Kann unendlich minus unendlich theoretisch auch eine Negative Zahl ergeben?
Die Frage ergibt so keinen Sinn. Von welchen Zahlen sprechen wir denn hier, den ganzen Zahlen? Die Menge der ganzen Zahlen
Z
ergibt zusammen mit der üblichen Addition eine abelsche Gruppe
. Die Subtraktion fassen wir als die Addition mit dem inversen Element
auf.
Die Verknüpfung
, in diesem Fall die Addition mit dem inversen Element, ist aber nur für Elemente der zugrunde liegenden Menge definiert. Unendlichkeit ist kein Element der ganzen Zahlen und daher lässt sich damit auch nicht rechnen.
Erst die Erweiterung der natürlichen Zahlen zu Kardinal-
(Anzahl von Elementen in einer Menge) und Ordinalzahlen
(Stelle in einer geordneten Menge) führt dazu, dass die Unendlichkeit selbst zu einem Element wird (
ℵ
0
, gesprochen Aleph Null, würde für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen stehen, also für die Unendlichkeit einer abzählbaren Menge
→
Kardinalzahl, während
ω
die erste Unendlichkeit der Ordinalzahlen darstellt). Es gibt aber weder bei den Kardinal- noch bei den Ordinalzahlen negative Werte.
Du bräuchtest also zunächst einen Zahlbereich, welcher gleichzeitig die gesamten ganzen Zahlen als auch Unendlichkeiten umfasst.
(Quelle: Zahl – Wikipedia
)
Die surrealen Zahlen
würden dies zum Beispiel erfüllen (hier wird jede Zahl durch zwei begrenzende Mengen definiert.
x
:
={
L
x
|
R
x
}
beschreibt eine Zahl
x
, welche größer ist als jede Zahl in
L
x
und kleiner als jede Zahl in
R
x
. Hier stellt
w
die erste Unendlichkeit dar und diese ist äquivalent zu dem bereits erwähnten
ω
, der ersten Unendlichkeit der Ordinalzahlen, also
w=={1,2,3,4,...|}=ω
(damit ist sie größer als jede endliche Zahl).
ω
lässt sich nun einfach mit
ω+1
fortsetzen (bei den Ordinalzahlen gilt:
ω+1>ω
, wohingegen
1+ω=ω
; bei den Kardinalzahlen gilt selbst
ℵ
0
+1=
ℵ
0
; siehe Hilberts Hotel
). Dies stellt die nächsthöhere Zahl nach der ersten transfiniten Größe dar. Jetzt muss man sich die jeweilig geltenden Rechenregeln im Zahlbereich der surrealen Zahlen
ansehen und entsprechend anwenden:
(Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet :).)
Wie man sieht kann man durch Subtraktion von transfinit
en Größen durchaus auf negative Zahlen kommen. Es hängt eben immer ganz vom Zahlbereich und den dort geltenden Rechenregeln ab. Zudem gibt es verschiedene Arten von Unendlichkeiten, es gibt in vielen Zahlbereichen (Kardinal- und Ordinalzahlen, surreale Zahlen, hyperreelle Zahlen
…) sogar unendlich viele Unendlichkeiten.
Wer sich näher für die überaus interessanten surrealen Zahlen und allgemein Zahlbereiche interessiert, dem kann ich folgende Bücher von John Horton Conway
empfehlen:
J. H. Conway, On Numbers and Games
J. H. Conway, Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen