Warum wird der Beweis durch Widerspruch in der Mathematik als schwacher Beweis angesehen?
Um zu verstehen, wo die Schwächen des Widerspruchsbeweises liegen, muss man sich zunächst seine Wirkungsweise ansehen:
Man stellt eine Aussage auf, von der man annnimmt, dass sie wahr ist.
Man nimmt für den Beweis an, dass die Aussage falsch ist.
Man beweist, dass ein Beweis, dass die Aussage falsch ist, falsch ist.
Man schließt daraus, dass die Aussage wahr ist.
Die implizite Annahme bei dieser Beweisführung ist, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist. Das ist Aristoteles Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Man müsste eigentlich zusätzlich beweisen, dass die Aussage entweder wahr oder falsch sein muss und nichts Drittes, und das tut man im Allgemeinen nicht.
Wenn man direkt die Wahrheit einer Aussage beweisen kann, hat man dieses Problem nicht. Man muss nicht mehr zeigen, dass die negierte Aussage falsch ist.
Ein Beispiel für eine Aussage, die weder wahr noch falsch ist, wenn ich meine Frau noch nie geschlagen habe:
Gestern habe ich aufgehört, meine Frau zu schlagen.
Diese Aussage ist weder wahr noch falsch und jeder Widerspruchsbeweis liefert ein fehlerhaftes Ergebnis.