Deret pangkat
Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk
dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.
Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).
Daftar isi
- 1 Contoh
- 2 Jari-jari konvergensi
- 3 Operasi pada deret pangkat
- 4 Fungsi analitik
- 5 Deret pangkat formal
- 6 Deret pangkat dalam beberapa variabel
- 7 Tingkatan deret pangkat
- 8 Lihat pula
- 9 Referensi
- 10 Pranala luar
Contoh[sunting | sunting sumber]
Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat sebagai
atau sekitar pusat sebagai
atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun.[1] Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.
Rumus deret geometri
valid untuk , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
dan rumus sinus
valid untuk semua bilangan real x.
Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien tidak diizinkan untuk bergantung kepada , jadi misalnya:
- bukan suatu deret pangkat.
Jari-jari konvergensi[sunting | sunting sumber]
Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0   r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:
atau, secara ekuivalen,
Operasi pada deret pangkat[sunting | sunting sumber]
Penjumlahan dan pengurangan[sunting | sunting sumber]
Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
maka
Perkalian dan pembagian[sunting | sunting sumber]
Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:
Urutan dikenal sebagai konvolusi urutan dan .
Untuk pembagian, perhatikan:
dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.
Diferensiasi dan integrasi[sunting | sunting sumber]
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:
Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.
Fungsi analitik[sunting | sunting sumber]
Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ U mempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.
Deret pangkat formal[sunting | sunting sumber]
Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.
Deret pangkat dalam beberapa variabel[sunting | sunting sumber]
Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk
di mana j = (j1, ..., jn) adalah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, ..., cn) serta argumen x = (x1, ..., xn) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis
Tingkatan deret pangkat[sunting | sunting sumber]
Misalkan a adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |a| sedemikian sehingga aa ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.
Lihat pula[sunting | sunting sumber]
Referensi[sunting | sunting sumber]
- ^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. hlm. 24.
Pranala luar[sunting | sunting sumber]
- Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- (Inggris) Eric W. Weisstein, Formal Power Series di MathWorld.
- (Inggris) Eric W. Weisstein, Power Series di MathWorld.
- (Inggris)Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews
- (Inggris)Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.
ace_Latn bjn_Latn bjn_Latn bjn_Latn ind_Latn min_Latn ace_Latn bug_Latn bjn_Latn ban_Latn ace_Latn bjn_Latn bjn_Latn zsm_Latn ace_Latn ind_Latn min_Latn bjn_Latn zsm_Latn bjn_Latn ban_Latn bjn_Latn sun_Latn zsm_Latn bjn_Latn bjn_Latn bjn_Latn min_Latn bjn_Latn zsm_Latn min_Latn min_Latn bjn_Latn ibo_Latn bjn_Latn zsm_Latn bjn_Latn ind_Latn ace_Latn min_Latn bjn_Latn bjn_Latn min_Latn ace_Latn min_Latn bjn_Latn bjn_Latn bjn_Latn bjn_Latn min_Latn bjn_Latn min_Latn min_Latn shn_Mymr min_Latn lim_Latn bug_Latn bug_Latn bjn_Latn ace_Latn