Wenn du die Erde verlassen würdest und dich für 2 Jahre mit annähernder Lichtgeschwindigkeit bewegen würdest, wie alt wären dann deine Freunde auf der Erde, wenn du zurückkommst?
Vorliegende Antworten sind sämtlich unrealistisch - einmal ganz abgesehen davon, dass es nur möglich wäre mit Antimaterie als Treibstoff.
( Und auch dann würde dich die Doppler verschobene 3 K Hintergrundstrahlung verbrutzeln. ) Im Fernsehen wurde es schon oft beschrieben; du siehst ja gar nichts. Quasi wie in einem schwarzen Loch; der Weltraum rings um dich ist Pech schwarz. Und in Vorwärtsrichtung ist ein Kegel von einer Bogensekunde Öffnung auf dich gerichtet, aus dem grelle Gammastrahlung ertönt, gegen die selbst Meter dicke Bleiplatten nicht mehr schützen.
Was nun gar nicht geht: Mit konstanter Geschwindigkeit durch das Universum zu brettern, ruckartig zu bremsen und umzukehren; der Mensch erträgt auf Dauer keine Beschleunigung >> g . Ich schlage daher folgendes Modell vor:
180d beschleunigen wir das Raumschiff mit einer Kraft, die einer Beschleunigung von g entspricht, Dann 180d Abbremsung; Umkehr und abermals 180 Tage Beschleunigung, dann 180d Abbremsung; Heimkehr.
Die Rechnung findet ihr in dem SF Einleitungskapitel von
===> Kip Thorne; “ Gekrümmter Raum; verbogene Zeit “
Seiner Zeit mussten wir ( oder doch: unserer Zeit ) im ersten Semester bei ===> Werner Martienssen die BWGL integrieren für ein ( relativistisches ) Elektron im homogenen elektrischen Feld. Das erweist sich dann als beliebig komplitückisch, bis du in den Textbüchern über allgemeine Relativitätstheorie gesagt kriegst, hier liegt eine ===> hyperbolische Bewegung vor. Wir werden hier einen halb empirischen Ansatz beschreiten, der möglichst schnell konkrete Ergebnisse zeitigt.
Gehen wir mal aus von einem Kreis vom Radius R
x ² + y ² = R ² ( 1 )
Ihr wisst ( oder solltet wissen ) : Im Minkovskyraum gibt es eine Vierermetrik, die allerdings ===> indefinit ist, ein Minuszeichen enthält
( Raum und Zeit werden eben doch nicht gleichberechtigt behandelt. ) Die Gleichung des “ Viererkreises “ , dessen Punkte vom Ursprung O konstanten Abstabnd R haben, würde analog ( 1 ) lauten
x ² - ( c t ) ² = R ² ( 2 )
Immer die übliche Darstellung voraus gesetzt t = Abszisse; x = Ordinate. Was stellt ( 2 ) für einen Typ Kurve dar? Die ( beiden Äste einer ) liegenden Hyperbel, deren Scheitel vom Symmetriezentrum O den Abstand R haben.
Und zwar beschreibt der obere Ast die ===> Weltlinie eines Massenpunktes, der eine von O ausgehende abstoßende Kraft in positiver x_Richtung erfährt; bei dem unteren Ast, den wir nicht weiter verfolgen wollen, weist die Kraft in (-x)_Richtung.
( Die Weltlinie ist gekrümmt ===> Die Bewegung erfolgt beschleunigt. )
Und jetzt eine Mitteilung in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen “ Hochpunkt “ statt Maximum; ich kann es auch. Es heißt nicht ===> Inertialsystem, sondern Trägheitssystem ( TS ) - versteht auch jeder gleich, was gemeint ist ( Gegensatz: beschleunigtes Bezugssystem )
Frage: Können wir wirklich plausibel machen, dass ( 2 ) die Weltlinie eines Massenpunktes ist, der einer konstanten Kraft ausgesetzt ist? Zunächstmal ist Kreisgl. ( 1 ) invariant unter Drehung des Koordinatensystems. In den Koordinaten ( x ‘ / y ‘ ) , die aus ( x / y ) durch Drehung um den Winkel ß hervor gehen, wäre ( 1 ) Form invariant.
Und wenn wir von dem ruhenden TS ( x / t ) durch Lorentztransformation ( LT ) wechseln auf das bewegte System ( x ‘ / t ‘ ) stellt sich ebenfalls heraus, dass ( 2 ) invariant ist. Wäre die Kraft räumlich und zeitlich veränderlich, müsste doch eines der TS vor allen anderen ausgezeichnet sein; dagegen bei einer konstanten Kraft würde man erwarten, dass alle TS gleichberechtigt sind
( Trifft übrigens auch auf die klassische Punktmechanik zu. )
Den Kreis ( 1 ) können wir auch in Polarkoordinaten notieren
x = R cos ( ß ) ( 3a )
y = R sin ( ß ) ( 3b )
Ich meine das jetzt bewusst nicht anschaulich; es ist einfach deshalb richtig, weil für Kosinus und Sinus eine Pythagorasbeziehung gilt; wenn ihr ( 3ab ) einsetzt in ( 1 ) , geht es auf. Nun ist aber der Winkel ß nichts anderes als ein Maß für die Länge l des Kreisbogens
l = R ß ( 4 )
( 4 ) eingesetzt in ( 3ab )
x = R cos ( l / R ) ( 5a )
y = R sin ( l / R ) ( 5b )
Zugegeben; ( 5ab ) ist schon etwas gewöhnungsbedürftig. Es ist eine Parameterdarstellung des Kreises, die aus der Bogenlänge unmittelbar die cartesischen Koordinaten abzulesen gestattet.
Ihr ahnt es schon - genau dieses Spielchen wiederhole ich jetzt mit Hyperbel ( 2 ) Hier lautet der Ansatz
x =: R cosh ( u ) ( 6a )
t =: ( R/c ) sinh ( u ) ( 6b )
Ich habe euch gewarnt; ( 6ab ) ist nichts weiter als die Definition des Parameters u . Unter u dürft ihr euch bitte nichts Anschauliches vorstellen wie einen Winkel oder so; die Rechtfertigung ist schlicht und ergreifend, dass es aufgeht, wenn ihr ( 6ab ) einsetzt in ( 2 )
( “ Pythagoras hyperbolicus “ )
Analog ( 4 ) könnte ich doch auch in ( 6ab ) eine Kurvenlänge einführen
l = R u ( 7 )
x = R cosh ( l / R ) ( 8a )
t = ( R/c ) sinh ( l / R ) ( 8b )
Doch Vorsicht; l in ( 7;8ab ) entspricht nicht jener Pythagoreischen Kurvenlänge, die sich mit Bindfaden oder Kurvenlineal abgreifen lässt und die manche von euch schon in der Schule berechnen ===> Kurvenintegral erster Art. Um das l in ( 7 ) zu definieren, müsstest du auch hier wieder den vertrauten Pythagoras durch die Minkovskymetrik ersetzen; da komm also etwas ganz andres raus.
Doch Rettung naht; zum Glück hat dieses l eine anschauliche physikalische Bedeutung. Geh mal aus von einem ===> zeitartigen Vektor v = ( t | x ) . Was ist dem seine Minkovskynorm s?
s ² = ( c t ) ² - x ² = ( c T ) ² ( 9 )
Und zwar wurde auf der rechten Seite von ( 9 ) LT auf das Ruhesystem von v angewendet; um Ruhesystem gilt ja x = 0 ; und t ist identisch mit der Eigenzeit T . Folglich
s = c T ( 10a )
Das ließe sich doch jetzt auf ( 8ab ) verallgemeinern, indem wir setzen
l = c T ( 10b )
Und schon hast du ein allgemeines Prinzip verstanden; im der Tat lässt sich nachweisen, dass ganz allgemein so wohl in der SRT als auch in der ART die Länge der Weltlinie des Raumfahrers stets gleich ist seiner Reisezeit ( in Eigenzeit seiner eigenen Armbanduhr ) ; Eigenzeit allerdings nicht gemessen in Jahren, sondern entsprechend in Lichtjahren. ( 10b ) einsetzen in ( 8ab )
x = R cosh ( c T/R ) ( 11a )
t = ( R/c ) sinh ( c T/R ) ( 11b )
Noch einige Definitionen; der beschleunigte Mann auf dem Massenpunkt möge Raumfahrer heißen; und den zurück gebliebenen Erdling nennen wir Zwilling. T ist die Eigenzeit des Raumfahrers; das wissen wir schon. Und für t in ( 11b ) führen wir die Bezeichnung “ Koordinatenzeit “ ( KZ ) ein. Denn t ist ===> holonom; der Zwilling verfügt über eine globale gleichzeitigkeit, die es ihm ermöglicht, seine t_Uhren im ganzen Universum aufzustellen
( ( 11b ) besagt ja nichts anderes, als dass auch der Raumfahrer jeweils die lokale t_Uhr ablesen kann. )
Dagegen die Eigenzeit T ist nicht holonom; die Eigenzeit, die für den Raumfahrer vergeht, hängt entscheidend davon ab, auf welcher Weltlinie er von A nach B fliegt.
( Diese Erkenntnis ist ja genau der Inhalt des Zwillingsparadoxons. )
Umgekehrt lässt sich leicht einsehen, dass die Eigenzeit T stets ein Lorentz invarianter ===> Skalar ist, wohingegen das ( holonome ) t unter LT nichts weiter darstellt als die Nullkomponente eines Vektors.
Rein theoretisch enthält ( 11b ) schon die Antwort af deine Frage; aber wir sagten ja, wir müssen noch die Beschleunigung g ins Spiel bringen. D.h. wir müssen ( 11a ) zwei Mal ===> parametrisch nach T differenzieren.
( dx/dT ) = c sinh ( c T/R ) ( 12a )
( dt/dT ) = cosh ( c T/R ) ( 12b )
Hinweis: Da stets cosh > 1 , folgt aus ( 12b ) , dass t > T
Jetzt kommt, was der Herr Lehrer ganz besonders schätzt: Kürzen durch Differenziale.
v = ( dx/dt ) = ( dx/dT ) : ( dt/dT ) = ( 13a )
= c tgh ( c T/R ) ( 13b )
( 13a ) ist quasi die “ schmutzige “ Kettenregel.
Ist ( 13b ) plausibel? Ja; v nähert sich c asymptotisch, ohne es je zu erreichen. Jetzt ( 13b ) ein weiteres Mal ableiten
( dv/dT ) = c ² / R cosh ² ( c T/R ) ( 14a )
Und mit dem Ergebnis oben ( 12b )
b = ( dv/dt ) = ( dv/dT ) : ( dt/dT ) = ( 14b )
= c ² / R cosh ³ ( c T/R ) ( 14c )
Die Randbedingung setzen wir ein in ( 14c ) für T = 0 ; da soll die Kraft also gerade so groß sein, dass Beschleunigung g resultiert.
g = c ² / R ===> R = c ² / g ( 15a )
Dann lautet ( 11b )
t = ( c/g ) sinh ( g T/c ) ( 15b )
Unser Musiklehrer “ Pauli “
“ Welchen Notenwert hat der Pauli? “
“ Halbe Note - hohler Kopf mit Hals … “
machte extrem viel Theorie mit uns; und dann sagte der immer
“ So; das war die Theorie. Und jetzt kommt die Praxis. “
Ich bin selbst gespannt; ich hab auch noch keine Vorstellung davon, was rauskommt. Zunächst mal müssen wir untersuchen, auf welche Geschwindigkeit ein klassischer Massenpunkt beschleunigt wird, der sechs Monate lang einer Beschleunigung von g unterliegt.
g T = 9.81 ( m/sec ² ) * 180 * 24 * 3600 sec = 152.6 Mio m/sec ( 16a )
ß := g T/c = 50.90 % ( 16b )
sinh ( .5090 ) = 53.13 % ( 16c )
und zwar ( 16c ) mit Hilfe von Wolfram.
Jetzt gilt es aber noch die Zeitkonstante in ( 15b ) zu berücksichtigen.
c/g = 30.56 Mio sec = 8 489 h = 353.7 d ( 17a )
53.13 % * 353.7 d = 188 d ( 17b )
Das Jahr zu 360 d gezählt, machst du also pro Jahr 16 d gut ; ein Betrag so recht nach dem Geschmack von “ Jühls Vern “ , wie unser Deutschlehrer, der “ rote Bremer Kaderbruno “ , diesen Namen auszusprechen beliebte.
Richtig intressant wird es nach Kip thorne ( s.o. ) erstmals, wenn du bedenkst, dass du in 70 Jahren eigenzeit, also innerhalb eines Menschenlebens, einmal zum Andromedanebel und zurück schaffst. Die Grundlagen für die Rechnung hast du jetzt; trotzdem beantworte ich dir gerne auch weiter gehende -fragen.