Was ist die Lösung zu
x
x
x
⋅
⋅
⋅
=2
?
Karl Brennans Antwort ist fehlerhaft; er hart das Bildungsprinzip überhauptz nicht verstanden. Ich gebe euch jetzt einen Link; meine Antwort zu einer verwandten Frage. Zufällig erinnerte ich mich deiner Fragestellung. Zu dem Hauptteil der Antwort verfasste ich daher zwei Kommentare.
In dem ersten Kommentar wird unter Verwendung der ===> Lambertschen W_Funktion dargelegt, das wen deine Folge überhaupt konvergiert für x = sqr ( 2 ) , ihr Grenzwert nur 2 oder 4 sein kann. In der Tat kannst du auf Wolfram odet dem programmierbaren TR sehen, wie gutartig diese Folge ist und dass ihr Limes höchstwahrscheinlich 2 beträgt.
Gleich nach dem Frühstück fühlte ich mich wieder stark; der Konvergenzbeweis ist nämlich ein Klax.
Jede monoton wachsende beschränkte Folge konvergiert.
Das folgt aus dem ===> Supremumsaxiom; in meinem zweiten Kommentar prüfe ich induktiv Monotonie und Beschränktheit nach. Monotonie hast du ja für beliebige x ; und für x = sqr ( 2 ) gelingt es mir eben, 2 als obere Schranke anzugeben; hier der angekündigte Link:
Antwort von Alfons Schmitt auf Welche ist die größere Zahl:
3
3333
oder
3
3
3
3
3
?
Eben fällt mir ein; deine eigentliche Frage ist ja noch offen. ( Ich übernehme hier sämtliche Gleichungen mit Nr. " Zwei Punkt " so wie " Drei Punkt " aus dem Link und mache hier mit " Vier Pinkt " weiter. Gemäß der Grenzwertbetrachtung ( 2.2a ) hast du
x0 = x ^ x0 ( 2.2a )
Statt der Basis a wurde hier das unbekannte x eingeführt gemäß deiner eigenen Notation. Nun war aber gefordert x0 = 2
x ² = 2 ===> x = sqr ( 2 ) ( 4.1 )
Deine Forderung wird ausschließlich von der Wurzel_2_Folge erfüllt. Vorsicht !
Hätten wir nichts weiter als ( 4.1 ) , wir wüssten nicht, ob die Wurzel_2_Folge überhaupt konvergiert noch, ob ihr Grenzwert wie in ( 4.1 ) gefordert tatsächlich 2 ist. ( Den Wert von x0 hatten wir ja in ( 4.1 ) willkürlich gefordert. ) Erst die gesamte Vorbetrachtung in ( 2.1–6;3.1–6 ) gibt uns Gewissheit.