Was ist sin x cos x?
Hierfür gibt es ein Additionstheorem
. Das kannst Du einfach googlen oder in einer Formelsammlung finden. Hilfreich ist regelmässig auch Wolfram|Alpha
. Wenn man es oft genug nachgeschaut hat, weiss man es dann auswendig.
Bemerkenswert finde ich aber, dass sich alle Additionstheoreme über die Multiplikation von zweidimensionalen Rotationsmatrizen herleiten lassen, da Rotationen in einem gewissen Sinn additiv sind. So ist zum Beispiel eine Rotation um einen Winkel und noch einmal denselben Winkel äquivalent zu einer Rotation um zweimal den ursprünglichen Winkel.
Da sich Rotationen durch Linksmultiplikation mit Rotationsmatrizen darstellen lassen, ergeben sich aus der Multiplikation der Matrizen miteinander die grundlegenden Additionstheoreme für Sinus und Cosinus. Daraus lassen sich dann alle weiteren Additionstheoreme (z. B. für den Tangens und auch die trigonometrische Identität) herleiten. (Wenn ich also eins der Theoreme brauche, nicht mehr weiss, und auch nicht nachschlagen will/kann, dann erinnere ich mich nur an die Rotationsmatrizen und leite das benötigte Theorem daraus her. Diese Erkenntnis habe ich Prof. Dr. Frank Kutzschebauch, einem meiner Professoren in Linearer Algebra, zu verdanken. Ich teile sie gern hier.)
Die Rotation eines Punktes in der
x
–
y
-Ebene um den Winkel
α
entgegen dem Uhrzeigersinn, mit der
z
-Achse als Rotationsachse, ist gegeben durch die Linksmultiplikation mit der Rotationsmatrix
R
z
(α)=(
cos(α)
sin(α)
−sin(α)
cos(α)
).
Entsprechend eine Rotation um den Winkel
α+β
durch Linksmultiplikation mit
R
z
(α+β)=(
cos(α+β)
sin(α+β)
−sin(α+β)
cos(α+β)
).
Es gilt jedoch wegen dem oben Gesagten auch
R
z
(α+β)=
R
z
(β)
R
z
(α)=
R
z
(α)
R
z
(β)
(normalerweise ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ; hier aber schon), also
(
cos(α+β)
sin(α+β)
−sin(α+β)
cos(α+β)
)=(
cos(α)
sin(α)
−sin(α)
cos(α)
)(
cos(β)
sin(β)
−sin(β)
cos(β)
),
(
und somit
 cos(α+β)
sin(α+β)
=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β),
=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β).
(Die übrigen Komponenten ergeben nur jeweils die zweite Gleichung mit
−1
multipliziert und noch einmal die erste Gleichung, also keinen weiteren Erkenntnisgewinn.)
In Deinem konkreten Fall haben wir
α=β:=x
, also
 cos(x+x)=cos(2x)
 sin(x+x)=sin(2x)
=cos(x)cos(x)−sin(x)sin(x)
=
cos
2
(x)−
sin
2
(x),
=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)
=2sin(x)cos(x).
Somit
sin(x)cos(x)=
1
2
sin(2x).
Speziell diese Identität ist bei der Integration hilfreich, denn man kann damit die partielle Integration vermeiden.