Gibt es mehrdimensionale komplexe Zahlen? Wenn ja, wie werden sie repräsentiert?
Für die Erfindung der negativen, der rationalen, der reellen und später der komplexen Zahlen war historisch jeweils der Grund, dass man Lösungen für bestimmte Rechenoperationen haben wollte. Dieser Prozess ist mit den komplexen Zahlen abgeschlossen, jedes komplexe Polynom vom Grad
n
hat auch n komplexe Nullstellen, insofern brauchte man keinen noch allgemeineren Zahlbegriff.
Das hat aber die Mathematiker nicht gehindert, über noch weitere Strukturen und deren Eigenschaften nachzudenken. Erfunden haben sie noch die sogenannten „Quaternionen“, das sind „Zahlen“ mit nicht zwei (wie die komplexen Zahlen), sondern 4 Komponenten und bestimmten Rechenregeln, die immerhin eine grob ähnliche Struktur bilden, d.h. ähnliche Rechenregeln haben wie die Elemente der „Körper“ der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen. So wie komplexe Zahlen als
a+bi
dargestellt werden, kann man Quaternionen als
a+bi+cj+dk
schreiben, mit den „Einheiten“
i,j,k
und
i
2
=
j
2
=
k
2
=ijk=−1
sowie weiteren Rechenregeln für die Multiplikation dieser drei „Einheiten“; Details bitte in der Wikipedia
nachlesen.
Aber man verliert mit jeder Erweiterung des Zahlenbegriffs bestimmte Eigenschaften - die reellen Zahlen kann man nicht mehr abzählen, die komplexen Zahlen kann man nicht mehr in mit den Rechenregeln kompatibler Weise der Größe nach sortieren; bei den Quaternionen gilt außerdem für die Multiplikation nicht mehr das Kommutativgesetz, d.h. es kommt möglicherweise auf die Reihenfolge an; zum Beispiel ist
ij=k
, aber
ji=−k
. Mathematiker sagen, das ist kein „Körper“, sondern nur ein „Schiefkörper“.
Diese Quaternionen sind noch unanschaulicher als komplexe Zahlen; letztere kann man noch als Punkt in der komplexen Ebene sich vorstellen, aber vierdimensional vorstellen können wir uns nichts. Es gibt aber dennoch sehr wohl Anwendungen dafür. Zum Beispiel kann man Drehstreckungen in der Ebene durch komplexe Zahlen beschreiben, und Drehstreckungen im Raum eben durch Quaternionen. Genutzt wird sowas etwa in Grafikprogrammen, die dreidimensionale Objekte auf dem Bildschirm aus verschiedenen Blickrichtungen anzeigen.
Noch weiter treiben kann man das Spiel mit den Oktonionen und Sedenionen, „Zahlen“ mit 8 bzw. 16 Komponenten. Wiederum Details in der Wikipedia, wiederum gehen weitere von den „normalen“ Zahlen gewohnte Eigenschaften und Rechenregeln verloren; neben Mathematikern, die halt mit allem spielen, was ihnen unter den Bleistift kommt, springen auch theoretische Physiker manchmal auf so etwas an; im Alltag kenne ich keine Anwendung.