相同性の後の直感とは何ですか？私たちはホモトピック不変のトポロジに関連するグループを構築しようとしていることを知っていますが、なぜ鎖複合体がそれを構築するのに適切な方法であるのですか？これらの不変剤を取得する他の方法はありますか？
相同性の背後にある直感は、代数的な方法でトポロジースペースの「穴」または「空洞」を検出できることです。相同性は、代数トポロジーの重要なツールであり、アベルのグループをトポロジスペースに関連付けることができます。これらのグループは、問題の空間のトポロジカル特性に関する情報を提供します。

一般に、チェーン複合体は、問題のトポロジカル空間に関する情報をエンコードするアベルのグループとそれらの間の準同型のコレクションです。チェーン複合体のアベリア群はチェーングループと呼ばれ、それらの間の準同型はエッジ演算子と呼ばれます。これらのエッジ演算子を使用すると、相同性の重要なオブジェクトであるサイクルとエッジを定義できます。

相同性の背後にある考え方は、サイクルはトポロジー空間の閉じたオブジェクトを表す要素（たとえば、閉じた球体）であり、エッジはエッジを持つオブジェクト（たとえば、円）を表すということです。一般に、サイクルとエッジは一致しません。エッジ演算子の画像を使用して、「それらが一致しない」量を測定できます。言い換えれば、ホモロジーはエッジがないサイクルの数の尺度と考えることができます。

たとえば、コホモロジー、ホモトピア、K理論など、ホモトピアの不変剤を構築する他の方法があります。これらの各理論には、異なるコンテキストで独自の特性とアプリケーションがあります。ただし、相同性は、その単純さと、問題の空間のトポロジ構造に関する情報が提供されるため、代数トポロジーで最も使用されているツールの1つです。