COURS . *’ 


DANALYSE ~ 


LECOLE POLYTECHNIQUE. 


Mademoiselle Anna Sturm, propriétaire des OEuvres posthumes de son 
frére, et M. Mallet-Bachelier, éditeur, se réservent le droit de traduire 
ou de faire traduire cet Ouvrage en toutes langues. Ils poursuivront, en 
vertu des Lois, Décrets et Traités internationaux , toutes contrefacons ou 
toutes traductions faites au mépris de leurs droits. 

Le dépot légal de cet Ouvrage (tome II) a été fait 4 Paris dans le cours 
du mois de Juillet 1859, et toutes les formalités prescrites par les Traités 
sont remplies dans les divers Etats avec lesquels la France a conclu des 
conventions littéraires. 


Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci- 
dessous, la griffe de l’Editeur, sera réputé contrefait. Les mesures né- 
cessaires seront prises pour atteindre, conformément a la loi, les fabri- 
cants et les débitants de ces exemplaires. 


ee aS > 


4 


1 


PARISs — IMPRIMERIE DE MALLET=BACHELIER, 
rue du Jardinet, 12. 


COURS 


DANALYSE 


DE 


LECOLE POLYTECHNIQUE, 


Par M. STURM, 


Membre de |'Institut, 


PUBLIE D’APRES LE VOEU DE L’?AUTEUR 
o 


Par M. E. PROUHET, 


Professeur de Mathématiques. 


a 00 0a 


TOME SECOND, 


—————— 00S 


PARIS, 


MALLET-BACHELIER , IMPRIMEUR-LIBRAIRE 


DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ECOLE IMPERIALE POLYTECHNIQUE, 
QUAI DES AUGUSTINS, 55. 


1859 


(Mademoiselle Anna Sturm, propriétaire des OEuvres posthumes de son frere, et M. Mallet 
Bachelier, éditeur, se réséryent le droit de traduction, ) 


4 7 


er V4 
SIPS 
V2 


TABLE DES MATIERES. 


SUITE DU 


CALCUL INTEGRAL. 


Pages. 


TRENTE-SEPTIEME LECON. 
Differentiation et integration sous le signe. -—“Différentiation dune 
intégrale définie par rapport a ses limites. — Interprétation géo- 
métrique. — Differentiation d’une intégrale définie par rapport 
a up parameétre variable. — Interprétation géométrique. — Diffé- 
rentiation d’une intégrale indéfinie. — Intégration sous le signe. 
om j 


a 5 5 wTte hose 25, = 
— Determination des intégrales définies. — 4. sin” xdx, — For- 
t) 
TAMLCTA EWN AILS. wats iisiaraie hal a/Sitei ars sim -rsiein 0, oe ee eMe Nee te ancta came re 


TRENTE-HUITIEME LECON. 


Suite de la détermination des intégrales définies. — Intégrales eulé- 
riennes de deuxiéme espéce. — Intégrales obtenues par la diffé- 
rentiation ou l’intégration sous le signe ,— par des considérations 

* géométriques, — par la séparation des quantités réelles et des 
imaginaires, — par une équation différentielle................. 


TRENTE-NEUVIEME LECON. 


Suite de la détermination des intégrales définies: méthode de M. Cauchy. 
— Formule fondamentale. — Applications. — Développements en 
série. — Intégrales eulériennes. — Définition. — Propriétés des 
intégrales de premiére espéce. — Relations entre les intégrales 
eulériennes. — Intégrales multiples qui s’expriment a laide des 
fonctions [. — Applications aux volumes et aux centres de gravité. 


QUARANTIEME LECON. 


Intégration des différentielles totales des fonctions de plusicurs va- 
riables. — Condition d’intégrabilite et intégration dans Je cas de 
deux variables. — Extension au cas d’un nombre queleonque de 
variables. — Intégratien des équations différenticlles. — Equations 
du premier ordre. — Séparation des variables. — Equations ho- 
mogenes. — Equations rendues homogénes..... PPS NS Pale holy 


: IT. a 


22 


vi TABLE DES MATIERES. 


Pages. 


QUARANTE ET UNIEME LECON. 


Suite de Vintégration des equations du premier ordre. — Equations 
linéaires. — Equations qui se raménent aux équations linéaires. 
— Problémes de de Beaune. — Probléme des trajectoires. —Equa- 
tions du premier ordre et d’un degré quelconque. — Cas ou l’équa- 
tion ne renferme pas les variables. —Cas ott )’équation peut étre 
résolue par rapport a lune des variables .............. Stig ob 


QUARANTE-DEUXIEME LECON. 


Suite des équations du premier ordre. — Existence de Vintégrale d'une 
équation différentielle du premier ordre. — Existence d’un fac- 
teur propre a rendre intégrable Je premier membre de l’équation. 
= Determinationsde Ce tacteuti sri. alters eis ie seis Helene 


QUARANTE-TROISIEME LECON. 
i 


Solutions singuliéres des équations a deux variables. — Comment elles 
se déduisent de l’intégrale générale. — Solutions singuliéres ob- 
tenues au moyen du facteur qui rend intégrable le premier membre 
de Véquation. — Exemples de solutions singuliéres. — La solution 
singuliére est en général Venveloppe des courbes représentées par 
equation, inteoralescr wc. cleats tor YoSuse cas Tes 6o0S ‘ 


QUARANTE-QUATRIEME LECON. 


Equations différentielles d’un ordre queleonque. — Existence de Yin- 
téprale d’une équation différentielle queleonque. — Conditions 
que doivent remplir les constantes qui entrent dans Vintegrale ge- 
nérale. — Intégrale de divers ordres dune équation différentielle. 


m 


dx™ 


— Integration de equation 


QUARANTE-CINQUIEME LECON. 


, . 2 . > % 4 ae a A ' a ay 
Integration de quelques équations d’un ordre supérieur, — Equations , 


dm—y dy 

de Ja forme {ee 
dm-2y. dmy 
dxm—2? dam 


— Applications géométriques. — Equations homogénes......... 


)ao. — Equations de la forme 


)=o. — Equations susceptibles d’abaissement. 


QUARANTE-SIXIEME LECON. 


Intégration des équations linéaires sans second membre, — Définition. 
—Propriétés de equation privée de second membre. — Equations 
a coefficients constants. — Cas des racines imaginaires inégales. 
— Cas des racines égales. Méthode de d’Alembert, — Autres mé- 
i} RES ROS gE SRE RRR Si SSONCTD Nol OO NS Pattee agmae aac D.0-c Riyosk ie ae 


44 


~JI 
on 


TABLE DES MATIERES. 


QUARANTE-SEPTIEME LECON. 
Intégration de Véquation linéaire complete, — Réduction de l’équation 
compléte & Véquation privée de second membre. — Cas ow les 
coefficients du premier membre sont constants. — Abaissement de 
Vequation linéaire quand on connait un certain nombre d’inté- 
grales de l’équation privée de second membre. — Autre méthode. 
-- Equations lineaires que Von sait intégrer. — Proprietés de 
Mequation® dutsecondl ordre} ds 5es.8 6 os Peace ne oc 


QUARANTE-HUITIEME LECON. 


Résolution des équations différentielles par les séries, — Développe- 
ment par la série de Maclaurin. — Méthode des coefficients indé- 
terminés. — Autre forme de développement. — Intégration d’une 
equation différentielle par des Maegr eos défifties:...5.... Sotee: 

QUARANTE-NEUVIEME LEGON. 

Equations différentielles simultanées, — Elimination d’une variable 
entre deux équations différentielles, — Systemes d’équations du 
premier ordre équivalents a2 une ou plusigurs equations d’un 
ordre queleonque. — Théorémes sur les intégrales des équations 
simultanées du premier ordre. — Intégration des equations simul- 
Paes Cay PLCMUCLOLAT Cs okt MeN lupin kone cee De RAOe : 


CINQUANTIEME LECON. 


Suite des équations simultanées. — Equations linéaires: cas de deux 
équations ; — cas de trois équations. — Réduction du cas général 
au cas ot les equations sont privées de second membre, — 
Méthode de M. Cauchy. — Remarque sur Jes équations linéaires. . 


CINQUANTE ET UNIEME LECON. 


Intégration des équations aux differentielles partielles. — Equations qui 
se raménent aux équations différentielles ordinaires. — Elimina- 
tion des fonctions arbitraires.— Equations linéaires et du premier 
ordre 4 deux variables indépendantes. — Cas de trois variables 
ie QOGIG AINIES. Spade donee s Mone AGO CS SEOEOCRCO AER GROMER Onc 


CINQUANTE-DEUXIEME LECON. 


Application de la théorie des equations aux différentielles partielles. 
— Surfaces cylindriques , coniques, conoides. — Surfaces de reé- 
volution. — Lignes de niveau, de plus grande pente............ 


CINQUANTE-TROISIEME LECON. 


, : : : 5 d pia a ; 
Questions qui conduisent a des équations aux differences particlles d'un 


ordre supérieur au premier. — Surfaces développables. — Inteé- 
‘gration de Véquation des surfaces développables. — Surfaces 
réglées. — Equation de la corde vibrante........... aes. is eye sit 


Vil 


Pages. 


109 


142 


162 


188 


vill TABILE DES MATIERES. 

" Pages. 
CINQUANTE-QUATRIEME LECON. 

Courbure des surfaces. — Courbure Wune ligne située sur une sur- 
face. — Théoréme de Meunier. — Courbure d’une section nor- 
male, — Sections principales. — Variation des rayons de cour- 
bure des sections nérmales faites en un méme point d’une surface. 
==Petermination des OmDiwies... . 6 ee ete se sie ole ee el 200 


CINQUANTE-CINQUIEME LECON. 


Suite de la courbure des surfaces. — Surface dont tous les points 
sont des ombilics. — Théorie de lVindicatrice. — Conséquences 
géométriques. — Cas ot Vexpression du rayon de courbure se 
présente sous une forme illusoire. — Tangentes conjuguces...... 210 


CINQUANTE-SIXIEME LEQON. 

Suite de la courbure des surfaces. — Lignes de courbure. — Pro- 
priétés des lignes de courbure. — Centres de courbure des sections 
principales. — Rayons de courbure principaux. — Applications. . 

CINQUANTE-SEPTIEME LECON. 


Caleul des differences finies. — Notions préliminaires. — Difference 


w 
i 
° 


n‘™ du premier terme d’une suite en fonction des termes de cette 
‘ suite. — Terme général d’une suite en fonction du premier et de 
ses différences successives. — Différences des fonctions entiéres. 
— Différences de quelques fonctions fractiannaires ou transcen- 
dantes. — Calcul inverse des différences. — Théoremes géneraux. 
— Intégration de quelques fonctions............... 0-0-2. 020s 231 


CINQUANTE-HUITIEME LECON. 


Suite du calcul inverse des differences. — Intégration des fonctions 
entiéres. — Evaluation des sommes par les intégrales ordinaires et 
des intégrales par les sommes. — Formules @interpolation. — Vor- 
mule de Newton, — Formule de Lagrange. ~ Approximation des 
QUAARATES icc) Fata lel R erate eles caret ais eer Pr nek hit 243 


CALCUL DES VARIATIONS. 


CINQUANTE-NEUVIEME LECON. 


But du calcul des variations, — Deéfinitions et notations. — Théo- 
rémes sur la permutation des signes d etd, je et d. — Variation 
Mune intégrale deéfinie fe dx. — Cas oft V ne depend pas des 


limites. — Cas ou V contient deux fonctions de 2, — Cas ou V 
depend des limites... 6c... 5... ha rons c che, « See Lime s JeOuy 


TABLE DES MATIERES. iX 
Pages. 


SOIXANTIEME LECON. 


Suite de la variation d'une iniégrale définie. — Autre moyen Vobtenir 
la variation d’une intégrale définie. — Maximum et minimum 
une intégrale définie. — Conditions relatives aux limites. — Cas 
ot la fonction V contient deux fonctions de x. — Applications. —  ¢ 
Ligne la plus courte entre deux points, — d’un point 4 une 
courbe, — entre deux courbes...... ah Nader Re sear | eke eeray see eae Ns 270 


SOIXANTE ET UNIEME LECON. 


Suite des applications du caleul des variations. Autre maniére de 
resoudre les problémes précédents. — Ligne la plus courte entre 
deux points, dans V’espace. — Ligne la plus courte sur une sur- 
face donnée. — Surface de revolution minimum..............-. 283 


SOIXANTE-DEUXIEME LECON. 


Suite des applications du calcul des variations. — Brachistochrone. — 
Remarques sur l’équation K=o. — Maximum ou minimum re- 
latife — Problemies sur les isoperimetres...ty.hs ce. gers so casi. 296 


NOTES. 


Nore I. — Exercices de caicul différentiel et intégral, tirés des 
TOETDIO 0S CONNIE OL in omn eo? nel Spee age snerigasa moEmee ry wider SH) 

Nore I]. — Sur un cas particulier de la formule du binédme, par 
Michi Catalam'ves. sot Adu S dan at CARR eh OR OEAT AO Ose ANE ci 326 

Nore III. — Sur les fonctions elliptiques, par M. Sturm, d’aprés un 
Memorre: dere es peyrOUS=. es. ee akties Nis 1 be hrtel sexsi 329 


Note IV. — Sur les propriétés de quelques fonctions et sur la repre- 
sentation des racines des équations par des intersections de courbes, 


(DOP We A Pa OC ers Ren Maen onimnrerieae Ce Cmca Ohta asda memories 332 
Nore V. — Exercices sur la rectification des courbes planes, par 

M. E. Prouhet..... 3 ne ee NORA Oe Meee ca Mires. 349 
Nore Vi. — Sur la réduction des sommes aux iniégrales, par M. E. 

LESTE Ok, MARE Cy Seen eo SL aes bitte ent Pa oie 354 
INTE ethane Ow die gs O ad Gbieo & eheies OB bin om Rune 5 GoeinouwooGe ined XI 


FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME SECOND. 


iy home oeaeg. ae ee = ; 
tio FS snayall e “ nee 
ee ee WARE 3 we 38 oe i" ‘ SS 
: eae prem : WNL & ! : 


y % 
ae - 
Ne a 
to 


35 ae tect aaa maak < ba ate ue Sor Lk taste 6 


7 ae a Pa: 
4 


a 3 


Bo i 


ag: igh Aaa rapa ee Sa a 


PAGE. 


20 


16 


derniére. 


6 


derniére. 


10 


19 


derniére 


ERRATA. 


PREMIER VOLUME. 


AU LIEU DE: 


a 


yz? — a? 


dx 


eS 
2x2— sin2x 
z*cos? x 


a(1—sint) 


aAr+t pUAy+y"Az 


quantités 


aoe ae 

Vn 
jy Rad. 
1—fk 


na 
xz 
fad Onewe 
2x—sin2r 
2x7cos? x 


a(t —sint) 


an & 
Cae RE 


PAGE 


184 


222 


Ih. 


Ib, 


160 


LIGNE. 


1h 


derniere 


~J 


Formule (E) 
Ib. 


3 


9 


x, = 


«= 
AU LIEU DE: 
5 
Bs og 
1K 
(1) 
A 
—m—2 
m—n—t 
x 
np-+n-+iI 


np(m-+1)a 


.b (np + m+ 1) 


(a a ba” )P— 


apa p—2 
m—n+t 
Ee A 


npa-m-- 1 


anp 
np im +- 1 


(a + ba" )P+! 


Mettre le signe — devant le second membre 


Vinge thee 


Vi — cosx 


SECOND VOLUME, 
(Vexposant de x doit 
| etre positif 
T(n—2)=(n—1) P(n—2) 


correspondent 


Cay 
‘hn dz °* 


V1— cosx 


Uy accone 


n doit étre positif 


I (n—1)=(n—2)T (n—2) 


correspondant 


= dY 
a 7 da 


Oo. ¥ 


COURS | 
DANALYSE. 


SUITE DU 


CALCUL INTEGRAL. 


S86 = 


a 


TRENTE-SEPTIEME LEGON, 


Differentiation et intégration sous le signe. — Différentiation dune intégrale 
définie par rapport a ses limites. — Interprétation géométrique. — 
Différentiation d’une intégrale définie par rapport a un paramétre ya- 
riable. — Interprétation géométrique. —: Différentiation d’une intégrale 


indéfinie. — Intégration sous le signe. — Détermination des intégrales 
T 
sfP_s 2 * 1: 
dcfinies. — sin” xdx, —¥ormule de Wallis. 


a) 


® 


DIFFERENTIATION D UNE INTEGRALE DEFINIE PAR RAPPORT 
A SES LIMITES. 


443. On sait qu’étant donnée une fonction quelconque 
de x, f(a), il existe toujours une autre fonction 9 (x) 
ielle que l’on ait 

9g (4) =Sf(2), 
et que l’intégrale générale de f (x) dx est alors représentée 


par 
g(z)+e, 


c étant une constante arbitraire. 
Désignons par u lintégrale de f(x)dx, prise entre 
deux limites a et 6; on aura 


b 
i a= S (x) dx = 9(b}— 9(a). 


a 


2 COURS D ANALYSE. 

L’intégrale définie wu ne dépend plus de x, mais elle est 
une fonction des limites a et b, et l’on peut se proposer 
de la différentier par rapport al’une ou a lautre de ces 
limités. On y parvient aisément sans effectuer lintégra- 
tion. En effet, de Pégalité 


u=9(b)—9(a), 
on déduit 


=o l4), FS (Bb), 
et puisque 9! (x) =f (x), 
(1) ora), =F): 


444, Si a-et b sont des fonctions d'une certaine va- 
riable ¢, indépendante de x, en désignant par du la dif- 
férentielle totale de uw considérée comme fonction de la 


variable indépendante t, on aura (I, 40) [*] ° 
1 Z 
le _ da + +5 db, 


et, par conséquent, 
du = — f(a) da +f (6) db. 
On obtiendra ensuite du en fonction de é en remplacant 


dans cette formule, a, 6, da, db, par leurs valeurs en 
fonction de ¢ 


INTERPRETATION GEOMETRIQUE 
AAS, Soit 


Fig. 104. ay ehh es 
i eee Péquation en coordonnées rec- 
D . 
F tangulaires de la courbe ‘CD’ : 


aR Vintégrale définie 
b 
st} BB — f SF (a) dx 


[*] (1, 40) indique un renvoi au n° 40 du premier volume. Les ren- 
. . . . ’ ‘ , 
yois au second yolume seront simplement indiqués par te numéro du 
paragraphe. 


TRENTE-SEPTIEME LEGON. 3 
représente l’aire ABCD. Donnons aux limites a et b les 
accroissements infiniment petits 

INN Serer lis eet Shere) S 
on aura 

AY CLD’ Bl ws du 
et du = — AA’ CC’ + BB’ DD’. 
Or on peut remplacer AA’CC’ et BB/DD/ par les rec- 
tangles ACEA’ et BDFB’ qui n’en différent que de quan- 
utés infiniment petites du second ordre (1, 194); on aura 


done 
AA'CC’ = f(a)da, DBB' Dy= f(b) db, 
é 


el, par suite, 


du = — f(a)da + f(b) db. 


DIFFERENTIATION D UNE INTEGRALE DEFINIE PAR RAPPORT 
A UN PARAMETRE VARIABLE. 


446, Supposous que la fonction placée sous le signe | 


dépende d’une variable ft, autre que x, et soit 


b 
ui f Hel eit) dz. 


Si les limites a et 6 sont indépendantes de 7, on aura, 
en donnant a ¢ l’accroissement At, 


b 
wane f SJ (2, t+ Atjdzx, 
a 


5 b b 
Mot IN = ST (x,t + dt) dx — Re Fix) dx 
a a 


b 
ok [f(2, t+ At) —f (2, t)\ da; 


par suite 


Au mamas pi as t) ik 


er i See 


? 


vad 


et, si Von fait décroitre indéfiniment At, on aura 4 la 
z. 


4 COURS D ANALYSE. 


limite 


b 
du df (a, t) 5. 
(2) SS iy Sa aes 
a 


dt 


447, Quand a et b dépendent de ¢, du désignant la diffé- 
du du du 


i ale dew, et —» —, — 
rentielle tot ty, el oo? ah 


les dérivées partielles 
de cette fonction, on a 


1 q 1. 
NT ea te ap bese idyg 


€ 
da db dt 
mais (443, 446) 


du du du bf 
— == —fla,t), PT eae as. =f oe? 


; b 
du = —fla,t)da+ f(b, t)db + dt fae. 
t 


va 


INTERPRETATION GEOMBTRIQUE. 


448, Soit CD la courbe dont l’équation est, en coor- 


Ig. 105. données rectangulaires , 
H vie 


je =f et). 
SiOA =a, OB =), on aura 


ab 
uo | J (x, t) dx = aire ABCD. 


va 


Donnons a ¢ l’accroissement 
infiniment petit dé: aet 6 qui sont des fonetions de ¢ re- 
coivent des aceroissements A A’= da, BB’= db. En méme 
temps la courbe CD se change en uné autre courbe EA 
infinimeni voisine, et Pon a 
ab-t-db 
tet li f(a, t+ dt) dr = aire A’ GHB’; 
eo ada 

Mais aire A’ GHB’ = AEFR — ARGA’ + BFHB’, 
done di = A’ GHB’ — ACDS ; : 
== ( AEFB — ACDB ) -~ ARGA’4- BFHB’, 


TRENTE-SEPTIEME LEGON. 5 


ou, en négligeant dés infiniment petits du second onice, 


ree IM t,t dt) jae [Flot 


—f(a,t)da + f(b, t)db, , 
et enfin 


: nb 7, 
Uf (ax 
dude | LS) ae — fla, t) de + f(b, t) db. 
a . 


DIFFERENTIATION D'UNE INTEGRALE INDEFINIE PAR RAPPORT 
A UN PARAMETRE VARIABLE. 

449. Soit u Vintégrale indéfinierle f(x, t) dx, dans 
laquelle t désigne un paramétre variable qui ne dépend 
pas de x; on peut, sans rien dter a la généralité de cette 
pateernlt: Vécrire sous la forme . 


a 
w(t) étant une fonction arbitraire de ¢. Dillérentions 
t . 
maintenant par rapport 4 7, en supposant que ¢ ne dé- 
pende pas de a : nous aurons (446) 


du Aft 2, t) 
— —— es Shee 4 Y t): 


mais comme ¢’(t) est une constante par rapport a x, le 


. Ke Perera © df 
second membre revient a |’ intégrale indéfinie de = dxcet 
Pon peut écrire 


AS MA 
dt” dt 


Ainsi, pour différentier une intégrale indeéfinie par 
rapport @ un paramctre variable, il suffit de différen- 
er, par rapport ace parametre, la fonction placéc SOUS 


fe signe 
INTEGRATION SOUS LE SIGNE. 


450, Si l'on multiplie par dy Pintégrale détinie 


P(x, y de, 


a 


hoe 


6 COURS D’ANALYSE. 


et que l'on intégre ensuite par rapport ay, on aura 


b 
fa f WK py ay ae: 


Or je dis que Pon peut imtervertir lordre des intégra- 
lions, ¢’est-a-dire que l’on aura la formule 


ab ah a 
f yf fles)de= fo de i. gee 
a e/a 


En effet, on a (449) 


b Ske 
ffir db 
— } i pe AE Era 
“fe “ffs, YN Ce a dx ae 
= ig Lx, ye 
a 


donc, en intégrant les deux membres de cette équation par 
vapport ay, il en résultera 


ab bh 
J dx [simran far f Sx, 9) de. 


et, si l'on prend pour limites de y les constantes ¢ et d, 
on aura 


b d » d rw b 
be ae f Fltesor) ay ath dy | FAC Male: ey 
a c c e/a 


A451, Linterprétation g¢oméirique de ceute formule est 
facile; car ses deux membres représentent également le 
Fig. 106. volume ABCD A‘B‘C’D' com- 

; pris entre la surface qui a pour 
équation z= f(x,y), le plan 
des wy et les quatre plans qui ont 


0 pour équations 
J 
/ 
y eee Ae 
y, bie Ne tb), 
y 
Vee Ch See 


TRENTE-SEPTIEME LECON. 


be | 


DETERMINATION DE L INTEGRALE 


Tv 


ye 
1 sin" ada. 
Oo 


+ 
452. On peut déterminer une intégrale définie quand 
on connait l’intégrale indéfinie ; mais sil y a souvent des 
simplifications. Ainsi, quand on a 


[Forde sola) + 4x) ae, 


il en résulte ; ¥ 


# 


~‘ 


b s h 
f Fade = 9 (0) 0 (a+ fo yo) ae, 


et si /(a) est plus simple que f(x), Pintégrale cher- 
chée sera ramenée par cette formule ‘A une intégrale plus 
simple. 

Soit, par exemple, | intégrale 


Tv 
a. 
Up =f sin" x dz. 
0 


En intégrant par parties, on a 


[sin das f sims .d(— cos x) 


= — sin’! x cosxz + (nr —1) ff sin £C0s* xdx; 
ou bien, en remplacant cos*x par 1 — sin’ x, 
? 
: OLE} = eae, ee! CTN—2 a» 
sin? cdx —= — sin"“'a2 cosx + (n —1) | Sine ade 
a 2 
—(n—1) | sin*adr. 


De la on tire 


ences n—t Tae f 
[ sintc dz == — —sin"—'.x cos x +- . [sw Ue ax: 
n b 


a 


‘ . : Te \ ees 
Intégrons maintenant entre les limites oct = et obseryons 


8 "COURS D' ANALYSE. © 
que le premier ter me du second membre s annule.a ces 
deux limites, n étant plus grand que 1, a viendra 


; nm—t 
(1) | Sib 


Una 


Soit 2 pair : nous aurons successivement - - 


; a3 
(ep ile s Wigs 
n—2 
3, Wao 
un—;j = 


CHU tar Cee mt ae 


2 T 
= a= 
PES se eo 


Si l'on multiple toutes ces equations membre a 
membre, il vient 


; ad 135 oes 
e 2.2 APG n j 


En changeant 7 enn +-1 dans la formule (1), on aura 


Rh 


Uns = Uma, ; 
7 
et ensuite 
LU 
Un = Un—3 9 
TU nn 
n—& 
¢ Kpn—3 = a 3 Un—s y 
2 
&; = 5 ll, > 


wT 
2. 
n= f Sin aa —— ies 
0 


En multi pliant toutes ces équations membre a membre, 
on aura 


(3) 


2 
Un 32 


“TRENTE-SEPTIBME LEGON, 9 

453. La formule (1) ne peut plus servir 4 la détermi- 
nation de u, “quand n-nest> plus un nombre entier ; 
mais on peut employer .a réduire cet indice. au- -des- 
sous de Punité. Dans tous: les: cas, en faisant y = Sin ay 
& intégrale é 


Tv 


Ng 
ih sin? .xcdx 
oO - 


se ramene a la suivante 


| fe dy 
. / ae 4 
: CN Joys 


qui est algébrique. 


FORMULE DE WALLIS. 
oe Ah rg 
454, On peut déduire de ces formules la valeur de = 


exprimée par un produit d’une infinité de facteurs. En 
effet, puisque sin x est moindre que Punilé, ona © 


A ee ae 


3 A Tw 
pour toutes les valeurs de x comprises entre.o et s 


[ 


done on a 


wla 


sin” x2 dx > ‘e sin’! x dx, 


c’est-a-dire 


Unt ete 


De la, et des formules (2) et (3) trouvées plus haut (452), 
on ure 


Bee ee, Ae lk n n 
— >= + oe oe ° e 
Dag OeOe pas json 
On aura de méme 
Un re Un+s 9 


10 COURS D ANALYSE. 


ou bien 
sh Oh Sis j it PD 
2, 1 P SRIOGS fis Pere ED 


Done si. l'on pose 


2 
= is 
J 


ool 


on aura 


7 2) 
ae ak et a pe =A(i+ ): 
2 2 
Il en résulte que 


TT 
Sere mS 


z as; 5 I 
a elant une quantile plus petite que » et comme 
n l 


ceci est vrai, quelque grand que soit 7, on aura, en sup- 


posant me, 


_ Cette formule remarquable a été découverte par Wallis. 


TRENTE-HUITIEME LEGON. 11 


TRENTE-HUITIEME LEGON. 


Suite de la détermination des intégrales définies. — Intégrales eulériennes 
de deuxiéme espéce. — Intégrales obtenues par la différentiation ou 
Vintégration sous le signe, — par des considérations géométriques , — 
par la séparation des quantités réelles et des imaginaires, — par une 
equation differentielle. 


$ 


INTEGRALES EULERIENNES DE SECONDE ESPECE. 


455. On donne le nom W@intégrale eulérienne de se- 
conde espéce a Vintégrale définie 5, 


wD 4 
T(r) = f weedy. 
5 


L’exposant de x doit étre supposé positif; car sin était 
égal au nombre négatif — p, lintégralesconsidérée aurait 
une yaleur infinie. En effet, on a, @ étant compris entre 


‘da Reece 


a | 
: t Pathe. jy FUT, Basis Sry ttek tates 
or pour a = o, —1]—est infini: pramarsc a ae Eo = 
ey a 
oO 


OBL Fs 


est done infinie, et il en est de méme, a fortiori, de Vinté- 


wo 
grale f LP Ndi. 
; ro) 


456. L’intégrale [ (2 + 1) peut se ramener a P(r). 


En integrant par parties, ona 
fee e-t*dr=— avert +7 poe di. 
x 


Or x" e~* s’annule pour «=o et aussi pour r=, 


En effet, puisque 


a Aa 
ers Fe e— Hit teeta 
i eer 


ona, quel que soit ¢, 


‘ ae 
e” > 5 So Taio 
oa ND Sie yh 
5 4 


12 COURS D ANALYSE. 
par conséquent 
arn 


a net iS esead Es Sah 


11570584 
Or, quand on prend ¢>>7, ce qui est évidemment per- 
mis, le second membre devient o pour x =. Done 
le produit «~"e* devient aussi infini, et par conséquent 
son inverse x"e—* devient nul pour r=. 

D’aprés cela, sil’on integre entre les limites 0 et % , 


oO ; oe) . 
ih LBS GAN 0 hy Sf, { ey Galli 
ty) 0 


ou Sh Uris 1) rede Je 


/ on aura 


457, On aura de méme 
D(azj)=(e—1)T(n—1), T(rn—2) (tr 1)P(a— 2), 
cl sim estentier, on arrivera a 


LEAS Nene WO OP 


es 
ray= f 6x dts 


Par conséquent, on aura pour 7 enter et positif 
U(r) ==1.243...(n 1). 
Si n, sans étre enter, est plus grand que 1, la formule 
é U(a)= (rx — 1) (x2 —1) 
permettra de réduire Pintégrale TP (7) a Vintégrale P (v), 
dans laquelle v désigne un nombre positif moindre que 1 5 
de sorte que pour calculer la fonction T° (m7) il suffit d’a- 
voir les valeurs de cette fonction pour les valeurs de l’m- 
dice n comprises entre 0 et r. 
AS8. Lintégrale TP (7) peut prendre une autre forme , 
en posant e "= y, ona 


TRENTE-HUITIEME LEGON. 13 


: \ \ n-1 
ou rin) f (12) dy. 
Dea NocAd 


INTEGRALES QUI SE DEDUISENT D UNE INTEGRALE CONNUE 
PAR LA DIFFERENTIATION SOUS LE SIGNE. 


459, La différentiation sous le signe permet de déduire ‘ 
dune intégrale définie connue de nouvelles intégrales. 
En voici quelques exemples : 


co 
‘ if a eer Tat 
o0 2ta 2 
Différentions 7 fois par rapport a a: il en résulte 

" # . 
Se Dia ale tO) One Se Te Fak, To ns 

a dz = = ; ois 

Ae Peta eel Fes aw) 2 qe; 2 


et, par suite , 


4 dx _-- 13315, ...(27. a) T 
et ate EPCS OA OO 2 art} 


2°55, Sort em dg. 
6 a 


Si l’on différentie les deux membres de cette égalité n— 1 
fois par rapport a @, on aura” 


oe) 
4p  paade O A frie— OTRO  We C0) igh 
3 S74. 


% east 
ere eg cy pe a oe 
is an 


} 
460. Ce dernier résultat subsiste quand on remplace la 


ou bien 


quantité réelle a par expression imaginaire a +b acs 
dans laquelle la partie réelle a est positive. 
En effet, ona 


ie = ear V0) 
| CoD Ne yy ae Eg 
5! wah y¥—! 
—e-* (cos bx — /— 1sin ba) 
= ~ == = Cy 
at b Vint 


i4 COURS D ANALYSE. 
et, par conséquent, 
ico) 
fi em (at Ve fp — : : 
JO a+ b/— I 


Si maintenant on diflérentie cette égalité mn —x fois par 
rapport a @, on aura - 


D . 
[ LON eile antag ERE PS BE Bowe 1) 
e/O (a+ b6V¥—1) 


ce qui est la derniére formule du n° 459 étendue au cas o8 


a est imaginaire. 


461. Cette formule fournira d'autres intégrales, au 
moyen de la séparation des quantités réelles et des imagi- 
naires. Posons 

(a+ by— 1) = (cos a ee sin 9), 
c’est-a-dire 
a : b 
————; sing = ——___: 
Vat b? Vai+ b? 


la derniere équation devient 


wm 
ai e—** (cos bax — V— sin ba) a"—' dex 
oO 


E'(7 <eS. 
= (7) (cos -~ ¥—1sin no), 
p" 


équation qui se partage en deux autres : 


q V (nx 
-f Cnet a SIN wpaqaas—= be sin né, 
) 


— Vai+ b°, cos § = 


nu 


fa toe) , 


| e798 g"—! cos ba dx = cos no. 
e/O 


o” 
{ 


Notre démonstration suppose que 7 est un nombre en- 
tier; mais ces formules subsistent quel que soit 7. 


INTEGRALES DEDUITES D'AUTRES INTEGRALES AU MOYEN DE 
L INTEGRATION SOUS LE SIGNE. 


402. L’intégration des intégrales définies par rapport 


a} 


sS 


TRENTE-HUITIEME LEGON. 10 


aux constantes qu’elles renferment fournit encore de 
nouvelles intégrales. Ainsi, soit 


‘oe 3) . 
. a 
CE CES LPS 
0 ae =| b2 


intégrale qui se déduit de la derniére formule (461) cn 
faisant 2 = 1. Ilen résulte, c étant une constante moindre 
que a, , 


a a @ 
ada 
f da if ex*tcos bx dv = [ ——— 
c 4 ie pO? 
Mais 
gf 
4 
rua ea) on a 
J da ip e-* cos badra f dx zh e—** cos ba da 

c re) re) c 


” Cre Ok 
= —j—— 08 br dx, 
° 2 


dun autre cété, 


Donc 


Dn e-c? — eer I ee bt 
Tepe trate aS badx —— a Fag geT 
hs x z crf 


463. Si Von fait6 =o, ona 


oe) —Cxr —aze 
é ae Ne a 
ai fee he I 7 
O @ € 


On obtiendrait encore ce résultat en intégrant relative- 
ment aa, entre les limites c et a, les deux membres de la 


io 2) 
I 
{ Cnt 
0 . ve 


464, Par le méme procédé, de la formule 


© ; h 
e—* sin ba dx = ——— 
i a = We 


formule 


a6) COURS D ANALYSE. 


on déduira 


ie e-® sin ba dx = ee 
pe a+b? 


= are tang = => — arc tang < ; 


Sip 
Mais 


a ioe) leo) a 
ip aa f e—* sin ba dx = “fe dx f sin bx e—* da 
Cc 10) 18) c 
D pce —ax 
aa a a a 
= ———— sin bx dx ; 
0 a 


done 


© e-er __. eat : a c 
————— sin bxdx = arc tang — — arc tang —- 
0 x b b 


465. Sil’on faita=o,c=0,ona 


200 _* 
sin bx T 

ab div -9 
z x 2 


pourvu que J soit > 0. Sil’on avait b<o, le second mem- 


* Tv 4 . , , . : 
bre serait — ms Cette intégrale présente donc une disconti- 


nuité remarquable : constante, lorsque b varie en conser-~ 
, - wv. 
vant le méme signe, elle passe brusquement de —— a — 
aT 9 


lorsque ©, en s’évanouissant, passe du négatif au positif. 


EMPLOI DE CONSIDERATIONS GEOMETRIQUES POUR LA 
DETERMINATION DE CERTAINES INTEGRALES DEFINIES. 


466. L’intégrale 


co 
Ac a e-" dx 
(0) 


a été déterminée par M. Poisson a Vaide d’un. procédé 
irés-remarquable. Si lon change x en y, on aura encore 


2 
= { ew dy, ’ 
0) 


TRENTE-HULTIEME LEGON. 17 


et, par suite, 


foe) ate 2) wo cee) 
A? == ue OF" dan J Cay of f Came aac 
Oo 0 ce) oO 


Soient maintenant trois axes rectangulaires Ox, Oy, 

Oz et c 
Fig. 107. VEZ 0 pi Se 

| les équations d’une courbe 

Kiser située dans le plan zOx. Si 


ot ta 
ft } ti Pe 
y, | Mp ee cette courbe tourne autour 
/ — 
Ly SE poe ~~» de Paxe Oz, elle engendre- 
/ ~ 7 r 
/ ~N >, 2 " 
resbe iy RY ra une* surface ayant pout 
a SE équation 
ad ; 
ie OR Ai 


et lintégrale double 


Dw é 
oO oO 


représentera le quart du volume compris entre la sur- 
face et le plan xOy. On peut évaluer ce volume en le par- 
tageant en une infinité de tranches cylindriques dont Oz 
soit axe commun. La tranche dont les surfaces exté- 
rieures ont pour rayons 7 et 7+ dr est égale a sa base 
2trdr multipliée par sa hauteur z ou e~”: on a done 


1 GR . I 
A= s CT Onan 
UR 4 
x I se 
dot A= Vn. 
2 
A4G7. Un procédé analogue peut étre employé pour la 
détermination d’autres intégrales. Supposons que Pon ait 


a évaluer 
te dy fe Hy. 9) Aa. 


Cette intégrale représente la portion située dans langle 
des coordonnées positives du volume compris entre Ja 
i. 2, 


18 COURS D ANALYSE. 
surface qui a pour équation , 
Hig. 108. Z =f (2; y) 

a et le plan «Oy. Décomposons 
ce volume en éléments infini- 
ment petits par des plans zOS, 
zOR menés par l’axe des z et 
= par des cylindres PQ, RS ayant 
Oz pour axe commun. Si Von 
poses OP = 1;,. PO x= 4, “le 
prisme iftiinent petit MPORS ayant pour base le rec- 
tangle PORS = rdédr, et pour hauteur 


Some e,. 7) =f ir cos G, rsin 0), 
aura pour volume 
rdédrf(rcos 6, rsin 6). 


{hes , 4 A , ] 
intégrale proposee pourra donc etre remplacée par ja 


suivante 
T 
Moire é 
ef f S (rcosd, rsin§) rdddr, 
oO (a) 


dont la valeur sera quelquefois plus facile 4 trouver. 


wo 
atin e be rer : 
468. Lintégrale ak eo aa = Va conduit a la sui- 


0 


vante 


En effet, 


ive) r0) [o 9) 
fs e- dr = f e* dx + f e-” dx. 
—f =a) 0 


Si l’on change x en — x, ona 


(a) lo @) I 
fh eo dy = [ e- dx = — Vr ; 
J— © vO 2. 


lo 0) 
done ib cdr = x. 


— © 


469. Plus eénéralement, si f (x -) est une Jiventae paire 


4 


TRENTE-HUVITIEME LEGON. 1g 
de x, cest-a-dire une fonction telle, que lon ait identi- 
quement f(a«)=f(—2x), on aura 


“i flajdr=a f Sf (2) dx. 
En effet, 


{ fle\ae= _flalaee [fay ae. 


[fe pats fhe 


Mais 


yi, 


done ; 


fo fede fra) ae. 


On prouverait de la méme manieére que si f (x) est une 
fonction impaire, c’est-a-dire si f(+x)=—f(x), on 


aura 
ifs BARC ewer 


470. Si, dans Vintégrale 


(1) fo etaes ve 


on remplace x par x Va, on aura 


ictegunes Vn 
; Ce di 
2 6D Va 


En différentiant cette derniere équation 7 fois de suite 
par rapport a @, on aura 


—aZx? yn ae. 
e ae dx == Vv. T - ms 9 


é = 1.3:5..(an—1) ~ (+5) 


et, si l’on faita =r, 


eg ee TeohOn Se 271 
en? x" da = Vr - ( _ ), 


oF 
= cO 


26 €OURS D ANALYSE. 


EMPLOL DES IMAGINAIRES. 


A741. Fn changeant x en x-+-a@ dans l’équation (1), elfe 


[e)} 
ip eo (#42)? dy = Vn ; 
Ob) 
; is e 
ou if en lun dx = ce Vn 


[o/2) 


devient 


mais on a 


oo co 
iP en 248 lg — tf Game Vee dx 


J—w 


i] 


ev ( e7ae aa da; 


done on aura 
x — 
+ e-* (ear 4 208) dp —= e@ Vr. 
Oo 


Les deux membres de cette équation peuvent étre déve- 
loppés en séries convergentes, suivant les puissances 
entiéres et ascendantes de a, et comme |’équation a lien 
pour toutes les valeurs réelles de a, les coefficients des 
mémes puissances de a doivent étre égaux dans les deux 
membres; d’ou il suit que l’équation subsistera si lon y 
remplace @ par une expression imaginaire. En posant 


a=aVY—1, dou e+ e?“"= 2cos2ax, elle devient 


ca) : nie. 
e—* cos2ardx——e™ Vn. 
W/O 2. 


Ainsi-le passage des quantités réelles aux imaginaires 
peut faire découvrir de nouvelles intégrales, comme on 
Pa déja remarqué au n° 460, 


INTEGRALE OBTENUE A L AIDE DUNE EQUATION 
DIFFERENTIELLE. * 


472. Un autre procédé consiste a former, entre linté- 
grale proposée ct lune des indéterminées qu'elle ren- 


YRENTE-HUITIEME LEGON. 2t 
ferme, une équation différenticlle qu’on puisse intégrer. 
Soit, par exemple, 


ioe} 
“— [ ec cos2axdx. 
vO 


* 
Ona , 


at ive) rae 
a=-f sinaaecPaede= [, SIN2 ad. due. 
ve ee ie) ¥ 
f 


En intégrant par parties et en observant que sin 2%x.e7" 
est nulle aux deux limites, on aura 


dtu e mi 
—_— =— 6" Cos 2ka.2adz, 
da é 
; age du du 
cest-a-dire —=—2eu, ou — = — 2adn; 
da u 
PERS on? © 
ott ee - 


Pour déterminer c, on fait « = 0: alors 


oo Riese 
i edz = -Vr=c¢; 
‘ 2 


ie 2) 
J Pe Oi 
f e~**c0s2 anda == = 6 0 Vr. 
0 


donc 


22 COURS D ANALYSE. 


TRENTE-NEUVIEME LECON. 


Suite de la détermination des intégrales définies : méthode de M. Cauchy. — 


Formule fondamentale. — Applications. — Développements en série. 
* 

Intégrales eulériennes. — Définition. — Proprietés des intégrales de 

premiére espéce. — Relations entre les intégrales eulériennes. — Inté- 


grales multiples qui s’expriment a l’aide des fonetions [.— Applications 
aux volumes el aux centres de gravite. 


METHODE DE M. CAUCHY. — FORMULE FONDAMENTALE. 


473. Soieni z une variable imaginaire, r son module et 

p son argument, en sorte qu’on ait 
== r(cosp+ V¥—rsin P= repy—, 

Soient f(z) une fonction de z qui reste finie et continue, 
ainsi que sa dérivée, pour toute valeur de z dont le mo- 
dule r est inférieur a une certaine limite R. Supposons, 
en outre, qu’en laissant le module constant et en faisant 
croitre Vangle p dune maniére continue. depuis une 
valeur quelconque « jusqu’a la valeur «+ 27, la fone- 
tion reprenne, pour p = @ + 27, la valeur quelle avait 
pour p = &. Cette condition, que M. Cauchy omet dans 
ses €noncés, mais qu il suppose dans ses démonstrations , 
n’est pas toujours remplie quand la fonction f(z) a 
plusieurs valeurs diflérentes pour une méme valeur de z, 
On ne considére ici qu'une des valeurs de f(z) et la va- 
leur correspondante de sa dérivée. 

Cela posé, je dis qu’on ala formule 


, i pa Soros 
(1) fol f-  Fla)ap, 
. 1 Tee Te / _ 
ou FO) =) S \reP v1) dp, 


pour tout module r moindre que K. 
Fn eflet, z étant une fonction de r et de p, siilon difs, 


> 


TRENTE-NEUVIEME LEGON. 23 


anes ) tour a tour par rapport a7 et ap, on aura 


= f! (z ee = z) pv, 
a eae ) dr I" £ 
d f(z) \ dz a = 
Bal af) 2 = f'(a)re yan, 


t, par conséquent, ; 
d f(z) I d f(z). 
dr ryj—1 dp 
Comme, par hypothése, f/(z) reste finie et continue pour 
toute valeur de z dont le module e&t’ moindre que R, la 
méme propriété appartient aux deux membres de cette 
derniere équation. En les multipliant par dr. dp, et les 
intégrant par rapport a 7 depuis o jusqu’a r, et par rap- 
port a p depuis « jusqu’a # + 27, on 4 


5 Rete [= 7 ef dr oa ve EG) Fy 
a (0) dr On Niel tea Be dp 


orona f 4 dr= f(z; —Sf(e), 


ct puisque 


i + apex 
{44 = f(z)=f (rer), 


ona 


Gat PF. 
Pi zat dp = f| ree") = me fil rel 1), 
w ap 


Mais le second membre est nul par hypothese; par cousé- 


quent 
“+27 
he, dp—'0, 
r AS 
are. 
et f [fiz) —S(0)] dp = 03 


20 <b VL -- 2.7 et 
done r(o) | y= f St (2), 


ow. 


24 COURS D ANALYSE. 


I w+ 2 
(1 sola f sleep, 
ce qu il fallait démontrer. | 
AT4. Si f(z) et f"(z) restent finies et continues pour 


toutes les valeurs de z dont le module est compris entre 
ret p, en appelant la valeur de z quia p pour module, 


on aura 
a + 25T (ea poe 3 
[fale = fo“ Fe)ap: 
vy 


sh 
ainsi la valeur de ff (z)dp est indépendante du mo- 
dule r, ce qu’on vérifie en différentiant. 
475. En faisant « =o dans la formule (I), on aura 


oT 
1 omen 
(II) t(o) = — S (rer’) dp, 
‘ 27 vo 
et si ’on fait ensuite « —=— on et que l’on change p en 


mary Ode on aura . 
I a7 ae 

j= PY") dp. 

t\ ») 2 I fire )dp 


476, En remplacgant f(z) par f(a +p) dans la for- 

mule (I), on en déduit 
I a+ 27 ose 
f(«) = — f(x — reP¥—) dp, 
2m de 

car on a _f(o) =f(a). Ainsi une fonction f(x) d'une va- 
riable x, réelle ou imaginaire, peut étre représentée par 
une intégrale définie, pourvu que f(a re’) reste 
finie et continue ainsi que sa dérivée pour la valeur attri- 
buée A ret pour toute valeur moindre, et que cette fonc- 
tion reprenne la méme valeur quand p augmente de 27. 


APPLICATIONS. 


477. Les formules précédentes donnent les valeurs d’une 
classe nombreuse @intégrales définies. Prenons d’abord 


‘ 


TRENTE-NEUVIEME LECON. a5 
Cette fonction et sa dérivée deviennent infinies pour z =r, 
valeur dont le module est r=1; mais elles sont finies et 
continues pour toute valeur moindre attribuée au mo- 
dule. On peut done appliquer Ja formule (II) qui donne, 


pourr<:, 4 
1 a did 
(t) i= S 5 
2% Jo ae , 
ou 
4 
2% : dp 
2. == —— ‘ 
o l= 70S pp — ¥ —F17'Sin ps 
—sf 
ee 
—— = ap 
he I—2rcosp-+?r ef 


et, en séparant les parties réelles et les imaginaires , 
27 v: 
* (1—rcosp)dp * 
: == aT, 
le Ti 2 TCOS Dis tan7: : 


27 5 
sin p dp 
= 4 =O 
i ire COS) tr 


Cette derniére formule est d’ailleurs évidente, puisque 


Jes éléments de l’intégrale correspondent a des valeurs 
de p dont la somme est 27, sont égaux et de signes con- 
traires. 


478. On trouve directement la formule (1) en obser- 


. 


vant que la fonction 


peut étre développée en une 
L—~2 


série convergente quand le module de z est moindre que 
Vunité. On a, en effet, dans ce cas, 


Si1t2+2+4+2+..., 
P= 2 


d’ot résulte la série convergente 


20 2 27 27 
ip dp a { dp Sie I, zdp “ft | z’ dp Sa 
0 Tio 0 oO o 


26 COURS D ANALYSE. 


27 
Mais ona [ dp = 27, 
0 


et, ailleurs, pour tout exposant positif différent de zéro, 


ics 2% = 
i 2d pie if enpy ap. 
O Oo 
2m dp 
== 00 2 
done i aia 
(6) 


479, Faisons dans la formule (LU) f (z) =e“. Cette fone- 
lion, ainsi que sa dérivée, est finie et continue pour toute 
valeur de z et n’a qu'une seule valeur. On a donc, quel 


que soit le module r, 
I fe a 
— eer cos p+¥—tar sin p dp, 
2h 0 
ou l'on tire, en faisant ar = b et en séparant les quan- 
lités réelles @avec les imaginaires , 


2 


| e'°sP cos(b sinp) dp ar, 
0 


3 cbse sin (6 sinp) dp = 0. 
oO 
480. Soit encore 


f(z) =H=lli— 2), dot SF’) == 


I— 2 

La fonetion et sa dérivée deviennent infinies pour la 
valeur z =1 dont le module est 1. I] faut donc, dans la 
formule (II), supposer r<1. D’ailleurs en faisant croitre p 

» SUP} 

dune maniere continue depuis une valeur quelconque of 
jusqu’a la valeur «+ 27, la fonction 1(1—z) repren- 
dra pour p = @ + 27 la valeur qu'elle avait pour p = @. 

Kin eflet, posons 

qe o (cos 8 ~ ¥ —1'sin 6), 

o ct serout déterminés par les équations * 


pcos0 =1--7.cosp, psin? = -—7rsinp; 


TRENTE-NEUVIEME LEGON. 27 
on en déduit 


p=-+ VI— 2rcosp + ae 


I— rcosp — rsinp 
Cosa —— » ‘$in@ = f . 


/ 9 eR ee ee 
D2 COS Be 7 Vi—2rcosp +7 


On connait donc cos@ et sin§ en fonction de p. Si lon 
donne a p une premiere valeur arbitraire a, ona, par ces 
formules, la valeur de cos6 et celle dg sin@ auxquelles 
correspondent une infinité de valeurs de Tare 6. Choi- 
sissons a volonté une de ces valeurs que nous désignerons 
par 6. En faisant croitre p d'une maniére continue depuis 
a jusqu'a a+ 27, les valeurs de cos@ et de sin@ va- 
rieront par degrés insensibles, et redeviendront, pour 
p=a«+ 7, égales a leurs valeurs initiales pour p =a. 
Par conséquent, !’are @ variera aussi d’ane manieére con- 
tinue a partir de sa valeur initiale € qui correspond a 
p =a, et quand p atteindra la limite supérieure « + 27, 
@ sera revenu a sa valeur initiale 6, ou bien il en diffé- 
rera d'une ou de plusieurs circonférences. 

Mais sil’on suppose r<c1, je dis qu’on aura 8 = 6 pour 
p=a-+ 27 comme pour p = 2; car la formule 


I— rcos 
cos § = “is 


Yes 2rcosp--r 


fait voir que si l’on ar<1, cos@ reste positif pour toutes 
les yaleurs de p. Done l’extrémité mobile de l’are varia- 
ble 6, mesuré a partir d’une origine fixe sur un cerecle, se 
trouvera toujours dans le premier ou dans le quatricme 
quart de cercle, et puisque son sinus et son cosinus re- 
prennent pour p=2-—+ 27 leurs valeurs pour p=, 
l’arc 6 lui-méme reprendra pour p = % + 27 la valeur 6 
qu'on lui avait assignée pour p= 2. 
Ayant posé 
i— z= p (cos) + V—i sing) = ne, 


ona l(i— z) = 1p + 9y¥—-1, 


28 COURS D ANALYSE. 


et Ja formule (IT) nous donne 


27 Y Ms 
oak (Zp + 9V—1) dp, 
i 


équation qui revient aux suivantes : 


27 
{ 1(V¥1— 2rcosp + 7°) dp =o, 
10) 


oJ 


27 . 
—rsinp 
are foes oe et Gp =O. 
% 2 ia OSD 


DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS. 


A481. M. Cauchy a fait servir la formule (1) au déve- 
loppement des fonctions en série et il en a déduit les 
conditions sous lesquelles ces développements sont con- 
vergents. I] est arrivé ainsi a ce théoréme remarquable : 

Une fonction F(x) @une variable x réelle ou ima- 
gmnaire peut etre développée en série convergenle SUi- 
vant les puissances entieéres et positives de x, tant que le 
module de x est moindre que celui pour lequed la fonction 
ou sa dérivée premiére devient infinie ou discontinue. 

D’apres ce théoréme, pour la démonstration duquel 
nous renyerrons aux ouvrages mémes de M. Cauchy, les 
fonctions 

o~ Simot co ree25., Gos (i.e) 
ne cessant jamais d’étre finies et continues , seront tou- 
jours développables suivant les puissances ascendantes 
dex. Mais les fonctions 


J Py A 


Oo otreppeseeesd o Lla. tet) Aree ay 
es ee ie VE — 2 


et leurs dérivées cessant d’étre continues quand le module 
de w devient égal a Punité, ne seront développables que 
si ce module est moindre que Vunité. Les séries obtenues 
pourront devenir et deviendront en effet diy ergentes.§ si le 
module de x surpasse Punité. 


TRENTE-NEUVIEME LEGON. 2G 
I 


=a 7 . = I : . 
Enfin les fonctions |x, e*, cos — devenant discontinues 
ae 


avec leurs dérivées pour «=o et par conséquent lorsque 
le module de x est le plus petit possible , elles ne seront 
jamais développables en séries convergentes ordonnées 
suivant les puissances ascendantes de x. 


482. Les dérivées des fonctions que nous venons de 
nommer deviennent infinies et discontinues en méme 
temps que ces fonctions. S’il en était toujours ainsi, on 
pourrait, dans l’énoncé du théoreme général, omettre la 
condition relative a la dérivée premiére ; mais on n’a pas, 
a cet égard, une certitude suffisante. 


DES INTEGRALES EULERIENNES. — DEFINITION. — PROPRIE- 
TES DE L INTEGRALE DE PREMIERE ESPECE. 


o 
483. On nomme mntégrale eulérienne de premiére es- 
5 h 
péece et l’on représente par B (p, qg) lintégrale 


. 


1 
ii xP! (1 — x)I-'dx, 
oO 


dans laquelle p et q désignent des nombres positifs. On 
verra, comme dans une autre oceasion (455), que Pinté- 
grale précédente auraitune valeur infinie si p ou q était 


négatif. : 
On nomme intégrale eulérienne de seconde espéce, 


expression déja considérée (455, 458) 


(ee) Be n—1 
I 
T (72) =i Cr Ee aT ae ( =) nhc 
0 oO a 


484, L’intégrale de premiere espéce peut se mettre sous 


lune des deux formes 


Tw 
re) Ey v7 = 
if Be ae, ae sin??—' §cos?7—'6.d6, 
Gee 0 
en posant © =~ e 5 dans le premier cas, «=sin’ 0 dans 


le second. 


30 COURS D ANALYSE. 
485. L’intégrale de premiére espéce est une fonction 
symétrique de p et deg; car sil’on pose rm =1— y, ona 


i p-! 
B(p,9) =a! (: =| yt'dy = B(q; Pp). 
(8) 
On a done 
B(p, 7) = B(q,p) 
486. On peut diminuer d’une unité chacun des expo- 
sants p etq. Car, en intégrant par parties, ona 


xeii—ax\t 
f #0 -a)tae pitch biids fero-artne dx 
q 


q 


P(t — ax)! j 
=a ef ermal 2 fat (1m ait da 
q q q 


on aura done, en prenant pour limites o et 1, 


D D 
B(p +1, q) = 7B (p. 9) 2 Bip +15 4)5 
D 


dou Bilp ag) eo bp 
(7 Ss gy ee 


on aura de méme 


. 


q 
B(p,g +1) = ——B : 
(Pg +1) Paar (P>9) 


RELATIONS ENTRE LES INTKGRALES DE PREMIERE ET DE 
" SECONDE ESPECE. 
A87. ‘Toute intégrale de premiére espéce peut s’expri- 
mer au moyen de deux intégrales de seconde espéce. 
En effet, si dans Vintégrale ['(p) on change x en y?, 
on aura 


ne 
Epis 2{ CP. yee dy. 


ie) 


Lie e) 
On aura aussi V'(qg)= of ent! dars>> 


oO 
»0O i) 
done V(p)T(q) = 4 i i BOO Pa thet dia ey 
oO oO 


Le second membre représente le volume compris entre 
la surface qui a pour équation 


me a ae og aL 


TRENTE-NEUVIEME LEGON. St 
et les plans coordonnés; en prenant des coordonnées po- 
laires 7 et 0, ce volume sera encore représenté par 


a 


Or le premier facteur est égal 4 B(p, q) (483), et le se“ 
cond a (p+ q); ona donc 

U(p)U(q)=Bl(p,q) (p+), 
dou ¢ 


—U(p)T(q) 
(1) HP OS rie aa 


yA 


oa) 
sin??—' @ cos?7—'§6.d6 < 2 { CT edi drs 
16) 


s 
488. Si dans le premier membre de Péquation précé- 


u“ 
dente on pose x =) on aura 
a 


Ss 
? 


if uP" (@=-u)i-' du _ iT (p) 0 (9), 


Bere rs ge AP) 
d’ou 
5 V(p)v(q) 
) [ BP (arn da a= aha 
J/0 Vip+t q) 


INTEGRALES MULTIPLES QUI S$ EXPRIMENT A L AIDE DES 
Fonctions |. 


489. La formule (2) est un cas particulier d’une for- 
mule plus générale au moyen de laquelle on exprime par 
des fonctions T Vintégrale multiple 


fe ee nar te .(a—a2—y—z ..}'dudy dz..., 


étendue a toutes les valeurs positives de x, y, Z,..., qui 
satisfont a l’inégalité 
eoeytot+...<a. 
En effet, en se bornant ‘trois variables, pour fixer les 


idées, soit 


a : a—x rit—X—Y 
a= ede | yridy | 2'~" (a—a—y —2)s“'dz. 
oO fa) : e) 


32 COURS D’ANALYSF. 
Jintégre d’abord par rapport az, et j'ai pour résultat 


Asi EN ED) 
r(r+s) 


(tengo) 


Multiplions par y?~'dy et intégrons par rapport a y de- 
puis y = 0 jusqu’a y = a — x, nous aurons 
r(qg)Vir+s) P(r) T(s) 

Viq+ r+s) D(r-+s) ‘ 
RYOHO 


ou (a = ic) T(q+r+s) . 


(a EROG y  Bege aeh 


Enfin, multiplions par x?-'dx et intégrons de x=oa 
; Pp Pp 8 
eG At vient 
(1) Aogpaprtrct APOE CDE) EASY, 
uN ee dna figs) 


Si dans cette formule on fait s =1, a =1,0n aura 


al [eure dx dy dz = : \) Ea) e (7) om 
, V(p+q+r+1) 


Vintégrale du premier membre étant prise pour toutes 


les valeurs positives de x, y, z qui satisfont a Vinégalité 
B+ Y +21. 


49). De la on déduit la valeur de l’intégrale 


p= ff or 2’—'duady dz, 


étendue a toutes les valeurs positives de x, y, z pourles- 


xv\¢ 8 ¢ 
quelles la somme (2) a (5 ae ‘ek reste inférieure 


ou au plus égale 41. Car, en posant 


x \ % y\B8 Z\7 
Gyae Gy =~ (ys 


Vintégrale cherchée devient 


li q 


P 
ak bic’ (- ekio Sap boa 

ff fe nb er dé dndt, 
aby Th « 


TRENTE-NEUVIEME LEGON. 2) 
avec la condition § ++ £<1. Done 


(2) seein a) 13) 


cas eae 


APPLICATIONS A LA RECHERCHE DES VOLUMES ET DES 


# 


CENTRES DE GRAVITE:. 


491. La formule (2) permet d’obtenix le volume compris 
entre les plans coordonnés et la surface dont Péquation est 


r= Gh 

a b c 

Pay exemple ,en faisantia-—- 6 = = 9)" p Sg Sr 1, 
Vintégrale désignée par B (490) représentera le volume V 


du + de l’ellipsoide dont les axes sont 2a, 26, 2c. On aura 
done , 


mais (456) 1 (3) =8 (3) =84(2), 


ailleurs (487, 466) 


donc v= 


492. Sil’on demande les coordonnées x,, y;,, 2; du cen- 
tre de gravité de ce volume, il faudra prendre la formule 


VWenic= ie 


St lon aura, en faisant 7 —y—2, p= 2, g==r—=1, 
y a bert (a) Tia? ze Ge 
ee mers, | Le = 
> 4 F 3 
d’ou UW Bas 
3 3 
on trouverait de la méme maniere y; = re by = 5 0. 


I. 3 


34 COURS D ANALYSE. 


QUARANTIEME LECON. 


Intégration des différentielles totales des fonctions de plusieurs variables. — 
Condition d’intégrabilité et intégration dans le cas de deux variables. 
— Extension au cas d’un nombre quelconque de variables.— Integration 


des équations différentielles, — Equations du premier ordre. — Sépara- 
tion des variables. — Equations homogenes. — Equations rendues ho- 
mogeénes. 


CONDITION D INTEGRABILITE DES FONCTIONS DE DEUX 
VARIABLES. 


493. Intégrer une expression différentielle de la forme 
Mdx + Ndy + Pdz..., cest chercher une fonction de 
X,Y, Z,--., dont cette expression soit la différentielle 
totale. 

Une différentielle relative 4 une seule variable a tou- 
jours une intégrale (I, 316); il n’en est pas toujours 
ainsi d’une fonction différentielle de plusieurs variables, 
et certaines conditions doivent ¢tre remplies pour qu'une 
telle expression soit la différentielle totale d'une fonction. 
En etlet’, stu== (2-97) 20m. 


Tu Ran 
tu = — dx a 
du Fr pane dy, 
Pak a 
zr ay 
eu —— 
dy dx 


mais si l’on désigne par Mdx +Ndy la différentielle 
totale de la fonction uw, on aura 


d 
rie Ae een 
dx dy 
done 
dM dN 
I ——_- — 
( ) dy dx 


L’expression Mdx + N dy ne pourra donc éire intégrée si 
la derniere relation n’a pas lieu. 
5 


QUARANTIEME LEGON. 35 

494. Si cette condition est remplie, Mda + Ndy sera 

la différentielle totale dune fonction u. En d’autres ter- 
mes, il existera une fonction u telle, que l’on ait 


du du 
dx. dy— ‘ 

En effet, cherchons, si cela est possible, une fonction 
u telle, quel’ on ait ; 


(1) : du = Mdx + Nay. 


/ 


La fonction cherchée devant avoir M dx pour différentielle 
par rapport a x, sera égale al’ Jintégrale de Mdx aug- 
mentée d'une quantité 9 (y) indépendante de x, mais 
fonction de y ; u sera donc de la forme 


vo 
= | Mdx + 9(y)=+-+ e(y); 


ev 


‘en posant y= [ Max. 


: ; : te du ee 
Il reste a déterminer 9 (y) de maniére que — =N. Or 


dy 
ona 
du dv d.9( v0 
dy dy dy 
d.9(y) do 
est = N — —. 
d’ou eF, iy 


: : de : A 
On voit par la que N — re ne doit pas contenir x. On 


aura done 
aN dv 
ae 
= 0 
dx u 
Fi dv 
dN dy dz dM 
ou —— = SS 


dx dx dy dy 


On retrouve ainsi la condition 


5 dN dM | 
ie ey dy 


‘¢ est-a-dire 


36 COURS PD ANALYSE. 


si cette condition est remplie, on aura 


» par suite, 


(2) fea a4) dy. 


EXTENSION AU CAS DE PLUSIEURS VARIABLES. 


495. Soit 
Mdzx+Ndy + Pdz=du, 


du du : du 
ges M, oF ==aNg eee 
on aura 
du du Git naw du dui 
C c a a { — gh 
dz _' dy dx __—- dz ay yas 
dy — dx y dz dx ‘ dz dy “ 
ou bien 


1) dM aN dM_ dP dN dP 
ve Fite coe le ee ee a 
Telles sont les conditions que doit remplir la formule pro- 


posée pour étre intégrable. 

496. Réciproquement si ces conditions sont remplies, 
je dis que la formule proposée est intégrable. En effet, 
cherchons une fonction wu telle, que 
(1) du == Mdx + Ndy + Pdz. 

Puisque Ja différentielle de u, par rapport a x, doit étre 
Md, on aura 


or | Mdz-+ 9(y,2) =0+ 9(y, 2) 5 


en posant y= f Mdx, 


Maintenant il faudra que Yon ait 


du du 
ise Nie ee 
dy : dz 
« est-a-dire 
dv de do do 
— —_ = — Se a 
ay dy ; dz ay 


QUARANTIEME LEGON. 37 


: Z ) : ; 
ou bien See iy ee a BEL i ted ig 
dy ay — dz dz 


Or — et ad ne doivent contenir ‘ hy 
aoe enir que y et z, par hy- 


pothése ; donc on aura : 


dx hy ax oo 
ou 
dN dM dP aM 
{2.) SS 5) —_ = — + 
dx dy AG gt 8AZ 
4 
Kn outre, la fonction 9 doit satisfaire a la condition 
ro d. as 
By dz 
be dia 9 
Lo ) 
a(x— 2) a(p—) 
dy Zz 
on aura donc = ou 
z dy 
iG dN dP 
(3) ds. dy 


Si ces trois conditions (2) et (3) sont remplies, il 
existera une fonction de y et de z telle, que 


] ‘an de d (p dv F 
Re ray eae Say OA 
et Pon aura uo+. 


497. La méthode que nous venons employer s’étend a 
n(n —t) 


un nombre quelconque de variables. En général 


est le nombre des conditions nécessaires et suflisantes 
pour lintégrabilité d'une formule, 7 étant le nombre des 


variables. 


498. Exemp es. 
I y? h ar I 
0 pees, a ee hiv Oe dy » 
1°, du == E a | wb i =y/ =| , 


Wee sokw 


u 


[1a sao alk om (22. 5.) oy =e 


38 COURS D ANALYSE. 


dM xy dN 
i 8 vy eho” 55 ie ey 
dy («—y} dx 
cae ) 
ef Mae =le+ +o(yr), 
Be ee 
dit Sey dy Se NE 
By EE ag ee 1 Oy ae ee 
ae : ly +e 
Be eae, eee =y—ly : 
dy aa 
qe See Gad eens 
w—Y yx 
ydx — xdy 
ONY. i umes 
ig a 
oF 
Solution : “== are tang ---c¢. 
‘fe 
Bee (y +2)da+(2+a4)dy +(a@+ y)dze= du, 
Solution : “wavy + xw+yoete. 
EQUATIONS DIFFERENTIELLES. — DEFINITIONS. 


499. On nomme équation différentielle du n° ordre 
une relation entre une variable, une fonction de cette 
variable et les dérivées ou différentielles de divers ordres 
de cette fonction jusqu’au 7’ ordre inclusivement. 


500. Une équation diflérentielle du premier ordre a 
deux variables sera done de Ja forme 


: ridy 
En la résolvant par rapport a 7,7 on aura une ou plu- 
C7 bg 


sieurs équations de la forme 
d 5 
=f\(a,y) ou Made +. Nay ='0; 


M et N étant des fonctions connues de x et de yy 


>. 


QUARANTIEME LEGON, 39 
INTEGRATLON DES EQUATIONS DU PREMIER ORDRE. — 
SEPARATION DES VARIABLES. 


501. L’intégration s’effectue immédiatement quand les 

= > , x . “12 
variables peuvent étre séparées, c’est-a-dire quand il’est 
possible de mettre l’équation sous la forme 


9()dz=¥(y) ay; 


fielerer= f4or) dy +e. 


, 
Crest ce qui arrive si V équation est de la forme 


on aura 


aye ree’ 
[Mom aua saver 


on sépare les variables en écrivant , 


tae dy 
x o) bepemaee . 
: (7) 
502. Exemp ves. 
ro. Bide yh dy = 0, 
m+| nt 
2 J == Oe 


Wael a 


Dee widy- =a Wi=ke a) anes 
celte équation revient a 
dy - :.dx 
Hei 2 
: I 
On en déduit (y+ a) =e—— 
- 
ou eat Clem, Ca) 8 
ays xy dx=(a—-x)(y—b)dy, 
4 —b xvdx 
Vou Var ca 
On en tire : 
y tla a) se, 


ho COURS D ANALYSE. 
EQUATIONS HOMOGENES. 
503. On peut encore séparer les variables lorsque I’¢- 
quation 
(1) Mdz + Nady =o 
est homogéne, cest-a-dire quand M et N sont des fonc- 


tions homogénes et du méme degré des variables x et y. 
On a, dans ce cas, m étant le degré de VPhomogénéité , 


M =a 9 (=) ven kte= anh (2) 


L’équation différentielle, divisée par x”, devient donc 


o) aha ee wo 


/ 
Si lon pose 


-~=52, dou; dy =a2dz + 2zde, 


‘Péquation (2) deviendra, en divisant par x[9(z)+z(z) |, 
dx b (z) dz 
ae 


z 9(s)+ep(z)? 


dou 
e+ {areata 
504. Exempuss. 
1°; ady — ydx = dx Va?+y. 
Cette équation est homogéne et du premier degré. En 
appliquant la méthode précédente, on la raméne d’a- 


bord a 
dx a dz 


ee Vea 


dou Von tire, en intégrant, 


lie == |e (s ++ Vit 2?) ; 


xX 
OU Crapeiange faa cen aaah fy 


Zo A eet 


‘ a te ; 
ce qui donne, en remplacant z par — et en faisant dis- 
az : ; = 


UARANTIEME LEGON. At 


paraitre le radical, 


(1) Roel oN 0 ea 


On parvient a Péquation différentielle que nous venous 


Fig. 109. 


@intégrer en cherchant a résou- 
dre ce probleme: Jrouver une 
courbe MNP felle, que le rayon 
vecteur OM soit égal au seg- 
ment OT compris entre Lori- 
gine et le point ou la tangente 
MT rencoytre Vaxe des y. D’a- 
pres l’équation (1), cette pro- 
priété appartienta toutes les pa- 


raboles qui ont pour axe l’axe Oy et pour foyer le point O. 


Oi. xrdx a 


On trouve 


la + 
I—2nz +2 


I 
ou | be ST ft rs Bing 


Dans le cas de n=1, 


Naa Qyde: 


zdz 
Sr! Cy 


: ndz 
2’) + MENG 
I— 27nzZ+ 2 


on arrive a |’équation intégrale 


3 
oe. : foe = Pas . 
ae 


En différentiant, ona 


3y? ady — y*dx 
9 


yan 


équation homogéne dont 


i 


Vintégrale est 


(2? — ye PSs? 


Ao. (ma + ny) dx 


Ona Co Sereepegarery 


fe (pz + qy) dy = 0. 
p + qz) dz 
N+ p je gz’ 


“== Cy, 


et Pintégration peut toujours s’achever. 


4a COURS D ANALYSE. 


EQUATIONS QUE LON PEUT RENDRE HOMOGENES. 


505. On peut quelquefois rendre homogéne une équa- 
tion qui ne présente pas ce caractere. C’est ce qui arrive 
pour l’équation 


(1) (a+ mz +ny)dx+(b + pr+ qy)dy =o. 


En posant 
rata, a ae 
ona 


(a+ma- ns + ma'+ ny’) da'+ (b+ pa+q6+pa'+qy')dy’. 


Il suflira, pour rendre cette équation homogeéne, de 
» | | § 
poser 
a +ma-+n6—=—0, 
b+ pa+q6t=o0; 
dot Pon tire 


bn — aq 


kip oa OP ae Oe 
mq — np mg — np 


ct il restera V’équation 
(ma! + ny’) da! + (pa + qy')dy' = 0. 
506. Cette transformation est impossible si mgq—np=o. 


np eee , : 
Dans ce cas, on a g= —> et Péquation (1) devient 
M2 


m(a+ mx + ny) dx + |mb + (max + ny) p| dy = 0. 


dz — max ; 
Se Prien 


On pose mx-+ny=2z; dou dy= 
- nm 


resulte 
dz — md: 
m (a -+- 2) dx + (bm + pz) mE =o 
awe 
(bm + pz) dz 


bm — an + (p— n)Z 


et max = 


équation ou les variables sont séparées. 

Si, en méme temps que mg —np = 0, ona Gias6, 
il faut que n ou p = 0, et les variables se séparent immé- 
diatement. ae 


QUARANTIEME LEGON. 4d 
507. L’équation (1) peut encore s’intégrer en posant 


atmx+tnysu, b+ priq=?; 

dou 
mdx +-ndy=du, pdx-+qdy = do. , 
Les valeurs de x, y,-dx, dy tirées de ces équations 
et substituées dans la proposée, conduisent a une équa- 


tion homogeéne en wu et v. 
f 


44 COURS D ANALYSE. 


QUARANTE ET UNIEME LEGON. 


Suite de Vintégration des équations du premier ordre, — Equations linéaires. 


Equations qui se raménent aux équations linéaires. — Probléme de 
de Beaune. — Probléme des trajectoires. —Equations du premier ordre 
et Wun degré quelconque. — Cas ot Vequation ne renferme pas les 


variables. — Cas ott ’équation peut etre résolue par rapport a Vune 
des variables. 


EQUATIONS LINEAIRES. 


508. On appelle équation linéaire du premier ordre 
une équation de la forme 


(1) SP Pye ; 


dx 


dans laquelle P et Q désignent des fonctions de x. Pour 
Piniégrer on pose 


TeLae 
dot l’on tire 
dz du 
(2) uw—+{—+Pu\z=Q. 
da dx 


On peut prendre a yolonté Pun des facteurs de wee 
posons donc 


j 1 
(3) = + Puxo. 
L’équation (2) se réduit a 
dz 
* a) 
(4) w= 9 
ai : lt AOS 
L’équation (3) donne = — Pde , dou 


u 
as — f rae, Ou w= eS Pa, ‘ 


On najoute pas de constante a cette intégrale parce qu il 
suflit qu'une valeur particuliére de wu satisfasse a Péqua- 
tion (een 


En remplagant uw par e~!?“" dans Véquation (4), om 


—~ 


QUARANTE ET UNIEME LEGON. 


aura 
dz 


Fa Genre aon 2 =) {tare dec, 
Pos 


et, par conséquent , 
/ Ny 
y etre ( [QeiPHar+e). 


/ 


509. Exemp ces. ‘ 
° dy 
iges As eat , . 
yee GE eltede 4-0) 
ou xy sce + oo — 32° +62 — 6. 
d 
Tice (+2?) — ay Sa. 
Ici . 
—ox aa ———— 
| es — Ln == |) 2. 
pees fe eS {Ss LV¥i+ 27; 
d: 
done eae eae : 
lie es 
: dx 
Mais ae = = 65 
(1 + 27)? Vito 
donc ymarteyi+ 2. 


EQUATIONS QUI SE “RAMENENT AUX EQUATIONS LINEAIRES. 


510. On ramene aux équations linéaires les équations 


de la forme 
dy 
dx 
dy ‘ 
ou a eee 


dx 


ote Pater APG." 


{—7n 


= 2h OU, Vy adie de on 
nv 


En effet, si Pon pose 


aura |équation linéaire 


46 COURS D ANALYSE. 
511. On peut encore opérer directement sur Péquation 
proposée comme on I’a fait au n° 508. En posant y = uz, 


on aura 


dz du 
u— +2(—+ Pu) = Qu2’, 
be 


équation qui se partage en deux, 


du aS Pp dz Q r—1 an 
— i= 0 Ss (AS Ee 
dx > dx 
On en tire 
dz 
= enJPae. a — Q e(i—n) fPde dx, 


zi? — (1— n) (fe e('—n)SPdr da 4 °) ’ 
et enfin 


yin (1— n ) ein—1)SPdx ( f Qe Giaee e} - 


512. On peut obtenir Pintégrale générale de léquation 


py Soeeon 
(1) et toe ae 


quand on en connait une intégrale particulicre. Soit u 
une fonction qui satisfasse a cette équation sans renfer- 
mer de constante arbitraire. Posons y = u + z, il vient 


du. dz - ; 5 
oot ge Po Ba Ou + 2Quz + Qv+R: 


mais on a, par hypothese , 


du 
—+ Pu=Qw+R; 


dx 


l’équation (1) se réduit done a 


(2) F + (P= 2Qu)2= Qs 


qu’on sait intégrer (510). 

Si l’équation renfermait une puissance de y supérieure 
d y*, la méme substitution ferait disparaitre R, mais 
elle introduirait de nouvelles puissances de z. 


QUARANTE EY UNIEME LEGON. 47 
S13. Exemere. L’équation 


d 
a ey ene 


est satisfaite par y = x et se raméne a l’équation ‘ 


PROBLEME DE DE BEAUNE. 


514. Trouver une courbe telle, que la sous-tangente 
soit & Vordonnée comme une ligne ,cpnstante est a la 
difference entre lordonneée et labscisse. 


L’équation différentielle de Ja courbe est 


> ff SF ace 
pope T= 
- wa vy af 
. Lae Pare ? 
ah 
GX a , TP. 7 
dy 3 1 le Oe 
ou Fee A sg 
Gime a 


équation linéaire et du premier ordre. En appliquant la 
formule du n° 508, on trouve pour son intégrale 
x 
yoetatece*, 
Cette équation se simplifie, quand on prend pour axe des 
Fig 110. ‘x' Ja droite qui a pour équation 
y e By ea 
Wa 
A 
en conseryant le méme axe des y: 
les formules de transformation 
- sont dans ce cas 


if ! 


9 Nit a 
he at Ayn hese 9, 
2 V2 
et l’équation de la courbe devient 
a! 
y= ec V2, 


PROBLEME DES TRAJECTOIRES, 


545. Frouver une courbe qui coupe sous un angle 


TP 


48 COURS D' ANALYSE. 


donné toutes les courbes renfermées dans léquation 


(1) Pe, y, a.) 0, 
a étant un parametre variable. 

Fig. 111. Soient x, y les coordonnées 
du point M commun a l'une des 
courbes AB et a la trajectoire 
CD, m la tangente de langle 
donné, enfin T et T’ les angles 
que les tangentes a la courbe AB 


FF 


et la trajectoire au point (x, y ) 
font avec laxe des x; ona 


tang T — tang T’ : 
1+ tangT tang T’ Ss 


n= 


dF 
s dy ‘ dx 
Mz tang T= — angT = — — ; 
Mais ung T Pe tang T rT 
dy 
done 
dF dF 
dy dx dy dx 
BT eda Sa 
y dy dy 


ou encore 


(2) m d¥ dF dy ud Tope dy 
dy dz dx} dx dy Sain 


L’élimination de a entre les équations (1) et (2) donnera 
Péquation différentielle du lieu. 


516. Soit, par exemple, 


Sy as He 
On aura 
é r= De dy d 
m \ ry Apa Opa! nye aay 
lax | } ax . 


En éliminant a, apres ayoir multiplié la derniére pe 


QUARANTE ET -UNIEME LECON, 49 


x, on aura, 


m oe Aik Sel 
\ ate ete get 
dy 
ou (mpy — rx) — + mnx + py =o, ; 


équation homogéne que l’on sait intégrer. 

En particulier, si l'on suppose n =‘p = 1, c’est-a-dire 
si Pon demande les trajectoires des droites représentées 
par l’équation 

INSPey 


Véquation diflérentielle sera ee ( 
m (adx + ydy)+ ydx — xdy = ©; 


en divisant par &? + y° et intégrant, ona 
aoa y 
m1 (x? y?)? =c are tare 2 


et en prenant des coordonnégs polaires , 
a 
mir=# cbs ¥ 
cd 


ou m 
Vee (CP ne 


Donc les courbes qui coupent sous le méme angle toutes 
. J , e . bl . . 

les droites ntenées par l’origine sont des spirales logarith- 

miques ayant cette origine pour point asymptote. 


517. Le probléme des trajectoires se simplifie quand 
Vangle donné est droit. Dans ce cas, les trajectoires sont 
dites orthogonales. L’équation différentielle s’obtient 
alors en éliminant a entre les deux équations 


dF dF 
F(a, y,@)=0, a ao is dk wade 


Ainsi dans l’exemple du n° 546, il faut éliminer a 


entre les équations 


dy 
We ena hye ot paar ig == 0%, 
ce qui donne l’équation 
Eon 
nx + py et 0, 
IE. 4 


RLS) po COURS D ANALYSE. 


dont lintégrale est 
naz -- py? = c¢. 


Suivant que 7 et p seront de méme signe ou de signes 
contraires, cette équalion représentera une infinité d’el- 
lipses ou d’hyperboles semblables et concentriques. 

Si l’on se proposait de chercher les trajectoires ortho- 
gonales des courbes données par |’équation 


Tee yi 
on devrait évidemment retrouver les courbes 
Nate sh ae 


dans lesquelles @ serait une constante arbitraire. 


EQUATION DU PREMIER ORDRE ET DUN DEGRE QUELCONQUE. 
— CAS OU L’KQUATION NE CONTIENT PAS EXPLICITEMENT 


CET ay. : 3 
& 
BAS. Sort 


dy 
ou, en posant ro =P, 
Ax 


Bias yp) =o 
une équation différen tielle du premier ordre et. d’un degré 


. dy 5 : » 

quelconque par rapport a a S’il est possible de la‘ ré- 
Ax 
dis : ; 
soudre par rapport a Fz? OH aura une ou plusieurs équa- 
RoC: 
. . 2 - > A ye , | 
tions du premier degré que Von tachera dintégrer. 
549. Si Péquation se réduit a 
F(p)=o0, 


et qu'on puisse la résoudre par rapport a p, on aura 
plusieurs valeurs de p : 


wee. =i) es 
Pay PP Se ei Oe 


F QUARANTE ‘EY UNIEME LEGON. 5a 
de 1a les solutions ; 
Pee AE Oy. Sys ot! tet oe 
comprises dans |’équation unique 
(y—ax—e)(y—a’x—e')(y—a"x—c’). 5 Ola 
On ne diminue pas la généralité de cette intégrale en 


admettant que la’ méme constante arbitraire ¢ entre dans 
tous les facteurs ; ?équation précédente peut-alors s’écrire 


(ea Gass 
x x 


emt 
ou bien EF is “) 06, 


a 


résultat qu’on obtiendrait encore en éliminant entre les 
équations 


i dy\? 
; le. —)—a=0 
Exemple ee a : 
mn SH 2 
on aura G - ) — @= 0, 
dot y srhart+e. 


EQUATIONS QUI NE RENFERMENT PAS LUNE DES VARIABLES. 


520. Supposons maintenant que I’équation différen- 
tielle ne renferme pas y et qu'elle soit de la forme 


d : 
F (F +) =o. 
dx 


A ; \ dy Ce bel : 
iV é , ay ‘ — eten tirer’ 
Si Pon peut la résoudre par rapport a Fz ote 


on aura ¥ = ff) dx, et le probléme sera ramené a 


une quadrature. 
Exemples. 


Ld ayy, > 
1° , (34 —— Ot == O. 
: da 


oS 
e 


52 COURS D ANALYSE. 


On en tire 


dy — 
at Vax, 
vee 2 — 
sak f Varde =a 3 2 Var+ a 
} 
ou ; (y —c— -azx*=0. 
Ly? d 
a0 Si (a+ 2) S + arso. 


On déduit de cette équation 


d dy 
ae 7 =y —= 
dou les deux solutions 
a 
) a0 -- Cc, EBS vam 


521. Si l’équation ne peut pas étre résolue par rapport 
ap, mais qu’on la puisse résoudre par rapport a x, on 


aura 

(1) a=f(p), 

dot dy == pda = pafi-p), 
r= = pdf (p) +6 

ou 

(2) =v p)— [F.0) )dp +e; 


on aura eae en éliminant p entre les équations (1) 


522. Si l’équation diflérentielle ne contient pas x et 
qu’on puisse la résoudre par rapport a y, on aura 


we d. I (p) J (Bap. 


‘y 27 Pig de 
Ps 


dou me foe f (p) lap + ¢ 


QUARANTE ET UNIEME LEGON. 53 


> | : * A 
AS OU LEQUATION PEUT ETRE RESOLUE PAR RAPPORT A 
LUNE DES VARIABLES. 


° - . . . 4 
523. Si l’équation contient x, y et p, et qu’elle puisse 
se résoudre par rapport a lune des variables, y par exem- 
ple, en sorte que l’on ait ; 


on aura 


d d 
dy ou pdx = es ax a1 dp. 


4 
Si Von peut intégrer cette équation, qui est du premier 
ordre et du premier degré, la relation cherchée s’obtien- 
dra en éliminant p entre l’équation intégrale et l’équation 


y=f (x, p). : 
524. Prenons pour exemple ]’équation 
{1) y=af(p)+9(P) 


qui ne renferme x et y qu’au premier degré. On a 
oe af'(p)dp + f(p) dz + ¢'(p) dp 
NERY 9 e(P) 
ou Daeg oc Ea ip See ESE 
i F(P) =P FP) =P 


équation qui donne 

St" (p)dp fitp)dpt .- 
yan SHES fyi SPS. | 
; S(p)—# 


En éliminant p entre les équations a et (2), on aura 
Vintégrale demandée. Ordinairement cette élimination 
n’est pas praticable, parce que l’équation (2) contient des 
fonctions transcendantes de p; mais alors en donnant a p 
une suite de valeurs arbitraires, les équations (1) et (2) 
détermineront les valeurs correspondantes de x et de y. 


525. Quand f (») =p, Péquation (2) devient illusoire. 
Mais dans ce cas l’équation (x) se réduita 


(x. Y= pe+ (P)s 


/ 
Rtyy / o 


54 COURS D ANALYSE. 


et en différentiant par rapport a p, on aura 
pdx == pdx + xrdp +. y! (p) dp, 
dot : dp([x«+ 9’ (p)}=o. 


Cette équation peut étre satisfaite de deux.manieres’: 
1° en posant 
dp=0, Wot pe; 


el, par suite, 


(8) yer tele); 


2° en posant 


ppp * z+9'(p)=0, 


Vou, en éliminant p entre (a) et (7), on aura 
(3) ~ peat (2) +o ft(e], 


relation qui ne contient aucune constante arbitraire et 
qui n’est'pas comprise dans la: premiere solution 


ymer+yq (ec). 
C’est ce que You nomme une solution singuliére. 
526. Les droites représentées par lVintégrale 
y aor +9(e) : 


sont tangentes 4 la courbe (0). En effet, si l’on prend sur 
Ja courbe un point (x, y) correspondant a une valeur ar- 
bitraire de p, ona 


ge t : ap 4 
dy TRL (Plz =P. 


Donc, en donnant & p une valeur quelconque c, on 
eee: dy 

a pour ce point de la courbe y = cx + ¢ (c) et =e 
x 


Done la tangente en ce point est la droite qui a pour égua- 
tion y==cx + 9 (c). ’ 


. QUARANTE ET UNIEME LEGON. 55 

527. Nous avons dit que la deuxiéme solution ne pou- 
vait pas étre déduite de Vintégrale générale en donnant A 
-Ja constante une valeur convenable. Cela suppose que 


g'(p) nest pas constant. Si o'(p) était égal A une con- 
stante 6, on aurait 


z+b=0, 


solution comprise dans lintégrale agcnérale en y fai- 


sant c= © et Shah we b. 
CG 


56 COURS D ANALYSE. . 


QUARANTE-DEUXIEME LECON. 


Suite des équations du premier ordre,— Existence de lintégrale d’une equa- 
tion différentielle du premier ordre. — Existence d’un facteur propre a 
rendre intégrable le premier membre de Véquation. — Determination 
de ce facteur. 


TOUTE EQUATION DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE 
ADMET UNE INTEGRALE. 


528. Toute équation diflérentielle du premier ordre 


= Ceo) ou Mdx +Ndy =o 


admet une intégrale contenant une constante arbitraire , 
cest-a-dire qu'il existe toujours une équation conte- 
nant x,y et une constante arbitraire, telle qu’en la diffé- 
rentiant et éliminant la constante, on retrouve Péqua- 
tion proposée. 

En effet, Pintégration de l’équation proposée consiste 
a trouver une fonction de x, désignée par y, telle, que sa 
dérivée soit égale a f(x, y), ou, en d’autres termes, telle, 
quen donnant a x l’accroissement infiniment petit dx, 
Paccroissement correspondant dy soit égal a f (x, y) dx. 
Puisque l’équation différentielle dy = f(x,y) dx ne 
détermine que l’accroissement de y, on peut se donner 
arbitrairement la valeur de y pour une valeur particu- 
liére de x. Si Yon prend y= pour x=a, f(a, b)h 
sera laccroissement infiniment petit de y lorsque x pas- 
sera de la valeur a 4 une valeur infiniment voisine a + h. 
En posant 


ath=a et. b'=b+ f(a, b)h, 


f(a’, 6’) h sera de méme Vaccroissement de y lorsque x 
passera de aa a’/-+-h. En continuant ainsi a faire croiire x 
par degrés insensibles jusqu’a une valeur quelconque,’ 


Or 


QUARANTE-DEUXIEME LEGON. 7 
Péquation différentielle déterminera les accroissements 
successifs de y, de sorte que la valeur de y correspondant 
a chaque valeur de x sera complétement déterminée. Par 
conséquent y sera une certaine fonction de 2, et cette 
fonction dépendra nécessairement de Ja consiante abe 


traire b ; ce qu il fallait démontrer. 


+ 

EXISTENCE DUN FACTEUR PROPRE A, RENDRE DIFFEREN- 

TIELLE EXACTE LE PREMIER MEMBRE D'UNE EQUATION DU 

PREMIER ORDRE. 

Pd 

XX , , 5p 5 Aad a 

529. On a démontré que l’équation différentielle 
(1) Mdz + Ndy =o 
admet toujours une intégrale contenant une constante 
arbitraire c. Cette équation intégralegrésolue par rapport 
ac, prendra la forme 
(2) ie 
u étant une fonction de x et de y qui ne renferme pas c. 
On tire de l’équation (2) 


du 
du du ea iy: dx 
et G v= Wot ree or 
dy 
SE Saee dy M ; ne 
Or Péquation (1) donne — [a i On doit done avoit 
Ax L 
du F 
dx M 
i) ee 
dy 


Cette équation doit étre identique, car sil en était au- 
trement, elle établirait entre les variables une relation 


en vertu de laquelle y serait une fonction de x sans con- 


- te Cae 


stante arbitraire, puisque M, Som ae FP nen contiennent 


pas. Or, & cause de l’équation u=c, y doit dépendre de x 


et de la constante c 


\ 


58 COURS D ANALYSE, 


L’équation (3} peut étre mise sous la forme 


dus du 
+ BS, 
M N j 
en désignant par v chacun de ces quotients. On tire de la 
du du ¥ 
Fileghay ate) 
donc du=e(Mdzx + Nady). 


Ainsi, i existe toujours ur facteur v, fonction de x 
et de y, propre a rendre le premier membre de lV’ équation 
une differentielle exacte. Quand on saura trouver ce fac- 
teur et Vintégrale u de v (Mdx + Ndy),u=c sera lVin- 
tégrale cherchée. 

930. I existe une infiniié de facteurs propres arendre 
le premier membre de léquation (1) une différentielle 
exacte. En effet, si nous multiplions Jes deux membres de 
Péquation 

e(Mdax+ Nady) =du, 

par une fonction queleonque de u, (uw), il vient 

ey (w)(Mdx + Ndy) = 9(u) du =dfo (u)du. 
Ainsi le premier membre de |’équation est encore une 
différentielle exacte et le facteur v 9 (u) jouit de la méme 
propriété que le facteur v. 

ExempLe. xd y — ydx = o. Cetle équation donne 
dy dx 


45 ¥ 
—=—, dour yer on =~=c=u. 
¥ mp 2 > 


Le facteur le plus simple qui rend xdy — ydx une dif- 


ms . ree z 
férentielle exacte est donc —- Tout autre facteur est de la 
a” 
hala oe 
forme — 9 (2): 
RE OS 
4 - r a if , 
Ainsi 9 (uv) = u donne le facteur + et l’ona 
& 


rydy— Far ,? 
| 


x“ 


4 


QUARANTE-DEUXIEME LEGON. 99 


I I 
 (w) = — donne le facteur — 
i xY 


dy ax : 
et —— — = d. 1 . 
a x 6 ; 
1 e 
9 (u) = donne le facteur 
: I+ CT a 
ad y — ydxr e 
et oe bw tang? 
x. 


wy? 

Sols Reciproquement tout facteur V propre a rendre 

Mdx+ Ndy une différentielle exatte est de la forme 
vg (u). En effet, soit 


V(Mdc+Ndy)=dU: 
ona 0(Mdx + Ndy) = du; 
e 


V 
done dU = — du.’ 
v 


Cette relation équivaut aux deux suivantes : 


1) dU  Vdu dU_Vdu 
(7) ee Ts 

Soit u =f (x,y). Si l’on tire de cetie équation la va- 
leur de y en fonction de u et de x et qu'on la porte dans 


la valeur de U, on aura 
U=4 (4,2): 
Différentiant cette équation, il vient 
au _ dy de 3 


Sita See ce 


dx” du dx dx 
dU dv du 
, dy  dudy 
En ayant égard aux relations (1), ces équations donuent 


APE a dod 


—— => 
du 0 daz 


Cette derniére relation montre que x nentre pas expli- 
. 2 , . dy 
citement dans la fonction /. Done & et par suite — ou 

- % all 


60 COURS D ANALYSE. 


V 5 : 
~ sont des fonctions de u et Von a 
5 


~ = elu) 


0 
OU 


. 


(2) V=vo(u); 


ce qwil fallait démontrer. 


532. On peut encore établir ce théoréme de la maniere 
suivante : 

Pour que l’équation différentielle soit satisfaite, il faut 
que x et y varient de telle sorte, que l’on ait u=c, 
on aura alors du = 0 et par conséquent dU =o a cause 


de la relation dU = 5 du. Il suit de la que U devea: tou- 


jours conserver la méme valeur tant que wu conservera 
aussi sa valeur c,ce qui ne pourrait avoir lieu si U étant 
mise sous la forme / (uw, x), x restait explicitement dans 
la fonction. 


533. Le principe sur lequel repose cette seconde dé- 
monstration peut étre généralisé : u, U, q étant des fonc- 
tions d'un nombre quelconque de variables, sil’on a 
dU = qdu, on aura Uo (u); car en éliminant une de 
ces variables, x par exemple, on pourrait écrire 

Oe te A 
Or, pour toutes les valeurs de x,y, z,... qui conservent 
au une valeur constante, on a du = 0 et par conséquent 
dU =o, ce qui ne pourrait avoir lieu si y,z,... entraient 
dans la fonction 9g. 


O34, Si deux facteurs V et vy rendent différentielle 
exacte M dx + N dy, leur rapport égalé a une constante 
sera Vintégrale de Véquation 

Mdx +-Ndy =o. 


: V 
Car de ee Ob wntetcetc 
5 


On tine fu == ¢. 


QUARANTE-DEUXIEME LEGON. or 
DETERMINATION DU FACTEUR V. 


535. La condition nécessaire et suflisante pour que 
v (Mdx + Nady) soit une différentielle exacie est 


d.oM _ d.oN 
dy ” dx 


3 


ce qui revient a l’équation ; 


de 
(1) head aoc ane dM _ aN . 
dx dy dy ax 
27 


Quoique la résolution de cette équation soit en général 
aussi difficile que celle de la proposée, elle peut cepen- 
dant dans quelques cas servir a trouver le facteur v : 

1°. Si » ne doit dépendre que d’une seule variable, 


dy 5 2 : 
x par exemple, ona T= 0 et Péquation (1) se réduit 4 


Ly 
dM dN 
td — dy i dz 
2) dp se me 1 


Par hypothése, le premier membre ne dépend que de x; 
donc on doit avoir 
dM dN 
dy dx ? 
Ol Bs df 
—& = f(x) 
Cette condition est suffisante; car si elle est remplie, on 
satisfera a l’équation (2) en prenant 


¢ — eS f(2) ae, 


Le calcul est plus simple si l’on suppose N =1, c’est-. 
a-dire si l'on met V’équation proposée sous la forme 
dy +-Mdx=o, ce qui est permis. On doit alors avoir 

Ch. ee 
ye 


dou M—=Py +Q. 


fae) pe 


y+ + 


62 COURS D ANALYSE. 
L’équation devient 
LS By of 
a "0s 
dz J R p 


Ul sufht donc, pour rendre cette équation intégrable, de 
la multiplier par e/?*. On a 


eC), 
elds 7 4. PyelPe QelPdr —o; 


aX 
dou eS Pde y 4 fe elPde dy = @, 


Crest le cas de l’équation linéaire (508). 
2°. Si le facteur » est de la forme XY, X étant une 
fonction de x, et Y une fonction dey, on a 


do aX dp p am 


SS ES Y pee —— Dia, 
dx dx’ dy 5 dy E 
et l’équation (1) revient a 


dX dY _dM aN 
Xdx Yay dy dx 


Nae ? (x) a Ydy = b (y) ; done 


aME AN, pga 
dy dx e(z)— Md (yx). 


Si cette condition est remplie, on aura 
Kia POG. “Yo eo er: 


536. L’emploi du facteur » redonne les méthodes précé- 
demment exposées : ainsi la séparation des variables dans 
Véquation 

XY dx + X,Y,dy=o0, 
ou X et X, désignent des fonctions de x, et Y, Y, des 
fonctions de y, revient 4, multiplier |’équation proposée 


le facteur ——- 
par e yacteur XY 


La transformation employée dans l’intégration de I’é- 
quation homogeéne revient aussi ala détermination d’un 
a) ¢ 


QUARANTE-DEUXIEME LEGON. . 63 
facteur qui rend le premier membre intégrable. En effet, 
l’équation (2) du n° 503 n’est autre chose que l’équation 


proposée divisée per a"t*[o(z) + 2b (z) |. En rempla- 
cant Zz par 2, xng (2 *) par M, x" (z 3 par N, om voit 


que le facteur v est, dans ce cas, 


I 
Mz+Ny P 


Il est d’ailleurs facile de vérifier que 


Mdz+N big 
Mone / 


est alors une différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de 
démontrer que 


M d N 
“Mee Ny _ Ma + Ny 
dy a ae 


Cette équation revient, aprés quelques transforma- 
tions, a la suivante : 
dM 1M ' dN 7N 
Nee +r )—™ Ta fecal Wy 
dx dy y 
ou NMm —NMm =o, 
car les fonctions M et N étant homogénes et de degré m, 
on a identiquement (I, 169) 


GM dM Mm 
tire y— = M, 
dz. x dy : 
dN dN Y 
da * pa = Nm 


Si le premier membre de |’équation homogéne est une 
différentielle exacte, on ake prendre pour premier 


1 
facteur 1 et pour second rag Leur rapport, égalé 


Me 
A une Constante, donnera Vintégrale qui sera, par consé~ 


quent, 
Ma-+Ny =e. 


— 


/ 


Ye 
De 


60 &, 


b4 COURS D ANALYSE. 


QUARANTE-TROISIEME LECON. 


Solutions singuliéres des équations a deux variables. —Comment elles se 
déduisent de Vintégrale générale. — Solutions singuliéres obtenues au 
moyen du facteur qui rend intégrahle le premier membre de ]’équation. 
— Exemples de solutions singuliéres. — La solution singuliére est en 
général l’enveloppe des courbes représentées par l’équation intégrale. 


SOLUTIONS SINGULIERES DES EQUATIONS A DEUX VARIABLES. 
— COMMENT ELLES SE DEDUISENT DE L INTEGRALE Gt- 
NERALE. 


537. Soit 


1 
(1) Mdx +Ndy=o ou poe; 7) 


une équation différentielle et 
(2) Bice ete) == 


son intégrale. Différentions cette derniere équation par 
rapport a 2; nous aurons 


dF 
; dy dx 
i aT 
a 


Si l'on élimine c¢ entre cette équation et la précédente , 
dF 
nous devons obtenir équation (1), ce qui exige que ae 
dy 

: : f fail 
devienne identique a = quand on remplaceradans ce quo- 


tient c par sa valeur tirée de l’équation (2), et cette 
élimination devait encore conduire a une identité, lors 
méme que c serait remplacée par une fonction de x et 


de y. 


538. Cela posé, je dis que si Yon connait Pintegrale 


QUARANTE-TROISIEME LEGON. 65 
I(x, y, c) =o d'une équation différentielle, on peut dé- 
terminer les solutions singuliéres de cette équation. 
Soit 
(4) g(@,y)=0 
# 
une solution singuliére, c’est-a-dire une équation qui 
satisfasse a l’équation (1), mais qui ne puisse se déduire 
de Vintégrale générale en attribuant 4 la constante une 
valeur particuliére. On pourra faire’ rentrer |’équation 
@ (x,y) =o dans cette intégrale, en y remplagcant ¢ par 
une fonction convenable, car il suffit de pose 
/ Par , 
(5) F(x,y,c)=9 (4,7); 
d’ou Von déduit la valeur de c en fonction de x et de y. 
Cette valeur étant déterminée, si lon différentie l’équa- 
tion (2) par rapport a x, on aura 


Gu tidbidy aadis.de 


dak ody decide dee 


’ 


dot. Von tire 


dF dF 

F dy dx de dc 

(6) Gen ga ae de 
dy dy 


L’élimination de c entre les équations (2) et (6) doit 
Ls d ; 7 . 
conduire a léquation = =f (x,y). Done l’équation (6) 
dF 
se reduit a Y = f12,. 7). Or Be ee redait 3 aera) 
dx gehts dF re 
dy 
quand on remplace c par sa valeur tirée de l’équation 
F (x,y, ¢) = 0 (587) ; done on doit avoir 
GAB S 


ae de 


dF eye =O, 
dy 
équation a laquelle il faut joindre F(x, y,c) =o 
II. 5 


66 COURS D ANALYSE. 


Le systeme de ces deux équations se ramene aux deux 
snivants : 


| aF 
dc de 
— = oO, 4 See Memos 9 
{t) ax (II) dF 
dy 
tay FC) SOY Bitte) = 08 
Or le premier systeme donne c= une constante, et, 


par suite, on retombe sur |’ ‘ieippale générale. 
Le second se partage en deux : 


re d¥ 
OY Se ee COs, 
an) | de> av) ) & 
Eitay "rey 0; PGery re ye 0. 


fn éliminant c entre les deux équations de chaque sys- 
téme, on obtiendra les intégrales singuliéres de Péqua- 
tion proposée, pourvu qu’on omette les valeurs de c qui 


rendent armel ance nulles ou infinies les deux fone- 


: ’ , oe oO ; 
se présenterait sous la forme ilusoire — =o ou = 95 il 
oO 


faudra aussi rejeter les solutions qui rentreraient dans l’in- 
tégrale générale en attribuant ac une valeur constante. 

Ainsi, on obtiendra les solutions singuliéres d’une 
equation différentielle du premier ordre en éliminant 
la constante entre Vintégrale générale et sa dérivée par 
rapport a la constante égalée a zéro, ou bien entre cette 
méme intégrale et sa dérivée par rapport a y egalce a 
Vinfint. 

539. Quelle que soit la forme sous laquelle se présente 
Péquation intégrale F (a,y,c) = 0, Vapplication des 
régles précédentes doit toujours conduire aux mémes 

. d dk 


6 = dc ; 
solutions. En effet, le rapport 7p restera toujours le méme 


dy 


pee 


=2- ' QUARANTE-TROISIEME LEGON. 67 
quand on éliminera c au moyen de Véquation P= 0, 
quoique chacune de ces dérivées change quand on trans- 
forme cette équation. Car en regardant y comme une 


fonction de c, ona ; 


dF 
‘de dy 
dE de 
: : a 


f 
valeur qui sera toujours la méme, quel que soit I’. Ainsi, 
lorsqu’une transformation de |’équation F (x, y,c) =o 


: nite . 2 “dk 
fera perdre des solutions a |’équation = elle les fera 
oe 


ay tT ; gy 1 
acquerir a i autre equation —— =. GOs. 
dy 


~ 6 
SOLUTIONS SINGULIERES DEDUITES DU. FACTEUR QUI REND 
INTEGRABLE LE PREMIER MEMBRE.DE L EQUATION. 


540. Sil’on met lintégrale sous la forme u—c=o, 


On aura 
dF 
Aiitenyeins 
GE ae wkd 
dy dy 


Ainsi toutes les solutions singuliéres. seront données par 

ow : I . du _, let : 

l’équation —=o Mais — west autre que le facteury par 
du dy 


lequel dy—f (x, y)devient une différentielle exacte (529). 
Done |’équation 


contient toutes les solutions singuliéres. 


EXEMPLES DE SOLUTIONS SINGULIERES. 


BAT 12 
ada + ydy = dy Vx? + y? — a’. 


or 


SS 


68 COURS D ANALYSE. 
Divisons par x? + y* — a’, il vient 
ye ada + ydy” Seer’ 
~ ery —ai 
dont lintégrale est 
yes yet y—a, 
ou 2¢yv+Ct+ta—2’=o; 


on aura done 


AEE ES Bee ge aes uy 
= 7 jae Da aa 


Ceite derniére neconduirait qu’a lavaleur illusoirey = © . 
La premiére donne c= —y, et, par suite, 


24 7 gi=—o, 

solution singuliére. Cette solution, qui représente une 
circonférence, n’est pas comprise dans l’intégrale géné- 
rale, puisque celle-ci représente une suite de paraboles. 


I 
Comme le facteur v est a? ON voit bien que 
V+ y—a 
Ja solution singuliére correspond 4 » =o. 


542. 2°. Trouver la courbe dont la normale est con- 
stante, L’équation différentielle est 


Cie a5 
(1) J te I ae ah 
‘ rd 
d’ou dx = 2 
a —y» 
el, par suite, 
(2) (w—eP +y? =a’, 


équation d'un cercle. Pour avoir les solutions singuliéres, 
il faut poser 
dF 


— = — = 05) 8d OUsete rc 


d¥ A ; 


QUARANTE-TROISIEME LEGON. 69 
et, par snite, 


(3) ypoa. 
On obtiendrait encore cette solution en égalant A Vinfini 
I . . ° Oy) ; 
le facteur ——— par lequel il faut multiplier l’équa- 
y—a 


lion proposée pour séparer les variables. 

Il est 4 remarquer que les deux AMroites représentées 
par léquation (3) sont tangentes a toutes les circonfé- 
rences que représente l’intégrale générale (2). 


543. 3°. Trouver une courbe Bont les tangentes soient 
a@ une distance constante a de l’origine. 

L’équation de la tangente menée par un point quel- 
conque (x,y) de la courbe, étant 


6 
Y—y=p(X—2), 
Péquation différentielle du probleme sera 


dears acne 


vi+p? 
ou 
(1) y= pxet+ayitp’- 


En différentiant par rapport ax, ona 


ap 
Oe 0 Cae ee 
vip 


équation qui se décompose en deux 


dp= 0, pee = 6; 


Vvi+p’ 


La premiére donne p = c, dou 
“3:7 yscatayite. 


La seconde donne 
ap 


saa 0 ical ane 


i) COURS D’ANALYSE. 


cette valeur étant portée dans Péquation (1), il en résulte 


weaves . a 
(4 ) —_—— <a 
Via 
élevant au carré et ajoutant les équations (3) et (4), 
(5) et eae == a 


La solution générale (2) représenté une infinité de 
droites, et la solution singuliére (5) une circonférence 
a laquelle toutes ces droites sont tangentes. 


544, 4°. 
(tf) ’ aly — al. 
Les variables se séparent immédiatement ct lon trouve 
pour Vintégrale générale 
(2) (y —a)'"—(1— 2) (a#—e)=0. 


Pour obtenir les solutions singuliéres, on posera 


d¥ 
de 1 
dF (py oe 
dy 
Vou Von déduit, en supposant n> 0, 
(3) ae 


Cette équation représente une solution singuliére si 7 
est <C 1, car on ne peut pas déduire y = a de Vintégrale 
générale. Si n est >1, y=a west plus ‘une solution 
singuliére, puisque léquation intégrale étant mise sous 
la forme 
I 


(1—2\(y—ay =, 


DiC 
on obtient y= a en faisant c= oo. . Enfin' si‘n'='1, 
Vintégrale générale est y — a = ce", qui devient y =a- 
pour c= oetil n’ya pas non plus, dans ce cas, de solu- 
tion singuliere. 


On verra facilement que a hypothése n x o ne denne 
ancune solution singuliére. 


QUARANTE-TROISIEME LEGON. mh 

545. 5°. Trower une courbe telle, que le produit des 

perpendiculaires abaissées de deux points fixes F et F’ 
sur la tangente soit constant et égal a b*, 

Fig. 112. Prenons pour axes Ja 
droite FE’ et une perpendi- 
culaire élevée par le milieu 
de cette ligne. L’équation 
de la tangente est 


Y—y=p(X—2), 


et parstite les perpendicu- 
laires abaissées des points 
donnés sur la tangente seront, en désignant OF par c, 
a es Sa Se OS ae 
ee aes 
(y= pry — pre 


on aura donc 6?— » dou 


1S Pp 
(y — pa)? = 0? + (b?+ ©) p?, 


et, si Von pose 6° +c? =a’, 


(1) y= pat V+ ap, 
équation d'une forme connue (525). En la différentiant, 
on aura 


2 
(2) Od er ee 5 
Ve2+ api 


ce qui donne d’abord dp =o ou p =constante =m. 
Lintégrale générale est donc 


(3) = me + Vaim?+ b. 

On satisfait encore a équatior (2) en posant 
a’ p 

(4) Ba SCO 

: Vb + a? p? 


En éliminant p entre les équations (1) et (4), on aura la 


solution singuliére 


\. 


(5) pia a 


72 COURS D ANALYSE. 
ellipse qui a pour tangentes les droites représentécs par 
Vintégrale générale. 

546. 6°. Trouver une courbe telle, que la portion de la 

Fe. 113. tangente 'TS comprise entre les 

4 deux axes soit égale a une lon- 
gueur constante a. 

L’équation de la tangente est 

Y—y=p(X—2z) 


et Yon a 


dou, a cause de OT? +0S =TS, 


(y —.px)? (1+ p’) = a? p’. 
On aura done 
a, 
(1) y = pr+ —t_; 
Vi+p 


par suite, en différentiant, 


oO = dp | x -+- ————-. }- 


dp = 0, donne p = ¢, et, par suite, 


ac 
(2) YY scx + —— 
VI +c 
Vintégrale générale représente donc une infinité de droites. 
La solution singuliére sera donnée par Péquation 


5 


ee, 
t= 


3 


(1+ pt)? 


Si lon substitue cette valeur dans P équation (1), on aura 


yee ap ap 
ee tee 73 
(1+ p?)? (1-L py? 
éliminant p, on aura 
2 2 2 
(3) eye ae, 


r . + bd ee 
Cette courbe est Pépicycloide obtenue en faisant rouler 


QUARANTE-TROISIEME LECON. 93 
un cercle dans un autre cercle de rayon quadruple. En 
effet, soit M le point de la circonférence mobile qui était 
placé primitivement en A, et K le point de contact actuel, 
On sait que KM est la nor aos a lépicycloide au point M, 
et par suite que MH est la tangente. Or l’angle a4 qui, 


dans le petit cercle, a pour mesure - are KM ou ~ AK, 
aura pour mesure 2 AK dans le grand gercle. Donc l’angle 
THK est double de langle AOK et le triangle TOH est 
isocele. On a donc OH = HT. Il résulte de 1a qu’on a 
également OH = HSet, par suite ¢ AVS = 2OH = OK. 


Ainsi TS conserve bien une erandeur constante. 


LA SOLUTION SINGULIERE REPRESENTE L ENVELOPPE DES 
COURBES DONNEES PAR L INTEGRALE GENERALE. 


547. Quand une courbe se meut sur un plan, en chan 
geant de forme suivant une loi déterminée, elle est, en 
général, constamment tangente a une courbe fixe qu’on 
nomme son enveloppe. On peut supposer que la courbe 
donnée est représentée par une équation de la forme 


(1) F (a7 7: 6) =O, 
dans laquelle c est un paramétre que Von fait varier d’une 
maniére continue. Donnons a ce paramétre deux valeurs 


voisines c et c+ Ac. Les courbes représentées par les 
équations 


Bese ne a0. Fwy, cyt he) 0 
se couperont en un point (x, y) pour lequel on aura 
F(x, y,¢ + Ac) —F(#, y,¢)=0, 
el, par conséquent, 


F -Ac)—F(x c 
(2) (@, 97 Cap - (2. 5 ES 


Si on suppose que Ac diminue indéfiniment, les coor- 
données de ce point, qui ne cessent pas de satisfaire aux 


74 COURS D ANALYSE. 

équations (1) et (2), satisferont a la limite aux équations 
d¥ 
Sa SSS) 


F(2,7,¢)=0, = 


— 
LSS) 
was 


On obtiendra le point limite M, c’est-a-dire le point ou 
Vune des courbes est coupée par la courbe infiniment voi- 
sine, en résolvant les équations (3), et si lon élimine e¢ 
entre ces équations, on aura le lieu des points M ou le 
lieu des intersections successives des courbes représeniées 
par léquation (1). 

Je dis que ce lieu est Venveloppe cherchée. En effet, 
chaque courbe de |’équation (1) est coupée par celle qui 
la précéde et celle qui la suit en deux points qui finissent 
par se confondre : la droite qui joint ces deux points tend 
done a devenir tangente a la premiere courbe; elle tend 
Wailleurs a devenir tangente au lieu des intersections suc- 
cessives. Done celle-ci est tangente a4 toutes les courbes 
représentées par I’équation (1). 

548, Onadiiremarquer que dans tous les exemples trai- 
ids plus haut (541 et suiy.), la solution singuliére était len- 
veloppe des courbes représentées par Vintégrale générale. 
Nous allons démontrer quwil doit toujours en étre ainsi. 

Soit Paya oO 
Vintégrale générale. Elle représente une suite de courbes 
dont Tenveloppe s'obtient en éliminant ¢ entre cette 
équation et sa dérivée par rapport ac, Or c'est précisé- 
ment Je caleul qui fournit la solution singuliére. Le 
théoréme est done démontré. & 

On peut dailleurs établir ce théoreme de la maniére 
suivante. Par chaque point de la courbe A qui représente 
la solution singuliére passe Pune des courbes B comprises 


: , , r : dy A 
dans Viniégrale générale. Or en ce point — ala méme 
ax 


valeur pour les deux courbes A et B, puisque leurs équa- 
tions satisfont toutes les deux a Véquation différentielle. 
Done les courbes A ct B ont la méme tangente au point, 
qui leur est commun. 


QUARANTE-QUATRIEME LEGON. 7 
QUARANTE-QUATRIEME LECON. 
oe 

4 Pall . > . . . ' al 
Equations différentielles @un ordre quelconque. — Existence de Vintégrale 

Wune équation différentielle queleonque. — Conditions que doivent 

remplir les constantes qui entrent dans lintégrale générale. — Inté- 

grale de divers ordres d’une équation différentielle. — Intégration de 

amy 
Vequation —— =v. f 
equatio Sars v 


TOUTE EQUATION DIFFERENTIELLE ADMBT UNE. INTEGRALE. 
/ 


549. Considérons une équation différentielle de l’or- 
dre.im résolue par rapport a Ja dérivée de Vordre le plus 
élevé 


d"y f f dy ay eqn xy 
\ == By Vy 9 oe ile 
( ) dat 2 ( >) die’) ada? dat! 
v : : i d”y dey 
Cette équation fait connaitre Tp Ou d. eset quand 
14 C 
" dy dea ly 
on connait les valeurs de y, —>--+»-——= pour uue va- 
We da 


leur de x. On peut donc se donner pour «=a des valeurs 
dy dy Gey 
eas Krerces aoe cd) . 
GR dpe das 


Maintenant si l’ou donne a x un accroissement x, les 


arbitraires 6, b', b”,..., b~') de y, 


dy 


accroissements de y, ay? *? Sseront 
2 
dy aie sy i 
dy dx, a a Oda: = Teak LCE IN ATG 
=f 
‘ Any h e 
et laccroissement de Fon SEPA Ensuite donné par l’équa- 


tion (1). 

On déterminera de méme la valeur de y et de ses déri- 
vées pour x= a+ 2dx, c=a+ Jidayceat.oAtnsiides 
valeurs successives de y sont déterminées et, par con- 
séquent, y dépend de x et des m constantes 6, 0’,..., 


bim—t) 


96 COURS D’ ANALYSE. 


550. On peut encore démontrer l’existence de Vinté- 
grale, au moyen du développement de y en série. En dif- 
férentiant l’équation (1), on obtiendra successivement les 


qmrs x Uy x 
coefficients différentiels Sees oe ee fonction de x, 
dam! dam? 


dy yt 
Ns ge gat soit 
aa ye dy me 
dxm =Sf (« SA) Pine are dxam—' 
diay: 


panes Me (« he dx’ dx 


CYC CMere em eee OPO se wh ea we Me Oe ary yy Serer ec) 


Mais on a (I, 114) 
p(t) =9(a)+ 9 (a) (x—a) + 9" (a) 


Remplacant 9 (x) par y, 9(@) par b, g'(a) par B,..., 


on aura donc 


Co 2 ‘ xr— m—| 
Re ee ee eae com ae ee b(t ( a 
: lio? 1.2... (m—rx) 
7 F (2 — a)” 
4 : (m—1) 
+ Hla Phan »O 45, Set m? 


(a — arr! 
ee 
— Bos 
2 * 


(m + 2) 


+S; (a, b, b', See Ba?) 


a fa, Oo 5. GOr)) See a 


I. 


On voit encore par la que la valeur de y renferme m 
constantes arbitraires. 

Kn faisant @ = 0, on aurait le développement de l'in- 
tégrale suivant les puissances ascendantes de x : mais 
cette valeur pourrait rendre infinie la fonction ou quel- 
ques-unes de ses dérivées, et le développement devien- 
drait alors impossible sous cette forme. I] vaut done mieux 
conserver la série sous sa forme la plus générale, en choi- 
sissant la valeur arbitraire a de telle sorte, qu’ aucune aides 
fonctions ne soit infinie pour x = a, : 


QUARANTE-QUATRIEME LEGON. 17 


BEL Réciproquement toute équation 
(3) PA nek tae Ce") I 0, 


qui satisfait al équation différentielle donnée et qui ren- 
ferme m constantes arbitraires au moyen desquelles il* 
soit possible de donner, pour x =a, des valeurs arbi- 

dy duly 
> dx?” dx! 
a Vintégrale générale. En effet, si Von détermine ainsi 
les constantes, on aura encore pour y le développe- 
ment (2), puisque léquation (3) sajisfaisant a l’équa-~ 
tion (1), les valeurs de ee Sais -+ pour r=a, ne 


dépendront que des valeurs 6, 6’, b”,..., b&"-"), 


trawes b,b’,.»., h("—1).a » sera identique 


CONDITIONS QUE DOIT REMPLIR UNE FONCTION POUR £TRE 
L INTEGRALE D'UNE EQUATION DU m‘””’ ORDRE. 


552. Pour qu'une fonction renfermantm constantes soit 
Vintégrale dune équation différentielle du m‘*”* ordre, 
il faut que ces constantes soient bien distinctes, c’est-a- 
dire qu’elles ne puissent se réduire 4 un nombre inférieur 
a m. Par exemple |’équation 


y= cette oli ek zte' 


semble contenir deux constantes arbitraires, mais en la 
mettant sous la forme 

= e**(ce® + ce” i, 
on voit quelle n’en renferme qu'une : elle ne peut donc 
pas étre Vintégrale générale d’une équation différentielle 
du second ordre. 

Pour s’assurer que les constantes renfermées dans I’é- 
quation intégrale sont distinctes, il suffira de chercher 
si elles peuvent étre déterminées de telle sorte, que y 
et ses m—1 premiéres dérivées aient des valeurs don- 
nées quelconques 6, 6’,.,., 6("~"), pour une valeur don- 


née de x. 


78 COURS D ANALYSE. 
553. Par exemple, soit 


ols 


(1) Vi eee oS CES 5 
. dy YX Lee ROD 
on en tire er COE Sat OO Ree sy 
AL 


; *.W , , = x / 
et si l'on résout ces deux équations par rapporta c etc’, 
le dénominateur commun des inconnues sera 


(a — a’) Etre) 


Les valeurs de c et dec’ seront donc finies et déterminées 
si a est différent de a’, et dans ce cas |’équation (1) sera 
Pintégrale générale dune équation différentielle du se- 
cond ordre. T1 n’en est plus ainsi quand « =a’, comme 
on l’a vu dans l’exemple précédent. 

504. On reconnaitra de méme que 


y = csinaxr + c'sing’ x 
est Pintégrale générale d'une équation différentielle du 
second ordre; mais |’équation 
1) y = csin(jx+ a) +c’ sin(x + a’) +c” sin(x + 2”) 
ne peut pas étre Vintégrale dune équation différentielle 
du troisiéme ordre, car ona 


is 
(2 —— c cos (a Ais a) te c’ cas (2+ x!) cath cl cos (a + mihi 
dx 
oF. i ee : 
(3) 2 =— esin(« + a) — ¢’ sin(w 4- «)—e” sin(a + a}. 
dx 


Or il résulte des équations (1) et (3) 
Uy, 


—— = — Y, 


da? 


ct la valeurde y étant déterminée, on ne peut pas donner 
d*y : 


Cia 
quation méme en l’écrivant sous cette forme 


de valeur arbitraire a - On le voit dailleurs sur Vé- 
y =(ccosa + ec cosa’ + ec’ cosx”) sinx 
+ (¢ sina -+ ¢’ sing’-+ c” sing” cosx, 
ou y =Asing + Beose, 


et elle ne renferme que deux constantes arbitraites A et By 


QUARANTE-QUATRIEME LEGON. ag 


INTEGRALES DE DIVERS ORDRES D UNE EQUATION 
DIFFERENTIELLE. 


505. Une équation différentielle de Vordre m a pour, 
intégrale une équation de la forme 
(1) Peer oye aC Ge Oo | OF 
Puisque les constantes c, c’,..., n’entrent pas dans l’é- 
quation différentielle, celle-ci ne peut sé déduire de F = 0 
qu’en la différentiant m+ fois, et éliminant ces m con- 
stantes entre |’équation (1) et les my équations diffé- 
rentielles ainsi obtenues. Or cette élimination peut se 
faire de plusieurs manieres. 

Si d’abord on ne veut éliminer qwune constante c, on 
pourra différentier Véquation F aD aprés Vavoir mise 
préalablemeni sous telle forme qu’on voudra, puis on éli- 
minera c entre l’équation F = 0 et sa différentielle. On 
peut, ew particulier, résoudre l’équation F = o par rap- 
portac, soit uc, puis différentier cette derniére , ce 
qui fait disparaitre la constante. En éliminant ainsi tour 
a tour c,c’,..., on obtient m équations différentielles du 
premier ordre dont chacune contient seulement m—1 con- 
stantes. Ces équations sont dites des intégrales de Vordre 
Nt — 15 


556. Pour éliminer deux constantes c et c’, on peut dif- 
férentier deux fois de suite l’équation F = 0: ona ainsi 
trois équations 

Pe 1O1n ad be One’ B i= Oy, 
entre lesquelles on élimine c et c’. On peut aussi ¢limi- 
ner c entre F=o et dF =o, puis éliminer c’ entre 
V’équation ainsi obtenue et sa différentielle. De quelque 
maniére que l'on opére, on doit retomber sur la méme 
équation différentielle du second ordre; car si Von obte- 
nait deux équations du deuxiéme ordre, en éliminant 


7 

G : , . . 

entre elles a on auralil une equauion du premier ordre 
aXe 


380 COURS D ANALYSE. 


de la forme 
d ns 
9 (m9 9 TOs 8.85 cin} = O- 


On ne pourrait pas alors se donner les valeurs de y, 
dy an! 

aii pour x =a; car, en différentiant m— 2 fois 
dx > dx 

cette équation, on aurait m—1 équations entre x, y, 
dy amy 


ee et m— 2 constantes, c’est-a-dire plus d’é- 
dx dx" 


quations que d’inconnues. 


En éliminant successivement deux des m constantes , 


m (m—1) 


Loo 


on aura équations différentielles du deuxiéme 


ordre contenant chacune m— 2 constantes et qu’on 
nomme intégrales de l’ordre m — 2. Trois intégrales 
de cet ordre peuvent remplacer Pintégrale cence car 


d d? 
on la reproduit en éliminant entre elles Negt ss 


dx dx? 

557. On pourra de méme éliminer un nombre quel- 
conque de constantes et parvenir ainsi a des intégrales de 
Vordre m— 3, de Vordre m— 4, etc. Si Von élimine 
toutes les constantes moins une, on aura m intégrales du 
premier ordre. Si entre ces m équations on dlimitte les 


a d’y a dm—' s¥) 
na dérivées - Pais Mane RT UL retrouvera l’équa- 
tion primitive i OQ'ENUE D9") Cy. Cos 4 Oe Shira, 


donc, pour intégrer Péquation 


ain, dx ay 
a Shleiys a ee <3 


d’avoir les m équations intégrales du premier ordre 


508. Les intégrales du premier ordre permettent de 

déterminer les constantes c, c’,..., c’"—") en fonction 
dy dt ey 

de. 75 ae een - En les résolvant par rapport 


aux constantes et en Casal pour abréger, les dérivégs 


QUARANTE-QUATRIEME LEGON. St 


, / , . " 
de y par y’, y",..., on aura m équations de Ja forme 


Bt (2, a> ahs A OrP Sat 


d’ou lon tire 


du du du du dy 
de gal hig th: sb ay ee 
M 5 any we a aa 
ais ona ae et (Fe 9 sey") ) 5 


on aura done 


du du Ana, du 2* ty my 
TGA BM tt GaP eT) =o, 
Cette équation doit étre identique, car autrement elle 
établirait une relation entre x, y, y’..., 4 et lon 
ne pourrait plus se donner les valeurs de y, y’..., y("—) 
pour 2 =z. 
Ainsi les équations du premier ordre étant mises sous 


la forme 


— a esh a, 
w—C, iin, uc, etc., 


toutes les fonctions u, u;,..., devront satisfaire a une 
méme équation aux dérivées partielles. 


I) 


INTEGRATION DE L’ EQUATION a= 


559. Soit proposé d’intégrer l’équation 


d™v 
( I ) da™ 


SS 


v étant une fonction de x. On en déduit 


m—! 
es iy edz +e, 

lam . 

m—2 

: Z = fae fete a) ae c, ; 
(2/6 pile 
may: . 
pea da | dec | ode + cx 4-0'x 0", | 
Ah 


II, 6 


$9 COURS D ANALYSE. 


et ainsi de suite. Donc, si l’on désigne en général 


par ff vdae Pintégrale fax fax. F | f oda qui résulte 


de n intégrations successives par rapport a x, on aura 
yx = fear =e cee CO! gM ae cl). 


560. L’intégrale multiple qui entre dans la valeur 
de y peuts’exprimer a l'aide d'un certain nombre @’in- 
iégrales simples. En effet, en intégrant par parties, on 
a successivement 


ie ee [vxde, 
f eter =~ is 5 (# fede— ae fits + fowac); 


# fear 30° [onde 
I 
pte A 
if a= “oa 
+32 | vxrdx— | ex'dx 


et ainsi de suite; dou l’on conclut, par induction, 


wt fae pe (n— vet fends 
(2) [oden= poe EST 


RN —ew 7 2 
+4 (nA) ore fear, wth J ea" 'dx 


at 


Pour démontrer la généralité de cette formule , il suffit 
de montrer que si elle est vraie pour une intégrale de 
Yordre n, elle conviendra encore a une intégrale de 
Pordre 2-1, Or on peut mettre l’équation (2) sous 
cette forme 


Rr 
nee eda —n(a—t tee 
5 ) 
edz" = ——— ; 
f ee tiond a(n—1)(r—2) 
- ee, cm LT ada... zn Ee"! da 


< 


QUARANTE-QUATRIEME LEGON. 83 


Si Von multiplie les deux membres par dx et que lon 
intégre par parties, on aura 


; a? | pdx—nx"—' | vardx 
feces = we fk wast # 
Mion a Ore n(m—t 
= alton) sb frxde Sa eta? fom ‘dla: 
Li 


uv 


mais 


n ; 
I—n > ———_— ss Has (1 


done 


f gt eae — nx ih 0x dx 9 
I : 
O08 a ne 
Wee Sele n(nw—l 
; ae eS Nor osha ae, fom dx 
I .2 


ce qui établit la généralité de la formule. 


561. Enfin on peut exprimer lintégrale muluple 
[vder par une seule intégrale simple. En effet, don- 


nons aux intégrales qui entrent dans l’égalité (2) les 
limites a et x; posons v = f(x), et, dans le second mem- 


bre, remplacons x par z sous le signe fe nous aurons 


sails —(n—1) x" a af (z 2)dz_ 
le ST (x) oe ar ai mei ~e , a 
AEs (a pleide. 


ou bien, en faisant passer les facteurs constants sous le 
signe i et remplacant la somme des intégrales par une 


intégrale unique, 


3s I ae es 
f FA@) dx SS en = : F(z) (a ao z) ioe 


6. 


a 


84 COURS D ANALYSE. 

562. Cette derniére formule conduit 4 une nonvelle 
démonstration de la série de Taylor. En remplagant f (x) 
par f(t?) (x) et m parn-+-1, on aura 


x I be 
if jae) (x) an ai ace) (z) (x — 2\"dz. 
a 
D’un autre cété, 


i “f+! (a) dant! —= f(x) — f(a) —f" (a) (x — a) 


pl ttl peg EA 
donc on aura 
f2)=fla) +f (a)(e#—a) +f(a) Fa 4. 
+f" (a) — a E — hie i SO) (2) (a — 2)"dzx, 


et, si l'on pose x =a+h,z=a+h—t, 


2 


f(a) SF (a) +7! (a) hf" (a)... 


1.2 


Mg I Steed j soon F 
+ Faria pe sun tint nem aioe 


1.2... 


PC! 


QUARANTE-CINQUIEME LEGON. 85 


QUARANTE-CINQUIEME LECON. 


Intégration de quelques equations d’un ordre supérieur, — Equations* 
a "ys Vf ide r 
de la forme /£ > wits =o. — Equations de la forme 
ao dx” ; : 


a™—y a™y : 
1 ~ = o. — Equations susceptibles d’abaissement. — 


a a 
Applications géométriques. — Equations homogénes. 
d™ ky, d"¥ 
A x a 
EQUATIONS DE LA FORME ace ail age ) 
563. Soit d’abord l’équation 
d’y dy e 
<1) eine. =s(Z) 
dy dp : oe 
En posant 5, = Pon aura = =f (p); Vow 
d 
{ 2) a {4 +. 
F\pP) 


Si Yon peut tirer de cette équation p en fonction de x, on 


aura 

p=9(x) ou dy=9@(x)dz; 
dou 
(3) y= fo(a)de +e. 


Cette équation est |’intégrale générale, car elle contient 
deux constantes arbitraires c et c’. 

564. Si l'on ne peut pas tirer de |’équation (2) la va- 
leur de p en fonction de x, on aura 


pdp 
dy = pdx = —— 
a ec FP) 
dou ‘ 
pdp : 
3 == —— + C5 
2) z (P) 


on éliminera ensuite p entre les équations (2) et (3). 


86 COURS D ANALYSE. 
565. Exempre. Frouver la courbe dont le rayon de 


courbure est constant et égal aa. 
L’équation différentielle du probleme est 


On aura donc dx = - : 
(ip 


(1) a= — +c 


et ensuite dy = pdx = 


(2) y LAE ey ot, 


En éliminant p entre les équations (1) et (2), on aura 
(z—e)f+(y—efPoa’, 
équation dun cercle dont a est le rayon. 
On peut aussi trer de |’équation (1) la valeur de p en 


fonction de x; on a 


em Tt 
== SSS 
\ =a se) 
, < ae a —c)dx 
c est-a-dire dy = b [sip dae : 
(a= [eee 
dot, en intégrant, 

a Varsufee uy? 
et enfin (a—cl+(y—cP=a. 


566, Plus généralement, si l'on avait l’équation 
f qd! yx aA” o: ak, 
dx ? dx”! a 


ne contenant que deux dérivées consécutives , en posant 


mM s- 
ram (ea We) ESS 
= —— = p) 

‘ dam daz 


dn! y 


dal! 


dp 


QUARANTE-CINQUIEME LECON. 89 


Péquation proposée se réduirait a 


d, 
(pk) =o, 


on déduira de la 


dp : dp dp 
—=f(p), dot dr= ea | 22 
dx FP) FP) F(P) 
Si cette équation peut étre résolue par rapport ap, on 
aura p = 9(2x) et r 


y Ag eos: a) aa se att ac! 8 (2), 


: t Bd : 
Si l’on ne peut pas exprimer » én fonction de x, on 


aura 
Dey: =a 
dam! 16: 
d™—? pap 
ou ads; ——— pdr = 5 
da” if tT (Pp) 
ayy, pdp 
donc ————— =f ¢! 
dx" is) eal 
ceo dp Bin hos 
en multipliant par dx “e. et intégrant de nouveau 
qty. 765 Pog ns 
= = cate", 
dan —~ } f(p) ip i P) 


et ainsi de suite. 


igo oS) "e 


EQUATIONS DE LA ronue f(T es 


ay 
dx Se yas 
En multipliant les deux membres par 2 dy et inté- 


grant, On aura 


567. Soit d’abord 


Ve + 3 ff (x) ay 


6 i Ss M dy 
et enin eC - oes 
ies +2 ff (x) dy 


dou Von tire dx = 


838 COURS D ANALYSE. 
568. Exempxes. 


0 ly : 
Past ee wvy=o. 
ly \? 
On aura (+) +7 (y?— c)=0, 
7 
not a > 
vo — y? 


y=csin (nx + c’) 
ou y= Asinnz + Beosnz, 


A et B désignant deux constantes arbitraires , 


dy 
20% = —ny=0, 
dy \? d 
(FZ) —wiv+e)=o, Re = 
ax yrte 
(t) yt Vy te = cle 


ov a d’ailleurs 


(r+ VFA) (—y + VFO) Se, 


d’ou 
(2) yt Wei 
On tire des équations (1) et (2), 
= A c er — ia g ene 
2 Te 
ou iy ACR ican! 


569. Pour ramener au cas précédent (567) les équa- 
tions de la forme 


d™—? dq” 
if ( - x) == Op 


ae } 
ax adzam 
IM—2 ap 


dxm-? 


il suffit de poser = pd Gu 


; ap 
(x) r\v, | OG OU Nee a) 


QUARANTE-CINQUIEME LEGON. 89 


on aura donc 


wo = Ve + 2 fF p)dp = 4(p), 


dou 
a) ; ‘ 
(2) cL =| eee +c’. 
4 (P) 
Si Pon peut résoudre cette équation, par rapport a p et 
en tirer p ou ae (x), Vintégrale générale s’ob- 
POW ees PF Ne BYALS) BS % 


uiendra par m— 2 quadratures qui introduiront m— 2 
nouvelles constantes arbitraires. 

Quand l’équation ne peut pas étre résolue par rapport 
a p, on opere de la maniére suivante. 


d™—? - 
Ona — = p, d’ou résulte 
dx 
q"-3 ; 
d a = OG Lae. 
da b(P) 
drs i 
done —! = {# = Cae 
a T (Pp) 


On trouvera de méme 


m—4 “ 1 
BES, ch [PEP co roe insane 
dx V(p) J V(p v(P) 


et ainsi de suite, On arrivera ar aune certaine équation 


(3) yY=F(p), 
contenant m constantes arbitraires. L’élimination de p 
entre les équations (2) et (3) donnera l’intégrale générale. 


EQUATIONS QUI PEUVENT S ABAISSER A UN ORDRE 
INFERIEUR. 


970. Soit léquation de Vordre m 


( d"y dt! ¥ = 
recep eet hy Seclalpes 


2) 9 
\ dx" ge) dx™ 


d” 
Fon Pon ‘la réduit a 


d, d"— TD 
a Ps eS ne P) = = (Or 


En posant 


ge COURS D’ANALYSE. 

Si l’on peut intégrer cette équation qui n’est que de 
Pordre m—n, et ensuite la résoudre par rapport a x ou 
a p, le calcu! s’achévera comme dans le cas précédent. 


S71. Soit l’équation 


: dy d¥ iy 
fi ae A or ——— —— 
a) ie dx. dx? : ax ) 73 
qui ne contient pas x. On pourra en abaisser l’ordre d'une 


unité en prenant y pour variable indépendante et fai- 


‘f 
sant p. On aura 
dx 


d?y z dp ¥ ap . - 


ax dx dy 


Oh 
En général , » considérée comme fonction de p, sera 


2 
du (7 —1)*"* ordre; en substituant ces valeurs dans ]é- 


quation (1) on arrivera donc a une équation de lordre 
m —I 


dp Chie eri 
(2) o(y, P, = Se? a 6; 


dont Pintégrale renfermera m — 1 constantes arbitraires , 
et Vintégration de équation dy = pd.c fournira encore 
une autre constante. 


APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 


572. Quelle est la courbe dont le rayon de courbure 
est en raison inverse de Cabscisse ? 
1,’ équation différentielle du probleme est 


QUARANTE-CINQUIEME LEGON. oO. 


a : 
en appelant = le produit constant du rayon de cou rbure 


par labscisse du point correspondant dela courbe. On 
déduit de 1a 


a’ dp # 
BA Bard es Ea <7 ass 
(1+ p?)* 
el, en intégrant, 
ae 
a > Gia Paw om. 5 f 
Vip 
xe e+e 
dou : P Sa? 


/ i 2 2 
V ai — (x? Cc) 
et, en intégrant de nouveau, 


(9? +c) dx ; 


at == 
vu 


Cette équation représente la courbe affectée par une 
lame élastique, quand une de ses extrémités étant fixée , 
Vautre extrémité supporte un poids : on lui donne, pour 
cette raison, le nom de courbe élastique. 


573. Plus généralement, si le rayon de courbure doit 
étre une fonction f(x) de labscisse, on aura |’équation 


(1+ p?) : 
dp I(x) ’ 
dx 
d’ot lon déduira 
Pp dx 


———_ = a te 

Vvi+p’ I(x) 
Cette équation étant du second degré, pourra étre résolue 
par rapport a p. Soit alors p == 9 (7), on aura 


ce = fellate 156% 


équation de la courbe cherchée, qui renferme deux con- 
stantes arbitraires ¢ etc’, 


574. Trouver une courbe dont le rayon de courbure 


92 COURS D’ ANALYSE. 


soit proportionnel a la longueur de la normale com- 
prise entre la courbe et Paxe des x. 
L’équation différentielle du probléme est 


(1) Gap)" 


n désignant une constante positive ou négative, selon que 
Ja courbe est convexe ou concave par rapport a l’axe 
des x (I, 233). 

En prenant y pour variable indépendante et remplacant 
dp pdp 


dx a dy 


>» OH. aura 


dy _ apap 
iy T= p 
On tire de la 


rm 


1~ ance l(i-+ p?) = 1(1-+ p’)’, 


c 


ou Ym rp pry 
ta 
Vv 
lone = Pe ihnel 
donc p (2) r, 


dy 
et en remplacant p par — 
} $ Pp if dx? 


2 & 
dy = ry 
(2)) dt ee eee (=\"—: . 


Il suffit de prendre ce radical avec le signe +-, car le signe 
— conduirait ala méme intégrale. 

Cette équation peut s'intégrer d’apreés la théorie des 
intégrales bindmes : 


n ’ : ‘ ae 
1°. Quand = est un nombre entier (I, 348), cest-a-dire 
2 ; ‘ 


. . hn 1 
quand # est un nombre enter pair; 2° quand —— zest 


“% 


QUARANTE-CINQUIEME LEGON. g3 
un nombre entier (1, 349), et, par suite, quand n est un 


nombre entier impair. En résumé, 7 doit étre un nombre 
entier. 


Examinons les cas particuliers dem = 1, n =+ 2. 


1°. 2=—1: l’équation différentielle sera ; 
yay 
= = 2 2 4 
Vve—y 
dou (#—e' P+ ye=ee 


Cette équation représente tous les cercles qui ont leur 
centre sur l’axe des x. 

2°. Wt == 1; dams, ce cas, ou 1a courbe est convexe vers 
Vaxe des x, ona 


cdy 
dx = ————-; 
Pahe= ¢ 
dou ean i Fk. 


Si lon détermine k de maniére que pour y =c on ait 
ax =c’', il faudra que 
aele=- k; 
: 5 ik 2 ¢? 
d’ou er aay Ag Sh Oa Camel vr : 
Cc 


ce qui revient a 
xr—c! 


c 


(a) y+Vy?—eaece * . 
Mais on a 

(xy tVy?—e) (xy — yy? 4) =e; 
donc on aura 


(B) y — Vy? — = GE S 


Donec, en ajoutant membre 4 membre les équations («) 
et (6), on aura pour l’équation de la courbe 


x—c! z—c! 
I c BC mre 
Sf ENG =e : 


2 


Cette équation est celle dune chainette. Par conséquent 


94 COURS D ANALYSE. 
le cercle et la chainette sont les seules courbes dans 
Fig. 114. lesquelles le rayon de courbure soit égal 
a la normale, avec cette différence que 
ces deux lignes coincident dans le cer- 
cle, tandis qu’elles sont situées de part 
et d’autre du point de contact dans la 
chainette. 


: on a l’équation différentielle 
dy dy __Vey—y 


Ce es 


Or, cette équation représente (I, 246) une cycloide 
dont la base est sur l’axe 


y| des x et dont le cercle gé- 


p c 
nerateur a = pour rayon. 


On sait en effet que, dans 
cette courbe, le rayon de 


4 : courbure MK est double de 
la normale MN. 
jie Ifa = iP) 
ig ES 
vy — ¢ 
dou (w>—c/P=4e(y— ec); 


cette équation représente toutes les paraboles qui ont 
axe des x pour directrice, 


EQUATIONS HOMOGENES. 


575. On peut abaisser d'une unité Vordre dune équa- 
tion différentielle lorsqu’elle est homogéne par ‘rapport 
a y et a ses dérivées ; soit 


/ 


dy d™y 
(1) (2, We sagen r ee 


dx” 


une telle équation, et soit n le degré de Vhomogénéité. 


QUARANTE-CINQUIEME LEGON. gd 


On pourra la mettre sous cette forme 


dy d’y d™y 
: de dai dm 
(2) eR Nes y? ¥ Sh Se 39. aaa SS On 


Faisons, .ysseltt, «diod 


dy ; 
re — el udx Te $ 
f 
d?y du 
ee) des fl: wu? 
ac? (= Sih 
ae ae lt 
! SSiesudz Batt, 5 u, Bf j 
dx* dx* ib 


En substituant ces valeurs dans |’équation (2), on aura 
évidemment une équation différentielle de ordre m — 1. 
576. Exemp.e. 
ale 1d 
BA ie 443 i 


ax? Caz x 


d’y 


: dy 
Posant y = eJ"** et substituant les valeurs de , 
ax ax 


trouvées plus haut, on aura 


du 1 I 
—+w+t+-u——=—0d,. 
dx x ne 
xdu + udx Ux? 1 
ou == = ES (6). 
dx a 


Posons ux = 2, il vient 


dz Z—I 
aes =o, 
dx fe 
ou, en séparant les variables , 
dx dz 
= + = — 05 
z 2 —T1 
d’ou l'on tire 
Z2—I xr+C¢ e+e 
oe c= (- a Cee 
Z--1 re ax(x?— c) 


* 


gO COURS D ANALYSE. 


et, ensuite , 


ae 
= esudt — of 5 e g 


ae tL 
577. On traite de la méme maniére toute équation 


f (a dy. Bay 
r, —35 —35---J})=>0 

Aer Pager ik g 

qui est homogene par rapport aux indices des différen- 

tielles, c’est-a-dire dans laquelle la somme des indices 

des différentielles de y est toujours la méme; car si on 


d Reh ~ = 4s 
pose : = p, l’équation deviendra homogéne par rapport 


1 1? 
4 dp d’p 


ay de 
578, Exempere. Soit 
d? 1 2 
Cette é i i pee : 
quation revient a p Bad Oe ee 
dp ise 
(2) ve BAG) —9; 


P : é 5 TLD ene ea 

équation homogeéne par rapport a p et a 7, 51 Von fait 
ay, 

dp 

dy 

on aura, en portant ces valeurs dans l’équation (2) et 

supprimant le facteur commun e!"*”, 


pea eee = dion ball 2 


ice fale 
I 
done Pe eSfiy)ty, 


et, en intégrant de nouveau , 


piu Ganies f cue dy, 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. O07 


QUARANTE-SIXIEME LECON. 


# 


Integration des équations linéaires sans second membre. — Définition — 
Propriétés de Véquation privée de second membre. — Equations a 
coefficients constants. — Cas des racines imaginaires inégales. — Cas 
des racines égales. Méthode de d’Alembert. — Autres méthodes. 

f 


DEFINITION., 


578. On appelle equations linéaires \es équations dif- 
férentielles dans lesquelles la fonction cherchée et ses 
dérivées n’entrent qu’au premier degré et ne sont pas 
multipliées entre elles. 

Leur forme générale est 


d”y Bay 


d. ein! 


P,Q...T,U,V désignant des fonctions de x. 


PROPRIETES DES EQUATIONS LINEAIRES PRIVEES DE 
SECOND MEMBRE. 


579. Nous considérerons d’abord |’équation privée de 
second membre 


d” y Quay. Cae 2 
aan + P Gai +8 


dy 
(11) +...+T—+Uy=o. 
dx 


aoe 
Si des fonctions particulieres y;, Y2,---, 7%, satisfont 
4 cette équation , la somme de ces fonctions et méme la 
somme des produits de ces fonctions par des constantes 
quelconques C5, Cay 2+ a9 satisfera également. 
En effet si l’on pose 


YHA FOr rest enn, 
Il. ! 


98 COURS D ANALYSE. 


on aura 
dy a dy dy, dy; 
Pie C; Pb Ra tern 
dy dy; a? diy, 
Feil wearer 2 “ot Cy “In? 
dy. d” y dy, day, 
dx” dx” he dx sais Cn dix” 


La substitution de ces valeurs dans l’équation (II) lui 
fait prendre la forme 


ay, . d?-'! Y dy 
7 pias AE ee re eS 
: ( re eR Bir Une Uy) 


d”y, dash ys dy, 
a= 2 t+ TS 2 
+e, ( Wap ctl nis 


Or chacune des parenthéses étant nulle par hypothése, 
Véquation se trouvera satisfaite. Cette propriété n’appar- 
tient qu’a l’équation privée de second membre. 


580. Tl suit de 1a que si l’on connait m solutions parti- 
culiéres de Péquation (IT), on aura lintégrale générale 
en posant 

YHayi te Cr fot... + enyny 


pourvu que l’on puisse déterminer les constantes de ma- 
Glmiy: 
"? dan! 
pour une valeur quelconque de x. 
Ces conditions ne pourraient pas étre remplies s'il exis- 
tait une relation linéaire entre quelques-unes des fonc- 


des valeurs arbitraires 


: , ; d 
niére a donner ay, ve om 
x 


tions 4, V2) +++) ¥m- Par exemple si l’on avait 


¥3= ay, + by,, 
on aurait 


y= (c, ake ae) ) aie (es Sie bes) ¥ she pA denier A 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. 99 
el cetle expression ne renfermant que m — 1 constantes 
arbitraires puisque c,;-+a@ Cs, c. + bc; ne doivent comp- 
ter que pour deux constantes, ne peut pas étre Vinté- 
grale générale de l’équation (II). 

# 
521. L’équation linéaire étant homogeéne par rapport 
a y et a ses dériyées , on peut en abaisser l’ordre d’une 
unité, en posant y = e/“** (575) ; mais elle cesse d’étre li- 


néaire. Elle prend alors la forme 


; qn Uu 
(TIT) ——— +...4+(uw"+ Pu""'+Qu"?+...-+U)=0. 
dx 1 Pr 


Cette équation est plus compliquée que la proposée ; 
mais elle fait découvrir plus facilement certaines inté- 
grales particulieres. Ainsi quand une valeur u =r, indé- 
pendante de x, annule le polynéme’ 


(1) u™+ Pu™'+...4+U=> f(a) 


Péquation (IIT) est satisfaite par w=, car les dérivées 
du d'u 
Se ie Ne er Peter 
dai dx? 


est salisfaite par y= cesudt — ce’. 


., sont nulles : par conséquent l’équation (II) 


EQUATIONS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS. 


582. Dans le cas ot P, Q,...,T, Usont des constantes, 
V’équation f (uw) =o n’admet que des racines constantes 
14) T'ay+++5Tm- En les supposant toutes différentes, on aura 
donc m solutions particuliéres e"'", e",...,e’”” et Pin- 


tégrale générale sera 
(2) YC OAC CF tC CTs 


Pour le démontrer il suffit de faire voir qu’on peut 
déterminer les constantes C;, C2,-- +5 ¢» de maniere que, 
pour une certaine valeur de x, par exemplenc == 0, 77 
et ses m:—1 premiéres dérivées aient des valeurs arbi- 
b(—!). En effet, de Péquation (2) on 


Bis 


traires b, O',...; 


r 3 tt 
Judy po’ e J tedx 
2 a £.2 

L ge: 


Univ. ef Arizona Library 


100 COURS D ANALYSE. 


lire 
dy : ; 
(3) SO My OO OT Ae oa = Cnn e 5 
ax 
ay 
2 a2. 2, c 
(4) dx? Ser, ED 16; Tig Cnet Cr mew 5 


el, par conséquent, en faisant «=o dans les équations 
(2), (3), (4),.--, on aura 

(oy Ee, Soe, Som Ee Se, 

Cy HE Cn Py B03 73 eee bt Om Tn = OF 
(C) arbor ter, +... tenn = 0", 


CF i TE GE ay Og Pe ee BOG 


Multiplions ces équations respectivement park, k’,k”,.. ., 
kim—*) et 1, et ajoutons-les : en posant 
kat rt Rr? Rm) pr op = g(r), 
on aura 
©. (71) C2 9 (72) eee He Cm @ (7m) 
= hb + BB HRY BY + bm)” 

On éliminera ce, ¢3,..., Cn. €n prenant pour ¢ (7) une 
fonction telle que 9(72), 9 (73),..-, soient nulles, mais que 
p (71) soit différente de zéro. Ces conditions seront rem- 


plies si l'on pose 


7) 
9(7) = ioe rs) Coe 73). . (7 — Pn) a a .F 
dot 9 (7) =f" (n) 
b(n) Sie. ane: kk’ p" as Kl bic we 
et Oe ae : 
Fn) 


On aurait de méme cy, c3,.... Toutes ces constantes ont 
des valeurs finies et déterminées, puisque f (r,), f’ (r2),..., 
ne sont pas nulles. 

Si Pon donnait les valeurs 6, 0',..., dey et de ses dé- 
rivées pour x =a, il suffirait de changer dans la valeur 
de y, x en x —a sans toucher aux constantes, car lin- 
tégrale (2) peut évidemment s’écrire 


VSG) CN Se) nies (oo) Eee 


L¢%) f ? be eapulal 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. 101 


in prenant ensuite les dérivées et faisant x=a on retrou- 
verait les mémes équations (C) pour déterminer ¢,, 


Cy bean Cn- 


+ a? He , 4 
EXEMPLE. —— nyo, 
dx . 
ona r—n’=0, . 
Pot Sari 
et y — C, a Se Cy Gi. 


CAS DES RACINES IMAGINAIRPS INEGALES. 
é 


583. Lorsque |’équation 
J (7) S7®4+ Pre'+...4+Tr+U=0 
a des racines imaginaires , la formule 
SP SS Gyr SOG? Sen os Sena 
représente encore l’intégrale générale, mais elle renferme 
des imaginaires. Pour mettre l’intégrale sous une forme 
réelle, observons que les racines imaginaires doivent étre 


conjuguées deux a deux en supposant que P, Q,..., T, U 
soient des quantités réelles. Soient donc 


rmatby—t1, r,=a—6yY—1, 
on aura 
ce! 7-4 ¢, 672" =e, & e+ Oxy c,e%™ _Gayior 
=e%*| (c, +c.) cos6 x + ¥—1(c, — c,)sin 6x |, 
ou bien 


ce + c,e"?* = (Acos6.x+B sin6 2) e**, 


en posant A=c,+c¢,, B=(c,—ce) ~—r: A et B dé- 
signent des constantes arbitraires que l’on peut toujours 


supposer réelles. 
On peut encore écrire-la somme des termes qui cor- 
respondent a deux racines conjuguées sous cette forme 


ce** sin (6a +c’). 


102 COURS D ANALYSE. 


584, Exemp rs. 


ie mee 


ye, c=) 4. 6, eo —| = A cosna+ Bsinna. 
ae dy : 
5° ee a 0; 
dx dx 


Péquation en r est 
P—r—6=0: 


on en tire 
ie A= TEN 35 i= —1HVy—2, 
el par suite 


Ke ee [A cos (x V2) + Bsin (wx V2) \ 


CAS DES RACINES KGALES. — METHODE DE D ALEMBERT. 
585. Lorsque l’équation 
(1) rr Pp! 4 Qr? 4.. + Tr+U=0 


a des racines égales, les termes correspondants a ces ra- 
cines dans la formule 


(2) "=e -— cpen* eo 


se confondent en un seul et l'on n’a plus V’intégrale gé- 
nérale, puisque le nombre des constantes arbitraires est 
inférieur a me. On peut cependant déduire de cette méme 
formule Vintégrale générale en considérant d’abord les 
racines comme ayant une différence qu’on rend nulle 
ensuite aprés avoir fait subir 4 Vexpression une trans- 
formation convenable. 

Pour faire comprendre ce procédé par un exemple trés- 


: Ages Sue daz 
simple, proposons-nous de déduire Pintégrale | ——=lx 
ree 
‘ t 


j 
ae aes Te : 
de Vintégrale | i alia iS he iar C, qui devient illusoire 
Rt | 


4 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. 103 


quand m == —1. Posons m = —1-+ h; nous aurons 
dx hu NiG? 

[Sse ar 
Pie 5 h? . 
Mais w= - = hi le (la)? + °35 ¢ 

I.2 
done 
da I h . sh? 

{= Jo+ gt let (ley (ley. |> 


I 
et, en représentant C + — parc, 
p +5 pare, 


dz h he “tas, 
[Fiserter Aeps, (eps, 


. . . 


Donc si lon fait kh = 0, on aura 
dx 


BS Sign = fo 
x 6 


586. Revenons maintenant aux équations linéaires et 
supposons 7,=7r,. On peut altérer les coefficients de 
Péquation (IL), de maniére que I’équation (t) n’ait plus 
de racines égales. Alors ona rz = 1, +h, et 

y= Ce? + Ci etr  o et? +. ., 
ou 


y = (C, + C, ef) et + e, e8* + 
=e (6 + Cc, + (G5 hx se G 


2 \ 


DT os ate Gg OPS ala way 
T:2 / 


ou bien, en posant 
CO. i Creee, (hbase: 
on aura 


y= ci ghee +. taal g oie sie 

ae roB Ve Bins 

Tae Ge) Satan 05 
cette valeur satisfait 4 l’équation différentielle quel que 
soith, Done en faisant h =o, on aura 
(3) ymert(etecar) + ce +..., 
expression qui renferme m constantes arbitraires dis- 
tinctes quand 7,73, 7,,+++, sont des racines différentes. 


104 COURS D ANALYSE. 


Quand trois racines sont égales, on suppose d’abord 
Péquation modifiée de maniére que deux racines seule- 
ment soient égales, ce qui donne a l’intégrale la forme 

y=en*(C+ Cx) + C,c™+.... 


Puis, supposant 7; == r, + h, on aura 


c G, h? ORES 
yaew|C+ G+ (C+ GA) + cet et. 
a (Hop) Teoao 


+ 6, 67s 4-2. 6, 


Ch 
ou, en posant C+C;=c, C’+C,h =c’, a — ¢! 


; “/ 
e ch ; 
yee (e+e ae +t...) + ce" +..., 
/ 


/ 


el, en faisanth=o, 
(4) yse*(e+ec'x +e" x?) +ce,e%+.... 


On trouverait, de la méme maniére , que si la racine 7, 
était quadruple, il faadrait remplacer les termes qui s’y 
rapportent par 


ent (e+ cla + ce! a? e” x), 


expression qui renferme quatre constantes arbitraires. 


DEUXIEME METHODE. 


587. Lemme. uet v étant des fonctions de x, si lon 
cherche les différentielles successives de uv, on arrive 
par induction a la formule 

d"( uo) = ud" o -++ ndud"—'» + aed QU ns 

+ nd’ udo + vd" tu, 


ou 4 la formule symbolique 
aS (du = do), 


en remplacant dans te développement du second membre 
les exposants des puissances par des indives de diftéren- 
tiation, et en admettant que d°u = u, 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. 10d 

Pour faire voir que cette formule est générale, il suflit 
de montrer que si elle est vraie pour Vindice 7, elle est 
encore vraie pour l’indice +1. En effet, soit Ad? ud"? v 
un terme quelconque du développement de d".uv. On 
aura 


iG. ire DS kdPud"?», 
De la on tire 


f 
da’! wp s (A dP*+: ud"? ¢ es kd? ud®™—Pt+' e), 


ou sous une forme symbolique wy 


4 


GROTREIE rer > kdu? do"? (du 4- dv) = (du + de) > Adu do? , 
Mais, par hypotheése, 


’ 
pe kdu? do"? = (du + de); 
on aura donc 
d'*'. uv = (du + dev) (du + do) = (du + do)er), 


Ce qu'il fallait démontrer. On démontrerait de la méme 
maniere la formule plus générale 


d",(w...2)=(du+deo+... + dz), 


588. Autrement. Le coefficient / dans l’équation 


(1) a". wo = SY kd? u diy 


est un nombre indépendant de la nature des fonctions u 
et v. Soit alors w= e, y= e*, on aura 


QE [ima A, ETP) # ae glart)e (gy 4b Rae”, 
et Péquation (1) devient 
(a at ip Ne ax” oe ~ kab bt dat *4, 
el puisque p +g =n, 


a+b f= »S kak 68—?, 


106 COURS D ANALYSE. 


Ainsi les coefficients de d”. uv ne sont autre chose que les 
coefficients de la n‘’”” puissance d'un binéme. 
p 


589. Revenons a |’équation 


d™ dm Y d”™—? 
y Oe — a 


dx” da” 


(II) 


\ 


+... re Ua 


Remplacons y par uv. L’équation ordonnée par rapport a 
la fonction u et a ses dérivées , deviendra 


d"o GEM GG ge {o 
+ P __ + Q - pea BAe ree, u 
a 


WB Ghee § dam 


I dx” ag ate ue 
eae De d®™—* » d@-3 9 @u) =o 
+ ——j m(m— 1 -- (m—1) (m—2) P + Sv j— 
fe: | ) Of OL ( )( ) Ce ie Ndi ig da? 
da" u 
DPD 7D ——— (Pee EO 
wa oo ( )( ) | 8 
ou bien 
du We el Vi a” u 
(2: Vou+ V,— + — aie —— += 
a) : ‘dx As 2 dx 1.2.3... 7m ax™ 2 
en posant 
V d™o me LING 0 any T dv U 
— + Pah —_—- v 
ax dar" atl aeee bs ag dx t 
dm 0 do dus 0 
Wi ee Te) 1 re = 8) 0) F t 
u dx! ( ) dan? a (/ ) Q dx rid rif Te ? 
q- 2 dn ” 
V,.= m(imn —1) es + (m—1)(m—2)P ape +...+ Se, 


© nea cea) Bere qe) (el ieee re a cwire; Geli: (ee: iP tere las mealel inj e 


Le développement (2) est analogue a celui d’une fone- 
tion de x dans laquelle on remplace x par £+ h. On 
voit en effet que les polyndmes Vo, V,, Vo,..0 5p dés 


<7 


QUARANTE-SIXIEME LEGON. 109 
duisent du polynome 
om 4 Pp gre! ei ED ay ie Se U, 
et de ses dérivées en remplacant v™, v"~',...,, v° par 
d@o qd™—! v do 
are ] > Vv. 
ohn bynes aes 
590. Maintenant, si l’on pose » = e™, et que l’on sup- 
prime le facteur commun e", l’équation (2) prendra la 


forme r 


; Li : 
(3B) if (rye +f (r) = +f" (7) 


da? u ad’ 
ax? dx” 


= 0, 


f(r) désignant, comme plus haut, le polynome 
rm Pr™t 4. 4 Tr+u. 
De la résultent les conséquences suivantes : 
1°. Sir, est racine simple de l’équatipn 
J (r)=0, 
on satisfera a léquation (3) en faisant 


Die Tiey thea Gee 


c, désignant une constante, d’ou y = c, ¢""”. 

Donc si toutes les racines sont inégales, on aura m in- 
iégrales particulieres contenant chacune une constante 
arbitraire et dont la somme formera I’intégrale générale. 

2°. Sir, est une racine double, f(r,), f'(r,) seront 
nulles et l’on satisfera 4 Péquation (3) en posant 

an 


Tis Taee 


Cou Uo Cn, yee" (e+ cx), 
3°. Sir, est racine triple, f(r), f’ (71), f" (71) seront 


nulles et l’on satisfera a ?équation en faisant 


dou moaeotedaoatel x 


et ainsi de suite. 


108 COURS D ANALYSE. 


TROISIEME METHODE. 


O91. En substituant e” a y dans le premier membre : 
de l’équation (II), on a identiquement 


d”™, ert di! .ert d Waka eae 
(1 ee +e... +T Wie" ltr). 
: ) dz” a kigiee ~ dx ic om ) 
Disférentiant par rapport a7, on aura 
i pp ; 
AUR. OU C6 eR AEE ; « 
co age =e dxm-! +.2.+Ueta=e"([f' (r) 4+ af(r)] 
et > . 
d™, el? dit— L eo? ‘ a U ; 
aia Ca" 
( 3 ) dx” ate dx” 


= eP [fry a 2S ae err) s, 
et ainsi de suite. 

L’équation (1) montre que lon satisfera a l’équation 
différentielle en posant y = e”, r, étant une des racines 
de Véquation f(r) =o. 

Sir, est racine double, on a f’(r,) = 0, et la rela- 
tion (2) montre que l’on peut prendre y = ex, ce qui 
avec e”'™ fait deux solutions. 

Si r, est racine triple, outre les deux solutions dis- 
tinctes déja obtenues, on déduira de l’équation (3) la so- 
lution y =e’ x’, et ainsi de suite. Ainsi a chaque racine 
multiple correspondra un nombre de solutions égal a 
son degré de multiplicité. En multipliant toutes ces solu- 
tions par des constantes et les ajoutant, on aura done 


Vintégrale générale, 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. 109 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON, 


Integratien de Véquation linéaire compléte. — Réduction de Véquation 
compléte a ’équation privée de second membre. — Cas ov les coefli- 
cients du premier membre sont constants. — Abaissement de V’équation 
linéaire quand on connait un certain vombre d’intégrales de Véquation 
privée de second membre. — Autre méthode. — Equations linéaires que 
l’on sait integrer. — Propriétés de l’équation du second ordre. 


REDUCTION DE L’EQUATION COMPLETE A L’ EQUATION 
PRIVEE DE SECOND MEMBRE, 


re 
Posons y = { zda, z étant une fonction de x et de « 
oO 


dz “az GANG 


tellementchoisie, que z, aa omnes soient nulles 


pour « = x et que Yon ait pour cette méme valeur 


d™ Z 


Saale 
dx” (x) 


Ces conditions étant remplies, on aura 


z, désignant la valeur que prend z lorsque = x; mais, 


par hypothése, cette substitution annule z; donc 


on aura ensuite 


2 aad? Iz 
sie see er ae (=) : 
Ax hy dx? dx a 


riaas (ze) == 0; par conséquent Péquation précédente 
ode 


110 COURS D ANALYSE. 


d*y %d2z 
a dz 3 
dx if att. 


on trouve de la méme maniere 


dy x 3 Zz tas z qin—i A 
— day..., —— = da, 
dz ax dx” Oe da 


d” yy a d™z 
obi f dx” arte) 


En substituant ces valeurs dans l’équation proposée , 


deviendra 


ona 


dx” ax 


wef mz d"—'z ‘ 
| om 1p et 4 a| daa 
ie / 


et il suffit, pour que l’équation soit satisfaite, que l’on 
ait 
an Zz d"—z 


oe +...+Uz=0. 
da!” dx! 


Si, outre les conditions citées plus haut, z remplit cette 


os 
nouvelle condition, y = | zda sera une intégrale par- 


vO 
ticuliére; en Ja désignant par wu et posant y =u+ 9, lé- 


quation deviendra 
We 0 


da” 


+...+ Uva. 


Ax m da” —k 


Td™u LEM p a ee 
+ P +... +-Uu—F (2) | + 


Or la premiére partie est nulle par hypothése;, done 
l’équation se réduit a 

d" ¢ Cn 
a dam Thi ewes 
Etsi l’on peut intégrer généralement cette équation , «+- 
sera Pintégrale de l’équation (I). 


cAS OU LES COEFFICIENTS DE L’EQuATION (II) sont 
CONSTANTS. 


593. Quand on connaitra l’intégrale générale de l’équa- 
tion (II), en y remplacant « par «—«,'on pourra pro- 


“« 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. Lit 
fiter de Vindétermination des constantes arbitraires qu'elle 
renferme pour remplir les conditions indiquées plus haut. 
C’est ce qui arrive lorsque les coefficients P, Q,..., U 
sont constants. 

En effet, en désignant par r,, rs, 73,..., les racines de 
léquation 
(1) SF (7) = 9™+ [ype ae + Vr+U=o0, 
on pourra écrire f 
sie Cd 1S! = ee Oe, .. Gur ear), 

et pour que les équations indiquées plus haut soient sa- 
tisfaites , il faudra poser 

C,+C,+...+Cra=o0, 

Ci Gc ict Ga 05 

C, 7) + C,7> + cy oF 


Cir dae kean he OA ig Cys” = F(a) 


En opérant comme au n° 582, on trouyera 
F(«) F (a) , 
a any 77 oho i ra a 
(Oy Finy’ C 7 (7) ) f'( rm)’ 


el, par conséquent , 


F(a) e! (x—«) F(«) erat —&)| 


= a ore 
eh a OA 
F ( x) erm (2-4) 
rec a ? 


a 
On aura done af zda, ou 
oO 


Zor (a— a) F git? 4) B (a) 2 ols (L—%) p (a) 
der 


cae 0 Wien? 0) I (rx) 


ime a) 
eae 


7 as Oa 
(2) 


112 COURS D ANALYSE. 
Mais on n’a ainsi qu'une valeur particuliere a laquelle 
il faut ajouter l’intégrale générale de |’ équation 
dl”'y CHS, do 


— oe se Uvics 
dx" dx cm dx ae > 


laquelle est 


(Pe aie (ON a Semen 


Cy) Coy. ++, Cn désignant des constantes arbitraires. Ajou- 
tons cette valeur au deuxiéme membre de |’ équation (2) 
et observons que 


ee 
* a Cre. 12 
re) Fa) 


peut s’écrire 


ou, en remplacant c, f/(7;) par ¢,, 


= 14 
ent & f ene R (a) da | 
0 . 


f(r) 
on aura done 
| elit |< +- i eon ie) a,| 
= re) 
for fi (7) 
a x 
erst E a4 { Cum ee F( a) aa| 
(3) / ve = 
J! (Pr) 
fe PA | : : 
x 
el mt E + f{ er me EF ( a) aa 
ete, Gh a ee 
F (Tm) 


Ainsi, dans le cas des coefficients constants, l’intégrale 
de Péquation (1) s’obtient par des quadratures. 


QUARANTE-SEPTIEME LECON. 113 


CAS OU L’ON CONNAIT UN CERTAIN NOMBRE D INTEGRALES 
DE L EQUATION PRIVEE DU SECOND MEMBRE. 


594. Si l’on connait m intégrales particuliéres de |’é4 


quation 

: aay, d™— Y d— Vv be dy 
(i ty aes Pp ~ ~ tal jpee —— 

’ dz” a dz™— eile dz™-? = te dx Bie dh 
on aura 


YHOQ yi ti yrit-.-+ Ln Im, 5 
C,, C,,..., C,, étant des constantes arbitraires. Or on 


peut supposer que cette expression satisfasse a Véquation 


di” y d™' Y dv 
. ~~. poe TT == 
a Cae et ag ke 


(1) 


en regardant C,,C.,...,C,, son plus comme des con- 
stantes, mais comme des fonctions inconnues de x, qui 
n’ayant a remplir qu une seule condition, savoir que la 
valeur dey satisfasse a l’équation (I), peuvent étre liées 
entre elles par m —1 relations tout a fait arbitraires. On 
choisit ces relations de maniére que la détermination des 
fonctions C,, C.,..., C,, nexige que de simples qua- 


dratures. 


Ona 
dy 'y ay ZL C dyn 
dz ae ‘dx an5 we 
dC, dC, - Fa ke Wp 
PRs tae ae Ps 
Posons 
: dC, , ha 5 at; <a 
m7 Gn 79? Ge Dine 
Alors on aura simplcment ° 
J if 
A ay ode oe 
dx az dz c 


II. 


it4 COURS D ANALYSE. 
dy i f, ye CR rules 

et — aura la méme forme que si C,, C.,..., C,, étaient 
x 


des constantes. 
On aura de méme 


2 2a, 2 A, 1? a 
i aia gcd er Be 
dx? dx? dx dx 
en posant 
dy ACs, yd ym dO 
2) dx dx de dx. dx dx” 
puis 
dy d* y, dy a? ¥m 
— Fi : = Cr = 
Hes ade vee: dx’ 
en posant 
/ OPT dC, G29 dC, He sire dG 
(3) = — a 


ax? dx dx? dx ee dz? dx 
qm. 
da” 
lant toujours 4 zéro la somme des termes qui renferment 
les différentielles de C,, C,,..., C,,. Enfin on aura 


On continuera ainsi jusqu’a inclusivement, en éga- 


d™ y dl” v Pe Alb (eA is 
— — —_—— G; eae = 
ag? “dam  akiek Bir + Cn dxum™ 
* Gyn He GLEN CG Op ai da" Ym aia 
REN wales Ai = se i EES walle 


d 
On a, en substituant ces valeurs de y, a etc., dans 
bs A 


Véquation (1), 


d” a Gy 
0 eee ae oy , 
A ( da” Bi I dx re a5 U» , 
dey, MEE ss : 
+6, ( as é dan! fig, cia er Uys) =v 
=e 40 ¢ © ee eee 0. eer) =) see 16: 5. 0 eee 60) ay BS eae: wl ie: 
an! » vaiG tay day © thy dom 


dun" “de dg! dae Axa” sey 


QUARANTE-SEPTIEME LECON. 


Or les polynémies qui multiphent C,, C,,..., sont nuls 
par hypothése : l’équation précédente se réduit done A 


119 


(re) 2, iam Sy dQ, Chai dC, 


diem. Vv 
rr oy ent SSS 
da ae dx” dx | OPE" lye 
* 
Lots ; : dG, dC, dC 
On a ainsi, pour déterminer : “ 


—) —)-:++, —" les m 

dz’ dx’ dx 
équations (1), (2),..., (7). Supposons qu’en les résolvant 
on ait trouvé f 


dC dC; Gs, 
a= eed SN ps wiony 


dx dx 


2 


* 
on aura Gaot [ Xde, CSG ee 
et, par suite, 


ya(o+ fxaz) Sia (+ [x.29) POBAS o 26 


595. Si P, Q,..., U sont des constantes, on peut pren- 
Are yy Cs Ya Oey Yin HOG My May ey Mn Elant 
les racines de |’équation 


ES, Cae 


f(r) = rm Pre 4 Qre t+... + Tr +U=0: 


Dés lors les équations (1), (2),-.-, (7) deviennent 


dC, dC, _ CAG 
ene ale, ge? Soe eA el me ; 
dx dx dx 
dC 
2 m 

TGR ee pert eH Pn Cm™ rg 

dx d. dx 
6 MAES CR CCR Mare ie 3 AN SOS Te 
Ml ong C, M\ ore dC, erat dC, 
He @ 2 1. 5 eta m 

dx dx 


== OVie 
dx 


En employant la méthode délimination qui nous a déja 


: : Le bate dC V 

servi plusieurs fois , Le al era). 
C aN [vena 

i ae ——— — —oo | 

aoe | ir) 


ee) 


116 COURS D ANALYSE. 


On aurait de méme C,, C;,..., et, par suite, 
(« + [ veraz) ent (e+ [ver a) en 
= 
5 ae 
BAP) et) 


ce qui est au fond Ja formule (3) du n° 593. 


i ese, 


596. Exemp.e: 


d*y 
— — 7? y= V 
da? 
Ici m=2, ry=N, m=— AN. Lintégrale générale sera 


done 


T 
iy =e (« + sit ie ene ar) a eae (« pee ine: a) i 
2n 27 


597. Si lon connait seulement m—1 intégrales par- 
ticuliéres de l’équation (II), il sera possible de ramener 
Pintégration de l'équation (I) a celle @une équation li- 
néaire et du premier ordre. 

En effet, supposons, pour simplifier, que Von ait a 
intégrer l’équation du quatrieme ordre 


BESS d*y Ly, 


1) ities 33 


\ 


Jig Popa ¥ 
eG fei) 


das dx 


et que l'on connaisse trois intégrales 1, 7s » ¥s de Péqua- 
tion privée de second membre 


aay, daly, (Ue sp dy 
me AS | DY Se Sle (Qe {pes -= 0, 
(11) dx‘ , dx Q gee 2 dx ue ss 


On représentera encore Vintégrale générale de l’équa- 
lion (I) par 

ye y+ C.y7.+ C7, 
C,, C,, C; étant des fonctions de x qui, n’ayant a rem- 
plir qu'une condition, peuvent étre assujetties & vérifier 
deux relations arbitraires. 


Se : en. ‘ dy 
Si nous prenons ces fonctions de telle sorte que - 
AL 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. 117 
au A ; iT pene 
et [alent la méme forme que si C,, C, et C; étaient des 


constantes, nous aurons 


dy dy, dy, dy; 


ee eg 
d?y d d*) ‘fea 

i = ¥ — Tae Os 
cat ay, d?y, dG f 

Geek crrdeia i! de ada ttc 

diy Ln dG; dy, diy dG, 
Bia iitig | dae deh gf Oe ode. 


, 


En substituant ces valeurs dans |’équation (I), et sup- 
primant les termes qui se détruisent par hypothése, nous 
aurons 


/ 


Ley Nal 1? ee 
(1) har greets G+ eotliul oe Saal 


eee 
dx ara), dae dx? dax* 
et il faudra joindre a cette équation les deux suivantes : 
dC, dC, dC, 


() Gaee aa dx eee? 
(3) dC, dy, dC, dy» : dC, dy; et 
(ibys Clee hin Ole dx dx 
dC, 
De ces deux équations , on Urera pour et eo des 


valeurs de la forme 
dy dr dG BCy 


dine 6d wilde 9nd 
Si on les porte dans l’équation (1), on obendra, en posant 


dC, é : fers : 
— = z, une équation linéaire de la forme 


on aura ensuite Cr 7, af 2dr , 


C= 0c) -- f Xoae, Ca ¢,-E J Sosa 


118 COURS D ANALYSE. 

Lavaleur de z contenant déja une constante arbitraire, 
la valeur de y en contiendra quatre. Ce sera donc l’inté- 
grale générale. 


598. Sil’on ne connaissait que m — 2 intégrales parti- 
culiéres de l’équation (IT), on serait ramené a l’intégration 
dune équation linéaire du second ordre. En effet, soient 
v1 et 72 les intégrales connues, et représentons par 


y=CO7n+Qy7. 


Viniégrale cherchée ; comme on ne peut établir entre C, 


7 


et C, qu’une seule relation arbitraire, exprimons que os 
x 


a la méme forme que si C, et C, étaient des constantes. 
Les fonctions C, et C, seront déterminées par les équa- 


tions 
: dC, dG, +e 
(1) yi re + 2 en =o, 
BC Cocuemien (0h dC, 
(2) G=t+H—S+I1+K—"4...=¥, 
dx dx dx 


G, H,... étant des fonctions de x. De la premiere, on dé- 


dC, He 
duira = = 


ans la seconde, on 
Ax 


aura une atta ou C, nentrera que par ses dérivées 


ARC GEG PCr dC, y : 
- Alors en posant Fe = Fs Cetle Equation 
Ay bg 


dx’ dx dx 
prendra la forme 


ad?z dz 


do P ae 


+ q2=?. 
Ceite équation étant intégrée, on auva C,= ¢,+ rE 2 das 


et neni Co= cot f Xezde. Comme z renferme deux 


constantes arbitraires, on voit ‘bien que C, y,+C, y2 en 
contiendra quatre. 


099. En général, sz 2’ on connaitt n intégrales distinc- 
tes de V’équation linéaire privée de second membre, ox 


QUARANTE-SEPTIEME LECON. 119 
pourra ramener L'équation complete & wne équation li- 
néaire du (m—n)°* ordre. 

La démonstration de ce théoréme général est suffisam- 
ment indiquée par ce qui précéde, c’est pourquei nous 
nous bornerons & examiner le cas particulier ot l'on ne 
connait qu'une seule intégrale y, de l’équation (11). Nous 
poserons alors 

y= Gy, 


et en exprimant que c’est une solution de |’équation (I), 
nous aurons 
d C, 


(2) gC epee fog OC e 
dam Ggmat Peee G N 


@ 


les nouveaux coeflicients P,,..., T, se formant, comme 
on I’a dit au n° 589. Si l'on pose P 
dC, 


tis 


= tu, 


cette équation se réduit a 


Ai tb C2 


ass 2 > =_ 
(2) ee +P, Foe t= TV; 


équation différentielle de ordre m—1. Ainsi Vordre de 
Véquation proposée sera abaissé d’une unité, L’équa- 
tion (2) en wu étant intégrée, on aura 


C,=a+ [ute 


et, par suite, ymayt nf dx. 


AUTRE METHODE. 


600. Le cas particulier que nous venons d’ examiner 
permet de démontrer le théoréme général énoncé plus 
haut (599), et fournit une autre méthode pour abaisser 
Vordre dune équation linéaire. En effet, appliquons te 


120 COURS D ANALYSE. 
méme procédé a I’équation 

d—' u qd? u 
(1) are cipea dt Gea Gd scien 
Soit wu, une solution de l’équation 


dr u qd? u 


me dar? 


ll 
u, 
dx 
z dépendra d’une équation linéaire de l’ordre mi — 2 
P { ’ 
d"—2z d”™ 3 z qdr-s Zz 


+.P, —_—+Q +...=V, 


2 
itm a 


+ hi eT. 0. 


d. Filme 


En faisant z= ) 


gg 


etl’on aura =O SE, ede, 


et, par suite, 


yay by, f mae +o f mde f san, 


ou yxy mayit by. +5, 


en faisant 72= 7% [vae, cay. f mde f sar. 


La fonction désignée par y, satisfait a Péquation 


any. d”— y 
iP = Hat = 
( 3) dar” ai dx hie i Uy 0, 


car si l’on suppose V nulle, on peut prendre z= 0, et 
par conséquent ¢ = 0, ce quiréduit y a ay,+ by,, ex- 
pression dont ¥, est une valeur particuliére. 
Réciproquement, on trouvera une fonction telle que u,, 
si l'on connait une fonction y2, différente de 7, qui satis- 
fasse a V’équation (3). UH suffira, en effet, de prendre 


AL 
dz 


yest une valeur particuliére dey. 


puisque u = s¢ change en u, si V = 0, et qu’alors 


. 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. 121 
re 2 , 
L’équation en z étant de l’ordre m — 2, on cherchera 
une valeur z, qui satisfasse a Péquation 


di? Zz d®3 z = 
f 
(/ ) dy"? sh P, ax m—3 


+...+8.2=0, 


et Pon aura Bos cz, + z, | tdz, 


Z 
en faisant t= 24 
dx 


» dou P 


¥ Say, + by. + cys + 4, 
43 élant encore une solution partiouhiére de Péquation 
(3), et ainsi de suite. 

On voit done qu’on pourra abaisser Pordre de équa- 
tion (I) d’autant @unités qu’on connaitra de solutions 
paruculiéres de léquation (3), et en outre que Vinté- 
erale générale de léquation est de la forme 
grale g le de Véquat I) eside la f 

Y Say t byr +e. +lyn +), 
A étant une solution quelconque de |’équation (I). 

L’équation linéaire n’admet pas de solution singuliére, 
puisque la solution quelconque y = A se déduit de linté- 
grale générale en faisant nulles les constantes a, b,..., é. 


DE QUELQUES CAS OU LON PEUT INTEGRER L’ EQUATION 
LINEAIRE A SECOND MEMBRE. 


601. Si dans |’équation 


d m y EV. dy 5 
: .ee fT yu Vi 
aa da® aa aa 7 a dx polly , 


Pees Vv 
P,Q,...,U, V sont des constantes, on fera y = gt et 


Von aura 


Ee, ane, dz 
—— —— bins > — Wigs 
Gan ¢ Cfo a : ae dx ees ie 


équation que l’on sait intégrer. 


602. Les coeflicients du premier membre de léqua- 


122 COURS D ANALYSE. 


tion (1) étant constants, si V est une fonction entiére de 2, 


Aa’+Ba"'+...4+ Cr+ H, 
on posera 
yan? ty byt aes ib, 


et Pon déterminera a, 6,..., h, en exprimant que cette 
valeur satisfait al’ squaeOh | ee ce qui formera au- 
ee v gional ibs aL ya d@inconnues. Une premiere in- 


pendra que d'une équation ers a coefficients constants 
et privée de second membre. 


603. Si 


V=Acosnx + Bsinzz, 


A ct B étant des constantes, ainsi que les coefficients du 
premier membre de l’équation (1), on fera 


y =acosnx + bsinnz, 
ce qui réduit l’équation (1) a 
(aG + OH) cosnx + (aK+ bL)sinrnz=A cosrx-+-B sinne, 


G, H, K, L étant des fonctions de 7 et des coeflicients de 
Péquation. Pour que l’équation soit satisfaite, il faudra 
que Von ait 

aG+bH=A, aK+0L=B, 
ce qui détermine a et 6, a moins que GL — HK ne soit 
nul. L’intégrale générale sera 

¥ = acosnx + bsinnx +2, 

z éltant Vintégrale de Péquation 

dm Zz q™ ly 


dal” dan! am—1 


+...+Us=o0. 


604. La méthode précédente tombe en teh lorsque 
GL—HK=o. Dans ce cas, Vintégrale s’obtient par un 
artifice de calcul dont voici un exemple. Soit 

d*y 


(1) —— + ¥ = cosa, 
dx? 


QUARANTE-SEPTIEME LECON, 123 


on ne peut y satisfaire en posant 


Jy = acosx+ sina, 


car on trouverait 
—acosx — bsinx + acosx+ bsinx = cosz, 4 


ou Oo = cose, 


équation qu il est impossible de rendre identique. 
46, € j : ae 
Mais si l’on prend l’équation plus générale 
d’y 


da? 


(2) 


+y= COSRX, | 


i 


en posant y = a cosnx + bsinnx, ona 
a(1— 7’) cosnx + b{1 — n?) sin nx = cosna, 


‘ Li e 
dou as——,. b=0,., 
I— 7? 


ce qui donne la valeur particuliére 


COS 72.0 


j= 


1— 7° 
La valeur générale de y sera donc (592) 


COS AL ; 
y =— _ + Coosr + C'sinz. 
re 


Cette valeur deviendrait illusoire si l'on faisait 7 = 1; 


I 


mais on peut écrire, en posant C= C’— on 


cos nx — COSx ; 
y= ——__ + Ccosx + C'sine. 
I—2n 


? ; o 
Faisant m—=1, le premier terme prend la forme = 


A j xLSInx Beh ae 
mais sa vraie valeur est ———; donc l’intégralegénérale 
; 2, 
de l’équation (1) est 
x sine ae re 
y= —— + C’sing + C cose. 
2 


124 COURS D ANALYSE. 

605. On peut encore poser n = 1—h et faire ensuite 
h = 0 apres avoir fait subir a Vintégrale une transforma- 
tion convenable. On a 


 cos(z — hz) 


= ces. ’ -+- C cosx 4- C’sin x, 


ou bien 


/ C cos hx oat sin hz ihe 
acorn ——— ; ae a RD . 
: ( CMG shy) ee h(2—h) 


En développant en séries coshx et sinhx, on aura 


eee ha— Wate... 
eee C a f = I + 
y ot a= cosxz + | C’+ Sea sin # 
A i —h 
ou bien, en posant C’ = (ae 
hix? \ x hea < 
Crm +e. ‘+ ——— ~~ ,_—.. ... | sinz. 
os ( esa ane Jeose+ | c+ =) 6(2—h) | sins 


Si maintenant on fait h = 0, on retrouvera encore 


2 Sina 3 
= eS 0) Sie (Oe 
2 


696, L’équation 


ary P aeaay: 


dx . dam 


ee NV. 


se rainénera au cas précédent (603) lorsque lon aura 

V= Acosnx + Bsinnzx + A’cosn’'a + B’sinn’x-+.... 
En posant y =u-+u'-+..., il suffira de satisfaire sépa- 
rément aux équations 


a” u are ; 
ete +.. =Acosrze + Bsinaz, 
dac™ da"—- t 
d" u! Ghia ih y 
f+ ...== A’ cosn'’ ax + Bsinn’ x, 


(akg a dx”! 


607. On ne sait que wes-rarement intégrer une équa- 
tion linéaire A coeflicients variables. Voici tn exemple ou 
Vintégration peut s'achever. 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. 125 


Soit l’équation 


j dad” Vi Uy. 
ax + b m ~- Plax & \n-! fi i, 
) (ee ie ONT Ue ae 
| ] Sy eae ped tl gn. 
\ dx ie Se 


P, Q,..., T, U étant des constantes. 

Posons y = (ax + 6)"; substituons cette valeur dans 
Véquation et divisons les deux membres par le facteur 
commun (ax oe By nous aurons 


r(r—1)(r—2)...(r—m-+1) a” 


ge 
+P(r—1)...(r—m+2)a™'+...+U=0. 


(2) 


Cette équation étant du degré m, donnera en général m 
valeurs constantes et inégales pour r; en les désignant 
par ry, Yas-> +s Ty alors. (ax +b)», (ax b)\ tens 
(ax + 6)" seront des solutions particuliéres de l’équa- 
tion, dou l’on déduira pour I intégrale générale 


y= O(n + bY Cs (ae + BY et Caan + bY. 


Toutefois la forme de cette intégrale serait modifiée si 
quelques-unes des racines étaient égales ou imaginaires. 
Il faudrait alors se servir de procédés analogues A ceux 
que l’on a employés aux n° 604 et 605. 

Au reste, on ramenerait cette équation a une équation 
linéaire a coefficients constants en posant ax + b =e’. 


PROPRIETES DE L EQUATION DU SECOND ORDRE. 


608. Ouand on connait une intéegrale particuliére y, de 
D Pp J 
Péquation 
; d?y dy 


: (1) dx a Ean cada 


les procédés des n°* 598 et 600 permettent de l’abaisser au 
premier ordre, el, par suite, de Vintégrer complétement. 
On peut encore opérer de la manieére suivante. 


126 COURS D ANALYSE. 
On aidentiquement 


(2) 


ay d 
ieee sae 
dx 


Gee 


Eliminant Q entre ces deux équations, il vient 


(3) Geno ee (nba r FB) =o. 
et si l'on pose 
Day jee et. dy, du 
DA ene hs eee @ot 4 Fa eS 
Véquation (3) devient 
(4) H+ Pu=o, 
dott es Gol Be: 
On aura done 
(5) Zi ny Me Cette, 
ou ee ee 
y ta 
et enfin 
(6) Ouch O: [lee 
x? 


609. L’équation (5) fait connaitre plusieurs propriétés 
de Péquation (1). 
~ La constante C n’étant pas nulle, en général, suppo-— 
sons C > 0: on aura 


dy dy, 
(7) yeamys'tso; 


dy 
par conséquent y et oe ne peuvent pas étre nulles en 


méme temps. La méme propriété appartient aux fonc- 
: a ON 
lions y; et ——- 

Deux valeurs de x qui annulent y,, comprennent une 


valeur de « qui annule y. En effet si y, s’annule pour 


7 


QUARANTE-SEPTIEME LEGON. 1297 
x=a et pour x=46, on a dans ces deux cas, d’aprés 
i? , . , 
Pinégalité (7), 
dy, 


ts < EC 


4 
a dy, : , ‘ 
Ainsi y et — sont de signes contraires; mais quand x 
dx ° ? 


Fi ; dy, , ; 
croit de.aa b, a change de signe pour une certaine ya- 
aL 


leur x =a; done y doit aussi changer de signe avant 
que x devienne égal a b. Par conséquent la fonction y 
doit s’évanouir par une valeur de x cpmpris entre a et b. 
De méme entre deux yaleurs de’x qui annulent y se 
trouve une yaleur qui annule 74. 

I] suit de la que si l’on fait croitre x, les deux fonc- 
tions y et y, s’annuleront l’une aprés, l'autre alternati- 
vement. C’est ce qu on peut vérifier sur Péquation 


quia pour intégrale 


y = Csinx + C’ cosz. 


128 COURS D ANALYSE. 


QUARANTE-HUITIEME LECON. 


Résolution des équations différentielles par les sérics, — Développement par 
la série de Maclaurin. — Méthode des coefficients indéterminés. — Autre 
forme de développement. — Intégration d’une équation différentielle 
par des intégrales définies. 


DEVELOPPEMENT PAR LA SERIE DE MACLAURIN. 


610. Etant donnée une équation entre y et quelques- 
unes de ses dérivées par rapport a x, on peut, comme 
on la vu, développer y suivant les puissances ascen- 
dantes de x —a, et ce développement contient m con- 
stantes arbitraires qui sont les valeurs de y et de ses 
m—1 premieres dérivées pour # = a. En faisant a = 0, 
on aune série ordonnée suivant les puissances ascendantes 
de a. Mais il peut arriver que certaines dérivées deve- 
nant infinies pour x =o, la série tombe en défaut, a 
moins qu’on n’attribue certaines valeurs convenables a 
W@autres dérivées qui ne sont plus arbitraires. Dans ce 
cas, Ja série contenant moins de m constantes arbi- 
iraires ne représente plus Vintégrale générale, mais seu- 
lement une intégrale particuliére. 

En voici un exemple. Soit 


d*4 Gay. : , F 

shee he Sete 8 a5 ami ies On 
d'y A Le dy 

ae 4 oe + nx - ate a =o, 
dy ay dy, dz y. 

" no 3 2 et a 
dx das eee Gare ee ae “i 


QUARANTE-HUITIEME LEGON. 129 


La loi de formation est évidente. Or si dans la premiére 


2 : 5 d reevctae 

équation on fait c=o, y=), — b', on en déduit 
ax 

d’y ; : j : : 

Far =» A moins que 6’ ne soit nul. Il faut donc faire 

axe 4 


dy : : : 
—-== 0 pour x = 0, et alors les équations suivantes don- 


nent 
a By n? b ay As ee 
= OC — — O BES ee 
dx 3° dx dak oo ' 
el, par consé€quent , 
, , 
ne? x? niai , * sin 22 
(sSste SESE ee See Sa == [p ) 
\ aE [ee ae RX 
ou en faisant -—c, 


72 
sin 2x0 P 
j= € . : 


x 


On n’obtient ainsi quune intégrale particuliére. Pour 
avoir l’intégrale générale, il faut poser 


sin 2.2 


y= 


FE: 
€ étant une fonction de x. La recherche de cette fonction 
conduit a une équation linéaire du premier ordre dou 
Von déduit 
C= 6 -— c” cot na, 
et, par suite ; 


ce’ sinna + ec” cosnx 
y= . 


Mtg 
On serait parvenu tout d’aborda ce résultat si l'on avait 


développé y suivant les puissances de x — a, en se don- 


dy 
é ey etde — pourx=a. 
nant les valeurs de y —- 'p 


METHODE DES COEFFICIENTS LNDETERMINES. 


6411. On peut encore employer la méthode des coef{i- 
cients indéterminés pour développer en série Vintégrale 
@une équation différentielle. On obtient souvent par ce 

Il. ) 


130 COURS D ANALYSE. 


moyen des développements qui renferment des puissances 
négatives de x, ce que ne peut donner la série de Taylor. 
Reprenons /’équation précédente sous la forme 
I — + - — (EVO. 
( ) dx > ee 
Vintéeral i 
Supposons que l’intégrale soit 
(2) —Ax*+ Bare + Ca/+..., 


a,6,y,... étant des nombres croissants : on aura 


Oy iho eRe 4 ee 

dx 

1? y 

= a(o—ijeer oe 6(6 —1) Ba’ —4 45. 


et en substituant ces valeurs dans l’équation proposée , 


Aa(a +1) 2%? An? x®-+ BE (6 Seen 2 
+ Br? a°+ Cy (y 41) 2? 7+ Cra’ +... 0. 


(3) 


Pour que cette équation soit identique, il faut que les 
coefficients des différentes puissances de 2 soient nuls 
séparément. Or puisque a, 6, 7,... sont des nombres 
croissants, « — 2 estle plus petit exposant de x dans |’é- 
quation (3). On doit done avoir 

Aa(a+1)=0, 
et, comme A ne peut pas étre nul, il faut que l’on ait 


a0, ou (0b nt I 


Prenons « = —1. Les deux plus petits exposants qui 
viennent ensuite sont « et 6 — 2. Ils peuvent étre égaux 
ou inégaux : s'ils sont inégaux, le terme Bé (6 4-1) 2°? 
ne pouvant se réduire avec un autre devra étre nul de 
lui-méme, ce qui donnera € =o ou 6 =—1. Mais on 
ne peut supposer 6 = —r, puisqu’on a déja a = —r et 
que « est supposé moindre que ¢ : done 6 = o. Parmi les 
exposants qui suivent, les plus petits sont « et y—-2: 


iH 


QUARANTE-HUITIEME LEGON. 131 


nous devons les supposer égaux, car le terme An? x% doit 
se réduire avec un autre, puisque A ne peut étre nul. De 
lA résulte 
yas WA + Cy(y+1)=0. 
On trouvera de méme ‘ 
on n’B+Dd(d+1)=0 
e=3, nC+Ee(e+1)=0 


? 


y] 


et ainsi de suite; on en conclut y 
ma wB 
c= — ’ 1D ee ? 
bo D Lee 
ae 
nid , niB 
E = ——; F — —_~—_, etc. 
C.2.3-4. f.33.400° 


Par conséquent 


I 2 ay aad 
yaa (5 — Sey oy...) 
; ae PTO ARO Sty 
B 2 a? ni xi 
od Tres a aor g pita 


Acosnzx  Bsinn«x 
ou a ae 5) 
cae tt 


A B i 
ou bien, en posant A=c, — =. 


ccosnx +c’ sinnx 


y= ; 


612. Si au lieu de supposer 6— 2 différent de , on fait 


6 Sg = yah Olle) GH", 


le terme Cy(7-+1) x’—* n’étant pas nul, puisqu’on a 
y>6>>1, doit étre détruit par Bn?x®. On a donc 
4—2== 6; on aurade mémed — 2=y, ¢— 2=, etc. 
Par conséquent , 

Saks PSH O50 = Oyo wey 
et ensuite 


132 COURS D’ANALYSE. 


Tl en résulte 


I Ue We ae __ Acosnrz | 
Maid eines? ayn oa 
mais on n’obtient ainsi qu'une intégrale particulicre. 
L’hypothése « = o conduit aussi a une intégrale parti- 
culiére 
Asinnx 
x ae NX : 


En appliquant la méme méthode a Péquation 
a Aye ey, dx 


dx x dx Por tee dew + xy =0, 


on trouvera la série trés-convergente 
A x 1p: ee 
UTE Nes ing ha eg baa Says 
AUTRE FORME DE DEVELOPPEMENT. 


613. L’équation linéaire du second ordre 
d’y dy 
dx? dic 


+-Qy 2, 


(1) 


peut toujours se ramener aune €équation a deux termes. 


En effet, posons y = uz. L’équation proposée deviendra 


d*z du dz EA dru du 
(2) u +. 2 awe Y —+tZ Ge bara Qe = 0. 


da? d. du dx? ‘ 


Déterminons u par la condition 
du 
3) 3 Piro 
( / dx ’ 


1 
a1 ppg 
dot ye TI: 


celte valeur étant substituée dans l’équation (2), on aura 
: az 
(4 ) sz = Rz,, 


dx? 


R étant une fonction connue de x. 


QUARANTE-HUITIEME LEGON. 133 

2 J Y pine dz 
614, Deésignons par A et B les valeurs de z et de oa 
Xx 


correspondant a une valeur arbitraire «=a. Nous au- 
rons, en intégrant deux fois de suite, entre les limites @ 
el x, les deux membres de l’équation (4), 


af Red 
Ls +f UZAL,, 
x f >~xX 
2 A+B(s—a)+ f ae Rzdz, 


ou bien, en posant = A + B(x gt 


(5) ee ae [- Rzdz. 


Si dans le second membre de cette équation on rem- 
lace r | 1 d é sqquatior 
P z par la valeur que donne cette méme équation , 

on aura 


/ 


x LOL 
eae ff def Rtdx 
+f ae f- Rae fo ee Rzdx, 


et en remplacant encore Z par la valeur ( 


i t+ fo aw fv Rede + fo ax f- we dz { Rtde 
x wx x x x 
+ f de | Rae [ de Rae f ae f Radz, 
a a a a a a 


615. En continuant ainsi, on obtient une suite indéfinie 


x 2 
(8) cme f de f Rifdzee ae 
: a a 


dont chaque terme se déduit du précédent en le mul- 
tipliant par Rdz*, et en intégrant deux fois entre les 
limites a et x. Le dernier terme se forme d’aprés une 
loi analogue, mais il contient toujours la fonction incon- 
nue z. Cependant on pourra faire servir le développe- 


(6) 


(9) 


134 COURS D ANALYSE. 
ment (8) au calcul de la valeur approchée de z, si a mesure 
que le nombre des termes augmente, !e dernier tend vers 0. 


C’est, en effet, ce qui arrive quand R ne devient pas infi- 
nie dans l’intervalle ou l'on fait varier x. 


Pour le démontrer, supposons que x croisse d’une ma- 
niére continue depuis la valeur a jusqu’a une valeur 
quelconque 6. Soient M, pv, C les valeurs maximums de 
R, z, ¢, dans Vintervalle considéré. On aura en valeur 
absolue, 


RE Mo cept tee Ge 


le signe < n’excluant pas l’égalité. Si l’on trouve pour u 
une valeur finie, il sera démontré que z ne peut pas 
devenir infinie entre les limites a et 6. 


Or, en premier lieu, ona, dans cet intervalle, 


Ri< CM, 
x x 
done [ Rida < af CM dz, 
J@ a 
ou | Rtdz< CM (#—a). 
a 


De la on tire, en intégrant successivement, 


x 2 fix 2 
is dx di Rtdz << CM (Cte , 
a a 1.2 
Axe x ai 2 caren Y 
| dx ak Rdxr ;) dex i RidpeicMi ss 
a a a a Picts 4 
wx rn x mA. me x ASA yp 
| da i Rdx f dx | Rdr iF dx ri Ritdz < CM eae) > 
da a da a a a te. O 


et ainsi de suite. 


? A 
D un aulre cote, ona 


Rz< pM, 


QUARANTE-HUITIEME LECON. 190 


: x 
el, par suite, ae Rzdx << pM (a —a), 


side = . (x—~ ay 
dx Rzdx<yM Seaben? 
a va I. 


ay i Ps x x (a —* a)' 
dx Rdz dx R2dz< pM? ——_ , 
va a a a ; Ie. WA 


et ainsi de suite. Donc en arrétant ledéveloppement dez 
(x — a)" 


1.2.,.2% 


% 


a m-+1 termes, le dernier sera moindre que pM" 
a? 
D’aprés ces inégalités, on déduira de l’équation (8) 
“Z—ay —a)i 
Peaiees Gute ore aces eee ce 
; oe 


+ ome (== 4 


5.24 10RR Tea! an 
c’est-a-dire, a fortiori, 


a af pMuAlg — an 
sx iss Cee) ea | ae uM" (xz — a) . 
2 & oe 


carona 


x—a} i a = 
Se Clee ee a, 
oe aks 0 2 le cd 


On sait que slat ou (ea) vu} peut devenir 
lie Sa a abla? Dts Pci 6 Oe 


moindre que toute quantité donnée ¢ quand 7 est sufli- 
samment grand. Donc sion désigne par K la plus grande 


I = — a < 
valeur de —C [e-O"M+ e—(@-9)"], quand x varie de aab, 
2 
valeur qui est indépendante de 7m, on aura 
2<_K-+ ps. 


Cette inégalité ayant lieu pour toutes les valeurs de x com- 
prises entre a et 6, on peut remplacer z par sa valeur 
maximum p. et Yon aura p< K+ pe, 


136 COURS D ANALYSF. 


dott 


Ainsi » ne peut pas devenir infini, et, par suite, le 
(x ss aye 


reste de la série i oindre que pM" ~———— 
st (8) qui est m e que pM" 


tend vers o, ce qu'il fallait démontrer. 


616. On arrive encore a la formule (8) (645) par la — 
méthode suivante. 
Posons 
LS II oot TE Con ety PC AG 


Uy) Uy, Uy,... 6tant des fonctions de x que nous allons dé- 
A AA? ° d? Z 
terminer. On doit avoir a Rz ou 
oy ds 


d* uy Gam, TT 


ES 4- Tes + SES -=Re4+ Ra,+ 


Or on satisfera A cette équation en posant 


Qanr, au, d? uy 
SS = =a S| ioc 
dx i dx? i dx 2 
En supposant que l'on ait u=A Ca our x =a 
H pposant q Ole b=A, T= P =a, 
du, du, A 
CIAMUC'U,, Us.G.8 65 Wee ae s annulent pour “=a, 
AX CS 


on tire de 1a 
wm=A+ Bl(t#—a)=¢4, 


re Ay Rtdz, 


On démontrera ensuite la convergence de la série 
ZW ++ Uy +#..., 


comme on I’a fait plus haut. 
: 4 Hy *, a” z, ; 
On traitera de la méme maniére équation i Rz, 


QUARANTE-HULTIEME LEGON. 139 
et lon aura une série ou chaque terme sobtiendra en 
multipliant le précédent par Rdx” et intégrant m fois. 


617. Comme application de cette méthode, considé- 


rons P équation du second ordre : 


d?z < 
SS CEC 


() 


dx 
a laquelle se réduit l’équation dite de Riccati 


d 
(34) Ue a 


ely posant f 


Pour plus de simplicité, supposons % =I, et prenons 
toutes les intégrales indiquées au numéro précédent, entre 
les limites o et x : nous aurons 


B= ACS Be 


Multipliant par x” dx’ et intégrant deux fois entre les li- 
mites o et x, il viendra 


A nr B ints 
Lk — 


(m +1) (m+ 2) a (m+ 2) (m+ 3) 


Nous aurons de méme successivement 


A wets 
(m +1) (m+ 2)(2m-+3)(2m+ 4) 
Baxrerts 


ss (m +2) (m a3 (2 m+ 4)(2 m+ 5)’ 


a 


A gente 
a (m +1) (m + 2) (2m + 3)(2m + 4) (3m + 5)(3m + 6) 
B 3m 


eZ (m ++ 2) (me + 3) (2m +- 4) (2m 4- 5) (3 ++ 6) (3m ++ 7)" 


Ut 


el ainsi de suite. 


138 COURS D ANALYSE. 
Par conséquent la valeur de z sera 


amr? gir i 


De (m +-1) (im +- 2) a (7m +-1) (m + 2) (2 m + 3)(2m + 4) 


ents 


MERE eC aE ee ea 


gms gnrs 


(m +- 2) (m -- 3) Le (m + 2) (m + 3) (2m + 4)(2m -+ 5) 


emi 
GE (m7 ++ 2) (m-+-3) (2m + 4)(2m + 5)(3m + 6) (3m+- 7) 


Dans le cas 04 m = 0, cette formule se réduit a 


x - 


et —« ev? — ce F 
ZN ies + B Ze INE eT 


») 2 


qui est bien l’intégrale de Péquation 


a2 


Sarat 
dx? 
INTEGRATION D'UNE EQUATION DIFFERENTIFLLE A L AIDE 


D INTEGRALES DEFINIES 
618. Soit Péquation 


ay m dy : 
: —— =+- 2h? 7 = 0, 
da? Ze dx 


m et h? désignant deux constantes : admettons que son in- 

tégrale puisse étre développée en série convergente pro- 

cédant suivant les puissances ascendantes de x, et posons 
yes Ag+ Bees... Dee Mae... 

fn substituant cette valeur dans l’équation, on aura 


xe? +...+Mp(u—1) 


+- mM pu 


Aa(a—t) 
+ mAa 


x” —* +. B6(6—1) 


SaaS aa | 
+m B6 


== Oe 
Me, Spi ey perl 2h? Bae +. eet 2h?Lat + 2/?Mah.., ; 


Pour que cette équation soit identique , il faut d’abord 
que Pon ait 
a(a—iI+m)=o, 


ec est-a-dire é = 00u «@=—iI—wmI. 


QUARANTE-HUITIEME LEGON. 139 
Sil’on prend d’abord « = 0 et que l’on procéde comme 
il a,été indiqué au n° G11, on trouvera la série 
shi? x2? hi x4 ry 
i == | 
m+1 1.2 (mm +1)(s + 3) 


fet : : ea. 5: 
Si lon fait au contraire « =1— =m, ce qui revient*A 


changer m en 2—m, on aura 
h? x? hi a8 oti 

3 ele 73 5 : aod 
a7 1.2.(3 — m)(5 — m) 

y1 et y2 sont deux intégrales particulieres contenant cha- 


cune une constante arbitraire. Leur somme y,-+ y, sera 
a 8% pram a? 
done lintégrale générale. P 


needa ls 


619. On peut remplacer les séries y, et y, par des 
intégrales définies. En effet, entre les coefficients L et M 
de deux termes consécutifs dans la série y,;, on a la re- 
lation 

?M = Lp(i— m— 2p). 


Or on déduit de la formule (D) (I, 338) une relation 
analogue entre deux intégrales définies, savoir: 


2% 27 
E } 2p—I1 ee 
cos’? z sin®—! ada = et SEE coe cos’? asin” ada. 
= PN aia 


Le rapport de ces deux intégrales est, a un facteur con- 


SY , M = . 
siant pres, égal au rapport L:2 done on pose 


De 
v= A, rr cos? « sin”—'adz, 
0 


2% 
7. er { cos? « sin” ada, 
Oo 


on aura 


a Ce oe aa he ) 
L” Ap: 2p+m—1 p(Ii—m—2p) 

MA 
done A, = — ———- 
(2p —1)p 


D'aprés cette formule et observant que A, n’esi auire 


Ade 


140 COURS D’ ANALYSE. 
chose que A, on aura 


2h? Kh? a (— 2p 
aA 


eg in oe tee ess Cay 


2L, par conséquent, 


—a2h ue . 
M, eae. cos? asin"—'ada, 
2 2p 

0 


— 2h?)P xP . 
el Vi s ae ete Wari pe sin” sada, 
Wins Gye 


ou bien 


dake 2h? x? cos’a 4hix' cosi« 
yi =A sin” ada | 1 — ——_—_—— + ——__,_- —.- ) ‘ 
, i ao 


/ 


Mais l’expression entre parentheses ég vale cos (hx V2 cosa): 
On a done enfin 


Tv — 
n= af cos (hex V2 cosa) sin”! ada. 
0 


La seconde série se déduit de la premiere en changeant 
men 2—m. On aura done 


w , 9 
i af cos (ha V/2.cosa) sini" ade. 
0 


620. La valeur dey, devient illusoire quand on am== 0 
ou m<o. En effet, si m= o, Vintégrale 


Tv _— 
| cos (ha V2 cosa) sin"! ade, 


Td 
k [ =o 
a 


£0 


v0 


est plus grande que 


A désignant une quantité moindre que la plus petite 


valeur de cos(hx V2 cosa) quand « variede o an. Or 


da Be etl} es 
— =o. Doncla premiere intégrale est infinie quand 
(a4 * ‘ 
(0) 


m = 0, eta plus forte raison quand on am <0. 


QUARANTE-HUITIEME LEGON. 14 

De méme la seconde intégrale n’aura une valeur finie 
que si 2 — m est positif. Done y; +2 ne représentera 
Vintégrale générale que si m est compris entre o et 2. En 
dehors de ces deux limites, l’une des deux formules tom- 
bera en défaut, mais l’autre pourra étre admise et ser4 
vira a trouver lintégrale générale par le procédé du 


n° 608. 


621. Examinons maintenant quelques cas particuliers. 
1°. m=o. L’équation se réduit a 

d’y 
si 2 gp ame 
aa + 2h ce a? 
Pour déduire son intégrale des formules précédentes, ob- 
servons que la valeur dey», qui est encore admissible, se 


réduit a 
e 


a : 
n= aa f cos (hx 2 cose )sinad« 
0) 


= = del eifeose) d.(ha \/2 cose) 


2 he oO 
= Csin (he 2). 
Au moyen de cette premiére intégrale on trouvera 
‘a esin(ha V2) + ¢’ cos( ha V2). 
2°, m= 2. Lavaleur dey, est illusoire, mais celle de 
y1 subsiste et donne Csin (ha 2) pour intégrale parti- 
culiére. On en déduit l’intégrale générale 


ce sin(hx 72) +e cos (ha 2) 
Ba — ° 


x 


3°. m=1. Le rapport de y; a 72 est constant, et ces 
deux intégrales ne sont plus distinctes. Dans ce cas, on 
posera m=1-+het l’on appliquera le procédé de d’A- 
lembert. 


142 COURS D ANALYSE. 


QUARANTE-NEUVIEME LECON. 


Equations différentielles simultanées. — Elimination d’une variable entre 
deux équations différentielles.—Systémes d’équations du premier ordre 
equivalents & une ou a plusieurs équations d’un ordre quelconque. — 
Théorémes sur les intégrales des équations simultanées du premier 
ordre. — Intégration des équations simultanées du premier ordre. 


ELIMINATION D UNE VARIABLE ENTRE DEUX EQUATIONS 
DIFFERENTIELLES. 


622. Soient 


dy dmy dz dP z 
(ane Bet ae heat oa hee 


a det dx dab 
dy d"y dz d1z 
B (0 75 5E9 oo 9 Fae, Sy SS) oO, 


deux équations qui renferment deux fonctions y et z d’une 
variable indépendante x et leurs dérivées de divers ordres. 
En éliminant y entre ces équations, on obtiendra une 
équation différentielle 4 une seule variable et dont Vinté- 
eration fera connaitre z. 

Pour opérer cette élimination, on différentiera 7 fois 
la premiére équation et m fois la seconde; on aura ainsi 
m-—+n-+.2 équations entre lesquelles il sera possible 
@éliminer par les moyens ordinaires de l’algébre les 
dy dy ani ys 
Age noe LS ay} 


finale a laquelle on parviendra sera, en général, d'un or- 


. > 7 bad 

m-+-m-+- 1 inconnues. vy, ret L equation 
dre égal au plus grand des deux nombres n+ p, m+q; 
cet ordre peut toutefois étre moindre, si l’élimination a 


pu s‘effectuer sans employer les m-+n-+ 2 ¢quations. 


623. Plus généralement, si lon avait r équations dif— 
férentielles contenant une variable indépendante x et r 
fonctions y, Zz, u,... de cette variable, on éliminerait y 
entre ces 7 équations, ce qui'donnerait r—r1 équations 
entre Z,u, etc. On éliminerait ensuite z entre ces r— 1 


“ig 


QUARANTE-NEUVIBME LEGON. 143 
équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi 4 une 


équation différentielle ne renfermant plus qu’une seule 
des fonctions inconnues. 


SYSLEMES D EQUATIONS DU PREMIER ORDRE EQUIVALENTS & 
UNE OU PLUSIEURS EQUATIONS D UN ORDRE QUELCONQUE. 


624. On peut remplacer une équation différentielle 
d’un ordre quelconque a deux variables par un systéme 
d’équations simultanées du premier ordre, en représen- 
tant par une lettre chacune des dérivé ées. , excepté celle qui 
est de l’ordre le plus élevé. Ainsi I’ équation 


ly 87? a — 
Bates <e 
0) (275 da’ dx?” dx’ 


est évidemment équivalente aux équatigns suivantes : 
( dy ee dy es 
rPrare os S15 
4 
{ ; dy” 
| fas rr 7"; =) =o. 


dx 


625. De méme les équations 


f 


4 dy d™y dz diz 
\f (29 Ss Se, Zones ) 


3) 4 dx aan dz dat 
« 
(3) F / dy nsitib dz d1z 
ae el shen 28 9 ET) A an oe 
| (2 8 dx dx”? dx’ ” dx! } 


dans lesquelles nous supposerons m >n, g > p, peuvent 
étre remplacées par le systéme des équations du premier 
ordre 


dy f dy’ ” diy (m—1) wee 
a es Se = (in 
dx ‘ dx hie ue 
dz y dz’ . d z (I-2) Pa: 
==) — =~. ai nat hh ae AC iat 
y ee dr : J dr 
(4) 
Nich 2 ; a.¥ (m—t : j \ 
f ts Le ance, ie I 4 Sa 220) = oy 
Ce ey 
ial i hes ; dr 


144 COURS D ANALYSE. 

En général, étant donné un nombre quelconque d’é- 
quations différentielles renfermant une variable indépen- 
dante et plusieurs fonctions de cette variable, sil’on repré- 
sente ces dérivées, a exception de celles dont Vordre 
est le plus élevé, par des lettres, on aura un systéme d’é- 
quations simultanées etdu premier ordre qui sera équi- 
valent aux équations proposées. 


THEOREMES SUR LES INTEGRALES DES EQUATIONS 


SIMULTANEES DU PREMIER ORDRE. 


626. Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait A 
intégrer trois équations différentielles simultanées et du 
premier ordre entre une variable indépendante x et trois 
fonctions y, z, uw de cette variable. On pourra en gé- 
néral résoudre ces équations par rapport aux dérivées 
dy dz du 


—, —, — ct les remplacer par des équations de la forme 
dx dx dz 


dy .Q dz R du Vv 


dx Pp dx P : dx P 
ou 
dx — dy dz xo du 


(1) pee Roe 


~ 


P,Q, R, V étant des fonctions déterminées. Le probléme 
proposé revient donc a établir entre les variables x, y, 
z, u des relations telles, que les différentielles de ces 
variables soient proportionnelles aux fonctions P, Q, 
Roeys 

Je dis maintenant que les relations cherchées doivent 
contenir trois constantes arbitraires. En effet, les équa- 
tions (1) déterminent seulement les accroissements infi- 
niment petits des variables y, z, u pour un accroissement 
infiniment petit de x. On peut done prendre a yolonté 
les valeurs de y, z et uw pour x= a. En raisonnant 
comme on l’a fait pour une’ équation’ différentielle a 


deux variables, on voit que y, 2 et u sont des fonc- 
ég 


QUARANTE-NEUVIEME LEGON. 145 


tions déterminées de x, dépendant nécessairement de 
leurs valeurs initiales, tout 4 fait arbitraires. Les équa- 
tions intégrales doivent donc contenir trois constantes 
arbitraires. Ces constantes peuvent d’ailleurs étre rempla- 
cées par d’autres ayant avec elles des relations arbitraires$ 
pouryu qu’on puisse déterminer les nouvelles constantes 
de maniére que y, Z et uaient des valeurs données cor- 


respondant a une valeur donnée de x. 
4 
627. On arrive a la méme conclusion par la série de 


d 
Taylor. En effet, si on oe PIP Ya (Z| > @tex, 


les valeurs de y et ae ses devicces pour x = a, on aura 
‘dy d’ z—a) 
yore (2) (7 —a) +( a pares ae 


Ensuite des équations 


i - d" s 
on peut déduire a en fonction de x, y, 2, u; par con- 


, 


Nae 


d i epets : 
séquent () dépendra des valeurs arbitraires attri- 
a 


buées a y, z, u pour x = a. Donc le développement de y 
contiendra trois constantes arbitraires. Les valeurs de z 
et de u dépendront aussi des mémes constantes. 

Les raisonnements que nous venons de faire s’étendent 
évidemment 4 un nombre quelconque d’équations. Par 
conséquent m équations du premier ordre entre m+ 1 
variables et qui peuvent étre mises sous la forme (1), 
admettent toujours m intégrales contenant m constantes 
arbitraires. Ces constantes doivent étre telles, que l’on 
puisse donner a m des variables des valeurs arbitraires 
pour une valeur quelconque attribuée a la (m+1)° va- 
riable. 


628. Dans ce qui précede on a supposé que les équa- 
I. 10 


146 COURS D ANALYSE. 
tions proposées pouvaient étre résolues par rapport aux 
bh aay od F Ni a : 
dérivées —, —--- Dans certains cas particuliers cette ré- 
dx dx 


solution est impossible. Par exemple, si l’on avait 


Oye) ae 
ie te Soe he 


(1) dy dz 


BE p= Ny) FSG: 
wae 1 Te fi 


en cherchant a éliminer Vune des dérivées, on trou- 
verait ’équation 

{2) ; ¥—oe* = 0, 

Cette équation peut remplacer l'une des deux proposées. 


En portant la valeur de y qu'elle fournit dans la pre- 
uniére des équations (1), on aura 


dz 
— + 5 2 == O, 
dx 
dou Von déduit 
ley 
5a 
2—=C— 
9 


Ainsi quand on ne peut pas résoudre le systeme pro- 
posé par rapport a toutes les dérivées, le probléme se 
simplifie, parce qu'il existe alors entre les variables un 
certain nombre de relations algébriques, au moyen des- 
quelles on peut faire disparaitre les dérivées dont le 
systéme n’a pu fournir la valeur. Seulement dans ee cas 
le nombre des consitantes n’est pas égal au nombre des 
fonctions. 


INTEGRATION DES EQUATIONS SIMULTANEES DU PREMIER 
ORDRE. 


629. Soit 


be Prog ar 


un systéme d’équations simultanées. Nous avons yu qu il 


« 


QUARANTE-NEUVIEME LEGON. 147 


existait trois équations intégrales, 


Deees. Jy Spits c, cy C” | =—0g 
(2) Poa iy 5, anh iC 4 oC) SO 


1 Ci We sa 
BRA enSp Hinks Ci y.0° Ls=.0, ; 


c, c’, c” étant des constantes arbitraires. Ces équations, 
résolues par rapport aux constantes,-peuvent étre rem- 


placées par le systéme . 
(3) Goes GeO penne s 


%, 6, y désignant trois fonctions de*x, y, z et wu sans 
constantes arbitraires. On peut donc trouver trois fouc- 
tions de x, y, Z, u qui conservent des valeurs constantes 
quand on y fait varier simultanément toutes les varia- 
bles. 6 

Remarquons d’abord que les fonctions P, Q, R, V ne 
peuvent pas étre a la fois identiquement nulles, car alors 
les équations (1) n’offriraient aucun sens. 

Admettons done que P ne soit pas identiquement nul 
et prenons x pour variable indépendante. Je dis que P 
ne pourra pas méme s’annuler en vertu des équations (3). 
En effet, l’équation P =o ne renfermant pas de con- 
stante arbitraire, on ne pourrait pas se donner a volonté 
des valeurs de y, z, u pour une valeur quelconque de x. 

Supposons donc P différent de 0, excepté pour des 
valeurs particuliéres de x. En différentiant Péqua- 


lion. a = ¢,'on'a 


Mais « =c étant une intégrale des équations (1), les 
différentielles dx, dy, dz, du doivent étre proportion- 
nelles 4 P, Q, R, V; on aura donc 


da da da 
Se ene 
Fiat ayy ia ae aK du vn 


da 


(5) oor 
10. 


148 COURS D ANALYSE. 

Cette équation doit étre identique; autrement elle éta- 
blirait une relation entre les variables x, y, z etuetl’on 
ne pourrait pas donner des valeurs arbitraires ay, 2, 
pour une valeur particuliére de x. 

On aura donc les trois équations identiques 


i da aes R da jean ae 
aed nya ded aidyae: 2 
d6 d6 dé dé 
i / as met — WS SS 
( ) 2 dx < dy dz du oe 
aye dy dy dy 
Pe ie OLAS = V—= 
dx Dandden dz du. 


630. Réciproquement si l’on trouve une fonction 9 
des variables x, y, z, u, sans constante arbitraire, telle, 
gue Von ait identiquement 


do d@ ao dé 
\ | Dy as eo Ro — ———— 
(1) regan Aro dz ae dian 
V’équation 
Gis 6 


sera une intégrale des équations simultanées 


dx dy dz du 
(2) = : 


En effet, on a 


dQ d@dy d0dz dOdu 
d§j = dr 3 


tats ad Ps —_ 
dal dy da edzsda “ff du dx 
done y, z et u étant des fonctions de x telles, que l’on ait 


dy DQ adz> — RESO arey: 
dz PR’ dx P’ dx P’ 


on aura 


[en poe Reet 
are a +V 


__ dz a dé dé d6 ; 
dy ° dz du 


’ ‘ 
mais la quantilé renfermée entre parenthéses est nulle 


€ 


QUARANTE-NEUVIEME LEGON. 149 
par hypothése, donc 


20 0, 0100-0 =s.¢: 


Il suit de la que si lon trouve trois fonctions «, 6, y qui 
substituées a 9 satisfassent identiquement a |’équation (1), 
les équations 


(3) BONO 5 yi 
seront les intégrales cherchées. s 


531. Des intégrales (3) peuvent se déduire une infi- 
nité d’autres, car x, y, z, u variant de maniére que 
les fonctions «, 6, y conservent’une valeur constante, 
toute fonction de la forme o («, 6,7) conservera aussi 
une valeur constante. 


On peutdailleurs vérifier directement quel’ équation 
(4) | 9 (45 6,7) =e 
est une intégrale des équations (2). En effet on a 
| dp dgdz “dedb “do dy 
dz dadx dédx' dydx’ 
dy _dgdx  dgdé6  dody 
dy dady  dé6dy | dydy’ 
dg dydz dydé dody 
dz dadz | dédz' dydz’ 
do dodz dydé dy dy 


| du dadu ' d6 du dydu’ 


Si l’on multiplie ces équations respectivement par 
P,Q, R,V et qu’on les ajoute, le second membre sera 
nul en vertu des équations (6) du n° 629. On aura done 
a 


Poa 


d d d 
FOAL HN hs 0 


eest-a-dire que g mis a la place de @ satisfait a l’équa- 
tion (1). Done 9 = est bien une intégrale des équations 
propos€es. 


632, On peut méme démontrer que toute fonction 6 


LD0 COURS D ANALYSE, 


dex,y, 2, u qui satisfait a l’équation 


(1) pe+ots R y= 0, 

doit se réduire a une fonction de «,6,7. En effet, soit 
(2) §=a(2, 7,2, u); 

posons 


(3) af; (a, Bas Z5U), C= fa (x, I 5%, Ul), ; ra £ 597, By u), 
on peut tirer de la les valeurs de y, z,u en fonction de «, 
6, y et x; en les substituant dans la valeur de 6, on aura 


(4) ‘ b=n (2, G7) 2). 
Or je dis que x ne doit pas entrer explicitement dans 
cette équation. En effet, en mettant cette valeur de 4 dans 
Péquation (1), on aura 
dxd« adxrdé dr dy dr 
pete pr 
dadx d6 dx dy dx dx 
aide dou dedt grey 
dady dé6dy dy dy 
drda drdé dt dy \ 
wg cipal VS apa 
(Ss weds) dyde) 
v(ee4 os ae) 
dadu = d6du— dy du. 


\ 
\ 


Mais les fonctions «,6, +7 satisfaisant 4 !’équation (1) 
Péquation (5) se réduit a 


9 


adn 
P= 
ax ai 
oua ; basta 
X i aaa als 


puisque P ne peut étre nul que pour des valeurs parti- 
euliéres des variables. Ainsi la fonction z ne contient 
pas x explicitement et se réduit a une fonction de a, 


6,7. 


‘ 


CINQUANTIEME LEGON. 101 


CINQUANTIEME LECON. 


Suite des équations simultanées. — Equations linéaires : cas de deux équa 
tions ; — cas de trois équations. — Réduction du cas général au cas ot 
les équations sont privees de second membre. — Tap mos de M. Cauchy. 
— Remarque sur les équations linéaires. 


EQUATIONS LINEAIRES SIMULTANEES. — CAS DE DEUX 
EQUATIONS. 5% 


633. Si l’on a deux équations linéaires du premier or- 
dre entre une variable indépendante x et deux fonc- 
tions y et z de cette variable, en éliminant tour 4 tour 
dz dy : ¥ “ee ae 
a et >» on obtiendra deux équations de la forme sui- 


yante : 
(1) 


P, Q, V, P’, etc., désignant des fonctions de x 

On pourrait appliquer a ces équations le procédé d'éli- 
mination exposé plus haut (622), et l’on parviendrait a 
une équation linéaire du second ordre a deux variables ; 
mais il est plus avantageux d’employer la méthode sui- 
vante qui a été imaginée par d’Alembert et perfectionnée 
par Ampére, 

Ajoutons les équations (1) aprés avoir multiplié la se- 
conde par une indéterminée 9 : nous aurons 


(2) Cay a (P+ P’6)y + (Q+Q0' 9z2=V+V'0. 


= eee dy dz 
Si @ était une constante , 7 + 6 7, sel ‘ait la dérivée de 
y +62; posons done 


(3) 7 AR Ozzy 


152 COURS D ANALYSE. 
il en résulte y = t —6z et 
dy § dz dt do 
—-+ —_— Zz 
dz dx dx dx 
L’équation (2) devient alors 
dt 


(4) pay i: + P’6) (¢—6z) + (Q+Q'6)2=V+V'O. 


Or z nentrant dans cette équation qu’a la premiére 
"puissance, on éliminera cetie fonction en égalant son coel- 
ficient 4 zéro et l'on aura les deux équations 


d§ uch 
(5) a, + (P+ Pt} 6—Q—QYb=o, 
(6) SP +P 1 V—V0=o. 


L’équation (5) ne contient que @ et x; elle détermine 
donc 9. Mais, quoique du premier ordre, elle n'est pas 
linéaire, et on ne saura pas en général Vintégrer. Cepen- 
dant si l’on connait seulement deux intégrales particulié- 
res 6, et 6, de cette équation, la question proposée pourra 
étre résolue. 

En effet, ces valeurs étant mises a la place de @ dans 
('équation (6) qui est linéaire, on en déduira deux valeurs 
correspondantes de ¢, t, et /,, contenant chacune une con- 
stante arbitraire. On aura ensuite y etz au moyen des deux 


équations . 
yt 025%, 7 +65 h. 


Les valeurs de y et de z ainsi obtenues contiendront 
deux constantes arbitraires, puisque t, et t, en contien- 
nent chacun une. 

634. Dans le cas o¥ les coefficients P, Q, P’, Q’ sont 
constants, on peut supposer dconstant dans l’équation (5) 
qui se réduit alors a 
(7) (P + P'0)0-Q—Q0 =o. 


Cette équation est du second degré et donne deux ragine# 


v) 


CINQUANTIEME LEGON. 153 
constantes que l’on peut prendre pour 6, et 45, si ces raci- 
nes sont inégales. 

Si les racines de l’équation (7) étaient égales, on n’au- 
rait qu'une valeur de 8. Mais dans ce cas l’équation (5) 
peut se mettre sous la forme 


ou iar ae sen Pit 0, 
z 


équation dont l’intégrale générale est 


I 
ye ene 
P’a+e 
Comme on n’a besoin que de deux valeurs particuliéres 
de 6, on les choisira de la manieére la plus simple en faisant 


successivement c= 0, c= oo, d’ou 


6,.=a¢+ ia tera 


I 
Pee 
Les équaiions (1) peuvent donc toujours étre intégrées 
quand les coefficients P, Q, P’, Q’ sont constants. 


INTEGRATION DE TROIS EQUATIONS LINEAIRES. 


635. La méthode précédente s’applique avec quelques 
modifications 4 Vintégration de trois équations linéaires 
simultanées a quatre variables x, y, z, u. Ces équations 
peuvent d’abord étre mises sous la forme 


d 

7+ Py+Qz+Ru=V, 

Fo 

dz ; ; f 
(I) Rees Tuan wees ee 

x 

A r 

+ Py + QUe+ Ru = VW". 

dx 


Ajoutons ces trois équations apres avoir multiplié la 


154 COURS D ANALYSE. 


seconde par 0, la troisieéme par A. On a ainsi 


dy dz 


1 Ns 
+ iSiegease bee a GRRE? HB. hs 
dx dx dx 


7 
oY +(Q+-Q'0+Q0°))24+(R+ RB'0+-R")) a 
= V+. V'6 + V"- 


Posons 
(2) ytO02+du=t, 
: 1 1 l lt 16 Th 
dou aD. ay SMa ee = ee . 


dx da ie Pale. dx dx 
L’équation (1) devient 
( dt dQ d). 


Tees Oana, Wage ee er Sk eA Sear eg 


ie + (Q4+ 0°64 Q"))2+(R+R'0+ Rd) au 
=V+V’6+V") 


Cette équation ne renferme z et u qu au premier degré. 
En égalant a zéro les coefficients de ces variables, on ré~ 
duira done l’équation (3) aux suivantes : 


16 yu 

(4) S+(P +P +P2)e~Q—Qe—Qi=o, 
da), ; ; me 

(5) Soh (P+ P04 PYN)K=R— BOR = 0, 
AX 
dt 


(6) sr eo) a eS Ve ee O- 
AC 


Les deux premiéres équations ne contiennent que 6 et A: 
elles sont du premier ordre, mais non linéaires. On ne 
sail done pas les intégrer en général. Néanmoins, si l’on 
connait trois intégrales particulieres ,, 9, 93 et trois va- 
leurs correspondantes A,, A:, As, on pourra déterminer les 
intégrales cherchées. En effet, pour un systeme de valeurs 
simultanées 6, et A,, ’'équation (6) qui est linéaire et du 
premier ordre donnera une intégrale correspondante 4, 
contenant une constante arbitraire. On aura de méme 
deux autres valeurs /, et /; correspondant aux deux artres 


ra 


CINQUANTIEME LEGON. 195 
. A aes +) 
systémes 0, et A,, 03; et A,. Les trois intégrales seront donc 

| y+toztihue=t, 
(7) ¥ +O3+ Uh, 

Y + 933 + Agu = ts. é 

Les valeurs de y, z, u qu’on en déduira contiendront cha- 
cune trois constantes arbitraires. 


Pp . . f 2 
636. Dans le cas ow les coefficients P, Q, R, P’, ete., 
sont constants, les équations (4) et (5) sont satisfaites 
par les valeurs constantes de @ et de A, que déterminent les 


équations ‘ 
(8) (P+ P/64+ P”1)6 Q—Q'6—Q"X=0, 
(9) (P + Po +: P”0)) —R—B/O— Ri =o. 


En portant dans la seconde équation la valeur de A tirée 
de la premiére, on aura une équation du troisiéme degré 
en 6, qui fournira, en général, trois valeurs distinctes de 
cette variable, 6,, 6, 6,. L’équation (8) étant du premier 
degré en A, fournira trois valeurs correspondantes A,, As, 
diss 

L’élimination peut se faire de la maniere suivante. Kn 
posant 


(10) P+P’6+ P’%i=,, 
on aura les trois équations 
P—p+P’/0+ Pi =0, 
(tr) QF (Up )i Maso, 
R-+B/0-+(R” —p)? 
L’élimination de 6 et de A entre ces trois équations donne 
l’équation finale 
tp = Bie Oe 8) 
sae O (pea Pe RE 71 p= OF) QP (2 7 Ra 0. 
QR’ P” — RP’ Q” 


| 
° 


Soient p,, 2, ps les trois racines de cette équauion, 


(12) 


156 COURS D ANALYSE. 


L’équation (6) prenant la forme 


dt 
—+pt=V+V'64+V"), 
dc 


on aura 
2% : / “W Cz 
te eee (V+VWO+V"i)e dx |}: 


On en déduira, en remplacant tour a tour p par p;, Pa, Ps, 
trois valeurs de ¢, savoir f,, f2, ¢; contenant chacune 
une constante arbitraire. On aura donc pour les inté- 
grales cherchées les trois équations 


ae 
y+Oe+duse Te (V+V'O+V" i Je ae| =o, 


y+9.3+ use ol et f weve, +V"),)e “ae |=0, 


AUTRE METHODE. 


637. On peut suivre dans Vintégration des équations 
linéaires simultanées la méme marche que dans les équa- 
tions différentielles ordinaires, c’ est-a-dire ramener le cas 
général au cas plus simple ot les équations proposées 
seraient privées de second membre. Nous allons effectuer 
cette réduction dans le cas ou les coefficients des premiers 
membres sont constants. 

Remarquons @’abord que si’on connaissait trois syste- 
ines de fonctions, (71, 215 U1), (2, Z2y Ue), (35 239 Us) 
satisfaisant aux équations 


| d 
of: 2 POs oe Rares 
dx 
; ) dz t / 
(1) \royr ane Py+Q'24 Ru=o, 
du ; 


— + P’y + Q%2 + BR’ u=0, 


CINQUANTIEME LEGON. 157 


on y satisferait encore en posant 


YH yr OY2-b C3 V3, 

Z = Cy By + Cg 2 + C3 33, 

UC, UW + Cy Uy + C3 Us, 
comme onsen assure par la substitution, ci l’on aurait 
les intégrales générales puisque ces formules contiennent 
trois constantes arbitraires ¢,, Cs, Cg. 


Cherchons maintenant a résoudre les équations (I) par 
des valeurs de la forme 


( = ps Pr ae a ee —* — px 
(1) Wy cai waaay Boia rh Cr Th Cm alee 
a 


o, uv, v désignant des constantes inconnues. La substitu- 
tion de ces valeurs donnera les équations 


ap a OP 0) 
(2). P+ (Q—p)u+ Ry to, 

PP. Q"p 45(R” 0) y SSO! 
L’élimination de vet de v entre ces équations conduit 4 une 


équation du troisiéme degré en p, la méme que lon a dé- 
duite, par l’élimination de @ et de A, des équations 
P—o+P/0+P"i=0, 
(3) 5-Q.-+ (Q'—p)@-+- QY) = 9, 
] Ro R70'— (R” — o)d =O 

car on arriverait a ce dernier systeme en ajoutant les équa- 
tions (2) respectivement multipliées par @, A et 1, et en 
déterminant 0 et A de maniére que les termes qui contien- 
nent y. et v disparaissent d’eux-mémes. 

Les trois valeurs de o étant désignées par p,, po, ps, et 
les valeurs’ correspondantes de y et de v par py, fe, Us 5 


Vs, Yo, ¥g, On aura trois solutions’ particuliéres dou lon 
déduira la solution générale 


Gps c,e~ Ox? exe fa cs Pa, 
(4) Za eypye * + crpe P2™ + cyp,e~ Pa”, 


ee —p,£ = feta: 
| “eye Pie 4 eye P28 + 63 93€ Past, 


158 COURS D ANALYSE. 


638. Prenons maintenant trois équations avec second 


membre_ 
| dy 
ree ae 
.}] dz , 
(IL) \ gb P y+ QUe+Ru=V, 


| L 
d 
EP y+ QV et R UHV’. 


‘Cherchons s’il est possible de satisfaire a ces équations 
q 

par les expressions (4), mais en regardant ¢,, cy, c; comme 

des fonctions convenables de x. On aura 


d 
mT eee al ME ed A 
Semmes der gn rat 2 apy Ms 
dx ie 


: ‘ dz u : 
On aurait de méme n - En substituant ces valeurs 


dans les équations (II), les termes qui renferment ¢,, cs, cs 
sont nuls en vertu des équations (4), et il reste 


Re te po lly pe Us 


ens * v 
po ghiel bas! de, Ee. 
( pie pi® e + pre ae tos Cie es ‘= MED. 
2 ee ve = 4-v,¢e pater ype tO yn, 
\ dx ax ax 
De ces équations on tirera les valeurs 
: dc, dc, de, 
(6) Fee ag ee 


X1> Xe Xs tant des fonctions de x: d’ou Von conclura 


= [det 
) n= [ydet en 


Cress [ade +o. , 


— 
| 


CINQUANTIEME LEGON. 19g 


Ces valeurs, substituées dans les fotmules (4), donneront 
les intégrales du systéme (II). 


METHODE DE M. CAUCHY. 


639. Soit proposé d’intégrer le systeme 


dy 
erie Qz+ Ru= E(x), 
dz ; a ’ ‘ 

(1) Fe LOTR SP), 
du 


3 = P”y a Q”’z ats Rt — F, (x) - 


Cherchons des fonctions Y,Z,U qui, substituées a la 
place de y, z,.u vérifient les équations 


> 6 
O Py + Qs+Ruxo, 
bee . 
dz ' / 
(2) /—+Py4+Q24+ Vu=o, 
dx 
d 
gare ' Ro =o; 


| dx 
et telles, que pour x= & on ait 
SE (a45 EG Bal aha, Vat Frida) 
Pour trouver des fonctions Y, Z, U qui remplissent ces 


conditions, il suffira de déterminer les constantes qui en- 
trent dans les intégrales générales du systeme (2). 


| oh aN (2, Ciy Cry C3)5 
3) z= 9i(x, Ciy C25 cs 


a (2, C1, C2, C3 ), 


de maniere que l’on ait 


F (a) =0 (2, Cla Gs Cas 
(4) Fi (ce) =a, C15 Cry C3), 
| F(a) == oy (ay 01, Cs, @5) 


On aura les fonctions cherchées en portant dans les équa- 


160 COURS D ANALYSE. 
tions (3) les valeurs de c,, cs, ¢3 déduites des équa- 
tions (4). 

640. Maintenant je dis que les équations (1) seront 
satisfaites en posant 


x x Po 
(5) y=f Ydz, =f Zdza, — Uda. 
0 0 0 


En effet, d’aprés lhypothese, on aura 


dy mane 
ares CEES Beet ay 
dx a dx. ere APY 


el, en substituant dans la premiére des équations (1), 


: LING x ax 
itr Nees Sia EY Yd«z+Q Zd« 
dx is fe 


+R f Uda+ F(a). 
0) 


Cette équation est identique, car elle revient a 


a uel py Z RU 
. a des +Q ae )=o, 


et la quantité renfermée entre parenthéses est nulle par 
hypothése. On vérifiera de méme que les deux autres 
équations du systéme sont satisfaites. 

On a donc une solution particuliére du systéme (1) : 
désignons-la par (1, 21, 4). Mais si dans les équations (1) 
on rempiace y, 2, u par y+ 74, 2+ 44, wUtU,, on 
’ obtiendra le systeme (2). Donc, en ajoutant aux valeurs (3) 
les intégrales générales (y, z, u), des équations privées de 
second membre, on aura intégré complétement le sys- 
téme (1). } 


REMARQUE SUR LES EQUATIONS SIMULTANEES, 
641. Soient 
(1) 


Pl al 
f(a oy yg 2, 3 eo 


x 


Fila, guys ee tea, 


CINQUANTIEME LEGON. 161 
deux équations simultanées du premier ordre, dans les- 
dy 


Z nei az 
uelles y’ et z’ désignent — et —- Soie 
gq y’ gnent — et — Soient 


(2) ‘ 
les intégrales complétes du systéme (1), a et 6 étant deux 
constantes arbitraires. Les équations (x) doivent devenir 
identiques quand on y remplace y et z par les valeurs (2). 
Done si l’on pose 


(3) t= —> 9 = —»7% 


Ai yay! 
dz dadz da’ 
du (has SS 
dx dadr da’ 


d’ou 


\ 


on aura, en différentiant par rapport a a les équations (1), 


| df df du df df do _ 
la" yaa ads Aa RT Fate Be 
(4) d¥ dF du dF dF dp 


7 SS — — — =0 
Ber a PENS SHENG tat Ear 
On arriverait encore aux équations (4) en posant 


’ yaad dz 
cowie idea] oem, 


et en différentiant les équations (1) par rapport a 6. Il 
suit de 1a que si l’on considére u et » comme des fonctions 
inconnues, le systéme (4) admettra les solutions particu- 
liéres (3) et (5). Done ses intégrales générales seront (637) 


dy dy 

a [aed oy 
/ 

dz 

fo=as + TN 


A et B désignant deux constantes arbitraires. 
gl. 11 


162 COURS D ANALYSE. 


CINQUANTE ET UNIEME LECON. 


Intégration des équations aux différentielles partielles. — Equations qui se 
raménent aux équations différenticlles ordinaires. — Elimination des 
fonctions arbitraires. — Equations linéaires et du premier ordre a deux 
variables indépendantes. — Cas de trois variables indépendantes, 


EQUATIONS QUI SE RAMENENT AUX EQUATIONS DIFFEREN~ 
TIELLES ORDINAIRES. 


642, Le probléme qui fait Pobjet du calcul inverse des 
lifférences ou des différentielles partielles consiste a cher- 
cher une fonction connaissant une relation entre cette 
fonction, les variables dont elle dépend, et une ou plu- 
sieurs dérivées partielles de cette fonction, prises par rap- | 
port a ces variables. 

643. Nous commencerons par un cas particulier trés- 
simple, celui ou l’équation*donnée ne renferme que des 
dérivées relatives 4 une seule variable. Il faut alors trai- 
ter l’équation comme une équation diflérentielle ordi- 
naire, mais en ayant soin de remplacer les constantes 
arbitraires qui entrent dans l’intégrale par des fonctions 
arbitraires des autres variables, Soit, par exemple, 


du 
— = 3 2 an 
e ay 


en regardant y comme une constante, on a, 
“= ey Se iC, 
et en remplacant la constante C par une fonction arbi- 
traire de y, 
u= oy +9(y). 
On trouvera de méme que Vintégrale de l’équation 
du 


Ly Ge ee 


est yuo (ahs 


’ * 


g (x) désignant une fonction arbitraire de x. 


CINQUANTE ET UNIEME LEGON. 163 

644. Ce procédé peut quelquefois s’étendre A des équa- 

tions ou entrent des dérivées partielles relatives A deux 
variables. Soit, par exemple , 


(1) d°u ia du 
I ae ‘ 
\ dxdy °° dx” ‘ 


En posa Ma oA 
posant — =p, ona 


dp 
Gp eh ep ie 


équation linéaire et du premier ordre qui donne 


(2) per (a(x) +2 f yerdy), 


apres la derniére formule du n° 508, Ja constante arbi- 
traire c étant remplacée par la fonction arbitraire @ (x). 

Si maintenant on intégre l’équation (2) par rapport 
a x, on aura 


ti es fle det ewe f yerdy +4(7), 


y (y) désignant une fonction arbitraire de y. Comme 
d’ailleurs 


Ga 
[ verar = sae WAT es 1), 


et que {9 (x) dx peut étre remplacé par une fonction ar- 
bitraire x (x), on aura définitivement 


ieee 


w=b(y)reVyx(2) +5 Glary—1). 


ELIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 


645. Si entre l’équation 


(1) F(x, 7, ¢)=0, 
ot. c désigne une constante arbitraire, et sa différentielle 
d¥ 


dx + Ly == 0 
eS 7 — dy 0, 
ax * dy 2 


164 COURS D’ANALYSE. 


on élimine c, l’équation résultante 
/ dy 
(3) t\*, y, 2) =o 
dx | 


exprime une propriété commune a toutes les équations 
que l’on obtient en donnant a c différentes valeurs, et, 
par suite, une propriété relative a la tangente de toutes 
les courbes représentées par |’équation (1). 

Un théoréme analogue a lieu pour les équations ot 
entre une fonction arbitraire de deux fonctions des 
mémes variables. Soient, en effet, 


a ee (a; JX Z), 6 =f ean Ae, Zz), 


deux fonctions déterminées des variables x, y, 2; éta- 
blissons entre a et 6 une relation arbitraire 


(3) 6= 9 | a). 
: 1. d 
Posons ae Bo; wees qs 
dx dy 


et différentions tour a tour Péquation (3) par rapporta x 
el par rapport ay; nous aurons 


i dé dé ' da dz. 
hand: p= (a) a+r): 


i dx dz ax dz 
(4) | me oe ff) da dz. 
dy da ee Oy hae iy a 


et en éliminant la fonction g! (a) entre ces deux équa- 
tions, nous obtiendrons une équation de la forme 
Pp aie Qq = V, 
P, Q, V étant des fonctions de x, y et z. 
Cette équation exprime une propriété commune a tou- 
tes les équations de la forme 


6 = 9 (a) 
el, par conséquent, une propriété commune au plan tan- 
gent de toutes les surfaces que ces'équations' représentent, 


CINQUANTE ET UNIEME LEGON. 165 
646. On arriverait encore a Péquation 
- Pp Q¢=V 
si les fonctions « et 6 étaient liées entre elles par une équa- 
tion de la forme P 
(1) Ges, 0) ==50, 
En effet, on aurait, en différentiany l’équation (1) par 


rapportaxetay, 
pe x y: _ 


dg wombs do (dé dé Ss. 
een) Pome as ya) 


| de dz dz dg (de) dé \ 
Ha dp ae ere ge da) 


\ 


(2) 


Ces deux équations ne renferment que le rapport des 


do d 
adie’ rtielles —*, ‘-¥. 
deux dérivées partielles da? dp 


port, on retombera évidemment sur une équation de la 


Env éliminant ce rap- 


forme’ 
Pp+Qq=V. 


647, On raméne a l'un des cas précédents Péquation 
(1) Eil25 725 9( 2) | =o, 
F étant une fonction déterminée, 9 (#) une fonction arbi- 
traire, et a une fonction déterminée f, (x, y, 2). En 
- effet, si on pose 
(2) g(a) = 6, 
on aura Ei mien Ge) SS, 
dot résulte 
(3) Ney ee a a 
Ainsi Véquation (2) établit une relation arbitraire entre. 
deux fonctions déterminées des variables x, y et z. 
648. Soient maintenant trois fonctions de quatre varia- 


bles, x, y, 2 et u, savoir: 


(ja=fi(r, 7,2, 6=Alr 7% &), y= fle Ir “), 


166 COURS D ANALYSE. 
othe ~ * 7 s o) 
et, 9 désignant une fonction arbitraire, supposons que l’on 
ait l’équation 
(2) 9 (a, 6, y) =o. 
Posons , pour abréger, 
du du du 
a ae Ie oS SS SG 
db wie dy 4 as é 
et différentions l’équation (2) tour a tour par rapport 
ax, y et Z; nous aurons 


do (dz fi goa de dé dé mee do dy Ses d ) =o 

\". dx a THe dé are dy \dx du? , ax 
lo {dae da \ a d 

Wea 4S yaaa +F4\+2 (2 ae + S14) = 

Wdasdy. idl | dé dy \dy fae 

do [da dz. dy e dé ) do (dy d ee 

yams oh dy ge the ae 

ae ae d l 1 lo ad 

L’élimination des rapports eee at “2 .£% entre ces 


da “dy? dé dy 

trois équations, conduira évidemment a une équation 
aux dérivées partielles de la forme 

(4) Pp+Qq+Rr=V. 

649. Plus généralement toute équation 

(1) OA By Osta spake) ea OS 

ou g désigne une fonction arbitraire et @, 6,..., A, w, des 
fonctions déterminées de m + 1 variables, conduira, par 
le méme procédé, a une équation linéaire aux différen- 
lielles partielles a laquelle devront satisfaire les fonctions 
%,6,...,4, quelle que soit la fonction 9. 


650. Exemp es : 


Tt? 


Z-+amoe(r~+y). 


Kn différentiant tour a tour par rapport a x et a y, on 
aura 

pri=q_ (e+ y), 

q=y (r+ y); 


CINQUANTE ET UNIEME LEGON. 167 
dou Pon conelut 
gE Oe 


ad: 2= 2" o (*). 
zx) 


On aura par la différentiation 


pz=mz"™' 9 o — ya? 9! (2) ; 
az 5 \ a 
\ V4 
q —= gin! o! (2 a 


dei ¥y We Babes rg 
Eu éliminant © (Z eto’ (— } entre des trois équations 
bs t 
précédentes, on aura 
Prat Fy 2, 


ae dz dz 
a — = 2 
dx ane dy ie 


On retrouve ainsi une propriété connue des fonctions 


homogénes (I, 169). 


EQUATIONS LINEALRES ET DU PREMIER ORDRE A DEUX 
VARIABLES INDEPENDANTES., 
651. Soit 
(1 ) Pp+Qq=R 
une équation dans laquelle P et Q désignent des fonctions 


i fi 8 Se s ae 
données de x, y et z, p et g les dérivées partielles oe 


dz r 2 ? , 

Tee Intégrer cette équation, c'est trouver une autre équa- 
ay 

tion 

(2) Eiz,y, 2) =O; 


telle que les valeurs de p et de g qui s’en déduisent ren- 
dent identique l’équation (1). Or nous venons de voir 
qu’on parvient a une équation telle que (1) lorsque deux 
fonctions 

(3) n= f(x, 7%), 6=fi(*, 7,2), 


168 COURS D ANALYSE. 


étant liées par une relation quelconque 


(4) a= 9 (6); 


on élimine la fonction arbitraire 9. Des lors il est naturel 
de chercher a satisfaire a |’équation (1) par une équation 


de la forme (4). 


652. Supposons done que l’intégrale de l’équation 


(1) Pp+Qg=R 
soit 
(2) a9 (8), 


a et 6 étant des fonctions inconnues de x, y, et z. On tire 
de l’équation (2) 


da da Limnae ‘dé dé ) 
: a p= 9 (8) (> ee 
(3) da, da, «(2 dé | 

Dy tad ae ae 


fl faut qu’en élimimant p et g entre les équations (1) 
et (3) on retombe sur une équation identique ou qui de- 
vienne identique en ayant égard a !’équation (a): 

Si on ajoute les équations (3) aprés les avoir multi- 
pliées respectivement par P et Q, on aura 


da 


da 
plik QT + (Pp +09) 5 


ds dé dé 
ee! 6 es = { \ 
= ¢ (6) | P— QF, (PP +09) e |: 


ou bien, en ayant égard a l’équation (1), 


dz da Caer, 5) : do dé 
@) PE +O +R eae (6) (PS Boao Lyi a2). 


dx dz 


Or on satisfera identiquement a cette équation, quelle 
que soit la fonction 9, en choisissant les fonctions « et € 


CINQUANTE ET UNIEME LEGON. 169 


de telle sorte que lon ait 


da da da 
P= —+R—= 
\ ae aaa gee 


(5) | 
] a fia dé R dé 
Aegee? Sy 
(eo he : ay dz 
et ces conditions seront remplies (629) si l’on prend pour 
a et 6 les fonctions f (x, y, z) Ss (25952) qui, égalées a 
des constantes, donnent les intégrales des équations si- 
multanées 


dx dy dz 
BS Fa Oe Ssh 


D ailleurs , toute intégrale 


(6) F(x; ys 2) © 
de l’équation (1) peut étre mise sous la forme (2). En 
effet, on tire de l’équation (6) 

dF dF dF dF 


Pen ee aes a 


e 


‘et ces valeurs étant portées dans l’équation (1) qu’elles 
doivent rendre identique, puisque F’ = o est une inté- 
grale, on aura 


p7t ey oe 
aed toe 


ou l’on conclut (632) que F est une fonction de « et de 6. 
Done l’équation (6) équivaut a une relation, «= 9 (6), 
entre ces deux fonctions. 

De la résulte que non-seulement |’équation (2) 


a=y(6), 


dans laquelle « et 6 désignent des fonctions qui remplis- 


sent les conditions (5) et 9 une fonction arbitraire, satis: =” 


fait A Péquation (1), mais encore que c’est l’équation la 
plus générale qui résolve le probléme. 
On arrive donc a cette conclusion : 


170 COURS D ANALYSE. 
Si 
SI, 2) = 6 fi (Hy, 2) =e; 
sont les integrales du systéme 


de. dy, dz 


=a i 


BOR 
el si’ on pose 
ee f (xy 2) 5 
Vintéegrale de léquation 


Pp+Qg=R, 


6 ia (eS Ys Zs 


sera 
a= (6), 


9 désignant une fonction arbitraire. 


653. On satisferait encore a Péquation 


da da dz dé dé 
Pp — he a6 pe Se eet 
dx Ba dy ah dz van (1 dx Q dy +e 
Ch posant 
da da da 
P— Jy — —— AG) = 
dx pues: dy dz Pree oO; 
ou bien 
: dé 76 Ae dé iy Ve: 
dae ay do ie eee et 


Mais ces nouvelles solutions, n’établissant pas en géné- 
‘val de relation entre les fonctions e et 6, ne rentrent pas 


dans Vintégrale 


a= (6), 


ct constituent le plus souvent des solutions singuliéres. 


654. On doit remarquer que Vintégrale « = g (6) con- 


viendrait encore aux équations 


dy dy 
Ls ae ie aT Q, 
Q da dx sep : 


CINQUANTE EY UNIEME LEGON. BUY 


dont Vintégration dépend du méme systéme d’équations 


simultanées 


655. Exemp es : 

ee rp—yq= 0. 

Tl faut chercher les intégrales des équations 

dx dy® de 
qui sont 5s 
BS CpG apes eaF 
Donc l’équation proposée est satisfaite par 
z= 9(ay), 


¢ désignani une fonction arbitraire. 


2 Px’ — gry == —y’. 
Il faut intégrer les équations 
dz_- .ady dz dz 
ge ay’ x Dy 


La premiere revient a 


dx d : 
Sib toy in Si dio. 16 ==} 
x Bs 
La seconde revient a 
dx a? dz 
ithe Mee G2 
I y, 3 
On enconcelut t= 5 6a + a, 
bien pe 
dou a=2——: 
3a 


Donc lintégrale cherchée est 


o désignant une fonetion arbitraire. 


172 COURS D ANALYSE. 


Dae P—-q=o. 

Solution. z==o(a+y). 
4°. py —qz=0, 
Solution. 2=9(x?+y"). 


EQUATIONS QUI RENFERMENT LES DERIVEES D UNE FONCTION 
DE TROIS VARIABLES INDEPENDANTES. 


656. La méthode suivie dans le cas de deux variables 
indépendantes s’étend facilement au cas d’un nombre 
quelconque de variables. Nous examinerons seulement le 
cas une équation du premier ordre renfermant les déri- 
vées d'une fonction de trois variables indépendantes. 


657. Soit proposé d’intégrer l’équation 
(1) Pp+Qq+Rr=V 
dans laquelle P,Q, R, V sont des fonctions de quatre va- 
riables x, y, z, u, et p, q,r désignent les dérivées par- 
uielles de u, considérée comme fonction de x, y, 2, savoir 
du du du 
Dt — hae 
f dx’ q dy” dz 
Posons 
masoatny fo (at, Nix ey > 
(2) 6=Sfi (2, 7,2, &), 
YS Teles &% u), 
SJ, Sry fo lant des fonctions inconnues de x, y, z, u. 
Soit 


(oer a= 9(6, 7) 


Pintégrale de I’équation (1). 


CINQUANTE ET UNIEME LEGON. 073 


On tire de l'équation (3) 
| da da dy [dé dé g/d dy 
dx * du? ~ dé ae ae aa)” 
da dx _dyfdé dé d¢ 1) ds 
(4) de dat de (S50) + wig (G+ F0), 


ih este: earaec : dy [dy . dy 
dz du —« 6. \dz du’ : dy \dz sacs : 


Ajoutons ces équations, aprés les avoir’ respectivement 
multipliées par P, Q, R. Il en résultera, en ayant égard 
a Péquation (1), e 
| da 
dx 


d d6 dé dé dé 
5 = g BR 
(5) (pE+ey4 ek ) 


| dé 

do dy dy dy dy 
Pp R—+V— 
+ 2 ara dz du 


+ QF eRe Seevas 


i > , . : . r do 
Or cette équation sera satisfaite, quels que soient weet 
ao 


d« : 5 : 
ae et, par conséquent, quelle que soit la fonction Q, Sh 
a 24 is 


Pon prend les fonctions inconnues «, 6, y, de telle sorte 
que 

(6) Ceea RR rom AI 

soient les intégrales du systeme 


dz dy dz du 


7) Bip) Qin ee 
puisque les trois fonctions (6) rendent identique Péquation 
i mee dé 
a= We == @ 
+Q% i aa du n 


Dés lors a, 6, y étant ainsi déterminées et 9 désignant 
une fonction arbitraire, |’équation (3) sera Vintégrale de 


Péquation proposée (1). 


174 COURS D'ANALYSE. 


On prouvera, d’ailleurs, qu’on a la solution la plus 
générale du probléme proposé en faisant voir, comme au 
n° 652, qué toute intégrale de l’équation (1) équivaut a 
une relation entre les fonctions a, 6, 7. 

658. On remarquera, comme dans le cas de trois varia- 
bles (654), que la résolution du systéme (6) fournira |’in- 
tégrale des équations suivantes 


L Iz L 
ee ae eaepeeey i 
dx dy du 
dy dy dy 
P— he 
dx zc dz e du @, 
ax dx da 
— — =P 
Q dy ats dz du 
659. Exemete : 
/ du du af du 
iS — — = wu. 
(r) oa th ay ree 


el, par suite, 


c’est-a-dire que u est une fonetion homogéne et du degré m, 
des variables x, y, z. L’équation (1) exprime, en effet, 
une propriété connue des fonctions homogénes (I, 169). 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON. 175 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON. 


Application de la théorie des équations aux différentielles particlles. — 4 
Surfaces cylindriques , — coniques, — conoides. — Surfaces de révo- 
lution. — Lignes de niveau , — de plus grande pente. 


la 
SURFACES CYLINDRIQUES. 


660. On appelle surface cylindrique, toute surface 
engendrée par une droite indéfinie MN qui se meut pa- 
rallélement a une droite donnée OD, en s’appuyant con- 
stamment sur une courbe donnée AB, nommée direc- 
trice. 

Soient 4 
{x= az+a, 


ly =bz+6, 


(1) 
les équations de la génératrice MN : a et 6 sont des coef- 
ficients constants qui expriment que MN est paralléle a 
Fig. 116. OD; « et 6 sont des paramétres 
variables avec la position de la 
génératrice. Soient 


les équations deladirectrice AB. 


On exprimera que cette courbe 
et la génératrice se rencontrent, en éliminant x, y et z 
entre les équations (1) et (2). Si 

(3) p (a, Ca) 


est le résultat de cette élimination, il faudra pour avoir 
Véquation de la surface cylindrique éliminer « et 6 entre 
les équations (1),et (3), ce qui donne 


p(x — az, y — bz) = 0, 


176 COURS D ANALYSE. 


ou 
(4) ¥ — 62 = 6{x% —az), 


® désignant une fonction quelconque. 


661. Réciproquement toute surface dont l’équation a la 
forme (4) est cylindrique, car cette surface contient les 
droites paralleles qui ont pour équations 

“L— az, 


0510. 
les constantes « et 6 satisfaisant a l’équation 6 = P(a). 


662. Pour avoir l’équation aux diflérentielles partielles 
des surfaces cylindriques, on différentiera ]’équation (4) 
tour a tour par rapport a x et a y : en posant 

dz dz 
Y hoes dy’ 
on aura 
— bp= 0'(x — az)(1 — ap), 
1 — bq¢g=— (4 —~— az) * aq, 
dou résulte 
(5) ap + bq=1. 


663. Cette équation exprime que le plan tangent a la 
surface est toujours paralléle aux génératrices. 

En effet, le plan tangent en un point quelconque x,y, = 
de la surface a pour équation 


Z—2=p(X—2z)+q(¥Y—y), 
et lacondition pour que ce plan soit paralléle a la droite 
AZo yea Oo 
est, comme l’on sait, 
ap-+ bg =1. 
664. Pour intégrer l’équation des surfaces cylindri- 


ques , ; ‘ 
ap -+ b¢g=1, 


CINQUANTE-DEUXIEME LECON. 199 


il faut d’abord intégrer le systéme 


dx dy 
a acl == dz, 
a b 
ce qui donne 
zZ—az= Ce, 
y—bs=c'; 
par conséquent l’équation 9 (2 — az, y— bz) = 0, ou 
z—az=%(y— b3),, 


est Pintégrale cherchée. 


665. La fonction arbitraire ©, qui’entre dans l’inté- 
grale générale, peut étre déterminée par diverses condi- 
tions. 

Si, par exemple, on veut que la surface cylindrique 


passe par une courbe donnée rhe 

(1) E{a;7,.2j}="0, F\(z, y,2)=0, 
on fera 

(2) Basa, y= bs 61. 


Les équations (1) et (2) doivent étre satisfaites par les 
mémes valeurs de x,y, Z, pour que tous les points de la 
courbe soient sur la surface. En éliminant x, y, z entre 
ces quatre équations, on trouvera une relation telle que 
@ (~, 6) =o, d’ou 6 = ® (2); on aura donc par ce calcul 
la forme particuliére de la fonction ®. 


666. Si la surface cylindrique doit étre circonscrite 
a une surface donnée 
(1) F (#,.7,°2) = 0, 
on commencera par déterminer la courbe de contact, ce 
qui raménera le nouveau probleme au précédent. Or (1) 
est déja une des équations de cette courbe. On obtiendra 
une seconde équation en exprimant que la surface donnée 
et le cylindre ont ]e méme plan tangent en tous les points 


de cette courbe. 
II. 12 


178 COURS D ANALYSE. 


Le plan tangent a la surface (1) a pour équation 


L’équation du plan tangent au cylindre est 
Z—2=p(X~2)+q(Y—y): 


on aura donc 


dF dF 
di: dy 
Bae ere? d= a 
dz dz 


En portant ces valeurs dans léquation 


apan.0G =, 
on aura 
(2) PN iy pes hea 
dx dy dz 


Les équations (1) et (2) déterminent complétement la 
courbe de contact. 


SURFACES CONIQUES. 


667. On appelle surface conique une surface engen- 
drée par une droite indéfinie KN, qui passe par un point 
fixe K et rencontre constamment une courbe donnée 
ANB. 

Soient a,b,c les coordonnées du point K. La généra- 

Pete trice KN sera représentée, dans 
une de ses positions, par Jes 
/ équations 
alee ate 
: (1) L—-a=al(z—e), 


0] o y—b=6(z—e), 


id 


a et 6 étant deux parameétres qui 
¥ varient avec la, position de la 
génératrice. Pour trouver la re- 
lation qui existe entre ces paramétres, on éliminera x, 4 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON. 179 


et z entre les équations (1) et les équations 


(2) Fics au Cy (ae gc) =o; 
qui représentent la directrice ANB. On obtiendra ainsi 
une relation é 
(3) g(a,6)= 0, 
et si ensuite on ¢élimine « et 6 entre (1) et (3), on aura 
L— 2 a ¢ 
9 ( ) J = 0, ou 
Gi GC = 
y—b oan 
(4) 2" = 0 (24), 
Z—ec 2) gee 


équation générale, en quantités finies, des surfaces coni- 
ques. 


668. L’équation (4), différentiée par rapporta x eta y, 


donne 


=bot aw (c=) [glean], 
eat) 


En éliminant ®’ (2 a *) entre ces €quations, on aura 
ee - i 
(y— >)p ( g—e—(z—a)p 
exe ? 
ag gees 9 aah cera y 
ou 
(5) z—c=(x—a)p+(y—)q, 


équation aux différences partielles des surfaces coniques. 


669. Pour intégrer directement l’équation (5), on ré- 
soudra le systeme 
dx ay aah dz 


r—a xy =—b. ze 
qui a pour intégrales 
f—a y—b 


=C, =C’, 


Vi) > Rb, See, 


150 COURS D ANALYSE. 


dot lon conclut 


c’est-a-dire ’équation (4). La fonction arbitraire ® sera 
déterminée par la condition que la surface conique passe 
par une courbe donnée ou soit tangente a une surface 
donnée. La marche a suivre pour réscudre ces problemes 


est indiquée aux n° 665 et 666. 


SURFACES CONOIDES. 


670. On appelle surface conoide toute surface engen- 
drée par une droite qui est toujours paralléle a un plan 
donné, nommé plan directeur, et assujettie 4 rencontrer 
une droite et une courbe données. 

Prenons pour plan des xy un plan paralléle au plan 

Fig. 118. directeur, et pour axe des z la di- 
f ' rectrice rectiliene: 


Soient 


ira a one $5.2) 105 
Bila, #5) =O, 


les équations de la directrice cur- 
ve viligne AB. 


Les équations de la génératrice MN seront 
(2) Le. oy She, 
et si l’on élimine x, y, z entre les quatre équations (1) 
et (2), on aura une certaine équation 


(3) » (25.6) <0 
exprimant que la génératrice rencontre la directrice AB. 
Si donc on élimine « et 6 entre les équations (2) et (3), 


on aura o(s 4 = 0, /0U 
(4) so (2); . 


cest ’équation cherchée. 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON, 181 


671. En différentiant Péquation (4), on aura 


os RL 
= — © — i 
P (2) a 4 


*W@out Von conclut 

(5) prrqy=o, , 
équation aux differences partielles des surfaces conoides. 
Cette équation exprime que le plan tangent en un point 
quelconque contient la génératrice *correspondante. En 


effet, si dans l’équation du plan tangent 
Zo sp (Saal git ¥) 
ontait A. == 0, Y==0,6n 4 > 
Z—2=— pz —qy=—o. 
Le plan tangent rencontre done l’axe des z au méme point 


que la génératrice KM, et, par.suite, il contient cette 
droite avec laquelle il a déja le point M commun. 


SURFACES DE REVOLUTION. 


"672. Les surfaces de révolution sont celles que lon 
obtient en faisant t6urner une certaine courbe autour 
une droite fixe. 

Pour plus de simplicité prenons lorigine sur l’axe OD. 
Soit AMB la courbe géné- 


ratrice. Dans le mouvement 


Fig. 119. 


de cette ligne chacun de ses 
points décrit un cercle et 
Yon peut considérer la sur- 
face de révolution comme 
le lieu des circonférences de 


2 cercle qui ont leur centre 
sur l’axe, leur plan perpendiculaire a cet axe et qui ren- 


contrent la courbe AB. 


182 COURS D ANALYSE. 


Soient 
a b 


(1) es Sires A 


les équations de la droite OD et 


(2) 


x? Sten eC, 
ax -+ by + «7 = 6, 
les équations du cercle mobile, considéré comme !’inter~ 
section d’une sphére ayant son centre au point O et d'un 
plan perpendiculaire a l’axe OD. 

Soient 
(3) pte i 22) 0} 

F(x, ies 2) a 0, 
les équations de la courbe AB. En exprimant que le cercle 
et la courbe se rencontrent, on parviendra A une certaine 
relation 


(4) g(a, 6) =o, 
et si lon élimine ensuite « et 6 entre les équations (2) 
et (4), on aura 
g(t y?+2, ax+ by +cs)=0 
ou 
(5) axn+ by + cz == O (x? + y7°+2), 
@ 


équation générale, en quantités finies, des surfaces de 
révolution. 


673. Pour obtenir Véquation aux différences particlles 


on différentiera l’équation (5). On aura 
a cep 20 (27+ 7? + 2) [n+ zp], 
b+eg=20' (2?+ y?+ 2) (y+ 29), 


d’ou, en éliminant la fonction ©’, 


a + cp _. & + Zp 


i — 9 
b + cq V+ 2g : 


ou 


(6) (ey = bz)p +(az—exr)q = ba —ay, fo 


CINQUANTE-DEUNIEME LEGON. 183 
équation aux différences partielles des surfaces de réyo- 
lution. 


674. Cette équation exprime que toutes les normales 
dune surface de révolution rencontrent l’axe. iow 

En effet, si on élimine X, Y, Z entre les équations 
de la normale 


\ We Pe 2) == 185 


(7) Uw} gh = 2) =o, 
etles équations de laxe ‘ 
Q ~ a bs 

(3) x =74, as 


on retrouve précisément |’ équation. (6). 


675. Pour intégrer |’ équation 
§ q 


(r) (ey — b2)p + (uz—cx)q = br —ay, 
on 
il faut commencer par intégrer les équations stmulta- 
nées 
dx dy dz 
cy — bz at—ca. ba — ay 


Or, sil’on représente par dé la yaleur commune de ces 
irois rapports, ces équations reviennent aux suivantes ; 
dx = (cy — bz) dt, 
« dy = (az — cx) dt, 
] dz = (ba — ay) dt. 


— 
No 
— 


En ajoutant ces équations multipliées respectivement 
par x,y, Z, on trouve 
avdxz-+ ydy + zd2=0, 
dot a? toy ats SSE. 
Ensuite si l’on ajoute les mémes équalions respective - 
ment multipliées par a, b,c, gna 
adx + bdy + cdz = 0, 
dot Qe by + CZ —(', 


184 COURS D ANALYSE. 
Donec l’intégrale générale de |’équation (1) sera 
(3) ax+ by +c2 = O(2?>+ 77+ 2). 
676. Les équations (1) et (3) prennent une forme plus 
simple quand OD est I’axe des z. Elles se réduisent a 


2= O(a?-7’), 
ES ae BENNO 


On pourrait les trouver directement. 


DES LIGNES DE NIVEAU ET DES LIGNES DE PLUS GRANDE 
PENTE. 


677. Soit une surface 


a> F(z, y) 
rapportée a trois axes de coordonnées rectangulaires et 
supposons le plan des xy horizontal. On appelle dignes 
de niveau les sections de cette surface faites par des plans 
herizontaux. Une ligne de niveau aura done pour équa- 
tions 
os hy LARS xk eek, 

h désignant une constante. On tire de la seconde équation 

df ak af dy —o 

da dy dx 


1 
ou phd Papert 


da q 


et cette relation entre les dérivées partielles p et g aura 
lieu quel que soit h. Elle exprime que la tangente a la ligne 
de niveau, en un point M de la surface, est paralléle a la 
trace horizontale du plan tangent mené a la surface par 
ce point. 

Si Péquation de la surface était F (x, y, z) = 0, on 
obtiendrait l’équation différentielle des lignes de niveau 
en éliminant h entre les équations 


‘ 


dF dF dy en 


F(x, 7) he 0) a de 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON. 185 

678. On appelle ligne de plus grande pente Vune 
surface une courbe qui, en chacun de ses points, a pour 
tangente celle des tangentes 4 la surface, en ce méme 
point, qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal. 
Quand Ja surface est plane, la ligne de plus grande pente! 
est une droite perpendiculaire a la trace horizontale du 
plan. Dans le cas général, la tangente 4 la ligne de plus 
grande pente, en un point M de la surface , doit donc étre 
perpendiculaire a la trace horizontale du plan tangent au 
point M. Par conséquent, la projection horizontale de 
_ celte Langente sera aussi perpendiculaivre a la trace du plan 
tangent. ; 

Or le plan tangent au point M(x, y, z) a pour équa- 
tion 

Z—2=p(X—«)+ 94 RS) 
sa trace aura donc pour équations 
Z=0, —2=p(X—-2s«)+q(Y—y). 


Donec le coefficient angulaire de cette trace est —2- Celui 


q 
Sith te ay ee 
de la projection de la courbe de niveau est i On aura 
axe 
donc 
dy 4 
dx rap 
ou pdy = qdz, 


équation différentielle qui représente Ja projection, sur le 


plan horizontal, de toutes les courbes de mayeay. pla, yee poh 


679, La tangente a Ja courbe de plus grande. pente qui 
passe par le point M étant perpendiculaire a la trace hori- 
zontale du plan tangent, est aussi perpendiculaire a la 
tangente menée a la courbe de niveau par le point M; de 
sorte qu'une ligne de plus grande pente coupe a angle 
droit toutes les lignes de niveau, et réciproquement toute 
courbe qui jouit de cette propriété est une ligne de plus 
grande pente. 


186 COURS D’ANALYSE. 

Ul résulte de la que dans une surface de révolution dont 
axe est perpendiculaire au plan des xy, tous les méri- 
diens sont des lignes de plus grande pente, puisqu ils cou- 


pent a angle droit les paralléles qui sont évidemment des 
courbes de niveau. 


680. Appliquons les théories précédentes a I ellipsoide 


xz? wie 22 
pe ota tat eit 
CaO ieee 
Les lignes de niveau seront représentées par les équa- 
tions 


a b? ct 


elles ont donc pour projections, sur le plan des xy, des 
ellipses semblables a l’ellipse principale qui est située dans 
ce plan. 

Pour obtenir les lignes de plus grande pente, il faut in- 
tégrer V’équation 


(x) pay == qd. 
Mais ici on a 
(LF s coy 
= = aim gqQ= —_- > 
P a’z bez 


En substituant dans l’équation (t) et simplifiant, on 
aura 


(2) 


. 


ady — ydx 


— i) 
a be 


équation dans laquelle les variables se séparent immédia- 
tement. On a 


dou 
(3) y= y2)t 
7 est une constanle qu'on détermine en exprimant que 
, ’ 5 ‘ ; 
Ja courbe cherchée passe par un point donné. Par exem- 
ple, si lon yeut avoir la ligne de plus grande pente qui 


CINQUANTE-DEUXIEME LEGON. 18 

passe par le point dont les coordonnées sont 
La, y =O, 2=90, 
on aura, en substituant dans Péquation Ons 
= (7 ays 
dou y =o. Donc 
y =O 

est !’équation de la projection horizoftale de la ligne 
cherchée : en d’autres termes, la ligne de plus grande 
pente est l’ellipse principale située dans le plan des sx. 
Il est évident, en effet, que cette ellipse coupe a angle 


droit toutes les courbes de niveau. La méme chose peut se 
dire de lintersection de la surface par le plan des zy. 


681. Si l’on cherchait la courbe de rfiveau passant par 
le sommet situé sur l’axe des z, I’équation (3) se rédui- 
rait pour ce point a 

pa On 
et ne déterminerait pas y. Et cela doit étre, car en ce 
point le plan tangent a la surface est horizontal, et la 
courbe de niveau se réduit 4 un point. Toute droite pas- 
sant par ce sommet et située dans le plan tangent peut étre 
considérée comme tangente a une ligne de plus grande 
pente, 


1838 COURS D ANALYSE. 


CINQUANTE-TROISIEME LEGON. 


Questions qui cenduisent a des équations aux différences partielles d’un ordre 
supérieur au premier.— Surfaces développables.— Intégration de léqua- 
tion des surfaces déyeloppables. — Surfaces réglées. — Equation de la 
corde vibrante. 


DES SURFACES DEVELOPPABLES. 


682. On nomme surfaces développables celles qui 
étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s’appli- 
quer sur un plan sans déchirure ni duplicature. Telles 
sont les surfaces cylindriques et les surfaces coniques. 

Toute surface développable peut étre considérée comme 
élant le lieu des tangentes a une certaine courbe, nommée 
aréte de rebroussement de la surface. Il n’y a d’exception 
que pour le céne, ot l'aréte de rebroussement se réduit a 
un point, et pour le cylindre, ou cette courbe passe a! in- 
fini; mais comme nous avons déja examiné ces cas parti- 
culiers, nous en ferons abstraction dans ce qui suit. . 


683. Soient 
(1) 2=f(z), yr =9(2), 


les équations de laréte de rebroussement. Les équations 
de sa langente en un point (a, 6, y) seront 


(2) fT a 
lye) =e ly) (2-9): 

Fn éliminant 7 entre ces équations, on aura l’équation 
de la surface développable. Mais au lieu d’opérer cette 
élimination qui ne peut se faire qu’en particularisant la 
forme des fonctions fet 9, nous allons chercher une équa- 
tion aux dérivées partielles, indépendante de ces fonctions, 
el qui exprimera une propriété commune a toutes les 
surfaces déveleppables. 


CINQUANTE-TROISIEME LECON. 189 

684. Les équations (2) déterminent z et y quand x et 

y sont connus. On peut donc considérer z et y comme des 

fonctions de x et de y. En différentiant ces équations par 
rapport a x et a_y, on aura 


id d 
POS) (p—S1) +6 em) 
vay papa 1 dy’ yl! 7 
- SP OZ=S (1- Fy +r en Fs 
, d+ ’ d " d 
— 9 (7) 54 =9'(y) (oS) + (7) (@ 7) 5s 


ou bien, en simplifiant, 


=p +7 (e—-No 


o=9f'(q) +f" (1) ey 
o= py! (7) + 9" (1)(@— 9) 5 
1= 99 (y) +o (y)(2—y7) = 


Or on peut éliminer entre ces quatre équations 


(zs — 7) = (z—y) a et y, et il restera une relation 
entre p et g, 

(5.) p=a(q); 

équation. du premier ordre qui convient a toutes les sur- 
faces développables, mais dans laquelle il entre encore 
une fonction arbitraire. 


685. Ce résultat s’accorde avec ce que nous avons 
4 
trouvé pour les surfaces cylindriques dont l’équation aux 
différences partielles est 


apg tie 


190 COURS D ANALYSE. 


Il semble qu’il y ait exception pour les surfaces coni- 
ques dont |’équation aux différences partielles est 


(w—a)p+(y—b)q=2—¢; 


mais sil’on prend |’équation en quantités finies 


on voit que z —c étant une fonction homogeéne du pre- 
mier degré dey — 6 et de x—a, p et q seront des fonc- 
tions homogénes et du degré o des mémes différences 


(I, 469): on aura done 


Et yxy — bd ns y—b 
p=r(Z— 7), i hg (=), 


et en éliminant ~ 


—b : : 
on obtiendra une relation entre p et 


q. Cette relation dépendra de la fonction g, tandis que dans 
le cylindre la relation entre p etq ne dépend que des 
constantes qui définissent la direction des génératrices. 


686. L’élimination indiquée au numéro précédent peut 
se faire comme il suit. En ajoutant la premiére et la troi- 
siéme équation du systeme (4), respectivement multipliées 


par 9” (vy) et —f" (7), on aura 
(5) eT) PLP OTe ie ey aa 


La seconde et la quatriéme équation traitées de la 
méme maniére, donnent 


(6) Fy) =e" (WF (9) — SF (9) 9" (a): 


Il ne restera donc plus qu’a éliminer y entre les deux 
derniéres équations. 


687. Soit 
(7) p=2o3(q) 


CINQUANTE-TROISIEME LECON. 191 
Péquation aux dérivées partielles et du premier ordre , 
résultant de l’élimination précédente. Posons 


ran! (9)s 
Sie wg) z, 


d’ou, en ¢liminant o’ (q), 
(8) S—rt=0, 


équation qui ne renferme aucune trace des fonctions par- 
uculieres f et 9. Cest léquation aux dérivées partielles 
et du second ordre des surfaces développables. 


INTEGRATION DE L’ EQUATION AUX DIFFERENCES PARTIELLES 
DES SURFACES DEVELOPPABLES. 


d, l AiR = 
688. Puisque s = ae | équation 


dy he 
(1) Sa 7 0 
revient a la suivante 
dp dq dp dq 
(2) 2S 2 


Gy, ate a0 Tady 


De 1a résulte que les différentielles partielles des fonc- 
lions p et g sont proportionnelles, et, par suite, que 
leurs différentielles totales sont en méme temps ou nulles 
ou différentes de zéro. Done p et g sont ou variables tou - 
tes les deux ou constantes toutes les deux, ce qui revient 


192 COURS D ANALYSE. 


a dire que p est une certaine fonction de q. Soit 


(3) =a (7): 
; dp dq 
on aura Fm Or 
&. dq___ ap. 
mais Pe Ts 
done 

ap __,, 
(4) ere (9) 


équation linéaire par rapport ap. Pour l’intégrer, il faut 
résoudre le systeme 


ac 


dont les intégrales sont 
p =e; 
eo (7) 45 9¥ =e . 

L’intégrale de l’équation (1) est done 
(5) vo! (q)+y=F(p), 
F désignant une fonction arbitraire, ou bien, a cause de 
Péquation (4), 

xdp + ydq = F (p) dq. 

Mais «dp + ydq est la différentielle de px + gy —z. 
Donc 


(6) peray— 2s f P(p) dy 


En éliminant p et q entre les équations (3), (4) et (5), 
on aura l’équation de la surface, 


(7) X (2%, 2) = 0, 


qui renfermera deux fonctions arbitraires. 


689. Démontrons maintenant que l’équation 
‘ 


(1) s?— rt=o 


ne convient qu’aux surfaces développables. 


CLINQUANTE-TROISIEME LEGON. 193 


Sojent 
(2) p=2a(q) 


Péquation aux différences partielles du premier ordre qui 


résulte d’une premiére intégration, et , 


(3) x(x, J,2z)=0 


$ 


Péquation obtenue en intégrant une seconde fois. Pour 
démontrer que la surface qu’elle représente est dévelop- 
pable, il faut faire voir qu’on peut la considérer comme 
le lieu des tangentes a une certaine6urbe : 


(4) a=f(z), y=¢(z)- 
Or a, 6, y étant les coordonnées d’un point de cette 


courbe, on a vu (686) qu’on obtenaif une relation entre 
p etq en éliminant y entre les deux équations 


(=P (ae ()—9 a S/()h 
FP \y)= abel (yy) —F' (9) 2" (v1 


Pour que la surface développable dont Varéte de re- 
broussement est la courbe (4) coincide avec la surface (3), 
il faut que cette élimination conduise a léquation (2); 
par conséquent, on devra obtenir une identité si l’on 
porte dans l’équation (2) les valeurs de p et de q tirées 
des équations (5), et l’on aura ainsi une premiere rela- 


(5) 


tion 
(6) F(S’ (7) SF’ (y), vs eo (yJ=o 


entre les fonctions f et 9. On en obtiendra une seconde 


(7) xly S(y), e(y)]J=0 


en exprimant que la courbe (4) est sur la surface (3). 
Les équations (6) et (7) font connaitre f(y) et o(y). 
L’aréte de rebroussement est done complétement détermi- 
née, d’ou résulie que léquation (3) représente bien une 
surface développable. 

II. ; 13 


194 COURS D ANALYSE. 


DES SURFACES REGLEES. 


690. Les surfaces développables sont un cas particulier 
des surfaces réglées, c’est-a-dire de celles qui s’engen- 
drent par le mouvement d’une ligne droite. On nomme 
surface gauche toute surface réglée qui n’est pas dévelop- 
pable. 

Soient 


(1) 


ie =, 
Ya 0z + 6, 


les équations d'une droite: si a, 6, 2, 6 sont des fone- 
tions d’une méme indéterminée y, en faisant varier y 
W@une maniére continue, la droite (1) se déplacera succes- 
sivement dans l’espace et engendrera une surface réglée. 
Il est clair qu’on aurait l’équation de la surface en éli- 
minant y entre les deux équations (1). 

Les quatre paramétres variables a, b, «, 6 étant des 
fonciions d’une méme indéterminée, on peut considérer 
trois d’entre eux comme fonctions du quatriéme. On peut 
méme considérer a, 6, ~, 6 comme des fonctions de x et 
de y. Car si Pon élimine z entre les deux équations (1), 
on aura une relation entre x, y et les paramétres a, 0, «, 
6 qui sont des fonctions de y. On peut done dire que y, et, 
par suite, a,b, a, 6 sont des fonctions de x et dey. 


691. Diflérentions Péquation 
ewmazta 


tour a tour par rapport a x eta y, en regardant a et « 
comme des fonctions de ces deux variables : nous aurons 


(2) tad as aha ig ae 
‘ dey RLM Sa 
da dz 


eo 
ie) 


0.=5 09) 2 at es 


CINQUANTE-TROISIEME LEGON. 195 

: ; : 5 toe da 
Ajoutons ces équations respectivement multipliées par 
tf 


da 
et — —: en observant que 


dx 
dada dada __ 
dxdy dydx 


Oo, 


puisque a est fonction de « (692), nous aurons 


4) da ( da da\, 
— = ——'9 —— ¥. 
( dy \P ay 1 dhe 
On aurait de méme, en différentiant |]’équation 
y=bz+6, Kae 
db i db db* 
Oe a anD ae re pee. 
(9) dx | dx a) , 
; die a ‘ Hes da da 
ou, puisque — et eS sont proportionnelles a — et ye 
da da da 
(6) B= (92 —pS)- 
é HE es da da 
Si mainienant on élimine le rapport —:— entre les 
dx dy 
équations (4) et (6), mises sous la forme 
da 


da 
Fe ke ag ra 0, 


da da 
aye bp + (1— pep aie 


on aura 

(1— ap)({1— bq) — abpq = 0, 
ou 
(7) ap + bq=1, 


équation différentielle du premier ordre, renfermant seu- 
lement deux fonctions de Vindéterminée y. En ayant 
égard a cette relation, les équations (4) et (9) peuvent 


s écrire 
b ddan 9 aa ; 
(8) re Or Pim 
db db zs Ia 
(9) dy 4 Ch ae 


196 COURS D ANALYSE. 

692. Dans ce qui précéde, nous nous sommes appuyé 
sur la proportionnalité des dérivées partielles de a et deo. 
On peut Vétablir comme il suit. 


Soit 
a=9(7), 
da dy~ da ’ dy 
ona 5 Fees By ig 


d da da __dy_ dy 
Onc Spar dy = Ts . dy 


On trouverait de méme 

da da_dy dy. 
dx’ dy ie dy’ 
da da Bs dz da 


donc Cat aa dy 


693. Cherchons maintenant |’équation aux diflérences 
partielles du. second ordre. En différentiant tour a tour 


Péquation 
ap + bq =1 
par rapport a x et ay, nous aurons 
epee da db 
ar 2 ) — —_ = 
PEE I ere 
idee da Mf db 
as ? 2! == : —_=—_ dO. 
Pay * Vay 


En ajoutant ces équations multipliées, la premiére par a, 
la seconde par b, et en ayant égard aux équations (8) ei 
(g), nous aurons 


Crt2abs+ht= oO, 


a 
ou, en posant 7 =e, 


(10) ; Cr+2cs+t=0, 

équation du second ordre ne renfermant plus qu'une seule 
. . . paetnies ‘ ate 

fonction arbitraire c, qu’on éliminera par le procédé du 

n° 639, Nous nous contentons d'indiquer ce dernier ¢al- 


CINQUANTE-TROISIEME LEGON. 197 


cul, qui conduirait 4 une équation du troisiéme ordre, 


EQUATION DE LA CORDE VIBRANTE. 


694. On démontre en Mécanique que le mouvement 
des différents points d’une corde vibrante, fixée a ses 
deux extrémités, est représenté par l’équation aux dérivées 
partielles du second ordre 


fig. 120. 
M eu Cu 
ra (t) dyn Sree ; 
A P 


MP = u,AP=—x sont les coor- 
données rectangulaires d’un point quelconque de la corde, 
Vorigine étant prise 4 lextrémité A; enfin y désigne le 
temps. 

Pour intégrer l’équation (1), prenohs deux nouvelles 

variables « et 6, liées aux variables x et y par les équa- 
lions 
(2) a=xerf+ay, 6=x«—ay. 
Si de ces équations on tirait les valeurs de x et de y en 
a et 6 et qu’on les portat dans la fonction cherchée u, 
cette derniére deviendrait une fonction explicite de & et 
de 6. On peut done considérer u comme une fonction de 
# et de 6. On aura alors, a cause des équations (2), 


du __ du du 
aa de ae 
d?u thy d’u au a tt 


—— = 2 ——_ ae 
dz? da” dade dé 
On trouverait de méme, 
du (vu d’u ee aru 
— = ao ae 5), ee es he 
dy? da* dadpB dé? 
En portant ces valeurs dans Véquation (1), on aura, 
aprés les réductions 


5 a?u fe 
( ) Aede 


198 COURS D ANALYSE. 


Cette équation est facile a intégrer. Elle peut s écrire : 


du 
d.— 
d6 

EY Sea) P 

du r ? 

donc Gene dépend pas de «, et l’ona 
du 
Went: (6), 


o désignant une fonction arbitraire. On en déduit 


u= fm (6)a6 + ¢(«)> 
et par conséquent, en représentant par (6) Vintégrale 
fe (S) d&, u désignant encore une fonction arbitraire, 


on aura 
u= 4 (a) +p (6), 
c’est-a-dire 
(4) u=o(#+ay)+ (x — ay). 
Telle est Pintégrale générale de l’équation (1); on peut 
d’ailleurs la vérifier par la différentiation. On trouve : 


d’ ” i 
<=, = 9" (@ tay) + 9" (x—ay)s 
d*u , i 
Sena |e (ebay) + (2a) |. 
On a done bien 
d*u wh ae d*u 
dy? ita dx? 


695. L’intégrale générale contient deux fonctions ar- 
bitraires Q et v qui se déterminent par deux conditions 
distinctes. Ordinairement on suppose eonnues |’ ordonnée 


rnd? , : as. Fs 
uetsa dérivée — pour tous les points de la corde, al ori- 
Ly 
gine du temps, c’est-a-dire pour y = o. Alors u et la vi- 


; du 4 : 
tesse verticale = de chaque point sont des fonctions don- 
dy % 


e 


CINQUANTE-TROISLEME LEGON. 199 


nees de x. Posons 
du 
u=f (x), re =, (2), pour 7 == 0. 
On aura, en faisant y = o dans l’équation (4) et dans sa 
dérivée 
(0) +4 (2) =S le), 
, / I 

2 (@) —¥ (a) = 4 (0). 

De cette derniére on déduit 


9 (z) — p(x =3 fate yard CF (atl ree 


F (x) étant une fonction connue et C une constante arbi- 
traire. Par conséquent on a 


on aura done 


=i [Hee + ar) +s 0 — a7) +B (@ ay) — P(e —ay)]. 


La valeur de u est complétement déterminée. Comme on 
devait s’y attendre, la constante C, introduite dans le 
cours du calcul, a disparu d’elle-méme. 


200 COURS D ANALYSE. 


CINQUANTE-QUATRIEME LEQON. 


’ Courbure des surfaces. — Courbure d’une ligne située sur une surface. — 
Théoréme de Meunier. — Courbure d’une section normale. — Sections 
principales. — Variation des rayons de courbure des sections normales 
faites en un méme point d’une surface. — Détermination des ombilics. 


COURBURE D UNE LIGNE SITUEE SUR UNE SURFACE DONNEE. 
696. Soit 
(1) Citi st) S50 


Péquation d'une surface. Posons, pour abréger, 


dz Bal dz 4 

dx - P> dy q> 
d%% d*z d*z : 
SS SS 76, ao =v. 
ge dady ” «dy? 


Considérons une certaine courbe CL passant par un 

Fig 121. point M (x, y, z) de la 
surface (1), Soit @ l’angle 
que le rayon de courbure 
R de cette courbe au point 
M, dirigé suivant la droite 
MN, fait avec la normale 


5 yh MP a la surface au méme 
f point. 
La normale MP ayant pour équations 
X—«=——p(Z—z), 
Y—y => —q(Z—2), 


fait avec les axes des angles dont les cosinus sont respecti- 
yement 


‘ 


aren (3 ig.’ f 
= Se ean Rg ee ah 
Vit Pre? Vit pa? 


irre 


“# 


CINQUANTE-QUATRIEME LEGON. 201 


4 + . 
Le rayon de courbure MN fait avec les axes des angles 
qui ont pour cosinus 


d P 

aG ag ae ; 
| eS : Ae ee 

a a ar 


en désignant par d la différenticlle de‘Vare de courbe. 


On aura done / 


rel dy dz 
dl dle seed) 
Pad, 2 aa: 
(2) cos? = R ) 
itr a9 
Or ona 
dz = pdx + qdy, 
dou * 6 
dz dx Gey | Seas dy 
es oe 7p — ae 
oe aS af ee Pas, 
Mais 
dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy; 
done 
dz dx dy Gz dy 
a aes, ee j bales ‘ Lape 
da pa a qd — = (rdx + sdy) + (sda: + tdy ) Tk 
ou 
ee Fad av . at oly 
dl dl dl dz\? dx dy ve dy\? 
ee 7 | BY 6p Ss 
A AS ar ae F Re aaa (ai 


le dx dy f dy \? 
ONT TSR TT 07 
cosé=R eS =; 
Vise pg? 
dou : 
1+ p*+ q’cosé 
(3) ads Vitp+q 


MT i aN dx dy i dy\? 
sal GS ees 
le Ae adie. ca 


202 COURS D ANALYSE. 
we aa dy : 
Mais of? ai Ont les cosinus des angles que la tangente 
al 
a la courbe considérée fait avec les axes des x et des y’. 
En désignant ces angles par # et 6, on aura 


vi -++ p? + q° cosé 
Py + 2scosa cos6 + tcos’6 


(4) R= 


Telle est la formule qui fait connaitre le rayon de cour- 
bure d’une section quelconque faite dans une surface, en 
un point donné. 


697. La valeur de R devant étre positive, il faut que 
cos@ soit de méme signe que le dénominateur. Ainsi l’an- 
ele @ doit étre aigu selon que ce dénominateur est positif 
ou négatif, ce qui détermine dans quel sens le rayon de 
courbure doit étre porté sur la direction de la normale 
située dans le plan osculateur. 


THEOREME DE MEUNIER. 


698. Si, dans la formule précédente, on suppose 
cos@ = 1, c’est-a-dire si le plan osculateur passe par la 
normale a la surface, on aura, en désignant par o le 
rayon de courbure de la section normale 


Vit p tig” 
r cos? a +- 250s 2 cos 6 + ¢ cos? a 


(5) = 


L, par suite, 
(6) R = yeos?, 


De la ce théoreme du a Meunier : Le rayon de courbure 
en un point d'une courbe quelconque tracée sur une sur- 
face, est egal au produit du rayon de courbure de la sec- 
tion normale qui contient la tangente ala courbe, mul- 
tuplié par le cosinus de Vangle que ee plan fait avec le 
plan osculateur dé la es 


699, En considérant deux courbes planes, lune obli¢ 


CINQUANTE-QUATRIEME LEGON. 203 
que, l'autre normale, qui ont la méme tangente au 
point M, le théoréme de Meunier peut encore s’énoncer 
en disant que le rayon de courbure d’une section oblique 
est la projection sur le plan de cette courbe du rayon de 
courbure de la section normale. 

Par conséquent, si l'on imagine une sphére ayant le 
méme centre et le méme rayon que le cercle de courbure 
de la section normale, tous les plans menés par Ja tangente 
a cette courbe couperont cette sphére suivant de petits 
cercles qui seront les cercles osculateurs des sections obli— 
ques faites dans la surface par ces différents plans. 


COURBURE DES SECTIONS NORMALES. 


700. La formule (3) du n° 696 peut s’écrire 


* 
2 


Vi p+ 7° c0s6 as : 
dx 
dy ‘dy? 
rpas ne (Se) 


(1) R => 


Prenons maintenant le point (x, y, z) pour origine 
des coordonnées, et pour plan des x y le plan tangent a la 
surface en ce point. L’axe des z sera la normale. et l’on 

Fig. 129. aurap=o0, g=o. Endésignant 
par 9 langle que la tangente OT 


B 4 ° ? 
a fait avec l’axe des x, on a 


soe J — sin 
eee COSY , al = g. 


D’ailleurs, puisque le plar 
osculateur est normal, on a 


y T™ 


cos? == 1, selon que le rayon de courbure est dirigé 
dans le sens de J’axe des z ou dans le sens opposé. On 


aura donc 
Sey 


5 : ; 
r cos? 9 + 2 ssing cos¢ + ¢ sin’ 


P= 


mais on peut supprimer le double signe et écrire simple- 


204 COURS D' ANALYSE. 


i 


(2) part Se ra 
r cos’ 9 + 25siNy Cos + ¢siIn’o 
‘ ’ 
pourvu que l’on convienne de porter la valeur absolue du 
rayon sur l’axe des z dans le sens des z positifs si le deé- 
nominateur est positif, et dans le sens opposé si ce déno- 
minateur est négatif. 


SECTIONS PRINCIPALES. 


701. Si le plan normal tourne autour de |’axe des z, le 
rayon p variera en méme temps que 9. Propesons-nous de 
trouver la plus grande et la plus petite valeur de ce rayon. 
Comme ces valeurs correspondent au minimum et au 
maximum du dénominateur dans la formule (2), il fau- 
dra égaler 4 o la dérivée de ce dénominateur; on qura 


(¢ — r) 2sing cosy + 25(cos’y — sin’?9)=0, 
ou, ce quirevient au méme, 
(3) stang’?9 + (7 — t)tangg —s—o. 


Cette équation donne pour tang¢ deux valeurs réelles , 

Fig. 123. dont le produit est égal a —1. 
Comme d'ailleurs, en faisant 
varier l’angle 9 de 0 a 7, on 
obtient tous les plans nor- 
maux qui passent par le point 
O, il suflira de considérer les 
deux angles plus petits que 


180° qui correspondent aux 
deux racines de l’équation. L’un étant désigné par a, 


, . Tt 
Pautre sera nécessairement ste 
Par conséquent, si l’on trace sur le plan des xy deux 
. . Te 
droites OH et OK, faisant avec Ox les angles « et a+ 3? 


les sections normales situées dans les plans zOH, zOK, 


a CINQUANTE-QUATRIEME LEGON, 209 
correspondront aux rayons de courbure maximum et mi- 


F Mites, 1 
nimum. En effet, la dérivée du second ordre de — est 
2 


2 (¢— r) (cos? — sin?9) — 8s sing cosg, 
et cette expression prend des valeurs égales et de signes 
. 3 Tv 
contraires quand on y remplace ar @ et par “-+-- 
q ed P oP li 3 


Remarquons qu'il s’agit ici d’un maximum et d’un mini- 
mum analytiques, en sorte que si les deux valeurs précé- 
dentes Gtaient de signes contraires, celle qui serait un 
minimum négatif pourrait étre un maximum en valeur 
absolue. 

Les droites OH et OK, faisant avec l’'axe Ox des an- 


=. % = : 5 
gles dont la différence est —, sont perpefdiculaires entre 
2 


elles. Done les plans zOH et zOK qui déterminent sur 
la surface deux courbes planes a courbure maximum ou 
minimum sont perpendiculaires entre eux. On donne aux 
sections faites par ces plans le nom de sections principales. 


VARIATION DE COURBURE DES SECTIONS NORMALES. 


702. Prenons maintenant pour plans des xz et des yz, 
les plans des sections principales. Les valeurs de y cor~ 
respondant au maximum et au minimum du rayon de 


“ rn T , 5 
courbure devront étre 0 et 3 Or |’équation 


stang’g + (r— ¢) tangg —s=0 


ne donnera pour tang@ les valeurs 0 et o que sis =o. 
Par conséquent, la valeur de p prendra la forme plus 
simple 

J 
(1) ‘ °F cose + tsin?9 
et l’on déduira de cette expression les deux rayons de cour- 
bure principaux ’ et p”, en faisani iour a tour 9 = 0 


206 COURS 1 ANALYSE. 


wT ° 
&t ® S=-) €EC qui donnera 
2, 


I Paik 
me 5 — -? 
p p= 
. I a 
ou bien i ee 
e p 


Ainsi, les dérivées partielles r et t représentent les deux 
courbures principales au point O. 


703. Les valeurs de p’ et de p” peuvent étre introduites 


; ee I 
dans l’expression générale de la courbure —- On a 
: P 


I : 
—-=rcos?o + tsin? »; 


on aura done 


I 1 y Tay) 
(2) — = 7 0s’ + = sin’, 
p p 


i ‘ 


formule qui donne la courbure d’une section déterminée 
par un plan normal faisant, avec la section principale 
zOx, un angle 9. 

De la les conséquences suivantes. En premier lieu, lex- 
pression (2) ne change pas quand on met a la place de 9 
son supplément: donc deux sections normales égale- 
ment inclinées sur une section principale ont des rayons 
de courbure égaux et de méme signe. 

Sil’on désigne par p, le rayon de courbure dune section 
normale perpendiculaire a celle qui fait avec le plan prin- 


cipal zO.x Vangle g, on aura 
Lily I 

(3) = =) SIN) =~ = COS * a, 
o 12) 


‘ { { 


et si l'on ajoute les équations (2) et (3), 


Done la somme des courbures de deux sections nor- 
males perpendiculaires entre elles est constante. 


70%. Nous allons maintenant diseuter la valeur géreé- 


CINQUANTE-QUATRIEME LEGON. 207 
rale de o en nous servant de la formule 


I cos?» sin’? » 


(1) go) De ea 


p 12) 4) 


f 

Supposons d’abord p’ et p” tous deux positifs, et p! > p!« 
Dans ce cas, la formule (1) donne pour p une valeur tou- 
jours positive. Par conséquent, toutes les sections nor- 
males sont situées au-dessus du plan tangent et la surface 
est convexe autour du point O. Si 9! et p” étaient négatifs, 
la surface serait encore convexe, mais située au-dessous 


du plan tangent. ie 
En mettant Péquation (1) sous la’ forme 


; | I I I os 
(2) AE Ma ee sin’, 
. 1 . aro seme seamEr & 
on voit que — augmente depuis — jusqu’a => quand g 
pP Pp p 
I 


A . 1 ‘: P . Thos: a 
croit de 0 a —, et que — décroit depuis — jusqu’a —, 
2 0 a 0 


? \ t 


. Tony 
quand varie de=a Ti. 
2 


Dans le cas ot p’ = p”, la formule (2) donne 


ou p= p! quel que soit 9. Toutes les sections normales au 
pointO ont done la méme courbure. On dit alors que ce 


point est un ombilic. 


705. Supposons maintenant que p’ et p” aient des signes 
contraires et que p” soit négatif. En mettant les signes en 
évidence dans |’équation (1), nous aurons 

I cos’y ~—s sin’ 
(3) Teer ae ga Vite 
San? p 
Pour 9 = 0, on a p =f’. L’angle 9 croissant deo a la 


valeur 6 donnée par |’équation 


tang? 6-9 


208 COURS D ANALYSE. 

9 croit depuis p’ jusqu’a Vinfini. Au dela de ¢= 6, p de- 
font nceatit et deerow Ee ais Tonia itie 5 

vient négatif et décroit jusqu’a p”, valeur qui correspond a 


Tw . . 
p= — Les valeurs de p se reproduisent ensuite dans Vor- 
shh 


dre inverse. 
Dans ce cas, la surface est en partie au-dessus du plan 
tangent, en partie au-dessous. 


DETERMINATION DES OMBILICS. 


706. Pour trouver les ombilics d'une surface, il faut 
chercher les points ot le rayon de courbure des sections 
normales a la méme valeur, quel que soit le plan mené par 
la normale. 

Reprenons la formule (1) du n° 700 en y supposant 
cos6=1 et en remplacant dl? par dx? + dy? + dz’: 


Vit P+¢ it (% an z), 
dx Gave 
Q 3 ; 


nous aurons 


: 


(1) (ies 


“abe dy : 
Désignons par m, — ou le rapport des cosinus des an- 
aX 
gles que la tangente a la courbe au point considéré fait 
avec l’axe des x et axe des y. Comme on a 
dz = pdx + qdy, 


dz 
on aura == == p+ gm 
dv / ] >? 


et la formule (1) pourra s’écrire 


os vi + p+ eli + m+ (p+ qm)*) 
= r+ 2sm—+ tm? " 


R 


ou bien 
——————— I+ p? + 2 pqm—+ (1+ g?)m? 
fo) R= Vice ee Pa ae ig ema 
r+ 25m + tin? 
Quand le point est un ombilic, ce rayon est indépen- 
dant du rapport m qui détermine le plan normal otxesi 


CINQUANTE-QUATRIEME LEGON. 209 
située la courbe considérée. On doit done avoir 
I+ p’ I+ ¢? 
(3) “aE cee INR Suk be 
r 5 t 
ce qui donne, en général, deux équations distinctes. En 
y joignant l’équation de la surface, on aura le nombre de 


relations nécessaires pour déterminer les coordonnées du 
point cherché. 


707. Appliquons ces principes au paraboloide ellip- 
tique 


we 4 
Ba a,b >0 
On a ici 
ce ue 
ey, ER 
e 
I I 
Dis ago Peery $ == Os. 


Laer ors Vom 
Cpe tab Poe 
al, eee ees A 
a b 


_ On peut y satisfaire d’abord en posant 


P= OH a=b+7, 

r b 
dai sve <2 shod "(i 

y = Vb(a— d), ) 5 = 


Les valeurs de y et de z étant réelles, il existe deux 
ombilics situés dans le plan yOz. Ce sont d’ailleurs les 
seuls : car lhypothése y = 0 donnerait une valeur de x 
qui serait imaginaire. 


II. 14 


210 COURS D ANALYSE. 


CINQUANTE-CINQUIEME LECON. 


Suite de la courbure des surfaces. — Surface dont tous les points sont des 
ombilies. — Théorie de Vindicatrice. — Conséquences géométriques. — 
Cas ott Vexpression du rayon de courbure se présente sous une forme 
illusoire. — Tangentes conjuguées. 


_ SUR LA SURFACE DONT TOUS LES POINTS SONT DES OMBILICS. 


708. Lorsque les équations 


; icy BRS os ONES! 
(1) —————$ = = = 


7 S t 


qui servent a déterminer les ombilics d’une surface don- 
née, se réduisent 4 une seule, la surface a une infinité 
d’ombilics situés sur une ligne qu’on nomme /a ligne des 
courbures sphériques. Si les équations (1) sont identiques, 
ious les points de la surface sont alors des ombilics. 

Pour trouver une surface qui jouisse de cette propriété, 
observons que les équations (1) mises sous la forme 


pP dp Mise: dq qd dq rey: dp 


(2) i+ p dx qdx’ 1+ q? dy pdy? 


: ; hee 
peuvent s integrer comme des équations ordinaires (643). 
On aura ainsi 
(3) I+ pHVq, 1+ 9=Xp, 


Y étant une fonction arbitraire de y, et X une fonetion 
arbitraire de x. On tire de ces équations 


i teay ce I+ xX 
4) B= ie Ve 


5 : Reo, ie nie : dp ~=dq- 
Mais p et q doivent satisfaire a Véquation —-—=—* . on 
dy da} 


CINQUANTE-CINQUIEME LEGON. OLE 
aura done 


1 dX I aY 
ax o 2 oa, eee 


(1 +yY) dy 


Le premier membre étant fonction de x seulement, et le 
second fonction de y, cette équation ne peut subsister 
qu autant que chaque membre se réduit a une constante. 


a) 
2 


(1+ X) 


ae. 
Soit _ cette constante. On adone + 


aXe: 2dax ay 2dy 
a ee eas 
+x} feo 
et, en intégrant, 
R u R aa! 
Yr+X : eee d 


a et b étant des constantes arbitraires. En portant les 
valeurs de X et de Y tirées de ces équations, dans (4), on 


aura 
; a-—cz 
Oo ren ae a a ST 
i (Reta aye (ol 
b—y 


et, en intégrant de nouveau , 


z—c= VR?—(a—xyY—(b—y)’, 


équation d'une sphére. Ainsi la sphere est la seule surface 
dont tous les points soient des ombilics. 


THEORIE DE L INDICATRICE. 


709..La courbure des surfaces peut étre présentée sous 
un autre pointde vue, qui donne une idée plus nette de la 
manieére dont varient les rayons de courbure des sections 
normales autour d’un méme point. 


f 


ie 


212 COURS D ANALYSE. 


Prenons toujours pour plan des xy le plan tangent a la 
surface au point O, et pour axe des z la normale en ce 
point. 

Si Yon coupe la surface par un plan paralléle au plan 
tangent et infiniment voisin de ce plan, la section obtenue 
sera une courbe infiniment petite et du deuxiéme degré, en 
négligeant des quantités infiniment petites par rapport a 
ses dimensions. En d’autres termes, une courbe semblable 
a la section faite par un plan paralléle au plan tangent, a 
une distance h, tend, a mesure que h diminue, vers une 
section conique. -DRs. 

En effet, si l’on développe Vordonnée z de la surface 
par la série de Maclaurin, on aura 


1 I 
Seal e.g peep a Er TG ny etree dae 


Maj fh : Pa 1 dgmmndc 
aS Z, ps q qui representent es valeurs de Z, FR ap 


quand on fait simultanément «= 0, y = 0, sont nulles 
d’apreés le choi 
apres le choix des axes. Donec on a 


if I 
ZS — 7x? + sty + —ty’?’+a, 
2 BP) 


w désignant une somme de termes dont le degré, par rap- 
EN yas ir pke 
Pecks, port a x ela y, est supérieur au 
second. Si maintenant on rem- 
place z parla constante OO'= h, 
be bed . 
on aura |’équation de la section 
BMA’, et si Von fait h trés- 


petite, w devient négligeable 


compara tivementaux termes qui 
“® le précédent. Par ‘conséquent, 
ona 


(1) re? + 2say + ty? = 2h, 


équation dune ellipse ou dune hyperbole infiniment 
petite dont le centre est au point O. Lg 


CINQUANTE-CINQUIEME LEGON. 21 


740. Si Von remplace h par z, on aura 


-_— 
to 
Sa 


a = (re 2sxry + ty’). 
¢ 

Cette équation représente un paraboloide passant par la 
section A’M’B’ et ayant pour sommet le point O. Ce para- 
boloide va nous servir a calculer le rayon de courbure 
d’une section queleonque OM'C. f 

Menons M’L perpendiculaire a OM’ et nommons p le 
rayon de courbure en M’. Ona 


ie OMe, OMY 
CeO. 8h 


Pour déduire de la la valeur de pg, faisons, dans l’équa- 
tion (2), , 
x = OM'cosg, y=OM’sing, 

g désignant l’angle ON. On aura 


OM” (r cos? + 2 ssin9 cose + tsin’o) = 2h, 
Se ? ‘f P| 


I 
(3) e = cos? + 2ssing cose + fsin’y 


comme on l’avait obtenu par une autre méthode. 


741. La formule p = a 


2h 


12 


fait voir que les rayons de 


courbure des différentes sections normales sont propor- 


tionnels OM”. Supposons done que sur la trace du plan 
OM’ 
zON dans le plan des xy on prenne ON = fa? on aura 


, 


c OM 
p = ON?. Par suite, le rapport On Sera constant pour 


toutes les sections normales. La courbe ANB ainsi obte- 
nue sera donc semblable 4° A’M’B’ et aura pour centre le 
point O. Cette courbe, qui donne tous les rayons de 
courbure des sections normales faites au point O est nom- 
mée Vindicatrice de la surface en ce point. 


214 COURS D ANALYSE. 


712. Quand Vintersection de la surface par un plan 
paralléle au plan tangent et infiniment voisin est une hy- 
perbole, il faut, en méme temps, considérer une autre 
section produite par un second plan parallele au plan 
tangent de l'autre cété de ce plan. On obtient par la 
une hyperbole conjuguée de la premiére. Dans ce cas, 
Vindicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées 
et on a p= + ON’, suivant que hyperbole sur la- 
quelle se trouve le point N correspond a une section 
faite au-dessus ou au-dessous du plan xy. Le rayon de 
courbure de la surface devient infini et change de signe 
quand Je plan sécant, en tournant autour de la normale, 
vient passer par une asymptote commune aux deux hy- 


perboles. 


CONSEQUENCES GEOMETRIQUES. 


713. Toute courbe du second degré douée d’un centre 
ayant un diamétre maximum et un diamétre minimum, 
on en conclut que la surface a deux sections normales 
perpendiculaires entre elles et dans lesquelles le rayon de 
courbure est un maximum ou un minimum. La somme 
des carrés des inverses de deux diametres perpendicu- 
laires étant constante, il en résulte immédiatement que 
la somme des courbures de deux sections normales est 
constante. En un mot, a toute- propriété des diamétres 
Vune section conique, correspond une propriété des 
rayons de courbure des sections normales faites par les 
diamétres de Vindicatrice. 


714, Quand Vindicatrice est un cercle, le point consi- 
déré est un ombilic. Cela arrive sur les surfaces du se- 
cond ordre aux points ot le plan tangent est paralléle aux 
sections circulaires. En effet, tous les plans paralléles dé- 
terminent, dans une pareille surface, des sections sembla- 
bles. Il en résulte que Vindicatrice, qui en général neste 


CINQUANTE-CINQUIEME LEGON. and 
semblable qu’aux sections faites parallélement au plan 
tangent a une distance infiniment petite, sera, dans les 
surfaces du second ordre, rigoureusement semblable aux 
sections, quelle que soit leur distance au plan tangent. | 


Ainsi dans l’ellipsoide 


oe ti 


il y a quatre ombilics dont les coordénnées sont 
70, eb cost; 2 Sb sin, 


9 désignant un angle dont la tangente est égale a 


we a be 
a be 


cAS OU L EXPRESSION DU RAYON DE COMRBURE SE PRESENTE 
SOUS UNE FORME ILLUSOIRE. 


715. La formule 
P —— 


I 
. : ? 
7 cos’o + 2ssSiN9 Cosy + ¢sin’¢ 


précédemment obtenue pour le rayon de courbure d’une 
section normale faisant avec le plan des xz un angle g, 
dépend des valeurs des dérivées partielles du second ordre 
au point considéré de la surface. Nous avons tacitement 
admis que 7, s et t avaient, en ce point, des valeurs déter- 
minées et indépendantes de langle 9. Mais ces fonctions 


: lquefoi ng tl des formes — ou— 
se présentent quelquefois sous l'une des te 3 


quand x, y et z deviennent nulles. Pour éviter l’indéter- 
mination, on posera 
i = eens, 
relation qui convient a tous les points situés dans le plan 
normal mené par le point (x,y, z) de la surface, puis on 
ferarx => 0: 
Soit, par exemple , l’équation : 


{ 


ee of (7); 


216 COURS D ANALYSE. 


f désignant une fonction quelconque. Elle représente une 
surface dont les sections normales a l’origine sont des pa- 
raboles ayant pour axe commun l’axe des z. Les dérivées 
partielles du premier ordre sont 


\ 


pao (th—rr (2), 


q = xf’ (z). 


et les dérivées du second ordre : 


AG Boe race 


ax 


=r()-Er 
py pe (z). 


On a bien, en général, par ces formules, p = 0, g =o 
pour x = 0, y= 0; mais les valeurs de 7, s, t se présen- 
tent sous une forme indéterminée quand on laisse x et y 


indépendants entre eux. Mais si l’on y remplace = par 
x 
tang 9, elles donnent 
r= 2f(tange) — a2tango f’ (tang¢) + tang’ f” (tang), 
s =f’ (tang ») — tango f” (tango), 
t = f” (tang 9). 


I] faut maintenant porter ces valeurs de 7, s, ¢ qui, 
comme on le voit, dépendent de 9, dans la formule 


I 
San rcos?y + 2sSiNg COS ¢ + ¢ sin’o 


On doit remarquer qu’en faisant varier langle 9, le rayon 
de courbure peut avoir, selon la forme de Ja fonction f,° 
un nombre quelconque de valeurs maximums ou mini- 
mums, etil y aura autant de maximums que de minimums -, 


CINQUANTE-CINQUIEME LEGON. 217 
puisque ces valeurs doivent se succéder alternativement 
quand on fait varier 9 de o a 27, et que la section nor- 
male revient a sa position primitive. 


TANGENTES CONJUGUEES. 


716. Soit MM’ une courbe quelconque située sur une 
surface : imaginons les plans tangents ménés par les points 
M et M’. Sile second point se rap- 


Fig. 125. 
: proche indéfiniment du premier, 
x. intersection des deux plans va- 
ae ne riera de position et deviendra a 
aia ‘ la limite une certaine tangente 
ve 7 a la surface passant par le point 
/y M. Cette droite limite et la tan- 


gente MT 4 la courbe sont dites tangentes conjuguées. 
Prenons pour origine le point M et pour plans des zx 

et des zy les plans des sections principales correspondant 

ace point. Il faudra supposer x = 0, y= 0, 2==0, s=0. 
L’équation du plan tangent en M’ (x’, y’, 2’) est 

Z—2/=p'(X—2')+q(Y—y’), 
p' et g’ désignant les valeurs de p et de g relatives au 
point M’. D’aprés la formule de Maclaurin, on a 


a! = pa’ + gy’ +5 (ra! +2 say! + ty) +. wate 


On aura donc, en vertu des hypothéses et en négligeant 
des infiniment petits du troisiéme ordre , 


fae (rx? + ty’), 
Z 


On trouvera de méme 
) 2 re Rat em 
. , ° / 
Par suite, les équations des plans tangents en M et M 


218 COURS D ANALYSE. 
seront 


Z=0, 


ra) (X= whiny (Yr, ) A (ra? + ty) — G0. 


I 
2 
Ces deux équations représentent |’intersection des deux 


plans tangents. Or, si l’on porte dans la seconde la valeur 
Z = 0, on aura, en réduisant, 


rx’ X + ty’ Y — = (72"* + ty? == G, 


Posons y' = mx’, m étant le coefficient angulaire de la 
projection de la droite MM’, qui, a la limite, se confond 
avec la tangente MT. L’équation précédente devient 


I ; 
7X + mY — -2' (r+ tm’) =o, 
- 
et quand le point M’ se réunit au point M, 


7X +imY = 0, 


équation de la tangente conjuguée définie plus haut. On 
voit que si m’ désigne son coefficient angulaire, on a 


r 
n= — — 

tm 

, te 

ou mm —=— Fie 


Telle est la relation qui doit exister entre les coefti- 
cients angulaires de deux tangentes conjuguées, quand on 
prend pour axes la normale et les intersections du plan 
tangent avec les plans principaux. 


. Deux tangentes conjuguées sont paralléles a deux 
717. Deux tangent juguées sont parallel 1 
diamétres conjugués de Vindicatrice. 

En effet, si 


est Péquation de lindicatrice, on a, entre les! coefficients 


> 9 


CINQUANTE-CINQUIEME LECON. 219 


angulaires de deux diamétres conjugués, la relation 


/ b? 
mn =-— —- 
a 
On a dailleurs 
I I 
e==~—, 16S: 
7 a! t 
par conséquent , 
b? r # 
ne SS 
a i 


Ce qui démontre le théoreme annoncé. Comme d’ail- 
leurs les rayons de courbure sont proportionnels aux car- 
rés des diametres de Vindicatrice, il résulte d’une pro- 
priété bien connue des sections coniques que la somme 
algébrique des rayons de courbure correspondant a deux 
tangentes coujuguées est constante. 


Levene ti 


ut 


nf 3 


220 COURS D’ ANALYSE. 


CINQUANTE-SIXIEME LECON. 


Suite de la courbure des surfaces. — Lignes de courbure. — Propriétés des 
lignes de courbure. — Centres de courbure des sections principales. — 
Rayons de courbure principaux. — Applications. 


LIGNES PE COURBURE. 


718. Soient S une surface rapportée a trois axes rec- 
tangulaires quelconques, M(x, y, 2), un point de la sur- 
Fig. 126. face, et MN la normale en ce 

Can point. Si M’(x’, y', 2’) est un 

x point de la surface, voisin de M, 

5 : la normale M’‘N’ mira pas, en 

Me général, rencontrer la premiere 
: normale MN. Il faut pour cela 
qu il y ait entre les coordonnées 


/ de ces deux points une certaine 
/ relation que nous allons cher- 
cher. 

La normale MN a pour équations 


(1) X—2x+p(Z—z)=0, 
(2) Y—y+q(Z—z)=0. 


Si p’ et g désignent les valeurs de p et de q au point M, 
la normale M/N’ aura pour équations 


(3) Ka! +p'(Z—2')=0, 
(4) be ant te Ofer) 


En ¢éliminant X entre (1) et (3), on a 


| 


oO. 


wv —— a 4- p's! — p2 


jee 
‘ecegy ie — 


CINQUANTE-SIXIEME LEGON. 221 
L’élimination de Y entre (2) et (4) donne 
ee eae’ ge 
gq 
On a donc l’équation de condition, 


(5) Pee ys REY Oe Te ae 
Pie? bara | 
Cette équation et celle de la surface ; 
(6) a= f(a", y’) 
représentent une courbe MM’ située sur la surface et pas- 
sant par le point M. Toutes les noymales 4 la surface 


menées par les divers points de cette courbe iront rencon- 
trer la normale MN. 


f 


719. Concevons maintenant que le point M’ se rappro- 
che de plus en plus du point M : la drofte MM’ deviendra 
la tangente, et les différences x’— x, y'’—y, 2'— 2, 
p'—p, 7 —q devront étre remplacées par les différen- 
tielles dx, dy, dz, dp, dq. De méme p'z' — pz =d (pz), 


g' z' — gz =d(qz). On aura donc a la limite 


dz + pdz+-zdp _ dy + qdz-+- zdq 
= ’ 


dp dq 
ou simplement 
dx+pdz__ dy + qdz 


(7) dp dq 
Mais on a 
dz = pdx + qdy, 
dp,== rdx + sdy, 
dg == thy A sax 
done 
dy dy 
2 ahs 5 2) SF 
Roe te PO pace (ick 9?) 
$$$ $$$ —_ i! 
dy dy 
mS : 1. ¢ — 
EES dx ioe dx 
ou bien 
dy\? ap : #4 
grr els ere) (Z) Flee ar Ore 


\ : + [pqr—(t+ p?)s|= 0. 


222 COURS D ANALYSE. 

Cette équation donne pour # deux valeurs fonctionsde 
a et dey. Elle indique deux directions suivant lesquelles 
il faut passer du point Ma un second point infiniment 
voisin, sur la surface, pour que la normale en ce point 
rencontre .la normale au point M. Prenons lune des 


dz F 
ee Soit M 


le point correspondant. On passera de méme du point M’ 
a un troisieme point M”, et ainsi de suite. On aura donc 
une ligne MM'M”... telle, que toute normale a la surface 
menée par un de‘ses points rencontre la normale infiniment 


4 
valeurs de oa et la valeur correspondante de 
Oh 


ere dy , 2 
voisine. La seconde valeur de - aurait donné une autre 
Bb 


ligne jouissant de la méme propriété. 

On nomme digne de courbure |e lieu des points dune 
surface pour lesquels les normales infiniment voisines 
se rencontrent consécutivement. L’analyse précédente 
montre qu’en chaque point d'une surface, il passe deux 
lignes de courbure représentées par léquation différen- 
tielle (8) et par ’équation de la surface. En éliminant z, 
on aura l’équation de la projection de la ligne de cour- 
bure sur le plan des xy. L’intégration donnera deux 
équations contenant deux constantes arbitraires qu’on 
déterminera, en faisant passer la ligne par un point 


donné de la surface. 


PROPRIETES DES LIGNES DE COURBURE. 


720. Prenons la normale MN pour axe des =: Péqua- 
tion (8) devient 


| ay\* fap ae 
(9) (2) rales ate Sas 0 


Le produit des racines de cette équation est égal a — 1; 
done les tangentes menées aux lignes de courbure qui se 
eroisent au point M sont perpendiculaires entre elles. 

Si maintenant on prend les plans. principaux pour 


CINQUANTE-SIXIEME LEGON. 223 
plan des zx et des zy, on a so. L’équation (g) a une 
racine nulle et lautre infinie: done les deux lignes de 
courbure ont pour tangentes l’axe des x et l’axe des y, 
cest-a-dire les tangentes aux sections principales. 

Si l’on avaita la fois s=0, r=t, les deux valeurs de’ 


d - - F ey 5 : ot 
- seraient indéterminées. Il y aurait donc une infinité de 


lignes de courbure passant par le point de la surface, 
autour duquel toutes les courbures seraient égales : ce 
serait donc un ombilic. Ce caractére peut servir a trou- 
ver les ombilics d'une surface, car si l’em exprime que I’é- 
quation générale (8) donne pour - une infinité de va- 

es ° 
leurs, on aura les deux conditions 


SS cee ns Spiel 2 Mi 
We wee Pg 


déja troavées par une autre méthode (706). 


721. Soient O un point de la surface, Oz la normale, 
OA et OB les deux lignes de courbure, Ox et Oy leurs 
iangentes. Si O' et O” sont deux points infiniment voisins 
du point O sur les lignes OA et OB, on sait que les nor- 
males O’/K et O’L renconireront Oz: soient K et L les 
points d’intersection. Je dis que 
OK ct OL sont précisément les 


Hig tors 


S 


rayons de courbure, au point O, 
des sections principales zOx, 
zOy. En effet, puisque Ox est 
tangente a la courbe OA, le point 
QO’ infiniment voisin du point 
O sur OA peut étre considéré 
comme appartenant au plan 
zOx. Done la droite O'K qui est normale a la courbe 


OA, comme J’étant 4 la surface, déterminera, par sa 
rencontre avec la normale Oz, le centre de courbure de 
la section principale située dans le plan zOx. On ferait 


224 COURS D ANALYSE. 
voir de la méme maniére que OL est le rayon de cour- 
bure de la section principale faite par le plan zOy. 


722. C'est ce qu'il est facile de vérifier par le calcul. 
Soient 


(1) 


(2) 


les équations de deux normales. Si le point (x, y, =z) 
coincide avec Vorigine et ‘que le point (x’, y’, 2’) soit 
_ infiniment voisin, les équations (1) se réduisent a 

OS 08 a 105 
et les deux autres donnent, au point commun, 

—dzxz-+ LZrdx =0, 

—dy + Ztdy =0, 


ou bien 
dxz(Zr—1)=0, 


dy (Zt —1)=0. 
On ne peut pas supposer dx et dy nulles a la fois , mais 
on peut satisfaire a ces deux équations soit en posant 


I 


(3) ati=-0%, A=) 4 
ou bien 

I 
(4) dy=0, L=~— 


r 
Dans le premier cas, puisque dx =o, la tangente 
* . I 
coincide avec l’axe des y, et Z= ~ est le rayon de cour- 


bure principal. Méme conclusion a tirer du second sys- 
téme. 


723. Il faut bien se garder de croiré que les points de 


rencontre des normales soient les centres des cerclas oseu- 
-% 


CINQUANTE-SIXIEME LEGON. 225 
lateurs des lignes de courbure, car ces normales se 
coupent consécutivement et sont tangenies 4 une méme 
courbe, propriété qui n’appartient jamais aux normales 
menées par les centres de courbure d'une courbe gauche. 
Et méme les lignes de courbure peuvent étre planes sans 
que leurs cercles osculateurs se confondent avec ceux des 
sections principales. Il faut pour cela que leurs plans 
osculateurs soient normaux et que, par conséquent, les 
lignes de courbure soient les lignes de plus courte dis- 
tance sur la surface (61° Legon). Par exemple, dans les 
surfaces de révolution, les lignes de ¢ourbure sont les 
méridiens et les paralleles. Les méridiens sont des sec- 
tions principales, parce que leurs plans osculateurs sont 
normaux a la surface. Les paralléles sont des lignes de 
courbure planes sans étre des sections principales. 


CALCUL DES RAYONS DE COURBURE PRINCIPAUX EN UN 
POINT QUELCONQUE D UNE SURFACE. 


724. Le théoréme démontré (722) permet de calculer 
les courbures principales en un point d’une surface, l’ori- 
gine étant quelconque. 

La normale menée au point M de la surface a pour 
équations 
X—2xr4 p(Z—2z)=0, 
I 

) Y—y+q(Z—z)=0. 


rng 


Si M’ est un point voisin, prissur la ligne de courbure, 
la normale correspondante rencontrera la premiére nor- 
male en un point dont le Z sera donné par lune des deux 
équations 

y 


1 Partenees a 


(2) Uh, es ee 
( a 
ents: 
dx 

»\ 

a Alt dies 

(3) Saas TT FO 
pe 
oe dx 


226 COURS D ANALYSE, 


ne d 7 : 
En éliminant =. entre ces deux équations, on aura 
be 


| (7¢ — s*) (Z— 2)? 

(4) el (tae pt) eae (1 9?) ro pash(Z 2) 

| s+ t-+ p+ q = 0. 

Cette équation donne deux valeurs de Z— z, et, par suite, 
de Z, qui correspondent aux centres de courbure des deux 


sections principales. Appelons p l'un des rayons de cour- 
bure, on aura 


pa V(X —ap+ (io yy+ (as), 


valeur qui se réduit , en vertu des équations (1), a 


p=(Z—z) Vr +p+q°, 
\ + p 
dou Z— 2 > 
Via pig" 
Si l'on substitue cette valeur de Z— z dans l’équation 
(4),,on aura, en réduisant et ordonnant, 


(7t— s*) 
(5) § — [C+ p')t+ (1+ 9g?) r— 2pqs] V+ p+ 9?-p 
+ (1+ p+’) =0, 
dou. Yon déduira les valeurs des deux rayons de courbure 
principaux. 


725. Les normales d’une surface, menées par les diffé- 
rents points d’une ligne de courbure, forment une surface 
développable, puisque deux normales consécutives se ren- 
contrent. Pour avoir l’équation de cette surface, il faut 
éliminer x, y, z entre l’équation de la surface proposée , 
les équations d’une normale (1) et léquation (8) du 

° 715 qui exprime que le point (x, y, z) est sur la ligne 
de courbure. 

On obtiendra le lieu des centres de courbure de toutes 
les sections principales d’une surface, 


Lae aetig. Bia) 


CINQUANTE-SIXIEME LEGON. 2919 

en éliminant 2x, y, 2 entre cette équation, celles de la 

normale et l’équation (4) ot Z se rapporte au point de 

‘concours de deux normales infiniment voisines. Cette sur- 

face se composerait de deux nappes , puisque chaque nor- 
male contient deux centres de courbure. 


APPLICATION DES THEORIES PRECEDENTES AU PARABOLOIDE 
ELLIPTIQUE. ; 


726. Equation différentielle des lignes de courbure. 
— Soit 


(1) z a>b So, 


léquation d'un paraboloide elliptique. On a, dans cet 
exemple, 


I} 
| 
fy 
: 


a “ah I ae mest 
(2) (Oa re ‘So i ae one S55.) a): 


Léquation générale (718) 


(1-+ p?) dx + pgdy _ (1+ 9’) dy + pada 
rdx + sdy sdz + tdy 


devient 


dy | xy NTT oes OP AY a oy 
| Fay +ae (+5) =o | art J eS 


ou, en ordonnant, 


2 de 
(3) hie 
pea -—— 0, 
eb x 


cest Péquation différentielle des lignes de courbure du 


paraboloide elliptique. é 
15. 


228 COURS D ANALYSE. 
Intégration de l équation (3). — Si Von fait x? = v, 
$ q 
y? =u, cette équation devient 


4) I zai rn I Be v u :) du u 

— » ( — —_~—— —— — —> | — — — =o. 

( ab? \do_ b ee Ode Mae 
Comme u et v n’entrent qu’a la premiere puissance , 


on peut y satisfaire en substituant a wv une fonction li- 
néaire de v, Posons 


FORT 
Pea tCo Ce COU nou 
do 


En substituant dans l’équation (4), les termes qui multi- 
plient v se détruisent et il reste 


dot 


La constante ¢ reste donc arbitraire, et comme! intégrale 
ne doit en renfermer qu'une, il en résulte que w= cv + c! 
ou 


(5) yisen 


est Vintégrale générale de l’équation (3). En faisant varier 
c, on aura les projections sur le plan des xy de toutes 
les lignes de courbure. Ces projections sont des ellipses 
si on a c<co, des hyperboles quand ¢ est > o. Elles 
ont toutes leur centre 4 Vorigine. 

Determination de la constante c. — Silon veut avoir 
les lignes de courbure qui passent par un point (2’, ¥’, 2’) 
de la surface , on déterminera ¢ par l’équation 
ab(a—b)c 


2 —— eg? 
J b +- ac 


ou 
ax’?c? 4+- | ba? — ay”? +- ab(a — b)\¢— by? = 0. 


Onen tire deux valeurs de c réelles et de signes contvairesy 
i qi” 


CINQUANTE-SIXIEME LEGON. 229 
puisque @ et & sont de méme signe. Ces deux vacines 
étant désignées par m et —n, les projections des lignes 
de courbure seront représeniées par les équations 


ab(a—b)m 


(6 (pS SS Se 

(0) : b+ am 

C7) aes iad Cates 
; i a0 


a 
La premiére courbe est une hyperbole, la seconde une 


ellipse. 


Discussion. — La constante m peut ¥arier de o a Vin- 


ae ; ass b 
fini, mais 7 doit étre plus grande que — et ne peut va- 
a 


rier que de a3 Vinfini. En effet, Péquation (7) étant 
o 


mise sous la forme 
ab(a—b)n 


ec NAT Ee: 


le second membre doit étre positif : donc, puisque a est 
4 : : b 
> b, il faut que l’on aitan—b>o ou n> ae 
Examinons maintenant les hyperboles représentées par 
‘lPéquation (6). A cause de Vhypothése a> 34, toutes ont 


leur axe réel dirigé suivant Vaxe des y. La valeur du demi- 
axe transverse est 


ab(a—b)m 
e ae at PEL, 


b+ am 
ou bien 


[2G si 
b 
a — 
. Mm 
Si m varie de o a Vinfini, cet axe augmente de o a 
Vb (a =s 6). Fn mettant Péquation (1) gous la forme 


yx? : ab (a— b) 


aa a ey! 
m b -+- am 


Ke 


230 COURS D ANALYSE. 
on yoit que pour m =o elle se réduit a x= 0. Ihy- 
perbole se confond alors avec l’axe des y ou plutot avec 
la portion de l’axe des y qui commence a une distance de 
Porigine égale a + /b (a — 6). 

Les ellipses représentées par !’équation (7) ont leurs 
axes dirigés suivant l’axe des a et l’axe des y. 

Les demi-axes ont pour expressions 


ab(a—b) ab (a — b) 
Pat ee ae 


a— — 
lv 


Le premier, dirigé suivant l’axe des x, diminue done 
: rhe ba ; : 
de Vinfini ao quand x augmente de — 40. L’autre demi- 
a 
axe diminue de linfini jusqu’a Vb (a— 6). Donec tout 
point situé sur axe des y et & une distance de l’origine 
plus grande que vb (a — 4) sera le sommet d’une de ces 
ellipses. Pour 2 = ellipse se réduit a Vaxe des y, 
comme le montre I’équation (7) mise sous la forme 
ab(a— b) 


n an—"0 


ee 


cela résulte encore de ce que autre axe se réduit alors 
aio, 

Si a2’ = o, une des valeurs de c est infinie et l’autre est 
positive ou négatiye suivant que y' est >> ou < que 
Vb (a — 6). Les projections des lignes dé courbure sont 
alors l’axe des y et des hyperboles ou des ellipses, selon 
que y’est plus grand on plus petit que /b (a — 6). 

Si y’ = 0, une des valeurs de c est nulle et Vautre ton- 
jours négative. Dans ce cas, les lignes de courbure se pro- 
jettent suivant Paxe des x et suivant des ellipses. 


Se eS ‘ 


CINQUANTE-SEPTLEME LEGON 23% 


CINQUANTE-SEPTIEME LECON. 


Calcul des différences finies. — Notions préliminaires. — Différence n‘@”? 
du premier terme d’une suite en fonction des termes de cette suite. — 
Terme général dune suite en fonction du premier et de ses différences 
successives. — Differences des fonctions entiéres. — Différences de quel- 
ques fonetions fractionnaires ou transeendantes. Calcul inverse des 
différences.— Theoremes généraux. — Intégration de quelques fonctions. 


yo 7 


CALCUL DES DIFFERENCES FINIES. — NOTIONS PRELIMINAIRES. 


727. Le but général du calcul différentiel est de cher- 
cher les limites des rapports des accroissements simultanés 
de plusieurs quantités variables, ce que Yon peut faire 
sans considérer les valeurs numériques de ces accroisse- 
ments. Dans le calcul aux différences finies, on s occupe 
au contraire de ces valeurs numériques et l’on cherche a 
en déterminer la loi. 


Soient 
Lng Metis Cetin tet Seale aet 


une suite de valeurs successives que recoil une quantité va- 
riable. Si l’on retranche chacune de ces valeurs de celle qui 
la suit, on obtient ce qu’on appelle les diflérences pre- 
mieres de ces valeurs, et on les représente par 
iNT UNITS UNI 5 my NEE 

en sorte que l’on a 
Uj —U, =A, U,—U, = AW... Unpr — = IN Nee 

En opérant de la méme maniere sur la suite des diffé- 
rences eer on obtient une suite de différences 
deuxiemes, quon représente par 

2 2h es AA EO NTs, cog As a a ae 

On adonc, par définition , 


Ald A eNO ape Ai Ne Ne) Se < 


232 COURS D ANALYSE. 
On formera de la méme maniére des différences troisie- 
mes, quatriemes, etc. 

Par exemple, la suite des carrés des nombres entiers 


I, 4, 9, 10, 29,%.:, 


a pour différences premieres 


3%) Oe 7x Qoe-rss 


et pour différences secondes 


les différences troisiemes, et par suite les dilférences 
d'un ordre supérieur, sont nulles. 

Dans cet exemple, toutes les différences secondes sont 
égales a 2. Si l'on admet la généralité de cette loi, on 
pourra prolonger indéfiniment la suite des différences pre- 
miéres, et, par leur moyen, celle des nombres carrés. 


728.,Le calcul des différences est fondé sur quelques 
principes analogues 4 ceux qui forment la base du calcul 
différentiel. 

En premier lieu, uw, v, z étant des quantiteés variables , 
ona 


(1) A (u+o—z)= Aut Ao— Az, ‘ 
west-a-dire que da difference d'une somme est égale a la 
somme algébrique des differences de ses parties. En effet, 


A(u-+-0-—z)=(u,+o,—2,)—(u+e—2z) 
(wu, — u)+(9,—0)—(2,—2) 
= Au +: Av— Az. 


| 


La différence dune constanie est nulle. Done 
(2) A(u + a)— Au, 
On a encore 


(3) A au = adu, \ 


car Aau = au, — an a(uy,—u)=adu. 


CINQUANTE-SEPTIEME LEGON. 233 
EXPRESSION DE A", 


129), Proposons-nous de trouver Pexpression de A’n 
en fonction de uw, uw;,,..., u,. Ona d’abord 


Au=u,— tu, 

Av =U ie 
Mais Ap Aw — ae: 
donc Yu uU,— 2u, + U. Z 


A’ u, doit étre composé avec uz, U2, U,, comme A?u avec 
Uy, U,, U. On adone 

A?u, = u,— 24, + 45 
eten retranchant A?u de A?u,, 

Muu, —3u,+ 3 uu, — u. 
On trouvera de la méme maniére 
td 
Au > u,— 4 us; + 6 u.—- Gut ls 

et ainsi de suite. On voit que les coefficients numeriques 
qui entrent dans A®u, A®u, A‘u, Vexpression des difté- 
rences sont les coefficients des puissances deuxieme, troi- 
siéme, quatriéme du bindme, d’ou l’on conclut, en géné- 


ralisant, 


a i, 
(1) IND SE Te = FU SS Se oe Sa eters, 
1.2 


ou, sous une forme symbolique , 
A“u = (u aoe yi?) 
égalité qui tiendra lieu de la précédente, pourvu qu’apres 
avoir développé le second membre par la formule du bi- 
nome, on remplace u°, wu’, uw... par u, Uy, Ug. +s. 
Pour démontrer la généralité de cette loi, posons 
(2) Au = typ — Atta + Buy_y— Cun_s +... Eu. 


On aura également 


(3) A? == Up, — Ady t- Buy j —' Cuz... tea, 
et en retranchant (2) de (3), 
A Un Alu, + Bl] a, — Ola: ge ite 
—1 = A —B 


234 COURS D ANALYSE. 

. Or on sait que si1, A, B,... sont les coefficients de 
(2+1)", 1+A, A+B,... sont les coefficients de 
(a +1)"**. De 1a résulte que si la formule (1) est vraie 
pour indice 1, elle Vest encore pour Vindice n +1, ce 
qui démontre sa généralité. 


730. Autrement, suppesons la loi démontrée pour Vin- 
dice 7 et posons 


~ \ 
INS De Kup (4-1), 
=) 
on aura Aw) == D> Kepa- 
Done AE = DE. Ups1 — ak Up» 


= . K (up ai — Up), 
ou, sous une forme symbolique, 


NCR ¥ Ku? (ua —1). 
yo 
Il résulte de 1a 
y e! 
Atty = (u—1) > mice (u—1)(u—1)(, 


et, par conséquent, 


AnH yy (ie Saye: 


EXPRESSION DU TERME GENERAL D'UNE SUITE EN FONCTION 
DU PREMIER TERME ET DE SES DIFFERENCES SUCCESSIVES. 


731. Ona, par définition , 


u=u+dAu, 
u,=u+ AX, 
Au, = Au -+ A?u. 


En ajoutant ces equations membre A membre, on a 


Up u + 2AaAw pb Lu: 


‘ ‘ 


On aurait de méme 


Au, = Au-+2A°?u + AR, 


CINQUANTE-SEPTIEME LEGON. 235 
dou, en ajoutant ces deux équations, 
usu+3Au+3Au+ Mu, 


et ainsi de suite. On est ainsi conduit par induction a la 
formule r 
n(z—1I) 


(1) Up =u +nAu+ Aut+...+A"u, 


1.2 
ou a la formule symbolique 
Up = (t+ A)"a, 
dont l’exactitude se démontrerait par le mode de raison- 
nement employé aux n° 729 et 730. » 
; 


DIFFERENCES DES FONCTIONS ENTIERES. 


732. Supposons maintenant que w soit une fonction 
euliére de x du degré m, et que u,, #,,... représentent 
les valeurs successives que prend cette fonction, quand on 
donne a x une suite d’accroissements égaux représentés 
par h. Soit 

(= Ne a Oa ee 
On aura 
Au=A([(x+h)"—a"™])+ B[ (a+ h)h'—2""'] 

-+ C[ (a@+ h)r?— a” |... 
En développant et ordonnant par rapport a x, on aura 
un résultat de la forme 

MTA ae t= BO ee arse 
Le premier terme est du (m— 1)" degré et son coeffi- 
cient se forme en multipliant le coeflicient du premier 
terme de w par |’exposant de ce terme et par h, 

En opérant de la méme maniere sur la différence pre- 
miere, on aura 


A? a= m(m —1) AR? 2c”? + BY PS +. oy 
on trouvera de méme 
Au => m(m—1)lm — 2) AK x3 4. BY gti +, 


et ainsi de suite. 


236 COURS D ANALYSE. 
Le degré de chaque différence va en diminuant d’une 
unité, d’ou l'on conclut que la m'*”” sera constante et se 


réduira au premier terme, dont la loi est connue. On 
aura done 
yy m= 6 2 te ine (72) Was 


Ainsi les differences mens dune fonction entiére de 


degré m sont constantes, lorsque la variable croit par 


degrés égaux. Les différences suivantes sont donc nulles. 


733. Soit ux”. Alors 


NOTRE LOY, Ge 5 ALO: 
Ui SNe A Ge ty Sa we A DAT oa ie 
Si lon substitue ces valeurs dans la formule 


n(n —1) 


(1) NE ii Sy aes Tie fe ah (734 ) 


on aura, si 2 =m, 
PMO SS Taanh” Sea Se mh)" 
2 
2) } —mixt(m—i)hP+...cea". 
Paisant-xcss on = 1, 

p1.2.3...m=m"— m(m—1)" 
3 m(m—t 
(3) 4 EW  araian oae 

1.2 

Si Pon suppose n>>m, alors on a A°u=o, et la for- 
mule (1), en faisant encore, «== 0, h=1, donne 


n(r—1) 


(4) o=n™—n(n—1)"+ Cet aes 


1% 
734. Prenons u égal a un produit de facteurs équidif- 
férents. Soit 
u=u(ath)(r+2h)...fe4+(rn— ih], 
on aura 
(1) Auw=(a2-+h)(a-+2h)...[a4+(n—i)h]nh, 
(2) Mus(e+o2h).. le+t(n ih]. {a—1) kh. 


La loi de formation est éyidente. 


CINQUANTE-SEPTIEME LECON. 239 


DIFFERENCES DE QUELQUES FONCTIONS FRACTIONNAIRES Qu 
TRANSCENDANTES. 


735. Voici encore quelques exemples de différences de 
fonctions non entiéres : 
i 
u(xth)(a+a2ah).. [eb (2 Hh) 


4 


hee —— 


— rh 
Ni 


Sze ) 


a(a+h)(x+2h).. (2h nh) 
n( 1) h?s 4 
Pap ee ) : a 
u(@w@th).. (a+ nh) [x + (2 ih] 
et ainsi de suite. 
Ds pee Uae p 
Au =a‘ (a*'—y1), 
Mu = at(a*—1), 
et, en général , 
Bia a? bak 1), 
3°, u=sin(ax + 6b), 
Au = sin(ax + ah + b) — sin(ax + 6), 


ed rh 
Asin (az + 6) = 2sin 5 ah eos [ae es [fe “). 
2 


On trouverait de méme 


iat , ah 
Acos (ax + 6) Sate ah ae sin | az +) ae ok 
On trouvers ensuite 
7 2.9 an 
A’sin (az +b) = 2 sin = ah. Acos | ar +b + ls 
et, a cause de la seconde formule, 
Oe 
A’sin (ax + 6)=-~- 4 sin’ > Sin (ax +- 6 + ah), 


et ainsi de suite. 


238 COURS D ANALYSE. 


CALCUL INVERSE DES DIFFERENCES. — DEFINITIONS EY 
NOTATIONS. 


736. Le calcul inverse des différences a pour objet de 
déterminer une fonction quand on connait sa diflérence 
finie, ou lorsqu’on a une relation entre cette fonction, la 
variable dont elle dépend et quelques-unes de ses diffé- 
rences. Mais nous nous bornerons au premier cas. 

Soit x la variable indépendante dont l’accroissement 
Ax est supposé constant et égal 4h; soit F(x) la fonction 
inconnue et f (x) la différence donnée : on doit avoir 


AF(2)=f(#), ou F(x +h)—F(x)=f(z). 

La fonction F (a) dont la différence est f (x) se re- 
présente par fie) et se nomme I’intégrale aux diffé- 
rences finies de f(x). Il est clair, d’aprés ces notations, 
que les caractéristiques > et A appliquées a4 la méme 


fouction se détruisent, et que l’on a 


MY fe=sfe), ate = re 


737. Dans le calcul intégral ordinaire, quand on a ob- 
tenu une intégrale particuliére dune différentielle donnée, 
on ajoute a cette premiére solution une constante arbi- 
traire pour former l’intégrale générale. Dans le calcul in- 
tégral aux diilérences finies, ce n’est pas une constante 
arbitraire qu’il faut ajouter a une intégrale particuliére, 
mais la fonction la plus générale dont la différence est 
nulle. Ainsi 9 (x) étant une fonction dont la différence 
est f (x), il faudra que lon ait 

F(x) = 9(z)+ a(x), 
w (x) devant satisfaire a léquation 
a(a#+h)—a(r)=o0. 
La valeur de la fonction w (x7) est complétement arbitraire 
quand x passe d'une valeur quelconque a ala valeur a+-h. 
Pour les valeurs de x, qui ne sont pas comprises dans cet 


gi 


CINQUANTE-SEPTIEME LECON. 239 
intervalle, @ (2) sera déterminée par la condition de re- 
prendre la méme valeur quand x augmente de h. On la 
nomme pour cette raison une fonction périodique. 

Cette fonction peut étre représentée par une courbe. 
Prenons sur |’axe Ox des intervalles AA’, A’ A’, 
AY A™,... égaux ah; puis élevons les perpendiculaires 


Fig. 128. égales AB, A’B’, A” B’,.... 
y Tracons 4 volonté Dare 


BMB’, et soit BB/B'B”... 


Bu Ghiiie une ligne composée dun 
| F nombre indéfini dares égaux 

ofA a REY Mog a BMB’. L’ordonnée de cette 
courbe aura la méme valeur pour des valeurs de x qui 


different de h et représentera la fonction cherchée. 
On aurait une fonction jouissant de la propriété en 


question, si l’on prenait . 
. 24x: 272" 
o( 2s 0 sin > cos ] )> 
2 


¥ désignant une fonction tout a fait arbitraire. 
THEOREMES SUR LES INTEGRALES AUX DIFFERENCES FINIES. 


738. Dans le calcul intégral, fsa dx représente la 


somme des valeurs de la différentielle f(x) dx quand x 
varie de aa b, L’intégrale aux difiérences jouit une pro- 
pricté analogue. 

Soit F (x) une fonction dont la différence finie est 
f(x). On a, quel que soit x, 


Avie) ou P(e ey HF (2) SP (zy 


Appelons 2x», 21, %2,---, X, des valeurs de x croissant 
par intervalles constants et égaux ah. On aura 


F(x,)— Fi 95) eh 
F (z,) —- F (2; ) = Vaeane, 


merge Said- lei, e) 0) Bilel 8 baw = 10 yn ester ea) fol enn 


240 COURS D ANALYSE. 


(1) F(7,) —F(%)=S( 2) Ef (2) ES (5 


ce qu il fallait démontrer. 
Notons encore, comme exemples de l’analogie des deux 
calculs , les formules 


3) SM ete—z)= Mut Ho—Dz, 
(3) Sasa au, 


conséquences évidentes des formules (2) et (3) du n° 728, 


INTEGRATION DE QUELQUES FONCTIONS. 


739. Ona trouvé (735, 2°) 
ba? = a (a— 4), 


d’ou l’on tire, en intégrant, 


Qi . 
s GE a= ; + C. 
Qe —T 


Si Von donne a x les valeurs 0, 1, 2,..., 2 —1, ona 
h =1, eten appliquant la formule (1), on aura 


a™ I qr 


=a C= F cE 


it atest... tas 
C’est la formule connue qui donne la somme des termes 
dune progression géomeétrique. 
740. Ona trouvé (735, 3°) 
: Sgt / ah 
Asin(ax + b)= 2 sin — ah cos one —+b/); 
2 
Lie 
changeons x en x — et il vient 
\\ 


ah can b 
Asin ( a2 —-—+b =="'5.81n = ah cos (ax +. 6), 
2. 2 


dou 


SN cos (aw + (| ee Se 


CINQUANTE-SEPTIEME LEGON. 24X 
En faisant\2 = 0, 1,/2,... 5 n —1,/on aura 


cosh + cos (a + 6) + cos (2a + b)+...-+ cos[(r—1) a + 6] 
sin| (n—2)a+6]—sin(o—S) 
2 2 
SS Oo 
err 
2sin-—@a ‘ 
2, 
c est-a-dire, 
cosb + cos(a + b) + cos(2a+ b)+...-+ cos[(rn—1)a+ 6] 
. na 2 
sin — cos (: a ») 
ms 2 2 


ek 
sin — a 
yes 
On trouverait de la méme maniére 
sinb + sin (a + 6)+ sin(2a-+ 6)+...+sin[(z —1i) a+ 5] 
: wa. I 
sin -—— sin ( ag ») 
2 


ae 
sin—-@ 
2 


744, En intégrant la formule du n° 734, et rempla~ 
cant x par x —h, etn parn+1, ona 3 
| Sa(e+h)...[e+(n—1A] 
j-eaAe eee 

pe (n+1)h 


(1) 


+ C, 


On tire de la seconde formule du n° 735, 


Lisery ..fe@+(n— Hh] 


I I 
art (2 —1) h* we De ok)...[e+ tn Say Ai 


(2) 


En changeant x en m-+-h, dans la formule (1), puis 
faisant h=1, on aura 
1.2.3...2+2.3.4...(2 +1) +3.4.5...(2 +2) +... 

++ m(m-+1)(m+ 2)...(m+n—1) 
__m(m-+1)(m + 2)...(m + 2) 
n+ i 
II. 16 


(3) 


242 COURS D ANALYSE. 


Ici la constante est nulle parce que le premier membre 
est nul pour m = o. 
Par exemple, sin = 3, on a 


1.2.34+2.3.44+ 3.4.5+...+m(m+1)(m-+ 2) 


“= 5m(m-+1) (m+ 2) (m+ 3). 


4 


On tirera de méme de la formule (2) 


I I I 


ee Reese). 8 Mmm +n—1) 


I I I 
Sa gereaes eae mes | 
Par exemple, on a, pour n = 3, 


I I I I 
1203 28.4553:4.5 Tian (cx) (mn a 2) 
Teer f 
4 2m (m+1) (m+ 2)’ 


— 


pour 7 = 2, 
I I 1 I 


aS Set ps ahh fe BYE ak 
Peas Lei m+I 


Il est facile de vérifier ce dernier résultat, car le premier 
membre peut se mettre sous la forme 


(-3)+ 6-8) +) ++ Ga) 


et la somme de ces termes est évidemment égéle a 
I 


m-tI 


I 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 243 


CINQUANTE-HUITIEME LECON. 


o 


Suite du calcul inverse des différences. — \ntégration des fonctions entiéres. 
— Evaluation des sommes par les intégrales ordinaires et des intégrales 
par les sommes. — Formules d’interpolation. — Vormule de Newton. — 
Formule de Lagrange. — Approximation des quadratures. 


3 7 


i 


INTEGRATION DES FONCTIONS ENTIERES. 


742. Liintégrale d'un polynéme du degré m 
“f (ar) = Axr™ + Ba®™'-+ Car"? +..., 


devant étre un polynéme du degré m-+-1, posons 
YF (2) = Al! + Bla + Cla +...., 


A’, B’, C’,... désignant des coefficients inconnus. 
On doit avoir 
Alfi(e— A yet att |e B’[(a@ + h)™— a2™) +... 
SA Bett Cart. 


ou bien 
(m +1) Avh jee CREEL S i 
ee 
+ B/ mh 
(ma R (mI) yep an 

fez 3 

i ehh 
to aes 
+ (m—1)Ch 


ele) 0 016 0 © = eee 0'¢ 


— Ax” 4 Ba"! a Cx", eae 


En égalant les coeflicients des mémes puissances de x 
16. 


244 COURS D ANALYSE. 


dans les deux membres, on aura 


A 
eens 
Ait (m-+1)h 
B I 
tt ah 
ees mee 
Pps Ch Shea mah 
m-+I 2 2. 


et ainsi de suite. 
Pour trouver 2", il soft defave A=—1, B=, 


C=0, etc., et Yona 


ie == 
(m+1)h’ 
I 
[oY = be adie 1] 
=) 
mh 
Ce ante 
dou 
; f I I 
Pe = ——__$_— grt — a a + —— mhaot— —... 
(m+1)h 2. 12, 


On voit que le premier terme est égal a Vintégrale de 
x” dx divisée par h et que le coefficient du second est 


égal a —< 
743. On peut trouver $x” et plus généralement 
Tie) par la série de Taylor. On a 
f(x +h) —f (2) 
on F(a) Af (2) + pele) 40.5 


ce développement se termine de lui-méme quand f (x) 
est une fonction entiere de x. 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 245 
Si l'on intégre les deux membres, on a 
/ h? Wt 
BAC eg (2) -—— > Ff" (2) 420-5 
iet'si Pon pose f (8) 2% 
)? 


p 
tt —— ™ m—i 
x” =(m+i)hY-x = (ma) — s x 


(m +1) m(m—1) 4 
re ie Loe CO 
ay r.333 bar pir 


Pour déduire de fa > x, il faut faire successivement 


m=O, 1, 2,3. -.5,0n aura Lat 

f=, 7% 

S 2 eh, 

iced 2h 2 é 
: 238 I h 2 

a a7, Se Goo 

Meat feiss +C 
Te re 4 : 
dong Len ptliuk, otellly Cc 

DS SK AIC OE ea ae 


oe ere vee tee e 


Si lon fait h =1, et qu’on donne a x les valeurs o, 1, 2, 
3...n, ce qui change 2x” en 2x” -+ x”, on aura les 
sommes des puissances des nombres 1, 2, 3,...,7, savoir: 


I 1 n(R--1) 
Sy == St Ske SS eee 

2 2 2 
eal por pi aah Ue Uh 
ore 2 Gu” 1.2.3 
4 Big cite : n?(n +1) 
—o.v4-W+5,n7°= —,;,—) 
ae 4 4 
eee x LTT es ein ee 
Ue tea 3 30 


City Bd CCU COR CHR CS CBS Fa IME Lh ae Ta be aa 


On remarquera que la somme des cubes des n premiers 
nombres est le carré de la somme de ces nombres. 


we 


246 COURS D’ ANALYSE. 


SOMMATION DES PILES DE BOULETS. 


744. Considérons d’abord une pile a base triangu- 
laire. Soit n le nombre des boulets contenus sur un cété 
de la base, la base contiendra un nombre de boulets égal a 


I 
Seen eae aensS 


Pour avoir le nombre total N des boulets, il faut faire 
successivement  =1, 2, 3, etc., ce qui donnera les bou- 
lets contenus dans les diverses tranches 4 partir du som- 
met. Le nombre cherché est donc égal a 


We SS ee eA  B(a+t) 


Pea eg at Seo 


2 2 2 2 


ou, d’apres la formule (1) du n° 741, 
n(n-+t1)(n+2) 


(r) DF hea as SE 


Si la base de la pile est un carré dont chaque cété ren- 
ferme 7 boulets, le nombre des boulets de cette tranche 
sera n®. La somme de toutes les tranches sera donc 

I+ 2 + 3? +...+ 7’, 
et l’on aura (743) 

4 n(r+1)(22-+1) 
(2) N= i 

Soit enfin une pile rectangulaire. Appelons n le nom- 
bre des boulets contenus dans le petit cété de la base et 
a-+1 le nombre des boulets qui forment la rangée supé- 
rieure de la pile. Par l'une des extrémités de cette ran- 
gée, concevons un plan paralléle au plan du triangle équi- 
latéral qui aboutit a l'autre extrémité. La pile se trouve 
alors partagée en une pile a base carrée et un prisme 
dont l’aréte la plus élevée contient a boulets. Done si 
Pon nomme N le nombre des boulets de la pile, on aura 


Ne aE i (2 +1) 
a) oI 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 247 


(3) N= See cere), 


or a-+1 est le nombre des boulets de l’aréte supérieuré 
et 7m-+a le nombre des boulets d’un cété de la base : 
done le nombre des boulets dune pile triangulaire est 
égal au nombre des boulets contenys dans Tune des 
faces triangulaires, multiplié par le tiers de la somme 
des nombres de boulets contenus dans les cétés paral- 
léles de la pile. Pr 

{] existe une analogie évidente entre la formule (3) 
et celle qui donne le volume d’un prisme tronqué. 


EVALUATION DES SOMMES PAR LES INTEGRALES ORDINATRES 
ET DES INTEGRALES PAR LES SOMMES, 


eles dx 


ou 9 a eo = “= 


“TAB. Soit 


On a, par la formule de Taylor, 


= Wf (2) +A f(x) + a, ae x) + 


Donnant 4 x les valeurs 2%, X41, Lo, + +yXp—1 et dési- 
gnant x, par X, ona 


F (2) — F (2) 4 
= Wf (2) +f (a4) + ag fl (a) Fae 
F (x,) — F (2) 


Nee Shia MIMD cercalie tal fe (ld [qO ewig: & joes ohr aiet ol eid © Seles, 6a 


1| 
ow 
= 
= 
) 
ae 
che 
Sy 
eS 
iS) 
Oo 
Ss 
S 
L 


248 COURS D ANALYSE. 


el, en ajoutant membre a membre, 
F(X) — F (2) =hA[S (x) +f (21) +... +S (ta) | 
ey HP ele. Fad) 


Posons 


Comme F (X) — F (x) n’est autre chose que |’intégrale 
définie de f (x) dx, prise entre les limites x, et X, lé- 
galité Boe aa oh pourra s’écrire 


fe f(a)de=h8 f(x) + “sf (2) + (2) 


Remplacant f (x) successivement par f' (x), f” (x)..., 
on aura 


Ff SS (a) HAS f"(0)-+ 58 f" (a) + — a8 f"(2) +... 


Poof =P O4+T Sf" (x) + —_ Sf (x) +e. 


See ele 898 be 8 Ole @%S) biel ere siete) © a6) duehee «je Sie es O66 BS) G14 te eemy allel ee 


Multiphiant ces égalités par1, Ah, Bh?, Ch*..., et ajou- 


tant, il vient 


x 

[Aledo + ANAK) —fles)) + BRS) S20) 
+ Ch Lf" (X) —f" (w]e... 

I = AS f(x) + hSf" (x) (“5+ A) 


+ SS" (2) (— pipe +.B) 


f I A B 3 
+- hi SF (e) Feeree ate 133 TT ay c) hag « 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 249 
Le second membre de cette égalité se réduit a hS f(x), 
si l'on pose 


oh ee aa ica 
Ave alow 4 t ea, eA ey Pie Le eh See) did se a) et Cee 
a? 
dou lon tire : 
I 
ae 
2 
I 
i =f 4 
12 
C= Ss70; 
I i 
D= a a fe eo - 
@ 520° $ 
== 0, 
eataiccal | oe iy 
e la résulte rE 
S$ 6 yl 


{ I x I 
ia f(2)de— Hy (X)—S(e)| 
(2) 


+= hl f' (%) — I" (20)] 


= SoPLS (8) PB) Fo 


formule qui sert 4 représenter une somme au moyen 
d'une intégrale définie. 


. : X ’ 
746. L’équation (2), résolue par rapport a { F(x) dz, 


fera dépendre la détermination d’une intégrale ordinaire 
fera dépendre la dét t 1 tégrale ord 
de celle d’une intégrale aux différences finies. En rem- 


placant S f(.c) par SF (%0) + SF (xi) + f (2) +--+; on 


250 COURS D ANALYSE. 


aura 


noe ey jana] Ae ) 4 f (mi) +S (a) + AS 


2 


sh [F'(X) —F" (20) ] 


sperma ee OS ae cae 
On remarquera que le coefficient de h est égal a la 
somme des trapeézes inscrits dans la courbe y = f (x), et 
Pp iy ) 
déterminés par ‘des ordonnées équidistantes. Quant au 
Pp q 
premier membre, il représente |’aire de cette courbe. 


747. La détermination des coefficients A, B, C,.. 
peut se faire au moyen d'une fonction particuliére, 
puisque leur valeur numérique doit étre indépendante 


de la fonction f (x). Si-l’on prend 


+ = 
‘@ Six} Pe, 
ona 


ere 
f (a) de =e ox, 


Sf (a) = et 4+ eto th 4 peter (m1) k= 


puisque X = x) + nh. 


Si lon porte les valeurs précédentes dans Véqua- 
tion (1), le facteur eX —e* se trouvera commun aux 


deux membres, et, en le supprimant, on aura 


/ 
(4) 1 HARE BME CAH, Y. 
ce&—y 


. : - h A F 

Il suffit donc de développer suivant les puissan- 
Bae S P 

ces de h, ce qui se fera par la formule de Maclaurin. 


Tae I ba fae 8 abe : ; 
On sait déja que A = — = Pégalité (4) revient done a. 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 201 


la suivante, 


1+ BhR?+ CA +... : 2S 


ety 2. 2%(e* — 1) 
ou bien 
h h 
h ae 2 
5 eg REAP ae Dads g chicas. ie ; 
I dell} h 
(Es ih 


Le second membre ne change pas quand /h est remplacé 
par —h. Il en résulte que le premier membre ne doit 
renfermer que des puissances paires de h. On a donc 


Gi=0e 05a 


FORMULES D INTERPOLATION. — FORMULE DE NEWTON. 


748. L’interpolation a pour objet de trouver une 
fonction d’une variable, connaissant les valeurs de cette 
fonction qui correspondent a un certain nombre de valeurs 
données de la variable: Ce probléme est indéterminé 
tant qu’on ne fixe pas la forme de la fonction cherchée, 
car il revient a faire passer une courbe par des points 
donnés, ce qui peut se faire d’une infinité de manieres, 
tant que la courbe n’est pas définie. Le probleme de 
Pinterpolation devient déterminé quand la fonction est 
donnée de forme et qu'elle renferme autant de paramé- 
ires distincts qu'il y a de valeurs données de la fonction. 
Par exemple, si l’on se donne 7 + 1 valeurs d’une fonc- 
tion entiére du degré n, pour +1 valeurs de la varia- 
ble, on aura 7 + 1 équations pour déterminer les n +-1 
coefficients inconnus. 

Nous examinerons d’abord le cas ott les valeurs de la 
variable sont équidistantes. 

Soient donc 


Cran Neca itaitcany ars. sco lies 


n-+-1 valeurs équidistantes d’une variable, et soit A leur 


2502 COURS D ANALYSE. 


différence constante. En choisissant convenablement |’o- 
rigine des x, on pourra faire en sorte que 

By SB1O Aa ee sO es. ghee SE eee 
Soient 

Uys ie Us tlers > Up 
les valeurs correspondantes d’une fonction u, que nous 
supposerons entiére et du n*”* degré. A l’aide de ces 
valeurs on pourra former les différences successives Aug, 


A? uy, A®u,.... Mais on a-(734) 


m (m— 1) 
Um = Us + m Au, + ————— Muy+.-.. 
52 


Ce développement de w,, s’arréte de luicméme au terme 
qui contient A” uo, parce que les coefficients des termes 
suivants se trouvent nuls. Ainsi on peut le prolonger 
indéfiniment. En supposant m< 7 ou au plus égal an, 
on peut écrire 


. m(m—1) 
\ Ui eS A a toe oes 
C)yamien i 
| Dis ieee Seatac tie ak) | 
Ree sew ( 


R 1 Z 
emplacons m par —», et posons 
plag par >> et p 


\ — I wad 
2 
ae ence 2 = A” uy 
ay a el eae gl es 5) |) 2 EEO 
q h\h h hae eh 
Le polynome u se réduira évidemment a u,, pour x= mh; 
par conséquent, if aura les valeurs 
Pe ME iL ocktteye aU, 
pour x égal a 
©, ele Dil tetramers 
et comme il est du n”” degré, ce sera done le polyndme 
demandé. ; , 
La formule (2) est connue sous le nom de formule 
4° ° 4 =~ 
Vinterpolation de Newton. 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON, 253. 


FORMULE DE LAGRANGE. 


749. Supposons maintenant que les valeurs données 
de x, 


Loy Lip Lay. - 0, ny 


soient quelconques. Posons 
f 


(1) u=A+Bae+ Cz’?+...4+ G2". 


On a pour déterminer les n + 1 coefficients A, B,..., G, 
 * 2 y 
les m + 1 conditions ! 
“—A-+Ba,+Cz,+...+G2", 
| u=A+Ba,+Cri +-..+G2", 
(23) { Up =A+Bay+Cx? +...4-627 


\ 


Mane ketal ‘anomie Mes Bele ‘a wea 0 ote! ate eke ro, “elela, 6 


U,=A+Bar, + Caz +.. Ga", 


D’aprés les formules de résolution des équations du 
premier degré, les inconnues A, B, C,... contien- 
dront uo, w;,..., uv, au premier degré. En remplacant A, 
B, C,...par leurs valeurs dans la fonction u, et réunissant 
tous les termes qui renferment uy, u;..., on aura 


u= Pou + Pia, + Pruw.+.-..+ Pru, 


Pera be s--etant. dés fonctions dex et de x, 24; 
X_.2+9X,. St lon fait % = x,; dans la formule, ‘on doit 
trouver u = Uo, ce qui exige que |’on ait 

Pe —— On One.) DOUN Lay, 


car les quantités u,, u,,U2,..-, n ont aucune dépendance 
entre elles. De méme, on aura 


Py 0, Ry = 3, Pe 0555 (AP Se 0,,-pour_ 2 2, 


et ainsi de suite. . 
La fonction P, devra done étre nulle pour «= x,, 


Cir Pes te, BH Ly ete commer elles(est:! du) 2/77 


254 COURS D ANALYSE. 
degré, on peut écrire 
P= A (eee @ Baye nee z,), 
A étant un coefficient numérique. Mais P, doit étre 1 
pour x = 2, donc 
1 = A (x-— 2) (a — 42)-. 0 (4%) — Bal 
d’ou résulte 
(a — x,)(# —a2,)...(2 — pn) 


hes (a9 — 2,) (#22). .+(%) — tp) 


On trouvera de méme 


_ (© = 2), (2 se). 4. (@ —= an) 

a eiwiar ape =e Ais) (2; — 2p) 
(« — a) («© — 2) (@ — am). fe — a) 
OR ee he ae » (%— 2p) 


et ainsi de suite. En portant ces valeurs dans |’expres- 
sion de u, on aura la formule d’interpolation de La- 


grange, 
| (Sale ta) 
(a — x,) (%)— 2)... .(%)—a,) ° 
(2 — x) (x —a2,)...(% po 
(3) TT a a ee ee 
PE ee tone PO Se Soe ee 
_( — 2) (% —x,)...(@ — t,-1) ! 
ae (2p — 2) (x —2,).. (2p — Lr) st 


Il n’existe pas d’autres fonctions du n*”’ degré remplis- 
8 
sant les conditions énoncées, car si l'on avait encore 


u BE A’ + B'a+...4 G2", 
il faudrait que la différence 
A Al - (B—B') & +... (G — G’)a” 


devint nulle pour les n+-1 valeurs x,, %;,, %2,..., Ln». Ce 
qui est impossible, car une équation du ‘72!?t® “degré ne 
peut pas admettre plus de 7 racines. i ~ay 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 255 
750. La formule de Lagrange peut se déduire de la dé- 
composition, en fractions simples, d’une fraction algébri- 


o(x 


que rationnelle F a dans laquelle le degré de 9(x) est 


moindre que celui de f(x), et dont le dénominateur a 
toutes ses racines inégales. 
Posons : 


o(@)_ elm) 1 BCD Enis Ty 
Fis) SF lek Sh SF ay, ee, E 
(4) 
Stal | a 


Mais o (xy) = uw et 
#! (He) = (2x6 — ty) (x4 — ve) +... -+( 2 — ee 


Donc, si ?on multiplie les deux membres de l’égalité (4) 
par f(x), on trouvera que 9 (x) ou wu est la somme de 
plusieurs termes de la forme 


(2% —2;) (%— 22)... oo Wan 


. Bs 
FORMULES D APPROXIMATION POUR LES QUADRATURES , 
RECTIFICATIONS, CUBATURES. 


751. L’évaluation des aires, des longueurs, des volu- 
mes se raméne, en derniére ey a la détermination 
d’une ou de plusieurs intégrales définies relatives a une 
seule variable. Mais il est souvent impossible d’effectuer 
Vintégration indiquée et il faut recourir 4 des. formules 
d’approximation. 

Supposons qu’il s’agisse d’ elie Vintégrale 


ie ae, 


ou Vaire dela courbe y Safir): 


~ 


296 COURS D ANALYSE, 

La formule d’Euler (746) offre un premier moyen d’ob- 
tenir une valeur approchée de cette intégrale. On peut 
aussi, a l’aide des formules d’interpolation, remplacer 
f(x) par une fonction entiére du n® degré que lon 
intégrera, ce qui revient a remplacer la courbe y = f (x) 
par une parabole du n*”” degré qui a 7 points communs 
avec elle. On peut encore prendre une suite de paraboles 
du deuxiéme degré, et remplacer les parties correspon- 
dantes de l’aire cherchée par celles de ces paraboles. C’est 
cette derniére méthode que nous allons développer. 

Partageons l’intervalle x— x) en un nombre pair 7 
de parties égales. Par les trois points de la courbe, 
(20, Yo), (Toth, 71), (X% + 2h, ¥2), faisons passer 
une parabole du second degré dont l’axe soit paralléle a 
Paxe des y, ce qui est toujours possible, comme lon 
sait. Désignons par z l’abscisse comptée a partir du pied de 
la premiere ordonnée. L’équation de la parabole sera 


y=A+Be+ C2’, 
et nous aurons 
JYo=A, 
y=A+BA+ Ch’, 
¥2. = A+ 2BA+ 4CH, 


et ensuite 


oh ah 
{ VAS a gq (SA + 3Bh+4Ch*) S 
co) 


h 
aT. 5 [A+4A +4BhA+ 4CH+A+ 2Bh-+4Ch'|: 
par consequent, 


oh h 
a yde= a(n + ays +9). 
10) 


’ ‘ 
On opérera de la méme maniére sur les autres parties 
de Vaire, et l'on aura une valeur approchée de cetie aire 


CINQUANTE-HUITIEME LEGON. 257 


en faisant la somme de ces parties, savoir 
h h 
3 (Ye bob ya) + Zp hoe +7) 


h 


h 
Hegre + 47s +90) Het (Fn + 4 In + Yn)s é 
ce qui revient a 
aa, 
S= Bot at AUP tyr. bIYn— AG Ki hyat ohn) ]- 


Cette formule est due 4 Thomas Simpson. 


a7 


Il. | 19 


258 COURS D ANALYSE. 


CALCUL DES VARIATIONS. 


CINQUANTE-NEUVIEME LECON. 


But du caleul des variations. — Définitions et notations. — Theoremes sur 


fa permutation des signes d etd, p et 6. — Variation d’une intégrale 


définie if vee. — Cas oi .V ne dépend pas des limites. — Cas ot V 
contient deux fonctions de «. — Cas ou V depend des limites. 


BUT DU CALCUL DES VARIATIONS. . 


752. Dans les questions ordinaires de maximum et de 
minimum, on donne la forme dune fonction d'une ou 
de plusieurs variables, et lon cherche les valeurs qu il 
faut attribuer aux variables pour que la valeur de cette 
fonction diminue ou augmente lorsqu’on modifie tres-peu 
ces variables. Dans le calcul des variations, on considére 
une intégrale définie 


#5 dy @y 
i. f(s Zs Ta) 


0 


4) 


ui renferme sous le signe une variable x, une fonc- 
te) b) 


e 


tion inconnue y de cette variable, et quelques-unes de 
ses dérivées, ct il faut trouver pour y une fonction f (x) 
telle, que cette intégrale ait une valeur plus grande ou 
plus petite que si on remplagait f(x) par une fonction 
dune forme tant soit peu différente, On voit en quoi les 
nouvelles questions se distinguent des questions ordi- 
naires, Ce n’est pas une ou plusieurs valeurs particulisres 


CINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 259 
qwil faut déterminer, mais la forme dune certaine fonc- 
tion inconnue ou la valeur de y en fonction de x. 

753. Plusieurs problémes de géométrie conduisent a 
chercher le maximum ou le minimum d'une intégrale 
définie. En voici un exemple : Etant donnés deux points * 
C et D, trouver une courbe plane CMD telle, gue la 
surface de révolution engendrée par le mouvement de 
cette courbe autour d'un axe situéOx dans son plan soit 
un maximum ou un minimum. 


Fig. 199. Soit S la surface : en posant 
| ‘ OA 2a, QB Sx, onaura 
got ee 
a 


eras 
Saar [ age 


| 

bal 
7 Ae B  @ J) faut done trouver une fonc- 
tion f(x) telle, qu’en faisant 
y =f (x), Vintégrale précédente ait une valeur plus 
grande ou plus petite que toutes celles qu’on obtiendrait 
en modifiant infiniment peu la forme de Ja fonction f(x). 


754. La marche a suivre pour résoudre ces nouvelles 
questions diflere peu de celle qu’on a déja suivie dans les 
questions ordinaires de maximum et de minimum. On 
suppose connue la fonction cherchée : on la fait varier 
infiniment peu, et l’on exprime que la valeur de l’in- 
iégrale augmente si cette intégrale doit étre un minimum, 
ou diminue si elle doit étre un maximum. Mais pour arri- 
ver a ce résultat il faut trouver Jes accroissements ou 
variations dey et des quantités qui en dépendent, quand 
on change la fonction de x qui exprime y. 


DEFINITIONS ET NOTATIONS. 


755. Soit 
Péquation dune courbe CMD, et 


Ij. 


260 COURS D ANALYSE. 

Péquation @une autre courbe C’ND' qu’on obtiendrait 
en faisant varier extémement peu la fonction f(x). Sil’on 
appelle dy Vaccroissement de l’ordonnée MP quand 
on passe a la seconde courbe, 
Pabscisse restant la méme, on 
aura 

dy = NP — MP, 


ou dy = F(2)— f(z). 


Cette différence dy est ce que 
Von nomme la variation de Vordonnée ou de la fonction. 
On voit par la que la différentielle est l’accroissement 
de Vordonnée quand on passe du point M a un point in- 
finiment yoisin sur la méme courbe, tandis que la varia- 
tion est Vaccroissement de cette méme ordonnée quand 
on passe du point M aun point infiniment voisin sur une 
courbe infiniment peu différente de la courbe donnée. 


756. On raméne les variations aux différentielles en 
regardant y comme une fonction de x et d'un paramétre 
arbitraire ¢. Soit 

Ly Sy est), 
et supposons que 9(a, ¢) devienne f(a) pour une cer- 
taine valeur de¢, et que pour une valeur peu ditlérente 
t-+dt, cette fonction devienne g (x). En appelant dy l’ac- 
croissement infiniment petit de y, lorsque ¢ recoit l’ac- 
croissement Of, on aura . 


dy 
OV Oe 
) dt ; 


Si au contraire / reste constant, on a 


Ainsi dy et dy sont les différentielles d’une méme 
quantité; mais dy est la diflérentielle de y, considérée 
comme fonction de #, x restantla méme; tandis que dy 
est la différentielle de y, considérée comme fonction de x, 
tne changeant pas. 


CUINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 26% 

757. Il est souvent nécessaire de faire varier a la fois 
w et y, quand on passe de la courbe proposée a Ja courbe 
infiniment voisine. On représente alors par dx et par dy 
les accroissements, d’ailleurs arbitraires, de ces deux 
variables. On peut, sans établir de liaison entre ces ac- 
croissements, regarder x et y comme des fonctions d’une 
variable indépendante u, et dun certain parametre ¢: soit 

L= Hu, t), you, t). 
On supposera ensuite que pour une valeur particuliére 
de t, parexemple t= 0, y devienne ane certaine fonc- 
tion de x, f(x) et que x devienne une fonction quel- 
conque de u, f(w). On aurait done 
e(es.ov—S (2) Wi uo) maf Fwy 

En faisant ensuite varier ¢ dune maniére continue, a 
partir de o, la forme de la fonction de x, représentée 
par_y, changera insensiblement. 

Pour avoir les variations de x et de _y, on multipliera 
par dt les dérivées de o (u, ¢) et de Y(u, ¢) par rapport 
at, et on aura 


au lieu que, si laissant 4 ¢ une valeur constante on fai- 
sait varier uw, on aurait 
an Bayy dy = a du. 
du ; du 
758. Lorsque x et y prennent les accroissements dx 
et dy, toute fonction U, qui dépend de x, dey, et d’une 
ou de plusieurs dérivées de y par rapport ax, prend un 
accroissement correspondant AU. On appelle variation 
de U la partie de AU qui ne dépend que des premiéres 
puissances des variations 0x et dy. 
Or, d’aprés la formule de Taylor, ona 


Tina Uh dali Sen Uae 
dx apie dixdy Aic dy* 


362 COURS D ANALYSE. 


On aura done 


Si on considére x et y comme des fonctions d’une va- 
riable indépendante wu et d’un paramétre ¢, on aura 


dU rao Doak , \ . yea ¢ 
ore désignant la dérivée, par rapport a ¢, de U considérée 
a 


dy 
: dy — dx e 
comme fonction de x, y, = aa th eb. ces derniéres 
Ss x x 


quantités comme des fonctions de t. 


759. On appelle variation seconde dune fonction U, 
la variation de JU : on la désigne par d?U. La varia- 
tion de cette derniére est appelée variation troisiéme de 
U et se désigne par 0*U: et ainsi de suite. 


THEOREMES SUR LA PERMUTATION DES SIGNES 


d xr 0, fea. 


760. La variation de la différentielle dune fonction 
de x est égale ala différentielle de la variation. 


En effet on a (758) 


aU 
“du 
od Us ie duodt, 
dU 
me 
gO du dt. 


Done é : 
Od ="d.0Us 


ce quil fallait démontrer. ps 


CINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 263 
761. On conclut de la 
3.2U =d?.du, 
puisque 
0.€@U=8d.dU =d.dsdU=d.d.9U, é 
et généralement 
gn d"U — d' ou. 
: j 4 
762. Réciproquement, on peut aussi intervertir l ordre 


des signes 0 et aK , 


En effet, soit 


Uf Vdz; 


0 


4 E ; 
sOlent uy et uw, les valeurs de la variable indépendante u 
qui correspondent aux limites x, et x; : on aura 


xy uy, d. 
ih Vdx = ib V— du. 
x, - du 


0 


Supposons maintenant que t se change en t-++ df: on 


aura 
M4 de 
sU= af ‘eas 
ut, du 


Puisque les limites wo et u, sont indépendantes de la 
variable ¢ a laquelle se rapportent les différentiations in- 
diquées par la caractéristique J, on peut différentier sous 


le signe f et Von aura 
* 


sus (vii) du; ; 
du 


mais WU ne variant pas avec t, ona 


a(v =) a O(Vda) 


du du 


et si l'on opere Vintégration par rapport a wx, il vien- 


264 COURS D ANALYSE. 


SU 2 “8(Vdz), 


0 


x, a, 
af Vade =I 3(Vdz), 
Ly x 


0 


dra 


ou bien 


ce qu il fallait démontrer. 


VARIATION D UNE INTEGRALE DEFINIE. — CAS OU LA FONC- 


TION SOUS LE SIGNE a) NE DEPEND PAS DES LIMITES. 


Cy 


763. Proposons-nous de trouver la variation de l’inté- 


Tesh “Sil. 


0 


grale définie 


ou V désigne une fonction quelconque de x, de y et d’un 
certain nombre de dérivées de y prises par rapport a x. 
Pour simplifier, nous supposerons que le nombre de ces 
dérivées se réduise a deux : soit 


dy 
a pie 
V=f(2,y, P>)s Be? Neca eres 


D’aprés le théoreme démontré (762), on a d’abord 


(1) su = ['3(vae, 


Mais 
0.Vdx =90V.de+V.3s.d%x= DV. dzaaV don. 


Or on a en général 


[ ¥a00= Via— feed +6. 


Done, si l'on appelle (V dx)q et (Vox), les valeurs de 


7 n oes. ae oan B) i 
Vdx pour x = x, et pour x = x, et si l'on pase, pour. 


CINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 265 


(Vix)! =(Vd2), —(Vdx),, 
on aura 


(2) fo vase= waz), — ff “dad. 


0 0 


Substituant cette valeur dans l’équation ,(1) qui revient a 


sus f (8Vdx + Vdézx), 
il en résultera 
(3) éU== 4 Vox); a (OVdz — dxdV). 
Par cette premiere transformation, la fonction V wentre 
plus sous le signe is que par sa variati6én ct par sa diffé- 


rentielle. 


764. Posons maintenant 


dV = Mdx +- Ndy + Pdp + Qadq, 
0V=Modxr+Noy+ Pdp+Qdq. 


Portant ces valeurs dans |’équation (3) et remplacant 


dy dp dq : 
Gn) de de bot Px de Oo il vient 
(5) 


x, 
f+ [N (dy—pdx)-+-P (dp—qdx)+Q (dg—rd.x) | dz. 


On voit que la fonction V n’entre plus sous le signe d’in- 
tégration. 


765, Pour simplifier encore cette expression, posons 


(Go? omdy —poe, 


266 COURS D ANALYSE. 


® représentant la différence des ordonnées qui corres- 
pondent, dans les deux courbes (755), a l’abscisse x + dx : 
on aura 


dw = ddy — pdix — dpox, 
ou 


dw =ddy — pddx — dpdz. 
Mais, a cause de dy = pdx, on a 


Ody = pddx + dpdx = pddx + dpdz, 


donc 
dw = dpdx — dpdx, 
dou 
dw 
— = = gon. 
(7) dx dp qox 


On trouvera de la méme maniére 


a 
(8) ¢ = 8q —rée. 


dix 


On peut donc mettre |’équation (5) sous cette forme 


oe “1 d i 
(9) 3 f Vie = (Vda), +f (No+ P92 -+Q5%) de. 
x x, z hg 


nN) 


766. On peut encore simplifier le second membre de 
4 2 
cette égalité et faire sortir du signe J les dérivées de la 


fonction arbitraire ». On a, en intégrant par parties, 


esi ip 
[rGa= Po — foGae. 


De méme, en intégrant deux fois par parties, 
‘ ‘ 


17% l FQ 
{a = ea a. a) aU 4 fw Quin. 
: av’ : ee 4 


dx? 


CINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 267 


Substituant ces valeurs dans l’équation (g), on aura 


; Syst at dw |! 
0 Vde = peas ms 
(10) a bis | vox + ( ae +02 | 


0 
Tht aP i. 'Q: 
N— — + — d 
iy E ( oe oe 


n) 


2 


dP d i 
formule dans laquelle oe = sont les dérivées de P et de 


Q, par rapport a x, en considérant y, p, g comme liées 
a x, au moyen de l’équation inconnue’ y = f(z). 
En posant, pour abréger, 


(11) ra|var+(p— Bo + Qe]. 


: dP a@?Q 
(2) ayy ie ae 


la formule (10) pourra s’écrire plus simplement 


, es, a, 
(I) a Vde = + { Kodz, 
2G Ly 


0 


ou bien 


(1) of Vado =r ‘(Kay —K pdx) dex, 
ZX, vy 


0 


puisque lon a w= dy — pdx. 


767. On peut mettre I sous une autre forme, en rem- 


Nl  laatal 
Pp acant @ et he par es valeurs 


o=dy—poe, 
A Sip gia 
x : 
Tl vient alors 
(| dQ’ 1) ais 
—- — oe. ais =. 0 —— \dy Odp 
4 aed By ( aie Qa bat (P aX } J FF I ()) 


COURS D ANALYSE. 


) 
D> 
oo 


CAS OU LA FoNncTION V RENFERME DEUX FONCTIONS DE «. 


768. S‘ilentrait dans V une autre fonction z contenant 
x et quelques-tines de ses dérivées, on obtiendrait la varia- 


x, 
tion de if Vdx par un calcul analogue au précédent. 
a 


Soit 


Chin Sy dz az 
eee Gree dike Zy ant dx? 


ay Bre 
of Vidi Pe, f (Kw + K’w’) dex, 
x ar 


0 


on aura 


en posan t 


dz fo WERE , 
=—— 10) 
da P> dx’ ) 
dV ay dV 
—— = 2 Sey 2 Sal)! 
dz ‘ dp’ ; dy! Q; 
© w= )2—p' sa, 
dP’ d?Q' 
K' = N — 5 
‘ dx dx? 


Quant & la partie désignée par P’, on Vobtiendrait ev 
ajoutant a P Jes termes qui résultent du changement des 
guantités P, Q, p,... en P’, OQ’, p’.:.-daus l’expres- 


sion (11) du n° 766, 


CAS OU LA FONCTION V DEPEND DES LIMITES DE 
L INTEGRATION. 


769. Revenons au cas oti la fonction V ne contient 
qu'une seule fonction de x, mais supposons maintenant 
quelle dépende des limites x} et x, de Vintégration. Il 
faut, dans ce cas, ajouter ala variation de Vintégrale les 
termes qui proviennent de la variation de ces limites, sa- 


CINQUANTE-NEUVIEME LEGON. 269 


© 


voir 


ice V ei eg avin dV 
— 02) + — oxy Se SSS ise = oq, dx 
dy dp dqy 


(dV dv dV dV 
Lali 9 pail a —- dq, \ dx. 
+f as x get es dpi Pe oy.) de 


0 


}, east Ay Ae S 
Mais comme 0X, A7o,---, OX, Jy¥y,.. 4 sont des con- 
stantes dans l’intégration relative 4 x, on peut écrire sous 


la forme suivante 
dV TV: ah lV 
Os [ Sade oe are ff Se anche f de... 
vx, dx, zy dy, 4 L, dx, 


les termes quil faudrait ajouter 4 I’. Les intégrales 


“dV dV : : 
— dx, —- dx,..., ne contiegnent plus rien 
eiaey a dy 


qui dépende des variations. 
On compléterait de la méme maniére la valeur de 


Fy 
fe) ‘i V dx, si V contenait deux fonctions, y, z avec les 
zy 


dérivées de ces fonctions, et leurs valeurs aux limites. 


270 COURS D ANALYSE. 


SOIXANTIEME LECON. 


Suite de la variation d’une iniégrale définie. — Autre moyen d’obtenir la 
variation d’une intégrale définie. — Maximum et minimum dune inté- 
grale définie — Conditions relatives aux limites.— Cas ot la fonction V 
contient deux fonctions de x. — Applications. — Ligne la plus courte 
entre deux points, — d’un point 4 une courbe, — entre deux courbes. 


AUTRE MOYEN D OBTENIR’ LA VARIATION D'UNE INTEGRALE 
DEFINIE. 


770. Les calculs par lesquels nous venons d’évaluer 
la variation d’une intégrale définie peuvent étre modifiés 
dans les applications. 

On a obienu la formule 


v, vy 
af Vae= f 0(Vdx). 
Bay x, 


Aprés avoir remplacé dans V, qui est une fonction de a, y, 
dy 

dx 

prendra la variation de Vdx en considérant x, y, dx, 


a0 Riss dy 
p et gq, ces deux dernicres quantités par Pay > on 
Bs by 


d \ , 
dy, d “comme des fonctions du paramétre ¢. Le résultat 
AX 


contiendra, sous forme linéaire, les variations dx, dy 
et ddx, ddy,..., ou les différentielles ddx, ddy,.. 
Comme on doit ensuite intégrer, par rapport a x, on fera 


sortir du signe f au moyen de l’intégration par par- 
ties, les différentielles des variations dx, dy, de sorte 


quwil ne restera, sous le signe, que ces’ variations multi- 
pliées par des quantités qui en sont indépendantes. he 


i ‘| 


SOIXANTIEME LEGON, 271 


résultat sera de la forme. 


Gon ae 
(IL) af Vier ff (Hdx+ Kody )dz, 


0 
H et K étant des fonctions connues de x, y et des déri- 
vées de y, mais ne contenant pas les variations de ces 
variables. Si l'on compare ce résultat avec celui qu’on a 


trouvé plus haut(766) 
f 


ey ry 
(1) af Vaesr f (Kdy—Kpode) dz, 


0 
on en conclut que T et K doivent étre’ les mémes dans 
les deux expressions, et l’on a identiquement 


H= — Kp. 


77t. Le calcul qui a donnél’équation (J) n’aservi qua 
mettre en évidence cette relation. Dans les applications, 
on suivra la marche qui a donné la relation (II), sans 
passer par l’intermédiaire de la quantité auxiliaire » et 
sans recourir aux formules générales (766). 

Si lon ne faisait varier que y sans faire varier x, la 
fonction » se réduirait a dy et l'on trouverait 


zy 7 Ry 
af Vdx a+ f Koydz, 
xr ro 


0 
I” se déduisant de I, par la suppression des termes qui 
renferment 0x, et dx. 
Si Von faisait varier x sans faire varier y, on aurait 


a ah 
af Vier f Hoxdx 
ae as 


0 0 


arf ‘K pdedz, 
L£ 


0 
I” étant ce que devient I’ quand on y fait dy, =o, 
Oy = 0. 


772. Les mémes remarques s’appliquent au.cas ou il 
entre dans la fonction V une autre fonction z de x avee 


2.79. COURS D ANALYSE. 
ses dérivées p’ et q’. On arriverait a une équation telle 
que 
ry ca 
af View f (Hdx+Kody+K'dz) dx 
x T 


0 
Mais la marche suivie pour trouver la relation (IL) don- 


nerait encore 
o[ varor +f [K (0y—pdx)+ K' (dz—p’d2)\ dz, 


et ces valeurs devront étre identiques. Il faut done que 
Yon ait 
H= —(Kp+ K’p’). 


Sy 


MAXIMUM ET MINIMUM D UNE INTEGRALE DEFINIE. 


773. Proposons-nous maintenant de déterminer la ya- 
leur de y en fonction de x qui rendra l’intégrale 


x, 
U sii Vdx 
x 


0 


un maximum ou un minimum. Pour fixer les idées, sup- 
posons que U doive étre un minimum et soit y = (2) 
la fonction cherchée. Il faut qu’en donnant a x et ay 
des accroissements arbitraires et infiniment petits dx et 


vw, 
dy, l’aceroissement correspondant de Vintégrale f Vax 


soit constamment positif, quels que soient les valeurs et 
les signes de dw et dedy, Or laccroissement de cette in- 
tégrale se compose de deux parties. Si lon pose 


AU=<dU-+,, 


la premi¢re partie JU renferme les variations dx, dy, 
dp, 0q au premier degré et sous forme linéaire; la se- 
conde partie contient les puissances de. ces variations su- 
périeures a la premiere et leurs produits. Quand JU n'est 
pas nulle, le rapport de. ¢ a JU a pour limite o. Done si 


SOIXANTIEME LEGON. 273 
l'on suppose dx et dy infiniment petites, le signe de AU 
sera le méme que celui de dU. II faut done, pour'que U 
ait une valeur minimum, que l’on ait )U=o: ear au- 
trement, en changeant les signes des variations 0x et Oy, 
sans = alae leurs valeurs absolues, le signe de dU et 
par conséquent celui de AU serait changé et U ne serait 
pasun minimum. Ainsi ~ f 


OU==.0 f 


est la condition du minimum; c’est aussi celle du maxi- 
mum, car la différence AU doit aussi, dans ce cas, étre 
toujours de méme signe, ce qui née pourrait avoir lieu si 
Ja variation de U était différente de o. 

La condition JU =o nest pas suffisante oe aii y 
ail Maximum ou minimum. En effet, d’ apres la série de 
Taylor, on a 


Nak SR initay SE Uta 
Te2 I 


si OU est nuile, le signe de AU dépendra de celui de d?U 
pour de petites valeurs de dx et de dy. Par conséquent, 
si 0°U reste toujours positive, lorsque les variations dx 
et dy changent d'une manieére quelconque, tout en restant 
infiniment petites, U sera un minimum. Si, au con- 
iraire, 0°U reste négative, quels que soient dx et dy, 
U sera un maximum. Enfin U ne sera ni un maximum ni 
un minimum si 0?U peut changer de signe. Mais on est 
souvent dispensé de cet examen par Ja nature de la ques- 
tion, qui indique clairement Vexistence d’un maximum 
ou d'un minimum. 


774. L’équation dU = 0 revient a 


x, 
{1) r+ Kodc=o. 
Aged 


0 


Je dis que cette équation entraine les deux suivantes 


(2) D0.) alv=s0: 
iO 


ios) 


and COURS D’ANALYSE. 

Et d'abord la fonction K doit étre nulle. En effet, sup- 
posons qu'il n’en soit pas ainsi. On peut, pour chaque va- 
leur de x comprise entre 2 et x,, changer a volonté les 
valeurs de dx et de dy quisont arbitvaires, et conséquem- 
ment celle de » ou dy— pdx, en supposant constantes 
Jes valeurs de dX, O70, Opo, 0X1, 971, Op, qui sont 
relatives aux limites x et x7. Mais le terme I’, qui ne 
contient que les variations relatives aux limites, resterait 


. 2h 
constant, tandis que Vintégrale if Kw dx, contenant la. 


fonction arbitraire , ne pourrait pas toujours conserver 
la méme valeur quelle que fit cette fonction », et par 
coum cat Véquation (1) ne serait pas toujours satisfaite. 
si K n’était pas zéro. 

On peut d’ailleurs établir ce point de la maniére sui- 
vante. Comme w est une fonction arbitraire, en la choi- 
sissant de maniére qu'elle ait le méme signe que K pour 
chaque valeur de x, sila quantité finie I’ est positive ou 
nulle, ou qu’elle soit de signe contraire 4 K, si T est 


: x, ; 
négative, la somme TP + [ Ko dx serait positive dans 


Vr, 
le premier cas, négatiye dans le second, au lieu d’étre 
nulle. Tl faut done qu’on ait K = 0, d’ou résulte aussi 
P60, 


CONDITIONS RELATIVES AUX LIMITES. 


775. Dans le cas ob V ne contient que x, y, p et q; 


Péquation 
Keio; 
dP a 
ou N ——-+ ESQ = 0% 
ax dx? 
= d?y d'y 
est du quatrieme ordre, puisque - contient — ou — 


On: da’ 
Il faudra i intégrer cette ee et Von, aura un résul- 


tat dela ee 
9 — fives G; Cy ve Git), 


SOIXANTIEME LEGON. azo 
contenant quatre conslantes arbitraires. Pour les déter- 


, 


miner il faut avoir égard 4 l’ équation 
== 0, 


aise aux limites de Pintégration. Mais il est néces- 
saire de distinguer plusieurs cas. 

Silon se donne les valeurs de x, y, py g aux deux 
limites, les variations de ces quantités étant nulles a ces 
limites, l’équation I =o est identiquement satisfaite, 
et si l’on représente par f! (a2, C, C’, C’, C”) la dérivée 


de tier eG 2G" 6 2on aura 


n= —f (x5, A Cc’; ‘ ce”, Gey 
me Va — f’ c Lis C Ce Ce. CR 
e! 
Sov | ba =f (at C; 4 (OH (Gus 1; 


Pi — £2 Cey5h" Gs (CA Cx , ©”), 


c’est-a-dire quatre équations qui tat a0 les quatre 
constantes inconnues. hg 

Si l'une des six quantités 2%, yo. Po, Xt, Y1> Pt 
reste arbitraire, p, par exemple, léquation I =o se 
réduit 4 Q, = 0, ce qui, avec les équations (1), fait cing 
équations pour déterminer Jes quatre constantes et la va- 
leur de p,. : 
Si l’on avait entre les valeurs de x, Ys P, velatives 
aux limites, une équation 


(2) P(X Yor Por My Ny Pi) = 09, 
on différentierait cette équation par rapport au paramé- 


tre t, et on aurait 


d 
E32, - 


dg do dy 
ax, ay, dp, dr dy, 


do. 
ay + Top + St de, + dy yi = opi—o. 
dp, 

En portant la valeur de dp,, tirée de cette équation, 
dans l’équation T = 0, il faudra égaler a o les coefficients 
de dx,, 97, Opo) Px, et Oy,. On aura donc cing équa- 
tions qui, réunies aux équations (1) et (2), suffiront pour 
déterminer les dix inconnues C, C’, C”, C”, x9, V5 Pos 


1, V1y Pr 
18. 


270 COURS D ANALYSE. 

Ces exemples suffisent pour montrer comment on de- 
vrait opérer si lon avait deux ou un plus grand nombre 
d’éqnations relatives aux limites. 


CAS OU LA FONCTION Vv CONTIENT DEUX FONCTIONS DE ZX. 


776. Supposons maintenant que la fonction V_ con- 
tienne deux fonctions y et z de la variable x. On aurait 
alors 


af 


0 


an os 
ae (Ko + K’a'\dx =o. 


Cette équation équivaut aux suivantes 
(2) "07 KG ==0 50 OF 


En effet, » et ’ sont deux fonctions de x arbitraires et 
indépendantes l'une de l'autre, et’ ne contient que les 
valeurs des variations relatives aux limites de l’intégrale ; 
donc, si Ket K’ wétaient pas nulles, en Jaissant cons- 
tantes les valeurs des variations relatives aux limites, on 
aurait [’ = 0, tandis qu’on pourrait faire varier et o! 


vr, 2 3 
de telle sorte que Vintégrale ‘A (Kw + No’) dx ne fat 
/x 


pas égale a0. On doit done avoir 
Kon) 0, 


et par conséquent 
Ci=0. 


Les deux premiéres équations déterminent y et z en fone- 
tion de x. La troisiéme sert A déterminer les constantes 
introduites par l’intégration des deux premiéres. 


TTT, Nous avons supposé que y et z étaient des fonc- 
tions indépendantes l’une de l'autre. S‘il existait entre 
elles une relation 


(1) as, "¥,. 2) 0, ‘ 


les variations dy et dz ne seraient plus indépendantes. 
i ~% 


SOIXANTIEME LEGON. 29 


| 


On doit avoir, dans ce cas, 


Lee BALA or 
aay —9)2, == 
oe ee o8 


équation que lon obtient en différentiant I’ équation (t) 
par rapport a ¢. Remplacons dy et dz par leurs valeurs 


OF = pot + iv, dea poh -- wo! 


il vient y 
LF 1F dF 
= aan (p os aia pees eee 
ou 5 
‘dF dF tf dF pee d¥ ee 
esi ae HR te df ae Oa 
ou entin Py 
; dF AEE: 
(2) ne + ae =O 
carona 


dF dF oe AS 

— -+ —p ——p 

dx dy / dz 

en différentiant ’équation (1), par rapport a x. 
De Péquation (2) on déduit 


dF 
; dy 
Oy Sa — (a) 
d¥ 
dz 
el, par conséquent, 
aE 
x, x, aye 
) Vide =P + KK ee. 

Ce B dF 
: dz 


Pour que cette variation soit nulle, il faut que Von ait 


1 
gabe gta 0. 


en, dy 


Cette derniére équation et Péquation (1) feront connai- 


278 COURS D ANALYSE. 
tre y et z en fonction de x. Quant a l’équation IX = 0, 
elle servira a déterminer les constantes. 


778. On peut aussi éliminer lune des quantités », 0 
au moyen dun facteur indéterminé. En multipliant par 2 
Péquation (2), et ajoutant le produit a la fonction qui 


2, 
est sous le signe ii dans l’expression de af Vdzx,on a 
ry 


(Ko + K'o') dz 


af Vaexr+ (| dF av , 
5 A ay @® —- ee dx 9 
ou bien 
dF 
ia x, (« +h 7 ) o 
a) Vida — +f oe dx. 
*o : x, = (x +> =) o! 
. dz 


On profite de Vindétermination de A pour faire dispa- 
raitre w’, en posant 


dF 


; ia é KZ 
(3) se dz 


= 03 


? 


et comme @, qui reste encore sous le signe f est tout a 


fait arbitraire, il faut égaler 4 o la quantité qui le multi- 
plie, ce qui donne 
abs 
(4) K re ea: 
dy 
En éliminant A entre les équations (3) et (4), on obtient 
Péquation déja trouvée 


d¥ dF 
K — — K’ — 
K 7 ax ) 


779. Les différents cas qui viennent d’étre examinés 
montrent la marche a suivre dans le cas le plus géneé- 
ral, c’est-a-dire dans celui ot la fonction V contiert un 
nombre queleonque de variables liées entre elles pay des, 


SOLXANTIEME LEGON. ; 279 
equations données; les valeurs des variations qui se rap- 
portent aux limites de Vintégration devant satisfaire a 
certaines relations données. Passons maintenant aux 
exemples. 


LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS. 


780. On demande. ‘- ligne la ee courte entre deux 
points A et B, et située dans un plan qui contient ces 
deux points. 

Prenons deux axes rectangulaires dans ce pian et soient 
Xo, Yo: L1, ¥1 les coordonnées des points A et B, Dans 
cet exemple on doit avoir 


z, ea ° 
of Vit p dx = 9. 
x 


z 
Il faut maintenant poser 


Ko No eo 
eF idx dx 3 


mais (764) 
N2—20%3 bee as 


Done on doit avoir 


d p 
1 — FS 
) zs) 


7) 
ou pie BS ==, GONSL:, 


ou, ce qui revient au méme, 
B= AG 3 
dou 
(2) , ye Cr+, 

C et C’ étant deux constantes. D’ ailleurs il suffit que Pe- 
quation K==0 soit satisfaite, puisque les valeurs de x et 
de y, relatives aux limites, étant fixes, les variations 
OX, OV, Cty, 994) sont nulles, et, par suite, on a 


280 COURS D ANALYSE. 


identiquement I’ =o. La ligne cherchée est donc une 
ligne droite; les constantes C et C’ se détermineront par 
les équations 


Ny ce Oty tC. 7 p= iC, + Ee 


LIGNE LA PLUS COURTE D UN POINT A UNE COURBE PLANE. 


781. Soient A le point donné et BB’ la courbe donnée 


Fig, 131. située dans le plan xOy, et 
N | ayant pour équation 
y at ; 
M . (1) cet (2). 
A Ne : 
*s Soit AB la ligne la plus courte. 


Lextrémité A de cette ligne est 


fixe; l'autre extrémité peut va- 
rier de position sur la courbe BB’. 
En conservant les mémes notations que dans le cas 
précédent, on arrivera encore a l’équation 
(2) = Cg 4-'C.; 
et en conséquence la ligne cherchée est encore une ligne 
droite. 
Il faut maintenant déterminer les constantes C et C’. 
Or ona 
On = 0, Ooi 0» Q = 03 


mais les variations 0x, et Oy, ne sont assujetties qu’a la 
seule condition que le point (x, -+d2,, y,; + 01) soit 
sur lacourbe donnée. On a done 


yi = V(x), 
d’ou 
Oh es i ep ae 
et comme 
da, +pioy,=0, ¥ 
on en conclut 


i+ pi’ (x) =0, by 


SOIXANTIEME LEGON. 201 


ou 
(alee 1+ GY! (x,) = 0, 
puisque 
Puce Gs 

On déterminera ensuite les constantes au moyen des 
équations “ 
; Jo Ca. + C, 1+ Cl’ (2z,) = 0, 

cS Ca, - C., Hees (wei): 


I] résulte de léquation (3) que da ligne la plus courte 
entre un point et une courbe est une droite normale a 
cette courbe. ; 


e 


LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX COURBES. 


782. Soient 
(1) x =o(z), 
(2) y=¥(z); 
les équations de deux courbes situées dans le méme plan. 
En raisonnant comme dans le cas précédent, on trouve 


Fig. 132. que la ligne cherchée est encore 
une ligne droite, 


(3) y= C2 = CF 


mais la détermination des con- 
stantes ne se fait plus dela méme 
maniére. Dans ce cas 0X, Jyo, 
dx,, Oy; peuvent varier, avec 
les conditions que le point A’ (x) + 9%, Yo +2 Yo) soit 
sur la courbe (1) et le point BY (a, +921, yi + dy,) sur 
la courbe (2). Mais Péquation l= 0 se réduit a 


O} 


OX, +4 V1 Oy, ’ 0.2%, ss Po JY SAA 


Vit p. Vi+p? 


a ’ 


282 COURS D ANALYSE. 

qui ‘se change, comme dans le cas précédent, ‘en celle-ci 
(4) da, [1+ Cv’ (x/)]—dx, [1+ Co’ (a%)|=0, 
a cause des équations 


Yo=9(%), Yi=H(x)- 
Or les variations dx» et dx, étant indépendantes l'une de 
autre, l’équation (4) se partage en deux, 


(5) eye (Sia 
os 1+ Ca! (2%) = 0, 
qui réunies aux suivantes 


Y= Cx,+C’, Vi Fla 
aa = Cac, == (2), 


déterminent complétement les constantes C et C’ et les 
coordonnées xy, ¥o, X1, yi des extrémiteés de Ja droite 
minimum. 


Les équations (5) font voir que la ligne la plus courte 
est une normale commune aux deux courbes proposées. 


SOIXANTE ET UNIEME LEGON. 283 


SOIXANTE ET UNIEME LECON. 


Suite des applications du calcul des variations. — Autre maniére de résou- 
dre les problémes précédents.— Ligne Ja plus courte entre deux points, 
dans lespace. — Ligne la plus courte sur une sur face donnée. — Surface 


de revolution minimum. 


4 
AUTRE MANIERE DE RESOUDRE _LES PROBLEMES PRECEDENTS. 


783. Au lieu d’appliquer les formules générales, on 
peut opérer directement ‘comme ila’ été expliqué au 

Bo i LO. Dans les trois problemes qui précédent on doit 
avoir 


(1) ef de + dy? = 0; > 
x 


0 


mais en posant ds = dx? + dy*®, on a 


*dzddx + dyddy 
= > 


‘Ode + dy? = = 
J Xo ds 


al 


et comme l’intégration par -parties donne 


dx dx dx 
doe = — dr — Siz 
{< Zs ds ae fozd ds’ 


d d if 
Day Bay — f aya 
dx Y ; 


l’équation (1) prend la forme 


Mais de Videntité ; 
= > ish ay? 
as —_ ek 
ds | vie ds 


abe = The dy Dyes 
Se pee d= 
ds ds ds ds 


on tire 


é 


284 COURS D ANALYSE. 
dou 
dg’ | ay 10 dy 


d — = — —a = — pd —- 


ds dx ds 


Par suite, pour que la quantité placée sous le signe d’inte- 


: zB : : : dx 
gration soit nulle, il suffit que Von ait d ~ 0. 0 
d 
ad = = 0. Supposons 
dx 
(3) d ies Or 
il en résulte 
J 
aS StS HO 
Vit p 
dou 
LS 
(Ae i es C, 
et 
(4) y=Czr 4+, 


équation dune ligne droite. 
784. Déterminons maintenant les constantes d’aprés 
la nature du probleme proposé. 
1°. Si les deux points (Xo, Yo), (X15 71) sont donnés, 
les variations des limites dx, dy, 0X%,, 07; sont nulles 
et Péquation T= 0 ou 
dx dy dz dy ; 
—da4+-—dy |) — | —ex 4+ — =o 
(5 ARAM ds Ae Z 
est salisfaite identiquement. Les constantes se détermi- 
nent par les équations 


yy Ont C, xy, = Cr,4+C’. 
2°. Sile point A (x9, yo) est fixe, et que autre point 
B (a, y1) doive se trouver sur une courbe donnée, 
(5) : y= 4(z), 


On a 
ON); =250, WO, Sand, 


SOIXANTE ET UNIEME LEGON. 285 
et Péquation P= o se réduita 


dx Sx, + dy,0y,= 0, 
ou tee” 


ce qui montre que la droite (4) est normale 4 la courbe 
(5), car de y,=(a,) on tiredy, =! (x,) dxy. 
Les constantes C, C’ et les coordonnées du point 
extréme B sont déterminées par les équations 
yo —Cxy+C’, 14+Cy'(2z,)=0, 
y= Ca, +O, y=$(r). 


3°. Enfin si les deux points A et B doivent se trouver 
sur deux courbes données 


(6) YHo(e) y=rv(e), 
on aura 
ce qui donne 
aE a i PS 
OX = @ (a) 02. 
L’équation T =o se réduit alors a 
(dx, + dy, v' (x,)| dx, —[da, + dy, 0! (a) | dx, 


et se partage en deux : 


ty 

+ 7 v(m) = 0, 
dy, 

bh. oH a8) — 0, 


parce que dx) et dx, sont des quantités indépendantes 
et arbitraires. On conclut de ces deux équations que la 
* droite cherchée est normale aux courbes données. 

Les constantes C et C’, les coordonnées x9, Yo, 24, 11 
des extrémités de la droite minimum sont déterminées 
par les six équations 

Yo Cat, yo=o(%), 14- Co! (a) = 0, 
7S Oe, a Oy 1 SV a), a COU a) = 0. 


286 COURS D ANALYSE. 


LIGNE LA PLUS COURTE ENTRE DEUX POINTS, DANS L ESPACE. 


785. Jusqu’a présent nous avons supposé qu'on cher- 
chait la ligne minimum parmi 
toutes les lignes situées dans un 
plan donné. Cherchons mainte- 


’ nant quelle est, dans l’espace, la 
ligne la plus courte réunissant 
les deux points A et B. 
Soient Xo, Yo, Zo les coordon- 
/ nées du premier point et 24, 7/1, 
LY lees 


z, celles du second. La longueur 
de Vare AMB sera représentée par 


peeved eee): 


Nous aurons done, dans cet sats 


Vida Vde o- dys dea 
dou 
dxddu + dyddy 4+- dzddz_ 


0.Vidza = cr ne 


et par conséquent, en intégrant par parties, 


Il faut maintenant égaler a o expression sous le signe f 


et comme les variations dx, dy, dz sont indépendantes 
et arbitraires, on aura 


SOIXANTE EY UNIEME LEGON, 


287 


~ Mais ces trois equations se réduisent A deux distinetes. En 


effet, de Videntité ° 


dx? dy? dz? 
— = 
ds? ds? ds* : 
on tire 
AG nls, (hye, hy. dz ie 
ds : ds ds ; ds ds : ds 7: 
aot, dx dy : 
done si Yon a d— =o, d—=o0,Zil-en résultera 
ds , ds 
dz 
d—=o0. 
ds as 
Des équations 
; : dy dz 
a Oy a 
ds “ ds 


on lire, par une premiere intégration, , 


dy dz ; 
——a ——a 
ds ty ids 
ou, ce qui revient au méme , 
dy dz : 
—— —=c 
dx dx > 
et, en intégrant de nouveau, 
(3) yeea+C, seece'x+C’, 


équations d’une ligne droite. 


786. Pour déterminer les 


faut distinguer plusieurs cas. 


constantes c, C, c’, C’, il 


1°, Si les points A et B sont donnés, les variations 
Oxo, 07o,---, sont nulles, et léquation =o est satis- 

faite. Les quatre constantes se déterminent en substituant 

les coordonnées des points A et B, dans les équations de 


la droite. 


2°. Supposons que les points A et B doivent se trouver . 
sur deux courbes IK, LN, ayant pour équations, la pre- 


288 - COURS D ANALYSE. 


miére 

(4) y=e(z), 2=¥(2), 
et la seconde 

(5) ii NE 2 Sy cea a eg 


l'équation T =o, formée au moyen de l’équation (r), 
se réduira aux deux suivantes, 


1 1 d 
| (Fan Poy + See | =O 
(6) ; C as ; 
| (2s aay 
we = ds? hee nee 


En effet, appelons dc, et do, les deux arcs infiniment 
petits AA’ et BB’, situés sur les courbes données, A’ DB’ 
étant une courbe quelconque infiniment voisine de la 
droite AB. On pourra mettre I’ sous la forme 

ARO Lally Oy sds a 
1p == = ~ 
| * ee Og “F ds Oo ae ds 0a 
(7) fdadx dydy | dzdz\ 
— da, (setee tse . 
ds 3a ds Oc dg 0a } ; 


/ 


Les facteurs entre parentheses ont des valeurs fixes, 
car ils représentent les cosinus des angles que la droite 
AB fait avec les courbes aux points A et B. Comme d’ail- 
leurs dao et dc, sont des quantités indépendantes l'une de 
Yautre, on voit bien que léquation [ = o entraine les 


suivantes 


fdxdoa dy dy  -dzdz 

a ae tings eae 
dx oma dy OY dZ0z 

(GRteetaE),= 9 


et ces équations, qui sont au fond les mémes que les 
équations (6), expriment que la droite AB est normale 
aux deux courbes. 

A cause des équations (3), on a 


dy dz 


SOIXANTE ET UNIEME LEGON. 289 


x 


et, puisque les extrémités de la ligne AB doivent rester 
sur les courbes (4) et (5), on aura 


Oey) Oats 
Ce, WY" (x, ) dx, 
OX oS PM OTs. 
OZpsery (ay) 0 ay. 
Les équations (6) peuvent donc se mettre sous la forme 
1+ co’ (x,) +c’ ¥’ (2,) Sut 
1 +c9! (a) +e! (14) =o, 
et, réunies aux huit suivantes, 


ois Cy By tC —-yin == 02, FG, 

Bhs Chas Zi clne = OF 

Yo = 9(2y)s Ji =P (xq, 

Sees Ue), Byrn Aone iN, 
elles forment un systéme de dix équations propres a dé- 
terminer les quatre constantes et les six coordonnées des 
points extrémes de la droite. 

3°. Supposons que les points A et B doivent étre sur 

deux surfaces données. On pourra encore mettre [' sous 
la forme (7), en appelant da, et do, deux arcs infiniment 
petits AA’, BB’, situés sur les deux surfaces; et comme ces 
déplacements des points A et B sont indépendants lun 
de V’autre, on aura encore 


dxéx dydy sa 
(5 ds'do * dsde}, ; 
fee ees) 
ds 3a ds de ds da), 
La premiére équation exprime que la droite AB est nor- 
male A une courbe quelconque située sur la premiére 
surface et passant par le point A: donc la droite AB est 
normale a la premiére surface. Cette droite est, par la 
méme raison, normale a la seconde surface. 
II. 1g 


‘ 


290 COURS D ANALYSE. 


Les coustantes et les coordonnées dex points A et B se 
détermineront comme dans le cas précédent. 


LIGNE LA PLUS COURTE SUR UNE SURFACE DONNEE. 
787. Soit 
(1) PF LS Nye. 2) 20 
léquation d’une surface courbe, et proposons-nous de 
trouver la ligne la plus courte AMB que I’on puisse tra- 
cer sur cette surface entre deux de ses points 
A (2%, Yo» By) et B(2,, wt) 2). . 
Toutes les courbes que l’on doit comparer dans cette 


question étant sur la surface (1), les variations des coor- 
données doivent satisfaire a ’équation 


dF dF dF 
——) ey SS = 
(2) dx a dy ‘Bas dz 


L’une des conditions du minimum est 


dx dy dz 
(o) K = dad = + byd2 4 bed T= oO. 


Mais de l’équation (2) on peut tirer la valeur de dz, et 
la porter dans l’équation (3), qui devient 


dF dF ‘ 
dx dx rats ay dy dz 
, — — —d— 1— — “¢ a 
Pr nda apap (oo  Saminer amis oe 
dz dz 


et cette équation, a cause de l’indépendance des variations 
dx et dy, revient aux deux suivantes 


/ dF 
‘dn dx dz 
ss aE Sas ae 
dz 
(4) iy 
dy dy dz 
De ae en 


dz 


SOIXANTE ET UNIEME LEGON. 29t 


Ona en outre l’équation de la surface, ce qui fait trois 
équations pour déterminer les deux fonctions y et z: 
Mais on doit observer que l'une des équations (4) est une 
conséquence de l’autre et de Péquation (1). En effet, 


ona ; 


| 


we ako. dk > 
de dy dz y 


ou bien, en désignant par dA la valeur commune de ces 
trois rapports, 


po ae 
d a woh 
ds dx 
d dF 
ya = cea y pt 
ds dy 
° 
Zz Fal Deeg 
d de aN: 
ds a 


Ajoutons ces équations, apres les avoir multipliées res- 


af daipadyimaz ‘ 
pectivement par Te? de? qe) Hous aurons 
dz dx dy ,dy dz dz dF dF dF da) 
tae eae acl yee SSS Ser —d — dz \— 
(Bags get pee ita ge hae ee ye | 


Or le premier membre est nul puisqu’on Vobtiendrait 
en diflérentiant l’équation 


(REDE cer HCY k dts re 


ek aes ef ; 
ds? ds? ds? 


d). : 
le coefficient de i dans le second membre, est aussi nul 
Si 


a cause de |’équation (1). Done Véquation (5) est une 

identité. Par conséquent l'une des équations (r) et (4) 

est une conséquence des deux autres. Il suffira d’en con- 

sidérer deux pour que la ligne cherchée soit déterminée. 

788. Les lignes les plus courtes sur une surface sont 

nommées lignes géodeésiques de cette surface : elles jouis- 
ig. 


292 COURS D ANALYSE. 


sent de cette propriété, que tous leurs plans osculateurs sont 
normaux a la surface. En effet, soit K le centre de cour- 


Fig. 134. bure de AMB au point M. 
. La droite MK fait avec les 
z en axes des angles dont les co- 
he . sinus sont proportionnels a 
A Kase 3 di dy dz 
0 1 ra Ay Ae dae See 
ee Dun autre coté la nor- 


male a la surface, au point 
M, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont 
proportionnels a, 

dF aE dF 

dx dy? dz 


Mais, d’apres les équations (4), ces trois dérivées sont 
proportionnelles aux quantités (6). Done les angles for- 
més par les deux droites avec les axes sont égaux, et la 
normale a la surface coincide en direction avec le rayon 
de courbure, ou, en d’autres termes, le plan osculateur 
en un point quelconque M, d’une ligne géodésique, est 
normal a la surface. 

Les constantes se détermineront comme dans le pro- 
bléme précédent, et lon verra de la méme maniére que 
sila ligne cherchée doit aboutir a deux courbes dennées 
sur la surface, la courbe AMB les coupera a angle droit. 

789. Il est bon dobserver que la propriété d’étre la 
ligne la plus courte entre deux points quelconques d’une 
surface peut n exister que pour une certaine portion d'une 
courbe. Par exemple, sur la sphere, le plan de tout 
grand cercle (qui est en méme temps son plan oscula- 
teur) est normal a la surface. Mais la propriété du mi- 
nimum apparticnt seulement aux arcs de grand cercle 
moindres qu'une demi-circonférence. 


SOIXANTE EY UNIEME LEGON. 293 


SURFACE DE REVOLUTION MINIMUM. 


790. Etant donnés, dans le méme plan, deux points A et 
B, et une droite CD, trouver une courbe AMB, située dois 

ce plan, et qui, en tournant autour de CD, engendre une 
<albesbl de révolution dont Vaire soit la plus petite pos- 
sible. , 

Prenons pour axe des x la droite CD, et pour axe 
des y une perpendiculaire a cette droite. Soient x», 7 
les coordonnées du point A, et x1, Fi celles du point B. 
La surface engendrée par AMB étant représentée par 

(7X 
oa yds, la question proposée revient A chercher le 
x 


0 


at 
minimum de f yds. Orona 
x 


0 


x, z, wy 
0 i Vaso 0 (yds) = aj (dyds +- y dds) ; 
x x x 


0 0 0 


6 


mais ds? = dx? + dy’, 
dou 

dsdds = dxaddx + dy ddy — daddx =r dyddy : 
done 


Ly ? a, 8 dx fe dy ; ‘ 
af iy dS ( [Bade + x Gaon + y Gaby) 


0 


el, en inlégrant par parties, 
- dx dy . 
af ys = (5 dnt y Gay) — (Gee +r ger) 
x ‘ 


0 d . 
mes i | aaa(r =) + dyd (= —d yds |: 


Ul faut égaler a zéro Ja quantité placée sous le signe | . 


e 


294 COURS D’ANALYSE. 


dans le second membre, ce qui donne 


@) a(yZ) =o, 
(2) a—d [y2\ =o, 


mais la seconde équation est une conséquence de la pre- 
miére. En effet, on a identiquement 


dx dy dy 
a(Z) =[«—a(> 9) |2, 


car cette équation revyient a 


dx dx dy dy ,ydy 
d —— ds a 
ds (x ds d. Gets ds g ae 9 
ou 


intaaae ye dn dep ay way 
BB eric aredl oak cece tnt ta )= 


conséquence des équations 
dx dy? — 
' ds? ds? " 
ed. dx d d 
ON : r Ly d Ly Ne 


1 = 
Sams as CLES: 2 


Il suffit done de considérer Péquation (1), qui donne 


> \ ; d 2 
dou rata ae 
dx? 


et en résolvant, par rapport a dx, 


cdy ; 
Vyae 


L’intégrale de cette équation est 


Net Vee 
ie 
ce 


es = 


SOIXANTE ET UNIEME LEGON. 299 
dou lon tire 


(3) yi eee PY EAS e 5 


équation d'une chainette (574, 2°). 

Les constantes c et c’ se déterminent comme dans 
Vexemple précédent. Si l’on fait passer V'axe des y par 
le-point le plus bas de la courbe, on a c= 0, et 


é 


f 
x 


c 


é 
e +e . 


Nilo 


Si les points A et B, au lieu d’éwre’ fixes, devaient se 
irouver sur deux courbes données, on obtiendrait encore 
une chainette normale aux deux courbes données. 


296 COURS D ANALYSE. 


SOIXANTE-DEUXIEME LECON. 


Suite des applications du calcul des variations. — Brachistochrone. — Re- 


marques sur l’équation K = o0.— Maximum ou minimum relatif. — 
Problémes sur les isopérimeétres. 


BRACHISTOCHRONE. 


791. Etant donnés deux points A et B, trouver la 
courbe AMB que doit suivre un point pesant pour aller 
du point A au point B dans le temps le plus court pos- 


sible. Cette courbe s’appelle la brachistochrone ou 
courbe de plus vite descente. 


Prenons une verticale quelconque pour axe des x, et 

Rig. 135. deux axes rectangulaires Oz et 

‘ Oy dans un plan horizontal 
Au 1 ¥  quelconque. Si Pon suppose que. 
le mobile soit parti du point 
cate A (20, Yo. Zo), Sans vitesse ini- 
ee Sn Uale, on aura, en désignant par 
V sa vitesse au point M(x, y, z), 


(1) V? = 2¢ (4 —2,). 


Mais s étant Pare parcouru, et t le temps écoulé, on a 


ds 
VYV=—> 
dt 

valeur qu'il faut prendre positivement, 


parce que l’are 
augmente continuellement avec le temps 


. Il en résulte 


ds ae 
We V 29 (2— as 

rye ds 
dou Rate o. | means 


On aura donc, en appelant T le temps nécessaire pour 
4 —¢ 


SOIXANTE-DEUXIEME LEGON. 297 
parcourir l’are AB, et x,, Vabscisse du point B, 


% lord rs 


I] faut maintenant chercher la variation de l’intégrale ¢ 


fi ds 
as psa 


' En posant - 
on aura pits 
bf xar= [(oxas + xaas) 
Mais 
iX=— =(# ni)? (82-9 bx,); 
dun autre cété, 
poe ttea 7; reap ieee = daz. 


ds ds 


Mettant ces valeurs dans léquation 


(3) 1 [ Xd=o, 
ona 
IN I -3 
aa f 5(2— 5) ds 


-2 dae ® z| d 
— (a2) * dads—X dia déy + —dbe =O; 
D ds ds ds 


Intégrant par parties, et faisant sortir du signe fies 
différentielles des variations, on a définitivement, 


[x (Gree et Day 4 Fae) | +iae, [ oe al ds 


0 


Olea x | aya xP) toed ee 
iL 1 or: d. ds 
by 


: ay 
0 a ad Ge — *) 


298 COURS D ANALYSE. 
Pour que la quantité placée sous le signe ‘, dans la 


deuxieme intégrale soit nulle, il faut égaler a o les 
coefficients des variations dx, dy, dz, ce qui donne 


I =e dx 
ee —ax,) “ds+d (x=) =O 


d : 
a(xZ) =—o0, 


dz ‘ 
ena 0. 
| ds ) 


Les deux derniéres équations sont suffisantes. En effet, 
« & 


ona 
dx dy sa dz ( dz 
d ( = Cale Nee xo 
xZ)\+2 ( aa Be ise eds 
eee as 
= z Co O, 
( thy at Xy) i 
car 
da © 4 22" dy A sy dz d ds u dx 
ds ds ds ds ds ds 2 2 
(2 — m) 
sa dX = Z =i, M8 =="0'. 
52 = 
(x — a) * 
{l suit de la qu'on aura 
_ ay 2 ng : 
aoe Giiect 4a ae Ce, 
ou 
I dy 2 i dz 
(4) Se ee Oe —— + = C'S 
Vr ruby ds Var — a, ds 
Mot Von déduit 
dy ¢ 
dz C’ 
et 
Cc , 
ee) Y= — 3 -+ CC’ 


SOIXANTE-DEUXIEME LECON. 299 


792. Cette équation montre d’abord que tous les points 
de la courbe sont dans un méme plan vertical. 


En remplacant ds par Vda? + dy® et C par - pour 
a 


Phomogénéité, on déduit de la premiere des équations (4) 


ef eS i 
ay = dz ne al 
J ax \/ 


Si lon prend le plan de la courbe pour plan des xy, et 
le point de départ A pour origine des coordonnées, on a 
X)=0, et Véquation différentielle de la courbe se ré- 
duit a yi Re 


(6) dy = dx Vee 


équation d’une cycloide dont le sommet est au point A, 
dont la base est horizontale, et dont le diamétre du cercle 


générateur est égal a a. 
En intégrant (6), ona 


1 Aa— 2x 
¥Y =-—a arc cos — 
2, a 


— Vax — x 


On déterminera la constante a ou le diamétre du cercle 
générateur en exprimant que la courbe passe par le point 
B (x,, 71). On peut aussi obtenir cette ligne par la con- 
struction suivante. Décrivons une cycloide quelconque 

Fig. 136. ayant son sommet en A et pour 
base AZ, et soit & le point ou 


l L 
Ne eZ y AB rencontre cette courbe. A 
| due cause de la similitude des deux 
B 


| cycloides, c et C étant les cen- 


| tres des circonférences généra- 
os trices qui correspondent aux 
»deux points 6 et B, les triangles ABC, abc sont sem- 
blables. Or 6, B et ¢ étant connus, il suffira pour avoir C 
de mener BC parallele a bc jusqu’a la rencontre de Ac 
prolongé. 

Le temps employé par le mobile pour aller de A en B, 


300 COURS D’ANALYSE. 


x 
‘ h I 1 ds ate 
est égal a —— — (791), en prenant Vorigine des 
2Vgdo ya 
coordonnées au point A. On aura donc, d’aprés I équa- 
tion de la courbe, 


I # Va dz 


2g Jo Vax— x? 2§ a 


f 


793. Supposons maintenant que les deux points A et B, 
au lieu d’étre donnés, soient assujettis 4 se trouver sur 
deux courbes données CD, EF’.On obtiendrait encore une 
cycloide AMB, située dans un plan vertical. Pour déter- 
miner les points A et B qui fixent sa position, il faut 
avoir recours a |’équation générale [ = 0 qui est ici 


dx dy dz 
oe oy 
| (Gere? y+F02) | 


eg d d: Bs 
Se epi bya de +02 
ds he ds 0 
x 


ds 
ng 


3 


(x—2»)* 


Nie 


Comme les déplacements des points A et B sur les deux 
courbes sont indépendants l'un de l'autre, on a d’abord 


j dx dy dz 

1 xX 0: Oy Si: 

(1) | (“; ehh Ae y+Gae) | o 

Cette équation exprime que le cosinus de angle TBU est 
Fig. 139, nul, BT et BU étant les tan- 


gentes menées par le point B 
__ aux deux courbes EF et AB: 
done la cycloide AMB coupe EF 

A angle droit. 
Il faut maintenant égaler a o 
Je reste du premier membre de 
l'équation = 0; mais aupara- 
vant on peut la simplifier. En effet, on a pour tous les 


points de la courbe AMB (791) 


SOIXANTE-DEUXIEME LEGON. 301 


an d (x=) + I ds mere 


dx 
d’ou Pon tire en intégrant 
x 

VE ds dx ax \ 
1 (x4) 4 (aH), 
2 2 ds 1 ds 0 

vx, (x —_— x5) é y 
Substituant cette valeur dans l’équation F = 0, elle se 


réduit a : 


: dz 
Ono} —}\du,= 0. 
) Yor (x =), 3% ) 


? 


Ly 


(2) (x3). day + (x$ 


Ay 


Cette équation ne parait pas symétrique par rapport 
aux variables; mais on peut rétablir la symétrie de la ma- 
niére suivante. On a trouvé, C et C’ étant deux constantes, 


dy 
X= —=C’; 
ds rma ds : a 
done on peut écrire x et Ke ala place de 
ds 4 : ds 1 
ee CL, d: p : 
(x ) et (x ar L’équation (2) devient alors en 


divisant par X,, facteur commun, 


Ate dy = EY. 
(S) ae + (FZ) ay. +- 3 A iiee oO. 


Cette équation exprime que la cycloide coupe a angle 
droit la courbe CD. 

Les constantes et les inconnues 2%, Yo. 20, X15 Vi5 21 
se détermineront comme dans les exemples précédents. 


“ REMARQUES SUR L INTEGRATION DE L EQUATION K = o. 


794. Cest ici le lieu de placer quelques observations 
sur Péquation différentielle 
eds 
(1) Pena 6 ol 


dx dx? 


302 COURS D ANALYSE. 
qui, dans certains cas particuliers, peut étre intégrée plus 
facilement que dans le cas général. 

1°. Supposons d’abord que N soit nulle, c’est-a-dire 
que y n’entre pas explicitement dans V. L’équation (1) se 
réduit alors a 


har ee 
~~ dx dx? 25 
dot résulte 
dQ 
per (ha 
2) dx . 


Cette équation n'est plus que du troisieme ordre, en 
supposant toujours que V ne contienne pas de dérivées 
d’un ordre supérieur au second. 

2°, Si M=o, c’est-a-dire si x n’entre pas explicite- 
ment dans V, l’équation K =o se réduira encore au troi- 
siéme ordre, en prenant y pour variable indépendante; 
mais on peut encore y paryenir de la maniére suivante. A 
cause de M = 0, ona 

a Nady + Pdp +Qdq, 
d’ailleurs 


Eliminant N entre ces équations, on aura 


dp dQ 
1 7 ( | =, - 
dV a(Pp) +a (Q 3. eae 
dou 


ry dp dQ 
(3) Noga EO Seek rope 


équation du troisiéme ordre seulement. 
3°. Si l’on avait a la fois 
Mia 05a INGO 
Péquation (3) se rameénerait au deuxiéme ordre. On 
aurait alors 


SOIXANTE-DEUXIEME LECON. 303 


dou ’ 


el léquation (3) deviendrait 


(4) V=cp+Qqtec. 


: 
Voici un probleme dans lequel ces simplifications se 


pi esentent. y 


795. Prosrime. Trouver une courbe plane AMB telle, 
gue l’aire ACBD comprise entre l’arc AMB, les rayons 
de courbure AC et BD qui correspondent aux deux points 
extrémes A et B, et la portion de développée CD com- 
prise entre les centres de courbure C et D soit un 
minimum. 

Il ne peut pas y avoir de maximum, puisque AB deve- 
nant une ligne droite, la surface correspondante serait 
infinie. En prenant une courbe peu différente de cette 
droite, on aurait donc une aire aussi grande qu'on vou- 
drait. 

Soient MK et M’K’ les rayons de courbure de deux 


Fig. 138. points infiniment voi- 
b ; : 
ia sins M et M’. Le trian- 
y| Cy aaa gle infiniment petit 
eal ON MK’M’ est égal a 
\ \ 
aS 
a I 
\ suit 5p ds; en appelant p 
ae le rayon de courbure 
1 0 


MK et ds Vare infini- 
anent petit MM’. On en conclut aisément que la surface 


en question a pour mesure 
ere eth) 
[ ee ARES 


aq et x, étant les abscisses des points extrémes A et B. 
Comme la fonction V ne contient explicitement ni x 


304 COURS D ANALYSE. 


niy, nous appliquerons la formule 


(1) V=Qqt+cp+e: 
2 \2 
or g=— Cee, 
on a done 
2 I= 2\2 
(T+ p?)’ 2 ( On 
2q 2q 
ou 
2\2 
(2) in =cpt+e 
q 


Pour intégrer cette équation il faut changer les axes ; 
mais il est nécessaire de la mettre d’abord sous une autre 


/ RUPE) he ph ante nae 
forme. Comme p = Gen , Péquation (2) revient a 
ff 
band ae diay a 9 
V+ p 
Soit @Vangle MT x que fait la tangente MT au point 
M(x,7) avec axe Ox : on a tang9=p, dou 


p 


I 


sing — nif isctas cos 6 = 


- Par conséquent, 
IP Vite 


e==c’sin@ + ccos@. 


Soient maintenant a et « deux nouvelles constantes , 
telles que 
6= Ba 50a, .¢ = piaicosa: 


on aura 
ON eee gears 
Ee Vo Gio 
2 


¢ (& 
SS a diagee ew ee  a) cosa == ——— 
Ver+c? Vo+ ce” 


sin a == 


on a ainsi 


op = 2asin(@—«). 


Prenons maintenant deux nouveaux axes rectangu- 
laires Ox’ et Oy’, tels que 2/Ox = a. 


SOIXANT®-DEUXIEME LECON. 309 

Si Von fait @—a = 6’, on aura 

— 2a sin 0’. 

Formons maintenant |’équation différentielle qui con- 
vient a ces nouveaux axes. On a 
dy 
dx 


tang / = 5 


dy? 2 
(+3) 

dx? i 

» valeur qui suppose la 


Remplacgons p par 


dx? 


courbe concave vers l’axe dés x: on a’ 


fleas 

( aa) dx? 
i+ —) =—a 5 
dx 


équation différentielle de la courbe cherchée, par rap- 
port aux nouveaux axes. On tire de cette équation 


dx? 

En supposant la constante c connue, on peut imaginer 
que l’axedesy soit transporté parallelementalui-méme, de 
telle sorte que toutes les anciennes abscisses soient dimi- 
nuées de c. L’équation différentielle de la courbe est alors 

if a 
Seer eae ak 
dy’ 
Uf —- 
al dx? 
I. 20 


oh 


306 COURS D ANALYSE. 


(5) dy = div /i—. 


La courbe cherchée est donc une cycloide dont l’axe est 
dirigé suivant l’axe des x; et dont la tangente au som- 
met est l’axe des y. 

Pour déterminer les constantes, au nombre de quatre, 
que renferme |’équation de la courbe rapportée aux an- 
ciens axes, il faut distinguer plusieurs cas : 

1°. Siles points A et-B sont donnés ainsi que les tan- 


gentes A la courbe en ces points, l’équation =o est sa- 
satisfaite identiquement, car on a d%)=0, dy) =0, 
Op =o0,.... On aura les quatre constantes en substituant 
les coordonnées des points A et B dans l’équation de la 
courbe, et en exprimant que les tangentes en ces points 
sont données. 

2°. Si lon donneles points A et B, sans donner les tan- 
gentes A la courbe en ces deux points, Péquation =o 
deviendra 

QIpi— Qipo=o, 

et comme les variations dp, et dpo sont indépendantes 
Pune de autre, il faut que Pon ait séparément . 

QA=o0, Q=0; 
on a trouvé, généralement, 

(ie 2 
Qa — 29q?_ ? 

et comme 1+ p” ne peut pas étre nul, il faut que l’on ait 

a=, qo. 

On déduit de la que les points A et B sont les points 
de rebroussement de la cycloide, car g = & indique que 
le rayon de courbure est nul aux points A et B. 

3.° On peut se donner le point A ainsi que la tan— 
gente a la cycloide en ce point, et supposer que le point B 
doive se trouver sur une courbe donnée, 


y= ble). 


SOIXANTE-DEUXIEME LEGON. 307 


Dans ce cas Péquation [= 0 se compose de deux par- 
lies : un terme contenant d.x,, ct le terme Qidpr; Ox, et 
dp, étant des variables indépendantes, on doit avoir 
Oro, dot*g,=. ‘Ainsi le point B est encore un 
point de rebroussement de Ja cycloide. ‘ 


‘ 


MAXIMUM OU MINIMUM RELATIF. 
7 
796. Dans les questions précédentes, il s’agissait de 
rendre maximum ou minimum une intégrale définie 


Ly ees 27 . 
f V dx, sans autre condition: On peut ajouter au 
x 
0 


probléme Ja condition quune autre intégrale définie 
= : ; “slap ; 
[ U dz ait une valeur déterminée /.,Par exemple, soit 
wt, 


proposé de trouver parmi toutes les courbes de méme lon- 
gueur /, terminées a deux points A etB, celle dont l’aire 
comprise entre cette courbe, V’axe des. abscisses et les 
‘deux ordonnées extrémes est un maximum. La question 
consiste a déterminer y en fonction de x, de telle sorte 


x, a 
i deVit p= , 
x, 


0 


qu’ayant 


oO 

Vintégrale y dx ait une valeur plus grande ou plus 
xy 4 Ei 

petite que si l’on remplagait y par toute autre fonction de 


x, satisfaisant a ’équation précédente. On dit alors que 
Vintégrale admet un maximum ou un minimum relatif. 


: d ; x 
797. Supposons qu'il s’agisse de rendre maximum ’in- 


2 oh 
tégrale [ V dx, avec la condition 
x 


(1) ff ‘Cde=l: 


‘Les variations de ces intégrales doivent étre nulles, 
20. 


308 COURS D ANALYSE. 


si l'on compare la fonction de x cherchée avec celles qui 

‘ pr, . 

comservent a A U dx la méme valeur. On doit donc 
zy 


avoir 
wz, ace , 
(2) af V dz =6;, of Udz=o. 
x, zy : 
En développant ces deux conditions comme on I’a fait 
pour le maximum absolu, on a deux équations, telles que 


(Spat r+ [ Kede=o, 


t 12, 
(4) ; o+ | Lodes= o; 
x, 


I’, ©, K et b sont des fenctions que l'on formera comme 
il a été dit plus haut. Mais ici il ne faut plus poser séparé- 
ment Tr=o, K= 0, car » nest plus une fonction entié- 
rement arbitraire de x. Pour trouver les conditions qui 
doivent étre remplies dans ce cas, il faut d’abord élimi- 
ner ®. Posons 


(5) be Lo dx = 9(x), 
x, : ; 
d’ou p(%)=0, iL Lodx = (2). 
Par conséquent , - 
© + 9(z)=0, ou o(2,)=—o. 


Il résulte de la, 4 cause de Pindétermination de w, que 
p (x) est une fonetion arbitraire de x, assujettie seule- 
ment a s’annuler pour x = xy, et a devenir égale 4 — O 
pour x= x,, Or on a, a cause de l’équation (5), 


aide (a) 


h ds 


Portant cette valeur dans l’équation (3), on a 


SOIXANTE-DEUXIEME LECON. 30g 


ou, en intégrant par parties , 


(6) r—(F)e— ‘pi e(r)a(F) =o. 


Comme 9 (x) est une fonction arbitraire dont on donne; 


les valeurs seulement pour x = x), 2 == 2, on doit avoir 
séparément 

K ’ 
( 7) d (=) — 0,5 P 

K 

8 » T— = @r=0) 5 
(8) r),O= es 
la premiére donne oF 
K 


eee ou eg te FESS 


a désignant une constante arbitraire. 


aye : 4 : K 
La seconde condition devieat [+ a0=o0, puisque qi 


ayant une valeur constante — a, on aura (=z) =—a. 
4 


On a donc les deux équations 


(9) aes o, Ket alo, 


On voit que l’on aura une constante de plus quedans 
le cas o& lon recherche un minimum absolu, mais on 


a aussi une ¢quation de plus 


z, ‘ 
‘i Uda, 
x, 


0 


798. Si lon avait cherché le maximum de lintégrale 


définie F 


zx, 
if (V+ aU) dz, : 
x 


0 
on aurait été conduit aux deux équations (g). Par con- 
* . . me , 
séquent la recherche du maximum relatif de Vintégrale 


vy ae ne 
f{ Vdz, Pintégrale Udx devant conserver une 
xy E 


v, 


valeur constante, revient 4 chercher le maximum ab-~ 


310 COURS D ANALYSE. 
solu de Vintégrale f{ (V+aU) dx; c’ est ce qu on peut 
dailleurs justifier par le raisonnement suivant. 


xy 
Si ‘i (V + aU) dx est un maximum, pendant que 
x 


0 


ca F , \ ; 
i U dx conserve une valeur constante et égale aZ, U’ 


et V’ désignant des fonctions peu différentes de U et de V, 
on doit avoir 


(1) i (V-+aU) a> fo (V4 aU") de 


0 


(2) [es pet U! dx =; 


arn 0 


(3) Ie iy ices 


0 


x, 
ce qui montre bien que i V dx est un maximum lors- 


que la condition ik Udx=1 est remplie. Réciproque- 


ment, de Vinégalité (3) et de légalité (2) on déduirait 
Vinégalité (1). 


PROBLEMES SUR LES ISOPERIMETRES. 


799. Etant donnés deux points C et D sur un plan, 
Fig. 138. 


trouver, parmi toutes les cour- 
bes de méme longueur situées 
dans ce plan et terminées en C 
et D, celle pour laquelle Vaire 
ABDC est un maximum. 


On doit avoir 


x 


SOIXANTE-DEUXIEME LEGON. SU 
° 


. . e , es 
et il faut chercher le maximum de lintégrale y dx. 
xy 
D’aprés la théorie précédente, on devra chercher le maxi- 


mum absolu de l’intégrale a (y dx + a Vdx?+ dy’), 


i) ¢ 
c’est-a-dire poser 


(1) of (y dx +a Vda? + dy?) = Oo. 


oO 
f 
Comme les limites xy et x, sont fixes, la partie de la 
variation désignée par T est identiquement nulle. On peut 
en outre ne faire varier que x. On a ainsi 


ran ce dx 
(2) il (y-+a) dde=o, 


0 


ou, enintégrant par parties et négligeapt la quantité pla- 
cée en dehors du signe f > qui est nulle, 


a dx 
f ted (reat 23,0 


0 


et, en égalant a o le coefficient de dx, 


DENS ha 
dou +] 
dz, 
(3) yta G = 
Remplacons ds par (dx + dy’, et résolvons par rap- 
port a dz. Il viendra 


ton RY 
Va—(7— 4) 
dou x—e=ya—(y—c')', 
et 
(4) (2 of + (ye Pama’. 


Ainsi la courbe cherchée est un are de cercle. 


ILS. COURS D ANALYSE. 

800. Prostims. De toutes les courbes isopérimétres que 
l'on peut tracer sur un plan entre deux points donnés A 
et B, trouver celle gui, en tournant autour de la droite 
Ox, engendre la plus grande ou la plus petite surface 


de révolution. 
Tl faut chercher le maximum ou le minimum relatif de 


x, pd 
Vintégrale i yds, avec la condition 
x 


0 , By 
[ ase 
Bee 


0 


La question se raméne a la recherche du maximum ou du 
minimum absolu de 


x, 
footy + a)as, 


0 


et comme a est une constante, on obtiendra le méme ré- 
sultat qu’en cherchant le minimum absolu de f y ds, 
e 


probléme déja traité (790), et qui donne la chainette. 


801. Prosrims. De toutes les courbes isopérimétres, 
trouver celle gui engendre le volume de révolution mi- 
nimum, 

L’équation du probléme est, dans ce cas , 


zx, : 
af (y2dx + ads)=0; 
x 


0 


comme les deux points A et B sont donnés, on peut ne 
faire varier que x et faire abstraction de la partie P, qui 
est identiquement nulle, puisqu’il n’y a pas de dérivée 
@un ordre supérieur au premier. D’aprés cela on aura 


; : dx 
dt y?+ dare =, 


dou 


. 
| 
| 


SOIXANTE-DEUXIEME LEGON. 313 
On en déduit, en remplacant ds par (dx? + dy* 
ee 
Va pa (ee ae ey 
équation différentielle de la courbe élastique (572) 
802. Prostime. Déterminer la courbe qui, par sa 


révolution autour d’un axe (l’axe des x) engendre la 
. . . ; la 
surface minimum qui renferme un volume donne. 


f 
Ce volume étant nf y dx, et laire an fy ds , iL 
faut poser 
(1) of (yrde + ray ayo, 


ax = 


a étant une constante. 
En considérant comme fixes les deux extrémités de la 
courbe, on peut ne faire varier que x, et comme la formule 


ds? = dz? 4- dy’ 


d. 
donne Supa aon : 
ds 


dx 
on aura f(r nay =) aoa == O- 


En intégrant par parties , et faisant dx = o aux deux 
limites, on a 


d. 
fera(r+ ar) =O 
s 


d’ot lon conclut 


ax 
Yay ye = une constante C. 


Chacune des constantes a et C pouvant étre positive ou 
négative, on peut écrire 


de’ 
ypobaay ae OO 


et de la résulte 
(yee) ay 


V4atyine (ck bey 


(2) Of ae 


314 COURS D ANALYSE. 
c’est Péquation différentielle de la courbe cherchée; le 
radical doit étre tantét positif, tantét négatif ; il change 
de signe quand y devient un maximum ou un minimum. 
Si la constante 6 est nulle, on a un cercle ou l’axe des x. 
Si / n'est pas nulle, l’équation différentielle (2) appar- 
tient a la courbe décrite par l’un des foyers d’une ellipse 
ou d’une hyperbole qui roule sans glisser sur l’axe des x , 
comme l’a démontré M. Delaunay, dans le Journal de 
Mathématiques de M. Liouville (*). 


(*) Tome VI, page 309. 


NOTES. Owe 


NOTES. 


NOTE I. Y 


EXERCICES DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL, 


s 7? 
tirés des papiers de M. Szurm. 


MAXIMUMS ET MINIMUMS. 


1. Quel est le plus grand quadrilatére que lon puisse former 
avec quatre cétés donnés ? 


Sotution. Le quadrilatére doit étre inscriptible.. 


2. Trouver sur une circonférence donnée un point tel, que la 
somme de ses distances a deux points donnés F et F' soit un mini- 
mum ou un maximum. 

Sotution. Le point cherché est le point de contact de la cir- 
conférence et d’une ellipse, tangente au cercle, ayant pour foyers 
les deux points donnés. 


3. Trouver la plus courte distance de deux droites dans Pespace, 
données par leurs équations. 


SoxLuTion. Les équations des droites étant 


\ £= az-Lp, (a= a's+p’, 
|\y=ht+q CF=U 2-4 


‘ 


la plus courte distance est 
(a—a')(q—q')—(b— 6) (p—p'), 
Via—a')?+(b—b')?+ (ab! — ba’) 


4. Parmi les parallélipipéedes de méme surface assigner celui qui 
a le plus grand volume. 


Soxnution. Le cube. 


316 COURS D ANALYSE. 

5. Mener par un point donné la ligne droite la plus courte entre 
deux courbes données. 

Soturion. Les normales aux extrémités de la droite minimum 


doivent rencontrer au méme point la perpendiculaire a cette droite 
menée par le point donné. 


6. Inscrire dans une sphere donnée un céne dout la surface to- 
tale soit un maximum, 


SoLution. x désignant la hauteur du cone, 7 le rayon de la sphere, 
ona 


23—Vi7, 


“16 


7. Circonscrire:a une sphére donnée un céne dont le volume seit 
un minimum. 


SoLution. Mémes notations. 
4 


ima Ue VOL aK, — amr, 


. 


8. Parmi toutes les paraboles que peuvent. décrire des corps pe- 
sants partant @un point donné avec une vitesse donnée, trouver 
celle qui aPaire la plus grande. 


Sotution. C’est la parabole décrite par un corps lancé dans une 
direction inclinée de 60 degrés aVhorizon. 


9. Deux roues circulaires extérieures Cune al autre sur un méme 
plan tournent uniformément autour de leurs centres fixes, lune 
faisant deux tours, (autre trois tours par seconde, Déterminer les 
époques et les positions des deux roues pour lesquelles deux points 
marqués sur leurs circonférences seront a la plus petite ou a la plus 
grande distance lun de Pautre. 


10. Parmi toutes les cordes @une méme longueur inscrites dans 
une courbe donnée, déterminer celle qui retranche le plus grand ou 
le plus petit segment. 


Sotution. La corde doit faire des angles égaux avec les tangentes 
menées a la courbe par ses extrémités. 


41. Déterminer, dans une surface du second degré, le plus grand 
cet le plus petit des rayons vecteurs partant du centre. : 


. ‘ 
42. Determiner dans lespace un point tel, qwune fonction de ses 


distances @ des points donnés soit un maximum ou un minimum. 
i =) 


nore I, 314 


APPLICATIONS GEOMETRIQUES DU CALCUL DIFFERENTIEL. 


13. Determiner les points dinflexion dune conchoide (courbe 
qwon obtient en prolongeant @une quantité constante les droites 
menées Cun point fixe a une droite fixe). 


Sovtion. On prend pour axe des y la droite fixe et pour axe 
des « la perpendiculaire menée par le pdle. a étant la distance du 
pole a la droite, > la quantité dont on prolonge les rayons vecteurs 
menés a la droite, les abscisses des points d'inflexion sont données 
par l’équation 

2 saa — 2.ab07 = 0. 


14. Une courbe est donnée par une relation,entre les distances 
r etr' de chacun de ses points adeux points: fixes. Trouwver Pexpres- 
sion de la différentielle de son arc cn fonction des distances r ct 
r' et de leurs différentielles. Application aux sections coniques. 
SOLUTION. 
ds? 4rr'[ rr’ (dr?=-dr”) — (7r?+ r?—ta’) drdr' | 
eae ? 
(r+r'+a)(r+r'—a)(atr—r')(a+r'—r) 
a désigne la distance des deux poles. 


415. Une courbe est donnée par une relation entre les deux an- 
gles 9 et 9’ que les droites menées dun point quelconque M de cette 
courbe a deux points fixes A et B font avec la droite AB. On de- 
mande de déterminer la tangente a cette courbe et @exprimer la 
différentielle de son arc en fonction des angles § et 9' et de leurs 
differentielles. 

Appliquer les résultats a la courbe décrite par intersection de 
deux droites mobiles qui tournent autour de deux points fixes avec 
des vitesses de rotation uniformes. 


SoLution. p et »’ désignant les angles que la normale fait avec les 
deux rayons vecteurs MA et MB, ona 


sin? y + sin? »’/— asin sin’ cos (4-+9') — sin’ (9+ 6’) = 


ds = —— y sin’ 6'd@*+- sin? 6.d0”— 2sin9sin 9’ cos §-+6') d0d6'. 
sin OEP) wv ae ( 
Dans le cas particulier, 7 et 7’ étant les vitesses angulaires des deux 
mouvements , ona : 
sinv. — zsin 9’ 
snp’ nr“ sin # 
16, Une courbe est donnée par deux relations entre les distanees 
r dun quelconque de ses points Maun point fixe O, Pangle 9 que 


318 COURS D ANALYSE. 


le rayon vecteur OM fait avec une droite fixe Ox et Vangle 9 que 
le plan MO x fait avec un plan fixe «Oy : trouver la différentielle 
de son arc cn fonction de r, 9, 0 et de leurs différentielles. 


Sotution. ds = Vdr? +7? d? +7? sin’¢dg’. 


47. Construire et discuter la courbe (PSe 


SoLution. Courbe ayant pour asymptotes deux paralléles aux axes 
menées a une distance égale a l’unité. 


48. Le rayon vecteur FM mené @un foyer F @une hyperbole a 
la courbe, tourne en-décrivant dans un temps quelconque une aire 
proportionnelle a ce temps. On demande de calculer la vitesse du 
point M sur Phyperbole en fonction de ce rayon vecteur. 


Soxution. 1° cus. Le foyer F est intérieur a la branche parcou- 
rue par le point M. On désigne par 7 le rayon vecteur, 2a V’axe trans- 


I Cae i . > : 
verse, > k Vaire du secteur décrit dans Punité de temps. On a 


2 A eee 
nt eet) ar 


2° cas. Le foyer est extérieur a la branche décrite. Mémes nota- 
tions. 


19. Méme probleme pour la parabole. 
Sotution. Le paramétre étant désigné par 2p, on a 


De: Ber 
P ? 


20. Une courbe tracée sur la surface @un céne droit a pour pro- 
jection orthogonale, sur un plan perpendiculaire a axe du céne et 
passant par son sommet, une spirale logarithmique dont ce sommet 
est le pole. On demande les équations de la tangente a cette courbe , 
et Pequation de son plan normal en un point nauate Prouver que 
cette courbe coupe toute s les arétes du céne sous unr angle constant. 


Sorurion. 7 =e"? étant Péquation de la spirale logarithmique , 
«langle du cone, la tangente a la courbe fait avec V’axe des angles 
dont les cosinus sont 


m cos — sin® m BrP yh COS ey m __meoota _ 


i i tag 5 
4 car pM Ep 
DL m Sewers 
1 I 
/ sin? « sin? « sin’ & 


Note I, 349 
La tangente fait avec aréte du cone un angie dont la cotangente est 
a 


sin a 
L’équation du plan normal est 


(X—.x)(ma—y)+(Y—y)(my+er)+(Z 


21. Si Pon désigne pars un are de courbe , parc sa corde, par ¢ 
le rayon de courbure en Pune de ses extrémités , la seconde extré- 
mité venant se réunir a la premiere, on aura + 


S—C 23 { f 
Sr ne 


22. Une surface convexe étunt coupée par un plan, soient o Vaire 
de la surface courbe, et a Vaire de la surface “plane du segment 
déterminé; si Con fait mouvoir le plan de sorte que la section tende 


lim 


GG 
SCTa Propo fi 


a se réduire a un point M, la limite du rapport —— : 
a 


tionnelle a (am) 
paux de la surface au point M. 


5 


R et BR’ étant les rayons de courbure princi- 
4 é 


23. Trouver Péquation du lieu des normales a la surface 
ay eo z?) 5 
menées par tous les points de la droite 
=k, ay=x YU—P, 

qui est tout entiére sur la surface. 

SOLUTION. 

ak(ar+y VP — BP) (eVe— P— ay) 
+ (e+ 0?—h) bh — kh (2—k)=0, 


équation d’un paraboloide hyperbolique. 


QUADRATURES. 
24. Calculer 


{> dx 


Shy pee do 3 
Sorution. Cette intégrale se raméne a A —— en posant #= sin 9. 
sin” @ 


95. Calculer 


MH 


320 COURS D ANALYSE. 


SOLUTION. 
r I pVatba—Va I ie I 
2a ya Va ty ped RS, @ a+ b.a 3a(a-Kba?)* 


26. Calculer 
dx 
oe 
(atb2’)’ 
SoLurION. 


x #( CE a bx? \+e 
a Yatbx 3(a-+-bx2)? 


27. Calculer 


a dx 
X = [he ie SS 2S See 
ah (c+-e2*) (a+b x? 
SoLuTion. Si be — ae est positif, ona 


xX— I | ( Ye) oc: 


- V(be — ae)ec Via + b2x*\c4 a be ae 


si bc —ae est négatif, on aura 


KS a are tone (\/2=* e 
2/(ae— be)e a 4 Va+tb x . 


28. Calculer 


it ax 
age en 
Lyx + e+ 
donner la tangente, le sinus et le cosinus de cette intégrale. 


SOLUTION. 


= oe: 
X =‘are sm 
bY by 


AEs 6 
5 


En supposant nulle la constante arbitraire , on a 


Dy) ‘ 2x? 4+-«#—1 

3] = cos X = ———_____. 

sin X eigihe } pee ’ 
L—2 


tang X = ————__—-: 
; aVetar—i 


99. Calculer 
16 : 
ee 6 
a= bcos) 


note I. 321 


Traiter a part le cas de a= b et comparer te résultat avec celui 
que donne la formule. générale. 


SoLuTION. 
a>b X= 2 are cos 8+", 
Ve—P a+b cos6’ 
ee re a 
a<b *— ane ahs og! 
— 7 tang—9 — Vi 
C2 
f 
a=b = tang — a) 
a ) 
30. Calculer a 


Ls cos8d6 « 
(a+ (a+ 6 cos6) 0)? 
SoLuTIon. 


* in 8 
fe ee Ne Me oe Nt Se 
: a+t-b cos@ a; 6 cos4 
on est ramené a la question précédente. Si a= b, 


. I I I I 
a’ X = — tane—'6 — = tane® =9. 
eS. Cuca 


ee ee 


34. Calculer 


SOLUTION. 


m étant un nombre entier positif et impair. 


33. Calculer Paire que renferme la développée dune ellipse. 


ER PS 5S: 3 ( ae oe. b i 


SOLUTION. qe 
2a et 26 étant les axes de l’ellipse. 


34. Trouver en coordonnées polaires Péquation de la dévelop- 
pante @un cercle , Pexpression Cun are de cette courbe et celle du 


Va a 


322 : COURS D ANALYSE. 


secteur compris entre cet are et les droites menées du centre du 
cercle aux extrémités du méme arc. 


Sotution. Equation de la développante 


arc dela:courbe: . 5 ==———_=, 


‘secteur. 5.82 95.. ~—(r?—a’)’- 


L’arc de la développante, compté a partir du point de rencontre 
avec la circonférence, est quatriéme proportionnel au diamétre et a 


la tangente. t 
pip oh 
POP. PS tye 35. Trouser Paire contenue dans la portion fermée de la courbe 
eS ee yh 4 2 
é LS SOs GH ROD 


qui se trouve dans Pangle des coordonnées positives. 


TA 
SOLUTION. rat 


36. Trouver une courbe telle, que la somme de Vordonnée et de 
la sous-normale soit constante. Construire et discuter cette courbe. 


SOLUTION. c—x—y=alog(a—y), 
spirale logarithmique. . 


EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 


37. Intégrer Péquation 
ay dx + bx dy +- x" y" (eydx + exdy\ =o. 
Sotutron. Le premier bindme devient intégrable étant multiplié 
ne—1 nC 
par-x2*"'y?~' 9 (27 y*); le second, par aa a (ay). Or on peut 
déterminer » et Y de maniére a rendre ces facteurs égaux. 


38. Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure soit en 
raison inverse de la normale. 


, r a . ‘ 
SSODUIION G00 == hy ¢ G/eee eT 
s Cr Se 


note |. 323 
39. Intégrer Péquation 
(dy? + ¥* da? \ 
ady dx + ¥ dx*— yd? ydx 


ou x est la variable indépendante. 


= Xs 


SoLUTION. 


1 ——,; y 
ee ets V2cy— c+ are cos” 


é 


40. Intégrer Péquation 
dx’ dy — xds*d? y = adz ds (d? #) + (d* y)?, 


dans laquelle ds = Vi dx? + dy, et s est prise pour variable indé- 
pendante. 


37 


I 9 t 
SoLurTIon. y=-c(r+a)He 
2 


41. Déterminer la courbe dont le rayon de. courbure en chaque 
point est égal a la distance de ce point a un point fixe. 


Soxution. L’équation de cette courbe en coordonnées polaires est 


1 ————. — 
_— OW Vocr—c + atc cos 


42. Déterminer la courbe dont le rayon de courbure est propor 
tionnel a celui de la développée. 


SoLurTion. r= kem§ 


4B. Integrer Péquation 


POR SURI SiS Sees) 1 Oe sy 
es 
Vadp——? 
Y £ 


SoLuTION. yay 


44. Intégrer equation di fférentielle 


w— hay 
OE ts 


(2+ y’)dx 4 ay 0; 


SOLUTION. 
a {ya x\ [ee [ae 
(yS3ay—2’) | oy— (V3 +3) 2 


45. Déterminer sur la surface @un céne droit une courbe qui 
coupe les arétes sous un angle constant, et qui passe par deux 


points données. 


Soxtution. Voir question 20°. 
21% 


324 COURS D ANALYSE. 

46. Trouver les trajectoires orthogonales des cercles inscrits dans 
un angle droit. Trouser Pasymptote sans intégrer. Prouver que les 
traectoires sont semblables. 


41. Les ovales de Descartes, représentés en coordonnées bipo- 


laires par les Equations 


(ba 


se coupent a angle droit, quels que soient « et ©. 


48. Intégrer les deux equations 


ert Fh y + ig 2 = 2, 
oy +34 y + Bz =e 
SOLUTION. 
D abe patie ett les, 
z= 2x4 at Sets eae 


dz dz 
Cea cc te ey y lars 
SOLUTION. ca =9 ie = *). 


50. Détcrminer une surface telle, qué son plan tangent en un 
point quelconque M rencontre une droite donnée de position en un 
point qui soit également distant du point M de la surface et @ un 
point fixe pris sur la droite donnée. 


Sotution. Prenant le point fixe pour origine et la droite donnée 
pour axe des z, l’équation de la surface est 


x : y 
(loa al 2 a (2) ) 


y désignant une fonction arbitraire. 


B1. Determiner une surface telle, que son plan tangent en un 
point quelconque M rencontre une droite donnée de position en un 
point dont la distance aun point fixe ‘pris sur cette droite soit égale 
a la distance de ce point fixe au point M de la surface. 


note I. 325 


Sotutrion. Mémes axes : . 


x 


QUESTIONS DIVERSES. 


Mdx + Ndy+-Pdz 


32. Lexpression ‘_ eee ee 


est intégrable si M, N et P 


£ 


sont homogénes. 


- f 
53. Etant donnée UV équation 
fey Bi 
Seve 
dx 


dans laquelle NV, K et G sont des fonctions de x, K restant constam- 
Peo) s. - dV , 
ment positif , démontrer que V et Ty MO peuvent pas s annuler pour 
: dx 
e 
la méme valeur de x. 


54. Déterminer, parmi toutes les lignes dune longueur donnée 
et terminées a deux points fixes A, B, celle pour luquelle la somme 
des produits de chaque élément ds par le carré de sa distance a la 
droite AB est un maximum. 


SotuTion. On prend AB pour axe des z et A pour origine, La 
question se ramene a lintégration de l’équation 


dx 


ag iN ee aa 
(a ie) eee 


55. La ligne minimum sur une surface développable se trouve 


par des quadratures. 


56. La courbe 
Deke ae Vite =f 
pour m= devient un carré dont le sommet, vu a la loupe, est 
semblable a e"*+-e%=c. 


57. On sait que des droites normules a une surface sont ausst 
normales « une infinité @autres surfaces, dont chacune est a une 
distance constante h de la premiere, de sorte que deux quelconques 
interceptent sur toutes les normales une longueur constante. Ces 
surfaces ont les mémes plans des sections principales pour tous les 
points ou elles rencontrent une méme normale, Les courbes indica- 
trices des surfaces pour ces points, sont des coniques homofocales 


326 COURS D ANALYSE. 


- ayant leurs axes paralléles, de sorte que la ligne des foyers est con- 
stante de grandeur et de direction. 


58. Si V’on considere un systéme ce lignes droites disposées dans 
Pespace suivant une loi analytique quelconque, et qui ne soient 
normales a aucune surface, en prenant un point quelconque O dans 
Pespace, et la droite OL correspondante a ce point, puis portant 
perpendiculairement a OL deux longueurs infiniment petites OM, 
OM’, égales et perpendiculaires entre elles, les angles infiniment 
petits p. et p' que ferait la droite correspondante au point M avec le 
plan LOM, et la.droite correspondante au point M’ avec le plan LOM’ 
auront leur somme (algébrique) »-+-»' différente de zéro et con- 
stante, quelles que soient les directions des deux lignes OM, OM’, 
pourcu quwelles soient toujours égales, et perpendiculaires Tune a 
Pautre a OL au méme point O, La somme »+-p' est nulle dans le 
seul cas oles droites du systeme sont normales a une méme sur- 


face (*). 


NOTE II. 


SUR UN CAS PARTICULIER DE LA FORMULE DU BINOME, 


par M. E. Cararan. 


(Extrait des Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1355, t. XLV, p. 621.) 


Les ouvrages les plus estimés, par exemple le Cours @ Analyse 
du profond et regrettable Stzrm, n’indiquent pas ce que devient la 
série 


ne m(m— 1) 5 TI 70 =) NTT Ue 
x ( Dy? 4 ( Ne eae 
I 2) TRONS 
quand on suppose «= + 1. Cette lacune peut étre aisément com- 
blée comme il suit : 
1. Lemme J. Le produit 
UE UL Uae oT, Te tets 5 


dans lequel on suppose, pour plus de simplicité, 


Ul Uh Llane sate EO ET Bis Said 


(*) Le lecteur trouvera un grand nombre de questions, d’un excellent 
choix, dans le Recueil d’exercices sur le calcul infinitésimal, par M.-Frenet; 
Paris, 1856. Librairie de Matlet-Bachelier. 

Ze 


nore II. 329 
converge ou diverge en méme temps que la série 


lu, 4+-lu, 4-. ..4- lu, + lu, ,,(*). 


2. LeMME Il. m é€tant une quantité positive, moindre que Cunité, 
le produit 
I 2 3 n 


=—- . 


m m4-1 m+2 m+n—-I 


crott indéfiniment avec n, 


n 


. 
En effet, , 
, n } Cea 
lim 7d ————— = lim nl { 1 + ——— ) = 1 — »;; 
m+n—t m+n—I 
iin , . oe n . 
done la série qui aurait pour terme général | —————. est diver- 


m+n—t1 
gente (**); donc le produit P, est divergent 4 Eemme f). 


3. Lemme Ill. m étant une quantité positive, comprise entre deux 
nombres entiers consécutifs, p —1, p, le produit 


Pan [are 1 
PA Ppa Li —n—m 


crott indéfiniment avec n. 
4, TutorEme I. m étant une quantité positive quelconque, on a 


ait 


2. 


m m(m—t) 
me oa i i) 
9. m(m—1)..(m—n-+1) 

TN a SREP E-2 EX Set PRE ID 


52.9. 2 o78 


(*) Cette proposition, qui est évidente, peut étre fort utile. Elle prouve, 
par exemple, que les produits 
3) yD) a2 v+n-+-1 
B It 19 r+n—i 


e+i1 e-+1 emn+ iI 


z , a a, be 
SCC @ SEC — s\> + SEC,— 9 +8 
2 n 


sont conwergents , et que les prod uits 


a a 
(1+ tanga) (+ tang *) sna (: + tang 2) ae 


peuvent dépasser toute limite. 


(**) Comptes rendus, tome XLII, page 627. 


328 COURS D ANALYSE. 
Le reste de Ja série (A) est (*) 
m(m—1)...(m—n) I ! 
Ta Di Grete cto ena Smt.) eee 


Soit p le nombre entier immédiatement supérieur a 7m : on peut 
écrire 


. Re 


m(m—1)...(m—p-+1) 


Res 
se Ey sy 2) 
= 
pm De ree gee ee I 4 
pti pt+2 ner (1+ 6)" 


Des trois facteurs de R, le premier est constant, le deuxiéme a pour 
limite zéro (Lemme IIT), le troisieme ne surpasse pas !’unité ; donc 
lim R = o. ; 


5. THeorEME II! m étant une quantité positive quelconque, on a 


m _m(m—t) 
ihe i amr naTe Ce ale 
(B) 
m(m—1)...(m—n+1) - 


a na rn 
I.2...72 


La démonstration ne differe pas de la précédente, pouryu que le 
reste soit mis sous la forme 


pane m(m—1)...(m— p+1) 


aS ope 
PM) Pram tie Bs ment ( &* 
purrs Gar cory goad pick hoi 4 


6. Tutormme Ul. m étant une quantité positive, moindre que Cu- 
nité, on a 


ay m age m(m-+- 1) m(m-- 1) (m+ 2) fa 
) 2, I 12 Leah 


| by m(m-+-1)...(m+n2—1) ep te 


1.2...2 
Dans ce cas, expression du reste est 


m (m--1)...(72 +22) I : 
1.2...(7+-1) (1 + 6)mrnat? 


done (Lemme IL) lim R’ = 0. 


R"= + 


(*) Tome I, page soo. . wats 


(**) Tome J, page 102. 


norte IIf. 329 
7. Tl est évident que la série (C) cesse d’étre convergente a par- 
tir de m= 1, et que la série 


m m(m-—+-1) m(m—+1)(m+1 
I Wa ioe) 
est divergente pour toutes les valeurs positives de m. Les cas dont 
nous nous sommes occupé sont donc les seuls qui présentent quelque 


intérét. 


NOTE III. 


4 
SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES (*), 


par M. Sturm, d’aprés un Memoire de M. Despeyrous. 


ld 

L’intégrale sous forme algébrique de l’équation 
dx dy 

vi-w Vi—y 


s obtient aisément, comme on sait (**), au moyen d’une intégration 


= 0 


(*) Pour lintelligence de cette Note, il est nécessaire de savoir que l’on 
donne le nom d’intégrales elliptiques aux intégrales suivantes dont la se- 
conde représente Ja longueur d’un are d’ellipse : 


+ 
1T€ espéce, 
Se sin? e: 


*9 
x i 2 . 9 
2© “espece. j do V1—c* sin*¢', 
) 


5 ? dg 
Jo vespece. : : ° 
9 C-+nsin®y) ¥1—c? sin*y 


Si Yon pose x=sing, Vintégrale de premiére espéce devient 


: ee dx Pp 
. i feo fae 


.(**) Voir, par exemple, Lacroix, Traité du Calcul différentiel et du Calcul 


intégral, tome II, page 473. 


330 ; COURS D ANALYSE, 


par parties. En mettant cette équation sous la forme 


diJi—¥ +dyyYi— «=o, 
on en déduit 


[a viny+ fads V1— 2’ = constante. 


Or, en intégrant par parties, on a 


fdnfiny = ain e+ ee 


5 q vi—> 


fovizeayline+ (2& ay dx 
ine 


? 
Ajoutant et observant que les termes sous le signe J donnent une 


et 


somme nulle en vertu de l’équation différentielle proposée, on 
trouve l’intégrale algébrique 
zVi—y'+ y/1— 2? = constante. 


La constante arbitraire quelle contient est la valeur de y pour 
C= OmLOSONS 


ahs % eee 
== = 8 £=sine, Yi—2’= cose, 


Nous aurons 
daz+d6=o0, 


dou 
a+ f=, 
7 étant une constante. D’ailleurs, pour «=o, on a 


C= ONT Ores (greets 


La constante de notre intégrale est done siny. Par suite, il vient 
siny ou sin(a+6) = sinz cos6 + sin§ cosz. 
Crest la formule fondamentale de la théorie des fonctions circu- 
laires. 
Le méme procédé s'applique facilement a la recherche de linté- 


grale d’Euler qui donne la formule fondamentaie de la théorie des 
fonctions elliptiques. 


nore III. 331 
Soit, en effet, 
dx dy 


————— =i 
Vi-x Vi—ex Vr Vi ey? 


En multipliant par le produit des dénominateurs et divisant par 
Lx y*;.0n 2 


(SBS, , 2= 


I—ea’y I— C2? 


= 0. 


dy = constante. 


Or, en intégrant le premier terme par parties, on obtient 
f 


Vizv Viney, Vine Viney 


i—— Cy 1 ee I—0 xy 
fo eV tezy)— ac*z? = 96 759 dy 
(1— ca? y*)? f Vi-yyi-ey 


“ Cas 
—20 [GaP ypYi—ey dx. 


En échangeant entre elles les deux lettres x et y,,on aura le second 
terme; ajoutant donc et observant que les termes sous le signe “i 


donnent une somme nulle en vertu de |’équation différentielle pro- 
posée, on trouvera 


tVi— 7 Vier +f Vi1— 2 te? x 


I— Cay 


= constante. 


La constante du second membre est la valeur de y» pour x = 0. 


Posons 
Sem als 
aS Cr ") 


#=S(«), Yi-v=C(e), ree = R(«), 
et de méme 


Nous aurons 
daz+d6= 0, 


(*) Dans cette integrale la variable x doit étre prise toujours moindre 
que 1, Sil’on fait x=sing, alors langle ¢ est appelé Vamplitude de Vin~ 
tégrale x. Jacobi le désigne par am « et pose x =sinam~z. Re 


332 cOURS D ANALYSE. 
Wott 
at+BP=y,; 


7 tant une constante. D’ailleurs pour « = 0, on a 


= 0 P= 17 = 3(7)- 
La constante de notre intégrale est donc S(¥ 


S(«)C(6) R(6)+8(6)C(«)R(a) 
S(7) ou S(«+ 6) = 1—¢’S(a yPs(p)? = 
C’est la formule fondamentale de Ja théorie des fonctions ellip- 
tiques. 
Elle donne S(z—) en changeant le signe de $(f). On peut 
aussi en déduire C(a+ 6) et Ria 6). 


). Par suite il vient 


NOTE IV. 


SUR LES PROPRIETES DE QUELQUES FONCTIONS EP SUR LA 
REPRESENTATION DES RACINES bes EQUATIONS PAR DES 
INTERSECTIONS DE COURBES, 


par M. E. Prouyer. 


Definitions préliminaires. — Relations entre les derivees partielles des 
fonctions P et Q. — Separation des quantites réelles et des imaginaires 
daus les dérivées de f(z). — Differences finies et différentielles totales 
des fonctions P et Q. —— Proprictes des courbes P, Q, P+Q, P—Q. 
—Démonstration dun théoréme de M. Cauchy.—Asymptotes des cour- 
bes P, Q, etc. — Theoréme sur le nombre des racines des équations 
algébriques. — Propriéteés des surfaces z =P, z= Q. — Remarques. 


DEFINITIONS PRELIMINAIRES. 


1. Si f(s) est une fonction qui prenne la forme P + Q /—1quand 
on pose z = x+y /—1, P et Q étant des fonctions réclles en x et.y, 
is paistion 


(1) Pe 


ontrainera les suivantes 


a gigas ‘ 


et réciproquement. H suit de la que si .# et y sont les cogrdonnées 
4) 


nore LY. ooo 


d'un point variable, la partie réelle et le coefficient de /—1 dune 
racine de l’équation (1) seront respectivement égaux aux valeurs 
numériques de l’'abscisse et'de lordonnée d’un point commun aux 
deux courbes données par les équations P= 0, Q=o. 

Les points d’intersection de ces deux courbes peuvent donc étre 
regardés comme formant une représentation géométrique des racines 
de Péquation f(z) =o, et c’est pour rappeler cette propriété que 
nous les nommerons des poirts-racines. 

2. On dit en général qu'une équation f(z) = 0 a7 racines égales 
a a@ lorsqu’on a f(z) =(s—a)"f(z), f(s) désigfiant une fonction 
qui ne devient ni nulle, ni infinie ee 2=a; or comme la fonc- | 


tion f(z) = fe) prend la forme = 5 pour z=4, si Yon cherche 


Zz tm a 
sa véritable valeur d’aprés les tected connues, on voit que pour 
quelle ne soit ni nulle ni infinie, on doit avoir 
f(a) Ol, f'(a@) = .0'5 f"(a) Sn OG ie are (a) = Ona) 0. 
Toutes les fois que l’équation f(z) aura 7 racines égales, le point- 
Hy 7 : e + ° 
racine correspondant sera pour nous |’équivalent de 7 points-racines 
qui coincideraient , et nous le nommerons, dans ce cas, poirt-racine 
de Vordre n. 


RELATIONS ENTRE LES DERIVEES PARTIELLES DES FONCTIONS P ET Ok, 


3. Relations entre les dérivées partielles du premier ordre. 
Si l’on suppose que z tienne la place de «+ y y/—1 dans lidentité 
f(z)=P+QV—-1, 


et que l’on prenne les dérivées des deux membres, d’apreés la regle 
des fonctions de fonctions, on aura 


dz * dx 
dz — dP dQ ,-— 
1 a hay dee ft! Zz a 
ve z) dy Saeed ( )v dy ie dy / ) 
: dQ dP 
: ae er 


On obtient ainsi deux expressions différentes de f’(z), et en ex- 
primant qu’elles sont identiques , on aura les relations 


emg 


(2) | dP _ dQ 


334 / COURS D ANALYSE. ° 
4, R&CIPROQUEMENT, si les relations (2.) ont lieu entre les dérivées 
de deux fonctions 


PaO(w5y), O=)% (as ‘ 


P et Q sont la partie réelle ct le coefficient de Y—1 Cune fonction 


@une seule variable z, dans laquelle on aurait substitué x+y et 
a 2. 
En effet, posons 
W=P+Q/—1; 


substituons 4 2 dans cette expression 2 —y /—1, et prenons la dé- 
rivée de W par rapport ay; nous aurons 


dW dPdx dP (25 =) va : 


dy. dndy dy ‘dx dy * ay 


et comme = — \/—1, il en résulte 


ay a dx dy dx 


Or le second membre est identiquement nul d’apres Vhypothese. 


1W oe ; ae er 
On a done or =o. Ainsi le résultat de la substitution est indé- 


pendant de y et par conséquent.W se réduit a une fonction de z, qui 
par la substitution de x + » /—t devient P+ Q /—1. 
GLOoRD. 


5. Relations entre les dérivées partielles du second ordre. 


Les relations (2) étant identiques, on pourra prendre les dérivées 
des deux membres de chacune d’elles ; on obtiendra ainsi 


pt hea qtPy ste 
dx dx dy’ dzdy dy’ 
BO WP gO eR: 
dx dxdy’ da dee aye 


dou résultent les relations 
i da?P d?P 


dx dy : 
(3) : 2 

a0 =O 

dx, ay. 


Reciproguement, si (ure des relations (3) est vérifiée par une 
fonction P, il sera possible de trouver une seconde fonction Q telle , 


“* 


note IV. 335 


que P et Q résultent de la substitution de x+y» ~—1 ala Place de z 
dans une certaine fonction 9 (z). 


z q 
En effet, si l’on pose Q — dy, on aura 


dQ dP a0 aaa z ee ae wel 


dy dx’ i dy 
Ainsi les relations a sont vérifiées par les fonctions P et Q, et 
par suite il existe une fonction 9(z) telle, que l’on a identiquement 


e(2@+yV—1)= P+Qy-f 


6. Relations générales entre les dérivées partielles de P et celles 
de Q. af 

On tire des équations (2) en les différentiant #—1 fois par rap- 
port a x, et e—A-++ fois par rapport a y 


d"P 24 a’Q 
di dye* (be Si paca ? 
4 4 n . 
#00", CHAP 


7. Relations entre les dérivées partielles de P ou de Q. 
On tire des équations (3) par la différentiation 


Ge ae a6 aie 
: dakdy ers dat—2qy7-? ? 
(5) EO d"Q 


dakdy"* er day 


Ces équations expriment une propriété commune aux deux fonc- 
tions P et Q. En y faisant successivement 4 = 7, n— 2, n— G.... 
puis 4=n—1, n—3, n—5..., on obtient : 


ae Cig SE a eee 
i. i dy I ae dy dx" dy® Seg 
a"P age arp dap 
oa APE = GEO. d"Q 
d"Q Ae eae S d"Q 
dx" dy da" *dy* dx “dy? a a al 


Ainsi Toutes les dérivées partielles de P ou de Q @un méme 
ordre , dans lesquelles Vindice de differentiation relatif a une 


336 COURS D ANALYSE. 


méme variable est en méme temps pair ou impair, sont égales en 
valeurs absolues. 

Et si Pon range ces dérivées suivant un ordre de grandeur de 
cet indice, les signes +- et —,se succéderont alternativement. 


SEPARATION DES QUANTITES REELLES ET DES IMAGINAIRES DANS LES 
DERIVEES DE f(z). 


8. En différentiant par rapport a x les deux membres de l’iden- 
tité f(z) =P +Qy/—1, nous avons trouvé 


Cette formule fait voir que pour obtenir la partie réelle et le 
coefficient de y/—1 de la dérivée d’une fonction, il suffit de prendre 
les dérivées par rapport a 2 des: parties analogues de cette fonc- 
tion. En prenant 7 fois de suite la dérivée par rapport a 2, on 
trouve 

ne d’P  d"Q_ -— 
f'(s)= an ae ¥— 

On peut donner a cette expression deux autres formes et n’y 
employer que la fonction P ou la fonction Q. Il suffit d’y remplacer 


CN ee r ae fy ar Joahe ce qui est mis 
da" pe dv dy’ ° dxt pe Prue dx" dy ? a4 q 1 @s per 1S 
dapres les relations (4). a aura ainsi 


: a"P dP 
|e aa DGD EE R— oe 


ake iC 
{ (2) ¥ ate oa : Vr 


(7) 


DIFFERENCES FINIES ET DIFFERENTIELLES TOTALES DES FONCTIONS 
P-rer Q. 


9. Les propriétés précédentes permettent de développer les 
accroissements des fonctions P et Q suivant les accroissements de 
leurs variables. 


Si dans f (z) on change z en (z+a eB Ne os ), on aura 


af(2) = DESEO pojay an, 


nore lV. 339 
En posant 
Ar+Ay~—1=r (cos 9+ /—1sin6), 
nous aurons, par la formule de Moivre, 
(Av+Ay¥—1)" = (cosnd + /—1 sinnd). 
D’ailleurs la premiére formule (7) donne 


dad" P d"Pp 


n Sr een | eres, V—1: 
t (x HEY V T) dx" az al ly Tet 
done ona , 


Af(z) =AP+AQyV—1 


oy 7 : rT ; d"™P d"P as 
= nr ae (cos ud -+ Vi sin n0) (Te aE y: Wee i) 


~ dxdy ly 


poss 
+R,+R,y—1 
et en séparant les parties réelles et les parties imaginaires 


n 


ie. 8 a aoe yg a 
Ae Lato (S da cos 79 + qorqsinn’) +R, q 


(8) / : 


abe Soe arP 
panes : 1.2. = —(5 ae sin 24 Torry 20808) +R. 


10. Si lon suppose Aw et Ay infiniment petits, le terme général 
de chaque développement devient la différentielle totale du 2‘ 
ordre de P ou de Q, divisée par Je produit 1:2.3....2. On aura 
donc, en appelant » la limite de l’angle 9 et en observant que 


5 


r= Vdz?+ ay dyy1 + cote = 


sin 
n n 
—— cos 70 + ————_ sin 7») 
ep da" CES Tels dy" 
a = : / 
sin” » “al 
(9) d"p d"P 
“sin 726) — ————— C08 11) 
is dx" n dg dy / ‘a 
BO Oe sin” » “Se 
PROPRIETES DES COURBES P.er Q. — POINTS MULTIPLES. 


44. Pour abréger, nous appellerons courbe P, courbe Q, les 
courbes représentées par les équations P= 0, Q=o. Nous suppo- 
II. . ne 


338 COURS D ANALYSE. 
serons que le systeme d’axes auquel on-les rapporte est rectangu- 
laire. 

Une propriété remarquable de ces courbes est d’avoir chacune 
un point multiple de lordre 7, toutes les fois que l’équation pri- 
mitive /(z) =o, a 7 racines égales entre elles. Pour le démontrer, 
il faut faire voir : 1° que les fonctions P et Q s’annulent avec leurs 
dérivées partielles jusqu’a Yordre —1 inclusivement quand on y 
subtitue les coordonnées dun point-racine de Vordre 7; 2° que 
chaque courbe a en cespoint 7 tangentes distinctes. 


42. Premiérement, quand f(z) a 7 racines égales a 2+ y1/—1> 
on doit avoir, ¢ désignant un nombre au plus égal a 7, 


: ope GP EP 
/ feseyy ie aar Fe AR Ae Se 


cette équation entraine les deux autres : 


d'P as d'P 


ie 
dx' (Ly, 


Il résulte de la et des relations (6) que toutes les dérivées de P 
de l’ordre ¢ sont nulles, et comme 7 est compris entre o et z—1, 
il est donc démontré, qu’en un point-racine de V’ordre 7, toutes les 
dérivées particlles de P s’annulent jusqu’a Vordre 2 — 1 inclusive- 
ment. — Méme démonstration pour la fonction Q. 


13. En second lieu, /es courbes P et Q ont chacune, au point 
(x, v), 2 tangentes distinctes. 
Considérons d’abord la courbe P. 


i: . dy * 
On obtiendra le cocflicient angulaire —— tang» dune tangente 
ade 


ala courbe au point (2, 7), en égalant a o la différentielle totale 


du x" ordre. Dapres la formule (9); Véquation qu’il faudra poser 
sera donc : 


d"P a™P d 
Fp COS 72 ++ Se pe 
dx ho ay 
== Sea - S05 
sin” 


. 


Le dénominateur de cette équation n'est jamais supérieur a Punité, 


et il ne peut devenir nul en méme temps que le numérateur 
quautant quon a 


ap 


. A t : »! » % ree 4 
Mais ce cas peut étre écarté, car il suffit, pour léviter, de chan- 
ger Ja direction des axes de coordonnées, Si donc. on saippose 


re “6 


nore IV. 339 


d’'P 
peas on aura toutes les solutions de cette équation en posant 
d" P 
i ; a dx 
(10) tang Zuo = — yep? 
dx" ‘dy ‘ 
et si Von fait 
d” P : 
r * dx" 
ANZ pp — — aap # 
d. cn ‘dy 
on aura 
C4 
NO = Arr; , 2 
dou 
aa Gi 
(11) ee I 
n n 


Pour avoir toutes les tangentes a la courbé P, il suffit de don- 
ner a z les valeurs 0, 1, 2,...,2—1, et Von obtient 7 valeurs 


7 ne : re F T 
de », formant une progression arithmétique dont la raison est — - 
nr 


Donc la courbe P a 7 tangentes distinctes et tellement disposées, 
que deux tangentes consécutives comprennent un angle égal a la 
ne” partie de deux angles droits. 

44. ll importe de remarquer qu'un point-racine de lordre z ne 
peut étre un point d’arrét ou un point isolé, pour aucune branche de 
la courbe P, du moins dans le cas ou la fonction P est continue. En 
effet, l’6quation qui donne tang ayant toutes ses racines inégales, 
on voit facilement, en développant P par la série de Taylor, que P 
changera de signe quand on y substituera successivement les coor+ 

- données de deux points suffisamment rapprochés du point N et sotuns 
de part.et d’autre d’une méme tangente. 


45. Un calcul analogue a celui que nous avons fait pour la courbe 
P assignerait aussi a la courbe Q, en un point-racine de lordre x, 
n tangentes distinctes et tellement disposées, que deux tangentes 


SW Bae a 
consécutives comprennent un angle égal a at On peut déja en con- 


clure qu’entre deux tangentes consécutives ala courbe P il y a tou- 
jours une tangente a la courbe Q. Mais je dis de plus que: 
Les tangentes a la courbe Q sont les bissectrices des angles for= 


mes par les tangentes a la courbe P, 
22. 


340 COURS D ANALYSE. 


Pour le démontrer, rappelons-nous la formule 


d”P 


(10) tang70 = — 


En appelant v langle qu’une tangente a la courbe Q fait avec l’axe 
des x, nous aurons de méme 


d"Q 
) 7 t axe 
12 ane 720 == — ——___ 
( é 5 d” Q 
= Gia ay. 
Or, d’apres les relations (4) 
g 
d"Q d"P a) Bs d”®P A 
GaN dah ai Me dy sf eet = 
donc 
tangrw tangrv = — I, 
dou 
No nv = a =y 
2 
1% 
(13) —v=tb--- 
P 2n 


w—v est l’'angle compris entre une tangente a la courbe P e¢ 
une tangente a la courbe Q la plus voisine, et l’équation (13) montre 
que cet angle, abstraction faite du signe; est la moitié de langle 


Tw : r . \ 
— compris entre deux tangentes consécutives a la courbe P. 
" 


16. Les résultats précédents comprennent le cas ReCee dun 
a] 
point- -racine simple. En un point de cette espéce, angle — = = formé 
2h 
par la tangente ala courbe P, et la tangente a la courbe Q se réduit a 


Tv : ee a MJ ° . . 
7 On peut @ailleurs Pétablir directement. Ainsi : 

En un point-racine du premier ordre les courbes P et Q se cou- 
pent a angle droit. 


Cette propriété appartiendrait encore aux courbes représentées 
par les pe ehous 


P.='Ay., = B 


Act B étant deux constantes quelconques. 


nore LV. 3 


a. 
= 


PROPRIETES. DES COURBES DONNEES PAR LES EQUATIONS 
P— Oo, —P Ol 0. 


17. La courbe qui a pour équation P — Q = o est le lieu de tous 
les points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P et Q, 
donnent des résultats égaux et de méme signe. En chaque point de 

P ens 
cette courbe le rapport ~ est égal a1. 


Q 


La courbe qui a pour équation P + Q = @ est le lieu de tous les 
points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P et Q, 


, : 2 : Iv 
donnent des résultats égaux et de signes contraires. Le rapport = y 
af Q 


f 


est constamment égal a —1. 
Les courbes P — Q, P + Q jouissent des mémes propriétés que 
les courbes P et Q, et il suffit pour le démontrer d’observer que les 


fonctions : 
P= ee Q, Yee ie + Q, 


sont la partie’réelle et le coefficient de /— 1 de la fonction 


(1+ V—1) f(z) = (1+ Y—) (P+0 Y=) 
=P —Q4-(P+ Q) =. 


Pailleurs p et g sannulent éyidemment avec leurs dérivées jus- 
qu’a Vordre z exclusivement, quand on y substitue les coordonnées 
dun point racine de l’ordre 7; d’ou il suit que: 

En un point racine de Vordre n; 

1°. La courbe P —Q an tangentes distinctes dont chacune fait 


: ; ; 4 A 
avec celle qui la suit un angle égal a ai 


2°. La courbe P+-Q a aussi n tangentes distinctes qui sont les 
bissectrices des angles formés par les tangentes a la courbe P—Q. 


48. Pour construire les tangentes a nos deux nouvelles courbes, 
il suffit de connaitre langle qu’une tangente a lune elles fait 
avec une tangente a la courbe P. 
Soit tang ze le coefficient angulaire d’une tangente a la courbe 
P — Q: on a trouvé plus haut 
Apel 
aay 
(10) tangrw = -- <p i 


Tee ayy 


342 COURS D ANALYSE. 


a cause de la symétrie du calcul, on aura aussi 


d”" p 
(14) RADE els a ee 
ay 
mals 
ap aee l ae tas E d"P 
dx" dx” dx da" * dx da" dy’ 
d" i ue d"p d"Q d®P dd” Ee 
“dx dy dy dx’ dy aa dy a dy dae 
Done ' 
d"P REN 
dx® * dx dy — —(tangnw+-1) _ " Tea 
Wap hems aept dep 25 kane OA Wee (« tae =) ; 
dah dy, Vax 
dou 
I %, 
(15) e = |) — i ar 


De la résulte que si Von construit, comme au n° 14, les tangentes 
aux courbes P et Q, et que si Von désigne respectivement les angles 
consécutifs formés par ces tangentes, par les nombres 


Oo ES ae anger 


, 
les bissectrices des angles de*rang pair seront les tangentes a la 
courbe P +-Q. Les bisscotisees des angles de rang impair seront les 
tangentes & la courbe P — Q. 

* 


DEMONSTRATION DUN THEOREME DE M. CAUCHY. 


49. Tracons autour d’un point-racine N, de lordre x, un cercle 
assez petit pour que dans son intérieur les courbes P, Q, P — Q, 
P+ Q se confondent sensiblement avec leurs tangentes, et, par 
suite, ne puissent s’y couper mutuellement ailleurs qu’au point N. 
Un point mobile M qui parcourra la circonférence dans le sens di- 
rect de rotation, c’est-d-dire en allant des a positifs aux y positifs, 
devra rencontrer 27 fois chacune des quatre courbes et toujours 
dans lordre suivant : 


SPS QD POM), (PIP a 
Concevons qu’a chaque Re du point mobile on bs as ses 


coordonnées dans le rapport © =. De Ja courbe P—Q, ou 


Q : 


a ; B 
tif(17), le point M passe sur la courbe P ot ‘OL sannule, et de la immeé- 


est posi- 


} 3 


NOTE 343 


diatement sur la courbe P+ Q, Bae = est hin Done chaque fois 


5 


que le point M traverse la courbe ee rapport =. asse du positif 


0 Pp 
au négatif. Ce rapport passe au contraire du négatif aw positif cha- 
que fois que le point M traverse la courbe Q. é 

Done lorsque le point mobile sera revenu a sa position initiale 
aprés avoir rencontré 27 fois la courbe P et 27 fois la courbe Q, le 
rapport 7 aura passé 2 7 fois du positif au négatif en s’évanouissant, 
et 27 fois du négatif au positif en devenant infini. 

Si au lieu dun cercle ou d’un contour convexe on trace une courbe 
fermée trés-petite, qui présente des sinuosités, le point mobile 
pourra. traverser plusieurs fois chaque portion de Ja courbe P, mais 
il devra la traverser une fois de plus dans le sens direct que dans 
le sens rétrograde, puisqu’il doit revenir asa eee initiale. Dene, 


pour chaque portion de la courbe P, le rapport ; passera une fois 


de plus du positif au négatif que du négatif afi positif, et quand le 
point mobile sera revenu au point de départ, ce rapport aura passé 
en s évanouissant 2 72 fgis de plus du positif au négatif que du né- 
gatif au positif. Au contraire, ce rapport aura passé en devenant 
infini 2 7 fois de plus du négatif au positif que du positif au négatif. 

Ainsi se trouve démontré, pour un cas particulier, un théoréme 
remarquable di a M. Cauchy, et dont voici l’énoncé: 

Le nombre des points-racines situés dans Vintérieur Wun contour 
fermé, en supposant qwil ne s’en trouve aucun sur ce contour méme , 


est égal a la demi-différence entre le nombre des variations (*) 
: ; P 
descendantes et celui des variations ascendantes du rapport ~ = 9 pour 


toute Vétendue du contour supposé parcouru dans le sens i de 
rotation. 

20. Du cas particulier que nous venons d’examiner, on s’élove 
au cas général par les considérations suivantes , ‘empruntées a un 
Mémoire de MM. Sturm et Liouville (/ournal de Mathématiques , 


tome I, page 278) : 
« Soit A’excés du nombre a variations eons sur le nom- 


a) P be 
bre des variations ascendantes du rapport a) pour un contour qui 


C ) Yappelle variation ascendante le changement de signe @une quan- 
tité qui passe du négatif au positif en s’évanouissant, Une variation des- 
cendante est le contraire. 


344 COURS. D ANALYSE. 
‘ . r ? I . 
renferme yp. racines. [1 faut démontrer que lon ap = z A, Or, 


» 1°. Le théoréme est évident pour un contour quelconque ABC, 
lorsque dans l’intérieur de ce contour et sur le contour méme on n’a 
jamais P = 0; alors en effet les deux nombres » et A sont tous les 


: 2 n I 2 : 
deux nuls, et par suite l’équation » = ; A est satisfaite. 


» Elle est satisfaite encore lorsque dans l’intérieur du contour ABC, 
et sur ce contour méme, on n’a jamais Q = 0; lenombre ¢ est alors 
encore égal a zéro, et je vais prouver que l’on a aussi A= o. En 

eet R. : ‘ 
effet la fraction ~, quand on aura fait un tour entier pour revenir 


Q 


au point de départ A, devra se retrouver en ce point affectée du 

méme signe que d’abord elle possédait, quand le mouvement'a com- 

mencé : donc cette fraction doit changer de signe un nombre pair 

de fois, toujours en s’évanouissant, puisque son numérateur seul - 
peut devenir nul, et en passant alternativement du positif au né- 

gatif et du négatif au positif: donc enfin l’excés A du nombres de fois 

ou elle va du + au — sur le nombre de fois oti elle va du — au + 

en s’évanouissant, est égal a zéro, ce qwil fallait prouver. 

» 2°. Quand le théoréme de M. Cauchy avlieu pour deux contours 
ABCA, ACDA qui ont une partie commune AC, il a leu également 
pour le contour total ABCDA formé par leur réunion. En effet, 
Yexcés A du nombre de fois ot 4 s’évanouissant passe du +- au — 
sur le nombre de fois ott cette fraction en s’évanouissant passe du — 
au est le méme, soit qu’on parcoure le contour total ABCDA , 
soit qu’on parcourre successivement les deux contours ABCA, ACDA, 
puisquw’a chaque passage du + au — oudu — au--, quia lieu quand 
on va sur le cdté AC de C en A, répond un passage inverse du — 
au-+ ou du-+ au —, quand on va sur le méme coté de Aen C. Or 
en supposant que le nombre des racines soit égal a ».’ dans le con- 
tour ABCA, et a.u" dans le contour ACDA, on a A= 2p’ pour le 
premier de ces contours, et A= 2" pour le second, puisque le 
théoréme de M, Cauchy est supposé applicable a un et a Vautre : 
Waprés ce qu’on vient de voir, il résulte de 1a que, pour le contour 
total ABCDA, ona A= 2(v'+ 2"); donc le théoréme de M. Cauchy 
est vrai pour le contour ABCDA qui renferme p+ »” racines, 

» Si l'on considére un nombre quelconque de contours juxta- 
posés, pour chacun desquels ce théoréme ait lieu, il aura lieu éga- 
lement pour le contour total formé par la réunion de ces deux-la : 
c’est ce qu'on verra ea réunissant ces contours siccessivement deux 
a deux , comme on peut le faire @apres ce qui vient d’étre dénontré, 


cs, 


note IV. 340 
» 3°. Etant donné un contour quelconque ABC, on peut toujours 
ie concevoir divisé : I. En contours convexes tracés autour de cha- 
que racine contenue dans l’intérieur de ABC, et assujettis aux con- 
ditions énoncées n° 19; Il. En contours semblables a ceux dont on 
a parlé (1°) , c’'est-a-dire pour lesquels on n’a jamais a la foisP=o0, 
Q= o. Le théoréme de M. Cauchy ayant lieu pour les diverses par- 
ties dans lesquelles on divise le contour ABC aura lieu pour ce con- 
tour méme ABC, dont la forme est arbitraire. 
» Ce théoréme est donc entiérement démontrés 
» Toutefois, nous excluons formellement le cas particulier ov, 
pour quelque point de la courbe ABC, on aurait A la fois P= 0, 
Q=o0; ce cas particulier ne jouit d’aucune propriété réguliére, et 
ne peut donner lieu a aucun théoreme: car dés qu’on l’admet |’excés 
A peut varier avec la forme du contour sans qte’le nombre y. varie ; 
de sorte qu’il n’existe alors entre y et A aucune relation constante. » 


ASYMPTOTES DES courBES P, Q, P—Q, P+Q, DANs LE cas ov P 
ET Q SONT DES FONCTIONS ALGEBRIQUES ET ENTIERES. — THEOREME 
> r e r 
SUR LE NOMBRE DES RACINES D'UNE EQUATION ALGEBRIQUE. 


21. Soit une équation algébrique et entiére de degré m, 
f(a) = (A, +B, Y—1) "+ (A, +B, Yi) 2+. 
AG te,.V- a S20 
si nous posons 
2=a+y/—1 r(coso+ /—t1 sine), 
A, +B, V—1 =», (cosz,+y—1sinz,), 


r 


nous aurons 


fl2z+yy¥—1) =P+QY—i1= er” [cos (4+ mo) 
+y—r1sin(«+ mo)]+9,7"" cos[«,+ (sr —1)0] 
a/—it sin [%,+(m—1)o]+..., 
dou 
P = p7"cos(%+ mo) + 9,7"! cos[a, + (m—1) 0] 
+p,r"- es 8 +(m—2)o]+..., 
Ce pr" sin (2+ me) + pr sin[a, + (m—1)o]) 
+ p,7"* sin [z, + (m—2)o]+.. 
Les polynémes P et Q ainsi définis, nous allons chercher les 
asymptotes des courbes données ‘par les équations P= 0, Q =o. 


22. Les coefficients angulaires des asymptotes d'une courbe al- 
gébrique de degré 7, sobtiennent en égalant a o la somme des 


346 COURS D ANALYSE. 
termes de son équation dum” degré, apres y avoir fait 2 = 7 cos, 
y=rsino. 

Or, les termes du m'*”’ degré des polynomes P et Q proviennent 
évidemment de Ja substitution de x+y /—1 a la place de z dans 
le terme (A,+B, /—r) 2” de Péquation f(z) =o. Done, si réser- 
vant » pour désigner langle qu’une asymptote a la courbe P fait 
avec l’axe des xz, on appelle » l’angle analogue relatif a la courbe Q, 
on obtiendra » et v en posant 


or" cos (z-+-meo)=0, pr”cos(z+ mr) = 0, 


dou Von tire 


Z < 00 Lit, 
o=—— , ——+—-—, 
i m eee 
(16) 
g s 
OS ae he P 
™m me 2m 


23. Quand l’équation d’une courbe de degré m est telle, qu’on 
puisse faire disparaitre les termes du (72 — 1)" degré en posant 
xr=au'+ta2, y=y'+y7,, on sait que toutes les asymptotes de 
cette courbe passent par le point (,, 7). 


Les courbes P et Q sont dans ce cas. . 
En. effet si dans l’équation f(z) =o on faits = 2'4+-2,+7,/—1 


il suffira, pour faire disparaitre le termes en 2’”~', de poser 


re m A, +B, V—1 


ou bien séparément, 


: a ASA, + B,B, > PA Ree, 
bel = sae AY Ale BG ye m Aza-Be 7) 


T 


La transformée en 2’ n’ayant pas de termes du (a —1)""" degré, 
les polyndmes P,, Q,, analogues a P et a Q, que on en déduit en 
posant 2'= 2'-+-)'/—1, nauront pas non plus de termes de ce 
degré. 

Mais il est évident que P, et Q, sont ce que deviennent P et Q 
quand on y fait #=a'+2,, y=y'+y7,. Ainsi, les polyndmes P 
et Q perdent leurs termes du degré m—1i par ce changement de 
variables, et, par suite, toutes les asymptotes des courbes P et Q 
passent par le point (2,, 7”): 


24. Des formules (16) il résulte? 1° que les deux courbes P et Q 
ont chacune me asymptotes distinctes; 2° que deux asymptotes 


} eg 


nore IV. 34 
consécutives de lune Welles comprennent un angle égal 4 —, 
. £5 D0 


dont la bissectrice est une asymptote de l'autre courbe (*). 

La construction des asymptotes est donc la méme que celle des 
tangentes en un point-racine de V’ordre 7. 

Les équations qui donnent tang» et tang» n’ayant que des ra- 
cines inégales, les asymptotes ainsi obtenues sont bien réelles et 
s’approchent indéfiniment des courbes P et Q, tant du cdté de l’in- 
fini positif que du cété de Vinfini négatif. ‘ 


25. Les courbes P—Q, P-+Q ont aussi chécune m asymptotes 
qui passent par le point (z,, y,). Leur position par rapport aux 
asymptotes des courbes P et Q est la méme que celles des tan- 
gentes au n° 18. Il résulte de la que si du pomt (z,, y,) on décrit 
un cercle assez grand pour que, prés de sa circonférence, les 
courbes se confondent sensiblement avec leurs asymptotes, un 
point mobile, parcourant ce cercle dans le sens direct de rotation, 
rencontrera 27 fois chacune des quatre courbes et toujours dans 
Vordre suivant : ’ 


Pet) Pere Ot 


Par conséquent, la différence entre les nombres des variations 


P 
descendantes et ascendantes du rapport 0 sera égale pour ce con- 
tour a 2m. Le nombre des points-racines qu il renferme ‘est donc 
égal a m, et comme au dela les courbes ne peuvent pas se couper, 
on en conclut que toute équation algébrique et entiére, de degré 


m, a coefficients quelconques , admet m racines de la forme 


a+By—4. 


PROPRIETES DES SURFACES DONNEES PAR LES EQUATIONS 
5 P, = Q. 


26. Si dans l’intégrale définie (475 ) 


fon u)\d§=arf(o)> 


ott w tient la place de x+-y ¥—1= (cos? + Y—1sin9), on sup- 


(*) Ces propriétés des asymptotes ‘ont été remarquees par M. Gauss et 
publiées par lui, en 1799, dans. une thése intitulée : Demonstratio nova 
theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius varia~ 
bilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Welmstadii. 


- 


348 COURS D ANALYSE. 


pose f(w) de la forme &(w)+¥(u)y—1, ©(u) et ¥(w) étant des 
fonctions réelles de w, on aura séparément : 


P27 27 ' 
if Pdé = 27(0), ue Qd§=arV(o), 
0 0 


P et Q ayant toujours la méme signification, mais devant étre con- 
sidérées comme des fonctions réelles de rsin9 et de rcos6. 
Voici une conséquence remarquable de ces formules : 
Soit V le volume d’un corps compris entre la surface z = P, le 
plan wy, et un cylindre droit de rayon 7 et ayant pour axe l’axe 
des z. On aura : 


2 r : 27 ye 
va ff redao= f ra f Pao az0(0) f rdr, 
t 0 ce) 0 


et enfin 
V=r77'0(0). 
Ainsi le volume considéré est égal a celui d’un cylindre ordinaire, 
de méme base et ayant pour hauteur ® (0). 
En appelant U un volume analogue, dans lequel la surface z= Q 
remplacerait la surface z= P, on aurait de méme 


Vane So): 


Dans le cas ot la fonction f(z) est réelle, ce volume est cons- 
tamment nul. 


REMARQUES. 


27. Les courbes données par les équations P=o, Q=o, ne 
sont pas les seules qui puissent servir a représenter par leurs 
intersections les racines de l’équation f(z) =o. En effet, on ne 
change pas les racines de cette équation en multipliant son premier 
inembre par une constante réelle ou imaginaire. Or, le premier 
membre de !équation 


(a+b ¥—1)fl2)=0 
se changera pour z= 2-+yy/—1 en 
aP—bQ+(bP+aQ)V—1, 
et les courbes données par les équations 
P,=aP—bQ=0, Q, = b6P+aQ=0 


se couperont aux points-racines de la proposee. 
Les courbes P, et Q, jouissent des mémes propriétés que les 


courbes P et Q, et si on ajoute a cette remarque, qu’en chaque 
i ay 


Nore \V. 34G 
: : mp ; ee, , 
point de la courbe P, le rapport 0 est égal a —; on aura deus 
\ a 
‘théorémes, qui pourront s’énoncer d'une maniére abrégée comme 
il suit : 


Pp : 
Le rapport 0 a la méme valeur & tous les sominets Cure poly- 


gone régulier infiniment petit de 2n cétés, dont le centre est un 
point-racine de lordre n. 


P ; A 
Le rapport 0 a la méme valeur a tous les sommets Cun poly- 


gone régulier infiniment grand de 2m cétés dont le centre est le 
point de concours des asymptotes. — Le dernier théoreme ma lieu 
que dans le cas ot P et Q sont des fonctions algébriques et en- 
tires de degré m. il 


f 


28. Tous les théorémes démontrés dans cette Note ne s’appliquent 
‘qu’aux fonctions que M. Liouville appelle bien déterminées, @est-a- 
dire a celles qui ne prennent qu'une seule valeur pour chaque va- 
leur de la variable z = 7+ y = I, ef qui varient dune maniére 


continue quand le point (., 7) se déplace suivant une courbe quel- 
conque. 


NOTE V. 


EXERCICES SUR LA RECTIFICATION DES COURBES PLANES, 


Par M. E. Provuner. 


Formule pour la rectification des ares. — Approximation des arcs. — 
Transformation des ares de courbe. — Courbes rectifiables. 


FORMULE POUR LA RECTIFICATION DES ARCS DE COURBE PLANE. 


4. Soient AB une courbe plane, O un point pris dans son plan, 
OP une perpendiculaire a la tangente menée a la courbe AB par un 
de ses points M: Za normale a la courbe, lieu des points P, s’ob- 
tient en joignant le point P au milieu de la droite OM. 


2. Si, Pon désigne par p la perpendiculaire OP et par » Cangle 
que cette droite fait avec un axe fixe, on aura 


do 


350 COURS D’ ANALYSE. 

Cela résulte de ce que PM est égale a la sous-normale de la po- 
daire (c'est ainsi qu'on nomme le lieu des points P), quand on con- 
sidere p et » comme des coordonnées polaires. 


3. Si du point O on abaisse une perpendiculaire OQ sur la nor- 
male CM & la courbe AB, C étant le centre de courbure, on aura 


cO= + d’p 


Sa 1) 
dw? 


car le point Q appartient a la podaire de la développée de la 
courbe AB. 


4, Si Pon désigne Parc AB par s, et par « et 6 les angles que les 
normales aux points et B font avec un axe fire, on aura 


T ack B a dp dp 
oe AEG @ Paost dw ] 8 do} a 


En effet, » étant le rayon de courbure, on a 


ig i m ip d’p 
= odo = (OP + CQ) do = Por dw. 
N 2 bs dw 


5. Quand le point O est le point de concours des normales extré- 
mes et plus généralement quand les extrémités de Varc AB sont 
également distantes des points correspondants de la podaire, on a 


(IL) af pit. 


Conséquence de (2) et de (4). 
6. La formule (1) ne change pas quand on change p en 
Pp+acoso+dbsinw. 
Analytiquement cela résulte de ce que 
z2=acoso+bsine 


est Vintégrale générale de l’équation 
5 ==«0. } 


eéométriquement cette transformation revient a déplacer le point O 
d’ow l'on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes a la courbe. 


Nore V. 358 


APPROXIMATION DES ARCS DE COURBE. 


7. Soient AB un are convexc, O'un point pris dans la concavité 
de cette courbe, 3 Pangle des normales extrémes, en désignani 
PUT Py. yy Py++++Py, les rayons de courbure qui font avec la nor- 

92 Sis 


male au point A les angles 0, —, —,) —=--) on aura 
on. 2n oR 


INE ssa e Wo aia eet ae skates. 


n ; 


AB=< a Pi 1 Ps EPs ry rep Sora 21, 


nr - 


d? 0 


si @ ailleurs To? est négatif pour les valeurs de w comprises entre 
ao ; j 


0 éf @. 


Ces deux inégalités résultent de ce que i od peut étre consi- 


dérée comme Yaire dune courbe convexe Hens o et » seraient les 
coordonnées rectangulaires. 


8. SiO est le point de concours des normales extrémes, et p, 
Jot | CRM EES perpendiculaires abaissées sur les cétés Pun poly- 
gone équiangle circonscrit a la courbe AB, on aura 


AB=lima 2Po tb Pot Pe: Pin 


OUR =72==)60 
n P 


? 


1 ee ae dee oP * Pox 


OU agate =n a 
5 p 


9. Soit CD une droite partagéc au point E en deux segments, 
CE=a, CD=6. St Pon partage en 2n parties égales la demi- 
circonférence décrite sur CD comme diamétre et que Pon désigne 
PU Py Pi ++» Pony (€8 droites menées du point EK aux divers points 
de division, le périmetre de Vellipse ayant 2a et 2b pour axes scra 
compris entre deux circonférences ayant pour rayons la premiere 


Poh Prt Pit +++ 2P on 
n 
et la seconde 
n 


Le théoréme aurait encore lieu‘ si le point E était pris sur le 
prolongement de CD et que l’on edt encore EC =a, ED= 0b. 


10. La moyenne des distances Cun point pris dans le plan Cun 


352 COURS D ANALYSF. 
cercle, aux sommets Cun polygone régulicr Wune infinité de cétées 
inscrits dans le cerele, est égale au périmetre @une ellipse avant 
pour demi-axes la plus grande et la plus courte distance du point 
a la circonférence, divisé par 27: — Cas ou le point est pris sur la 
circonférence 

Conséquence de (9). 


41. Le périmetre Pune ellipse ayant pour axes 2a et 2b, a> b, 
ctant désigné par EB, on a 


E> anxb, E< 274, 
aCe ir) 
We Ge: Econ V2G +287, 
2 = 2 
j eC alary ®) 2 Pi wp Wop Se wits Savy 4 
even ad ioe arp eea es 
4 


Conséquence de (9). 


12. Si AB et A’B’ sont deux droites paralleles, et @, 6, des points 
pris sur les droites AA’, BB’, de telle sorte que 


Aa Bb m 
Ma BS Fe! 
on aura : 
nAB = mA'B' 
m+n . 


: ab = 


On prendra le signe +- si les droites AB, A’B' sont dirigées dans le 
méme sens, et le signe — dans le-cas contraire. 


13. Si plusieurs polygones ABCD..., A’B'C’D'..., A"B"C"D"..., 
ont leurs c6tés respectivement paralleéles, sia est le centre de gravité 
des sommets homologues A, A', A" ...; 6 celui des sommets B, B’, 
B"..., et ainsi de suite, le polygone abcd... aura ses cétés paral- 
léles a ceux des premiers polygones, et son périmetre sera égal a 
la moyenne arithmetique des périmetres des polygones proposés. 

Se démontrera d’abord pour deux polygones, puis pour trois, et 
ainsi de suite, au moyen du théoréme 12. 


14. Soient C, C’, C",... plusieurs courbes, A, A’, A”,... des points 
appartenant respectivement a ces courbes et tels, que les tangentes 
en ces points soient paralléles..Soit a le centre de gravité des points 
A, A’, A",... considérés comme des points matériels de poids 
égaux. Si les points A, A',... se meuvent sur leurs courbes respecti- 
ves en remplissant towours les conditions précédentes, ‘Pare de 


, eg 


é 
NOTE V. 353 
courbe décrit par le point a sera €gal a la moyenne arithmétique des 
et Ee oe ae at co ’ 4 P 5 ql 
ares décrits par les points A, A’,..., en prenant avec le mémé signe 
les ares décrits dans le méme sens. 


48. Etant donné un arc AB, /e transformer en un are Wespéce 
differente et de méme longueur. 

Soient OA et OB les normales menées aux extrémités de l’arc AB. 

Soit A’B’ ce que devient AB quand on fait tourner la figure autour 
de la bissectrice OC de l’'angle AOB. En appliquant le théoréme 14, 
on aura une courbe ab égale a la demi-somme des arcs AB et A‘B’, 
et par conséquent égale a chacun de ces arcs. 
. Lacourbe ab est symétrique par rapport a OC. En doublant les 
dimensions d’une de ses moitiés, on aura une courbe a'c’ égalo 
a AB, mais dont les normales extrémes ferprt un angle égal a la 
moitié de Vangle AOB. ‘ 

En opérant sur a'c’ comme sur AB et répétant indéfiniment cette 
Suite d’opérations , on transformera l’arc primitif en arcs égaux 
dont les normales extrémes feront un angle de plus en plus petit 
et qui, par conséquent, différeront de moins gn moins d’une ligne 
droite. ¢ 


16. Dans la transformation précédente, on a changé un are AB 
en un autre arc de méme ouverture ou d’une ouverture moitié moin- 
dre, c’est-a-dire dans lequel les normales extrémes faisaient le méme 
angle ou un angle moilié moindre. Soit o l’ouverture d’un certain 
arc AB, posons p= f(): ona 


c= f° [fol +f" o)] do. 


On aurait encore 


$ =m [f (aw) +f" (zo) | do. 


Soit p, =f, () Péquation de la podaire d’une certaine courbe dont 
Y’arc serait représenté par la formule précédente : on doit avoir 


fo) +f (0) = f(40) +f" (2). 


La fonction f, est donc donnée par une équation différentielle li- 
néaire du second ordre, en général difficile a intégrer. 


COURBES RECTIFIABLES. 


47. Trouver une courbe connaissant sa podaire, 
Si p= f() est ’équation de la podaire, 7 le rayon vecteur de la 
II. 23 


354 COURS D ANALYSE. 

courbe cherchée et 9 l’angle de ce rayon vecteur avec l’axe fixe au- 
quel la podaire est rapportée, il faudra eéliminer © entre les deux 
équations 


48. Sil’on prend {(w) égal a la dérivée @une certaine fonction 
F(o), ’élimination précédente donnera une equation 


o (7, 0) =e, 
qui représentera une courbe rectifiable. 


19. On obtiendra encore wre courbe rectifiable si l'on trouve une 
fonction M de x telle, que Von puisse trouver en termes finis les 


intégrales ‘ 
[ Mae, fue | 
I “Gh een 
x <5 (G—E [Mae 


En prenant M de la forme M= az", on aura une courbe algé- 
brique. Si M est une fraction algébrique rationnelle, la rectification 
de la courbe dépendra généralement des ares de cercle et des loga- 
rithmes. ; 


Il suffira de poser 


NOTE VI. 


SUR LA REDUCTION DES SOMMES AUX INTEGRALES, 


Par M. E. Provuner. 


Formule fondamentale, — Application de cette formule aux fonctions en- 
tidres, — aux fonctions fractionnaires, — aux fonctions transcendantes. 
— Theoremes a démontrer. 


FORMULE FONDAMENTALE. 


1. Soit f(.) une fonction queleonque et z un nombre entier posi- 
tif. Proposons-nous de trouver une fonction 9 (7) telle, que Von ait 


(1) (2) =fl2)+f(e+h)+flarak)+...- 
+f(a+-n=Th). 


nore VI. oe: 


Y 
Or 


Posons 

(2) b(2) =f'(@) +f (@ +h) + f(a + 2h) + 
flea). 

il en résultera 

(3) 9 (m+1) = 9(2) = f(e+ nh), ‘ 

(4) p(w+1)— b(n) =f 


La fonction ¢ doit satisfaire 4 l’équation (3 )‘pour des valeurs en- 
tiéres de 7; mais il est clair que cette conditign sera remplie & plus 
forte Bison; si l'on obtient une fonction ¢ telle, que l’équation (3) 
soit satisfaite pour toutes les valeurs que l’on mettrait ala place de 7. 
Alors Péquation (3) est identique. On pourra, done prendre les dé- 
rivées des deux membres par rapport a v, et l’on aura 


(5) y'(z+1)—9'(nv) = hf'(x2+ nh), 
et, en comparant avec |’équation (4 ), 
(6) o(mz+1)— ¢'(rn)=h¥(n+1)L2hVY(n). 


Si maintenant nous changeons successivement 7 en z-+-1, 2+-2,..., 
n-+ Af, nous aurons, en ajoutant les résultats, 


g'(z+h) — o'(n) = hb (n+h)—hdb(xn), 
ou bien 
(7) y'(n)—hb(n)=y' (2 +h) —hd(n+h). 


Le premier membre de cette égalité est indépendant de /; done il 
doit en étre de méme du second: mais ce dernier est une fonetion 
de z +4, et il ne peut pas étre indépendant de # sans ’étre de xz. 
Donc légalité (7) sera satisfaite si ’on pose 
(8) o'(n)—hb(n) =e, 


i 


c désignant une constante, c’est-a-dire un nombre indépendant de 7. 
En désignant 9(z) par Sf(#) et ¥() par S f'(#), on aura 


a 
£ Sf(x) = hSfi(x) +e, 
et en intégrant, 
(1) Sfl2) = J Sf'e)dntpen, 


formule qui fait dépendre la sommation de la fonction f(«) de la 
sommation de sa dérivée. On n’ajoute Be de-nouyelle constante, 
parce que Sf({2) doit étre nulle pour 2 = 0. 


356 COURS D’ ANALYSE. 


APPLICATION AUX FONCTIONS ENTIERES. 


2. Supposons que f() soit une fonction entiére du degré m; 
alors f”() est une constante A, et l’on a tout d’abord 


se Sof Pil a7) x Here, 
dou lon tire successivement, en appliquant la formule (I), 
Ahr? Br 
MiaD fa Na we 
ee ree oe 
yA Sel) (SOM YOY 29 ¢ Re S38 
Ss M—2 f=, paren Pere ? Lite te eae =feet 
fae a: 1.23 y.2 ro 
Ah n'* Bih’n? Bohn? Br 
3 ae { eer lee tase pan 
Sf eS a say ion 1.2 be te 
ot enfin 
A ua ikem B, fr nm B, fl'-2 nm} 
of(#) ~ 1.2.3... (m7+1) aarti erere ne reaT A ; 
4 Bat hn’ go 
ee I 


B,, B,,..., B,, sont des constantes dont la valeur se déterminera 
successivement, a chaque intégration, en faisant 7 =1. 


3. On trouvera tres-facilement par ce moyen les sommes des puis- 
sances des ~ premiers nombres. En désignant ces sommes par §,, 
§,, 5,, etc., on aura, en général, 


n 

(I) S72 f S,,-, da +e; 

oO 
on a d’abord 

0 — nl, 
et en intégrant, 

S, =—=-+ CR, 
2 


Pour déterminer c, on fera 7 = 1, ce qui réduit le premier membre 


I rat I 
a 1: On aura donc 1 = = +c, Voc == et 
i 2 


notr VI. 3 
~ On aura de la méme maniére 


Or 
“J 


2 bee nr > hee 7 n> nr n 
ae BR (CDs => pes a= 
et ainsi de suite. : 


On voit que la formule (IL) présente un grand avantage sur la for- 
mule du n° 743 qui fait dépendre chaque somme de toutes les sommes 
d’un indice moindre. En partant de la valeur ae S,, donnée au nu- 
meéro cité, on trouvera facilement 


n° n OUCF we f 
5s=-— —— =) 
9 2 12 12 
é = LN OS) Oe a 
DSS SSF 5 Saas % 
7 2. 2 6 42 
2 7 6 2 
n n 77 She ae 
> =p a = Sees 
8 2 12 24 12 
: Tlie TE DTU eRe AED FO n 
od he Bae == ——— =) 


9 2 3 eG 30°. & 


BE SOTO a Oe 


§ =—+=-+ ———); 
10 2 4 10 2 20 
{t 10 9 3 
n 7 5n ks n Snr 
S Ee 4-8 
ae TT 2 6 66 
ni? fe n'! r17'° TT 72 Deze. Ti 72 D728 
TD 2 12 8 6 8 12 


APPLICATION AUX FONCTIONS FRACTIONNAIRES. 


4. Posons 
Z ae ' a Oey 
eae at dou ae) (a1) 
On a trouvé (741) 
I ci I I 
Pa ones aR ne (7z-+ 1) eieee 
On aura donc 
d Slax) = <n 
dn ( ~ (2-41) 
De la résulte ; 
I va 
comme sae (ay. 


Pour déterminer Ja constante, faisons c = 1: le premier membre se 


358 COURS D' ANALYSE. 


; donc ¢=T, et, par suite, 


: 1 ; 3 

réduit'a Set Sf (72) a —— 
A Zeus f(a) a — 33 

3 


5 ant 
ip Seay? i Oe ein ae ier ie n+t) 
) 


ou bien 
3 5 2n +1 I 


ty Poa og) in tip tre Lectoa 


APPLICATION AUX FONCTIONS TRANSCENDANTES. 
5. Soit 
ae hss EF 
Weis Sf(x) =ite+ePt-e+t.iotet, 


ja formule (I) donnera, en remarquant que f’(a) = e*= 9), 


équation dont Vintégrale est 
ys cle=c. 
Les constantes se déterminent en faisant 7 =o, 2 =1, ce qui donne 
o=cl—e, 


ee . 
i 0 e— oy 


Ou 1 On tinene ==. == > et, par conséquent, 


Ce—iT 


ct — 


If-e+te+...f-et= 


? 
Lo erie | 


formule connue. 


6. Comme derniére application, nous allons faire voir comment 
on peut, par le moyen de la formule (1), ramener a une question 
de calcul intégral ordinaire la sommation d’une classe trés-étendue 
de fonctions transcendantes. 

1°. Soient 

a Maes Sue“, = Su’ e*, 


w' 6tant la dérivée de wu. La formule (I) donne immédiatement 


Yay y+ 

a Le Cc 

dn eeN ; 

équation différentielle du premier ‘ordre qui raméne Sue“ aS ute*. 
Si done w est une fonction algébrique et entire de x, alors y dé- 


%) 


nore VI. 399 
pendra, en derniére analyse, d’une équation de ta forme 
dz 
dn 
qui sintegre immédiatement. 
2°. Soient 


=az+e, 


y=Susinbz, z=Sucosbz, 
¥,= Su'sinbz, 2,=Su'cosbz : 


on aura, en différentiant deux fois de suite, 


if 
oF b+ y7,+¢, 
dn 

d*y 


a 


Cette seconde équation , linéaire et du second ordre, ramene donc 

Suwsinbz a Su'sinbx et a Sw'cosbx. On pourra done trouver 

Susinbx, par une suite de semblables réductions, quand x sera une 

fonction de x algébrique et entiere. 
3°. Solent 


— by + bz, ++ 


e 


r= Sue“ sinbx, 2= Sue cosbx 

Ue ’ ( ) 

° ¥,— sou e“*sinbs, z= Sw'e~ cosbz, 
on aura 


Oy, + bs tay +e, 


d*y dy 

Tat = y+ (4 +bytu+o)+ar; 
lélimination de z entre ces deux équations donnera une équation du 
second ordre et fera dépendre y de y, et de z,. Il sera donc possible 
dobtenir les intégrales demandées quand w sera une fonction algé- 
brique et entiére. 

Si maintenant on se rappelle que les puissances de sind et de 
cosbx peuvent s’exprimengi..sommes de sinus. Oat de cosinus des 
multiples de dz, on conclifasdes yore’ He’ nous venons d’exa- 
miner, la possibilité d’obtenir 

Sf(x, sinbz, cos bx, e**), 

lorsque la fonction f sera algébrique et entiére. 
, 

THEOREMES A DEMONTRER. 


7. Si m est un nombre impair, on’ aura 
S,=2(n+1)e[n(r+14)], 


» desig: onant une fonction entiere. 


360 COURS Db ANALYSE. 


8. Sim est un nombre pair, on aura: 


S,= 2(n+1)(an+1)¢e[n(n+1)], 


» désignant une fonction entiere. 


9. Soient s,, la somme des m*"® puissances des nombres entiers 
premiers a Ventier n et inférieurs a ce nombre; ¢ la constante ‘qui 


entre dans la formule (Il); P (i) Pexpression 
(1—a@’)(1— &)...2 —2), 


a, bj..-, l étant les facteurs premiers de n; on aura 


mn 
samt Sip, dt + cP(n—1) >< 27. 


0 
z 


On conclut de la que pour obtenir s 
termes du développement de S 


m 


aurait ainsi, en observant que P(o) =o, 


4, = nP(—1), 
See oP (= T), 
n® n 
s= a PX )+gP(); 
nr Rr ; 
ee ae 1) FP (1); 


(eS., time x, Baee ah 


“FIN DU SECOND VOLUME. 


ee 


, il suffirait de multiplier les 
in ordonné par rapport aux puissances 


décroissantes de x, respectivement par P (—r), P(o), P(4).... On 


Ss 


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