Seit 2019 ist das Kilogramm über m=E/c² definiert. In E ist auch das Kilogramm enthaltenen. Warum ist dieser "Zirkel" kein "Problem" ([E] =kg • m²/s²)?
Das Kilogramm wird seit 2019 über 3 Größen definiert:
das Planck'sche Wirkungsquantum
h
die Lichtgeschwindigkeit
c
die Frequenz eines bestimmten Übergangs im Cäsium 133 Atom, die auch als Defintion der Sekunde dient.
Mit dem in der Definition verwendeten Vorfaktor kommt man auf den heute gültigen Wert des Kilogramms mit
1kg=
299792458
6.62607015⋅
10
−34
⋅9192631770
hΔ
ν
cs
c
2
E=m
c
2
bzw. die Umformung
m=E/
c
2
setzt als Spezialfall der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung
E
2
=
m
2
c
4
+
p
2
c
2
zunächst nur einmal die Masse in Bezug zu ihrem Energieinhalt. Da in dieser Formel sowohl
E
als auch
m
variabel sind, benötigt man für die Definition einen bestimmte Energie. Man verwendet die Energie eines Übergangs der beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des Cäsium 133 Atoms (ohne irgendwelche Störeinflüsse)
E=hν
und einen Vorfaktor, um diese Energie festzulegen. Da die diese Energie einen definierten Wert hat, kann man so das Kilogramm definieren.
Warum ist das jetzt kein Problem, dass auf der rechten Seite bei der Energie kg als Einheit enthalten ist?
Wenn wir eine Formel haben, um zwei Größen in Verbindung zu setzen, müssen die Dimensionen auf beiden Seiten übereinstimmen. Daher muss in zumindest einer der Größen die Dimension Masse vorhanden sein und darf sich nicht rauskürzen. Schauen wir uns die Formel deshalb genauer an (eckige klammern bedeuten, dass damit die Dimension (Länge, Masse, Zeit) der Größe gemeint ist):
[m]=f∗
[h]∗[Δ
ν
CS
]
[c
]
2
Im SI-System ist jetzt
[m]=1kg
,
[h]=Js=kg⋅
m
2
⋅
s
−1
⋅s
,
[Δ
ν
CS
]=
s
−1
und
[c
]
2
=
m
2
⋅
s
−2
.
f
ist eine dimensionslose Konstante.
Kombiniert man die Dimensionen bekommt man folgendes
kg=
kg⋅
m
2
⋅
s
−1
⋅s⋅
s
−1
m
2
⋅
s
−2
Man kann auf beiden Seiten die Einheiten kürzen und bekommt
kg=kg
,
was auf Grund der Gleichheit beider Seiten notwendig ist.
Anmerkung: Die erster Version dieser Antwort war fehlerhaft und wurde entsprechend angepasst.