根據這段經文, 根據組合學, 伯恩賽德定理的幾種實用應用是什麼?
Context:Burnside的定理有時也稱為Burnside的數定理,Cauchy<unk>Frobenius的定理,軌道數定理,或不是Burnside的定理,是群組理論中的一個結果,在數學物體數量時通常會考慮對稱. 該組織的各種名字都源自威廉·伯恩賽德,喬治·波利亞,奧古斯丁·路易·考西和費爾迪南·喬治·弗羅貝尼烏斯. 這項結果並非由伯恩賽德自己得出, 他只是在他的著作"關於有限秩序群組理論"中引用了這項結果, 伯恩賽德的定理數算出"軌道", 或是以正規形式的物體來計數.  在下面,讓 G 是一個對集合 X 起作用的有限群組.為每個 G 中的 g,讓 Xg 表示 X 中由 g 固定 (也稱為由 g 保持不變) 的元素集,即 Xg = { x ∈ X. g.x = x }. 根據伯恩賽德定理, 軌道數的公式為以下:  這樣的情況 國家 這裡是 國家 這樣的情況 = 沒有 其他國家 這樣的情況 國家 這樣的情況 <unk> <unk> 國家 ∈ 在 國家 這樣的情況 國家 國家 這樣的情況 這樣的情況, 這樣一來, 我們就能在這個世界裡, 這樣, 軌道的數量 (自然數或+∞) 就等於由G的元素固定的平均點數 (這也是自然數或無限). 如果G是無限的, 分割G的結果可能不明確; 在這種情況下, 基本數學中的下列命題成立:  這樣的情況 國家 這樣的情況 這樣的情況 國家 這裡是 國家 這樣的情況 = 沒有 <unk> <unk> 國家 ∈ 在 國家 這樣的情況 國家 國家 這樣的情況 這樣的情況, 這樣一來, 數字化應用範例 <unk>子 但只有四個不同的長度為3: 000, 001, 011和111的2色項<unk>, 因為100和010是等於001的旋轉; 110和101也等於011. 這項公式是根據旋轉次數, 在這種情況下是3 (包括零旋轉), 以及每次旋轉留下不變的位向量數. 所有的8位向量在零旋轉時都沒有變化, 另外兩位 (000和111) 在其他兩次旋轉時都沒有變化, 4 這是什麼? = 沒有 其他國家 其他國家 歐洲國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 其他國家 這樣一來,  在長度 4 的情況下,有 16 個可能的位向量; 4 個旋轉; null 旋轉讓所有 16 位向量保持不變; 1 位旋轉和 3 位旋轉各留下 2 位向量不變 (0000 和 1111); 2 位旋轉留下 4 位向量不變 (0000, 0101, 1010 和 1111); 其他國家 = 沒有 其他國家 4 這是什麼? 歐洲國家 十六號 + 其他國家 其他國家 + 其他國家 4 這是什麼? + 其他國家 其他國家 其他國家 這樣一來, 這些是0000,0001,0011,0101,0111和1111.  立方體的顏色 這項公式可用以下方式來決定使用三種顏色的立方體面的不同色彩.  讓 X 是 36 種可能面色組合的集合, 這就是為什麼我們要把 X 的兩項元素放在同一軌道上. 這樣, 旋轉上不同的色彩數量與軌道數量相同,   立方體有顏色的面 一個讓所有 36 項 X 元素不變的同一元素 六個90度的面部旋轉, 每個旋轉都讓X的33個元素不變 每次旋轉180度的三個面部, 八個120度的頂點旋轉, 其中每個不改變X的32個元素 六個180度的邊緣旋轉, 每個不變的X的33個元素 這些自動形象的詳細考察可以在這裡找到.  平均固定尺寸為:  其他國家 其他國家 歐洲國家 其他國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 ⋅ 在 其他國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 ⋅ 在 其他國家 4 這是什麼? + 其他國家 其他國家 ⋅ 在 其他國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 ⋅ 在 其他國家 其他國家 其他國家 = 沒有 我們的目標是 我們的目標是要讓這個國家更好地處理問題, 這樣一來, 立方體的面部有57種不同的顏色, 在 n 種顏色的立方體面上,  其他國家 其他國家 歐洲國家 國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 國家 4 這是什麼? + 其他國家 其他國家 國家 其他國家 + 其他國家 其他國家 國家 其他國家 其他國家 這樣的情況, 這裡的資料顯示, 八個女王的拼圖 八個女王的拼圖有92個解法, 其中12個基本解法是截然不同的, 這裡有八種旋轉與反射的組合, 沒有任何變化. 這樣一來, 這就表示: 其他國家 = 沒有 其他國家 其他國家 歐洲國家 92 年 + 其他國家 4 這是什麼? 其他國家 這樣一來,
這項問題是如何計算不同長度的項<unk>, 該專案的項<unk>長度分別為3和4, * 立方體的顏色問題:計算立方體面的不同顏色. 這篇文章討論了使用3種顏色, 這項問題的經典版本是數算在8x8的棋盤上放置8隻皇后的不同方式, 這篇文章以伯恩賽德的樂理應用, 計數女王在不同位置的數量,