Wie haben Mathematiker im antiken Griechenland eine Quadratwurzel gezogen?
Es wird vermutet, dass die alten Griechen dazu den Satz des Pythagoras herangezogen haben, der da lautet:
a
2
+
b
2
=
c
2
a
und
b
sind dabei die Katheten und
c
ist die Hypothenuse.
Es gibt aber eine schon zu babylonischen Zeiten im 18. Jh. v. Chr. bekanntes sogenanntes Heron-Verfahren, benannt nach Heron von Alexandria, der 68 n. Chr. gestorben ist. Die Formel zu diesem iterativen Verfahren ist wie folgt:
x
n+1
=
1
2
⋅(
x
n
+
a
x
n
)
Zuvor sucht man durch
a+1
2
einen Mittelwert für x_1. Besser ist noch, einen Bruch mit der folgenden Näherungsformel dafür zu finden:
a
−
−
√
=≈
a+b
2
b
√
, wo
a
der Radikand und
b
die bestmögliche ganzzahlige oder einfach zu errechnende Quadratzahl ist, die in
a
hineinpasst.
Beispiel:
1
–
√
1≈11+92
9
–
√
=
20
6
=3,
3
¯
¯
¯
Das im Quadrat ist
11,
1
¯
¯
¯
und daher noch nicht gut genug. Um sich
11
−
−
√
mehr anzunähern, kommt jetzt das Heron-Verfahren ins Spiel, das sich in dem Fall mit dem oben ermittelten Bruch
20
6
für
x
1
so darstellt:
x
1
=
20
2
+
6
2
⋅11
2⋅20⋅6
=
796
240
=
199
60
=3,1
6
¯
¯
¯
Und das im Quadrat ist mit
11,0002
7
¯
¯
¯
dem Radikanden 11 schon recht nah. Ist man damit immer noch nicht happy, macht man mit dem nächsten Iterationsschritt weiter:
x
2
=
199
2
+
60
2
⋅11
2⋅199⋅60
=
79.201
23.880
=3,3166247906197654941373534338358
Das im Quadrat ist 11,000000001753603304069201395027 und damit der 11 noch viel näher.