How can one prove that five spheres cannot all touch one another in 3D space?
Damit drei gleich große Kugeln sich berühren müssen ihre Mittelpunkte ein gleichseitiges Dreieck formen und die Berührungspunkte in der Mitte der Seiten liegen.
Für mehr Kugeln braucht man entsprechende Vielecke die durch gleichseitige Dreiecksflächen beschreibbar sind. Es gibt nur wenige von diesen: das Tetraeder, das Oktaeder, das Ikosaeder und ireguläre Formen wie die Johnson-Körper
. Das Tetraeder lässt vier Kugeln sich berühren, aber es gibt kein brauchbares Vieleck mit fünf Ecken und einem Set von drei Seiten, die ein gleichseitiges Dreick beschreiben. Das beste was man machen kann ist eine quadtratische Pyramide, aber die sich gegenüberliegenden Seiten der Grundfläche lassen keine sich berührende Kugeln zu.