Wie ist der Begriff des natürlich entstehenden Skalarproduktes auf unendlichdimensionalen Vektorräumen zu verstehen?
Ein Vektorraum hat als Vektorraum kein "natuerliches" Skalarprodukt.
Oft hat jedoch ein Vektorraum zusaetzliche Struktur, z.B. koennen Vektoren eine Laenge haben. Dann macht auch das Konzept von Winkeln, insbesondere rechten Winkeln einen Sinn. Man kann sagen, ein Dreieck sei rechtwinklig wenn der Pythagoras gilt.
Es ist dann sinnvoll, als Basis senkrecht stehende Vektoren mit Laenge 1 zu verwenden.
Dann kann man die Laenge irgend eines Vektors mit dem Pythagoras als Summe der quadrate der Koeffizienten berechnen.
Wenn man diese Quadratsumme auf beliebige Vektoren anwendet, so sieht man leicht, dass der Pythagoras genau dann gilt, wenn die Summe a_i×b_i (a_i und b_i sind die Koeffizienten) null ist. Dieses Produkt ist somit ein Indikator, ob 2 Vektoren senkrecht stehen. Man nennt es das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt enes Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat sriner Laenge. Die gesamte gewohnte Geometrie funktioniert in gewohnter Weise.
Bei einem unendlich dimensionalen Vektorraum hat man unendlich viele Basisvektoren. Die Laenge hat unendlich viele Terme, ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Trotzdem ist die Laenge eine Zahl. Das bedeutet aber, dass die unendliche Summe einen endlichen Wert hat. Man sagt auch dass sie konvergiert. Daraus ergibt sich eine Einschraenkung fuer die moeglichen (erlaubten) Koeffizienten. Man kann zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen jedes Skalarprodukt konvergiert.
Oft verwendet man auch sog. Kontiunierliche Systeme von Basisvektoren. Die Summen werden dann durch Integrale ersetzt. Die Definition des Skalarprodukts ist dieselbe, einfach mit einem Integral statt einer Summe. Falls man Funktionen als Vektoren nimmt, so werden die Basisvektoren zu Dirac Deltafunktionen. Es gibt hier die Komplikation, dass Deltafunktionen keine Elemente des Vektorraums sind. Sie haben keine vernuenftige Laenge (wenn man versucht die Formel anzuwenden, so erhaelt man unendlich). Das ergibt ein paar technische Schwierigkeiten, aendert aber kaum etwas. Deltafunktionen sind ein sehr praktisches Hilfsmittel. Es wuerde zu weit gehen, hier im Detail darauf einzugehen.