Wie löst man
x+
1
x
+
x
2
+
1
x
2
+
x
3
+
1
x
3
=6
?
x muss offenbar ≠0 sein, sonst ist die Aufgabe undefiniert,
Man kann die Gleichung mit x³ "erweitern", also auf beiden Seiten mit x³ multiplizieren; das ergibt ein Polynom sechsten Grades - in Normalform, also alles auf eine Seite gebracht und absteigend nach Potenzen von x sortiert, liest sie sich dann so:
x⁶+x⁵+x⁴-6x³+x²+x+1=0
Ein solches Polynom hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra 6 (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen. Leider gibt es für Polynome höheren Grades als 4 keine geschlossene, immer anwendbare Formel. Man kann aber auch eine der sechs Lösungen, die dieses Polynom haben muss, in diesem Fall durch scharfes Hinsehen auf die ursprüngliche Aufgabe erraten; dabei hilft der Satz über rationale Nullstellen
; hier kommt nur x=1 oder x=-1 in Frage, wenn es überhaupt eine rationale Nullstelle gibt, und wir haben Glück, tatsächlich ist x=1 eine Lösung. Man sieht das aber auch direkt, denn dann sind alle Summanden der ursprünglichen Aufgabe gleich 1, und die Summe ist 6.
EDIT: zu den weiteren Nullstellen (es muss ja 6 Lösungen geben): Allgemein gilt: Sind a, b, c ,d, e und f die Nullstellen eines Polynom sechsten Grades, so kann man es in der Form
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)
schreiben. Da wir eine Nullstelle gefunden haben (nämlich x=1) , muss das Polynom also ohne Rest durch x-1 teilbar sein. Wie man Polynome durcheinander teilt, steht z.B. hier
; in unserem Falle ergibt sich als Quotient ein Polynom fünften Grades, nämlich
x⁵+2x⁴+3x³-3x²-2x-1=0
und dessen Nullstellen sind ebenfalls Lösungen der Aufgabe. Schaut man da ebenfalls scharf hin, so stellt man fest: x=1 ist auch eine Nullstelle dieses Polynoms, also eine doppelte Nullstelle des ursprünglichen Polynoms. Wir können also erneut durch x-1 teilen und erhalten ein Poylnom vierten Grades:
x⁴+3x³+6x²+3x+1=0
dessen 4 Nullstellen die restlichen 4 Lösungen sind, Im Prinzip gibt es für die Nullstellen von Polynomen vierten Grades geschlossene Formeln - allerdings sind die recht kompliziert; siehe z.B. Quartische Gleichung – Wikipedia
. Ich habe mir nicht die Mühe gemacht, die Werte einzusetzen; wenn man sich die Kurve aufmalt oder von einer geeigneten Software zeichnen lässt, stellt man fest: sie liegt komplett oberhalb der x-Achse, hat also nur komplexe Lösungen - Wolfram|Alpha
hilft gern, sie zu finden.
TL;DR: einzige reelle Lösung der Aufgabe ist also x=1; daneben gibt es noch 4 komplexe Lösungen.