Ist jede irrationale Zahl eine transzendente Zahl?
Zunächst mal solltest du dich in Wiki schlau machen, was der ===> algebraische Abschluss ( AA ) eines ===> Körpers ist. Hier findest du Infos, die nichtmal das Algebralehrbuch anführt. Normaler Weise bezeichnet man diesen mit einem Querstrich; mangels Querstrich nehme ich hier eckige Klammern.
Jeder Körper besitzt einen AA .
card [ K ] = card K ( 1 )
Wiki sagt, die ===> Kardinalzahl ( Mächtigkeit ) jedes Körpers ist gleich der seines AA . Ferner findest du in Wiki eine sehr ausführliche Aufstellung. Z.B. dass
[ |R ] = |C ( 2 )
ist Inhalt des ===> Fundamentalsatzes der Algebra. Und die Elemente von [ |Q ] bezeichnet man als algebraische Zahlen ( AZ ) Die AZ sind die Wurzeln sämtlicher Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Nun liefert der ===> erste Cantorsche Diagonalbeweis ( CDB1 ) das kontra_intuitive und völlig überraschende Ergebnis, dass die rationalen Zahlen |Q immer noch ===> abzählbar sind. Cantor gelingt dieser Nachweis, indem er auf |Q eine ===> Wohlordnung einführt
Wohlordnung = " Jede Teilmenge besitzt ein ( eindeutiges ) kleinstes. "
Wenn aber |Q abzählbar, dann kann es wegen ( 1 ) auch nur abzählbar viele AZ geben. Ich sage dies; weil Cantor definiert ja eine Schwindel erregende Jakobsleiter. Jede menge M hat ihre ===> Potenzmenge 2 ^ M ; und mit dem CDB2 folgt
card 2 ^ M =: 2 ^ card ( M ) > card ( M ) ( 3a )
Übrigens; die nahe liegende Frage. Gibt es eine Kardinalzahl x mit
card ( M ) < x < 2 ^ card ( M ) ( 3b )
die die Mathematiker lange beschäftigte, ist die berühmte ===> Kontinuumshypothese. Sie ist müßig, weil ===> unentscheidbar.
Im Wesentlichen gilt
|R = 2 ^ |N ( 4a )
und damit
card |R = 2 ^ Aleph_0 =: Aleph_1 ( 4b )
Und damit erweisen sich die reellen Zahlen als überabzählbar.
Eine Zahl, die keine AZ ist, heißt transzendent. " Fast " alle reellen Zahlen sind transzendent. Streng genommen stimmt also der Ansatz der elementaren Algebra gar nicht. Dort macht man den Schülern ja immer weis, die reellen Zahlen brauchst du für Nullstellen von Polynomen so wie sqr ( 2 ) Um diese Lücken in |Q aufzufüllen, reichen aber schon die AZ hin.
Eine Zahl heißt irrational, wenn sie nicht in |Q liegt, mithin nicht rational ist. wie gesagt; in der Regel ist sie dann transzendent. aber es gibt eben noch abzählbar viele AZ.
Wurzel 2 und kein Ende. Schon die Pythagoreer sollen ja jenen Frevler im Meer ersäuft haben als Opfer, um Poseidon gnädig zu stimmen, der die Irrationalität von sqr ( 2 ) entdeckt hatte. Und? Wenn ich jetzt dich frage; wie beweist man jene Irrationalität? Der traditionelle " kanonische " Beweis ignoriert den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Doch; hab ich sogar hier auf Quora schon gelesen:
" Was machen Mathematiker, wenn eines Tages für ein alt bekanntes Theorem ein wesentlich einfacherer Beweis gefunden wird? "
Und genau das geschah 1990 . Da nämlich entdeckte ein anonymes Internetgenie den SRN . Da bildeten sämtliche Mathematiker eine Verschwörung, jenen SRN habe in Wirklichkeit Gauß entdeckt …
Es ist längst amtlich. V.d. Waerden ( 1930 ) so wie Emil Artin ( 50 ) beide Urgestein der Algebra, kennen überhaupt keinen SRN ….
Hier Mathematik ist gar nicht so unspannend. An meiner Wiege hat mir keiner gesungen, dass ich dereinst Fachmann werde für den Jahrtausendfake auf dem Gebiet der Algebra … Wäre Gauß der Entdecker; warum lernen wir dann immer noch den " falschen " Beweis? sqr ( 2 ) ist die Wurzel des ( quadratischen ) Polynoms
f ( x ) := x ² - p x + q = 0 ( 5a )
p = 0 ; q = ( - 2 ) ( 5b )
Angenommen ( 5ab ) hätte eine rationale Wurzel. Dann sagt der SRN aus, dass diese ganzzahlig sein muss. Ich sage immer, " Vieta das geschmähte Stiefkind " Vieta q
q = x1 x2 = ( - 2 ) ( 6a )
Jetzt war 2 aber eine Primzahl; es verbleiben also nur noch sehr viele Alternativen
| x1 | = 1 ; | x2 | = 2 ( 6b )
Vieta p
p = x1 + x2 ( 6c )
Wegen ( 6b ) müsste p also sein + - 1 . Jeder andere p_Wert hat automatisch eine irrationale Lösung zur Folge.
Warum ist die 4 711. Wurzel aus 12 345 irrational?
Die Erleuchtung; im jap. ===> Zen Buddhismus heißt sie ===> Satori .
Nur weil hier Wurzel 2 Erwähnung fand. Und als promihnentes Beispiel für eine transzendente Zahl fand ich hier Pi .
Dieser Fall ist nur historisch von Interesse. Mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind die vier Grundrechenarten ( Strahlensatz ! ) so wie die Quadratwurzel . ( Algebraische ) Gegenbeispiele: die ===> Dreiteilung des Winkels und das ===> Delische Problem ( die beide auf Gleichungen dritten Grades führen. ) Und zwei Jahrtausende lang bis zu Ferdinand von Lindemann war die ===> Quadratur des Kreises offen.
( Das Problem ist auch heute noch so prominent, dass Loriot in seinem Sketch " der Lottogewinn " ausgerechnet einen Herrn Lindemann auftreten lässt … )
In der 10d fragte ich ja mal meine Frau Gumboldt
( Kommentar eines Moderators von " Mathelounge " :
" Warum eigentlich habt ihr der nicht den Spitznamen Kobold gegeben? " )
Also der Einheitskreis hat doch Länge 2 Pi Und wenn ich den mit der Beißzange auf trenne; habe ich dann keine gerade Strecke der Länge Pi konstruiert? Sie grinste
" Nur Zirkel und Lineal; von beißzange war nicht die Rede … "
Hey; Alex und die Gordische Quadratur …
Ich versteh euch ja. Pi steht auf dem Lehrplan in einer altersstufe, wo du den Teens noch nicht begreiflich machen kannst, was das ist, eine transzendente Zahl. Seifert, unser Feuerzangenlehrer in oiiigaaanischer Kämmie
" Einem 15_järricken kannstoo noch nächt tie Wahrheit ßßaggen. Auch äch war ja mal jong; oond da frackte äch mäch; was will oons drrr alte Depp da vorne eigentlich damit sagen? "
Wenn also Pi ranszendent ist, ist es insbesondere keine Quadratwurzel; und die Quadratur des kreises ist nicht ausführbar.
Den Beweis will ich hier etwas abkürzen. In voller Länge ist er auch mir zu umständlich.
Ist die e_Funktion eigentlich injektiv? Diskutieren wir zunächst den Fall
exp : |R ===> |R ( 7a )
Die e_Fkt. wird eingeführt als " Aufleitung " der gewöhnlichen linearen ===> DGL erster ordnung
y ' = y ( 7b )
Einmal voraus gesetzt, sie ist positiv definit, hat also nirgends Nullstellen. Dann folgt aus ( 7b ) , dass ihre Ableitung auf jedem Intervall positiv ist; sie ist streng monoton wachsend. Der Beweis, dass sie keine Nullstellen haben kann. Er ist kanonisch. Die e_Fkt. gehorcht der ===> Funktionalgl.
exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) ( 8a )
Widerspruchsbeweis; sei x0 eine Nullstelle der e_Fkt. Hier wer kann Quantorenlogik?
(V) x (E) y = y ( x ) | x = x0 + y ( 8b )
In Worten: Zu jedem x gibt es ein ( geeignetes ) y , so dass Aussage ( 8b ) gilt.
( Ist wirklich nix Böses. )
Dann wenden wir ( 8a ) an
exp ( x ) = exp ( x0 + y ) = ( 8c )
= exp ( x0 ) exp ( y ) = ( 8d )
= 0 * exp ( y ) = 0 ; Widerspruch ( 8e )
Und zwar ( 8e ) , weil ja x0 als Nullstelle angenommen war. x war aber beliebig; und damit würde folgen, dass die e_Fkt. identisch verschwindet.
Nächster Fall
exp : |C ===> |C ( 9a )
also die komplexe e_Funktion. Wieder fragen wir uns: injektiv ja oder nein? Der Kenner weiß: Das Standardwerkzeug zur Untersuchung der komplexen e_Funktion ist Onkel Euler:
exp ( i ß ) = cos ( ß ) + i sin ( ß ) ( 9b )
Das ist jetzt sehr anschaulich; im Zeigerdiagramm ist ( 9b ) ein Pfeil im Einheitskreis mit Phasenwinkel ß . Dann ist aber offenbar
exp ( 2 Pi i ) = 1 ( 9c )
Wir erinnern uns; in der Schule hatten wir gelernt
exp ( 0 ) = 1 ( 9d )
also nicht injektiv.
Ja die Dinge liegen sogar noch schlimmer; p := 2 Pi i erweist sich als Periode der e_Funktion. Periode bedeutet
(V) z | exp ( z + p ) = exp ( z ) ( 10 )
Hinweis: Benutze ( 8a;9c )
Na wer ahnt es schon? Als Nächstes wird wohl kommen: Ist die e_Fkt. injektiv auf den AZ?
exp : [ |Q ] ===> [ |Q ] ( 11 )
Ich übernehme jetzt eine Beweistechnik aus dem Internet, die mit vielen Farbtafeln unterlegt war und die mir auch bei anderen Fällen schon viel Freude gemacht hat. Das Theorem von Lindemann besagt nämlich
" Das Bild exp [ |Q ] ist ===> linear unabhängig über [ |Q ] "
Widerspruchsbeweis; setzen wir mal voraus, die e_Fkt. wäre nicht injektiv auf den AZ .
exp ( x1 ) =: y1 ( 12a )
exp ( x2 ) =: y2 = ( 12b )
= y1 ( 12c )
Dann bilden wir die Linearkombination
a1 y1 + a2 y2 = 0 ( 13a )
und zwar insbesondere wegen ( 12c ) dürfen wir setzen
a1 = ( + 1 ) ; a2 = ( - 1 ) ( 13b )
Dann wären y1;2 also lin. abh; Widerspruch.
Noch ' n Gedicht. Wenn es uns gelingt zu zeigen, dass p = 2 Pi i eine AZ , dann wäre die e_Fkt nicht nur auf |C , sondern auch auf [ |Q ] periodisch und damit nicht mehr injektiv.
Fangen wir an mit z0 := 2 i . Das ist sicher eine AZ als Wurzel eines Polynoms, dessen Koeffizienten ganzzahlig sind ( siehe oben die Def. von AZ )
f ( z ) := z ² + 4 ( 14a )
Annahme unseres Widerspruchsbeweises soll aber sein: Pi ist AZ .
Jeder Körper ist abgeschlossen unter Multiplikation; siehr die Axiome.
( Merkregel: In einem Körper gilt alles, wann man so landläufig kennt von |Q , |R und |C . In erster Näherung fährst du damit immer gut. ) Das heißt aber
P = Pi z0 = 2 Pi i € [ |Q ] ; Widerspruch ( 14b )