Verwenden alle Router NAT?
Richtige professionelle Router können das zwar im Allgemeinen, aber das wird nur dann genutzt, wenn mans braucht; und das muss man im Bedarfsfall konfigurieren. Brauchen tut man das, wenn man einerseits sogenannte "private Netzsegmente¹" verwendet (die man flexibel nutzen kann, weil sie eben nicht ganz normal weitergeroutet werden sollen), aber dennoch aus diesem Netz ins Internet zugreifen will.
NAT² wird im Heimbereich verwendet, weil es nicht ausreichend viele IPv4-Adressen gibt, dass jedes Gerät eine weltweit eindeutige Adresse bekommt. Deshalb betreiben die typischen Router (Fritzbox u.Ä.) das Heimnetz in diesen privaten Adressbereichen¹, meist als Netz 192.168.x.0 bis 192.168.x.255 mit irgendeinem x. Betreibt man einen NAT-Router, so bekommt nur der vom Provider eine weltweit eindeutige Adresse; die dahinterliegenden Geräte können mithilfe des NAT-Routers sich zwar ins Internet verbinden, aber im Allgemeinen nicht aus dem Internet erreicht werden (dazu muss man im Bedarfsfall für jeden Dienst an einem Gerät im Heimnetz am Router NAT in umgekehrter Richtung konfigurieren; genannt wird das meist "Portfreigabe").
Manche Provider, insbesondere Handynetzprovider, haben zwischen Heimnetz und dem Internet noch eine weitere NAT-Instanz. Das heißt dann "carrier grade NAT"; damit ist ein Gerät im Heimnetz aus dem richtigen Internet gar nicht mehr erreichbar. (Es gibt dafür zwar Protokollvorschläge, wie man auch das erreichen könnte, aber die Provider bieten die nicht an.)
Im "wirklichen" Netz, also beim Provider, wird dann normalerweise nicht genattet; das wäre auch kontraproduktiv.
All das gilt aber nur für die "alte", aber besser bekannte Protokollwelt IPv4. Inzwischen bieten viele Provider auch IPv6³ an. In IPv6 gibt es sehr viel mehr Adressen als gebraucht werden, und da ist NAT zwar technisch möglich (da gibt es auch Analoga zu den privaten Netzsegmenten wie "unicast local address", oder zu zeroconf-Adressen⁴ (169.254.x.y) wie "link local address"), aber bei IPv6 braucht man eigentlich kein NAT; deshalb tun das auch die Fritzboxen nicht. (Was sie allerdings tun, ist: aus Sicherheitsgründen von außen einlaufende Verbindungswünsche zu Rechnern im Heimnetz abweisen, wenn das nicht explizit zugelassen wird; sonst wären plötzlich alle Heimnetze dem Angriff der Böen Buben ausgesetzt.)
weiterführende Infos:
¹ zu privaten Netzsegmenten in IPv4: Private IP-Adresse – Wikipedia

² zu NAT: Netzwerkadressübersetzung – Wikipedia

³ zu IPv6: IPv6 – Wikipedia

⁴ zu zeroconf-Adressen: https://de.wikipedia.org/wiki/Zeroconf