Warum ergibt das Integral den Flächeninhalt unterhalb des Graphen?
Das Integral ist in der Mathematik definiert als Umkehrfunktion der Ableitung.
Betrachte nun die Fläche unter einer stetigen Kurve f(x) im Abschnitt 0 bis x als Funktion von x, nennen wir sie F(x). Versuche, ihre Ableitung zu berechnen, und zwar als den üblichen Grenzwert:
F’(x)= lim(z→0)((F(x+z)-F(x)/z).
F(x+z)-F(x) ist ein schmaler Streifen der Breite z rechts von der Geraden vom Punkt (x,0) zu (x,f(x)). Er hat näherungsweise den Flächeninhalt z·f(x). Im Grenzfall z→0 wird dann
F’(x)=(z·f(x)/z)=f(x)
anders gesagt: die Ableitung der Funktion “Fläche unter der Funktion f(x)” ist gerade die Funktion f(x) selber. Und daher ist die Umkehrfunktion der Ableitung von F(x) gerade das Integral der Funktion f(x).
Historisch entstanden ist, wie Erwin Nüßler schon bemerkte, der Integral-Begriff in der Tat aus dem Wunsch, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen.