Warum ist die Definition der Determinante einer Matrix mit Permutationen verbunden?
Eine völlig irre führende Antwort; siehe ===> Schopenhauerscher ===> Mausefallenbeweis.
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Die genaue Definition eines Tensors solltest du dir mal in der Literatur ansehen.
Z:B. Kovalsky oder Greub; jeweils Band 2 .
Lineare Algebra (De Gruyter Lehrbuch)
Lineare Algebra (De Gruyter Lehrbuch)
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Linear Algebra: v. 23 (Graduate Texts in Mathematics)
This textbook gives a detailed and comprehensive presentation of linear algebra based on an axiomatic treatment of linear spaces. For this fourth edition some new material has been added to the text, for instance, the intrinsic treatment of the classical adjoint of a linear transformation in Chap...
https://www.amazon.de/Linear-Algebra-Graduate-Texts-Mathematics/dp/0387901108
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Hier da kann mir keiner was erzählen; das Original ist natürlich deutsch.
Ein Tensor nullter Stufe ist ein Skalar mit n ^ 0 = 1 Komponente.
Ein Tensor erster Stufe ist ein Vektor mit n ^ 1 = n Komponenten.
Ein Tensor zweiter Stufe ist eine ( quadratische ) Matrix mit n ² Komponenten.
Ein Tensor dritter Stufe ist eine Würfelmatrix mit n ³ Komponenten.
Ein Tensor vierter Stufe ist eine ( unanschauliche ) Tesseraktmatrix mit n ^ 4 Komponenten.
Jetzt kannst du auf die Matrixelememte aber auch vollst. Antisymmetrisierung anwenden. Diese Operation bezeichnet man als ====> Grassmannalgebra. Das Gebilde, das dabei heraus kommt, besitzt dann aber nur noch ( n k ) ( " n über k " ; ===> Binominalkoeffizient ) linear unabh. Komponenten.
So ist etwa im |R ³ ein Grassmanntensor nullter Stufe weiter hin ein Skalar mit 3 ^ 0 = 1 Komponente, von denen auch ( 3 0 ) = 1 linear unabh. sind.
Und ein Tensor erster Stufe ist immer noch ein Vektor mit 3 ^ 1 = 3 Komponenten, von denen auch ( 3 1 ) = 3 linear unabh. sind.
Und jetzt kommt ' s.
Ein Tensor zweiter Stufe ist eine ( quadratische ) Matrix mit 3 ² = 9 Komponenten,
vonn denen aber nur noch ( 3 2 ) = 3 lin. unabh. sind.
Das hoch berühmte ===> Kreuzprodukt ist nichts weiter als ein Grassmannprodukt aus zwei Vektoren; mitnichten ist das Ergebnis ein Vektor, sondern eine Matrix, ein tensor zweiter Stude.
Und eine Determinante ist eben eine Würfelmatrix 3. Stufe mit 3 ³ = 27 einträgen, von denen jetzt aber nur noch ( 3 3 ) = 1 linear unabhängig ist.
Alle anderen folgen über das Vorzeichen der Permutation; bzw. woederholt sich ein Index, ist das betreffende Matrixelement Null.
Wenn noch was unklar sein sollte, frag halt nochmal.