Kann jede irrationale Zahl durch rationale Zahlen dargestellt werden?
So wie darstellen normalerweise gemeint wird in dem Kontext, nein, es kann keine irrationale Zahl durch rationale Zahlen dargestellt werden. Darstellen wird üblicherweise nämlich so gemeint in diesem Kontext, dass man einen endlichen arithmetischen Ausdruck hinschreiben kann, in dem rationale Zahlen durch Grundrechenarten verknüpft werden, welcher als Wert die darzustellende Zahl hat.
Da jede endliche Verrechnung von rationalen Zahlen aus der Menge (genannt aus der algebraischen Sicht, ein Körper) der rationalen Zahlen nicht heraus führt, kann man keine Zahl damit erhalten, die nicht rational ist, also keine irrationale Zahl.
Sollte man auf der anderen Seite "darstellen" weniger konventionell auffassen, so lässt sich jede irrationale Zahl als Grenzwert (irgend)einer Folge von rationalen Zahlen darstellen (man nennt dieses Faktum wie folgt: rationale Zahlen sind dicht in den reellen Zahlen).
Ferner kann man die Folge als jene, die der üblichen dezimalen (oder auch für eine andere Basis als 10, wenn man möchte) Zifferndarstellungsmethode entspricht, wählen, also als konsekutive Summen von Potenzen von 10, die jeweils mit einer Ziffer multipliziert werden. Wenn man so möchte, kann man dies ferner als natürliche Erweiterung der endlichen Summation auf unendlich viele Summanden interpretieren, womit man also die ursprüngliche Nichtdarstellbarkeit aufhebt, indem man die zu Beginn störende Endlichkeit der Ausdrücke in rationalen Zahlen beseitigt. Insofern könnte das vielleicht sogar fast als eine legitime Darstellung im in diesem Kontext üblichen Wortsinne durchgehen.
Also, wie man es nimmt. Es ist wichtig, dass man selbst versteht, wovon man redet. Dann kann man reden, auch wenn man nicht weiß, wie Dinge heißen. Theoretisch. Andersrum geht es kaum, also wenn man zufällig oder halb wissend richtige, heißt gebräuchliche, Bezeichnungen trifft, aber sich nicht darüber im Klaren ist, welche strukturellen Annahmen, Definitionen, und Zusammenhänge dahinter stecken. Das sollte man sich dringend abgewöhnen, indem man sich bei jedem solchen Fall selbst fragt: "Was genau meine ich mit diesem und jenem? Kann ich es zu meiner vollsten Zufriedenheit auf Elementarbausteine zurückführen, die mir allesamt unzweifelhaft bekannt sind?". Ganz besonders relevant ist, dass diese Fähigkeit für den Zusammenhang in Frage potentiell besteht, in exakten Wissenschaften.