messages.content: 如何解包含两个变量的代数方程组
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messages.content: “方程组”类的题目会要求你同时解出两个或两个以上的方程。当其中有两个不同的变量时，比如x和y，或a和b，乍一看，你可能会觉得题目很难。幸好，知道方法后，你只需使用基本的代数技巧，再偶尔用一点分数知识，就能解决问题。如果你是一个视觉型的学习者，或者你的老师提出要求，那么你还可以学习为方程式画图。画图对于“了解情况”或检查自己的解题过程非常有用，但是它可能比其他方法慢一点，而且不适用于所有方程组。
  
  ## 使用代入法
  
  **1. 把变量分别移到方程的两边。**使用这种“代入”法时，首先你需要使用其中一个方程，“解出x”或任何其他变量。例如，假设题目中的方程为4x + 2y = 8和5x + 3y = 9。先只看第一个方程。将方程变形，两边都减去2y，得到：4x = 8 - 2y。
  这种方法之后通常会用到分数。如果你不喜欢分数，可以尝试下文介绍的消元法。
  
  **2. 方程两边同时做除法，“解出x”。**当方程的一边出现x项或你使用的其他变量时，两边同时做除法，以得到变量本身。例如：
  
  4x = 8 - 2y
  (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  x = 2 - ½y
  
  **3. 将它代入另一个方程中。**一定要代入一个方程，而不是你已经用过的方程。代入已经解出的变量后，该方程就只剩下一个变量。例如：
  
  已知x = 2 - ½y。
  还没有做任何改变的第二个方程是5x + 3y = 9。
  在第二个方程中，用”2 - ½y”代替x：5(2 - ½y) + 3y = 9。
  
  **4. 解剩下的变量。**现在，你得到一个只有单个变量的方程。使用普通的代数方法，解出这个变量。如果变量抵消，就跳到最后一步。在其他情况下，你会得到一个变量的解：
  
  5(2 - ½y) + 3y = 9
  10 – (5/2)y + 3y = 9
  
  10 – (5/2)y + (6/2)y = 9，如果你不理解这一步的计算过程，可以去学习分数加法。这种方法经常会用到这部分知识，但并非总是如此。
  10 + ½y = 9
  ½y = -1
  y = -2
  
  **5. 使用答案去解另一个变量。**不要犯解题只解一半的错误。你需要把得到的答案代入一个原始方程中，以解出另一个变量：
  
  已知y = -2
  
  其中一个原始方程为4x + 2y = 8。这一步可以使用两个方程中的任意一个。
  用-2代替y：4x + 2(-2) = 8。
  4x - 4 = 8
  4x = 12
  x = 3
  
  **6. 知道两个变量都抵消时应该怎么做。**将x=3y+2或类似的答案代入另一个方程时，你想得到一个只有单个变量的方程。但是有时，你会得到一个没有变量的方程。仔细检查自己的解题过程，确保你把变形后的方程一代入到方程二中，而不是又代回到方程一。如果你确信自己没有犯任何错误，那么你的结果应该属于以下情况中的一种：
  
  如果你得到的方程没有变量或等式不成立，例如3 = 5，则问题无解。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
  如果你得到一个等式成立的无变量方程，比如3 = 3，则问题有无穷多解。方程组里的两个方程是完全相等的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。
  
  ## 使用消元法
  
  **1. 找到可以抵消的变量。**有时，将两个方程相加，会恰好有一个变量可以’’抵消’’。例如，将方程3x + 2y = 11和5x - 2y = 13相加时，“+2y”和“-2y”会互相抵消，消去方程中的所有’’y’’项。观察题目中的方程，看看是否有一个变量可以像这样抵消掉。如果没有，你可以参照下一步的建议。
  
  **2. 对一个方程做乘法，使得一个变量可以抵消。**如果变量已经抵消，则跳过此步骤。如果两个方程中没有可以自然抵消的变量，你可以变形其中一个方程，使变量能够抵消。为了便于理解，我们来举例说明：
  
  你有一个方程组：3x - y = 3和-x + 2y = 4。
  首先，变形第一个方程，让变量y能够抵消。你也可以选择x，最后得到的答案是一样的。
  第一个方程中的- y必须和第二个方程中的+ 2y抵消。你可以用2乘以- y，来达到这一目的。
  用第一个方程的两边同时乘以2，2(3x - y)=2(3)，得到6x - 2y = 6。这样一来，- 2y会与第二个方程中的+2y抵消。
  
  **3. 把两个方程相加。**两个方程相加时，用左边和左边相加，右边和右边相加。如果你使用正确的方式变形方程，其中一个变量应该会抵消。仍然以上一步中的方程组为例：
  
  两个方程为6x - 2y = 6和-x + 2y = 4。
  左侧相加得到：6x - 2y - x + 2y = ?
  
  右侧相加得到：6x - 2y - x + 2y = 6 + 4。
  
  **4. 解最后的变量。**简化相加得到的方程，然后用基础的代数方法如果简化后方程没有变量，你可以直接跳到本节的最后一步。在其他情况下，你应该可以得到其中一个变量的简单解。例如：
  
  你得到6x - 2y - x + 2y = 6 + 4。
  将x变量和y变量分类排序：6x - x - 2y + 2y = 6 + 4。
  简化得到：5x = 10
  
  解x：(5x)/5 = 10/5，所以x = 2。
  
  **5. 解另一个变量。**你已经求出一个变量，但题目还没有解完。将答案代入其中一个原始方程，解出另一个变量。例如：
  
  已知x = 2，而其中一个原始方程为3x - y = 3。
  用2代替x：3(2) - y = 3
  
  解方程中的y：6 - y = 3
  
  6 - y + y = 3 + y，所以6 = 3 + y
  
  3 = y
  
  **6. 知道两个变量都抵消时应该怎么做。**有时，两个方程相加会得到一个毫无意义，或至少对你解题毫无帮助的方程。从头开始，仔细检查自己的解题过程，但是，如果你确信自己没有犯错，可以按照以下情况中的一种，写下答案：
  
  如果相加后的方程没有变量，而且等式不成立，比如2 = 7，则方程组无解。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
  如果相加后的方程没有变量，而且等式成立，则方程组有无穷多解。两个方程实际上是一样的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。
  
  ## 画出方程的图形
  
  **1. 只在有要求时使用这种方法。**除非使用计算机或图形计算器，否则用这种方法解方程组，很多时候只能得到近似的答案。老师或数学教科书可能会要求你使用这种方法，让你熟悉如何将方程画成直线。你也可以用这种方法来检查其他方法解出的答案。
  该方法的基本思路是画出两个方程的图形，并找到它们的交点。这个点的x值和y值就是方程组的x值和y值。
  
  **2. 解出两个方程的y。**让两个方程保持独立，使用代数方法，把它们变成”y = __x + __”的形式。例如：
  
  第一个方程是2x + y = 5。把它变成y = -2x + 5。
  第二个方程是-3x + 6y = 0。把它变成6y = 3x + 0，然后简化成y = ½x + 0。
  
  如果两个方程相同，则两条直线会完全“重合”。你可以写方程组有无穷多解。
  
  **3. 画坐标轴。**在一张坐标纸上画一条垂直的“y轴”和一条水平的“x轴”。从它们的交点开始，沿y轴向上标出1、2、3、4等数字，再沿x轴向右做同样的事情。沿y轴向下、x轴向左标出-1、-2等数字。
  
  如果没有坐标纸，你可以使用直尺来保证各数字之间的间距正好相等。
  如果使用的是较大的数字或小数，你可能需要以不同的方式来调整图形比例。例如，将原本标1、2、3的点标成10、20、30或0.1、0.2、 0.3。
  
  **4. 画出每条线的y轴截距。**将方程变形成y = __x + __的形式后，你可以开始画出它的图形，首先画出直线与y轴相交的点。这个点在y轴上的值一定等于该方程最后面的那个数字。
  
  在先前的例题中，第一条直线(y = -2x + 5)与y轴在5这个点相交。另一个方程(y = ½x + 0)的直线则在0这个点相交。它们对应的是图形中的(0,5)和(0,0)这两个点。
  如果可以，你应该使用不同颜色的笔来画两条直线。
  
  **5. 使用斜率继续画出直线。**在y = __x + __形式的方程中，x前面的数字就是直线的斜率。x的值每增加1时，y值的增量等于斜率。利用这一规律，在图形中画出x=1时，两条直线上的点。你也可以把x = 1代入两个方程中，求出y的值。
  
  在本例题中，直线y = -2x + 5的斜率为-2。当x = 1时，直线会从x = 0的位置向下移动2个单位。画出(0,5)和(1,3)之间的线段。
  直线y = ½x + 0的斜率是½。当x = 1时，直线会从x = 0的位置向上移动½个单位。画出(0,0)和(1,½)之间的线段。
  
  如果两条直线有相同的斜率，那么它们会永不相交，所以方程组无解。你可以写下无解二字。
  
  **6. 延长两条直线，直至它们相交。**停下来观察图形。如果两条直线已经相交，则跳到下一步。否则，你应该根据直线的情况作出决定：
  
  如果两条直线互相靠拢，那么你应该继续在这个方向上画更多的点。
  如果两条直线彼此相距越来越远，那么你应该从x = -1开始，朝另一边画更多的点。
  如果两条直线相距较远，试着往前画出更远的点，比如x = 10那一点。
  
  **7. 在交点找到答案。**两条直线相交后，交点的x值和y值就是题目的答案。在比较幸运的情况下，答案会是整数。例如，本例题中，两条直线在点(2,1)相交，所以答案是x = 2和y = 1。在某些方程组中，直线相交的值在两个整数之间，这时，除非图形非常精确，否则你很难判断它的具体位置。这种情况下，你可以直接写下答案，比如“x在1到2之间”，或使用代入法或消元法来求出准确的答案。
  
  **小贴士**
  
  - 你可以把答案代回到原始方程中，检查自己解题过程是否正确。如果代入后，方程等式成立，比如3 = 3，则答案正确。
  - 使用消元法时，为了消除变量，有时你需要用负数乘以其中一个方程。
  
  **警告**
  
  这些方法不适用于二次或二次以上的方程，比如包含x2的方程。想了解更多关于这类方程的信息，你可以参阅二元二次方程因式分解方面的文章。
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