Mathematische Frage: Ein Motorboot fährt in einem Fluss mit einer Geschwindigkeit von 19 Metern pro Sekunde nach Südwesten. Die Strömung nach Süden beträgt 18 Meter pro Sekunde. Wie schnell fährt das Motorboot?
Ich mach dir das; das geht nur mit dem ===> Kosinussatz.
" Das hammer noch nich gehabt … "
Gut; dann lern den autodidaktisch, oder warte, bis du alt genug bist ..
Der Winkel zwischen S und SW beträgt ß = 45 °
Man kann sich das auch mit Hilfe des ===> Skalarprodukts klar machen. Die Resultierende ist die Vektorsumme
| v_res > = | v_Bot > + | v_Flus > ( 1 )
Das Betragsquadrat dieser Resultierenden ist das Skalarprodukt von v_res mit sich selbst:
v_res ² = < v_Bot + v_Flus | v_Bot + v_Flus > ( 2a )
Siehe die ===> Bracketnotation von ===> Paul Antoine Marie Dirac.
Das Gute bei dem Skalarprodukt ( 2a ) ist, dass es stink normal ===> distributiv geht ( und natürlich komutativ; siehe ( 2c ) )
v_res ² = v_Bot ² + v_Flus ² + 2 < v_bot | v_Flus > ( 2b )
wobei definiert ist
< v_bot | v_Flus > = v_bot v_Flus cos ( ß ) ( 2c )
Dann hast du in ( 2b )
v_res ² = 19 ² + 18 ² + 19 * 18 sqr ( 2 ) = ( 3a )
= 19 ² [ 1 + ( 18/19 ) ² + ( 18/19 ) sqr ( 2 ) ] ( 3b )
Alter Verbrechertrick; die " Größenordnung " , den größten Term 19 ² ziehen wir heraus. Dann nämlich kann die eckige Klammer nie > 4 werden. Und wenn wir hernach die Wurzel ziehen, bekommen wir demnach ein Ergebnis nie größer 19 * 2 .
v_res ² = 19 ² [ 1 + .9474 ² + 94.74 % sqr ( 2 ) ] = ( 3c )
= 19 ² * 3.238 | sqr ( 3d )
v_res = 19 * 1.799 = 34.18 ( 3e )
Vergleiche wenn beide Vektoren parallel wären. Dann wäre ihre algebraische Summe natürlich 19 + 18 = 37
Schick finde ich die Möflichkeit auf Quora, dass ich meine Texte jeder Zeit verändern kann; eben fällt mir ein: Wir haben sogar eine schicke Probe; sie wird dich ( wahrscheinlich ) überzeugen. Sie geht über eine direkte LMNTare Komponentenzerlegung der Vektoren + Pythia und Goras.
Um erstmal ein ( positive orientiertes ) cartesisches Achsenkreuz fest zu legen, möge der Daumen der rechten Hand nach Westen zeigen ( Richtung der positiven Abszisse ) Dann weist der Zeigefinger nach Süden ( Richtung der positiven Ordinate ) Den Vektor des Flusses müssen wir demnach notieren
v_Flus = ( 0 | 18 ) ( 4a )
Ein nach SW gerichteter Vektor schließt mit der x_Achse den Winkel ß = 45 ° ein und mit der y_Achse eben Falls µ = 45 °
v_Bot = 19 ( cos ß | cos µ ) = ( 4b )
= 19 ( 1 | 1 ) / sqr ( 2 ) = ( 4c )
= 13.44 ( 1 | 1 ) ( 4d )
und durch direkte Vektoradition von ( 4a;d )
v_res = v_Flus + v_Bot = ( 5a )
= ( 13.44 | 31.44 ) ( 5b )
Und jetzt Pythagoras
v_res ² = 13.44 ² + 31.44 ² = ( 6a )
= 31.44 ² [ ( 13.44 : 31.44 ) ² + 1 ] ( 6b )
Auch in ( 6b ) wurde die Größenordnung wieder heraus gezogen; die eckige Klammer kann nie größer werden als 2 .
v_res ² = 31.44 ² * 1.183 | sqr ( 6c )
v_res = 31.44 * 1.088 = 34.21 ( 6d )
Vgl. ( 3e ) ; wenn ich einmal ( 3e ) , also den kleineren Wert als richtig voraus setze, gestaltet sich die Fehlerrechnung auf dem TR besonders pfiffig
( 6d ) : ( 3e ) = 34.21 : 34.18 = 1.000 878 ( 7 )
Wichtig für die Fehlerabschätzung sind die Nachkommastellen; sie werden direkt vom TR angezeigt: 8.78 (E-4) oder 878 ppm .