Wie löst man die folgende Differentialgleichung (D^5-5D^2+4) y=e^(2x)?
Danke Kurt. Ach eine Sache hätte ich noch beinahe vergessen. Du kannst eine Prüfung in Algebra machen, ohne je von der cartesischen Vorzeichenregel gehört zu haben. Dein Polynom hat genau eine neg. Wurzel; positiv wissen wir einstweilen noch nicht.
Das charakteristische Polynom betreffend, müssen wir uns zunächst mit dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) beschäftigen. In Kürze erwähne ich auch hier wieder den Jahrtausendfake, dieser habe etwas mit Gauß zu tun. Er wurde 1990 gefunden, eher später.
Die Moderatoren des ( fossilen ) Portals " Lycos " behaupteten gar, bei dem SRN handle es sich um " geistig3es Eigentum der Plattform "
Auf Befragen mussten mir die Mods des Portals " Onlinemathe " zugestehen, dass weder v.d. Waerden noch emil Artin einen SRN kennen.
Ja das Theorem wird nicht mal richtig zitiert; merkt denn niemand, dass der SRN nur Sinn hat für primitive Polynome !!! ??? Vgl. etwa mit dem Zwillingsbruder des SRN , dem Eisensteintest.
Hier nun sah ich mich gezwungen, eine Definitionslücke in der Algebra zu schließen:
" Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form mit seiner Normalform überein stimmt. Oder äquivalent, wenn seine Normalform ganzzahlig ist.
Korollar zum SRN
" Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "
Ich sage immer; der Verdacht, dass Gauß den SRN nicht gekannt haben kann, taucht bereits im Zusammenhang mi8t dem " kanonischen orthodoxen " Beweis auf, warum Wurzel ( 2 ) irrational ist …
" Herr Zeuge Dr. Schmitt. Gestatten Sie eine Zwischenfrage des Verteidigers. "
" Herr Zeuge. Sind Sie wirklich sicher, dass in keinem Skript je Bruchzahlen in Polynome eingsetzt wurden? Ich meine; beanspruchen Sie, alle Lehrbpcher und Skripten zu kennen? "
" Dieser Umstand, Herr Anwalt, hängt zusammen mit einer Folgeentdeckung, die ich in jener Woche des Jahres 2011 zunächst rein empirisch machen durfte, als ich vom SRN erfuhr. Übrigens einer direkten Verallgemeinerung der SRN Aussage, die weder Wiki noch sonst jemand kennt. Und jeder macht sie zwangsläufig, der sich der Mühe unterzieht, Bruchzahlen in Polynome einzufüttern:
' Die Hornerfolge jeder rationalen Nullstelle ist ganzzahlig. ' "
Rein vom SRN her kommen also nur die teiler des Absgliedes in Frage
+ - { 1 ; 2 ; 4 } ( 1 )
Wolfram findet x1 = 1 , also eine asymptotisch instabile Lösung so wie das minimale Faktorpolynom
p4 ( x ) = x ^ 4 + x ³ + x ² - 4 ( x + 1 ) ( 2 )
Ich hoffe es hat sich längst herum gesprochen, wie man Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF ) mittels dem Hornertrick bewerkstelligt.
Hier nun wird uns jede Hoffnung geraubt. An sich bestünde ja die Möglichkeit, dass ein Polynom 4. Grades Achsen symmetrisch ist. Dazu wäre notwendig und hinreichend, dass die beiden " konjugiert " reellen wie komplexen Wurzeln um den selben Spiegelpunkt zentriert sind. Zwei kompl. Lösungen oszillieren. Von Wolframs beiden reellen Wurzeln ist eine positiv, also instabil. Der Schubladenrechner bleibt in der Hosentsche; wir machen das jetzt mit Zahlentheorie.
5 ^ 1/2 + ( 980 ^ 1/2 - 10 ) ^ 1/2 > 1 ( 3a )
Wie schätzt man eine Simme ab? Vergrößern wir die Summanden, können wir ja nicht mehr sicher sein. Vernachlässigen wir beide Wurzeln, so wird die Ungl. sicher falsch. Worum geht es uns? Sämtliche Radikanden durch Quadratzahlen zu ersetzen. Wir verhalten uns also vorsichtig und runden die beiden Radikanden 980 so wie 5 auf die nächst niedrigere Quadratzahl ab, wobei wir hoffen, dass ( 3a ) richtig bleibt:
5 ^ 1/2 + ( 980 ^ 1/2 - 10 ) ^ 1/2 > 4 ^ 1/2 + ( 961 ^ 1/2 - 10 ) ^ 1/2 = ( 3b )
= 2 + ( 31 - 10 ) ^ 1/2 = ( 3c )
= 2 + 21 ^ 1/2 > 2 + 16 ^ 1/2 = 6 > 1 , wzbw ( 3d )
Und jetzt die negative stabile Wurzel:
5 ^ 1/2 - ( 980 ^ 1/2 - 10 ) ^ 1/2 < 1 ( 4a )
Eine Differenz schätzt man nach Oben ab, indem man den Minuenden auf_und den Subtrahenden abrundet:
5 ^ 1/2 - ( 980 ^ 1/2 - 10 ) ^ 1/2 < 9 ^ 1/2 - ( 31 - 10 ) ^ 1/2 = ( 4b )
= 3 - 21 ^ 1/2 < 3 - 16 ^ 1/2 = ( 4c )
= ( - 1 ) < 1 ( 4d )
Betreffend Variation der Konstanten, vermag ich Kurt aber nicht zu folgen. alles was wir effektiv benötigen, ist eine Sonderlösung. Und bei dem e-Ansatz sieht man doch sofort, dass dies sein muss
f_son ( x ) = A exp ( 2 x ) ( 5a )
( 2 ^ 5 - 5 * 2 ² + 2 ² ) A exp ( 2 x ) = exp ( 2 x ) ( 5b )
2 ² ( 2 ³ - - 2 ² ) A = 1 ( 5c )
2 ^ 4 ( 2 - 1 ) A = 1 ( 5d )
A = 1/16 ( 5e )