Kannst du zeigen, dass
a
4
−
b
4
durch 8 teilbar ist, wenn a und b gleiche Parität haben?
“Gleiche Parität” soll vermutlich heißen: entweder sind beide gerade, oder beide ungerade.
Wenn a und b gerade sind, dann sind sowohl a⁴ als auch b⁴ duch 16 teilbar, also auch ihre Differenz, und damit auch duch 8 teilbar.
Sind a und b beide ungerade, so lassen sie sich in der Form a=2k+1 bzw. b=2j+1 darstellen. Nun ist (binomische Formel)
(2k+1)⁴=16k⁴+32k³+24k²+8k+1
(2j+1)⁴=16j⁴+32j³+24j²+8j+1
und ihre Differenz ist
16(k⁴-j⁴)+32(k³-j³)+24(k²-j²)+8(k-j)
und da jeder Summand durch 8 teilbar ist, ist auch die Summe durch 8 teilbar.