Was ist der Trägheitsmoment der Tür?
Das Trägheitsmoment ist die Trägheit, die ein Körper einer Rotationskraft entgegensetzt.
Je größer das Trägheitsmoment eines Körpers ist, desto größer muss die Drehkraft sein, um den Körper in Rotation zu versetzen.
Wenn du beispielsweise einen automatischen Türöffner an einer Tür anbringst, muss seine Drehkraft dem Trägheitsmoment der Tür entsprechend hoch sein, damit die Tür in der gewünschten Geschwindigkeit geöffnet wird.
Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung
in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei; der Abstand geht quadratisch ein.
Dass der Abstand quadratisch in das Trägheitsmoment eingeht, lässt sich leicht einsehen: Eine gegebene Winkelbeschleunigung bedeutet für ein Massenelement in doppeltem Abstand eine doppelt so große tangentiale Beschleunigung und damit eine doppelt so große Trägheitskraft
. Das Drehmoment, doppelte Kraft × doppelter Hebelarm, ist damit vierfach so groß.
Du musst also nur alle Massepunkt über den gesamten Radius aufintegrieren.
Das ist recht einfach, wenn wir annehmen, dass die Tür eine homogene Dichte hat und ihre Dicke vernachlässigbar klein gegenüber ihrer Breite R ist.
I=
∫
R
0
r
2
dm
dm
dr
=
M
R
⇒dm=
M
R
dr
I=
∫
R
0
r
2
dm=
∫
R
0
M
R
r
2
dr
=
M
R
[
1
3
r
3
]
R
0
=
1
3
M⋅
R
2
Eine gewöhnliche Holztür hat etwa 8 kg/m^2.
Ist die Tür 80 cm breit und 2 m hoch, dann hat sie also ein Trägheitsmoment
I=
1
3
M⋅
R
2
=2,73kg
m
2