Warum werden Felder, Ringe und Gruppen in Mathematik so genannt?
Also erst mal ist dies eine schlechte Übersetzung aus dem Englischen. Felder sind auf deutsch Körper, englisch fields.
Gruppe: eingeführt durch Arthur Cayley Mitte des 19. Jahrhunderts. Eigentlich ein “unverdächtiger” Begriff; Cayley beschrieb “a group of elements with properties” woraus sich dann durch Weglassen der Eigenschaften der Gruppenbegriff entwickelte. Englisch: group. Französisch: groupe
Ring: geht auf David Hilbert zurück. Er beschäftigte sich mit solchen Zahlbereichen, die die neben einer Addition auch eine Multiplikation mit gewissen Rechenregeln zuließen, im Zusammenhang mit seinen Gedanken zum Fermat-Problem. Die erzeugenden Elemente der multiplikativen Struktur waren komplexe Einheitswurzeln, die sich natürlich auf dem Einheitskreis ringförmig um den Nullpunkt herum anordnen. Daher der Name Ring. Englisch: ring. Französisch: Anneau, was aber auch dasselbe bedeutet. Ring ist mathematisch aus dem Körper durch weglassen von Eigenschaften entstanden, denn Körper ..
ist historisch vor dem Ring entstanden; wohl durch Richard Dedekind im 19. Jahrhundert. Zur Begründung des Namens fällt mir nichts ein; auch nicht warum es im Englischen field heißt. Die Franzosen haben sich immerhin wieder auf unsere Seite geschlagen: corps.