Wie ist die Gleichung
3⋅x+3
−
−
−
−
−
−
−
√
=
−9⋅x
−
−
−
−
−
√
4
zu lösen?
( x + 1 ) ^ 1/2 sqr ( 3 ) = ( - x ) ^ 1/4 sqr ( 3 ) | : sqr ( 3 ) ( 1a )
( x + 1 ) ^ 1/2 = ( - x ) ^ 1/4 | ^ 4 ( 1b )
Das kgV ( Jetzt kommt wieder mein Witz, kgV ist das Einheitenzeichen für " Kilogrammvolt '" ) ; also kgV ( 2 ; 4 ) = 4 . Wir müssen demnach ( 1b ) in die 4. Potenz erheben, um alle Wurzeln weg zu kriegen.
Kennst du den polnischen Sci Fi Storyteller Stanislav Lem? " Der Elektrodrache " ?
Die olle Rechenmaschine vom " King des Universums " begehrt in den Rang eines '" arithmetischen Prinzipals " erhoben zu werden als Gegenleistung, dass sie den Elektrodrachen auf dem Mond vernichtet. Ihr erster Vorschlag:
" Wir stellen eine allg. Theorie der Elektrodrachen auf. Und der Drache auf dem Monde wird sich dann als Sonderfall jener allg. Theorie erweisen. "
" Und? was besagt jene Theorie? "
" Leider verfügen wir noch über keine solche Theorie … "
Schließlich gelingt es Se. Exzellenz dem Prinzipal, mit dem Elektrodrachen folgenden Kompromiss auszuhandeln: Er möge drei algebraische Aufgaben lösen; gelingt ihm dies, erhalte er das Privileg, das gesamte Universum zu verspeisen …
Der Elektrodrache möge sich durch sich selbst teilen. Und da ein Elektrodrache in einem Elektrodrachen genau einmal enthalten ist, geschah - gaaar nichts. " Reines Ablenkungsmanöver, um den in Sicherheit zu wiegen … "
Der Elektrodrache möge aus sich die Wurzel ziehen. Und siehe da; er zooog und zoog und zooog und - zooog sich die Wurzel …
Der Elektrodrache möge sich von sich selber abziehen. Und er zog sich den Schwanz ab, die Füße und den Kopf …
( x + 1 ) ² = - x ( 2 )
( 2 ) führt uns auf die quadr. Gl.
x ² - p x + q = 0 ( 3a )
p = ( - 3 ) ; q = 1 ( 3b )
Hier gehen die Meinungen stark auseinander; etwa halbe - halbe, wie ich aus dem ( leider fossilen ) Portal " Lycos " weiß. Etwa die Hälfte bevorzugt gleich mir quadr. Erg. und die andere die offizielle " Mitternachtsformel " Macht was ihr wollt, doch macht es richtig.
x1;2 = 1/2 [ - 3 - + sqr ( 5 ) ] ( 3c )
Ich hab mich mal schlau gemacht, was meine hoch verehelichten Herren Konkurrenten so haben. Auch Gleichungen sind zu kürzen, nicht nur Brüche. Du siehst ja, in welches Gestrüpp dass die sich verrennen, weil keiner sieht, dass du ( 1a ) zu kürzen hast durch den höchst superflüssigen Faktor sqr ( 3 )
Eine grundsätzliche Erwägung. Gleich aus der ===> cartesischen Vorzeichenregel von ( 3b ) ergibt sich, dass beide Wurzeln negativ sein müssen; positive könnten wir auch in Anbetracht der rechten Seite der Ausgangsgl. ( 1b ) gar nicht brauchen. ( Reelle geradzahlige Wurzeln ergeben sich nur für x > 0 )
Bekanntlich ist das Erheben einer Gleichung in eine gerade, hier die 4. Potenz keine ===> Äquivalenzumformung. Zwar folgt aus ( 1b ) die Aussage ( 2 ) , aber nicht notwendig umgekehrt, da wir darauf bestehen müssen, dass das Wurzelzeichen immer die positive Wurzel bedeutet. Uns steht aklso noch die Probe auf ( 1b ) ins Haus; beginnen wir mit x1.
x1 + 1 = ( - 1/2 ) [ 1 + sqr ( 5 ) ] < 0 ( 4a )
Fatal; der Radikand auf der linken Seite von ( 1b ) wäre immer noch negativ. Out of range; artist pitch, wie wir Runaways sagen … Na vielleicht haben wir ja mit x2 mehr Glück.
x2 + 1 = 1/2 [ sqr ( 5 ) - 1 ] = ( 4b )
= 1/2 [ sqr ( 5 ) - sqr ( 1 ) ] > 0 ( 4c )
Was jetzt auf uns zukommt, die Probe, schafft ( nachweislich ) nicht mal Wolfram. Es nützt uns ja nix, wenn wir über beide Seiten nur einen Wurzelhaken malen; und er zog und zog und zog sich die Wurzel … Ist das Problem verstanden?
Wir kommen hier nur durch, wenn es uns gelingt, die in Rede stehenden Wurzeln als ===> Linearkombination zu schreiben mit einer Rationalzahl + Wurzel ( 5 ) Dieses Problem der klassischen ===> Galoistheorie wird von offizieller Seite gerne klein geredet; ich habe es getauft die Methode der " Wurzelwurzeln " ( W W )
( W W = " Wie zieht man die Wurzel aus einer Wurzel? " ; sooo schlau war der Lem denn doch wieder nicht. Oder vielleicht doch? Polnische Matteticker sollen ja schwer was auf dem Kasten haben … )
( A Propos Galois. Ich bin Vertreter einer Verschwörungstheorie, und wenn die Angela und der Verfassungsschutz noch so schreien. Angeblich wurde ja Galois bei einem Düll um gepufft. Ich dagegen behaupte, dieses Duell war nur inszeniert. Die Sheriffs haben ihn entführt und gesagt, hey bei deinem IQ. Kapierste " als " noch net? Hey wie wäre es, wenn du deine Fähigkeiten als Codeknacker bzw. Codeentwickler zur Abwechslung mal Se. Majestät zu gute kommen lässest? )
Eben seh ich grad. Das Problem ist sogar noch Trick reicher, als ich anfangs dachte. Anfangen müssen wir die Probe nämlich mit der rechten Seite von ( 1b ) ; ihr werdet gleich merken warum.
Mein W W Verfahren geht so. In ( 3c ) intressieren wir uns doch für die positiven Wurzeln z1;2 := ( - x2;1 ) ( Radikand auf der rechten Seite von ( 1b ) ! ) D.h. statt der 4. Wurzel ziehe ich erst mal in aller Ruhe die Quadratwurzel, und dann sehen wir weiter.
Gesucht ist die Wurzel aus z1 .
Und jetzt fragen wir mal umgekehrt wie bei der Mitternachtsformel. Welche quadr. Gl. hat die Wurzeln z1;2 ? Ich sage immer " Vieta das geschmähte Stiefkind " Siehe die Koefizienten in ( 3b )
z ² - p z + q = 0 ( 5a )
p = z1 + z2 = - ( x2 + x1 ) = 3 ( 5b )
q = z1 z2 = x2 x1 = 1 ( 5c )
Die Wurzel aus z nenne ich w :
z1 =: w1 ² ( 6a )
Aktion " Elektrodrache " ; ein Ablenkungsmanöver ist angesagt. Die z_Substitution in ( 5b ) nehme ich mit dem Ausdruck des tiefsten Bedauerns zurück; z1;2 wird durch w1;2 ersetzt.
w1 ² + w2 ² = 3 ( 6b )
u ² := q = 1 | sqr ( 6c )
u = w1 w2 = 1 ( 6d )
Hier das gibt die neue Mitternachtsformel; seht ihr das? Eine Kreuzung aus Mitternachtsformel und Vieta; ( 6d ) ist nämlich die quadr. Erg. von ( 6b ) :
( w2 + w1 ) ² = p + 2 u = 3 + 2 = 5 | sqr ( 7a )
w2 + w1 = sqr ( 5 ) ( 7b )
( w2 - w1 ) ² = p - 2 u = 1 ( 7c )
w2 - w1 = 1 ( 7d )
Zu lösen ist das LGS ( 7bd ) ; gesucht ist w1. Die Lösung ist immer die gleiche
w1 = halbe Diff [ sqr ( 5 ) ; 1 ) = x2 + 1 ( 8 )
( Zu der Definition von x2 siehe ( 4b )
Ja und damit sind w9ir durch. auf der rechten -seite hatten wir ja gesagt, uns bleibt noch die Quadratwurzel aus w1 = x2 + 1 zu ziehen; wir suchen ja die 4. Wurzel.
Und auf der linken Seite hatten wir uns ja in ( 4b ) schon darauf geeinigt, dass x2 + 1 der Radikand ist.