Wenn ein Vektorraum nicht leer oder Null ist, hat der Vektorraum immer eine Basis?
Eine kleine Ergänzung, falls es dir unbekannt sein sollte. Rekurrieren wir mal auf die Definition des Basisbegriffs. Frankfurt war vielleicht nicht gut, aber es war entschieden besser als sein Ruf. Nur weil Gerd Binnig den Nobelpreis bekam, glaubte er, er könne sich damit dicke tun, die Teilnahme an Vorlesungen in Frankfurt sei vergeudete Zeit …
Was ich jedoch in Wiki zu dem Begriff Basis fand, ist entschieden besser als alles, was sie uns in Frankfurt erzählt haben:
SATZ und DEFINITION
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Eine Vektorenfamilie heißt Basis, wenn sie eine der vier folgenden äquivalenten eigenschaften aufweist:
1) Eindeutig Erzeugendes
2) Minimales Erzeugendes
3) Linear unabhängiges Erzeugendes
4) Maximal linear Unabhängiges ( MLU )
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Alle Beweise so wie nähere Erläuterungen zu den Begriffen siehe Wiki.
Und jetzt noch ein Wort in eigener Sache; die Standardlehrbüche schummeln nämlich immer. eine Familie ( s.o. ) von Vektoren ist ein wesentlich allgemeinerer Begriff als eine Menge. ( Familien will ich immer in eckigen Klammern schreiben; für Mengen haben wir ja diese geschweiften Klammern. )
So kann kein Zweifel bestehen, dass die Familie
F := < a ; a > ( 1 )
linear abhängig ist, weil wir eine Doppelnennung haben. ( Lineare Abhängigkeit liegt schon dann vor, wenn ein Vektor wiederholt genannt wird; warum? )
Bei Definition einer Menge sind jedoch Mehrfachnennungen von Elementen unzulässig.
Ich kann mich noch lebhaft erinnern, dass etliche Kommilitonen dem Missverständnis erlagen, einzelne Vektoren seien linear (un)abhängig; Prof. Kerner monierte das immer wieder. Es lag schlicht daran; als erstes Statement seiner AGULA Vorlesung führte er ein
“ Der Begriff ‘ Menge ‘ wird nicht erklärt. “
Den Begriff Familie hat er aber auch tot geschwiegen … Es ist eindeutig die Familie, die linear (un)abhängig ist.
Da meine hoch verehelichten Vorredner bereits die Begriffe Auswahlaxiom ( AA ) so wie Zornsches Lemma eingeführt haben. Verstehst du einen der berühmtesten Mathematikerwitze?
“ Das AA ist selbstverständlich trivial erfüllt; eine tautologische Aussage.
Der Wohlordnungssatz ( WOS ) kann einfach nicht stimmen.
Und beim Zornschen Lemma wird man sehen … “
Bei Bedarf erklär ich ihn dir gerne.
Die Mathematiker meiden ja ===> Ordinalzahlen ( OZ ) wie der Gottseibeiuns das Weihwasser. Beweise können gar nicht kompliziert genug ausfallen, wenn nur jegliche Bezugnahme auf OZ vermieden wird …
Im Internet sind sie sehr anschaulich durch Farbgrafiken erklärt ( “ Mengenkreise “ )
“ Eine Menge heißt OZ , wenn sie ihre sämtlichen Vorgänger ( ===> Wohlordnung ) so wohl als Teilmenge als auch als Element enthält. “
0 := { } ( 2a )
1 := { 0 } ( 2b )
2 := { 0 ; 1 } ( 2c )
Kinder benutzen Zahlen zum Zählen lange, bevor sie rechnen können. Genau das ist gemeint. Und das obige F ließe sich dann definieren
f : 2 ===> V ( 3a )
n ===> a_n ; n = 0 , 1 ( 3b )
Und F wäre dann wie üblich die Teiilmenge des cartesischen Produkts
F := { ( 0 ; a0 ) ; ( 1 ; a1 ) } ( 3c )
Das klingt zunächst wie mit Kanonen nach Spatzen geschossen. Selbst für die ( abzählbar ) unendlichre Basis x ^ k des Polynomrings K [ x ] reicht |N allemal aus; und eine auf |N definierte funktion ist bekanntlich eine ===> Folge.
Aber nimm einmal |R als Vektorraum über |Q . Hier wissen wir nur noch dank Onkel Zorn, dass es überhaupt eine Basis gibt; und die Dimension ist sicher überabzählbar.
Hier nun intressieren wir uns ja insbesondere für Basen; und da du in einer Basis niemals Doppelnennungen hast, kannst du so tun, als handle es sich 8um Mengen.
Ürigens; ich finde, der Begriff der OZ ist gar nicht so kntra_intuitiv, wie es zunächst scheint. Mir liegt vor das Spektrumbuch Dirk Hoffmann, “ Grenzen der Mathematik “ Dort erfahre ich, dass es ohne den Begriff der OZ, sprich der Wohlordnung, nicht mehr möglich wäre zu entscheiden, welche von zwei ( beliebigen ) Mengen die größere ist ( größere Mächtigkeit oder Kardinalzahl ( KZ ) hat ) - ein wie ich finde, unerträglicher Grad an Unbestimmtheit.
Bekanntlich ist die OZ oder “ Länge “ , wie ich das mal nennen will, einer unendlichen Menge im Gegensatz zu ihrer Mächtigkeit nicht mehr eindeutig. Aber wie eben Wohlordnung dadurch definiert ist, dass jede Menge ein kleinstes Element hat, so stellt sich eben heraus, dass die kleinste OZ einer Menge gleichzeitig ihre KZ ist. Warum schlachtet man dann die KZ nicht direkt als Indexmenge aus; und die Vorgänger der KZ sind gleichzeitig die Indizes der Elemente. Im Reich der OZ gilt eben wörtlich
w = |N = Aleph_0 ( 4 )
( w soll Omega sein, die erste ===> Grenzzahl. )
Und jetzt zu Floris Beweis. Welche der vier obigen Basisdefinitionen benutzt er? Natürlich 4) , MLU . Er wendet das Zornsche Lemma an auf linear unabhängige Teilmengen von V ; und Zorn gibt ihm einen MLU ( Zorn sucht immer nach einem Maximum )
Völlig daneben liegt Johnny Joos. Eine Linearkombination ( LK ) ist stets eine endliche Summe; selbst aus einer über_über_überabzählbaren Basis musst du immer deine endliche Auswahl treffen. So wäre in K [ x ] durchaus ein Polynom vom Grade 4 711 zulässig, niemals jedoch eine unendliche Taylorreihe. Desgleichen darfst du aus sin ( k x ) , k € |N , cos ( k x ) , k € |N0 nur einen “ Klang “ mit endlichen Obertönen, endlichem Spektrum auswählen; allgemeine fourierreihen sind unzulässig. Der Wert einer unendl. Reihe ist nämlich keine LK mehr, sondern ein Grenzwert, dessen Konvergenz noch zusätzlich abhängt von der Wahl der speziellen Metrik, einem Begriff, der in der LK keinen Platz hat.