Wie lose man 2x (5x + y) - (x + y) = 345?
Natürlich gibt das einen Schnegelkitt:
QF ( x ; y ) := 10 x ² + 2 x y - x - y = 345 ( 1 )
QF soll quadr. Form bedeuten; sprich: quadr. Polynom in den Veränderlichen x und y .
Jetzt müssen wir raus kriegen, ob hier Ellipse, Parabel oder Hyperbel vor liegt; dazu müssen wir alles auf homog. QF ( HQF ) bringen. ( Schaut mal beim " Kuhrand " , was eine homogene Fkt. ist. ) Es dürfen also nur noch Terme der Form überleben
x ² ; x y ; y ² ( 2 )
Die linearen Glieder der Form x und y müssen weg; erreicht wird dies durch eine Nullpunktsversch.
x ===> x - x0 ( 3a )
y ===> y - y0 ( 3b )
Elimination der lin. Terme bedeutet geometrisch, dass wir den Nullpunkt in das Symmetriezentrum legen. Bei einer Ellipse ist das ihr Mittelp. ; bei einer Hyperbel der Schnittpunkt ihrer ===> Asymptoten, der gleichzeitig das Zentrum einer Punktspiegelung ist. Ferner handelt es sich um das Zentrum einer Achsensymmetrie; die ( beiden ) Äste einer Hyperbel sind gleichzeitig symmetrisch gegenüber ihren Achsen.
( 3ab ) ein setzen in ( 1 ) ; wie in einem Polynom üblich, sortiere ich die Terme in fallender Ordnung:
QF ( x ; y ) = 10 ( x - x0 ) ² + 2 ( x - x0 ) ( y - y0 ) - ( x - x0 ) - ( y - y0 ) = 345 ( 4a )
10 x ² - 20 x x0 + 10 x0 ² + 2 x y - 2 x y0 - 2 y x0 + 2 x0 y0 - x - y + x0 + y0 = 345 ( 4b )
10 x ² + 2 x y - [ x ( 20 x0 + 2 y0 + 1 ) ] - [ y ( 2 x0 + 1 ) ] + …
+ 10 x0 ² + x0 + y0 + 2 x0 y0 = 345 ( 4c )
Zur Verdeutlichung habe ich die inh. linearen Terme, die uns so stören, in ( 4c ) eigens durch eckige Klammern hervor gehoben. Offenbar müssen wir das LGS lösen
20 x0 + 2 y0 = ( - 1 ) ( 5a )
2 x0 + 1 = 0 ===> x0 = ( - 1/2 ) ( 5b )
Und aus ( 5b ) mittels ( 5a )
y0 = 9/2 ( 5c )
Ich erinnere mich gut; ich hab sowas schon einmal für Quora gemacht. Doch da beschränkte sich die Aufg. auf etwas, was von Schülern gerade noch zu leisten ist: Das Symmetriezentrum zu finden von den ( zwei Ästen ) einer " stehenden " Hyperbel ( Auch dort musste erst eruiert werden, ob Ellipse oder Hyperbel. ) Dagegen wir hier haben in ( 1 ) die zus. Komplikation des Kreuzterms x y ( s.u. ) der nur per ===> Hauptachsentransformation ( HAT ) zu bewältigen ist ( s.u. ) Und die kommt nicht vor dem 2. Semester dran.
( 4c ) nimmt also jetzt die HQF an
10 x ² + 2 x y + 10 x0 ² + x0 + y0 + 2 x0 y0 = 345 ( 6a )
Alles was noch zu tun bleibt: Einsetzen für die Absglieder.
10 x0 ² = 5/2 ( 6b )
2 x0 y0 = ( - 9/2 ) ( 6c )
10 x ² + 2 x y = 343 ( 6d )
( 6d ) ist gegen getestet gegen Wolfram; hier wer weiß, wie ich das gemacht habe?
Die Entscheidung, ob Ellipse oder Hyperbel, fällt jetzt über den ===> Metrischen Tensor M
M :=
m11 ; m12
m12 ; m22 ( 7a )
Ich habe leider keine Spaltenvektoren; auf Onlinemathe ließe sich das ganz roßartig darstellen.
HQF ( x ; y ) = < x ; y | M x ; y > = ( 7b )
= m11 x ² + 2 m12 x y + m22 y ² ( 7c )
Koeffizientenvergleich mit ( 6d ) lehrt
m11 = 10 ; m12 = 1 ; m22 = 0 ( 7d )
M =
10 ; 1
1 ; 0 ( 7e )
Positiv oder indefinit? So bald du in der Hauptdiagonale eine Null stehen hast, wird die Determinante negativ ===> indefinit. Es liegt eine Hyperbel vor; an sich könnte unsere Betrachtung hier enden. Ich will euch jedoch nicht dumm sterben lassen; wie berechnet man die Eigenwerte einer 2 X 2 Matrix? Sämtliche Textbücher erklären das immer so mega umständlich, dass ich annehmen muss, eure Profs wissen es auch nicht besser. Mein Ansatz für die Säkulardeterminante ist ein quadr. Polynom in Normalform:
f ( µ ; M ) = µ ² - p µ + q ( 8a )
Ich habe leider kein Lambda; müsst ihr mit µ vorlieb nehmen?
Und; was ist p und q? Ich sage immer; Vieta das geschmähte Stiefkind. Vieta p
p = E1 + E2 = Sp ( M ) = 10 ( 8b )
q = E1 E2 = det ( M ) = ( - 1 ) ( 8c )
µ ² - 10 µ - 1 = 0 ( 8d )
Mitternachtsformel oder quadr. Erg. ( was ich bevorzuge )
Macht was ihr wollt, aber macht es richtig.
E1;2 = 5 - + sqr ( 26 ) ( 8e )
Doch ( 2–8 ) sind nicht wirklich Ziel führend. Mit den irrationalen krummen Wurzeln ( 8e ) lässt sich wirklich nix Gescheites anfangen. Der einzige Zweck bestand darin, euch zu überzeugen, dass deine Kurve tatsächlich eine Hyperbel ist.
" Oond jetz stellermer oons janz domm; unne sagemer so. "
Was würde denn ganz typisch ein Schüler mit ( 1 ) anfangen? Er würde ganz naiv her gehen und alles nach y umstellen, weil er nix anderes gelernt hat …
y ( 2 x - 1 ) = - 10 x ² + x + 345 ( 9a )
y =
- 10 x ² + x + 345
—————————— ( 9b )
2 x - 1
Ihr habt gelernt: Wenn Nennergrad > Zählergrad, dann ===> Teilbruchzerlegung ( TZ ) Ansonsten ===> Polynomdivision ( PD ) Doch; da seid ihr gut drin. Das konnten selbst die Schüler auf dem ( fossilen ) Portal " Lycos " Glaubt mir; es wird sich bezahlt machen.
( - 10 x ² + 1 x + 345 ) : ( 2 x - 1 ) = - 5 x - 2 + ( 343/2 ) : ( x - 1/2 ) ( 9c )
o-10 x ² + 5 x
#################
oooooo- 4 x + 345
oooooo- 4 x + 2
#################
ooooooooooo 343
Seht ihr; und mit ( 9c ) kommt auf einmal die Interpretation. Etwas woran ihr in ( 9b ) nicht im traum gedacht hättet; unsere Funktion y = f ( x ) in ( 9b ) ist offenbar zusammen gesetzt
f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) ( 10a )
g ( x ) = - ( 5 x + 2 ) = Gerade ( 10b )
h ( x ) = 343/2 ( x - 1/2 ) = Hyperbel ( 10c )
Das ist genau das, was uns kath. Radfahrer immer wieder zwingt, in der Kurve abzusteigen. Ich glaube jedes Mal, wenn ich Schülern einen Grafen der Form ( 10a-c ) präsentiere, gelingt es mir, sie aufs Glatteis zu f´ühren, und sie sagen
" Gerade + Hyperbel "
Gerade + Hyperbel = Hyperbel ( 10d )
Wie kann das sein??? Dieses ganze Dilemma rührt doch ausschließlich von dem Beweis aus ( 8a-e ) , dass wir es hier unzweideutig mit einer Hyperbel zu tun haben.
Es soll ja Lehrer geben, die buchstäblich jede gebrochen rationale Funktion zur Hyperbel taufen.
So großzügig bin ich nicht; die Hyperbel ist immer das Dingsbums mit dem Brennpunkt.
Wenn Lichtstrahlen, von dem ( äußeren reellen ) Brennpunkt F2 kommend, auf einen ( konvexen ) hyperbolischen Wölbspiegel fallen, scheinen sie nach der Reflexion von dem ( inneren virtuellen ) Brennpunkt F1 zu kommen.
Gehen wir mal aus von einer Klasse K math. Objekte. Kurven, Zahlen, Bauklötze - egal.
Und immer dann, wenn es gelingt, eine Transformation anzugeben, die alle Objekte auf die Gestalt besonders einfacher Prototypen bringt, dann bezeichnet man diesen Prototyp als Normalform. So hatten wir in ( 8a-e ) die HAT angegeben, die eine Hyperbel auf Normalform bringt.
Ich schmeichle mir nun, eine weitere, die " Alfonsinische " Normalform angegeben zu haben - quasi das " Ei des Alfons " Jede Hyperbel besitzt doch zwei Asymptoten ( s.u. ) Und um die Form ( 10d ) zu erhalten, brauchst du nichts weiter tun, als das Zeichenblatt so zu drehen, dass eine Asymptote vertikal, parrallel zur Ordinate verläuft.
Wo liegt eigentlich die Polstelle von ( 9c ) ? Offensichtlich doch
x_p = 1/2 ( 11 )
Überrascht uns das, oder haben wir das vielleicht doch erwartet?
Wirf noch einmal einen Blick auf ( 3a;4c;5b ) Dort hatten wir gesagt: Wir müssen das Symmetriezentum verschieben um x0 = " Minus eine halbe Einheit " , sprich eine halbe Einheit nach Links, dass es in den Nullpunkt fällt. Dann muss es also in ( 11 ) liegen. Das Symmetriezentum der ( beiden ) Äste ist immer auch Schnittpunkt der Asymptoten; in HAT wird dir das in der grafischen Darstellung sofort klar.
Es hängt eben doch alles daran, wie du dein Blatt drehst. Wenn wie hier eine Asymptote vertikal verläuft, ist besagtes Symmetriezentum gleichzeitig auch die Polstelle
( Bei anderen Orientierungen des Blattes, etwa " liegender " Hyperbel, ist das nicht so.
Die liegende hat pberhaupt keine Definitionslücken. )
Doch setzen wir unsere Kurvendiskussion ( KD ) fort; die Nullstellen gehen ja direkt mit der Ausgangsform ( 1 )
10 x ² - x = 345 | NF ( 12a )
x ² - x/10 = 345/10 = 69/2 | + 1/400 ( 12b )
( x - 1/20 ) ² = 13 801/400 ( 12c )
x1;2 = 1/20 [ 1 - + sqr ( 13 801 ) ] ( 12d )
Was euch eure Lehrer nicht hinreichend klar machen. Wurzel ziehen kannst du nur, wenn du die Primfaktorenzerlegung einer Zahl kennst. Ich weiß; hier sitzen die Zahlentheoriefexe, die das mit ihren Superprogrammen in Null Komma Nix raus haben. Aber ich möchte doch mal die Gelegenheit nutzen zu einem Exkurs über Teilbarkeitsregeln; es ist alles nicht neu. Es beachtet nur keiner.
Online kam mal eine nette Mathemieze. Mathelehrer kannste nicht werden, wenn du dir geometr. Sachverhalte bis einschl. zu den Archimedischen Körpern nicht anschaulich vor stellen kannst.
Da war die Lady auch echt Klasse; es ging um die Fläche einer rot schraffierten Figur.
Doch dann wollte die uns was erzählen über Teilbarkeitsregeln.
Mein Daddy war ja Injenschör; wenn jemand zwei linke Hände hatte. Dann bekam der jedes Mal die Krise
" Das kann ich gar nicht sehen … "
Und genau so konnte ich nicht an mich halten, ständig in den Bildschirm zu schreien; Mensch wie dämlich du dich wieder anstellst …
Das beginnt schon bei der Teilbarkeit durch 3 , die man ( angeblich ) mit der Quersumme überprüft.
Hier mir Frankfotter kenne da en geiiile Witz; wer du bis unn vor allem, wer dein Lehrer is …
Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese, in Sachsehause?
Uffn ===> Affetorplatz?
Sitzt e klaa Äffsche in Urwald uff sei Palm.
Unn auf einmal kimmt rings konzentrisch e Riiiese Feuerwalz uff des arm Äffsche auf zu.
Fraache; wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit pringe?
Antwott: Woher soll ' s dann der klaa Aff wisse, wann ' s de große net weiß?
Also; Teilbarkeit durch 3 überprüft man mit der Q2 , der Quersumme ===> zweiter Ordnung.
Und zwar ist die Q_k genau dann eine Teilbarkeitsregel für die Zahl n, wenn
n | 10 ^ k - 1 ( 13a )
3 ist ein teiler von 99 = 10 ² - 1 ; daher testet die Q2 auf 3.
Und was soll das jetzt für einen Vorteil bringen?
Zunächst mal gehen sämtliche Quersummen auch Modulo; du hast also beispielsweise
Q2 ( n ) = n mod 3 ( 13b )
( Diese aussage wirst du praktisch nirgends finden. )
Das wäre an sich noch kein Vorteil. Doch bevor du irgendetwas rechnest, schreibst du unter jede Zweiergruppe ihren Rest mod 3 . Und erst mit diesen Resten bildest du die Q2; dadurch bleiben die Zahlen klein. Und den Rest mod 3 sämtlicher zweist. Zahlen kann man schließlich auswändig.
Die ganze Situation bilden wir ja ab auf den ===> Restklassenkörper F3. Und bei mir sieht der ja so aus:
F3 = { 0 ; + 1 ; - 1 } ( 13c )
Demnach verfolge ich die Politik, dass sich sämtliche Reste zu Null weg interferieren.
Unsere Beispielzahl war ja 13 801
Q2 ( 13 801 ) = 01 | 38 | 01 ( 14a )
1 = ( + 1 ) mod 3 ( 14b )
38 = ( - 1 ) mod 3 ( 14c )
1 = ( + 1 ) mod 3 ( 14d )
Und damit
13 801 = 1 mod 3 ( 14e )
Dass die Q2 auch für die 11 testet, wird zwar gelegentlich erwähnt. doch schaut euch doch mal an, was für einen Eiertanz beispielsweise Wiki um die ===> Elferprobe veranstaltet, die doch weiter nix ist als ein ===> Homomorphismus
|Z ====> F11 ( 15a )
Analog ( 13c ) haben wir hier
F11 = { 0 ; + - ( 1 , 2 , … , 5 ) } ( 15b )
( 14c;e ) werdden dann
38 = ( + 5 ) mod 11 ( 15c )
13 801 = 7 mod 11 ( 15d )
Jetzt haben wir die 7 noch übersprungen. Wer befiehlt den ganzen Lehrern eigentlich, den Schülern vor zu lügen, es gebe keinen Test auf 7 ? Hier in Quora fiel mir auf, dass die einschlägige Quersummenregel so gut wie unbekannt ist. Ist n ein Teiler von 10 ^ k + 1 ( also dies Mal " Plus " ) , so eignet sich die ===> alternierende Quersumme A_k als Test. Nun ist aber
1 001 = 10 ³ + 1 = 7 * 11 * 13 ( 16a )
so dass wir hier einen Test auf gleich die drei Zahlen 7 , 11 und 13 vor uns haben:
Häufig liest man, es sei völlig gleichgültig, ob du bei der rechtesten Gruppe mit " Plus " oder " Minus " beginnst - natürlich " Plus " Denn sonst enthalten ja die Reste allesamt Vorzeichenfehler …
A3 ( 13 801 ) = 801 - 13 = 788 mod ( 7 ; 11 ; 13 ) ( 16b )
Manchmal muss man auch etwas " sehen " ; im Falle der 7 habe ich mir noch folgenden schmutzigen Trick ausgedacht:
7 = 0 mod 7 ( 16c )
8 = 1 mod 7 ( 16d )
9 = 2 mod 7 ( 16e )
Also
788 = 011 mod 7 = ( - 3 ) mod 7 ( 16f )
Es gibt aber auch etwas Offizielles, was erst ich in voller Allgemeinheit erkannt habe - die " 100_er Regeln " Für eine ( Prim)zahl p, die nicht " wesentlich " größer als 100 sein darf, frage ich:
Was gibt 100 mod p ?
100 mod 7 = ( + 2 ) ( 17a )
da 14 * 7 = 98
also
788 = 7 * 100 + 88 = ( 17b )
= 7 * 2 + 88 mod 7 = 102 ( 17c )
Wenn du absolut nichts siehst: einfach die 100_er Regel ein zweites Mal anwenden.
Ansonsten nochmal direkt ( 17a ) ausnutzen.
Und für die 13 muss offenbar gelten
100 mod 13 = ( - 4 ) ( 17d )
wegen 8 * 13 = 104
7 * 100 + 88 = - 4 * 7 + 88 mod 13 = ( 17e )
= 60 = ( - 5 ) mod 13 ( 17f )
Für die 17 hast du entsprechend
100 = ( - 2 ) mod 17 ( 18a )
Unsere Zahl würde ich wie folgt partitionieren:
13 801 = 138 * 100 + 1 = ( 18b )
= - 2 * 138 + 1 mod 17 = ( - 275 ) = ( 18c )
= - 2 * 100 - 75 = 2 * 2 - 75 mod 17 = ( 18d )
= ( - 71 ) = ( - 3 ) mod 17 ( 18e )
Ich würd mal sagen 100 = 5 mod 19 - nun schaut mal, wie allgemein üblich auf Teilbarkeit durch 19 getestet wird …
Ihr könnt ja noch die 23, 29 und 31 durch probieren. Weil ich hab Online gespickt; die 37 ist dann ein Treffer. Und wahrscheinlich hätte ich ansonsten dieses ganze Reilerkapitel raus gelassen. Weil für die 37 gibt es wieder eine hoch offizielle Serqwumme ..
Betrachte mal die Folge der Schnapszahlen
111 ; 222 ; 333 ; … ; 999 ( 19a )
Bekanntlich gehen sie alle durch 37 .
37 | 999 = 10 ³ - 1 ( 19b )
und damit ist die Q3 ein Kandidat.
Q3 ( 13 801 ) = 801 + 13 = 814 mod 37 ( 19c )
100 = ( - 11 ) mod 37 ( 19d )
8 * 100 + 14 = - 11 * 8 + 14 mod 37 = ( 19e )
= ( - 74 ) = 0 mod 37 ( 19f )
13 801 = 37 * 373 ( 19g )
Und da wir brav die ganze Ochsentour des Erathostenes durchlaufen haben, wissen wir auch , dass 373 prim sein muss:
19 ² = 361 < 373 < 23 ² = 529 ( 19h )
an sich haben wir ja nach quadr. Teilern gefahndet; ich zweifle nicht, dass ihr Mega schlaue Zahlentheoretiker habt, die einer Zahl direkt ansehen, ob die sowas hat - im Internet jeden Falls fand ich nichts.
Zurück zu ( 11;12d ) Dass x1 eine Nullst. des linken Hyperbelasts ist, ist ja klar, weil sie negativ ist. Doch müssen wir noch beweisen, dass x2 dem rechten Ast zugeordnet ist, dass also die Ungl. gilt
x1 > x_p ( 20a )
Ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer; der TR bleibt in der Tasche …
1/20 [ 1 + sqr ( 13 801 ) ] > 1/2 | * HN ( 20b )
1 + sqr ( 13 801 ) > 10 | - 1 ( 20c )
sqr ( 13 801 ) > 9 = sqr ( 81 ) ( 20d )
( Die Wurzelfkt. ist monoton. )
Viele von euch wird das komisch anmuten; aus der Beh. ( 20a ) leiten wir die wahre Auss. ( 20d ) ab. Auf dem ( fossilen ) Portal " Lycos " beklagte sich übrigens mal ein Matheprof über die typische " Jugend von Heute " Aus der Beh. würden die versuchen, die Vor. her zu leiten …
Doch ich kann Entwarnung geben; sämtliche Umformungsschritte sind ===> Äquivalenzumformungen. ( 20b ) ist wahr genau dann, wenn es ( 20d ) ist; die Kette kann genau so gut auch rückwärts gelesen werden.
Jetzt folgt d
( Ich hab grad keine Zeit )