Wenn eine Schwarzwälder Kirschtorte einen Radius von 14 Zentimetern hat, wie viele Quadratzentimeter Schwarzwälder Kirschtorte gibt es?
Im Fall, dass die Schwarzwälderkirschtorte eine zwei dimensionale Rarität ist, berechnet sich die Fläche, wie auch bei jedem anderen Kreis mit der Formel A = π * r², sprich in dem Fall wären es dann
~3,14cm * 14²cm ≈ 615,75cm² = A
Da eine Schwarzwälderkirschtorte allerdings selten zwei dimensional ist, würde es mehr Sinn ergeben ihr Volumen zu berechnen. Dazu multipliziert man dann zu der Grundfläche(Deckelfläche) der 615,75cm² noch die Höhe in cm und bekommt ein Ergebnis in der Form V[cm³] was sich aus 615,75cm² * Höhe[cm] ergibt.
Will man jetzt die sichtbare Außenfläche der Schwarzwälderkirschtorte errechnen, um zB. zu wissen wie viel Fläche man mit Schokosplittern bedecken muss, addiert man die Deckelfläche von 615,75cm² mit der Fläche die Sie einmal außen rum am hat. Dafür ist die Höhe aber auch wieder relevant:
Die Fläche die einmal Außen herum läuft (Randfläche) berechnet sich mit dem Kreisumfang der Torte und ihrer Höhe.
Ein Kreisumfang berechnet sich mit der Formel:
U = 2*π*r
Das wäre in dem Fall also:
U = 2*π*14cm ≈ 87,96cm
Das nun mit der Höhe multipliziert sähe ungefähr so aus:
Randfläche[cm²] = 87,96cm * Höhe[cm]
Die Gesamtfläche, die mit Schokostreuseln bedeckt wird ist also:
Gesamtfläche[cm²] = Randfläche[cm²] + 615,75cm²
(wenn man davon ausgeht, dass die Unterseite der Torte beim bestreuseln nicht berücksichtigt wird, falls doch kommt eben noch eine Kreisfläche, die der oberen gleich ist, dazu)
Alles was ich in eckigen Klammern geschrieben habe, dient nur der Visualisierung, welche Maßeinheit die Variable später mit sich trägt und darf nicht in den Gleichungen berücksichtigt werden, denn sonst könnte man die Gleichungen auf beiden Seiten dadurch teilen und die Maßeinheit würde einfach verschwinden.
Das folgende hat zwar jetzt weniger mit der Frage zu tun, ist aber dennoch interessant zu wissen:
In der Realität tendiert die Außenfläche der Schwarzwälderkirschtorte allerdings gegen Unendlich (nicht ganz, da irgendwann die kleinste physikalisch mögliche Teilchengröße erreicht wird), da man hingehen könnte und noch die grobe Fläche der Schokostreusel mit berücksichtigt, danach könnte man sich die Schokostreusel theoretisch noch einmal unter dem Mikroskop angucken und erkennt, dass diese ganz viele Furchen haben, die die Fläche wieder vergrößern, schaut man mit einer noch größeren Vergrößerung, haben auch die Furchen der Streusel selber Furchen und so weiter.
Das ganze ähnelt einem mathematischen Fraktal, ähnlich wie, wenn man die Strecke einer Küstenlinie ausrechnen würde. Vom Sateliten aus gesehen zieht man dafür ganz viele Linien entlang der Küste, geht man aber näher ran, sieht man, dass die Linien zu wenige waren, weil plötzlich kleine Einbuchtungen ersichtlich werden, über die die alte Linie einfach gerade drüber lief. Korrigiert man das und schaut wieder ein Stück näher ran, fällt einem auf, dass man auch noch jeden Stein korrigieren müsste, dann jedes Sandkorn usw.
Hier ein anschauliches Beispiel für ein mathematisches Fraktal mit einem Umfang, der gegen Unendlich tendiert:
Darum wird in der Mathematik meistens ein grober Wert verwendet und nur ein theoretisch annährendes Abbild des zu berechnenden Sachverhalts erzeugt, eben ein Modell, dass dem praktischen Nutzen genügt ;)