Wie rechnet man die Quadratwurzel aus?
Option 1: Taschenrechner
Option 2: Web-Dienste oder CA Software (Mathematica, Maple, Geogebra, Sage, …
Option 3: Rechenschieber (analog)
Für alle, die so etwas nicht mehr kennen (Einstellung zur Berechnung von
π/2
−
−
−
√
:
Option 4: Long Division, ähnlich der schriftlichen Division.
Beispiel: Wurzel aus 70.
Ich nehme die Wurzel aus der größten enthaltenen ganzzahligen Quadratzahl, also
64
−
−
√
=8
. Nach der binomischen Formel
(a+x
)
2
=
a
2
+2ax+
x
2
dividiere ich dann durch das Doppelte dieser Wurzel.
Vorher erhöhe ich den Rest 6 um den Faktor 100, um im Ergebnis eine zusätzliche Dezimalstelle zu gewinnen. Dabei wird aber die letzte Stelle abgetrennt (will ich hier nicht erläutern; sie nimmt dann später das
x
2
auf.)
Beispiel:
\sqrt{70}=8,366
Startwert: 8
Rest zum Quadrat des Startwertes: 6
____________
60|0 : 16= 3
48|9
_____
1110|0 : 166 = 6
999|6
________
..1104|0 : 1672 = 6
..1003|2
__________
…10080|0 : 16732 = 6
und so weiter …
Option 5: Babylonisches Wurzelziehen, schnell konvergierendes Approximationsverfahren
Man startet bei einem Näherungswert (die Auswahl ist nicht kritisch) und rechnet iterativ
x
n+1
=
1
2
(
x
n
+
a
x
n
)
(Newtonsches Nullstellenverfahren für die Wurzelfunktion). Man nimmt immer die Mitte aus dem vorherigen Näherungswert und dem Quotienten aus Radikant und vorherigem Wert.
Als Beispiel noch mal die Wurzel aus 70:
Näherung: 10
1/2(10+70/10)=17/2 = 8,5
1/2(8,5+70/8,5)= 1/2(8,5 + 8,23529412) = 8,36764706
1/2(8,36764706+70/8,36764706)=8,366600…
Der "Taschenrechnerwert" der Wurzel aus 70 ist 8,366600265…, das Verfahren ist nach 3 Schritten schon auf 6 Stellen genau.
Man sieht, dass das letzte Verfahren mit Abstand das schnellste ist (wenn man denn keinen elektronischen Knecht zur Hand hat). Die Taschenrechner haben übrigens genau dieses Verfahren einprogrammiert.
Bemerkung: Nach dem positiven Feedback dachte ich mir, ein wenig mehr "Fleisch" wäre angebracht. Da heute so eine Sch…wetter ist …