Warum heißt der Eigenvektor einer Matrix “Eigen”?
Warum heißt der Eigenvektor einer Matrix “Eigen”?
Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert
aus dem Jahre 1904 zurückführen und wird als Germanismus
auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen
, verwendet.
Eigenwerte und Eigenvektoren – Wikipedia
In dieser Scherung der Mona Lisa wurde das Bild so verformt, dass der rote Pfeil (Vektor) seine Richtung (entlang der vertikalen Achse) nicht geändert hat, der blaue Pfeil jedoch schon. Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1. Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor , dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen , etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells . Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen [1] und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen , verwendet. Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst ( Endomorphismen ), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden. Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. [2] Ist V {\displaystyle V} ein Vektorraum über einem Körper K {\displaystyle K} (in Anwendungen meist der Körper R {\displaystyle \mathbb {R} } der reellen Zahlen oder der Körper C {\displaystyle \mathbb {C} } der komplexen Zahlen ) und f : V → V {\displaystyle f\colon V\to V} eine lineare Abbildung von V {\displaystyle V} in sich selbst ( Endomorphismus ), so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} , der durch f {\displaystyle f} auf ein Vielfaches λ v {\displaystyle \lambda \,v} von sich selbst mit λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in K} abgebildet wird: f ( v ) = λ v {\displaystyle f(v)=\lambda \,v} Den Faktor λ {\displaystyle \lambda } nennt man dann den zugehörigen Eigenwert. Anders formuliert: Hat für ein λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in K} die Gleichung f ( v ) = λ v {\displaystyle f(v)=\lambda \,v} eine Lösung v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt λ {\displaystyle \lambda } Eigenwert von f . {\displaystyle f.} Jede Lösung v ≠ 0 {\displaystyle v\neq 0} heißt Eigenvektor von f {\displaystyle f} zum Eigenwert λ . {\displaystyle \lambda .} Hat der Vektorraum eine endliche Dimension dim ⁡ ( V ) = n ∈ N , {\displaystyle \operatorname {dim} (V)=n\in \mathbb {N} ,} so kann jeder Endomorphismus f {\displaystyle f} durch eine quadratische ( n × n ) {\displaystyle \left(n\times n\right)} -Matrix A {\displaystyle A} beschri
https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem