Wie kalkuliere ich das Integral
∫
1
csc
3
x
dx
?
Hier sag doch einfach " Sinus " Ich habe nämlich ein Verfahren angegeben, das sich gerade beim Aufleiten besonders schick macht. Ich meine die Darstellung von " Sinus Hoch 4 711 " als Fourierreihe; bitte mach dir klar, dass Fourierreihen trivial aufzuleiten gehen. Insbesondere bei der bestimmten Integration macht sich das Mega cool, wo es darauf ankommt, dass du nur schnell die richtigen Zahlen kriegst.
Hier kennste den?
" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "
Wir gehen aus von Euler, den ich in der Form notiere
a := exp ( + i x ) ( 1a )
b := exp ( - i x ) ( 1b )
a b = 1 ( 1c )
Dann lauten die beiden Euleridentitäten
a = cos ( x ) + i sin ( x ) ( 2a )
b = cos ( x ) - i sin ( x ) ( 2b )
( 2ab ) bilden ein LGS , das wir " formal juristisch " nach den beiden Unbekannten Sinus und Kosinus umstellen können; siehe Bronstein.
sin ( x ) = - i/2 ( a - b ) ( 2c )
Und wenn wir jetzt " Sinus, erhoben ins Kubik " aufleiten wollen. Dann benutzt du keine Produktintegration wie Rudolf Dietzen ( Hans Fallada ging nur durch, weil die Mods nicht wissen, dass niemand so heißt; dass das nur ein Pseudonym ist )
Wo wir immer wieder knobeln müssen, wann der Pythagoras und wann welches Additionstheorem von Nöten is. Und auch diesen Moivre halte ich gelinde gesagt für einen Irrweg. Aktion Bömmel
" Unn jetz stellemer uns janz domm; unne safemer so: "
Was bietet sich an in ( 2c ) ? richtig; der binomische Lehrsatz. Bei mir gilt es nur zwei Besonderheiten zu beachten:
1) die Summe ist so umzustellen, dass immer komplex konjugierte Pärchen nebeneinander kommen, damit die Funktion explizit und transpaent rell bleibt.
2) Um freundliche Beachtung von ( 1c ) wird gebeten.
Und jetzt kubizieren wir ( 2c )
sin ³ ( x ) = i/8 ( a ³ - b ³ ) - 3i/8 ( a - b ) = ( 3a )
= 1/4 [ 3 sin ( x ) - sin ( 3 x ) ] ( 3b )
Und ( 3b ) ist die Fourierentwicklung von Sinus Hoch 3 . ( 3b ) aufzuleiten sollte aber ein Klax sein; wir haben unsere Hausaufgaben gemacht:
F ( x ) = 1/4 [ 1/3 cos ( 3 x ) - 3 cos ( x ) ] ( 3c )
So schön steht das nichtmal bei Wolfram. Weil nämlich Wolfram auch nicht klüger ist als seine Programmierer; weil mein Patent effektiv nirgendwo nachzulesen ist.