Warum hat jeder Operator in einem ungerade-dimensionalen reellen Vektorraum einen Eigenwert? Warum gilt das nicht für geraddimensionale Vektorräume?
Voraussetzung ist nicht, dass Eigenwerte von Operatoren im Allgemeinen keine reellen Zahlen mit ungeraden oder geraden Werten sind. In der Tat ist die Theorie der Operatoren mit Lorentzscher Signatur etwas exotisch - die meisten mathematischen Texte betrachten nur den Riemannschen Fall, in dem der Operator einfach selbstadjungiert unter dem kanonischen positiv-definiten inneren Produkt ist, das durch die Riemannsche Metrik induziert wird.
Außerdem hängt es davon ab, ob man "Eigenwerte" im strengen Sinne von reellen Vektoren auf komplexen Zahlen meint, die nicht korrekt als ungerade oder gerade in einer Reihe definiert werden können: als Elemente des Punktspektrums oder im nicht-strikten Sinne der Physiker oder einfach als jedes beliebige Element des Spektrums (z. B.: betrachten Sie den Positionsoperator x
auf L2(R3,dx)
hat keine Eigenwerte oder alle R als Eigenwerte?).Eine spezifischere Antwort betrifft die Basen. Es sei daran erinnert, dass eine lineare Abbildung unabhängig von einer Basis definiert ist: Sie ist einfach eine Abbildung des Vektorraums auf sich selbst. Wir können die lineare Abbildung durch eine Matrix in Bezug auf eine Basis ausdrücken, aber wie wählen wir die Basis? Eigenwerte spielen eine wichtige Rolle in Situationen, in denen die Matrix eine Transformation von einem Vektorraum auf sich selbst ist. Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen Gleichungen sind die wichtigsten Beispiele. Die Werte von λ können den Frequenzen von Schwingungen, kritischen Werten von Stabilitätsparametern oder Energieniveaus von Atomen entsprechen. Singulärwerte spielen eine wichtige Rolle,
Wenn die Matrix eine Transformation ist von einem Vektorraum in einen anderen Vektorraum, möglicherweise mit einer anderen Dimension. Systeme von über- oder unterbestimmten algebraischen Gleichungen sind die wichtigsten Beispiele. Wir könnten immer die kanonische Basis in \mathbb{R}^n wählen, da es einfach ist, Vektor- und Matrixberechnungen durchzuführen, wenn die meisten Einträge aller Vektoren Null sind. Wir haben auch eine gute visuelle Vorstellung davon (zumindest in bis zu drei Dimensionen), was eine Matrix in Bezug auf diese Basis bedeuten könnte. Wenn wir die dreidimensionale Welt um uns herum in kleine Volumina unterteilen müssten, würden wir sie eher mit kleinen Würfeln als mit kleinen willkürlichen Parallelepipeden beschreiben.