Wie integriert man
∫
∞
0
(1−cos(x))
x
2
dx
mittels komplexen Analysis?
Das kann man mittels Cauchys Integralsatz integrieren. Dazu nehmen wir den folgenden Integrationsweg
d.h.
∮f(z)dz=
∫
−r
−R
f(x)dx+
∫
r
−r
f(z)dz+
∫
R
r
f(x)dx+
∫
C
R
f(z)dz
Da keine isolierte Stellen in diesem Integrationsweg umschlossen sind, hat man
∮f(z)dz=
∫
−r
−R
f(x)dx+
∫
r
−r
f(z)dz+
∫
R
r
f(x)dx+
∫
C
R
f(z)dz=0
Um das Integral zu lösen, schreiben wir es wie folgt
1−cos(x)
x
2
⟶
1−
e
iz
z
2
um, und verwenden den obigen Satz, also
0=
∫
−r
−R
1−
e
ix
x
2
dx+
∫
r
−r
1−
e
iz
z
2
dz+
∫
R
r
1−
e
ix
x
2
dx+
∫
C
R
1−
e
iz
z
2
dz
Nun wenn man R gegen unendlich laufen lässt, verschwindet der Beitrag über
C
R
, und nur 3 Terme bleiben
∫
−r
−R
1−
e
ix
x
2
dx+
∫
r
−r
1−
e
iz
z
2
dz+
∫
R
r
1−
e
ix
x
2
dx=0
(1)
Den ersten Term
∫
−r
−R
1−
e
ix
x
2
dx
kann man etwas umschreiben, wenn man folgende Substitution
x=−u
betrachtet, die Integrationsgrenzen entsprechend ändert, und anschließend u durch x ersetzt! Also wir erhalten,
∫
−r
−R
1−
e
ix
x
2
dx⟶
∫
R
r
1−
e
−ix
x
2
dx
Einsetzen in (1) gibt
∫
R
r
1−
e
−ix
x
2
dx+
∫
R
r
1−
e
ix
x
2
dx+
∫
r
−r
1−
e
iz
z
2
dz=0
(2)
Da
cos(x)=
e
ix
+
e
−ix
2
kann man (2) wie folgt
2
∫
R
r
1−cos(
x
2
)
x
2
dx+
∫
−r
r
1−
e
iz
z
2
dz=0
zusammenfassen. Nun müssen wir die Limits von (2) berechnen, also
2
lim
R→∞
lim
r→0
∫
R
r
1−cos(x)
x
2
dx+
lim
r→0
∫
r
−r
1−
e
iz
z
2
dz=0
(3)
Das Limit des zweiten Terms in (3) kann man wie folgt berechnen. Wir verwenden die Parametrisierung
z=r
e
iϕ
→dz=ir
e
iϕ
dϕ
und erhalten
I
2
=
lim
r→0
∫
r
−r
1−
e
iz
z
2
dz
=
∫
0
π
lim
r→0
1−
e
ir
e
iϕ
r
2
e
2iϕ
ir
e
iϕ
dϕ
=−i
∫
π
0
lim
r→0
1−
e
ir
e
iϕ
r
e
iϕ
dϕ
=−i
∫
π
0
lim
r→0
1−((ir
e
iϕ
)
0
+(ir
e
iϕ
)
1
+⋯)
r
e
iϕ
dϕ
=−i
∫
π
0
lim
r→0
−ir
e
iϕ
r
e
iϕ
dϕ
=−
∫
π
0
dϕ
=−π
Einsetzen in (3) gibt
2
lim
R→∞
lim
r→0
∫
R
r
1−cos(x)
x
2
dx=π
(4)
Das Endergebnis lautet also,
∫
∞
0
1−cos(x)
x
2
dx=
π
2