Falls
sin(x)=π
, was ist dann der Wert von x?
Da dein Sinuswert rein reell ist, bietet sich hier ein LMNTARes Verfahren an:
Zunächst rufe ich die Definitionen der Hyperbelfkt. in Erinnerung.
cos ( i z ) =: cosh z ( 1a )
sin ( i z ) =: i sinh z ( 1b )
Den gesuchten Arcus bezeichne ich mit z
z := x + i y ; x , y € |R ( 2a )
sin z := Pi ( 2b )
Dann folgt aus ( 1ab;2a ) mit dem Sinustheorem
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = Pi ( 3 )
Der Imagteil in ( 3 ) muss verschwinden. Da wäre erstmal y = 0 . Dann würde aber der cosh in dem Realteil entsprechend den Wert Eins annehmen; und sin x müsste Pi sein. Das geht offenbar nicht. Haben wir das erwartet? Ja; denn es gibt ja keine reellen Lösungen für unser Problem.
Als weitere Lösungsscharen, die den Imagteil zum Verschwinden bringen, bieten sich die Knoten der Kosinusfunktion an
x1_k = ( 2 k + 1/2 ) Pi ( 4a )
x2_k = ( 2 k - 1/2 ) Pi ( 4b )
Schar ( 4b ) müssen wir verwerfen ( Der Sinus käme negativ heraus; der Coshfaktor ist immer positiv. ) Im Falle ( 4a ) müssen wir setzen
cosh ( y ) = Pi ( 5a )
Dann folgt aber nach Pythia und Goras
sinh ( y1;2 ) = - + sqr ( Pi ² - 1 ) ( 5b )
Effektiv bilden ( 5ab ) ein LGS zur Bestimmung der e-Fkt.
cosh ( y ) := 1/2 exp ( + y ) + 1/2 exp ( - y ) = Pi ( 6a )
sinh ( y1;2 ) := 1/2 exp ( + y1;2 ) - 1/2 exp ( - y1;2 ) = - + sqr ( Pi ² - 1 ) ( 6b )
Additionsverfahren ( 6a ) + ( 6b )
exp ( y1;2 ) = Pi - + sqr ( Pi ² - 1 ) ( 6c )
Hallo Leute; ich melde mich nochmal, weil Mikes Imagteil genau das umgekehrte Vorzeichen hat wie meines. Ich hatte mir darum Sorgen gemacht; what is sere loose??? Weil Mike hat ja nur ein Vorzeichen der Wurzel.
exp y2 = Pi + sqr ( Pi ² - 1 ) ( 7a )
exp y1 = Pi - sqr ( Pi ² - 1 ) ( 7b )
Ihr kennt das Additionsverfahren; kennt ihr auch das Multiplikationsverfahren?
Wir rechnen ( 7a ) * ( 7b ) ; 3. binomische
exp y2 exp y1 = Pi ² - ( Pi ² - 1 ) = 1 ( 8 )
Das ist eigentlich logisch; wenn wie in ( 5b ) die beiden Sinhwerte entgegen gesetztes Vorzeichen haben, so auch die Logarithmen y1;2 selber. Was du effektiv musst; zwei äquidistante Parallelen zur reellen Achse ziehen ( in dem abstand ( 6c ) ) Und jede reelle Nullst. der Kosinusfunktion entspricht zwei komplex konjugierten Lösungen von sin ( z ) = Pi .