我正在写关于CES生产函数的词条，想了解一下背景知识，你能详细介绍一下吗？
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CES生产函数是指替代弹性为常数的，CES生产函数首先由Solow提出的，经过实证检定，逐渐被应用。#### CES生产函数的公式

CES生产函数为常替代弹性生产函数
Y=A(δ1k−ρ+δ2L−ρ)1/ρ(1)
的简称,这是因为式(1)所表示的生产函数的替代弹性
σ=1/(1+ρ)为常数。
在经济理论中,生产函数Y=F(K,L)应满足:对任意的K、L有，Y(0,L)=Y(K,0)=0。
有些生产函数例如C－D函数
Y=AKαLβ,则由其函数表达式自然满足Y(0,L)=Y(K,0)=0,即为默认。
在研究CES生产函数时,必须同时准确地给出其使用条件:

其中K>O且L>0。#### CES生产函数的性质

由以上讨论,我们首先给出CES生产函数(l)的定义域为
对于固定的L>0,由(1)式可得人均产出函数

记为y=f(k)(2)
这里k=K/L表示人均资本(或称劳动装备)。
对(2)求导,得
(3)
显然,当k>0且L>O时,有
性质1，人均CES生产函数(2)在其定义域内,恒有
f(k)>0
再对(3)式求导，得
(4)
由此又有
性质2，人均CES生产函数(2)在其定义域内,恒有
f(k)<0
由性质1、性质2知,人均CES生产函数(2)为凹函数。
性质1的经济意义为:边际产出大于零,即资本k每增加一个单位,则产出y增加
个单位
性质2说明人均CES生产函数从经济上来说是规模递减的,即随资本k的增加,边际产出递增的速度下降。#### CES生产函数的运用

假设考虑三种生产要素的CES函数,即固定资本品K1、中间消耗品K2和劳动力L,并假设劳动力L在考察期内不变,即具有以下的生产函数形式:
（5）
在封闭的经济中第t+1年固定资本品投人来源于第t年的剩余和第t年产出的再投入部分,比例为σ1,第t+1年中间消耗来源于第t年产出的投人,比例为σ2,第t年消费均来自当年的产出扣除下一年的再投人部分。
假设折旧率为μ,整个社会的消费记为C(t),人均消费记为c(t),如上两边同除L,人均化后即有:
(6)
且有如下关系:
k1(t+1)=k1(t)−μk1(t)+σ1y(t)
k2(t+1)=σ2y(t)(7)
c(t)=(1−σ1−σ2)y(t)
取考察期内的人均消费的效用达到最大化,我们建立的模型如下:


k1(t+1)=k1(t)−μk1(t)+σ1y(t)(8)
c(t)=(1−σ1−σ2)y(t),0<δi<1,i=1,2;0<μ<1
把状态方程(7)连续化得到:
(9)

对系统(9),均衡时由,解得惟一的正均衡点满足：
,(10)
把它们带人生产函数的表达式中得到：

可解得在均衡点处有：
(11)
再把它带人式(10)中就有:


我们可以得到在均衡点的导系数矩阵为

容易得到其特征方程为:


根据根与系数的关系,我们很容易得到:
(1)若ρ2>4q>0,且ρ>0,则λ1,λ2>0,即下列条件成立：
μ−δ1μ1−ρ(Aσ1)ρ−μδ2(Aσ2)ρ>0
δ1μ1−ρ(Aσ1)ρ+δ2(Aσ2)ρ−(μ+1)>0
上述两式相加可得到。此时系统均衡点是不稳定结。
而当ρ<0,则λ1,λ2<0,亦即下列条件成立:
2μ+1>2δ1μ1−ρ(Aσ1)ρ+(1+μ)δ2(Aσ2)ρ
此时系统均衡点是稳定结点。
(2)若ρ2<4q,当Re(λ)>0时,系统均衡点是不稳定结点。而当Re(λ)<0时,系统均衡点是稳定结点。
(3)若ρ<0,则一个根为正,另一个根为负,即下列条件成立:
1<δ1μ−ρ(Aσ1)ρ+δ2(Aσ2)ρ
此时均衡点为鞍点。有一枝分界线趋于均衡点E,这就是经济学中所说的:只有惟一的最佳路径稳定地趋于均衡点E。而另一枝分界线则离开均衡点E。其余的轨线均从“最佳路径”饶过均衡点而靠近另一枝分界线。亦即其相图犹如马鞍状。
(4)若ρ=0,即下列条件成立:μ=δ1μ1−ρ(Aσ1)ρ−μδ2(Aσ2)ρ，则此时系统均衡点为高阶的,我们不做研究。
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