根據這段經文,伯恩賽德定理在組合學中的一些實際應用是什麼?
Context:伯恩賽德定理,有時也稱為伯恩賽德計數定理,考希<unk>弗羅貝尼烏斯定理,軌道計數定理,或不是伯恩賽德的定理,是群理論中的一個結果,在計算數學物件時經常考慮對稱性. 它的各種名字都是基於威廉·伯恩賽德,喬治·波利亞,奧古斯丁·路易·考西和費迪南德·喬治·弗羅貝尼烏斯. 這一結果並非由伯恩賽德本人得來,他僅僅在他的"關於有限順序群的理論"一書中引用了這一結果,而是將其歸因於弗羅貝尼烏斯 (1887). 伯恩賽德定理計算"軌道",這與計算不同物體同時考慮對稱性是一樣的. 另一個說法是計算不同的物件到等價關係R,或者計算有規範形式的物件.  接下來,讓 G 是對集合 X 起作用的有限群.對於 G 中的每個 g,讓 Xg 表示 X 中由 g 固定 (也稱為由 g 保持不變) 的元素的集合,即 Xg = { x ∈ X. g.x = x }. 伯恩賽德定理為軌道的數量提供了以下公式,表示 X/G:  現在我們 沒有. 沒有 沒有. 現在我們 = 沒有 一個 現在我們 沒有. 現在我們 <unk> 沒有. ∈ 在 沒有. 現在我們 沒有. 沒有. 現在我們 沒有. {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} 沒有一個字串,沒有一個字串,沒有一個字串. 因此,軌道數 (自然數或+∞) 是由G的元素 (也是一種自然數或無限) 固定的點的平均數. 如果G是無限的,則除G的除法可能不確定;在這種情況下,以下基本數學的命題成立:  現在我們 沒有. 現在我們 現在我們 沒有. 沒有 沒有. 現在我們 = 沒有 <unk> 沒有. ∈ 在 沒有. 現在我們 沒有. 沒有. 現在我們 沒有. {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} 現在我們可以看到一個比較簡單的例子. 數字化應用的示例 項鍊 長度為3的8個可能的位元向量,但只有4個不同的長度為3的2色項鍊: 000, 001, 011和111,因為100和010是等同於001的旋轉;同樣,110和101是等同於011. 公式是基於旋轉數,在這種情況下是3 (包括零旋轉),以及每次旋轉留下不變的位向量數. 所有的8位向量在零旋轉中沒有變化,兩個 (000和111) 在其他兩個旋轉中沒有變化,得到: 4 其他 = 沒有 一個 其他 美國 沒有 + 其他 其他 + 其他 其他 ) 在 {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2) }. 這樣一來,  對於長度4,有16個可能的位向量;4個旋轉;零旋轉使所有16位向量保持不變;1位旋轉和3位旋轉使兩個位向量保持不變 (0000和1111);2位旋轉使4位向量保持不變 (0000,0101,1010和1111);給出: 沒有. = 沒有 一個 4 其他 美國 十六個 + 其他 其他 + 其他 4 其他 + 其他 其他 ) 在 {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2) }. 這是一個非常簡單的方法. 這些是0000,0001,0011,0101,0111和1111.  一個立方體的顏色 使用三種顏色的立方體面的旋轉不同的顏色的數量可以通過以下公式來確定.  設X是36種可能的面色組合的集合,可以在一個特定的方向上應用到一個立方體上,並讓立方體的旋轉組G以自然的方式作用於X. 那麼X的兩個元素屬於相同的軌道, 因此,旋轉上不同色彩的數量與軌道的數量相同,可以通過計算G的24個元素的固定集的大小來找到.   有色面的立方體 一個身份元素,使X的36個元素保持不變 六個90度的面部旋轉,每個旋轉都不改變X的33個元素 三個180度的面部旋轉,每一個不改變X的34個元素 八個120度的頂點旋轉,每一個都不改變X的32個元素 六個180度的邊緣旋轉,每一個都不改變X的33個元素 這些自形的詳細研究可以在這裡找到.  因此,平均固定尺寸是  一個 24 其他 美國 其他 沒有. + 其他 沒有. ⋅ 在 其他 其他 + 其他 其他 ⋅ 在 其他 4 其他 + 其他 沒有 ⋅ 在 其他 其他 + 其他 沒有. ⋅ 在 其他 其他 ) 在 = 沒有 57個 現在,我們可以看到一個小小的數字, 因此,一個立方體面有57種不同的顏色. 一般來說,一個立方體面的 n 種顏色的旋轉不同的色彩的數量是  一個 24 其他 美國 沒有. 沒有. + 其他 其他 沒有. 4 其他 + 其他 其他 沒有. 其他 + 其他 沒有 沒有. 其他 ) 在 沒有. 現在,我們可以看到一個小組, 八個皇后的拼圖 在八個女王的拼圖有92個解決方案,其中12個基本的解決方案是截然不同的,直到板的旋轉和反射. 這裡有8種旋轉和反射的組合, 無效動作使所有92個解決方案保持不變. 92個溶液中的4個是對稱的,在180°旋轉時沒有變化. 這就意味著: 其他 = 沒有 一個 沒有 美國 92 年 + 其他 4 其他 ) 在 這樣一來,我們就會得到一個比較好的結果.
*項鍊計數問題:計數各種長度的旋轉式不同的項鍊,每個珠子可以是兩種顏色之一. 這件物品數量為3和4的項鍊, 答案分別是4和6. * 立方體的顏色問題:計算立方體面的旋轉不同的顏色. 這篇文章講述了一個用3種顏色,答案是57的情況. * 8 個女王拼圖:這個問題的經典版本是計算在 8x8 棋盤上放置 8 個女王的不同方式,這樣就沒有一個女王攻擊另一個 (答案是 92). 通過伯恩賽德定理的應用,該文章計算了女王的不同位置數,直到旋轉和反射,結果是12個.