<s>[INST] الإنسانالإنسان هل يمكنك شرح قاعدة السلسلة في التفاضل؟ [/INST] المساعد: قاعدة السلسلة هي قاعدة أساسية في التفاضل تسمح لك بإيجاد المشتق لدالة مركبة. الدالة المركبة هي دالة تتكون من تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى. رياضياً، إذا كان لديك دالتين، قل f(u) و g(x)، فيمكن تمثيل الدالة المركبة h(x) على النحو التالي:

h(x) = f(g(x))

تنص قاعدة السلسلة على أنه لإيجاد المشتق للدالة المركبة h(x) بالنسبة لـ x، يجب أن تأخذ المشتق للدالة الخارجية f(u) بالنسبة للمدخل u (الذي هو g(x) في هذه الحالة)، ثم تضربه بالمشتق للدالة الداخلية g(x) بالنسبة لـ x. رمزياً، يمكن التعبير عنها كالتالي:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

هنا، h'(x) هو المشتق لـ h(x) بالنسبة لـ x، f'(g(x)) هو المشتق لـ f(u) بالنسبة لـ u عند u = g(x)، و g'(x) هو المشتق لـ g(x) بالنسبة لـ x.

لنمر على مثال بسيط لتوضيح قاعدة السلسلة:

لنفترض أن لدينا دالتين f(u) = u^2 و g(x) = 3x + 1، ونريد إيجاد المشتق لدالتهما المركبة h(x) = f(g(x)) بالنسبة لـ x.

أولاً، نجد المشتقات لـ f(u) و g(x) بالنسبة لمتغيراتهما المحددة:

f'(u) = 2u
g'(x) = 3

الآن، نطبق قاعدة السلسلة:

h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

h'(x) = 2(g(x)) * 3

بما أن g(x) = 3x + 1:

h'(x) = 2(3x + 1) * 3

وأخيراً، لدينا:

h'(x) = 6(3x + 1)

لنبسط المعادلة ونحسب المشتق h'(x) للدالة المركبة h(x) = f(g(x)) حيث f(u) = u^2 و g(x) = 3x + 1. لقد وجدنا سابقاً:

h'(x) = 6(3x + 1)

الآن، نحتاج فقط إلى توزيع الـ 6:

h'(x) = 6 * 3x + 6 * 1
h'(x) = 18x + 6

لذا، المشتق للدالة المركبة h(x) بالنسبة لـ x هو:

h'(x) = 18x + 6

هذا يعني أنه في أي نقطة x، معدل التغيير أو الميل للخط المماس لمنحنى h(x) يعطى ب </s>