Was bedeutet
1/2
in der Formel für kinetische Energie
K=
1
2
m
v
2
?
Auch dies ist (wie im Kern die gesamte Mechanik) ein Grenzfall der Relativitätstheorie (im Besonderen der Speziellen Relativitätstheorie).
Frage: wie hoch ist die Energie eines bewegten Körpers in Bezug auf das Ruhesystem?
Die Energie eines mit v bewegten Körpers mit der (Ruhe-)Masse
m
0
ist nach Anwendung der Lorentz-Transformation sowie der Einstein-Äquivalenz
E=m
c
2
E(v)=
m
0
c
2
m
0
1−
v
2
c
2
√
dabei ist c wie üblich die Lichtgeschwindigkeit. Da generell oft benötigt definiert man gerne
τ:=
1
1−
v
2
c
2
√
sowie
β:=
v
2
c
2
.
Entwickelt man nun
τ(β)=
1
1−
v
2
c
2
√
=
1
(1−β)
√
als Funktion von
β
in eine Taylor-Reihe, so bekommt man
τ(β)=1+
∑
n=1
∞
(
∏
i=1
n
2i−1
2i
)
β
n
Nun ist
β
(bei normalen ‘zivilisierten’ Geschwindigkeiten) so extrem klein, daß es zulässig ist die Taylorreihe ab der 2.Potenz abzubrechen, wir haben also
τ(β)≈1+
β
2
.
Das wieder in die Energieformel eingesetzt ergibt
E(v)=
m
0
c
2
⋅τ(β)=
m
0
c
2
+
1
2
m
0
c
2
β=
=
m
0
c
2
+
m
0
c
2
1
2
v
2
c
2
=
m
0
c
2
+
1
2
m
0
v
2
Das ist die Gesamtenergie eines bewegten Körpers, also inclusive seines Massen-Energieäquivalentes! Da aber die Energie der Ruhemasse
m
0
c
2
hier irrelevant ist ziehen wir sie von der bewegten Energie ab und bekommen so den kinetischen Energiezuwachs, vulgo kinetische Energie genannt, zu
E
kin
(v)=
1
2
m
0
v
2
Die (möglicherweise hier schon mal gestellte) Frage ‘ist ein bewegter Köper schwerer als in Ruhe?’ welche korrekterweise lauten müßte ‘hat ein beweger Körper mehr Masse als in Ruhe?’ ist also nicht nur eindeutig zu bejahen, sondern es zeigt sich daß kinetische Energie eigentlich gar nichts (direkt) mit der Geschwindigkeit zu tun hat sondern ausschließlich die Energie des durch die Geschwindigkeit hervorgerufenen Massezuwachses ist.