فإذا كان لا يوجد z في X، بحيث إن x < z < y، فلاحظ المجموعات:A = (-∞, y)B = (x, +∞)تكون هذه المجموعات منفصلة (إذا كانت a موجودة في A, a < y وبذلك إذا كانت a موجودة في B, a > x وa < y والتي تصبح مستحيلة حسب الفرضية)، وغير خالية (x توجد في A و y توجد فيB) ومفتوحة (في الترتيب الطوبولوجي) ووحدتها هي X.
If there exists no z in X such that x < z < y, consider the sets:A = (-∞, y)B = (x, +∞)These sets are disjoint (If a is in A, a < y so that if a is in B, a > x and a < y which is impossible by hypothesis), nonempty (x is in A and y is in B) and open (in the order topology) and their union is X.