Wenn in einem Peano-arithmetisierbaren formalen System nach Gödel nicht beweisbare Aussagen existieren, folgt dann daraus die Notwendigkeit einer unendlichen Kette von Theorien?
Nein. Daraus folgt eigentlich nur, dass das Hilbert-Programm nicht funktionieren wird, mit dem man alles automatisch beweisen könnte, was zu beweisen ist.
Es wird oft nicht bedacht, dass dies nur für selbstreferentielle Aussagen gilt. Unter diesen gibt es einen "Wahrheitsüberschuss", d. h., es sind mehr davon wahr, als man innerhalb des Systems feststellen kann.
Was die meisten Menschen nicht bemerken: Woher weiß Gödel, dass es wahre Aussagen gibt, die innerhalb des Systems wahr sind, aber nicht bewiesen werden können? Woher will er wissen, dass sie wahr sind, wenn man es nicht beweisen kann?
Ganz einfach: Man kann ein anderes logisches System benutzen, um zu beweisen, dass sie wahr sind.
Aus dem Grund folgen viele der Dinge nicht, die in Gödels zwei Unentscheidbarkeitssätze hineingeheimnisst werden.
Theorien sind Modelle, die in einem (oft mathematischen) System erstellt werden, und die das Funktionieren eines anderen Systems (Empirie) erklären sollen. Wir haben es also von Anfang an mit zwei Systemen zu tun, die sich gegenseitig korrigieren (wobei eigentlich nur die Empirie die Theorie korrigieren kann, aber die Theorie kann auch Vorhersagen machen, was sich beobachten lässt). Selbstreferentielle Aussagen spielen da keine Rolle, da Aussagen in der Theorie, die sich auf sich selbst beziehen, quasi ohne Wert sind. In der empirischen Realität gibt es nichts, was sich selbst referiert.
Wenn man innerhalb einer Theorie auf etwas trifft, was nicht entscheidbar ist, hat man immer noch die Empirie, mit der man eine Entscheidung herbeiführen kann.