Wie können Unendlichkeiten unterschiedliche Größen haben?
Die Mathematiker sprechen nicht von der "Größe" einer (evtl. unendlichen) Menge, sondern von ihrer "Mächtigkeit". Für endliche Mengen ist das einfach die Anzahl ihrer Elemente.
Aber wenns mehr als endlich viele Elemente sind, dann wird es kompliziert, und insbesondere bekommt unsere Intuition da Probleme. Mathematiker sagen, zwei Mengen seien "gleichmächtig", wenn man ihre Elemente umkehrbar eindeutig aufeinander abbilden kann. Auch das ist im endlichen Fall sofort einsichtig, die Mengen
{A,B,C}
und
{1,2,3}
sind offenbar gleichmächtig, eine entsprechende Abbildung ist z.B.
A→1,B→2,C→3
.
Die einfachste unendliche Menge, die man sich so voirstellen kann, ist die Menge der natürlichen Zahlen, also
N={0,1,2,3,…}
Man kann leicht zeigen, dass
N
gleichmächtig ist zur Menge der geraden Zahlen (indem man jeden natürliche Zahl auf ihren doppelten Wert abbildet), oder mit der Menge der Primzahlen, der Quadratzahlen, sogar mit dem Menge der Brüche. (Das ist in der Tat wenig intuitiv, denn in der Menge der Quadratzahlen sind ganz viele natürliche Zahlen nicht enthalten, trotzdem sollen das "gleich viele" sein? Ja, denn, wie gesagt, man kann eine solche Abbildung zwischen
{0,1,2,3,4…}
und
{0,1,4,9,16,…}
leicht finden in der Form
x→
x
2
; jede natürliche Zahl wird auf ihr Quadrat abgebildet, das ist eindeutig, und zu jeder Quadratzahl gibt es ihre Wurzel, die auf sie abgebildet wird).
Man kann aber auch zeigen, dass zu jeder Menge ihre "Potenzmenge", das ist die Menge aller ihrer Teilmengen, nicht gleichmächtig, sondern von echt größerer Mächtigkeit ist (das ist nicht schwer, bei Interesse ist hier der Beweis
nachzulesen). Das gilt auch für unendliche Mengen, und insofern gibt es eben für Mathematiker auch unterschiedlich mächtige unendliche Mengen.
Ein Beispiel dafür ist die Menge
R
der reellen Zahlen; die ist von größerer Mächtigkeit als die natürlichen Zahlen. Auch dieseŕ Beweis ist einfach und hier nachzulesen: Cantors zweites Diagonalargument – Wikipedia