Wie lautet die Faktorform der quadratischen Gleichung 3x^2 -10x + 8?
Das ist keine Gleichung sondern ein Term, denn ich sehe dort kein einziges Gleichheitszeichen.
Aber davon abgesehen ist
3
x
2
−10x+8=3⋅(x−
4
3
)⋅(x−2)
Wie komme ich darauf?
Naja man kann entweder gut raten, indem man die Gleichung erstmal durch 3 teilt und so das x² isoliert. Dadurch erhält man -10/3 x +8/3 wodurch recht klar ist, dass irgendwie 2³ drinstecken muss, also 2 mal 4 auf die Klammern aufgeteilt sind. Und dann schreibt man mal diese Idee hin: (x-4) (x-2) = x² -6x +8. Und dann hat man die Idee, dass 4/3+2 ja 10/3 sind, aber zugegeben, da braucht man ein ganzes Bündel von Ideen.
Oder man rechnet schnell die beiden Nullstellen dieser Parabel aus und packt sie in die Klammern.
Dazu setzt man die "Gleichung" = Null, teilt natürlich auch erst mal durch 3 und erhält:
x
2
−
10
3
x+
8
3
=0
Dann machen wir flugs eine quadratische Ergänzung und rufen uns die zweite binomische Formel ins Gedächtnis:
(x−
5
3
)
2
=
x
2
−
10
3
x+
25
9
Wir wollen +8/3 haben, also müssen wir 1/9 abziehen und erhalten
(x−
5
3
)
2
−
1
9
=0
das Neuntel auf die andere Seite:
(x−
5
3
)
2
=
1
9
und Wurzel ziehen
x−
5
3
=
1
9
−
−
√
⇒x−
5
3
=±
1
3
⇒
x
1,2
=
5
3
±
1
3
also 6/3 und 4/3
Beide Nullstellen jeweils in eine Klammer setzen
(x-4/3) (x-2)
Das ganze mal 3 und fertig