Gibt es „mehr“ komplexe Zahlen als reelle Zahlen?
Die Definition von „mehr“ setzt voraus das zwei Mengen nicht die gleiche Anzahl an Elementen gaben, oder wie man es ausdrückt „gleich mächtig sind“.
Daher reicht es zu zeigen das die reellen und die komplexen Zahlen gleich mächtig sind um die in der Frage gestellte Präposition zu Wiederlegen.
Gleich mächtig sind zwei Mengen wenn man jedem Element einer Menge ein Element aus der anderen Menge zuordnen kann ohne das sie sich überschneiden und umgekehrt.
bei den reellen Zahlen lassen sie sich einfach den komplexen Zahlen zuordnen, weil jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
nun stellt sich die Frage wie man die Komplexen Zahlen den reellen Zahlen zuordnen kann ohne das sie sich überlappen.
Dafür stelle ich euch mal zwei Funktionen vor:
für jedes x in R gilt: x = SUM (i = -inf,inf) x_i * 10^i mit x_i in {0,..,9} (das ist die normale Zerlegung von einer Zahl in seine Ziffern in dem Dezimalsystem. x_i ist die i-te stelle)
Nun sei
a_0(x) = a_0(SUM (i = -inf,inf) x_i * 10^i ) = SUM (i = -inf,inf) x_i * 10^(2i),
Und
a_1(x) = a_0(SUM (i = -inf,inf) x_i * 10^i ) = SUM (i = -inf,inf) x_i * 10^(2i+1).
In anderen Worten, a_0 transformiert alle stellen einer Zahl auf die geraden Stellen, und a_1 auf die Ungerade.
Oder:
a_0(123,45) = 10203,0405
a_1(123,45) = 102030,405
Jetzt definieren wir a(c) mit c = c_r + i c_i aus C als:
a(c) = a(c_r + i c_i) = a_0(c_r) + a_1(c_i)
ein Beispiel:
a(32,1 + 7,8i) = 302,01 + 70,8 = 372,81
Diese Funktion kann man auch umgekehrt anwenden und es ist leicht zu sehen das man jede Reelle Zahl auch auf diese Weise in eine Komplexe Zahl umgekehrt transformieren kann.
Damit ist diese Abbildung bijektiv und somit existiert eine Bijektive Abbildung zwischen den mengen C und R, weswegen sie gleich mächtig ist. Und es ist somit bewiesen das es gleich viele Reele und Komplexe Zahlen gibt. QED