Wie ist das Integral
∫
π
0
sinx
sinx+cosx
dx
lösbar?
In Anbetracht von Herberts Einwand mache ich erst mal die Kurvendiskussion.
f ( x ) := sin ( x ) / [ sin ( x ) + cos ( x ) ] = ( 1a )
= 1 / [ 1 + ctg ( x ) ] ( 1b )
In ( 1a ) sieht man, dass bei im Ursprung eine Nullstelle vorliegt. Cotangens ist eine monoton fallende Funktion; und daher ist ( 1b ) monoton steigend.
f ( Pi/2 ) = 1 ( 2 )
Bis x_p = 3 PI/4 erreicht ( 1b ) eine Polstelle.
Was ist das überhaupt, eine Polstelle n_ter Ordnung? Bei ( gebrochen ) rationalen Funkktionen sieht man das ja sofort; aber Cotangens ist ja ===> transzendent.
Definition ( Polstelle n_ter Ordnung )
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Eine Funktion y = f ( x ) hat in x0 einen Pol n_ter Ordnung, wenn in einer ( offenen ) Umgebung ( offenes Intervall ! ) U ( x0 ) die Funktion
g ( x ) := ( x - x0 ) ^ n f ( x ) ( 3a )
stetig ist und stetig ergänzbar in x0
g0 := g ( x0 ) := lim ( x ===> x0 ) g ( x ) ( 3b )
( 3b ) führt ja zunächst zu nichts. So gesehen, hätte bereits jede in x0 stetige Funktion dort einen Pol, wobei noch nicht mal n eindeutig bestimmt wäre. Und genau auf n kommt es uns ja hier an. Deshalb fordern wir zusätzlich die Ungl.
g0 < > 0 ( 3c )
Denn angenommen, es liege ein Pol der Ordnung n0 vor. Dann hätte nach einem bekannten Grenzwertsatz die Wahl n > n0 zur Folge, dass der Limes in ( 3b ) Null wird; n ist also eindeutig.
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( wird fort gesetzt )
Wir wollen also beweisen: ( 1b ) hat einen einfachen Pol bei x_p = 3 Pi/4
g ( x ) := ( x - 3 Pi/4 ) / [ 1 + ctg ( x ) ] ( 4a )
Betrachten wir mal die reziproke 1 / g ( x ) Bei Lichte besehen ist 1/g nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) von
F ( x ) := ctg ( x ) ( 4b )
genommen zwischen x_p = 3 Pi/4 und der beliebigen Stelle x schlicht und ergreifend, weil ja
ctg ( 3 Pi/4 ) = ( - 1 ) ( 4c )
Und der Grenzwert dieses DQ , das wisst ihr, ist die Ableitung von ( 3b )
1 / g ( 3 Pi/4 ) = lim 1 / g ( x ) =
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Ach ich schneie zufällig grade hier rein. Na dann will ich trotzdem mal die allg. Aufleitung ( die unbest. Stammfkt. ) berechnen.
Hier wer kennt den Witz
" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt noch immer über die komplexe Ebene. "
Das A und O ist stets die Euleridentität ( die kein reelles Analogon besitzt. ) In Worten besagt sie: Wenn ein Zeiger ( Und dieser ist eben darstellbar als e_Fkt. ) auf einem komplexen Kreis rotiert, dann sind seine Projektionen auf Abszisse und Ordinate gleich Kosinus bzw. Sinus.
exp ( i x ) = cos x + i sin x | kk ( 2.1a )
( kk bedeutet " komplex konjugiert " )
exp ( - i x ) = cos x - i sin x ( 2.1b )
( 2.1ab ) bilden ein LGS , das sich formal juristisch nach den beiden Unbekannten Kosinus und Sinus auflösen lässt. Additionsverfahren ( 2.1a ) + ( 2.1b )
cos x = 1/2 [ exp ( + i x ) + exp ( - i x ) ] ( 2.1c )
sin x = 1 / ( 2 i ) [ exp ( + i x ) - exp ( - i x ) ] ( 2.1d )
Integrale deiner Form pflegt man immer mittels der Substitution zu lösen
z := exp ( i x ) ( 2.2a )
Dann nämlich verwandelt sich der Integrand von einer transzendenten Identität schlagartig in eine ( gebrochen ) rationale Fkt, und sowas beherrschen wir. Mit ( 2.1cd;2.2a ) ergibt sich also der Integramd
J ( z ) =
z/2i - 1/2iz
———————————— = ( 2.2b )
z/2i - 1/2iz + z/2 + 1/2z
Den Doppelbruch in ( 2.2b ) machen wir weg, indem wir mit 2 i z erweitern.
z ² - 1
————————————-
z ² ( 1 + i ) + i - 1