Estrem superiôr e estrem inferiôr
In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.
I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.
Maiorants e minorantsModifiche
Al sedi un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di si disin minorants di . In maniere formâl
- al è un maiorant di se e dome se , ;
- al è un minorant di se e dome se , .
Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.
- L'interval sierât al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di . Al contrari, i minorants di a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
- L'interval sierât e ilimitât a diestre al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
- L'insiemi dai numars intîrs nol à ni maiorants ni minorants. Duncje, al è ilimitât.
- L'insiemi al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.
Estrem superiôr e estrem inferiôrModifiche
Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di . Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.
Daûr de definizion parsore, un numar reâl al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi di , e si scrîf , se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:
- al è maiôr di ducj i elements di e
- par cualsisei reâl minôr di , al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di che i è maiôr.
In fat, si à , cualsisei , viodût che al à di jessi un maiorant di . Però al è il plui piçul dai maiorants: se , alore nol è un maiorant di e, duncje, al esist almancul un element tal che .
Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi al à massim , alore si à . In fat, l'insiemi dai maiorants di al è
In maniere reciproche, se un insiemi al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi , alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi . Al baste pensâ che al è un maiorant di (il plui piçul) e, duncje, par cualsisei . Però, cheste proprietât di e coincît cun la definizion di massim di cuant che o, in curt,
EsemplisModifiche
Considerant i esemplis fats prime, l'interval e l'insiemi dai numars intîrs a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.
L'insiemi dai maiorants dal interval , invezit, al è
Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert l'insiemi dai maiorants al è
Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è
Estrems e completece dai numars reâiModifiche
Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.
O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl. Cheste proprietât e je cognossude come la completece di secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.
Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi
Cuant che o cjalìn come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è
Invezit, l'insiemi dai maiorants di pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è
BibliografieModifiche
- AA. VV. Infinitesimale, analisi, in Grande Dizionario Enciclopedico, 4a ed. Torino: UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6.
- Wikipedia Contributors. Upper and Lower Bounds, in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 4 Zenâr 2016,  .
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- Contributori di Wikipedia, Maggiorante e Minorante, in Wikipedia, L’Enciclopedia Libera, 4 Zenâr 2016,  .
- Contributori di Wikipedia, Estremo Superiore e Estremo Inferiore, in Wikipedia, L’Enciclopeida Libera, 4 Zenâr 2016,  .
- A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
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