Ruang Vektor: Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol Edi Cahyono [email protected] Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Department of Mathematics Tujuan Pembelajaran Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Setelah lulus mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat memahami ruang vektor sebagai sistem matematika, aplikasinya serta pembelajarannya untuk sekolah menengah Department of Mathematics Gambaran Umum a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 a1n a2 n amn Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Sistem Matematika Ruang Vektor: • Definisi • Aksioma • Proposisi, Lemma, Teorema • Metode/prosedure Sifat-sifat dan Aplikasi Matriks A Diberikan matriks A • Hendak dipelajari sifat dan aplikasinya • Tidak bisa secara langsung • Sistem matematika ruang vektor menyajikan alat (Proposisi, Lemma, Teorema, Metode/prosedure) Department of Mathematics Universitas Haluoleo Definisi Kendari ..::.. Indonesia a11 a12 a a22 21 Misalkan A am1 am 2 vektor vektor a1n a2 n amn r1 a11 a12 a1n r2 a21 a22 a2 n rm am1 am 2 amn disebut vektor baris dari A. Perhatikan bahwa ri R n , i 1,..., m. Department of Mathematics Definisi Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Vektor vektor a11 a12 a1n a a a c1 21 , c1 22 , , c1 2 n a a m1 m 2 amn disebut vektor kolom dari A. Perhatikan bahwa ci R m , i 1,..., n. Department of Mathematics Definisi Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks m x n. Subruang dari Rn yang dibangun oleh vektor baris A disebut ruang baris. Subruang dari Rm yang dibangun oleh vektor kolom A disebut ruang kolom. Solusi dari Ax = 0, yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang nol. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Contoh Kendari ..::.. Indonesia 2 0 1 Misalkan A . 1 1 3 Vektor vektor baris A r1 2 0 1 r2 1 1 3 . Vektor vektor kolom A 2 0 1 c1 , c2 , c3 . 1 1 3 Department of Mathematics Universitas Haluoleo Contoh Kendari ..::.. Indonesia Ruang baris dari A adalah k 2 1 0 1 k2 1 1 3 | k1 , k2 R Ruang kolom dari A adalah 2 0 1 k1 k2 k3 | k1 , k2 , k3 R . 1 3 1 Department of Mathematics Universitas Haluoleo Contoh Kendari ..::.. Indonesia x1 2 0 1 Misalkan x2 0. 1 1 3 x3 x1 k Solusi x2 7k , untuk sebarang k R. x3 2k Ruang nol dari A adalah 1 k 7 | k R . 2 Department of Mathematics Teorema Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matriks. Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks. Teorema Untuk sebarang matriks A, ruang baris dan ruang kolomnya mempunyai dimensi yang sama. Department of Mathematics Definisi Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang kolom) matriks A disebut rank matriks A, ditulis rank(A). Dimensi ruang nol matriks A disebut nolitas matriks A, dituliskan nullity(A) Department of Mathematics Teorema Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT). Teorema Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) + nullity(A) = n. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka 1) rank(A) = banyaknya variabel solusi Ax = 0. 2) nullity(A) = banyaknya parameter solusi Ax = 0. Department of Mathematics Rangkuman Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) = r ≤ min{m, n}. nullity(A) = n – r. nullity(AT) = m – r. Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Department of Mathematics Teorema Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten (mempunyai solusi). b) b unsur di ruang kolom A. c) rank(A) = rank( [A|b] ). Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran m x 1. b) Vektor kolom A membangun Rm. c) rank(A) = m. Department of Mathematics Teorema Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yang konsisten, dan rank(A) = r. Maka solusi umum sistem tersebut memuat n – r parameter. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. b) Vektor kolom A bebas linear. c) Ax = b mempunyai paling banyak satu solusi (satu atau tidak ada) untuk setiap matriks b berukuran m x 1. Teorema Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) A mempunyai invers. b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. c) Bentuk tereduksi baris matriks A adalah In. d) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n x 1. e) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b berukuran n x 1. f) Vektor kolom matriks A bebas linear. g) Vektor baris matriks A bebas linear. h) Vektor kolom matriks A membangun Rn. i) Vektor baris matriks A membangun Rn. k) Vektor kolom matriks A merupakan basis Rn. l) Vektor baris matriks A merupakan basis Rn. m) rank(A) = n. n) nullity(A) = 0. Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia
bjn_Latn