Ein Mann hat 300 Kühe und hat 20 % davon verkauft. Wie viele Kühe hat er verkauft?
Die Frage ist eindeutiger gestellt, als hier viele vermuten:
Ein Mann hat 300 Kühe und hat 20 % davon verkauft. Davon? Wovon? Das "davon" kann sich nur auf die 300 beziehen. Er hat nicht nach dem Verkauf der Kühe noch 300 übrig, sondern er hat von den 300 Kühen (davon) 60 verkauft, und hat danach nur noch 240 Kühe. Es ergibt auch keinen Sinn, das "davon" auf die 20 % zu beziehen. Daher ist jede Antwort, die eine andere Zahl als 60 angibt, falsch. Ebenso falsch ist es, zu sagen, man könne die Frage nicht beantworten, weil sie nicht eindeutig gestellt sei. Man muss schon jedes Wort in der Frage lesen. Ohne das "davon" wäre die Frage in der Tat zweideutig, weil man dann nicht weiß, ob sich die 20 % auf die Zahl der Kühe vor oder nach dem Verkauf bezieht.
Anders gesagt: Wer meint, die Frage sei zweideutig, hat das "davon" übersehen. Das kann sich nicht auf Zahlen beziehen, die nicht im Text stehen.
Die Rechenformel ist ganz einfach: man multipliziert 300 mit 20 und teilt es durch 100. Oder, um es kürzer zu machen: man dividiert 300 durch 100, erhält 3, und multipliziert das mit 20. 20% heißt: 20 von 100. Oder: 20% von 100 sind 20. 20 % von 300 sind dreimal soviel, also 60.
Der generelle Weg, solche Probleme zu lösen — wobei das hier völlig trivial ist — besteht darin, den Satz zu zerlegen. Was weiß man, und was will man wissen?
Man weiß, dass es 300 Kühe gibt. Davon wurden 20% verkauft.
Man will wissen, wie viele Kühe verkauft worden.
Jetzt sucht man nach den Formeln, mit denen man das berechnen kann. Hier geht es um die Formeln zur Prozentberechnung, also: 20% sind 20 von 100.
Jetzt sieht man nach, ob der Weg von dem, was man weiß, zu dem führt, was man wissen will. Bei allen solchen Berechnungen kann man den Dreisatz benützen, meiner Ansicht nach die einzige Form der Mathematik, die man in der Schule wirklich gelernt haben muss, weil diese überall in der Praxis vorkommt.
300 Kühe verhalten sich zu x Kühen (die Zahl kennen wir noch nicht) wie 100 Kühe zu 20:
300 / x = 100 / 20 Wir ziehen das x auf die andere Seite:
300 = (x * 100) / 20 Wir ziehen die 20 auf die andere Seite:
300 * 20 = x * 100 Wir ziehen die 100 auf die andere Seite:
(300 * 20) / 100 = x
6000 / 100 = x
x = 60
Was man wissen muss ist, wie man Zahlen "auf die andere Seite" zieht. Das geht so, wenn y eine beliebige Zahl ist:
y = y
y * x = y * x Wir können also auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren, ganz gleich, wie der Ausdruck auch lautet. Man kann das gerne ausprobieren. Sagen wir, Y = 5 und x = 4:
5 = 5
5 * 4 = 5 * 4
Wie man leicht sieht, klappt das mit allen Zahlen. Man bezeichnet das auch allgemein als "kürzen", denn genau das machen wir: Wir kürzen die Formel.
Wenn ich also die folgende Formel habe:
300 / x = 100 / 20 dann kann ich beide Seiten mit x multiplizieren, ohne was zu ändern:
(300 * x) / x = (100 * x) / 20
Ich füge an sich überflüssige Klammern hinzu, weil das erstens erlaubt ist und zweitens jede Konfusion vermeidet.
x / x = 1, also bleibt übrig:
300 * 1 = (100 * x) / 20 oder 300 = (100 * x) / 20, denn "* 1" kann man einfach weglassen, denn 300 * 1 = 300
Das meinte ich mit "eine Zahl auf die andere Seite ziehen". Das wiederholen wir mit der 20:
300 * 20 = (100 * x * 20) / 20 Da 20 / 20 = 1 ist:
300 * 20 = 100 * x * 1 Das mal eins kann man einfach weglassen:
300 * 20 = 100 * x Jetzt ziehen wir die 100 auf die andere Seite, indem wir beide Seiten durch 100 dividieren:
(300 * 20) / 100 = (100 * x) / 100
Rechts ergibt 100 / 100 = 1, und das können wir weglassen — wir haben also effektiv das x isoliert auf einer Seite stehen:
(300 * 20) / 100 = x Und das haben wir oben schon gelöst!
Wenn wir eine Zahl, die oben steht, eliminieren wollen, dann dividieren wir durch diese Zahl, wenn die Zahl unten steht, dann multiplizieren wir.
Man kann es auch anders sagen, was praktisch auf dasselbe hinausläuft: Man kann eine Zahl einfach so auf die andere Seite ziehen, wenn man das diagonal tut. Was unten steht, wird auf der anderen Seite nach oben gezogen, und umgekehrt. Gilt übrigens nur für Multiplikationen, nicht für Summen, denn: Kürzen aus Summen tun nur die Dummen.
Das mag jetzt unglaublich kompliziert klingen, weil ich es in so viele Schritte zerlegt habe. Aber das ist die zweite Methode, Probleme zu lösen: Wenn ein Problem unlösbar erscheint, zerlege es so lange in kleinere Probleme, die Du lösen kannst, bist Du das ganze Problem gelöst hast.
Aufgrund der Frage nehme ich nämlich eher an, das der Fragesteller wissen wollte, wie man das Problem löst — und daher habe ich das als Beispiel für eine allgemeinere Frage genommen.
Man kann sagen: Mit dem Dreisatz das Problem anzugehen ist, wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. Richtig, aber wenn man das mit Spatzen übt, kann man es später auch mit dickeren Brocken.