證明二的平方根是不理性的
這就是二的平方根是不理性的. 記得不理數是無法用 p / q 表示整數 p 和 q 的數字. 假設二的平方根是理性的, 這意味著 sqrt(2) =p / q 對於一些整數 p 和 q. 假設這個分數是縮小式的, 這意味著p和q沒有共同因子. 我們可以假設這是因為任何整數分數都可以以這種縮小形式寫成, 所以任何合理表示sqrt(2) 的存在都意味著縮小形式存在. 我們將上述方程式的兩側加上方,  這裡的數字是:  對於某些整數 p 和 q 沒有任何共同因子. 我們現在要乘以q^2  這裡的數字是:  這就是為什麼我們會把 p^2 算為偶數. 這意味著p也必須是偶數, 這樣我們就能把p寫成2*x, 我們會得到:  這樣我們就能在這個問題上得到答案.  我們可以取消方程式的兩面的因數為2. 這樣做,  這樣我們就不需要再去試了.  我們可以透過類似上述論點得出 q 是偶數的結論. 這與我們所假設的 p 和 q 沒有共同因子相矛盾. 所以我們最初的假設是 sqrt(2) 是理性的,