Wie kann man ohne Taschenrechner beweisen, ob
e
π
e
oder
π
e
π
größer ist?
Mithilfe einer Logarithmentafel (zu erwerben in guten Antiquariaten) oder einem Rechenschieber (zu erwerben auf Flohmärkten), Papier und Bleistift (schriftlich multiplizieren und addieren solltest du allerdings schon noch können). Dann erinnert man sich, dass der Logarithmus eine monotone Funktion ist, und dann vergleicht man
ln(ln(
π
e
π
))
mit
ln(ln(
e
π
e
))
ln(
π
e
π
)=
e
π
⋅ln(π)
daher
ln(ln(
π
e
π
))=π+ln(ln(π))
und
ln(
e
π
e
)=
π
e
daher
ln(ln(
e
π
e
))=e⋅ln(π)
π≈3.14159
und
e≈2.71828
sollten bekannt sein. Ich gehe mal davon aus, dass du eine ausreichend genaue Logarithmentafel hast ☺; darin schaust du nach:
ln(π)≈1.1447
ln(ln(π))≈0.1352
Und dann rechnest du nach alter Väter Sitte mit Papier und Bleistift aus:
ln(ln(
π
e
π
))=π+ln(ln(π))≈3.14159+0.1352≈3.277
ln(ln(
e
π
e
))=e⋅ln(π)≈2.71828⋅1.1447≈3.112
Also:
π
e
π
>
e
π
e
EDIT: der Unterschied der beiden doppelten Logarithmen sieht nicht sehr groß aus. Wenn man aber den Taschenrechner hernimmt und beide Ausdrücke ausrechnet, dann kommt einmal ca. 320 Milliarden und einmal etwa 5,7 Milliarden heraus - also mehr als der Faktor 50.