Warum gibt es so viele verschiedene Algorithmen zur Berechnung trigonometrischer Funktionen auf einem Taschenrechner (sin, cos, tan)? Welches ist am besten zu verwenden und warum?
Es gibt nicht "viele verschiedene" trigonometrische Funktionen, sondern nur sechs: Sinus, Tangens, Secans und die drei Co-Funktionen dazu.
Das liegt an ihrer Definition: Ein Rechtwinkliges Dreieck hat drei Seiten und zwei spitze Winkel.
Gesehen von einem der spitzen Winkel aus gibt es sechs mögliche Seitenverhältnisse als diesem Winkel als Funktion zuzuordnende: Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse, Sinus, Ankathete geteilt durch Hypotenuse, Cosinus, Gegenkathete geteilt durch Ankathete, Tangens, Ankathete geteilt durch Gegenkathete, Cotangens, Hypotenuse geteilt durch Ankathete, Secans und Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete, Cosecans.
(Sie wissen, Hypotenuse ist die längste Seite im Rechtwinkligen Dreieck, Gegenkathete ist die Seite, die dem betrachteten spitzen Winkel gegenüberliegt, Ankathete ist die verbleibende Seite, die dem spitzen Winkel anliegt.)
Weil mit gegebenem spitzen Winkel alle sechs Funktionswerte festliegen, sind sie auch zueinander fixiert und man kann jede der sechs aus jeder anderen Funktion berechnen. Insbesondere ist jede Funktion gerade die Co-Funktion des anderen spitzen Winkels - und die beiden ergänzen sich zu 90° und sind also auch aneinander gebunden. Und die drei Seiten gehorchen dem Lehrsatz des Pythagoras, Ankathete zum Quadrat plus Gegenkathete zum Quadrat ist Hypotenuse zum Quadrat.
Wenn wir schreiben (sin(x))² = sin²x usw., um Klammern zu sparen,
ist daher sin(x) = cos(90°-x) = Quadratwurzel(1-cos²(x)) = 1/cosec(x) = 1/sec(90°-x) = tan(x)/Quadratwurzel(1+tan²(x))
tan(x) = cot(90°-x) = 1/cot(x) =sin(x)/cos(x) = sin(x)/Quadratwurzel(1-sin²(x)) = Quadratwurzel(1-cos²(x))/cos(x)
Und so weiter.
Nun haben wir die Funktion 1/x für die Kehrwertfunktion auch auf dem Taschenrechner, aber die Funktion "Quadratwurzel (x²+y²)" nur ziemlich versteckt als Teil der Funktion R>P zur Umrechnung von cartesischen in Polarkoordinaten,
deswegen werden Wurzeln vermieden und wir haben sin, cos und tan auf Tasten und wissen sec = 1/cos, cosec = 1/sin, cot = 1/tan
Und je, nachdem, welche Seiten und Winkel eines Rechtwinkligen Dreiecks wir kennen und welche wir suchen, wählen wir die passende Funktion (oder sogar, Pythagoras reicht).
Wir reden von einem spitzen Winkel, alpha. Der andere ist dann beta, die Ankathete ist b, die Gegenkathete ist a, die Hypotenuse ist c. (In brav benannten Rechtwinkligen Dreiecken liegt a dem alpha gegenüber, ebenso b dem beta.)
gegeben alpha, a. Dann c = a/sin(alpha). b = a/tan(alpha), beta = 90° - alpha
gegeben alpha, b. Dann c = b/cos(alpha), a = b tan(alpha), beta = 90° - alpha
gegeben alpha, c. Dann a = c sin(alpha), b = c cos(alpha), beta = 90° - alpha
gegeben a, b. Dann c = Quadratwurzel(a²+b²), tan(alpha) = a/b (daher alpha = arcustangens (a/b); die arctan-Funktion ist manchmal als Taste tan^-1 oder mit Tasten INV tan erreichbar), tan(beta) = b/a
gegeben a, c. Dann b = Quadratwurzel(c²-a²), sin(alpha) = a/c, cos(beta) = a/c
gegeben b, c. Dann a = Quadratwurzel(c²-b²), cos(alpha) = b/c, sin(beta) = a/c
gegeben alpha, beta. Funktioniert nicht; es sind nicht drei unabhängige Stücke des Dreiecks bekannt. Wir können nur etwas über Seitenverhältnisse erfahren, nicht über absolute Längen.