Was ist die Lorentz - Transformation?
[Die bisherigen Antworten sind, soweit ich das sehe und verstehe, alle korrekt, jedoch entweder zu vage oder nicht für Einsteiger geeignet. Ein Versuch, es besser zu machen:]
Die Lorentz-Transformation
ist eine Koordinatentransformation
. Mit ihr werden zeitliche und räumliche Koordinaten zwischen zwei relativ zueinander bewegten Bezugssystemen
umgerechnet (bzw. müssen damit umgerechnet werden, damit es mit den Beobachtungen/Messungen übereinstimmt).
Betrachten wir zwei Bezugssysteme
S
und
S
′
. Zwei Beobachter, die jeweils in diesen Bezugssystemen ruhen (also sich mit ihnen mitbewegen), beobachten ein Objekt zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort. Dazu verwendet jeder Beobachter verschiedene Koordinaten:
Der Beobachter in
S
verwendet die Koordinate
t
für die Zeit und die Koordinaten
x
,
y
und
z
für die Position im Raum. Der Beobachter in
S
′
verwendet die Koordinate
t
′
für die Zeit und die Koordinaten
x
′
,
y
′
und
z
′
für die Position im Raum.
Nun soll sich (als einfaches Beispiel)
S
′
relativ zu
S
gleichförmig mit der Geschwindigkeit
v
in positive
x
-Richtung bewegen.
Beide Beobachter bewegen sich mit ihren jeweiligen Bezugssystemen mit, deshalb kann jeder behaupten, er sei in Ruhe und der andere bewege sich (Relativitätsprinzip)
. [Don Lincoln beschreibt sie deshalb scherzhaft als “raging egomaniacs”, siehe die Videos unten.] Sie stimmen nur darin überein, dass sich ein Objekt zum Zeitpunkt
t=
t
′
=0
am Ort mit den Koordinaten
x=
x
′
=y=
y
′
=z=
z
′
=0
befinden muss.
Sie wollen nun für ein Objekt wissen, welche Koordinaten der jeweils andere Beobachter diesem Objekt zuweist. Dabei stellt sich heraus, dass die Koordinaten folgendermassen ineinander umgerechnet werden müssen:
t
′
x
′
y
′
z
′
=γ(t−
v
c
2
x)
=γ(x−vt)
=y
=z,
wobei
γ=
1
1−
v
2
c
2
−
−
−
−
−
−
√
der Lorentz-Faktor ist. Für
c
wird die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum angenommen (das kommt daher, weil im Experiment festgestellt wurde, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter gleich ist, egal ob und wie sie sich relativ zur Lichtquelle bewegen bzw. die Lichtquelle relativ zu ihnen [Spezielles Relativitätsprinzip]).
Siehe auch (auf Englisch, automatisch generierte Untertitel sind aber verfügbar):
“Fermilab: Relativity” in the recommended order
This playlist is an attempt to provide the videos in the “Relativity” playlist of Fermilab’s YouTube channel at https://www.youtube.com/c/fermilab, and relat...
https://youtube.com/playlist?list=PL41EYJuJ5YuAb924jH_kYW5vszLfNaPWI
Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, dies mathematisch zu formulieren. Eine (Standard-)Möglichkeit ist, die folgenden neuen Koordinaten einzuführen:
x
′
0
:=c
t
′
x
′
1
:=
x
′
x
′
2
:=
y
′
x
′
3
:=
z
′
=γ(ct−
v
c
x)
=:γ(
x
0
−β
x
1
)
=γ(x−
v
c
ct)
=:γ(
x
1
−β
x
0
)
=y=:
x
2
=z=:
x
3
.
Dabei steht die hochgestellte Zahl nicht für den Exponenten einer Potenz, sondern für einen (kontravarianten) Index.
Jetzt kann man Vierervektoren
– Vektoren mit 4 Komponenten: einer zeitlichen Komponente und drei räumlichen Komponenten –, einführen und die Lorentz-Transformation als Multiplikation einer
4×4
Matrix mit einem Vierervektor schreiben:
⇔: 
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
x
′
0
x
′
1
x
′
2
x
′
3
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
X
′
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
γ
−γβ
0
0
−γβ
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
x
0
x
1
x
2
x
3
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=LX.
(Daraus folgt, dass die Lorentz-Transformation eine lineare Abbildung
ist.)
Siehe auch “Problem A.4” und “Problem B.4” in
http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.29477.01763
für zwei Anwendungsbeispiele (auf Englisch).
Wenn man es mathematisch weiter untersucht, dann stellt man fest, dass die Lorentz-Transformationen eine Gruppe bilden, die Lorentz-Gruppe
, denn z. B.: Wenn die Transformationen
S→
S
′
und
S
′
→
S
′′
Lorentz-Transformationen sind, dann sind auch
S→
S
′′
,
S
′′
→
S
′
,
S
′
→S
und folglich auch
S
′′
→S
Lorentz-Transformationen; d. h., die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen ist wieder eine Lorentz-Transformation (Abgeschlossenheit) und jede Lorentz-Transformation kann rückgängig gemacht werden (es gibt für jedes Element
L
ein inverses Element
L
−1
, so dass
L
−1
L=id
).