Kann man sagen: "Zum Beweisen eines mathematischen Satzes puzzelt man die Axiome/Lemma nach den Regeln der Logik zusammen"?
Das würde ich als eine sehr verkürzte Sicht empfinden. Zunächst mal geht man zum Beweis neuer und einigermaßen tiefliegender Sätze in seltenen Fällen auf die Ebene der Axiome herab. Die Axiome sind eher Grundlage des “mentalen Modells”, das man im Kopf hat, wenn man sich überlegt, was der zu beweisende Satz überhaupt genau aussagt und in welche Richtung man nachdenken sollte, um ihn (eventuell) zu beweisen.
Dann spielt man etwas herum: Welche Beispiele für “Situationen” fallen einem ein, in der die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind? Wie würde man den Satz in dieser speziellen Situation beweisen? Oder würde er vielleicht trivial? Welche Verschärfungen von den Voraussetzungen fallen einem ein, unter denen der Satz leicht(er) beweisbar ist? Fallen einem Gegenbeispiele ein, wenn man die Voraussetzungen des Satzes in bestimmter Weise abschwächt?
Durch solche Überlegungen bekommt man ein “Gefühl” dafür, wie die Voraussetzungen des Satzes sich zu der behaupteten Folgerung verhalten. Und es fallen einem mögliche Beweisstrategien ein. Diese werden gewöhnlich “Etappenziele” beinhalten, die man in manchen Fällen durch Anwendung bekannter Sätze oder Lemmata erledigen kann, in anderen beweist man seine eigenen “maßgeschneiderten” Hilfssätze oder Lemmata.
Der Beweis eines mathematischen Satzes ähnelt also nicht einem Puzzle oder dem Aufbau eines Ikea-Regals, die kreative Kompetente ist wesentlich größer.