Wie würdest Du die Quadratwurzel aus 1,2 finden?
Eine Möglichkeit für Zahlen mit Nachkommastellen ist die Lange Division mit der binomischen Formel
20ab+
b
2
, wo
a
die bisher iterativ gefundene Quadratwurzel (ohne Komma) ist und
b
die nächste Ziffer, die gesucht wird.
Vorher muss man den Radikand (die Zahl unter der Wurzel) links und rechts vom Komma in Paare zerlegen und zunächst die größte perfekte Quadratzahl ermitteln, die in den Zahlenblock ganz links hineinpasst. In die 1 passt nur die 1²=1. Rest gibt es keinen, aber zunächst muss man hinter die erste Ziffer 1 ein Komma setzen und dann 20 (unsere 2 mit einer 0 dran) durch 20 und 1 teilen.
Das Ergebnis ist 1, also dürfte nach der binomischen Formel die zweite Ziffer eine 1 sein, wenn sie nicht zu groß ist:
20⋅1⋅1+
1
2
=21
Das Ergebnis ist größer als der Dividend, also muss
b=0
sein und man an die 20 noch zwei Nullen dranhängen, um den ersten Dividenden zu erhalten:
2.000÷20÷10=10
Das deutet an, dass
b
10 sein könnte, aber
b
kann nicht größer als 9 sein, also probieren wir es mit 9:
20⋅10⋅9+
9
2
=1.881
Stimmt, das ist kleiner als der Dividend 2,000, also ist
b
hier 9 und 119 der Rest, der multiploziert mit 100 der nächste Dividend…
—
Es gibt aber auch eine ganze nette Nährungsformel, die oft schneller zum Ziel führt:
a
−
−
√
=
a+b
2
b
√
bei der
a
der Radikand (hier 1,2) und
b
die nächstliegende Quadratzahl ist:
1,2
−
−
−
√
=
1,2+1
2⋅
1
–
√
=
2,2
2
=1,1
und das quadriert ist 1,21, also schon recht nah an der 1,2.
Die Näherungsformel basiert auf dem iterativen Heron-Verfahren mit der Formel
x
n+1
=
1
2
⋅(
x
n
+
a
x
n
)
bzw. der von Newton und Raphson erstellten generellen Formel für xte Wurzeln
x_{n+1}= \dfrac{1}{k} \cdot \biggl ( (k-1) \cdot x_n+ \dfrac{a}{x_n^{k-1}} \biggr
wo
a
der Radikand ist,
k
der Exponent und
x
n
das Resultat der vorherigen Iteration oder Näherung beziehungsweis ein möglichst naher Wert für den Anfang.
Hier ein anderes Beispiel für die Kubikwurzel aus 9, wobei 2³=8 der 9 recht nahe kommt:
x
1
=
1
3
⋅(2⋅2+
9
2
2
)=2,08
3
¯
¯
¯
Das hoch drei ist
9,042245
370
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
und der 9 schon recht nahe.
2,08
wird uns noch näher bringen, denke ich:
x
2
=
1
3
⋅(2⋅2,08+
9
2,
08
2
)=2,0800838264299802761341222879684
Das hoch drei ist eine sehr gute
9,0000000438482601040624623078373
.