32 Spielkarten sind mit den Zahlen 1 bis 32 fortlaufend numeriert. Kann man 2 Karten so auswählen, dass das Produkt dieser beiden Karten gleich der Summe der übrigen Karten ist?
Nein, dies ist nicht möglich.
Beweis:
Die Summe aller 32 Karten würde 528 betragen.
Von dieser Summe müsste man die beiden Zahlen abziehen, die für das Produkt herhalten sollen, da es in der Fragestellung ja heißt, dass das Produkt der beiden Zahlen gleich der Summer der übrigen Karten sein soll.
Wir haben also mit
528 -a -b = a*b
eine Gleichung mit 2 Unbekannten und erwarten folglich eine Lösungsschar. Nur der Hinweis, dass die Lösung ganzzahlig sein muss grenzt diese Lösungsschar ein.
Durch Umformung erhalten wir:
528 = a+ab+b = (a+1) (b+1) -1
529 = (a+1) (b+1)
Lösungen sind beliebige ganzzahlige Produkte, die 529 ergeben.
Leider ist 529 aber das Quadrat von 23 und durch keine andere Zahl teilbar, denn 23 ist eine Primzahl!
Die einzige ganzzahlige Lösung für a und b wäre mit (a+1)=(b+1)= 23 die 22.
Da wir aus dem Kartenspiel die 22 nicht zweimal entnehmen können, wars das.
q.e.d.