Hat die Fläche eines Quadrats mehr Punkte als der Umfang dieses Quadrats?
Hat die Fläche eines Quadrats mehr Punkte als der Umfang dieses Quadrats?
Wenn wir den Umfang eines Quadrats als eine eindimensionale Linie endlicher Länge betrachten, dann enthält sie dennoch unendlich viele Punkte, wenn man die Koordinaten der Punkte als reelle Zahlen betrachtet. Folgt man der Argumentation von Georg Cantor
, dann sind es sogar überabzählbar unendlich viele Punkte, weil die Menge der reellen Zahlen im Gegensatz zur Menge der rationalen Zahlen nicht auf die Menge der natürlichen Zahlen zurückgeführt werden kann.
Der Begriff "abzählbar unendlich" erklärt sich dadurch, dass man die natürlichen Zahlen "abzählen" kann, es gibt bei ihnen eine Ordnung mit einem Vorgänger und einem Nachfolger: 1, 2, 3, ... "Überabzählbar" hingegen bedeutet, dass es diese Ordnung nicht mehr gibt. Zwischen jeweils zwei überabzählbare Zahlen kann man immer noch eine weitere stopfen.
Diese Erkenntnisse sind bereits hinreichend unintuitiv:
Es gibt genauso viele Primzahlen wie natürliche Zahlen, obwohl nicht jede natürliche Zahl eine Primzahl ist. Aber man kann die Primzahlen in eine Reihenfolge bringen, in dem man sie der Größe nach sortiert und jeder Primzahl die natürliche Zahl zuweist, die ihrer Position in der sortierten Reihenfolge entspricht. Diese Zuordnung ist bijektiv
, d.h. man kann die Nummer jeder Primzahl genauso berechnen, wie man rückwärts aus der Nummer der Primzahl in der sortierten Liste auf ihren Wert schließen kann.
Zwischen jeweils zwei natürliche Zahlen können unendlich viele rationale Zahlen gepackt werden, trotzdem gibt es genauso viele natürliche wie rationale Zahlen. Das ist dann genauso wie bei den Primzahlen. Die Zuordnung einer jeden rationalen Zahl zu einer natürlichen Zahl ist Inhalt von Cantors erstem Diagonalargument
.
Zwischen zwei rationale Zahlen können weitere unendlich viele rationale Zahlen gepackt werden.
Zwischen zwei rationale Zahlen können unendlich viele reelle Zahlen gepackt werden. Aber hier ist eine bijektive Zuordnung zu den natürlichen Zahlen nicht mehr möglich, es gibt keine eindeutige Reihenfolge mehr, man kann nicht abzählen. Deshalb ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar.
Ein Quadrat kann man als eine Menge von Punkten betrachten, die ebenfalls durch ihre Koordinaten als reelle Zahlen gekennzeichnet sind. Dadurch, dass es reelle Zahlen sind, wissen wir bereits, dass die Menge der Punkte überabzählbar unendlich ist. Aber sind es nun genauso viele (oder wenige) Punkte, wie auf der Linie, oder sind es mehr - weil die Linie eindimensional ist und das Quadrat zweidimensional?
Der Beweis, dass die Anzahl der Punkte des Umfangs des Quadrats gleich groß der Anzahl der Punkte der Fläche des Quadrats ist, folgt aus Cantors zweitem Diagonalargument
. Dazu die folgenden Skizzen:
In das Quadrat ist hier die Diagonale eingezeichnet. Es ist offensichtlich, dass die Linie nicht alle Punkte des Quadrats enthält.
Cantor teilt nun das Quadrat in drei mal drei Teilquadrate ein und mäandert mit seiner Linie durch die Teilquadrate. Die Linie ist nun in jedem der Teilquadrate wieder die Diagonale.
Dieses Verfahren der Unterteilung in immer kleinere Teilquadrate und ihre Diagonalisierung kann bis zu infinitesimal kleinen Teilquadraten fortgesetzt werden. In der dritten Abbildung habe ich das angedeutet. Die genaue Einhaltung der Form der Teile ist dabei nicht wesentlich.
Im Ergebnis erhält man eine unendlich lange eindimensionale Linie, die alle Punkte des zweidimensionalen Quadrats enthält.
Die Ergebnisse Cantors sind in der Mathematikerwelt nicht unumstritten. Insbesondere Leopold Kronecker
war mit Cantors Aussagen nicht einverstanden. Auch ich bin geneigt, mich in dieser Diskussion mehr auf die Seite Kroneckers und der Intuitionisten zu stellen. Allerdings bin ich kein Mathematiker und die ernsthaft an dieser Auseinandersetzung Beteiligten haben sich ein Leben lang mit Mathematik beschäftigt.
Mein Einwand: Auch wenn es eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung der Punkte der unendlich langen eindimensionalen Linie zu den Punkten der endlich großen Fläche gibt, so gibt es doch keine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten der eindimensionalen unendlich langen Linie und den Punkten des endlich langen Umfangs. Cantors Diagonalargument ändert daran nichts. Er vollzieht den Dimensionssprung von zwei- auf eindimensional, indem er die niedrigerdimensionale Figur unendlich lang macht. Aber ich kann nicht erkennen, wie man sagen kann: Diesem Punkt auf dem Umfang entspricht dieser Punkt auf der unendlich langen Linie oder - synonym - dieser Punkt der Fläche. Cantor hat das anders gesehen, für ihn sind die Punktmengen gleichmächtig.
Hier vermute ich den Hauptangriffs- und Kritikpunkt und Unterschied: Cantor vergleicht die Mächtigkeit von Mengen, weil man wegen der unendlichen Anzahl nichts anderes kann. In der Geometrie geht es aber um endliche Größen wie Längen und Flächen.
Wenn man mit dem Unendlichen argumentiert, bewegt man sich sowieso auf sehr dünnem Eis. Ein Beispiel ist die Kontinuumshypothese
(Zwischen der Menge der natürlichen Zahlen (abzählbar) und der der reellen Zahlen (überabzählbar) gibt es keine weitere Größe von Mengen):
Kurt Gödel: Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht widerlegen.
Paul Cohen: Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht beweisen.
Interessant an Cantors Diagonalargument ist noch, dass 1975 mit dem Begriff des Fraktal
ähnliche unendlich lange Kurven mit der Eigenschaft der Selbstähnlichkeit allgemein in Verwendung kamen. Mit dem Begriff der fraktalen Dimension
trägt man dort der Tatsache Rechnung, dass Gebilde, die sich über ein endlich großes Raumgebiet erstrecken, dennoch eine unendliche Länge in der niedrigeren Dimension haben. Und mit fraktalen Linien kann man auch Objekte konstruieren, die eine endliche Fläche einschließen, aber eine unendlich lange Kontur besitzen.