Welche Formel sollte ich verwenden, um die Dirac-Funktion in der Ursprungssoftware zu zeichnen (während beide x, y in [0,1] sind)?
Meinst du die Deltafunktion? In der ursprünglichen ( idiotischen ) Definition ist sie gleich Null auf |R \ { 0 } ; und
delta ( 0 ) = ( + °° ) ( 1a )
und zwar so, dass
$ delta ( x ) dx = 1 ( 1b )
Dirac war ein Kauz; ich selbst kenne von ihm drei Anekdoten. Darauf aufmerksam gemacht, seine Deltafunktion sei ein durchaus widersprüchlicher Begriff und man habe schon jede Menge falsche Aussagen aus ihr abgelitten, soll er gesagt haben
" Versteh ich nicht. Ich kriege immer nur richtige Aussagen raus. "
Als er damit befasst war, seine berühmte relativist. Elektronengl. aufzustellen, sprach ihn ein Freund an
" Hei; was treibst du denn so? "
" Ich entwickle die quantenmech. Gl. für das Elektron. "
" Aber das haben Klein_Gordon doch schon getan. "
" Genau deren Gleichung entdecke ich grade … "
Aber das Schönste. Bei einer Atlantiküberquerung zu einer Vortragsreise in den USA war die gesamte QM Prominenz versammelt. Und Heisenberg ging jeden Abend runter in die Tanzbar. Da nimmt ihn Dirac bei Seite
" Werner; ich versteh eigentlich nicht, warum du dir das antust. "
" Wieso? Da lernst du doch nette Frauen kennen. "
" Aber Werner. Gerade du bist doch Empiriker. Woher willst du denn wissen, dass sie nett sind noch bevor du mit ihnen getanzt hast? … "
Aber zurück zur Deltafkt. Da gibt es einen Knaben namens ===> Edward Nelson. Der stellte im Jahre 77 eine völlig neue Theorie auf, die Nonstandard Analysis ( NSA ; IST ) Leider gibt es als Lehrbuch bisher nur das eine ziemlich witzige von Alain Robert bei Wiley ( nneueste Ausgabe bei Amazon ) Ich wäre auch bereit, dein Nachhilfelehrer zu werden.
Nelson ist ja stolz wie Oskar, dass es ihm gelungen ist, den in der Analysis so sehr verpönten Begriff des Inf(initesimalen) zu rehabilitieren. So schrieb seiner Zeit noch das Fischerlexikon ( das leider nie mehr aufgelegt wurde; ich hüte es als antiquarischen Schatz )
" Der Begriff des Inf hat in der Analysis nichts zu suchen, da er sich nicht Sinn voll axiomatisieren lässt. "
Ich höre meinen Chef schon lästern
" Kann man es nicht; oder wollten Sie nur gesagt haben, dass Sie es nicht können? "
Wenn du dich mit NSA beschäftigst, verstehst du aller erst die Katastrofe, die wir uns mit der " Epsilontik " aufgebürdet haben; es ist, als wolltest du die komplexe Funktionentheorie als Werkzeug der reellen Analysis verbieten.
Aber ich will dochmal ganz kursorisch auf die Deltafkt. eingehen. Alain präsentiert sie auf S. 93 seines kleinen Bändchens.
Also erst mal: Die Deltafkt. gibt es gar nicht. Ja es existiert nicht einmal so etwas wie die Menge aller Deltafkt. ( Fragen, auf die Dirac vermutlich keine Antwort hätte geben können. )
du hast drei Prinzipien:
1) Delta ist integrabel und positiv semidefinit: (V) x | delta ( x ) > = 0 ( 2a )
2) Normierung:
(+°°)
$ delta ( x ) dx = 1 ( 2b )
(-°°)
( entschuldige das doofe Schriftbild )
3) Lokalisierung; es gibt ein Inf := € , so dass der Schatten des Integrals ( 2c ) gleich 1 ist:
$_|x|<€ delta ( x ) dx ( = ) 1 ( 2c )
Hier müsstest du dir insbesondere erst mal eine ganz elementare Aussage rein ziehen, den Schattensatz. Das in Rede stehende Integral ( 2c ) soll also insbesondere begrenzt sein; engl. " limited "
( Anmerkung: Dass eine reelle Zahl beschränkt ist, ist ja trivial; dass sie begrenzt ist, dagegen nicht. ) Und das eingeklammerte Gleichheitszeichen steht bei mir für die Quasi Äquivalenzrelation " ist inf gleich " oder " ist fast gleich " ; siehe Näheres hierzu bei Robert ( oder frag nochmal. )
Übrigens; warst du je im mathematischen Kolloquium? Das findet immer Fr. um 17 h 30 statt. Und der Gastredner hat dann 90 min Zeit, sein Thema vorzustellen, von dem nicht einmal die alt gedienten Profs wissen, dass es überhaupt existiert …
Noch Fragen?
Und dann sitzen alle Profs begossen da wie die Erstsemester …
Ein schönes Beispiel für eine Deltafkt. ist die Sägezahnnkurve ( gleichseitiges Dreieck )
n € |N ; n unbegrenzt ( 3a )
delta ( x ) := n ( 1 + n x ) ; - 1/n < x < 0 ( 3b )
delta ( x ) := n ( 1 - n x ) ; 0 < x < 1/n ( 3c )
delta ( 0 ) := n ( 3d )
delta ( x ) := 0 sonst ( 3e )
Wenn n unbegrenzt ===> 1/n = inf .
Die Deltafkt. ( 3b-e ) konstituiert ein gleichseitiges Dreieck mit inf Basis = 2/n
( Anm: Standard * inf = inf; 2 * 1/n = inf )
so wie der ( unbegrenzten ) Höhe n , was nach den Rechnungen der LMNTARgeometrie einen Flächeninhalt von Eins ergibt.
Im folgenden möchte ich Variablen, deren Wertebereich auf Standard beschränkt ist, durch Fettdruck hervor heben ( so wie man das ja auch z.B. bei Vektoren macht. )
Dann gelingt es Robert, für stetiges f jene berühmte Formel zu zeigen
$ f ( x ) delta ( x ) dx ( = ) f ( 0 ) ( 4 )