ipſarum FO & EO interſectione. | 


RR. 


. 
/ 
a 
1 
1 


PROP. XXVI THEOR. 


N equalibus circulis ABC, DEF), ægualer anguli g, 35. 
(AOC & DHU, ABC & DEF), five fint Vl N. 
ad centrum frve ad circumferentiam, bus arcubus 


infftunt. 


$i dat Gat aan AOC & DHF ad Sum, ein. 
tuantur anguli ABC & DEF ad circumferentiam ſuper 
arcubus uſdem, & ducantur AC & DF. 


Kc (4) 9 br 


tur (4), his igitur deſumptis a circulis zqualibus manent (4) 


24. 


per prop. 
4. 3. 


DEF acuti, ductis OA & OC, & quoque HD & HF 
N poſſunt areus AGC & DKF eſſe æqua- 
. | 8 

Si vero dati ſint anguli ad circumferentiam aut recti aut 
rectis majores, biſecentur. & erunt ipſorum ſemiſſes æqua- 
les, oſtendique poteſt, ut ſupra, arcus quibus hi ſemiſſes 
inſiſtunt eſſe æquales, & igitur toti arcus æquantur. 


PR OP. XXVII. THE OR. 


N 2qualibus circulis ABC, DEF), anguli ( ABC, Fig. i.” 
DEF) qui equalibus arcubus inſtunt, frve fint 


ad centrum, ſive ad circumferentiam, equantur. 


Non enim, ſed, fi fieri poteſt, fit alterutra ex ipfis 
3 major, & conſtituatur angulus DEG ipfi ABC æqua- 
8. | $2 ; 
noniam ipitur in circulis æqualibus ABC & DEF, „ ar on 
gg ABC angulo DEG * eſt (1), erunt arcus L 
C & DRG æquales (2), ſunt vero AHC & DKF () N prop. 
zquales (1), & ergo DKG ipſi DK F zquatur, pars toti, 26. 4 3. 
quod abſurdum. Non eſt igitur angulus alteruter altero 
major, & proinde ſunt zquales. 1 


62 Euclidis Elementorum 


PROP. XXVII. THE OR. 
Fig. 39. N equalibus circulis ( ABC, DEF), equales recte 


1 (AC & DF) equales arcus auferunt, majorem ma- 


jeri (ABC ipſi DEF), & minorem minori (AGC igt 


DHF). 
Si æquales rectæ ſint diametri, patet propoſitio. 


Si vero non, ſint K & L centra circulorum & ducantur 


KA, KC, LD & LF. | 
(1) per by- —Quoniam igitur circuli zquales ſunt (1), erunt AK & 
Pb. KC ipſis DL & LF zquales, ſunt vero AC & DF zquales 
a) per prop. (1), & ergo angulus AKC angulo DLF zqualis eſt (2), 
5 eſt igitur arcus AGC arcui DHF æqualis (3); & quo- 
| 6 i Bk * mam circuli quoque æquantur, his zqualibus ab ipſis de- 
ſumptis erunt & arcus ABC & DEF zquales. 


PROP. XIX. THEOR. 


Fig. 39. 1 circulis equalibus (ABC, DEF), rectæ (Ac 


& DF) que arcus æquales ſubtendunt, ſunt 
etiam ipſæ equales. | 


Si arcus æquales fint ſemicircuh, patet propoſitio. 
Si vero non, ſint K & L centra circulorum, & ducantur 
AK, KC, DL & LF, | + | 
(i) ger Quoniam igitur arcus AGC & DHF æquantur (1), 
bb. erunt anguli AKC & DLF æquales (2), ſunt vero in 
(2) 2*r . triangulis AKC & DLF latera quoque AK, KC, late- 
29; 5% . A > 
(3) per by- Tibus DL, LF zqualia (3), & proinde ſunt baſes AC 
poth., M df. & DF æquales (4.) 
1. J. 3. Schol. Quæ quatuor præcedentibus propoſitionibus de- 


2 % PrP. monſtrantur de circulis æqualibus, vera ſunt quoque de 


eodem. 
PRO P. XXX. PRO B. 
Fig. 40. JAtum arcum (ABC) bifariam ſecare. 


Ducatur AC & biſecetur in E, per E ducatur EB ip 
AC perpendicularis, & biſecabit arcum in B. 
'- Ducantw 


a a a «@ FLY — —_— 


8 » 9 


Ducantur enim AB & CB, & in triangulis AEB, 
CEB erunt latera AE & EC æqualia (1), EB vero (1) per conf 
commune, & angulus AEB angulo CEB æqualis (1), 
æquantur igitur AB & BC (2), & ergo æquales ſunt (a) per prop. 
arcus quos ſubtendunt (3), & proinde datus arcus biſe- 4. J. x. 
catur in 8B. 2 74 if hath 


PROP. XXX. THEOR. 


N circulo,  angulus qui in ſemicirculs, rectus ; Po 2 41.42 


qui vero in majori ſegmento, minor eft recto: . & „. 
qui in minori, major recto. 


„ ö 


d 


Sit enim O centrum circuli, & ducantur OB & AC. 
Quoniam igitur in E AOB latera OB & OA 
æquantur, erunt q angel OAB & OBA at's Obie 
(1) ; ſimiliter OCB 4 & 0 æquantur; eſt igitur an- 5 
gulus ABC duobus ſimul BAC. & BCA equalis, & Nl 
igitur angulus ABC eſt rectus (2). y 
Pars. II. Angulus ABC in ſegmento majori, Fig. 42. 
minor eſt recto. 
DuQi enim AD circuli anner, Lo wo & 
CA. Quoniam igitur in triangulo ACD, angulus (3) 
in peas £ rectus (3), erit angulus ADC 8 
ras (4). _ vero anguli equates { 8 ABC 2 eodem 5, fl. . 
egmento ABD C & ergo zquales (5), & pron e angu- 
los ABC eſt quoque 2 d : 9 2 "uf * 
Pars. III. Angulus ABC in ſegmento minori elt Fig = 
recto major. 
Sumatur enim in circumferentia oppoſita punctum 
quodvis D, & ducantur DA & DC. 
Quoniam igitur in quadrilatero ABCD, duo anguli 
oppoſiti B & D duobus rectis æquantur (6), angulus (6) per prop. 
vero D in ſegmento majore, angulo recto eſt minor (7), 22. J. 3. 
erit 1 recto major. (7) fer fer. 


rac. 


PROP, 


64 : Euclidis Elementorum 


PROP, XXI. THEOR. 


Fig. 44. I refla queuis (EF) circulum contingat, & a 
contactu ducatur recta (AC) circulum ſecant, 
erit angulus ſub contingente & ſecante æqualis an- 


gulo in ſegments alternu. 


' Si ſecans tranſeat per centrum, patet angulos zqua- 
. 7 7 ee bs, 
3. Si vero non, per contactum A ducatur AB ipfi EF 
perpendicularis, & ducatur BC. | 

 _ Quoniam. wp refta EF circulum contingit, & ad 
N ducta eſt AB ipſi EF pe —_— La 
per centrum (2), & ergo angulus AC B rectus eſt 

dry ey (3). & proinde in Giangude ABC reliqui duo ABC & 
Ger. BAC fimul angulo recto zquales ſunt (4), & ergo ipſi 
31.7.3, BAF æquantur, communis igitur auferatur BAC & erit 
„ f angulus CAF æqualis angulo ABC in fegmento alterno 
© $3. yay Et quoniam in quadrilatero ABCD, anguli ABC & 
24. J. z. ADC fimul duobus rectis angulis æquales ſunt (5), 
(6) fey prop. erunt EAC & FAC fimul, ipfis ABC & ADC zquales 


13. l. 1. (6), & ergo ablatis æqualibus FAC & ABC (7), erit 


5 fer por. EAC æqualis angulo ADC in ſegmento alterno. 
PROP. XXXIII. P RK O B. 


per datam rectam (AB) deſcritere ſegmentum 
cerculi quod capiat angulum dato angulo (J 


Fas.  Sitprimodatus angulus V rectus, & biſsetä dats reds | 


m O, centro O per A deſeribatur circulus, & quoniam 

5 . dividitur a data in ſegmenta quæ ſemicirculi ſunt, patet 

(. Alterutrum ex ipſis continere angulum dato argulo. rec- 
31. J. 1. to zqualem (1). _ 

Fig. 46. Jam datus fit angulus V acutus vel obtuſus, ipfique 

FO” conflituatur cum data AB & ad terminum ejus alteru- 

trum A, angulus zqualis, & per. A ipſi EF ducatur 

iculans AC, & ad B angulo BAC conſtituatur 

{2) perceaft. £qualis ABO. Circulus centro O & intervallo OA de- 

4 5. ſ{criptus tranfibit, propter OA & OB æquales (9). ps 

LE | 


3 


— — — 


Liber Tertiut. 65 

B, & ſegmentum ejus ACB continebit angulum æqua- 
lem dato V acuto, ſegmentum vero AGB angulum 
zqualem dato V obtuſo. 5 

Recta enim EF circulum contingit in A (3), & ab (3) er conf. 
A ducta eſt AB quæ circulum ſecat, angulus igitur in, _ 
ſegmento ACB angulo EAB (4) & ergo dato V acuto tow prop. 
(5) æqualis eſt ; & quoque angulus in ſegmento AGB 32. . 3. 
FAB (4) & ergo dato V obtuſo (5) =qualis (5) Per «orf. 
elt. | | 


PROP. XXXIV. PROB. 


F 

a Dato circuls (ABC) ſegmentum abſcindere Fig. gy. 
fit quod capiat angulum dato 8 V 7 æqualem. | 

- Ducatur FA circulum in puncto quovis A contingens, 

ff & ad A cum reQa AF conſtituatur angulus FAC dato 

it V e won ſegmentum ABC capiet angulum dato v , 

0. Eæqualem. 55 ” 

& | Quoniam enim FA circulum contingit, AC vero ip- 

. ſam ſecat, erit angulus in ſegmento ABC æqualis an- (1) fer prop. 
es gulo FAC (1), & ergo dato V (2). n 
rit | | 12) per conf. 


PROP. XXV. THE OR. 


T in circulo due rectiæ (AB & CD) [eſe mu- of. 49. 
| tuo ſecent, rectangulum ſub ſegmentis (AE & © | 
| EB) unius, æquale eff refangulo ſub ſegmentis 


3 


(CE & ED) alterius. 


Cas. I. Si ambz tranſeant per centrum in ipſo bi- 
ſecantur, & ergo rectangula ſub ipſarum ſegmentis 
zqualia ſunt quadratis ex ipſarum dimidiis, & proinde 
Zquantur inter ſe. | | 

Cas. II. Si una DC tranſeat per centrum & alteram . 48. 
AB non tranſeuntem per centrum ſecet perpendiculari- 
ter, ducatur OB; & quoniam DC ſecatur zqualiter in 

O, inzqualiter vero in E, erit rectangulum ſub DE & 

EC cum quadrato ex OE zquale ——_—_ ex OC (i), (1) per prep. 
ſeu quadrato ex OB, & ergo quadratis ex OE & FB S. J 2. 
(2), commune auferatur quadratum ex OE & erit rec- (2) fer prop. 
tangulum ſub DE & EC — quadrato ex EB, ſeu, . J. 1. 


propter 


AFA 8s 


66 Euclidis Elementorum 


5 2 propter æquales AE & EB (3), rectangulo ſub AE 
1 ip & EB. 3 
Fig. 49. Cas. III. Si una DC tranſeat per centrum & alteram 
AB non tranſeuntem per centrum ſecet oblique, ducatur 
OF ipſi AB perpendicularis & quoque OA; & quoniam 
DC ſecatur z ualiter in O, inæqualiter vero in E, erit 
rectangulum ſub DE & EC _ eee ex OE, ſeu 
quadratis ex OF & FE (4), æquale quadrato ex OC (5), 
oi het ſcu quadrato ex OA, & — Au, ex OF & FA . 
($1 per prop. commune auferatur quadratum ex OF, & erit rectangu- 
S. J. 2. lum ſub DE & EC cum quadrato ex FE æquale quadrato 
ex FA; quoniam vero OF ipſi AB ay greg eſt, ip- 
(6) per prop. ſam biſecat (6), & ergo rectangulum ſub BE & EA cum 
3. J. 3. quadrato ex FE, æquale eſt quadrato ex FA (7), ſeu 
(7) per PIP: rectangulo ſub DE & EC cum quadrato ex ipſa FE, 
* commune auferatur quadratum ex FE, & erit rectangu- 
lum ſub BE & EA zquale rectangulo ſub DE & EC. 
Fig. 50. Cas. IV. Si vero neutra iplarum tranſeat per cen- 
trum, ducatur per interſectionem diameter FG, & erit 
rectangulum ſub FE & EG zquale rectangulo ſub DE 
(8) per par. & EC, & quoque reQangulo ſub BE & EA (8), eſt 


fr ec. igitur rectangulum ſub DE & EC zquale reQangulo ſub 
(9) per ax. BE & EA (9. 


PROP. XXXVI. THE OR. 


Fig. 1 & CIa punto CB) extra circulum ducantur ad ipſum 
oo due rectæ, quarum altera (BC) ſecet ipſum, al- 
tera vero (BF) contingat, erit rectangulum ſub tot4 


ſecante (BC) & ſegments externo (BO) equale qua- 


drato ex contin gente, 


1 Cas. I. Si tranſeat BC per centrum, ducatur AF; & 
* quoniam recta CO biſecatur in A eique recta quædam 
OB adjeQa eſt, erit rectangulum ſub tota CB & adjeaa 
(1) per prop, BO cum quadrato ex AO æquale quadrato ex AB (1), 
6. J. 2. & ergo quadratis ex AF & FB (2), ablatis igitur zqua- 
{2)» prop. libus quadratis ex AO & AF, erit red angulum ſub CB 
47.7.1. & BO æquale quadrato ex BF (3). ' 
(3) ber ax Cas, II. Si BC non tranſeat per centrum, ducatur 


Fig 62. AL iph perpendicularis, & quoque AO, AB & AF; 
(4) per prop. & quoniam CO biſecatur in L (4), eique recta quædam 
3-4. 3. OB adjecta eſt, erit rectangulum ſub CB & BO cum 


quadrato 


3. LID $6. BW 


| Liber Tertius. 67 
quadrato ex LO zquale quadrato ex LB (5), addatur (5) Per prep. 
utrinque quadratum ex AL & erit re&tangulum ſub CB 6: . 2. 
& BO cum quadratis ex AL & LO, ſeu quadrato ex 


40 (6), æquale quadratis ex AL & LB, &. ergo qua- (6) per prop. 


drato ex AB (6), ſeu quadratis ex AF & FB (6), ab- 47. . 1. 
latis igitur æqualibus quadratis ex AO & AF, erit 
rectangulum ſub CB & BO æquale quadrato ex BF 


IE 7). (7) per ax. 


Cor. 1. Hinc fi a puncto quovis extra circulum du- 8 
cantur duæ rectæ * ſecantes, erunt rectangula ſub 
ipſis & ſegmentis ſuis externis zqualia, fingulum enim 


æquatur quadrato contingentis. 


Cor. 2. Si ab angulo A trianguli BAC demittatur in Fig. 54. 
latus oppoſitum perpendicularis AL, erit rectangulum 


| ſub ſumma & differentia laterum AB & AC æquale rect- 


angulo ſub ſumma & differenna rectarum BL & LC 
interceptarum inter perpendicularem & terminos la- 
teris in quod incidit. = | „„ 
Centro enim A & intervallo AC deſeribatur circulus, 
& quoniam rectæ BE & BC circulum ſecant, erit rect- | 
angulum ſub EB & DB rectangulo ſub CB & BO æquale (,),,,.,, 
(1), eſt vero AE iph AC æqualis & ergo EB ſummæ ip- prac. 
arum AC & AB æquatur, AD vero quoque iph AC 
zqualis eſt, & ergo BD differentiz inter ipſas AC & AB 
æquatur, & proinde rectangulum ſub EB & DB rectan- 
ulum eſt ſub ſumma & differentià ipſarum AB & AC, : 
ed quoniam AL ipſi CO perpendicularis eft, ſunt OL (2) per prop. © 
& 10 æquales (2), & ergo cum perpendicularis cadit z. J. 3. 
intra triangulum, BO zqualis eſt differentiæ intercepta- 
rum BL & LC, BC vero ipſarum ſumma eſt, & cum 
rpendicularis cadit extra triangulum, BO zqualis eſt 
ummz interceptarum, & BC ipſarum differentia eſt, & 
r rectangulum ſub BC & BO rectangulum eſt ſub 
umma & differentia interceptarum BC & BL, eſt vero 
æquale rectangulo ſub ſumma & ditferentia laterum AB 
& AC. | 


K 2 PROP. 


68 Euclidis Elementorum 


' PROP. XXXVII. THEOR. 


Fig. S3. Ia puncto (B) extra circulum ducantur ad ipſum 
due rectæ, altera quidem (BC) ſecans, altera vero 


22 in ipſum incidens, & fit rectangulum ſub ſecante 


ſegmento ejus externo æquale quadrato ex incidente, 


incidens (BF) circulum continget. 


Ducatur enim a B re&a BQ circulum contingens, x 


ducantur quoque EF & EQ, 
Quoniam igitur recta BC circulum ſecat, BQ_ vero ip- 


ſum contingit, erit quadratum ex BQ_zquale rectangulo 


(1) per Prep. ſub BC & BO (i), eſt vero quadratum ex BF: rectangulo 


36. 1.3. ſub BC & BO æqual 
| | quale (2), & ergo æquantur quadrata ex 
4 * BQ & BF & proind \ ſæ rectæ æquales ſunt (3), ſunt 


{3) per cor. igitur in triangulis EFB & EGB, latera EF & FB la- 

1 4 46. teribus EQ & B 2qualia, latus vero EB commune, & 
1 ergo angulus 

Sr . EQB rectus (5), & ergo angulus EFB eſt rectus, 
(5) per prop, & proinde.refta BF circulum contingit (6). 

18. J. 3. | Ns. 


6) per . 
7 pry 


EUCLIDI1s 


angula EQB zqualis (4), fed eſt an- 


EUCLID FS 
' ELEMENTORUM. 
5 „ 


LIBER QUARTUS. 


' DEFINITIONES. 


Wh F gura rectilinea in circulo inſcribi dicitur, quando Fig. 1.1.4. 
|  * T* unuſquiſque angulus ejus circuli circumferentiam Ta. quarts. 
tangit 


. | 0 Vide N. 
2. Figura rectilinea circa circulum dicitur circum- ig. 1. 
ſeribi, quando unumquodque latus ejus circuli circumfe- 

rentiam contingit. . 


3. Circulus in figurà rectilineà inſcribi dicitur, quando Fig. 1. 
vnumquodque latus figurz, ejus circumferentiam contin- 


git. ; 
4. Circulus circa fguram rectilineam circumſcribi Fig. 1. 
dicitur cum unuſquiſque angulus figurz ejus circum- 
| frentiam tangit. 


| 5. Recta linea in circulo inſcribi dicitur quando ejus 
| termini in circuli circumferentia fuerint. 


= Eucldis Elementorum 


PROP. I. PROB. 


 - dato circulb (BCA) date rectæ (D) que diametre 


non fit major, ka inſcribere. 


Ducatur dati circuli diameter AB, & fi hæc æqualis ſit 


datz D, faftum erit quod proponebatur. 


2 Si non, ſumatur in ea AE ipfi D zqualis (1), & centro I 
$ #1 A intervallo AE deſcribatur circulus ECF, & ad alteru- | 


(2) er 7 7 tram interſectionem ejus cum dato circulo, ducatur recta 


16. AC, erit hæc zqualis ipſi AE (2) et _ datæ D (3)- 
4 
WO ts PROP. Il PROB. 


1 dato circulo (BAC ) triangulum ö date | 


triangulo EDF) equiangulum. 


Ducatur recta GH datum circulum in punto nov 
A contingens, & ad punctum A cum rectà AH itua- 


tur angulus HAC angulo E æqualis, & ad idem 
cum rea AG conſtituatur GAB TT”. æqualis, & 


— lus E HAC zqualis eſt (1), ar- 

(1 angulus E angulo HA (1), 

wm gulus vero Ae lo Fin alterno ſegmento Bore 

(2) per prep. (2), anguli E & B A ſunt ; fimiliter F & C ſunt 

32. J. 3. æquales, reliquus ergo D reliquo BAC æquatur, & igitur 
triangulum BAC inſcriptum in circulo dato, triangulo 
dato EDF æquiangulum eft. 


PROP. i. PRO B. 


Irca datum circulum (ABC) triangulum circun- 
Icribere, dato triangulo (DEF) equiangulum. 


Producatur dati trianguli latus quodvis DF utrinque 


ad G & H, & ſumatur circuli dati centrum K, & ductz 
utcunque KA, conſtituatur ad K & cum recti 
KA angulus BEA angulo EDG æqualis, & ad idem 
punctum K conſtituatur cum ipſa KA ad alteras partes 
angulus AKC an EFH aqualis, & ducantur rect 
LM. LN & MN, circulum in punctis B, A & C contin- 


gentes. 
Quoniam 


K OA. A toad. ON 


A +» awd 6+ 


a” en 


9 re fb png Oe wa, 50 pry 


A, ms. 


has AY An 


NN 


„ 5 "7 


æquantur. Similiter demonſtrari poteſt angulos ANC & 
ED æquales eſſe; reliquus igitur M reliquo E æqua- 


Liber Duartus. 71 
Quoniam igitur quadrilateri LBKA quatuor anguli 


quatuor rectis æquales ſunt (1), anguli vero KBL & /1) per cor. 


KAL ſunt recti (2), erunt reliqui AKB & ALB fimul © %. 32. L. 1. 


duobus rectis zquales, fed anguli EDG & EDF ſimul ad * 
duobus rectis ſunt æquales (3), & ergo anguli AKB & (3) er prop. 


ALB ſimul, angulis EDG & EDF ſimul zquantur, zqua- 13. . 1. 
les vero ſunt AKB & EDG (4), & ergo ALB & EDF (a) per of. 


tur (5), & proinde triangulum LMN circulo ABC cir- 5) fer cor. 


cumſcriptum, dato triangulo zquiangulum eſt. 's 32. 


PROP. IV. PROB. 


TP dato triangulo ( BAC) circulum inſcribere. . 


Biſecentur duo quivis anguli B & C rectis BD & CD, 


5 3 in quo rectæ biſecantes concurrunt ducatur ad 
qu 


vis latus BC trianguli BAC perpendicularis DF, 
circulus centro D & intervallo DF deſcriptus erit in dato 


triangulo inſcriptus. 


Ducantur enim DE & DG ipſis BA & AC per- 


pendiculares, & quoniam in triangulis DEB, DFB 


anguli DEB & DBE angulis DFB & DBF zauales 1 

ſunt (1), latus vero DB commune eſt, erunt latera DE (1) per conf. 

& DF æqualia (2); ſimiliter demonſtrari poteſt reQas( 2) per prop. 

DG & DF zquales eſſe; tres igitur DE, DF & DG 26. /. 1. 

inter ſe ſunt æquales (3), & proinde circulus centro D & (3) per as. 

intervallo DF deſcriptus tranſit per E & G, & quoniam 1. 

anguli ad F, E & G recti ſunt, rectæ BC, BA & AC 

2 continguat (4), & proinde circulus FEG triangulo (20 Pe Prop. 
ato inſcribitur. : 46. 4.3. 


PROP. v. PROB. 


(5 datum triangulum (BAC) circulum circum- Fig. 6, 7 U | 
ww 5 8. | 


ſcribere. 


Biſecentur duo quævis latera BA & AC dati trianguli 
in D& E, & per D & E ducantur DF & EF ipfis AB 
& AC perpendiculares, & ab earum concurſu F ducatur 
ad quemvis angulum A trianguli BAC recta FA; circu- 


lus centro F & intervallo FA deſeriptus, erit dato trian- 
gulo circumſcriptus. | 


Ducantur 


1 1 Euclidis Elementorum 


Ducantur enim FB & FC, & quoniam in triangulis 
(i) per conf. FDA, FDB latera DA & DB æqualia ſunt (1), FD vero 
| commune, & anguli ad D recti (1), erunt latera FA & 
(2) per prop. FB æqualia (2); fimiliter demonſtrari poteſt rectas FA & 
4. J. 1. FC zquales eſſe, tres igitur rectæ FA, FB & FC ſunt 
(2) per ax. æquales (2), & proinde circulus centro F & intervallo 
75 FA deſeriptus, tranſibit per B & C, & ergo dato trian- 
gulo BAC circumſcriptus eſt. 
| Schol. Idem eſt hoc problema ac per tria data puncu 
non in directum poſita circulum deſcribere. | 
Fig. 6. Cor. 1. Si centrum F cadat intra triangulum patet 
(1) per prop, omnes angulos eſſe acutos, ſingulus enim eſt in ſegmento 
. 


ſemicirculo majore (1). Si vero centrum F fit in latere 


Fig. J. quovis trianguli, angulus iſt lateri oppoſitus erit rectus, 
Fg. 8. eſt enim angulus in ſemicirculo (1)- Et ſi centrum extra 
triangulum cadat, angulus 5 itus iſti lateri ad cujus 
wr. centrum cadit, erit obtuſus, eſt enim in ſegmento 
emicirculo minore (1). 8 | 

Fig. 9. Cor. 2. Circa quadrilaterum AFDC, cujus anguli 
: oppoſiti duobus rectis æquantur, circulus deſcribi poteſt; 
duQti enim diagonali, circulus deſcriptus circa triangulum 

FAC tranſibit per D. Sumatur emm in arcu FDC punc- 

tum quodvis B & ducantur BF & BC, & in er wet 

AFB C circulo inſcripto, erunt anguli A & B duobus 


(1) fer prop. Tectis æquales (1), ſunt vero D & A duobus rectis zqua- 
. 


22. J. 3. les (2), ergo æquantur B & D, & quoniam alter eorum 
(2) per by- B eſt ad circumferentiam, erit reliquus D ad eandem cir- 

cumferentiam Ge & ys Gs per D tranſit, & qua- 
F. 21.1. z. drilatero AFDC circumlcriptus eſt. 


| PROP. VI. PROB. 
Fig. 10. | F* dato circulo [ABCD quadratum inſcribere. 


Been e AC. BD d cuculi ad rofion inter 


ſe angulos, & duQis AB, BC, CD, DA, erit ABCD qua- 
dratum in circulo dato inſcriptum. 
Nam quoniam anguli ad centrum E recti ſunt & proinde 
(1) per ſcbol. æ quales, erunt arcus quibus infiſtunt æquales (1), & ergo 
. 29. 0.3. ſubtenſæ æquantur (2), eſt proinde ABCD æquilaterum, 


20 23 & uoniam BD diameter eſt dati circuli erit BAD angu—- 
2 LS lus in ſemicfrculo & proinde rectus (3), ſimiliter demon. 


fe 


(1) der prop. ſtrari 
31. J. 3. . 


wE 


eſſe rectos; eſt igitur FOHK rectangulum; & quoniam 34. J. 1.1. 


gentes, erit FGHK quadratum circulo circumſcrip- 
tum. | 


demonſtrari poteſt GH ipſi BD parallelam eſſe, & (2) Per conf. 


FG & KH iph AC æquantur (5), patet FGHK eſſe (5) per prop. 
8 i 


Liber Quartus. _, 73 


ſtrari poteſt reliquos angulos B, C . D eſſe rectos, & 


| 


3 4 Irca datum cixculum (ABCD) quadratum cir- Fig. 11. 


0 latera quoque æqualia ſunt enit ABCD quadra- 


PR OP. VII. PR OB. 


cumſcribere. Vide N. 
Ducantur dati circuli duo diametri AC, BD ad rectos 
inter ſe angulos, & per terminos eorum A, B, C &D 
ducantur rectæ KF, FG, GH, HK, circulum contin- 


Nam quoniam EA ducta eſt a centro ad contactum, erit - 
angulus EAF rectus (1), eſt vero angulus AEB rectus (1) per prop. 
(2), & ergo parallelz ſunt rectæ FK & BD (3); ſimiliter 18. /. 3. 


quoque FG & KH ipſi AC eſſe parallelas, ſunt proinde (3) per prope 
GD, BK, FC & AH parallelogramma ; & quoniam an- 

guli ad A recti ſunt, anguli ad G & H ipſis oppoſiti | 
erunt recti (4), & fimiliter demonſtrari poteſt K & F (4) ger prep- 


AC & BD zquales ſunt, FK vero & GH ipſi BD, & 


quoque æquilaterum, & proinde quadratum. — * 
Cor. Quadratum circulo circumſcriptum duplum eſt 
quadrati inſcripti, æquatur enim quadrato ex diametro 
eirculi, hoc vero An eſſe ae inſcripti patet ex 
= ” 5 tt 7 


PROP. VIII. PRO B. 


| fog dato quadrats ( FGHK ) circulum inſcribere. Fig. ot 


Biſecentur latera duo adjacentia GH, & FG dati qua- 
dratiin C & B, & per C ducatur CA alterutri FG vel 
KH 2 & per B ducatur BD alterutn GH vel FK 
parallela, circulus centro E & intervallo EC deſcriptus, 
dato qualrato inſcriptum erit. 

Nam quoniam GE, EH & EF ſunt parallelogramma 


(1), erunt ipſorum latera oppoſita æqualia (2); proin- 5 ON 
L dc 34.“ * 


ä Eurlidis Elementorum 


( 3) per conf, de cum propter #quales 'GH & FG biſectas (3), 1 
 farum ſemiſſes GC & GB æquantur, erunt CE & EB, 
ipſis GB & GC zquales (2), inter ſe quoque zquales ; ; 
reliquæ vero ED & EA ipſis CE & EB zquales ſunt 
quoniam ipſts CH & BF, quæ ſemiſſes ſunt ipſarum 
(4) per prop. GH & FG, zquantur (4); quatuor igitur EC, EB, EA 
34. 1. & ED inter fe æquales ſunt, & ergo circulus centro 
E & intervallo EC deſcriptus tranſibit per B, A & P, 
& quoniam anguli ad C, >, A &D recti fant: circulus 


r drop, iſte continget latera dati quadrati (5), & ergo in 
487 n 7. ipſo eher. 


PROP. IX. PROB. 
T. 10. Co datum quadratum (ABCD) circulum cir- 


cu mſcribere. 


Da AC & BD ſeſe interſecantes in E; circu- 

lus centro E per A deſcriptus tranſibit per B, C & P. 
Nam quoniam in trian 2 iſoſcele ABC, angulus B 
(1) 3 cor. rectus eſt, reliqui erunt ſemirecti (1), ſimiliter demon- 
ſtrari pote ſt omnes angulos in quos anguli quadrati ab 
AC & BD dividuntur eſſe ſemirectos, & igitur ſunt 
inter ſe omnes æquales; ergo in triangulo AEB, quo- 
niam arguli EAB & EBA æquales ſunt, latera EA & 
(hee, py: EB æquantur (2), fimiliter demonſtrari poteſt reliquos 
6.1.1 ED & EC ipſis EA & EB zquales eſſe, quatuor igitur 
EA, EB, EC & ED i æquantur, & proinde circulus cen- 
tro E per A deſcriptus tranſihit per B, C & P, et ergo 

dato quadrato circumſeriptus erit. 


2 


PROP. X. PRO B. 
Fg. 12. T Riangulum Th bſceles C91 /ituere 3 angulum 


utrumque ad baſim, duplum an b ad ver- 
ticem. 


- Sumatur refa quzvis AB, & ſecetur in C ita ut rec- 
(1)per rep. tangylum ſub AB & CB quadrato ex AC zquale fit (4) 
| . 2. & centro A intervallo vero AB deſcribatur er ie BE 
(2) or prop. in quo inſcribatur recta BD ipſi AC æqualis (2), dufta 
b. AD, erit BAD triangulum iſoſceles & uterque angulus 
B&D — A duplus erit. 


Ducatur 


Liber Duartus,.. 


Ducatur enim DC, & triangulo DCA circumſcribatur 

circulus ACD. 555 A 

Quoniam rectangulum ſub AB EN 5 quadrato 

ex AC (3), & ergo quadrato ex BD ipfi AC æquali (3), (3) er e. 

rea BD continget circulum ACD 40 & ergo angulus (4) per prop. - 

BBC angulo A in ſegmento alterno zqualis ef zr 3: > 

datur utrinque CDA, & erit BDA-ipfhs CDA & A fimul (5) per $$. 
æqualis; ſed quoniam latera AR & AD zquantur, erunt: 

anguli B & BDA æquales, ergo anguſus B ipſis DAR | 
A ſimul æquatur; externus vero angulus BOD —_—: 

CDA & A zqualis eſt (6), ergo zquantur B & BCD.” & (6) þer prop. 
roinde latera BD & CD zquantur ' (7), ſed zquales 32. J. 1. 

Fane BD & CA (8), ergo CD & CA æquales ſunt, WT ws 

& igitur anguli A & CDA æquales ſunt, fed angulus 8 — 9 

BDA ipſis A & CDA æqualis eſt, ergo ipſius A duplus e 

eſt, & ergo angulus B ejuſdem anguli A duplus eſt. | 
Schol. Patet Fw Jags BDC eſſe iſoſceles cujus_ 

uterque angulus ad baſem BC duplus eft anguli BDC ad 

verticem ; triangulum vero ACD eſſe iſoſceles cujus angu- 

lus ad verticem AC utriuſque ad baſem triplus eſt, æqua- 

lis n eſt angulis B & BDC ſimul (1), quorum alter () per prod. 

B angflli A duplus eſt, alter vero BDC ipſi æqualis. 32. J. 1. 
Cor. Hinc patet quomodo ſuper data rectà BD. pro 

baſi conſtitui poteſt triangulum iſoſceles habens angulos 

ad baſem duplos anguli ad verticem; conſtituatur enim 

tale triangulum DB in quo data BD fit latus, & producta 

BC conſtituatur angulus BDA angulo B zqualis, con- 

current BA & DA, & factum erit quod proponebatur. 


PROP. Xl. PROB. 


IN dato circulo ABC DE pentagonum equilaterum Fig. 13. 
L & equiangulum inſcribere. Vide N. 


Conſtituatur triangulum iſoſceles habens angulum 
utrumque ad baſem duplum anguli ad verticem (1), & in (1) per prop, 
dato circulo inſcribatur ACE ipſi æquiangulum (2), bile- 10. 1. 4. 
centur anguli ad baſem A & 2 rectis AD & EB, & du- (2) per prop. 
cantur AB, BC, CD, DE & EA. . 
Quoniam igitur uterque angulus CAE & CEA ipſius 
ECA duplus eſt (3), biſecti vero ſunt rectis AD & EB, (3) Per conf. 
erunt quinque anguli CEB, BEA, ACE, CAD, & DAE, 
inter ſe æquales, & ergo _ quibus inſiſtunt ſunt * 
| T es 


74 
* 


76 Euclidis Elementorum 


(4) per ſth. les (4), & ergo rectæ CB; BA, AE, ED, & DC hos 
17029 arcus ſubtendentes ſunt quoque æquales (4), & ergo 
ER bentagonum ABCDE elt #quilaterum. 
Quoniam vero arcs: AB & DE zquales ſunt, addito 
© conintuni BCD;"er#arcus ABCD arcui BODE zqualis, 


' etgo anguli AED & BAE ipſis inſiſtentes ſunt quoque 


(5) per cb. — G & fimiliter demonſtrari poteſt reliquos omnes 
* 29. angulos eſſe æquales, & ergo eſt pentagonum ABCDE 
To . =quidrgulum.. . 
_ _ "Cor. 1. Hine patet omnem figuram aller cir- 
— 2 inſcriptani” elle quoque zquiangulam. 
Fig. 13. Cor. 2. Super data rectà AE conſtitui poteſt penta- 
gonum æquilaterum, & zquiangulum, conſtituendo ſuper 
_."1pfa pro baſe triangulum iſoſceles ACE . cujus _—_— 
(1) per cor, uterque ad baſem uplus fit anguli ad verticem (1), & 
P. 10. l. 4. Circa ipſum circulum circumſcribendo, pentagonum in 
hoc in iptum ſuper data conſtitutum erik, 


PROP. XI. PROB. 
Fig. 14; 2 dam - circulum- ( ABCDE ) ann 


equilaterum WF equiangulum circumſer ibere. 


Sint puncta A, B, C, D&E vertices angulorum pen- 

tagoni æquilateri & zquianguli in dato circulo inſcripti, 

& ducantur GH, HK, KL, LM & MG circulum in ipſis 

contingentes, erit pentagonum GHKLM, circulo dato 
circumſcriptum, & æquilaterum & æquiangulum. 

Ducantur enim FA, FG, FE, FM & FD; & quoniam 

in triangulis FGA, FGE, latera GA & GE. æquantur, 

contingentes enim ſunt ex codem puncto G, & latera FA 

& FE quoque æqualia ſunt, FG vero commune, erunt 

anguli FGA & FGE æquales, & quoque AFG & EFG 

1j per fb. (1), eſt igitur AGE ipſius FGE duplus, & AFE ipſius 

; 57 7. 1. CFE duplus; ſimiliter demonſtrari poteſt DME ipſius 

5 IME duplum eſſe, & quoque DFE ipſius MFE. Quo- 

(2) Per conf. niam vero arcus AE & ED æquales ſunt (2), anguli AFE 

(3) per {ib », & EFD æquantur (3), & ergo ipſorum ſemiſſes GEE & 

p. 29.1. 3. MFE æquales ſunt, ſed ſunt quoque anguli FEG & FEM 

K quales & latus FE commune eſt, zquantur 1gitur anguli 

(4) per prepe FGE & FME & latera GE & EM (4), proinde recta 

e ..GM ipſius GE dupla eſt, & ſimiliter demonſtrari poteſt 

GH iptius GA duplam eſſe, æquales vero ſunt GE & GA, 


& ergo 


3 od aan i le os Sl + tc, Sd Aw + 


Liber Duartus. 
& ergo æquales quoque ſunt GM & GH, & ſimiliter de- 


monſtrari poteſt reliqua latefa eſſe æqualia, eſt igitur 
pentagonum GHKLM zquilaterum. Quoniam vero an- 


guli DME & AGE ipſorum FME & FGE dupli ſunt, 
FME vero ipſi FGE zquatur, erit quoque DME iph 


AGE æqualis, & ſimiliter demonſtrari poteſt reliquos an- 
gulos eſſe æquales, & ergo eſt GHKLM quoque æquian- 


ulum. | | 


Schol. Similiter circa. datum circulum circumſcribi 


poteſt quævis figura zquilatera & zquiangula, talem prius 


mſcribendo & per angulos ejus ducendo contingen- 


PROP. XIII. PROB. 


77 


IN dato pentagono equilatero & equiangulo ( ABC» Fr. 15+ 


1 DE) circulum inſcribere. 


| Biſecentur duo quivis anguli adjacentes A & E rectis 
AF & EF concurrentibus in F, & ab F ducatur FG _ 
ipſi AE perpendicularis, circulus centro F & intervallo 


FG deſcriptus dato pentagono inſcriptus erit. 
Ducantur enim FB, FC & FD, & in latera cadant ab 
F perpendiculares FH, FN, FM &. FL. 


Quoniam igitur in triangulis AFB, AFE latera AB 
& AE æqualia ſunt (1), AF vero commune, & anguli(*) 
FAB & FAE zquales (2), erunt quoque anguli ABE & 


AEF æquales (3), ſed ſunt ABC & AED zquales (1), 


quoque ABF ſemiſſis ipſius ABC, & fimiliter demon- 
ſtrari poteſt reliquos angulos biſectos eſſe rectis ad 
F ductis. In triangulis igitur FBH & FBN anguli FBH 
& FBN zquales ſunt, anguli vero ad H & N recti, & 
latus FB, æqualibus H & N oppoſitum, commune, ſunt 


proinde Jatera FH & FN zqualia (4), & fimiliter de- (4) ge, 
monſtrari poteſt reliquas omnes perpendiculares eſſe 26. 


æquales, circulus igitur centro F per G deſcriptus 


tranſibit per H, N, M & L, & propter angulos ad G, 


H, N, M & L. rectos, latera dati pentagoni in iſtis 

punctis continget. | . 
Schol. Eädem prorſus methodo, in quavis figura 

æquilaterà & æquiangulà, circulus poteſt inſcribi. 


PROP. 


by- 


2) per conf. 
& ergo quoniam AEF ſemiſſis eſt ipſius AED (2), eſt 4. J. 1. 


13 


8 Euclidit Elementorum 


PROP. XIV. PR OB. 


; Fig. 16. | 8 Irca datum pentagonum equilaterum Oy egen. | 


gulum ( ABCDE ) circulum deſcribere. 


— 


| Biſecentur anguli A & E rectis AF & EF, & ab ip- 


farum concurſu r alterutrum punctum A vel E de. 


ſcribatur circulus, hic tranſibit quoque per B, C & D. 


Ducantur enim FB, FC & FD, & in triangulis FAE 


& FAB quoniam latera FA, AE lateribus FA, AB | 


(ier conff. zquaritur, & angulus FAE angulo FAB zqualis eſt (1), 
(2) per prop. erunt quoque anguli FBA & FEA zquales (2), & pro- 
al 1. inde quoniam anguk ABC & AED equantur (3), FEA 
(3) fer by-vero ipſius AED ſemiſſis eſt (4), erit FBA ipſius ABC 
185 2 2 ſemiſſis, & ergo ABC ab ipſa FB biſecatur, $ 
er cds, ſimiliter demonſtrari poteſt reliquos angulos C & D eſe 
biſectos. Quoniam igitur in triangulo AFE, ang 

FAE & FEA zquahum BAE 5 N _ = uſes, 
 2quantur, & ergo latera FE & zqualia ſunt (5), 

897 * & ſimiliter eder, poteſt reliquas re rectas oy 
FC & FD zquales eſſe, quinque igitur FA, FB, FC, 


FD & FE æquantur, & proinde circulus centro F per, 


A deſcriptus tranſibit per B, C, D & E, & dato pen- 
tagono circumſcribitur. 

Schol. Eadem prorſus methodo circa quamvis figu- 
ram 1 & æquiangulam circulus circumſcribi 
poteſt. 


PROP. XV. PRO B. 


Fig. 19. IN dato cireuh (ABCDEF) hexagonum æguilas 


M4 rum & equiangulum inſcribere. 


Sumatur G centrum circuli dati, & duQa diametro 
AGD, centro A deſcribatur circulus per G, & per in- 
terſectiones B & F ducantur BE & FC circuli dati dia- 
metri ; ductis AB, BC, CD, DE, EF & FA erit ABC, 
DEF hexagonum dato circulo infcriptum & zquilate- 
rum & æquiangulum. 3 

Quoniam enim AB & AG ejuſdem circuli BGF ſunt 
radii, æquantur, & quoniam GA & GB ejuſdem cireuli 
ABCDEF ſunt radii, zquantur ; eſt igitur Fang 


Liber” Duartus. 79 


BGA æquilaterum, & ergo angulus BGA tertia pars 
eſt duorum rectorum (1), ſimiliter AGF æquilaterum (1) * 
'eſt & an gulus AGF quoque tertia pars duorum rectorum, # * - 3 
ſed ſunt BGA & AGF una cum FGE duobus rectis 
. | zquales (2), & ergo ipſe FGE una tertia pars eſt duo- HS .- 
| rum rectorum; tres igitur BGA, AGF & FGE ſunt 1. Z. 13. 1 1. 
inter ſe æquales, & ergo ipſis verticales EGD, DGC & 
CGB zquales ſunt, & proinde ſex anguli ad G æquantur, 
& ergo arcus quoque quibus inſiſtunt (3), & proinde (3) fer eb. 
rectæ hos arcus ſubtendentes zquales ſunt (3), eſt igitur ? 29. J. 3. 
hexagonum ABCDEF zquilaterum, & ergo quoniam 
circulo inſcribitur eſt quoque æquiangulum 0 A (4) per go 
Cor. 1. Latus hexagoni æquale eſt radio circuli in? e Ho 
quo inſcribitur. Ze | 
Cor. 2. Biſectis arcubus AB, BC &c. inſcribi poteſt Fig. 19. 
figura duodecim laterum æqualium, & his iterum biſec- 5 
is, figura viginti quatuor laterum & ita deinceps. 5 
| Cor. 3. Hexagonum æquilaterum & æquiangulum Fig. 17. 
ſuper datà rectà BA deſcribi poteſt, deſcribendo ſuper 
dati triangulum zquilaterum BGA, & centro G per A 
| deſcribendo circulum, & hexagonum in ipſo inſcribendo. 
Cor. 4. Ductis AC, AE & CE inſcriptum erit in fig 15. 
| dato circulo triangulum æquilaterum, cujus proinde la- 
tera biſecant radios ipſis perpendiculares. Sit enim GD - 
lateri cuivis CE perpendicularis & in triangulis DCK, 
GCK anguli ad K recti ſunt, anguli vero DCK & GCE, 
zqualibus arcubus DE & EF inſiſtentes, æquales (1), (1) per fc. 
& latus CK inter .* æquales commune, zquantur p. 29. . 3. 
igitur latera DK & GK (2), & proinde GD biſecatur. (2) fer prop. 
Cor. 5. Hinc ſequitur quadratum ex latere trianguli 5 2 . 
æquilateri triplum eſſe quadrati ex radio circuli cui in- fig. 17. 
| ſcriptum eſt, fi enim ducta fuerit AC quadratum ex 
ipſà æquale foret quadratis ex AG & GC cum duplo 
* | 7<Ranguloſub AG&GK (1), ſed quoniam GK ipſius AG (1 fer prey. 
| ſemiſſis eſt (2), duplum rectangulum ſub AG & GK 132. J. . 
. pgs ex AG zquatur, & proinde quadratum ex AC (a] Per «or. 
uplo quadrato ex AG cum quadrato ex GC æqua- . 
- tur, hoc eſt triplo quadrato ex radio. 


po# TD CY YC = 55 wo. Wn wo - 


wo 


*” 2 © ww  w 


„ 


p AO. 


Euclidi⸗ Elementorum 


PROP. XVI. PRO B. 


Fig. 18. N dato circulo (CAD) quindecagonum equilate- 


Vit N. 


rum & equiangulum inſcribere. 


Trianguli æquilateri, quod circulo CAD inſeribi po. 
teſt, latus CD ipſi inſcribatur, & quoque pentagoni 
æquilateri & æquianguli, quod circulo CAD inſeribi 


poteſt, latus CA ipſt inſcribatur, biſecetur AD & erit 


Az latus quindecagoni quæſiti. 


Si enim dividatur tota circumferentia in quindecim 
partes, quoniam arcus CD tertia pars totius circumfe- 
rentiæ eſt, quinque ex iſſis partibus in ipſa continentur, 


& ſimiliter in arcu CA tres ex ipſis continentur, & pro- 


inde in AD continentur duæ, & ergo eſt AB pars quin- 


tadecima circumferentiæ totius, & AB 1gitur latus eſt 


quindecagoni. | 


t.UCqiI1D15 


E * 0 * 1 D 4 8 


ELEMENTORUM. 
LIBER QUINTUS. 
DEFINITIONES, 


M Agnitudo magnitudinis pars aliquota vel f *Y 
multiplex dicitur, minor majoris, quando mi- 
nor metitur —— 

2. Major dicitur multiplex minoris, quando majorem 


minor metitur. 


3. Ratio eſt duarum magnitudinum ejuſdem generis, 


ſecundum quantitatem, mutua quædam habitudo. | 
4. Rationem inter ſe habere ma itudines dicuntur, 2 W. 
quarum minor multiplicata majorem ſuperare poteſt. 
$. In eadem ratione magnitudines eſſe dicuntur, pri- pi. V. 


ma ad ſecundam & tertia ad quartam, quando quoties 
ſubmultiplex quævis prime continetur in ceunda, | tories 
=que ſubmultiplex tertiz continetar in quarta. = 
6. Magnitudines que eandem rationem habent, my 
W voeentur. 
7. Quando ſubmultiplex quevis prime ſe pius contine- 


wy in ſeeundà, quam æque ſubmultplex tertiæ continetur Fide N. 


uarta, tune prima dicitur habere minorem rationem 
ecundam quam tertia ad quartam; & contra, tertia 
10 quartam majorem rationem habere dicitur quam pri- 
ma ad ſecundam. 
8. Proportio eſt rationum fimilitudo. 
9. Proportio vero in tribus ad minimum terminis con- 


ſi ſtit. 
M 10. Quando 


82 


Vide N. 


Vide NM. 


Euclidis Elementorum 


10. Quando tres magnitudines proportionales ſunt 
(A ad B̃ ut B ad C) prima dicitur habere ad tertiam (A 
ad C) rationem duplicatam ejus quam habet ad ſecun- 


dam (ſcilicit rationis A ad B). 
11. Quando quatuor magnitudines ſunt deinceps pro- 
portionales (A ad B ut Bad C & B ad C ut C ad D) 


prima dicitur habere ad quartam (A ad D) rationem du- 


plicatam ejus quam habet ad ſecundam (ſcilicit rationis 


A ad B). Et fic deinceps, una amplius, quotcunque 


fuerint proportionales. - 
12. Si fuerint quotcunque magnitudines ejuſdem ge- 


neris (A, D, C & F) prima dicitur habere ad ultimam 


(A ad F) rationem compoſitam ex ratione quam habet 
prima ad ſecundam, & ſecunda ad tertiam & tertia ad 
quartam (A ad D & D ad C& Cad F) & ita deinceps 
uſque ad ultimam. V | 

13. Homologs magnitudines, in proportionalibus, ap- 
pellantur antecedentes antecedentibus, conſequentes vero 
conſequentibus. 


Mutari poteſt wel ordo vel nagnitudo proportionalium, ita 


ut tamen maneant. proportionales, variis modis qui apud geo- 


metras nominibus ſequentibus defignantur. 


7 a 


14. Permutando; cum concluditur, fi ſint quatuor 


magnitudines, ejuſdem generis, proportionales, primam : 


eſſe ad tertiam ut ſecunda ad quartam, ut eſtenſum eft in 
Prop. 33. Lib. 5. 5 

15. Invertendo; cum concluditur, fi fint quatuor 
magnitudines proportionales, ſecundam eſſe ad primam 
ut quarta ad tertiam. Prop. 20. h 

16. Componendo ; cum concluditur, fi ſint 2 
magnitudines proportionales, primam una cum ſecunda 
eſſe ad ſecundam, ut tertia una cum quarta ad quartam. 
Cr. $155. 5; :-: | 1 8 1 5 

17. Dividendo; cum concluditur, ſi ſint quatuor 
magnitudines proportionales, differentiam inter primam 
& ſecundam eſſe ad ſecundam, ut differentia inter tertiam 


& quartam ad quartam. Cor. 2. prop. 25. 5 
18. Convertendo; cum concluditur, fi ſint quatuor 


magnitudines proportionales, primam eſſe ad ſummam 
vel differentiam ipſius & ſe cundæ, ut tertia ad ſummam vel 


differentiam ipſius & quartz. Prop. 21. & 25. & cor. 1. 


fiop. 20. ' 


19. Ex quali, vel ex zquo; cum concluditur, . fi 


pores fint magnitudines, & aliæ ipſis numero zquales, 
qua ſi binæ ſumantur ſunt in eadem ratione, primam etle 


ad 


Liber Duintus. « 3 


ad ultimam in priore ſerie, ut ns ad altimanm | in poſ- 
terre... | 
pn due ſunt /} 8 ſequentes. 

20. Ex æquo ordinate ; quando fuerit g, magnitude 
ad ſecundam in priore ſerie, ut prima ad ſecundam in poſte- 
riore, & ray ad tertiam in tore ſerie ut ſecun ad 
tertiam in poſteriore, & ita deinceps;: & concluditur, ut 
ſupra, primam eſſe ad ultimam in priore ſerie ut prima 
ad ultimam in poſteriore. Prop. 34 SEES A 

21. Ex æquo perturbate; | uind fern prima 5 2 
magnitudo ad { ecundam in priore erie, ut enultima ad 8 
ultimam in poſteriore; &, ſecunda ad tertiam in priore 
ſerie, ut antepenultimà ad penultinian' i in iore, & 
ita deinceps, & coneluditür, ut Aupra, pri. mam eſſe ac 
ultimam e ut Prima e . 
F. | 42 


, p 
0 \ % * Fl 5 9 34 5 53 8 . 1 * 4 - $* + 
+ + 

"FR 


LY * Y . } i * 
! 3" 1 „ 
SO FEEL. 
a « 4 .*. 7 + > -* alle #Y — 


nn — FF Lo . ee G 
5 - Ejuſtem er eheim iu multi cvs, "ol mane) AT 
ſubmultiplices, ſunt æquales. 0 pong (abs gc "Wd 8 
2. Quarum eadem æque multiplex, vel que ſabes; * 
ban eſt, vel 2 uales æque multiplices vel æque 
ſubmultiplices ſunt, & ipſæ inter ſe ſunt æquales. 
3- Multiplex velfubmultplex majories major eſt ax xj 
| multiples vel æqus ſubmuſtiplice minoris. 
4. Magnitudo cujus — vel ſubmultiplex major 
eſt æque multplice vel * W terius, illa 
4 . eſt... 2. 85 


8 M2 PROPOSITIO 


«Ss „ 


94 | Euclidis Elementorum 


PROPOS ms PRIMA. THEOREMA, 


Fig. prima. 1 date Ant tee nagnitudinet equates (BC E 
Tabula guin- 1. DE Js quotes 'tertia quevis (4 in alterutra 
F . e rater continetter i in allerd. 


Primo ſit ex dais 8 BC multiplex i Gus A, & 
non ſæpius continetur. A in alterutra quam in alters. 
Nam, ſi fieri potaſt,, contineatur A ſæpius in DE quam 
(i) per ax. in BC, & 1222 cantinetur toties auferatur ex 
J. 8s. DE & relinquetur part quzdam mE ; ſunt igitur BC 
| (2) per Ops ne e fem, A ue multiplices, & ergo BC ipſi Dm 
fire r as, 1 | 105 eſt;RC iph D 209. *. igitur 
3. L. 1. m iph D Wendt ef (3), quod ab ſurdum.' | 

am, fi fieri poteſt, contineatur A ſæpius in BC quam 
EL E & auferatur * uoties fiexi poteſt ex DE & relin- 
- quetur mE ipſa A iadr, & toties- auferatur ex BC, 


1-08) per conft...dg, quoniam ſepius continetur in BC quam in DE, relin- 


9727 .quezar pars . ipſũ A major vel pt. aqui * . 
| (6 — mE. 8880 ſunt vero Bu . Dm eu 
7 2 EXE 407 Heh pre aqua {3} z 5 5 
er {Her A mE'z 
pre. 8 4 1 Thi ug e ot To 1 885 


2 am fit neatra ex — maltiplex n A, & non 


ſæpius continetur A in alterutrk quam in akera. - 

Jam, fi flexi poteſt, ſæpius vontineatur A in BC quam 
in DE, & auftratur quotics fiqri poteſf e DE: & pelin- 
quetur mE ipſa A minor, & toties auferatur Ax BC & 
relinquetur nC ipſa A major & ergo ipſa mE major, 
ſunt vero Bn & Dm ejuſdem A æque multiplices & 


(8) per an. ergo æquales (8), & ſunt quoque BC & DE zquales (9), 


1. J. 5. & proinde nC ipſi mE zqualis eſt (10), ſed & ipſa ma- 
(9) Per by= jor, quod abſurdum. In nullo itaque caſu ſæpius conti- 
peth. „ netur A in alterutra ex datis BC vel DE quam in al- 
(10) % Ar. teri. 

e Cor. 1. Hine patet fi alterutra ex datis fit multiplex 


ipſius A erit — 5 = ue multiplex. 
Cor. 2. Si duz {int magnitudines æquales, quoties 


prima in tertia quavis continetur, toties ſecunda 1 in eadem 
_ tertia continetur. 

Cor. 3. Si ſint quatuor magnitudines, prima quidem 
ſecundæ æqualis, tertia vero quartæ, quoties prima in 
tertia continetur, toties continetur ſecunda in quarto. A 

PRO 


er =" ON en 


” RT ”" a rr 


a_ Sas a. — ata ed ac. 


PROP. INI. THEOR. 
1 date fint due magnitudines 


aquales. ER 

Cor. Et ſi ſint quatuor magnitudines quarum prima 
ſecundæ æqualis eſt, fubmultiples vero primz utcunque 
ſumpta ſemper totzes, contineatur .3n_tertzia quoties æque 
ſubmultiplex ſecundæ continetur in quart, erit tertia 


quartz zqualis. 


PROP. III. 1 HE OR. 


87 int quatuor magnitudines ( A, B, CD & EF) Fig. 3. 
) quarum.' prima fecundd major ęſt, tertia vero 
quarte equalis, non ſæpius continetur prima in tertid 


quam ſecunda in quurtd. Ee 


Primd, fit B ſubmultiplex ipſius EF & ſzpius fi fieri 
poteſt, contineatur A in CD quam Bin EF, & quoties B 
continetur in EF toties auferatur A ex CD & relinquetur (1) per conft. 
pars quzdam mp, & quoniam Cm & EF ipſarum A & (32) Per H- 
B æque multiplices ſunt (1), A vero ipſũ B major eſt (2), T.. 
erit Cm ipſa EP major (3), ſed eſt EF ipſi CD æqu lis (3) fer a 
(4): & igitur Cm ipſa CD major eſt, quod abſur- (4) per I 


um. 

Jam non ſit B ſubmultiplex ipſius EF, & ſæpius, fi fieri 
poteſt, contineatur A in CD quam Bin EF, & aufera- 
tur B ex EF quoties fieri poteſt & relinquetnr nF ipſa B 
minor, & toties auferatur A ex CD & quoniam ſæpius 
continetur A in CD quam B in EF, erit reſidua mD vel 
ipſk A major vel ipſi æqualis, & igitur ipſa B major & 

proinde 


86 | | Zuclidis Elementorum 


proinde ipſa nF major, ſunt vero Cm & En ipſarum A 


per conſt. & B æ ow multi plices (5) & A ipſa B major eſt, ergo 


(5) 
(6) per ax. Cm ipſa En major eſt (6), ſed & mD ipſa nF major, 
5 2 * tota igitur CD tota EF major eſt, ſed & ipſi zqualis (7) 
5 uod abſurdum. In nullo itaque caſu continetur A ſæ- 
pius in CD quam B in EHI. | 
- Similiter fi date ſint quatuor magnitudines qua- 
23 æqualis eſt ſecundæ, tertia vero minor quarta, 
non ſæpius continetur prima in tertia quam ſecunda in 
quarti. 


PROP. IV. THEOR. 


Fig. 34. S date þ nt fon aten cher 0 AB. &..CD ) gus⸗ 

nn * {AB) alter {CD) major ft, 
datur ſubmultiplex tertiæ cujuſvir 5 E. gue FR in 
O_o. e in minore continetur. 


Sit mB ales {pſu AB 3 pb & ſumatur e fub- 
N ipſius E, ipſa mB minor, & quoniam Am 


(1) 1)per prop, ipſi CD æqualis eft, . e in CD continetur toties 


(3) per cnn. (2) & proinde e ſzpius continetur in AB quam in Am, 
_ &igitur ape 2 in CD. 


PROP. V. THEOR. 


Fig. 4 & 5. 87 dain int duæ ali (AB = CD ) tertia 


vero quevis (e) ſumi poteſt que ſæpius in und 
(AB) quam in alterd (CD) continetur, erit hec 


0 2 ns (AB) minor. 


* quoties in CD continetur & relinquetur pars quædam mB 


{1 ) per by (1), & erit Am ipfi CD zquyalis quoniam utraque ejuſdem 
foth. 


_ e xque multiplex eſt, & ergo AB ipſa CD major eſt. 
Fig. 5. S1 vero e non fit ſubmoleplex i us CD auferatur quo- 
ties fieri poteſt & relinquetur ipla e minor, & toties 
auferatur ex AB, & quoniam ſzpius continetur in AB 


(2) fer by- quam in CD (2), erit pars reſidua mB ipſa e major vel 


oth. ipſi æqualis & igitur pſa nD major, ſunt vero =_y 
n 


S ww Nan 


quoque in Am continetur (1), ſed eſt e ipſa mB minor | 


ca =, oc DOo 


Si fit e ſubmultiplex ipſius CD, auferatur ex AB toties 


mi. an” nd 3% a A © aA. 


4 


DB & ._ WW ow 


eſt. 


Liber Qlintr. 87 


Cn ejuſdem e æque multiplices (3), & ergo æquales (4), (3) Per conf. 
ſed eſt mB ipſa nD major, tota igitur AB tota CD 2 (4 74 ax. 


PROP. VI. THE OR. 


oy date fint due magnitudines (a & AB) quarum ig. 6. 

prior poſtertoris ſubmultiplex eft, & ſumatur tertia 
quevis (x) que prioris (a) fit ſubmultiplex, erit 

quoque poſterioris (AB) ſubmultiplex.. 7 


Dividatur enim AB in partes Ao & oB ipſi a zquales, 8 
& quoniam x ipſius a ſubmultiplex eſt (1), erit quoque (1) per by- 
ipſius Ao ſubmultiplex (2), & ſimiliter ipſius o B ſubmul- p95. 
tiplex, dividantur igitur Ao & oB in partes Am, mo, . f * 95 
on, nB ipfi x æquales, & erit tota AB diviſa in partes 5. 
iph x æquales & igitur x ipſius AB ſubmultiplex 
«a RE | 


PROP. vn. TH EO R. 


NI fint due magnitudines (a & duarum (AC Bg. . 
8 & BD) eque ſubmultiplices, & ſumantur aliæ 
due (x & 2 ) que priorum eque ſubmultiplices ſunt, 
erunt quoque poſteriorum æque ſubmultiplices. 


Dividatur enim AC in partes Ao, oC ipſi a zquales, 


& BD in partes Bn, nD ipſi 6 æquales, & quoniam 


æquales ſunt a & Ao (1), x vero iphus a ſubmultiplex (1) per conf. 
eſt (2), erit ipſius Ao æque ſubmultiplex (3), & fimili- (3) Fr - 
ter eſt x æque ſubmultiplex ipſarum & & Bn, x vero 8. (%, TE 
2 2 a & b æque ſubmultiplices ſunt (4) & proinde 1. * N 
ipſarum Ao & Bn æque ſubmultiplices, & fic quoque /4) per by- 
æque ſubmultiplices ipſarum oC & nD, qualis igitur ab. 
ſubmultiplex eſt x ipſius AC talis erit z ipſius BD. 8 
Cor. 1. Si ſubmultiplex fit ipſius 6, quoties vero Fig. 8. 
⁊ in 6 continetur toties x in a u continetur, & ſumantur Yide N. 
ipſarum 6 & an æque multiplices quævis BD & AC, 
non ſæpius continetur z in BD quam x in AC. : 
Nam fi x ſubmultiplex fit ipſius an, erunt z & x æque 
ſubmultiplices ipſarum BD & AC (1), & igitur toties 


. 
continetur x in AC quoties z in BD. - 


( 
J. . 
S1 


323 Euelidss ElementoPum 


Si vero x non fit ſubmultiplex ipſius an auferatur ex an 

quoties fieri poteſt & relinquetur pars quædam on, & 

(2) per by quoniam x & x ipſarum ao & b æque ſubmultiplices ſunt 

(2), quoties æ in multiplice quivis ipſius 5 continetur, to- 

ties x in æque multiphce ipſius ao continetur, eſt vero a 

ipſa as major, & igitur multiplex quævis ipſius an æque 

16 5 multiplice ipſius ae major eſt (3), non igitur ſæpius conti. 

5 netur x in multiplice quàvis ipfius a0 quam in æque muki- 

plice ipſius an (4), & ergo non ſepius continetur x in 

cer. F. z. I. g. multiplice quavis ipſius 6 quam x in æque multiplice ipſius 
Pg 


Fig. 5. & g. Cor. 2. Si b ſubmultiplex ſit ipſius BD, quoties vero 
& in BD continetur toties a in AC continetur, & ſumantur 
ipfarum 6 & à æque ſubmulriplices x & x, non ſæpius 

85 z in BD continetur quam æ in AC. 

(1) per prop. Si enim a ſubmultiplex fit ipſius AC patet x & æ ipſa- 

| 7-4. 5. rum AC & BD æque ſubmultiplices eſſe (1). 

Fig. 9. Si vero non, auferatur quoties fieri poteſt & relinqua- 

N tur oC, ſunt igitur a & & ipſarum Ao & BD zque ſub- 

multiplices & proinde, quoniam x & x ipſarum a & U 

{2.) per zy. æque ſubmultiplices ſunt (2), quoties æ in BD contine- 

. tur toties x in Ao continetur (3), & ergo non ſzpius x 
Pr. in BD quam æ in AC. 17 
7. 5. Cor. 3. Si x ſubmultiplex ſit ipſius BD, quoties ve- 

Fig. 10. ro æ in continetur, toties quoque x in eãdem BD 
continetur, erit x vel ipſi z æqualis, vel ipfa minor. 

| Si x ſubmultiplex fit ipſius BD, patet x & z zquales 

17 5 4 quoniam ejuſdem BD æque ſubmultiplices ſunt 

& oh 

; Si vero non, auferatur x ex BD toties quoties z in 
tpſa BD contmetur & ng pars quzdam mb, 

igitur x & z ipfarum Bm & BD æque fubmul- 
tiplices, & eſt Bm ipſa BD minor & igitur « ipſa « 

minor eſt (2). 9 755 


PROP. 


CD &Cm (3), ſed eſt x ipſa mD minor (4), & ergo 


Tiber Quintus. 89 


PROP. VIIL- THE OR. 


| 87 int due magnitudines inequales ( A & B ) da” Fig. 11 & 


tur quedam ſubmultiplex minoris ( B) que ſepius** 
in tertid qudvis ( CD ) continetur quam eque ſubmul- 
tiplex majeris ( A ) in eddem ( CD ) continetur. 


Sumatur enim ſubmultiplex quævis a ipfius A & Fx. 11. 


- que ſubmultiplex 4 ipſius B, & fit primd a ſubmultiplex 


ipſius CD, & quoties à in CD continetur toties aufera- 


tur b ex eadem CD, & quoniam 3 ipſa à minor eſt (1), (% fer Y. 


potb. Q ax. 


relinquetur pars quædam mD, & fi mD ipſa 6 major fit, J. 5. 


ſæpius continetur & in CD quam in Cm, & ergo ſzpius 
quam à continetur in CD. 

Si vero mD ipſa & minor ſit, ſumatur z ſubmultiplex 
ipſius 6 ipſa mD minor, & æque ſubmultiplex x ipſius 
a, & quoniam x & z æque ſubmultiplices ſunt ipſarum 


.a& b (2), a vero & h æque ſubmultiplices ipſarum (2) Per cont. 


CD & Cm, erunt x & z æque ſubmultiplices ipſarum 9 prop. 
ſæpius continetur z in CD quam in Cm, & ergo ſæpius en. 
quam x in eadem CD continetur. | 3 
ſam non ſit à ſubmultiplex ipſius CD, & auferatur &. 12 
quoties fieri poteſt ex CD & relinquetur pars quædam 
nD, & toties auferatur à ex CD & relinquatur mD, & 
1 Cm & Cn ipſarum 6 & a æque multiplices ſunt, 
vero ipſa a minor eſt (5), erit Cm iplſa Cn minor (5) fer by- 
(6); ſumatur ſubmultiplex = ipſius 5 ipſa mn minor, 8 1 
& æque ſubmultiplex x ipſius a, & erunt z & & ipſa- (6) per aa. 
ſarum Cm & Cn æque ſubmultiplices (7), æ vero ipſa 3. . 5. 
mn minor eſt (8), & igitur æ ſæpius continetur in Cn (7) per frop. 
quam in Cm, & igitur ſæpius quam æ in Cn, ſed eſt x (855 
ipſa z major (9), & igitur non ſæpius continetur x in (9 „er ot 
nD quam z in eadem nD (10), ſæpius vero continetur ar. 3. J. 5. 
z in Cn quam x in Cn, & ergo ſzpius z in CD quam (10) per 
x in CD. I .. 
Cor. Similiter ſi ſint quatuor magnitudines quarum 
prima A ſecundà C major eſt, tertia vero B quartz D 
æqualis, ſumi poteſt ſubmultiplex ipſius C quz ſzpius 
in D continetur quam æque ſubmultiplex ipſius A in B 
continetur, 5 


N PROP. 


go Euclidis Elementorum 
PROP. IX. THE OR. 


NM. 13, C nt due magnitudines (B & A) datur vero 
ſubmultiplex (b ) unius que ſepius in tertid qud- 
vis (CD) continetur quam aque ſubmultiplex ( a / 
alterius in eddem tertid continetur, erit hec ( A ) illd 
C63) major. 35 


Sit primo þ ſubmultiplex ipſius CD, & quoties 6 con- 

tinetur in CD toties ponatur a & inde efficiatur EF, 

& quoniam toties continetur à in EF quoties 6 in CD, 
(r) per by ſæpius vero 6 in CD quam à in CD (1), ſæpius conti- 
oth. netura in EF quam in CD & ergo EF ipſa CD major 

aka 2h eſt (z), ſunt vero @ & 6 ipſarum EF & CD æque 
(3) 7 confi, ſubmultiplices (3), & ergo à ipſa 5 major eſt (4), & 


potb. A & B ipſarum a & & æque multiplices ſunt & igitur 


(4) per ax. A ipſa B major eſt (4). 
3. 4. 


5. Si vero 3 non ſit ſubmultiplex ipſius CD, auferatur 


uoties fieri poteſt & relinquatur mD, & ſumatur EF ut 

upra & erit ipſa CD & ergo ipſa Cm major, ſunt vero 

a & b iplarum EF & Cm zque ſubmultiplices & ergo 

a a ipſa 6 major, & A & B ipſarum à & & æque multiph- 
ces & ergo A ipfa B major. 


PROP. X. THEOR. 


Fig. 14. 87 nt quatuor magnitudines (x, 2, a & b qua- 

rum prima ſæpius continetur in tertid, quam ſecun- 

da in quartd, ſæpius quoque continetur prima in mul- 

tiplice qua vis (AC) tertiæ quam ſecunda in æque 
multiplice ( BD ) quarte. EE 


Dividatur enim AC in partes Am & m ipſi a zqua- 

les, & BD in partes Bn & nD ipf 5 æquales, & quo- 

{1) per by- niam x ſæpius in @ continetur quam & in 5 (1), toties 
oth, vero x in Am quoties in a, & toties æ in Bn quoties in 
(2) per prop: b (2), ſæpius continetur x in Am quam æ in Bn; aufe- 
1. 4. 5. ratur, fi heri poteſt, z toties ex BD quoties x in Am 
continetur, & reſidua oD ipſa nD minor erit, toties igi- 

(3) Per cogſt. tur continetur x in Am quoties æ in Bo (3), ſed ſæpius 
x in 


Liber Ruintus. : 91 


* in mC quam x in nD (4), & ergo bepius quam 4 in (4) per by- 
oD 25 & proinde ſæpius continetur x in AC quam 37 . 


3 8 vero x non toties auferri poteſt ex ED quoties x (6) 5 7 * 
continetur in Am, patet x ſæpius contineri in AC ny 
z in BD. 

Cor. Hinc ſi x ſzpius in a continetur quam zin b, 


à vero ſepius in AC quam & in BD, po quoque conti- 
netur x in AC quam æ in BD. 


PROP. XI. THEOR. 


. 87 duæ magnitudines equales ( AC & BD diui- Fig. 18. 
dantur in partes aliquotas multitudine inequales 

(Am & mC; Bn, no & oD) erit pars (Bn). ex tis 

que multitudine majores ſunt, minor parte f An and ex 

ii que multitudine minores W | 


|  Quoties enim Bn continetur in BD. toties ponatur 

Am & inde efficiatur EF, & quoniam toties continetur (1) fer can. 

Am in EF quoties Bau in BD (1), ſæpius vero Bn in (4) vr l- 
BD quam Am in AC (2), ſzpius. continetur Am in .. 

EF Ka in AC, & igitur EF wſa AC 1 eſt (3), %%. 

& ergo ipla BD major ſed ſunt Am & \ PR 

EF & BD zque bmaltipices (0 * igitur np „ 2 


5) per 
Am minor eſt (5). | I 85 


PROP. XII, THEOR. 


Q! int quotcungue 8 ( atsh ) quotcun- Fiz. 16. 
que magnitudinum PAC & BD) equalium nu= 
mero, fingule ſingularum eque fubmultiplices, qualis 
ſubmultipl 


ex eft una unius, talis erunt & omnes fimul, 


— 


' Quoniam enim, @ toties continetur in AC quotes bin (1) ) per oY 
BD (i), quot ſunt partes in AC iph à æquales, tot Potb. 
ſunt in BD ipſi 5 zquales ; dividatur AC in partes Am, 
mC, ipſi à æquales, & BD in partes Bn, nD ipſi 3 
æquales. Erit 1gitur multitudo partium Am, mC, mul- 
titudini partium Bn, nD æqualis, & 1 Am ipfi 
a, Bn vero * 6 æqualis . erunt & Bn * 

n ipſis 


92 Zuclidis Elementorum 


ipſis a & 6b ſimul æquales; fimiliter mC & nD ſimul. 
ipſis a & 5 ſimul: ſunt æquales, quot 1gitur partes ſunt. 
in AC ipſi à æquales, tot ſunt in AC & BD ſimul ipſis 
2 & 6 fimifl zquales, & ergo qualis ſubmultiplex eſt a 


ipſius AC, talis & a una cum 6 ipſarum AC & BD 


ſimul. | . 
Fig. 16 Cor. 1. Si ſint quatuor magnitudines (a, 5, AC & 
17. B.), quoties vero prima in tertia continetur, toties & 


ſecunda in quarta continetur, toties quoque prima una cum 
TO ſecunda, in tertia una cum quarta continetur. 
Fig. 16. Si ſint a & 6 ſubmultiplices ipſarum AC & BD, pa- 
DEM (1). 5 a 5 
Tec. 
geri poteſt ex AC & relinquetur mC ipſa a minor, & 
toties auferatur 5 ex BD & relinquetur nD ipſa 6 
minor ; ſunt igitur a & 6 ipſarum Am & Bn æque ſub- 


(2) per by- multiplices* (2), & ergo quoties 2 in Am continetur, | 
poth, © toties quoque continetur a una cum 6 in Am una cum 
„ Bn (3), ſed eſt @ ipſa mC major, & 5 ipſa nD major, 
. . & ergo a & b ſimul, iptis:mC & nD fimul majores ſunt, 


conſis, 


& _ non. ſzpius:contimetur. a una cam-b5 in AC & 
BD 


ul quam in Am & Bn fimul, & igitur toties 


continetur à una cum 6 in ipſis AC & BD ſimul quoties 
enfin in . % ũ ũ ũ%ůͤ)7?rr 10 
-  Similiter demonſtrari poteſt fi a ſubmultiplex fit ip- 
ſius AC, 6 verò non ſybmultiplex ipſius BD. | | 
Cor. 2. Hoc quoque verum eſt de. quotcunque mag- 


© nitudinibus. 
PROP. XIII. I H E O R. 


F. 18. 11 fint quatuor  magnitudines proportionales, pri- 


ma ad ſecundam ut tertia ad quartam ( A ad 
CD ut B ad EF), & ſumatur ſubmultiplex (a) 
prime, fe hæc fit ſubmultiplex ſecundæ, erit eque 
ſubmultiplex (b ) tertie, ſubmultiplex quartæ. 


Non enim, ſed fi fieri poteſt fit à ſubmultiplex 


ipſius CD, 4 vero non ſubmultiplex ipfius EF, & quo- 
ties a in CD continetur, toties auferatur þ ex EF 
& relinquatur oF, & ſumatur æ ſubmultiplex ipſius 6 
ipſa oF minor, & æque ſubmultiplex x ipfius a, & 
quoniam x & x ipſarum a & 6 æque ſubmultiplices ſunt, 
a vero & 6 iplarum CD & Eo zque ſubmultiplices, 

quoties 


— hd . 2 


Poo Lo & i. a 


Si vero neutra ſubmultiplex fit, auferatur a quoties , 


S Au 4&4 £4 


2222 


Liber Quintus. 93 
quoties x in CD continetur, toties z in Eo continetur (1) fe- prop. 
(1) eſt vero oF ipſa z minor (2) & igitur x ſæpius in J. J. 8. 
EF continetur quam in Eo, & igitur æ ſzpius in EF (2) Per cf. 

uam x in CD. Sunt vero x & z ipſarum a & 5 æque (3) Per conf. 
| adapt (3) & 4 & 6b ipſarum A & B æque ſubmul- 5%“ 5 
tiplices (4) ergo x & z ipſarum A & B æque ſubmulti- (5) per prop. 
plices (5) & ergo quoties x in CD toties z in EF (6), J. J. 5. 
ſed oſtenſum fuit ſæpius z in EF contineri quam x in (6) Per by- 
CD, quod abſurdum. Non igitur reſidua eſt pars ulla f, . 
ipſius EF poſt deſumptam & quoties fieri poteſt ab ipſa, * 385 1 
& ergo 6 ipſius EF ſubmultiplex eſt. 


PP 
% e equales (4 B) ad eandem ( C g. 19. 


eandem habent rationem. Et eadem magnitu- 
do C) ad equales (A ) eandem habet ratio- 


nem. 


Pars. I. EÆqualium A & B ſumantur zque ſub- (1)peras. 1. 
multiplices quævis a & 6, & he quoque erunt zquales , . 
(i), ergo quoties. in tertia quavis C continetur, toties (3) OS 8 
þ im eadem C continetur (2), eſt igitur A ad C ut 56575 47 
ad C (3). „ 2 „„%%%ͤ; ũ . 2 Rab 

Fe, 7 .  Sumatur ſubmultiplex quævis c ipſius C, (4) = by- 
& quoniam A & B æquales funt (4), quoties c in A con-. 
tinetur toties quoque in B continetur (5), eſt igitur C 552 Pr. 
ad A ut C ad B (6). | 3 > (6) . 

Cor. Si ſint quatuor magnitudines A, B, C & D 5. J 5. 
quarum prima A ſecundæ B zqualis eſt, tertia vero C 
quartz D zqualis, erit A ad C ut B ad D. 


PROP. XV. THE OR. 
M (4 & B) que ad candem (C) Fig. 19. 


eandem habent rationem, ſunt inter. ſe equales. 
Et magnitudines (A & B) ad quas eadem (C) 


eandem habet rationem ſunt inter ſe æquales. 


Pars. I. Sit enim, ' fi fieri poteſt, alterutra A 
minor, & ſumi poteſt ſubmultiplex ejus que ſzpius in 
C continetur quam æque ſubmultiplex majoris B in ea- 

dem 


94 Euclidis Elementorum 


(1) pr prop. dem C continetur (1), contra hypotheſim (2), non eft 
8.1.5.  igitur alterutra alterà minor & ergo ſunt zquales. | 
(3) A747 Pars. II. Sit enim, fi fieri poteſt, alterutra B 
5 5 major, & ſumi poteſt ipſius C ſubmultiplex que ſzpius 
(3) off PP in ipſà B quam in minore A continetur (3), contra hy- 
& . 5. potheſim (4), non eſt igitur alterutra altera major, & 
(a) per of c * 
0 


PROP. XVI. THEO R. 


Nequalium magnitudinum (A & B) minor (A) ad 
88 1 eandem (C) minarem habet rationem. Eadem vero 


Nem. 


Pars. 1. © mam enim A1 ſa B minor eſt, ſumi 


(1) per prop poteſt ipſius A ſubmaltiplex quæ ſiepius in C continetur | 


quam æque ſubmultiplex ipſius B in eadem C contine- 


.S. B ad candem C (z]. VV 
9 pr pre Parr. II. n A ipſi. B minor eſt, fum 

„ _ poteſt ĩpſius C fu x que-ſepius in B quam in 
0 OG A continetur (3), & ergo C habet majorem rationem ad 


major eff. Ad quam vero (A) eadem majorem rati- 


onem habet, minor eff. 


Pars. J. Opt 
ratione ipſius A ad eandem C, ſumi poteſt ipſius A ſub- 
( 1 * multiplex qua fepius in C continetur quam 
rv. A 
9-45. 


ultiplex ipfins B in cadem C continetur (1), & ergo 
. bad | ao eſt (2). 

ars. * 
| (pref nem quam ad B ſumi poteſt ſubmultiplex ipfius C quz 


(4) per prope ſepius in B quam in A contmetur (3) & ergo B ipſã A4 
5. 0. | 


5 major eſt (4). 


PROP. 


magnituds (C) ad minorem (A) majorem habet ratio 


(2) pr. tur (1), & ergo A habet minorem rationem ad C quam 


— > 2 - . 


m ratio | ry B ad C major et 
ſu 


Quoniam C ad A majorem habet ratio- 


7 * 


Liber Quintus. 95 


PROP. xv. THEOR. 


Q U eidem cedem funt rationes, inter ſe ſunt Fig. 21. 


exdem. 


Sifit AadB ut C ad D, & C ad Dut E ad F, 
erit quoque A ad But E ad F. 

Quoniam eſt A ad B ut C ad D, quoties quæ vis ſubmal- 
viples ipſius A in B continetur, toties æque ſubmultiplex 
ipſius C in D continetur (1), & quoniam C eſt ad D ut (x . 
E ad F, quoties quævis ſubmultiplex ipſius C in D conti- 5 L . 5. 
netur, toties æque ſubmultiplex ipſius E in F continetur 
(1). Ergo quoties quævis ſubmultiplex ipſius A in B 
continetur toties æque ſubmultiplex ipfius E in F contine- (2) fer def. 


ur, & ergo eſt A ad B ut EadF (2). 8. ts. 


PROP. XIX. THE OR. 


1 prima ad ſecundam eandem habeat rationem ac 
lertia ad quartam (A ad B ut C ad D), tertia 
vero ad quartam majorem habeat rationem quam quinta 
ad ſextam (C ad D quam E ad F), prima quoque habet 
ad fecundam majorem rationem quam quinta ad ſextam, 
(Aad B quam Ead F). | 


Fig. 21. 


Quomiam Chabet ad D majorem rationem quamE ad F 
ſumi poteſt ſubmultiplex ipſius E quz ſæpius in F contine- { 95 1 
tur quam æque ſubmultiplex ipſius Ein D continetur (1), & 3 
(TO, quoniam A eſt al B ut tC ad D, ſæpius quam . 7 I 
ſubmultiplex ĩpũus A in B continetur (2), & igitur A eſt ad 7 (3 J 17 * 
B in majore ratione quam E ad F (3). 

Cor. Similiter fi fit A ad But Cad D, E vero ad r 
in majore ratione quam C ad D, erit quoque E ad F in 
majore ratione quam A ad B. 


PROP. 


96 Fuclidis Elementorunt 


PROP. XX. THEOR. 


Fig. 22. * int quatuor magnitudines proportionales (A ad B 
| ut CD ad E) erunt & inverſe proportionales (B 
ad A ut E ad CD). | 


Si enim ſumantur æque ſubmultiplices quævis þ & + 
pſarum B & E, quoties 5 in A continetur toties quoque 
e in CD continetur. 4 . 

Non enim, ſed fi fieri poteſt contineatur alterutra 5 
ſæpius in A quam continetur e in CD, & quoties 5 con- 
tinetur in A toties ponatur e & efficiatur CY, & erit CY 
ipſa CD major (1), & eſt e ſubmultiplex ipſius CY, fit 
x æque ſubmultiplex ipſius CD & etiam x ipſius A 
Quoniam igitur CD ipſa CY minor eſt, x vero & e ipſa- 


(r) per prop. 
3 | 
4 datur igitur ſubmultiplex quædam ipfius x quæ ſæpius in 
E continetur quam æque ſubmultiplex ipſius e in eadem E 
(3) Per prop. continetur (3), hoc eſt quam æque ſubmultiplex ipſius þ 

8. 2 in B continetur (4); ſed e 2 toties poſita quoties 


(4) per ty b continetur in A efficit ipſam A (5), eſt x vel ipſa b ma. 1 


prop. 7.1. 5. jor vel ipſi æqualis (6), ergo nulla ſubmultiplex ipſius x 
(5) per conſt. ſæpius in B coytinetur quam zque ſubmultiplex ipſius in 
(6) per cor. eadem B e ee (7), datur vero ſubmultiplex ipſius x 
3. P. 7. 5. quæ ſæpius in E continetur quam æque ſubmultiplex ip- 
9 . ius bin B continetur, & ergo ſæpius quam æque ſubmul- 
9% tiplex ipfius æ in B continetur; ſunt vero x & æ ipſarum 
8) per prop. CD & A æque ſubmultiplices (8), & ergo æque ſubmul- 
3 J 5. tiplices ipſarum x & z ſunt quoque æque ſubmultiplices 


(9) per prop. ipſarum CD & A (9g), non igitur datur ſubmultiplex 
7. J. 5 


ipſius x quæ ſæpius in E continetur quam æque ſubmul- : 
tiplex ipſius z in B continetur (10), ſed & datur, quod 


(10) per 2 abſurdum. Ergo non datur ſubmultiplex ipfius B quæ 

2 1. f. 7 ſæpius in A continetur quam æque ſubmultiplex ipſius E 

in CD continetur, & ſimiliter demonſtrari poteſt non dart 

ſubmultiplicem ipſius E quæ ſæpius in CD continetur 

quam æque ſubmultiplex ipſius B in A. Eſt igitur B ad 
E E ad CD (11). 5 


PROP. 


1 Moc” a+ abi.” * i Cd 


rum zque ſubmultiplices ſunt, erit æ ipſa e minor (z); 


8 


SS 2 22 


Wy wy 


. 


Liber Quintus. 97 


PROP. XXI. T HE OR. 


8 int quatuor magnitudines proportionales (A ad Fig. 23. 


B ut C ad D), erit prima ad primam una cum 


; ſecundd, ut tertia ad tertiam una cum quartd (A ad 
A una cum But Cad Cuna cum D. 


Sumantur enim a & c ipſarum A & C æque ſubmulti 
plices, & quoties à in B continetur toties quoque c in D 
continetur (1); quoniam igitur a & c ipſarum A & C (i) per by- 
ſubmultiplices ſunt, & quoties a in A continetur toties pot. t& 4½ 
c in C continetur, quoties vero a in B continetur toties 5: J. 5. 
c in D, a in ipſis A & B ſimul toties continetur quoties c 
in ipſis C & D ſimul, & igitur eſt A ad A una cum B ut | 
C ad C una cum D (2). 5 (2) per def. 
Cor. Si ſit A ad B ut C ad D, erit A una cum B ad 5. 4. 5. 
B, ut C una cum D ad D. N CI 
Quoniam enim A eſt ad But Cad D, erit B ad A ut 


D ad C (i), & ergo Bad A una cum B, ut Dad C una (1) J,. T. 
eum D (2), & ergo A una cum B ad A, ut C una cum (2) fer fra. 


: D ad D (3) 57 
| | 5 (3) per prop. 
PROP. XXL THEOR.' . > 


TI fint quotcunque magnitudines proportionales ( A Fig. 23. 
ad B ut C ad D) erit ut una antecedens ad unam 
conſequentem ( A ad B) ita omnes antecedentes ſimul ad 
omnes conſequentes fimul ( A una cum Cad B una cum 


Nam fi ſumantur ipſarum A & C zque ſubmultiplices 
quzvis a & c, erit a una cum c eadem ſubmultiplex ipſa- (1) per prop 
rum A & C ſimul (1), quoties vero a in B continetur 12. J. 5 7. 
toties c in D continetur (2), & ergo toties @ una cum < (2) er 
in B una cum D continetur (3), & ergo eſt A ad B N of. 


A una cum C ad B una cum D (4). 5 


Fig. 23. 


LY otra 


6) e rem 


Zuclidis Elementorum 


PROP. XXIII. THE OR. 


8 int quatuor magnitudines proportionales (A ad B 


ut Cad D) prima vero major fit quam teria, 


erit ſecunda Et quam quarta ; &. , equalis, egua- 


lis ; & ſs minor, minor. 


Pars. I. Sit 4 major quam C & erit B major 
quam D. 


Non enim, ſed, fi fieri poteſt, fit D ipſi B æqualis, 


& quoniam A major eſt quam C, B vero ipſi D æqualis, 


ſumi poteſt ipſius C ſubmultiplex quæ ſæpius in D conti- 
netur quam æque ſubmultiplex ipſius A in B continetur 
(1), contra hypothefin (2). 

Similiter de monſtrari poteſt D pſa B non efle majo- 


Eft igitur B pia D major. 
Pars. II. Si A ipfi C zqualis fit, erit B ipſi D 
æqualis. 


40 per by Quoniam enim eſt A ad B ut C ad D (3), quoties ſub- 


Fig 23. 


multiplex quzvis ipſius A in B continetur, toties que ſub- 


. multi lex ipſius C in D continetur (4), & igitur quoniam 


C zqualis eſt erit B ipſi D æqualis (5). 
ars. 2 Si A ipſa C minor fir,” erit B ipſa D 
minor. 


Demonſtrari enim poteſt ut in parte prima, B nec ipfl 


D zqualem eſſe, nec ipla majorem, eſt igitur B ipſa D 
minor. 

Cor. Et ſi ſecunda major fit quam quarta, erit prima 
major quam tertia; & fi æqualis, æqualis; & fi minor, 
minor. 


PROP. XXIV. THEOR. 
8¹ fot s quatuor magnitudines proportionales, (A ad 


ut C ad D), prima vero ſecundd majon ſit, 


erit tertia major quam quarta ; & fi equalis, equalis; 
& L minor, minor. 


Pars. I. Sit A major quam B, & erit C major 


Nam 


quam D. 


: v 


& igitur æque ſubmultiplex ipſius C ſæpius in D quam in 7 * 


Liber Quintus. 99 
Nam quoniam A ipſa B major eſt, datur ſubmultiplex 


ipſius A quæ ſæpius in ipſa _ in B continetur (1), (1) er prop. 
X igitur æque ſubmultiplex i : 


us C fepius in ipſa quam . * 5. 

in D continetur (z), & ergo C ipla D 07 eſt 6 . 5 1 * 11 42 
Pars. II. Sit A ipſi B æqualis, & erit C iph D quo- 5. 1 . 

que æqualis. ne 

Nam quoniam A ipſi B zqualis eſt, quoties ſubmulti- 

plex ipfius A in ipſà A continetur, toties quoque in B con- 


(3) per * 
48 


5 tinetur (4), ſed quoties ſubmultiplex ipſius A in B conti- (4) 9er prop. 


netur toties æque ſubmultiplex ipſius C in D continetur 1. . 5. 


(5), & ergo quoties ſubmultiplex ipſius C in C contine- (S) Per by- 


tur, toties quoque in D continetur, & ergo C ipſi D ba def. 


zqualis eſt (6). | | 6 7 
Pars. III. Sit A minor quam B, & erit C minor 0 mY 

quam D. 5 bo = 
Nam quoniam A minor eſt quam B datur ſubmultiplex 

ipſius A quæ ſzpius in B quam in ipſa A continetur (7), (7) per prop. 

69 C continetur (8), & ergo D ipſa C major eſt pol. N . 

Cor. Et ſi tertia major ſit quam quarta, erit prima Go) 2 


major quam ſecunda; & ſi æqualis, æqualis; & fi minor, 8. 4. s. 


minor. 
PROP. XV. THE OR. 
IJ int quatuor magnitudines proportionales ( A ad B Fig. 24. 


ut C ad D), prima vero minor fit quam ſecunda, 
erit prima ad exceſſum ſecunde ſupra ipſam, ut tertia ad 


exceſſum quarte ſupra ipſam. 


Sumantur enim a & c ipfarum A & C zque ſubmulti- 
plices, & quoties @ in B continetur toties 21 in D 
continetur (1) 3 quoniam igitur à & c ipfarum A & C(1) por by 
æque ſubmultiplices ſunt, & quoties a in B continetur z . 5 7 
toties quoque c in D continetur, a toties. in exceſſu ipſius* * 
B ſupra A continetur quoties c in exceſfu ipfius D ſupra 
C continetur, & igitur eſt A ad. exceſſum ipfius B 
ſupra A, ut C ad exceſſum ipſius D ſupra C (2). (2) 2 def. 
Cor. 1. Similiter ſi ſint quatuor magnitudines pro- 5. (. $: 
portionales, prima vero major fit quam ſecunda, erit 
prima ad exceſſum ipſius ſupra ſecundam, ut tertia ad ex- 


. ceſſum ipſius ſupra quartam. 


O2 Cor. 


100 : Euclidis Elementorum 


Fig. 24. Cor. 2. Si ſint quatuor magnitudines proportionales, 


A ad B ut C ad D, erit differentia inter primam & ſe- 


cundam ad ſecundam, ut differentia inter tertiam & quar- 
tam ad quartam. 


Nam quoniam eſt A ad B ut C ad D, erit B ad A ut D 


7 ad C (1), & ergo B ad differentiam inter ipſam & A ut 


{4) . D ad differentiam inter ipſam & C (2), & ergo differentia 


& pr9p, inter A & B ad B, ut differentia inter C & D ad D 


Sree. (3) 
(3) per prop. 
20. J. 6. 


PROP. XXVI. THEO R. 


Fg. 24. Sg: int quatuor magnitudines proportionales (A ad B 


ut Cad D), erit ſubmultiplex quevis a) prime 
ad ſecundam, ut æque ſubmultiplex (c tertiæ ad quar- 
tam. | | 


Sumantur enim ipſarum à & c æque ſubmultiplices 


quzvis x & z, & quoniam x & ⁊ ipſarum a & c æque ſub- 


multiplices ſunt, a vero & c ipſarum A & C zque ſubmul- 
(1) Per Hy- tiplices ſunt (1), erunt x & æ ipſarum A & C zque ſub- 


bes, multiplices (2), & ergoquoties æ in B continetur toties 
. in D continetur (3), & ergo eſt a ad But c ad D 


NE 
OY RY T- 
foth. & def. Cor. Si ſint duz magnitudines A & B ſumantur vero 


5. 4. 5. ipfarum æque ſubmultiplices quævis a & 6, erit a ad A 
_ . ut bad B. . 


PROP. XXVII. THE OR. 


Fig. 25. L int quatuor magnitudines proportionales (A ad B 
ut Cad D), erit prima ad quamvis ſubmultiplice m 
(b) ſecunde, ut tertia ad æque ſubmultiplicem (d) 

quarte. . 


Non enim, ſed ſi fieri poteſt habeat A ad þ majorem, 


rationem quam Cad 4 & F C habet ad 4 mino- 
rem rationem quam A ad 6, ſumi poteſt ſubmultiplex z 


ipſius C quæ ſæpius in 4 continetur quam æque ſubmul- 
(1) per def. tiplex x ipſius A in 6 continetur (1), quoniam igitur x 
7. [ 5. fzpius continetur in 4 quam x in 6, D vero & B ipſarum 
d & 


| Liber Duintus. © 101 


& b æque multiplices ſunt, ſæpius continetur x m D 
quam in B (2), ſed et A ad B ut ad D, & ergo to- (2) er prop. 
dies continetur x in B quoties æ in D (3), quod abſur- 0. J. 5. 
dum. Non igitur habet A ad þ majorem rationem quam (3) fer def. | 
Cad d, & fimiliter non habet C ad 4 rationem majorem 5. ,. 
quam A ad 5. . 

Cor. 1. Si ſint duæ magnitudines A & B, ſumantur 
vero ipſarum æque ſubmultiplices a & 6, erit A ad à ut 
B ad 5. ä Vi, 5 
Cor. 2. Si ſint quatuor magnitudines proportionales, Fig. 26. 
A ad B ut C ad D, ſumantur vero antecedentum quævis 
zque ſubmultiplices a & c, & quoque conſequentium aliæ 
utcunque æque ſubmultiplices & & d, erit, aad b mc ad 
. 


Nam quoniam et A ad B ut C ad D, a vero & c ipſa- 5 
rum A & C æque ſubmultiplices ſunt (1), erit a ad B ut /1) per by- 
cad D (2), & ergo, quoniam 6 & d ipſarum B & DR. 

æque ſubmultiplices ſunt, erit a ad 6 ut c ad (3). (4) fer OE 


% ns - (3)per prop. . - 
PROP. XXVIII. THEOR. 27. S. 
D Arte (a & b) inter ſe comparatæ, eandem habent g. 23. 


rationem quam habent earum æque multiplices 


(AC & BD). 


Quoniam enim AC & BD ipſarum a & 5 æque multi- 
plices ſunt, quot partes ſunt in AC iĩpſi a æquales, tot ſunt 
in BD ipſi 6 æquales; dividatur AC in partes Am, mn, 
nC ipfi a zquales & BD in partes Bo, os, s D ipfi 6 
uales. | | . 

ſ igitur Am ad Bo ut mn ad os (1), & mn ad os (1) fer cer. 
utnC ad $D (1), ut igitur una antecedens Am ad unam Y. 14.5. 
conſequentem Bo, ita omnes antecedentes fimul, ſeu AC, a) | 
ad omnes conſequentes ſimul, ſeu BD (2), ſed ut Am ad 7 2 


Bo ita a ad 5 (1), ergo ut a ad þ ita AC ad BD Che 
3 N 18. J. 5. 
1 1. Si ſint quatuor magnitudines proportionales, a ad F. 26. 
b ut c ad 4, ſumantur vero ipſarum a & 4 que multiplices 
A, B & quoque ipſarum c & A aliæ æque multiplices C & 
D, erit A 2 But C ad D, ut patet ex prop. præc. & 
prop. 18. | | 
Cor. 2. Similiter i fit A ad B ut C ad D, ſumantur 


vero ipſarum A & B æque ſubmultiplices a & 5 & ipſarum 
C& 


102 Euclidis Elemntorum 


C & D aliz utcunque zque ſubmultiplices c & 4 erit a ad 4 


ut cad 4. 
PROP. XXIX. THEOR. 


Fig. 6. C1 int quatuor magnitudines proportionales (a ad þ 
at c ad d) erit multiplex quevis ( A ) prime ad 


ſecundam, ut eue multiplex C tertiæ ad quar. 


ram. 
_ Qualizenim n eff A ipſius a talis fit B jp 
(tr) r cor. & quoque D ipſius 4, & erit A ad B ut Cad D. l 
28. ergo eee 


TY 
wn PROP. XXX. THEOR. 


Big. 26. J. Int quatuor magnitudine proportionales (a ad þ 
5 ut c ad d) erit prima ad multiplicem quamvis ( 


W ut tertia ad are mult;plicem Dy quarte. 


Qualis enim muttiplex eft B ipſius 5 talis fit 15 
(1) pero 8 ne C ipſius c, & erit A ad B ut ee 
| 28.1.5. ergo a ad B ut c ad D (2). 

27 po. * 


Fig. 26. 8 


PROP. XXXI. THE OR. 


J Ant quatuor magnitudines propertionales (a ad but 
c ad d) ſumantur vero antecedentium eque multiplies 


(4 & 00 6 conſequentium aliæ utcunque æque multi- 


2 (B & D) erunt he quoque proportionales. 


niam enim ef ad 6 utc e A vero & Ci 1 
t a & c que multiplices ſunt (1) erit A ut C ad 4 (3), 
* & ergo quoniam B & D ipſarum b & 4 æque multiphces 
$4, of Yb ſunt (1) erit AadButC 1d D £178 


977 


PROP. 


.* 


- 


ut 
2 
*. 


. 


1 e 


PROP. XXII. T HE OR. 
0: fant quatuor magnitudines proportionales (a ad b ut Fig. 26. 
c ad d) prime & tertie ægue multiplices (A & C) Li N. 


ſecunde & quarte eque multiplices (B & D) juxta 


quatnuvis multiplicationem vel una ſuperant, vel und 
equales ſunt, vel und deficiunt. 


niam enim A & C antecedentium æque mukiplices 
ſunt (1), B vero & D confequentium æque multiplices (1), (1) per * 
et A ad B ut Cad D (2), & ergo fi A major fit quam 2 prop. 
Berit C major quam D; & ſi æqualis, zqualis; & fi mi- 31. J. 5. 
nor, minor (3). Dr. 


PROP. XXIII. T HE OR. 


ar fent quatuor magnitudines ejuſdem generis propor- Fig. 28. 
Y tionales { A ad B ut C ad DO) erunt & alterne 


proportionales (A ad C ut B ad DO). 


Si enim ſumantur æque ſubmultiplices quzvis a & 5 
ipfarum A & B, quoties a in C continetur toties 4 in DO 
continetur. 5 I 
Non enim, fed, fi fieri poteſt, ſæpius contineatur a in 
C quam ò in DO, & quoties a in C continetur toties pona- © 
tur 5 & indeefficiatur DV, erit DV ipſa DO major (1); 4% prep. 
eft igitur z ſubmultiplex ipſius DV, fit x æque ſubmuki- * 5 
plex ipſius DO ut et z ;vftus C. 5 

Quoniam igitur x & & ipſarum DO & D æque ſubmul- 


tiplices ſunt (2), DO vero ipfa DY minor eſt, erit æ ipſa (2) per cen. 


b minor (3) & quoniam z & x æque ſubmultiplices ſunt ( 3 Per as. 


ipſarum C & DO (4), erit x ad x ut C ad DO (5); ſed 3. J. 5. 
Cad DO ut A ad B (6), & al z ad x ut A ad B (4) Per conft. 
(7), funt vero a & b ipfarum A & B zque ſubmultiplices (5) 2 7 *. 
& ergo eſt a ad ꝭ ut A ad B (5) & ergo eſt æ ad x ut à ad (6) per j,. 
b(7), eſt vero x ipſã b minor & ergo æ pſa a minor eſt (8), pers. 

datur igitur ſubmukhiplex ipfius z que ſæpius in C conti- (7) per prop. 
netur quam 1 ſubmuhiplex ipſius a in eidem C conti- 18. . 5. 


netur (9) ; ſed funt = & x zque ſubmultiplices ipfarum (3) "fy 5 


C & (oh per prob. 
| | | (9) per prep 


104 Euclidis Elementorum 


(10) er C & DO (10), & igitur quoties ſubmultiplex quævis ip. 
conft. ſius z in C continetur, toties æque ſubmultiplex ipfius x 
in DO continetur (11) ; datur igitur ſubmultiplex ipſius 
11) "A g P 
Prop. J. I. S. * quæ ſæpius in DO continetur quam æque ſubmultplex 
ipſius a in C continetur, ſed x toties poſita quoties a con- 
(12) per tinetur in C efficit ipſam DO (12), non igitur datur ſub. 
Conf. multiplex ipfius x quæ ſæpius in DO continetur quam 
„A =que ſubmultiplex ipfius a in C continetur (13), ſed & 
(13) Her cor. datur, quod abſurdum. 
Non ĩigitur continetur ſubmultiplex quzvis ipſius A in C 
ſæpius quam æque ſubmultiplex ipſius B continetur in 
DO, & ſimiliter demonſtrari poteſt non ſæpius contineri 
ſubmultiplicem quamvis ipſius B in DO quam æque ſub. | 
| multiplex ipſius A continetur in B. Eft igitur A ad C 
(14) per off. ut Bad DO (14.) 
SE 


PROP. XXXIV. THEOR. 


Tfent quotcunque magnitudines, & aliæ ipfis nw 
mero aquales, que ſi bine ſumantur ſunt in edden 

ratione, & fit ordinata earum proportio, & ex 

æquali in eddem ratione eruni. 


Fx. 29. 


Sint primo tres magnitudines A, B & CO, & aliz tre: 
D, E& F; ſi ſit A ad B ut D ad E, & B ad CO ut E 
ad F, erit A ad CO ut D ad F. 

Si enim ſumantur æque ſubmultiplices quævis a & 4 
ipſarum A & D, quoties a in CO continetur, toties 4 in 

continetur. 

Non enim, ſed, fi fieri poteſt, contineatur 4 ſæpius in F 


quam a in CO, & quoties 4 in F continetur toties ponatur | 


(1) gw prop. a & inde efficiatur CY, erit CY ipla CO major (1); 
5. J 5. eft igitur a ſubmultiplex ipſius CY, fit x zque ſubmulti- 
plex ipſius CO, ut et z ipfius F. 

| Quoniam igitur x & a1pſarum CO & CY zque ſubmul- 

1 tiplices ſunt (2), CO vero ipſa CY minor eſt, erit x ipſi 
(2) per 4 minor (3), & quoniam B eſt ad CO ut E ad F (4), 
3.1.5, erit CO ad But Fad x vero & æ ſunt æque ſubmulti- 
(4) per H- plices ipſarum CO & F (5), & proinde eſt x ad B utzadE 
: (6), & 1gitur quoties ſubmultiplex quævis ipſius x in B con- 

6 5)p er conf. tinetur, toties æque ſubmultiplexipſius æ in E continetur ſed 


— ＋ ht eſt x ipſa a minor & ergo datur ſubmultiplex ipſius x quz | 


ſzpius in B continetur quam æque ſubmultiplex ipſius a in 
eadem 


"Pp 
Liber Quintus. | 105 
eadem B continetur (7) & ergo ſæpius quam zque ſub- N 
multiplex ipſius 4 in E ane (8), Nee 1 2 ſub- th 
multiplex ipſius z quæ ſzpius in E continetur quam æque (8) per H- 
ſubmultiplex ipfius 4 in E continetur & eſt igitur z minor 2, & de. 
quam 4 (9), fed æ toties poſita quoties 4 continetur in F 7 5) per prop 
efficit ipſam F (io), & ergo * ipſa d major eſt vel ipfi , 1 "tl 
zqualis (1 1), ſed oſtenſum fuit æ ipſa 4 minorem eſſe, (ro) fer 
— ab 2 f 5 a N Fee 
on 1gitur ſæpius continetur ſubmultiplex quævis ipſius 5 
D in F quam æque ſubmultiplex E Sec in 55 he” 
CO; & ſimiliter demonſtrari poteſt non ſæpius contineri 5. J. 5. 
ſubmultiplicem quamvis ipſius A in CO quam continetur 
zque ſubmultiplex ipſius D in F. Eft igitur A ad C ut 
D ad F (12). | | * 
Sint jam quatuor magnitudines A, B, C, G, & aliz Fg. 3o. 
uatuor D, E, F, H; & ſit A ad But D ad E, B veroad 
Cut E ad F & C ad Gut F ad H, erit quoque A ad G ut 


Dad H. 


Quoniam enim tres ſunt magnitudines A, B, C, & (13er par- 
aliæ tres D, E, F, quæ fi binæ ſumantur ſunt in eadem th 2 "4 
ratione, erit A ad C ut D ad F (13), eſt autem C ad G ut Fg.” 
ad H (14), & ergo erit A ad Gut Dad H (13). Fo 


PROP. XXXV. THEOR. 


CI. nt tres magnitudines (A, B, C/ & alie tres py. zi. 
D, E, F que ſi binæ ſumantur ſunt proportio- 

nales, ſed perturbatè /A ad But E ad F, & Bad 

Cut Dad E) & fi in priore ſerie prima magnitudo 

Major fit quam tertia, erit quoque in poſteriori ſerie 


prima major quam tertia, 


Nam quoniam D eſt ad E ut B ad C (1) erit, E ad D/ ger ,,. 
ut Cad B (2), ſed A major eſt quam C (1) & ergo A ha- po b. 
bet majorem rationem ad B quam habet C ad eandem B (2) fer prop. 
), & ergo majorem quam habet E ad D (4), ſed eſt ?®- . 5. 
A ad B̃ ut E ad F (5) & ergo E habet majorem rationem (3) per 4 25 
ad F quam habet eadem E ad D (6), & ergo D ipſd F () per cor. 
major eſt (7). | g 


p. 19. J. 5. 
(5) per by- 
pot l 


N 
(6) per prop. 
19. J. 5. 


| | (7) per prop. 
p r 0 r. 


* 
106 Euchdis Elementorum 
PROP. XXXVI. THEOR. 


* 5 87 int tres magnitudines (A, B, C) & alie tres 
we | (D, E, F) que þ bine ſumantur ſunt proportio- 


nales, ſed perturbatè (A ad B ut Ead F, & Bad C 


ut Dad E), & / ſumantur prime & ſecunde in priori 
ſerie & prime in poſteriore (ipſarum ſcix. A, B 
D) aque ſubmultiplices quevis (a, ö, & d); 
tertiæ vero in priori ſerie & ſecunde & tertie in 
pefteriore (ipſarum ſciz. C, E & F) aliæ utcunque 
eque ſubmultiplices (c, e f), he eque ſubmulti- 
plices quoque quantitatum in priori ſerie & earum in 
Pſteriore erunt perturbatè proportionales ( ſciz. a ad 


b ute ad , & b ad c ut d ad e). 


(1) per )- Quoniam enim eſt A ad B ut E ad F (1), ipſarum 
fotb. vero A & B ſumuntur æque ſubmultiplices a & 5, & ip- 
(2) Per cer. ſarum E & F aliæ æque ſubmultiplices e & /, erit a ad 
e t e „ . 
. 1 quoniam eſt B ad C ut D ad E (3), ipſarum vero 
(a) ger cor. B & D ſumuntur æque ſubmultiplices & & d, & quoque ip- 
2. 5. 27. J. 5. ſarum C & E aliæ æque ſubmultiplices c & e (3), erit 5 
ad c ut d ad e (4). 


PROP. XXXVII. THE OR. 


Fg. 32. 87 int tres magnitudines (A, B, C) & alie tres 
D, E, F) que fe bine ſumantur ſunt propor- 
tionales, ſed perturbate (A ad B ut E ad F, & 
BaaGutDad E) & þ primarum in utrdque 

Frie (A & D) ſumantur quecunque eque ſubmulti- 

plices (a & d/, & ultimarum in utrdque ſerie 
(CH alie utcunque eque ſubmultiplices (c & f,) 

 & prime in priore ſerie pars (a) major fit parte 

ultime in eadem ſerie (c), erit etiam in poſteriore 


ſerie prime pars (d) major parte ultime (f). 


Sumatur enim 5 quz fit eadem ſubmultiplex ipſius B 
ac ell a ipſius A, & quoque e quæ fit eadem ſubmul- 
tiplex ipſius E ac eft F ipſius F, & erunt tres magnitu- 
dines 4, b, c. & aliz tres d, e, /, ft binæ ſumantur pro- 

portionales, 


c 


Jor (1). 


A in CO, & 


Liber Quintus. 107 
portionales, ſed perturbatè (1), & ergo ki a major fit (1) per prop. 
quam c, erit 4 major quam / (2). 7 36. J. 5. 

| (2) 2 


PROP. XXXVIIL TH E OR. 5 


I fint quotcunque magnitudines, & alie ipfis nu-,, „ , 
mero equales, quæ fi binæ ſumantur ſunt in ed- , 5 * 
dem ratione, ſed perturbate, & ex equali in eddem 
ratione erunt. END 


Sint primd tres magnitudines A, B & CO, & aliz 
tres D, E, F; ſi ſit Aad B ut E ad F, & B ad CO 


ut Dad E, erit A ad CO ut D ad F. 


Si enim ſumantur ipſarum A & D zque ſubmultiplices 
quævis a & d, quoties ain CO continetur, toties quoque 
d in F continetur. „ : 
Non enim, ſed, fi fieri poteſt, contineatur 4 ſzpius 
in F quam à in CO, & quoties 4 in F continetur toties 
ponatur @ & inde efficiatur CY; erit CY ipſa CO ma- Jer bra 
J. 5. 


Etſt igitur à ſubmultiplex ipſius CY, fit x æque . 
multiplex ipſius CO, & quoque ipſius Ff. 
Quoniam igitur x & a ſunt æque ſubmultiplices ipſa- 
rum CO & CY, CO vero ipſa CY minor eſt, erit x ip- 
ſa a minor (2); Et quoniam z zque ſubmultiplex eſt ip- 6 
ſius F ac eſt x ipſius CO (3), toties vero continetur Jer cog 
din F quoties x in CO (3), toties continetur din F 
quoties z, ſubmultiplex ipſius F, in eadem F conti- 
netur, eſt igitur 4 aut minor ipſa æ aut 25 æqualis (4). (4) per cor. 


(2) per ax. 
1... 


Sumuntur igitur ipſarum A & D æque 8 4 3. P. J 1.5. 


& d, & ipſarum quoque CO & F aliæ æque ſubmulti- 
plices x & x, & eſt a ipſa-x major, 4 vero non major (5) per prop. 
ipſa z, quod fieri nequit (5). „ 
Non igitur ſæpius continetur e e quævis ipſi- 
us D in F, quam continetur æque ſubmultplex ipſius 
Amiliter demonſtrari poteſt non ſæpius con- 
tineri ſubmultiplicem quamvis ipſius A in CO quam 
continetur æque ſubmultiplex ipſius D in F. Eſt igitur 
A ad CO ut D ad F. En 
Sint jam quatuor magnitudines, A, B, C, G, & Fig. 34. 
aliæ quatuor, D, E, F, H; & fit A ad B ut F ad H, 
B vero ad C ut E ad F & C ad G ut D ad E, erit 
quoque A ad G ut D ad H. : ; 
5 2 Quoniam 


108 Euclidis Elementorum 


f Quoniam enim ſunt tres magnitudines A, B, C & 
(6) per par- aliæ tres, E, F, H quæ fi bin ſumantur ſunt propor- 
) per by tionales, ſed perturbat?, erit A ad C ut E ad H (6) 


foth. ſed eſt C ad G ut D ad E (7) & ergo erit A ad G ut 
(8) per par- D ad H (8). 9 5 
em e 


PRO P. XXXIX. THE OR. 
Fig. * ay int tres magnitudines proportionales ( A ad B 
2d. 


FE ut E ad F), & fit in priori ſerie prima ad ul. 


timam (A ad C 4 ut in pgſteriore ſerie prima ad 
hs 


ultimam D ad erit quoque in priori ſerie pri- 


ma ad ſecundam [A ad B, ut in poſterior: prima 


ad ſecundam CD ad E). 


Non enim, fed, fi Feri poteſt, habeat alterutra A 
| (1) per „ minorem rationem ad B If habet D ad E, & quo- 


HPotb. mam B eſt ad C ut A ad B (1), & E ad F ut D ad E 
(2) per prop. (1 }- habet quoque B minorem rationem ad C quam 
19. /. 5. habet E ad F (2) ; ſumi igitur poteſt ſubmultiplex ipſius 
B quæ ſæpius in C continetur quam æque ſubmultiplex 
(3) per def. ipſius E in F continetur (3); ſumantur & ſint 6 & e, 
7.1.5. K ipſarum A & D ſumantur æque ſubmultiplices a & 4, 
= & quoniam ipſarum A & B ſumuntur æque ſubmulti- 
3 plices a & b, erita ad b ut A ad B (4), & ſimiliter 
(4) per 7 _ eſt J ad e ut D ad (4), & ergo habet a minorem ra- 


tionem ad & quam habet 4 ad e (5), & igitur ſumi poteſt 


* ber 4. ſubmultiplex ipſius a quæ ſæpius in 6 continetur quam 
6 f æque ſubmultiplex ipſius 4 in e continetur (6), ſuman- 

b * tur & ſint x & x, & quoniam x ſæpius in & contine- 
tur, quam = in 4 continetur, 3 vero ſæpius in C con- 

tinetur quam 4 in F, ſæpius quoque continetur x in C 

3 quam æ in F (7); ſunt vero x & æ ipſarum a & 4 
F008 ＋ . æque ſubmultiplices, & a & 4 ipſarum A & D æque 
8) Per prop, multiplices ſunt (8), & ergo quoties x in C continetur 
5 ＋ CF toties quoque æ in F * (9), ſed oſtenſum fuit 
(9) Per 5 ſæpius contineri x in C quam æ in F, quod abſurdum. 


25 oF V. Non habet igitur A minorem rationem ad B, quam 


habere minorem rationem ad E quam habet A ad B, 
& proinde eſt A ad B ut D ad E. 
EU CLIDIS 


ut Bad C), & aliæ tres proportionales (D ad 


ſubmultiplices, & proinde x & x ipſarum A & D zque 


habet D ad E, & fimiliter demonſtrari poteſt D non 


0 oa 


C 

* 5 
ELEMENT O RUM. 
LIBER SEXTUS. 


DEFINITIONES. 


| Clmiles figure refiilinez ſunt, quz & ſingulos an- 
O I gulos æquales habent, & circa æquales angulos 
latera rope ionalia. | | | 
2. Extrema ac media ratione ſecari recta linea dicitur, 
quando ut tota ad majus ſegmentum ita fuerit majus ſeg- 
mentum ad minus. : 
3. Altitudo cujuſque fi eſt rea linea a vertice ad 
em pe icularis duca, 5 


4. P | 
NR NT 3 IO 

: ogrammum ſuper parte cujuſvis rectæ deſcri 
* ad iſtam rectam applicari dicitur deficiens fi 12 | 

parallelogramma, ſcilicet iſto parallelogrammo quod ſuper 
N . ft, parallel 
| . rea data pr elt, ogrammum 
2 tota deſcriptum, applicari 2 ad * datam 
excedens figura parallelogramma, ſcilicet iſto parallelo- 
grammo quod ſuper parte produQa deſcribitur. 


' PROPOSITIO 


um ſuper reQa deſcriptum, ad iſtam pide N. 


110 Euclidis Elementorum 


PROPOSITIO PRIMA. THEOREMA. 


22 peel Riangula (ABC, DBE), & parallelogrammg 
Liber fertue, (BA & CF), que eandem habent altitudinem, 
Vide N. ſunt inter ſe ut baſes. . „%%% dd 


Pars. J. Trianguli ABC baſis dividatur in quotcun. | 
que partes zquales AF, FK, & KC, & a baſi DE ſu- 
mantur, quotie$ Geri poteſt, partes DI & IE ipfi AF 
zquales, & ducantur BF, BK & BI. 

(1) per conſt. Quomiam igitur rectæ AF, FK, KC, DI & IE zquale 
(2) Per prop. ſunt (1), triangula vero ſuper ipſis conſtituta ſunt in eadem 
58.4. 1. altitudine, erunt quoque ipſa triangula æqualia (2), qua- 
lis ĩgitur ſubmultiplex eſt AF ipſius AC talis eſt triangu- 
lum ABF trianguli ABC, & quoties AF in baſi DE con- 


tinetur toties triangulum ABF in triangulo DBE contine- | 


tur, & ſimiliter oſtendi poteſt quoties alia quævis ſubmul- 
tiplex ipſius AC in DE continetur, toties æque ſubmil- 
73) per def. tiplex ipſius ABC in DBE continetur, & proinde eſt ABC 
5. 1.5. ad DBE ut baſis AC ad baſem DE (3)... 
Fe: © BT  / £ a a, ee & CF in eadem 
Altitudine, ſunt inter ſe ut baſes BC & CN 
rec. CAD ſunt in eadem altitudine erunt inter ſe ut baſes BC 
(5) fer prop. & CD (4), parallelogramma vero N dupla ſunt (5), 
(6) * x ergo ſunt parallelogramma inter ſe ut BC & CD (6). 
2.74 7 Cor. 1. Triangula vel parallelogramma quz aquas | 
habent altitudines, ſunt inter ſe ut bafes. K 
Poſitis enim baſibus in directum, erit rea junges 
vertices parallela rectæ in qua ſunt haſes, demiſſis enim 
verticibus perpendicularibus in baſes, erunt hæ parallele, 
(i) per by & quoniam ſunt quoque æquales (1), re&z ipſas jungem 
Pers. tes erunt parallelz (2); & proinde fimiliter ac in propo- 
(2) per Prop. ſitioue demonſtrari poteſt triangula vel parallelogramma 


33. 1. eſſe inter ſe ut baſes. 
Cor. 2. Triangula ABC, DEF, & parallelogramma 


„ AB & DE, ſuper baſibus æqualibus AC & DF, ſunt inter 
ſe ut altitudines. 
Nam ductis BK & EG ipſis AC & DF parallelis, per C 
& F ducantur CK & FG ipſis AC & DF perpendiculares, 
& jungantur AK & DG. | 
Quoniam igitur triangula ABC & AKC ſunt ſuper 


eadem baſi & in uſdem parallelis, erit ABC ipſi AKC | 
f æ quale 


quoque inter ſe ut CK & FG. 


Liber Sextas. 111 
æquale (1), & fimilirer eſt DGF ipfi DEF equale ; ; & vero (1) fer prop. 
rectæ CK & FG pro baſibus trianguloram AKC & DGF 37-4 1. . 
ſumantur, erunt ipſorum altitudines AC & DF zquales 4 4 . 
(2), & ergo ſunt inter ſe ut CK & FG (3), & proinde 3 Per cor. 
ABC & DEF, ipſis æqualia, ſunt inter ſe ut CK & FG, prec. 
hz vero ſunt ipſorum altitudinibus zquales (4) ; paralle- 1 3 


logramma vero triangulorum ſunt dupla & proinde ſunt 37 - 173 +. 
6. 


PROP. II. HE OR. 


87 ad latus quodvis (AC) trianguli ( ABC Js Sa Fig. 4. 


parallela (DE), proportionaliter ſecabit reliqua 
latera „ vel latera producta. 5 
Et fi recta DE) ſecet latera trianguli, vel latera 


producta, , erit Fg lateri (AC) 
. N 19 


Pars. I. Sit DE parallela ad AC, & erit AD ad 


| DB ut CE ad EB. 


Ducantur enim AE & DC, & quoniam triangula EAD (1) fer prop. 
& ECD ſunt ſuper baſi eadem ED, & in uſdem parallelis 37. #1. 
ED & CA, erunt zqualia (x), habet igitur AED ad DEB 1977 Prop. 
eandem rationem quam habet CDE ad eandem EDB (2), (5) ja, PD 
ſed eſt AED ad DEB ut AD ad DB (3), & CDE ad EDB! perp 48 


ut CE ad EB (3), & ergo habet AD ad DB eandem ratio- 297 5 


nem quam habet CE ad EB (4). 
Pars. II. Sit AD ad DB ut CE ad EB, & eric DEipſi 
AC parallela. | 
Manente enim conſtructione præcedente, quoniam eſt 
AD ad DB ut CE ad EB, ut 4b vow al DB ita triangu "( 
tum AED ad triangulum DEB (5), & ut CE ad EB ita LS] per prep. 
triangulum CDE ad triangulum EDB (5), erit AED ad (6); 0 prop, 


DEB ut CDE ed eandem EDB (6), & proinde AED 18. J. 


ipfi CDE zquale eſt (7), ſunt vero ſuper eadem bafi DE (7)perprp 
K ad eaſdem partes, & proinde eſt DE ipſi AC paral- (f (8) pep 2 
ela (8). 3 
1 Si ad latus BC, trianguli BAC, ductæ fuerint 2 5 
plures rectæ parallelz, IO & FL, erunt omnia ſegmenta . 
laterum proportionalia. 
Ductà enim FQ ipſi AC parallelä, erit in triangulo (1) per FI 
BFQ, BI ad IF ut * S ad SF (1), ſed propter parallelo- rec. 
gramma 


112 Euchdi Elementorum 


ma OO & SL, eſt CO ipfi QS æqualis & OI. ipſi 
(a) per prop. SF (2), & ergo eſt CO ad OL ut BI ad IF, & ſimiliter 
3 1. demonſtrari poteſt fi ſint plures. 


PROP. III. T HE OR. 


NR (AD ) biſecans angulum trianguli (BAC) 
IN /ecat latus oppoſitum in ſegmenta (BD, DC} 
reliquis lateribus ( BA, AC) proportionalia. 

Et recta ( AD) ab angulo trianguli ducta ſecans 
latus oppofitum ( BC ) in ſegmenta BD, DC) reliquis 
lateribus (BA, AC) proportionalia, angulum iflum 

.  biſecat. : 8 | : 


Pars. I, Per C ducatur CE ipfi AD parallela, cui 
occurrat BA producta, in E. 
Quoniam igitur AD & EC parallelz ſunt, angulus 
(1) per prop, BAD interno ad eaſdem partes AEC zqualis eſt (1), & 
49. . 1. ergo angulus DAC ipſi AEC zqualis eſt (z), ſed eft 
(2) per by- DAC angulo alterno ACE æqualis (1), & proinde ipſi 
ax. AEC & ACE æquantur, & ergo ſunt latera oppoſita AC 
Ys I. & AE zqualia (3); ſed propter AD iph EC parallelam, 
(3)þ Pr. it EA ad AB ut CD ad DB (4), & ergo quoniam EA 
(4) per prop. & AC æquantur, eſt AC ad AB ut CD ad DB 
2. J. 6. Pars. II. Manente conſtructione præcedente, eſt 
| (5) per prop. BA ad AE utBD ad DC (5), fed ut BD ad DC ita eft 
(6) per by- BA ad AC (6), & ergo eſt BAad AE ut BA ad AC (7), 
2 22 igitur ſunt AE & AC (8), & proinde angulus 
(7) perprop. ACE angulo AEC 1 574 (9); ſed propter parallelas 
18.1.5. AD & EC, angulus DAC angulo alterno ACH zqualis 
(8) 2 4 eſt (10), & angulus BAD interno ad eaſdem partes AEC 
(5er prep, qualis eſt, & quoniam ACE & AEC zquantur, DAC & 
8. J. 1. BAD quoque ſunt æquales, & proinde recta AD angulum 
(10) per BAC biſecat. 1 | 


Fig. 6. 
Vide 1. 


PROP. 


Liber Sextus. 113 


FROP. V. FH EON. 
4 e ene triangulorum ( BAC & CDE) xy. 5. 


latera circum angulos æquales ſunt proportiona- 


lia. Latera vero que æqualibus angulis ſubtenduntur, 
, ſunt homologa. | 


Ponantur enim latera BC & CE, æqualibus angulis 
BAC & CDE oppoſita, in directum, ita ut triangula ſint 
ad eaſdem partes, anguli vero æquales BCA & CED non 
ſint contermini; & quoniam anguli ABC & BCA duobus | 
rectis minores ſunt (1), CED vero ipfi BCA æqualis, (1) per prop. 
erunt ABC & CED duobus reQis minores & proinde con- 1. l. 1. 
current rectæ BA & ED fi producantur (2), fit ergo ipſa- (2) ler ax. 
rum concurſus in F, & propter angulos BCA & CED (3) i & f 
æquales (3) erunt CA & EF e a (4), & propter 2 9 ® 
ABC & DCE æquales erunt quoque CD & BF parallelz (4) per prep. 
(4), eſt igitur AFDC parallelogrammum, & proinde 28. J. 1. 
AC ipſi FD æqualis eſt & AF ipſi CD (5). (5) per prop. 
| Quoniam igitur in triangulo BEE, eſt AC ipſi FE pa- 3+ © © 
| rallela, erit BA ad AF, ſeu ad CD ipſi AF zqualem, ut 
| BC ad CE(6), & ergo, alternando, eſt AB ad BC ut DC {6)berprop 
ad CE; & quoniam CD ipſi BF parallela eſt, erit BC ad 2, j 6 * 
| CEut FD, ſeu AC ipſi FD zqualis, ad DE (6) & ergo, 
alternando, eſt, BC ad CA ut CE ad ED; proinde quo- 
'niam eſt AB ad BC ut DCad CE, BC vero ad CA ut CE 
ad ED, erit, ex æquali (7), AB ad AC, ut DC ad DE. (7) per prop 
Latera igitur circum angulos zquales proportionalia ſunt, 3+ (, 5- 
quæ vero æqualibus angulis opponuntur, homologa. 
Schol. Patet triangula BAC & CDE eſſe ſimilia, & 
quoque latera quæ æqualibus angulis opponuntur eſſe pro- 
portionalia. 1 . | 
Cor. 1. Si in triangulo ABC lateri cuivis AC ducatur Fig. 4. 
parallela DE, erit triangulum abſciſſum DBE, toti 
ſimile. 1 1 85 = 
Eſt enim, ob angulum B communem, anguloſque BDE, (1) fer prop. 
BED internis ad eaſdem partes BAC, BCA æquales (1), 29. 1. l. 
ipſi æquiangulum, & proinde ſimile (2). (2) per ſb. 
Cor. 2. Siad latus quodvis AC trianguli ABC ducatur now 
parallela DE, recta BO ab angulo oppoſito ſecabit paral- *** 8 
elas in partes proportionales. 55 
1 Q- Nam 


ww  vY YC Www ww BW © VUY vt 


114 Euclidis Elementorum 


Nam quomiam in triangulo ABO, DI ipſi AO paral- 
(1) fer ſcb. lela eſt, erit AO ad Dl ut OB ad IB (I), & ſimiliter eſt 
43 prop. OC ad IE ut OB ad IB, & ergo AO ad DI ut OC ad IE 
| 19.7 1 Pr (2), & alternando, AO ad OC ut DI ad IE. 


PROP. V. THEOR. 


F 9. 87 duo triangula ( ABC, DEF habeant latera 
_— proportionalia (BA ad AC ut ED ad DF, & 
AC ad CB ut DF ad FE), erunt aquiangula, anguli 


vero equales lateribus homologis ſubtenduntur. 


Ad terminos lateris cujuſvis DE, trianguli alterutrius 
DEF, conſtituantur anguli EDG & DEG, angulis A & 
B ad terminos lateris AB ipſi ED homologi æquales, & 
erit in triangulo DEG reliquus angulus G reliquo C in 
( cor. triangulo ABC æqualis (1). 0 

2. P. 32. 1. 1. 2 igitur triangulum ABC triangulo DEG æqui- 
(2) per conf, angulum eſt (2), erit BA ad AC ut ED ad DG (3), eſt 
(3) Per prop. vero BA ad AC ut ED ad DF (4), & proinde ED eſt 
7 l ol ;, ad DG ut ED ad DF (5), & ergo zquantur DG & DF 
2s” 7 (6) ; ſimiliter demonſtrari poteſt EG & EF eſſe zquales, 
| (5) perprop. & ergo triangulum EDG triangulo EDF zquilaterum eſt 
18. J. 5. & proinde zquiangulum (7), ipſi vero EDG æquiangu- 
8 lum eſt BAC (8), & ergo BAC ipſi EDF quoque æqui- 
(5) þ *% z. angulum eſt, patet vero angulos æqualęs a lateribus 

8 1.1, homologis ſubtendi. | 


P. 8. 
(8) per conſt. 
PROP, VI. THEO. 
Fig. 3 1 duo triangula ( ABC, DEF) unum angulum uni 


J equalem habeant ( A ipſi Di, circa equales angu- 
los vero latera proportionalia ( BA ad AC ut ED ad 
DF), equiangula erunt triangula, & aequales Habe- 
bunt angulos quibus homologa latera ſubtenduntur. 


Cum alterutro crure DE alterutrius ex angulis zquali- 
bus A & D, & ad terminum ejus alterutrum D, conſtitua- 
tur angulus EDG angulo A zqualis, & ad E conftituatur 

ES angulus DEG angulo B zqualis, & erit in triangulo DEG 
. hs ii). angulus G reliquo C in triangulo ABC æqua- 
J. 1. 1). | 


Quoniam 


Liber Sextus. 1135 


uoniam igitur triangulum ABC triangulo DEG æqui- 
angulum eſt (2), erit BA ad AC ut ED ad DG (3), eſt (2) Per conf. 
vero BA ad AC ut ED ad DF (4), & proinde ED eſt ad e 
DG ut ED ad DF (5), & ergo æquantur DG & DF (6), Tier 5 
ſunt vero anguli EDG & EDF zquales quoniam uterque 55. n 
angulo A zquatur (7), & latus ED utrique triangulo com- (5) per prop, 
mune eſt, & igitur triangulum EDF triangulo EDG æqui- 18. /. 5. 
angulum eſt (8), ſed BAC jipſi EDG æquiangulum eſt 0 f 1 
(9), & ergo BAC iph EDr quoque æquiangulum eſt, * 5 
7) per by- 
Paget vero angulos æquales a lateribus homologis ſub- Pay - 
tendi. | confi. 
* prop. 


PROP. VI. THEO R. . 


I duo triangula (ABC, DEF) habeant unum an- Fig. 10. 
gulum uni æqualem (B ipſi E), & latera circa 
duos ex reliquis proportionalia (BA ad AC ut ED 
ad DF), duo vero reliqui C & F) vel fimul mi- 
nores, vel ſimul non minores recto, erunt triangula 
equiangula, & equales habebunt angulos circa quos 
latera ſunt proportionalia. . 


Sint primo angulus uterque C & F recto minor, & 
erunt BAC & EDF zquales. 5 
Non enim, ſed, ſi fieri poteſt, ſit alteruter eorum 
BAC major, & ad punctum A cum rectà BA conſtitua- 
tur angulus BAG minori EDF æqualis. = 
Quoniam igitur in triangulis DEF, ABG anguh E 
& B æquales ſunt (1), & EDF & BAG quoque æqua- 41% Per B.- 
les (2), erit EFD ipſi BGA æqualis (3) ; triangula igitur/) ey 
ſunt æquiangula & proinde eſt BA ad AG ut ED ad DF 8 — 0 
(4), eſt vero BA ad AC ut ED ad DF (5), & ergo 2. p. za. 
BA eſt ad AG ut BA ad AC (6), & AG igitur ipſi “. 1. 
AC æqualis eſt (7), proinde eſt angulus ACG angulo (4)per prop. 
AGC zqualis (8), & ergo uterque acutus eſt (9), & 75 ) per by» 
quoniam AGC acutus eſt erit AGB obtuſus, & ergo ,,z, 2 
EFD ipſi AGB æqualis eſt quoque obtuſus, ponitur (6) er prop. 
vero EFD eſſe acutum, quod abſurdum. 18. J. 5. 
Non eſt igitur BAC info EDF major, & ſimiliter de- 27 * 
monſtrari poteſt EDF non majorem eſſe ipſo BAC, ſunt (8) „, greg. 
proinde æquales, & quoniam anguli ABC & DEF quo- 5. J. I. 
que æquantur (10), erunt triangula æquiangula (11), (9) Per cor. 


2 & ergo 17. J. 1. 
2 8 (10) per hy- 
Fail. | 


116 Euclidis Elementorum 


(11) fer cor. & ergo habent latera circa angulos zquales proportiona- 

FF 

( m 5 Similiter demonſtrari poteſt fi angulus uterque C & F 

Prop. 4.1. 6. non minor ſit recto, angulos BAC & EDF eſſe æquales 
& ergo triangula æquiangula eſſe, & proinde habere la- 
tera circa angulos æquales proportionalia. | 
Cor. 1. Si in duobus triangulis ABC & DEF unus 
angulus B uni E zqualis fit, & circa duos alios latera 
proportionalia, BA ad AC ut ED ad DF, & ex reliquis 


alteruter C re&us, erunt triangula 3 ma- 


nente enim conſtructione propoſitionis præcedentis, de- 
monſtrari poteſt triangulum CAG eſſe iſoſceles, & ergo 
angulum AGC angulo C recto æqualem eſſe, quod ab- 
ſurdum. 5 
Cor. 2. Si latera angulis quibuſvis æqualibus oppo- 
fita fuerint æqualia, 125 triangula æqualia forent, ut 
patet ex Prop. 26. |. 1. 


PROP. VIII. THE OR. 


Fig. 11. 87 in triangulo rectangulo (ABC ) ducatur ab angulo 


recto perpendicularis ( BF) in laius oppaſitum, 
dividet triangulum in partes & toti & inter ſe ſimi- 
les. 


Nam in triangulis ABF & ABC angulus AFB angulo 


(1) per ly ABC zqualis eſt (1), angulus vero A communis, reli- 
795 quus igitur ABF reliquo C æquatur (2), & ergo trian- 
5 5 gula ſunt æquiangula, proinde latera circa angulos æqua- 
4 les ſunt proportionalia (3), & ergo triangula ſunt ſimi- 
(3) per prop. ha (4). | | 5 

4. 1.6. Similiter demonſtrari poteſt triangulum FBC triangulo 

%%% ABC fimile eſſe. 

DOPE Quomam igitur angulus ABF angulo C zqualis eſt, 
anguli vero AFB & BFC quoque zquantur, erit reli- 
quus A reliquo FBC zqualis & ergo triangula ABF & 
FBC æquiangula ſunt, & proinde latera circa angulos 

(5) per prop, Zquales ſunt proportionalia (5), & ergo triangula ſunt 

4. 7 6. ſimilia. | | 
Cor. Hinc patet perpendicularem BF mediam eſſe 
proportionalem inter ſegmenta AF & FC lateris in quod 
incidit ; reliqua vero latera AB & BC media proportio- 

nalia 


.* 
at. gn þ 3?> tagnd Poa 


— S a " 


r IEF | 


Liber Sextus. — 


nalia eſſe inter ſegmenta AF & FC ipſis contermina, & 
totum latus AC. 


PROP. IX. PROB 
Datd read (AB) imperatam partem abſcin- Fig. 12. 


\ dere. 


A termino alterutro A rectæ datz ducatur* AD an- 
gulum quemcunque cum ipſa AB continens, & ſumpto in 
pſa puncto quovis C, fiat AD eadem multiplex ipſius 
AC ac eſt AB partis abſcindendæ, & duQa BD ducatur 
per C rea CI ipſi BD parallela, erit Al pars quæ- 
ſita. | 
Eft enim AI ad AB ut AC ad AD (1), & ergo (1) fer cor. 
quoniam AC ſubmultiplex eſt ipſius AD (2), erit Al 1 eg 

xque ſubmultiplex ipſius AB (3). oy 


(2) Per conf 
= (3) per prop 
PROP. X PROB. 1 3. J. 5. 
TITRE rect(am inſectam ( AB ) date rectæ ſectæ Eg. 13. 
(FG ) femiliter ſecare. | 


A termino alterutro A datæ inſectæ AB ducatur recta 

AC angulum quemcumque cum ipſa continens, & ſu- 

mantur AD, DI & IL æquales partibus FP, PR & RG 

in quas data FG ſecta eſt (1), & ducta LB ducantur (1) fer prop. 

per I & D rectæ IK & DO ipſi LB parallelz. 3-4. 1. 
Quoniam igitur in triangulo BAL rectæ KI & OD 

lateri BL parallelæ ſunt, erit BK ad KO ut LI ad ID © 

(z), ſeu ut GR ad RP (3), & KO ad OA ut ID ad DA (2) fer cor. 


(2), ſeu ut RP ad PF (3). et ergo data AB ſimiliter 71. J. 6. 
datæ FG ſecatur. | (3) Per conft, 


PROP. XI. PROB. 
Atis duabus refs { AB & FG), tertiam pro- Fig. 14. 


portionalem invenre ide N. 


A termino alterutrius ex datis AB ducatur recta AE 
angulum quemcunque cum ipſa continens, & ſumpta AC 
alteri datæ FG zqualis, ducatur BC, & producta AB 
in ipſa ſumatur BD ipſi FG æqualis, & per D —_—_ 


118 | Euclidis Elementorum 


DE ipſi BC parallela, erit CE tertia proportionalis 
quæſita. 

| Quoniam enim in triangulo DAE recta BC lateri DE 
1 parallela eſt, erit AB ad BD ut AC ad CE (1), ſunt 


vero BD & AC iph FG — (2), & ergo eſt AB 


(2) ber conf. d FG ut FG ad CE. 
PROP. XII. PROB. 


Fig. 15, 1 tribus reftis ¶ F, E & G) een pro 
a invenire. 


Ducantur duæ rectæ AD & Al angulum quemcunque 


continentes, & ſumantur in ipſis AB, BD & AC ipſis 


F, E & G æquales, & ducta BC ducatur per D recta 
DI ipf BC parallela, erit CI quarta proportionalis quz- 
ſita. 
Quoniam enim in triangulo DAI recta BC lateri Dl 
(r) por pro. parallela eſt, erit AB ad BD ut AC ad CI (1), ſunt 
. 6. vero datæ F, E & G ipſis AB, BD & AC zquales (2), 
(2) por cf & proinde eſtFad E ut G ad Cl. 


PROP. XIII. PR OB. 
Fig. 16. D duabus rectis (E & F mediam Proportis- 


Vi M. nalem invenire. | 


DuAa utcunque rectà AC, ſumantur in ipſa AB & BC 


datis E & F zquales, biſecetur AC in D, & centro D per 
A deſcribatur ſemicirculus AIC, & per B ducatur Bl 
ipſi AC perpendicularis circumferentiz occurrens in I, 
erit BI media proportionalis quæſita. 
Ducantur enim Al & IC, & quoniam in triangul 
( (Oper peep AIC angulus I in ſemicirculo rectus eſt (1), ab ip- 
/.3- ſo vero in latus oppoſitum ducta eſt perpendicularis * 
2) % erit IB media proportionalis inter AB & BC (2), & 
15 þer conft. ergo inter datas E & F ipſis AB & BC zquales (3). 


Cor. Similiter inter datas & hanc mediam invenin | 


poſſunt mediz proportionales, unde ſeries oritur quinque 
rectarum continuè e ee & iterum inventis 
inter adjacentes in hac ſerie mediis, ſeries oritur novem 


proportionalium, & ita deinceps. 
PROP. 


pms. Mg. a Od - 


— P_ oof — — 


> Qs — — — 


0 — — 


Liber Sextus. 119 


PROP. XIV. T HE OR. 


Arallelogrammorum equalium, & unum angulum 
uni equalem habentium (AD & GC), latera 
circum angulos æquales reciproce proportionalia ſunt 
(AB ad BC ut BG ad BD). Et ji duo parallelo- 
gramma (AD & GC) unum angulum uni æqualem 
habeant, Iatera vero circa ipſos reciproce proportionalia, 
erunt inter ſe æqualia. OI 


Fig. 17. 


Pars. I. Ponantur litera duo AB & BC circum 


angulos æquales in directum, & quoniam ABD & DBC (1) per prop. 


duobus rectis zquales ſunt (1), GBC vero ipſi ABD 13:4 1. 
æqualis eſt (2), erunt GBC & DBC duobus rectis æqua- 2 — 
les, & proinde GB & BD ſunt in directum (3), com- (z) ,., 

** 8 (3) per prop. 
pleatur igitur parallelogrammum DC. LE 
Quoniam parallelogramma AD & GC æqualia ſunt /4) per by- 
(4), et AD ad DC ut GC ad DC (5), ſed AD eft ad... 
PC ut AB ad BC (6), & GC eſt ad DC ut GB ad 4% . 
BD (6), & proinde eſt AB ad BC ut GB ad BD (e) er prop. 
(7) 3 3 N 
Pars. II. Eidem manente conſtructione, eſt AD (7) per prop. 


ad DC ut AB ad BC, GC vero ad DC ut GB ad BD, 78, + 5: 


ſed eſt AB ad BC ut GB ad BD (8), & proinde eft %“ 9 

AD ad DC ut GC ad DC (9), & ergo AD iph GC (9) per prep. 

æquale eſt (10). 18.1. f. 
(10) fer 


PROP. XV. THEOR. mos 


1 equalium & unum angulum uni Fig. 18. 


æqualem habentium (ABD & CBL), latera 


circum angulos equales reciproce proportionalia ſunt 


(AB ad BC ut LB ad BD). Et þi duo triangula 


ABD & CBL) unum angulum uni æqualem ha- 


beant, latera vero circum ipſos reciproce proportionalia, 
erunt inter ſe æqualia. 


Pars. J. Ponantur latera duo AB & BC circum 
angulos æquales in directum, & quoniam ABD & DBC 4. 
duobus rectis æquales ſunt (1), LBC vero ipſi ABD (7) for oY" 

æqualis 


120 


(2) per by- 

foth. 

17 * 
(4) (per Ly 
4% prop. 

14. J. 5. 

(6) per prop 
(a) er pep 
18. J. 5. 
(8) per by- 
Potb. 

(9) per prop. 
18. J. 5. 


(10) per 
Prop. 15. J. 5. 


Fig. 19. 


Euclidis Elementorum 


æqualis eſt ( HY erunt DBC & LBC duobus rectis qua- 
les & proinde DB & BL ſunt in directum (3), ducatur 
igitur DC. 

Quoniam triangula ABD & LBC æqualia ſunt (4), 
eſt 135 ad DBC ut LBC ad idem DBC (5), ſed ABD 
eſt ad DBC ut AB ad BC (6) & LBC elk ad DBC ut 
LB ad BD (6), & proinde eſt AB ad BC ut LB ad 
BD (7). 

Pars. II. Eadem manente conſtructione, eſt ABD 

ad DBC ut AB ad BC, LBC vero ad DBC ut LB ad 
BD, ſed eſt AB ad BC ut LB ad BD (8), & proinde 
eſt ABD ad DBC ut LBC ad DBC (9), & ergo ABD 
ipſi LBC zquale eſt (10). ' 

Cor. 1. Ex hac propoſitione & præcedente patet 
triangula vel parallelogramma quorum baſes & altitudi- 
nes reciproce proportionales ſunt, effe zqualia. 

Cor 2. Si duo triangula ABC & DFE habeant duo 
latera duobus reciproce proportionalia, AB ad EP ut 


ED ad AC, angul vero inter hæc latera ſimul duobus 


rectis zquales, erunt triangula zqualia. 


(1) per 5y- 
foth. 


(2) per 
17 29. 


7 3) fer 
777. 34 


(4) eb 
; 1 4 


© 5) per rope 


Compleantur enim parallelogramma AL & DF, & 
quoniam anguli BAC & DEF ſimul duobus rei 


æquantur (1), BAC vero & ACL quoque duobus rec- 


tis ſunt æquales (2), erunt DEF & ACL æquales; 
eſt vero BA ad EF ut ED ad AC (1), & CL ipſi AB 
æquatur (3), & er go CL eſt ad EF ut ED ad AC, & 


æquales ſunt anguli ACL & DEF, parallelogrammum - 


Sur AL parallelogrammo DF zquale eſt (4), & pro- 
inde triangula ABC & DEF _ ipſorum dimidia ſunt 


* (5), quoque zquantur. 


Cor. 3. Similiter fi duo triangula æqualia ABC x 
DEF, duos angulos BAC & DEF fimul duobus reftis 
æquales habeant, erunt latera circum ipſos reciproce pro- 
proportionalia. 


PROP. 


* 
9 S OO OE LEP Y 


Liber Sextus. | 121 


PROP. XVI. THE OR. 


87 ſiut quatuor rectæ proportionales A ad B ut C ad Fig. 20. 
4 D/ erit rectangulum ſub extremis (A & D) © 
| quale rectangulo ſub mediis B & C. Et ſi ſint quatuor 

rectæ (A, B,. C & D) rectangulum vero ſub extremis 
quale fit rectangulo ſub medits, erunt quatuor red 
proportionales. 


Pars. J. Ducantur AE & GC ipſis D & C æqua- 
les, ufque erigantur AF & CK perpendiculares, ipſis A & 
t | B æquales, & compleantur rectangula EF & GK. 
Quoniam igitur in paralleiogrammis EF & GK 1 (1) per - 


A & © ſunt 2qu:cs, ,latera vero circa ipſos reciproce ſunt petb.& conf. 
0 proportionalia (1), erit EF ipſi GK zquale (2). LY the 
ut Pars. II. Eadem manente conſtructione, quoniam 77 4 by 
us. parallelogramma EF & Gh æquantur (3), anguli vero pf Lag ofa 


A & C ſunt zquales, erit AF ad CK ut GC ad AE (4), (4) per prop. 
& ergo eſt A ad B ut Cad D (5). „„ 14.1. & 
tis Cor. 1. Si ſint quatuor rectæ proportionales, erit pa- (5) Per conf. 


C- rallelogrammum ſub extremis æquale parallelogrammo 

8: æquiangulo ſub medus. 

\B Cor. 2. In quovis triangulo BAC, rectangulum ſub ig, 2x. 
K | quobus lateribus BA & AC, æquatur quadrato rectæ AD 
um biecantis angulum inter ipſa, una cum reQangulo ſub 

o- ſegmentis BD & DC lateris iti angulo oppoſiti. 

unt Triangulo BAC circumſcribatur circulus cujus circum- 


ferentiz occurrat AD producta in E, & ducatur EC. 

& Quoniam igitur angulus BAD angulo DAC zquatur | f, 
dis (1), & anguli ABD & AEC eidem areui AC inſiſtentes $a g ak 
ro- ſunt quoque æquales (2), erunt triangula BAD & EAC (2) fer prop. 

æquiangula, & ergo eſt BA ad AD ut EA ad AC (z), 21. l. z. 

rectangulum igitur ſub BA & AC rectangulo ſub EA & 90 Prop. 

AD zquale eſt (4), & proinde rectangulo ſub ED K (%, 6, 

DA cum quadrato ex DA zquale eſt (5), rectangulum 1 . 

vero ſub ED & DA rectangulo ſub BD & DC æquatur (5) pr prop: 
(6), & proinde rectangulum ſub BA & AC rectangulo 3. . 2. 

ſub BD & DC cum quadrato ex AD æquale eſt. (0) per prep. 
Cor. 3. Si ab angulo quovis A trianguli BAC cadat 3? © 3: 

perpendicularis AD in latus oppoſitum, erit rectangulum F. 23. 

ſub lateribus BA & AC circum angulum iftum æquale 

rectangulo ſub perpendiculari & diametro circuli circa 
triangulum circumſeripti. 

6 a 8 Nam 


) P. 


122 Euclidis Elementorum 


Nam triangulo BAC circumſcribatur circulus, & ducta 
diametro AE ducatur EC. 
(1) per prep. Quoniam igitur angulus rectus ADB angulo ECA in 
31. 3. -ſemicirculo æqualis eſt (1), anguli vero ABC & AEC 
(2) per prop. 4 ; t 
21. J. 3. eidem arcui AC inſiſtentes ſunt quoque æquales (2), erit 
(3) per prep. triangulum BAD triangulo AEC æquiangulum, & igitur 
4. 1.6. eſt BA ad AD ut AE ad AC (3), & proinde rectangu- 
SHY Ry ſub BA & AC rectangulo ſub AD & AE æquale eſt 
4). | | 
Fig. 23. Cor. 4. In quadrilatero ABCD in circulo inſeripto, 
erit rectangulum ſub diagonalibus AC & BD zquale rect- 
re, ſub lateribus oppoſitis AB & CD, & BC & 
Angulo CBD conſtituatur angulus ABE zqualis, & in 
triangulis ABE & DBC anguli ABE & DBC zquales ſunt, 
& quoque anguli BAE & BDC eidem arcui BC inſiſtentes 
æquantur (1), ſunt igitur triangula ABE & DBC æqui- 
(1) per prep. | \ q 
* 21.1. 3. angula & ergo eſt AB ad AE ut DB ad PC (2), & pro- 
(2) per prop. inde rectangulum ſub AB & DC reQangulo ſub AE & 
4.1.6. DB æquale eſt (3) ; quoniam vero angylus ABE angulo 
„e rep. CBD æqualis eſt (4), addito communi EBD erunt anguli 
(4) per con. ABD & CBE zquales, & quoque anguli BDA & BCE 
(5) per prop. eidem arcui BA infiſtentes æquantur (5), ſunt igitur tri- 
21. J. 3. angula ADB & ECB zquiangula, & ergo ett AD ad DB 
(6) per prop, ut EC ad CB (6), & proinde rectangulum ſub AD & BC 
4. [ 6. rectangulo ſub DB & EC zquale eſt (7), rectangulum 
(7) Per prop. vero ſub AB & DC rectangulo ſub DB & AE zquaie eſt, 


PROP. XVII. THEOR. 
Fig. 24. Q” Int tres rectæ proportionales (A ad B utB ad C) 


erit rectangulum ſub extremis equale quadrato quod 
fit a medid. Et fi rectangulum ſub extremis eæguale 
fit quadrato quod fit a media, erunt tres rectæ propor- 
tionales. | LD: 


Pars. I. Sumatur D ipfi B zquahs ; erit igitur A 
(1) per prop. ad B ut D ad C (1), & igitur rectangulum ſub A & C 
( e rectangulo ſub B & D zquale eſt (2), & ergo quadrato ex 


(4) per prop. 
67 C'S æquatur. | 
Pars. II. 


© 7 Las \ 4 Wo | 6 4 3 1 = 


Liber Sextur. 123 


Pars. II. Sumatur D ipſi B zqualis, & erit rectan- 5 
gulum ſub A & C rectangulo ſub B & D æquale, & igitur (30% f 
et A ad B ut D ad C (3), & ergo eſt A ad B ut 14 %% a 
C (4). 5 | we. K | . 

Cor. Si fint tres rectæ proportionales, erit parallelo- * 


grammum ſub extremis æquale parallelogrammo æquian- 


gulo quod fit ex media. 
PROP. XVIII. PROB. 


A dats re#4 (AB) rectilineo dato (FGIKL) ſimile pig. 25. 
1 X & /militer paſitum rectilineum deſcriber ee. 


Ductis FI & FK conſtituantur cum recta AB & ad pundta 
in ipſa A & B anguli BAC & ABC angulis LFK & FLK 
æquales, concurrent AC & BC in C & erit angulus BCA 
angulo LK F æqualis (1), ſimiliter ſuper AC deſcribatur /x } per cor. 


triangulum triangulo FKI æquiangulum, & ita dein- 2.9. 32. I. 1. 
ceps. 185 = 


Quoniam igitur angulus ABC angulo FLK zqualis et 
(1), & propterangulum BCA 5 LKF zqualem & ACD () Per conf. 
ipſi FKI (1), eſt quoque BCD ipſi LKI zqualis, & ita 

einceps oſtendi poteſt ſingulum angulum in figura AEDCB 


ſingulo in FGIKL zqualem eſſe, eſt AEDCB dato FGIKL 


æquiangulum. Eft vero triangulum ABC triangulo FLK 
æquiangulum (1) & proinde ABeſt ad BC ut FL ad LK 
(2), & quoque BC ad CA ut LK ad KF (2), ſed eſt (2) per prop. 
ACD pfl FEI æquiangulum, & ergo CA eſt ad CD ut 4. J. 6. 

KF ad KI (2), & ergo erit ex æquali (3), BC ad CD ut (3) r prop. 
LK ad KI, & ſimiliter oſtendi poteſt latera circa reliquos 34. /. 5. 
angulos eſſe proportionalia, & quoniam ſunt quoque 
Alben & FGIKL æquiangula erunt inter ſe ſimilia (4) per def. 
(4)- 1 hal 


PROP. XX THEOR. 


Imilia triangula (ABC, FIL) ſunt inter ſe in du- Fig. ab. 


plicatd ratione laterum homologorum. 


Lateribus homologis AC & FL ſumatur tertia propor- 
tionalis KC & ducatur BK. | 
Quoniam igitur eſt AC ad CB ut FL ad LI (1), erit (1 fer H- 
permutando AC ad FL ut CB ad LI (2), eſt vero AC ad, 
R 2 FL, 3 


124 Euclidis Elementorum 


(3) Per conſt. FL, ut FL ad CK (3), & ergo eſt CB ad LI ut FL ad 
(4) per Prep. CK (4), ſed eſt angulus C angulo L æqualis (1), & pro- 
(5 ben inde triangulum KBC triangulo FIL zquatur (5) ; ha- 
15. J. 6. bet igitur ABC ad utrumque eandem rationem (6), eſt vero 
(6) per prop. ABC ad KBC ut AC ad KC (7), & ergo eſt ABC ad FIL 
14.1.5. ut AC ad KC, ſeu in duplicati ratione ipſius AC ad 
(7) per prop. EL (8). | | | 

1. J. 6. | 

(8) per def. | . 

10. J. 5. PRO P. XX. THE OR. 


Fig 25. Ghei, polygona (FGIKL & AEDCB) in ſimilia 


triangula dividuntur, numero aqualia & totis 
homologa ; & polygona inter ſe ſunt in duplicatd ra- 


tione laterum homologorum. 


Pars. I. Quoniam in triangulis FGI & AED anguli 
G & E zquales ſunt, latera vero circa ipſos proportiona- 
(1) Per 5y- ha (1), erunt FGI & AED fimilia (2) ; quomam igitur 


%% , anguli GIF & EDA zquales ſunt, toti vero GIK & EDC 


(2) per prop. æquantur (1), erunt reliqu FIK & ADC zquales, & 
6.1. 6 


.  quoniameſt FT ad IG ur AD ad DE, IG vero ad IK ut 


DE ad DC (1), erit ex zquali FI ad IK ut AD ad DC 


(3) er prop. (3), & ergo propter angulos inter ipſos æquales, erit tri- 

33-4. 5. \ angulum FIK triangulo ADC ſimile (4), & reliqua quo- 
(4)/ 6 77: que triangula ſimilia eſſe ſimiliter oſtendi poteſt. 

ey Pars. 1I. Quoniam triangulum FG triangulo 

AED ſimile eſt, erit FGI ad AED in duplicata ratione 

27 'P: Jateris FI ad AD (5), ſimiliter eſt quoque FIK ad ADC 

(G in duphicata * FI ad AD, proinde eſt FGI ad 

19 %% AED ut FIK ad ADC (6), & ita quoque oftendi poteſt 

= FIK eſſe ad ADC ut FKL ad ACB, ut igitur unum ante- 

cedentium ad unum conſequentium ita omnia anteceden- 

(7) per prop. tia ad omnia conſequentia (7), ſeu polygonum FGIKL 

22. J. 5. ad polygonum AEDC B. | 
Pars. III. Quoniam polygonum FGIKL eſt ad po- 
lygonum AEDCB ut triangulum PGI ad triangulum 


AED, FGI vero eſt ad AED in duplicata ratione lateris 


8) fer prov. FG ad latus AE (8), erit quoque FGIKL ad AEDCB 
9. S. in duplicataratione ipſius FG ad AE (9). 
(99 5 %%% . Cor. 1. Hinc fi tres rectæ fuerint proportionales, erit 


Fiz V, figura rectilinea ſuper prima ad ſimilem fimiliterque poſi- 


tam ſaper ſecunda ut prima ad tertiam. 


Cor 


band ton AG Ban Was +0 


0 a 


Liber Sextus. 125 


Cor. 2. Hinc deſcribi poteſt figura quæ fit ad datam 
in quavis ratione data; inveniatur enim inter latus figu- 
ræ & rectam quæ ſit ad ipſum in ratione data mediam 


proportionalem, & ſuper 1pſa conſtituatur figura datæ 
ſimilis ſimiliterque poſita. | 


PROP. XXI. THEOR. 


12 (A & B) que eidem (C) fimilia ſunt, Eg 25. 
| inter ſe quoque ſunt familia. 


Quoniam enim rectilineum A rectilineo C ſimile eſt, 
iph eſt æquiangulum & latera circum angulos zquales 
habet proportionalia (1), & quoniam rectilineum B recti- li of def. 
lineo C ſimile eft, ipſi eſt æquiangulum & latera circum * * 2 
angulos æquales habet proportionalia (1), ſunt igitur A & 
B inter ſe quoque æquiangula (2), & latera circum angu- (2) Per ar. 


los æquales habent proportionalia (3), & igitur ſunt A ( Fig prop. 
& B milia. | 18 . 


PROP. XXIL T HE OR. 


I. ſint quatuor rectæ proportionales (AB ad CD ut Fig. 28. 
EF ad GH) erunt quoque rectilinea fimilia ſimi- Vide N. 
literque ab ipſis deſcripta, proportionalia. Et ſi rectilinea 
 femilia ſimiliterque a quatuor rectis deſcripta ſunt pro- 
portionalia, ipſæ rectæ erunt proportionales. 


Pars. I. Sumatur ipſis AB & CD tertia propor- 
tionalis X, ipſis vero EF & GH tertia proportionalis O, 
& quoniam eſt AB ad CD ut EF ad GH (1), erit CD ad (1) per 4y- 
X ut GH ad O (2), & ergo ex zquali erit AB ad X ut EF “% ]” 
ad O (3), ſed eſt AKB ad CLD ut AB ad X (4), & EM ad (2) pur prep. 


| GNutEFad O, & proinde eſt AB ad CLD ut EM ad (4) 5e, 
GN. . . 


Pars. II. Manente eidem conſtructione, quoniam (4) fer tor. 
eſt AKB ad CLD ut EM ad GN (5) erit AB ad X ut 1 4 20. 


(s) per by- 
8 : 
er prop. 
ork? 
(7) per prop. 
p RO P. 39.4 8. 


EF ad O (6), & ergo eſt AB ad CD ut EF ad GH 
7) | | Th 


126 Euclidis Elementorum 


PROP. XXII. THEOR. 
Duiangula parallelogramma (BD & CG) inter 
-” ſe rationem habent ex laterum rationibus com- 


| Pofitam. 


Fig. 29. 
V ide N. 


Ponantur latera duo BC & CF circum angulos zquales 
in directum, & quoniam anguli BCD & DCF duobus 
(1) per prop. Tectis æquales ſunt (1), HCF vero ipſi BCD zquatur 
13. J. 1. (2), erunt quoque DCF & FCH duobus rectis æquales 
(2) per y & ergo DC & CH ſunt in directum (3), compleatur 
N ** ro igitur parallelogrammum CE. 8 
4 /l f.“ * Quoniam igitur eſt BD ad CE ut BC ad CF (4), CE 
(4) "x prop. vero ad CG ut DC ad CH (4), habet BD ad CG ratio- 
1. J. 6. nem compoſitam ex rationibus BC ad CF & DC ad CH 
75) per de,. (5). * 
. Cor. 1. Inveniri poſſunt duæ rectæ quæ ſunt inter ſe 
Fig. 30. in ratione parallelogrammorum BD & CG, aſſumendo rec- 
2 tam quamvis I, ipſiſque BC, CF, & I quartam proportio- 
nalem K inveniendo, ipſis vero DC, CH & K quartam 
proportionalem L, & erit BD ad CE ut I ad K, CE vero 
| ad CG ut K ad L, & proinde, ex zquali, erit BD ad 
(1) per prop, CG ut Tad L (1). 3 
33. J. 5. Cor. 2. Triangula quæ unum angulum uni æqua- 
by lem habent, ſunt inter ſe in ratione compoſita ex rationi- 
bus laterum circum angulos zquales. - 3 | 
Cor. 3 Parallelogramma vel triangula quzcunque 
ſunt inter ſe in ratione compoſita ex rationibus baſium & 
altitudinum, æquantur enim rectangulis, vel triangulis 
rectangulis ſuper baſibus æqualibus & in uſdem altitudi- 


nibus. 
PRO P. XXIV; THEORX. 


Fig. 31. 1 N omni parallelagrammo (AC) que circa diametrum 
ſunt parallelogramma (AF & FC) & toti & in- 
ter ſe ſunt ſimilia. £7 


(1) /e- cor. Quoniam enim parallelogramma AC & AF unum an- 
2 F. za. gulum A habent communem, ſunt zquiangula (1), fed 
J. 1. | propter 


I 


| ſuper CK deſcriptum (5) ; eſt vero EL ipſi B zquale 


Liber Sextus. 127 


Propter parallelas BF & BC triangula AEF & ABC 


ſunt ſimilia (2), & ergo eſt AE ad EF ut AB ad BC ( 3), (2) per cor: | 
reliqua vero latera ipfis AE, EF, AB & BC zqualiaſunt (5) 4. 3 6. 
(4), & proinde parallelogramma AF & AC habent latera S 74 7 


circum angulos zquales proportionalia, & igitur ſunt ſimi- (3) per prop. 
34. J. 1. 


lia (3). 
Similiter demonſtrari poteſt parallelogramma AC & 


FC eſſe ſimilia. 
= Quoniam igitur utrumque AF & FC eidem AC ſimile 5 
eſt, erunt inter ſe quoque ſimilia (5). ( S) per 67 


PROP. XXV. PRO B. 


D E tilineum conſtituere dato (A. equale, alteri vero Fig. 32. 


X dato ( B ) ſmile, © 

Ad latus quodvis EF dati B conſtituatur rectangulum (1) per cor. 
EL ipfi B zquale (1), & ad latus ejus FL conſtituatur 1. Las. 
rectangulum FD dato A æquale (1), inter latera ipſorum! 5 2 
EF & FG inveniatur media proportionalis CK (2), figura (2 1 Pp. 
ſuper ipſa deſcripta dato B fimilis ſimiliterque poſita erit 
dato A æqualis. | | (3) er prop. 

Eſt enim rectangulum EL ad rectangulum FD ut EF f. | 6: 

ad FG (3), ſeu in duplicatà ratione ipſius EF ad CK (4), (4) er conf. 
& proinde ut rectilineum B ad fimile ſi militerque poſitum (5) per prop. 


(6 Sr EO 
& ergo rectilineum ſuper CK deſcriptum ipſi B ſimile "par * 4 
literque poſitum, ipſi A erit æquale (7). 23. J. 5. 
Cor. Hinc patet methodus conſtituendi figuram recti- 55 
lineam datæ ſimilem & differentiæ inter duas datas, vel (1% Per cor. 
ipſarum ſummæ æqualem, fi prius conſtituatur parallelo- © f 37 , 
grammum iſti differentiz vel ſummæ æquale (1). 1 


PROP. XXVI. THE OR. : 
G! parallelogramma femilia & ſemiliter fofita (AC Fig. 33. 


& AF) communem habeant angulum; ſunt circa 
eandem diametrum, by 1 


Non enim, ſed fi fieri poteſt fit Al parallelogrammi 


AF diameter, & per I ducatur IL ipſi AE parallela. 


Quoniam igitur parallelogramma AI & AF circa ean- 
dem ſunt diametrum AIF, communem vero habent angu- 


lum A, erunt AI & AF ſimilia (1), & proinde eſt BA (1) per frep- 


ad 24- J. 6. 


128 = Sh Euclidis Elementorum 


ad AL ut EA ad AG, ſed eſt BA ad AD ut EA& AG 
2 Ys 41 o BA eſt ad AL ut BA ad AD (3), & proinde 
æquatur (4), quod abſurdum. 
97 * * eſt igitur AIF ipſius AF diameter & ſimiliter nec 
9 pr prop alia quzvis preter ipſam ACF. 


PROP. XXVIL THEOR. 


Fg. A 35s. CGI refia-quevis AB] fecetur bifariam (in Ci E 
Fide N. 8 Naum "ol ＋ 4 D) 225 alleen, "FC J 
| quod dimidiæ applicatur deficiens figurd ( BG) ip fi- 
mili, majus parallelogrammo (ED) alterutri parti 
applicato, cjjus dgfectus (KB ) femilis fit priori (GB + 


Fig. 34+ Primo fit AD majus ſegmentum rectæ AB & com- 
pleatur parallelogrammum KI & ducatur GB. 
(1) perl Quomam igitur GB & KB ſunt ſimilia (1), erit GB 
diameter utriuſque (2), eſt igitur CK ipſi KI æquale 
975 4 . (3), & ergo fi utrique addatur DL erit CL ipſi DI 
＋ 8 . 8 fant vero CL & CE 9 8 ualia (4), & proinde 
43. J. i. & DI zquantar, 1 addatur CK & erit ef 
(4) er . Gnomoni CLS.z & proinde minus eſt toto 
2 wk lelogrammo Cl, * eſt parallelogrammo FC ipſi Cl 
36. J. 1 8 
quali (4). 
Jam fit AD minus ſegmentum, & compleatur parallelo- 
Fig. 3 A grammum Gl & ducatur KB; & quoniam parallelogram- 
ma KB & GB ſunt ſimilia (5). erunt circa eandem e- 
(por CW trum (6), & igitur ſunt parallelogramma DG & Gl æqua- 
() per Prep. la (7), fed funt FG & GL zquales (8), & proinde paral- 
Sr“ lelogramma EG & GI ſunt NN pere vero EG 
| * ** majus ipſo FK, er . erit quoque GI ipſo FK majus, & 
8 . ** ergo DG r nale majus e ” FK, 115 
que igitur ur FD & erit totum C toto | 
(p)pr prop agu 
Schol. Patet parallelogrammum KG eſſe exceſſum 


ee FC ſuper ED, que diminui dimi- 
nuto KG, 


PROP. 


Liber Sextus. 129 
PROP. XXVIII. PRO B. 
D redam datam Faw applicare parallelogram- Fig. 36. 
mum dato rectilineo ( £ ) equale & deficiens figu- 
rd ſimili dato parallelogrammo [A). Oportet autem 
rectilineum non majus eſſe parallelogrammo applicato 


ad dimidiam datam cujus defectus ęſt ſimilis dato A. 


Biſecetur AB in E, & * AE deſeribatur paral- 
lelogrammum AG dato ſimile, & compleatur 
Erit AG dato rectilineo Z vel zquale vel majus 


(1) | ( : ) Per con- 
P itrones pro- 

Si fit æquale, factum eſt quod proponebatur. — 
Si fit majus, conſtituatur parallelogrammum exceſſui 


ejus ſuper Z æquale, dato vero X ſimile (2) & fit (2) Per cor. 
kKLMN, & cum hoc minus eſt parallelogrammo AG, erit F. *5: * 6. 
minus quam EF ipſi AG zquale (3), eſt vero ei ſimile, (3) Per conf. 
& ergo latera ejus KL & LM lateribus ipſius EF ipſis . 36. . 
homologis EG & GF minora ſunt, ex his ergo deſu 
mantur GK & GO ipfis KL & LM zquald, & comple- 
atur parallelogrammum KGOl, & erit hoc ſimile paral- 
lelogrammo EF quoniam utrumque eidem X ſimile eſt 
(4), & quoque ſimiliter poſitum eſt, ergo ſunt KGOI (4) per 54th 
& EF circa eandem diametrum (5), ducatur eorum di-*7,1,,, prop. 
ameter GIB & producatur OI al S & KI ad M & N. 26. . 4 
& quoniam parallelogrammum EF ipſis KLMN & Z N 
ſimul zquale eſt (6) KO vero ipſi KLMN zquatur, erit (6) fer conf. 
Gnomon ENO ipſi Z zquale ; ſunt vero EI & IF æqua- 
lia (7), & ergo fi utrique addatur SN, æqualia ſunt (1) per prop. 
EN & SF, ſed propter AE & EB æquales, EN ipſi 4 . 1. 
ME zquale eſt (8), & proinde ME & SF azquantur \ 57 Prop. 
& ergo fi utrique addatur EI erit MS Gnomoni (9) per prep. 
ENO æquale, ſed Gnomon ENO dato rectilineo Z 24.1.6. 
æquatur, ergo MS dato Z zquale eſt, & defectus ejus (10) per 
SN, quoniam parallelogrammo EF fimile eſt (9), dato . & | 
quoque X ſimile eſt (10), & ergo factum eſt quod pro- 5. T 22 
ponebatur. „ x 

Schol. Hac methodo parallelogrammum conſtitutum Fi. 37 
erit ſuper ſegmento majori datæ AB, ſuper minori vero 
conſtitui poteſt ſi rectæ GO & GK deſumantur ex recti. 
EG producta & ex GM, & deſcripta figura ut in propo- 
 fitione erit Al Ts quæſitum, ut facile 

7 demonſtratur, 


4 


130 | Euclidis Elementorum 


(1) fer ſcb. demonſtratur, eſt enim KO exceſſus ipſius AG ſupra 
„7 % AI (i) & eſt quoque exceſſus ejus ſupra dato Z, unde 


_ AI & Z zquantur. | 
| PROP. M PROM 
D datam rectam ( AB ) applicare parallelogram- 


Fig. 38. | 
5 1 \ mum dato rectilineo ( Z ) æquale, & exceden: 
figurd ( BX ) ſimili parallelogrammo dato [A. 


Biſecetur AB in E, & ſuper EB conſtituatur paral- 


lelogrammum dato X ſimile, & conſtituatur parallelo. 
rammum GH parallelogrammo EL ſimile, ipſis vero 


(1) fer cor. EL & dato Z ſimul zquale (1), & quoniam GH majus 
k. 25. J. 6. eſt ipſo EL, erunt latera ipſius GK & KH majora 
| lateribus 2 ipſius EL quæ ſint FF & FL, ex 
his igitur productis ſumantur FN & FM, ipſis GK & 
KH æquales, & e ee parallelogrammum NM, & 
erit hoc ſimile parallelogrammo GH, & ergo ſimile ipſi 
EL, ſed & ſimiliter eee eſt, & r ſunt circa 
eandem dꝭ metrum, ducatur eorum diameter FBX, & 


per A ducatur AC ipſi EN parallela cui occurrat PN pro- 


| dufia. & quoniam NM & GH æqualia ſunt, GH vero 
(2) per conf. 45 Z & EI. ſimul zquatur (2), eſt & NM ipſis Z & 
| L ſimul zquale, deſumatur utrinque EL & erit Gno- 
mon NOL ipſi Z zquale, ſed propter æquales AE & 

( 2) per prop. EB zquantur parallelogramma al & EP (3), & æqua- 
14 „ ih lia ſunt quoque EP & BM (4), ergo AN 'pſ ITY, 
43. 1 æquatur, commune apponatur NO & erit AX Gnomo- 
ni NOL æquale & proinde eſt AX dato rectilineo 2 


æquale, ſed exceſſus ejus PO, parallelogrammo EL & 


ergo dato X ſimilis eſt. 
PROP. XXX. PRO B. 
Fig. 39. DX" redtam finitam AB ſecare in extrem 
& medid ratione. © | 


(i) er pref. Deſcribatur ex AB quadratum BC (1), & ad AC 
46 J. 1. applicetur parallelogrammum ipſi BC zquale, excedens 
(2) per prop. figurà AD ei fimili (2), & quoniam AD ipſi BC ſimilis 
29. 4 el erit quadratum, & propter æqualia BC & CD, erit 


deſumpto 


NA 


Demittatur a recto angulo in latus oppoſitum perpen- 
Ca ad Da 


eſt BC ipſis BD & DC æqualis, & proinde figura ſuper (3) pr cor. 
24. I. 
Cor. Hincdatis e ris reQulineis ſimilibus 
47. 


Liber Sextus, 131 


deſumpto communi CE, BF 1 AD zquale, ſed eſt 
quoque ei æquiangulum ergo eſt EF ad ED ut EA ad 


Ez (3), ſunt vero EF & ED ipfis AB & AE zquales, (3)per prep. 
ergo eſt AB ad AE ut AE ad EB. | 14. J. 6. 


Aliter. 
Secetur AB in E ita ut rectangulum ſub AB & EB, 


 =quale fit quadrato ex AE (1), & erit ut AB ad AE, fic (0 %½7＋ 


| . A 4 11. J. 2. 

L EB (2), ergo AB ſecta eſt in extremi & media (2) per grep 
PROP. XI. THE OR. 

G! a lateribus trianguli [ BAC ) fimiles figure recti- 


lineæ quecunque ſimiliter deſcribuntur, erit ea que W 


ex latere BC recto angulo oppofeto deſcribitur, reliquis 


duobus ſimul ſumptis equalis. 


dicularis AD, & erit BC ad CA ut | ), (1) Per cor. 
ergo figura ſuper BC eſt ad ſimilem ſuper CA ut BC ad . 8. J. 6. 
ch (2) ; ſimiliter eſt figura ſuper BC ad ſimilem ſuper BA (0 Pr 7 
ut BC ad BD, ergo figura ſuper BC ad duas figuras „ *: © 
ſimul ſuper AC & AB, ut BC ad BD & DC ſimul, ſed 


BC ſimilibus ſuper BA & AC z uatur (3). 6 P. * 
inveniri ope cor. 2. I. 1. figura rectilinea 
quæ omribus ſimul ſumptis æqualis fit, & ope cor. 3. P. 
7. 1. 1. datis duabus ſimilibus alia inveniri poteft 583 
erentiæ æqualis. Si vero datæ non ſint ſimiles, conſti- 
tuantur figurz uni ex ipſis ſimiles & reliquis ſingulis 
æquales, & tunc inveniri poteſt figura ſumme vel differen- 


tiæ æqualis. 


132 Euclidis Elementorum 


PROP. XXXII. THEOR. 


E 41. I duo triangula ( ABC, CDE ) habeant duo la- 
Vide N. tera duobus proportionalia (AB ad BC ut CD 


ad DE), & ita componantur ad angulum ut latera 
homologa ſint parallela, & ut latera non hamoloaga (CB 


& CD) angulum ad quem componuntur conſtituant, 
erunt reliqua latera ( AC & CE ) fibi invicem in di- 


rectum. 


| Quoniam enim AB & CD parallel ſunt, anguli al- 
- (1) per prop. terni B & BCD æquantur (1), & ſimiliter quoniam CB 
29. J. 1. & E parallelz ſunt, anguli D & BCD zquantur (1), 
& igitur B ipſi D æqualis eſt, & quoniam latera circa hos 

{2) per by- angulos proportionalia ſunt (2), erunt triangula ABC & 
foth. _ CDE æquiangula (3), & proinde zquales ſunt anguli 
87% . ACB & CED, eſt very BCD ipſi CDE æqualis, & igitur 
** * df utrinque addatur DCE, erunt ACD & DCE ſimul ipſis 


(4) per prop. CED, EDC & DCE zquales, ACD igitur & DCE duo- . 
2.1.1, busreQtis æquantur (4); & proinde AC & CE. ſunt in 


3 
(5) per prop. directum (5). 
14. J. 1. ; 


PROP. XXXIII. THEOR. 


Fig. 4. 1 equalibus circulis anguli ſiue ad centrum CAPE 
File N.  & & HOL), foe ad circumferentiam (AGE & 
HNL), eandem habent rationem quam arcus quibus in- 


feftunt. Adbuc etiam & ſeftores (AFE & HOL). 


Sint primo anguli dati AFE & HOL ad centrum & 
dividatur arcus ACE in partes quotcunque zquales AC & 


CE, ipſique AC æquales ſumantur HI, IK & KL & ducan- 


tur FC, OI & OK. = 
N igitur arcus AC, CE, HI, IK, & KL æqua- 
(1) per conf. les ſunt (1), erunt quoque anguli AFC, CFE, HOI, 
(2) per prop. IOK & KOL æquales (2), qualis igitur ſubmultiplex eſt 
27.1.3 AC ipſius ACE talis erit AFC ipſius AFE, quoties 


vero AC inipſo HIKI. continetur toties AFC in ipſo HOL 
continetur, & proinde eſt ACE ad HIKL ut AFE ad 


Similiter 


We of HOL (3). 


land 


. 


. 


9 HS nd. a. e wt AY ==© 3 DL 2 


e a 


Liber Sextus. 133 


Similiter ſi dati fint anguli AGE & HNL ad circumfe- 
rentias demonſtrari poteſt AGE eſſe ad HNL ut arcus 
ACE ad arcum HIKL. | 
Sed eſt quoque ſector AFE ad ſectorem HO ut arcus 
ACE ad arcum HIKL. 2 
Manente enim conftruQtione præcedente ſumantur in 
ipſis AC & CE puncta quzvis B & D & ducantur BA, 
BC, DC & DE, & quoniam fi auferantur æquales arcus 
AC & CE ex circulo AGE C, reliqu AGC & CGE | 
æquantur, erunt anguli ABC CDE zquales (4), & ergo (4) per cb. 
ſegmenta ABC & CDE ſimilia (5), ſed quoniam arcus 5. 29.1. 3. 
ABC & CDE æquantur (6), ipſorum ſubtenſæ AC & (5) per df. 
CE run æquantur (4), & proinde ſegmenta ABC 8 (6) * 
CDE ſunt æqualia (7), ſunt vero triangula AFC & CFE 175 prop. 
æqualia quoniam anguli ad F & latera circa ipſos zquan- 24, I. 3. 
tur, totus igitur ſector AFC toti CFE æqualis eſt, & 
ſimiliter oſtendi poteſt reliquos HOT, IOK & KO his 
eſſe æquales, qualis igitur ſubmultiplex, eſt AC ipſius 
ACE talis erit AFC ipſius AF E, quoties vero AC in ipſo 
HIKL continetur toties AFC in lo HOL continetur, & 
proinde eſt ACE ad HIKL ut ſector AFE ad ſectorem (3) per def. 
HOL (8). . 3 . 
Cor. 1. Angulus ad centrum ACE eſt ad quatuor Nx. 4a. 
rectos angulos ut arcus cui inſiſtit ad totam circumferen- 
tiam. | 
Eſt enim angulus AFE ad angulum rectum ut arcus cui 
inſiſtit ad quartam partem circumferentiæ (1), & igitur (10 rx. 
ad quatuor rectos ut arcus ad totam circnmferentiam (2) 18 
or. 2. Inæqualium circulorum arcus qui angulos 
tendunt æquales ſunt ſimiles. : 
Patet enim eos habere eandem rationem ad totas cir- (x) per cer. 
cumferentias (1). . Sres. 
Cor. 3. Hinc patet arcus quibus ſimilia ſegmenta con- 
tinentur eſſe ſimiles. i 


NOTE, 


—— 


„ 
- a 
©*.4 4 
* - 
\ 4 * 
* * 
- 
, 
* 
- 
f * 
— 4 1 
- % LS 
* 
. 
* 
af - 
— .* o® » 
4 - - 
* VS... 
* * 
* 
. „ 
- * 
. > 
s 
oo 
* 
. 
+ S 


L 135 J 


N O T K. 


AD DEFINITIONEM PaTMAM. Lis. I. 


Uid fint punctum, linea & ſuperficies, ex natura ſolid 

ſeu corporis facillime intelligi poteſt. Termini enim 

ſolidi cujuſvis non ſunt partes ejus, & proinde craſſitudi- 

nem non habent, ſolæ igitur dimenſiones ſuæ ſunt longitudo 

& latitudo, & ergo ſunt ſuperficies ; harum vero termini 

ſolam longitudinem habent, latitudinem enim fi habeant 

eſſent partes non termini, ſunt igitur lines; quarum ter- 

mini carent & ipſi longitudine, nullas igitur habent di- 
menſiones & ſunt puncta. 


AD DEF. 7. Lis. I. 


Apud virum eruditum R. Simſon diverſa eſt definitio 
planz ſuperficiei, ſcilicet fe illam in qud ſumptis atcungue 
duobus punctis, recta linea inter ea, tota jacet in illa ſuperfi- 
cie; quæ affectio plani uſitatiſſima eſt, facile vero deduct 
poteſt ex definitione Euclidea cum definitione lineæ rectæ 
collata, & igitur melius viſum eſt nihil mutare. 


Ap. DEF. 8. Lis. I. 


Eſt hzc in codicibus Græcis definitio . ei enim premit- 
titur generalis quzdam definitio anguli, ſcilicet ee duarum 
linearum in plano ſeſe tangentiam & mon in directum jacen- 
tium, alterius ad alteram inclinatio, hæc vero omittitur 
quoniam ſoli dodtrinz de angulis ſemicirculi & ſegmenti 
(Prop. 16 & 31. lib. 3.) inſervit, quæ omnino rejicienda 
videtur, fructus enim ejus nulli ſunt nifi paradoxa inutilia 
& diſputationes geometris omnino indignz. EV 

Deſignatur angulus vel una litera ad verticem poſita, vel 


tribus quarum media eſt ad verticem, reliquz duæ alicubi 745. N 
ad crura. 


AD 


136 


* 0 1 @ 


Ap DEF. 9. Lis. I. 
Hæc definitio & 10. apud Euclidem non ſunt, addun- 
tur vero quoniam termini ſæpe occurrunt & explicatione 
indigent. 58 


Ap DEF. 13. Lis. I. 


|  Definitio quæ hanc ſecuta eſt, ſcilicet terminus eft quod 


alicujus eft extremum, omittitur quoniam inutilis videtur 
definitiones quoque ſegment: circuli, & figurz quæ alters 
parte longior appellatur, omittuntur, quoniam prior inter 
definitiones libri 3. & poſterior inter eas libri 2. invenitur, 
ubi figura appellatur rectangulum; fic quoque Rhombi 
cujus quatuor latera æqualia ſunt, non vero anguli; & 
Rhomboidis cujus oppoſita latera zqualia ſunt, non vero 


adjacentia, quoniam nihil de iis traditur in Elementis ; 


harumque trium poſteriorum loco ſubſtituitur definitio pa- 


rallelogrammi. 
Ap DEF. 17. Lis. I. 


Recte omittuntur a R. Simſon verba quæ huic defini- 
tioni adjungi ſolent, ſcilicet gue circulum bifariam ſecat, 
utpote corollarium ex definitione, non pars ejus. Id vero 
demonſtrari poteſt ex congruentia partium, fi ad invicem 


_ applicarentur, patet enim eas congruere ex æqualitate 


Radiorum. Idem etiam facile oftenditur ex prop. 3 1. & 
24. Lib. 3. ex prima enim ſequitur ſemicirculos eſſe 
— ſimilia, & ex altera hæc ſegmenta eſſe zqua- 


Ap POSTULATUM 3. 


Obſervandum eft quod Radius quo deſcribitur circulus, 
debet eſſe intervallum inter centrum & aliud punctum, 
non inter quævis puncta a centro diverſa; ut patet ex con- 
ſtructionibus 2. & z. prop. lib. 1. quæ inutiles forent fi 
conceſſa ſit deſcriptio circuli ex quovis puncto, cujus 
Radius cuivis datæ rectæ æqualis eſt. 


PORE 


V 


lineas non habere 1 commune. Habeant dtm 
* 


U TTT 


N OT K. 
. Ap AX. 11. | Lis, I. 8 
Hoc axioma non agit de angufis eidem aq = rb 
adjacentibus, qui ex definitione 11. æquales ſunt, ſed de 
us qui a diverſis perpendicularibus eum diverſis Tectis 
conſtituuntur. Ejus ope demonſtrari poteſt duas rettas 


fi fieri poteſt due rectæ BN BD ſegmentum cemm̃une 
AB, & fit BE perpendicularis rect ABC, & ſi perpen- 
dicularis quoque eſt retz ABD, . erupt anguli CBE & 


Fig. 3. 


DBE æquales (1); quod Abfiirduin; Si vero non, fit BF {1 } per an. 


perpendicularis rectæ ABD & erunt anguli ABF & ABE 11. 
æquales (1) quod quoque abſurdum/7' © | | 


Eſt hoc apud R. Simſon cor. ad prop. #1. lib. 1. fed 
demonſtratio ejus milii non videtur perfecta, per B enim 
ducit BE perpendicularem ad AB & untam eſſe 


dicularem ad iſtud pundtum aſſumit, hoe vero ones | 
nequit, quotiiam ut erigatur perpendicularis prids 
producenda eſt recta AB, & fi hic fleri poteſt diverſis 
modis, diverſæ erunt perpenditulares ad punttum B; ut 
patet ex conſtructione prop. 11. lib. 1. & igitur cbrtuit 


AX. 12. LIE. 1. : 


Quamvis communis eſt omnium ſententia rectas all in- 


vicem inclinantes concurrere ſi producantur, tamen cum 
dantur line ad invicem eontinue accedentes, ut curvz ad 


ſuas aſſymptotos, quæ nunquam concurrunt, ſuſpectior 
fit hee notio quam ut pro geometrico principio 


multi 1gitur conati ſunt theoriam parallelarum fine dor 


axiomate demonſtrare ſed infeliciter, a fingalis enim af- 


ſumuntur e quædam hoc non magis certa ; nt 


tisfaciam quibus diſplicet methodus Euclidis, 
aliæ afferuntur demonſtrationes affectionum parallelarum 
in N. ad Prop. 27. lib. 1, 


Notandum eſt tria poſteriora axiomata a quibuſdam 
editoribus poſtulatis annumerari ; quamvis vero confiten- 


dum eſt ea reliquis omnino diverſa eſſe, & cum ex defini- 
tionibus pendent, nomen zotionum communium vix vindicare 


poſſe, editores tamen optimos ſecutus inter axiomata poſui z 
& fi poſtulata ad problemata referantur, axiomata ad the- 
T oremata, 


/ 


138 


N O T K. 


oremata, ut plenque e ſtatuunt, cert? inter ipſa 


rectè ponuntur. 
PROP. 1. LI B. I. 


2! Adumit Euclides i in ' conftxuRione hujuſce 1 
circulos. ſeſe interſecare, - pro eerto habens omnes hoc ad- 


mittere, fierbenim nequit quin circuli BCD, cujus cen- 
trum A eſt in peripheria n e extra eum 


circulum * & pars intra. 


PROP. 2. Las. To 
* Pro diverſo fitu pynRi A; bec conftruſtio 8 
mutatur; ſi enim punctum ponatur in linea datä, non 
neceſſe eſt ducere lineam ſuper qua deſeribendum eſt-trian- 


gulum zquilaterum,+& ſi fit alteruter terminus date, eva- 


neſcit & hæc reQa & trlangulum ſuper ea deſcribendum, 
& ex tota conſtructione il ſupereſt niſi circuli ACF def. 
criptio, cy cujus peripheriam fi ducatur refa.erit,datz 
zqualis ;. dari, quoque poteſt punctum ita, poſitum ut ſit 
vertex Faw equilateri, cujus recta data, eſt, baſis; 


quo caſu patet ductam ad terminum date; eſſe grectam 
22 hos caſus diverſos conſulto prætermiſit Eucli- 


es, Geometris enim ille ſcripſit. non mechanicis, con- 
ſtructioneſque ſuas ad intellectum faciles en vult, de 
Fan MIME Anne: nn 1222. 782 


* = a4 4 & 


» + @w'» 


* Fee 
45844 o > - I TTY STE — * 
PROP. Lis. 1 : | 
a 5 * * —_y - „„ „ 24 * - 
- H 0 EY 0 J. . * . 3 4 8 


1 "a 1 ut in | precedent, hi ang A 
conſtructionem mutat ;; Le enim ad terminum date-fola 
deſeriptio circuli, affumpta data pro radio, ſufficit; fieri 
poteſt quoque ut recta ad A poſita datæ CF qualis cum 
ipſa AB comcideret, = nw * N von ne- 


ceſlaria eſt. 2 (5 8 17172 


1 8 PROP. 4. L. I 


Forma demonſtrationis- in hac proportione ey Euck- 


dem abſoluta eſt, non h ypothetica, dicit enim applicato 


triangulo ABC ipſi EF D, &c. Cum vero tyrones hzc 
verba 


N O E 2. 
verba fere 1 interpretantur applicationem quandam 


mechanicam ſignificare, melius mihi viſum eſt verbis 
uti hypotheticis. EE, 


PROP. 8. Lis. I. 
In hac propoſitione æqualitas angulorum ad vertices 


B & F ſolummodo demonſtratur, inde enim, per prop. 4. 
cæterarum partium æqualitas ſequitur, utile vero videtur 


ſcholium adjungere ut ex ipſa propoſitione 8. idem oſ- 


tendatur. 
PROP. 12. Las. I. 
Neceſſe eſt ut data fit infinita, aliter problema ali- 


2 foret impoſſibile, ut patet ex figura ad prop. ft 
dentur punctum C & recta finita AE. 5 


PROP. 13. LI B. I. 
Dicit Euchdes cum angulos fecerit, nam ducta ad ter- 


minum rectæ ei inſiſtit, ſed cum ea unum tantum angu- 
lum facit. | f 


PROP. 20. Lis. I. 
Sunt qui hanc propoſitionem inter axiomata ponendam 


eſſe contendunt, idque ſententiam fuiſſe Archimedis qui 
aſſumit rectam lineam eſſe breviſſimam inter duo puncta, 


hoc vero reſpicere videtur comparationem curvarum cum 


rectis, nunquam enim aſſumpſiſſet Archimedes quod de- 
monſtraverat Euclides ; nec pro axiomatibus ponendz ſunt 


propoſitiones omnes quarum per ſe lucet veritas, ſed 
potius enitendum eſt ut ex pauciſſimis principus omnes de- 


ducantur. | | | 
Demonſtratio hic allata non Euclidis eſt, fed alterius 
cujuſdam veteris geometræ. . 


PROP. 22. Lis. I. 


In hac propoſitione ut in prima, aſſumit Euclides cir- 
culos interſecare, id vero facile demonſtratur ex conditio- 
nibus propoſitionis, ſcilicet duas quaſvis ex datis majores 
eſſe tertia, nam quoniam ſumma radiorum DC & EF 

| | T 2 majore 


139 


149 


Fig. 4. 


Fig. 5. 


Fig. 6. 


Fig: 7. 


Fig. 8. 


(1) Per prop. 
1 


„ G op”. 


major eſt quam DE, pars utriuſque circuli eſt intra al- 


terum, & quoniam ſumma radu alterutrius & DE eſt 
major altero radio, pars utriuſque circuli eſt extra al- 
terum. 


PR OP. 24. LI. I. 
Cone ſunt a Græcis editoribus, in conſtructione de- 
monſtrationi hujuſce propoſitionis przmiſia, verba, cum 
latere non majore, quæ prorſus neceſſaria ſunt ne” plures 
ſint caſus in demonſtratione, re&a BA aliquando ſupra, 
aliquando infra BC cadente, & aliquando cum ipſa 


congruente, hac vero conſtructione adhibita eam ſemper 


infra BC cadere Clavius demonſtrat, methodoque ſe- 
quent, ſuæ haud abſimili oſtendi poteſt. 
Sit primo latus AC majus latere AB, & cadat fi fieri po- 


| teſt recta BG in BC; quoniam igitur latus AC majus 


eſt latere AB, erit quoque angulus B major angulo C, 


ſed eft angulus AG major angulo interno B, & ergo 


erit major ipſo C, latus igitur AC erit majus latere AG, 
ſed per hypotheſim eſt ipſi æquale, quod abſurdum. 


Cadat jam BG ſupra BC, ſi fieri poteſt, & producatur 


AG ad E, demonſtrarique poteſt ut ſupra, rectam AE 
reta AC minorem eſſe, & ergo AG minorem eſſe ipſa 
AC, ſed per hypotheſim eſt ipfi æqualis, quod abſur- 
dum. 

Si vero latera AB & AC ſint æqualia demonſtratio 
prorſus eadem eſt, niſi quod anguli B & C zquales 


erunt. 
Si vero angulus BAG cum latere majore conſtituatur, 


latuſque BG in BC caderet, vel infra ipſum, propoſi- 
tio methodo ſequenti demonſtrari poteſt. 


Primo congruant BG & BC, & patet BC majorem 
eſſe ipſa BG. | 


Cadat jam BG ſupra BC, & quoniam rectæ AG & 


_ GB fimul minores ſunt ipſis AC & CB fimul, AG vero 


ipſi AC zqualis eſt, erit BG ipſa BC minor. 
Caſus hicce ultimus aliter demonſtrari poteſt, ducta 
GC & produftis AG & AC; quoniam enim anguli 


EGC & FCG zquales ſunt (1), & BGC uno eorum 


major eſt, BCG vero altero minor, erit BGC ipſo BCG 
major, et igitur latus BC majus latere BG, 


PROP. 


Low WH a 


put + uy 


ov» wy, a 


NOT A 144 


PROP. 26. Lis: L 


Notandum eſt reQam lateri DE æqualem, abſcindi 
debere ita utlateri BC contermina fit, aliter enim (ſcilicet 
fi ſumatur ex puncto A) conſtrueretur triangulum cujus 
relatio triangulo EDF demonſtrari nequit ; & ſimiliter 
in caſu ſecundo. | | 


PROP. 27. Lis. I. 


Mutatà definitione parallelarum, & poſito axiomate 
quo & ipſe Euclides uſus eft, demonſtrari poteſt hæc 
propoſitio cum duabus proximis, & axiomate 11. me- 


thodo ſequente. 
Definitio. 
1 ſunt reftz ſemper a ſe mitem =qui- 5 
Axioma. 7 


Pars quævis rectæ finitz toties ſumi poteſt ut ſuam 
totam excedat. 


Lemma I. 


Si duæ rectæ AB & CD parallelz ſint, recta vero quæ- ,. 9 | © 
| vis MN uni ipfarum AB perpendicularis fit, erit alter: 7 
quoque CD perpendicularis. 1 
 _ _ Sumantur enim æquales NA & NB, et erigantur AC 
& BD perpendiculares ipſi AB, & ducantur AM & 
In triangulis ANM & BNM, anguli ad N æquales 
ſunt, & latera NA, NB, quoque æqualia, & NM 
commune, anguli igitur NMA & NMB æquantur & 
latera quoque MA & MB, et anguli NAM, 1 
D + Vo 
Belm tis igitur æqualibus angulis NAM, & NBM 
ab — AC, NBD, reliqui anguli MAC & MBD 
zquales erunt, ſunt vero quoque in triangulis 1 5 
| [1 


142 N O T A. 
MBD, latera MA & AC æqualia lateribus MB & BD, 


(r) per prep. ſunt igitur anguli AMC et BMP zquales (1), fed zqua- 


& J. 1. les quoque ſunt NMA & NMB, ergo toti NMC & 


(2) per def. NMD zquantur & proinde NM ipſi CD — 


11. * I, eſt (2). 
- Lows Ih: 


Fig. 10. S1 dos rectæ AB & CD perpendiculares ſint eidem 
retz NM, erunt-parallele. - 
Nam fi non fint, per M tranſeat PR parallela ol AB, 
42 per et erit hæc perpendicularis ad NM (1), et ergo angu- 
ak bus RMN rectus erit, ſed & DMN rectus eſt, "a ab- 
urdum. 


Lemma III. 

Si dus rectæ AB & CD fint parallelz, et erigantur 
Ac & BD ipſis perpendiculares, erunt partes inter- 
| ceptz zquales. 

77 per Nam quoniam rectæ AC & BD ſunt perpendiculares 
Len. 2. eidem rectæ AB, ſunt parallelz (1), et ergo rectæ AB 
(2) Per & CD ſunt æquales (2). 


* arall. 
PROP. 29. LI B. I. EL E Mu. 


Fig. 12. Recta linea EF rectas parallelas AB, & CD ſecans 
efficiet angulos alternos æquales, AGH ipſi GHD & 
CHG i pl HGB ; & angulum externum interno oppoſito 
dns EGA iph GHG, & EGBipfi GHD; & quoque 
angulos internos ad eaſdem e AGH & CH G, 
BGH & DHG, duobus rectis æquales. 
4 Si ſecans perpendicularis ſit a Parallels patet prope: 
mo. 
$1 vero non, ducantur perpendiculires HK & GL. 
4 In triangulis LHG, & K GH, latera LG & HK (1) 
A Y & LH & GK (2) æqualia ſunt, & GH commune, ergo 
{: 2) per Lem. anguli LHG & KGt æquantur, et ergo eorum comple 
3. menta ad duos rectos, anguli ſcilicet CHG & BGH 
æquantur. 
Et quoniam anguli verticales EGA & BGH æquales 
ſunt, B GH vero alterno CHG æmquatur, erit 160 


Fig. 11. 


NO © 8: LS 


EGA tnterno GHC- zqualis ; & ſimiliter demonkrari 
poteſt EGB & GD zquales eſſe. | 5 55 4 

Et queniam anguli HG & DHG duobus rectis qua- . 
les ſunt, BGH vero alterno CHG æquatur, erunt DHG 
& BGH;.duobus rectis æquales, & ſimiliter demonſtrari 


en GHG et 8 duopiis res =quales eſſe. 


-. PROP. 27. | Lis. I. EIN. 3 


Sk rech FI EF ſecans dugs refas AB & CD. aliernas. * 

ang led quale, fecerit, AEF ph. EFB, erunt Mts re MP 
arallehæ. 

: Nam ſi recta AB reftz CD non parallela ſit, tranſeat- 


per E recta XZ iph CD parallels, & exunt anguli alterni 
1 & EFD æquales, ſunt vero AEF & EFD æquales, 


& ergo XEF & AEF qualęs ſunt, quod Abfurdum. 
521 47 PROP, 28. LI. 1 Ep. 


Sire linen EFreftas ugs AB, & CD focans, fert " "Ro 
dan 55 erm e Ap pot ad eaſdem partes æ qua- T. 14. 
em, E HC, vel E n pſi GHD ; vel intermd ad 
caſdem part 5e AGH * CH Gyel BGH HA: -DHG, duobus 


= Td pk 3 & 4 8 oniam EGA 


Zquantur,. rolls AB 6 37 HC & BGH 
a e g CHD beta (1), & e 4 
fi. d 
S AGH. ECD. oh duobus refs & 5 
7 &PBCGH 2580 vantur quogye dyobiis rectis, erunt 
rni. CHC GH quales & eff po AB & CD. 
pa EE & e <6 int = & DHG =quiley duobus | 


_ 
$333 „„ 


© Lemma 4. 


Si recta quævis NP rectam BD ſecet, ſecabit reftam _ 
quamvis XZ ipſi BD paralletam. ig. 15. 

Sumatur enim punctum quodvis O in refs NP, & ab- 1) per prop. 
ſcindatur OS ipſi AO æqualis (1), & ducantur OM & SE ; 
perpendiculares ad BD, & OC perpendicularis ad SE, * 
cadet hæc inter S & E, angulus enim ASE acutus eſt, quo- (2) fer cor. 
nam AES eſt rectus (2)- F. 17. l. 1. 


In 


* 


OE e 8 
i OMA & ScoO, m et atem 40 
8 ; funt vero in 
nee OM: & CE, 


& SC, erunt EC & & SC 8 amy & fic ne. ſump- 
tis in rea AP partibus ipfi' OA equalibus, denionſtrari 

arc ee Laggy 7 Bo 
rectam BD continuo augeri partibus ent ualibus, & ergo 


223 > Frente pt bXZ in eandem 


F 
 ASIOMA 11. Lav. 1. n 


7 , $iin duas reftis Hneas BD & XZ, res linea NP inci- 
> In ==. "76 os internos DN & ZPN ad eaſdem A 
= mindres fecerit, dus x rectz fines in inf. 
wan rings er 1 
See ene IIOEx, 5 
n 


& ZÞN unt ducbas 4 
1 2 as oft ENP th 88 5 


) reftam CE et ergo 1 

| A 1 
* 

P 12 7 75 „ 

* Ld * 
#. 4 © > * - 
2 . 
* ©. 
* x : 1 3 1981 0 0 * 
> 


monſtrationibus Lem. 2. Prop. 27. & axiom. 11. ta- 


lem rectam um omne extra namvis datam 
. 2 _ pn q 


Pater duas refias —— ſun uando 
. Jacere in direftum. * 4 


COR. 


R. 


' & IG zquantur-(6), & ſunt ergo EF & FB æquales, & 1. 


N O T K. 145 


COR: 5. PROF. z. LIBE. 1. 
Quoniam ope Prop. 9. ſingulæ hæ partes biſecari 
poſſunt, & ſic continuo, patet præter partes 2, 4, 8, 
c. in quas ſola prop. 9. dividi poteſt angulus rectus, 
etiam dividi poſſe in 3, 6, 12, 24. & fic in omnes par- 
tes quæ numeris ex continua multiplicatione ternaru per 
binarium productis denotantur. | 


COR. 6. PRO P. 32. LIB. L 


Aliter hoc demonſtrari poteſt, ductis ſcilicet ab angu- 
lo quovis B rectis ad reliquos omnes, præter adjacentes, 
iis enim dividetur figura in tot triangula quot habet la- 
tera, duobus demptis, & ſinguli trianguli anguli duobus 
rectis æquantur. 8 


PROP. 34. Lis. I. 


Ex methodis diverſis quibus Clavius datam rectam in 
partes quotcunque æquales ſecare docet, unam ex hac 
3 pendentem hic afferre operæ pretium vi- 

etur. . | 

Ducatur AZ angulum quemcumque cum data AB con- Fg. 1). 
ſtituens, et in ipſa ſumantur tot partes AH, HI, IZ in, 
quot dividenda eſt AB (1) & ducta ZB ducantur IF, WAY: 
& HE ipſi Z B parallelæ (2), erunt partes datæ rectæ 


AE, EF & FB zquales. £1 i the 


Pucantur enim IG & HO ipſi AB elæ, erunt 
inter ſe parallelz (3) & igitur anguli IHO, ZIG zqua- (3) Per prop. 
les ſunt (4), & cum parallelæ ſunt ZB & IF erunt an- 39. 4 1. 
guli IZG & HIO æquales (4), & ſunt latera HI & IZ (4) Per prop. 
æqualia, et ergo ſunt latera HO & IG zqualia (5), ſed 7 * '- 


- propter parallelogramma HF & IB, EF & FB ipſis HO ($) per 


prop. 26. J. 


ſic de reliquis ; AE vero ipfi EF zqualis eſt Qyoniam /6b) per 
anguli IHIO & HAR, zquales ſunt, & quoque HIO & Y. 34.4. 
AHE, & latus AH lateri HI zquatur, unde zquantur * 
AE & HO & proinde AE & EF. 
Duæ quoque ſequentes propoſitiones non prorſus omit- 
tendæ mihi videntur, quamvis vix ſunt in uſu. 3 
mnis 


146 
Fig. 18. 


Fig. 18. N 


. NR 0 1 
Omnis figura quadrilatera ABCD cujus latera oppo- 


ſita æquantur eſt parallelogrammum. | 
Ducatur BD, & in triangulis BAD, DCB, latera AB 


& AD lateribus DC & CB zqualia ſunt, BD vero com- 
mune eſt, ſunt igitur anguli ABD & CDB, & quoque 


ADB & CBD æquales, unde liquet rectas AB & CD, 


& quoque AD & BC eſſe parallelas, & igitur ABCD 
eſſe parallelogrammum. | | 


Onmnis figura quadrilatera ABCD cujus anguli oppoſiti 


ſunt æquales, eſt parallelogrammum. 


Quoniam A ipſi C & B ipſi D æqualis eſt, erunt A & B 
ſimul, ipſis C & D ſimul æquales, & ergo quatuor A, 


B, C & D, duorum A & B ſimul dupli ſunt, quatuor 
vero A, B, C & D æquantur quatuor rectis, & ergo A 


& B fimul duobus rectis æquales ſunt, & igitur B &. 


AD parallelæ ſunt, & ſimiliter demonſtrari poteſt AB & 
DC eſſe parallelas. 2 | | 


"PROP. 35. Lis. I. 


Ex tribus caſibus quos hæc propoſitia admittit, & qui 


inveniuntur in verſione Arabica, codices Græci unum 
tantum retinent eum ſcilicet qui fig, 53. Tab. 2. reſ- 


pondet, demonſtrata enim æqualitate triangulorum BEA 
& D auferri jubent utrinque triangulum DOE & 
addi reſiduis BOC; hzc vero duo triangula in fig. 54 


* . 


& 55 non inveniuntur. 


'PROP. 40. Lis. I. 


Intelligendum eſt baſes zquales GH & BC eſſe in | 


PROP. 44 Lis. I. 


Per datam refam Euclidem intellexifſe poſtione datam, 
& non ſolum quantitate, nemo dubjtare poteſt cui nota 


<l;; propoyo 45. perfici igitur nequit hoc problema 
P 


ucendo latus trianguli ut fit pars Wepa datæ 


rectæ æqualis, quæ methodus eſt -quorundam editorum, 


conſtructionemque in textu Greco vix crederem eſſe eam 
Euelidis, nam poſt conſtitutum parallelogrammum dato 
triangulo æquale, jubet latus eus foni in directum cum da- 


. ta 


N OT X. 
ta recta, quod quomodo faciendum eſt omnino neſcio, ta- 
lis enim tranſlatio figurarum de loco in locum non inter 


lematum adhibetar ; videre quoque licet in editione 


Hervagiana, figuram ad hanc propoſitionem in qua 


præter datum triangulum eſt & alterum ipſi. æquale, pa- 
rallelogrammo, conjunctum (ut in fig. 19 Tab. 7.) . 
unde conjicere licet partem e As Euclideæ e 
textu excidiſſe, de illo enim triangulo nihil dicitur ; has 
igitur ob cauſas Campani methodum in conſtructione ſe- 
cutus ſum. | 


PROP. 45. Lis. I. 


Figura in editione Hervagiana textus Græci ad hanc 


propoſitionem quoque attentione digna eſt, (vid. fig. 


20. Tab. 7.) in ea enim duo ſunt triangula parallelo- 
grammo adjacentia quæ triangulis in quæ dividitur da- 
tum rectilineum æqualia & ſimilia ſunt; hæc mihi videntur 
(ut in præcedente propoſitione) indicare conſtructionem 
olim diverſam fuiſſe ab ea quæ nunc exſtat, eamque igi- 
tur reſtituere conatus ſum. 


PROP. 46. LIB. I. 


Si conſtructionem mechanicam reſpexerat Euclides 


perpendiculares erexiſſet ex utroque termino datz, ipſi 


æquales, junctiſque termims ipſarum perficeretur qua- 


dratum, & hæc methodus multo facihor foret quam du- 


as ducere parallelas, ſed quoniam demonſtratio minus 
clara eſſet eam rejecit Euclides. 


PROP. 47. Lis. I. 
Hzc propoſitio caſus eſt Theorematis univerſalioris 
in collectionibus mathematicis Pappi, quod operæ præ- 
tium eſt hic adjicere. | 


oſtulata invenitur nec alibi ad conſtructionem pro- 


147 


Si ſuper lateribus duobus, AB & CB, rrianguli ABC, Fig. 21. 


deſcribantur duo parallelogramma AEGB & CLHB, & 


productis ipſorum lateribus EG & LH quæ lateribus tri- 
anguli parallela ſunt, donec occurrant in D, deſeribatur 
ſuper reliquo latere AC parallelogrammum AFIC quod 


43 


latus habeat parrallelum & T. e rectæ DB 2 
2 1 


148 


NO I . 


iſtum occurſum & verticem anguli ſub diQis lateribus, 


erit hoc æquale duobus prædictis parallelogrammis 
AEGB & CLHB. | 

Producatur enim DB ad K, & quoniam parallelo- 
gramma FK & FABD ſunt ſuper baſi eadem AF & in 


liſdem parallelis AF & KD, erit FK ipſi FABD æquale, 


& quomam parallelogramma FABD & EABG ſunt ſuper 
baſi eadem AB & in uſdem parallelis AB & ED erit 


FAB D ipfi EABU zquale, æquantur igitur AEGB & 


FK, & ſimiliter demonſtratur æqualia eſſe IK & CLHB, 


totum igitur AFI C duobus fimul AEGB, & CLHB 
æquatur. | 


PROF. 2. LIE. II. 


Hujuſce propoſitionis & octo ſequentium præter demon- 
ſtrationes Euclideas alias tradere oper pretium videtur, 
quarum tres priores Campani ſunt reliquæ Maurolyci. 


PROP. 6. Lis. II. 


Ope hujuſce propoſitionis demonſtrari poteſt affectio 
notiſſima rectarum in arithmetica proportione, ſcilicet 


rectangulum ſub extremis una cum quadrato communis 


differentiæ æquari quadrato ex media, rectæ enim AF, 
CF & BF zquedifferentes ſunt propter AB biſeQam, 
& eſt CB communi differentiz æqualis, quadratum vero 


ejus cum rectangulo ſub extremis AF & BF zquatur 
quadrato mediæ CF. | 


' DEF. 1. Lis. III. 


Hæc non definitio ſed theorema eſt, facile vero demon- 
ſtratur, congruentibus enim centris, fi radii æquales ſint, 


congruent quoque circumferentiæ, unde & ipfi circuli 


eorumque circumferentiæ zquales ſunt. 


DEF. 10. Lis. II. 


Ambiguam efle hanc definitionem ex collatis propoſi- 
tionibus 23. & 26. hujuſce libri patet, in priori enim aſ- 
ſumitur ſegmenta ſimilia ſingulos angulos in uno ſingulis 


„ > try OS bs bin, oO bapnt 


23 rr 


3 


punt, OY 


N OT X. 


in altero æquales habere, in poſteriori vero, ſegmenta 
quæ angulum in uno æqualem angulo in altero habent 
ſimilia eſſe aſſumuntur, ſed tollitur hæc ambiguitas per 
prop. 21. in qua omnes angulos in ſegmento zquales 
eſſe oſtenditur, nec ante iſtam propoſitionem de ſimilibus 
ſegmentis tractat Euclides. Notandum vero eſt quamvis 
hzc ſegmenta appellantur ſimilia, nihil tamen hoc loco 
de ipſorum relatione ad ſuos circulos iſto verbo denota- 
ri, de proportione enim nihil ante Lib. 5. traditur, ſed 
cum affectiones talium ſegmentorum demonſtrare voluit 
Euclides, nomenque impoſiturus fuit ut periphraſes evi- 


taret, placuit ex relatione ad ſuos circulos ipſa denomi- 


nare potius quam nomen dare inane. 
PROP. 1. III. III. 


Tantummodo demonſtrat Euclides nullum punctum 
extra rectas AB & CE eſſe centrum circuli, cum per ſe 
ſatis manifeſtum eſt in ipſis non eſſe, niſi ubi biſecantur, 


& ergo non omnino in AB niſi forſan tranſiret per F. 


nec in quovis puncto rectæ CE præter ipſum F. 
PROP. 2. LI B. III. 


Apud Candallam quem ſecutus eſt Tacquet, directa eſt 
demonſtratio hujuſce propoſitionis quam Euclides rejeciſſe 
videtur quia principium ex quo pendet, ſcilicet termi- 
num rectæ minoris radio eſſe intra circulum, inter axio- 


mata ſua non invenitur, maluitque indirectà demonſtra- 


tione uti quam numerum eorum augere. 
PROP. 7. Lis. III. 
Rectam tranſeunti per centrum propiorem majorem 


eſſe remotiore, tantummodo demonſtrat Euclides cum 
ſunt ad eaſdem partes, forſan quia alter caſus facile ſe- 


quitur ex zqualitate rectarum æquediſtantiuum ex utrin- 


que a diametro, melius vero videtur ejus demonſtratio- 
nem non omittere. Res 


PROP, 


149 


150 


N 0 r 


PROP. 10. Ls. III. 


Duz ſunt hujuſce propoſitionis demonſtrationes apud 8 


Euclidem, in una earum, poſito quod circuli ſeſe in 
tribus punctis interſecant, oſtendit ipſos habere cen- 
trum commune, interſectionem ſcilicet perpendicula- 


rium biſecantium rectas jungentes interſectiones, quod 
prop. 5. contradiceret. In altera, eodem poſito, a 
centro unius ex circulis ducit rectas ad interſectiones, & 


cum hæ ſunt æquales & ducuntur ad peripheriam alte- 


rius circuli a puncto intra ipſam, eſt iſtud punctum cen- 


trum ejus, ſſmiliter contra 5. prop. Quoniam vero «8 
r_ prioris methodi ad caſum figure 15. ſatis ob- 


a eſt, & altera methodus ad eum applicari nequit, . 


cum utriuſque circuli centrum eſt extra alterum, melius 
viſum eſt diverſa demonſtratione uti. 


PRO P. Iz. Lib. III. 


Aſſumit Euclides in demonſtratione hujuſee propoſi- 


tionis, rectam tranſeuntem per centra tranſire per utrum- 
2 contactum fi ſint duo, quod ope prop. 11. certe 

monſtrari poteſt, hic vero minus recte aſſumitur cum 
in itz propoſitione unici contactüs fit mentio. Videbi- 


tur quoque forſan quibuſdam duo eſſe puncta contactus 


fibi invicem adjacentia, ad quem caſum minus apta eſt 
figura ex Euclidis conſtructione orta, centra enim circulo . 
rum ponenda forent prope ad circumferentias, ut recte no- 
tat R. Simſon; has igitur ob cauſas melius viſum eſt de- 


monſtrationem mutare, non vero in eam qua Simſon 


ſor Campano) uſus eſt, ei enim licet objicere quatuor 


rſan eſſe puncta contaftas ; biſecat enim jungentem 


duo (quz ponuntur) puncta contactùs perpendiculari, di- 
citque hanc tranſire per centrum utriuſque circuli & 
ergo per ipſorum contactus: & quidni, fi quater contin- 


gant, ſcilicet in terminis ſubtenſæ & terminis diametri ? 
quod impoſſibile eſſe non alibi directe oſtendit Eu- 


PROP, 


FH . DEED SN TO on 8 


P. 


N O T EK. 


PROP. 15. Lis. III. 


Hujuſce propoſitionis eſt apud. R. Simſon diverſa 
demonſtratio cujus ope facile oftendit partis poſterioris 
converſam eſſe veram, ſcilicet rectam quæ major eſt, 


centro propiorem eſſe. Quadrata enim perpendicula- 


rium CF & CP ſunt complementa quadratorum ex FA 
& PD dimidiis inſcriptarum, ad quadratum radii CA 
vel CD, ergo prout quadrata ex dimidiis. majora ſunt, 
quadrata perpendicularium, & igitur ipſæ, perpendicula- 
res minora erunt, & e contra. | 


PROP. 16. Lis. III. 


Omiſſa eſt pars poſterior hujuſce propoſitionis, ſeilicet 


angulum inter diametrum & peripheriam eſſe quovis 


rectilineo angulo acuto major, illum vero inter periphe- 


riam & contingentem, quovis minor, quoniam prorſus 


inutilis eſt, agitque de comparatione quantitatum quas 


homogeneas eſſe forſan non omnes agnoſcunt. 


SCHOL. 2. PROP. 16. Lis. III. 
Hoc neceſſarium videtur ad prop. 34. huj. lib. ne 


ſuſpicaretur ſi angulus V fit* quam minimus, fretam_ 


angulum ipfi æqualem cum contingente efficientem, to- 
tam extra circulum eſſe. 


PROP; 20. Lis, in. 


In demonſtratione hujuſce propoſitionis, ut nunc ex- 


ſtat in textu Grzco, duo aſſumuntur principia, ſeilicet 


fi due nagnitudines duarum magnitudinum fint duple, 


| fingule fingularum, erit quoque aggregatum ex illis, ag- 


gregati ex his duplum, & fi totum totius fit duplum, & 
ablatum ablati, erit ue religuum religui duplum; & 
hoc jure aſſumpſiſſe 4. aſſerit Clavius quoniam in 


1. & 5. prop. lib. 5. quz ab hac non pendent, de- 


monſtratur generale theorema cujus hæc principia caſus 
ſunt particulares, eaque hic pro axiomatibus ſumi prop- 


ter ſimplicitatem: melius vero mihi viſum eſt veterem 
TN formam 


151 


152 . NOT . 


formam demonſtrationis aliquantum mutare quam tali 


defenſione uti. Propoſitioni, qualis nunc eſt, nihil ut 
ſpero objicii poteſt, cum enim ſumma partium toti 
æqualis eſt, & * gue duplz ſunt æqualium, 
ipſæ æquantur, recte ponitur 
duplæ ſunt partium, duplam eſſe totius, & e contra: 
quibus vero hæc methodus non placet propoſitionem, 
| cum Clavio, fic demonſtrare poſſunt. | 
* Si cadat angulus ad centrum intra augulum ad peri- 
pheriam, ducatur per vertices earum recta BE. Anguli 


9 CAB & CBA zquantur (1) ut & CBD, CDB (1). An- 


guli 1gitur CAB & CDB fimul, æquantur angulo ABD 

(2) Per ax. (2), ergo ſumma trium CAB, ABD & CDB dupla eſt 
2. ipſius ABD. Angulus vero ACE æqualis eſt angulis 
(3) per prop. CAB & CBA (3), & angulus ECD zqualis eſt angulis 
32. . 1. CDB & CBD (3), & proinde totus ACD æquatur ng 
mz angulorum CAB, ABD & CDB, ſed ſumma horum 


dupla eſt anguli ABD, & ergo angulus ACD duplus eſt 


ipſius ABD. 


Fig. 23. Si vero erus alterum CD anguli ad centrum ſecetur 


crure BA anguli ad peripheriam, ducatur CB, & quo- 
rp niam anguli CBD, CDB æquales ſunt (4), & CBD 


major eſt angulo EBD, erit CDB major ipſo EBD, 
conſtituatur igitur ad punftum D & cum recta DB an- 


(5) fer prop. gulus BDF zqualis angulo EBD (5), & deſumptis his 
* *  2qualibus ab æqualibus CDB, CBD erunt reliqui * 
6 CDF & CBF æquales; ded CBF & CAB zquales ſunt 

(6) per prop. . . 

. . 1. (6), ergo CDF æqualis eſt ipſi CAB; ſed æquantur 

(7) per prop. verticales CEA & DEF (7) ergo reliquus angulus ACE 

15.71. in triangulo AEC zqualis eſt reliquo angulo EFD in 


(9) fer prop. proinde EFD duplus eſt ipſius ABD, & ergo ACD, 
32.7.1, pſi EFD æqualis, duplus eſt ipſius ABD. 


PROP. 25. Lis. III. 


Hac methodo inveniendi centrum circuli Euclides 
alibi uſus eſt, ſubftituitur igitur loco conſtructionis pro- 
lixz quam ad hoc problema adhibet. 


p R O; P. 


ummam quantitatum quæ 


zz. triangulo DFE (8), angulus vero EFD zquatur duo- 
J. 1. bus fimul FBD & FDB (9) qui ipfi ſunt zquales (6), 


les 


N O T £4 
P R OP. 26. LIEB. III. 


Pars ſecunda propoſitionis, ſctheet, cum angulus non 
eſt acutus, aliter demonſtratur ab Euclide, tantummodo 


enim dicit, aeſumptis ægualibus ABC & DEF a circu- 
lit totis equalibus, arcus refidui AC & DF ægquales erunt. 


Sed fi datus angulus fit rectus, hzc demonſtratio non va- 


let, quoniam angulus oppoſitus eſt rectus, & demonſtra- 


tio partis prioris angulo recto non applicari poteſt. 
PROP. 31. Lis. III. 
Enunciationi hujus propoſitionis additur in textu 


Græco, & majoris ſegmenti angulus recto major eft ; mi- 
noris vero ſegmenti angulus recto minor. Hanc vero par- 


tem omiſi ob rationes allatas in N. ad Prop. 16. lib. 3. 


nec credere poſſum has partes omiſſas Prop. 16. & 31. 


ab Euclide unquam ſeriptas fuiſſe, principia enim ex 
2 pendet demonſtratio poſterioris omnino evertunt 
emonſtrationem prioris, ut cuivis rem perpendenti li- 


quet. 
PROP. 33. Lis. III. 


Caſus ſecundi diverſa eſt conſtructio in textu Greco, 
biſecta ſcilicet AB & ad punctum biſectionis erectà per- 
pendiculari, demonſtratio vero in iſta methodo prolix- 
or eſt. Rectas AO & BO concurrere patet ab ax. 12, 
uterque enim angulus OAB & OBA recto minor eſt. 


Ap DEFINITIONES Lis. IV. 
Mittuntur duæ definitiones huic libro in codi- 


cibus Græcis præmiſſæ, ſcilicet figuræ rectilineæ in 
ſigura rectilinea inſeriptæ, & circa figuram rectilineam 


eircumſcriptæ, utpote inutiles, de tali enim inſeriptione & 
circumſcriptione nihil traditur ab Euclide. 


Recte ad has definitiones notat R. Simſon verba fan- 
gere & contingere non idem ſonare, tangere enim dicitur 
recta linea rectam vel circulum cum ita occurrit ut non 
ſecet, quamvis producta ſecaret, & fic angulus dicitur 
tangere rectam lineam vel circulum cum verticem ſuam 


X in 


183 


154 


enim ſi 


e NOT Ea 
in ipſis habet : contingere vero. dicitur reQa circulum, 
cum ita tangit ut producta non ſeeet. 


PROP. 3z. Lis. IV. 


Contingentes ML & MN ipſi LN occurrunt ; patet 
| avon AB & AC angulos verſus L & N 
duobus rectis minores eſſe; & quoniam duo anguli ad 


D cum duobus ad F quatuor rectis æquales ſunt, interni 


vero EDF & EFD duobus reftis minores, erunt EDG 
& EFH duobus rectis majores, & igitur deſumptis AKB 
& AKC, ipſis EDG & EFH æqualibus, ab angulis ad 
K qui ſimul quatuor rectis æquantur, patet rectas KB 
& KC angulum conſtituere ad partes M & ergo ſi du- 
catur BC, erunt anguli inter ipſam & contingentes ver- 
ſus M duobus rectis minores, & igitur concurrunt contin- 


gentes ad iſtas partes. 


PROP. 4 & 5. Lis. IV. 


Patet rectas biſecantes angulos trianguli, in prop. 4. 


concurrere, ex axiomate 11. & ex eodem axiomate, ducta 
DE patet, in prop. 5. perpendiculares DF & EF concur- 


FEES» | | 
' PROP. 6. Lis. IV. 


Figuram inſcriptam æquilateram eſſe demonſtrat Eu- 
clides ope prop. 4. lib. 1. unde liquet triangulorum AEB 
& AED A AB & AD zquales eſſe & ſic de reliquis; 
demonſtratio vero ex æqualitate arcuum melior vide- 
tur. 3 


| P ROP. . Lin. IV. 


Hæc propoſitio ut in codicibus Græcis nunc exſtat vi- 
tiata eſt, demonſtrationi enim inſeritur paralle/ogrammun 
fe FH & igitur FG & KH, & quaque FK & GH aqual:; 
72 qa prorſus inutile, quoniam pergit demonſtratio 
oſtendere utramque FG & KH ipſi AC, utramque vero 
EK & GH ipfi BD zquales eſſe, unde ſequitur quatuor 
FG, GH, HK & KF zquales eſſe. Simile quoque vi- 


tium 


pw 1 ”Y — — 2 "ISP iy 


N O T . 


tium inſequenti propoſitioni ineſt, cui inſeritur GD, BK, 


A, AH, & AD eſſe parallelogramma, quod ad concluſio- 


nem non neceſſarium eſt. 


PROP. n Lin: IV; 


Conceſſis anguli in partes quotcunque æquales ſectione, 


deſcriptioneque trianguli iſoſcelis cujus anguli ad baſem 


ſint multiplices qualeſcunque anguli verticalis, circulo in- 
ſcribi poteſt hac methodo figura quæcunque laterum im- 
parium, & fi anguli ad baſem multiplices ſeſquialteri 
ſunt anguli verticalis, figuræ quoque parium laterum 
poſſunt inſcribi; ſi enim numerus Jaterum figuræ, ablata 
unitate, per binarium dividatur, conſtituaturque trian- 
gulum iſoſceles cujus anguli ad baſem ſunt ad verticalem 


unt quotus ad unitatem, ejus ope inſeribi poteſt figura quæ- 
ſita. Ut fi heptagonum inſcribendum fit, angulus ad 


baſem trianguli debet ad verticalem eſſe ut 3 ad 1. 


COR. 5. PROP. 15. Lis. IV. 


Hine patet latus trianguli zquilateri incommenſurabile 


eſſe ad diametrum ᷑irculi in quo inſcribitur, eſt enim ad 
ipſam ut radix quadratica ternarii ad binarium. 


PROP. 16. Lis. IV. 


Circuli circumferentia quæ per hanc propoſitionem in 


quindecim partes dividi poteſt, partibus iſtis biſectis (1), (1) 
in triginta dividitur, & ita deinceps in 60. 120, &c. 30. 


Similiter biſectis ſingulis ex quatuor partibus quæ per 
prop. 6. huj. lib. inveniuntur, circulus in partes octo di- 


viditur & ita in 16. 32, & c. Et fic quoque, per prop. 
23:8 3.6. 12, &c. Et per prop. 1 1. in 5. 10. 20. &c. 


ethodus vero geometrica circulum in partes ſeptem, un- 


decim, aut alias quaſvis a ſupra memoratis diverſas ſe- 


candi adhuc deſideratur. „ 
Eſt vero Procli celebre theorema de affectione quadam 


Let ordinatorum quod hoc loco prætermitti 


non debet, ſcilicet tria tantum ex ĩis ita ad punctum com- 


poni poſſe ut ſuperficiem continuam conſtituant, ad hoc 
enim neceſſarium eſt angulum polygoni partem eſſe ali- 
; X 2 | quotam 


155 


yy 


156 


AY « 
quotam quatuor angulorum rectorum, tot enim reQis 


æquantur anguli circa pundtum; quoniam igitur trianguli 
equilateri angulus ſexta pars eſt quatuor rectorum, qua- 


drati vero angulus quarta pars eſt & hexagoni pars tertia, 
eres ſex triangula zqullatera, quatuor quadrata vel tria 


exagona continuam ſuperficiem conſtituere poſſe, ad 
punctum compoſita; pentagom vero angulus quarta 
parte quatuor rectorum major eſt, tertia vero minor, & 


reliqui cujuſvis polygoni angulus tertia parte quatuor rec- 


torum major eſt, unde patet ipſa circa pundtum componi 
non poſle, = 


DEF. 4. Lis. V. 
Hic definitione determinat Euclides quales magnitu- 
dines ipſe homogeneas eſſe agnoſcit, vulgo enim quzdam 


tales eſſe exiſtimantur quas heterogeneis ille annumerat, 
quales ſunt linea finita & infinita. 


r 


Quomodo definiri debent magnitudines proportionales, 
ſeu quæ in eadem ratione ſunt, uſqug ad hunc diem inter 


| Geometras diſceptatur ; Euclidis definitio hujuſcemodi 


eſt, In eadem ratione maguitudines eſſe dicuntur, pri- 
« ma ad ſecundam ut tertia ad quartam, quando primæ 
« & tertiæ æque multiplices, ſecundæ & quartz zque 


« multiplices, juxta quamvis multiplicationem, utraque 


e utramque vel una ſuperant, vel æquales ſunt, vel una 
« deficiunt inter ſe comparatz.” Contra hanc vero 


diſputatur, omnes quodammodo intelligere quid fit duas 


rationes æquales vel fimiles vel egſdem (ut uclides eas 
appellat) eſſe, & inter hanc notionem deſinitionemque ne. 


minimam eſſe fimilitudinem ; agnoſcitur quidem Eucli- 
dem demonſtrafle magnitudines quibus hæc pertinet af- 
fectio utcunque invertantur, alternentur, varuſve modis 
quibus uſi ſunt Geometræ mutentur, eam ſemper retinere, 
eſt vero & ultra hoc quod deſideratur, ut ſcilicet oſtenda- 
tatur nexus inter hanc definitionem & iſtam relationem dua- 
rum rationum quæ vulgo æqualitatis nomine deſignatur. 
Contra hanc objectionem optime diſputat Barrovius in 
Lect. Math. everſiſque variis de proportione theoriis quas 


ad 


8 1 _— —_— * = 


"NOT @ 
poſt Euclidem excogitati ſunt Geometræ, finem toti con- 


troverſiæ imponere, omneſque conatus novæ condendæ 


theoriz reprimere enititur his verbis, Per has naturas 
5 ſcilicet magnitudinum proportionalium) nihil aliud intel- 
«« ligi quam rei definitz nomini, quatenus in uſu com- 


«« muni yerſatur, reſpondentes conceptus aut fignificatus 


«« aliquos imperfectos & indiſtinctos in ſcientis minime 
*« reſpiciendos, ad quos proinde nullatenus exigendæ ſunt 


* definitiones, imo ſecludendis & eliminandis iis, ipſo- 


« rumque loco ſubſtituendis rerum certis diſtinctis atque 
« claris ideis efformantur definitiones.”? Hoc conceſſo 


Euclidis definitio certè optima eſt, a vulgari notione enim 
prorſus eſt aliena ; patet vero ex Elementis Euclidem ad 
talem regulam definitiones ſuas nunquam conformaſle, 


ipſeque Barrovius (in Lect. 6. ann. 1664) agnoſcit . Quod 
«« expediat a facilioribus magiſque familiaribus paſſionibus 


« argumentandi inittum ſumere, ſeu ſubjectum definire.” 


His 1gitur verbis conceditur fi fit definitio proportionis 
Euclidea magis familiaris, eam eſſe anteponendam, fi qui- 


dem ex ipſa affectiones quz in uſu ſunt demonftrari poſſunt; 


talem vero definitionem efm quæ nunc adhibetur eſſe 
forſan plerique agnoſcent, a vulgari enim notione deſump- 


ta eſt ipſa accurata, eaque poſità affectiones omnes pro- 


portionalium, inter quas ipſius Euclidis definitio eſt, de- 
Pz. J. Lis. v. 

Definitio cujus logo het ſubſtituitur hujuſmodi eſt, 

« Quando autem æque muluplicium, multiplex quidem 

* primz ſuperaverit multiplicem ſecundz, multiplex au- 


© tem tertiæ non ſuperaverit multiplicem quartæ, tune pri- 


« ma ad ſec undam majorem rationem habere dicitur quam 


4 tertia ad quartam, &: contra, tertia ad quartam minorem 


a 3 habere dicitur quam prima ad ſecun- 
CT ä 5 5 | 


xl DEF. 12. LIB. V. 


Definitio rationis compoſitæ vulgo inter def. lib. 6. 
ponitur, eam vero vitiatam eſſe optime oſtendit R. Simſon 

qui ad veterem locum veramque formam eam reſtituit, 
| finemque 


157 


158 


N O T X. 


finemque in quem introducta fuit in Geometriam ita ex- 
plicat, Uſus autem rationis compoſitæ in hoc unice 
% conſiſtit, quod ejus ope periphraſes evitentur, & ita 


% propoſitiones poſſint vel enuntiari vel demonſtrari bre- 


« vius, vel utrumque fieri poſſit. Ex. gr. fi propoſitio 
« 23. lib. 6. enuntianda eſſet, non facta rationis. compo- 
te ſitæ mentione, ita fieret; Si duo ee ora | 
cc æquiangula fuerint, & fiat ut latus primi ad latus ſe- 


* cundi, ita quævis recta aſſumpta ad ſecundam rectam; 


« ut vero latus reliquum primi ad latus reliquum ſecundi, 
*« ita fiat ſecunda reQa ad tertiam; erit parallelogram- 
« mum primum ad ſecundum, ut prima recta ad tertiam 
« rectam. Veteres autem cum vidiſent hanc enuntiatio- 


« nem poſſe breviorem reddi, fi nomen impoſitum eſſet 


« rationi quam habet prima recta ad ultimam, quo no- 
« mine ſimul indicarentur rationes intermediæ, primæ 
« ſcilicet ad ſecundam, & ſecundæ ad tertiam rectam, & 
« jta deinceps fi plures fuerint rectæ; rationem hanc | 
% prime ad ultimam dixerunt rationem compoſitam ex 


* rationibus primæ ad ſecundam, & ſecundz ad tertiam 


« rectam, hoc eſt, in præſenti caſu, ex rationibus quæ 
«« exdem ſunt rationibus laterum, atque ita brevius pro- 


«« politionem enuntiaverunt.” 


DEF. 14. Lis. V. 


_ - He variz mutationes magnitudimum proportionalium 


ope tabulz ſequentis facilius intelligentur. 


Sit 4 B: 0 D. En, 
Permutando — A: C:: B: D. | 
 Invertendo = S: A:rD ©: 


Componendo - .A+B: B:: CD D 


Dividendo - A=B: B: : CD: 5 
| Convertendo.. A: AB:: C: C+D 


Vel A: A—B: : C: CD 
Et fi fit Fe A: B:: D: E 
& 3; e:: E: -E. Ent 
Ex æquo ordinats A: C:: D: F. 
Et ſi ſit A A: B:: E: F. 
& e:: D;. Ent 
Ex æquo perturbatè A: C: : D; F. 


YE: 
AX. 1. Lis. V. 
De ſubmultipficibus apud Euclidem nulla fit mentio, 
patet vero affectiones multiplicium quas ille inter axioma- 
ta poſuit ſubmultiplicibus quoque pertinere. 
T PROP. 1. Lis. v. 


| Quamvis & hzc propoſitio & alia quædam in hoc libro 


pro axiomatibus ſumi poſſunt, melius tamen viſum eſt 
eas demonſtrare quam numerum axiomatum augere. 


Cox. 1. PROP. 7. Lis. V. 

Vox continetur ambigua eſt, magnitudo enim quæ in 
alia continetur vel ſubmultiplicem ejus eſſe poteſt, vel 
non, & ex hac ambiguitate oritur plurium propoſitionum 
in hoc libro difficultas. 
PROP. 32. In. V. 


Hæc propoſitio apud Euelidem definitio eſt magnitudi- 
num proportionalium. 


DEF. 4. Lis. VI. 


Adduntur hac & dur ſequentes definitiones utpote ad 


propoſitiones 27, 28 & 29, intelligendas neceſſariæ. 
PROP. 1. Lis. VI. 


Enclides hanc propoſitionem aliter demonſtrat, ex fui 


ſcilicet definitione magnitudinum proportionalium. 


PROP. 


189 


PROP. 3. Lin. VI. 


Si latere BA producto, angulus externus CAF biſece- 
tur, rectaque 1pſum biſecans occurrat baſi, fimiliter 
oftendi poteſt baſis ſegmenta lateribus reliquis eſſe propor- 
tionalia, & vicifim ; & mihi videtur propoſitionem olim 
ita enuntiatam fuiſſe ut caſum utrumque complectat, ad 

hunc modum enim nunc incipit, Si recta bifariam ſe- 
cans angulum trianguli ſecet & baſem,” fieri vero nequit 


= ecans angulum internum, latus oppoſitum quoque 


„ abſolute igitur hoc poſuiſſet Euclides, nec forma 


hujus h eticz alia affignari poteſt ratio niſi eam reſ- 
pexiſſe biſectionem anguli externi, qui aliquando talis eſt 
ut rectam ipſum biſecans baſi erit parallela, ſcilicet cum 
ille angulus duplus eſt anguli interni remoti, ut fit in tri- 
angulo iſoſeele. 5 ue 


PRO P. 6. Lis. VI. 


In hac + poſitione, ut & præcedente, conſtructio quz 
apud Euclidem definita eft, indefinite exprimitur, ne ſuſ- 
picaretur unicum eſſe latus cui applicari debent triangula 

uorum ope fimilitudo datorum demonſtratur; dicit enim 
ille, . Conftituatur ad latus DF, &c.” quaſi ad alterum 
ipſum conſtituere non liceat | 


PROP. 11. L1sB. VI. 


Si data fit ratio minoris inzqualitatis LO ad LR, conti- 

nuari poteſt donec ad magnitudinem quavis data majorem 
enietur. | | 

Sint enim LO, LR, LQ & LI continue proportionales, 
& quoniam eſt LO ad LR ut LR ad LQ, erit dividendo 
LO ad OR ut LR ad RQ. eſt vero LR major ipſa LO, 
& proinde RQ ipſa OR eſt major (1), ſimiliterque 
| oftendi poteſt IQ ipſa QR majorem eſſe, quoniam igitur 

primz LO adduntur magnitudines continue creſcentes 
pervenietur tandem ad quavis data majorem. 


St 


N O T K. 161 


Si vero data fit ratio majoris inzqualitatis AB ad CB, Fr. 26 
pervenietur tandem ad magnitudinem quavis data mino- 
rem. 
Sumatur enim magnitude quævis OL, & ut CB ad AB 
ita fiat LO ad LR, & ita deinceps donec perveniatur ad 
IL ipſa AB majorem, & per tot terminos continuetur ratio 
ipſius AB ad CB & ſit terminus ultimus FB. 
ee igitur duæ ſunt ſeries magnitudinum 72 
tionalium & numero æqualium, erit ex æquo, Ab ad FB 
ut IL ad OL, eſt vero AB ipſa IL minor (1), & proinde 8 pore 
FB ipſa OL minor eſt (2), ſimiliterque ad magnitudinem 25 "© 
alia quavis data minorem perveniri poteſt. 
His præmiſſis, ſeriem r-Ctarum in quavis data ratione 
majoris inzqualitatis 1 invenire, ſummamgue ſeriei per ter- 
minos infinitos continuatæ exhibere docet hrs ao ex_. 
Gregorio a S. Vincentio, ad hunc modum. 
Sumptis in rectà quavis AZ, partibus AB & BC termi- Mc 
nis datæ rationis zqualibus, ducantur AL & BO ipſi AZ * * 
Oi 42 0 ipſiſque AB & BC æquales, ductaque 
ipſi AZ occurrente in Z, per C ducatur CQ iph 
| AZ n eritque tertia proportionalis ipſis 
AB & BC, ſumptaque CE ipſi CQ zqualis erit perpendi- 
cularis ER quarta proportionalis & ita deinceps, eſtque 
AZ ſummæ ſeriei, fi per terminos numero infinitos con- 
tinuetur, æqualis. 
Pars. I. Eſt AZ ad BZ ut AL ad BO (1), ſeu ut (1) per b. 
A ad BC (2), & igitur permutando, AZ eſt ad AB ut p HOG 
B22 ad BC, & convertendo AZ ad BZ ut BZ ad CZ, 8 = 
_ eſt vero AZ ad BZ ut AL ad BO (1), & BZ ad CZ ut 
BO ad CQ (1) & proinde eſt AL ad BO ut BO ad CQ 
(3), & ſimiliter oſtendi poteſt reliquas perpendiculares ( 3) per prop 
eſſe proportionales. 
Pars. II. Quoniameſt AL ad BO ut AZ ad BZ, 
AL veroipſa AZ minor eſt, erit quoque BO ipſa BZ mi- 
nor (4), & ſimiliter CQ, ER, FS, &c. ipſis CZ, EZ, 
F, &c. minores ſunt, tota igitur ſeries pro portionalium 40 22 pe ** 
inſa AZ non major eſt; & quoniam AZ, BZ, CZ, &c 
continue proportionales 2 erit terminus ultimus data 
. quavis magnitudine minor, & proinde ſumma ipſarum 
AB, BC, CE, &c. ſeu tota ſeries proportionalium ipſa - 
AZ non minor, 


Y PROP. 


62 N O T E. 


PROP. 13. Las. VI. 


Ad duas medias proportionales inter datas rectas inve- 
niendas, excogitatæ ſunt a Platone, Philone Byzantino 
& Carteſio methodi ſequentes quæ quamyis non ſunt 
geometricz prætermitti non debent. 


Methodus Platonis, 
Fig. al. Lateri normæ inſeratur regula ipſi perpendicularis mo- 
biliſque ſecundum ejus longitudinem, & poſitis rectis 
datis AB & BC ita ut angulum rectum conſtituant, pro- 
ducantur ad Z & X, & ita ad BX applicetur angulus 
norm? ut latere ejus per A tranſeunte, regula vero per C, 
vertex anguli inter latus reliquum & regulam ſit alicubi 
in recta BZ, & tunc erunt BD & BE mediæ proportionales 
quæſitæ. „ | 
In triangulo re&angulo enim ADE, ducta cit ab an- 
| gulo recto DB rpendicularis in latus oppoſitum, & pro- 
() er -or. inde AB eſt ad DB ut DB ad BE 1); & ſimiliter eſt 
Prep. 8. I. 6. DB ad BE ut BE ad BC. e 


Methodus Philonis. 


Fig. 59. Datz AB & BC ita ponantur ut rectum angulum con- 
ſtituant, completoque rectangulo BADC circum ipfum 
circulus circumſcribatur, productiſque DC & DA ita inter 

jpſas applicetur regula FG ut partes FO & BG fint æqua- 
les, erunt AF & CG mediz proportionales quzſitz. 
- Quoniam enim GB ipſi FO æqualis eſt (1), erit quoque 

(1) Per conft. GO ipſi BF æqualis & proinde rectangulum ſub OG & 
GB rectangulo ſub BF & FO zquatur, ſed zquale eſt 

trectangulum ſub OG & GB rectangulo ſub DG & GC 

{2) per cor, (2), & reQangulum ſub BF & FO reQangulo ſub 

I. p. 36.1.3, DF & FA (2), & ergo rectangulum ſub DG & GC 
rectangulo ſub DF & FA zquale eſt, & igitur eſt DG ad 

( ov tha DF ut FA ad GC (3), eſt vero propter parallelas GD & 

(a) yer cor. BA, GD ad DF ut BA ad AP (4), & propter parallelas 

P. 4.16, DF & CB, eſt GD ad DF ut GC ad CB (4), & proinde 
eſt BA ad AF ut AF ad GC, & AF ad GC ut GC ad 


(5) per prop. CB (5). 
r Methodus 


N 0 1 K 


Methodus Cartęſii. 


163 


Sint duz regulæ AZ & AX circa punctum A rotantes, Fig. 30. 


uſque alterne inſerantur regulæ BC, CD, DE, Kc. ita 
ut regulis quibus inſeruntur. perpendiculares fint, iiſque 
apertis ſeſe impellant, & ſint datz rectæ AB & AE, pri- 


maque perpendiculari BC ad B applicata ita aperiantur 


regulz ut tertia DE per E tranſeat, eruntque AC & AD 
mediæ proportionales quæſitæ. 

Quoniam enim in triangulo ACD angulus ACD rectus 

eſt, ab ipſo vero in latus oppoſitum cadit perpendicularis 


CB, eſt AB ad AC ut AC ad AD (1), ſimiliter in tri- (1) per cor. 
angulo rectangulo ADE, eſt AC ad AD ut AD ad AE, p. 8. l. 6. 


& proinde AC & AD ſunt mediæ proportionales inter 

datas AB & AE. 

Si quatuor mediæ proportionales inveniendæ ſunt, 

aperiantur regulæ ita ut FG quinta perpendicularis per E 
tranſeat, & ſimiliter ſi ſex, octo, &c. 


Si vero numerus mediarum fit impar, datæ AB & AE ri. 31. 


ad eandem regulam applicari debent, ut patet ex fig. 31. 


ubi inter AB & AE tres ſunt mediæ, ſcilicet AC, AD, & 
AF. | 


COR. 1. PROP. 20. 1. VI. 


Ut duo polygona ſint in duplicata ratione primæ datæ 
ad ſecundam, neceſſarium eſt ut hæ rectæ ſint inter an- 
_ æquales, & ergo ut polygona ex us ſimiliter 
eſcribantur. Super data enim reQa tot conſtitui 
poſſunt polygona diverſarum magnitudinum quæ da- 


lygno fimilia ſunt, quot latera ſunt in dato di- 


to 

verſarum longitudinum ; detur enim quadrilaterum cu- 
jus latera numeris 1. 2. 4 & 6. ſunt proportionalia, & 
fit aliud deſcribendum huic ſimile ſuper reQa lateri 
maximo æquali, fi ita conſtituatur ut anguli huic rectæ 
adjacentes æquales ſint us quæ lateri ipfi æquali adjacent, 
erunt polygona æqualia; ſi vero ita ut æquales ſint angu- 
lis quæ lateribus per 4 vel 2 vel 1 denotatis adjacent, 


erunt polygona ad invicem ut 36 ad 16, vel ut 36 ad 4 
vel ut 36 ad 1. 


Y 2 PROP. 


164 


Fig. 32. 


Fig. 33. 


N OT E. 


P R O | of | 22, | LIB. VI. 


Ad demonſtrationem partis ſecundæ hujuſce propoſitio- 


nis aſſumit Eucſides rectas ſuper quibus conſtituuntur 


æqualia poly gona quæ ſi milia ſunt, fimiliterque deſeripta, 
æquales eſſe, melius vero viſum eſt demonſtrare in lib. 5. 
rationes quæ ſubduplicatæ ſunt æqualium eſſe ipſas æqua- 
les, unde utriuſque partis demonſtratio ſimilis eſt. 


PROP. 23. Lis. VI. 


Hzc demonſtratio a Candalla deſumpta eft, Euclides 
enim aſſumit rectas ad latera parallelogrammorum pro- 
portionales, ut fit in ſcholio hujus propoſitionis, quod ad 
propoſitionem demonſtrandam non videtur neceſſari 
um. | 


PROP. 2). Lis. VI. 


Ex hac propoſitione deducitur ſolutio problematis 
2 extra limites geometriæ Elementaris eſſe videtur, 
cilicet maximum invenire parallelogrammum quod in 
dato triangulo poteſt inſcribi. Quoniam enim defectus 
eee f f. -r AI, AG, &c. ſimiles ſunt paralle- 
ogrammo EF, ſingulum ipſorum unum angulum in rea 
BZ habebit, & proinde in triangulo AZB inſeribuntur, 
ex 1s vero maximum eſt AG ſuper baſi dimidia AE deſ- 
criptum & igitur cujus latera reliqua trianguli latera AZ 
& BZ biſecant. | 


PROP. 32. Lis. VI. 


Verba, & ut latera non homologa angulum ad quem com- 
poruntur conſtituant, adduntur enunciationi hujuſce 2 
pc ſitionis quæ aliter non eſſet vera; rectè enim notat Can- 


dalla ex conditionibus in textu Græco concluſionem non 
ſequi, ut patet ex fig. 33. in qua latera homologa AB & 
DC, BC & CE ſunt parallela, reliqua vero latera non 
ſunt in directum, ad hoc enim neee en eſt ut anguli 
ſub lateribus proportionalibus communem habeant alter- 


num, 


O TX. 


165 


num, ut æqualitas eorum, quæ ad demonſtrationem ne- 


ceſſaria eſt, oſtendatur. Obſervandum vero eſt hanc 
propoſitionem duas conditiones continere, dantur enim 
triangula quæ duo latera duobus proportionalia habent 
& tamen ita componi non poſſunt ut iſta latera ſint - 


. 


lela, ad hoc enim neceſſarium eſt angulos inter ipla eſſe 


xquales. | 


' PROP. 33. Las. VI. 


Hanc propoſitionem aliter demonſtrat Euclides, ex ſua 
definitione proportionis, ſumptis ſcilicet æque multiplici- 
bus angulorum. Hæc methodus vero multis difficultati- 
bus obnoxia eſt, dari enim poſſunt anguli recti vel obtuſi 
quorum proinde multiplices. anguli non ſunt, ſecundum 
Euclidis definitionem; & fi in fig. 34. dentur anguli 
ACB & ACD, quorum alter ſemirectus alter vero rectus 
eſt, ita multiplicari poſſunt, (quater ſcilicet) ut prior in 
rectam AG migret, poſterior in rectam CA. Eſtque hæc 
una cauſa definitionis 5. lib. 5. mutandæ. 


INI S. 


Fig. 34. 


PRIMA 
7 


\ 


| A 
J ; 55 5 


B | 
x ; 
— 


— — 22 


Vs, 


PRIMA 
TABULA F R 


1 


3 


* 


— , — 
R . k : 
” 1 ” 3 4 
„ © - NE PORT: 
L Rs | , 
4 RES 493 vic 2 * — 
* We - 4 N „ 

1 


. „ * 4 * 9 3 FER 
© CS Is i th er es LE SE hs 
7 $ 3 = F 4 © — = 2 
1 E ; 
& +. 4 4 hs * * 
IS > 


E's n * w3 

. 13 

„„ 
—_— + "he "Sv 


F 6b * 

. 
. 
8 


4Y 


* 
** 


. N 
e ** Fa 
. A 


* 


* 


. 
PS 


Liber Secundus 


SECUNDA 


E * 


, 
* 
— 


— 


AB ULA 


E 


Hinter 


Leber 


FO 


1 cs _— Tn 


wet 


a * 
a j. - 
5 * * 4 
K 
* ? 


N 
1 4 2 N 
1 1 
3 a 2 
hx oe 5 
LEE 
* 5 5 
7 N 
2 * 
4414 2 * 2 E oh 
- va 4% "EIN 
"* 26 ie > 
* 4 > S. * 
: 
* 7 A 4 
. 2 8 
= , f 4 
% 8 
* 
— 1 
$3 | E 
1 7 F 
. 
» « 
* 
— 
4 
* 
[] 
4 
U 
' 
' 
* 
| ' 
1 
* 
U 
o 
pe 
* 
5 
* 
* 
* 
* 
, . . 80 
” 7 
* = 3 
* 
* 
* 
* 
0 4 
* 
. 
- 
* 
- 
* 
* 
* 
: * 
5 
. 
* 
1 
* 
* \ has — p A 
7 dt 5 ah | - 
a ? 2 1 1 2 * 1 — 
N 2 NE 28 . 


* 2 — 
we af Fs i ws. ot, - 
4 DI 9 3 
* + n - l 
3 

o 8 * 


1 os 


* * 
1 
„ * 
« 1 „ 


* 


. ET EITS. 
* * 4 * * - 
4 8 83 * 4 


n * 
— | 8 Z x n a 7 
| On =" > E 
2 8 > — 3 © | < 
ant — 
= N — 2 
3 . Is 2 — 4 — m 
SY * — AE — . 2 
hs ** Mey G.. 0 
* af * 5 2 — 2 
| A * Sl 8 A Ns. 
= vg . ln, | —O = 
„ 2 ﬆ 
— | — — 8 E 5 = 
< —__—8 
228 — —« oy 


z [lv | | 
—— | — — < „ 
— ©" Y — 28885 — 
3 2 - 
| 2 : . | 
GH — Q | _—_ — 
a — 4. — 
——4 — 14. — —81 
{a - A — — Q 
9 ja Da 847 — — 
5 — | AQ 
Q — — 
885 — ay 1 wo U 
- f < af 0 - | 
——ä— . = a ITY Eg 
— < — 
— 8 12 8 - 


ö Ar aboard conic dl rant 
77 
r bees - 4 4? . 9 


— 


Ty - a * s * 
SY 5 © 0 * O ad - 


wi” 


— | 
| 
4 . 
* 8 
LE | % 
| <L — 0 
5 ' 
— ; | 
I 1 i = 
) „ l 
1 * . ; 
8 A RA , 
ED Q 
oy x 
| 
. 
' 
i 
i 
'. 
1 
: 
1 
7 
[] 
RI * ne 5 —— ” N 7 - oh ON TIO ; 


* > I 
. * * 
. : N 
* . * 
„ 
5 


CL 
La 
wi * 


2 „ EEE ELSE, 


C 


D 


TABULA " SEPTIMA. 


c KFT 2 


32 


—— — 


w 
K „ „% „ „% „% EE LEES. 


„% „„ „„ — En” — 2 ——ů 2 —ů a, 


A. 


FB. 


31 


»-. cod * - —  ——— 


