Wie entstehen algebraische Ausdrücke?
Indem man Zeichen zusammensetzt und dabei die entsprechende Syntax beachtet.
Was ein algebraischer Ausdruck ist, muss man erstmal definieren. Üblicherweise geht es in der Algebra um Mengen, auf denen bestimmte Operationen möglich sind, mit denen aus Elementen der Menge andere Elemente der Menge erzeugt werden. Etwa in den normalen Zahlen sowas wie Addition, Multiplikation, Division usw. Arithmetische Ausdrücke bedeuten dann, dass mit den Elementen der Menge solche Operationen durchgeführt werden. Meist enthalten solche Ausdrücke Platzhalter für Elemente der Menge, sogenmannte "Variablen". Das ergibt dann Ausdrücke wie "
(a+b)
" oder "
(a+b)⋅(a−b)
". Kein algebraischer Ausdruck wäre etwa "
a⋅+−b(
"
Die Syntax dafür würde etwa lauten:
Ein Variablenname ist ein arithmetischer Ausdruck ("aA"), zB "x"
Eine Zahl (welchen Zahlenbereich man auch immer gerade meint) ist ein aA
Sind
a
und
b
aA, dann auch
(−a)
,
(a+b)
,
(a−b)
,
(a⋅b)
,
(a/b)
(In den komplexen Zahlen kann man auch noch
a
b
ebenfalls als aA definieren - in den reellen Zahlen wäre aber
(−1
)
(1/2)
undefiniert.
Mathematiker erfinden aber Operationen wie Sand am Meer - etwa den Binomialkoeffizient
(
a
b
)
, logische Operationen wie "und"
(a∧b)
, Operationen auf natürlichen Zahlen
(amodb)
etc. All diese Operationen kann man analysieren, kann Regeln entdecken, sie kombinieren, … eben das ist alles Algebra.