Wenn das Produkt zweier irrationaler Zahlen irrational ist, dann ist eine dieser Zahlen irrational mindestens Stufe 2. Kann man das an irgendeinem mathematischen Satz festmachen?
Was auch immer mit "Stufe der Irrationalität" gemeint sein soll, es ist jedenfalls nichts, was beim Multiplizieren irgendwie erhalten bleibt. Sowohl
2
–
√
⋅
2
–
√
=2
als auch
3
–
√
⋅
3
–
√
=3
sind rational, also müssten
2
–
√
und
3
–
√
beide "Stufe 1"-irrational sein, aber
2
–
√
⋅
3
–
√
=
6
–
√
,
und das ist irrational - also müsste mindestens eine nach deiner Sprechweise "Stufe-2-irrational" sein. Mit anderen Worten, der Begriff ist so, wie er aus der Fragestellung erstmal gemeint zu sein scheint, nicht sinnvoll.
Man kann zwar verschiedene "Stufen" der Irrationalität definieren, etwa die Stufen rationale / mit Zirkel+Lineal konstruierbare / algebraische / transzendente Zahlen. Aber diese Eigenschaften vererben sich nicht beim Multiplizieren; zB ist
x⋅
1
x
für alle reellen Zahlen rational.