JJ. ANA NANA ̃⅛79tÜ, . 


— 


Nov. 12. 1719. 


IMP RIM AT U R. 
8. Nzwrox, P. R. &. 


77 OTE DGCPPPTOTOGOPGOPGENGINGET 


- I w-» 


Q 
er, 
Py 
ab 
$ 
2 * 
* 
1 
Fr 
Pr 
3 Fd 
LL 
1 % 
wk #7 
9 
7 
N 
R 7 
555 
vid 
#9 
%s 
a; 
&. 2 
12 
* 4 s 7 
Ks. 
* 
* 
1 . 
5 
We. 
WY; 
9 
iis 7 
>To 
"3% 
. 4 
* 
8 
151 
we 
- 2 2 4 
NS 
* * 
** 
5 * 
f ö 
D 
E 
# . 
— 
+ 
© 4 
9 


3 9 LO 


% 2 
N 
q 


* 
+ 3 A \ WY 7 7 
% 8 — * 4 8 
r ” 


Geometria Organica 


SIVE hs 


- DESCRIPTIO 


LINEARUM CURVARUM 
UNIVERSALIS. 


AUCTORE 
Corixo Mac Lavkin, Matheſeos in Collegio Novo - 
Abredonenſi Profe Mere, & Reg. Soc. Hoc. 


l 4 

[i ' | þ . 
7 ö 

\\ N ö 0 | f i 

R%, IA WW f 

ON wi dS | 

1 \ 75 5 N 

/ r Cl 

= Wh 

S 14, 


=" 
2 
— 
>. 
J 
— 
WJ 
> 
% -. 
0 
Q 
KN 


D 
— 
V) 

0 \ 


LONDINT: 


Impenſis Gur. & Jon. Ixxys, Regiæ Societatis Typo- 
graphorum in Area Occidentali B. Pauli. Mpccxx. 


K 
f ð 8 e CET | , 
e * CON SBS ᷑«]7[%³«ͤa „ | | * a | . * 2 7 
* 4 * , 4 | | 
* | 
. ' * 
- 
. 
4 
A | 
. 
4 
£ 
* 
— 
6 
* 
2 
., 
. 
| ; 
8 
k : | 
: 
, 
— . 
32 x 
hay 
: 4 
= | 
: & 
. 
. 
. 
* 
* 
\ 
| 
* 
* | 
| : 
* 
, 
— + . 
* LE 
. 
. 
. 
[ 
' 2 
/ 
: 
: . 
, 
| — 
15 
a E | 
| 1 
, 
| 422 
; 
* 
* LIED * 
f : TV ELL 
— By - — 25-+ — — — — — — — — — —ͤ——— — — — 2 - I [ 


22 — 1 * 


* * bs 2 6; 4 © * * - 
bY . N { 3 8 5 8 e * S £44 LNG — N 
. 24 „„ o bt» 3 9 n 9 r - —" 5 
GS as CC 


3 
Irs 
. 
* 
1 4 
1 
1939 
3 
WIRES 
5 KY 
$8 
8 
£4 
CEE 
54 
*: 


<&; \ DN . D 
675 5 J N RE „ IQ * 
LA SD D N a 225 1 P 
IEA 
EE LEED ES heated! y { 
ODD e el 
— 5 5 


4 8 N = 7 
> * all — 
4 ee 2 
7 | — WO D y; rk my S 
2 — — F:: CES 7 oh 0 
TC) 1 
? 


Vino Irres rates 
D. ISAACO NEWTON, Eq. Aur. 
Regalis Societatis PRASIDI. 


] non deerant, Vir ampliſſime, Cauſæ va- 
riæ, quæ hanc audaciam, magno tuo Nomini 
Lucubratinnculas haſce inſcribendi, cohibere 
poſſent; vicit tamen eas omnes ſingularis tua 
in me meoſque conatus qualeſcunque Benevolentia; cui 


rependendæ quidem nunquam par ero, agnoſcendæ certe 


nulla in re deeſſe debeo. Nec erat cui pari jure dicari 
poſſent hæc Theoremata : Te enim prælucente inda- 
gata ſunt; Tuis etiam Auſpiciis nunc in Lucem edita. 
Nec quicquam Matheſcos Cultoribus prius eſſe debet, 
quam ut Magno Nrwroxo, quavis occaſione obla- 
ta, gratum animi ſenſum publice profiteantur. Si 
enim prior iſtarum Scientiarum tenuitas, cum eo ad 
quod 4 Te ſubvectæ ſunt Dignitatis & Splendo- 
ris Faſtigio, conferatur ; nz Tu ad id natus videris, 

A ut 


1 


DE DIC AT To. 
ut ſpecimen exhiberetur, quantam Ratio humana, ve- 
ritatibus ſublimioribus indagandis, operibuſque naturæ 
perſcrutandis incumbens, profundæ rerum Caligini Lu- 
cem diemque, inferre poſſet. | 

Ante annos non ita multos Geometria, cujus ditio- 
nes in immenſum proferri queunt, etſi a Magnis Vi- 
ris plurimum aucta, intra anguſtos tamen limites con- 
tinebatur. Philoſophia vero Naturalis, Geometriæ 
Præſidiis nimium deſtituta, & proinde laſcivientis cu- 
juſque ingenii petulantiæ obnoxia, inſulſis & inter fe 
pugnantibus Philoſophorum ſomniis diu multumque 
vexabatur. Vanarum Hypotheſean, Commentorum- 
que omni Rationis Patrocinio carentium, nec finis 
erat nec modus. Immanes de rerum natura Fabu— 
las, a Mentis Rectricis ſapientia maxime alienas, 
comminiſci, aliiſque ſupercilioſe obtrudere, id demum 
erat philoſophari. Non Religio erat mirificam opi- 
ficii divini Harmoniam figmentis diſcordibus corrum- 
pere, venuſtam Naturæ faciem indigniſſimo fuco defor- 


mare, ordinem exquiſitiſſimum perturbare. Ad ſin— 


gula Naturæ Phænomena ſolvenda ſingulæ fere finge- 
bantur cauſæ; quarum porro ipſarum explicatio, quam 
Phænomenaon illorum, longe erat difficilior. Hujuſ- 
modi erant Materiæ ſubtilis Mæandri; Vorticum & E- 
picyclorum ambages; aliaque id genus plurima. 
Philoſophia Naturalis, tot malis laborans, diu vin- 
dicem deſiderabat, cujus auſpiciis E Fabularum Cali- 
gine emergens, Nativo ſuo decori & ſplendori reſtitu- 
eretur. Cl. quidem Herulamius, Britanniæ perenne 
Decus, Philoſophos præmonuerat ut Experimentorum 


ſuffragia 
| 3 


DEDICGAT To. 
ſuffragia ſedulo opperirentur, neque ea præmaturis Hy- 
potheſibus anteverterent; iis vero Veritatibus Univer- 
ſalibus indagandis præcipue incumberent, ex quibus, 
cum Experimentorum & Phænomenon obſervatione 
apte conſociatis, vera Lux Philoſophica elicere- 
tur. Verum deerant quibus Ingenium, Animus, Pa- 
tientia, ad tantos Labores ſuppeditarent. Tu tandem 
unus, tam ſtupendo Operi par, innumeras Veritates 


reconditiſſimas Philoſophiæ Naturali mirifice inſervi- 


entes indagaſti; indagatas fœliciſſine ad Phænomena 
Naturæ explicanda adhibuiſti; atque ex multiplici ſub- 
tiliſſimorum Experimentorum penu, magis magiſque 
confirmaſti; nec cujuſquam ante Te veſtigiis inſiſtens, 
nec à quoquam in poſterum æquandus. = 

Geometria demum ultra priſtinos fines, incredibili 
Tua Perſpicacitate & Ingenii vi, longe lateque expor- 


recta eſt; recondita præſertim Curvarum Theoria mi- 


rum in modum aucta; quantitatum fluentium Algo- 
rithmus inventus, & ad ingentia Naturæ Opera enu— 
cleanda ſummo judicio adhibitus; Philoſophia Natu- 
ralis in Libertatem aſſerta, variiſque Errorum monſtris 
purgata; materia ſubtilis exploſa; eliminata prorſus & 
Cœlis Vorticum & Ppicyclorum ſupellex: Variæ & 
perplexæ admodum Lunaris motus inæqualitates calculo 
& certis Legibus ſubjectæ; Cometarum orbitæ per re- 
motiſſima Coli ſpatia pertinaciter inveſtigatæ; ſubti- 
ima Luminis Phænomena ex intimis Naturæ pene- 


tralibus Arte mirifica eruta; Corporum terreſtrium 


Gravitas, & coleſtium Motus, cum innumeris aliis 
Naturæ Phænomenis, ad eandem ſimplicem Cauſam 
1 reducta ; 


1 
2 
1 
8 + 
4 
1 
$$ 
fi 
| 
: 
| 
[} 
{| 
1 
3 
I! | 


Dzxvicarr:o. 


reducta; denique, pulſis Fabulis, vera operum divino- 


rum Majeſtas, Ordo, Harmonia, Omnium Contem- 


plwationi ſimul & Admirationi commendata. Quæ om- 


nia, ſeu Veritatis æterni Trinmphi, ſeu Errorum diu 
graſſantium clades, tanquam monumenta Are & Mar- 
more perenniora, certatim ad Nominis Tui perpe- 


tuitatem poſteris mandandam conſpirant. Cæterum 


de rebus tam præclaris præſtat ſilere, quam levia di- 
cere. Quocirca, id unum oro, Vir Spectatiſſime, ut 


hanc, utcunque tenuem, magni tamen Studii volun- 


tatiſque propenſiſſimæ Teſſeram, in bonam partem 


accipias. 


Tui Nominis 


Obſervantiſſimus Cultor 


Colin Mac Laurin. 


* 
e eee ee ee 


RRR e d ] —Y ̃ ˙ A WW -w 
- p _ 
” - 7 
40 
by * 
* A N 72 
2 ' 8 £ —— XY | \ 
— mM } 2 
— — 7 — RD. * a! 
EO I ID. 982 
* \ 


PREFAT I O. 


"OM recondita ac ſublimis Philoſophia, quam mor- 
talibus his tandem ſæculis maulſit beuigniſſimum 
Numen, Geometria promote accepta referenda ſit ; 
— ae [crementa egregia, que plures aliæ Artes 
ac Diſcipline humano gener: apprime utiles noſira atate ce- 
perunt, ex eodem fonte promanarunt ; novos quoſeunque in hac 
Scientia proceſſus non eſſe contemnendos, colendamque in primis 
eam eſſe ſtudioſis veritatis indagatoribus, nemo cordatus non fa- 
tebitur. Nec varia Geometrarum ad Mathejin puram promo- 
vendam Conamina quiſquam vituperabit (etſi fortaſſis primo 
iutuitu non mnoteſtat hujuſmod: inventorum utilitas) qui me- 
minerit quam multa, que prima fronte parum proficua viſa 
ſunt, dein temporis decurſu, aliorum induſtria, ad uſus eximios 
accommodata ſint. 

Neque hoc tantum Nomine Geometria ſtudioſe excolenda vi- 
detur, quod magnas utilitates afferat, © Ornamento ſit ; verum 
etiam quod mnata quadam Pulchritudine plurimum alliciat ; 
imo ez non abſimilem, quam ex humanioribus aiſciplimis perci- 
Ppimus voluptatem, in animis noſtris ingeneret. Etenim cui- 
vis, varia vitæ oblectamenta conſideranti, patebit ea ex per- 
ceptione Proportionis, in qua omnu ſita eſt Pulthritudo, po- 
tiſſimum enaſci; atque animos noſtros ita 4 natura eſſe compa- 

5 6. Yahos, 


PRÆR TAT ILO. 

ratos, ut rerum per ſæpe vulgarium, pane dixi inauium, 
{1:rmonia ſeu Proportione nuda haud parum delectentur. Quid 
gueſo tantopere guvat in Muſica? Non ſoni, ſed ſonorum Har- 
monia, ex commenſurabili Vibrationum aquabilium proportione 
aſſurgens ; cum ſont ipſi ſeorſum edit exiguam aut nullam a- 
| nimo pariant delectationem. In omni ſeribendi genere (ne ſin- 
it gula percurram) poſt ipſum veritatem, juſta rerum diſpoſitio 
l © methodus Auctoribus cure, © Lectoribus voluptati ſunt. 
Hit | Ip/a vero illa veritas quid eft aliud, quam, ſive immutabilium 
| zdearum, ſue fluxarum rerum, mutuus quidam ordo © habitus, 
in intimis Nature penetralibus deliteſtens ; ſedula opera & 
ſtudio indagandus. Oniverſalem porro hujus Proportionts vim 
ji Zenitus auimo perſenſiſſe videntur primari inter veteres; qui 
Ii etiam ipſam Virtutem in debita affettuum Proportione, & ju- 
ll ſto Tono, collocarunt ; imo & nonnunquam pronuntiare non du- 
j beitaruut, pravam omnem elcationem ex ejus Scientiæ defectu 
oriri, qua docct Artem menſurandi; il. znfinita cum finitis ; 
magna cum parvis, perfetta cum imperfettis, ſeu bona cum 
malis comparand.. 

Quos ſum autem hec; nift ut aliquatenus intelligamus unde 
tanta iunſii amenitas Theoriis illis, quas ſcientiæ omnes, & ſpe- 
ciatim Mathematica, iutellectui exhibent; & ut ſua pure Ge- 
ometrie conſtet laus & commenaatio? Philoſophiæ quidem Mathe- . 
matice preſiantia apud omnes hoate in confeſſo eſt: Quippe que 1 
auimum ad grandiloquam cœlorum facundiam advertendam evo- ; 
cat, uniwerſuque operis formam ſpecioſiſſimam oculis quaſi ſubij i- 
cit. Cujus ope, frve corporis mundani cujuſuis ſeorſum ſumpti 
motus & Phanomena exquiramus; ſive integri Syſlematis, 
guatenus adbuc innotuit, diſpoſutionem & ſtructuram contem- 
plemur; ubique ſummum rerum ordinem & harmoniam con- 

 ſummatiſſimam deprehendentes, ſiaviſſima tantz operis, magni- 
gue jus Anttoris, admratione non poſſumus non pes undi. h 

Sed Matheſis pura, que partem hujus gloria, quanta quanta % 
eft, longe pracipuam ſibi pro jure ſuo venducat ; licet tam ob. 
via nos Voluptate non percellat ; menti tamen conceptus ſup- 
peditat pulcherrimos; quæ Harmoniam & Proportionem ubi- 
gue deſiderat. His contemplationibus quicunque deditus efl , 
ſruve unius alicujus accurate Lineæ aut Figure varias propri- 
etates iuvicem conſentientes; ſive integram aliquam Linearum 


© Hi. 


a 8 


I — 5 
= * : Rd — 2 l 

wat: x wok PT * 9 8 2 A = * 

— e 2 2 : 


8 WA ON NPIS Oy 
7 OS r OI 2% 
7 ——— nnd. 
Dee 


e tn; 
S = ew : 
ee . 


PA PAT To. 

& Fignrarum ſpeciem, aut ſpecierum Syſtema, perpendat ; aut 
varia illa ſyſtemata univerſalia conferat ; is proportionis omnis, 
atque adeo pulchritudiuis, unam infinitis modis Variegatam ideam 
animos perluſirat ; cum omnis harmonia & proportions Lex 
aut Regula Poſſibil is, cur vam habere poſſit ſi obſervatricem. Men- 
tis interea vires hujuſinodi exercitils mirum in modum augentur 
G confirmantur. Dum autem, Geometriæ pure auxilio, tum 
preſentem Mundi fabricam, tum etiam quæ futura fuſſent il- 
lins ſecundum alias qguaſeunque Leges efformati Phenomena, 
mnveſticamns; indicia undequaque prodeunt luculeutiſſima ſa- 
pieutiſſimi Numinis, ſupremi uni ver ſorum Domini; cujus opus 
Anttore fuo diguum, quantum nobis adeo exigu ejus exten- 
fronts & durationis partis ſpectatoribus aſſequi licet, omni ex 
parte deprehendimus. IHec in eum ſiuem dicta ſunto, ut pa- 
reat non mutiles nec injucundas eie appellandas las ipſas pure 
Geometrie Theorias, que ad quam vitæõ partem perficiendam 
pertineant non ſiatim apparet; © quarum penitior iudagatio ſum- 
morum Virorum exemplo eſt perpetuo comprobata. 

Geometria veternm ad Figuras duntaxat, gue Lineis rectis 
vel curvis primi generis Cireumſeribuntur, pertingebat. Re— 
centiores vero, Linearim ordines mnfinites in Geometriam rece- 
perunt; © aquationivus, ordinatas & abſ{cifſas curvarim invol- 
ventibns, definierunt, Nemo tamen, ante [llifly, Newtonum, 
univerſalem aggreſſus cft deſtriptionem organicam Linearum Or- 
dinis ſecuudo altiores. Hujus methodus commodiſſimam ſuppeditat 
viam Lineas tertiz: Orainis puntto duphce ditatas mechanice 
deſeribeudi; nonnullas etiam Lineas altiorum Orainum comple- 
ctitur. His veſligiis inſiſtentes, Methodum univerſalifſimam in 
ſequenti Tractatu tradimus; qua curve cujuſcungue Ordints ſit- 
perioris, motu continuo datorum angulorim ſecundum Lineas 
rettas, aut etiam ſecundum curvas cujuſerngue infertoris Orat- 
A, generantur. | | 

In prima parte, guo patio Lines ſecunds Ordinis, obe u. 
nins tautum Linee rectæ, deſcribi poſſiut oftendimus. Deinde, 
ex duabus Liueis rectis, Linearum tertis Ordiuis punto du- 


pflice donatarum Geneſin deduximus. Tum Lineas bujus Ordi- 


ns, punto duplice deſiitutas, & quarts, trium Reffarnm obe, 
aefcripſimus. Denique methodum curvas quaſceungie, ope pln- 
rium Nectar, dleſcribendi uni ver ſaliſſiine demonſtraviinus; & 

201131147 118 


PRT FAT To. 5 


nonnullarum, etiam vigeſimi quarti Ordiuis, deſeraptionem non- 
nunguam ſex Reffarum ope per fici poſſe, exempli cauſa, often- 
dimis, 

In ſecunda parte, curvas omnium ſuperiorum Ordinum, ope 
infbriorumquorumcunque, pariter deſtrivi poſſe demonſlravimugs. 
Epicycloides quaſuis, gue Curvarum revilutione ſuper ſeipſas 
tauquam baſes generautur, univer/aliter tractuvimus. Enxpe- 
aitam, ad bene multas ſeries infinitas harum Epicycloidum dime- 
tiendas, viam aperuimus. Dein motum corporum, curvas da- 

tas in medus quibuſcuuque deſcribentium, & ipſorum mediorum 
Reſiſtentiam ac Denſitatem parvo admodum labore inveſtigandi 1 
methodum expoſiumus. Tandem, qua ratione curve Geometrice 1 
dati Orainis per data pundta duci poſſint, in omnibus caſibus 1 
guos adhuc accurate perpendere licuit, oftendimus. 9 
In prime Partis Propoſitionibus pleriſque, non ſolum ad 3 
quem Ordinem curve deſcripte pertineant demonſtravimus ; 4 
ſed etiam quo patio illurum aquationes Aigebraice obtineri 1 
poſſint oftendimus. Lectores autem monitos velim, varia admo- 
Aum, pro variis Rectarum datarum *Poſitionibus, & pro varia 
I angulorum datorum ſpecie, exurgere in illis Mquationibus 
[i quantitatum ſigna; que in aliquibus tantum caſubus deſignare 4 
bil opere pretium fur a 9 
In Sectioue ultima Partis prime poſtulauimus, punctorum in Ic | 
| = quibus Lineæ dug quacungue inter ſe occurrunt numerum maxx 
| | mum equalem ſemper eſſe fatio ex numeris, qui ambarum Or- 1 
= - dAines exprimunt. Cum vero res demonſtratione indigere vide- 
I! retur; eam, quantum adhuc fas fuit, ad omnes caſus accommo- 
jj datam, ad calcem ſubjunximus poſthac fortaſſis ſuis numeris 4 
lll | ab ſolvendam. Quod, vero hæc qualiacunque rudiori quam op- 3 
Wl taſſemus manu pertractata in lucem edere coacti ſimus, exinde | | 
0 a4ccidit; quod otium & præli facultas, defuerunt. — 


; 7 7 
IR 
F* 
1 


* 
2 
4 
& 


© 
. P 
7 
e 
b . % 1 
pal 
£3 2 
F 
4 
* 
bs 
e 
We 
* 
= 
\ 4 4 
© 
* 
wy 


11 3 
1 3 
if! - £08 
{Mt . 
. ” Ws * 
oh 3% 1 
NA 2 - * 
{4 + \ 4 U l 
> Y > F- „ £5? 
: 1 f — — L — { f - J : 2 
Fi £24 2 ' F — 3 ' "ny 
it | J £4 Þ do us E:. 
mn Fo Ly 1/7 0% 5 
1 a) 4 3 2 
* — — — 7 — 
c ' r p == TS * — ; XY 
f s > =E | ol — „ 75 
i wy 89.9 4 58 
: U N 
9 D/=4 I 
i!) =I 
1 N 2 { 
141 2 0 ; % 
F : * 
br” 
5 
” Aw 
i 1 
1 
0 
11 
2 0 
bs 1 
0 HEAT UT 


3 


Linearum Geometricarum 
DESCRIPTIO 
Organica Univerſalis. 


Pars Prima. 


UBi Methodo U niverſali Lines omnium 


Ordinum deſcribuntur ſola datorum 
Angulorum & Rectarum Ope. 


MAIS IIA AAAS + 
SEC TIO I. 5 


De Deſcriptione Curvarum primi Generis ſeu Linearum 


 Oradims ſecundi. 
err 


PRO P. I. 


Circa duo puncta C & S in Plano quovis data tanquam Polos 


moveaniur Anguli dati FCO & KSH; aucatur concur ſus 
Crurum CF & SK per Rectam AE in eodem Plano Poſitione 
datam; atque reliqua iuterea Crura CO & SH Concurſi ſuo 
P deſcribent Curvam primi Generis. ERS 


Ongantur puncta data C&S; atque in Rectam CS demit- 
l tantur normales PM & N; ducantur Rectæ PR, QU, 
PT, QL ita ut Anguli CUQ & CRP æquales ſint ſibi 
mutuo atque dato FCC, Anguli vero SLQ & STP æquales 
| dato KSD. His poſitis, Angulus RCP æqualis erit Angulo 
CQU, propterea quod RCP duos rectos conficiat cum Angulis RCG & 
QCA, atque CQU duos etiam rectos conficiat cum Angulis RC & 

B QUC 


„ 


A 
—— — In 


— —— — — 
5 5 : 


mY 


— — 


—— —— —— : —— ͤ — — — — 


2 


—_—— 


* 
——— 


* — — 
—_— 4 > 2 . — _ — by 
— 
— 


— — 


Ht. 


RES 


— — 


— 28 


—— — — — — — 


£ 


8 — —ä—ͤę́.:. ͥ — —— — 


2 Deſeriptio Linearum 


QUC dictis RCQ & QCG æqualibus; proinde cum æquales ſint An- 


guli COQ & CRP mag eſt Triangula CQU, CPR eſſe ſimilia; 
& eadem ratione demonſtratur ſimilia elfe Triangula SLQ & STP. 
Unde erit CR : PR : : Q: C 
atque V 


Sit CS=@, CA =, ſinus Anguli FCO ad ejus Coſinum ut Jad a, 


Sinus Anguli KSH ad ejus Coſinum ut e ad a, ſinus Anguli CAE ad 
Coſinum ut c ad a; fit porro PM = y, CM = xs, QN= >> __ 


erunt RM: PM: 4: d. PR: PM: : AA X3a* : 4 AN.: QN: 
a: unde RA =, CR = TR, cond. PR — 


d a 4 
„re 


W & CU ca —AN — -NU AI- 


If . Cumque fit CR ad PR ut QU ad CU patet, eſſe 
0 | 
dx — ay 1) d* + 4: zh &* +a Le TN 
„% nn go — 45 
NS = be xd - 
de- -a xX3+axd+cX2 ** 


Porro ſi mili Ratiocinio prodit ST = 2 — * — 2, PT = 


— 5 unde 


ING > e 


e 


QL EE £81 = AN—AS— NL ab e. 


e. "EE 
Eft vero ST ad PT ut QL ad SL; ſeu a- — : LEE ö 
= x 85 —— : — 3 & proinde QN.=z —= 


e | e 


88 2 es 2 —. Aquentur duo reperti Va- 
ec a Xx Tae - CXA CA Xx —e 
lores Rectæ QN, & Denominatorem unius ducendo in Numeratorem 
alterius, prodibit Aquatio Curve deſcriptæ ad Axem C8 


a—bYNce ** a xd 8 TN +2 * 
ae _ pa EXE b x 


Tabexd Ce N —boxa* — — Fn 75 my 
| ex” f 


aexdc — 4 — 


5 Cum 


2 / 
8 5 8 | 
by do oe We 4 * * „ * 6 n 6 
N Rn 2 A "Fe. 225 e 2 . - « 3 3 # 
EN WD A dah” £ 4 N n g * 4 Fares . * a 


EO 
ae 


a 


% 

- 

: r 
; 
_ 
{'s 

3 

x 

p 

2 

' 

c 
* 

+ .#* 

bo, 
197 
og 
A 
% "1 
+ 
2 
TR 


FLA 
3.67 

Af 

* 


Secundi Ordinis. 3 
Cum vero in hac Æquatione variabiles Quantitates x & y ad duas 
tantum Dimenſiones aſcendant, manifeſtum eſt curvam deſcribi primi 


Generis ſeu Lineam ſecundi Ordinis; cujus Interſectiones cum Linea 
recta poſſunt eſſe duæ. 


Corol. I. Curva hac Propoſitione deſcripta tranſit per data puncta C 


& 8; nam fi y =o Aquatio Curvæ evadet a —bx ce T c X dN 


— — —— | — —_ — 
A abe x de - , e KX . Proinde cum a ce ae 
—=b;xd=arxd-c—bcxd-ecritx* —ax =0 adeoque vel x =0 
vel x= 4; in priore caſu curya tranſit per C in poſteriore per S. 
Idem ex Conſtructione patet immediate; quippe dum SH coincidit cum 
SC Curva tranſit per C; & CO evadit Linea Curvam in dato puncto 


C contingens; Curva vero tranſit per 8 dum CO coincidit cum CS, 


& crus SH Curvam tunc in puncto 8 contingit; quod ſatis eſt mani- 

feſtum. Puncta C & S ſunt ſimplicia, nec Linea quævis Ordinis tertio 

inferioris punctum habet duplex. 155 
Corol. II. Hinc ſi dati Anguli HSX, OCX moveantur circa puncta 


C & 8 ut Polos, & crurum SH, CO concurſus P ducatur per Li- 


neam ſecundi Ordinis, ſeu ſectionem Conicam, per data puncta C & 8 


tranſeuntem; concurſus X crurum CX & S& percurret aliam ſectionem 


Conicam; nam dabuntur Anguli QSX & QX; adcoque cum Q per- 
currat Rectam, punctum & deſcribet Lineam Ordinis ſecundi ſeu ſectio- 
nem Conicam per hanc Propoſitionem. | N 
Theorema hoc primus demonſtravit D. Næutonus egregio Ratiocinio 
ad morem veterum Lemmate 210%, Lib. Imi Principiorum; idem quoque 


analytice inveſtigavit in Arithmetica Univerſali; Analyſin vero diverſam 


hac Propoſitione exhibuimus, quoniam noſtra in ſequentibus calculis uſus 
erit non exigui & æquationem ad Ordinatas axi normales exhibeat. 


FCC 
PRO p. II. PROBLEM A. 
Determmare Curvarum Aſſymptotos atque Species, 


Uper dati Recta CS (Fig. 2.) deſcribatur ſegmentum circuli cui in- 
ſcribi poſſit Angulorum datorum QCP, QSP ſupplementum ad 


quatuor rectos. Si Recta data AE huic circulo bis occurrat deſcribetur 


Hyperbola Conica; fi Recta AE circulum contingat deſcribetur Pa- 
rabola; ft recta AE tota ponatur extra Circulum curva deſcripta erit 
Ellypſis. 5 


B 2 Imprimis 


5 7 9 8 * ” * 8 as 3 : 
. N "£0 OE 2 7 A 0 4s 3 _ - ; ' | boa, : , d 
Nr pi 8 . ne ron . — 3 — — * (tet 
r WON Tg TA Las ey 5 ; 4 . 
* I e 5 LS” enn . 
* * A * CF, Va * * FE rl WV * 1 7 8 2 An a +: 


4 Deſeriptio Linearum 
Imprimis occurrat Recta AE Circulo in punctis duobus Q & N; 


cumque SK pervenerit ad poſitionem SQ vel SN manifeſtum eſt crura 
CO & SH eyadere parallella, eorumque concurſum P abire in utroque 


caſu in infinitum; quippe Quadrilateri QSCP quatuor anguli æquales 


ſunt quatuor rectis, adeoque cum CQS, QCP, QSP ex hypotheſi, toti- 
dem conficiant rectos, manifeſtum eſt . CPS evaneſcere, & crura 
CP & SP concurrere ad Diſtantiam infinitam. Similiter cum SK per- 


venerit ad poſitionem SN, erunt CI & SI parallelæ, atque puncta P & ri 


eundo ac redeundo in infinitum, quatuor deſcribent crura infinita ad duas 


Aſſymptotos rectis CP & CH parallelas; quæ ſe mutuo ſecant in Centro 
Figuræ, angulo æquali QCN ſeu QSN. 
t Poſitio Aſſymptotwn prodeat, fit 7 punctum ipſo Q quamproxi- 


mum & anguli 89, CY æquales fiant datis QSP & QCP, atque erit 


p punctum ipſo P quamproximum; unde ſi pB ducatur parallela rectæ 
CP, erit Bp curvæ Aſſymptotos. Eſt vero angulus SpB = pSP = Qsg 
& anguli quoque BpC, pCP, QC? æquales; fed patet angulos evaneſ- 
centes BpS & BpC efle in ratione ſubtenſarum BS & BC, & proinde 

erit BS ad BC ut QSgq ad QCg. Sed anguli quicunque ſunt ut arcus 


ſubtendentes directe & arcuum radii reciproce, adeoque QS erit ad QCg 
ut Q x CQ ad ge x SQ five (cum Q fit ad Qę ut perpendiculum SF 
S in AE demiſſum ad SQ; & fit ge ad Q q ut CG perpendiculum ex C 
in AE demiſſum ad CQ) ut SF x CO. ad CG xSQ?. Proinde BS 


erit ad BC ut AS x C ad AC x SQ? & BC ad CS ut ACx SQ? 
ad AC x $Q=L AS x CO; unde fi anguli Q gS, QTC ſint zquales 
fibi mutuo & dato angulo CQS, erit BC ad CS ut AC x Sg ad 


AC xXx S2 EAS X CT. Proinde dabitur BC, & angulus CBp datur, 


adeoque poſitione determinatur Aſſymptotos parallela rectæ CP; ſimiliter 
plane determinari poteſt altera Aſſymptotos parallela rectæ SH; duarum 
vero concurſu determinatur centrum figuræ. 185 

Ex his conſequitur 1 Curvam deſcriptam fore Hyperbolam Conicam, 
quoties recta AE circulum SDC in duobus punctis ſecat; & ſi illa duo 
puncta ſint Q & N, patet ex dictis, quo pacto duæ Aſſymptoti deter- 


minari poſſunt & ſpecies proinde curve inveſtigari. 29. Si recta AE 
circulum contingat, coincidunt Q & N cum D, curvæ Aſſymptoti 


abibunt in infinitum & curva deſcripta erit Parabola Conica. Quippe 
angulus ADS æqualis erit angulo DCS per Prop. 32. Lib. 3“. Elem. 
& proinde ſimilia erunt triangula ASD & ADC, adeoque erit AS : AD 
: : SD : CD ſed per Prop. 36. ejuſdem Libri eſt AS: AD :: AD : AC 
& proinde AS ; AC:: AS* : AD* :: SD* : CD*. Sed prius de- 
monſtravimus eſſe BS ; BC : : ASX C: ACK SO:: (in os 
2 caſu) 


Secundi Ordinis. 
caſu) AS x CD* : AC X SD.: : AS Xx AC: AC X AS unde BC : 
CS :: ACX AS : AC Xx AS — ASKXAC :: AC AS: o 1. e. BS e- 
vadit infinite major quam CS; unde Aſſymptotos abir in infinitum & 
crura curvæ evadunt Parabolica. Proinde in hoc caſa deſcribitur Para- 
bola cujus duæ diametri erunt rectæ SP & CP (SK perveniente ad po- 
ſitionem SD) earumque vertices C & 8, tangentes vero ad eos vertices 
C&S per Corol. I. Prop. I. atque ex his Parabola facile determi- 
nantur. 3. Quod ſi Recta dara AE Circulo neque occurrat, nec eum 
contingat, ſed tota extra circulum cadat, deſcribetur Ellypſis; quippe in 
hoc caſu rectæ CP & SP, quarum concurſu Curya determinatur, nun- 


quam poſſunt evadere parallelæ; & proinde curva non abit in infinitum 


ſed in ſe redit. 
Corol, I. Axes Figurarum non minus quam Aſſymptoti ſic facile ge- 


ometrice determinantur ; fit O (Fig. 3.) centrum circuli SQC, & ex O in 


Rectam AE cadat Linea perpendicularis OX Circulo occurrens in punctis 
Y & G atque rectæ AE in X; & ſi anguli HSK crus SK ducatur ad po- 
ſitionem SY, alterum crus SH evadet parallelum axi majori & perpendi- 
culare axi minori figure in poſitione nim. Sz; nam YN = YQ & an- 


gulus YSN =YSQ = 4 NSQ = PSz; cumque NSQ zqualis fit angulo 


quo Aſſymptoti ſe mutuo interſecant, erit PSz dimidium illius anguli, 
adeoque Sz parallela axi majori quæ Aſſymptotwn angulum biſecat. Sed 
ex Conicis conſtat axem majorem eſſe ad minorem ut co- ſinus dimidii an- 
guli Aſſymptotn ad ſinum dimidii ejuſdem anguli ; eſt vero YSN, qui 
æqualis eſt dimidio anguli Aſſymptotwn etiam æqualis angulo YGN ; 


adeoque erit GX ad XN ut Axis major ad minorem; ſed GX : XN :: 


XN: XY & GX: XY : GX* : XN*: proinde Quadrata Axium 
erunt ad ſe mutuo ut GX ad XY. % 

Corol. II. Manente recta AE atque Angulorum QCO & QSK 
ſumma, manet ſpecies Curvæ; quippe his manentibus, non mutatur an- 


gulus NSQ, æqualis angulo in quo Aſſymptoti ſe mutuo fecant in cen- 
tro figuræ; adeoque manet ſpecies figuræ. 


Corol. III. Si una Aſſymptoton poſitione determinetur ut Bp, altera 


nullo labore dabitur; nam ſi h fit punctum ubi quæſita ſecat rectam CS, 


erit Ch = SB, ex natura Hyperbolæ. 

Corol. IV. In nullo caſu niſi cum Recta AE abit in infinitum deſcri— 
bi poteſt Circulus; quippe fi punctum deſcribens P Circulum percurre- 
ret, cum Curva neceſſario tranſeat per data puncta C & 8, angulus CPS 
eſſet invariabilis, adeoque & CQS ; 1d vero fieri non poteſt dum Q 
rectam tangit, niſi 3 illa fit ad. diſtantiam infinitam. | 


Corol. 


” © 
om, 
OT 
„ 
” 


5 Deſeriptio Linearum 
| Corol. V. Si anguli FCO, KSH fint ſibi mutuo ſupplementa ad 
duos rectos, Aſſymptoti longe facilius determinari poſſunt; quippe eva- 
neſcit angulus CQS in hoc caſu; atque tunc evadunt SP & CP parallelæ, 
quando punctum Q Fig. 4.) pervenit ad A ubi Recta AE occurrit SC pro- 
ductæ ſi opus eſt, & quando Q abit ad diſtantiam infinitam; cum in utroqz 
caſu evaneſcat angulus CQS. In priori caſu erit BS : BC : : (AS x CQ? 
+ AC X -3Q7) ASX CA? © AC X SA* :: AC: AS3. & 58 CS: : 
AC : CS adeeque BS = CA; unde facillime determinatur Aſſymptotos 
By quæ ad punctum B rectæ CS inſiſtit & Angulum cum ei recta con- 
ſtituit æqualem dato FCO. Altera Aſſymptotos tranſit per A per Co- 
rol. zum. ſecans rectam CS angulo æquali differentiæ angulorum da- 
torum KSH & CAE; & ex datis duabus Aſſymptotis illis dabitur 
curva. 
Corol. VI. Si anguli ut in ſuperiori Corolario ſibi mutuo ſupplementa ſint 
ad duos rectos, & recta AE occurrat rectæ CS productæ, deſcribetur Hy- 
perbola; ſi recta AE parallela fit rectæ CS, abibit Aſſymptotos By in in- 
finitum, cum ſemper fit SB = CA; adeoque curva erit Parabola Conica; 
Aſt in nullo caſu, ſi angulorum KSH, FCO ſumma ſit æqualis duobus rectis, 
deſcribetur Ellypſis. | | | 
Corol. VII. Quoties recta AE tranſit per circuli SQC centrum angulus 
NSQ evadit rectus & proinde Aſſymptoti ſe mutuo ſecabunt ad angulos 
rectos, adeoque Hyperbola deſcribetur Aquilatera, 
Corol. VIII. Aliæ etiam ſuppetunt Methodi quibus ſpecies curvarum 
diſcriminantur, præter eam quam hac Propoſitione explicavimus; eam 
vero nos adhibuimus quæ in ſequentibus uſus erit frequentioris. Notan- 
dum interea crura angulorum quibus curva deſcribitur, conſiderari debere 
tanquam Rectas infinitas ad datos angulos ſe mutuo ſecantes; alias pars 
tantum curvæ deſcribetur; & in omni linearum ſuperiorum conſtructione, 
ope inferiorum quarumcunque, hæ inferiores ſunt totæ aſſumendæ, non = 
carum Arcus quicunque ad integram ſuperiorem ducendam z quod ſemel 
monꝛuiſſe ſufficiat. 


S 2 Dar r 
ob ee 3 n DEL; 8 
0 * 4 BB. . N 2 


7 


8 77 = Fo — \ 
GO 4 = FED N 
5 e EN (L 
7 = 2 © GAIT —_—, 
W'---< I-22 


\) 


— 


/ 
— 


PRO p. 


5 Secundi Ordinis. 7 


Por, . 


$; in. Deſcriptione Prop. prime angulorum KSH & 


FCO, quorum motu curva deſcribitur, crura SH & 
CO ſimul coincidant cum recta SC, punctum deſcrt- 
bens P percurret Limeam reftlam non curvam. . 


I Ucatur CK (Fig. 70 Normalis ad AC, & producatur SQ donec ei oc - 
| ) currat in K; ducantur quoque Q & SL parallelz rectis CS & AE, 


normali CK occurrentes in G & L. Erit angulus QSC = KQG, & 


QCO — CQG, & EAC = EQG; adeoque 11{dem retentis ſymbolis ac 
in Prop. I. erit QG GK: ts, UG S.: o: zz US: 
GE: a: c& KR GOChiert dd & GC: GE: : ide 


CK: GC :: de: d; atque EC: GC:: d-þc: d, & proinde 


CK : EC :: de: de: fed CK =e cum OS fit æqualis 4; at- 


que ut CS: CK :: CA: CE: i. e. 4a: b:: c: CE = unde con- 


4 a . 
ſequitur e : *. de: dc &Kd-exbe=d+cxae. Proinde in æ- 
quatione generali Prop. I. evaneſcit terminus abexd e - a*exd + xx 


ed a ae 


cumque à — e f ae — b = + exbc — aexd-c evaneſcit quoque 


terminus primus a — bxce-l- ae — bed x & manebunt tres tantum ter- 


mini qui dividi poſſunt per ); quo quidem facto, prodit æquatio lineæ 
unius tantum dimenſionis @ * — a* dl Kd - . 
— brxe + dY —adce 


bee — ed —arxdc—a* = 0. Quæ Xquatio eſt ad rectam. 


Proinde quoties anguli CSP, SCP ſimul evaneſcunt, non deſcribetur Li- 
nea quævis curva ſed recta. 


Corol. I. 


8 Daeſcriptio Linearum 
Corol. I. Recta deſcripta ex æquatione determinari poteſt, ſed faci- 
lius hoc pacto: ſumatur CH ad CS ut A8 Xx CQ. ad AC x SQz? 3 
— AS x C, eritque H punctum ubi recta occurrit datæ CS. Per 8, Q | 
& C ducatur Circulus ſecans AE in N, & per punctum H ducatur recta 5 
HR angulum CHR conſtituens æqualem angulo NSQ,; recta HR ea I 
erit quæ deſcribetur concurſu crurum SH & CO ad modum Prop. prime. 
Punctum H inveſtigatur ſumendo 9 ipſo puncto Q quamproximum, & 
inveſtigando h ubi concurrunt crura CO & SH cum Q ad perve- 
nerit, cui quamproximum erit ipſum punctum H. Et quoniam cum SK 
pervenerit ad poſitionem SN abibit P in infinitum, hinc conſtat inclina- 
tio ea rectæ HR ad CH quam explicuimus. E 
Coro]. II. Hinc ft anguli KSH & FCO ſibi mutuo ſupplementa 3 
{int ad duos rectos, & recta AE angulum conſtituat CAE angulo FCO 
æqualem, non deſcribetur curva, fed recta LR, ita poſita, ut CH = SA 
& angulus EHR æqualis alterutro angulorum FCO & KSH; nam in 
eo caſu abit Q in infinitum & CQ = SQ; adeoque CH : CS:: 
AS x CQ* : ACX SQ? — ASKXCQ* :: AS: AC - A8: A8: CS 
& proinde CH = AS. © tg 
Coro]. III. Speciatim fi anguli fint recti, & AE fit perpendicularis 
in CA, deſcribetur alia recta perpendicularis in CS; cujus Diſtantia a C 
æqualis erit Diſtantiæ prioris a puncto S. | 
Corol. IV. Curvæ omnes, Methodo Prop. prime deſcriptæ, poſ- 
ſunt delineari ſi loco anguli FCO ſubſtituatur recta circa Centrum C 
volubilis. Quippe fi in figura Prop. prime ſumatur angulus SCI FCO 
& angulus QSU = ISC, punctum U concurſus crurum CO & SU de- 
{cribet rectam BU : Unde motu anguli HSU circa S ut Polum, & rectæ 
CO circa C, deſcribetur eadem Curva quæ Prop. prima deſcribebatur; i 
nimirum ducatur CO & SL Concurſus U per rectam infinitam BU, 
Concurſus ejuſdem CO cum altero crure SH deſcribet Lineam, ſecundi 
Ordinis, Propoſitionis primæ Methodo deſcriptam. / 


. wü ̃ R eee nn Cllr Ce [Ss —— 
8 — — OY WC — 2 ache 
— — bes 
a L PL 3 * . — 
, « 7 
. 1 4 - . * 
x 
* 
. 


<————_— — — 


n 0 : 
8 CT Try o 
= WWW 0 
W e eee 4 


—— —— ——— — 
—— ͤ 7 ̃] . 77 ——_ 
— % 
— A — ng - — * _— — 
2 od 4 — =» — 
n — 8 2 


3; 0 x , L 3 n 1 p 4 4 2 , EC. 2 FEE (AR 2x Tay * * Ny, 4 > . 
#3 2 8 I 2 <eþ 8 I . e . 0 o r C PIG, TS os $439 Do CIR Io ON ro 3 Ws on OY TL OT OS FR "4x. . po My byes * I L 7 I 4 a, 
„„ S df A I IE . WE ne „ q AY EV IL TED 0 WE 3p be fe GR Boa A Pot TA OE CRORE CR ATT Te RE I VE OT et ul 2 7 A 
"7 3 © a, BE . 3 TEES AP a EO 3 9 25 25 's Pot 1 CWG „ / /o FV n F 5 83 780 1 77 2 p PBs STI) 
; JJ. ĩð In A nn Ver, 


7 Ne ag ny 8 Ne- £ 2 
C 


N 


x 
”. 
Y 
— 
Cf 
— 
* 
* 
„ 
0 
— . — 
* — — 


* PPÜLRB ado 5, —£o  E—_ 


a — AO OA AO —— — 


4 : 
—— 4 ATT +34 
——— . e — 


* 1M 
of . 6 


4% 


„ 1 


Fraß 


/ 


Mc WY 2 8 


m 


r 


— — 


— — — 


— 5 7 2 
n 
< . 2 
Ts SI RT ne 2 


Secundi Ordinis. 9 
bee eee kek 


FROP:. TIY: 


| Lineam Secund; Ordinis ducere per data quavis quin- 


gue puntta ; & Lineam date ſpeciet per quatuor 
quavis puntta deſcribere, | 


Mprimis dentur quævis quinque puncta A, B, C, 8, D, (Fig.6.) per 
1 quæ ducenda fit Conica ſectio; ducantur rectæ CA, CS, SA, & circa 
Polos C & 8 rotentur Anguli dati ACS, ASC, & applicentur crurum 
CA & SA Concurſus primum ad punctum B, dein ad punctum D, & 
interea notentur puntta Q & R ubi crura CF & SK ſe mutuo decuſ- 
fant; per puncta Q & R ducatur recta infinita EQ, & ſi crurum CF, 
SK Concurſus ſemper ducatur per rectam QE, aliorum crurum concurſus 
deſcribet Lineam ſecundi Ordinis per data quinque puncta tranſeuntem; 


quippe ubi crurum CF, SK Concurſus accedit ad Q & R, ſectio conica 


tranſit per B & D; quando vero coincidunt crura CF & SK cum CS 
curva tranſit per A & neceſſario quoque tranſibit per C & S per Co- 
rol. I. Prop. I. curva igitur ducitur per data quinquepuncta. 

Quod ſi dentur tantum quatuor puncta, infinitæ Linex ſecundi Ordi- 
nis per ea duci poſſunt; curva vero datæ ſpecici, quæ per quatuor puncta 
duci poteſt, fic determinatur. 

Ducenda fit imprimis Parabola per quatuor puncta C, 8, L, T: (Tig. 7) 
Junganrur ut prius puncta C, 8, L & circa data puncta C & S ut Po- 
los rotentur anguli LCS & LSC; applicetur crurum CO & SH 
concurſus puncto quarto T, & interea concurrant reliqua crura bina CF 
& SK in A. Dein per C & 8 deſcribatur arcus Circuli cui inſcribi 
poſſit Angulus æqualis ſupplemento datorum LCS & LSC ad duos aut 
quatuor rectos; & ex determinato puncto A ducatur recta AE circulum 
hunc contingens. Si concurſus crurum CF & SK ducatur per hanc 
rectam, concurſus crurum CO & SH deſcribet Parabolam per dicta 
quatuor puncta tranſeuntem; ut ex Prop. ſecunda ſatis eſt manifeſtum. 

Ducenda fit nunc Hyperbola per data quatuor puncta cujus Aſſymptoton 
angulus datur MIO (Fig. 8) ejuſque ſupplementum ad duos rectos MIU ; 
cæteris manentibus ut in conſtructione præcedente ducatur ex A recta 
AQ circulo dicto occurrens in punctis N & Q & arcum NQ ab- 
ſcindens in quo inſeribi poſſit angulus datus MIU; ſi crurum CF, SK 

8 | concurſus 


10 Deſcriptio Linearum 
concurſus ducatur per hanc rectam, Hyperbola deſcribetur per data 


uatuor puncta tranſiens & data ſpeciei, motu puncti P concurſus crurum 
O & SH. 


Si vero ex data axium ratione Hyperbola vel Ellypſis ſit determinanda; 


id ex Corol. primo, Prop. ſecundæ non difficulter conficitur. 

Quippe ſint ut prius (Fig. 9.) C, 8, L, T, quatuor puncta data, & ro- 
tentur Anguli LCS & LSC circa Polos C & S; applicetur Concur- 
ſus crurum CL & SL ut prius puncto T, & interea notetur punctum 
A ubi concurrunt crura CF & SKN; deſcribatur Circulus quoque per C 
& S cui idem angulus inſcribi poterit, datorum nim. LCS & LSC ſup- 
plementum ad duos aut quatuor rectos, cujus centrum O dabitur & Ra- 
dius OY in quo inveſtigari poteſt punctum X hac ratione. Ex data ſpecie 


Curvæ datur ratio Linearum GX & YN, quz ſunt ut latera Quadrata 


axium per Corol. I. Prop. II. Proinde datur ratio OX ad OY, adeo- 
que cum detur OY, dabitur OX. Centro O, radio vero ON, alius de- 
ſcribatur circulus, cui tangens ducatur ex jam determinato puncto A: Si 
Concurſus crurum CF & SK ducatur per hanc rectam Circulum tan- 
gentem, Concurſus crurum reliquorum CL & SL deſcribet Curvam da- 
tæ ſpeciei per data quatuor puncta tranſeuntem. Hæc eſt Conſtructio 
quam abſque Demonſtratione protulit D. Neutonus in Schol. Prop. 27. 
Lib. 1. Princip. ea vero ex Corol. 1. Prop. 2. facile conſequitur. 

Corol. I. Cum ex puncto quovis A duæ duci poſſint tangentes Cir- 


culo; patet duas Conicas ſectiones, ejuſdem ſpeciei, per data quatuor 
puncta poſſe duci. Unica tantum ſectio Conica per quinque data puncta 


duci poteſt; nam fi duæ per eadem quinque puncta tranſirent, duæ Li- 


neæ ſecundi Ordinis ſe mutuo ſecare poſſent in pluribus punctis quam 


uatuor. | 
, Corol. II. Eædem Curvæ deſcribi poſſunt variis admodum Angulis 
& diverſarum Rectarum Ope. Quippe eædem deſcriberentur Curve 
fi junctis C, 8 & B vel D, A, C diverſi ſumerentur Anguli, & rectæ 
quoque inveſtigarentur diverſæ ab iis quas nos adhibuimus. 


Curvæ Prop. I. deſcriptæ integrum curvarum ſyſtema conſtituunt; 
atque ex ſolæ Linearum Ordinem ſecundum complent. Ha fuerunt 


veterum Geometrarum deliciæ, quarum ſpeculationi plurimum admodum 


indulſerunt; nec ullo ſuperſedebant Labori, ut earum Proprietates licet 
maxime Complexas rimarent, & ſecundum Methodum ſuam demonſtra- 
tionibus elegantibus admodum ornarent. Harum vero Geometria tandem 

uantum fieri poteſt perfecta reddita eſt, ſublimiori horum ſeculorum 


cometra, qui earum Theoriam abſolvit, variis 1is viis quibus ſectio- 


nes conicas, vel datis umbilicis, vel iis non datis, determinavit in Princip. 


Lib. 1. Sectionibus 4 & 7. 


Egregius 
1 


n 


KOT, 


270 


Iertii Ordinis. 11 
Egregius vero idem Auctor, non tantum curvarum primi generis Con- 


templationem ita abſolvit, ut parum admodum aliis ſuperſit indagandum; 
ſed primus aliud novum Curvarum Syſtema, Lineas ſcil. tertii Ordinis, 


enumerare aggreſſus eſt ; harum Proprietates generales Sectionum Coni- 


carum Proprietatibus conſimiles protulit, ipſaſque in claſſes atque ſpecies 
pulcherrime redegit, in eximio quem de Enumeratione Linearum tertii 
Ordinis conſcripſit Tractatu; earum numerus longe major, aut Figura 
magis complexa, longe difficilius determinanda, non deterruit acre Viri 
ingenium ad ſumma quævis feliciter aſſequenda nati. Curvis vero primi 
Generis jam deſcriptis, ad novas has delineandas progredimur. 


bbb bbb bbb 
| - hs © l 8 * ul , * 20 0 | 


SECTIO II. 


De Deſcriptione Linearum Terin Ordinis que punctum 
duplex habent. 


OCDOOEDOIEDOCERNEEDICEDOIDCCDGgov cv 


PRO P. V. 


Moveatur ut in Prop. I. Angulus datus FCO (Fig. 10.) 
circa Polum C; & interea Angulus datus LNQ [em- 
per percurrat, angulari ſuo puncto N, Rectam infi- 
nitam AE, ita ut Gus NQ perpetuo tranſeat per 
datum punctum S; ſi Concurſus crurum CF & SN 
ducatur per reftlam mfinitam BQ concurſus crurum 


CO & NL dieſéribet Lineam tertu Ordlinis. 


IT punctum Q concurſus crurum CF & SN, punctum P concurſus 
C crurum CO & NL; & ex punctis P, N, Q ducantur PM, NH, 
OK normales in datam CS; ſint quoque Anguli PRC, QUC aquales 


ſibi mutuo atque angulo dato FCO. Ducatur NT conſtituens angulum 


STN zqualem dato SNP, & ex S in NT cadat perpendicularis Sg, quæ 
| 5555 C 2 producta 


N 
, 


12 Deſcriptio Limearum 
producta occurrat perpendiculo NH in IJ, Sit Pe e rectæ CS 
curve occurrens in P atque redtæ NH ine. 

Dicatur CS Sa, BC =b, PM=y, CM=x, SA =e; _ anguli 
FCO _ ad jus cofinum ut 4 ad 4; fit BR : KQ :: a : c, AH: 
HN : : f, & ſinus anguli SNL ad col ut g ad a. 

His po 1 eadem ratione qua inveſtigavimus Valorem primum perpen- 


dicularis QN in Prop. I. deprehendemus ak xx +a 3 
2 * XxX —doxy 


ubi ſigna aliqua mutanda ſunt ſi angulus FCO obtuſus fit : 2 vero 


CK =BK BC (cum BK: Q 5:0 ee 
Nan] _ @Xxd-þex x 3 


& Sk = CS CK E x L. 


” axd cx x Ea dc — XN 
Sed SK: QR :: SH: BN :: 84 — AH: BN. Unde cum AH: HN 


: F Exit HNA ee 


2 ALA c bacx fa 3 = I 7 +abexar-\-ay 
vac = m & 4 — ade — bde = n eritque II N 


be U -|- ay & 6px — e IE neſy 
miſs mx = af — abc Xdax x Lay ay mf A＋ nfy + abc xd Pa 


Cum Angulus externus STN æqualis fi ſit duobus TGN, ING. & 


Sit 2 d A 4 .= 


Angulus SNL (qui ſupponitur æqualis ipſi SN) fit zqualis duobus 
INS, ING; patet IEN = TNs. adeoque Triangula SNg, NGN, 


NPe eſſe Grmilia; vmque Angulus STz = NTH manitcſtum eſt Tri- 
angula STg, NTH, Ng tt ſimilia eſſe; Proinde erit Og. Ng :: Ne: Pe. 
ST -:-NE 7; D8-7 Ng adeoque ST : NI: : Ne: Pe. Dicatur HN=z 
eritque ST = SH — HI 24 or NI = NH | HI = z 
EE ——. Ne=z—y &Pe=aks—e:e+E, Er proinde 
7 7 „ , A 


42 az | 
—_— TP —— :: 2 —9 : a ＋- — e-. Loc 
. 7100 7 1 


"© ſubſtituatur valor r prius repertus rectz HN & prodibit eg x mfx 


Þ ny + abc x ds + ay — aefbc x 8 + f x ds Þ+ ay : af x 


mfx E nfy ＋ abc x as Pay) + ft — 7 X ef bc x dv dx Cay: 


ef be x dx ay -ay —mfxy —nfy* —abcX dxy ＋ ay : —e X mfx ＋ zfy 


S+abrxdxÞ-ayxXa—e + acbcxdx ay mfr TOs —abcxdx* ＋Fgayhx. 
Unde 
4 


32 
bes. 


r Sn 
8 


* 


£ 2 2 -; & 
ECD k o —S ee 
22 ͤͤð-ͥ2h́äͥ n 3 — n 


7 5 0 5 1 rh E 3 2 a ' e 9 5 "x 8 
. 33 GEM 3 2 5 % % 2 . . e 2 De a e . 5 6s 6 * ö LL Y 
3 n . Fa by $237 Bent ee . 


; | * I RL © 33 LEN 2 
e DIST . n F 9 

W 5 anne 8 88 e a oY A 0 n Py 2 e 
* We 8 „FCC IR: . 5 8 5 N yo 


> 
"4 2 
3 MES: 
* oY 
« 3s; 1 
a 7 
U 2 
2 * 
* A 
RI. 
*y 
* 
2.6 A 
— 7 
* y 
30 
* 
fy 
? 97 
20 
5 
3 
Ds”. 
Wea 
* 
« . 
2 
$4 
2 


Tiertii Ordinis. 13 
Unde ducendo media & extrema in ſe mutuo prodibit æquatio hujus 
formæ A) + Bxy* + Cxt'y + Dx? + Ey* + Fey + Gx = 0, cujus 


coefficientes A, B, C, D, E, F, G calculo obvio ex Aralogia inventa 
inveſtigari poſſunt. | 

Cum vero variabiles Quantitates x & y in hac æquatione ad tres tan- 
tum dimenſiones aſcendant, manifeſtum eſt Lineam deſcribi Ordinis tertii 
quæ in tribus punctis Recta ſecari poteſt. 5 
Corol. I. Curva habet punctum duplex in C; Quippe ſi in æqua- 
tione curve evaneſcat 5, manebunt tantum termini Dx? & Gx?, & 


xquatio erit formæ Dx + Gx* Se; cujus radices tres ſunt o, o, —5 ; 


unde cum C ſit principium abſciſſæ, curva tranſibit neceſſario per C 
bis. Curva vero nunquam tranſit per 8, cum curvæ puncta ſemper ver- 
ſentur in recta NL, quæ nunquam poteſt tranſire per 8; alias duæ 
rectæ Lineæ SN, NL ſe mutuo ſecare poſſent in duobus punctis 
N & S. | Ev, 

Corol. II. Super recta Linea (Fig. 11.) CS deſcribatur ſegmentum 
Circuli cui inſcribi poſſit angulus datus SNL) ſecet Circulus hic rectam 
AE in duobus punctis N & , & jungantur CN, Cs atque SN, 82 
occurrentes rect BQ in punctis Q, 9. Ducantur CQ, Cq, atque 
rectæ CP, Cn angulos datos PCQ, Cy xquales ipſi FCO conſtitu- 
entes; tunc rectæ CP & Ci tangent arcus curve concurrentes in 
puncto duplice C, & ſe mutuo decuſſantes ad formam Wadi vel 
Crucis. 


Corol. III. At ſi Recta AE Circulum in quo inſcriptus eſt angulus 


datus SNL contingat in puncto quovis D, evaneſcet Ovalis qua jacebat 
inter CP & CH, & curva evadet Cuſpidata in C. 


Corol. IV. Quod fi recta AE cadat penitus extra circulum nec eum 
contingat nec ſecet; curva habebit Punctum conjugatum in C abſque 
nodo, cruce, cuſpide vel ovali. 


Corol. V. Quod fi, cæteris manentibus ut in Propoſitione, (Fig. 1 2.) 


Concurſus cruris CF cum alia SZ angulum datum cum SN conſtituente, 


ducatur per rectam infinitam XZ, punctum P deſcriber adhuc Lineam 
tertii Ordinis punctum duplex habentem in C: Nam hæc conſtructio 
ad eam hujus Propoſitionis reduci poteſt ; Quippe {i ſumatur CSD æ- 
qualis NSZ, & circa C moveatur datus angulus QZ. æqualis ipſi SCD, 
& crurum CZ, SZ. concurſus ducatur per rectam XZ, concurſus cru- 
rum CQ & SN deſcribet aliam rectam per Prop. 3. Unde hæc con- 
ſtructio ad eam hujus Propoſitionis facile reduci poterit. 1 


PRO. 


14 Deſcriptio Linearum 
FFF 


Por. VI. PROBLEM A. 


Determinare Curvarum Aſſymptotos & crura infinita. 


G Rectam (Fig. 13. 1. 1.) CS deſcribatur ſegmentum Circuli cui 


inſcribi poſſit Angulorum datorum FCO, LN ſupplementum ad 
quatuor rectos. Supponamus imprimis rectam BQ huic Circulo occur- 
rere in duobus punctis Q & I: Cumque angulus SQC fit ſupplemen- 
tum angulorum FCO, SNL ad quatuor rectos, manifeſtum eſt crura 
CP & NL evadere parallela ubi concurſus crurum CF & SN in Q 
circulum tangit, & proinde tune curvam abire in infinitum. Id vero bis 
contingit, cum recta circulo bis occurrat; adeoque ſi anguli QCP, IC 
æquales ſint dato FCO, erunt CP & CH parallelz duabus curve Aſ- 


ſymptotis; quarum Poſitio determinatur eadem fere ratione qua Aſſymp- 


totos Linearum ſecundi Ordinis in Prop. II. determinavimus. 

Sit G punctum ubi Aſſymptotos occurrit rectæ CS; & GC erit ad 
GH ut QC ad QSq fi puncta Q, ſint quamproxima; GC vero erit 
ad CH ut QCg ad QCg — Qsg five ut BC x SQ* ad BC XS — BS 
x CQ*. Unde cum detur angulus PCS quem Aſſymptotos per G ducta 
conſtituit cum CG, dabitur Aſſymptotos Poſitione; & ſimiliter deter- 
minatur Aſſymptotos quæ parallela eſt rectæ C1. 
Adhæc curva abit in infinitum cum N fit punctum infinite diſtans; 
nam P verſatur ſemper in Recta NL : Proinde per 8 (n. 2.) ducatur SU 
parallela AN, occurrens Rectæ BQ in R; ducatur CR, & dein Recta 
CZ angulum Z CR conſtituens æqualem dato FCO, eruque CZ parallela 


tertiæ Aſſymptoto Curve. . Unde Curva habebit ſex crura infinita Hy- 


perbolica ad tres Aſſymptotos. TED 

Sed 29. Si recta BQ (4. 3.) circulum contingat in Q evadet QC@=QSg 
ex natura circuli, adeoque GC quz eſt ad CH ut QC? ad Q? - Sg 
evadct infinitaz Aſſymptotos proinde abit in infinitum & nullibi reperiri 
poteſt. Quod fi AN non fit parallela rectæ SQ curva habebir duo crura 
Hyperbolica ad Aſſymptoton rectæ CZ. parallelam, & duo Parabolica 
quæ abibunt in plagam rectæ CP, ſi QCÞ FCO. 

30. Si AN it parallela rectæ SQ vel SI, (Fig. 14.) evadet CH infinita, 
adeoque cum GC : CH : : BC x SQ: BC Xx SQ*—BS x CO, erit CG 
quoque infinita, & proinde crura evadunt Parabolica abeunte Aſſymptoto 
in infinitum. Cumque in hoc caſu abeat N in infinitum 3 2 

| circulum 


F 3 Br N 25 . l 
A CCC [> ye HY ACT 
. 53 R 
CC 


Tertii Ordinis. 15 
eirculum tangit; patet curvam quatuor habituram crura infinita duo Pa- 
rabolica & totidem Hyperbolica. 

In duobus igitur caſibus curva fit Hyperbolo-Parabolica; cum ſcil. 
BQ circulum contingit nec tamen AN parallela fit SQ, atque cum BQ, 
circulum ſecat & AN exiſtit parallela alteri rectarum SQ , Sl. 

Quod fi 4%. BQ circulum contingat & ſimul AN parallela fit ipſi SQ 
curva duo habebit crura infinita Parabolica eritque Neatonianarum ſpeciei 
68,769 vel 70. | | e 

Denique cadat BQ tota extra circulum, & duo deſcribentur curve 


crura infinita abeunte 5 N in infinitum; ea vero Hyperbolica erunt, 


& curva erit Hyperbola defectiva, claſſis quintæ tertii Ordinis, ſecundum 
Enumerationem D. Neutoni. N 
Corol. I. Si angulus FCO (Fig. 15.) ſupplementum ſit anguli SNL 
ad duos rectos, angulus COs evaneſcet vel evader æqualis duobus rectis; 
atque crura NP, CP evadunt parallela cum Q coincidit cum B & cum Q_ 


abit in infinitum. Aſſympototos cruris quod formatur in primo caſu ſic 


determinatur : Coincidat CO cum CS, & ſumatur punctum O in recta 
CS ita poſitum ut OA fit ad CA, ut eſt CB ad CS, & per O duc rectam 
Op parallelam cruri CF erit Op curvæ Aſſymptotos. Quippe ſupponamus 
Q &N efle punctis B & A quam proxima, adeoque p punctum curvæ 
concurſui ejus cum Aſſymptoto ſua quamproximum, atque ſi pO ducatur 


parallela rectæ CF ea erit curvæ Aſſymptotos. Sed angulus OpC = F Co 


= BCQ & OpN = AL = ASN, cum triangula AL & SaN axquian- 
gula fint. Sed anguli OpC, OpN (qui erage cum p abit in infini- 
tum) erunt ut rectæ OC & OA; anguli vero evaneſcentes (ipſis OpC, 
OpN zquales) BCQ, ASN ſunt ut rectæ SB & CB; & proinde eſt 
OC ad OA, ut SB ad CB; adeoque OA ad CA, ut CB ad CS, 

Altera vero Aſſymptotos, (Fig. 16.) ad quam crura duo deſcribuntur 
quando Q abit in infinitum, fic determinatur poſitione. Ducantur CF 


& SN parallelz rectæ BO, & ſint anguli SND, FCG æquales datis 


FCO, SNL; & ſumatur CU ad CD, ut CB ad CS, eritque Recta 2 
ducta per U parallela ipſi CG altera Curvz Aſſymptotos; cujus rei de- 


monſtrationi, cum ſimilis ſit præcedenti, non opus eſt immorari. 


Corol. II. Cæteris manentibus ut in Corol. præcedente, Si BQ paralle- 
la fit ipſi CS, Aſſymptoti Op, Up abeunt ad diſtantiam infinitam, & crura 
deveniunt Parabolica z nam in eo caſu CB evadit infinita ; ſed OA: CA 
:: CB: CS & CU : CD:: CB: CS; adeoque OA & CU evadunt 
infinitæ; proinde duo Aſſymptoti in infinitum abeunt & earum crura 


ecvadunt Parabolica. Alia vero deſcribuntur duo crura Hyperboli- 


ca cum punctum N abit in infinitum; adeoque curva evadit Hyper- 
bolo-Parabolica ſpeciei, ſecundum Enumerationem Neutonianam 47, 48, 


: 49, JI 


16 Deſeriptio Linearum 


49, 71 vel 74; cum hx ſolæ habeant punctum duplex ad finitam di- 
ſtantiam, & ſimul duo crura Parabolica atque duo Hyperbolica. 

Corol. III. Si AN & BQ fant parallelæ erit (Fig. 16 CD infinita, 
adeoque & CV; proinde Aſſymptotos curvæ, ad quam crura deſcribun- 
tur cum abit in infinitum, nullibi reperitur, & crura ea curve eva- 
dunt Parabolica; cumque N abeat in infinitum una cum Q manifeſtum 
eſt curvam dicta habere crura infinita Parabolica & duo tantum prete- 
rea Hyperbolica ad Aſſymptoton Op. Quod {i lint AN & BQ parallelæ 
quoque ipſi CS, curva habebit duo tantum crura ana Pardbolics erit- 
que ſpeciei 68, 69, vel 70. 

Corol. IV. Quod ſi maneat BQ ut in Corel. I, & fiat AN parallela 
ipſi CS, erit CA infinitaz ſed OC : CA:: BS : CS; & proinde OC 
quoque info erit; adeoque ea crura quorum 455 erant ad Aſfymptoton 
Op, & duo deſcribebantur cum N abibat in infinitum, nunc coincidunt 


(quoniam cum N infinite diſtat Q fit in B) & evadunt Parabolica. Ma- 


net vero altera Curvæ Aſſymptotos Recta nim. pU, adeoque Curva eſt 


Hyperbolo-Parabolica ut in prioribus Corolariis. 


Corol. V. Si anguli FCO, SNL (Fig. 13.) ſint recti, altera Aſſymptoton 
crit perpendicularis ipſi CS, altera perpendicularis rectæ BQ. 


LEMMA TI. 


Si datus Angulus SNP (Fig. 17. angulari ſao puncto N percurrat Ream 


infinitam AE, & ex dato puncto S ducatur perpetuo SR angulum datum 
NSR cum rea SN conſiztuens, ea ſemper occurret rectæ NP Producte 
in Punt to aliquo aliæ Rectæ RF Poſitionèe datæ. 


Sit R punctum ubi recta SR occurrit rectæ NP & fi angulus SFN 
= dato SRN circulus per N, 8, R ductus tranſibit per F; adeoque 
angulus RFN = RSN, cum vero detur pundtum F & angulus RFN 
(dato RS N) dabitur Recta F R, quam perpetuo tangit punctum R con- 
curſus Rectarum NP & SR. | 

Corol. Himc viciflim fi duæ rectæ datæ AE, FR ſe mutuo ſecent in 
puncto F, & ex 8S educatur SR datæ FR. occurrens in puncto R, atque 


add id punctum conſtituatur RP, ita ut angulus SRP = SFE, occurrat 


vero RP datæ AE in N, angulus SNP dabitur eritque ſemper æqualis 


_— SFR. 


nee 


PR Op. 


* 


0 
| 
Ee — > | 


=> 


6 al 

— W 51,4” 
. 

% — 


Y * =X c 
- — ; * 5 
— ” * . - = - — ũ—— — — —— —— ——— — — — — — — — — — — — — 


5 —— — 


Tertii Ordinis. 17 
. l . 8 78 47 K 8 K . 2 . 2 8 2 2 4 0 2 2 


PRO. VII. 


Curve omnes Prop. V. deſtripte poſſunt facilius duct 
ſi cæteris manentibus, loco auguli dais FCO revolva- 
tur redta Linea CO circa Polum C, cujus Concurſus 
cum NP Lineam terti. Ordinis deſcribet, fi ejuſdem 
Concurſus cum SN ducatur per Rectam datam, 


FA Eteris manentibus ut in Prop. . ſumatur angulus KCS (Fig. 18.) as 
qualis angulo FCO & ducatur SK; Ex S exeat recta Sq, angulum- 


RSN conſtituens æqualem CSK, occurrens rectæ NP productæ in R 
& radio CO in . Manifeſtum eſt ex Lemmate 1. R ſemper fore in 


recta data ER, atque angulum SRP dari: Patet quoque ex Prop. 3. 
crura CO & Sq concurſu ſuo 4 rectam percurſura cum CQ & SQ 
concurſu ſuo deſcribant rectam BQ, & ſimul coincidant CO & 8. 
cum CS quando Q pervenit ad K. Proinde punctum Curve P deter- 
minatur concurſu Radii CO, circa C ut Polum revolventis, cum RP 
crure dati anguli SRP angulari ſuo puncto R rectam FR percurrentis, dum 
ejuſdem radii CO concurſus cum crure SR (punctum nimirum ) percur- 
rit aliam rectam G. Hinc igitur ſimplicior evadit deſcriptio, dum loco 
FCO circa C revolventis Radius rectilineus CO ſubſtituitur. 

Corol. I. Simili plane ratiocinio demonſtrari poſſet omnes curvas 
Prop. 5. deſcribi poſſe licet alteruter angulorum FCO, SNP ſuppona- 
tur ſemper rectus aut datæ cujuſvis Magnitudinis. 


Corol. II. Hujus Prop. ope failius ſpecies curvarum deteguntur. Su— 


per CS (Fig. 19.) deſcribatur circulus habens angulum datum SNP in- 


ſeriptum; huic circulo occurrat BQ in punctis duobus Q & L, atque 
rectæ CQ, CL parallelæ erunt curvarum Aſſymptotis duabus, & deno- 
tant plagas quatuor crurum Hyperbolicorum. Sumatur QH in recta SQ 
ita ut QH : NQ :: QCq : Q$q—QCg, & ducatur per H recta in- 
finita parallela ipſi CQ atque ea erit Aſſymptotos curve, & ſimiliter 
altera Aſſymptotos quæ parallela eſt rectæ CL determinatur. Porro 
(lig. 20% ducatur SG parallela rectæ AE occurrens rectæ B in G; 
dein ducatur CG atque ei parallela crit tertia curvæ Aſſymptotos. 


5 Corol. 


18 Deſcriptio Linearum 

Corol. III. Ex his atque Corol. 2, 3 & 4, Prop. 5. ſpecies curvarum 
inveſtigari poſſunt: Quippe ex Corol. præcedente curvarum crura inno- 
teſcunt, & ex Corol. Prop. y. conſtare poteſt an curva fit Nodata, Cuf- 
pidata an Punctata. Curva nimirum hahebit Nodum vel Crucem quot ies 
AN occurrit bis circulo priore Corollario deſcripto, Cuſpidem vero quoties 


AN dictum circulum contingit, & Punctum conjugatum ſi rota extra 
eirculum ponatur. 


Corol. IV. Hinc x. Si rectæ BQ & AN circulum ſecent, nec ſit 
AN parallela alterutri rectarum SQ vel SL, Curva habebit tres Aſ- 
ſymptotos, ſex crura Hyperbola, & duos arcus ſe mutuo ſecantes in C 


vel ad formam Nodi vel ad formam Crucis, atque curva. deſcripta erit ali- 


qua /pecierum. 2, 7, 8, 25, fi diametro careat, ſed ſpecierum 11, 18, 19, 


20, ſi diametrum habeat. 

2. Si BO Circulum ſeeet, AN vero eum contingat, Curva habebit 
ſex crura Hyperbolica ad tres Aſſymptotos ut prius, ſed Cuſpidata erit 
in C, atque Hpeciei 3 vel 12 hujus ſcil. cum diametrum habet, illius vero 
cum diametro caret. | | | 

3. Quod ſi BQ circulum ſecet, AN vero integra extra circulum po- 
natur, curva adhuc conſtabit ex tribus Hyperbolis, & Pundtum conjuga- 
tum habebit in C abſque nodo, cruce, Cuſpide vel Ovali, & /pectez erit 
vel 4, vel 13. ; 


- 


4+ Nunc tangat recta BQ circulum eumque ſecet AN ; nec fit AN 


parallela rectæ SQ: aut SL; tunc Curva habebit quatuor crura infinita 
duo 2 & duo Hyperbolica cum odo vel cruce & ſpeciei erit 47, 
15 cu . | | GL | 

l 7. Quod ſi BQ adhuc circulum contingat & AN ei quoque tan- 
gens fit; Nodus in Cuſpidem mutabitur & figura Hyperbolo-Parabolica. 
_ crit Hpeciei 48. 

6. Contingat adhuc BQ circulum, cadat vero AN tota extra Circu- 


lum, & figura Hyperbolo-Parabolica habebit Punctum conjugatum in C 


abſque nodo, Cuſpide vel Ovali eritque curva ſpeciei 49. 

7. Cadat nunc recta BQ penitus extra Circulum, at eum ſecet AN; 
atque curva habebit duo tantum crura Hy perbolica ad unicam Aſſympto- 
ton parallelam rectæ CG & Nodum in C cum Ovali eritque ſpeciei vel 


34. vel 41; hujus fcil. cum Diametrum habet, illius vero ſi Diametro 


Careat. | 

8. Contingat AN circulum ſed BQ exrra eum ponatur, & Nodas 
mutabitur in Caſpidem acutiſſimum, atque curva erit Hyperbola defectiva 
ſpeciei vel 3y vel 42; in hoc caſu curva fir Ciſſois veterum & Diame- 
trum habet in illo Diametro caret. 

9. Cadat AN extra Circulum ſimul ac BQ & Nodus cum Ovali abi- 
bit in Punctum conjugatum & Hyperbola erit defectiva /peciez vel 36, 
43 vel 44. 


10. Sit 
8 


3 


SH 
WE. 
= 
12 » 
"FE 
_—_ 
or 
o 
50 
GE, 
+ 2 
* 
W g 
81 
4 
-- 
+4 ITY : 
2 1 
=» 
d 5 
* 
T's 
- == 
0 
Fs 
5 
* 


Tertii Ordinis. 19 

10. Sit AN parallela rectæ SQ vel SL, & NQ evadet infinita, adeo- 
que & HQ , unde ſi BQ ſecet circulum curva habebit duo crura infi- 
nita Hyperbolica & duo Parabolica; atque Lineæ deſcribi poſſunt ſe- 
cundum varias Poſitiones rectæ AN /pecierum 47, 51, 48, 49: Quod 
ſi BQ circulum contingat curva habebit duo tantum crura infinita Pa- 
rabolicaz eritque Parabola Nodata fi AN circulum ſecet, adeoque /pe- 
ciei 68, Cuſpidata ſi AN circulum contingat, adeoque /peciei 70, & de- 
nique Punctata ſi AN neque circulum ſecet nec eum contingat, & pro- 
inde /peciez 69. 5 

11. Abeat punctum C in infinitum, & moveatur Recta CO (Fig. 219 
ſibi ſemper parallela, ejuſque concurſus cum SN ducatur perpetuo per 
Rectam datam BQ, & concurſus ejuſdem cum NL altero Crure dati 
anguli SNL delcribet curvam quæ punctum duplex habet ad diitan- 
tiam infiniram, & D. Neuitono Hy perboliſmus Hyperbolæ dicitur; cu- 
jus tres Aſſymptoti ex deſcriptione facile determinantur. Ducatur 1. per 
datum punctum 8 Recta SB parallela datæ AN, & per punctum B du- 
catur EB parallela rectæ CO, atque recta EB crit Aſſymptotos Curvæ; 
nam cum Q accedit ad B, punctum N atque Recta NL abeunt in infi- 
nitum, adeoque etiam punctum Curve quod in recta NL ſemper verſa- 
tur; unde EB evadit tangens Curve ad Diſtantiam infinitam. 2. Ex das 
to puncto S ducatur recta SK conſtituens angulum SKB æqualem Dif- 
ferentiæ datorum SNL, OQB ; & ſi ad punctum K conſtituatur angu— 
lus SKR æqualis dato SNL erit KR alia Curyvæ Aſſymptotos; quippe 
accedat Q ad K, & coincidet CO cum KR, adcoque ob angulos SKR, 
SN xzquales, in hoc caſu erit CO parallela re&tz NL; proinde punẽtum 
curvæ P, quod determinatur concurſu rectarum CO & NL abibit in in- 
finitum, & recta KR curvam tanget ad diſtantiam infinitam. 3. Ducatur 
Sk parallela datæ BQ occurrens rectæ AN in F, fit angulus SFI=SNL 
& ſumatur in recta SF Linea FU ad FI, ut eſt IG ad IK; fi per pun- 
cum U ducatur- UL parallsJa recta Fl, ea erit tertia curvæ Aſſympto- 
tos. Curvarum ſpecies quiz hac ratione deſeribi poſſunt ſunt 55, 58, 
59, 60; quarum Figuras delincatas in ſæpe citato D. Neutoni Tractatu 
cernere licet. | | 

12. Cæteris manentibus ut in præcedenti caſu fit angulus SBT=SNL 
—OQB, & coincident puncta K & B, adeoque etiam duæ Aſſymptoti 
coincident quæ per ea puncta tranſibant; Curva vero evadit ea quæ 
D. Neutono Hyperboliſmus Parabolæ appellatur, qua quatuor habet crura 
infinita Hyperbolica ad Aſſymptotos EB & UL; eſtque ſpeciei 64, fi di- 
ametro careat, ſed /peciei 65, ſi diametrum habeat. 

13. Duo denique ſunt caſus in quibus Hy perboliſmus migrat in Para- 
bolam Carteſianam, vel ſcil. ſi AN & BQ {int parallelæ, vel ft angulus 
SNL = OQB: In priori caſu coeunt puncta B & F & in inſinitum una 
abeunt, unde crura hyperbolica quæ 5 ad Aſſymptotos EB, bike in 

2 uo 


— — — 
— ... — Ren — 


3 * 


eritque UK = -NU, & SK = aexaFb—ferxds e be—febxc—ig 
= NU, 


20 Deſcriptio Linearum 


duo migrant Parabolica z in poſteriori coincidunt Aſſymptoti KR, UL, 


& una in infinitum abeunt, eorumque crura evadunt parabolica; in utro- 
que curva eſt /peczez 66. 

Coro. V. Curva ſemper tranſit per punctum A; nam cum N perve- 
nit ad A tum Q ſemper accedit ad B & CO ad poſitionem CA, unde CO 
occurret NP im A, earum vero Occurſu Curve puncta determinantur. 


OC A ER AD ALAN NULL Ng Ng N AN Nu N Ni Ng N N N N Ng N Ni Ni Ni N, Ni pit Ni Ni N. 
FFF 


PRO P. VIII. PROBLEM A. 
Aquationes Curvarum ad aliquam quatuor Neutoniana- 
rum reducere atquè made ſpeciem Curue detegere. 


1 TT AÆquatio curvæ poſſit obtineri quæ ad aliquam quatuor D. Neu- 
U toni facile reduci poterit ea indaganda eſt ad Ordinatas alicui Aſ- 
ſymptotwn parallelas; quod ad Ordinatas tertiæ Aſſymptoto, Corel. 2. 
Prop. præcedentis determinatz, parallelas ſequenti fit calculo. 

Sit SG (Fig. 22.) parallela rectæ AN occurrens datæ rectæ BQ in 


G, & ducatur CG; ea erit Aſſymptoto curve parallela, Ducatur CB 
angulum ACB conſtituens æqualem dato SNP; huic parallela fit SD, 


& rectæ CG parallelæ ducantur PM, QT, Ne; dicatur CB D, CG 
= d, SD Sa, CD Se, eritque DG = 4 -c; fit AG Se, PM =, 


CM=x. Quoniam PM : CM :: QT : CT & BT: QT :: BC: 


CG ::5 : 4 erit QT SUBD, 4 Ra c—d xby N 
Bd x 


dx + by Ax +by 
cr atque SR (= CT +8D) S AL. Sed 
5 ＋ by ax E by - 
SR: RQ :: SU : NU, atque fi ducatur No parallela rectæ SD erit 
(ob ſimilia Triangula ANo, SDG) Ao : No (= UD) :: GD : SD 


: d - : 4 :: AG— N: Su; unde calculo obvio prodibit NU 


de N cdæ + xh. 5 
4 d' abe x = 

Ducatur NK conſtituens angulum NKU NUK = SNP, & da- 
bitur angulus KNU, adeoque ratio NU ad UK; que fit ut a ad 


— P 


oak de Xx 


Sed 


„ 


<1 
this 


©; 4 


Tertii Ordinis 81 


＋ 4*b A m prodibit ae Xa Ib fer X dx | a* be — febX (— Ny: 
ae * c N- -N : mx m — aeXidxbXe —dXy: 

ae X d am x Ha bey — mx*; unde ducendo media & ex- 
trema in ſe mutuo & terminos in ordinem redigendo prodit æquatio hæc 


XY ſc xn Cad, + fbxe—dxme*y + nab x LN. 


Cen — aecd X acd 8 + em — 2accd x ab xc A 
—— ad xa - fed x an Rx aA de X a ＋ 4 _-fcda? be bs 
-A de Xa—\-b* —4 f cea* Xa -b —aedX aP m, a b—fbxc—d ) 


— bare N -d. - a4 bie ＋ a? b*of X c -A =0. 


In hac Æquatione deeſt Terminus y*quoniam Ordinatæ parallelæ ſunt 
curvæ Aſſymptoto; ſed ut æquatio hæc ad formam Neutonianam reduca- 
tur reſtat adhuc ut termini x9, xy, y* exterminentur. 


Caſus I. Ducatur BH parallelæ rectæ CG, ſumatur BH ad BC, ut 


a*bh—iad + bc — d ad z2ab Xd—c ducatur recta CH, ad quam pro- 
ducatur PM, donec ei occurrat in N, atque in /Equatione ad axem CH 
(fi nunc CN = x & PN = y) deprehendemus duos tantum reperiri 


terminos trium dimenſionum x? & xy ſed x?*y evaneſcere. 


Sit a*b —acd + fb Xc my, i & 2ab x4 — = * ) ſintque tres 


rectæ BH, BC, CH tribus 15 „ g proportionales eritque CM (x) 


= atque PM (9) =PN NMS . Proinde in æquatione 


generali modi inveſtigata loco x & / ſubſtituantur illi valores & prodi- 
bit æquatio in qua deerit terminus x h. Æquatio prius reperta eſt hu 
jus forme fi h ſcribatur pro ad X @ , — fed, &c. 


mbs* ＋ mix y _ Y + 4% + a + A =0 pro * ſcribatur 


ks 


2 


— —_——— 88 _— — as A 
— — * p "— - 
_— ——— — — Ye 


>= — 


— 


85 
Fla ER © 


22 Deſeriptio Linearum 


= & pro q ejus valor ) — X & prodibit nb „ * 


* 


Is 0 
+ 2 0 ee 9 + ny* =0. 
Dein pro  ſcribas x — 5 & pro) ſcribe y — de hc atque ter- 


mini xy & y* evaneſcent, & æquatio prodibit pura Neutoniana hujuſmodi. 


1 B 6ni*k — 2hk* 
X — 241. — k — — —— 3 — - 
7 ＋ . 2 F mk 
＋ 20ki — 29k* — 215 
1 | mkyg 
Hæc æquatio ſolis Coefficientibus ab ea differt D. Neutoni xy* ＋ ey 
= a be: box d. . 
Caſ. II. Quod fi in æquatione imprimis inventa ſint Termini x=, 
* Y at deſit xy*, alia methodo opus eſt ut Æquatio ad Newtonianas re- 
duci poſſit. Sit æquatio inveſtigata mbx* | mix* f . ＋ uxy + ny* o, 


3 ö f 1 „ 
ſume BH : BC :: : i & æquatio prodibit hujus formæ — & 
5 15 : . | . | L 1 . g 

+ — x*y &c. ubi terminus x*cvaneſcit & manet tantum terminus x? y 


x? 


trium dimenſionum; unde ad formam Neutonianam reducta æquatio erit 


hujuſmodi x) + ey = bx* 4- cx 4-9, atque hæc eſt forma æquationum 
quoties BQ tranſit per D, nam in eo caſu 4 , & & =2abxXd - = o; 


adeoque terminus — xy* evaneſcit. Cum vero coincidant G & D, erit 
2 


AH parallela rectæ SD, adeoque per Corol. 4. Prop. 7. u. 10. cur- 
va erit Hyperbolo-Parabolica; quæ probe conſentiunt cum S. 21 & 22 
Enumerationis Neutoni, ubi oſtendit curvas eas eſſe Hyperbolo-Parabolicas 
quæ hac æquatione xy? | ey = bx* + cx d deſignantur. 
Caf. III: Quod fi Terminorum x*y & &) uterque deſit, & æquatio 
fit hujus forme h + gx* + uxy + vy* = 0; ſumarur BH ad BC, ur 
u ad zn, & terminus xy exterminabitur; atq; æquatio induit hanc formam, 


A 


2 | : . 
7 ——— ny =0, quæ eſt æquatio formæ Caſus 


tertii apud Neutonum, atque Curvarum eſt Parabolicarum /pecierum 68, 
69 vel 70. wes 


Caſ. IV. 


- 25 . 90 OR 
2 DO p 3 a LIVES IE Se 
n . 333 ] ĩàĩùÜBd Ee EIA ods 
7 ͤ TTV Pr ION OD 
- 2 +3 re 778 2 2 


8 
* 
1 
a 
we 
gh 
1 
iy 
* 
F 
> 
Ts, 
2 
> 
M7 
. 
* 
45 
4 
4 


e 


e 
+>" 


Tertii Ordinis. 23 

Caf, IV. Quod fi Punctum duplex C abeat in infinitum, & Co mo- 

veatur ſibi ſemper parallela Fi. 21.) Æquatio ad Ordinatas parallelas Rectæ 

EB (quæ per Coro. 4. Prop. 7. eſt Curvæ Aſſymptotos) erit hujus formæ. 

Ax + BT ＋ CX TDS - Exy +F | 

ubi deſunt Termini v, 5, y*, & proinde fi abſciſſa ſumatur in Aſ- 

1 ſymptoto UL, evaneſcet etiam Terminus Ax*, & æquatio Curve re- 

1 duci poterit ad formam xy + ey = x 1-4: Quod fi coincidant K & 
'Y B æquatio ad formam D. Neutoni reducta crit xy* & ey = d. 

Ca/. V. Denique ſi Punctum duplex fir ad Diſtantiam infinitam, ut 
in præcedenti Caſu, coincidant vero rectæ SK & SF, vel rectæ SB &. 
SF, æquatio Curvæ erit formæ 
* Ax + But + Cx + D = x9 F. 
= que ad /Equationem Caſus 1. D. Neutoni loco x ſcribendo x — F facile 
reducitur. 


Schol. Quoniam Contemplationes cujuſcunque generis ſi maneant ni- 


_ 2 n r 
os 8 * 


4 mium generales, tandem tædio fiunt, ne hoc vitio laboret noſtra Curva- 
rum Conſideratio, particulares aliquas Conſtructiones, ex generali Prop, 7. 
3 deductas, ſimpliciorum tertii Ordinis Linearum ſubjungere lubet; quarum- 


demonſtrationes cuivis in Locorum Conſtructione vel leviter verſato ſatis 
Obviæ erunt. 

Ex. 1. Sit angulus SNP (Fig. 23.) rectus, & ſint Lineæ AN, B 
perpendiculares in C; ponantur puncta A & B inter C & S; ſitque 
CB = 5, SA=c, CS Sa, PM= 5, M=, eritque 


1 1 cby* 4 „ 
ae. Unde fi ft CD ad CB, 
2 ut SA ad SB, & DM dicatur x, prodibit æquatio formæ Neutoniane, . 
4 JJ! many rar SENT 1 
3 / b * * 3 T a—b Amb * 
A bc *Xa—c 6 0 60 cb 5 
Z ＋ eee Cujus radices ſi y o erunt yy gy, oy + . —4 
3 — — 7 —4, Proinde cum radices majores ſint æquales quoties SA". 


eſt minor SC, & tertia ejuſdem ſigni quoties SB eſt minor SA, mani- 

feſtum eſt in hoc caſu curvam deſcribi /pecie; undecime, atque tres habere 

Aſſymptotos, ſex crura Hyperbolica, diametrum CD atque Nodum in C. 
Aſſymptoton una eſt perpendicularis in CS ad punctum D, reliquz duæ 
| ſunt parallelz rectæ CQ quando angulus CQS evadit rectus, earumque 
1 Occurſus cum CS facile determinari poteſt ex Corol. 2. Prop. 7. v. Fig. 
Curvæ apud Neutonum. 


3 1 ; f 1117 


” * be 
$ © 0s 
28 
ny - 
4 


— 
— 
— 


24 Deſcriptio Linearum 


II. Coincidat C cum A, 1. e. tranſoat rea AN per C3 eritque 


2 COD ERIE nur Gon Te days 
3 e 


æquatio Curvæ hujuſmodi quoniam c = 4. x5? „ 3 zax 
+ __ cujus radices ſunt ab . ab 5 ab . Unde cum 


„  -<b*? Ab 4—5 4—5 
radices ſint omnes æquales, Hyperbola fit Caſpidata in C, atque /peciet 
duodecime. 7 | — 

III. Sit C inter S & A, ſeu fir SA major SC, & æquatio eadem erit 
ac in primo exemplo & radices eædem; cum vero nunc c fit major 
cb 


3 5 
4 majorem quam 


quam 4 manifeſtum eſt 
| 3 | Amb 


» adeoque 


radices duas minores nunc eſſe æquales, & proinde curvam eſſe ſpecies 


decime tertiæ atque Punctatam eſſe in C. Eadem erit ſpecies Curve 


deſcriptz cum AN verſus contrarias partes abit, & S intercedit punctis 


C & A. | 


IV. Sint rectæ AN & BQ inter C & 8, ſitque SA minor quam 
SB, atque CD minor erit quam CB; & quoniam a — b (= SB) major 


eſt quam SA (Sc) erit @ major quam „adeoque radix 


{int æquales, & tertia ſig- 


Gb 
cb ch 
3 Rod | 
ni contrarii, figura erit Craciformis atque ſpeciei 18 vel 19. 


negativa erit. Unde cum duæ 


v. Quod 6 45 . — . — 5 hn — Xe * 
bebit tres diametros atque erit /peciei 30. 
VI. Hujuſque ſuppoſuimus BQ poni inter C & s; at fi ad alias 


Curva ha- 


partes vel puncti C vel S transferatur, Curva unicam habebit Aſſymp- 
toton perpendicularem ipſi CS ad punctum D, ita ut CD : CB : : SA 


SB; æquatio reducta ad formam D. Neutoni in hoc caſu eſt hujuſmodi 


E — 5 X* -- 


* e >< 
Cujus Radices ſunt 1 


Signa 


o 
* 
- 
2 1 £ 
R 
. » 
8 
6 
* 
. 7 
5 
2 
© 5 
- 
. 
. 
» 
bd „ 
4 
WW SFS ͤ e e 5 Es s > 5 . ; a 1 r 
ö F A 5 . s "IL N N 


s - a x * ls] 4 Da tj ©» wh 3 ——— 


2 — 


Tiertii Ordinis. 25 


Signa ſuperiora obtinent cum AN ponitur ad alias partes puncti S quam 


eſt C; Terminus x eſt negativus & deeſt terminus , adeoque curve 


pertinent ad Hyperbolas defectivas diametrum habentes S. 20. in Enu- 
meratione Neuioniana; quare ſi A fit inter C & S (quoniam in eo caſu 
00 . 


a eſt major quam c, adeoque ,— +a — major quam 8 patet 
ö 2 | 
duas radices minores fore æquales & tertiam ejuſdem ſigni, adeoque cur- 


vam eſſe ſpeciei Quadrageſimæ tertie, quæque Nodata eſt in C & Ovalem 
habet inter C & A jacentem. | 


VII. Sit AN ad alias partes puncti S quam eſt C; eruntque radices 
omnes ejuſdem ſigni ft SA fit major SB; ſed cum 2 a major ſit quam 
ch 


33 


inde curvam eſſe ſpecies Quadrageſimæ tertiæ, & Hyperbolam eſſe 
Conchoidalem habentem Punctum Conjugatum in C ad Convexitatem 
ſuam. 


— 2, patet in hoc caſu duas majores radices æquari, & pro- 


VIII. Quod fi SB major fit SA, adeoque — minor quam a, pa- 


Doll 


8 : cb ac 
tet radicem tertiam — — 2— <= 


inde in hoc caſu radices duæ ſunt æquales, & tertia ſigni contrarii, adeo- 


que curva erit ſpeciei Quadrageſimæ quartz, & habebit Punctum Conjuga- 
tum ad Concavitatem ſuam. 


I Quod ſi denique AN tranſeat per C, radices omnes 225 = 
a 


pes erunt æquales, & curva fit Cuſpidata in C, atque evadit Ciſois 


veterum. Quæ ſpecies eſt Quadrageſima ſecunda. 


X. Hucuſque eas ſolas curvas deſcripſimus quæ diametrum habent; a- 
liæ vero quæ diametris carent facillime deſcribuntur, fi recta BQ ut 
prius maneat perpendicularis in CS, recta vero (Fig. 24.) AN ei ſit 
parallela. Sit CB = b, BA c, CS=a, PM ), CM = x, & æ- 


quatio curvæ prodibit facili calculo hujus forme 54*y* -|b*cy* =athxbx* y 


+ ab x XH N= xx* quæ ad formam Neutonianam fic reduci 
poteſt. Ad F punctum medium inter C & S erigatur FK normalis in 


— 4 reddi negativam; pro- 


CS; atque in ea ſumatur FD quz fit ad BA ut SB ad CB; ducatur per 


D recta DH parallela rectæ CS, & producatur PM ad R; dicatur 
nunc DR = y, PR = x, & æquatio prodibit forma Neutonianæ 


* * 


26 Deſeriptio Linearum 


„ I @—bxa __bx* 3 —b : 1. 3X4 bc : 
n r 9 


EF 
5 5 ö ze — z xa - c? 
Inveſtigentur radices æquationis(. X X += IR 
| Ah 4—5 5 b 
EI bs i a — XC a -N C alt- 
+ 2 ＋ : . ; 45 X x 


a - Nc Fa 3 — 5 Pn 
ah —=—— =0 ſecundum præcepta D. Neutoni; & prodibunt 


„ — — 2 — — 
- ; 0 2 5 : 3 F » Ve —-. 


Si BA minor fit quam =, ſeu c minor quam =, & ſimul ſi (ducto ſe- 


micirculo ſuper CS rectam AN ſecante in E, & perpendiculo EG in CS) 
ſit CG major CB, erunt omnes radices reales; atque duæ æquales crunt 
vel majores reliquis duabus vel 1is utriſque minores, & curva con- 
ſtabit ex tribus Hyperbolis cum Ovali; eritque Nodata in C & ſpeciei 
ecunde. _ ” | 
5 XI. Quod ſi CG = CB, & Circulus ſuper diametrum CS deſcriptus 
tranſeat per A, curva non erit Linea Ordinis tertii ſed Conica ſectio; 
nam tunc fir CB : BA:: BA: SB & + b* = ab adeoque eft 
x c* — Ab = 0 & radices duæ ultimæ evadunt quoque æquales. 

XII. Quod fi fit CB major CG, neque tamen æqualis rectæ SG, 


erit c* + minor ab adeoque c —ab + b* evader Quantitas negativa 


cujus radix eſt impoſſibilis; proinde duæ ultimæ radices fiunr impoſſi- 
biles, aliæ vero duæ ſunt æquales, adeoque figura erit Cruciformis ſpecies 
ſeptimæ vel ofiave. 


a 
- 


* 22ND 
& Vc —ab D = = —þ ; adeoque radices erunt © == 4 
2 =, —— 1 - Et proinde tres radices æquantur, adeoque 


curva evadit Cuſpidata in C ſpeciei tertiæ. 


XIV. St 


XIII. Quod fi BA = = ſeu c — erit 6 —2＋A＋. == -ab-]-h?, 


N 


. 
— 
< 
* 
4 „ 
- 
— 
* 
5 
* 
4 
2 
— 
. 
© 
. 
* bn - 
” 
* 
— * 
> 
. 
. = "A "24 
* 5 j * - _ N e *. 
—_ unn PO e e : - - ABER nary ot a 2 eee e IE OOTY 
* 5 * 8 < 5 bo 3 2 4 2 * - * — 8 x * ox > — . 8 7 
” © 


r * 4 
2 — ** 


— ̃᷑ᷣF— IAN W * 
7 N. ON - 


Tertu Ordinis. 27 
XIV. Si vero BA fit major quam =, radices mediæ erunt aquales, 
& figura conſtabit ex tribus Hyperbolis ut prius cum Puncto conjugato in 


C; eritque curva Hpeciei quartæ. 


XV. Hucuſque ſuppoſuimus rectam BQ poni inter C & S: Quod fi 
transferatur ad alias partes puncti C quam eſt 8, vel ad alias partes puncti 
S quam eſt C; curva evadet Hyperbola defectiva unicam habens Aſſymp- 
roton, & duo tantum crura Hyperbolica juxta Aſſymptoton illam in pla- 


gas oppoſitas progredientia. Quod ſi BA fir minor quam LE, curva 
2 | 


habebit Nodum in C cum Ovali, eritque pcie 34. 


f _- RR 
: * — : 1 3 e 2 5 ER =” 2 3 In age ret, Ie 
X x * 24 5 8 s . EG Too Wide uz N q N 
3 : f II I CT SS IB Ie go ih I PI ow on I ; 
EI ene gry, Te hg n W <6... 2 „ 7 2 "4 MT oft IE - - POR og HEY, * A 
5 „ 3 „ eee EO Gan as ben, alla ** 1 7 : 
x 5 . * 8 . 


XVI. Quod ſi BA = = curva evadet Cuſpidata in C atque ſpe— 
ciei 35. 5 
XVII. Denique ſi in hoc caſu BA ſit major quam <2; curva habebit 


Punctum conjugatum in C evaneſcente nodo & ovali; eritque curva be- 


JF ciei 36. Hæc omnia vel ex Cl. Neutoni Tractatu, vel ex Corol. 4. Prop. 7. 

A facile deducuntur. | | 

4 Curvas omnes pure Hyperbolicas tertii Ordinis quæ punctum duplex 

4 habent ad diſtantiam finitam deſcripſimus. Reſtant curvæ Hyperbolo- 
| $ Parabolicæ & pure Parabolicæ, quarum Deſcriptiones facillimæ ex me- 

thodo ipſius Prop. 7. deduci poſſunt. 

4 XVIII. Sint in Prop. 7. (Fig. 27) Anguli SNP, FCO recti; ſitque 


B perpendicularis in CS, & AN cidem parallela; ſit CB = , BA Sc, 
C. Sa, PM =), CM=-x, & xquatio curvæ erit 


bx*y a- x — . — 2 2 . Sumatur igitur che, 
atque DF ad BA, ut eſt BC ad CS, & æquatio ad axem FB (ſi F ſu 


matur principium abſciſſæ) erit formæ Neutonianæ 


— 


a —bYxbc , OI? NC Om 
gx + — X 3 — 7 X * — 7 —— 


X Xx 
55 2 ab 7 . 
xz 1 — b*X © PSOne 7. : 3 i 
3 * 2 : Xx cv ** ONO Radices vero Ægquationis cubicæ 
2 4 | 3 | | 8 
1 24 4 X x? 4 4% X x 4 ſecundum præcepta D. 
1 ab an 2 18 4a ; 1 
* Neutoni ſunt inveſtiganda, & prodeunt quidem =, — x Unde ſi BA 


28 Deſcriptio Linearum 
ſit minor quam = curva habebit Nodum in C eritque ſpeciei Quadra- 
geſimæ ſeptime. 

XIX. Quod fi BA — rern: radices tres æquales iph 3 & proinde 
curva evadit Cuſpidata in C ſpeciei Quadrageſimæ octavæ. 

XX. Si vero BA major fit quam —— radices xquales 5 - fiunt 
majores tertia, & curva fit Punfata ſpeciei Duadrageſime none. 

XXI. Sint nunc AN & BQ parallels ſibi mutuo, atque rectæ CS 
perpendiculares; ſitq; CB=b, SA=: & CS=2 eritq; fi CM=s, PM=y 


7 = * * — .. Proinde fi ſumatur CD ad CB, 
a | : 


aXa-b | 
ut SA ad CS, & D it principium abſciſſæ, ſeu DM=x. Mquatio 
5 * „ 
prodibit formæ D. Neutoni xy = x * A—CX Xx 
105 a- a? 


þb* 4.3 . | . 3 28427 ca 
125 ny cumque æquationis x — = tens” 


1 4 3 | | = a | 

. 5 N ö 
45 = — radices duæ Dn, COERCE tos æqua- 
a a 


les, patet curvam eſſe ſpeciei Quadrageſime tertiæ & Hyperbolo-Parabo- 
licas lineas ſe mutuo decuſſare ad morem Crucis in C. 

XXII. Sint porro rectz AN & BQ (Fig. 26.) parallelæ ipſi CS; ſit- 
que CB = 2CA, CB =, CS Sa, atque æquatio curvæ fi CM = x, 
—.— 3 7 XX. Unde ſi CB fit minor quam 
CS curva habebit Nodum in C cum Ovali eritque Parabola /peciez 68. 


XXIII. Quod fi CB=CS, æquatio curvæ erit y* = — unde cur- 


PM =y crit 15 = 


va evadit Cujſpidata in C atque ipſa eſt Parabola Neiliana ſeu ſemicubica 
{peciet 70. - 

XXIV. Si vero CB major fit quam CS, curva erit Punfata in C 
ſpeciei Sexageſime none. | 
Hæ ſimpliciſſimæ ſunt Conſtructiones omnium fere Linearum tertii 
Ordinis, quæ aliquod punctum duplex habent; atque ſingulæ duplici ra- 
tione demonſtrantur; vel ex Corol. 4. Prop. 8. vel ex ipſis D. Neutoni 
Characteribus quibus curvarum ſpecies diſcriminavit. 

Schol. II. Simili ratione qua in hac Prop. Curvarum Prop. pg. & 8. 
deſcriptarum Reductionem ad Neutonianas demonſtravimus, oſtendi po- 


reſt æquationes omnes trium dimenſionum, ad quatuor Neutonianas re- 


2 duci 


IM 
+ 


; . ho " 4 „ n 5 2 
3 TR ee BP age ants. CL 4 JE 8 
I 8 e ha SIE FFG . . - 
. EEO ant ( os tes, 3 5 GN If IV Ter : OY eg Hi Zo 2 nn AE : 
oe He? FO LO In. r a VAR RR Cc. 


5 : 1 4 2 
* S* «1 " "2 e K 15 7 * 7 
— Wit BEA IJ to 1 SS — e 3 e 5 2 Y 


Tertii Ordinis. 29 
duci poſſe. Quippe omnis Linea tertii Ordinis aliquam habet Aſſymp— 


toton, & in ejus æquatione ordinatæ illi Aſſymptoto parallelæ ad duas 
tantum dimenſiones aſcendere poſſunt; omnes proinde æquationes Linea- 
rum tertii Ordinis ad hanc poſſunt reduci ax N c ＋ dx? 
Pe Y + gs + e o, terminus vero cx*y exterminari poteſt 
ut in Propoſitione docuimus; termini quoque ex), fy*, facile exter- 
minantur ut in pluribus exemplis oſtendimus, unde manebunt tantum ter- 
mini x), y, x*, x*, x, & “; atque nonnunquam loco xy, y habebi- 


mus tantum 5, xy vel ipſum q; ut ſatis eſt manifeſtum. 


92592 950g 9592.92 95.920. .. dN N K e e Sos 


PROP. IX. 


Hin Prop. 5. quando crus NL anguli SNP tranſit per 
punttum duplex C, crus CO anguli FCO fimul co- 
incidat cum NP; curva deſcripta non erit Linea ter- 


ri: Ordins ſed Sectio Conica. 


X Prop. 7. manifeſtum eſt omnes curvas quas hac Prop. aſſerimus eſſe 
E Conicas ſectiones, eas eſſe quæ (Fig. 27.) ſecundum Prop. 7. faci- 
lius deſcribuntur, fi circulus SQC (habens angulum SNL inſcriptum) 
& rectæ BQ, AN in eodem puncto D concurrant. Eas vero ſeCtiones 
eſſe Conicas ſic demonſtratur. | 

Jungatur CD, ſint PM, QT, CB parallels & DCB = SNL, atque 
ad rectam CD inveſtigetur æquatio curve, dicatur CB , CA Dc, 


CD d, DS = 4, PM =, CM=-x, eritque TQ = 5 — 
hu 


CTS. Sed AU.: UN:: : 4& DT : SD+QT (N) 


ay + bx 
:: SH (=a+c — AU): NH=CD— NU, unde prodit NH 
3 Sit NHR = NRH ſitque NH : BR :: 
4% ab — M + abs e 
a : f, atque erit SR ee e eee Similia vero ſunt 
; 7 a A -& Ay d-abx 
triangula RN & NZP, adeoque SR : NR:: NZ : PZ. Unde 
ed a+byxy b4a*bx — fd: ad-b=cxdjx I abx* bc —bxd*y 
— aabx :: day: a c Xx aby dcay. Proinde TEE 
/ 408 


| 
| 
0 
: 
; 


des R SNN 


30 Deſcriptio Linearum 


+ a*bx — fd'y : a b—=cxdyx+abs* FS —bxd'y T adbæx :: dia: 
a ＋ — cxdy+abx—dca. Unde ducendo media & extrema in fe mu- 
tuo prodibit æquatio duarum tantum dimenſionum; quæ proinde erit ad 
ſectionem Conicam. 

Corol. I. Punctum C nunc evadit ſimplex, & cum curva non tranſeat 
per 8, hinc poſtea hæc Deſcriptio erit nobis uſui, cum ſectio Conica eſt 
deſcribenda per punctum C, quæ non tranſit per 8; nam in deſcriptione 
Prop. 1. curva tranſit per utrumque punctum. 

Corol. II. Quoniam in Conſtructione hujus Prop. BQ neceſſario ſem- 
er circulo occurrat bis vel eum contingat, patet hac ratione eas ſolas 
ectiones Conicas deſcribi quæ crura habent infinita; Ovales enim hac ra- 

tione deſcribi nequeunt. 1 


Satis explicuimus methodum Prop. 7. qua Lineæ tertii Ordinis punctum 


duplex habentes deſcribi poſſunt; reſtant duæ aliæ methodi eaſdem deli- 


neandi quas pauciſſimis explicabimus. 


SD DDD ere ee eee ee ee ee SS eee 


„„ 


Cateris manentibus ut in Prop. 5. ducatur Concurſus 


crurum NL & CF (Fig. 28.) per rectam infinitam 


BQ ao Concurſum crurum CO & SN deſcripturum 
Lineam teriu Ordinis. 


Int PM, NU, QK Normales in CS, atque anguli FHC, PRC æ- 
quales ſibi mutuo atque angulo dato FCO, angulus vero NTS=SNL, 

& fit Sg perpendicularis in NT ac Qe parallela CS, dicatur recta 
CS=a, CB — b, SA — 87 PM =), SM = x, CM=a—x; fit ſinus 
anguli FCO ad coſinum ut 4 ad a; fit BR ad KQ, ut a ad e, & Au ad 
Nu ut a ad e. His poſitis eadem plane ratione atque in Prop. 7. deprehen- 


33 CK bac xa - 
dc Fa ο -N -d. d CA Y -a -d. -; 


0 


cumque SM : PM:: SU: NU; & ſt S 2g, erit NU 


2 7 


= & SUS. . Sed ſimilia ſunt triangula SgN & NeQ, 


2 e 2 
* 1 of 
adeoque 


2 5 % 8 2 x TIRE on oxy owt Od Ys 
8 >> fa, 0% =” rebate RS. 25 „ I A 2 2 > Gs 4 1s : 
NN A r PARTY e EA DEE RR - 


SN ee et ret POT, Doo 7 
e Sent r 


Tieriii Ordinis. 31 
adeoque Sg : N:: Ne : Qs, & ſimilia quoque ſunt triangula SgT & 
Ng, adeoque Sg : gN :: ST: Ny; unde ST : Ny : : Ne: Qe. Sed ST 
=SU-+UT= (£ fit ſinus anguli SNP ad coſinum ut à ad f) sb, 


— — 


ENR gx CAN e = ANY — box ay ＋ da — , 


dc a XJ aN AN 2 
& Qe= a+ CR — SU. Unde deducitur hæc Analogia 
x +2 „ g +a Xy? g X Cd Xx Ic. 
e 


belxa—axx—bdxa—=x x7 © hepa xa Xe FO xy 


e — 
— 4 * = IX = e bao Peg xy. 


n « 


4 7 — — —— — — 


. cd X amnx Xue 


lac XA XN 


i — bac ＋ ga- X - & G (coefficiens Termini x) SD. 


Cum vero in hac æquatione x & ) ad tres tantum aſcendant dimenſio- 
nes, manifeſtum eit curvam eſſe Lineam Ordinis tertii, & in tribus pun- 
Etis rectà poſſe ſecari. 3 
Coro] 1. Curva habet punctum duplex in S; quippe evaneſcente 3, 
æquatio evadit hujus formæ Dx? + Gx* =0; ſed G =aD, adeoque 
æquationis tres radices ſunt o, o, a. Unde curva tranſit per 8 bis & ſe- 
mel per C; aſt in nullo alio puncto præter hæc duo curva ſecat re- 
ctam CS. 5 V 

Corol. II. Sit angulus DCS = FCO, & ſuper DS deſcribatur Arcus 
Circuli cui inſcribi poſſit datus angulus SNP; fi recta AN huic circulo 
bis occurrat, Curva habebit . duplex & Nodum in 8; quod ſi 


recta AN circulum contingat Ovalis evaneſcet & curva evadet Cu/pidata 
in 


— 3 at" FEA CAE: - 
—— ae Pu — 


32 Deſcriptio Linearum 
in 8; quod ſi Recta AN tota ponatur extra circulum curva habebit Pun- 
ctum conjugatum in S abſque nodo, Cuſpide vel Ovali. 

Coro]. III. Quod fi curva deſcribi ſupponatur concurſu cruris CO 
cum SR angulum datum RSN conſtituente cum SN, curva ejuſdem 
Ordinis deſcribetur ac in Prop. quippe hæc conſtructio ad eam Pro- 


poſitionis reduci poteſt, cum SR perpetuo occurrat rectæ NP in puncto 
rectæ RX, ex Lemmate 1. Poſitione datæ, & per idem Lemma angulus 


SRP detur. 


Corol. IV. Concurrant rectæ BQ & AN (Fig. 29.) in E, & ducatur 


EG ita ut GEB= SNL, & ſumatur SGH æqualis ipſi BEN, atque cæ- 


teris manentibus ut in Prop. ſubſtituatur EG loco rectæ AN, & angulus 


80H loco anguli SNL, eademque plane curva deſcribetur quæ in Pro- 


poſitione. Concurrant enim rectæ GH & NL in T, atque angulus GT N 
= SGH — SNT = BEN — BEG = GEN, adeoque circulus per 


G, N, E ductus tranſibit per T; ſed ex hypotheſi QEG = QNG, a- 


deoque circulus per G, N, E ductus tranſibit per Q: ſed Q, T, N ſunt 


puncta in eadem recta Linea, adeoque Q & I coincidunt, proinde BT, 


BQ atque CT ac CQ etiam coincidunt, unde eadem curva deſcribe- 
tur fi angulus SGT percurrat rectam EG, vel ft SNL percurrat re- 
Ctam AN. 

Corol. V. Jungatur SE (Fig. 30.) & ſi angulus SNL æqualis fit an- 
gulo SEB, curva non erit Linea tertii Ordinis ſed ſectio Conica. Quip- 
pe cum SEQ — SNQ, circulus per S, N, E deſcriptus tranſibit per 
Q, & proinde angulus QSN dabitur; nam æqualis erit ſupplemento 
anguli BEN ad duos rectos. Duo igitur anguli dati QSN, QCO re— 
volyuntur circa data puncta C & S, & crurum CQ , SQ concurſus du- 


citur per rectam BE; proinde per Prop. 1. crurum CO & SN concur- 
ſus deſcribet ſectionem Conicam. 


Co RS Eo Ro Ro ce 


| PROP. XI. 


Cæteris manentibus ut in Prop. X. ſi CP & SP fimul 
cCoincidaut cum CS curva evadet ſeclio Comca. 
Oincidat SP cum SC, (Fig. 31.) & perveniat N ad A, dico fi eo- 
dem tempore coincidat CO cum CS Lineam deſcribi ſecundi Or- 
diniss Ducatur CK normalis ad CS, & producatur NQ donec ei oc- 
currat in K; fit H punctum ubi BQ eidem normali occurrit, atque an- 
gulus SNL = GQK, FCO = CQG atque CBQ = GQH. Proinde 


iiſdem 


— 
. 


_— ———  — — 


— — 


— — 


— 


Tiertii Ordinis. 33 
jiſdem retentis ſymbolis ac in Prop. præcedente, erit QG : GH :: a : 6, 
&QG : GC:: 4: d & Q: GK :: F: a; adeoque GH : GC: : 
c: d; & CH: GC :: d—c: 4; ſimiliter GK: GC:: a* : df, & 
CK : GC :: a* + df : df, & proinde CH : CK :: d -f: a + df. 
Porro CH: CB :: c: 2, & CH ==, ſimiliter CK: CA ::8a: 7, 
& CK =$—IX7 3 Unde g D : a + df : dxf & Rg —axa*X 
d — = + dfxbc,adeoque fedb E ba*c4-a* c—a*d—ga*Xc—d = 0. 
Cum vero hæc ipſa Quantitas ſit coefficiens termini x*, & ea diviſa per 4 
ſit coefficiens termini x, manifeſtum eſt duos hos Terminos evaneſcere, 
& proinde nullum in æquatione Terminum manere in quo non reperia- 


tur y; proinde omnes æquationis Termini per y dividantur, & æ- 


quatio manebit duarum tantum dimenſionum, adeoque erit ad Conicam 
ſectionem. | : 

Corol. I. Proinde ſi ad punctum A ſuper recta SA, conſtituatur an- 
gulus SNK = SNL, & ad punctum C ſuper eadem recta angulus ACE 
= FCO, ſi NK & EC in codem pancto Q occurrant rectæ BQ, Li- 
nea deſcripta erit ſectio Conica. 
Corol. II. Hine ft anguli SNL, FCO (Fig. 32.) conficiant duos rectos, 
& fi angulus ABQ FCO, deſcribetur ſectio Conica; atque fi anguli 
SNL, FCO ſint recti, & BQ fit perpendicularis in CS, Linea deſcripta 
erit ſectio Conica non tertii Ordinis. 


Corol. III. Curva deſcripta tranſit ſemel per 8, ſed pundtum C non 
attingit. ; 


Ad Aſſymptotos curvarum Prop. 10. deſcriptarum inveſtigandas (quod 


Problema altioris eſt generis quam Prop. 6.) Lemma 2. eſt pramit- 
tendum. 


LEMMA II. 


Dentur puncta C & 8 (Fig. 33.) recta AN, & anguli SNL, CPN; 
percurrat punctum angulare N rectam AN, & punttum P interea deſcri- 
bet Hyperbolam defectivam tertii Ordinis, que unicam habet Aſſymptoton, 
eſtque ſpeciei 34, 35, 36, 41, 42, 43 vel 44. DE 

Ad Lemma hoc facilius domonſtrandum imprimis oſtendemus eandem 
curvam angulis obliquis quibuſcumque SNL & CPN atque rectis deſcri- 
bi poſſe ; cum facilius in caſu quo anguli ſunt recti æquatio inveſtigari 
poſſit & prodeat ſimplicior. ü 

Ex dato puncto S ducatur SR parallela ipſi CP, & quoniam dantur 
anguli CPL, SNL, dabitur eorum differentia NSR; proinde per Lem- 
ma 1, recta SR occurret NL productæ in * R, quod tangit rectam 


AR 


— — 


22 


34 Deſcriptio Linearum 


AR conſtituentem angulum RAN = RSN ad punctum A ubi angulus | : 
SAN = CPL. | | 3 


| 
' 


| Sit SB perpendicularis in CS, & ſumatur angulus BCS æqualis ſup- | 
+ plwemento dati CPL ad rectum; ducatur RQ parallela rectz SB, & huic 


in Q occurrat PQ normalis in CP ad punctum P; ducatur RE parallela 
ipſi CS & anguli QRE, QPE erunt recti, adeoque circulus per puncta 
R, Q, E ductus tranſibit per P, & angulus REQ = RPQ = BCS; 
unde cum RE, = CS, erit RQ SB; adeoque cum RQ & SB ſint k- 
quales & parallelæ, erunt SR & BQ parallelz, adeoque BQ & CP 
parallelæ erunt, & proinde angulus BQP erit rectus. Sed cum RQ fit 
invariatæ magnitudinis & ſemper parallela ipſi SB, patet Q ſemper re- 
periri in recta parallela ipſi AR; angulus igitur BQP angulari punto Q 
rectam percurrit, & CP in PQ eſt. Normalis, unde patet eandem cur- 
vam deſcribi his angulis rectis, que prius angulis obliquis SNL & CPL 
deſcribebatur. | | | 
Rectam igitur infinitam AE (Fig. 34.) percurrat angulari ſuo puncto 
N angulus rectus SNL, & in crus NL demittatur ex dato puncto C 
Normalis CP, atque P erit in curva quam Hyperbolam eſſe defectivam 
in Lemmate aſſerimus. Dicatur CM = x, PM=y, AB=b, CB Sa, 
SA ric; cumque ſimilia ſint triangula CMP, RPN, SAN, erit CM (x) : 


PM G) :: NA : SA () unde NA. atque CM (x) : PM ) : : 


RP (b—)) : RN=2=L. Unde cum RN ＋NA =a—+x erit 


7 A ee HP + x, & by* —=y* =x*p axy—cx*. Sit F pun- 
* N 

ctum medium inter C & B & ad F erigatur Linea perpendicularis in CS, 

in qua ſumatur DF = SA, & ducatur DH parallela rectæ AE, eritque 

DH curvz Aſſymptotos, & fi DT (= HP) fir nunc + atque PT 


(= DH) fit y Aquatio erit forma Neutonianæ 


YER ca = - þ c- — 3c b= 20 N c - — 4c. 


Ubi quoniam x? eſt negativus manifeſtum eſt curvam eſſe Hyperbolam 
defectivam unicam habentem Aſſymptoton & duo crura Hyperbolica in 
contrarias plagas progredientia. Si ſemicirculus ſuper CS deſcriptus bis 
occurrat rectæ AE curva erit ſpeciei 34; ſi recta Circulum contingat cur- 
va erit Hpeciei 35 3 quod ſi extra Circulum prorſus cadat curva erit /pe- 
ciei 36; in primo caſu curva eſt Nodata, in 29 Cuſpidata, in 3 Punctata. 
81 C & 8 ſint in eadem recta Normali ad AE evadet CB 4 Do, 
adeoque evaneſcet terminus cay, & curva diametrum habebit. Si A fit 
inter C & S curva habebit Nodum in C, & Ovalem inter C & A, erit- 
11 . que 


6 


N 


n 8 8 
2 F 50 . We e CAGED 


* 4 —— 
1 e * > 4. TFT "CO 1 * 2 
— * S 3 . : 
„ „ F 


Tertii Ordinis. ET: 
ue ſpeciei 413 Quod fi fit C in A, evaneſcit Ovalis & curva fit Cuſpi- 
4555 in C /peciei 42, eſtque Ciſſois veterum. Quod i fit C inter 8 & A 
curva evadet Conchoidalis cum Puncto conjugato ad Convexitatem erit- 
que ſpeciei 43. Denique ſi fit S8 inter C & A Punctum erit ad Concavi- 
tatem Conchoidalis & curva erit Hpeciei 44. | 
Hz ſimpliciſſimæ ſunt Lineæ tertii Ordinis & commodiſſime deſcri- 
buntur tum methodo D. Neutoni poſtea demonſtranda tum noftra. Qua- 
propter nonnullas earum ſimpliciores proprietates non pigebit enumerare 
ſequentibus Corolariis. | 
Corol. I. Ducatur SK parallela datæ AN & CK ci perpendicularis in 
K. Sumatur AB = CK (Hg. 35.) & ducatur BD parallela ipſi AN; 
ſuper CS deſcribatur ſemicirculus CRS, & ex C educatur recta quævis 


CQ occurrens datæ rectæ BD in Q & circulo in R, ſume QP CR, 


& Qp= CR, eruntque P & puncta in curva hujus Lemmatis; quippe 
QNC, quoniam CB = KA, & CQ =SN ex hypotheſi, & 


me reperiuntur. 

Corol. II. Quod ſi loco ſemicirculi deſcribatur Arcus quicunque cir- 
cularis (Fig. 35. u. 2.) tranſiens per C & S: & ad circulum illum educatur 
CR rectæ datæ BD occurrens in Q, & ſumatur ut prius QP CR; 
curva deſcripta ea erit quæ deſcribitur, ſecundum Lemma hoc, motu an- 


guli SNL æqualis ei qui in circulo dicto inſcribi poteſt (angulo nimi- 


rum SRC) adeoque coincidet cum iis Corolario præcedente deſcriptis ip- 
fius ſemicirculi ope. EL 

Corol. III. Super recta CS (Fig. 36.) deſcribatur ſemicirculus CQS, 
& ex C in AN fit CD normalis; dico ſi duo anguli recti ECH, ODK 
moveantur circa C & D ut Polos & Concurſus crurum duorum CE 
DO ducatur per dictum ſemicirculum concurſum reliquorum crurum CH 
& DK, deſcripturum eandem curvam Lemmate & Corol. 1. alia ratione 
delineatam. Quippe cum angulus in ſemicirculo CQS rectus fir, atque 
anguli (in Deſcriptione Lemmatis) CPN, PNQ & CDN ſint quoque recti, 


patet circulum eundem per quinque puncta C, P, Q, N & poſſe tranſire; 


aſt angulus PNQ eſt rectus adeoque rectus erit PDQ ; proinde recto- 


rum angulorum QDP, QCP crura CQ & DQ concurrunt in ſemicir- 
culo, & crurum CP ac DP concurſus curvæ Lemmate deſcriptæ pun- 
ctum P ſemper denotat. Si circulus ſecet rectam AN curva erit /pe- 


ciei 34, {1 eam contingat 3F, ſi vero nec ſecet nec cixculum contingat 
curva crit ſpecies 36. Hac ita fe habent quoties CS eſt obliqua ad AN, 
ſed ſi A & D coincidant, curva habebit diametrum eritque ſpeciei 41, 43 
aut 44, ſecundum varias poſitiones rectæ AN, | 


F 2 Corol. IV. 


SR 
eſt æqualis ac parallela ipſi PN, atque angulus SRC = QPN, cum fint 
recti & proinde erit QP = CR; hinc vero infinita curve puncta facilli- 


2 * — — . 
Con - - 2 — - 1 * - 
* N — — 1 . * . * 
ä 9 — : _— — — jv 1 
n — IAEA rf Lt” ar STR rn. = 9 22 2 . r 


2 —— 2 2 > 1 . = 
P 


— a — . Pp > 7 Ba 
* * 2 — 
2 —ů — ——— AH. — — —— — 


1 
i 
3 
ys 
15 
1 $/ 
*. 
ii 
» 
N 7 
1 
a 
I w 
* * 
4 * 
* F 
'FÞ 
4; 
hh. 
"1 
1 F LF 
1 4. 
of ' 
\ $$ 
3 
9 i 
4 
1 
: N 
U it 
i 
pl 
55 
40)! 
70 
7 * 
% 4 
* 4 
WU 
i £ 
. * 
+K&N 
1 
1 1 
» 
2 
1 
4] 4 
"1 
il 
| 
| 
j 
1 
Y 
: 


x —- wenn: n. F 


PP 


— e 
rg ne *. > 
— — 2 
3 — — tte 
3 * * 


ow ures —U — — 


25. 


——— 


36 Deſeriptio Linearum 


Corol. IV. Quod fi angulus SNP fit obliquus quicunque datus & 
(Fig. 36. 12.) CPN quoque obliquus; duc CD angulum CDE conſtituens 
æqualem dato CPN, & circa datum punctum D moveatur angulus QDP 


= QNP, & circa C moveatur FCQ zqualis ſupplemento anguli QDP 


ad duos rectos, ducatur CQ & DQ per circulum cui inſcribi poteſt angu- 
lus SQC æqualis ſupplemento dati CPN ad duos rectos, & Concurſus 
crurum CP, DP deſcribet Lineam tertii Ordinis quam præcedente Co- 
rolario Angulorum rectorum̃ ope deſcripſimus. Hujus demonſtratio ſi- 
milis eſt præcedenti. 

Corol. I. Coincidat D cum centro (Fig. 37.) Circuli & fit angulus 
CDN = QCP = SNP. Ducatur per C recta CR parallela datæ BN; 
cumque PCQ ſupplementum fit anguli QDP ad duos rectos erit CQD, 
ſupplementum anguli CPD ad totidem rectos, & proinde erit CQD 
= CPR; ſed DC = DCQ ex natura circuli, & DCQ PCR 
(cum DCR QCP) adeoque CPR = PCR, & triangulum PCR erit 
Iſoſceles; unde PR—=RC. Proinde ſi (Fig. 38.) ex dato puncto D, 
ad datam rectam quamvis CR, educatur DC conſtituens angulum DCR 
æqualem dato SNP, & ex eodem puncto D aliæ rectæ infinitæ ad CR 
educantur ut DR, & ſemper ſumatur RP RC, & RC = Ry cur- 
varum aliquæ de quibus agimus, quas præcedentibus Corolariis diverſimode 
deſcripſimus, hac facili ratione conſtrui poterint. 


Corol. VI. Angulus (Fig. 37) SQC=PNQ=CDA ; ſed sac 
adeoque CDA erit dimidium anguli CDS, & proinde erit AN perpendi- 
cularis in CS, & A erit punctum medium inter C & S; unde quories 
AN perpendiculariter inſiſtit medio rectæ CS, & anguli SNP & CPN 
funt æquales, facilior hæc conſtructio obtinebit. Ex Lemmate manife- 


ſtum eſt unicam hujus curva Aſſymptoton eſſe parallelam rectæ CR; 
(Fig. 38.) ſed ſi ſint PM, m parallelæ ipſi CR, erit CM Cm, quo- 


niam RP = Rp; adeoque quando R abit in infinitum, & coincidit P 


cum D, & p abit infinitum, erit CM = CD, & Cm SCF = CD: Pro- 


inde fi per F ducatur FG parallela ipſi CR ea erit Aſſymptotos curvæ. 


Quoties recta CD (Fig.37.) fit perpendicularis in AN & A ac D coinci- 
dunt curva habet CD diametrum; fed {1 CD fit Obliqua in CR curva non 


habebit diametrum; in primo caſu curva deſcribitur /peciez 41, in fe- 
cundo ſpecies 334. 15 1 „ 
Corol. VII. Ultimæ huic ſimplici curvarum conſtructioni Analoga eſt 
quam inveni curvarum hujus claſſis etiam puncto duplice carentium de- 
ſcriptio. Dentur in (Fig. 39.) eodem plano puncta duo C & D atque 
recta AR; ad ſingula rectæ AR puncta ducantur ex C & D rectæ CR 
& DR, & in recta DR ſemper capiatur RP = RC, & Rp= RC, ac 
deſcribetur curva tertii Ordinis puncto duplice deſtituta, ſi neutrum pun- 
ctorum C & D exiſtat in recta AR. Quippe dicatur DB S a, F „ 
c, 


6 


„ 


* 8 5 <p 5 e N » 2 
PPP 8 2 x . , 
OE op OED IE ĩV' TN . 852 : 12 


FO SS * 


VIP 


793 


Tertii Ordinis. 37 
BA c, PM=y, DM=x, & cum DM : PM :: DB : BR, eric 
BR , AR +2, unde CR. = TL A. & PR. = 


* 


> N a h 
= 


— x ſed CR=PR, unde 5 + 222 4.9 
GEL NE pr eee eee Tn y 
— Y*x=4*x —24ax* +#*, Ergo fi BF = BD, & punctum F ſumatur 
principium abſciſſæ prodibit Aquatio forme Neutonianæ y* x — 24cy 
= & NTA bt bet fa Xx +20) — 24 — 212. 

Curva conſtabit ex Ovali (Fig. 39.) tranſeunte per C, D ac pun- 
&um E ſi BE BC, atque ex Hyperbola Anguinea Aſſymptoton flexu 
contrario amplexa; nam Hyperbolam omnem non ad eaſdem partes poni 
Aſſymptoti hinc conſtat, 12 ſi ad G punctum medium inter C & 8, 
erigatur perpendicularis ipſi CS rectæ AR occurrens in T, & jungatur 
DT; ea producta Aſſymptoto occurret in Q, in eo puncto ubi curva 
Aſſymptoton ſecat ; atque ea curvæ pars que verſatur inter Q & L 
eſt omnis inter rectas AR & FL; ea vero Curve pars quæ verſatur inter 
Q & H jacet omuis ad alias partes Aſſymptoti quam eſt AR. Quippe 


recta a C ducta ad punctum quodvis rectæ AR quod verſatur inter T & 


K, minor eſt recta a D ducta ad idem punctum; ſed RN RD, & 
Ry = RC, adeoque Rp minor erit quam RN, adeoque puncta curvæ p 
verſantur inter AR & FL. Sed GT perpendicularis eſt in CD, & CG 
= GD, adeoque DT = CT, unde TQ = TD = Tp, & proinde curva 
Aſſymptoton ſecabit in Q. Quod fi recta ducatur à Cad punctum rectæ 
AR inter I & O, ea crit major quam recta a D ad idem punctum rectæ 
AR ducta; unde cum Rp RC, patet in hoc caſu p fore ad alias partes 
Aſſymptoti FH, & curve portio quæ verſatur inter Q & H jacebit ex- 
tra Aſſymptoton. Hæc ex conſtructione manifeſta ſunt, & ex æquatione 
quoque radicum ope demonſtrari poſſent. Ex dictis patet curvam eſſe 


Ppeciei 33. Neutonianarum cui reſpondet Fig. 39. in Tractatu D. Neutoni. 


Notandum hujus curvæ proprietatem eſſe omnes rectas ad curvam termi- 
natas concurrentes in D biſſecari recta AR. * 

Quod fi C & D æqualiter diſtent a puncto B curva ſecabit Aſſympto- 
ton in F; fi vero C magis diſtet a B quam D, curva erit ejuſdem ſpeciei 
ſed ſecabit Aſſymptoton ad alias partes puncti F quam eſt Q. Notan- 
dum quoque eandem plane Curvam deſcribi fi C ponatur ad alias 


partes rectæ AR in ſimili loco, ;. e. ad eandem diſtantiam a BF 
& AR. 


Coral. VIII. 


38 Deſcriptio Linearum 1 
Corol. VIII. Producatur DC (Fig. 40.) ad rectam AR, donec ei o- 
currat in X, & ſume XZ— XC, atque curva tranſibit per duo puncta 1 


C & Z. Unde fi C ponatur in recta AR coincident C & R cum X, 
adeoque curva habebit punctum duplex in C, & Ovalis ac Anguinea 


jungentur ſeſe decuſſantes ad formam Nodi & curva evadet /peciet 34. 
Corol. IX. Quod ſi DE C (Fig. 41.) ponatur in recta DB, mani- F 
feſtum eſt curvam habere diametrum DB, quoniam f BR = Br, erit 


CR =C,, RP rp, adeoque DP = Dp, & PM M; quod inde 
quoque conſtat quod c o, adeoque in æquatione evaneſcat terminus 2acy. 
Curva vero in hoc caſu conſtabit ex Ovali tranſeunte per C & D, atque 
Conchoidali ad Aſſymptoton FH ſecante BF in 8, ita ut BS BC; 
quod ſi BC minor ſit DB, patet Ovalem eſſe ad Convexitatem Con- 

choidalis tranſeuntis per 8, cum BS ſit minor BF; & proinde cur- 
va erit /pecie; 39. At ſi BD minor fit BC, erit BS major BF, adeo- 

ue Conchoidalis habebit Ovalem ad Concavitatem ſuam & curva erit 
Heal 8 

Corol. X. Quod ſi punctum C coincidat cum B, coincidet etiam 8 
cum B, adeoque erit B punctum curve duplex; Ovalis ac Conchoidalis 
Corolarii præcedentis ſe decuſſant in C, ad modum Nod? & curva erit 
ſpeciei Quadrageſimæ primæ; atque hæc curva eſt tertii Ordinis cujus 

uadraturam exhibuit eximius Geometra D. de Moivre in Actis Philoſo- 

pPhicis, No 34. | : 

Corol. XI. Curve Corol. 8 & 10 (Fig. 42.) deſcriptæ, qua ſcil. pun- 
ctum habent duplex in C, fic motu commodiſſime deſcribuntur. Suma- 
tur angulus DPL = DCA, & fit PQ æqualis datz rectæ DC; movea- 
tur angulus DPL ita ut puntum Q, quod datur in crure PL, deſcribat 
rectam AC & punctum angulare P deſcribet lineam vel /peciez 34 vel 413 
ſi angulus DPL fir obliquus erit curva /peciei 34, at ſi rectus curva erit 
ſpeciei 41. Quippe cum DPQ DCR & CRD =PRQ,, ſimilia e- 
runt triangula PR & DRC, ſed & æqualia ſunt cum DC =PQ; 
adeoque CR RP; que ipſa eſt conſtructio quam exhibuimus Coro). 5. 
curvarum ſpecierum 34 & 41. Quod fi punctum ſumatur medium in- 
ter P& Q Linea ejus motu deſcripta, fi angulus DPQ rectus ſit, eſt Ci/- 
ſois Dioclea. e 


1 P Ro. 


7 


Tertii Ordinis. 39 


25 5 n kö d e n kr rn zr a lr fr xy r kr ũ r x fr r r 


PRO P. XII. 
Curvarum Prop. X. deſcriptarum ſpecies & Aſſympto- 


tos determmare, 


, w * 
: IE . 5 N n 
FR. IO TINY / ES ES 2 . 
Rt % 30 — I : r 7 GH 
F ANNE An Fare I IEEE „ 
e e ‚ A . . : 


CO & SN, curva abibit in infinitum quoties rectæ CO & SN e- 
vadunt parallelæ; quod contingit ubi angulus CQL fit æqualis 
ſummæ angulorum SNL & FCO. | 
Quare ſi in rectam NL (Fig. 43.) demittatur CQ, angulum CQL 
conſtituens zqualem ſummæ datorum SNL & FCO, & ad modum Lem- 
matis ſecundi curva hac ratione deſcribatur occurrens re&tx B in tribus 
punctis Q, 7, 7, jungantur CQ, C, Ct, & ducantur rectæ CO, Co, Cu 
conſtituentes augulos QUO, Co, CV æquales dato FCO, erunt rectæ 
CO, Co, Cu parallelæ Aſſymptotis curvarum Prop. 10. deſcriptarum. 
Quod fi ſumatur CH ad CS, ut angulus naſcens Qm ad NS—QCm, 
& per ducatur recta Hz parallela rectæ CO, erit HZ curvæ Aſſymp- 
totos & ſimili ratione duæ reliquæ determinantur. _ | 
Oſtendimus in Lemmate & Corolariis præcedentibus varias methodos, 
quibus curva hic ad Aſſymptotwn poſitionem determinandam aſſumpta fa- 
| cile delineari poteſt, quas non opus eſt repetere : Ex ea vero deſcripta 
b quot & qualia crura infinita habeat curva facile intelligitur. Quippe ſi B 
| Hyperbolæ defective ter occurrat curva habebit tres Aſſymptotos & ſex 
crura Hyperbolica; fi BQ in puncto quovis Hyperbolam defectivam 
contingat Curvæ duæ Aſſymptoti abibunt in infinitum, & curva duo 
habebit crura Parabolica infinita, & duo Hyperbolica ſi BQ in alio pun- 
cto Hyperbolam defectivam ſecet. Nam ſi BQ Hyperbolam defecti- 
vam contingat in Q puncta quamproxima Q & x erunt ſimul in recta 
BQ & in Hyperbola illa, adeoque angulus CL = CQL, & triangula 
CQ g, Lig erunt ſimilia; & proinde angulus QC# = NL#y = NS», 
cumque HC: CS:: QC», NSN - QCm, patet HC evadere infini- 
tam, adeoque Aſſymptoton HZ abire in infinitum; & proinde crura 
curve evadere Parabolicaz cum vero in alio aliquo puncto recta B 
Hy perbolæ defective occurrat, curva alia duo habebit crura Hyperbo- 
lica. Quod fi Hyperbola defectiva habeat diametrum & fit BQ ejus 
Aſſymptotos curva duo ſola habebit crura Parabolica infinita, 


Q Curve puncta determinantur concurſu rectarum (Fig. 28.) 


3: 
7 
1 
« *% 
? 
| 1 
8 
1 \ 
1 n 
. 7 
: * 
4 „ 
n 
4 
2 1 
4 J 
by 4 
2M 
mY 
* 
= . 
K : 
1 "i 
L * 
5 
Lf 
b 
M 
4 cr 
2 
18; 
l / 15 
17 
4 Us. 


Ex 


— r 8 


— — 


Apt — 


n 
kg; > 
. 


* 


40 Deſcriptio Linearum 


Ex Corol. 2. Prop. 10. intelligi poteſt an curva habeat Nodum in C 
Cuſpidem an Punctum conjugatum, unde ex dicto Corolario & ex hac 
Propoſitione collatis ſpecies curvæ dignoſci poteſt. 

Corol. I. Si anguli SNL & FCO conficiant duos rectos, facilius deter- 
minantur Aſſymptoti & ſpecies curvarum; quippe imprimis manifeſtum 
eſt curvam abire in infinitum in hoc caſu quando Q abit ad diſtantiam 
infinitam; (Fig. 44.) quippe in eo caſu parallelæ evadunt NL & CF, 
adeoque cum SNL ſupplementum fit anguli FCO ad duos rectos, paral- 
lelæ quoque evadunt CO & SN. Ducatur igitur CG conſtituens angu- 
lum GCS æqualem exceſſui anguli FCO ſupra CBQ, & CG erit paral- 
lela Aſſymptoto curve. | 

Corol. II. Porro ſuper (Fig. 45.) CS deſcribatur arcus circuli habens 
angulum SNL inſcriptum occurrens datæ AN in punctis duobus N & 
R; & ſi conſtituantur anguli NCP, RC æquales dato FCO, erunt 
CP & Cn parallelz aliis duabus curvæ Aſſymptotis; quarum Poſitio fic 
inveſtigatur, fit angulus SKN = SNL, & ſumatur NSU = KSN; ſit- 
que CH ad CS ut eſt UQ ad CU, & per H ducatur HZ, ea erit Aſ- 
iy mptos parallela ipſi CP, & ſimiliter determinatur Aſſymptotos quæ pa- 
rallela eſt rectæ Cn. | 
Corol. III. Duo vero ſunt caſus in quibus loco quatuor crurum Hyper- 
bolicorum ad duas Aſſymptotos curva duo tantum habet crura Parabolica. 
1. Quando BU parallela eſt vel rect CN vel CR, nam in co caſu erit 
UQ infinita, adeoque & CH cum CH : CS:: UQ : CU. Erit ve- 
ro in hoc caſu curva Hyperbolo-Parabolica, cum alia habeat crura Hy- 
perbolica ad Aſſymptoton parallelam ipſi CH. 2. Quando AN tangit 
circulum cui inſcribitur angulus SNL ; quippe in eo caſu evadit angulus 
NSC = KSN, adeoque coincidit C cum U, & proinde cum CH : CS 
: UQ : CU erit CH infinita, adeoque curvæ crura que prius erant 
ad Aſſymptotos parallelas rectis CP & Cn evadunt Parabolica; alia 
vero manent in hoc caſu crura duo Hyperbolica ad Aſſymptoton paralle- 
lam ipſi CG. i 

Corol. IV. Quod fi AN eum circulum contingat, & ſimul BQ paral- 
lela fit rectæ CN, curva duo tantum habebit crura infinita eaque Para- 
bolica; unde ſi angulus SCT æqualis fir dato FCO & CT occurrat 
rectæ BQ in T, atque per puncta C, 8, T ducatur circulus; ſi is cira 
culus bis occurrat rectæ AN curva habebit Ovalem & Nodum in 8S erit- 
que Parabola ſpeciei 68; ſi AN circulum contingat curva erit ſpeciei 70. 
Parabola nimirum Ne:liana, & denique ſi AN ponatur tota extra circulum 
curva erit Parabola Punctata ſpecies 69. 8 

Quoties recta AN cadit tota extra dictum circulum deſcriptum ſuper 


CS curva unicam habet Aſſymptoton parallelam rectæ CG, (Fig. 44.) & 
curva evadit Hyperbola defectiva. | 612 


Ex 


4 2 * 2 + FR - ef N43 
3 Z 3 2 3 7 e r N he 
RR. Wr nA: 5 1 WESLEY — py 


Tertu Ordinis. 41 
Ex his generalibus Corolariis innumeræ deduci poſſunt ſpeciales ſim- 


plices curvarum Conſtructiones, quarum exemplum unum aut alterum 
afferre erit operæ pretium. 


Ex. I. Sint anguli SNL, FCO recti (Fig. 46.) & AN perpendicularis 
in rectam CS atque BQ eidem CS parallela, dicatur CS = a, SA Dc, 


AB , PM=y, & SM =x, eritque SM : PM :: SA: AN =Z 


— — 


& CM (=a—) : PM ) :: QT (=): CT=, fed SM 


2— * 


PM:: BN: BQ, i. e. x 5 2—5 : by Fa — c, unde 


5 8 — 
cy cay T baxy = - X - - M M* 
Proinde ſi ſumatur AD : AB :: = SA, & per D ducatur recta DH 


parallela rectæ CS; & dein ad C erigatur Normalis CK, occurrens rectæ 
DH in K; & K ſumatur pro principio abſciſſæ in axe DH pro- 
dibit æquatio curvæ forma Neutonianæ 


— mts—_a_mmon——ns 


ba* a 24.27 = IF hg 
C C C 1 4c? 260 


Unde cum Terminus x? fit affirmativus quoties SC ſuperat SA, & ter- 


minus y non deſit, patet curvam fore ſpeciei 7 vel 8; quippe fi evaneſcat 


3 IP . 3 , 2 g4 
y & æquationis termini omnes ducantur in x & adjiciatur terminus = 


prodibit æquatio cujus duæ radices erunt imaginariæ. | 
II. Quod ſi recta SA major fit quam SC evadet terminus x? negati- 


vus, & ſi SA minor fit quam CES + curva habebit Nodum in 8, 


2 
eritque ſpeciei 343 ſi SA = — YC. curva erit /peciei 35, & 


2 


ſi SA fit major ea Quantitate curva erit ſpecies 36. 


III. Si recta AN abcat ad alias partes puncti S quam eſt C æquatio 


curve erit ſimilis priori, ſed termini x? coefficiens erit 


— adeoque 
negativus, & proinde curva erit Hyperbola defectiva. Unde ſi CA fit 


minor quam = 1 3 curva erit /peciei 34; ſi CA 1 24 


curva erit Hpeciei 37; fi CA major fit ea Quantitate curva erit ſpecies 363 
in primo caſu curva habet Nodum in 8, in 20 Cuſpidem, in 36 Punctum 
conjugatum; & curvæ ex omnes Aſſymptoton ſuam ſecant in puncto C. 


08 i Sint 


42 Deſcriptio Linearum 

IV- Sint rectæ BQ, AN (Fig. 47.) parallelæ rectæ CS, & anguli 
SNL, FCO ut prius recti; ducatur SA perpendicularis in AN occur- 
rens rectæ BO in B; & fi CS major fit quam 2 SA terminus & in æ- 
quatione ad Neutonianam formam reducta erit affirmavimus, & curva erit 
Hyperbola redundans habens tres Aſſymptotos; fi 284 = CS evaneſcet 
terminus &, & curva evadet Hyperbolo-Parabolica; quod ſi 284 major 
ſit quam CS terminus x* eyader negativus, & deſcribetur Hyperbola de- 
fectiva; hxc ſpecialius proſequi non opus eſt cum labore exiguo inda- 
gari poſſint. 
V. Quz hactenus deſcriptæ ſunt (Fig. 48.) curvæ diametris carent, 
aliæ vero quæ diametros habent deſcribi poſſunt, ſi loco anguli FCO ſub- 
ſtituatur recta circa C ut Polum volubilis; ſintque rectæ AN & B 


perpendiculares in CS. Quippe fi CB =b, SA c, CS Sa, PM=y, 


SM x, & CB minor fit quam CA, erit y** — 


. 
＋ / 
OY OY Son tans: | 


c 44 XX ob Xax?*. Unde fi ſumatur SD ad CS, ut 


ut eſt SA ad CB+SA, atque D ſumarur principium abſciſſæ, æquatio pro- 
dibit forme Neutoniane y* x = pa torn * + eee, Sealed? 

| | c+b* 
— X4a*x = X4—c—b, Cujus æquationis Ra- 
c＋ c 


C4 C4 


— ba 
PU D I 


dices ſi evaneſcat y prodibunt , unde manifeſtum eſt 


duas radices æquales, & tertiam efle ſigni contrarii. Idem hinc quoque 


conſtat quod DS, DS, DC ſint tres Radices æquationis cum curva tran- 
ſeat bis per punctum S & ſemel per C. Proinde cum terminus x* fit affir- 
mativus patet figuram eſſe Cruciformem ſpeciei 18 vel 19. Similiter ex 
aliis 3 rectarum AN & B conſtruuntur /pecies 11, 13, 
41, &c. | 

" Corol. V. Oftendimus Corol. 2, Prop. 11. ſi SNL & FCO confi- 


ciant duos rectos, & fit angulus QBA = OCF deſcribi Conicam ſeEtio- 


nem cujus Aſſymptoti & crura ſic determinantur ex Corol. 2. hujus Prop. 
Super recta CS deſcribatur (Fig. 45.) circuli arcus habens angulum 


SNL ſibi inſcriptum; fi hic circulus rectæ AN occurrat in duobus pun- 


ctis N & R ducantur CN, CR & CP, Cn angulos NCP, RC con- 
ſtituentes æquales dato FCO, & parallelæ erunt CP, Cn Conicæ ſectio- 
nis Aſſymptotis quarum poſitio ſimiliter ac in Corol. 2. determinatur. 
Proinde ſi AN ſecet dictum circulum deſcribetur Hyperbola Conica, 
ſi circulum contingat Parabola, & ſi extra circulum tota ponatur deſcri- 
betur Ellypſis. 


a | Abſolvimus 


Tertii Ordinis. 43 

Abſolvimus duas methodos quibus Linez tertii Ordinis puncto du- 
plice donatæ ſola rectarum datarum & angulorum conſtantium ope de- 
ſcribuntur; quæ ſupereſt tertiam eas deſcribendi methodum breviter ex- 
plicabimus; harum vero curvarum contemplationi prolixius immoramur 


propterea quod ſero in Geometriam receptæ ſint atque à paucis hucuſque 
tractatæ. 


FFP 


PRO P. XIII. 


TOs 
eg 


Czteris manentibus ut in Prop. 5. ducatur crurum 
(Fig. 49.) CF & NL concur/us Q per rectam BG & 
crurum CO & SN concurſus R per AR, dico angu- 
lare puntlum N deſcripturum Lincam tertii Ordinis. 


ILV puncto C ad rectam BG ducatur CB conſtituens angulum CBG 


FCO, & occurrat CB producta rectæ AR poſitione datæ in A; 


ducatur SA, & in recta SA ſumatur abſciſſa ut æquatio curvæ 2 


ſimplicior , quoniam ubi R pervenit ad A abeant Q & N in infinitum, 


& proinde SA fiat parallela Aſſymptoto curvæ; Ducatur NM ordinata 
ad Axem SA parallela rectæ BG & RK parallela quoque eidem rectæ 


BG occurrens axi SA in 2, ſitque Qe parallela ipſi axi SA. His poſitis 


dicatur SA a, CBS, CA c, AD Se, CD = g, ſitque Az : Ri 


:: 4a: d, &c. & quoniam SM (=x) : NM (=9) :: SU: Rx erit 
RU K „atque AU = 2 . Sed UK:AU ::g:e 


1x49 AX—Ay XK—=2) 


ob parallelas RK, BG, CD & triangula proinde ſimilia AUK, ACD 


ergo UK = - 2) AK = — 7 , unde RK = , & 


edx e ea — eay edx —eay 
CK at — Ducatur CT conſtituens angulum CTB = 
edx — Cay 


CBT ſitque BT = f, & triangula CTQ, CR erunt ſimilia; quippe 


CTO S RKC & CQT=RCA cum utervis additus angulo QCB 


conficiat angulum DCB. Proinde et RK : CK: : CT : QT; unde 
| G 2 3 K 


223 


” 


44 Deſcriptio Linearum i 


QT == lage 4X9 ed GQ=GB —BT—TQ & GB 


axed agxy 
— 2 TE BT = 7, adeoque 8 ebcdx-TbeXecT-caXy 
C q ed ＋ ag X ay 


= Me, & Qe = GM 9 ＋- Ax. 


7 


Ducatur NP angulum NPS conſtituens æqualem dato SNL & ad 
eam rectam ducatur Sg conſtituens angulum 8gN = NM, ducatur quo- 
que Nm NM; ſintque rectæ NM, NP, PM, P ut Quantitates data: 
a, h, J, & reſpective; his poſitis cum ſimilia ſint triangula Sg N & QeN 


| | TS __ eritSg:gN :: Ne: Qę, ſed Sg: SP:: 4: U & SP=SM-ANM, ergo prodibir 


1 2 
1 ax-LIY by „ E cod-gh—fc ebcdx—haxced-caxy  c-bxe 


£ dH X ay op 

. d-a2—x. Sed fi centro N radio (Fig. fo.) NM (ubi NM evadit æ— 
1 qualis ipſi SA) deſcribatur circulus, is tranſibit per #2 & ſi producatur 
NP ad circulum occurret ei in punctis X & Y; ſed MP: PX :: PY: 
Pm ex Elementis, adeoque cum PX =4a—h, & PY 4 A-, erit 7 
=4* —h?, & h* -k] Dea; quod ſi Analogiz inveſtigatæ media & 
1 extrema in ſe mutuo ducantur, & loco * -+ & ſubſtituatur a, æquatio 

prodibit hujuſmodi 5 

4 Xde-Þagxoy* 4k J-Ixed d-agxacny* a Xed-TLag NC Y be deb? 
| . Ig PSI x a? D Tg- Oe TS 
| -ba*c* Xx e--a-alexdel-agxcA-b bc- dae-a XdeJ-ag- balc xe a 

8 —0. Quæ eſt æquatio ad Lineam tertii Ordinis. 

* Corol. I. Erigatur SE perpendicularis (Fig 49.) ipſi SA, & quæratur æqua- 
tio ad axem parallelam ipſi SE, & per Prop. 8. prodibit formæ Neutonianæ, 
1 | | nam exterminabuntur xy*, x* & xyz atque coefficiens termini Xx, poſt- 
if | quam æquatio ad formam Neutonianam reducta eſt, erit (ſi + fit ſinus an- 


guli ADC ſumpto SA pro Radio) — 5 2 ＋ 43 


= Mu. NN - Nm, ſed dua latera NM & Nm, ſimul ſumpta 


majora ſunt tertio M, & proinde coefficiens termini x* erit negativus, 
adeoque curva deſcripta erit Hyperbola defecta ad unicam Aſſymptoton 
parallelam rectæ SA. : | 


5 Corol. II. 


1 


1 F * 


PPPPPPUPUPUfwĩ RAPE · !! ORIG geen — 8 a 5 N 8 er - 1 us N f . ; | F 


. 


2 
k. . . , : * 1 F P 
— — — ä ( — —— — - — y . 7 [4 ” - * 6 
— * CC RC OO — —ͤ—ͤ—eäõ \ — * 
— 2 — — — — — — ͤ—ñ6ͤ — 3 1 enn * 5 e ThE 
- yon — — — = — ũ ũ᷑mM : — 2 2. — — 5 5 a - * —— - .. s . 
. . 
— 4 * 


8 


deeb 


Tertii Ordinis. 45 

Corol. II. Si yes erit bcdkx? =o, adeoque curva bis tranſibit per S quod 
punctum erit curvæ duplex; & ſi circa data (Fig. 71) puncta C & 8 
moveantur anguli dati QR & QSR = QNR, ac concurſus crurum CR 
1 & SR ducatur per rectam AN, concurſus crurum CQ & SQ deſcri- 
3 ber conicam ſectionem occurrentem rectæ BG in duobus punctis D & 
1 F; cumque Q ad hæc puncta pervenerit in deſcriptione Propo ſitionis 
curva tranſibit per S. 

Corol. III. Hinc vero curve ſpecies dignoſcitur; quippe fi recta B 
bis occurrat Conicæ ſectioni curva habebit Nodum in 8, eritque ſpeciei 34 
vel 41; ſi BQ ſectionem contingat curva erit Caſpidata in 8, adeoque 
I ſbeciei zy vel 42. Quod ſi ſectioni recta BQ non occurrat, nec eam 
— 1 contingat, curva habebit Pun#um conjugatum in 8, eritque ſpeciei vel 
| 1 6, 43 vel | 
1 . | 5 ; 

1% Corol. V. Quod fi angulus datus SNL æqualis fit angulo AGB, erit 
1 NPM = PMN = NM, & proinde coincident P & m, & quantitas & 
'* evaneſcer, adeoque terminus bcdkx?*, unde omnes xquationis termini di- 
3 vidi poterint per yz & proinde curva erit ſectio Conica. . 
* Corol. V. Si anguli QSR & QCR ſint ejuſmodi (Fig. 17% ut SQ & 
Q ſimul coincidant cum CS punctum Q deſcribet Lineam rectam, ut 
conſtat ex Prop. 3. adeoque punctum 8 evadet ſimplex, & curva erit 
ſectio Conica. WW 


CoOROIL. GENERALE, 


Ex Propoſitionibus 5, 10, 13 univerſaliter colligi poteſt, quod i in plano 
dentur duo pundta (Fig. 52.) C& 8, & ex 8 exeat recta SN cui ſemper 
occurrat ad angulum datum recta NL ad punftum N, circa C moveatur ut 


4 curſus crurum SN & CO fit Q, atque trium punctorum Q, P, N (in Qua- 
* drilaturo C NP) duo quævis per rectas poſitione datas ducantur, tertium de- 
ſcribet Lineam tertii Ordinis habentem punctum duplex vel in C vel in S, 


SECTIO 


Polum angulus datus FCO, & crurum CF & NL concurſus fit P, con- 


Te CR IS ELEC ER "HI 
— 1 : Ser Sula BPB. cc 


RR Te ³˙ A ene Tn 


E 


r 2 — 7 _ 
S — 


* — ** 


I 


ay he 


3 
— — 


— — 


n 
. 


. i 
PP "Er 


7 Py; 2 
FX n 


_ 


e 


1% X * 9 
v- O oy * : a 4 


46 Deſcriptio Linearum 


FFF 


SECTIOo III. 


De adeſcriptione Lincarum quart: Ordinis, earumque 
zertu Ordinis que nullum babent Punftum duplex, 


5888888888858 88858888588 858888558 


2 ſecundi Ordinis deſcripſimus Prop. 1. motu duorum angulorum 
circa data duo puncta; Lineas tertii Ordinis deſcripſimus Prop. x. 
& ro. ope totidem angulorum quorum alterum circa datum punctum 
moveri, alterum vero per rectam datam duci ſuppoſuimus; atque nunc 
ad Lineas quarti Ordinis deſcribendas uterque angulus per rectam datam 
eſt ducendus. = 0 


PRO P. XIV. 


Angulorum datorum (Fig. 53.) CNL, SRQ crura CN 
& SR /emper tranſeant per data punita C & S; 
Punta vero angularia N & R percurrant Rettas in- 
fnitas AN & DR; dico ſi concurſus crurum NL & 
RQ ducatur per Reddam BQ concurſum crurum 
CN & SR de/cripturum Lineam quart: Ordinis. 


CInt rectæ PM, NU, QK & RT normales in CS; fit angulus 
CON=CNL, & SHR = SRQ ; dicatur CS=a, CA=:, CB, 

8D Sd; fit Au: Na :: a: e, DT: RT:: 3: g; finus anguli 
CNQ ad coſinum ut a ad 7, & ſinus anguli SRQ ad ſinum ejus com- 
plementi ut a ad , & BK: QK :: a: , PM ), CM == x, SM 


Eh x, 


& d 
' . 

3 

* 


& denique pro 5 


ope indagari poſſunt, & ſpeciatim - 


* — 49 


Ken — 5 In No cadat Cg normalis, & ſimilia erunt triangula 


CgN & Ne, ra Cog & NgF; unde Co: NF :: Ne: Qę; 


ſed COC. , & NF NUN Df. Quare i QK =2, e- 
1 fy 2 ecy az ecx 

t x22: —::— —2 . bp — — 
— — IT 2 en —40 7 T h ex—ay _ 


OK (Y) aber + i —bfxaby* Þ+ba* LI x leg 


a + bſxex* - —bf eb —efxaxy - Xb —fx9* 
Simili plane ratione alius inveſtigatur valor rectæ QK ex conſideratione 


Poſitionis rectæ DR & anguli SRQ ; qui facile prodibit ſi loco ipſius 


x ponatur à - x, pro c ſcribatur 4, atque pro F & e ſcribantur & & g, 
4 
hb 
Duo vero hi valores zquentur & 3 8 
C= x aebæx e — bf X bay* N aN efb x bxy 2 
a* I bf X e*— 4 Feh- X axy — 4 1 LEED 


8X . . 5 ; 
{cribatur a —b — 5 in Analogia præcedenti. 


2 Ax gab xa —a—bXa*+kgXa—xX hy +a—bx k—dg x aby* 
a. CA X - - - + gb —gtXa—x XJ —4@a* Xh—kxXx Y 


Unde ducendo numeratorem unius fractionis in denominatorem alterius 
prodibit æquatio Ax + Bx*y Cx + Dxy* +Ey* + Fx + GK 


+ Hxy* + 1) KX + Lxy + My* =0, cujus coefficientes calculi 


A #4 ® „ 
=— + Nc 5— 24 — 5-4, 
5 IK IP” 


| a Hie . 
& F- zA, K 4 A, ut cuivis vel leviter perpendenti manifeſtum erit. 


Cum igitur x & y ad quatuor aſcendant Dimenſiones in ea æquatione & 


non ad plures, Linea erit Ordinis quarti. 


Corol. I. Curva habebit duo puncta duplicia alterum in C, alterum in 
S; nam fi y=o, evaneſcent omnes æquationis termini præter tres in 
quibus non reperitur 5, & het 5 

a E- —a—b—dXa ＋ bx — 24 -CH x* = 0, 
cujus radices ſunt o, o, 4, a. Unde curva bis tranſibit per principium 


abſciſſæ quod eſt in C, & bis quoque tranſibit per 8, cum CS S4. 


Corol. II. Curva tranſit per C (Fig. 54.) quando recta SR pervenit ad 
Poſitionem SD; unde fi angulus SDE = SRQ, & ſi ſuper CE deſcri- 


batur arcus circuli cui inſcriptus fit angulus CNL, atque is circulus bis 
occurrat 


Duarti Ordinis. 47 


Sa -x. His poſitis eſt CM: PM :: CU: NU; adeoqueNU = 2 


den neee 7 yd . 


bh 
1 
4 
. 1 
1 H 
8 
* 
10 
= 
4 
* 
5 
1 
4 
: t 
l 
1 
14 
ö of 
5 
$8 
1 
Kid 
Lt 
1 
$1 
14. 
1 * 
* 
$6 
31 
17 
bi 
I. 
2 
ul 
As 
$.+ 
\ 
1 
! 


— ro. 
8 w. 9 


— e — 
5 Ate Rl CA — 
——— — 7D — — — 


48 Deſcriptio Linearum 


occurrat rectæ AN, curva habebit Nodum in C cum ovali vel Crucem; 


at {1 recta AN eum circulum contingat curva erit Cuſpidata in C, & ſi 
AN ponatur tota extra circulum curva habebit Punctum conjugatum in 


C abſque Nodo, ovali aut Cuſpide. 


Corol. III. Similiter plane fi angulus CAG = CNL, & circulus ſuper 
GS deſcriptus habens angulum æqualem dato SRQ inſcriptum bis occur- 
rat rectæ DR, curva erit Nodata in S; fi rectam tangat circulus curva 


erit Cuſpidata in 8, at ſi cadat DR penitus extra circulum dictum curva 
erit Punctata in 8. 3 5 


Corol. IV. Hinc curvæ hac Propoſitione deſcriptæ in ſex inſigniores 


ſpecies diſtinguuntur, quæ in inferiores deinceps dividi poſſunt. 14. Eſt 
earum quæ duos habent Nodos, alterum in C, alterum in S. 2. Eft ea- 
rum quæ duas habent Cuſpides in uſdem punctis. 3. Earum qua duo 
habent Panta conjugata, alterum in C, alterum in S. 4 Earum quæ ha- 
bent unum Nedum & unicam Cuſpidem. 7. Earum quæ habent unicum 
Nodum & unicum Punctum conjugatum. 6. Eſt earum que unicam ha- 
bent Cuſpidem & unicum Punctum conjugatum. 


Corol. V. Quod fi, cæteris (Fig. 53.) manentibus ut prius, curva non 


determinetur concurſu rectarum CN & SR, ſed aliarum rectarum quæ 


cum CN & SR datos conſtituunt angulos ad puncta C & 8, curva ta- 
men non alia deſcribetur quam quæ methodo hujus Prop. deſcribi poteſt, 
ut ex Lemmate 1. facile demonſtratur. 

Corol. VI. Curvæ hujus Prop. octo habere poſſunt crura infinita ad qua- 
tuor Aſſymptotos; cum vero ex aliter determinari non poſſint quam 
concurſu rectæ cum linea curva Ordinis quarti, its determinandis non im- 
morabimur. Sed ſi anguli SNL, SRQ ſimul conficiant duos rectos tres 
Aſſymptoti curvarum determinari poſſunt deſcribendo Hyperbolam defecti- 
vam ad modum Lemmatis 2. dimittendo ſcil. ex C (Fig. y in RQ lineam 
CX, ita ut angulus CX R ſemper æqualis fit dato CNL, dum punctum 
R ducitur per rectam DR; nam fi a puncto C ad hujus Hyperbolæ oc- 


curſus cum AN ducantur rectæ, ex erunt curvæ Aſſymptotis parallel, 


1 
# 
of 
> 
F. 
A 


: 9 R . r 
gs : b 1 OE 47 * no NG ET 
N e * 0" Wa wh 2 STI TS erupt x 

„ q— 


ein r * * * 


e ä A 
. . 5000 2 A 


Ow” e _ MED POE 5A 
Fo 17 IONS | — >» Sv "OSS SE I» Bog NS 
5 N | ö ** , 3 . 
| 
3 » 
7 77 07 77 i 


eee 


P XY; 


Hi rectæ SP & CP fimul coincidant cum CS, curva 
Prop. 14. . 1 gi non erit quarti ſed tertii Oral. 
nis, & ps ac S erunt fi mplicia. 


{Des CN cum CA, & NL cum AG (Fig. 77 atque ſimul 


coincidat SR cum SD & RQ cum DG, dico Lineam tertii Ordinis in 
eo caſu methodo Prop. 14. delineari; nam erit BO: ö 3 h & AO: 


GO :: F: a DO: GO::&#: a, adeoque . L = 
1 DD0:a3D- a a” 55 k 
* 00 88 GO MF e 


AB: BD. =I e & proinde x A 


a * 


. 5 . | 1 : f „ 
2 ＋ 1 unde termini æquationis Propoſitione præcedente inveſtigatæ in 


hb a 
quibus y non reperitur 45 PD =bt—g0 * a* T7 


XN —24x* a evaneſcunt : Reliqui dividantur per , & æquatio 


evadet dimenſionis unitate inferioris quam Prius, adeoque curva erit Linea 
Ordinis tertii, cujus termini erunt &, K, A), Y, xt, xy, J*, x, y 
cum ſuis coefficientibus; cum vero in ea æquatione reperiantur y & & 
patet principium abſciſſæ quod eſt in C efle punctum ſimplex; proinde 
C & S erunt puncta duo ſimplicia. 

Corol. I. Producatur GD & ſumatur angulus DSE FDE & PCA = 
QAG ; ſintque rectæ PX & ET perpendiculares in rectam BG, & ſu- 


matur CL ad SL ut ET x PG? ad PX x EG, eritque I. punctum 


tertium præter C & S ubi curva deſcripta ſecat rectam CS. H inno- 
teſcunt inveſtigando concurſum rectarum CN &X SR cum quamproxime 


coincidunt cum CS. 
Corol. II. Ex Propoſitione conſtat fi rectæ AN & DR in eode 


puncto ſecant rectam CS & angulus CNL ſupplementum fit anguli 5R 2 


ad duos rectos deſcribi Lineam tertii Ordinis ; nam übi mul coinci⸗ 
dunt anguli CNL & SRQ cum CAG & SDG, c punctura A coin- 
H cidit 


„ * * 
1 4 . D - . » 
— — £3 N — c « - 3 
1 — > — *** s 2 hea 
— 3 — 8 W 4 a . 
Dre. 8 . 2 "I. _— 
r — — r _—— — 


—— 


- 
* = 4 
e 
$4 4 
c2_— 8 
1 
3 TBE 


ok * 2 hy 1 * 8 + * - a 2 * 
. mm . ̃% mn = i.e SAR 


7 - wr. ff 8 
1 as 7 nt * 
- 4 8 e — © b — — 
Vi PRs 3 — * % ** 
2 


* 
3 


8 2 on * 2 
* P « * 
- 4 94 * 
2 
7 "RAB OP 3 4 * 
— _ - = - 


— 
— 


. 3 8 
* 
4 2 F 
; _y 
* 


of 


* . 

©" "Wan P ies n.. 

33 * ——————— 
3 — 1 


at | bi 
$* 13 


* 
— 


Prop. Linea deſcribetur tertii Ordinis. 


b—=Xxx* —y +Eoyxa—r_? = — 49 Te 
| g | E 


50 Deſcriptio Linearum : 
cidit cum D, patet angulos CAG & SDG evadere ſupplementa ſibi mu- 
tuo ad_duos rectos. 

Corol. III. Si anguli CNL & SRQ (Fg. 56.) ſimul ſumpti conficiant 
duos rectos, & CBQ = CNL, Linea deſcribetur tertii Ordinis; quip- 
pe cum N pervenerit ad A abibit Q in infinitum, cum CNL = CBQ , 
ſed SRQ = SBQ, adeoque SR ſimul coincidet cum SD, unde per 

Corol. IV. Unde ſi anguli CNL & SRQ ſint recti atque vel coeant 
puncta A & D ut in Corolario 2 vel rea BQ perpendicularis fit in 


Cs ſecundum Coro. 3. linea deſcripta erit tertii Ordinis. 


Corol. V. Sit imprimis B (Fig. 57. perpendicularis in CS & æqua- 


tio curvæ erit hujuſmodi iiſdem retentis ſymbolis 


— 


unde fi rectæ AN & DR ſint quoque perpendiculares in CS, & pro- 
inde parallelæ rectæ BQ æquatio erit hujus form 


6 4 — 4 — 405 CFC 
„ß PDE Da Oy > © Hana 
ſumatur CF ad SF ut CA ad SD ſeu CF ad CS ut CA ad CA+SD; & fi 
principium abſciſſæ ſumatur in F æquatio curve erit formæ Neutoniane, 
„ 4 —4— 36 K 1 — e 2424 
* — xXx - — — ——— 

de T cod? T de 

2— bod CA? XxK42— 42-4 8 55 

— X47 op ——— — + =—— XU e 24 — 2a X K* 
* d dc Ly cA4-4* T9 TE: 8 


Xa —4— o. Sit y=0 & æquationis 


9˙ — 


 & IF 


ca ca 24% mon Send e 


De EEE =- quod abſqu 
r #907 one 


Radices erunt 


prolixo quovis calculo cuivis manifeſtum erit, qui harum ſummam cum 


æquationis termini ſecundi coefficiente, & productum ex earum multi- 
plicatione reſultantem cum ipſo termino ultimo contulerit, poſtquam om- 
nes termini per coefficientem termini primi dividuntur. Cum vero e 
radices {int omnes inæquales & figura diametrum habeat ob defectum 
termini y patet Lineam nullum habere punctum duplex. 

Ejuſdem æquationis tres radices (Fig. 58.) fic facile geometrice deter- 
minantur. In re&a CS ſumatur imprimis punctum F ita ut CF : SF:: 
CA: SD. Dein ſumatur punctum L ita ut CL : SL :: DB: AB; 
erunt rectæ FC, FS, FL tres radices æquationis & C, 8, L tria deſig- 


Duarti Ordinis. 51 


2 nant puncta ubi curva occurrit rectæ CS. Punctum vero F quod prin- 
cipium eſt abſciſſæ concurſus eſt rectæ CS cum Aſſymptoto curvæ ei per- 
5 pendiculari. 

: Corol. VI. Hinc fi AC fit minor quam DC erit a—d—:c quantitas 
9 affirmativa, adeoque terminus * erit affirmativus; cumque F 


6 
fit punctum inter C & S adeoque ſigna radicum FC & Fs ſint diverſa, 
patet Lineam in hoc caſu deſcribi tertii Ordinis ſpeciei vel 20 vel 21, & 
proinde figuram conſtare ex duabus Hyperbolis in oppoſitis angulis 
duarum Aſſymptoton poſitis, & conchoidali intermedia ad Aſſymptoton 
perpendiculariter inſiſtentem rectæ CS in puncto F; quoties reliquæ 
duæ Aſſymptoti concurrunt ad eaſdem partes puncti F ad quas eſt L 
curva erit /peciei 20; eritque 21 quoties concurrunt ad diverſas. Aſſymp- 
toti curvarum hac Prop. deſcriptarum (quoties CNL & SRQ conficiunt 
ſimul duos rectos) determinantur (Fig. g,) ope Hyperbolæ defectivæ de- 
ſcriptz ſecundum Lemma 2, faciendo ut rectus angulus SR Q angulari 
55 ſuo puncto R percurrat rectam datam DR, & ex C demittendo per- 
3 pendicularem CH. Quippe fi a puncto C ad puncta ubi Hyperbola 
3 hæc, quam H perpetuo tangit, occurrit rectæ AN ducantur lineæ rectæ, 
eæ erunt parallelæ Aſſymptotis curvarum hac Prop. deſcriptarum. Sed 
ex Lemmate 20 manifeſtum eſt Hyperbolam ad Aſſymptotos determinan- 
das aſſumptam tranſire per D & C, atque unicam ejus Aſſymptoton tan- 
tum diſtare a C quantum D ab S; unde in hoc caſu ubi D eſt inter 
. C & s patet Hyperbolam ovalem habere per C & D tranſeuntem, quæ 
5 bis occurret rectæ AN, cum CA minor fit CD; adeoque curva ha- 
bebit duas Aſſymptotos præter eam quæ perpendicularis eſt rectæ CS 
in F, quæ formatur cum recta AN occurrit Hyperbolæ ad diſtantiam in- 
finitam. Imprimis igitur oſtendimus tum ex curve æquatione tum ex 
Lemmate 2. & Corol. 6. Prop. 14. curvam habere tres Aſſymptotos quo- 
ties D eſt inter C & S atque A inter C & D. | 


Coro. VII. Sit nunc CA (Fig. 60.) major quam CD manente puncto i | 4 
B, & d-þ-c major erit quantitas quam a, & proinde a — d—c erit quan- 


5 . | . 2 — — (| . K 
titas negativa, adeoque terminus - — X negativus; cumque radi- 


6 
ces CF & SF ſint adhuc ſigni diverſi, & curva diametrum habeat, pa- 
tet Lineam tertii Ordinis deſcribi ſpeciei quadrageſimæ, & figuram con- 
ſtare ex Conchoidali ad Aſſymptoton FH, & Ovali tranſeunte vel per 
puncta C & L vel per S & L. Hac ex Lemmate 20 quoque facile '1 
conſtant cum Hyperbola defectiva ad Aſſymptotos determinandas aſ- | "4 
ſumpta tranſeat per C & D, ejuſque Aſſymptotos fit KG normalis in 
CK, fi CK SD. Nam in hoc caſu cum CA fit major CD, recta AN 
Hyperbolæ non poteſt occurrere niſi 30 diſtantiam infinitam, adeoque 
2 curva 


9 W 
45 BE SI Lots; c LIONS OY K N * . 5 55 
3 N n — . ¼ũðt1 , n 15 7 I 


— KM. n 


52 Doeſcriptio Linearum 
curva de qua agimus unicam habebit Aſſymptoton, unde cum diametrum 
habeat exit neceſſario ſpeciei quadrageſime. 
Corol. VIII. Sit nunc recta AN ad alteras partes punti C quam eſt 8, 
ſitque B inter C & 8, & æquatio ſimilis erit priori z ejuſque radices eva- 
( d, 34 f 
neſcente y erunt 5 == — —4 A Ts Quz geometrice deter- 
minantur ut prius fed ſumi debent CF, CL verſus alias partes ipſius C quam 
eſt 8. Unde ſi CA {it major SD & CF major quam CL tres radices e- 


runt ejuſdem ſigni & terminus - TED Xx 
va erit /peciei decimæ. Idem ope Hyperbolæ defectivæ demonſtrari 
poteſt. 

Corol. IX. Si SD fit major (Fig. 61.) SA & A ac D ſint ad partes 
puncti C ad quas non eſt S xquatio prodibit hujuſmodi 


4933 Xa N SEC iD Ny X a+ —dy xd x dap? 


. fy 4 . AL — C PR | 
quæ reducta ad formam Neutoni erit y* x = 2, — XX &c. Undecum 
| 3 | 


SA= a-þ:, & SD fit major SA, patet terminum ED x eſſe nega- 
tivum : Punctum vero L ubi curva ſecat rectam CS abit ad alteras partes 
ipſius C quam eſt A, atque F eſt inter C & A, unde radices FC, FS, & FL 
ſunt omnes ejuſdem ſigni, adeoque Linea erit ſpeciei 39. Locus puncti L 
ex methodo quantitatum naſcentium & evaneſcentium facillime determi- 
natur inveſtigando verſus quam plagam & ubi concurrant SR & ON cum 
quamproxime coincidunt cum Cs, ut prius monuimus. 

Corol. X. Si rectæ AN, DR, BQ non {int perpendiculares in CS, ſed in 
obliquo angulo quovis ei occurrant, ſint vero ſibi mutuo ut prius parallelæ 
(Fig. 62.) & angulus CNL = SDR, SRQ = CAN, ordinata PM paral- 
lela fit rectæ AN, ſitque PM =, CM=x, CA = c, SD Sad, CB =, 
ſinus anguli CNL ad ſinum exceſſus duorum rectorum ſupra ejus duplum 


ut 4—c ad 7, erit c X = - K- X —f)XX—x = d αͥ 


2 — X a . ON — Xx - XJx. Hæc æquatio ad for- 


affirmativus, adeoque cur- 


mam Neutonianam reduci poterit ope Prop. 8. exterminando terminos 
x*9, #Y & Y; & ſi quis calculi laborem ſuſceperit plures deprehendet 
Lineas tertii Ordinis quæ diametris deſtituuntur hac ratione delineari. 
Sed exempla hæc ſufficiunt ad demonſtrandum Lineas tertii Ordinis pun- 
cto duplice deſtitutas hac Propoſitione deſcribi; aliæ rectarum DR & 
AN Poſitiones & angulorum CNL, SRQ magnitudines aliarum curva- 
rum deſcriptionibus inſerviunt; & ex iis quæ in prioribus Corolariis de- 
monſtrata ſunt manifeſtum eſt Lineas non tantum Hy perbolicas, ſed e- 


tiam 


Nhe . n . 
Es ge 9 * * 1 5 r 
3 * 2 . 3 — % „ * 2. ſ 
CT OO RE ne oe 


1 £3 

: 3 

TOR 
£7 

70 

* 


Ouarti Ordinis. 53 


tiam Hyperbolo-Parabolicas, & pure Parabolicas quæ puncto duplice 
deſtituuntur hac Prop. deſcribi poſſe, ſed his non opus eſt diutius im- 
morari. 


Corol. XI. Si in Fig. oy. rectæ AN, DR contingant circu- 


los ſuper CG, SG deſcriptos, cui inſcripti ſint anguli dati CNL, 


SRQ, Linea detcripta non erit tertii Ordinis ſed ſectio Conica ; nam 


curva non tranſibit in hoc caſu per C vel S, & rectæ ex iis punctis e- 


ductæ non poſſunt curve occurrere in pluribus punctis quam duobus. 
Kode dl d e e Ke le dle de de d de de Ge des Ss Ke ode le. le ld Ke dd dd e ld 


PRO P. XVI. 


Ceteris manentibus ut in Prop. 14. concurrant ret 
AN, DR (Fig. 63.) cum BQ in punctis E & G, 
fit angulus CEK = CNQ,, & Linea deſiribetur ter- 
iu Ordins, que habebt punttum duplex in S; ſi an- 
gulus SRQ=SGK, Linea deſcripta erit tertii Ordinis 
habens pundtum duplex in C, & ſi utrumque contin- 
gat deſcribetur ſectio Conica. _ 


Sg CEK = CNQ, quadrilaterum CNQE inſcribi poterit circulo, a- 
deoque angulus NCQ = NEQ. Proinde angulus datus NCQ mo- 
vetur circa datum punctum C tanquam Polum, & crurum CQ & R 
concurſus ducitur per rectam infinitam BQ , adeoque per Prop. 10. con- 
curſus crurum SR & CN in P deſcribet Lineam tertii Ordinis pun- 
ctum duplex habentem in S. | | 


Quod ſi SR = SGK circulus per puncta 8, G, Q ductus tranſibit 


per R, adeoque dabitur angulus RS, unde deſcripta curva erit Linea 
Ordinis tertii habens punctum duplex in C per Prop. 10. 

Si CEK = CNQ,, & SRQ S SGK anguli NCQ & RSQ dabun- 
tur, adeoque per Prop. 1. punctum P concurſus crurum CN & SR de- 


ſcribet Conicam ſectionem tranſeuntem per C & S. 


Corol. I. Si angulus CNQ fit rectus, & ſemicirculus ſuper CB de- 
ſcriptus tranſeat per E, Linea deſcribetur tertii Ordinis. | 

Corol. II. Si puncta A & B coincidant & fit angulus CNQ = CBK 
deſcribetur Linea tertii Ordinis. 


PRO pP. 


* «a4, * 


© * 
: " # 
- 
* "ns Pw FO 
5 3 — 
o 
- 


TY , 


| 26 « &:# 7 


” MS « #. :<l 1 4 1 4 2 
E ne 


* 
* 
r 2* 
: 4 * * 
1 = +. A ——_ 
4 3 4 — 
x " 
a 2 
2 Cn lacs. Y — p n "ORD 
at _ — 2 * 1 NE On 3 FA . 2 * ——- 


— 


* 


g 
6 
3 
- 2 5 LD 
be 1 2" Eg wo 


X. 


* 


7 A, 


OP 


= * - 
us n EEE + ot ; OI ANDY * 5 * * 
* : r * X * CPI * 8 1 — — I». ts , & K * 8 1 — # 
511 e LOW x — - * 5 7 . 44 4 3 — — AA > Pp . 
322 * ** We EIS —_— © * * —. . ĩð v5 > — — 2 - 
** "2 © HO RS * _ F .. FE ab — — — — — ant — — 22 2 


.* 2 82 1 nd 
Pu — — 
5 3222 Fr "= + 


— 


4 Mc 


: — hg 0. 8 — re ; 
. ” : ES EE 2 _ = 5 RY > ry 4 4 2 "i os PIs 4 
2 * 22 — a — TFT P 
? 8 "WT 2 —— —ę—e rr ry, 1 r - — F 2 — 7 
1 LIST. eee om OE DSL ES LEES - - . 
— $a Lo — — 


- 
— 


* * as" g 
Pn - omen CRE rr 2 2.” 
——— Zona a ew x; 


pn, 


w_—— 


——— 


— 


_ 


4 - 
— = . 
* i... * 
— . n 
4 TE 
— — 8 


4 
* 
Pg 
7 


54 Deſcriptio Linearum 


8 1 2 42 2 2 78 2 2 2 24 4 27852 9 1 


PRO P. XVII. 


Moveantur ut in Prop. 14. (Fig. 64.) anguli dati CNL 
S SRQ ; /ed nunc concurſus crurum CN & SR du- 
catur per rectam infinitam BT, dico crurum NL & 


QR concur/ſum P deſtripturum Lineam quart: Or- 
aims. 


Int rectæ NU, PM, RX, TK perpendiculares in CS; fit quoque 

angulus NOC = CNL, & SHR = SRO, fit Cg normalis ex C in 
NO & SJ normalis in RH, fit CS Sa, CB , CA == c, SD = d, 
PM = 5, CM=x, AU : NU :: 8: ez BE : KT :: 4 : 5; DX 
: XR :: 4 : g; ſitque ut prius ſinus anguli SRQ ad ejus coſinum ut 4 
ad &, & ſinus anguli CNL ad coſinum ut a ad f. 


His poſitis cum triangula CgN & NPe atque triangula COg & NgF 


ſint ſimilia, erit CO: NF :: Ne: Pe. Sed CO =CU EE & 


2 


NF = NU a7 — . Unde ſi dicatur ordinata NU = E erit 


E 2 


an 13: x 61 #- . 4 e Ha? | 


11. 


ANN 2 Sen e +2, ſed CU : NU 


1 ca 


:: CK: TK. Unde ſi TK *. „ Erit 2 KM 3 & proinde 
a Xe —h eb | 


—— ———ͤædVuk — 


ac h Te a % —b* N ,. z z SR: 


— — 5 u W 

ef-a* Xx-8--fxayXcabXe-b4e*h*fcey A 2bahe* X acx —ac* + fey . 

= big e Ea — bc a + b*fce*h*y. e 

Similiter ex conſideratione rectæ DR, & anguli SRQ, alius inveſti- 

gari poteſt valor rectæ KT (= #) que ex hac facile deduci poteſt ſub- 

ſtituendo loco e, f, c, x, 6 ſymbolos g, &, d, a — x, a - cum eadem 
1 


plane ratione inveſtigandus fit valor KT ac prius niſi quod pro rectis 


AN, CM, CB & angulo CNL & nunc ſubſtituendæ ſint DR, 85 8B 
angu- 


„ . | — 


> >. $03 by * E 
PPP 


£42 
* 
&. 
l 
. 
J * 
10 
”Y 
FAY 
5 os 
1 «2 
. wh 
8 
We, 4 
Wi 
B. 
. 
5 
* 
* 7. 
. 'S 
3 
Cm 4 
r 
3 
= 
3 A 
2 


* 
: 
$i; 
5 . 
: 
* 
4 
F 
» 
Fa 
2 
. 
AS 
© 7 
"NIE 
p ; 
= 
= y 
3 
Bros 
N 
—* 
[1 * 
: 
3 
* 
. 
„ 
8 
8 
88 
* * 
of 2 
* 
* 
3 
Th 
0 
* ” 4.4 
; 8 
7 
oo 
4 
* 


Ex ſecunda patet #* & ex prima #* = 
: 7 


oP 9 | 6.» | 5 
Duarti Ordinix. 55 
& angulus SRQ ; Sit m coefficiens termini #* in prima æquatione, & 2 
ooefficiens termini « in eadem, & fi in iis coefficientibus loco e, f, c, x, 
b ſcribantur g, &, d, a — , a—b prodibunt duæ coefficientes termino- 
rum #*, 4 in ſecunda æquatione; quæ dicantur » & 9; proinde ſi di- 


2 


catur V 3 +22 === & FREY dx a- —4—b x Ad- 
kdy [ 


＋ ab X— = — 777, duo valores rectæ CT his zquationibus exprimi 


. = be ® * o ? —— 
poterint quarum coefficientes ex dictis colligi poſſunt prof Du =7 
| | 11/4 -j- au = / 


[qu 2 


„unde 2 


7 — U 7. — Im i . . 
ni æquationum prima ſcribe loco # hunc 


— 


2 93 — 
„ Tarn? 124443 | inen. 
ejus valorem & prodibit . 2 * AD ccbn— 4m , 
n — 9m 


unde reducendo prodit 1 — 2rulm lm — p*nl + pam + panr 
— me = 0. pn | . 

Cum vero in terminorum , 1, l, m, p, q valoribus quantitates » & y 
ad unam tantum aſcendant dimenſionem, & in terminis æquationis 22 


Z2rulm lm —p* ul -- pgml pand — 4 mr = 0 quatuor ſint facto- 


res, patet ſi ſubſtituantur loco 7, , /, mn, p, q eorum valores æquatio- 


nem prodituram in qua x & y erunt quatuor dimenſionum; & proinde 
lineam deſcribi quarti Ordinis. 

Corol. I. Curva tranſibit neque per punctum C neque per 8; quippe 
punctum curvæ ſemper verſatur in recta NL, quæ nunquam poteſt tran- 
fire per C, cum rectæ NL & NC in unico tantum puncto N poſſint 
ſibi mutuo occurrere, & eodem argumento conſtat curvam non poſſe 
tranſire per 8. | | 

Corol. II. Super recta CS (Fig. 65.) deſcribatur circulus, habens an- 
gulum inſcriptum æqualem ſummæ darorum CNL & SRQ, occurrens 
rectæ BT in punctis duobus H & K. Ducantur CH, CK & rectæ 
HO & KO ita ut anguli OHC, OKC æquales ſint dato CNL ; atque 
rectæ HO & KO erunt parallela: duabus curvz Aſſymptotis. Curva ve- 


ro alias duas Aſſymptotos, poteſt habere quarum poſitio {ic determinatur; 


fit Ca parallela ipſi AN occurrens rectæ BT in A; jungatur Sa occur- 
rens rectæ DR in R; atque fir SRZ æqualis dato SRQ in Fig. 64. 
& recta RL oſtendet plagam aliorum crurum infinitorum, & ſimi- 
liter quartz Aſſymptoti directio inveniri poteſt. Curvæ vero ha ſem- 
per 

3 


- 
: bs." L 
N . N * * 
2 1 4 
bad er % 
3 * 54 5 4 8 
, 2 0 * OY * & 
ay 


© 8 ” 2 
7＋ꝛÿ«2?ͤ ꝙ / „ ͤ » Oo . * 
4 , p i E " - a 4 * , a 
_ * 4 A . 1 - C 
| | 5 5 * 1 N 2 - 7 
® * 5 : Y 4 FS voy 
: | * ! 
7 —— 3. ” N 
** SET 0 8 8 1 "79 2 1 n > * n 
* AA .—- 7 8 8 5 — KA — 


* N 
— — re ne — 


9 8 < hom £4 
. . A 2 —_ 8 
„„ Ie Og 
- 7; 6338 


3 ZE * 2 1 
— - * 
bes * : 3 do — 2 —_- 
P « » Le 2 - — — 7 A — 3 
— — 9 = 2 a PS CLEDSE 
2 — — * 2 X Sy nets 
LU 


| 


13 
i 
vo 17 
1 ö 
i 93 
: 1 
„. 
* LR 
= 
3% 
= 
* F 
i 
' 
: TH 
; 
. y 
% 
- FH 
fin o 
Wy $5 
9 
98. 
NN 
* "a 
4 
Lis 
1 
N 
. . 
* 
Wi 
4 1 
8K © 
1 
1 
1 
+ 
15 
10 
147 
N. 
it 
4 115 
8 
241 
1 
9 
: 1 
51 
. 
"i 
a 
K. 
ſet 13 
C. | 
170 
44 
2. 
75 
i 
* 2 * 
i! 
1 
FH 
4 
s | 
$ * s 
mn 
13 
4 * 
n 1 p 
* N 48 
. 
We 
I. 
4 
90 
0 a 7. 
4 o * . 
7 0 
* | 
25 TY 
. E 2 
4 » 
4 1 
. 6 
1 
4: 
4 
Ef, 
we 
=_— 
44: wy 
2 1 
— 1 
E 
2 4 
0 4 
= + 
1 


* 
2 N 9 


56 Deſcriptio Linear 


per habent quatuor crura infinita, adeoque ex quarti Ordinis, quæ 
nulla habent crura infinita ſed in ſe redeunt, hac ratione deſcribi non 
poſſunt. 


SAVAN ANA Ne N Ne N ee dee, N e N e N e Ng Nui, deu; Neuß Neu; Ni AN AS AS ANA N N Ng 
Nee e ß (43 43 49-494 Ne P1008 


Pep. . 


„in Prop. præcedenie ſint AN, BT, DR parallelæ, 
Linea Her pes erit teri Gran 


Uippe in hoc caſu manentibus iiſdem ſymbolis erit 2 = 5 atque 


ideo . % , Ke. ee er? . & IX £ +5 - Xd4*u*-&Cc: 


8* 33 9 ns Ty 
D d Xx a—x— 4 +, unde n == Is od K 5 E 2 
e 3 9g X42 — 
adeoque 1 & n evadunt quantitates invariatæ; ſed r*z — zum lm 


pn pam -|-pgar — q*mr So, adeoque cum mn 8 u ſint quantitates 
datæ, ft loco 5, 9, % 7 earum valores ſubſtituantur patet in æquatione reſul- 
tante & y ad tres tantum dimenſiones aſcendere, adeoque Lineam de- 
ſcribi Ordinis tertii. | 


Corol. I. Ex conſtructione Prop. 17. patet univerſaliter fi rectæ AN, 
BT, DR concurrant in uno quovis puncto curvam per id punctum tran- 


ſituram. Cum igitur in caſu hujus Prop. ha rectæ concurrant ad diſtan- 
tiam infinitam patet curvæ Aſſymptoton aliquam rectis his parallelam 
eſſe; reliquæ duæ ope circuli determinantur ut in Corol. 2. Prop: præce- 
dentis. 


Corol. II. Cum harum curvarum aſſymptoti adeo facile determinentur, 


ex ad Neutenianas minori labore reduc! porerint inveſtigando æquatio- 


nem curvæ ad aliquam Aſſymptoton ut exterminetur terminus )“, & dein 


ad modum Prop. 8. exterminando terminum x*z. Quod fi anguli CNL 
& SRQ conficiant duos rectos curvæ erunt Hyperbolo-Parabolicz duo 
habentes crura infinita Parabolica, & duo Hyperbolica ad Aſſymptoton 
quæ cum CS angulum conftituit zqualcm pſt CNL & rectæ CS oc- 
currit in puncto O ita poſito ut AO : AD :: SB: CS. 


Corol. III. 


* 12 * 
4 
1 
1 
* 
8 


e rene Ge nes 


— ů 


5 
— 
80 . 
. 8 : 
4 
< 
p , 
> 
i 
. 
' 
Ll 
. 
— 
s n 
. 
. 
> 
oo 
» 
* 
N * 
p 
. 
— 
. 
£ 
- 
. ; 5 | * : 5 8 7 ee 0,7 2593 7... DE bara bh 63-320! wa both) "09S 4 . 0 : | « £ — { 
on * ” * Oo _ * pt 5 Pls Po W 2 * * Fi, - , Sada » * 2 2 * * 4 * * 5 + o : 7 
| r is ol rp 5 0) Hb I PINOT N ; f 9 7 a 7 f ; | 
AS ES 2 - g 
” 2 * 8 0 N " 


5 18 L 
A 


Cuarti Ordinis. 37 


Corol. III. Sint e. g. anguli (Fig. 67.) CNL, SRQ recti & Li- 
neæ AN, BT, DR omnes perpendiculares in CS, eritque fi DR=r, 
NA = 2g 12— Ty =A14Xa — 0d — X, & 2 — 20 = [XN — 45 ſed 


1 % BT NK = r N, unde 


7 = == atque adeo erit Z* 2) =x—* & 8 * 2 * 
„ Me FEY bo 
——_— Z = IX a—d—x quare cum 2 =1, » = Yb 
a—0Xc a- NC 
dby 1 | 5 — — — — ee 
Pp ==), T-, -, | =dX a—d_x; Prodibir 
| A— XC 


loco ſymbolorum mn, n, p, 9, r, I, ſubſtituendo eorum valores æquatio 
hujus formæ Ay** +By* Cx Dx E cujus coefficientes ſimplici 
calculo ſed prolixo ſunt inveſtigandæ; dividantur omnes termini per A 


coefficientem termini y*x atque fi CF ſumatur æqualis - coefficienti 


termini y*, & F fir principium abſciſſæ, æquatio prodibit forma Neuto- 
nianæ y*x =bx* cx d, ubi cum deſit terminus * patet figuram 
eſſe Hyperbolo-Parabolicam, & diametrum habere CS quoniam deeſt ter- 
minus 7. 

Corol. V. Sint anguli CNL, SRQ ut prius recti, (Fig. 68.) ſed nunc ſint 
Lineæ omnes AN, BT, DR parallelæ rectæ CS; ſitque CA = c, CBS B, 
CD , CU =z, & SK r, & patebit eſſe 2 — * ., & 


1 -M Xr =dy—d* atque dac — bd S ber, unde erit 8 — = 


” 


4 XS —2 . 2 — —.— + = - unde cum n= =I 


. & Y -A Ad 


9 
i; b—d a —abe x 
＋ e — * 2 A fi 
prodibit æquatio ubi deerunt termini 95, *, , quæ proinde ad ca- 
ſum 3. D. Neutoni reduci poteſt y* =ax* + bx* cx d. Curvam 
hoc Corol. deſcriptam Parabolam eſſe ex Corol. 2. quoque conſtat; nam 
ibi AO: SB :: AD: CS, adeoque cum puncta A & D in infinitum abe- 
ant, patet O quoque in infinitum abire, adeoque curvam reddi pure Pa- 
rabolicam. Harum æquationes earumque radicum inveſtigatio adeo pro- 
lixum poſtulant calculum ut hic n deſcribi non poſſint. Qui 
| hiſce 


& p-, 


ſubſtituantur loco p, 7, 7, 7, hi earum valores 


Mo. 
172 
I 


58 Deſecriptio Lincarim 

hiſce delectantur modum caculi ex dictis facile percipient, & majore cum 

voluptate calculum ipſi repetere poterunt quam noſtrum perlegerent. 
Corol. VI. Si ꝓ & evadunt quoque invariatæ curva erit ſectio Coni- 

ca, nam cum & M ſint invariatæ ſoli quatuor ultimi termini æquationis 

in! — zum EIL M — p pm I per — 4 mr S 

eam reddunt trium dimenſionum, in quibus reperitur vel p vel 2, unde ſi 

PR 9 ſint invariati & loco n, u, p, 9, h r ſubſtituantur earum valores 

æquatio reſultans erit ad ſectionem Conicam. 


Corol. VII. Similiter demonſtrari poteſt, quod ſi in conſtructione Prop. 


17. coincidat recta AN cum DR & anguli CNL, SRQ {int recti, Li- 
neam deſcribi tertii Ordinis. 


u re asg egg ggg edt 


PRO P. XIX. 


Ceteris manentihus ut in Prop. 14. concurſus crurum 


CN @ SR (Fig, 69.) ducatur per rectam infinitam 
BT; dico anguli ONL punctum — N deſcrip- 


turum Lineam quarts Ordlinis. 


IT NM normalis in CS æqualis „ CM= x, Else, , 
SD = d, &c. & imprimis quæratur valor rectæ QP dicendo (f 


rr) ut : ay+ fx :: ey — e: ec ＋ ar — ex. Unde 


—40)* Iaex* bf) =6*X@ porro CM: NM :: CU : UT & 
ofa xx+e—fxay 2 
proinde erit TU = — K SU Dla. 7, ſed SU: TU 


* — ay tan. 
: SK : RK, unde (ſi RK=2) erit a —bXbx—9'9: hby : : 2d þaz 


: $2 & proinde RK = — 2 ——- Sed 
1 g) — Haby 


* T RR * RK — Q PK, unde 


= x adxb — a*dy — dbbfy adbby + a == x dH — a* dfy 


_—_ doghy ey? — en? — fy — axe 8 
4 —b gb — ag*y — abby | a* bf xx T - 


147220 


8 
WS OTA CASO OM ER ; 1 ee : >. CA e S — 5 * "TE | 7 7 2 Dy DE EE OG SST r * 8 8 
b eee e eee e, e e, EO RS EIREREDRC e . SES, © Oe) 5 8 r 


» 


3 Ouarti Ordinis. 59 


a ) = A — —axXcs ahdly_ 


— 27 e — — 


— — ——— . Proinde 
Fa Xx Te —fXay a —bYghx —abby 


ducendo media & extrema in ſe mutuo prodibit æquatio, cujus termini 


erunt x*, xy*, * , xy, yt, xt, xy*, & Y, cum coeffic ientibus ſuis; 


unde patet Lineam eſſe quarti Ordinis. 


Corol. I. Evaneſcente æquatio erit hujus formæ Ax EB =o, 


cujus radices quatuor ſunt o, o, 0, — I Unde curva ter tranſibit per 


punctum C, adeoque curvæ hac Prop. deſcriptæ habent punctum tri- 


plex in C. | 

Corel. II. Revolvatur circa Polum C angulus datus TCO = L.NT, & 
crurum CT ac SR concurſus ducatur per rectam BT, & crurum RH 
ac CO concurſus deſcribet Lineam tertii Ordinis quæ occurrere poteſt 


datæ AQ in tribus punctis, & proinde ter N coincidet cum C; erit- 


que C punctum curve triplex, & in eo erit Nodus trium curvæ 
arcuum ſe mutuo ſecantium. Si vero AN dictam curvam contingat cur- 
va erit cuſpidata in C, & ſimul præter duos arcus qui cuſpidem formant 
tertius per idem punctum tranſibit; quod ſi AN in uno ſolo puncto 
dictæ curvæ tertii Ordinis occurrat, curva ſemel tranſibit ſimpliciter per 


C, & præterea ibi habebit punctum conjugatum. Univerſaliter rectæ 


quæcunque ex C eductæ in unico puncto præter C curve occurrunt. 
Corol. III. Quod ſi anguli dati TCO, TRH ſint ejus magnitudinis 
ut dum moventur ſecundum Corol. 2. ſimul coincidant CO & RQ cum 
CR, curva deſcripta hac Prop. erit Linea tertii Ordinis, & C punctum 
ejus duplex. 5 | 
Schol. Ex his Prop. intelligi poteſt quam vaſta curvarum multitudo 
ad quartum hunc Linearum Ordinem pertineat; Lineæ Prop. 14. de- 
ſcriptæ duo habent puncta duplicia, ex Prop. 19. methodo deſcriptæ 
unicum habent punctum triplex, aliæ quoque poſtea delineandæ tria 


| habent puncta duplicia, aliæ unicum punctum duplex, atque aliz deni- 


que nulla niſi puncta ſimplicia; Punta vero hxc poſſunt eſſe Nodata, 
Cuſpidata, Conjugata, vel nonnunquam partim Cuſpidata partim No— 
data. Harum etiam curvarum aliæ ſunt pure Hyperbolicæ & crura habent 
octo, quatuor vel duo tantum pure Hyperbolica; aliæ ſunt Hyperbolo- 


Parabolicæ & duo habent crura Parabolica cum quatuor Hyperbolicis; 
aliæ ſunt pure Parabolicæ & habent quatuor vel duo crura pure Parabo- 


lica; & denique aliæ in ſe redeunt & in infinitum nequaquam abeunt. 
Sed nova quoque ex diametrorum numero & crurum poſitione oriuntur 


curvarum hujus Ordinis diſcrimina. Proinde enumeratio Linearum 


quarti Ordinis præclaræ Neutoniane Lincarum Ordinis tertii ſimilis abſ- 


que immenſo calculo nequit obtineri. Sed his ſæculis quibus feliciſſimo 


I 2 Virorum 


. +7 


60 Deſcriptio Linearum 
Virorum doctorum ſtudio Artes ac Diſciplinæ omnes elegantiores, & 
præſertim Geometria, ad perfectionem ſummam properare videntur, ſpe- 
rare licet Lineas quarti Ordinis non tam diu latere poſſe extra definitos 
Geometriæ limites quam prius latuerunt ez ordinis proxime inferioris 
non ita pridem ab ipſo Geometrarum Principe in lucem prodits, 
Dixi Lineas quarti Ordinis tria poſſe habere puncta duplicia; ea vero 
nequeunt eſſe in eadem recta Linea, alias ea recta Lineam quarti Ordinis 
ſecaret in ſex punctis, quod abſurdum eſt. Linea quarti Ordinis non 
poteſt habere puncta quinque duplicia; quippe ſi haberet quinque dupli- 
cia Linea ſecundi Ordinis ſeu ſectio Conica per ea tranſiret, ut ex Prop. 4. 
manifeſtum eſt, & proinde concurſus ſectionis Conicæ cum Linea quarti 
Ordinis eſſent decem; ſed non poſſunt eſſe plures octo ex natura Linea- 
rum. Et Linea quidem quarti Ordinis nequit puncta duplicia ha- 
bere plura tribus; quippe fi quatuor puncta Lineæ quarti Ordinis du- 
plicia eſſent ſectio Conica per ea quatuor ducta Lineam quarti Ordinis 
ſecaret in octo punctis, cum punctum quodvis duplex pro duobus ſimpli- 
cibus haberi poſlit. Sed ſectio Conica per quinque quævis puncta de- 
ſcribi poteſt; ſumatur igitur punctum quodvis ſimplex dictæ Lineæ 
quarti Ordinis, & ſectio Conica duci poſſet per quatuor ejus puncta du- 
plicia & id quintum ſimplex, adeoque ſectio Conica in ea hyp. ſecare poſſet 
Lineam quarti Ordinis in novem punctis: {ed id abſurdum eſt; proinde 
Lineæ quarti Ordinis puncta quatuor nequeunt eſſe duplicia. 
Oſtendimus Prop. præcedentibus qua ratione Lineæ quarti Orninis 
duci poſſunt, quæ duo puncta habent duplicia vel unicum punctum tri- 
plex; methodos ſimiles quibus ex deſcribuntur quarum puncta tria ſunt 
duplicia, unicum duplex vel omnia ſunt ſimplicia poſtea explicabimus; 


eaſque tanquam Corolaria Prop. univerſalium Sectionis ſequentis brevita- 
tis gratia demonſtrabimus. 


CoROL, GENERAL E. 


Ex Propoſitionibus 14, 17 & 19. univerſaliter colligi poteſt, ſi in plano 
dentar tres rectæ (Fig. 69.) AE, BF, DG & dentur anguli CNL, SRH, 
& punita duo C & 8 per que crura ON & SR ſemper tranſeunt, con- 
currant vero crura ON & SR in T, & crura NL ac RH in 
& quadrilateri NQRT tria quevis puncta per datas rectas AE, BF, 
DG ducantur, punctum quartum deſcripturum Lineam quarti Ordinis. 


SECTIO 


Geometricarum UIniverſalis. 61 


eee 


SECTIO IV. 


Li generaha demonſtrantur Theoremata de deſeriptione 


Linearum Ordinis cujuſcunque, Rectarum & Angulo- 
rum datorum ope. 


Oſtquam ſpecialiori Linearum curvarum trium primorum generum 
P conſiderationi præcedentibus ſectionibus immorati ſumus, non opus 
eſt linearum altiorum ordinum examen adeo particulare inſtituere; eæ 
generaliter ſunt tractandæ & theoria noſtra Propoſitionibus aliquot in- 
finite univerſalibus hac Sectione perficienda. To 


LEMMA III. 


Dentur poſitione rectæ (Fig. 70.) AN, DR, GL, &c. anguli SNR, 
NRL, RLT, &c. & punctum S; ducantur NU, LZ. normales in CS 
To parallela rectæ poſitione date CS, occurrens ipſi LL in o, dico fi 
quantitates quevis x & y ad unam tantum dimenſionem aſcendant in valore 


perpendicularis NU, rationem rectarum To & Lo exprimi poſſe quantitati- 


bus in quibus eædem x & y erunt unius dimenſionis. 


Ex punctis N, R, L, &c. demittantur rectæ perpendiculares in CS 


ut NU, RH, LZ. & ducatur recta Ro parallela ipſi CS occurrens nor- 
mali NVU in e, & LZ in o; fit CS a, SG=g, SD= p, SA = h, ſinus 
anguli SNR ad coſinum ut à ad /, ſinus anguli NRL ad coſinum ut 4 
ad &, ſinus anguli RLT ad coſinum ut a ad , & AU: NU :: a: e. 
His poſitis cum ex hyp. x & y ad unam aſcendant dimenſionem in 


valore ordinatæ NU, patet ſi a, 6, c, d, f, ſint quantitates datæ ordi- | 


natam exprimi poſſe hac generali æquatione NU = A on Bl Sed 


ox dy + 


eso +, unde SU = 4X! e e +6 


; Sit ef + a* X ax + fbd+axay+hbfea+a*b—fe x ax» Tö i, 
& aeXax+y+b Ff x fu fthdaa Xx fy e Tf = 


62 Deſcriptio Linearum 
Et quoniam SU —ENU : NU + SU : : Ne: Re per ea quæ ſæpe 


prius demonſtrata ſunt, & ſpeciatim in principio demonſtrationis Prop. y. 
erit Ne: Re:: 1: 4, & ſimili argumento oftendi poteſt eſſe 


Re + N : Ne 4 :: Lo: Ro, unde au Ni: ai g:: Lo: Ro. 


a a 


Eadem ratione Ro + — : Lo + 2 — :: Low: To; unde Lu: To :: 
ai kuXa ＋ M Xa ki: aXau+ki++mXai+ku. Sed in va- 
loribus ſymbolorum i & « quantitates x & Y ad unam tantum aſcendunt 
dimenſionem, & a, k, mn, ſunt quantitates datæ, & proinde ratio Le ad 

To exprimitur quantitatibus in quibus x & y ad unam ſolam aſcendunt di- 

menſionem. Et ſi T fit ſemper in recta IT & angulus LT derur, fir & 

Xr parallela CS ac Ti parallela NU, ſimiliter demonſtrari poſſet ratio- 

nem Tr ad Xr exprimi poſſe quantitatibus in quibus x & y aſcendunt 
ad unam tantum dimenſionem. 


Lemma IV. 


Si numerus rectarum datarum (Fig. 70.) AN, DR, LG, &c. dicatur 
(n) & in valore NU ordinate ad primam rectam quantitates quevis x, y 
ad unam aſcendant dimenſionem, eæ ipſæ quantitates in valore ordinate LA. 
ad ultimam rectam GL erunt dimenſionum (n). . 


Iiſdem ſymbolis manentibus ac in priori Lemmate, fit præterea DH: 
RH:: 4 : , & GE: LZ. :: 4: u, dicatur LZ , & RH r, e- 


9 ritque SZ, =g +=, SH =p +>, & Lo Sa, Ro 2 8H 


22 —þ += —7 ſed per Lemma 3. ratio Lo ad Ro exprimi poteſt 


quantitatibus in quibus x & y ſunt unius tantum dimenſionis, atque fi 
au Ti t & ai +ku=s, erit Lo : Ro :: : 5, unde x — r: mp 


3 | 
AY ar ult x g - —anrt + lurs ; 
. 4 1 Ins — alt I 


tes a, J, u, g, p ſunt invariabiles & in valoribus quantitatum , s ipſæ x 
& y unius ſunt dimenſionis, unde quantitates x & y in valore ordinatæ 
LZ. (Sz) erunt dimenſionis unitate altioris quam in valore ordinatæ 
RH (=); & eodem argumento conſtat quantitates x, y aſcendere in va- 
lore ordinatæ RH ad dimenſionem unitate altiorem quam eſt earum 
dimenſio in valore ordinatæ NU; proinde cum in valore ipſius Ny U 

Int 


Geometricarum Univerſalis. 63 


ſint x, unius dimenſionis ex hypotheſi, erunt duarum dimenſionum in 
valore ordinatæ RH, atque trium in valore ordinatæ LZ ad tertiam re- 
ctam GL; proinde fi augeatur numerus rectarum aſcendet dimenſio 
quantitatum x, in valore ordinatz ad ultimam rectam & fi numerus 
rectarum fit (n) quantitates x, y erunt dimenſionum (n) in valore ordi- 
natæ ad ultimam rectam. 

Corol. Duo hæc Lemmata obtinent, licet NU fit ordinata ad Lineam 
quamvis Curvam ft NU=y, & SUD x. 


FFPFFCCCCCTCTTbTCTbTGTGTCT(TbTbTbTbTbTbTbTbbTbTbTbTbTbbbTbbbb 


PRO P. XX. 


Cæteris manentibus ut in Lemmate precedenti, detur alind 
 puntlum C, ex quo in LT demitatur ſemper CP 


angulum CPL datum conſtituens; moveantur puntta 
N, R, L, Sc. per rectas ſuas AN, DR, GL, & 


punttum P mterea deſcribet Lineam Ordinis u 2 fi 
nu denotet numerum datarum reclarum. 


X puncto P in datam rectam CS demittatur perpendicularis PM 


ordinata curvæ deſcriptæ ad axem CS, ex eodem puncto ducatur 


ad datam CS recta PT conſtituens angulum PTC æqualem dato CPL; 


ſit CE perpendicularis ex Cin PT occurrens ordinatæ PM in F, ſitque 


Po parallela axi CS occurrens rectæ LZ. in , dicatur PM), CM x, 


/ ĩ ̃ͤ d r | 


His poſitis anguli PTB, TP & CPL erunt æquales, & proinde CPE 


= LP, adeoque ſimilia erunt triangula CPE, LuP ob angulos rectos 
CEP, Pw»L; proinde erit CE : PE :: Le: Pw, ſed CE : CT :: PE 
PF, unde CT : PF :: Lu : Pw, adeoque cum fit ex hypotheſi 


recta MT= z MF = = 7 Lu — 2 —) & Pw =SM—SZ =a+x —__ 


2 


. | az 3 
erit x+ 2 : — 5 : * : n unde prodit 


2 “ 
a X A iy + ut x ay — 1 
Porro per Lemma 3. erit Lu : Po :: a T % , - mxauFt : 
a X au h f ˙ x di K; fed per idem Lemma fi NU =r on 
i =b 


; 


Dn agg as. ID DR 
r 2 hs 


des quot ſunt unitates in numero 


64 Deſcriptio Linearum 


ul 24 2—5 & r +Z E undeax41 :ay— tx (:: Lou: Po) 7 


ae e ac 


ax ab + "7 fob 4! 2 4 2 Inter- ee 


ener fte N — xf 
= 
ex qua analogia deduci poteſt valor ordinatæ NU (r) in quo  & y 


erunt unius tantum dimenſionis; proinde per Lemma 4. quantitates x, y 
in valore ordinatæ LZ. erunt dimenſionum ( adeoque valor ipſius LZ. 


erit hujus formæ LZ. = e ee Lo mw RY ee Sed x & yin 


ex" + fan- y + g - &c. 


prius reperto valore ordinatæ LZ erant duarum dimenſionum, & proin- 
de ſi duo valores æquentur, & denominator unius ducatur in numerato- 


rem alterius prodibit æquatio dimenſionum # + 2 hujus forme , 
an x ex” y — tnew ry + anex"+? &c. = Ag*x"+* &c, Ubi termini 


notantur tantum altiſſimi cum ii ad ordinem curve determinandum ſuffi- 


ciant. Cum igitur in æquatione hac x & y ad dimenſionem aſcendant 
2+ 2, patet Lineam deſcribi Ordinis »+ 2. | 
Corol. I. Si ex puncto dato C in rectam RL demittatur ſemper CI 
conſtituens angulum CIR æqualem dato RLP, punctum I erit in Linea 
ordinis »- (cu m negligatur in hac deſcriptione ultima recta GL) quæ 
occurret rectæ GL in punctis »-+ 1 3 horum duo ſint A, a, & in deſcrip- 
tione hujus Prop. cum L pervenerit ad A vel a, recta LP tranſibit per C, 
cum CI (quæ nunc evadit Cy fit ex Hypotheſi ſemper parallela rectæ 
LP; proinde coincidet P cum C, & curva tranſibit per punctum C; 
atque ubi L pervenerit ad aliud quodvis punctum rectæ GL in quo oc- 
currit dictæ curve ordinis 2, curva tranſibit per punctum C; 


unde manifeſtum eſt arcus curvæ Ai tranſire per idem punctum C, quod 


proinde erit punctum curvæ multiplex; atque idem numerus qui expri- 
mit ordinem curvæ, ſi unitate minuatur exprimet genus puncti C, ſeu 
quot arcus in eo concurrant. | 

Corol. IT. Curvæ Propoſitione deſcriptæ Cuſpidatæ ſunt quoties recta 
GL dictam curvam ordinis »- 1 contingit, & tot poteſt habere Cuſpi- 


+1 


quod ſi DR curvam hic contin- 


gat illic ſecet, curva erit ſimul Nodata & Cuſpidata in puncto C. 


Corol. III. Si demittatur ex C in SN recta CP ad datum quemcunque 
angulum, cum in hoc caſu ꝝ evaneſcat, punctum P deſcribet Lineam Or- 
dinis ſecundi; quæ quidem circulus eſt ut ex Elementis conſtat. Si 
g=1, & CP demittatur in NR ad datum angulum, linea N 

IEA rdinis 


. 
$5 
x 
. 
+ 
5 
engl 
v2 
Kt 
* 
4 
= 
54 
3 
8 
* 
E 
A 
> 
*% 
bed 
== 
. 
7 
* 
1 = 
3 
85 
1 
4 
% 
| 3 
wx 


Geometricarum Univerſalis. 65 


Ordinis tertii, & quidem Hyperbola erit defectiva ut ex Lemmate 2. 
manifeſtum eſt ; atque hac Prop. curve ſimpliciſſimæ Ordinis cujuſcunque 
deſcribuntur, cum vero methodus hæc ad paucas tantum Lineas ſeſe ex- 
tendat ei non immorabimur ſed ad generaliora progrediemur. 


ee ee 8 W W 8 8 


PROP. XXI. 


Ceteris manentibus ut in Lemmate 3. (Fig. 72.) detur 
Poſitionè alia recta BQ, angulus FCO, & punctum 
aliud C; circa quod ut Polum moveatur angulus 

FCO, & concurſus crurum SN, CF dacatur per 
reflam BO, ſi pundt a N, R, L, redtas ſuas infinitas 
percurrant concurſus crurum CO & LT deſcribet 
Lineam Oi dinis u r, fi n denotet numerum Refla- 
rum omnium poſitione datarum. 


I1Y mbolis Lemmatis 3 & 4 manentibus fit preterca CB =, PMS, 

CM =x. Similia ſunt triangula LuT & LzP, adeoque per Lemma 3. 

erit Ly: Pu: : a xai & ku * mau -E ki :: aXau-- ki f m&x ai + ku, 
ſed Lu L. — 9 & P —= SM 82. =4—+x — — = unde 


& LT, = E e Xaifkudmxan-FkilaynxauF-ki-l-nmyxai-tu 


an x au Ai Cum xai + ku ＋ aa X d EL fam au EK 
in qua æquatione patet » & y ad duas tantum aſcendere dimenſiones, cum 


ipſæ reperiantur hic ſimpliciter, & in valoribus ſy mbolorum i & « (per 


Lemma z.) unius ſint dimenſionis. Et ſimilis inveniri poteſt valor ordi- 
natæ ultimæ in ſerie quavis data, in quo x & y erunt ſemper duarum di- 

menſionum. = = 
Sed per Lemma 4. alius indagatur valor ordinate LZ in quo x & y 
ad tot aſcendunt dimenſiones quot ſunt rectæ AN, DR, GL. &c. 
Proinde erit per Lemma 4. (cum omiſſa BQ numerus rectarum Ah * 
ſit 


66 / Doeſeriptio Linearum 


Wool 2 oy 8 : 
GL Ot i) LZ win bx py + cx"—3 y*, &c 


Os LEA 2—— In utroque 
Ax - - B]. y C . y?, &c. 1 


valore terminos ſcripſimus ſolos altiſſinos cum ii ad ordinem curvæ de- 
terminandum ſufficiant. e 
X.quentur duo valores & prodibit curve æquatio hujus forme, 
a Ex - Ex y C- Ex- n =e Aw"! + e Bx), CC. 
unde manifeſtum eſt Lineam deſcribi Ordinis 2 +1. 


Corol. I. Si in RL cadant rectæ ex C ad angulos æquales dato RLP, 
concurſu earum cum RL deſcribetur per Prop. 20. curva ordinis # (non 
n 2 quoniam BQ & GL in deſcriptione hac omittuntur) & quotics 
hæc curva ſecabit rectam DR toties curva tranſibit per C; proinde curvæ 
arcus ( concurrunt in C. | - 

Corol. II. Curvæ hæ cuſpidatz ſunt in C quoties GL dictam curvam 


contingit, & tot habere poſſunt Caſpides quot ſunt unitates in numero 75 
quod fi DR curvam hic contingat, illic ſecet, curva erit ſimul Nodata & 
% | 
Corol. III. Producatur LP donec occurrat rectæ SN productæ in e, 
& rectæ CQ in 4; cum dentur anguli SNR, NRL, RLP manifeſtum 
eſt dari angulum Sea. Unde fi ſuper CS deſcribatur circulus, cui infcri- 
batur angulus æqualis ſupplemento datorum FCO & Sea ad quatuor 
rectos, occurrens datæ rectz B in punctis K & 7, & anguli QCP, 
g4Cn æquales ſint dato FCO, erunt rectæ CP, CH parallelæ duabus cur- 
væ Aſſymptotis. „5 

Corol. IV. Dum recta LP tranſit per C, fi ſimul coincidant CO cum 
CL, curva erit Linea ordinis tantum , & ſi in alio quoque caſu quo 


tranſit LP per C coincidat CO cum CL, curva erit ordinis 21; unde 


Prop. hæc non caſus tantum exhibet quibus line ordinis cujuſcunque de- 
lineari poſſunt, ſed ſinguli ejus caſus methodos ſuppeditant particulares 
curvas aliquas ordinis omnis inferioris eo qui in Prop. expiimitur deſcri— 


bendi. 


Corol. V. Concurrant rectæ AN, DR productæ in E, & ſi angulus 


SNR cum SER conficiat duos rectos, Linea deſcribetur ordinis 2. Nam 
per Lemmatis 2. Corol. dabitur angulus SRL; & proinde eadem deſcri- 
betur curva ac fi omiſſa recta AN, loco anguli NRL ſubſtituatur datus 
SRL, unde manifeſtum eſt ordinem curvæ evadere unitate inferiorem; 
ſimiliter ſi concurrant GL & DR in H, & SRL ſupplementum fir 


dati SHL ad duos rectos dabitur angulus SLT, & curva erit ordi- 
nis E — 1. 


Corol. VI. Eadem deſcribi poteſt curva ſi cæteris manentibus ut in 


Prop. loco anguli FCO revolvatur radius rectus circa Polum C, ſub- 
ſtitutis 


2 


Geometricarum Univerſalis. 67 
ſtitutis loco BQ & AN aliis quidem rectis quarum Poſitio ex Prop. 7. 
& 3. intelligi poteſt. Quippe omnes curvas hac Propoſitione deſcriptas 
faciliort illo modo poſſe conſtrui eadem ratione demonſtratur qua ſpecia- 


lem ejus caſum Prop. 7. demonſtravimus. 
Coro]. VII. Cum Linea deſcripta fit ordinis #-- r, hinc fi #=3 erit 


Linea ordinis quarti, & curva habebit punctum triplex z unde alia prodit 


methodus Lineas quarti Ordinis deſcribendi quæ punctum habent triplex 
præter eam quam demonſtravimus Prop. 19. 


eee eee eee 


PRO PP. XXII. 


| Iiſdem poſitis ac in Prop. precedente, dico ſi omnia 
puncta (Fig. 73.) Q, N, R, L, P, Sc. quorum 


numerus eſt n Pi, preter unum quodbis, ducantur per 


reftas infinitas BQ, AN, DR, GL, EP, Ec. allud 


unum deſcripturum Lineam Ordinis a 1. 


C Upponamus puncta Q, N, R, P rectas ſuas percurrere & inveſti- 
8 gandum fit quænam deſcribatur Linea motu puncti angularis cujuſvis 
L. Ut id conſtet ducatur recta quævis GL, & ſi huic rectæ curva oc- 
currat in punctis 2-1, neque aliam quamvis rectam in plano ductam in 
pluribus punctis ſecare poſlit, Linea neceſſario deſcribetur ordinis x I, 
& conſtabit Propoſitio. Ds 77 5 ons 

Movcantur imprimis puncta omnia Q, N, R, ut in Prop. 21. 
percurrat punctum L rectam GL, & linea deſcribetur motu puncti P or- 
dinis a, occurrens rectæ EP in punctis totidem; quorum duo aliqua 
ſint U, , quiz loca ſint puncti P cum L pervenit ad A & a; & ſimi- 
liter erunt puncta 2 I in recta GL reſpondentia punctis 2 1 quibus 
recta EP occurrit curvæ deſcriptæ ſecundum Prop. præcedentem. Pro— 
inde fi nunc P concurſus crurum CO & LT ducatur per rectam infini- 
tam EP, perveniat vero P ad 11 & 7 punctum L ſimul accedet ad A & a; 
& dum P verſatur in dictis punctis » + 1, quibus recta EP occurrit 
curvæ deſcriptæ ſecundum Prop. præcedentem, punctum L eodern 
tempore erit in punctis z--1 correſpondentibus rectæ GI.; & quo- 


niam curve dictæ recta EP non poteſt occurrere in pluribus punctis 
quam 4+ 1, patet punctum deſcribens L non in pluribus locis cxtitere in 


recta 


K 2 


| 


68 Deſcriptio Linearum 

recta GL dum curvam deſcribir. Curva igitur motu puncti L deſcripta 
non poteſt occurrere rectæ cuivis in plano ductæ in punctis pluribus 
quam I; aſt in tot rectam GL ſecare poteſt, adeoque Linea deſcripta 
erit ordinis 2. Sed cum nihil fit aſſumptum de puncto L quod de 
reliquis pari jure dici non poſſit, patet eorum quodvis deſcripturum Li— 


neam ordinis 2 -|- 1 ſi reliqua ducantur per rectas ſuas infinitas. Unde 
Propoſitio univerſaliter conſtat. | 


Corol. I. Hinc tot modi deducuntur Lineas ordinis cujuſcunque de- 
ſcribendi quor unitares ſunt in numero qui „ 7! ordinem curvæ. 

Corol. II. Si curva deſcribatur motu puncti Q ea habebit punctum 
ſimplex in C, ſed totuplex erit punctum S quotuplex erat C in Prop. 
præcedente; unde tertia prodit methodus Lineas quart! Ordinis deſcri- 


bendi quæ punctum habenr triplex. Plurima Prop. præcedentis Corolaria 
hic quoque obtinent univerſaliter. 5 


SESSSESSSASSSASDS SSD ASS SAS SAGE S 


PRO. XXIII. 


Cæteris manentibus ut in Pro p. 21. ducatur concurſus 


crurum (Fig. 74.) CF & RL per rectam infinitam 
BQ, & /: numerus (r) exprimat ordinem rectæ RL 
in ſerie rettarum SN, NR, RL, LT, Sc. concur- 
fas crurm CO & LT deſcribet Lineam Ordinis ur. 


T Lineæ deſcriptz ordo innoteſcat ducatur recta quævis RX, & 
U inveſtigandum {it quoties curva occurrere poteſt huic rectæ; ſuppo- 
namus concurſum crurum CO & LT duci per rectam KX & crurum 
CF, SN concurſus deſcribet Lineam ordinis z-+ per Prop. praceden- 


tem, quæ tranſibit ſemel per C, & toties per S quoties unitas reperitur 
in numero (2). Dein ſupponamus concurſum crurum CF, RL duci per 


rectam infinitam BQ, & per eandem Prop. concurſus crurum CF, SN 
deſcribet Lineam ordinis I, cujus arcus (7) tranſibunt per 8, uni- 
cus vero arcus tranſibit per C. | 


Sed in deſcriptione hujus Propofitionis concurſus crurum CF, RL 


ducitur per rectam BQ, adeoque punctum P runc erit in recta KX cum 
concurſus crurum CF & SN pervenerit ad occurſum aliquem duarum 


curvarum quas deſcripſimus, quarum altera eſt ordinis z - 1 altera or- 
dinis r 1. Sed ex natura Linearum ii concurſus poſſunt eſſe zr Cu-, 


quorum 


Geometricarum Univerſalis, 69 


quorum r fiunt in puncto 8, & unus in ipſo C; cum prioris curve 
puncta () {int in 8, & poſterioris puncta r {int in eodem, utraque vero 
ſemel tranſeat per C. Atqui concurſus crurum CF, SN in S vel C non 
ſunt conſiderandi & reliqui ſunt 2] ex puncto 8 ad eos concurſus 
ducantur rectæ SN, & ex ſecabunt datam AN in punctis » 4-7; ad ea 
puncta ſuper dictas rectas ex S eductas conſtitue angulos æquales dato 


SNR, & rectæ NR ſecabunt datam DR in totidem punctis; ducantur 


dein rectæ totidem RL & LT, & hw ſecabunt datam KX in punctis 
nr, quæ puncta erunt curvæ hac Prop. deſcriptæ. Proinde curva 
occurrit rectæ KX in punctis à e, atque adeo erit Linea ordinis 2x. 
Hæc Prop. alia quoque ratione ex Lemmate 4. demonſtrari poteſt. 
Ducatur enim concurſus crurum CF & RL per rectam BQ, & con- 
curſus crurum CO & LT per rectam datam PU, puncta angularia L, 


K, &c. per rectas infinitas & punctum N deſcribet Lineam Ordinis #-r. 


Quippe cum NV), & SU =x, manifeſtum eſt Lemmate 4. x, y aſ- 
cendere ad dimenſionem r in valore ordinatæ ad rectam BQ; fed ad 
eandem aſcendunt poteſtatem in valore ordinatarum ad rectas BQ & PU 
ob datum angulum QCP, proinde x & y in valore ordinatæ PM erunt 
dimenſionum 7, ſed per idem Lemma x, y in valore ordinatæ ad ultimam 
rectam PU in ſerie AN, DR, GL, PU erunt dimenſionum 2. Duo 
igitur prodeunt valores ordinatæ PM in quibus æ, aſcendunt ad dimen- 
5 n & r, hi vero vaiores ſunt fracti, & proinde ſi æquentur prodibit 
æquatio in qua x & y erunt dimenſionis 2 ]; adeoque linea motu 


puncti N deſcripta erit ordinis 2, quæ occurrere poteſt rectæ AN in 
punctis 2-7. Sed in deſcriptione hujus Prop. quoties N pervenerit ad 


occurſus rectæ AN cum Linea dicta ordinis 2, punctum P concur- 
ſus crurum CO & LT tanget rectam PU ; unde manifeſtum eſt Lineam 
motu puncti P deſcriptam rectæ in plano ductæ occurrere poſſe in pun- 


ctis n-þr, ſed non in pluribus, adeoque Lineam deſcribi ordinis 


nr. | oe 

l Curvæ arcus (½) concurrunt in puncto C. Quippe fi ex C 
in RL cadant rectæ CZ. ſemper parallelæ rectæ LT, adeoque conſtitu- 
entes angulum CZ R æqualem dato RLT, per Prop. 20. punctum Z erit 
ſemper in Linea Ordinis () qua rectam GL ſecare poterit in punctis (u), 
ſed in deſcriptione hujus Prop. ubi punctum L accedit ad concurſum 
rectæ GL cum dicta linea coincidunt L & Z, adeoque etiam LT & 
JC, & proinde P coincidet cum C. Unde curva hac Prop, deſcripta 
habebit puncta (#) in Polo C. 1 
Corol. II. Recta quævis ex C educta curvæ occurrere poteſt in punctis 
(r) præter ipſum C; quippe detur recta quævis CO, & quæratur quo- 
ties curva huic rectæ occurrere poſſit; cum detur CO dabitur etiam CF 
ob datum angulum FCO, & proinde datur punctum Q Ex dato puncto 
Q ad rectam NR ſemper ducantur rectæ parallelæsipſi RL, atque curva 


hac 


1 


70 Deſcriptio Linearum 
hac ratione deſcribetur ordinis (7) per Prop. 20. qua occurret rectæ DR 
in punctis (7), & quoties in deſcriptione Prop. hujus punctum R perve- 
nerit ad occurſus curvæ dictæ cum DR curva deſcripta motu puncti P 
ſecabit rectam CO; nam ubi R pervenerit ad puncta ubi linea ea ordinis 
(r) ſecat rectam DR, punctum L accedet ad totidem puncta iis reſpon- 
dentia in recta GL, adeoque dum unica data manet poſitio rectæ CO, 
recta LT poteſt varias obtinere poſitiones quarum numerus eſt 7; adeo- 
que rectæ CO occurre poteſt in punctis (7). 

Corol. II. Demonſtravimus Corol. 1 & 2 abſque Prop. hujus ope; ex 
Corol. I. manifeſtum eſt Lineam Prop. hac deſcripram habere puncta ( 
in dato puncto C; oſtendimus Corol. 2. eandem Lineam ſecare rectam ex 
C eductam in punctis / præter ipſum punctum C; unde patet rectam 
ex C eductam curve occurrere in punctis #73 atque hinc Prop. con- 
firmatur; cum hoc quoque ratiocinio prodeat ordo curve . 
Corol. III. Quemadmodum Prop. 22. ex 21 demonſtravimus ex hac 
oſtendi poſſet univerſaliter, ſi omnia puncta N, R, L, Q, P ducantur 
per rectas ſuas indefinitas pr æter unum quodvis, id unum deſcripturum 
Lineam ordinis #27. 

Co40l. IV. Cæteris manentibus ut in Prop. ſumantur in eodem plano 
(Fig. 75.) rectæ ra, ol, A, &c. quarum fit numerus (7 — 1) occurrat 
ra rectæ SN in T ſintque anguli Sre, rea dati, & fi concurſus 
crurum CF & ©A ducatur per rectam BQ dum N, R, L, r, ©, &c. 
rectas ſuas infinitas percurrunt, dico concurſum cruris CO & LT, pun- 
ctum ſcil. P, deſcripturum Lineam ordinis »--7. Corolarium hoc ea- 
dem ratione demonſtr atur ac Prop. 


Corol. V. Ex Corol. 3 & 4 manentibus 2, & r deducuntur methodi 
diverſæ Lineas ordinis 2 4-7 deſcribendi quarum numerus eſt 2] ſed 
manente ſumma 2 ipſi numeri z & r variari poſſunt diverſis modis 
nr 
2 


, Ita ut diverſas ſemper methodos exhibeant lineas eas deſcribend: : 


: | | 1-3 3 1 
Proinde ex hac Prop. deduci poſſunt modi deſcribendi curvas ordinis 


4 
NXN =I 
2 


N fi N fit numerus par, vel 


1 | 
ſi fit impar. Harum vero ali- 


quæ ſæpe coincidunt, & ſpeciatim fi N (= nr) fit numerus par me- 
thodi quæ prorſus diverſæ haberi pofſunt 1 x Corol. 3. deductæ, ubi S 


ſunt tantum — = Et » quas ſuppoſuimus eſſe n; proinde ex dicto 


numero — 1 > & methodi diverſæ quæ ex Corol. 3 & 4 


deduci 


Geometricarum Univerſalis. 71 
— N 


deduci poſſunt Lineas ordinis N deſcribendi erunt „ five N nu- 


2 
merus fit par five impar. 


Coro]. VI. Si N =4 erit al x N—1 =6; proinde ex hac Prop. de- 


duci poſſunt ſex methodi diverſæ quibus Lineæ quarti Ordinis deſcri— 
buntur; harum quatuor ex præcedente Prop. deduci poſſunt ſumendo 
tres tantum rectas (Fig. 68.) AN, DR & BQ; nam quatuor puncto- 
rum Q, N, R, P unum quodvis deſcribet Lineam quarti Ordinis, fi 
reliqua ducantur per rectas datas infinitas. Aliæ duæ methodi ex hac 
Prop. ejuſque Corol. 4. deducuntur; dentur tres rectæ (Fig. 76.) AN, 
DR & BO, dentur anguli SNQ, SRT & FCO; ducatur concurſus 
crurum CF & NQ per rectam CQ, dum N & R percurrunt rectas 
ſuas infinitas AN & DR, atque concurſus crurum CO & RTT deſcribet 
Lineam quaiti Ordinis punctum duplex habentem in C. Super CS de— 
ſcribatur circulus habens angulum SRT et inſcriptum, & ſi hic circu- 
lus bis occurrat rectæ DR curva habebit Nodum vel Crucem in C, fi 
circulus rectam contingat curva erit Caſpidata in C, & ſi recta ponatur 
tota extra circulum curva habebit Pandtum conjugatum in eodem. Sed 
fi coincidat CO cum RT dum RT tranſit per C, Linea deſcribetur ter- 
tii Ordinis, & punctum C erit ſimplex; atque hinc Line tertii Ordi- 


nis aliquæ quæ puncto duplice deſtituuntur deſcribi poſſe videntur. Si 


puncta Q, N, P ducantur per rectas datas punctum angulare R deſcri- 
bet Lineam quaiti Ordinis. Atque hæ ſex ſunt methodi quibus Lineæ 
hujus Ordinis deſcribuntur præter tres Prop. 14, 17, 19 demonſtratas. 
Lineæ motu punctorum N vel Q deſcriptæ, non ſuppeditant methodos 
diverſas ab iis quas explicuimus. 


Corol. VII. Si N =y erit N —N = 10, unde decem modi de- 
ſcribendi Lineas quinti Ordinis ex Prop. deduci poſſunt, & ſi N 6 


erit XN —N =1F. 


PRO p. 


"= 


—— — — — FRI ” * 
— - —— — 2 — 2 — 1 i — * — — * _= 
— — — ans 7: mma moe — * — — yo — - — — 
4 8 — 5 * — - 
GC; — ade he — 
Xe PSY : = > — = - X - 


— by 
—— 
— * => 


2 —— — hi nn LE —_— — — — * » > — 
— > _ 0 8 = — 4 7 Ar er ae as ws — 5 - — 
0 fm ww © — 2 — — 9 py : * * i. — —— * = S 2 8 a - 3 — — 1 L . 2 A 
: ä — — —— — — — by F . — — — Ss — et — 4 — TIS — 
a * 5 b 22 þ — N 4 > SE —— — — — — 8 n Doe TER" : — — 22 — - - r 2 IRE 4 2 
— — 2 5 — * 8 2 2 2 — - 2 9 ure PSIG n - — — — — 2 2 - 1 8 — wen 4 2 <_- 
a. e . a 2 TS. Whey — : — nay * OE > n * "6a — - * 2 — 2 , - — — — OG — — — — — - _ _—— _ » * 
4 gets" Steed: bo ORD pod 3 8 * * 1 r by — — 0 — — — — 2 te A — * — 2 RS > > — — — arty Ws a — Ä— TOI >—nanen, 6 = — 
— — A . — . — — i ns OED » ak 1 2 ad; — — * — — — — — — 2 — - 0 2 —. — = — 7 — . EDS, Ms Cr Is - 5 — * * 3 - SD 
— oe K — — > ner nnd - —— - 7 — 2 3 — XC * — En A, . 2 . - — * : 2 da _— 2 Sb * 2 L* A 3 a r wg — . — 
DL 3 — — : ? — - bps rt td ³ A * — — — : — I RSIEIEIS ERS 2 — E . — aha - 2 > ROE oh 7 . | Y 2 

— — 44 - — - — 5 : — —— .... ͤ ed RT — Beet ny ? — I_ O — — . ſ 3 8 — = — 1 no - . 
* —— DD 7 5 — - — 1 4 =." . — © \ — n — IT , nog: - 
. 2— - Fn kh p 2 4 mr —_— 
— — — - . 2 


o — 
— 4 —_— 

» CA 
£ 2 — 
3 23 

— —̃ — — 
=" — 2 

ISS 


72 Deſcriptio Linearum 


W e e 4 4264343 5 


PR Op. XXIV. 


Sumantar ad libitum rectæ (Fig. 77.) in eodem plano 


ubicungque poſt te BN, ER, FT quarum fit nume- 
rus (u). Sumantur etiam ad libitum aliæ ret DM, 
GL, HK quarum fit numerus (in) [i 4 in angul; NR, 
NRT, RTQ, Oc. atque anguli SML, MLK, 
LKO , Sc. mvariati ; dentur puncta C & S, at 


huncta angularia N, R, 1 . her 


rectas infinitas BN, ER, FT, DM, GL, HK, & 
concurſus crurum TQ 8 K er reflam AQ ; ; 


dico concurſum crurum CN & Sh deſeripturum J.i- 


aeam Ordiuis u mA 2. 


F 1 ex iis quæ Prop. 21. demonſtravimus facile conſtat. Sue 


fi bog = 5. 3 CB c, CS=a, BU: NU: a: d, exit 
NU= & C = ——. Unde cum x & ) reperiantur 1 


. * 
in valore ordinate NU ad rectam primam BN, erunt dimenſionis 2-1 


. valore ordinatæ ad ultimam rectam AQ, cujus proinde valor erit 


Ax . Bux” QC. 
TIB, ubi notantur tantum termini in quibus indices 
axrti A-, Kc. 


quantitatis x ſunt altiſſimi. 


Similiter Mz ordinata rectæ DM deprehenditur æqualis ny —» 0 
x a- -a 

„ Cs Sa, Dx: Mx rr af e. Cumque x & y ſint unius dimenſionis 

1 N ordinatæ ad primam rectam, & rectarum numerus ſi includatur 

AQ ſit - 1, patet x & y aſcendere ad dimenſionem m1 in valore or- 

dinatæ ad ultimam rectam AQ, cujus proinde valor ſecundus erit 
Ex” Ti - Fx" y, &c. 
eam +1 C, &c. 


Aquentur 


1 
1 
8 


„ 
. Yd EE 
„66227... IRE 


A 


Geometricarum Univerſalis. 73 


— Fgquentur duo reperti valores ordinate rectæ AQ, eritque 
Ae tr» Af Try, &c. S aExn Tut, &c. Unde cum index 
altiflimus quantitatum variabilium fir » | 2 patet lineam deſcribi or- 
dinis „n +2. Vel ſi numerus'omnium rectarum, fit N curva erit 
Linea ordinis NI; ita ut genus curvæ ſemper exprimatur numero 
datarum rectarum. 

Corol. I. Curvæ arcus + 1 concurrunt in puncto C, & arcus m-|-1 
concurrunt in puncto 8, nec alibi quam in C & S curva poteſt occur- 
rere rectæ CS; hæc demonſtrantur ex Prop. 20. ad modum Corol. 1. 
Prop. 21. 

Corol. II. Quemadmodum ex Prop. 21. demonſtravimus 22. ex hac 
demonſtrari poſſet univerſaliter, ſi omnia puncta N, R, T, Q, K, 
R, L, M, P ducantur per rectas ſuas indefinitas præter unum quodyis, 
id unum deſcripturum Lineam ordinis 2 , & manente numero 
rectarum, quodcunque fit punctum cujus motu curva determinatur, ma- 
nere ordinem line deſcriptæ. 

Corol. III. Manente ſumma . manet ordo curve, ſed manente 


ſumma m—+ # ipſi m & M variari poſſunt modis 2 En 


„ita ut in ſingulis 


2 
hypotheſibus C & S ſint diverſi generis puncta. Sed ipſis m & M ma- 
nentibus modi ex Corol. præcedente deduci poſſunt curvas ordinis ejuſdem 
deſcribendi quorum numerus eſt Hu . Unde fi N exprimat ordinem 
curvæ, diverſæ methodi quæ ex hac Prop. deduci poſſunt quibus curvæ 
ejus ordinis deſcribuntur erunt N x N—2 ſi N fit numerus par, vel 
{Nx N— 3 fi fit impar. At ſi N fit numervs par, cum m & n fiunt 
xquales methodi prodeunt diverſa non A - ſed 4 E ZN. 


Proinde ſubducendi ſunt N- 1 ex dicto numero N N, & 
methodi hujus Prop. diverſæ erunt N XN - 3 Æ I; adjunge metho- 


dos Corollarii 5. Prop. præcedentis, & ſumma N — 2N +1 oſtendet 


omnes methodos quas adhuc exhibuimus deſcribendi Lineas ordinis N 
ſi N fit numerus par; aſt N* —2N oſtendit methodos omnes quæ ex 
Prop. præcedentibus deduci poſſunt deſcribendi Lineas ordinis imparis. 
Unde ſi ordines Linearum exprimantur numeris 3, 4, 7, 6, &c. methodi 
omnes erunt 3, 9, IF, 27, &c. 

Corol. IV. Si in hac Prop. cæteris manentibus curva non determinetur 
concurſu rectarum CN & SM, fed aliarum rectarum quæ cum CN & 
SM datos conſtituunt angulos ad puncta C & 8, curva tamen non alia 
deſcribetur quam quæ methodo hujus Prop. deſcribi poteſt per Lemma 1. 

Corol. V. Si {mul coincidant SP & CP cum CS curva deſcribetur 
ordinis inferioris quam ſecundum Propoſitionem eſſet. Atque hinc modi 
indagari poſſunt lineas deſcribendi puncto quovis duplice aut multiplice 
deſtitutas cujus exemplum exhibuimus Prop. 15. | 


PROp. 


2 
5 


Deſcriptio Linearum 


1 

7 * 

4 

1 

7 | 
. 


4 Dees eee eee ogy oooogg)9s ; 
a | - | ; 
Prop, XXV. 

Cæteris manentibus ut in Prop. 24. (Fig. 78.) concur- | 


rant rele RT & SM in O, & /: puncta N, R, T, 
Q, K, L, M, O omnia ducantur per rectas poſitione datas 
| prater unum quoduis, dico id unum deſcripturum Li- 
neam Ordinis ms4+-$4-n4-1 fi s denoiet ordinem 
Linee RT in ſerie rectarum CN, NR, RT, TQ. 


2 9 * r 5 > 3 yo . 4 N — * 
lor N & 5 8 * 18 * 
! 2 ih AST. ; 5 n 
n 80 "$5 ROSS Et on Go ²˙ AA PPS ts FF FR BR Art 


Oveantur imprimis omnia puncta R, T, Q, K, L, M, O per 
M rectas datas ER, FT, AQ, HK, GL, DM, OY & oftendam 
Lineam motu puncti angularis N deſcriptam eſſe ordinis n E; un- 
de facile erit Prop. univerſalem reddere. | 
Cum ordinata curve ad axem CS fit NU =, & abſciſſa fit CU = x, 
erunt per Coro]. Lemmatis 4. x & y dimenſionis s in valore ordinatæ 
/ ad rectam OY ; fed fi ordinata rectæ OY dicatur 2, ordinata rectæ 


—. nn = — — — 
3 5 — — A 
Mr WT Oe” EAI —— - E 
"a — a> * * — * re Go — uf" 4 —_—_— — 
1 8 r 8 ESE 


i DM =z, SY =f, SD h, ſinus anguli SVO ad coſinum ut à ad 4, 
9 : DO Ny: dheu 
| & ſinus anguli SPM ad coſinum ut a ad e erit & = eee 7 or 


11 
x 
44 ; 
I 


n In — 
> 


unde quantitates x, y erunt dimenfionis 5 in valore ordinate ad rectam 
DM. Sed per Lemma 4. erit (u) ordinata rectæ DM dimenſionis mu 1. 
in valore QI ordinatz ad rectam AQ, & proinde quantitates x, y erunt 
dimenſionum ms &, in valore eodem. | VN 

Sed alius ex eodem Lemmate prodit valor QI ordinatz ad rectam A 
ex conſideratione rectarum ER, FT, AQ & angulorum datorum CNR, 
NRT, RTQ in quo  & y erunt dimenſionis » + 1. Ægquentur duo 

hi valores ordinataz Ql ad rectam AQ, cumque {int fracti ducatur Nu- 
merator unius in Denominatorem alterius, & prodibit æquatio in qua 
folzx quantitates variabiles x & Y erunt dimenſionum ms + + +1; 
fed y eſt ordinata curvæ motu puncti N deſcriptz & x ejuſdem abſciſſa, 
& proinde ea linea curva erit ordinis ms +5 zu +1. 

Siquidem vero punctum N deſcribat Lineam ordinis ms +5 AI, 
eadem ratione qua Prop. 2 2 ex 21 demonſtravimus, oſtendi poteſt Lineam 
motu puncti cujuſvis omnium N, R, T, Q, O, K, L, M deſcriptam, 
dum reliqua rectas poſitione datas percurrunt, fore ejuſdem ordinis. 


Corol. I. 


1 
Ws. 
'- 
bs”. 
„ 
3 
17 
oY 
. 0 
* * 
135 
[4 
0 4 
„ 

i 
<4 

4 


. IS ae ers 
— r — 
= JF" 


1 — _— A 
— K x. 


* 


bs — 


3 


. 3 55 
2 8 . ApS IE es . 23 
as Re Ns ooo 


ta motu puncti O occurrat rectæ OY ; ut id con 


Geometricarum Uniderſalis. 7 

Corol. I. Curve arcus ms s in eodem puncto S concurrunt, & recta 
quævis ex S educta occurret curve in punctis rantum à - 1 , hac ope 
Prop. 20. facile demonſtrantur eadem fere ratione qua Coroi. 1 & 2 
Prop. 23. ex Prop. 20. deduximus. 

Coro). II. Sis =2, m=1 & MD Linea erit Ordinis quinti; atque 
hæc ſimpliciſſima eſt deſcriptio Linearum hujus Ordinis, cum nec plures an- 
guli nec rectæ ad eas deſcribendas neceſſariæ ſint quam ad Lineas ordinis 
quarti delineandas adhibuimus Prop. 14, 17 & 19. Curve hx habent 


punctum quadruplex in 8, & rectisex S eductis in uno ſolo puncto occur- 
runt 3 ex vero per C nequeunt tranſire. 


NN eee eee 
. PROP. XXVI. 
Cæteris manentibus ut in Prop. 24. (Fig. 77.) „i ( 
exprimat ordinem rectæ RT in ſerie reflarum CN, 
NR, RT, TQ, & (7) ordinem redtæ LK in ſerie 
SM, ML, LK, KQ, Linea deſiripta motu puntt: 
O concurſus rectarum RT, LK, aum puntta N, R, 
T, Q, K, L, M percurrunt rectas infinitas datas 
BN, ER, FT, AQ, HK, GL, DZ, erit ordinis 
ms + Ar + Sr. 


Uoniam punctum Q rectam AQ percurrit manifeſtum eſt ex 
2 Prop. 24. concurſum crurum CN, SM deſcripturum lineam ordi- 
nis » +m—+2. Proinde ad ordinem lineæ motu puncti O de- 
ſcriptæ inveſtigandum, negligantur rectæ FT, AQ, HK, & ſuppona- 
mus concurſum crurum CN, SM duci per Lineam ordinis # + #2 + 2 
Prop. 24. deſcriptam, quæ puncta habet » +1 in C, & n N iin 8 per 
Corol. I. ejuſdem Propoſitionis, & quæratur ordo lineæ deſcriptæ motu 
puncti O concurſus crurum RT, LK. 9 
Ducatur re&a quævis OY & inveſtigandum fit 2 linea deſcrip- 
et ſupponamus con- 
curſum crurum RT, LK duci per eam rectam OY, & concurſus cru- 
rum CN, SM deſcribet Lineam ordinis r +s per Prop. 24, qua oc- 
curret Linez ordinis » ++ +2 in punctis ur n mr m- ir +25 
cx natura Linearum. Linea vero ordinis »-+- m 2 puncta x ＋ 1 ſunt 


2 In 


— 


— — — =_ — — — — —: — — IEION — — — * * = 5 23A r PRI * 
- - 5 ; EIT NN CHEE Ax: T PU — 5 r A - * r 2 bo 6 2 r . 2 2 7 * 
3 8 — — ö » n * a FU TI — * . 4 — —e—H 2 * yo 42 _ 8 e - * X _ 
4 * As Sox bs ks 7 1 = 52 28 mT — ——— — 4 4 . * * — as oY 7 gen Fo - = _ - 5 * — 8 — rs — — > >» T 2 — > als BAS. ain _ 4 £4 2 — —— —— if - 
— 1 . J-" — —ũ—u7—— 2288 — — — - p 2 
"< * ave + ANI 1 — — - — r 3 ” — l * — „ 2 26 — 
- * 
3 


3 ” 


— 
— — 2 
S 


76 Deſcriptio Linearum 
in C, & puncta m ＋ 1 in 8; Lineæ ordinis r , puncta s ſunt in C, 
& r in S; proinde harum Linearum occurſus 16 ſunt in C, & mr 
in S; aliz vero earum interſectiones poſſunt eſſe ms + nr + r +5. Sed 
cum concurſus crurum. CN, SM ad eas interſectiones accedit erit con- 
curſus crurum RT, LK in recta OY, & in nullo alio caſu in ea recta 
crura RT, LK poſſunt concurrere; ſed cum concurſus crurum CN, 
SM fit in C vel in 8, rectæ RT, LK non poſſunt concurrere in rea 

OY ; niſi forte Lineæ ordinis a Z & r +5 ſe mutuo contingant. 
in iis punctis C, 8, quo in caſu duæ interſectiones abeunt in unum pun- 
&um contactus, & altera earum interſectio erit neceſſario aliqua earum 
quas non ſuppoſuimus eſſe in punctis C, 8. Proinde interſectiones ſunt 
ms Tur +-r + Linearum dictarum, ad quas cum accedit concurſus 
crurum CN, SM, rectæ RT, LK concurrunt in aliquo puncto rectæ 
OY, & plures ejuſmodi interſectiones non ſunt. Proinde Linea deſcrip- 
ta motu punCti O ſecabit rectam OY in punctis ms þ xr + s -þ r, & 
non in pluribus. Cumque idem de alia quavis recta in plano rectarum 
datarum ducta demonſtrari poſſit, liquet lineam motu punti O deſcrip- 
tam eſſe ordinis ms ＋ ur TT. . 

Corol. I. Hinc fi + =1 erit Linea ordinis ms + s + #1, & curva 
determinabitur concurſu rectx RT cum SM, qui caſus eſt ſpecialis Prop. 
hujus univerſaliſſimæ quem Prop. præcedente alia ratione demonſtravi- 
mus; & is eſt quem propoſuimus in Actis Philoſophicis, No 359. 

Corol. II. In caſu quem figura deſignat ubi » =m=5s=r=3 Linea 
deſcribitur ordinis 24 | 

Coro]. III. Eadem ratione qua Prop. 22 ex 21 demonſtravimus oftendi 
poteſt curvam ejus ordinis qui in Prop. hac explicatur deſcribi motu. cu- 
juſvis punctorum N, R, T, Q, K, L, M, O, ſi reliqua per rectas 
ſuas indefinitas ducantur, & anguli iidem ut prius maneant invariati. 

Corol. IV. Curve ordinis infimi quæ hac Prop. deſcribuntur ſunt ex 
Ordinis quarti; quæ deſcribuntur cum n =u=5s=r =1. Si s vel 
7 ſint numero binario æquales & m n =1 curva erit Ordinis ſexti. 

Corol. V. Si ſuper CS deſcribatur circulus cui inſcribi poſſit angulus 
datus æqualis angulo SML + MLR — CNR — NRT, hic circulus 
occurret rectis CN & SM in eodem puncto dum crura RT & LK e- 
vadunt parallela & curva abit in infinitum. Sed rectæ CN & SM per 
Prop. præcedentem concurrunt ſemper in curva quæ Linea eſt Ordinis 

n m +2 quæque ditto circulo occurrit in punctis 2» + 2m | 4, ho- 
rum vero concurſum x i ſunt in C &m—+ 1 ins, & reliqu ſunt 
nm 2; ſed ubi P concurſus crurum CN & SM pervenit ad con- 
curſum curve dictæ & circuli, crura RT & LK quorum concurſu curva 
hujus Propoſitionis determinatur evadunt parallela, & curva excurrit in in- 
finitum. Proinde curva habebit Aſſymptotos # + m - 2 parallelas rectis 
| RT & LK ubi CN & SM concurrunt in circulo deſcripto ſuper CS ha- 


bente 


2 
8 N ra _ 
e 8 


Nes * " WP ” wy * * " 6 . * W IE » * * 
4 n * x * - ? Yy bag hr; * F ons nt Eh, A 
eee n . 3 ; 8 EE ELON oe So En hs en ISR Fe VE e 
es T ou PC cs ray * = > : * I s 2 N 


\ Geometricarum Univerſalis 75 
| bente angulum prius determinatum ei inſcriptum. Curva vero plura ha- 
g bebit crura infinita quam quæ ſunt ad eas Aſſymptotos, nam ubi recta 


RT vel LK abit in infinitum curva quoque abit in infinitum, & alia for- 
mantur crura curve infinita. x 


bs Bu) 
„ 
N * 
5) 


NANA ANA ANANAN AE 82 NANO WWZNVZ NZ NO DAS NAN ANNAN ANA AN AS AAU ANUAUNVASEA 
e ß ß 


PRO P. XXVII. 


Cæteris manentibus ut in Prop. 24. (Fig. 79.) ſumantur ad 
libitum rectæ in eodem plano bn, er, &c. quarum nu- 
merus dicatur (s—1) & redtæ aliæ dm, gl, &c. quarum 
numerus ſit (r— 1) dentur anguli Sur, urt, &c, & 
anguli Sml, mib, &c. ducatur concurſus rectarum TQ 
& KQ ut in Prop. 24. per rectam datam BQ, & 
concurſus crurum rt & I deſtribet Lineam Ordinis 


ms gur SY. 


— a 
e eee eee 1 
7 e 


IT O concurſus crurum rt, It, & ſi O ducatur per rectam quamvis: 

OY in plano figure ductam, rectarum SN & CM concurſus deſcri- 
bet Lineam ordinis 7+ per Corol. 4. Prop. 24. Unde demonſtratio hic 
eadem ratione procedit ut in Prop. 26. quam non opus eſt repetere. 


SCHOLIUM. 
Propoſitionibus his Theoriam exhibuimus deſcriptionis Curvarum- 
motu angulorum per lineas rectas adeo ſimplicem & univerſalem goon 6 
rei natura admittere videtur. Recta eſt omnium. Linearum prima & in 
noſtris conſtructionibus poſtulatur; earum unius ope Linearum Ordinis- 
ſecundi ſy ſtema proxime ſimplex deſcripſimus; atque his duobus primis 
Linearum ordinibus concludebatur fere integra veterum Geometria; & 
raro ulterius provehebantur niſi ad unam aut alteram aſſumendam altioris-: 
ordinis ad ſolutionem Problematum difficiliorum obtinendam. 
Recentiores novos quidem aperuerunt curvarum campos in infinitum 
diffuſos, & ardua ſatis T heoremata de earum menſuris variiſque proprie- 
tatibus demonſtrarunt, utpote eximiæ methodi Fluxionis ope præditi. 
Aſt plerique dum ſuas ſpeciales condunt Fheorias, varium perpetuo ad- 
hibent curvas in ordines redigendi modum, primarii hujus propemodum 
Immemores-. . 


[ 
v3 
j 
2 

'14 
14 

Fs 
LY” 
fi 
1 
8 
* 
* 
i 
by 
4 


en 9 
—ů — 


.  — 
"Sfp ene — => 9 


"i= — | 
OE i ne. IE 


— 


— 


— ee Cr nag 
B:. Tir =mek-.".: 
— — . 
* 


— 


-- 


ne Aa h = * 
—— es 5 0 
_— = bl 
F A 2 a 
* N 


— 
r 


1 
. 
i 
U 
LY 
. 
* . 
* c 
rf 
, » „ 
"+ « 
2 
, 1 
[+ +I 
* .# 
A 3 
oy. 
1 
N N 
"374 < 
. 
17 5s 
el 
1 
24 
$ 
* 
. 
4 
it 
4 J 
3 
«#7 
+4 
£78 
r 
* , 
1,15 34) 
. 
1 
' 
T% . * 
( N 
14 
A 
* 
wt 
"ta 
$ 
1, 
* 
* 
"x 
. 
* 
IT | 
i 
2 
4-4 
l 


x 
* 
74 
1 
* 
iv 


— — 
"7. a - 9 * 
_- n 


— — 
r 
PR 


hn. ane, 
— — 
3 


* a q 
78 Daſeriptio Linearum 
immemores. Sic inter viros illuſtres de re Geometrica qui bene merue- 
runt plures curvarum Hyperbolicos & Parabolicos novos conſtruxerunt 
ordines, quorum exemplo ducti ſimiles Spiralium claſſes compoſuerunt 
D. Fermat & Varignon; Cl. Geometra D. de la Hire, ut veteres conchoidem 
ex recta, ita ſpecies complexiores aliquas ex ſimplicioribus conſtruere do- 
cuit; D. Nicol curvas ſuper baſes ſibi æquales rotavit ad complexio- 
res Geometricas delineandas & novo artificio Geometriam adauxit ; IIIi 
quidem aliique, quorum induſtriam laudandam non opus eſt hic memo- 
rare, ſtudio felici Mathematicas Diſciplinas promoverunt; univerſi ta- 
men ante ipſum Neutonum vel ſpecialibus tantum curvis operam de- 
derunt, vel neceſſariam qua uſt ſumus curvarum diſtributionem 
perfunctoria ſolummodo meditatione dignati ſunt. Methodus vero 
D. Neutoni neque ad omnes Lineas cujuſvis ordinis, nec expreſſe ad 
aliquas omnium ordinum ab ipſo Auctore extenditur; proin deſide- 
rari videtur methodus aliqua generalis cujus ope Lineæ Geometricæ, ſe- 
cundum interſectiones ſuas cum recta in ordines diſtributæ, poſſunt ita 


deſcribi ut unicuique ordini ſua deſcriptio competat, non minus quam 


æquatio ſua generalis Algebraica; & poſt tanta nova de curvarum qua- 


draturis inventa, quibus Geometria ampliſſime ditata eſt, pauca quidem alia 
ad eam Geometriæ ſublimioris perfectionem quam ſperare licet obtinen- 
dam deſiderari videntur. Nos vero tantum finem in præcedentibus aſſe- 
cutos eſſe nequaquam profitemur; cum varia de curvarum deſcriptione 


problemata proponi poſſint quibus conſtruendis ea non ſufficiunt; ſed ad 


eam Geometriæ perfectionem obtinendam viam ſtruunt quæ jam demon- 


ſtravimus, & ad eundem finem conducere poterint quæ ſequenti parte 
ſumus demonſtraturi. 

Oſtendimus ſatis prolixe quouſque lineæ rectæ conducere poſſunt ad 
Lineas omnis ordinis deſcribendas; ſed ut Theoria noſtra reddatur adhuc 
univerſalior proxime inveſtigabimus quæ Lineæ ex aliis quibuſcunque de- 
ſcribi poterint. . „ 


Pars 


— — - 2 „„ 8 - - 8 * — —_— — — = _ — PILSY - — 4 — . hy Tipe: omar; rn 623m Aies. 0-4 r - — 8 2 Cunt Ar rr 
— P FFP n 2 — 2 — 4 * - "_ 8 WY Sr: 1 «ERS ED — — = RE —— — 5 £ 7 — — —— — — . 
2 AS dA AA ETA FD > : . uo „r - — ye" — 1 F 2 . * ns 


Curoarum Untverſaliss 79 


205 


ee 
i | 


Pans SECUNDA. 


CI Linea ommium Ordinum altiorum de. 
ſeribuntur ope Linearum Ordinis cujuf 
cungue mnferiorts. 


!!!!!! ᷣͤ 


x  SECTHIO J. 


Ubi demonſtrarur Organica Curvarum deſeriptio 
Neutoniana. 


CESSES SSIS. 


Prop. I. 

Circa data puncta C, S ut Polos (Fig. 1.) moveantur anguli 
dati FCO, KSH, ducatur concurſus crurum CF, SK per Ce- 
Hionem Conicam AQS per Polum alterutrum S tranſeuntem, 


& duo reliqua crura CO, SH concurſu ſuo P Safer ens Li. 
ucam tertii Ordinis. 


N We Sectionis Conicæ ducatur recta quævis ED, & inveſti- 
5 7 | gandum fit quoties recta hæc Lineæ deſcriptæ poteſt 
5 4 occurrere. Supponamus crurum CO, SH concurſum P du- 
ci per rectam eam indefinitam ED, & per Prop. 1. Partis 1. 
concurſus crurum CF, SK deſcribet Sectionem conicam tranſeuntem per 
polos C S quæ occurrere poteſt ſectioni datæ AQS in "_ — 

xy F. 


80 Deſcriptio Linearum 


M, N, T præter punQum 8, at non in pluribus: Proinde in deſcriptione 
hujus Prop. quoties Q concurſus crurum CF, SK ſectionem AQS 
percurrens pervenerit ad puncta tria M, N, T, erit punctum P con- 
curſus crurum CO, SH in recta ED, & in nullo alio caſu eam re- 
ctam tanget. Nam cum Q concurſus crurum CF, SK accedit ad 
punctum 8 recta SK ſectionem conicam tangit in S, & fi runc concur- 
rant CO, SH in puncto G, id punctum nequit eſſe in recta ED niſi 
punctorum M, N, T aliquod coincidat cum 8 & duæ ſectiones CMS, 
AQS ſe mutuo contingant in S. Unde manifeſtum eſt curvam delinea- 
tam motu puncti P ter poſſe occurrere rectæ ED fed non ſæpius; cum- 


que idem de alia quavis recta in plano curvæ ducta demonſtrari poſſit, 
liquet Lineam deſcribi Ordinis tertii. | 
Hæc Propoſitio aliter demonſtratur ex Prop. 11. Partis 1. oſtendimus 
in ea Propoſitione ſi angulus SN (Fig. 2.) angular: puncto N percur- 
rat rectam datam BN, interea moveatur angulus FC? circa polum C, 
concurſus crurum Cy & Ng ducatur per rectam datam Bq & denique 
ſimul coincidant CF & SN cum CS, punctum Q deſcripturum ſeCtio- 
nem conicam tranſeuntem per S non vero per punctum C. Sit hæc 
ſectio conica AQS, & deſcriptio hujus Prop. ad eam reduci poterit Co- 
rol. 3. Prop. 10. Partis 1. ubi curva deſcribitur concurſu cruris CO 
cum SR angulum datum RSN conſtituente cum SN. Proinde curva 
erit Linea Ordinis tertii, & deſcriptio hujus Propoſitionis ad deſcriptio- 
nem Prop. 10. Partis 1. reduci poterit, ft ex Prop. 11. omnes ſectiones 
conicæ conſtrui poterint, & punctum S in ſectionis puncto quovis ex- 
iſtere. N 
Corol. I. Curva habet punctum duplex in 8, & tranſit ſemel per C; 
ut ſatis manifeſtum eſt ex Corol. 1. Prop. 10. Partis 1. ſi AQS fit ſectio 
conica earum quæ deſcribi poſſunt methodo Prop. 11. Sed idem hinc fa- 
cile conſtat univerſaliter quod curva tranſeat per 8 (Fig. 1.) cum CO co- 
incidit cum CS, & (ſi ICS = FCO) CF cum CI vel CU, & SK cum 
S1 vel SU; proinde curva tranſit per S in duabus Poſitionibus rectæ 
SH cujus concurſu cum CO curve puncta determinantur, adeoque erit 
O 8 curvæ duplex, & SH in duabus is Poſitionibus duos arcus 


curvæ concurrentes in 8 continget. 5 
Corol. II. Hinc fi recta CI angulum ICS conſtituens æqualem dato 
FCO bis occurrat ſectioni conicæ, curva habebit Nodum vel Crucem in S. 
Quod ſi IC ſectionem contingat, curva habebit CH idem in S; ſi deni- 
que recta IC tota fir extra ſectionem conicam, curva habebit Punctum 
conjugatum in 8: In primo caſu duo curvæ arcus tranſeunt per C, in ſe- 
cundo punctum P ſemel ad punctum S accedendo & ab eodem puncto 
dein regrediendo duos deſcribit arcus qui cuſpidem acutiſſimum formant 
in 8; in tertio vero caſu recta CO nunquam coincidit cum C. 
5 Corol. III. 


1 


Curvarum Univerſalis. 81 

Corol. III. Curva abit in infinitum (Fig. 19 quoties crura CO, 8H 
evadunt parallela, five quoties angulus CQS evadit ſupplementum angu- 
lorum QUO & QSH ad quatuor rectos; proinde fi ſuper CS deſcriba- 
rur arcus circuli, cul angulus æqualis dicto ſupplemento inſcribi poterit, 
is in tribus punctis præter polum S occurret Sectioni conicæ AQS z 
cumque punctum Q concurſus crurum CF, SK ad hæc tria puncta per- 
venerit curva abibit in infinitum, ſint ea puncta m, u, t & ad rectas 
Cm, Cn, Ct conſtituantur anguli XC, YCn, ZCt æquales dato FCO, 
& rectæ CX, CY, CL erunt parallelæ tribus curvæ Aſſymptotis & pla- 
gas monſtrant crurum infinitorum. 

Corol. IV. Ducatur tangens ſectionis conicæ ad punctum (Fig. 1.) 
& in tangentem ex polis C, S demittantur perpendiculares P & p, ſumatur 
dein CV ad CS, ut PX Sm? ad P Xx Sm —px Ci, & ſi ad M conſtitua- 
tur recta parallela rectæ CX, ea erit Aſſymptotos curvæ, & ſimili ra- 
tione aliæ duæ Aſſymptoti determinari poſſunt. Quod ſi circulus cui 
inſcriptus eſt angulus æqualis ſupplemento datarum QCO, QSH ad 
quatuor rectos ſectionem conicam AQS contingat in coibunt puncta 
duo m, ½ vel m, # & duæ Aſſymptoti parallelæ rectis CX, CY vel 
CX, CJ. coeuntes ſimul abibunt in infinitum, & crura duo curve e- 
runt Parabolica. Quippe ſi recta ſectionem conicam contingens etiam 
contingat circulum, erit ex natura circuli P: p :: Cm?* : Sm, adeo- 
que cum CV: CS :: P x Sm.: PX S —p x Cm? crit CV infi- 
nita. 

Corol. V. Ex præcedentibus Corollariis curvæ ſpecies non difficulter 
indagari poteſt; quippe ducta recta CI ſecundum Corollarium 2. facile 
conſtabit an curva fit Nodata, Cuſpidata an Punfata in 8; & ducto cir- 
culo ſecundum Corollarium 3. ex ejus interſectionibus cum ſectione conica 
AQS innoteſcet numerus & poſitio crurum curve infinitorum. Si cir- 
culus in tribus punctis præter polum S ſectioni conicæ occurrat, curva 
conſtabit ex tribus Hyperbolis ad tres Aſſymptotos; ſi circulus ſectioni 
occurrat in punctis duobus 8, T, & in alio puncto ſectionem contingat, 
curva duo habebit crura Parabolica & totidem Hyperbolica; ſi circulus 
ſectioni occurrat in uno tantum puncto præter 8, curva unicam habebir 
Aſſymptoton eritque Hyperbola defectiva; ſi circulus ſectionem contin- 
gat tantum nec eum omnino ſecet curva erit Parabolica. Si ſectio 
conica AQS fir Parabola vel Hyperbola, & S fir terminus cruris alicu- 
jus infiniti, & loco anguli KSH ſubſtituatur recta quæ ſemper movetur 
parallela alicui ſectionis conicæ Aſſymptoto, curva habebit punctum du- 
plex ad diſtantiam infinitam, eritque Hyperboliſmus Hlyperbolæ, Hyper- 
boliſmus Parabolæ, Parabola Carteſiana vel Parabola Cubica. 

Corol. VI. Si (Fig. z.) erura CO, SH ſimul coincidant cum CS, curva 
hac Propoſitione deſcripta erit Sectio Conica; ſit D punctum ubi recta 
ED occurrit datæ CS, & ſit B punctum ad quod cum acccdit Q co- 

NM incidunt 


82 Deſcriptio Linearum 
incidunt ſimul CO, SH cum CS, & ſi punctum P cujus motu curva 
deſcribitur ducatur per rectam ED, cum P pervenerit ad D concurſus 
crurum CF, SK erit in B; proinde ſectio conica deſcripta concurſu 
crurum CF, SK occurret ſectioni AQS in punctis B & 8 & præterea 
in aliis duobus M, N, cumque in deſcriptione hujus Propoſitionis per- 
venerit Q ad B, punctum P non erit in recta ED, niſi M vel N coin- 
cidat cum B; proinde curva deſcripta occurret rectæ ED tune tantum 
cum Q pervenerit ad M vel N, adeoque bis tantum ſecabit rectam ED 
ſeu aliam quamvis in plano curvæ ductam, & proinde Linea deſcripta 
erit ſecundi Ordinis ſeu ſectio conica. In hoc caſu punctum S evadit 
ſimplex, & Linea non tranſit per punctum C. 

Corol. VII. Sit ſectio conica AQS circulus; cumque in duobus tan- 
tum punctis circuli ſibi mutuo occurrere poſſint, manifeſtum eſt ex Corolla- 
rio 7. Hyperbolam deſcribi defectivam quæ unicam habet Aſſymptoton. 
Quod quidem prius demonſtravimus in Corollariis 3 & 4, Lemmatis 2, 


3 I, ubi anguli FCO, KSH fibi mutuo ſupplementa ſunt ad duos 
rectos. 


Corol. VIII. Si AQS (Fig. 1.) fit Parabola Apollonia, S ejus vertex 


punctum vero C fit ubicunque in ejus axe, anguli KSH, FCO recti, Lineæ 
erunt ex ipſæ quas Exemplo 22. Schol. Prop. 9. Partis 1. deſcribere do- 
cuimus ſpecierum 68, 69 vel 70. StS fit in vertice Hyperholz, æqui— 


lateræ (Fig. 4.) punctum C fit in axe figuræ, fir CS = , PM =, 
SM = x, & latus tranſverſum dicatur à crit y — b—aXy? =x*—bx*, 


quæ nullo labore ad formam Neutonianam reduci poteſt; atque curva erit 
ſpeciei 11, 12 vel 13. Si S fit in concurſu (Fig. 7) Hyperbolæ æqui- 
lateræ cum Aſſymptoto ſua ad diſtantiam infinitam, ſitque C ubicunque 
in eadem Aſſymptoto angulus FCO rectus, & recta- SH moveatur ſem- 
per parallela Aſſymptoto CS occurrens cruri CF in Q puncto Hyperbo- 
læ, Linea deſcripta concurſu rectæ SH cum CO erit Parabola Carteſiana 
cujus æquat io ad Aſſymptoton CS (ſi diſtantia punti C a centro Hyper- 
bolæ dicatur , & ordinata Hy perbolæ ad punctum C Aſſymptoto. per- 
pendicularis dicatur a) byx — abx = y** Si cæteris manentibus fit S8 
in concurſu Hyperboke cum altera Aſſymptoto in quo non eſt C curve 
:equatio erit aby = -& ＋ , adeoque curva deſcripta erit Parabola 
Cubica omnium fere Linearum tertii Ordinis maxime celebris. Harum in- 
veſtigatio cuivis qui calculum tentaverit erit facillima; plura vero hujuſ- 
modi exempla proſerre ſupervacaneum duco. 

Coro]. IX. Hujus Propoſitionis ope Linea tertii Ordinis duct poteſt 
per ſeptem data puncta quorum unum eſt punctum duplex. Dentur 
(Fig. 6.) ſeptem puncta S, C, M, N, T, R, I., Lineæ deſcribendæ 
quarum S duplex ett. Jungantur punctum S & alia duo quævis puncta 
ut C, M, & trianguli MCS rotetur tum angulus MSC circa polum 8, 

tum 


2 


Fe 
9 
"4 
2 
8 
* 
1 


FA H aA LM. ea. hawd 


pup my 


Curvarum Univerſalis. 8 3 


tum angulorum reliquorum alteruter MCs circa verticem ſuum C; 
applicetur concurſus crurum CM, SM ſucceſſive punctis datis N, T, 
R, L, & interea concurrant crura refiqua CS & SC in punctis quatuor 
B, D, E, F. Per puncta illa quatuor & quintum 8 ducatur ſectio co- 
nica per Prop. 4. Partis 1. & anguli MSC, MCs ita rotentur ut cru- 
rum SC, CS concurſus percurrat ſectionem illam conicam & concurſus 
reliquorum crurum deſcribet Curvam per data puncta 8, C, M, N, 
T, R, L tranſeuntem quæ punctum duplex habebit in Polo S per Co- 
rol. 1. hujus Propoſitionis. Lineas vero tertii Ordinis quæ punctum 
habent duplex ex ſex ſimplicibus & puncto duplice determinari 


hinc patet; quod ſi duæ Lineæ tertii Ordinis per eadem ſex puncta tran- 


ſirent, & in eodem ſeptimo punctum duplex haberent, concurſus Linea- 


rum duarum tertii Ordinis eſſent decem, cum plures novem eſſe ne- 


queant. 
ee d dg d g add 85 8E. de 


PRO P. II. 


Ceteris manentibus ut in Prop. 1. ft ſectios Conica quam 
percurrit pundlum Q concurſus crurum CF, SK 
(Fig. 7.) trauſeat per neutram Polorum 8, C, pun- 


Gum P concurſus crurum CO & SH deſeribet Lineam 
quarti Ordinis. — 


N plano ſectionis conicæ ducatur ut in demonſtratione Prop. præce- 
1 cedentis recta quævis ED, & inveſtigandum ſit quoties recta hæc 
Lineæ deſcriptæ occurrere poſſit. Supponamus ut in Propoſitione præ- 
cedente crurum CO, SH concurſum P duci per rectam ED, & per 
Prop. 1. Partis 1. concurſus crurum CF, SK interea deſcribet ſectionem 
coni tranſeuntem per polos C, 8, quæ occurrere poteſt datæ ſectioni 
Ad in punctis quatuor M, N, T, R; cum ex Hypotheſi Poli C. 8 
non {int in ſectione. Proinde in deſcriptione hujus Propoſitionis cum 
Q pervenerit ad puncta M, N, T, R erit P concurſus crurum CO & 
SH, cujus motu curva deſcribitur, in recta ED, & in nullo alio caſu 
rectam ED contingere poteſt; unde manifeſtum eſt curvam motu puncti 
P delineatam quater poſſe occurrere U ED & non ſæpius; chende 

2 idem 


CT ana en 


— toc ap _ 


E4 - 3 
4 © 
» 1 
— * - ee A n — es 2 7 ESO . - i 1 * 1 * — 4 
a PIE. — . enroute - . * 1 1 . * 
8 — * — — — = — — . > SS — — * 1 — - - De fp = ERP i 2 
— p = - ; 4 — N D r .. 8 N n 2 "7 _ r „ ——— 3 pon wo AY 2 : 
; 3 2 2 oe CCI 2 < I "de 2 5 4 * 6 5 he — — l — — — Fo 4 - — — — IA — . * — 
"£5 — — 2 — - <> =D VOM 2 hes —— — — = 5 — 5 G A 2 a > — EE oo ere mer vs — 2 8 — = _ a _ 8 * mares 88 LE _ _ 
ko [nc IDS — es — T — — a mr cr on ene EE : . Is 8 : Oz 
[CIO EE (Eur nA — 2 * 8 
= 


IE . — 
= * S — — — — — r * 


1 * : Pans 4 a » * * — 
P 2 * Mp — 9 N FL * — * 
"tb $745 "9 - FR OO | 
bY. _-—— x 
n * 


84 De ſcriptio Linearum 
idem de alia quavis recta in plano ducta demonſtrari poſſit, patet Lineam 
deſcribi quarti Ordinis. 


Hæc Propoſitio eadem ratione ex Corollario ultimo Prop. 157. demon- 


ſtrari poſſet qua Propoſitionem præcedentem ex Prop. 11. Partis prime 


demonſtravimus. 


Corol. J. Curva hujus Propoſitionis tria habet puncta duplicia. Impri- 
mis puntum C erit duplex; quippe ſi angulus ISC fit æqualis dato 


KSH, & recta SI producta occurrat ſectioni conicæ in punctis J, U, cum 


Q pervenerit ad puncta I, U curva tranſibit per C & recta CO tan- 
gens erit ad duos curve arcus in C concurrentes; nam in utroque caſu 
coincidet SH cum SC, adeoque concurſus crurum CO, SH erit in ipſo 
puncto C. Similiter oſtendi ee punctum S eſſe duplex. Adhæc fi 
producatur recta CS donec ſectioni occurrat in punctis duobus A, G & 
punctum Q accedat ad A, & dein ad G, erit concurſus crurum CO, SH 
in eodem puncto B (vid. Corol. 8. Prop. 2. Partis 1.) in utroque caſu, 
adeoque i punctum B erit duplex. Puncta igitur C, 8, B ſunt omnia 
duplicia. 

Cool IT. Sit angulus SCZ = FCO, & curva erit Nodata, Cuſpidata 
aut Punctata in punctis C, 8, B prout rectæ SJ, CZ, CS productæ ſe- 
ctionem AQB ſecant, contingant aut totæ extra eam locantur. He 
| Igitur curvæ in ſpecies decem inſigniores diſtingui poſſunt abſque ullo re- 


ſpectu habito ad crurum vel diametrorum numerum aut poſitionem; aliæ 


enim tres habent nodos, aliæ tres cuſpides aliæ tria puncta conjugata; 
aliæ habent duos Nodos & unicam Cuſpidem, aliz duos Nodos & uni- 
cum Punctum conjugatum, aliæ duas Cuſpides & Nodum unicum, aliæ 
duo Puncta conjugata & Nodum unicum; aliæ habent Nodum, Cuſpi- 
dem & Punctum conjugatum, aliæ duas Cuſpides & unicum Punctum 
conjugatum, & aliæ denique unicam Cuſpidem & duo Puncta conjugata. 
Nodi vero nonnunquam formam crucis induunt & alia plurima harum 
curvarum oriuntur diſcrimina quibus enumerandis non licet immorari. 
Corol. III. Curva abit in infinitum quoties crura CO, SH evadunt pa- 
rallela, & angulus CQS æqualis ſupplemento datorum angulorum FCO, 
KSH ad quatuor rectos. Super CS deſcribatur circulus (Fig. 8.) habens 
angulum dito ſupplemento æqualem ei inſcriptum occurrens ſectioni 
Conicæ in quatuor punctis M, N, T, R; & ubi accedit Q ad ea pun- 
Eta crura CO, SH evadunt parallela, & curva abit in infinitum. Pro— 
inde Aſſymptoti harum curvarum poſſunt eſſe quatuor, duæ vel nullæ, 
cum circulus is ſectioni occurrere poſſit in punctis quatuor, duobus vel 
nullis. Si circulus ſectionem contingat, crura erunt Parabolica; & uni- 


verſaliter curvæ hac Propoſitione deſcriptæ vel octo vel quatuor vel nulla 


habebunt crura Hyperbolica, vel quatuor habebunt Parabolica vel duo, vel 


quatuor Hyperbolica & ſimul duo Parabolica. Atque ex hoc & præcedenti 
3 25 Corollario 


W * 
nn ö * 
N » 
4 . * 


Curvarum Unroerſalis. 85 


Corollario Lineæ hac Propoſitione deſcriptæ in 60 ſpecies generales dividi 
oſſunt. | 
2 Corol. IV. Si crura CO, SH ſimul coincidant cum CS Linea deſcrip- 
ta erit tertii Ordinis, & puncta C, S erunt ſimplicia; fit 4 punctum ad 
quod cum Q pervenerit coincindunt CO, SH cum CS, (Fig. 8.) & A 
erit in concurſu ſectionis Coni deſeriptæ concurſu rectarum CF, SK 
dum P ducitur per rectam ED; nam ubi P accedit ad D, rectæ CF, 
SK, concurrunt in à; fed in deſcriptione Propoſitionis hujus cum Q 
pervenerit ad A, punctum P non erit in recta ED, niſi duo concurſus 
ſectionum Conicarum ſint in a; unde manifeſtum eſt punctum P ter 
tantum exiſtere poſſe in recta quavis ED, adeoque Lineam deſcribi tertii 
Ordinis. In hoc caſu curva unicum habet punctum duplex in B. 


SHHGSGSSSSHSASESSISEAGISTSSSLSSS, 


PRO Pp. III. 


Cæieris manentibus ut in Propoſitionibus præcedentibus 


ducatur concurſus crurum CF, SK per Lincam quam 
cunque AB (Fig. 9.) Ordinis (u) & crurum reliquo- 
rum CO, SH concurſus deſcribet Lineam Ordmis zu. 


IN plano curvæ ducatur recta quævis ED & inveſtigandum ſit in quot 
1 punctis hæc recta Lineæ Propoſitione deſcriptæ occurrat. Ducatur 
punctum P concurſus crurum CO, SH per rectam indefinitam ED, & 
concurſus crurum CF, SK interea deſcribet Lineam Ordinis ſecundi per 
Prop. 1. Partis 1. Proinde in deſcriptione hujus Propoſitionis punftum 
P tum tantum erit in recta ED cum punctum Q concurſus crurum 
CF, SK fit in ea ſectione Coni, ſed punctum Q ducitur per Lineam 
ordinis #. ex hyp. que occurrere poteſt ſectioni Conicæ in punctis 22 
ex natura Linearum; & ubi Q puncta hæc 22 tangit punctum P repe- 
ritur in recta ED; unde manifeſtum eſt Lineam motu puncti P de- 
ſcriptam rectæ ED occurrere in punctis 22 adeoque eam Lineam eſſe 

ordinis 28; . | 
Corol. I. Curve arcus (n) concurrunt in puncto C & totidem in pun- 
cto S; quippe fi angulus CSI ſit æqualis dato HSK recta SI poterit oc- 
currere Lineæ datz AB in punctis 2; ſed cum Q ad quodvis horum 
punctorum pervenerit in deſcriptione Propoſitionis coincidet SH cum 
SC, adeoque curva tranſibit per C; proinde arcus curvæ ( concur- 
runt 


8 
* 


a Da ſeriptio Linearum 


runt in Polo C, & eadcm. ratione oſtendi poteſt totidem arcus concur- 
rere in Polo S. Sed aliud etiam eſt tertium punctum curvæ A ubi con- 
currunt, crura CO, SH cum CQ, SQ ſimul coincidunt cum CS 
ubi arcus curve ( concurrunt z quoniam recta CS in punctis z occur- 
rere poteſt Lineæ AB. Cujus vero generis puncta ſint C, S, A in- 
noteſcet methodo ſimili ei quam explicuimus Corol. 2. Prop. præce- 
dentis. | 
Corol. II. Lineæ methodo hujus Propoſitionis deſcriptz ea ſunt quæ 
plura habent puncta in quibus arcus j concurrunt quam aliæ quævis ejuſ- 
dem ordinis. Quippe Linea ordinis 2» nequit quatuor habere nodos 
arcuum curvæ ( in eodem puncto concurrentium; cum in ea Hypo- 
potheſi ſectio Coni per ea quatuor puncta multiplicia & quintum ſim- 
lex ducta curvæ occurreret in punctis 42 ＋ 1, quod eſt impoſſibile; 
ectio etenim Conica Lineam ordinis 22 ſecare poteſt in punctis tan- 
tum 4. Wl 
Corol. III. Aſſymptoti harum curvarum generaliter determinantur ea- 
dem methodo qua eas in caſibus particularibus Prop. 1 & 2 prius inveſti- 
gavimus, ducendo ſcil. circulum ſuper CS, cui inſcribitur ſupplementum 
angulorum FCO, KSH ad quatuor rectos, & hujus circuli occurſus cum 
Linea data AB notando; nam cum punctum Q ad dictos occurſus per- 
venerit curva abibit in infinitum. : - 
Corol. IV. Hæc omnia obtinent ex Hypotheſi quod puncta C, S non 
ſint in curva AB. Sed fi alterum punctorum C, 8 fit in curva data 
AB, Linea motu puncti P deſcripta erit ordinis 2 — 1. Quod ſi curva 
AB punctum habeat in quo arcus curvæ concurrunt quorum numerus 
eſt r, & Polus C fit in eo puncto, Linea deſcripta motu puncti P erit 
ordinis 2y -r. Hacex Propoſitionis hujus demonſtratione facile intel- 
ligi poſſunt. 5 
Prop. I, & II. Poſt enumerationem Linearum tertii Ordinis protulit 
Neutonus, atque eas univerſaliores reddi poſſe ibidem innuit; quod Prop. 
hac 3 conati ſumus efficere. In his unicam Lineam curvam & duos tan- 
tum angulos ad Lineas ſuperiores ducendas adhibuimus; ſequentibus vero 
omnes Partis 1. Propoſitiones univerſales reddere conabimur, quemad- 
modum hanc Propofitionem 1. Parris 1. quam fieri poteſt generalem red- 
didimus. ** | ; I 


SECTIO 


Curvarum Univer ſalis. 87 


AEST 


SECTIOo II., 


Ub: Curoe iuveſtigantur que ex alns quibuſcunque an- 
gulorum datorum motu deſcribi poſſunt, 


DDD, 


Prxoe. IV. 


Ceteris manentibus ut in Prop. 5. Partis 1. loco refte 
BQ (Fig. 10.) /ubſtituatur Linea quævis BQG or- 
dinis u, & fe concurſus crurum CF, SN ducatur 
per eam curvam concurſus erurum CO, NL deſcri- 
bet Lineam ordinis zu, ſi Linea BQG non tranſeat 
per Polos C, S. | 


IN plano curvæ BO ducatur recta quævis ED, & inveſtigare opor- 
I tet quoties Linea deſcripta motu puncti P occurrere potent huic re- 
ctæ. Ut id innoteſcat ſupponamus concurſum crurum CO, NL duci per 
rectam eam indefinitam ED & concurſus crurum CF, SN interea de- 
ſcribet Lineam tertii Ordinis per Prop. Io. Partis 1. quæ occurrere po- 
teſt Lineæ BOG in punctis zu. Unde ubi punctum P exiſtit in recta 
ED in deſcr:ptione hujus Propoſitionis erit punctum concurſus cru- 
rum CF, SN ſimul in Linea dicta tertii Ordinis & in Linea BQG, & 
viciſſim quoties punctum Q accedit ad concurſum quemvis Lineæ dictæ 
tertii Ordinis & Lineæ BQG crit punctum P in recta ED, ii vero con- 
curſus ſunt zu, adeoque Linea motu puncti P deſeripta ſecare poteſt 
rectam ED in punctis zu & nunquam in pluribus, cumque idem de redcta 
quavis alia demonſtrari poſſit, manifeſtum eſt Lineam deſcribi concurſu 
crurum CO, NL ordinis 32. 


| Corol. I. 


88 Deſcriptio Linearum 
Corol. J. Curva arcus 22 in polo C concurrunt; quippe ſi ſuper CS 
deſcribatur circuli arcus cui inſeribitur angulus datus SNL occurrens 
rectæ AN.in punctis M & n, & jungantur SM, 8 ſingulæ occurren- 
tes curve BQG in punctis 2, manifeſtum eſt quoties punctum Q perve- 
nerit ad occurſus hos rectarum SM, Sm cum curva BQG crus NL tran- 
fiturum per C, adeoque curvam per idem punctum tranſituram; ſunt 
igitur puncta 2y curve BUG ad quæ cum punctum Q pervenerit curva 
tranfibit per C, & proinde arcus curvæ (22) in eo puncto concurrunt. 
Curva vero per polum 8 tranſire nequit cum recta NL, in qua ſemper 
verſatur P punctum curvæ, per S nunquam poſſit tranſire. 
Corol. II. Si circulus ſuper CS deſcriptus edi inſeribitur angulus SNL 
rectam AN contingat curva habebit cuſpides in puncto C quarum nume- 
rus erit 2, ſi AN tota ponatur extra circulum erit C punctum curve 
conjugatum. Punctum C erit partim Nodata partim Cuſpidata ſi recta 
SM occurrat Lineæ BQG fed Sm eam contingar. es 
Corol. III. Super Cs deſcribatur arcus circuli cui inſcribi poſſit angu- 
lus æqualis ſupplemento angulorum SNL, FCO ad duos aut quatuor ws 


rum quemvis pervenerit curva abibit in infinitum, & crus CO erit pa- 
rallelum Aſſymptoto curve, atque hinc Plaga Aſſymproten quarum nume- 
rus eſt 22 determinari poteſt. Sed cum punctum N abit in infinitum 
ſeu SN evadit parallela rectæ AN curva abit in infinitum; cumque 


recta SN occurrere poſſit Lines BO in punctis 2; hinc plagæ alia- 


rum Aſſymptotæn quarum numerus eſt () determinari poſſunt; atque 
he cum prioribus Aſſymptotos conſtituunt 3 & plures Lineas ordinis 33 
nequit habere. | 


Corol. IV. Si Polus C fit in BQG curva hac Propoſitione deſcripta 


erit Linea ordinis 32—1 ; ſi Polus S fit in Linea BQG deſcribetur Li- 
nea ordinis 37 - 2; & ſi utrumque contingat deſcribetur Linea ordinis 
3x1. | 

Corol. V. Si in quadrilatero CQNP trium punctorum P, N, Q alte- 
rum ducatur per rectam indefinitam, alterum per Lineam ordinis 2, ter- 
tium deſcriber Lineam ordinis 3»: Quippe fi punctum illud tertium cu- 
jus motu curva deſcribitur ſupponatur duci per rectam quamcunque pun- 
ctum quod duci ſuppoſuimus per Lineam ordinis (2) deſcribet Lineam 
Ordinis tertii per Prop. 5, 10 & 13. Partis 1. quæ occurret Linex or- 
dinis () in punctis zu; atque dum in 11s occurſibus 3z verſatur, pun- 
ctum cujus motu curva deſcribitur erit in locis 3a ejuſdem rectæ. Unde 
generaliter conſtat ſi illorum trium punctorum aliud percurrat rectam, a- 
liud Lineam ordinis (#) tertium deſcripturum Lineam ordinis 3. 


Corol. VI. 


os 
occurrens Lineæ B in punctis 22; & cum punctum Q ad occurſum eo- 


<0 
4 
* 
3 
£ 
BY. 
* 
Dow... 
* 
* 
. 
8 , 
F 
"ys 
: =» 
> 5 
1 * 
var 
. 
34 
Pn * 
IT 
— 
= 
"7s 
4 
"$54 
. 
* 1 
— 
5 V 
bs 
7 
"Wt, 
* 
3 
* 
175 
4 
* 
3 
IB 
Ws. 
44 
+331 
uy 
4 
. 
25 
. 
- 
283 
4 
* 
I 
4 
1 


—— — p 


r RX. * 4 
R +L" £ IR A »\ D 
> OO ET es wg as BR 4” - WA 
CCC 
* wn IETF A "DO c . 


Curvarum Univerſalis. 

Corol. VI. Si BQG fit ſectio Conica, Lineæ hac Prop. deſcriptæ erunt 

ſexti Ordinis fi ſectio non tranſeat per Polos C, S; ſed fi Polus C fit in 

ſectione Linea delcripta erit Ordinis quinti, fi Polus 8 fit in ſectione, 

Linea erit Ordinis quarti, & ſi uterque ſit in ſectione Linea erit Ordinis 
tertii & deſcriptio coincidet cum 1is Prop. 7 & 13. Partis 1. 


TC 


PAO. 


Dacatur concurſus crurum CF, SN ut in Prop. prece- 
dent: (Fig. 11.) per Lineam Ordinis (u) & ſi pun- 
dum angulare N fimul ducatur per Lineam Ordinis 
m, concurſus crurum CO, NL deſcribet Lineam Or- 
nis zum. - 


IT BQG Linea ordinis 2, BNA Linea ordinis , & in plano cur- 
8 varum ducatur recta infinita quævis ED, inveſtigare oportet quo- 
ties Linea deſctipta motu puncti P huic rectæ occurrat. Nucatur punctum 
P concurſus crurum CO, NL per rectam ED, & interea percurrat 
punctum N Lineam BNA ordinis , atque per Cerol. 5. Prop. præce- 
dentis punctum Q deſcribet Lineam ordinis 3, quæ occurret Lineæ 
BO ordinis in punctis zun: Sed in deſcriptione hujus Propoſitionis 
quoties punctum Q (quod percurrit Lineam BQ) accedit 1 concur- 
ſum quemvis curvarum illarum, punctum Peſt in recta ED. Sunt igi- 
tur puncta zum in curva BUG, ad quæ ubi accedit Q, punctum P tan- 
git rectam ED; ptoinde Linea motu puncti P deſcripta ſecabit rectam 
ED in punctis zum; cumque idem de alia quavis recta in plano ducta de- 
monſtrari poflit, manifeſtum eſt Lineam motu puncti P deſcriptam eſſe 
ordinis zum. - | 1 8 8 

Corol. I. Curvæ tot arcus concurrunt in C quot ſunt unitates in nu- 
mero zum. Quippe ſi ſuper CS deſcribatur arcus circuli cui infcribitur 
angulus SNL, is occurret Lineæ BNA in punctis 2; & ſi ad hos 
occurſus ducantur rectæ ex Polo 8, ex occurrent Lineæ BQG in punctis 
zn; ſed in deſcriptione hujus Propoſitionis cum punctum Q (quod per- 
currit Lineam BQ) ad occurſuum illorum aliquem pervenerit, recta NL 
tranſibit per C, adeoque coincidet P cum C; & proinde curvæ arcus 
24m) concurrunt in eodem puncto C, & punctum illud erit ſemper 
multiplex fi ꝝ vel z ſuperent unitatem. 


N | Corol. II. 


90 Deſcriptio Linearum 

Corol. II. Deſcribatur ſuper CS arcus circuli cui inſcribitur angulus 
æqualis ſupplemento datorum FCO, SNL ad quatuor rectos occurrens 
Lineæ BQG in punctis zz, cumque punctum Q ad aliquem occurſuum 
illorum pervenerit evaneſcet angulus CPN, adeoque CO, NL erunt pa- 
rallelæ, & curva abibit in infinitum. Alia formantur curve crura cum 
N abit in infinitum, & SN evadit parallela cruri infinito Lineæ BNA 
ordinis 9. Curvarum hac Propoſitione deſcriptarum Aſſymptoti ſunt (#) 
quarum ſingulæ tot alias habebunt fibi parallelas quot unitates ſunt in 
numero m, ſi circulus cui inſcribitur ſupplementum angulorum FCO, 
SNL ad quatuor rectos Lineæ BQG occurrat in punctis 22, & ſingulæ 
rectæ ex 8 eductæ ad occurſus illos ſecent Lineam BNA in pun— 
ctis m. 

Corol. III. Eadem ratione qua Propoſitionem demonſtravimus oſtendi 
poteſt univerſaliter ſi in quadrilatero CPNQ trium punctorum P, Q, N 
alterum ducatur per Lineam ordinis () alterum per Lineam ordinis ( 
tertium deſcripturum Lineam ordinis 3um. 


eee eee 
PRO. VI. 


Ceæteris manentibus ut in Prop. 14. Partis 1. (Fig. 12.) 

loco reffarum AN, BQ, DR /ubſtituaniur Linee 
gquævis ordinum m, r, n & Linea motu punth P, 
concurſus crurum CN & SR, deſcripta erit ordi— 
nis Amur. N Do 


8 pronemmy imprimis puncta N & Q rectas infinitas AN, BQ per- 

0 currere, ſed punctum R duci per Lineam ordinis 2; & in hoc caſu 
punctum P deſcribet Lineam ordinis 43. Quippe ſi punctum P per 
rectam quamvis ED ducatur punctum R deſcribet Lineam ordinis quarti 
per Prop. 19. Partis 1. quæ occurret Lineæ ordinis z in punctis 42 
cumque R pervenerit ad occurſus illos 4 erit P in recta ED, adeoque 
punctum P deſcribet Lineam ordinis 41. Eadem ratione oſtendi poteſt 
univerſaliter ſi in quadrilatero PN QR duo quævis puncta ducantur per 
rectas poſitione datas & tertium percurrat Lineam ordinis 2 quartum de- 
ſeripturum Lineam ordinis 4. „ 
Supponamus ſecundo puncta duo R, N duct per Lineas ordinum , m2, 
& punctum Q per rectam BQ; & in hoc caſu punctum P deſcribet 


Lineam 


Curvarum Univerſalis. 91 
Lineam ordinis 4m: Quippe fi punctum P ducatur per rectam ED, 
& punctum N per Lineam ordinis , puntum R deſcribet per modo 
demonſtrata Lineam ordinis 472 quæ occurret Lineæ DR in punctis um; 
cumque R ad occurſus illos 42m pervenerit eric P in recta ED, adeoque 
Linea motu puncti P deſcripta erit ordinis 42m; & in genere fi puncto- 
rum P, Q, N, R duo quævis ducatur per Lineas ordinum , u, ter- 
tium vero percurrat rectam, quartum deſeribet Lineam ordinis 4m. 
Supponamus denique ut in Propoſitione puncta tria N, Q, R duci 
per Lineas ordinum , r, n; & punctum P deſcribet Lincam ordinis 
4umr. Quippe fi N & Q ducantur per Lineas ordirum , r, & P 


percurrat rectam ED, punctum R deſcribet Lineam ordinis ur quæ oc- 


curret Lineæ DR ordinis (») in punctis ur; fed ubi K pervenerit ad 
occurſum quemvis illarum Linearum in deſcriptione hujus Propoſitionis, 
erit punctum P in recta ED: Proinde Linea motu puncti P deſcripta oc- 
currit rectæ ED in punctis mr; cumque idem de alia quavis recta de- 
monſtrari poſſit manifeſtum eſt Lineam motu puncti P deſcriptam fore 
ordinis Amr. 5 

Corol. I. Curvæ tot arcus concurrunt in C quot ſunt unitates in nu- 
mero zum,; & totidem concurrunt in altero Polo S; coincidat enim SR 
cum SC (Fig. 13.) & tot poſſunt eſſe variæ poſitiones rectæ RQ quot 
ſunt unitates in numero (x) quoniam in tot punctis recta SC occurrere 
poreſt Lineæ ordinis x, Sed pro ſingulis poſitionibus puncti R poſitiones 
puncti Q poſſunt eſſe tot quot ſunt unitates in numero (7) & pro ſingu- 
lis poſitionibus puncti Q tot poſſunt eſſe poſitiones puncti N quot ſunt 
unitates in numero 2m, {iquidem concurſus circuli ſuper CS Q deſcripti, 
cui inſcribitur angulus CNQ, cum Linea AN denotant puncta N; pro- 
inde ubi coincidit SR cum SC poſitiones rectæ CN poſſunt eſſe zurm, 
| ſed Linea Propoſitione hac deſcripta tranſit per C ubi coincidit SR cum 
SC; adeoque arcus 2 rm curvæ concurrunt in Polo C; eadem ra- 
tione demonſtratur Lineæ puncta zumr coire in altero Polo 8. Cum ve- 
ro Linea deſcripta fit ordinis 42mr, patet rectam Cs in nullo alio puncto 
præter Polos C, S occurrere Lineæ in Propoſitione deſcriptz. 

Corol. II. Six =m=r=a2 five curvæ omnes AN, BQ, DR ſint 
ſectiones conicæ Linea deſcripta erit Ordinis 32: ft AN, BQ, DR ſint 
omnes Lineæ tertii Ordinis Linea deſcripta motu puncti P erit ordi- 
nis 108. N 


N 2 PRO p. 


— 


- m = 4 - 3 — — Sh — e — — 7 — — . — 
— —ͤů— — <1 2 : == ” s - E a ” - wool, — 
2 . TOO - — r ——— . os Lim or DE 2-48, 4-rn-y n pron — — — 2 
= — — — ere, <> — — ——— — — ——_— Ir — — — — —— — —— - » 
— — — —— — — — —— — —— — — — n 


oy 


— r — — — - 
N 5 EO" : en meta 
[Sr ANC et Ge A LR? —— OY * = 
REED ET TT. — — 
— 4 — w_ — — _ _ 8 
— — — —— — — 


py — —— — 


- 2 — — = 
— l * I - —— oe "tn 
- be IR mee >. + a - — — 4 . XL 2 — * 
— > AL n ore wt . — — = 4 = 5 —— — — — te 
2 2 — — DOD — — — 
* - 


- -> - 
* 2 
— - 
_ PITTED 
— — | — — 


2 Te, N. errno rr r- 5 


92 Deſeriptio Linearum 


NN x x x x AN ( ( ( ( SAS ( AEAY AN AA RE 
e ß / ß 
Fo. VII. 


Sint cetera omnia ut in Prop. 21. Partis 1. /ed pro 
rectis BQ, AN, DR, GL, Oc. /ubſttuantur Lineæ 
curve ordinum m, r, s, t, Sc. ſitque n numerus 
curvarum omnium, & Linea deſcripta motu punti. 
P, concurſus crurum CO, LT (Fig. 14.) erit ordinis 
aurstx u C 1. | 


Upponamus imprimis puncta omnia Q, N, R, L recta ſuas percur- 
8 rere ut in Prop. 21. præter ipſum Q, & ſi punftum Q ducatur per 
Lineam ordinis punctum P deſcriber Lineam ordinis n m. Quippe 
ſi punctum P ducatur per rectam quamvis ED & puncta L, R, N re- 
ctas ſuas percurrant, punctum Q deſcribet Lineam ordinis 2 + 1 per 

Prop. 21. Partis 1. quæ occurret Lineæ BQ ordinis in punctis mn Em. 
Cumque pun&tum Q dum percurrit Lineam BQ ad occurſus illos mn m 
pervenerit erit punctum P in recta ED, adeoque Linea motu puncti P 
deſeripta erit ordinis n , n. Simili ratione ex Prop. 22. oſtendi po- 
teſt univerſaliter fi omnia puncta P, Q, N, R, L, &c. ducantur per 
rectas poſitione datas præter duo quævis & horum alterum ducatur per Li 

neam ordinis (m) alterum deſcripturum Lineam ordinis n mn. 

Supponamus ſecundo puncta duo N, Q deſcribere Lineas ordinum 
7, m, & punctum P deſcribet Lineam ordinis min mr. Quippe fi P 
ducatur per rectam ED, punctum N per Lineam ordinis (7) reliqua vero 
præter Q per rectas poſitione datas, punctum Q deſcribet per modo 
demonſtrata Lineam ordinis n . que occurret Lineæ ordinis #2 in pun- 

tis mn ＋ mr; cumque punctum Q ad occurſus illos pervenerit erit 
punctum P in recta ED, adeoque Linea motu puncti P deſcripta erit or- 
dinis min + mr. Et ſimili ratione univerſaliter demonſtratur ſi omnia 
puncta P, Q, N, R, L, &c. præter tria quævis ducantur per rectas 
poſitione datas & trium reliquorum duo quævis ducantur per Lineas or- 
dinum m, r, tertium deſcripturum Lineam ordinis rn N mr. 
|  Supponamus tertio tria puncta Q, N, R duci per Lineas ordinum 
m, r, 5, & punctum P deſcribet Lineam ordinis mrsn mrs. Quippe 
HP ducatur per rectam ED & puncta R, N per curyas ordinum 3, 7, 
En punctum 


Curvarum Unroerſalis. 93 


puntum Q per modo demonſtrata deſcribet Lineam ordinis rn N sr, 
quæ occurret Liueæ BQ ordinis (n) in punctis mren + mrs, ad que 
cum accedit Q punctum P tangit retam ED. Proinde puncta ſunt 
uren f mrs in curva B in quibus fit punctum Q & ſimul erit punctum 
P in recta ED; unde Linea motu puncti P deſcripta erit ordinis 
mrin - mrs. 


Similiter demonſtrari poteſt Lineam motu puncti P deſcriptam fore 
ordinis urstn I mrs ſeu mrit xu i fi puncta omnia Q, N, R, L, &c. 
ducantur per Lineas ordinum m, r, 5, t, &c. Et quotcunque aſſuman- 
tur curvæ earum omnium indices ductæ imprimis in ſe mutuo & dein in 
numerum curvarum unitate auctum oſtendunt ordinem Lineæ deſcriptæ 
motu punti P concurſus crurum CO, LT. ff 

Corol. I. Curvæ tot arcus concurrunt in Polo C quot unitates ſunt in 
producto mrtn. „ 

Corol. II. Sit (u) numerus binarius ad poteſtatem () elevatus & ſi 
omnes curvæ datæ ſint ſectiones conicæ Linea deſcripta erit ordinis 
zu J-u, Unde ſeptem ſectionum conicarum ope Lineæ deſeribi poſſunt 
ordinis 1024, atque decem ſectionum ope Lineæ deſcribi poſſunt ordinis- 
ſupra 1 1000. Quæ quidem deſcriptio in ſe ſatis eſt complexa ſimpli- 
eiſſima vero eſt ſi ordo Lineæ ejuſque implicatiſſima forma confide-- 
rentur. | 


e e l n e $9: 


PROP. VIII. 


Sint reliqua omnia ut in Prop. 24. Partis x. /e loco 
reflarum AQ , BN, ER, FT ſumantur Lineæ cur- 
ve ordinum I, k, t, : & loco reffarum DM, GL, 
HK /amantur Linee ordinum p, u, 2, denotent u, m 
numeros curvarum & Linea deſcripta concurſu recta- 


rum CN, SM eri ordinis Ikitpuz umz. 


AC Propoſitio cadem ratione ex Prop. 24. Partis r. deduci poteſt 
H qua Propoſitionem præcedentem ex 21 Partis 1. demonſtrayimus. 
Et ſimili quoque ratione oſtendi poteſt fi in Prop. 26. Partis r. loco re- 
&arum ſubſtituantur curve eorundem ordinum Lineam deſcriptam fore 


ordinis Ikitpuz x ms + nr Es +r. 


— 
— 


1 ; " „ «0a 4 
Fe * 
: 3 = 4 © IK» 
| ” % . 
- coma 
| : g 1 — 
2 A OS * ” 
- . > * 
4 5 S 
g 0 We. 4 
, 8 r D 
n S £ os 4 8 
| - * _ + 
” by N 
: * 6 « 
. — o . % * D i 2 
* * 4 
. > * =- 3 „ x 4 G 
, 5 * : N * Ss — 
"i 4 ” * th % 4 s - . "NR ; * 
; . En * | ; K l 1 : * * * . "1 3 1 > 3 g 
r 2 Nr _ - : n Se a MiHs r — —— * — — — — — — r —— 2 — 223 ” n q hy — 2. n * : a : 4 8 - 2 
CIC — SE Big ns — — . . c — 2 : : — — — e NAT — - —— a a | 
. — 1 —— —— — — — — — — ou Sn nn r ED — 2 = 
— — Ee bx _ — 3 — 2 — — , . — 2 — % ite i — 22 nd * — a 7 *. — — — a ' — —— 2 —— — 
— > — — — — — — r — — — * -. 8 - 
— a —ͤ—42̃— — —— — — —— Cn EEE — —— — — — 22 2 — — = 2 Y — —— ——— 8 1 CEE —— — — 8 8 a | 


— 
ZD— —— — — EEBSE Hoan-aat 


— ITER 


_ — 
—— —— 
RP "1 


— 
—_ — - 
- — — — 


Propoſi- 


94 Deſcriptio Linearum 

Propoſitionibus his ordinem inveſtigavimus altiſſimum Linearum quæ 
propoſita ratione deſcribi poſſunt; ea vero Theoremata non ſunt ita in- 
telligenda quaſi adeo ardui generis curva in omni caſu deſcriberetur; 


cum ſingula methodos ſuppeditent particulares Lineas aliquas deſcribendi 
omnis ordinis inferioris quam in Propoſitione exprimitur. 


SCHOLIUM. 

Si curvæ ordinis infiniti quz Mechanicæ dici ſolent in his deſcriptio- 
nibus ſubſtiruantur curve reſultantes erunt etiam ordinis infiniti; atque 
hinc complexiores curve etiam hujus ordinis ex ſimplicioribus deſcribi 

oſſe videntur, & Linea methodo Prop. 3. hujus Partis ex alia quavis 
mechanica BQG deducta rectæ videtur occurrere poſſe in punctis quorum 
numerus erit ad numerum occurſuum rectæ cum BQG ut 2 ad 1 at- 
que licet omnes hujus ordinis rectæ occurrere poſſint in punctis numero 
infinitis, aliquarum tamen interſectiones cum rectis poſſunt eſſe infinite 
plures interſectionibus aliarum: ex vero quarum interſectiones ſunt plures 
ex aliis ſimplicioribus per Prop. præcedentes deduci poſſunt. Sit in deſcrip- 
tione Prop. 3. (Fig. 15.) BQC Logiſtica anguli FCO, KSH recti & cur- 
ve motu puncti P deſcriptz (ſi poli C, S ſint in Aſſymptoto ſitque 
CS =b, CM x, PM=y, & ſubtangens Logiſticæ æqualis a) æqua- 
tio erit 4 — 24 —bxy NX = b—x X axy. Quæ proinde con- 
ſtrui poteſt ex areis Hyperbolæ conicæ & Hyperboliſmi Hyperbolæ Li- 
neæ tertii Ordinis ſpeciei 59. | : = 


ADD DOCDIDCCobo coo pccrcw oc 


SECTIO III. 


De ſeriebus curvarum infinitis que ex una data tan- 
gentium ope deduct poſſunt, 


, 


TN Ecriptio curvarum quam precedentibus Sectionibus demonſtravimus 
D eſt generaliſſima & ſi methodi univerſalitas ſimul reſpicietur ſimpli- 
ciſſima haberi poteſt; aliæ apud Geometras paſſim reperiuntur curvarum de- 
ſcriptiones quæ ſimpliciores nonnunquam exhibent methodos Lineas eaſdem 
curvas deſcribendi licet minus univerſales; eæ vero vagæ plerumque ſunt nec 

ad unum Linearum genus deſcribendum aut ad aliquas omnium generum de- 
lineandas ſufficiunt, ſed abſque ullo ordine hic unam aliquam particularem 

Lineam illic aliam arripiunt, & nonnunquam faciliorem exhibent deſcrip- 
tionem Linearum altioris ordinis quam aliarum ordinis nn, R Hæ 

CD deſcrip- 


Curvarum Untverſalis. 95 


deſcriptiones licet minus regulares nequaquam tamen ſunt in Ge- 
ometria inutiles nec quidem injucundæ, cum ea quæ ad intellectum 
oblectandum conducant maxime neque varia ſint nimium nec quidem ni- 
mium generalia aut ſimplicia eſſe poſſint. Hujuſmodi Linearum de- 
ſcriptiones variz a variis excogitatæ ſunt, quarum aliquæ ad Propoſitiones 
univerſales prius demonſtratas reduci poſſunt; & quiſque methodum que 
fibi arridet aut inſigniora theoremata ſuppeditat excolere ſtudet. Cum ve- 
ro Geometria quæ curvas ad datum centrum relatas contemplatur in Phi- 
loſophia naturali ad motus corporum & vires evolvendas facilius appli- 
cari poſſit, ſicuti in præcedentibus curvarum characteres ex æquatione 
deſignante relationem ordinatim applicatæ ad abſciſſam axis alicujus de- 
duximus, hac ſectione conſiderabimus curvas tanquam ad punctum quod- 
vis datum relatas ex quo ad omnia circumferentiæ puncta radii undique 
educuntur & ſimul perpendicula in illorum punctorum tangentes demit- 
tuntur, & rationem radii ad perpendiculum tanquam curvæ characterem 
uſurpabimus. Detur curva BL/ & punctum 8 in ejus plano; ex puncto 8 
(Fig. 16.) concipiemus rectas normales ſemper cadere in omnes tangentes 
LP, & ex data curva dabirur ratio radii SL ad perpendiculum SP in 
terminis finitis, ſive curva fir geometrica five mechanica primi generis, 
in quibus nimirum ratio momenti ordinatæ ad momentum abſciſſæ ex- 
primi poteſt quantitatibus finitis. Quippe deſignant x, y abſciſſam & 
ordinatam curvæ cujuſvis, & M finitas quaſvis quantitates, & fi x ; y 


:: m: u, erit SL : SP: :: SLX Vn H: my —nx, adeoque ra- 
tio perpendiculi SL ad SP exprimi poterit quantitatibus finitis, cumque 


Im n 
data rationem radii SL ad SP invenire, & vice verſa ex ea ratione data 
curve æquatio deduci poteſt, ſed difficilius quidem. Qua vero ratione in 
hoc curvas conſiderandi modo complexiores ex ſimplicioribus pauciſſima- 
rum rectarum ope conſtrui poterint ex Propoſitionibus ſequentibus pate- 
bit; in quibus demonſtrabimus ſimplices deſcriptiones Linearum aliqua- 
rum quæ methodis prius demonſtratis non niſi difficili rectarum & angu- 


lorum apparatu delineari poſſunt. 


| BY me HA nn | 
fit SP = = facile erit ex curvæ æquatione ad axem quemvis 


Prop, 


96 Deſcriptio Lincarum 
AAA AAAAA AAA ANA 


PRO P. IX. 


Detur punftum S in plano date curve BLI invenire 
Lineam curvam ductam per concurſus tangentium 
curve date cum perpendicularibus ex S in tangentes 


demiſ}is. 


2 datam in punctis L & 7 quamproximis contingant rectæ 
| LP & ;] in quas ex dato puncto S demittantur normales SP & 
Sy Tangentibus occurrentes in punctis P & p; ducantur SL, S/, Pp 
ſint lo, pn perpendiculares in SL, SP, eritque Lol triangulum ele- 
mentare curvæ BL} & Puy triangulum elementare curvæ quæſitæ. Tri- 
angula vero SLP & Lol ſimilia ſunt ob rectos SPL, Lol & angulum 
SL! utriſque communem ; fimilia etiam ſunt triangula S»p & PL ob 
verticales Sup, PAL & re&os SPL, SpL; proinde erit Pu: pn :: Ln: Sn, 
adeoque ob angulos 'SyL, Pup zquales, erunt triangula SL, Pup ſimilia 
per Elem. & ſi SR fit perpendicularis in Pp productam ob triangula æqui- 
angula Pup, SPR fimilia erunt triangula Pp, Lol, SPR & SL; adeoque 
cum eadem {it ratio Pu ad py quæ Lo ad /o & eadem fit ratio SP ad 
SR quæ SL ad SP manifeſtum eſt ex data ratione SL ad S?2 in curva 
BL dari rationem SP ad SR in curva quæſita quæ per puncta P du- 
n | 

Corol. I. Similiter ex curva quam P perpetuo tangit alia nova per- 
pendiculares in ejus tangentes demittendo conſtrui poteſt, & ex hac ter- 
tia; unde ſeries curvarum infinita ex una quavis deduci poteſt in unica 
poſitione puncti S, & triangula quorum latera ſunt ſemper radii curva- 
rum, perpendicula in tangentes & partes tangentium radiis & perpen- 
diculis interceptæ erunt ſibi mutuo ſemper ſimilia. Proinde data æqua- 
tione radiali (ſeu ratione radii ad perpendiculum) unius in ſerie dabuntur 
ſimiles æquationes omnium. 

Corol. II. Sicut autem in Prop. ex curva BL conſtruximus curvam 
EPp ex EPp contraria ratione conſtrui poſſet curva BLC; erigendo nim. 
perpendiculares in radios SP & Sp ſibi mutuo occurrentes in L; vel fa- 
cilius, fi detur angulus SPp tangentis cum radio, ducendo SL ita ut an- 
gulus PSL fir illius anguli SPp complementum ad rectum, & ad P nor- 
malem radio SP crigendo rectæ SL occurrentem in L; curva enim per 

-omnia 


Curvarum Univerſalis 57 


omnia hujuſmodi puncta I, ducta erit BL/, ex qua ſimili ratione alia 
conſtrui poteſt perpendicula ad L & J radiis SL & S! erigendo, & 


eorum oëcurſus notando. Unde ex quavis curva ſeries utrinque infinita 


curvarum conſtrui poteſt puncto 8 manente immoto; quod fi locus puncti 
S mutetur ſimul mutabitur integra ſeries. Unde in quavis curva infini- 
tæ ſunt poſitiones puncti S ex quibus ſingulis infinitæ curvarum ſeries 
deduci poſſunt. . | 5 | | 

Corol. III. Quoniam angulus SPp = SL, poſtquam tangens ducitur uni 
curvz facile eſt ducere tangentes omnibus curvis ſeriei; quippe fi con- 
{tiruatur ad punctum curve P ſuper radium SP angulus æqualis ipſi SLP, 
ejus anguli alrerum crus erit curve tangens in punto P. Unde poſt- 
quam curva quam P perpetuo tangit deſcripta eſt, facile abſque ulteriori 
tangentium ope reliquæ in ſerie conſtrui poterunt. Sic curva quam R 
concurſus perpendiculorum ex S in * curvæ EPp demiſſorum 
cum tangentibus iiſdem perperuo tangit, facile determinatur ducendo SR 
angulum RSP conſtituentem æqualem PSL, & ex P in SR demittendo 
perpendiculum PR; id enim perpendiculum occurret rectæ SR in puncto 
curvæ quæſitæ. 

Corol. IV. Si curva BL tranſeat per 8 curva puncto P deſcripta e- 
tiam tranſibit per 8, & omnes ſeriei infinitæ explicatæ per S quoque 
tranſibunt; quippe cum coincidit L cum Sevaneſcunt SL & SP, adeoque 
P coincidit cum 8 & L. 


Corol. V. Ubi curva BL evadit radio normalis curvæ omnes ſeriei in 


eodem puncto radio fiunt normales, & ſe mutuo contingunt. Quippe 
ubi BL! evadit normalis in radium coincidit Li cum Jo, adeoque ob ſi- 
milia triangula Lol, Ppz, SLP coincidet Pp cum pu & SP cum SL; 


quare coincidunt L, Pp, lo, pn & fiunt omnes radio perpendiculares in 


codem puncto. Si igitur una aliqua curvarum totius ſeriei habeat aſpidem, 
omnes in eodem puncto aſpidem habebunt & in eodem ſe mutuo tangent; 
quare ſi una quævis curva & tranſeat per 8, & apſidem habeat omnes 
ex ea deductæ modo Corol. 1. tranſibunt per 8 & apſidem habebunt; 
nec in ullis aliis punctis præter S aut apſidem ſibi mutuo occurrere po- 
terint. 

Corol. VI. Si curva BL/ maximam habeat finitam diſtantiam a puncto 
8, centro S atque ca diſtantia tanquam radio ducatur circulus, & omnes 
curvæ quæ ex BL methodo Corol. 1. deduci poſſunt licet infinitæ ſint 
numero circulo tamen hoc includentur; unaquæque vero extra proxi- 
me priorem jacebit, iiſque finitum intercedet intervallum : iſthuc con- 


tingit in omnibus curvis in ſe redeuntibus & quarum finita eſt longitudo. 


Corol. VII. Hinc patet fi una curvarum in ſe redeat omnes curvas ſe- 
riei in ſe neceſſario redire; unde f prima fit ovalis erunt omnes ovales 
& Lineæ ordinis paris. Si una abeat in infinitum crure Parabolico om- 
nes ſimili crure abibunt in infinitum cum tangens cruris Parabolici ad 


punctum 


— . rv. FiO PEE un ee 


98 . Deſcriptio Linearum 
punctum maxime longinquum infinite diſtet : Unde curyz hac methodo 
deductæ ex una quavis data ſunt ſibi mutuo ſimiles. Si curva BL abear 
in infinitum crure Hyperbolico, curva BP erit adhuc ovalis, & or- 
dinis paris, cum tangens cruris Hyperbolici ad punctum maxime di- 
ſtans fit ejus Aſſymptotos. Unde manifeſtum eſt in curvarum harum ſe- 
rie unam tantum deprehendi poſſe curvam cujus crura poſſunt eſſe Hy- 
perbolica, ſed reliquæ vel erunt ovales, vel lineæ quarum crura ſunt 
Parabolica. FR, 0 
Corol. VIII. Poſtquam ducta eſt curva quam P tangit in una pofitione 
pun&i 8 reliquæ quæ ex eadem curva conſtruuntur in alia quavis poſi- 
tione puncti S fic deſcribi poſſunt ſit 8 in F & ex S exeat SPN angulus 
rectus cujus punctum P ducatur per curvam jam deſcriptam & fi SN fir 
perpendicularis in PN punctum N deſcribet curvam quæſitam. 


5 8 8 e 0 8 8 0 20 8 28 8 8 8 de e e 


PRO P. X. PROBLEMA. 


Fit curva BL Circulus invenre curvam BP, 


CIT C circuli centrum (Fig. 16.) BCS diameter circuli quæ tran- 


fit per datum punctum 8; & curva BP deſcribi poteſt concurſu 
Linearum SP, LP fi angulus datus CLP revolvatur circa pun&tum C 


& æquali motu reQa SP circa polum 8, ita ut SP ſemper parallela fit 
cruri CL; quæque hac facili ratione geometrice conſtrui poteſt. 


Centro S radio CS deſcribatur circulus HMC; ex S ad circulum 
educantur radii infiniti ut SM, 8m, & ex punctis M, demittantur 
normales MQ , ug in HC, fit SF = CL, & ſumatur ſemper in radio SM 
Linea SP = FQ critque P punctum in curva quæſita, & ſimiliter infi- 
nita curve puncta poſſunt determinari; ducatur enim LE parallela rectæ 
CS, eruntque triangula LEP, SM fimilia ob æquales angulos LEP, MS 
& rectos SM, LPE; ſed æqualia quoque ſunt ob æquales rectas LE, 
CS & SM, adeoque SQ = EP & FQ = SF —SQ=CL (=SE) — EP 
= $Þ, & proinde {i ſutnatur in SM Linea SP æqualis rectæ FQ erit P 


in curva quaſita. Sit PR perpendicularis in SH, ſitque PR=y, SR=x 
& ob triangula ſimilia SPR, SMQ erit SM: SP:: SQ (=SF—FQ ) 


ergo ax FY Y =-6 ny? Sx, unde K ＋2ax T2) a 0X x* 


Ta # =6*9* —3* quæ æquatio eſt ad Lineam quarti Ordinis. 


Corol. I. 


TT 


Crroarum Univerſalis. 99 
Corol. I. Curva habet punctum duplex in 8; fit enim K& ordinata 
circuli CMH ad abſciſſæ punctum F, & ubi M eſt vel in K vel & co- 
incidit P cum 8, adeoque rectæ SK, Sk contingunt arcus duos curve 
concurrentes in 8; idem ex prima conſtructione hinc conſtat quod LP 
tangens circuli BL bis tranſeat per punctum 8, & ex zquatione inveſti- 
gata deduci quoque poteſt. Si 8 fit intra circulum BLA curva habebit 
Pundtum conjugatum in 8, ſi S fit in circulo curva erit Cuſpidata in 8, 
& ſi 8 ſit extra circulum curva erit Nogata in S. . 1 02] 
Corol. II. Sit A punctum ubi circulus BL occurrit rectæ CS, & cur- 
va erit perpendicularis rectæ CS in duobus punctis A, B. Quippe cir- 
culus BL perpendiculariter occurrit rectæ CS in punctis A, B, adeoque 
per Corol. 7. Propoſitionis præcedentis curva BP erit perpendicularis 
rectæ Cs in iiſdem punctis. Curva BL non in infinitum excurrit ſed in 
ſe redit ut ex Corol. 7. ejuſdem Propoſitionis eſt manifeſtum. 
Corol. III. Rectæ omnes per 8 tranſeuntes & ad curvam utrinque 
terminatæ ſunt ſibi mutuo & rectæ AB æquales; producatur SP donec 
occurrat curvæ in alio puncto G & circulo in , ſitque T perpendi- 
cularis in SH & ſumatur Cf = HF; erit SG = FT & FQ = $P, ſed 
ob triangula ſimilia & æqualia SQM, STm erit ST = SQ & TT FQ, 
adeoque erit PG = SG + SP =FT +fT = Ff =2SF = AB. 


Corol. IV. Ob ſimilia & æqualia triangula SLE, SMQ ertt LP==MQ ; 


cumque Py —Q 7 erit trianglum LPM = MM, i. e. momentum 
areæ B7/PIB eſt ad momentum areæ circularis CM ut 1 ad 2 adeo- 
que cum ſimul incipiant fluere erit area integra BZLB CM & 
rota area quæ interjacet ſemicirculo ALB & curvæ BZPSA æqualis erit 
quadranti circuli radio CS deſcripti, & proinde tota area terminata recta 
BA & curva ASPB erit ſeſquupla ſemicirculi. | 

Corol. V. Curva rectificari poteſt in ſolo caſu quo 8 & A coinci- 
dunt (Fig. 17.) & ovalis quæ jacebat inter 8 & A evaneſcit & mutatur 
in cuſpidem. Ducantur BL, BJ, cumque parallelæ ſint CL, SP erit 
angulus PSp = LCI S 28LI & lo: pn :: 3SL : SP; fed Pp : pn :: 
SL: SP (per Prop. 9.) adeoque Pp = 21o, i. e. momentum curve BP 


eſt ad momentum rectæ BL ut 2 ad 1 cumque ſimul evaneſcant BP & 


BL in B erit ſemper BÞ=2BL, adeoque arcus BP erit ſemper æqualis 

duplo chordæ arcus circuli correſpondentis. „ 
Corol. VI. Curva hac Propoſitione deſcripta Epicyclois eſt (Fig. 18.) 
generata motu circuli (cujus radius eſt CA) revolventis ſuper alium im- 
-motum ſſbi æqualem centro O puncto medio inter C & 8 delcriptum. 
Sit enim OH CA & deſcribatur circulus HFM, ſuper quem volvatur 
alius circulus HDK ei æqualis, & in hujus plano ſumatur punctum R 
ad diſtantiam à centro æqualem + CS & punctum R deſcribet Li- 
neam de qua hac Propoſitione agimus, ſi in principio deſcriptionis 
coincidat N cum H & R cum A. Quippe perveniat circulus revol- 
vens ad poſitionem in Fig. —_— & contingat Baſim in F, ſit- 
8 2 gue 


| TOO 


22. ²ĩ ͤ v2 — er ¶ ¶ů 


Deſcriptio Linearum 

que CF parallela rectæ CL & punctum deſcribens R erit in concurſu P 
tangentis LP cum perpendiculo SP, nam Pe = OS ER & angulus 
PeF = HOF; quippe ob tres rectas parallelas SP, OT, CL & æquales 
OS, OC erit TPS TL, adeoque cum recłũs fit angulus PTe erit trian- 
gulum TPS TL & eP =eL = (ob æquales & parallelas Oe, CL) 


C= Cs = ER, & angulus PeF = FeL = (ob parallelas OC, eL) 


eOS, adeoque arcus HF = F; proinde cum circulus HD N accedit ad 
poſitionem FL coincidit EN cum en & R cum P; curva igitur Pro- 
poſitione hac deſcripta Epicyclois eſt generata motu puncti in plano 


circuli circa circulum æqualem revolventis dati: & ſi in deſcriptione 
Propoſitionis maneat circulus BLA mancbunt circuli iidem HFM. & 


ND K fed erit ER ſemper æqualis CS. 5 | 

Corol. VII. Curve huic recta æqualis duci non poteſt; Quippe de- 
monſtravit M. Nicole Epicycloidem hujuſmodi æqualem eſſe Longitudini 
Ellipſeos cujus axis major eſt CS CA, & axis minor eſt SA in actis 
Academiæ Pariſienſis anni 1707. Ellipſis vero hæc cum axe ſua conve- 
nit cum'S & A coincidunt, quo in caſu axis minor SA =o & longi- 
tudo curyz æqualis evadit 2BA quemadmodum Corol. 7. demonſtra- 
vimus. 5 8 

Corol. VIII. Aliz vero ſunt harum curvarum proprietates non aſper- 
nendz ; diametro CS deſcribatur circulus CGS (Fig. 19.) & ad curvam 
BP educatur Linea quævis SM occurrens circulo in G & curve in P, 
Linea PG hinc circulo illinc curva terminata erit ſemper æqualis datæ 


Lineæ CA. Quippe ſi ex M in CS demittatur perpendicularis M 


ſimilia erunt triangula SMQ , SCG, adeoque erit SM ad SC ut SQ 
ad SG, ſed SM = SC adeoque SQ = SG. Sed in demonſtratione Pro- 


. poſitionis oſtendimus SP = FQ = SF + SQ = SF + SG, unde PG e- 


rit æqualis rectæ SF ſeu CA. Si igitur ex puncto in circumferentia cir- 
culi alicujus SG C poſito ad ipſum circulum educantur radii infiniti ut 
SM & in iis hinc & illinc ſumantur rectæ GP, Gp æquales datæ Lineæ 
CA, curvæ hoc pacto delineatæ ex erunt quas tot variis modis Propoſi— 
tione hac & Corollariis præcedentibus conſtruere docuimus. Ex hac 
curvæ proprietate patet eam eſſe conchoidem baſis circularis quam de- 
ſcripſit D. de la Hire in actis Academiæ Pariſienſis anni 1708, quam etiam 
tractarunt Robervallius & D. Paſchal eorum tamen nemo quantum. novi 


eam Epicycloidem eſſe obſervavit. 


Corol. IX. Hujus curvæ arcus aliqui facillime deſcribi poſſunt ducendo 
terminum alterum rectæ datæ Gp (quæ ſemper tranſit per punctum S) 
per circulum CGS nam terminus alter deſcribet arcum curvæ hujus de 


qua agimus; Circulus S6 biſecat omnes Lineas in S concurrentes & ad 
curvam utrinque terminatas. 5 


6 Coro. X. 


Curvarum Univerſalis. 101 
Corol. X. Propoſitio hæc univerſaliter reddi poteſt oſtendendo (Hg. 20. 


fi angulus datus CNL angulari ſuo puncto N percurrat circulum, ſintque 


C, S puncta ubicunque in plano circuli poſita, & fit SP ſemper perpen- 


dicularis in NL, Lineam quam P perpetuo tangit eſſe quarti Ordinis. 


Ducatur circuli ANB diameter AB per punctum C & Ds ei parallela 
per punctum 8 fit AB Sa, AC Se, AE =4, SE , PM ), SM 
= x, NU = 2," CU == s,- eritque. „ yi: ⏑⏑ 2: 


FR GREY adeoque erit à = W — XX & proinde 


x2 AXT —by 
I 
„* 9 
— 2c — , unde x d . - by D a -C X . 4-27 
** d +3*x —byx, quæ eſt æquatio ad Lineam quarti Ordinis. 
Curvæ quas hoc & præcedentibus Corollariis tractavimus ex ſunt que ex 
circulo eadem ratione deſcribuntur qua Hyperbolam deſectivam ex Recta 
Lemmate 2. Pariis 1. deduximus; atque he ſimpliciſſimæ videntur eſſe 
Lineæ quarti Ordinis (ſi Conchoidem excipias) quemadmodum Hy- 
8 defective pro ſimpliciſſimis haberi poterint Lineis tertii Or- 
dinis. | | 


* Y. Sed ex natura circuli eſt #* + 2* =ac + au 


Por. PROBLE MA. 


Hit BL Seo quævis conica, mvenire curvam BP. 


Caſus L G1 BL Parabola {Fig.21.) & Linea BP erit Hyperbola defectiva 


tertii Ordinis cujus punctum duplex eſt in S & Aſſymptotos 
unica perpendicularis eſt axi Parabolæ; curva erit ſpeciei 34, ſecundum e- 


numerationem Neutonianam, fi S non fit in axe & fit extra Parabolam, 


erit Hpeciei zy ſi fit, in ipſa curva Parabolæ, & ſpeciei 36, ſi S fit intra Pa- 
rabolam. Sed fi punctum S ſit in axe curva habebit diametrum & fi 
S fit extra Parabolam curva erit ſpeciei 40, ſi S fit in vertice Parabolæ 
eurva erit Ciſſois Dioclea, fi S fit inter verticem & focum curva erit 
conchoidalis quæ Punctum habet conjugatum ad convexitatem ſuam e- 
ritque ſpeciei 42; ſi denique focus fit inter verticem figuræ & punctum 
S conchoidalis habebit Punctum conjugatum ad concavitatem ſuam erit- 
que /pecici 43. Hæc omnia hinc facile patent quod fi ex foco 1 

rabolæ 


— 


— » os #, * * 3 
rr * 0 * 1 , — * 


af 
# 1 q 

| 
. # 
4 
74 
4 
ut 
; 
"i 
.+% 
* 


1 

f 

| 
. 
| 
| 

| 

Li 


102 Deſcriptio Linearum 
rabolæ BL demittantur perpendiculares in tangentes LP, earum concur- 
ſus cum tangentibus ſint ſemper in recta BN quæ Parabolam tangit ein 
vertice B; unde cum SP fit perpendicularis in tangentem LP parallelæ 
erunt SP & FN, atque anguli FNP, SPN recti, adeoque per Lemma 2. 
Partis 1. Linea puncto P deſcripta erit Hyperbola defectiva tertii Or- 
dinis habens punctum duplex in 8. Per ibidem demonſtrata Hyperbola 
habebit diametrum ſi S fit in axe parabolæ, ſeu in recta FA ad BN nor- 
mali; & ex eodem Lemmate & natura Parabolæ conſtat Lineam habere - 
Nodum in 8 quoties S exiſtit extra parabolam, Cuſpidem quando eſt in 
ipſa Parabola, & Pundtum conjugatum cum 8 verſatur intra Para- 
bolam. Eo RE, 
Caſus II. Sit BL] Ellipfis, F & F foci, C centrum, & 8 pun&um 
in plano datum ex quo perpendiculares SP ducantur in Ellipſis tangen- 
tes. Si ex foco F in tangentem LP cadant normales ut FN erit N 
punctum in circulo ſuper axem Ellipſeos tanquam diametrum deſcripto; 
nam 'CN CA cum angulus FLN = NLH, & proinde FN = NH, 
atque fir FC =fC, & proinde CN: FH (= Aa) :: FO: Ef: : 1: 2. 
Unde inveſtigatio curve deſcriptæ per puncta P reducitur ad Corollarium 
10. Prop. præcedentis ubi angulus datus FNP angulari puncto N du- 
ci ſupponitur per circuli circumferentiam & SP cadit normalis in NP; 
unde manifeſtum eſt Lineam deſcribi quarti Ordinis cujus æquatio in 
dicto Lemmate inveſtigatur. 3 
Qucd ſi Ellipſis evadat circulus coincidet focus F cum centro C, 
& curva deſcripta per puncta P erit Epicyclois quam Prop. præcedente fuſe 
tractavimus. | 
Caſus III. Sit BL] Hyperbola & ſimili plane ratiocinio oſtendi poteſt, 
fi C fit centrum, F & f foci Hyperbolæ ſitque recta FN perpendicularis 
in Tangentem EN, rectam CN eſſe æqualem dimidio axis tranſverſi 
Hyperbolæ, adeoque punctum N circulum tangere; unde manifeſtum 
eſt curvam in qua reperitur punctum P eam quoque eſſe quæ deſcribi- 
tur Corol. 10. Prop. præcedentis & proinde eſſe quarti Ordinis. Unde 
univerſaliter ſi curva BL] fit ſectio conica ſeu ſecundi Ordinis curva BP 


erit quarti Ordinis, niſi quod in ſpeciali caſu quo BL eſt Parabola curva 


BP ſit Ordinis tertii. 
Corol. Hinc ſi methodo Corol. 2. Prop. 3. ex circulo deſcribatur curva, 
& 8 ſit ubicunque in eirculi plano, curva ea erit ſectio conica. 


Ex dato puncto 8 (Fig. 23.) ad curvam APB duc radios quotcunque ut 8P 
& fumatur fomper SLI 28P punctum Il per petuo tanget Lineam ejuſdem 
ſpecter & Oruinis ac eſt R PB; idem dicendum eſt ſi Si fit ad SP in data 


rutione. 1 | 
Corol. 


2 


Corol. Hinc {fi SR (Fig. Prop. 9.) cadat ſemper in LP ita ut detur 
angulus SRL, erit R punctum curvæ ejuſdem ſpeciei ac eft BB, 


FBC 
PROP. XII. 


Revolvatur Linea curva BL ſuper ſepa ut baſim & 


punttum S in ejus plano datum deſtribet Lineam e- 
juſdem generis ac eſt ea quam Prop. 9. deter mina- 
vimus concurſu tangentium curve cum perpendiculis 
ex S in tangentes demiſſis. 


Qa ſibi IL fir una quævis poſitio curvæ revolventis & S locus 


puncti S in eo caſu; cum eadem Linea Ly og curvam con- 


> ringat ſi ab initio deſcriptionis punctum “ applicabatur puncto B 
manifeſtum eſt angulum SEP SLP & L SL adeoque & SP SP 
& 2SP = Ss; ſed per Lemma 2. eadem eſt ſpecies curvæ deſctiptæ mo- 


tu ipſius P atque puncti cujus diſtantia a S eſt ſemper dupla diſtantiæ SP; 
unde conſtat curvam ejuſdem generis deſcribi motu puncti 8 & puncti P 
adeoque Epicycloidem deſcriptam motu curve BL ſuper ſeipſam eſſe cur- 
vam ejuſdem generis ac eſt ea Prop. 9. ex eadem BL conſtructa. 
Corol. 1. Coincidunt igitur curvæ noſtra methodo deſcriptæ cum Epi- 
cycloidibus D. Nicole deſcriptis motu curvæ revolventis ſupra baſim ſibi 


æqualem; & hinc quoque facile conſtat hujuſmodi Epicycloidem fore 
Lineam Geometricam quoties curva cujus revolutione deſcribitur Geome- 
trica eſt; cum curva BP fit neceſſario Geometrica fi curva BL cujus tan- 


gentium ope deſcribitur Geometrica fit. | 
Corol. II. Hinc Epicycloides deſcriptæ motu ſectionis cujuſyis conicæ 
ſuper ſeipſam facile determinantur. Si Parabola moveatur ſuper aliam 
ſibi æqualem focus deſcribet Lineam rectam axi parabolæ immotæ per- 
pendiculariter inſiſtentem ad diſtantiam à vertice æqualem diſtantiæ ver- 
ticis à foco; Parabolæ vero vertex deſcribet Diocleam Ciſſoidem, & aliud 
quodvis punctum deſeribet aliquam Hyperbolarum defectivarum Neutonz 
punctum duplex habentem in ſimili puncto Parabolæ immotæ. 
Corol. III. Si Ellipſis ſimili ratione ſupra Ellipſin æqualem revolvatur 
focus deſcriber circulum centrum habentem in altero foco cujus radius 
æqualis erit axi Ellipſeos. Aliud vero quodvis datum Ellipſeos plani 
punctum Lineam deſcribet quarti Ordinis qualem Corol. 10. Prop. 10. 
definivimus. 


5 * 


104 De ſcriptio Linearum _ 
definivimus. Idem quoque de Hyperbola ſuper æqualem F re- 
volvente dicendum; Focus enim alter deſcribet circulum habentem cen- 


trum in foco oppoſitæ ſectionis cujus radius erit axis tranſverſus Hyper- 


bolæ: Aliud vero quodvis Hyperbolæ punctum deſcribet Lineam quarti 
Ordinis Coro]. eodem Prop. 10. definitam. 


LEMMA II. | | | 
Dentur poſitione recta infinita SD & puncta 8, A, centro vero S de- 
ſcribantur circuli ABE, DLT & ſumatur arcus DL æqualis dato AB 
& in infinitis circulis eodem centro deſcriptis ſimiliter ſumantur arcus dl à 
recta SD aequales dato AB & curva per puntta omnia L, I dufa erit 


Spiralis Hyperbolica ſen reciproca cujus radii erunt ſemper reciproce ut an- 
guli quos conſtituunt cum retta data SD. 


Cum punctum D accedit ad A coincidat punctum L cum B, jungatur 
SB & univerſaliter radius quivis SL erit ad SB ut angulus BSA ad LSD; 
Arcus enim circulorum eodem centro deſcriprorum {ſunt in ratione com- 
poſita angulorum quos ſubtendunt & radiorum quibus deſcribuntur, & 


proinde cum ex Hypotheſi arcus AB, DL fint æquales, radii SB, SL 
erunt reciproce ut anguli BSA, LSD. 


Corol. I. Cum fat do: DL:: So : SL erit DL do (lo): Los :: 
Dl. SL; 16d SP-:; LP ©: bop: Log -undeSP: : LP ::-AB-; SL. 

Coro]. II. Hinc SL x = AB x Lo adeoque areola 2SL] erit xqualis 
rectangulo datæ quantitatis AB in Dd, & proinde area radiis SB, SL & 


curva BL terminata erit ad rectangulum arcus dati AB in differentiam 
radiorum AD ut 1 ad 2. | Os 


 QEDQEEDEIDISEDICCu pI po ocun u ncrd glow 


Por. XIII. PROBLEM A. 


Ex Spiral: Archimedis (Fig. 23.) Circulo & Recta con- 

ſtruere omnes curvas in quibus trianguli SLP latera 

 guevis duo ſunt ſemper ad ſe mutuo in ratione alicujus 
Hoteſtatis radii ad datam quantitatem. 


Ujus Propoſitionis ſunt tres caſus vel enim in curva conſtruenda 
H oportet eſſe SP: LP. :: SL» : SB», vel LP : SL. :: SL.: 
peel SP. SI. :: SL* : 8B». | 

Caſus I. Conſtruenda fit imprimis curva cujus perpendiculum SP eſt 
ad tangentem LP in ratione poteſtatis ipſius radii SL ad datam quamvis 


quantitatem 


* þ i 
oh — 
i 
| - 
ff. * | 
. . a : 
[ V 
*% — s 
a * * 
: * 
| N 
; | 
a 2 * N ) | 
— — 
= . : is 
| N ; 
"> 
Y 
8 E 
* 
1 ED & 
"= | 
„ - . 7 - I *— , , * . . 2 
l — a ; > j is _ 5 * 
— — = * * — — — ͤꝗuk„œoĩ — ä— — —äHyHIE : — r — 1 . . . — tg * MY A 
— * - « a - 4 — - * — 1 n — - "> Is TG _ —_—_— 
> 
£ 
* 
E 2 
\ 9 
* N 3 
| 
* 
} * 
* 
Bo 
% 
; * 
- \ 8 
* 
* 
— * 
* 
: * 
$ 
. * 
4 
: [ 
- 
F 
- 
- 
. 
A 
. 
10 
* - 
8 
43 
: N 
- 
* 
* . 
. 
5 1 
” 
- \ 
* . 
, 
- 
- 4 


5 2 . 
. Is | SD 
8 e 1 


1 F 
' o 
N | 
' 
N ” 
[ 
MW 
ö N 
| : 
; i 
. J — 
1 
$ - 
; ; n * 
. , 
* f 
1 * . 
| * 
* 1 f . 
" by 
[ — 
' * - 
hy * [1 
* 
D 1 — 
4 j 
| 
* f 
* 1 
; 
4 
* + it 
; 2 
* 
* ' 
j 
9 b 
PL 0 * 
| | | Z 
1 , 
* . 
- D 
: 1 : 
* 
* | 
* 5 - 
— — . * oy 
L © 4 - — - - — 
— —— 2 — 
* — 
K 4 
= 
£ 
, 5 * 
9 | . ; 
185 . * A 1 . * 1 „ F. ? vt * " a 
1 5 1 L 4 4 


F 


2 


quantitatem & Problema per ſpiralem Archimedis conſtrui poterit. Sit 
curva BRS ſpiralis Archimedis eritque R# : ru:: SB : Sa. Suma- 
tur angulus BST ad BSR ut eſt 1 ad , & in recta ST ſumatur SL ad 


SB ut SR” ad SB» & L erit punctum in curva quæſita in qua erit SP 
: LP :: SL” : SB». Quippe GL, I & R, r ſint puncta quamproxima, 


& lo, ru int perpendicula, ex I, r in radios SL, SR demiſſa, erit Lo 5 


* „ SR: Cumque BSR: BSL :: : 1 erit Rs 4 


LSI :: : 1 adeoque erit lo: ru:: SL: Xx SR:: SR” : m X OR x 
— nn, SES. ng 

SB. :: Xx SR " :SB” :;: Lo : Ru. Unde Lo: R:: Ho: rm 

deoque triangula Rar, Lol, SLP ſimilia erunt & SP: LP :: ru: Ru :: 

(ex natura Spiralis Archimedee) SR: SB :: SL” : SB”; proinde pun- 


ctum L erit in curva quæſita cujus tangens erit ad perpendiculum ut data 


quantitas ad poteſtatem (mn) radii. 

Caſas II. Oporteat ſecundo conſtruere curvas quarum tangentes LP 
ſunt ad radios SL in ratione poteſtatis alicujus (m radii SL ad datam 
quantitatem. Sit in Prop. 9. BL Spiralis Hyperbolica Lemmatis præce- 
dentis quæ per caſum 1. ex Spirali Archimedis conſtruitur ſumendo 
BST = BSR & SL ad SB ut SB ad SR, eritque SL: LP :: SP: TP 
ſed per Corol. 1. Lemmatis præcedentis eſt SL : LP :: AB : SP, & pro- 


inde erit SP: TP (:: Pp : Px) :: AB : SP. Unde in curva BP tans. 


gentes TP ſunt ad radios SP in ratione ipſorum radiorum ad quantitatem 
datam AB; & in hac curva ſi radii ſumantur in progreſhone Geometrica 
erunt longitudines curvarum in progreſſione Arithmetica, adeoque una eſt 
curvarum quas D. Yarignou Logarithmicas appellat; ex hac curva omnes 
quarum radii ſunt ad tangentes ut data quantitas ad poteſtatem aliquam 
radii (ſive quarum tangentes LP ſunt ſemper in ratione alicujus poteſtatis 
radii) conſtrui poſſunt, eadem ratione qua conſtruximus in caſu 1. curvas 
quarum SP : LP : : SL”: SB” ex Spirali Archimedis. ENS 
Caſus III. In circulo (Fig. 25.) SRB ob rectum angulum SN ſimilia 
erunt triangula SBR, Rur, adeoque erit Ry : ru:: SB : SR; unde 
per conſtructionem Caſus 1. omnes curvæ quarum SL : SP :: 8B: 
SL” five quarum perpendicula SP ſunt ſemper in ratione poteſtatis ali- 
eujus radii ex circulo deduci poſſunt, ſumendo ſcil. angulum BST ad 


BSR ut 1 adm & SL ad SB ut SR” ad SB” . Quod ſi loco circuli SRB 
ſumatur (Fig. 26.) recta BR (cum triangula Rur, SBR fimilia ſint & 
Rr: ru:: SR: SB) eadem conſtructione deſcribi poterint curvæ omnes 
quarum 8P: SL ::; SB”; SL”. 


P-. Corol, J. 


Curvarum Untoerſalis. 105 


e 
e 
- 7 


SS a hs 
ras > 4 
WAY >" __ 


— rr 
_—_— 


It U 
1 
f | 
* $5 
1 1 
T1 mm * 
1 Y | 
+ 13 
WW 
15 
1 ih 
4 
U A 
: 114. 
1 
1 
1 
' } 
ITHY 
"IM 
off 
U 
135 
ws 
94 
1 
. 
1538 
$ 1 
+ Tl 
BM | 
1 7 
19 k 
I \ | 
mh j 
[| 
"141 ! 
WT 
128 
| Fl 
. 
4 
21 
1 
* 
1 
1 
1 
Mt Wo þ 
1 
1 
3 
5 3 
3» © 
{IK 
- 7 
14:3] 
4-420 41 
19 
15 
1 171 
Kine 
1 
4 200 
165 
1 
N 
* , 
47, LEY 
1 j 
11 
4 
ru 
1.36 
iin 
1 9 
f 1 
wag tt! 
. Ls 
182 
" | 
11 
4.6 
in 
107 
: 191 
N 
en 
if 141 
het!!! 
ib} 14 
wt! 
4, Dn 
} 3 
N 
fi 6h 
11 
. 
1 
1 * 
4 
4 j 
"313 
. 
71 11 
1 ! 
ts 5! 
4 mn 
in 
35 
wn 
f 1 
4 
N 
"I 
13 
24 
N 
1 
#3 33h 
þ 1 
1 
1 
E 157 
8 $5 
5 1 
** * 
4; 
5 4 
\ 14 
! 
. [ , 
: 
177 
0 
| j 
1 
a 
Fare 
+I 1 
THI 
45 
717 
1 
"RY 
7 
i} 


are 
— 


. -w ” 
— 2 2. — 5 —— <a 


—— 
3% 


gt ——ů— 


— — 
es —— — 
. Rn er eto 


106 Deſeriptio Lincarum 


Corol. I. Omnes curvæ quarum LP eſt ad SP vel ad SL in ratione 
poteſtatis alicujus radii ad datam quantitatem ſunt mechanicæ; cum ſpi- 
rales quarum ope conſtruuntur Mechanicæ ſint. 1 

Corol. II. Curvæ omnes caſu 2. deſcriptz fi non fir æqualis unitati 
rectificari poſſunt. f 

Corol. III. Curvæ omnes quarum SP eſt ad SL in ratione poteſtatis 
alicujus radii ad datam quantitatem ſunt Geometricæ, cum circulus & recta 
quarum ope deſcribuntur Geometricæ ſint. Eæ quoque omnes habent 
apſidem ſeu punctum ubi radio fiunt normales; quippe cum SL = SB 
evadit SL” = SB”, SB SP & L] lo adeoque curva radio in eo puncto 
evadit perpendicularis; eæ quoque curvæ hoc habent ſpeciale quod ſingulæ 
quæ ex una aliqua conſtruuntur methodo Prop. 9. ſint ejuſdem generis, 
1. e. ſi in curva BL fit SL: SP :: SB”: SL” erit quoque in curva BP 
radius SP ad perpendiculum ST in ratione alicujus poteſtatis ipſius SP ad 
datam quantitatem; unde ex una data infinitæ ejuſdem generis conſtrui poſ- 
ſunt, ut ex Prop. ſequenti luculentius patebit. 


eee eee eee eee 


PRO pP. XIV. P ROBLEMA. 


S;t curva BLI talis ut SL ſemper fit ad perpendiculum 
S in ratione quantitatis date ad poteſtatem aliquam 
(u) radu SL (Fig. Prop. 9.) invenire curvam BP. 


Cox fit 22 erit LI: Þo :: SL: SP:: SB” : SL», ſed 


Pp: an ©: 8L.: SP :: SB» : SL» :: (cum SL=SB*+* SP»t: ) SBr : 
SB* Fe spr: Bt” :; Sp.. UndefiST ſit perpendicularis in lineam 


rangentem curvam BP ad pundtum P erit Sp: ST :: SB'T* : SP. . 
| zu 1 8 


/ 


Curva vero BP fic facile ex BL abſque tangentium ope conſtruitur, 
ſumatur angulus BSP ad BSL in ratione #1 ad 1 & in SP crus alte- 
: rum 

3 


„ „ a | 
Currarum Unroerſalts. 107 
rum iſtius anguli demittatur normalis ex puncto L; occurſus perpendi- 


cularis cum dicto crure anguli BSP erit in curva BP: Methodo hujus 
inverſa & contraria ex data BP conſtrui poſſet BL. 


Quippe angulus PSp : SL1 :: . 1 (cum Pn: lo :: Px: Lo) 


SP SL 
Pu Lo SL 6 1 
SP 8Þ ſed SP = * adeoque Py monumentum radii SP erit ad 


| br : P Lo ATI Lo. Lo 
momentum Lo ut 21 x SL ad SB” adeoq; S5 SLI. SL F. 
n I: 1. Proinde PSp : LS] :: »+1 : 1, adeoque BSP: BSL: : 
n I: 1. Quippe cum anguli BSP, BSL ſimul evaneſcat coinciden- 
tibus una omnibus punctis B, P, & L (quoniam B eſt apſis curve) e- 


runt anguli in ratione 2. ad 1 cum momenta ſint in ea ratione 
data. 


Similiter atque conſtruximus ex BL curvam BP, ex BP conſtrui poteſt 
alia BT cujus radius erit ad perpendiculum in tangentem ut poteſtas 


=* . rectæ datæ SB ad eandem poteſtatem radii, & ſi ſeries curvarum 


infinita hac ratione ex BL conſtruatur, ipſa vero curva BL fit pri- 
ma in ſerie & exprimat ordinem curve cujuſcunque a BL, erit ra- 


dius in ea curva ad perpendiculum ut poteſtas rectæ datæ SB ad 


| mu 1 
eandem poteltatem radii curve. 3 
Sed fi ex curva BL ſecundum Corol. 2. Prop. 9. curva BN conſtruatur 
methodo priori inverſa, & ex BN alia cadem ratione deſeribatur prodi- 
bit ſimilis ſeries curvarum infinita; & fi curvæ cujuſvis ordinem ex- 
primat in ſerie, ſive ejus diſtantiam a BL erit in ea radius ad perpendi- 


culum ut poteſtas . 8 0 datæ rectæ SB ad eandem poteſtatem radii. 


108 Deſcriptio Lanearum 
Dee e e De e e D 


PROP. XV. 


Him BP, BL, BN proxime in eadem ſerie curvarum 
ex aliqua Caſus 3. Prop. 13. deſiriptarum, dico 
Longitudinem curve cujuſurs BP efſe ad ſummam 
Longitudinis BN penultimæ in ſerie ejuſque tangen- 
tis LN ut n I ad 1. 


Uippe per Prop. 9. angulus SPp = SLI eſtque LSI: :PSp £35 
Q ff per Prop. præcedentem. Unde erit LJ : Pp :: SL: 
_* #+1xSP ſed LI: lo :: SL: SP & LI: 1 ＋ IX %:: 15SL : 
n IX SP, unde LI: Pp :: Ll: I x lo, & proinde PPS I XIo. 
Sed Jo In — on (cum on Lu ob angulos Lon & Lo rectos & æ- 

uales) Ip— Ly lu - LNA Nn; ſed In — LN eſt ut momentum re- 
z LN, & Ns eſt ut momentum curvæ BN, unde % cit æqua- 
lis ſummæ momentorum curvæ BN, & tangentis LN; ſed 


Py Sun ＋ 1 lo, adeoque momentum curvæ BP eſt ad eandem ſummam 
ut »-1 ad 1. Cum vero BP, BN & LN omnes una evaneſcant in 
apſide B ubi coincidunt puncta N, L P & B manifeſtum eſt quantitates 
fore in eadem ratione ſeu BP: BN-+-LN :: I: 13 & BP 
2+ IXBN LN. 5 


Corol. I. Similiter oſtendi poteſt BT = * BL+LP & univer- 
faliter fi dentur longitudines duarum curvarum proximarum in ſerie ex 
his dabuntur longitudines omnium; quippe menſura cujuſvis curve pen- 
det ſemper a menſura penultimæ in ſerie; ita ut fi BN rectificari poſ- 
ſit etiam rectificari poſſit BP; atque unum curvarum par omnibus men- 
ſurandis ſufficiat. 5 rw Ts = | 

Corol. II. Unde ſi unius curvæ BN rectiſicatio fit poſſibilis, erit di- 
midia pars ſeriei rectis commenſurabilis; at ſi curve BL rectificatio ſit 
impoſſibilis, dimidia ſeriei pars erit rectis incommenſurabilis; ita ut ſi 
o, I, 2, 3, 4) &c. denotent numeros curvarum incipiendo i BN, ex 
curve quarum numeri correſpondentes ſunt pares perfectæ rectificationis 
ſint capaces, quarum vero numeri ſunt impares rectificationem omnem 
reſpuant. Quod fi neque BN neque BL ſint rectis commenſura- 
biles, nulla curva in ſerie integra rectis commenſurari poterit. Quod 

= de 


Curvarum Univerſalis. 109 
de BN & BL diximus, intellige de duabus quibuſvis curvis in ſerie ſibi 
mutuo proximis. 

Corol. III. Sit 8 longitudo curvæ cujuſyis 2 longitudo curvz hanc 
proxime præter unam antecedentis, licet neque S nec 2 nec S— & ex- 
hiberi poſſint in Lineis is rectis, differentia tamen ipſius 8 & PCI Mx, quan- 
titas nimirum 8 — A x, eſt ſemper in data ratione ad tangentem 
curve E. | 


Corol. IV. Arcus curvarum ſeriei rectis incommenſurabilis ſunt etiam 
ſibi mutuo incommenſurabiles; quippe cum eorum differentia $ — 
+1 E ſit æqualis rectæ; fi 8 & 2 fibi mutuo commenſurarentur, tunc 
differentiæ etiam ſuæ 8 22 EZ, adeoque datæ rectæ commenſurabi- 
les eſſent. 

Corol. V. Si curva tranſeat per 8, tum recta LN evaneſcente in S co- 
incidentibus punctis L, P, N& 8, longitudo curvæ SS A IX T; un- 
de curva quævis erit ad penultimam ut 24-1 ad 1; ita ut totales cur- 


varum longitudines ad primam ſeu ſimpliciſſimam aſſignabilem habeant 
rationem. 


AS AS AN AAAS ( AS AN AN AAS AS ANUS o (ß ( / / / AS AN AS AN o (oo ((( 
r ICID IODIDE BILE 


Curvas ſimpliciores enumerare quarum perpendicula 


SP ſunt ſemper in ratione Poteſtatis alicajus ra- 
diorum SL. | 


Urvarum quarum SL : SP:: SB» : SL» inſigniores ſunt 19. Cir- 
'S culus puncto S exiſtente in ejus circumferentia (Fig. 27.) Quippe 
ob Sons SIB in ſemicirculo rectum, erit IB perpendicularis = SL 
& ſimilia triangula SB. & Lol, adeoque SL: SP:: SB: SL & »= 

IT. Parabola exiſtente S in foco (Fig. 28.) quippe ex Tae 14. 
Lib. 1. Princip. perpendiculum ex foco 5 demiſſum in tangentem LP 
medium eſt reer e inter SB & SL, adeoque SL : SP: SL 
SB, unde 1 =—Z. 

III. Huc pertinet recta Linea ſi S extra rectam ponatur, nam SB=SP | 
unde SL : SP :: SL: SB & -. 

IV. Huc pertinet Epicyclois quæ deſcribitur revolutione circuli ſuper 
baſim ſibi æqualem puncto deſcribente exiſtente in circumferentia circuli, 
ſi datum punctum S ſupponatur eſſe ubi punctum deſcribens tangit ca 

4 Ms 


110 Deſcriptio Linearum 
ſim, ut ex Corgl. x. Prop. 10. facile conſtat cum, triangula (Fig. 17.) 
SPT, Ppn, SEP, SBL ſimilia ſint, fitque SB : SE :: SL : SP. 

V. Harum quoque alia eſt Hyperbola zquilatera ſi S ſumatur in figurz 
centro; quippe fit BL recta poſitione data, Z punctum extra rectam, ſitque 
SB perpendiculum ex S in rectam demiſſum; ex puncto dato S exeant 
ſemper radii SL, % & biſecet SN angulum BSL, & in recta SN ſuma- 
tur SP media proportionalis inter radium SL & datam rectam SB; erit- 
que P in Hyperbola æquilatera cujus centrum 8 & vertex B. 

In SN ex L cadat LN normalis; & ſimilia erunt triangula SLN, 
SNT, SNO, SaB, SPM, & quoniam 8B: SP :: SP: SL, erit SB: 
SB :: SP* : SL; fed SO :SN :: SN: SE & SO: SL : : SO: SN» 


:: SM : SP, unde SB* : SB :+ SM: SO ſeu SO = SR Sed SO 


SB E (cum BO : BT :: LN: LT) = = ( quo» 


e : | Fw 8P = SB: + SP* X SM . SB* + SP: _ms 
niam SL =-) N & proinde SF N 
— MED, atque adeo SM* = SB* -PM-. Sit igitur SB=a, 
PM =y, SM x, eritque x* S +J* ; unde patet curvam eſſe Hy- 
perbolam æquilateram cujus centrum eſt 8 & vertex B. 

Ex hac conſtructione patet in Hyperbola eſſe perpendiculum in tangen- 
tem ex centro demiſſum ad radium ut SB? ad SP*. Cum Corol. 7. 
Prop. 4. demonſtratum fit ex recta BL conſtrui poſſe omnes quarum per- 
pendicula ſunt ad radios ut SB” ad SP” ſumendo BSN: BSL :: 1 & 


SP Sa ” SL» 3 & in conſtructione hac BSN : BSL :: 1: 2, 


SP a SL* adeoque Mm=2. 

Atque he inſigniores ſunt curvæ quarum perpendicula ſunt in ratione 
poteſtatis radiorum; reliquæ complexiores ſunt & ex his deduci poſ- 
ſunt. Ex harum ſingulis infinitz curvarum ſeries conſtrui poſſunt, qua- 
rum inſigniores aliquæ ſpecialiorem conſiderationem merentur; initium 
vero fiat à circulo. | 


PRO P. 


Curvarum Tniderſulis. III 


PRO P. XVII. 


Hit curva BL circulus, S punctum in ejus circumferentia 


datum, invenire curvam BP & ſeriem uniderſam 
que ex BL ſecundum Prop. 9. conſtrui poteſt. 


I. LX Articulo 1. Prop. præcedentis conſtat in circulo eſſe SL : SP 


:: $B: SL &#=1, Sed per Prop. 14. SP: ST :: SB" ** ; Sp“, 


* BN I T | | 
SB*t*:SP'**:: SB” : SP*, unde ſi r & p denotent univerſaliter radium 
linez curve & perpendiculum in tangentem ex puncto S demiſſum, ſitque 


I I | | 
SB a, erit in curva BP: p: a *. Hac vero curva Epicyclois 


eſt deſcripta motu circuli ſuper baſim æqualem ubi punctum deſcribens 
ponitur in circumferentia circuli ut dupliciter conſtat tum ex Prop. 10. 
Corol. 7. tum ex Prop. 12. Curva ex qua circulus formatur, ut BP ex cir- 
culo, eſt ipſum punctum B; nam ſi in lineas omnes tangentes punctum 
B (i. e. ex eo puncto exeuntes) normales demittantur ex 8 concurſus 
omnium tangentium & perpendicularium erunt in circulo ut ex Elementis 


conſtat, coincidunt igitur B & N & proinde BP = IX BN + LN 
= 2LN = 2BL, unde arcus Epicycloidis BP erit æqualis duplo 
chordæ correſpondentis in circulo BL, adeoque integra curva BPS erit 
dupla diametri SB. 3 

II. Eadem ratione qua conſtruximus Epicycloidem ex circulo deſcri- 

batur SHB ex Epicycloide SPB, conſtituendo nim. angulum SPI SLP, 
& ex 8 in lineam Pn Epicycloidis tangentem demittendo perpendicula- 
rem Sl; ex Prop. 14. f curya BL fit ejuſmodi ut r: :: : 1 mas 


f nifeſtum eſt in curva Sn ſecunda 2 circulo fore r 29: a ti anti, ; 


(cum #=1) a* : 755 Unde SI: SR:: SBF: Sn", adeoque SR 


Ex 


2660GGAG66AGTASHEEAACARRAREAGEAS 


—_— - Or EIA A . — 
— " —— — — 9 2 — _ "_ = — a — 
- - = y — ba - o” — — 2 — pr —— — * 
— — A I - — . — — - — — = hs — — 
r — — Fr o — 4 — —— — — — were — — 3 8 
—— — n — 2 —— — — TICS. = — — TT. > 1 — — pn ponn——nen . 
—— — - — 8 — pa 22 —— 
— 2 Hg — — — — - 5 — — — —— Ty CL — — — - 
2—— — — - N : 
— — , — 7 = 
* 2 2 n — = 7 - 2 


\ 
þ 
iy 
1 
| 
> || 
a 
1 
i 
l 
10 
1 
vo. 
| 
14 
ik 
44 


! 


+3. LG, ſed EAS = 3 BLS, adeoque eſſet 2 BLS = BI.S 
2 i am 21 


112 Deſcriptio Linearum 


Ex L in SB cadat LG normalis & ex G demittatur GM perpendicu- 
laris in SL; & ſi ſumatur angulus BSH = 3BSL & Sn = SM erit N in 
eadem curva quam conſtruximus ex Epicycloide. 


Sit m index æquationis curvæ BP, & ex Prop. 6. conſtabit Bn — 


m1 x BL TIL = (cum = RL +LP = LBLFLG; un- 


de Bn eſt ſeſquupla ſummæ arcus correſpondentis ejuſque ſinus recti, ſeu 
ſeſquupla ordinatæ Cycloidis (cujus circulus genetrix eſt BLS & vertex B) 


ad punctum G. Quod ſi centro S radio SD — * CS deſcribatur cir- 


culus occurrens rectæ SP in H, & HQ demittatur perpendicularis in SB, 
crit Bi = DH THQ; nam ob æquales angulos BSP, BCL fimilia 
ſunt ſegmenta BCLB & DSHD, adeoque DH : BL :: DS: CS :: 


3: 2, &CL : SD :: LG: HQ, adeoque HQ = LG, unde BL 


= 2. BLFLG = DH + HQ. Hinc 1. Longitudo arcus Bn eſt 


ſumma arcus circuli DH ejuſque ſinus recti HQ, & proinde curvz BnS 
arcus non poſſunt rectis commenſurari , ſed earum menſuræ Rectifica- 
tionem circuli poſtulant; 2. Neque arcubus poſſunt circuli commenſu- 


rari, nam ſi Bil commenſurabiles eſſent arcubus circuli BLS poſſent etiam 
rectis commenſurari, cum B = 2 BL ＋ 2 LG. 3. Licet arcus BI] 


& arcus circuli DH rectis ſint incommenſurabiles, eorum tamen diffe- 
rentia eſt æqualis aſſignabili rectæ HQ. 4. Quando coincidunt L, P, 


n & S evaneſcit LG & B = 7 BL+LG = 2. BLS, adeoque tota 


curva BLS ſeſquupla erit ſemicirculi BLS, & proinde licet arcus quivis 
curve BIS ſint circuli arcubus incommenſurabiles, eſt tamen integra curva 
ad circulum in rarione 3 ad 2. 5. Nulla pars curvæ aſſignabilis eſt com- 
menſurabilis totæ nec curva in data ratione ſecari poteſt; nam ſi BilS in 
aſſignabili quavis ratione ſecari poſſet conſtaret quadratura circuli. Quip- 


pe ſi Bn = 222 & BL = 22: efſer By — I BLFLG = 2 BLS 
b R mM — mm T7 - 2 


Ni 


＋ 2 LG, & BLS = - LG, adeoque BLS = E & pro- 


9 
2 un 7—7 


inde ſemicirculus BLS eſſet ad rectam LG in data ratione mm ad 1 -m. 
2 Habemus 


Curvarum Unroerſalis 113 
Habemus igitur curvam Geometricam cujus biſectione aut triſectione 
prodiret recta circulo æqualis. Sic ſi e. g. fit 1 punctum curvæ Bus 


medium ita ut Bll Sn, & arcus circuli correſpondens fit BL, cujus 
duplo æqualis fit arcus Be, erit arcus circuli ST = 2LG. Si I fit 


punctum curvæ Bris tale ut Bn = £ 


& generatim ſi BI = & BU=#BL. erit arcus circuli SU=nLG. 


S „ Erit arcus circuli Sa 22LG; 
8 . 


oy 
' 


III. Ex curva Bns dein conſtrui ſupponatur BR ad modum Prop. 1. 
eritq; : p:: 4H: fr: at; , ut ex xquatione generali prius 
Prop. 14. demonſtrata liquet. Cum vero index æquationis curvæ Bris 
fie patet ex Prop. 6. BR = 5 = 7281 -|- Pn. Unde ma- 
nifeſtum eſt curvam hanc tectificari poſſe & eſſe ad 2BL N ut 4 


ad 3. Unde tota curvæ longitudo BRS => SB. 


Ex M in SB cadat normalis MK, & fi angulus BSR =4BSL, 
SR = SK erit R in curva deſcripta ut ſatis eſt manifeſtum; cum trian— 
gula BSL, LSP, PSn, SR, fint reſpective æqualia triangulis BSL, 
LSG, GSM, MSK. Proinde ſi ſuper SB deſcribatur curva quarti Or- 


dinis per puncta M tranſiens cujus æquatio erit ax* =y* +x* | five 
„ = Vax ubi y = RM, SM=—x & SB Daz; erit area curva Bi 
& rectis SI, SB intercepta BSB = 3SMBS, cum angulus BSH=3BSM 


& ns = 3MSm ac S = SM; adeoque tota area BIS SB = zB Mos. 
Area vero incluſa curvis duabus Bl & BR ac recta IIR erit æqualis di- 


midio arer BMK, nam DR Mk, & nh. = E. Ergo BSRB 


= — ;BSMB © SKM = 4SKM +£ BMK, adeoque area tota 


incluſa curva integra BRS & diametro SB erit xqualis BMOS. Sed 


ex D. Neutoni quadratura curvarum Formula 4. Caſus 7. area BMs inveſti- 
gari poteſt, atque inde areæ BS, BRS innoteſcent. 

IV. Eadem ratione ſeries curvarum infinita continuari poteſt; & fi # 
exprimat diſtantiam curvæ cujuſvis ſeriei a circulo erit in ea curya r : p 


n+1 , A 
T' T — —— 


:: 4 V five p=r d' de qua ſerie obſeryare licet 1. indicem radii eſſe 
numerum fractum cujus Numerator eſt unitas Denominator numerus 


Q on 


114 Deſcriptio Linearum 


2 exprimit curvæ ordinem in ſerie. 2. Omnes curvas tranſire per 8 
B, & in B diametro evadere perpendiculares, ubi omnes ſe mu- 
tuo contingunt. 3. Omnes quarum indicum denominatores ſunt numeri 
pares eſſe perfẽctæ rectificationis capaces ſint S, x, C, Q, &c. ſeries 
curvarum inverſa quarum indicum denominatores ſunt numeri pares, ſit- 


que in curva 8, „: %:: *: n adeoque in curva proxime antecedente 
1 1 


nip Ha; . & per Prop. 15. Corol. 5. erit 8 — * & = 


. 
. N | | | 7 2— 2 
C& G 40 Unde = EEG 
—3 — Hm HL UH} — 3 
7—2 1—4 | . . . 2 f - 75 
* Q. Proinde univerſaliter erit S ad diametrum SB ut * 
IX t &c. : 1 continuando ſeriem donec denominatorum 1, 
1-3 Ro Th 


He}, t—f, &c. aliquis evaneſcat. Sic ſi quæratur longitudo curve 
cujus indicis denominator eſt 6 erit 8 == * 4 * Xx OB = . SB = 


33B-+ © SB. Hinc igitur prodit feries infinita curvarum Geometrica- 
7 | 


rum perfectæ rectificationis capacium. 1 

4. Ubi eſt numerus impar curvæ ſunt perfectæ rectificationis inca- 
paces; fed earum arcus quicunque ſunt ſibi mutuo ipſis totis & rectis 
quibuſvis incommenſurabiles. Nihilominus totales curvarum longitudines 
circulo SLB & fibi mutuo commenſurantur, & ſimiliter ac in præceden- 
te articulo demonſtratur longitudinem curvæ cujus indicis denominator 


eſt ꝝ eſſe ad ſemicirculum ut — x eee c &c. ad unitatem lie 
Eno oF f u 1 —3 HU Wet: 
e.g. ſi a erit curvæ longitudo ad ſemicircumferentiam SLB ut 
IF. | „ N : 
7. Curva quævis eſt Epicyclois deſcripta motu eam proxime præce- 
dentis in ſerie ſuper baſem æqualem ut ex Prop, 12. conſtat; hinc cur- 
va BriS quam ſpecialius tractavimus eſt Epicyclois generata motu vulga- 
ris Epicycloidis ſupra ſeipſam. 1 5 | 
Perluſtratis curvis quæ ex circulo deduci poſſunt methodo Coro). 1. 
Prop. 9. pergimus 1 curvas conſiderandas quæ ex recta Linea deduci 
poſſunt. Ex recta vero BD methodo directa Corel, 1. Prop. 9. nihil 
nifi pun&tum B deduci poteſt ex quo circulus & curve jam conſideratæ 
conſtruuntur; methodo vero inyverſa Cord, 2. ejuſdem Prop. alia prodit 
ſeries quam nunc aggredimur. 


PROP, 


* 


** 


« 


_  Curoarum Univerſalis 115 


CCC 


PRO P. XVIII. 


Hit BP Linea recta & quærantur curve BL, BN, c. 
zuæ ex ea methode Corol. 2. Prop. 9. conſtruuntur. 


Ia recta data BP & ex dato puncto S ad eam educantur radii SP, Sp, 
ſit 8B Da, SP Dr eritr : p:: 7: a ut oftendimus in Articulo 3. 
Prop. 16. proinde # = —1, ſed ex Prop. 14. manifeſtum eſt in Linea 


— T — 
BL eſſe r: p:: a: 7 :: ati: if: : :. Unde ex Arti- 
culo 2. Prop. 6. patet BL Parabolam eſſe cujus focus eſt in S. 

2. Ex Parabola conſtruatur eadem ratione curva BL; quæ per de- 
monſtrata Prop. 7. facilius ducitur conſtituendo angulum LSL = LSP 
= PSB & ducendo LL perpendicularem radio SL ad punctum Parabolæ 
L occurrentem rectæ SL in L, quod punctum erit curvæ in hac ſerie 


1 
— 


l ; R 1 : 
tertiæ, in qua r: p:; ir +: : Oſtendimus vero Prop. 
6. Longitudinem Lineæ cujuſvis BP eſſe ad ſummam vel differentiam 

longitudinis penultimæ in ſerie & ejuſdem tangentis ut index radii in æ- 
quatione curve intermediæ unitate auctus ad unitatem; proinde erit BP 


BL — LL :: = I: 1:: 1: 2. adeoque BL=2BP-+ LL, unde cur- 


va BL poteſt rectificari; cum vero Parabola abeat in infinitum manife- 
ſtum eſt omnes in ſerie hac curvarum in infinitum abituras, earumque 

longitudines totales non poſſe aſſignari. Curva BL habet punctum du- 
plex in axe ubi SL coincidit cum SD ſeu ubi angulus PSB ett 60 gra- 
duum & duo habet crura infinita Parabolica. 


III. Quod ſi ex curva BL alia conſtruatur BA erit ejus æquatio 
r:p ita: & longitudo Ba=2 BELL. Unde hæc curya non 


oteſt rectis commenſurari ; ſed exprimi poteſt in rectis & arcubus Para- 
olicis. | | 
TV. Similiter pergendo prodibit ſeries infinita curvarum in quibus ra- 


dius erit ad perpendiculum ut = poteſtas radii ad datam quantitatem fi # 


denotet ordinem curvæ in ſerie, quæ fi conferatur cum ea Prop, præce- 


Q 2 dentis 
T 


116 Deſcriptio Linearum 


dentis patebit eandem eſſe continuatam per indices negativos. In hac 
ſerie primæ ſunt recta atque Parabola; & proinde ſimiliter ac in priori 
erit dimidia pars hujus ſeriei rectis commenſurabilis & dimidia à rectifica- 
tione Parabolz ſeu Quadratura Hyperbolæ pendebit; omnes ſcil. qua- 
rum indices denominatorem habent numerum imparem rectis commenſu- 


rari poſſunt; quæ vero denominatorem habent numerum parem rectis 
& ſibi mutuo ſunt incommenſurabiles. 


CC 


„ "PROP; - AI. 
$i: BL Hyperbola equilatera fitque ejus centrum in S 


 requiruntur curve omnes que ex ea couſtrui poſſunt 
eadem methods. 


I NEmonſtravimus in Articulo 5. Prop. . ( 18 32) xquationem radialem 
Hyperbolæ ad centrum fore (fi a ſit ſemiaxis tranſverſus) 7: :: 
7* : a: adeoque #=—2, Unde æquatio curve BP erit r: :: 


n n _— ee s 
1 3 — . | | ; 
4 Tr: 4 K:: 2 =:: 2 1. Quæ curya eadem plane ratione ex 


circulo deſcribi poteſt qua dicto Articulo Prop. 16. Hyperbolam ex data 


recta conſtruximus. 


Sit SLB circulus & S punctum in circumferentia datum ex quo ad 
circulum ducatur radius SL; biſecetur angulus BSE recta SN atque ſu- 
matur in SN recta SP media proportionalis inter SB & SL; eritque P 
punctum ' curve in qua erit 1: p.: 4? : 7* quæque ex Hyperbola 
conſtruitur per Prop. 9. Hæc curva eſt quarti Ordinis cumque ab ea 
pendeat ſeriei hujus dimidia pars erit operæ pretium ejus æquationem 
ad axem SB indagare; fit LQT normalis ex L in SN demifla, occurrens di- 
ametro SB; in T; ſint quoque LF, QN, & PM perpendiculares in SB. 
His pofitis erit SL : SP :: SP : SB, & proinde SQ : SM :: SP: 
SB, ſed SQ : SP:: SN : SM. Et proinde SN : SM :: SM: SB, 
ſed SN SFA E & SF: SL :: SL : SB, unde prodibit Sp 


es 7 


+ SB* x SP* =2SB* x SM* ſed SP*=SM* PM adeoque fi PM=y 


SM = x erit x? +j* + 4a*x? +a*'9* =24*x*, adeoque * = 
a * —4 955 patet igitur curvam eſſe quarti Ordinis, & punctum duplex 
habere in 8. 8 


4 2. Ex 


Curvarum Univerſalis. 117 


2. Ex hac curva alia deſcribi poteſt in qua erit : :: a N & æ- 
quationes curvarum quæ methodo directa ex Hyperbola deduci poſſunt 
ſeriem conſtituunt , ubi indices ſemper habent numerum binarium nume- 
ratorem & numeros impares 1, 3, 5, 7, &c. denominatores. Omnes 
curvæ quarum indicum denominatores ſunt in ſerie — 1, 3, 7, 11, &c. 
exhiberi poſſunt in rectis & arcubus Hyperbolicis; quæ vero denomina- 
tores habent 1, 5, 9, 13, &c. exhiberi poſſunt in arcubus curvæ modo 
explicatæ & in rectis, ut ex Prop. 15. ſatis eſt manifeſtum. 

3. Ex Hyperbola methodo inverſa ea nim. Corol. 2. Prop. 9. deduci- 
tur ſimilis ſeries curvarum ubi indices æquationum erunt in eodem ordine 
ac in priori ſed negative. Harum omnes quarum indicum denomina- 
tores ſunt in ſerie 1, 5, 7, &c. exhiberi poſſunt in arcubus Hyperbolicis 
& rectis; reliquarum menſura pendet a curva prius explicata. 

Schol. Series prioribus propoſitionibus inveſtigatæ includunt omnes æ- 
quationes quarum indices poſſunt habere numeratorem unitatem, & ex 
hac Prop. demonſtratæ omnes includunt quæ poſſunt habere numerato- 
rem numerum binarium, quæ ad priores reduci non poſſunt. Proinde 
jam exhibuimus omnes curvas ſimpliciores quarum æquationes ad genera- 
lem r: p :: : 7” reduci poſſunt. At ſi aliæ quærantur curvæ que 
alias exhibere poſſint ſimiles ſeries, innumeræ ex Caſu 3. Prop. 13. peti 
poſſunt. 2 | 2 ; 

E. g. Si quæratur ſeries curvarum quarum indices numeratorem habe- 
re debeant numerum ternarium. Sit BL vel recta vel circulus, ſitque 


BSL & in SN ſumatur SP (Fig. 25, 26 primum duorum 


mediorum proportionalium inter SB & SL; eritque P in curva cujus æqua- 
tio ad S erit T: :: 7* : a* ſi BL fit recta; ſed v: :: 4: ſi BL fir 
circulus, & S in circumferentia; ex his duabus curvis quatuor ſeries de- 
duci poſſunt in quibus indicum denominatores ſequentur ordinem numero- 
rum Arithmeticæ proportionalium quorum differentia erit numerus ter- 
narius. Omnium vero harum curvarum arcus exhiberi poſſunt in rectis 
& arcubus curvarum duarum ope rectæ & circuli deſcriptarum: Atque 
his conſtruximus curvas omnes quarum indicum numeratores poſſunt eſſe 
æquales numero ternario denominatores vero numeri quicunque in- 
tegri. 


angulus BSN = 


PROP, 


118 Deſcriptio Lincarum 


— 


me e e e e e e e 6 


PRO P. XX. 


Circa centrum S (Fig. 3.) de/cribatur radio quovis SB circu- 
Ius BOA occurreus rectæ SP productæ in Q, ad omnia 
punita Q erigantur perpenaicula ad planum figure 
equalia ipſi SP, & ſuperficies Cylindrica hac ratione 
conſtructa æqualis erit rectangulo radu in ſummam 
curvæ BL ejuſqae tangentis LP. 


CN Vippe cum pr p - p —LP + LP -A LP+L7 cum- 
(1 que (ſi radius SB=a BQ =: & Q c) A 


erit pn = LE LP-+L1; ſed SPx © eft momentum ſpatii Cy» 


lindrici conſtructi erigendo SP perpendicularem plano figuræ ad Q; 


eſt quoque LP momentum rectæ LP & Li momentum curvæ; unde cum 
ſimul evaneſcant ſpatium cylindricum recta LP & curva BL in B, ſint- 
que curvæ BL & rectæ LP momenta ducta in à æqualia momento ſpatii 
cylindrici, erit ſpatium cylindricum æquale rectangulo radii in ſummam 
vel differentiam curvæ BL ejuſque tangentis LP. 3 

Corol. I. Hinc ſi curva BL poſſit rcctificari ſpatium illud cylindri- 
cum quadrari poterit; unde plures deduci poſſunt conſtructiones ſpa- 
tiorum cylindricorum fimilium iis quas exhibet D. de la Hire in actis 
Academiæ Pariſienſis Anni 1708; atque his analogæ Spatiorum cyx 
lindricorum quadraturæ plures olim ab eximio elapſi ævi Geometra D. 
Jacobo Eregorio Abredonenſi pulcherrime demonſtratæ ſunt. 
Corol. II. Si SPB fit circulus erit ſpatium cylindricum ſecundum Pro- 
poſitionem ſuper ſemicirculum radio 8B deſcriptum æquale duplo qua- 
drati rectæ SB; & ſpatii portio quævis ſuper BQ conſtructa æqualis erit 
rectangulo diametri SB in chordam arcus BP. 


Prop, 


Curvarum Unive ſalis. 119 


DSD eee eee eee eee eee 


PR OP. XXI. 


Hit ut in Prop. 14. perpendiculum SP ſemper ut pote- 
ſtas aliqua (n+1) radn, eritque Radius curvature 
Linee BL in puncto L (Fig. 34.) ut poteſtas 11 
ejuſdem radii SL, 


Int RL, RJ duo radii curvaturæ arcus Li concurrentes in R, cum- 
que SP, RL & Sp, R/ ſint perpendiculares in eaſdem rectas LP, /p 
adeoque ſibi mutuo parallelæ, erunt triangula LRA, pSN ſimilia & RL :. 
LI: SP : pn . e Lo + Pn, adcogue RL: © 


SL :: Lo: Ps. Cum vero SP = ert 7s: Put: win Fr 


x SL” unde erit RL : SL:: & : »+ 1x SL” & proinde RL == 
| 8 = 1-1 
adeoque in curvis omnibus quas tractavimus Prop. 14, 15, 16, 17 & 18 
& 19 radii Oſcillatorii erunt ſemper ut poteſtas 1 - radiorum SL. 
Corol. I. Hine fi curva fit Epicyclois (vid. Fig. Prop. 17.) quæ ex 
circulo methodo Prop. 17. deducitur erit radius curvature æqualis 


ad a x SP ſive 7 81. Unde curva cujus evolutione deſcribitur facile 


conſtrui poteſt erigendo perpendicula tangenti Pn ad puncta quævis P; 


& ſumendo in perpendiculo PX — — SL ; erit enim X in ea curva: At- 


que hinc oſtendi poſſet Lineam quam tanget X fore Epicycloidem fimilem: 
ad diametrum triplo minorem contrarie ſitam; ſed hæc ab aliis demon- 
ſtrata ſunt. | | | 

Corol. II. Quæcunque fit curva BL { SA fit radius qui perpendicula-- 
ris eſt curvæ, & in ea ſemper ſumatur SM SP, ad punctum M fit MQ- 


perpendicularis ſemper æqualis radio curvature in puncto L, fitque AD 
æqualis radio curvaturæ in puncto A erit area ADQM- zxqualis: 


2SL* — SA? f SL major fit SA vel 5SA* — SL? fi SA major ſit 
quam SL: Nam ſi MQ , mg fint ordinate quam proximæ erit: 
Mm æquale SEL Xx Lo quoniam RL.: SL :: LO: Pu, Pu = 

| Mm &. 


— 


* ſive (cum ex Hypotheſi fit SP = 


120 Deſcriptio Linearum 
Mm & RL = MQ. Si curva tranſeat per 8 & ſit SE radius cur- 
vaturæ in puncto S erit area DSMQ = +SL* ; atque hinc infinitæ 


curvarum areæ perfectæ rectificationis capaces deduci poſſunt. 


CEO REAL e e wee 


SECTIO IV. 
De Viribus quibus Corpora curvas deſeribunt circa data 


ieee eee eee eee 


Prop. XXII. 

Deſtribat corpus in medio non reſiftente curvam BL 
Prop. 14. in qua SP eſt ut poteſtas (u E rad SL 
& vis centripeta qua corpus urgetur verſus punttum 
S erit ſemper reciproce ut poteſtas zu + 3 diſtanite. 


83 in Fig. Prop. 14. SI donec occurrat tangenti LP in & 
triangula SPp, Lim erunt ſimilia ob angulos Lim (= Slip) SPp 


Xx angulos PSp, LM æquales, adeoque erit SP : Pp :: LI: Im, unde 


Im = E * Sed per Theorema Neutoni vis centripeta eſt ſemper re- 
ciproce ut ſolidum — adeoque reciproce ut SL* X 17 5 ==] 


(quoniam Ll: :: SL : SP) SL x SP* x lo Sed demonſtravimus 


Pp 
Prop. 15. eſſe Py n—+1 x lo, & proinde vis centripeta erit reciproce ut 
SL x SP* . ) ut SL»+3, In 
omnibus igitur curvis quarum perpendiculum SP eſt ut radii poteſtas 


aliqua (-- 1) vis centripeta qua corpus urgetur ad S erit reciproce ut po- 
teſtas 2» +3 diſtantiæ. 3 


Corol. I. 


Curvarum Unider ſalis. 121 


Corol. I. Velocitas corporis eſt ſemper reciproce ut poteſtas (» 1-1) 
diſtantiæ; nam velocitas eſt ut arcus dato tempore deſcriptus, tempus 
vero ut area SL] five rectangulum SP L adeoque velocitas erit reci- 


proce ut perpendiculum SP & proinde ur poteſtas z+ 1 diſtantiæ, cum 
82 — Velocitas corporis circulum deſcribentis ad diſtantiam SL 
eſt ſemper in ſubduplicata ratione rectanguli vis centripetæ in diſtantiam per 
Prop. 4. Lib. 1. Princip. adeoque erit æqualis E NATL " ſed velociras 


corporis curvam BL deſcribentis ad eandem diſtantiam SL eſt 


a” 
SL 
& proinde velocitas corporis curvam BL deſcribentis eſt ad velocitatem 
corporis circulum ad eandem diſtantiam deſcribentis ut 1 ad V= 
adeoque in data ratione : Arque ea eſt quam corpus cadendo ex infinita 

diſtantia eadem vi centripeta ad altitudinem SL acquireret. 
Corol. II. Hinc ſi (Fig. 27) BL fit circulus & centrum virium fit in cir- 


. . 25 8 1 5 . . R 
cumferentia, erit SP = 8E adeoque & vis centripeta reciproce ut 


Quadrato-cubus diſtantiz, cum 2» +3 ; velocitas erit reciproce ut 


quadratum diſtantiæ, eritque ad velocitatem corporis circulum ad eandem 


diſtantiam deſcribentis ut 1 ad v2. 


Corol. III. Sit BL Epicyclois quam fuſe tractavimus Prop. 10. cujus 
punctum deſcribens eſt in circuli circumferentia; & fi centrum virium 
ſit ubi punctum deſcribens tangit baſim erit SP (conferatur Articulus 1. 


— - 


Prop. 17.) = adeoque 12 & 2n-|-3 4; proinde vis centri- 
| mY | 


peta corporis Epicycloidem dictam deſcribentis erit reciproce ut Qua- 


drato-quadratum diſtantiæ, velocitas in ſeſquiplicata ratione diſtantiæ & 


ubique ad velocitatem corporis circulum ad eandem diſtantiam deſcriben- 


tis ut /2 ad 3. Si BL alia aliqua fit curvarum ſeriei infinitæ Prop. 17. 


ex circulo deductz erit vis centripeta inter rationem reciprocam triplica- 
tam & quadruplicatam & ſemper major triplicata. 


Corol. AV. Sit BL recta (Fig.31,) & n ==—1 & vis centripeta aK +1 


SLA 
4 Ne—1 FRO di | ava = 2 — 4 
S Sit BL Parabola & SPS a XSL, unde n = —;, 


& zu ＋ 3 2, adeoque vis centripeta erit reciproce aut quadratum di- 


ſtantiæ, velocitas in ſubduplicata ratione diſtantiæ & ad velocitatem cor- 


poris circulum ad eandem diſtantiam deſcribentis ut v2 ad 1. Si BL fit 
| | R alia 


122 Deſcriptio Linearum 
; alia aliqua curvarum ex recta Prop. 18. conſtructarum vis centripeta erit 
= ſemper inter rationem duplicatam & triplicatam & ſemper minor tripli- 
cata cui continuo appropinquat. _ ob 
Corol. V. Sit BL Spiralis quæ ſemper radiis occurrit in eodem angulo 
eritque SP = 2x25 „(Fig. zy.) n=0, & 2u+3 =3; proinde corporis 
Spiralem hanc deſcribentis vis centripeta eſt reciproce ut Cubus diſtantiæ. 
Et univerſaliter {i detur aliqua poteſtas radii (π quæratur vero curva 


. . . . . . . . . ſi | —3 
aliqua in qua vis centripeta ei poteſtati erit proportionalis, fit » = 


| 2 
& ſi curva conſtruatur ex Caſ 3. Prop. 14. in qua SP:SL :: SL»: a" 
vis centripeta in ea curva erit reciproce ut poteſtas ( diſtantiz. 
Corol. VI. Hinc quoque fi corpus deſcribat Hyperbolam æquilateram 
vis centrifuga qua urgetur à centro erit ut diſtantia; nam in hoc calu per 
Prop. 16. Articulum 7. SL : SP:: SL* : SB* adeoque » = —2, & 
zu- 3 =—1, & proinde vis centripeta erit ut diſtantia, qui caſus eſt 
particularis Prop. 10. Lib. 1. Princip. Y 
| Schol. Cum vis centripeta fit ſemper reciproce ut ſolidum SL x 
SP? X 55 hinc in alia quavis curva lex vis centripetæ determinari poteſt 
| . Inveſtigando curvam BP quæ Prop. 9. ex BL conſtruitur. Sit e.g. BL 
ſectio conica & (Fig.36.) BP erit per Prop. 11. circulus eodem centro dia- 
metro ipſo axi tranſverſo deſcriptus. Sit ſemiaxis tranſverſus CB = a, ſe- 
miaxis conjugatus =b eritque CS S 4; fit SL r, SP =x, fir 
SR ex puncto S in radium CP perpendicularis, & ſimilia erunt triangula 
SRP, SPL ob rectos angulos SPL, SRP & æquales SPR, PSL; pro- 


inde ert PR = & CR E, SR. — gr ſed CS. = SR. 


r 


+ CR* adeoque à 45 3 unde x = © V — i} 


264.50 


| ſit Ellipſis & x = 4 * . fi BL fit Hyperbola ſed vis centripeta eſt 


zar | 
| i reciproce ut ſolidum SP x SL x 5 = (cum area SLI = 3 SL x 10 


=4SP x L1) SP? 55 (eum LI: Lo :: Pp": pn) SP3 x 22, ſed 


| T . 8 . „ 
Lo: Pn :: 2atr*xr* : ab; adeoque vis centripeta erit reciproce ut 


3 
b „ zarr Nr=* 572 f NL bo RO 

x 2 18 b* 1 & proinde ob — datam erit vis centripeta 
8 L 


reciproce 


bl 


Curvarum Univerſalis. 183 
reciproce ut quadratum diſtantiæ SL. Si BL fit Parabola circulus abit 


in tangentem ad verticem & vis centripeta erit reciproce ut quadratum 
diſtantiz per Coro}. 4. velocitas corporis ſectionem conicam deſcribentjs 


24 4 . . * . - * 
eſt ut V 1 ſive in ſubduplicata ratione ſummæ vel differentiæ quanti- 


tatis quæ eſt reciproce ut diſtantia & datæ quantitatis. 

Quod ſi detur vis centripetæ lex & quæratur curva quam corpus velo- 
citate quavis projectum in medio non reſiſtente deſcribet, ea per Prop. 39. 
Lib. 1. Princip. indagari poteſt. Sed ſi vis centripeta fit ut poteſtas ali- 
qua (n diſtantiæ curva innoteſcet (Fig. 37 ) abſque illius Propoſitionis ope. 
Sit vis centripeta reciproce ut ſolidum a SL”, ſitque SL r, SP=x : 
Projiciatur corpus a puncto A ſecundum directionem AB, & ſit SB per- 


pendicularis in AB, dicatur 5 E — 8 1 5 His poſitis vis 


centripeta eſt in puncto L reciproce ut ſolidum SP x = = 5 adeo- 


BR x 1 
3— 1 „m — & 1 x 7 4 EE 3 Wn 
que 3 PU = — X— = z quzrantur harum Fluentes erit- 
x * 4a 5m 
\ an—3 | | | — 


%% _ Tau- f. xt 
Unde ſi vis centripeta fir reciproce ut quadratum diſtantiæ a- 


deoque 1 : erit SP (=x) = V 2 & ſi ST fir perpen- 


ar Þ c* 
„ . . f BEE. * Ac? | 
dicularis in tangentem curvæ BP erit ST = — ==—— __ _ Sed 
IE | „„ 
per Prop. 2 1. hujus Partis eſt momentum rectæ ST ad momentum rectæ SP 


ut SP ad PC radium curvaturæ Lineæ BP, i. e. a Var: cf +ar 
6 * 4 C = ©. Proinde radius curvature BP eſt invaria- 

* bar ” 
bilis, & Linea BP eſt circulus, adeoque per Corol. Prop. 11. Linea BL 
erit ſectio Conica. Ducatur BD conſtituens angulum DBS = ASB & 


: : 8 5 f | 
in recta BD capiatur BC = eritque C centrum ſectionis conicæ S fo- 


Aa 


cus & = latus tranſverſum. Similis valor generalis perpendiculi SP in- 


veſtigari poteſt ex Prop. 39. Lib. 1. Princip. Si enim fit B altitudo loci 


a quo corpus cadens velocitatem acquireret æqualem ei qua corpus cur- 
R2 vam 


124 Deſcriptio Linearum - 
vam deſcribit in puncto L, erit ea velocitas per Prop. dictam & quadra- 


p ws; ; ; ; „a. * . 4 
turam Hyperbolæ altioris generis ut — ſed velocitas in L eſt 
— | ad rat 


— —  — — — — 


x ; | | * 2 | ym—1 amr 

ſemper reciproce ut perpendiculum SP, adeoque erit SP ut VEL. . 
£ I | A" * a8 1 
Si corpus projiciatur ſecundum quamvis directionem velocitate quam ac- 
quireret cadendo ab infinita diſtantia ad altitudinem ſuam deſcribet cur- 


vam aliquam earum quas Prop. 15. conſideravimus; nam perpendiculum 


SP crit ut — adeoque ut poteſtas aliqua radii. 


Infinitæ aliæ excogitari poſſunt methodi particulares, quibus Lineæ aliquæ 
curvæ complexiores ex ſimplicioribus conſtrui poterunt præter eam quam 
hac Prop. & præcedenti ſectione fuſe tractavimus; ſiquidem vero omnibus im- 
morari non liceat, ſufficiat nos eam adhibuiſſe tanquam reliquarum exem- 
plum quæ inſigniora ſuppeditat theoremata & ſimul ad motus corporum 
curvilineos eruendos commodiſiima eſt. In rerum natura omnium cor- 

porum vires quibus in lineis curvis circumferuntur verſus unum idemque 
centrum diriguntur; atque ea ipla Phænomena quæ per curvarum ordi- 
natim applicatas ad datas axes explicari ſolent, ſi accurate examinentur, 
patebit ea ad unum centrum etiam referri debere. In natura nulla ex- 
iſtit axis ordinata aut abſciſſa, ſed corpus ad diſtantiam aliquam certa di- 
rectione motus curvam deſcribens & centrum virium aliquod accurate 
vel quamproxime immotum. Ex velocitate (quæ ſemper eſt reciproce 
ut perpendiculum in dire&tionem motus corporis) & ipſa motus directio- 
ne, cujus menſura ex eodem perpendiculo eſt petenda, pendet natura 
curvæ data vi deſcripta, five lex vis centripetz in data curva. Proinde 
methodus hæc curvas confiderandi quam præcedentibus Propoſitionibus 
aliquot explicavimus ad Geometriam Philoſophiæ facilius applicandam 
commodiſſima eſt; cumque ſimul Lineæ curvæ aliquæ ordinum al- 
tiorum, quæ alia ratione non facile deſcribi poſſunt, ejus ope pulchre 
conſtruantur, ulteriori hac illuſtratione digna videbatur cum non ſatis lu- 
culenter explicara fit in 4&is Philoſophicis Ne 359. Fatendum tamen 
rationem radii ad perpendiculum quam pro Lineæ curvæ æquatione u- 
ſurpavimus, non adeo plene curvam determinare in omni caſu ac ejuſ- 
dem æquationem ad axem poſitione datam; nam poſtquam hæc ratio 
indagata eſt ulteriori opus eſt calculo (niſi in caſibus ſpecialibus quorum 
aliquos ſupra tractavimus) ad curve indolem penitus dignoſcendam. 
Ex Prop. 15. qua infinitas curvarum ſeries curvis duabus ejuſdem ſerici 
atque rectis menſurari poſſe demonſtravimus, quadraturæ plures fa- 
eili ratiocinio colligi poſſunt.. Si enim curvæ cujuſyis ordinata fit 


1 
am I 


Curvarum Univerſalis. 125 


1 n 
aim + I : 7 nm + I 
\/ — — vel \/ - — ſitque „ abſciſſa, area hu- 
arm + 1 -yunm 1 Vrin + 1 — @nm + , | 


jus curve facile reduci poterit ad aream curvæ cujus ordinata 
A” | 7rn | 


= — ſeu = 7 =. Porro ſi BL fir curva ejuſmodi (Pig: 38. 
4 — 15 = | 


/ 3 a” 


ut LP = 1 Ma” Jr £ 
ar” 
ſumendo BST : BSL :: m : 1 & lineam SR in recta ST ad SB ut SL” ad 
SB», ſitque m= 57 4 1, & q ſemper numerus integer, ex curve erunt 
omnes perfectæ rectificationis capaces. Sed hc non ſunt hujus loci & 
curvarum quadraturæ Geometris adeo evaſerunt familiares ut his pluri— 
bus explicando operam perderem. Hujuſmodi etenim Problemata quæ 
non ita pridem ſummorum Geometrarum ingenia vehementer exercuerant. 
facilia fere cujuſque oblectamenta reddita ſunt: Et ſane tanta ac tam 
ſubita hæc rei Geometricæ incrementa ſuturis ſæculis ſtupenda vide- 
buntur niſi quodque ſuum reperiat Neutonum. 


ubi SL Dr & ex ea conſtr uantur curve infinite | 


Proe. XXIII. 


Deſcribat corpus curvam BL in medio reſiſtente vi centri- 
peta quavis data, exprimatur ratio vis centripetæ ad. 
vim qua corpus curvam deſcriberet in vacuo quanti- 
tate æ, eritque Reſiſtentia ut momentum hijjus quan- 

 titatis dudum in arcum L (Fig. 39.) /i area BSL 


n fluat. 


| Wy 17 arcus tempore ahve t deſcriptus i velocitas corpors in puncto ; 
L, V vis centripeta qua corpus curvam in medio deſcribit, v vis 
centripeta qua eandem curvam in vacuo deſcriberet; fir diſtantia SL=r, 


SP =, arcus lo centro 8 radio SJ deſciptus = LI=,Reſiftentia 
R, Denſitas = D. 


5 His 


126 Deſcriptio Linearum | 
His poſitis ſi SP fit perpendicularis in tangentem LP & ſi exponatur 
vis centripera per rectam SL erit vis qua velocitas corporis acceleratur 


ex Gravitate oriunda ut LP, & proinde exponi poterit per VE 3 huic 


J 

addatur reſiſtentia vel ex ea ſubducatur prout corpus aſcendit vel deſcen- 
dit in curva BL, & ſumma vel differentia erit vis qua velocitas corporis 
retardatur in aſcenſu vel acceleratur in deſcenſu corporis: Proinde ur 
r . . | — 1 

—IR=— = —— cum vis qua velocitas corporis acceleratur fir 
= +, . 
ſemper ut velocitatis Fluxio directe & tempus quo fluit reciprgce. Sed 


v eſt reciproce ut ſolidum SL: X 2 EZV unde 2 = * = 
Im © {mm F V 
22 & & = =E. adeoque — us _— X = (cum £ = or 
7 P 9 * 
per Prop. 21.) 2 + zxr = (cum p- =" & v V) Y 
25 | Uk | RE" 

: CTR 3 | 75 A BOM nnd 

＋ Vr, unde hls tR==Z — + * adeoque R = — Toi 
85 9 27? x y „ 


de fi area BLS unifo:miter fluit areola LSI = A rx dabitur & pro- 
inde reſiſtentia erit ut 2), i. e. ut momentum quantitatis Z (= L du- 
ctum in momentum curve. | 
Corol. I. Velocitas 2 = . unde ſi detur potentia velocitatis 
e 2 


quæ cum denſitate compoſita rationem Reſiſtentiæ conſtituit dabitur 
medii denſitas; ſit Reſiſtentia ut denſitas & velocitatis quadratum eritque 


D=—= 

. 

Corol. II. Ex data denſitate medii, ejuſque gravitate acceleratrice ratio 
vis comprimentis ad denſitatem facile inveſtigari poteſt; quippe incre- 
mentum vis comprimentis oritur ex Gravitate incrementi Fluidi ſuper- 
incumbentis adeoque erit ut incrementi illius Gravitas acceleratrix, mo- 


les & denſitas conjunctim; unde fi vis comprimens dicatur 5 8 


Curvarum Univerſalis. 127 


F = DVr proinde ſi medium eadem vi acceleratrice ſupponatur urgeri 
qua corpus curvam deſcribens dabitur ratio vis comprimentis ad denſita- 
tem. Hic obiter notari liceat ſi medii cujuſvis denſitas fit — 


proportionalis fore D = Vr & proinde fi ordinatæ cujuſvis curvæ ſint 


ut vires centripetz ad diſtantias curvæ abſciſſis æquales, erunt illius cur- 
væ areæ denſitatum Logarithmi; adeo ut ſi vis centripeta fit uniformis 


& V=1 erit 5 =, atque ipſæ diſtantiæ erunt denſitatum Logarithmi 


ut olim demonſtravit Cl. Halleyus eximius Geometriæ Profeſſor Savilia- 
nus. Quod ſi curvæ cujuſvis ordinatæ ſint ut denſitates, erunt vires 


centripetæ reciproce ut ſubtangentes ejuſdem curve cum Dr = uy 


D 


Atque hujus Corollarii ope Prop. 21 & 22. Lib. 2. NITRO cum hujus 
Scholio facile demonſtrari Poſſunt. 


S ⸗ ee ese eee eee eee eee ee eee eee ee dees 
PRO P. XXIV. | 
Deſerihat corpus curvam aliquan Prop. 14. quarum 


perpendicula SP ſunt in ratioue poteffatis (u+ 1) 
radiorum, vi centripeta que ſit reciproce ut potestas 


(m) diflantie ,erinque medii denſitas (/1 angulus LST fit 
rectus reciproce : 2 ut tangens LT, L, Neſe ftentia ad gra- 


ditatem ut 21 — z y LP ad 2nu+2xSL & voloci- 
tas ad velocitatem corporis ad eandem diſtantiam cis- 


culum deſtribentis in vacuo ut 1 ad Vn +1. 


—_ 047 


2 adeoque erit V: v:: 


* eſt ex Prop. 22. eſſe v = 


| bone m3 


rum : a ＋ IXa Ts unde z = — 7 
| „ N av—mt 3 


5 & R = 


1 Fe 


” PS * 
1 4 C.F 
- . . 
, 0% 
1 


128 Deſcriptio Linear. 


* 


ſed 


27? x « 21-2 . 1 


LI (SY) : lo (=#) :: SL (=r) : SP en „atque Lo = ) 10 


af 


=) 13 LP : SP ==, unde R = T E] . ſed 


KR ELKE = (eum L/ = j) N= 2, 


Zu TZ xa—" +3 x SL | 


. & proinde R: V:: F 2n — * XLP: 2#-+2 x SL. 
N . #7 3 | 
Velocitas eſt æqualis — 88 Sed velocitas cor- 


Ry ; "BER, 
7 x 


Jon ix 


Poris circulum deſcribentis in vacuo ad diſtantiam SL vi centripeta 


M—3 


3 | * 0 * ; ' , 8 ; 0 
—— eſt — perProp.4. Lib. 1. Princ. Proinde velocitas eſt ad velocitatem 
7 2 | 


7 2 


corporis circulum ad eandem diſtantiam in vacuo deſcribentis ut 1 ad 


— 


Vn I. 


Denſitas eſt directe ut reſiſtentia & reciproce ut velocitatis qua. 


dratum adeoque erit D = ＋ 2 -m ZN LE ſed LT . SL ++ BE. 


zu Z x SL? 


LP, adeoque D = „ 5 
24 J-2x LT 


proinde denſitas eſt reciproce ut 


tangens LT. 


Corol. I. Si BL fit curva quæ deſcribi poſſet vi centripeta diſtantiæ 


cuivis potentiæ proportionali, erit univerſaliter denſitas medii reciproce 


ut tangens LIT; quippe licet SP non fit ut poteſtas aliqua radii SL ſi 


2 —3 


Y 9 8 5 | 1 7 Vw 
Y 5 hve vis centripeta corporis curvam in vacuo deſcribefftls {it · 


8 . 3 YI 
reciproce ut potentia quævis 5 diſtantiæ, erit * HE &R = 


42. — 9 


FS -M XA 
a 2 | p2 2 


= ** 75 — D : R 


. 


7 hy * * e 
” * „ * 

: < > 

* 4 


1 3 "oh =. 3% 
bay = 2 : os Y 4 
= i _—_ 8 
8 < ods os 
TEINS 
. I x 32 ? 
; 125 i 
, 's «ot? 


* 
by 


2 18 ſed Lo (r) : LI (SY): SL (Sr): LTS, a. 
7 


Jr 
+ $ — 7 . 5 o — . . | 
deoque D = wo Denſitas erit in omnibus 1is curvis reciproce ut 


tangens LT. Atque hinc Denſitas medii in quo corpus ſectionem quam- 


vis conicam deſcribit vi quavis centripeta verſus centrum vel focum ten- 
dente innoteſcit. 


Corol. II. In curvis Prop. 14. quarum SP === et SL {LP i: &; 


— — 


— 23 * 3 2 5 21 n 
Vau uz. unde R= T zA 2 hy five 892 & 


| zu 2 a+ 3” n 
fe 
=» 

diſtantiz. „ 5 

Corol. III. Cum ſit R: V:: 2» TZ -x LP: zu 2 XSL ut 
corpus in harum 1 curvarum aliqua moveatur oportet quantitatem 212 xR 
minorem eſſe 2»+-3—m x V; fi enim æquales ſint erit LP = SL & 
Lo = LI adeoque corpus recta deſcendet ad centrum. 

Corol. IV. Si Reſiſtentia fit in ratione Denſitatis & Velocitatis ſeu 
R = Du erit Denſitas ut od 

Corol. V. Sit circulus Exemplum 1 (Fig. 40.) ſitque centrum virium in 
circumferentia, atque erit » = cum fit SL:SP :: SB (= 4): SL (Si. 


Denſitas erit ut & velocitas reciproce ut 


poteſtas 


b TS 2 
Denſitas, quæ eſt reciproce ut LT five „ Erit ut cum fir LP 


LP SL 
SL:: BL : SB. Proinde Denſitas erit ſemper directe ut diſtantia cor- 


poris a Punto B. Centro virium oppoſito, & reciproce ut diſtantia ab 


ipſo centro S. Velocitas erit ad velocitatem corporis circulum ad ean— 
dem diſtantiam in vacuo deſcribentis ut 1 ad Vz. Reſiſtentia R = 


I LB five ut LB z eritque ad Gravitatem ut 

4 . m_ = 

77-1 x BL ad 488; & denſitas ſi Rr Da erit ut 1 . Hinc 
© | 


10. Si vis centripeta fit reciproce ut quadratum diſtantiæ, erit reſiſtentia 
| MD 


Quvarum Untverſalis 129 


1 


7 
5 
Fi 
. 
* * 


ö 
tt 
[ 

1 
i 
1 
1 


gens LT = 7; = (cum SL : LP:: Le CS = 4 : EF) 


130 Deſcriptio Linearum 

ad Gravitatem ut 3BL ad 4SB five ut 3Lo ad 4L!, adeoque erit 4R 
ſemper minor z V; ſed 6 AR = 3V erit Lo = LI & corpus di- 
recte deſcendet verſus centrum velocitate cujus dupla ea erit quam 
corpus acquireret caſu a diſtantia infinita; ut ex Theor. 10. Lib. 1. 
Princip. facile colligitur; adeoque tempus quo corpus cadit a B 
ad 8 in medio erit ad tempus quo corpus poſt caſum infinitum 
in vacuo eandem altitudinem deſcriberet ut 1 ad /2. 2. Reſiſtentia & 


Denſitas in puncto B evaneſcunt; nam Denſitas eſt ſemper ut 


. 
Proinde corpus unicum tantum circulum in dato medio deſeribere poteſt, 
dato enim medio dabitur punctum B in quo ejus Denſitas eſt nulla adeo- 
que circulus BSL. 8 3 ; 
Corol. VI. Sit BL Spiralis Logarithmica (Fig. 41.) quæ in eodem an- 
gulo Radiis ſemper occurrit eritque SL ad SP in data ratione Radii cur- 
vaturæ LC ad Radium SL; adeoque i LC: SE :: a: 6 erit SP 
SL x= 


a 


& no; proinde Denſitas medii, quæ eſt reciproce ut tan- 


* erit ſemper reciproce ut diſtantia SL a centro virium; qua» 


NC 


cunque fit virium Centripetarum Lex, fi modo fit reciproce ut potentia 


aliqua diſtantiæ. Reſiſtentia erit ſemper in data ratione ad vim Centripe- 


1 — n „8 WT . 
= Xp eck V — adeoque R: V. 
I 3—# Xx CS : 2CL, & proinde in data ratione; cum ex natura Spi- 
ralis detur angulus CLS & ratio CS ad CL. Velocitas eft ad velocita- 
tem corporis ad eandem diſtantiam circulum in vacuo deſcribentis ut 1 
ad Vn — I, 4.e. ut 1 ad 1; proinde velocitas corporis ea ipſa eſt qua 
circulum in vacuo ad eandem altitudinem deſcriberet & ad eam quam 
caſu infinito acquireret ad eam altitudinem ut 1 ad /2. Hinc 1 ſi Reſi- 
ſtentia ſit in ratione Denſitatis & Velocitatis, & vis centripeta directe ut 
diſtantia, erit Fluidum Homogeneum. Quippe in hoc caſu eftm = —1, 


tam, nam R 


. = R ' 2CS 1 
R= Den adeoque D = e proinde erit 


invariata ob datam rationem CS ad LC. Unde fi corporum motui re- 
ſiſtatur in ratione velocitatis & corpus quodvis in oceano noſtro projici- 
atur velocitate æquali ei qua circulum in vacuo ad eandem diſtantiam 
deſcriberet; Corpus Spiralem banc æquiangulum percurret cujus 
centrum erit in centro terræ ſi modo Reſiſtentia medii ab initio mo- 

rus 


Curvarum Univerſaliss 131 


tus fit major duplo Gravitatis corporis. 2. Sit vis centripeta reciproce 


ut diſtantia & quæcunque fit curya ſi SP == crit Reſiſtentia ad 


Gravitatem LP ad SL; proinde Reſiſtentia ſemper debet eſſe minor 
vi Gravitatis. Velocitas eſt ſemper uniformis; quippe U = 


3 


— ms 


I | | 
. MAN Denſitas eſt ut Reſiſtentia adeoque reci- 
Vn -1 XY 


proce ut diſtantia ſive R=DU five R DU; hæc univerſaliter obtinent in 
omni caſu quo V eſt reciproce ut diſtantia & v reciproce ut potentia quævis 


diſtantiæ. 3. Sit vis centripeta reciproce ut quadratum diſtantiæ, & reſi- 


ſtentia erit ad vim centripetam ut CS ad 2CL quemadmodum olim de- 
monſtravit D. Neutonus, Prop. 11. Lib. 2. Princip. Si RS Du erit 
Deoſitas in reciproca ſeſquiplicata ratione diſtantiæ; fi vero R = Da? e- 
rit Denſitas, ut prius univerſaliter oſtendimus, reciproce ut diſtantia; vis 
qua Fluidum comprimitur ſive pondus Fluidi incumbentis erit ut Denſita- 


tatis quadratum cum F = DVr = 2 , adeoque F reciproce ut 7*. Ut 
* 


corpus curvam deſcribat neceſſe eſt vim reſiſtentiæ minorem eſſe dimidio 
vis centripetæ; ſi enim 2R = V erit CS CL, adeoque Spiralis coin- 
cidet cum SL, & corpus recta deſcendet ad centrum velocitate quæ erit 
ad velocitatem caſu infinito ad eandem altitudinem in vacuo acquiſitam 
ut 1 ad Va, & tempora deſcenſus erunt in eadem ratione reciproca: Spe- 
cifica hujus Fluidi Gravitas eſt reciproce ut Cubus diſtantiæ. 

Corol. VII. Sit BL Epicyclois deſcripta motu puncti in circumferentia 
circuli circa alium æqualem revolventis poſiti; ſitque S ubi punctum de- 
ſcribens tangit baſim, eritque » , adeoque reſiſtentia = 
4 = X LP R, & proinde ut /SBSSL x SI. . Velocitas eſt ad 

18 | 


velocitatem corporis circulum in vacuo ad eandem diſtantiam deſcriben- 


N 8 x) SB._<T. 
tis ut Y ad ;. Denſitas ſi RS Du erit ut — . 


„ ä . 5 
DU erit D ut + Reſiſtentia eſt ad Gravitatem ſemper ut 


4-1 LP ad 3SL, five ut F A X BN ad ;SB, & proinde 3R ſem- 
per minor erit F A x V; ſi enim æquales ſint corpus recta deſcender 
ad centrum velocitate que ſemper erit ad velocitatem corporis circulum 

9 2 in 


132 Deſcriptio Linearum 


in vacuo deſcribentis ad eandem diſtantiam ut V ad V;. Reſiſtentia 
& Denſitas medii evaneſcunt in B. 
Corol. VIII. Sit BL Parabola, & Reſiſtentia erit ad vim centripetam 


ut F 2% * /SB—SL ad SL; velocitas erit ſemper ad velocitatem 
corporis circulum ad eandem diſtantiam in vacuo deſcribentis ut V2 ad 


1. Denſitas ſi R= Du erit ut 8 & ſi RS Du erit D ut 
SL* 


VSL—>B proinde Denſitas & Reſiſtentia in vertice Parabolæ eva- 


SLV 2 
neſcunt. 


Corol. IX. Si corpus deſcendat erit ſemper vis centripeta ad reſiſten- 


tiam ut 22 1 X SL ad 2v»+3—m# x LP, unde ſi 23 ＋-3 non fit 
major 2 erit reſiſtentia imaginaria. Si corpus aſcendat erit R: V:: 
mn - 3 —2 Xx LP ad zu 2 x SL, adeoque fi 22 ＋3 ſit major m 
erit reſiſtentia in hoc caſu imaginaria. 
Corol. X. Si m S 2zu ＋ 35 1. e. ſi vis centripeta fit reciproce ut poten- 
tia 2» +3 diſtantiæ erit reſiſtentia nulla. 1 | 
Schol. Æqyvali fere facilitate reſiſtentia inveſtigatur in aliis curvis ex 


Prop. 23. fit BL (Fig. 22. n. 2.) Spiralis Hyperbolica in qua LP : SP 
: SL : SB, per Corol. 1. Lemmatis 2. adeoque SP = 3 


} 


Va r 
Lex Sb. E 
1 Lo 83 X SP = . In hac curya We 3 
V Pn 2 1 


& proinde R = ee e ee e adeoque ut 1 
gunz 2063 a 

] =nn?72 | 
X Vr Ha z velocitas eſt uty * x /a*+r?*,& Denſitas fi R Du, eſt 
Fon 


- : poteſtas diſtantiæ, ſed fi R D erit Denſitas re- 


reciproce ut 


ciproce ut Va .. Hine ſi vis centripeta fir ut diftantia erit Denſi- 
tas (ſi R Da) ut diſtantia, fi vis centripeta fit reciproce ut diſtantia 
erit Fluidum homogeneum; ſit vis centripeta reciproce ut Quadrato- 


eubus diſtantiæ, eritque = adeoque Denſitas erit reciproce ut 
quadratum diſtantiæ ſi corpus aſcendat in Spirali. Theorema generale Prop. 


23. qua Reſiſtentia & Denſitas medii ex data curva & vi centripeta facile 
5 = inveſtigari 


Curdarum Univerſulis. 132 
inveſtigari poſſunt ante aliquot annos inveni priuſquam Tractatus Cl. 
Bernouilli inclyti Matheſeos Profeſſoris Baſilienſis in Commentariis Acade- 
miæ Pariſienſis de eadem materia evulgati ad manus pervenerant; nec quidem 
difficile fuerat hæc ex ipſis Princip. Neutoni, Lib. 2. Prop. 10 & 11. 
eruere. Cum vero Cel. Viri qui materiam hanc ſoli tractarunt. motus 
corporum in Spirali tantum logarithmica conſideraverint; idem in aliis 
aliquibus curvis ſimpliciſſimi hujus Theorematis ope indagare videbatur 
operæ prætium. 8 : 


.. d & &.. r &. & f. f. &. & & &. & &&. 


PRO P. XXIV. PROBLEM A. 
Deſcribat corpus curvam quamvis datam A MB (Fig. 44. 


vi centripeta uniſormi tendente ad centrum maxime 
onginquum mvenire velocitatem corports, Reſiſtentiam 
ac Denſitatem medii. 


8 AE axis curvæ Horizonti parallela, & vis centripeta agat ſecun- 
dum directionem ordinatarum PM, pm. Fluat area APM uniformiter, 


ſitque PM r, AP=x, Pp mr, Mm y eritque R = x, & 
vis centripeta v qua corpus curvam deſcriberet in vacuo erit ut 


J:: 


| % . SD WE 
, adeqquez=— ==, cum VI; adeoque Reſiſtentia quæ eſt ur 
| 


x 2 r 
* . . 1 .. = | 3 3 | "I 
zy erit æqualis ; Doc Velocitas corporis eſt ut 7 & proinde ſi | 
27 7 1 
1 


R g Du erit D . Reſiſtentia vero erit ad vim centripetam ut 
z 


5 * ad 15 5 
Corol. I. Hinc ſi Aug fit circulus Centro C Diametro AB deſcrip- 
tus. Sitque CP x, PM r; erit r? e er . 
| | 4 2 


ad Gravitatem ut 3CP ad 2 CB; velocitas eſt ut - 


. . 0 pe 7 | | | 27 
pendicularis Horizonti & r ex natura curvæ, adeoque r = —— 


Deſcriptia Linearum 


134 


„ 1 a K F ax . * HS: IF 
r= 41 & == „ & proinde R = & Reſifteuria 
„„ nn hoe Ma? -x | 24 


4 


* 
. .. 


—= adeoque in fubdu- 


plicata ratione ipſius 7; Denfitas ſi RS DA: eſt ut = adeoque (ob 
triangula ſimilia MPC, MCT) ut tangens MT; corpus in hoc circulo 


deſcendere poteſt à D ad A fed ex A ad D hac vi centripeta aſcendere 
nequit. A | e 


Corol. II. Deſcribat corpus Parabolam vel Hyperbolam (Tig. 44. 


cujuſcunque dignitatis, ſitque x =7”, & fi ordinate 7 parallelæ ſint di- 


rectioni vis centripetæ erit Denſitas reciproce in ſubduplicata ratione ipſius 
7, ſi R Du; ſed ſi R Du erit Denſitas reciproce ut tangens termina- 
ta puncto contactus M & axi vel Aſſymptoto parallela Horizonti. 


Corol. III. Sit AMB Logiſtica (Fig. 47.) ſitque Aſſymptotos per- 


* | 2.4a%x3 
8 > | 


* a 3 


—— 
5 » #4 


ax 


: : 1 | — | | 
r= & 3 — 7 Ja Tr Proinde Re 2 adeoque reſi- 


MN. 
MT; & ng Denſitas erit conſtans & fluidum homogeneum fi R 
Du; fed fi R = Du erit Denſitas reciproce ut tangens MT : Corpus 


ſtentia eſt ut tangens MT. Velocitas eſt ut * A adeoque ut tangens 


igitur in Fluido homogeneo projectum velocitate, cujus pars verticalis 


eſt æqualis terminali corporis cadentis, deſcribet curvam Logarithmicam 
ſi reſiſtentia ſit in ratione velocitatis quemadmodum olim aſſeruit Cel. 


Hugenius ad finem Tractatus de Cauſa Gravitatis. 


Corol. IV. Deſcribat corpus curvam cujus conſtructionem ex Hyper- 
bola deduxit D. Neutonus, Prop. 4. Lib. 2. Princip. Sit Rr (v. Fig. 
apud Neutonum) CR x, CD =a, DG =b, ordinatæ Hyperbolæ 
TR =z, DE c, cumque Rr (=7) = N erit 7 . 


„& proinde RN = „,L. Proinde 
| _—_ ' ab 


Reſiſtentia 


Currarum Univerſalis. 135 


ſiſtentia eſt ut tangens curvæ; velocitas eſt ut = = VS & = adeo- 
r | 


que in eadem ratione: Unde fi R Du erit Denſitas invariata & fluidum 

homogeneum; & proinde curva ea eſt quam projectile in medio ſimilari 
deſcribere poſſet vi centripeta uniformi tendente ad centrum infinite di- 
ſtans ſi motui corporis reſiſteretur in ratione velocitatis. 15 

Ex hac Prop. demonſtrari poſſunt omnia quæ ſerierum ope deduxit 
D. Neutonus Prop. 10. ejuſdem Libri. Ex Prop. 23. inveniri poteſt Regu- 
la generalis qua Reſiſtentia & Denſitas medii inveſtigari poſſunt cum cor- 
pus curvam deſcribit vi quavis centripeta non uniformi tendente ad cen- 
trum maxime longinquum; ſed his non diutius immorabimur. 

Hac Sectione duo Problemata inſigniora Philoſophiæ Mathematicæ 
tractavimus eo præſertim conſilio ut appareat uſus Linearum curvarum in 
. Philoſophia Naturali; neque hæc a propoſito noſtro aliena habuimus 
quod his explicentur methodi Lineas curvas deſcribendi elegantiſſimæ ut- 
pote quæ ab ipſa natura uſurpantur, nec arte quavis videntur poſſe imitari; 
Quodque hinc ſimpliciores derivari poſſint Ideæ deſcriptionis curvarum 
aliquarum admodum complexarum quam ex alio quovis fonte. 


* 2 4 - — NS 2 i 8 
i e * Dn] 0 | N. J 
_ p \ \ 1 


S ECTIO V. 
De Deſeriptione Linearum Geometricarum per data 


Punta. 
LEMMA III. 


Linea Ordinis (u) occurrere poteſt Linee ſecundi Ordinis in punctis dun- 
taxat (zn) & Lineg tertii Ordinis in Punttis tantum zu. 


ä 


Cr. V Cx Ae K., Ke. HE N 
8 &c. xy mw Cpu. i, &c. =0. Æquatio generalis ad Lineam 
Ordinis (2) ubi x, deſignant Lineæ abſciſſam & ordinatam a, b, d, c, 
&c. datas denotant quantitates. Sit y* ＋ A +B x 54+ Cx* + Dx 
--E=0o xquatio generalis ad Lineam ſecundi Ordinis. In prima æ- 


quatione pro y* ſubſtituatur valor ejus qua ex ſecunda conſequitur ; 


pro 


| 0 3 © 8 . 

135 Deſcriptis Lincarum f 
pro , t, - ſimiliter ſubſtituantur ia æquatione ad Lineam Or- 
dinis (x) valores earum quæ ex ſecunda deduci poſſunt & hujuſmodi o- 
peratione prodibit æquatio in qua erit y ynius dimenſionis; unde valor 
eruetur ipſius y hujus forma j= RE + LY, CC. Loco y in æ- 
N T _Hr=+Gr-:&c. 

quatione ad Lineam ſecundi Ordinis ſubſtituatur hic valor & in, xquatio- 
ne reſultante abſciſſa » erit dimenſionis 22. Sed ubi Linea Ordinis (v 
& Linea Ordinis: ſecundi ſibi mutuo occurrunt earum abſciſſæ & ordi- 
natæ ad eandem axem fiunt æquales; & proinde æquatio hxc oſtendit 
valores abſoiſſæ varios eſſe 2x, quibus Lineæ dictæ ſibi mutuo occurrere 


poſſunt; fed non poſſe eſſe plures. Unde harum curvarum occurſus 
poſſunt eſſe 27 & nunquam plures. | 5 


Sit ) -= A ＋ BNN + Cr: DENN T bgxt + bx 
-i So. Aquatio generalis ad Lineam tertii Ordinis: Et in æ-— 
quatione ad Lineam Ordinis (2) ſcribe pro , 31, 2, , &c. 
Valores quæ ex hac conſequuntur & exterminabuntur omnes di— 
menſiones ordinate y prater 3 & yz in hujus coefficiente erit « 
dimenſionis 2 — 1, in coefficiente illius dimenſionis 2 — 2. Sint m, p, 7 
quantitates qua componuntur ex dimenſionibus #—2, 2-1, * abſciſſæ 
& omnibus inferioribus. Sintque 2, h, & coefficientes terminarum y*, 
3, ) in æquatione propolita ad Lineam tertii Ordinis; eritque 1. 3 
EY ＋- U —k=0. 2. my* py —r =0. Ducatur prima in * & ſe— 


3 1 km — 1 — Hm 5 
cunda in y eorumque differentia dabit ) E In æqua- 


ä | mi -p X T— m*k 
tione ſecunda pro y ſcribe hunc ejus valorem & dein æquationem redu- 
cendo prodibit i — ipr* — 2m im — p'k x mi—pd-prb 


To, : 
* mi —p -m h + phrm — 1 * bm + o. Sed in valoribus quan- 
titatum , p, 7, k, h, e abſciſſa x erat dimenſionum 2—2, 7—1, n, 3, 
2, 1 reſpective z adeoque ſi ſubſtituantur earum valores, æquatio yroge: 
bit dimenſionis 3 abſciſſæ x ſed non plurium. Proinde concurſus Li- 
neæ Ordinis ( & Lineæ tertii Ordinis poſſunt eſſe 3y & nunquam 
plures. ; y | | 
Corol. I. Hinc Linearum Ordinum #2 & * occurſus videntur eſſe un. 
Si altera ſit Linea Parabolici generis manifeſtum eſt earum occurſus fore 
nn; fit enim y & "=x unde exterminando y ex altera æqua- 
tione evadet x dimenſionum u Cumque occurſus plures nunquam eſſe 
poſſint Linearum Ordinis (½ atque Ordinis vel ſecundi vel tertii regula u- 
niverſaliter ad altiores ordines extendi poſſe videtur. Omnes altiorum cur- 
varum caſus quos adhuc tentavimus idem probant; univerſalem vero hu— 
zus rei demonſtrationem adhuc fruſtra quæſivimus propterea quod diffi- 
Lile fit diviſores in arduis æquationibus invenire. 8 


. Corol. II. 


Curvarum Univer ſalis. 137 
Corol. II. Linea Ordinis (u) occurrere poteſt aliæ ejuſdem Ordinis in 


punctis 2. Proinde duæ Lineæ Ordinis ( = eadem puncta u tran- 
fire nonnunquam poſſunt; adeoque puncta data quorum numerus eſt 


+ n zm non ſufficiunt ad Lineam Ordinis (u) ita determinandam ut u- 
nica fit curva quæ per ea data puncta duci poſſit: Cum vero coefficien- 


tes in æquatione generali ad Lineam Ordinis (n) ſint 2 #*+3z, patet ſi 
plura dentur puncta, Lineam Ordinis () per ea forſan duci non poſſe 
& Problema reddi poſſe impoſſibile. Sic novem puncta non adeo plene 
determinant Lineam Ordinis tertii ac quinque Lineam Ordinis ſecundi, 
decem tamen ad Lineam tertii Ordinis determinandam nimia ſunt. 
Corol. III. Hinc ſi argen wp quæ ad Lineam Ordinis () determi- 
nandam proponuntur ſint ar 1 in Linea Ordinis inferioris (7) Pro- 
blema vel erit impoſſibile vel conficitur ope Lineæ illius Ordinis (r) 
& alterius Lineæ Ordinis (y—r) per puncta 2 — 7 — 1 deſcriptæ. Si 
enim Linea Ordinis () per data puncta duci poſſet concurſus ejus Lineæ 
& alterius Ordinis (7) poſſent eſſe ur 1; qui plures ur eſſe ne- 
ueunt. 

Corol. IV. Linea Ordinis () nequit habere puncta duplicia plura 
IX#* — zu z · Quippe Linea Ordinis (y—2) duci poteſt per puncta 
+ n —-3＋-2 +#u—2; unde fi Lineæ Ordinis (») puncta n. —- 3. Ez, 
+1 duplicia eſſent; Linea Ordinis (a) occurreret Lineæ Ordinis (#—2) 

per ea duplicia & alia ſimplicia »—3 deſcriptæ in punctis * - .;, 
earum vero occurſus nequeunt eſſe plures 2 — 2. Linearum igitur Or- 
dinum 3, 4, 7, &c. puncta duplicia non poſſunt eſſe plura 1, 3, 6, &c. 
Corol. V. Si in tribus Lineæ Ordinis 4) punctis concurrant arcus (r 1 
& in quarto arcus (21) reliqua omnia puncta Lineæ erunt ſimplicia. 


— A] 


OEDOIEDCOECIEDIEEDOIDEGgDcccpg co 


Por. XXV. PROBLEM A. | 
Lineam Ordmis (u) ducere per data puntta zu Ii, in 7 
quorum aliquo oportet arcus curvæ (u — 1) concurrere. 


Mprimis data puncta Lineam ita determinare ut unica fit curva quæ 
Problemati ſatisfacere poteſt hinc patet; quod fi duæ Linex Ordinis 

() per eadem puncta 22 ＋ 1 tranſirent, & in eodem puncto nodum 
arcuum curvæ z—1 ſe mutuo decuſſantium haberent, concurſus harum 
Linearum forent 2 ＋I; qui plures #* eſſe nequeunt. Linea quarti Or- 
dinis ducitur per novem puncta, quorum unicum ell triplex, eadem ratione ope 
Lineæ tertii Ordinis, Nodum ibidem habentis, qua Linea ea tertii bee 
. ucitur 


2 


138 Doeſcriptio Linsarum 
ducitur per ſeptem puncta ope ſectionis conicæ ſecundum Coro). 9. Prop. 1. 
hujus Partis. Sint C, 8, B (Fig. 47.) tria datorum punctorum ſitque 8 
punctum triplex; jungantur CB, CS, BS & circa Polos C, S rotentur 
anguli BCS, BSC. Crurum CB, SB concurſus applicetur ſucceſſive reliquis 
ſex punctis per quæ Linea eſt ducenda; & interea notentur ſex puncta 

in quibus crura CS, SC fe mutuo decuſſant; per hæc ſex puncta atque 
Polum 8 ducatur Linea tertii Ordinis punftum duplex habens in 8; & 
fi per eam ducatur concurſus crurum CS, SC concurſus crurum CB, SB. 
deſcriber Lineam quarti Ordinis punctum triplex habentem in Polo 8 
tranſeuntem per reliqua octo data puncta. Similiter ope Lineæ quarti 
Ordinis punètum triplex habentis, ducenda eſt Linea quinti Ordinis, pun- 
cto quadruplice donata, per undecim puncta; & univerſaliter Linea hujuſ- 
modi Ordinis (n) ducenda eſt ope alterius Ordinis (1) punctum mul - 
tiplex habentis arcuum (-) concurrentium in eodem Polo; hæe vero 
deſcribenda eſt ope alterius Ordinis (—2) & fic deinceps donec ad 
ſectiones Coni perveniatur quæ rectarum ope deſcribi poſſunt. 


ON I AUR OR IO AAAS dig AO A ARR N N N N N ALANA N. N N NN 
N 
PROP. XXVI. PROBLEMA. 


Ducere Lineam Ordinis (2n) per puncta quot ſuffi- 
caunt ad determmandam Lineam Ordinis (u) & tria 
alia que ſingula nod; ſunt arcuum curve (u) ſe mu- 
tuo decuſſantium, | | - 


82 C, 8, B (Fig. 47) tria puncta multiplicia data; jungantur CS, 

CB, SB & circa Polos C, 8 rotentur anguli BCS, BSC; crurum 

CB, SB concurſus applicetur ſucceſſive punctis datis quæ ſufficiunt ad 
determinandam Lineam Ordinis (4) & notentur puncta in quibus reliqua 

interea crura ſe mutuo decuſſant; per hæc puncta dein ducatur Linea 

Ordinis (u) & ſi concurſus crurum CS, SC per eam ducatur, concur- 

ſus crurum CB, SB deſcribet Lineam Ordinis 22 per data puncta tranſeun- 

tem, per Prop. 3. hujus Partis. Plures nonnunquam erunt Lineæ quæ huic 

Problemati ſatisfacere poterint. | 


1 2 8 888 » 
* 
£ | « * bs, ; 
: g 5 a | 
— ” 
- | | 
- — * - 8 . g | OI” | 
4 — — _ — | 
- . 3 | — — ] 
7 8 5 Es r 
4 % : : | | 
—— — 5 * ey — — 
2 — = - — — ——— — — — 
ö — 
4 3310 — — 


Curvarum Univerſalis. 139 


FF 


Prop. XXVII. PROBBLENMA. 
Ducere Lineam Ordinis (an) per punfta data 11+ 4, 


quorum tria ſunt nodi arcuum curve (u) in uſdem 
punctis concurrentium, & quartum ſimilis nodus ar- 


cuum (u — I. 


Ent ut prius C, 8, B (Fig. 48.) puncta in quibus arcus eoncurrere debent 
8 quorum numerus (½ fit A punctum ubi concurrunt arcus (n- 1 
jungantur CS, CB, SB; & circa Polos C, 8 rotentur anguli BCS, BSC; 
applicetur concurſus crurum CB, SB puncto A & concurrant crura CS, 
SC in Dʒ applicetur dein concurſus crurum CB, SB reliquis punctis datis 
(zn) atque interea concurrant C8, SC in totidem punctis; per que & 


pounctum D ex Prop. 26. ducatur Linea Ordinis () habens arcus (u — 1 


concurrentes in D; & ſi concurſus crurum CS, SC ſemper ducatur per 
hanc Lineam, concurſus crurum CB, SB deſcribet Lineam quæſitam. Una 
duntaxat duci poteſt curva quæ huic Problemati ſatisfaciet, omniaque e- 
jus puncta reliqua præter quatuor C, 8, B, A ſimplicia eſſe ne- 
ceſſe eſt per Corol. . Lemmatis 3. | 


Univerſaliter ducenda fit Linea Ordinis (26) per puncta C, &, B, A, &c: 
quot ad Lineam determinandam ſufficiunt; in C concurrere oporteat ar- 
cus (7) in S arcus (g). in B areus (tg -) in A arcus (7) in E ar- 
cus (m) & c. Jungantur CS, SB, CB, & circa Polos C, S rotentur an- 
guli BCS, BSC, ac concurſus crurum CB, SB applicetur punctis A, E 
dein reliquis datis dum interea concurrunt crura CS,SC in D, F & totidem 


aliis. Per quæ puncta & C, 8, D, F ducatur Linea Ordinis (u cujus 


puncta (u—f) ſint in C, (ug) in 8, puncta 4) in D & (mn) in F, fi 
modo iſthuc fieri poſſit; & ſi concurſus crurum CS, SC ducarur per 
hanc curvam concurſus crurum CB, SB deſcribet Lineam quæſitam. 

Ex Propoſitionibus Partis 1. Hujuſmodi quoque deſcriptiones deduci 
poſſunt, cum vero curvarum conſtructiones per puncta quævis propoſita, 
quas adhuc aſſequi potuimus, non ſint ſatis generales, his ulterius pro- 
ſequendis non immorabimur. 


FINIS. 


7 | 4 : * ** ** | * 


CoRRIGEN DA. 


P* G. 1. lin. ult. pro Q CA lege QCG. Pag. 4. lin. 2 1. lege ex 8 


in AE. Pag. 5. lin. 28. pro QSK lege QSH. Pag. 8. lin. 14. 


pro LR lege HR. Lin. 15. pro EHR lege AHR. Pag. 22. lin. 2, 3 & 4. 
pro mk lege mk*. Lin. 4. pro i*k 2h, lege i 2h% & poſt x* ſcribe. 
c. P. 23. Lin. 13. pro Caſus 1. lege Caſus 2. Lin. 22. lege perpendicu- 
lares in CS. Pag. 24. Lin. penult. pro 264 a lege z2cxct a. Pag. 27. Lin. 
23. pro FB lege FD. Pag. 29. Lin. 23. pro QK lege SK. Pag. zo. 
Lin. 2 1. pro PHC lege QHC. Pag. 3 1. Lin. 6. pro CR lege CK. Pag. 
36. Lin. 7. poſt DQ lege Concurſus. Pag. 38. Lin. 3. pro C & R lege 
CZ. Pag. 48. Lin. 26. pro SNI, lege CNL. Pag. fy. Lin. 6. 
| ph CT lege KT. Lin. 8. pro h lege u. Pag. 63. Lin. 18. pro PTC 
ege PTB. Pag. 66. Lin. 20. pro QCP lege KCP. Pag. 69. Lin. 14. 
pro K lege R. Pag. 71. Lin. 6. pro 68 lege 72. Lin. 11. pro CQ lege 
BQ. Pag. 77. Lin. . lege anguli NSn, Sur, urt, &c. & anguli MCm, 
 Cml. Pag. 80. Lin. 29. lege (Fig. 1. u. 2.) Pag. 83. Lin. 27. pro AQB 
lege A0 . Pag. 91. Lin. 2y. pro CS Q lege CQ. Pag. 96. Lin. 30. 
pro BLC lege BL. . 98. Lin. 12. pro SN lege FN. Pag. 99. 
Lin. 21. pro SLE lege PLE. Pag. 101. Lin. 6. pro AC=e, AE=4, 
lege AC c, CE d. Lin. 8. pro - lege —by. Lin. 9. pro x = 
lege 2 =. Pag. 108. Lin. 14. lege ſummæ vel diſferentiæ. Pag. 115. 
Lin. 3. ſcribe Fig. 28. Pag. 116. Lin. 12. pro Prop. 7. lege Prop. 16. 
Pag. 12 1. Lin. 28. pro 31 lege 29. Pag. 122. Lin. 17. pro Lo lege Io. 


* 
” 
. „ 
8 * © 
* . L 
Ee 
* 9 
= * 
9 
DET 
0 
. 


—— 


n 8 


e 


* 


#4 ee 


. 
a” Py — 
c 
. 
* 
& 
. 
. 
* 
* 
* 
n 
#: : 
” —— 
” 7 x . 
2. +, 
E. 4 
„ * 


ves ered ors fy mag By ay hat; wat ao gr if *%> t ane ARE Cu asf. 


—_ 


— 


