Aus welchen Gründen sind Algebraiker so interessiert an Homomorphismen?
Ich halte die vorherige Antwort für etwas irreführend. Homomorphismen, also zumindest einzelne, sind im engeren mathematischen Sinne keine algebraischen Strukturen. Vielmehr sind sie spezielle Funktionen von einer Struktur zu einer anderen Struktur gleichen Typs. Zum Beispiel sind Gruppen Mengen mit einer Verknüpfung, die gewisse Eigenschaften hat. Beispiele sind die ganzen Zahlen mit der Verknüpfung +, die reellen Zahlen mit + oder die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation. Ein Homomorphismus von Gruppen ist nun eine Funktion f von einer Gruppe G in eine andere Gruppe H, so dass es egal ist, ob man zuerst zwei Elemente von G verknüpft und das Ergebnis dann mit f nach H schickt, oder ob man erst die beiden Elemente mit f nach H schickt und dann in H verknüpft. Man bekommt in beiden Fällen das selbe Element von H heraus. D.h., mit Hilfe von f kann man Rechnungen in G übersetzen in Rechnungen in H. Deshalb interessieren sich Algebraiker für Homomorphismen. Sie erlauben es, Zusammenhänge zwischen verschiedenen algebraischen Strukturen zu untersuchen. Ein einfaches Beispiel für einen Gruppenhomomorphismus lernt man in der Schule: die Exponentialfunktion e^x ist ein Homomorphismus von der Gruppe (R,+) in die Gruppe (R^+,*), also von den reellen Zahlen mit der Addition in die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation. Um das zu beweisen, muss man nur die Gleichung e^(x+y)=e^x*e^y betrachten, die sagt, dass es egal ist, ob man erst addiert und dann die Exponentialfunktion anwendet, oder ob man erst die Exponentialfunktion anwendet und dann multipliziert.