Was ist ein Möbiusband?
Stell Dir ein Blatt Papier vor und Du bist eine Ameise. Du setzt ein Tüpfeli auf das Blatt. Dann läufst Du los in horizontaler Richtung und du kannst laufen, laufen, laufen bis zum Ende des Blattes. Da ist Deine Welt zu Ende. Du drehst im und läufts zurück bis Du wieder am Tüpfeli bist. Jetzt läufts du in vertikaler Richtung los und da passiert etwas Merkwürdiges. Du kommst nie an ein Ende aber so nach 1000 Ameisenlängen kommst Du wieder am Tüpfeli vorbei. Irgendein fieses dreidimensionales Wesen hat das Papier an der einen Seite zusammengeklebt und Du bist auf einem Gartenschlauch einfach immer aussen rundrum gelaufen. Jetzt weisst Du aber, weil Du selber ein dreidimensionales Wesen bist, dass jedes Blatt Papier eine Vorderseite und eine Rückseite hat und fies genug bist Du auch. Also klebst Du das Blatt an einer Seite so zusammen, dass nicht Vorderseite auf Vorderseite zu liegen kommt, sondern Du verdrehst das Blatt und klebst Vorderseite auf Rückseite. Das geht natürlich nur dann wirklich gut, wenn die verklebte Seite wesentlich kürzer ist als die unverklebte. Das ist dann ein sehr kurzer Gartenschlauch mit einem riesigen Umfang und sehr merkwürdigen Eigenschaften. Aus Sicht der Ameise hat sich erst einmal nicht viel geändert. Sie kommt halt erst nach 2000 Ameisenlängen wieder am Tüpfeli vorbei, da sie einmal aussen und einmal innen um den Gartenschlauch-Umfang herumläuft. Aber wenn sie das Tüpfeli so macht, dass es auch auf der Blattunterseite sichtbar ist, dann sieht sie das Tüpfeli einmal von unten und einmal von oben und es dämmert ihr dass, sie auf einem Möbius-Band lebt.
Quelle: Schleife und Überwindung der Dualität
In unserer dreidimensionalen Welt hat jede Seite eine Kehrseite und jedes Blatt eine Rückseite. Leben auf der Vorderseite Ameisen, so sind auf der Rückseite Anti-Ameisen. Wenn wir ihnen verbieten, dass sie über den Seitenrand kriechen, dann können aus Ameisen nie Anti-Ameisen werden. Auf dem Möbiusband geht das aber doch. Also ist das Möbiusband eine Fläche mit nur einer Seite.
Störend ist aber der Blattrand. Beim Gartenschlauch kriegt man den schnell weg, indem man Anfang und Ende zusammenleimt. Dann kriegt man einen Torus, einen Fahrradschlauch. Anti-Ameisen sind innen eingesperrt und Ameisen sind aussen. Und sie sind für immer und ewig getrennt.
Aber gibt eine Möglichkeit, einen "Möbius-Torus zu bauen. Das geht tatsächlich. Man muss den Gartenschlauch einmal umstülpen, dann ist innen und aussen vertauscgt und man kann verkleben. Das Resultat ist eine Kleinsche-Flasche. Das ist eine geschlossene 2 dimensionale Fläche ohne Vorder- und Rückseite. Bei der Montage gibt es allerdings noch eine kleine Komplikation. Man muss einen Schlitz in den Schlauch machen und ihn da durchfädeln, sonst kann man das umgestülpte Ende nicht mit dem normalen Ende verkleben. In einer räumlich vierdimensionalen Welt braucht es so ein Loch nicht. Aber die kann sich eh keiner so richtig vorstellen.
Quelle: Kleinsche Flasche – Wikipedia
Wenn wir jetzt schon beim sich nicht richtig vorstellen können sind, dann machen wir doch gerade weiter. Stell dir vor, du hast ein dreidimensionales Gitter und an jedem Gitterpunkt klebt eine Kleinsche Flasche.
Jetzt fügst Du zwischen den Gitterpunkten immer weiterer ein. Solange bis die Flaschen dicht an dicht liegen. Du erhältst dann ein recht kompliziertes fünfdimensionales Gebilde. Aber wenn die Flaschen richtig klein sind, dann sind zwei Dimensionen so winzig, dass Du sie nicht wirklich wahrnehmen kannst.
Jetzt kannst Du auf einer Flasche einen Fliegenschiss machen. Um zu bestimmen, wo der liegt, kannst Du ein Koordinatensystem einführen. Da so eine Flasche ein zweidimensionales Gebilde ist müssten zwei Zahlen ausreichen. Du wirst feststellen, dass es beliebig viele gleichwertige Koordinatensysteme gibt. Und von jedem aus betrachtet sieht die Flasche gleich aus. Das ist halt ein Gebilde, fast so symmetrisch, wie eine Kugel, nur dass man, wenn man es um 360 Grad "dreht", innen mit aussen vertauscht und erst bei 720 Grad sieht es wieder gleich aus. Aus dem Fliegenschiss machen wie den Nullpunkt. Das bricht die Symmetrie. Jetzt lassen wir den Fliegenschiss wandern. Die Regel ist so, dass der Punkt bei einer Gitterlänge ein Stückchen wandert und bei halber Gitterlänge nur halb so weit. Wenn wir die räumliche Distanz immer kleiner machen, dann wird auch das Stückchen, was der Punkt auf der Flasche wandert, immer kleiner. Am Schluss wird eine stetige Bewegung daraus. Aber erst einmal sehen wir das gar nicht, weil ja die kleinen Flaschen die überall an den Raumpunkten kleben so wahnsinnig symmetrisch sind. Aber da war doch noch was mit der Ameise auf dem Möbius-Band. Genau! alle zweitausend Ameisenlängen kommt sie am Tüpfeli vorbei und nach jeweils 1000 Ameisenlängen am Antitüpfeli. In dieser Zeit hat sie sich durch den richtigen Makroraum ein Stückchen bewegt und diese Stückchen sind immer gleich lang. Aus der Ameise ist jetzt eine Newtonsche Ameise geworden, die sich geradlinig gleichförmig durch den Raum bewegt und dabei ebenso gleichförmig auf einem Möbius-Band, einer Kleinschen Flasche, einer Kugel oder sonstwie auf einem sehr kleinen kompakten Gebilder herumkraxelt. Das Ganze lässt sich mathematisch wie eine Welle beschreiben. Welche Symmetrien gelten, bestimmt das Mikrogebilde. Und genau so konstruieren die Physiker ihre Quantenfeld-Theorien. Photonen sind Bosonen. Das ist genau das selbe, nur ohne Ameisen.