Was ist der Unterschied zwischen einem riemannschen und einem Lebesgue-Integral, und weshalb ist letzteres von Bedeutung?
Der große Unterschied ist, dass Riemann den Definitionsbereich, aber Lebesgue den Wertebereich unterteilt. Aber was sind die Nachteile einer Unterteilung des Definitionsbereiches:
Beginnen wir mit dem Riemannschen Integral. Hier wollen wir eine Funktion f von R nach R integrieren. Dies bezieht sich auf die Berechnung einer Fläche unter einem Graphen in einem Intervall von einem Punkt a zu einem Punkt b. Wir haben die bekannte Idee, eine Unterteilung der x-Achse zu wählen und diese Fläche durch Rechtecke zu approximieren. Dann haben wir eine Untersumme und eine Obersumme, und die Grenze wird als Riemannsches Integral bezeichnet, wenn sie wohl definiert ist. Das ist die Definition des Riemannschen Integrals. Und wir finden hier sofort einige Probleme, die uns einen Grund für einen anderen Integralbegriff geben.
Erstens: Es ist sehr schwierig, das Riemannsche Integral auf höhere Dimensionen auszudehnen. Es ist in der Tat möglich, aber es ist mühsam. Zum Beispiel in dem Fall, dass wir hier eine zweite Dimension haben. Dann ist die x-Achse ein zweidimensionaler Raum, und wir können keine Rechtecke, aber wir könnten natürlich Quader verwenden. Technisch gesehen wird es mit dieser zusätzlichen Dimension mehr Arbeit sein, da wir einen weiteren Grenzprozess benötigen. Das wird direkt klar, wenn wir den Bereich der Definition betrachten. Im eindimensionalen Fall haben wir nur ein Intervall, aber in R² könnten wir zum Beispiel einen Kreis haben, somit könnte es in der x-y-Ebene einen Kreis als Definitionsbereich geben. Und dieser Kreis ist durch Quader zu approximieren. Wir wollen eine Unterteilung dieser Domäne, indem wir die Quader darüber setzen. Das ist natürlich nicht genau möglich. Wir brauchen auch ein Approximationsargument und ein Grenzverfahren für die Unterteilung innerhalb der Definitionsdomäne. Auch dies ist durchführbar, aber technisch viel mehr Arbeit. Dies ist also ein Problem für das Riemannsche Integral, das wir direkt verstehen.
Zweitens: Wir wissen im eindimensionalen Fall, dass wir für die Funktionen, die wir integrieren wollen, einige Stetigkeitseigenschaften benötigen. Im besten Fall sollte die Funktion, die wir integrieren wollen, stetig sein. Endlich viele Punkte der Diskontinuität sind jedoch kein Problem, aber unendlich viele können die Integrierbarkeit zerstören. Und das ist ein Nachteil des Riemannschen Integrals.
Drittens: Der wichtigste Nachteil ist das Verhältnis zu Grenzprozessen. In welchen Situationen ist es erlaubt, Grenzprozesse auszutauschen, d.h: Kann ich die Grenze im Integral ziehen? Zum Beispiel: Lassen Sie uns eine Folge von Funktionen integrieren, zum Beispiel von a nach b. Wann darf man die Grenze im Integral ziehen? Für das Riemannsche Integral haben wir nicht viele Möglichkeiten: Wir brauchen immer die gleichmässige Konvergenz der Funktionsfolge. Das ist ein sehr starker Begriff und hängt mit der Stetigkeit zusammen, und deshalb wollen wir diesen Begriff schwächen. Wir kennen in der Tat viele Beispiele, wo es keine gleichmässige Konvergenz gibt und wir immer noch den gleichen Wert auf der linken und rechten Seite haben. Daher wissen wir, dass wir dieses Konvergenztheorem verallgemeinern können. Allerdings nicht durch die Verwendung des Riemannschen Integrals.
Dies sind drei wichtige Punkte, die die praktischen Schwierigkeiten bei der Verwendung des Riemannschen Integrals aufzeigen. Am wichtigsten ist, dass der Wunsch nach der Verallgemeinerung für höhere Dimensionen zu einer besseren Integraldefinition führt.
Ein noch allgemeinerer Integralbegriff ist das Eich-Integral. Es enthält sowohl das Riemann- als auch das Lebesgue-Integral als Spezialfälle, d. h., jede Riemann- bzw. Lebesgue-integrable Funktion ist Eich-Integriebar; da es jedoch Funktionen gibt, die weder Riemann- noch Lebesgue-integrabel, aber dennoch Eich-Integriebar sind, stellt das Eich-Integral eine echte Erweiterung des Lebesgue-Integrals dar. Nichtsdestotrotz ist das Lebesgue-Integral für Mathematiker von großer Bedeutung, da man damit viele abstrake Eigenschaften und Räume, etc … definieren kann. Jedoch für den alltäglich Gebrauch von Integral in der Wisseschaft, besonders in der Physik, reicht das Riemann-Integral völlig aus! In der Tat kennen viele das Lebesgue-Integral erst gar nicht!