Ist das Integral
∫
4
2
e
x
e
x
−1
−
−
−
−
−
√
e
x
+3
dx
lösbar?
Ja, denn
∀x>0:
e
x
>1
, also sind alle Terme stetig. Da auch das Produkt und die Division stetig sind (solange der Nenner > 0 ist), ist der gesamte Integrand stetig. Stetige Funktionen sind immer integrierbar, also lösbar. Wie die Stammfunktion aussieht, ist damit aber nicht geklärt.
Wir finden nun eine Stammfunktion:
Dazu substituieren wir mit
u=
e
x
−1
−
−
−
−
−
√
: Wir erhalten
∫
e
x
e
x
−1
√
e
x
+3
dx=2∫
u
2
u
2
+4
du
Nun vereinfachen integrieren wir
∫
u
2
u
2
+4
du=∫1−
4
u
2
+4
du
Substitution mit
v=
u
2
liefert
∫1−
4
u
2
+4
du=u−2arctan(
u
2
)+C,C∈R
Rücksubstitution:
∫
e
x
e
x
−1
√
e
x
+3
dx=
e
x
−1
−
−
−
−
−
√
−2arctan(
e
x
−1
√
2
)+C
Näherungsweise kommt
7.976
als Ergebnis heraus. Der Term nach dem Einsetzen ist sonst viel zu lang…