Welche realen Zahlen werden wir nie kennen (nicht einmal den ungefähren) Wert?
Schon seit dem 19. Jh. ist bekannt, dass ein mathematisches Lexikon nur endlich viele Objekte beschreiben kann:
" 2 : die gerade Primzahl "
" Pi : die Kreiszahl "
" Kreis: die Nullstellen des Polynoms x ² + y ² = R ² "
Demnach wirst du niemals alle natürlichen Zahlen kennen geschweige alle reellen.
So wie es das Denkmal des Unbekannten Soldaten gibt, könntest du die " Definition der Unbekannten Zahl " einführen.
Ich bin ja nun Fan der Nonstandard Analysis von Edward Nelson ( NSA ; IST )
Lehrbuch von ===> Alain Robert bei Wiley; neueste Ausgabe natürlich bei Amazon. Sollte es dir neu sein - ich bin gerne dein Nachhilfelehrer.
Eine der ersten Weisheiten, die man in der NSA lernt
Lemma 1
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" Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "
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Na jetzt wissen wir wenigstens, warum uns die Unendlichkeit immer so Ungemach bereitet …
Auf den Schultern von Titanen; ich bin der erste, der gesehen hat, dass sich aus Lemma 1 eine ganz banale Konsequenz ergibt:
" Wenn jede unendliche Menge ein Nonstandard Element besitzt, dann kann es nur endlich viele Standardelemente geben.
Ganz so ist das ja nun auch nicht. Denn Standard ist keine Mengen bildende Eigenschaft; und eine Kardinalzahl ( Mächtigkeit ) kommt nur einer Menge zu. Es gilt aber fast.
( Im Folgenden werde ich alle Variablen durch Fettdruck hervor heben, deren Wertebereich auf Standard beschränkt ist - so wie man das analog bei Vektoren macht. )
Jede Menge M besitzt eine endliche Teilmenge E ( M )
(E) E = E ( M ) | x € M ===> x € E ( 1a )
( 1a ) wurde oft missverstanden; so erläuterte mir mal ein Schweizer Prof fernmündlich, Gerüchte weise habe er vernommen, " dass Anhänger der NSA Mengen als endlich ansprechen wie |Q , |R und |C , die für normale Menschen unendlich " seien. Schon merkwürdig, dass Mathematiker unbestimmte Gerüchte kolportieren, die sie selber nichtmal verstanden haben …
Diese absurde Aussage würde ja lauten
x € M ===> x € E ( 1b )
" Jede ( unendliche ) Menge M besitzt eine endliche Teilmenge E so dass E bereits alle Elemente von M enthält ( !!! ) "
Der Schluss von ( 1a ) nach ( 1b ) ist ein Transferschluss; und zwar handelt es sich umm unerlaubten Transfer. Warum? Ganz offenbar kann die Menge E nicht Standard sein, sonst wäre der Transfer ja erlaubt.
Ich habe vorgeschlagen, das Prädikat " Standard " mit dem Prädikat Farbe zu vergleichen. ( 1a ) ist genau so wenig eine Aussage der Scharzweiß Analysis, wie der Eulersatz eine Aussage über die reelle Analysis trifft.
Betrachten wir einmal Integers. Wenn n Standard, so auch n + 1 . Aber jedes Nonstandard m ist größer als jedes Standard n . Es handelt sich darum , alle Integers in zwei Klassen, zwei Regime einzuteilen.
Vielleicht ein ===> Zen ===> Koan
" Klein Hänschen; wie weit kannst du zählen? "
" Bis 20 "
" Und was kommt nach 20? "
" 21 "
" Und wie viel ist eine Million? "
" Weiß nicht … "
Nonstandard Integers haben so viele Stellen, dass ihre Darstellung " bis jenseits des Ereignishorizonts " reicht.
( Ist das Weltall wirklich unendlich, müssen wir das ernst nehmen, dass die Zahl bei uns beginnt und erst hinter dem Horizont endet … )
Das Grimmsche Märchen hält ja dafür, am Ende der Welt stehe ein Diamantberg. nd alle hundert Jahre komme eine Nachtigsll zu Besuch und wetzt ihren Schnabel an diesem. Und wenn dann der Berg schließlich abgetragen ist, dann ist eine Nonstandard Anzahl von Jahren vergangen …
Besonders stolz ist Nelson ja, den Begriff der infinitesimalen Zahl rehabilitiert zu haben. Ich behaupte mal: Seine Theorie hat unabsehbare Folgen für die Zahlentheorie.
Immer wieder hört man namentlich in populären Rundfunkbeiträgen, eines Tages könne sich die Goldbachvermutung möglicher Weise als unentscheidbar im Gödelschen Sinne heraus stellen. Für derartige Befürchtungen habe ich nur ein müdes Grinsen übrig. Müdes Grinsen - das erinnert mich daran, wie mein Prof das Eigenwertproblem einführte. Er malte eine 2 X 2 Matrix an die Tafel und äußerte, vielleicht hat die ja 4 711 Eigenwerte; da entrang sich mehreren Kommilitonen besagtes müdes Grinsen.
Wer kennt übrigens den Witz
" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "
Genau das ist die Analogie, die Nelson anführt; wenn du dich einmal auf diese Nonstandard Elemente einlässt, wird alles einfacher. Bei Gödel ist ein Beweis ein Assemblerprogramm, das in endlich vielen n0 Schritten zur Behauptung führt. Nur gibt es eben keine Begrenzung für n0. Im Folgenden sei n0 = n_max = Nonstandard die größte darstellbare Zahl deiner CPU . Dann lässt sich Goldbach mit folgendem Programm entscheiden:
FOR index = 4 TO n_max STEP 2
IF NOT Gold_Bach ( index ) THEN
STOP " Äätsch bäätsch , Gegenbeispiel " , index , " gefunden "
END_IF
NEXT index
PRINT " Hurra ! Goldbach bewiesen. "
Das Goldbachproblem ist " iterativ aufzählbar " , wie ich das nenne.
Def
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Ein Problem P ( n ) heißt iterativ aufzählbar , wenn es eine Funktion f ( n ) gibt, so dass P ( n ) in höchstens f ( n ) Assemblerschritten entscheidbar ist.
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Man mag sich noch Steigerungen der Effektivität überlegen; doch ist dies nicht das grundsätzliche Problem.
Warum funktioniert unser Programm überhaupt? Im Hörfunk wird auch stets behauptet, endlich viele Tests reichten nicht aus - genau das stimmt nicht.
In dem Augenblick, wo n_max " Riesen groß " wird, eben Nonstandard, gilt der Einwand des Transferaxioms:
Wenn unsere FOR - NEXT_Schleife überhaupt anhält, hält sie bereits für ein Standard Index an.
Genau diese Überlegungen entwickelte ich in einem Leserbrief an die Zeitschrift Spektrum. Mir antwortete ein Prof, solche " Rechner werden wohl niemals entwickelt " Er übersah geflissentlich folgende Ergänzung.
Es gibt einen Beweis B - besser Entscheidungsverfahren - für das Goldbachproblem G ( Goldbach ist ein Standardproblem ! )
(E) B ( G ) ( 2a )
Dann folgt aber durch Transfer
(E) B ( G ) ( 2b )
Wenn L ( P ) die Assemblerlänge eines Programms ist, dann können wir ( 2b ) schreiben
(E) L ( B ) ( 3a )
( Wenn sich die NSA erst durchsetzt, dann werde die Mathematiker über der Art triviale Existenzaussagen typische Witze reißen. )
Und aus ( 3a ) wiederum durch Transfer
(E) L ( B ) ( 3b )
Hier erhebt sich also mit Nachdruck die Frage nach dem Beweis kürzester Länge.