Wie genau wird Mathematik definiert? Was ist Mathematik? Eine Wissenschaft? Ein Unterrichtsfach? Ein Hilfsmittel, um bestimmte Phänomene auszudrücken und zu beschreiben?
Die letzte Version der Frage, also
"Ein Hilfsmittel, um bestimmte Phänomene auszudrücken und zu beschreiben?"
trifft am besten zu.
Die erwähnten "Phänomene" sind dabei völlig natürlicher Art, da die Mathematik, ebenso wie die Physik, absolut nur die natürlichen Logischen Strukturen dieser Welt, die natürlichen Logischen Grundlagen dieses Universums, zu beschreiben versucht.
Die sogenannte Wissenschaft Mathematik hat, genauso wie jede andere NATURWISSENSCHAFT, vier Hauptaufgaben:
1. die deterministischen Strukturen der Welt, der Natur, letztlich des Universums, zu erkennen
2. die erkannten und erfassten Strukturen zu analysieren und zu systematisieren, also die eine Struktur von der anderen zu unterscheiden.
3. für die erkannten und systematisierten Strukturen (egal ob materieller oder immaterieller Art) symbolische Beschreibungsformen zu entwickeln, diese kollektiv zu vereinbaren, und damit der Gesellschaft Beschreibungs- / Symbolsysteme zur Verfügung zu stellen, um natürliche Strukturphänome nutzbar zu machen.
4. Nach der Nutzbarmachung durch symbolische Darstellungsformen liegt selbstverständlich auch die Lehre an, die die erkannten universalen symbolisierten Strukturen vermitteln soll an die Mitglieder der menschlichen Gesellschaften.
*
Die Grundfrage, die dabei heute immer noch ein großes Verständnishindernis darstellt, ist, was Logik eigentlich ist.
Über viele Jahrhunderte, bis mehrere Jahrtausende, gingen Teile der Wissenschaften davon aus, dass Logik ein vom Menschen Erfundenes System sei, um der Natur ein System zu ihrer Kontrollierung, sozusagen, aufzuzwingen.
Man ging davon aus, dass im Urwald und in der Mikrowelt keine Ordnung auffindbar sei, und meinte, da der Mensch logische Struktursysteme entwickelt hätte, diese Anwenden zu müssen auf die Natur der Welt, sie sozusagen zur Urbarmachung, zur Zivilisierung, zur Ordnung, zur Kultur usw. zu zwingen.
Aus den ersten technischen Erfolgen heraus, z.B. in Mesopotamien, Griechenland, Rom usw., heraus, entstand dann der erweiterte Aberglaube, Logik sei letztlich vom Menschen erfunden.
Dieser Gedanke, diese kurzdenkerische Meinung, wurde dann durch die christlichen Glaubensideologien seit mind. 1000 Jahren aufgegriffen, und eingebaut in die Ideologie des "Heiligen Geistes", was dann dazu führte, dass man die Mathematik entsprechend als sogenannte Geisteswissenschaft bezeichnete, also von Heilgen Geist über den Mensch gegeben, damit der die Welt in eine neue göttlich geistige Ordnung überführe, einschließlich der gesamten Natur, die ihm damit unterliegen würde.
Erst mit Aufkommen umfangreicherer Techniken, wie Dampfmaschine, systemischerem Ackerbau usw. verlor sich die Anschauung der puren geistigen Erfindung Mathematik etwas, weil man immer mehr sah, wie weltlich eigentlich jede Art von Logik- und Techniknutzung war und ist.
Die Ansicht aber, dass die Mathematik eine Erfindung des Menschen sei (Geisteswissenschaft), einschließlich der darin enthaltenen Logiken, hielt und hält sich allerdings bis heute noch bei vielen Menschen, auch in den Wissenschaften, auch wenn seit etwa 15 Jahren ein deutlicher langsamer Wandel eingetreten ist.
Seitdem bemüht sich die Mathematik, sich selber besser zu definieren, was aber bis heute nicht gelungen ist.
*
Da Logik völlig natürlicher Art ist, kann die Mathematik z.B. auch keine Strukturwissenschaft sein, denn was sollte die Mathematik denn strukturieren, etwa die natürlichen Gesetze der Logik, also sozusagen der Natur vom Kirchturm aus verkünden, welche Logiken sie demnächst einzusetzen habe ?
Alle Logischen Strukturen, die die Physik in der Natur findet, sind absolute Grundlage der Existenz dieses Universums.
Zuerst waren die Logischen NATUR-Gesetze, danach ordneten sich erst alle (ALLE später aus Quanten entstandenen) Objekte des Universum genau nach diesen schon VORHER vorliegenden Logischen Prinzipien.
Dieses Universum ist ein auf NATÜRLICHEN Logiken aufgebautes Objekt, wobei Mensch nur Stück für Stück diese Logiken anhand der vorhandenen Strukturen ENTDECKT und symbolisch darstellt.
Da alle Logischen Prinzipien schon von Anfang an in der Natur vorlagen, und damit zu den, sozusagen, grundsätzlichen Schöpfungsmechanismen gehören, sind alle Logischen Prinzipien vollständig NATÜRLICHER Art.
Damit ist die Mathematik eine absolute NATURWISSENSCHAFT, und hat mit irgendwelchem Geistkram absolut nichts zu tun.
*
(Ergänzend noch: Ursprünglich wurde in alten Schriften berichtet, dass z.B. der Geist über ihn /sie kam, ein göttlicher Geist die Welt strukturiere usw.usw.usw..
Darin zeigt sich sehr deutlich, dass Menschen schon sehr früh die wahre Natur der Logischen natürlichen Objektbeziehungen untereinander erkannt hatten (Intellekt liefert Erkenntnis, die über die Menschen kam), und die Logik deshalb als Geist bezeichneten, der sozusagen über den Objekten der Welt läge, sich über sie erstrecke, was selbst heute, ohne tiefere Kenntnis, in Kirchen verkündet wird (Heiliger-Geist-Gebete u.a.).
Erst später, als naturnahes Wissen von Religionsideologen immer mehr ideologisierend entstellt wurde, verschwand die ursprüngliche Bedeutung des Begriffes Geist = Logik, und entartete dann zu dem ideologischen und irrationalen Begriff, wie er bis heute in Religionen, und schlimmerweise in der Mathematik, verwendet wird.)
*
Es wird noch einige Jahrzehnte dauern, bis die Erkenntnis auch in den Wissenschaften herangereift ist, dass die Mathematik selbstverständlich eine Naturwissenschaft ist.
Zur Zeit ist man zumindest dabei, sich verstärkt Gedanken über Bedeutung und Grundlagen dazu zu machen.
Siehe dazu auch:
Antwort von Ron Heide auf Was ist Mathematik?