Warum ist die Riemannsche Vermutung bis heute nicht bewiesen? Liegt es nur an der Bestimmung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion oder gibt andere Probleme?
Der Grund ist die außergewöhnliche Schwierigkeit des Problems. Warum man aber weiter sucht, hat u.a. zwei Gründe, die beide im Wikipediaartikel Riemannsche Vermutung
genannt werden:
Theoretisch
Die eigentliche Ursache dafür, dass viele Mathematiker so intensiv nach einer Lösung gesucht haben, ist aber – abgesehen davon, dass dies die letzte noch unbewiesene Aussage in Riemanns berühmtem Aufsatz ist – dass sich in dieser außergewöhnlich perfekten Symmetrie einer ansonsten sehr chaotischen Funktion (z. B. Universalitätssatz von Voronin
: Die Zeta-Funktion kann jede beliebige analytische von Null verschiedene Funktion innerhalb eines Kreises vom Radius 1/4 beliebig approximieren) wahrscheinlich die Spitze des Eisbergs einer fundamentalen Theorie verbirgt, so wie sich hinter der Fermatvermutung
die Parametrisierung von elliptischen Kurven durch Modulfunktionen verbarg, ein Teil des Langlands-Programms
.
Praktisch
Viele weitere Resultate der analytischen Zahlentheorie, aber auch etwa die für die in der Kryptographie
wichtigen schnellen Primzahltests, können bisher nur unter Annahme der Riemannhypothese bewiesen bzw. durchgeführt werden.
Mit eigenen Worten: Wir nehmen in vielen bedeutsamen Anwendungen an, dass Riemann recht hatte, können es aber nicht beweisen.