Welche Zahl liegt in der Mitte zwischen 1/2 und 8/9?
9/11 genuegt.
Wenn a, b, c, d sind positive ganze Zahlen mit
a/b<c/d
, dann
(a+c)/(b+d)
liegt zwischen beide.
Halb beweis:
a
b
<
c
d
⇔ad<bc
⇔ab+ad<ab+bc
⇔a(b+d)<b(a+c)
⇔
a
b
<
a+c
b+d
.
Die andere halb geht diesselbe.
Es gibt oft einfacher Zahlen zwischen die gegebene Paar. Hier, zum Beispiel, 2/3, 3/4, 4/5, …7/8 alle liegen zwischen 1/2 und 8/9.
Im Fall
ad+1=bc
, dann ist
a
b
<
a+c
b+d
<
b
d
und dazu, am einfachsten.