<s>[INST] الإنسانالإنسان ليكن R حلقة رئيسية. لماذا كل الفرعي-وحدات من وحدة R الحرة هي حرة؟ [/INST] المساعد: في الرياضيات، عندما نتحدث عن حلقة رئيسية R ووحداتها، فإن حقيقة أن كل الفرعي-وحدات من وحدة R الحرة هي حرة هي نتيجة لتعريف الحرية للوحدات على حلقة رئيسية.

وحدة R تعتبر حرة إذا كان يمكن تمثيل كل عنصر من الوحدة بواسطة مجموع خطي محدود من العناصر الحرة للوحدة. هذه العناصر الحرة تسمى قاعدة للوحدة.

لنفترض أن M تكون وحدة R حرة مع قاعدة B. إذا كان N هو الفرعي-وحدة من M، فإنه لكل عنصر n من N، يوجد مجموع خطي محدود من العناصر من B التي يمكن استخدامها لتمثيل n. هذا يعني أن N يمكن أيضا أن يعتبر وحدة R حرة مع قاعدة تتألف من تسلسل فرعي محدود من العناصر من B.

باختصار، إذا كان M هو وحدة R حرة مع قاعدة B، فإن كل الفرعي-وحدة N من M هي أيضا وحدة R حرة، لأنها يمكن دائما أن تمثل بواسطة مجموع خطي محدود من العناصر من B. </s>