Wenn ein Junge mit einer Geschwindigkeit von 40m/s von zu Hause zu seinem Zentrum geht und mit einer Geschwindigkeit von 60m/s nach Hause zurückkehrt, wie hoch ist dann seine Durchschnittsgeschwindigkeit?
Bei dem Durchschnitt von Geschwindigkeiten muss man etwas aufpassen:
Es geht um den Durchschnitt pro Zeit und nicht um den Durchschnitt pro Strecke.
In diesem Beispiel ist man zunächst versucht den Durchschnitt zwischen der ersten und der zweiten Strecke zu bilden, der aber zu einem falschen Ergebnis führt. Offensichtlich wird das, wenn man sich etwas extremere Geschindigkeiten ansieht: lass ihn eine Strecke mit 0, oder meinetwegen 0,0001 m/s laufen: der Durchschnitt wäre dann die Hälfte der anderen Geschwindigkeit, aber offensichtlich wird er für die gesamte Strecke auch ewig brauchen - jedenfalls viel, viel mehr als bei halber Geschwindigkeit rauskäme. Ebenso wenn eine Geschwindigkeit sehr, sehr schnell ist: Dann braucht er quasi nur die Zeit der anderen Strecke für die Gesamtstrecke, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also die halbe Geschwindigkeit der anderen Strecke (Gleiche Zeit, doppelte Strecke).
Wenn man es ordentlich macht, hat man also (d=Durchschnittsgeschwindigkeit, v=Geschwindigkeit der ersten Strecke, w=Geschwindigkeit der zweiten Strecke, s=Streckenlänge):
d=Gesamtweg/Gesamtzeit -> d = 2s / (s/v + s/w)
Da der Weg unbekannt ist, möchte man den rauskürzen und stellt etwas um:
d = 2s / (s/v + s/w) -> s/v + s/w = 2s/d -> ws/vw + vs/wv = 2s/d -> ws+vs = 2svw/d
da der Weg ungleich 0 ist, können wir ihn nun rauskürzen:
w+v=2vw/d -> d = 2vw/(v+w) = 2 / (1/v + 1/w)
Damit erhalten wir hier 48 m/s.
Diese Form des Mittelwerts gibt es in der Mathematik als Harmonisches Mittel.