Was ist ein einfaches Beispiel für einen mathematischen Beweis?
Linkes Quadrat
Wir zeichnen ein Quadrat mit der Fläche A und unterteilen die obere und die linke Seite in zwei Strecken mit den Längen a und b. Mit einer waagerechten und einer senkrechten Linie können wir das Quadrat in zwei kleinere Quadrate und zwei gleich große Rechtecke aufteilen.
Die Fläche A des großen Quadrats ergibt sich als die Summe der Flächen der kleineren Quadrate und Rechtecke:
A=
a
2
+2∗a∗b+
b
2
Rechtes Quadrat
Wir unterteilen jetzt auch die rechte und die untere Seite in Strecken mit den Längen a und b. Wenn wir jetzt jeweils die Randpunkte miteinander verbinden, entstehen vier gleich große und wegen der Quadratecken rechtwinklige Dreiecke. In Mitte verbleibt ein Quadrat, dessen Seitenlängen wir mit c bezeichnen.
Die Flächen der Dreiecke sind aus Grundlinie mal Höhe leicht berechenbar zu 1/2*a*b. Auch mit dieser Unterteilung können wir die Fläche unseres großen Quadrats angeben:
A=4∗1/2∗a∗b+
c
2
Beim Gleichsetzen beider Formeln für die Fläche kürzen sich die Terme mit a * b auf beiden Seiten heraus:
a
2
+
b
2
=
c
2
Zum Satz des Pythagoras gibt es über 100 verschiedene Beweise, die sich alle - wie auch anders? - ineinander umwandeln lassen. Einen zweiten, sehr schönen Beweis habe ich bereits hier aufgeführt:
Antwort von Horst Köppnick auf In einem Rechteck mit Seitenlängen a = AB und b = BC ist [BF] das Lot von der Ecke B auf die Diagonale [AC]. Gefragt ist x = AF in Abhängigkeit von a und b ?