Was bedeutet es, die Einsteinschen Feldgleichungen zu "lösen"?
Die Einsteinschen Feldgleichungen sehen als Tensor-Gleichung (oder gar in Differentialformenschreibweise)einfach und elegant aus. In konkreten Koordinaten handelt es sich um ein System von 10 miteinander gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen.
Lösen bedeutet hier: in einer konkreten (gedachten oder realen) Situation mit den sich ergebenden Randbedingungen einen Satz von Funktionen zu finden, der diese Gleichungen löst.
Karl Schwarzschild hat zum Beispiel den einfachst denkbaren Fall einer vom Rest der Welt perfekt isolierten massiven Kugel hergenommen. So hat er den Schwarzschild-Radius entdeckt und damit die Schwarzen Löcher vorausgesagt.
Einstein selbst hat zwei Spezialfälle untersucht: die Bahn des Merkur um die Sonne (wo die Newtonsche Himmelsmechanik die beobachtete Periheldrehung nicht korrekt berechnete) und die Ablenkung von Licht im Schwerefeld eines massiven Sterns (die zur Bestätigung der Theorie durch Eddinton anläßlich einer Sonnenfinsternis führte)