Wie kann man diese Frage (D^2 -6D+9) y=x^3 e^3x lösen?
Wenn D wie im Deutschen sonst nicht üblich der Differentialoperator ist, sollen wir y''-6y'+9y =x³exp(3x) lösen. (Ich unterstelle mal eine Klammer hinter exp.)
Das ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und rechts einer Störfunktion in x.
Das "charakteristische Polynom" der linken Seite ist x²- 6x +9
Die Störfunktion hat die spezielle Form (kubisches Polynom in x) mal exp(mx). wobei hier m als Besonderheit eine q-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, denn x²-6x+9 = (x-3)² hat m=3 als doppelte Nullstelle.
Ansatz: y = x^q (ax³+bx²+cx+d) exp(mx); allgemeines Polynom vom gleichen (hier kubischen) Grad.
Also y = (ax^5 + bx^4 + cx³+dx²) exp(3x)
y' = (5ax^4+4bx³+3cx²+2dx) exp(3x) + (ax^5+bx^4+cx³+dx²) 3 exp(3x) =
[3ax^5+(5a+3b)x^4+(4b+3c)x³+(3c+3d)x² +2dx]exp(3x)
y'' = [15ax^4+(20a+12b)x³+(12b+9c)x²+(6c+6d)x +2d]exp(3x) + [9ax^5+(15a+9b)x^4 + (12b+9c)x³+(9c+9d)x²+6dx]exp(3x) =
[9ax^5+(30a+9b)x^4+(20a+24b+9c)x³+(12b+18c+9d)x² +(6c+12d)x +2d] exp(3x)
Also soll nach Aufgabe
[9ax^5+(30a+9b)x^4+(20a+24b+9c)x³+(12b+18c+9d)x² +(6c+12d)x +2d] exp(3x)
- 6 [3ax^5+(5a+3b)x^4+(4b+3c)x³+(3c+3d)x² +2dx] exp(3x)
+9(ax^5 + bx^4 + cx³+dx²) exp(3x) = x³ exp(3x) sein.
Da exp(3x) für kein x null wird, können wir durch exp(3x) kürzen und erhalten
[9ax^5+(30a+9b)x^4+(20a+24b+9c)x³+(12b+18c+9d)x² +(6c+12d)x +2d]
- 6 [3ax^5+(5a+3b)x^4+(4b+3c)x³+(3c+3d)x² +2dx]
+9(ax^5 + bx^4 + cx³+dx²) = x³
9ax^5+(30a+9b)x^4+(20a+24b+9c)x³+(12b+18c+9d)x² +(6c+12d)x +2d
-18ax^5+(-30a-18b)x^4+(-24b-18c)x³+(-18c-18d)x² -12dx
+9ax^5 + 9bx^4 + 9cx³+9dx² = x³
20ax³ + 12bx² + 6cx +2d = x³
Das ist für alle x erfüllt, wenn 20a = 1, 12b = 0, 6c = 0, 2d=0 oder a=1/20, b=c=d=0
Also y = x^5 exp(3x)/20
Probe: y' = x^4exp(3x)/4 + 3x^5exp(3x)/20 = (x^4/4+3x^5/20)exp(3x)
y'' = (x³+3x^4/4)exp(3x) + 3(x^4/4+3x^5/20)exp(3x) = (x³+3x^4/2+9x^5/20)exp(3x)
y''-6y'+9y = [x³+3x^4/2+9x^5/20 - 3x^4/2-9x^5/10) +9 x^5/20]exp(3x) = x³exp(3x) wie verlangt.
Also ist y = x^5 exp(3x)/20 eine spezielle Lösung, ein "partikuläres Integral" der Differentialgleichung.
Bekanntlich ist die allgemeine Lösung einer solchen Differentialgleichung gleich der allgemeinen Lösung der zugeordneten homogenen Differentialgleichung (wo Störfunktion = 0) + einer speziellen Lösung (die wir nun ja kennen).
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung hat einen Ansatz aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
y = (ax+b) exp(3x), Polynom bis zum 1. Grad bei einer doppelten Nullstelle und exp mit Faktor "Nullstelle". Damit
y' = (a + 3ax +3b)exp(3x), y"=(6a+9ax+9b)exp(3x) und wie verlangt
y''-6y'+9y = 0
Also ist die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung
y = (ax+b) exp(3x) + x^5 exp(3x)/20 = (x^5/20 +ax+b) exp(3x) mit zwei Konstanten a, b