Falls
x
3
+
x
2
+x=37+
37
2
+
37
3
, was ist dann x?
Spar dir die Polynomdivision ( PD ) Es gibt da etwas viel Besseres; der Entdecker bin ich. In anderem Zusammenhang las ich schon den Kommentar
" Während der Lehrer da vorne eine Viertelstunde für seine gefickte PD braucht, habe ich das Ergebnis in einer Minute im Kopf … "
Du brauchst nämlich nichts weiter als ein LGS ; ich bezeichne es als " erste und zweite Alfonsinische Formel ( AF ) nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland. Das ist so ein Witzeinfall von mir, zumal ich einen Kronzeugen besitze, dass Michael Ende seinen Jim Knopf für mich allein geschrieben hat, da war ich grad mal neun.
( Li Si ermahnte mich seiner Zeit, ich könnte doch ein bissele besser im Rechnen werden; ich glaube zwischenzeitlich habe ich mächtig aufgeholt … )
Ich bekam sogar schon das Kompliment, die AF ( unter diesem Namen ) seien die besten Formeln auf dem Gebiet.
( Übrigens; dass du nur eine positive Wurzel hast, erhellt unmittelbar aus der cartesischen vorzeichenregel. )
Was ist gegeben? Die Normalform eines kubischen Polynoms
f ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 1a )
a2 = a1 = 1 ; a0 = - ( 37 ³ + 37 ² + 37 ) ( 1b )
Ferner rätst du die Nullstelle x3 = 37 . Wo wollen wir hin? Wir suchen das quadratische Faktorpolynom g
f ( x ) =: ( x - x3 ) g ( x ) ( 2a )
g ( x ) =: x ² - p x + q ( 2b )
p und q sind gesucht. Und das machst du jetzt so ; Diktat der AF für Formelsammlung, Regelheft & Spickzettel. ( Beachte ( 1b ) )
a2 = - ( p + x3 ) = - ( p + 37 ) = 1 ===> p = ( - 38 ) ( 3a ) ( AF1 )
a0 = - q x3 = - 37 q = - ( 37 ³ + 37 ² + 37 ) ( 3b ) ( AF2 )
q = 1 + 37 + 37 ² = 38 + 1369 = 1 407 ( 3c )
Aus ( 3ac ) folgt über den Satz von Vieta unmittelbar die Lösung:
Re ( z0 ) = p/2 = ( - 19 ) ( 4a )
| z0 | = sqr ( q ) = sqr ( 1 407 ) ( 4b )
Die notwendige und hinreichende Bedingung ist erfüllt:
| Re ( z0 ) | < | z0 | ( 4c )
Ihr habt weiß Gott schon schwerere LGS gelöst; die sind noch nichtmal gekoppelt. Es folgt der Beweis der AF . Der Vieta für quadr. G. lautet
x1 + x2 = p ( 5a )
x1 x2 = q ( 5b )
Auch für ( 1ab ) gibt es einen Vieta; er ist bloß nicht so bekannt
( Vieta ist doch weiter nix als ein großes Wort für Klammern Auflösen. )
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 6a )
a0 = - x1 x2 x3 ( 6b )
Und jetzt tu ich das, was ich am Liebsten mache; den Rückwärtsgang einlegen. Setze den Ausdruck ( 5a ) ein in ( 6a ) , dann kriegst du die AF1 . Und entsprechend ( 5b ) einsetzen in ( 6b ) , wenn du die AF2 willst - host mii?