Wie ist es möglich, dass Quantenobjekte sich an allen möglichen Orten gleichzeitig befinden?
Interessanterweise ist es nicht merkwürdig, dass sich Quantenobjekte überall im Raum befinden (obgleich diese Anschauung von der jeweiligen Interpretation der Quantenmechanik abhängt), sondern dass wir sie überhaupt an einem einzigen Ort vorfinden können. Die Schrödingergleichung
, welche nicht-relativistische Teilchen mit Masse ohne Spin beschreibt, ist eine lineare Wellengleichung. Aufgrund der Linearität gilt für die Lösungen das Superpositionsprinzip
, d. h. die Kombination (Addition, Subtraktion) von Lösungen ergibt wieder eine Lösung. Der Zustand eines Teilchens wird als Lösung durch eine komplexe Wellenfunktion
Ψ
dargestellt:
ℏ
∂
∂t
Ψ(r,t)=
H
^
Ψ(r,t)
Die einfachste Lösung der freien Schrödingergleichung (freies Teilchen ohne Potential) ist nun eine ebene Welle. Eine ebene Welle breitet sich entlang einer Richtung im Raum aus und die Wellenfront (Zustände gleicher Phase) ist senkrecht dazu über den gesamten Raum verteilt (eine Kugelwelle würde z. B. nach unendlicher Zeit in einer Richtung so aussehen).
(Quelle: Ebene Welle – Wikipedia
)
Da das Quadrat der Wellenfunktion
|Ψ
|
2
nun aber die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens wiedergeben soll, scheidet eine einzige ebene Welle als finale Lösung aus (in der klassischen Vorstellung befindet sich ein Teilchen nämlich nur an einem Ort). Um nun die Wellenfunktion zu "lokalisieren" muss man sogenannte Wellenpakete
aus einer Vielzahl solcher ebener Wellen (mit unterschiedlicher Amplitude, Frequenz
→
Energieunschärfe und auch Wellenvektor
→
Impulsunschärfe) durch Addition konstruieren, welche durch konstruktive und destruktive Interferenz nur noch in einem engen Raumbereich eine signifikante Amplitude erzeugen. Je stärker die räumliche Lokalisierung sein soll, umso mehr verschiedene Wellen werden benötigt (dies ist auch die Ursache für die Heisenbergsche Unschärferelation
→Δx⋅Δp⪆h
).
(Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/f/f6/Wave_gauss.svg
)
Der Zustand eines lokalisierten Teilchens besteht also, zumindest wenn wir die Mathematik dahinter wortwörtlich nehmen, aus sehr vielen kleineren Zuständen (diese stellen so was wie Möglichkeiten dar) und jeder dieser Zustände ist als ebene Welle räumlich unendlich ausgedehnt (auch entlang der Ausbreitungsrichtung, da das Quadrat einer komplexen ebenen Welle immer eine konstante Amplitude liefert!). Würde man so ein Wellenpaket aus Licht erzeugen, so würde es seine lokalisierte Form für immer beibehalten, da Licht im Vakuum keiner Dispersion
unterliegt (die Phasengeschwindigkeit des Lichts ist unabhängig von der Frequenz, da
ω∝k
).
Für Materiewellen
hingegen besteht mit der Dispersionsrelation
ω=
ℏ
k
2
2m
ein quadratischer Zusammenhang (
ω
= Kreisfrequenz,
k
= Wellenzahl; die Kreisfrequenz hängt mit der Frequenz der Schwingung an einem Ort zusammen und die Wellenzahl ist über die de-Broglie-Beziehung
mit dem Impuls des Teilchens verknüpft). Aus diesem Grund laufen die einzelnen Elementarwellen mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit und das Wellenpaket zerfließt nach jeder Messung, es verteilt sich im gesamten Raum.
Die eigentliche Frage, welche man sich nun also stellen sollte, lautet vielmehr: Warum befinden sich alle Wellen bei einer Messung plötzlich wieder an einem einzigen Ort bzw. wieso verschwindet die Wellenfunktion bei einer Messung an einem Ort überall anders im Raum (Kollaps der Wellenfunktion
)?
Dies stellt das eigentliche Messproblem in der Quantenphysik dar und wurde bis zum heutigen Zeitpunkt nicht zufriedenstellend gelöst. Die Wellenfunktion selbst gibt nur die Symmetrie des ursprünglichen Systems wieder. Warum sollte z. B. in einer isotropen und zeitlich homogenen Anordnung ein Photon auch nur zu einem Zeitpunkt in eine Richtung emittiert werden? Erst die Messung an einem Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt bricht die ursprüngliche Symmetrie des Systems.