Gibt es noch etwas mächtigeres als überabzählbar unendlich?
Hmm jein ;)
Zunächst einmal um den mathematischen Begriff ‘Mächtigkeit’ zu präzisieren: zwei Mengen heißen ‘gleichmächtig’ wenn es eine ein-eindeutige Berziehung zwischen ihren Elementen gibt, d.h. wenn man einem jeden Element der Menge A ein und nur ein Element der Menge B zuordnen kann und das auch umgekehrt gilt. In Gedanken kann man sich das etwa so vorstellen daß es zwischen je zwei Elementen der Mengen einen ‘Strich’ gibt der sie verbindet, und alle Elemente beider Mengen durch so einen Strich mit genau einem Element der anderen Menge verbunden ist. Es genügt dazu eine einzige derartige bijektive Relation (so heißt diese Beziehung zwischen den Mengen) nachzuweisen; man kann natürlich andere Beziehungen erfinden die diesen Bedingungen nicht genügen (weil sie zB. Elemente einer oder sogar beider Mengen nicht verbinden) aber die sind für die Bestimmung der Mächtigkeit irrelevant.
Ein Beispiel dazu:
Sei die Menge
N
die Menge aller natürlichen Zahlen (also 1, 2, 3, …), und
G
die Menge aller geraden Zahlen (also 2, 4, 6, …). Dann kann man natürlich sagen jede Zahl aus
G
ist natürlich auch in
N
enthalten, aber in
N
bleiben ja alle ungeraden Zahlen über also ist
N
mächtiger als
G
. Aber diese Abbildung ist eine dieser irrelvanten Abbildungen: weil man kann jeder geraden Zahl aus
G
deren Hälte (was ja auch wieder eine ganze Zahl ist) dieser Zahl aus
N
zuordnen und das geht auch umgekehrt, da jeder Zahl aus
N
(also überhaupt jeder natürlichen Zahl) deren Doppeltes in
G
zu finden ist. Damit ist mal gezeigt worden, daß die Menge der geraden Zahlen der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist (diese dem Laien unvorstellbare Beziehung daß deutlich weniger Zahlen trotzdem gleichmächtig aller Zahlen sind, wurde übrigens durch Betrachtung der Quadratzahlen vor langer Zeit entdeckt).
Für endliche Mengen genügt es sie einfach abzuzählen: wenn sie gleichviel Elemente haben sind sie gleichmächtig (man kann ja beim Abzählen die jeweiligen Elemente gleicher Nummer einander zuordnen; bleibt in einer Menge was über sind sie eben nicht gleichmächtig, in diesem Fall kann man rechtens sagen eine dieser Mengen ist größer als die andere). Nur wenn das nicht gelingt (genauer: es wird bewiesen daß so eine bijektive Relation nicht existieren kann) sind diese Mengen nicht gleichmächtig; meist wird dabei auch festgestellt welche dieser Mengen mächtiger als die andere ist.
Die kleinste unendliche Menge ist die Menge der natürlichen Zahlen. Ihre Mächtigkeit wird mit
ℵ
0
(sprich: Alef-Null) bezeichnet. Und daß - wie im obigen Beispiel - eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen der Gesamtmenge gleichmächtig ist, ist sogar eine Definition unendlicher Mengen: daß man nämlich echte Teilmengen (also Teilmengen die zumindest ein Element weniger als die Grundmenge enthalten) bilden kann welche der Grundmenge gleichmächtig sind. Da die natürlichen Zahlen ja die Folge 1,2,3,… sind kann man sie (eigentlich sind sie es ja per se) abzählen (auch wenn man da nie zu einem Ende kommt), daher nennt man Mengen der Mächtigkeit
ℵ
0
‘abzählbar’, mächtigere Mengen ‘überabzählbar’.
Soweit so gut, aber...
Es ist nachweisbar (tu ich aber jetzt nicht hier) daß die Menge aller Teilmengen einer Menge niemals gleichmächtig der Grundmenge sondern immer mächtiger ist. Die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ist also mächtiger als
N
, und ihre Mächtigkeit wird mit
ℵ
1
(Alef-Eins) bezeichnet. Dies ist die Mächtigkeit der reellen Zahlen! Die dafür notwendige bijektive Beziehung der reelen Zahlen zur Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen (man nennt das die Potenzmenge) will ich hier auch nicht erklären, aber sie besteht und ist nichteinmal so kompliziert.
Nebenbemerkung: Es ist ein immer noch ungeköstes Problem der Mathematik, ob es Mengen gibt, die zwar mächter als
ℵ
0
aber weniger mächtig als
ℵ
1
sind. Riemann hat die Hypothese aufgestellt daß es solche Mengen nicht gibt (die berühmte Riemann-Hypothese, für deren Beweis oder aber auch Widerlegung meines Wissens nach 1 Mio Dollar Preisgeld ausgesetzt sind).
Kann man nun die Poteznmenge der reellen Zahlen betrachten? Ja natürlich! Und diese Menge ist wiederum mächtiger als
ℵ
1
- nämlich
ℵ
2
. Und deren Potenzmenge (man kann es sich denken…) hat die Mächtigkeit
ℵ
3
usw. Es gibt also eine abzählbare Aufeinanderfolge jeweils stärkerer Mächtigkeiten.
Damit ist aber immer noch nicht Schluß: es gibt nämlich noch mächtigere Mengen, deren Mächtigkeiten sogenannte ‘große Kardinalzahlen’ sind. Dies zu erklären ist aber hier weitaus zu hoch, wer es aber genauer wissen will kann hier Mächtigkeit (Mathematik) – Wikipedia
nachlesen oder Große Kardinalzahl – Wikipedia
hier.
Um die eigentliche Frage kurz zu beantworten: Jede Menge deren Mächtigkeit
ℵ
0
ist heißt abzählbar; jeder mächtigere Menge überabzählbar, aber auch in den überabzählbaren Megen gibt es eine Ordnung mehr/weniger mächtig.