Warum ergibt eine negative Zahl, multipliziert mit einer anderen negativen Zahl, eine positive Zahl? Die Regel minus * minus = plus, war bei uns in der Schule ein Dogma, was man schlicht hinzunehmen hatte. Keine logische Erklärung. Hat jemand eine?
Ich sage immer: Die Existenz negativer Zahlen lässt sich nicht damit rechtfertigen, dass du Schulden machen kannst … Weder bei dem Modell mit Geld und finanzen werden nämlich Geldbeträge multipliziert noch etwa negative Temperaturen in der Celsiusskala.
Du müsstest mal in einem Algebraskript nachsehen, was ein ===> Ring ( Algebra ) ist.
Das ist aller erst eine ===> kommutative ===> Gruppe
R = ( R , + ) ( 1 )
Üblicher Weise wird die Gruppenverknüpfung ( völlig willkürlich ) als Addition bezeichnet; hier noch einmal die üblichen Gruppenaxiome:
+ : R X R ===> R ( 2a )
( 2a ) formuliert die alg. Abgeschlossenheit. Diese Addition ordnet jedem Paar aus dem ===> cartesischen Produkt wieder ein Element aus R zu. ( Z.B die ganzen Zahlen |Z sind nicht alg. abgeschlossen unter Division )
Ganz wichtig: Die Gruppenverknüpfung ist assoziativ:
( a + b ) + c = a + ( + b + c ) ( 2b )
Forderung ( 2b ) erweist sich als unheimlich stark. Aus ( 2b ) folgt nämlich, dass eine Summe aus 4 711 Termen völlig unabhängig davon ist, wie du sie klammerst; also wie viele Klammern du setzt und wie du sie schachtelst. Und darum kann man diese Klammern letzten Endes weglassen.
( Dividieren ist z.B. nicht assoziativ. ( a : b ) : c ist etwas anderes als a : ( b : c ) Oder denk an Potenzieren. )
In jeder Gruppe gibt es auch ein neutrales Element; meist nennt man es 1 . Doch bei der Addition bezeichnet man es traditionell mit 0 :
(E) 0 € R (V) a | 0 + a = 0 ( 3a )
Kannst du schon Quantorenlogik? wäre eine günstige Gelegenheit, dich mal da rein zu denken .
Es wird also gesagt; es gibt so eine 0 , so dass Identität ( 3a ) erfüllt ist für alle a .
Und jetzt brauchen wir noch Inverse; im Falle der Addition heißen sie negative.
(V) a (E) ( - a ) | ( - a ) + a = 0 ( 3b )
Jetzt haben wir aber noch keine Ringplutimikation. Hier fordern wir nichts weiter als das ===> Distributivgesetz ( DG )
a ( b + c ) = a b + a c ( 4a )
Du das DG ist keines Wegs vom Himmel gefallen. Bei Lichte besehen, ist Multiplikstion nämlich alles andere als eine eigenständige Rechenart. Viel mehr ist sie von der Addition abgeleitet. Multiplikstion wirkt nämlich wie ein ===> Gruppenendomorphismus der Gruppe ( R , + ) Ich erwähne dies nur, damit du weißt, worauf es ankommt. Doch vorher wollen wir in ( 3b ) noch eine Folgen schwere Umformung vornehmen
( - a ) + a = 0 | - ( - a ) ( 3b )
Ich subtrahiere also das Inverse, um es auf die rechte Seite zu bringen:
a = - ( - a ) ( 4b )
Das Inverse des Inversen ist wieder das Ausgangselement. Das ist übrigens ganz allgemein in allen Gruppen so.
Nächster Zaubertrick.
b + ( - b ) = 0 | * a ( 4c )
a [ b + ( - b ) ] = 0 ( 4d )
Und jetzt tu ich die eckige Klammer in ( 4d ) ausmultiplizieren:
a b + a * ( - b ) = 0 | - a b ( 5a )
a * ( - b ) = - ( ab ) ( 5b )
Auf der rechten Seite von ( 5b ) steht also, was das Inverse von a * ( - b ) ist.
Und jetzt die Schlussapotheose
( - a ) * ( - b ) = - [ a * ( - b ) ] = ( 6a )
= - [ - ( ab ) ] ( 6b )
In worten: ( - a ) * ( - b ) ist das Inverse des Inversen von a b .
Und " Invers von Invers " hebt sich auf; das hatten wir schon oben in ( 4b ) gesagt. Und damit folgt die Beh.
( - a ) * ( - b ) = a b ( 6c )
Halt ich hätt noch was für dich. Wenn du Zeit und Lust hast, dich mit den Zahlenreichen und ihren Rechengesetzen zu befassen. Da gibt es ein witziges dtv Bändchen von Friedrich Waismann;
" Einführung in das mathematische Denken - Rezension einer Wittgensteinvorlesung "
wenn du rein zufällig wissen solltest, wer ===> Ludwig Wittgenstein war.
Einführung in das mathematische Denken: Die Begriffsbildung der modernen Mathematik
Die Einführung in das mathematische Denken gilt als zeitloser Klassiker der Mathematik und ist auch heute noch eine hervorragende Einführung, besaß doch der Autor ein bewundernswertes Talent zu klarer, verständlicher Darstellung. Er geht auf mögliche Fragen, Einwände, Schwierigkeiten und Missvers...
https://www.amazon.de/Einf%C3%BChrung-das-mathematische-Denken-Begriffsbildung/dp/3534243013
xxx
Gleich das erste Kapitel dürfte dich am Meisten intressieren. Waismann setzt also nichts weiter voraus als die Menge |N der natürlichen Zahlen ( auf die ich übrigens noch zurück kommen werde. )
Noch dazu ohne die Null. wie kann man ohne Geld, ohne Celsiusskala die ganzen Zahlen |Z konstruieren; und was meint man überhaupt, wenn man |N in |Z " einbettet " ?
Weil so wie die nat. Zahlen definiert sind, ist |N sicher nicht gemeint als Teilmenge von |Z .
Es ist eine Konstruktion der ( positiven und negativen ) ganzen Zahlen über Zahlenpaare.
Weißt du, was ich dir mal vorschlagen würde?
Die ===> Äquivalenzklassen, von denen Waismann spricht, auf Millimeterpapier rauszuplotten.
Wie sieht eine positive und wie eine negative Klasse aus?
Das Rechnen mit ganzen Zahlen ist demnach widerspruchsfrei, wenn es das Rechnen mit nat. Zahlen ist.
Und genau auf diesen Punkt nämlich kommt Waismann in seinem Schlusskapitel zurück.
Du stellst ja eine Frage, die jeder stellt; warum gibt " Minus Mal Minus = Plus " ?
doch garantiert niemand fragt: Warum gelten für nat. Zahlen die beiden Assoziativ_und Kommuttivgesetze und warum das Distributivgesetz? Dieses Kapitel wird jetzt das schwierigste. Hier nämlich hält dir Waismann eine einsemestrige Vorlesung auf Uniniveau.
( eine Vorlesung, die nebenbei gesagt, kein Prof seinen Studenten zumuten würde ! )
Verstehst du. Die Schüler sollen wissen, dass a + b = b +a und dass das immer gilt.
doch die Schule hat keinerlei Zeit, sich damit groß aufzuhalten.
( Schluss folgt noch )