Warum erhält man Quadratzahlen, wenn man beginnend mit 1 aufsteigend ungerade Zahlen addiert? 1=1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 usw..
Warum erhält man Quadratzahlen, wenn man beginnend mit 1 aufsteigend ungerade Zahlen addiert? 1=1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16 usw..
Der visuelle Beweis ist natürlich ungeschlagen:
Aber lasse es uns auch mit Algebra beweisen: Nimm die gaußsche Summenformel:
1+2+3+…+n=
n
2
+n
2
.
Das ist sehr einfach durch Induktion zu beweisen, aber auch wenn man es sich an konkreten Beispielen durch denkt. Der Legende nach sah Gauß diesen Zusammenhang als neunjähriger Schüler als sein Lehrer der Klasse die Aufgabe für den Wert
n=100
, stellte in der Hoffnung eine rühige Stunde zu haben, also machen wir mal diesen Fall:
1+2+…+99+100
Und bemerke wir können bei einer (endlichen) Summe die Terme umstellen ohne das Ergebnis zu verändern, also können wir Paare bilden wo je nach und nach die Zahlen von ganz links und ganz rechts zusammen in eine Gruppe tun und so addieren:
(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)
Nun sollten 2 Dinge auffallen:
All diese Gruppen haben dieselbe Summe:
101
.
Es gibt
50
dieser Gruppen (das erste Element zählt sie praktisch).
Aber das ist doch genau die Grundidee vom Multiplizieren, wiederholtes Addieren. Also ist die Summe
50⋅101=5050
und man leicht durch Ausrechnen zeigen, dass das gleiche Ergebnis auch raus kommt wenn man
100
für
n
in die Summenformel einsetzt. Und es ist auch nicht schwer zu sehen, dass das für den allgemeinen Fall gilt: wenn
n
gerade ist bekommt man
n
2
Gruppen vom Wer
n+1
und wenn
n
ungerade ist kann man die erste Gruppe mit
(0+n)
bilden da die Null das neutrale Element der Addition ist so bekommen wir
n+1
2
Gruppen mit jeweils den Wert
n
und man kann sich auch leicht überlegen, dass diese Brüche jeweils ganze Zahlen sind aber auch, dass
n
2
⋅(n+1)=n⋅
n+1
2
=
n
2
+n
2
die Formel direkt beweist.
Ok zurück zu den Spezialfall mit den ungeraden Zahlen. Welche Form haben sie? Im Bild steht es schon: sie sind
1
weniger als die geraden Zahlen und die bekommen wir einfach wenn wir die ganzen Zahlen doppeln, also ist die Summe der ungeraden Zahlen:
1+3+…+(2n−1)=
(2⋅1+(−1))+(2⋅2+(−1))+…+(2n+(−1))
Und wir wir können wieder umgruppieren:
2⋅1+2⋅2+…+2⋅n+(−1)+(−1)+…+(−1)
Jetzt können wir die
2
aus der ersten Hälfte extrahieren die
−1
aus der Zweiten:
2⋅(1+2+…+n)−1⋅(1+1+…+1)
Aber jetzt ist es klar: die
1
ser addieren zu
n
die Summe in der Klammer kann mit der Summenformel berechnet werden, daher haben wir
2⋅
n
2
+n
2
−n
Und jetzt sieht man leicht, dass die
2
er und die
n
s sich aufheben und am Ende
n
2
überig bleibt. Q.E.D.