Insiemi
In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.
In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.
Tabele dai contignûts
Definizions[cambie | modifiche il codiç]
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi e l'insiemi (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi .
Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi e un ogjet , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:
- al è un element di : a si dîs che al aparten a e si scrîf ;
- nol è un element di : a si dîs che nol aparten a e si scrîf .
Chest al impliche che:
- no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
- un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.
Descrizion[cambie | modifiche il codiç]
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:
- par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
Lis dôs definizions di a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
- par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
Ancje chi, al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui e al sarà spiegât plui indevant).
Cardinalitât[cambie | modifiche il codiç]
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis e e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; e a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).
L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul .
Insiemis numerics fondamentâi[cambie | modifiche il codiç]
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.
- I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
- I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun
- al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
.
- L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi .
- I numars complès a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant la unitât imagjinarie, si à
.
Relazions tra insiemis[cambie | modifiche il codiç]
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.
Sotinsiemis[cambie | modifiche il codiç]
L'insiemi al è un sotinsiemi dal insiemi se e dome se ducj i elements di a son ancje elements di . La scriture doprade e je
- .
Se si è sigûrs che al vedi ancje elements che no apartegnin a , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:
- .
Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit e l'insiemi stes.
Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:
- .
(Nol è un erôr scrivi .)
Insiemi des parts[cambie | modifiche il codiç]
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi si clame insiemi des parts (en:power set in inglês) di . Par esempli, se , l'insiemi des parts al è
- .
Par un insiemi finît di elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).
Operazions cui insiemis[cambie | modifiche il codiç]
- Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
alore la union e je
.
Si pues notâ che e a son sotinsiemis dal insiemi union e che i elements comuns ai doi insiemis () no vegnin ripetûts.
- Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun e come prime, si à
.
De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.
- Insiemi diference: l'insiemi diference di in ( o ) al è l'insiemi dai elements di che no apartegnin a . Continuant cul esempli:
.
- Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi al è l'insiemi diference di intal insiemi univiers. Se o clamìn l'insiemi univiers e (o ancje o ) il complementâr di , si à
.
- Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian di doi insiemis e a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi e il secont element intal insiemi . In simbui:
Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian e je il prodot des cardinalitâts di e (cuant che e a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî .
Proprietâts des operazions[cambie | modifiche il codiç]
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis e a son sotinsiemis dal insiemi univiers .
- Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
;
.
- Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
;
.
- Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
e de union rispiet ae intersezion
.
- Formulis di De Morgan:
;
.
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Bibliografie[cambie | modifiche il codiç]
- G. Spirito. Matematica Senza Numeri. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
- A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
- M. Fogale e E. Paolini. Une Introduzion ae Analisi Matematiche. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
- Wikipedia Contributors. Set, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 30 July 2007, 00:14 UTC,   [accessed 9 August 2007]
- Contributori di Wikipedia. Insieme, in Wikipedia, l'Enciclopedia Libera, 8 giugno 2007, 19:50 UTC,   [in data 9 agosto 2007]
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