Was sind die kompliziertesten mathematischen Objekte, die du kennst?
Ich fange mal mit Perfektoiden Räumen an (P. Scholze).
Weiter, um nicht vollständig in der Zahlentheorie zu verweilen: Kristalline Cohomologie (A. Grothendieck)
und in der Algebraischen Geometrie: Modulräume algebraischer Varietäten (D. Mumford)
Gruppentheorie: Die Monstergruppe (Fischer, Griess) und alle anderen sporadischen einfachen Gruppen (Mathieu, Janko, Conway, Fischer-Griess, und andere)
Das dürfte für den Anfang reichen.
Ich würde sagen: das vollständige Verständnis irgendeiner dieser Objekte/Definitionen ist eine ernsthafte Qualifikation für einen Mathematik-PhD.