Wie kann ich eine Ellipse über drei kollineare Punkte berechnen? Generelle Idee die Linie ist f(x) =ax+b und die Ellipse soll (s, f(s)) und (u, f(u)) als Außenpunkte haben und (t, f(t)) irgendwo dazwischen liegen.
Ein Verfahren mit Koordinatentransformation:
Ich muss vorausschicken, eigentlich bin ich gar nicht so sehr interessiert an der Mathematik, aber sehr interessiert an den Resultaten und daran, die Zusammenhänge zu verstehen. Das Rechnen überlasse ich gerne anderen (Formelsammlungen, Tabellenwerke usw.) oder dem Computer. ;-)
Die Idee ist, den Einheitskreis durch eine Reihe möglichst einfacher geometrischer Transformationen in die gewünschte Ellipse umzuformen.
Dazu gibt es mehr als eine Möglichkeit.
Die Art und die eleganteste Reihenfolge der Transformationen kann man sich vorher überlegen.
Die Gleichung des Einheitskreises ist:
x
2
+
y
2
=1
Um daraus eine Ellipse zu erhalten, muss man die Koordinaten in
x
und
y
Richtung dehnen oder stauchen. Das erreicht man so:
(
x
a
)
2
+(
y
b
)
2
=1
Dabei ist
a
die horizontale Halbachse und
b
die vertikale.
D.h. man müsste zunächst die drei Punkte, die -so wie ich es verstanden habe- auf einer schrägen Geraden liegen, auf die
x
Achse projizieren, so dass der Mittelpunkt der Ellipse auf dem Nullpunkt liegt, die beiden Halbachsen errechnen und dann hat man die (implizite) Ellipsengleichung.
Um den Mittelpunkt dieser Ellipse auf die gewünschte
x
Position zu verschieben, ist eine horizontale Translation erforderlich, also eine weitere Koordinatentransformation:
(
x−
x
0
a
)
2
+(
y
b
)
2
=1
(Mit
x
0
ist die
x
Position gemeint, auf welcher der Mittelpunkt der Ellipse später liegen soll.
x
0
muss berechnet werden, das lasse ich hier aus.)
Die Ellipse kann man am Einfachsten durch eine Scherung in die gewünschte schräge Lage bringen:
Damit die
x
Halbachse mit der schrägen Geraden zusammenfällt, muss man nun die
y
Werte der Geradenfunktion
y=g(x)
von den
y
Werten der Ellipse subtrahieren:
(
x−
x
0
a
)
2
+(
y−g(x)
b
)
2
=1
Ich weiß allerdings auch nicht, ob ich das Problem vollständig und richtig verstanden habe, deshalb belasse ich es erstmal dabei.
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Edit: Ich habe das ausprobiert an einem Beispiel.
Das Verfahren mit der Scherung funktioniert nicht.
Die Ellipse passt nur ungefähr, aber nicht genau.
Stattdessen müsste man eine Rotation anwenden.
Am Besten macht man wohl das als ersten Schritt, weil man dann die Ellipse um den Nullpunkt des Koordinatensystems zu drehen ist; das ist einfacher, wenn sie noch nicht verschoben wurde.
Danach kann man die Ellipse durch Translation an jeden gewünschten Ort verschieben.
Siehe Koordinatentransformation – Wikipedia

Dort findet man u.A. die Transformationsformeln für die Rotation.