Wie faktorisiere ich diesen Term (ich bin in der 9. Klasse): 54 a ^ {2} + 36 a b - 18 b ^ {2}?
Wer mich kennt, weiß: Meine Beiträge haben ( meist ) etwas ab_so_lut Genitales …
Stell dir vor, dein Deutsch_oder Kunstlehrer gibt dir als Hausaufgabe eine Bildbeschreibung. Deine Ausarbeitung
" Ein Ritterbild, wahrscheinlich ein Turnier. Von Links ein Ritter mit gestreckter Lanze auf einem schwarzen Rappen; der Ritter von Rechts auf einem scheißen Wimmel hält ein Schwert in der Hand. Nur das Wiehern der Rosse gelang dem Künstler nicht einzufangen …
Die Szene ist überwölbt von einem surreal grün gefärbten Himmel, in welchem goldene Papageien fliegen, den Rücken zur Erde gekehrt … "
Und der Klassensprecher scannt das Bild in seinen PC ein; tausend Zeilen, tausend Pixel pro Zeile. Jedes Pixel eines Farbbildes ist doch gekennzeichnet durch seinen RGB Antei. Und diese RGB Liste ( für eine Mio. Pixel ) gibt der Klassensprecher am nächsten Tag ab; ist doch das selbe Bild. Oder vielleicht nicht?
Schon. Nur der Lehrer wird wohl monieren, dass dein Klassensprecher völlig Sinn frei argumentiert: das Gemälde transportiert nämlich einen ( intersubjektiven ) Sinn.
Im Funkkolleg Biologie berichtete mal ein Prof von Kognitionsversuchen mit seinen Affen. Affen ( welche Art, hab ich jetzt vergessen ) sind durchaus im Stande, ästhetische Aquarelle zu erstellen ( Selbst die Farbzusammenstellung stimmt. )
Nur wurde noch kein Tier dabei beobachtet, dass es gegenständlich gezeichnet hätte. Dieser Link zwischen dem Bild und dem Sinn, er fehlt also.
Und nun zu dir: Jeder Mathestudent im 2. Semester weiß ( oder sollte wissen ) , dass es sich bei deinem obigen sog. " Term " um eine ====> homogene quadratische Form ( HQF ) handelt. Du das sehen die, ohne hin zu gucken …
Und jetzt frage ich dich: Wenn du noch nicht mal weißt, was das für ein Term ist. Welchen Sinn zum Teufel hat dann diese Hausaufgabe? Das wäre also jetzt also genau so, wie wenn jemand, der das Wort " Ritter " noch nie gehört hat und der nicht weiß, dass Ritter im Mittelalter auf Burgen hausten, ein Rittergemälde beschreiben soll …
Ein Student würde hier systematisch mit seinem angestauten Wissen vorgehen. Aber wie geht jemand vor, der noch nicht mal weiß, in welchem Film dass er sich hier befindet???
Jetzt gehe ich erst mal ganz listig vor; statt " a " sage ich nämlich " x " , und statt " b " sage ich " y " Genau so machen das nämlich Mathematiker, wenn sie nicht geistesgestört sind. ( Wer " x " sagt, muss auch " y " sagen, hihi … )
z = F ( x ; y ) := a_11 x ² + a_12 x y + a_22 y ² ( 1a )
a_11 = 54 ; a_12 = 36 ; a_22 = ( - 18 ) ( 1b )
Und zusätzlich habe ich noch in ( 1a ) den ( dritten ) Buchstaben z eingeführt, der bei dir gar nicht da war.
Du weißt sicher, dass a und b für ( konstante ) Parameter stehen; nein. Das ist hier nämlich gar nicht gemeint. x und y sind Variablen, Veränderliche.
Hattet ihr wenisten schon Funktionen y = f ( x ) ? Allen Falls einen ersten Schnupperkurs traue ich dir zu. Also dass du schon mal Geraden oder Parabeln geplottet hast. Weil wo du noch kaum gerafft hast, was eine Funktion in einer Veränderlichen ( z.B. auf Millimeterpapier ) ist, droht dir in ( 1a ) bereits eine Fkt. in den zwei Veränderlichen x und y ( deutlich erkennbar an dem Buchstaben z auf der linken Seite von ( 1a ) Wie muss man sich das jetzt vorstellen?
Stell dir eine Landkarte aus dem Atlas vor, etwa die Karte von " Fan ' tasi_en " Dort sei ein cartesisches Achsenkreuz definiert; jede fantasische Stadt hat zwei Koordinaten x und y . Mit Farben bzw. Höhenlinien ist von jeder Stadt gleichzeitig die Höhe z ü.M. eingetragen. Dann gibt dir Funktion ( 1a ) das 3 D Profil von Fantasien. Haben wir das verstanden?
Bist du schon im Computerkurs? Weil heute gibt es längst 3 D Programme, die dir diese Landschaft, dieses Gebirge realistisch mit ===> verdeckten Kanten rausplotten. Frag mal deinen IT Lehrer. Normal will der also eine Datei einlesen. Mein Chef hatte da wirklich grandiose Ideen; der bestand darauf, das mein Programm den Benutzer führt
" Spalte Nr. für x , für y und für z ? _ "
( In einem ähnlichen Fall fragte der meinen Kollegen " Jean_Claude " )
" Und? Was passiert, wenn ich Spalte Nr. Minus 4 711 eingebe? "
" Das dürfen Sie nicht … "
" Warum nicht? Aber was macht Ihr Programm dann? "
" Weiß nicht … "
" Fehler machen wir alle. Das ist gar nicht tragisch. Aber nicht zu wissen, wie ein Programm auf falsche Eingaben reagiert. Das ist absolut tödlich … "
D.h. du gibst ein ( möglichst enges ) quadratisches oder rechteckiges Netz für ( x ; y ) vor und schnitzt dir eine Routine, die nach Formel ( 1ab ) die ganzen z_Werte raus haut. Fertig ist die Laube …
Wie weit bist du; würdest du dir schon zu trauen, selber so ein 3 D Programm zu schreiben?
Eben seh ich grad; längst ist die Zeit über mich hinweg gegangen. Es gibt ja längst 3 D Laserdrucker; wüsstest du privat oder kommerziell eine Möglichkeit, das Gebirge, die Datei ( 1ab ) real in Plastik zu modellieren, so dass du es deinem Mathelehrer in die Schule mitbringen kannst? Hörfunk SWR2, Do 11.2. , 15h05. ( Du kannst auch direkt nach dem Listing googeln und die Sendung anklicken. )
( ach ich seh grad; der Link nutzt dir nix. Du musst direkt über Google, weil mein kopierter Link unterdrückt den entscheidenden Podcast. )
https://www.swr.de/swr2/leben-und-gesellschaft/unternehmer-mit-17-hartnaeckigkeit-setzt-sich-durch-swr2-leben-2021-02-11-100.html
Mal so gefragt; weißt du überhaupt schon, was ein ===> Polynom ist? Ich bin immerhin darauf vorberitten, dass dir dein Lehrer das nicht erklärt hat.
( Oh doch; der Knappe " bereitet " dem Ritter das Ross vor, er hat es vor beritten, hihi … )
Schau mal in Wiki, was es auf sich hat mit einem " Polynom n_ten Grades " und dessen ===> Koeffizienten. Hier kommen übrigens von Schöölern immer wieder so Fragen; wie berechnet der TR so Funktionen wie Wurzel und Sinus ( falls du das schon kennst. ) Es gibt eine Menge guter Näherungen, die es erlauben, all diese Werte durch Polynome auszudrücken.
Ein Polynom benötigt weiter nix als die drei Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Multiplikation, die in Bits zu rechnen weiter kein Akt ist.
Und ( 1a ) ist bereits ein Polynom in den zwei Veränderlichen x und y ; sehen wir das? Ein quadratisches Polynom ist ein Polynom 2. Grades, also eine Parabel. ( Wenn mehrere Veränderliche im Spiel sind wie in ( 1a ) , sagt man auch ganz vornehm " quadratische Form " statt Polynom 2. Grades. ) Und? Was hat das jetzt auf sich mit der homogenen QF? Das will ich jetzt nicht näher erläutern; das findest du ganz toll in Wiki erklärt.
Wie wenig du über HQF weißt. Die Koeffizienten ( 1b ) sind im Grunde die Elemente der ===> Matrix von der HQF . Sie sind doppelt indiziert, wobei Index 1 immer für x steht und Index 2 für y . Nein; es heißt nicht " a elf " , sondern " a Eins - Eins. "
Seit dem Computerzeitalter - siehe Macintosh - gibt man ja dem User die Abbildungsmatrix an die Hand, mit der er die Bilder manipuliert. Nun weiß aber ein Normalo nicht, was eine Matrix sein könnte. Nur so erklärt sich der Erfolg des Sci Fi Schockers " Matrix " , wir alle seien nur Scheinwesen in einer virtuellen Computerwelt, die in Wirklichkeit von der Matrix des bösen Manipulators gelenkt wird. D.h. eine Matrix sei etwas absolut Böses. Eine Matrix ist aber im Grunde auch nix als eine ( sehr abstrakte ) Funktion. Und noch niemand hat je gesagt, Funktionen seien böse …
Faktorisieren sollst du deine HQF . Unter Mathematikern hat der Begriff des Faktorisierens etwas sehr Vieldeutiges, Schillerndes ( s.u. ) Wohl alle sind sich aber darin einig, dass du als Erstes mal den ggt der Koeffizienten ( 1b ) heraus ziehst:
ggt a_11 ; a_12 ; a_22 = 18 ( 2a )
F ( x ; y ) =: - 18 G ( x ; y ) ( 2b )
G ( x ; y ) = q x ² - p x y + y ² ( 2c )
p = 2 ; q = ( - 3 ) ( 2d )
Und jetzt gibt ' s für dich wieder was zu lernen:
" Ein ganzzahlig gekürztes Polynom ( wie z.B. G ) bezeichnet man als primitiv. "
Na prost Mahlzeit; Aktion " Ritterbild " Da sollst du ein Polynom faktorisieren; und niemand hat dir etwas gesagt von primiefen Polynomen …
Zurück zur obigen Landkarte von Fantasien. Die Höhe =: C ü.M. wird ja ganz typisch dargestellt durch Höhenlinien; die Mathematiker intressieren sich nun für die genaue Funktionsgleichung
G ( x ; y ) = q x ² - p x y + y ² = C = const ( 3 )
( Auch hier gibt es 3 D Programme, die dieses Höhenlinienprofil erstellen. )
( 3 ) bezeichnet man als ===> implizite Funktion ( IF ) Implizit, deshalb, weil sie euch in der Schule immer sagen, ihr müsst ( 3 ) explizit umstellen nach y = f ( x )
A Propos; kann ich schon ===> quadratische Gleichungen ( QG ) bzw. die " Mitternachtsformel " ( MF ) voraus setzen? Solltest du nicht mal das können, na mach ick echt ' n Salto rückwärts. Man kann doch nicht den zweiten Schritt vor dem ersten gehen; wie willst du ( quadratische ) Polynome in 2 Veränderlichen raffen, wenn du noch nicht mal eine Veränderliche intus hast? Von Reinhart Mey stammt jenes Chanson, in dem es heißt
" Ich nehme zwei Schritt auf einmal / Und fall aufs Maul … "
Manche machen das schon in Kl. 7 , andere erst in 10 . Ich war meiner 8d) schon ein halbes Jahr voraus; ich hatte Unterstützung vom Telekolleg Mathematik und dessen Unterrichtsmaterialien. Wenn du es schon kannst, um so besser. Falls nicht, weißte wenisten, was dir noch blüht …
Weißt du, wie Wetterauer Platt klingt; gibt es da eine Online Sprechprobe? Adam & die Mickeys
" Die Runkelreube Ropp Määschin "
Weil meine Mammi hat sich immer tot geeimert über den Fernsehmathematiklehrer
" Eun Porlällokramm iis ein Wiereck mit zwou poorweiße pollällen Keroten … "
Dann an der Uni intressiert sich keine Sau mehr, wie man ( 3 ) nach y umstellt. Weil es nur mühselig ist; weil es nix bringt. Hier kennste den?
" Was haben wir davon? " " nix "
" Und? Was sagt uns das? " " Wieder nix … "
Mein Doktorvater kannte den Spruch
" Sie können nicht abstrahieren, wenn Sie nichts haben, wovon Sie abstrahieren können. "
Wörtlich bedeutet " abstrahieren " ( Latein ) = " abziehen " ; besser wohl " absehen von etwas " Z.B. absehen von den Einzeldingen; das große Ganze hinter der Erscheinungen Flucht nicht aus dem Auge verlieren.
D.h. der Mathematiker argumentiert erst mal
" Mich intressieren erst mal gar nicht so sehr die konkreten Parameter der Einzelkurve in ( 3 ) Gibt es da keine Gesetzmäßigkeit? Etwa: alle Höhenlinien sind vom Typ des großen Mathematikers ' Dr. Fürchtegott_Eusebius Müller_Wipperfürth? ' "
Doch. Entweder ( 3 ) ist eine ===> Ellipse oder eine Hyperbel. Und beide sind Sonderfälle des allg. ===> Kegelschnitts.
Ich will dich jetzt nicht zutexten mit Beweisen, die du noch nicht verstehst. Doch will ich dir doch ein intuitives Feeling vermitteln, was das sein könnte, Ellipse und Hyperbel.
Vielleicht hast du ja schon von den ===> Keplerschen Gesetzen in der Himmelsmechanik vernommen; jede Keplerbahn ( eines platten Neten oder Satelliten ) ist so ein Kegelschnitt.
Ellipse geht im Grunde ganz einfach. Stell dir vor, auf deinem PC zeichnest du den Einheitskreis. Jetzt stauchst du die y_Achse ( quetschst sie zusammen ) im Verhältnis 1 : 2 ( oder allgemeiner 1 : a ) Was du dann erhältst, ist ein Ei, eine " liegende " Ellipse ( breiter als hoch; Format " Landschaft " )
Oder du stauchst die Abszisse; dann erhältst du eine stehende Ellipse ( Format " Portrait " )
Das Intressante bei Ellipse ( und Kreis ) : Beide sind sinnlich intuitiv leicht erfahrbar, aber auch mathematisch easy zu definieren. Bei der Hyperbel passiert jetzt etwas Komisches: Die Idee, ihre Formel hin zu schreiben, liegt nahe. Im Grunde entzieht sie sich jedoch menschlicher Vorstellungskraft; bis Heute haben Hyperbeln für mich ihren dämonischen Charakter bewahrt …
Mal Hand aufs Herz. In deinem Alter war ich der typisch " romantisch verträumte Jüngling " ; hast du sowas auch? Weil ich finde, die Mathematik hat durchaus ihre romantischen, emotionalen Seiten.
Hattet ihr schon den ===> Pythagoras? Dann kommt er noch; das ist nun wirklich etwas, was man einem Schööler deiner Jahrgangsstufe zutrauen kann. Schreib doch mal die Gleichung des Einheitskreises als IF an; folgt unmittelbar aus Pythagoras:
K ( x ; y ) := x ² + y ² = 1 ( 4a )
Hier du hast ja schon richtig den Durchblick. ( 4a )ist eine HQF . ( Hierin äußert sich nämlich, dass der Kreis nur ein Sonderfall ist von dem allg. Typ " Ellipse " ) Ich glaube hier kann ich wirklich verlangen, dass du als Hausaufgabe ( 4a ) umstellst nach y = f ( x )
Die Idee zur Hyperbel entsteht auf dem Papier, nicht in der Natur. Aktion Charles Darwin; kleine Mutation mit großer Wirkung; was ist bitte schön
x ² - y ² = 1 ??? ( 4b )
So spontan kommst du wahrscheinlich nicht dahinter; versuch dochmal, ( 4b ) mit dem PC zu plotten.
Weil ein Kreis ( Peripherie ) hat zwei Eigenschaften: Er ist ===> kompakt ( Das bedeutet im Wesentlichen, dass du jeden Kreis in ein ( genügend großes ) Quadrat einsperren kannst. ) Und er ist ===> zusammen hängend. Angenommen auf der Peripherie hast du zwei ( beliebige ) Punkte P1 und P2. Dann könnte ein Wandersmann immer von P1 nach P2 gelangen, ohne die Kreislinie verlassen zu müssen.
Für die Hyperbel trifft keines von beiden zu. Diese Kurve füllt die unendliche Ebene aus; du kannst sie nicht einhausen. Und sie besitzt zwei ===> Zusammenhangskomponenten, nämlich den linken und den rechten ===> Ast. Wenn P1 auf dem linken Ast liegt und P2 auf dem rechten, dann musst du die " verbotene Lücke " zwischen beiden Ästen überqueren, um von P1 nach P2 zu gelangen.
Jetzt schau doch mal in Wiki, was die beiden ===> Asymptoten einer Hyperbel besagen. Du ich find das grandios. Behauptet Wiki doch, der Begriff " Asymptote " sei bis Heute nur unscharf definiert.
Aktion ===> Ludwig Wittgenstein; ===> Tractatus
" Alles was sich sagen lässt, lässt sich klar sagen. "
Mir ist es gelungen, den Begriff der Asymptote exakt zu fassen ( als uneigentliche Tangente, s.u. )
Ich bin eben nicht von schlechten Eltern.
Doch wollen wir diese Definition einen Augenblick zurück stellen. Ich komme auf deine ursprüngliche Aufgabe zurück.
Aktion Ritterbild; ( 2d;3 ) wird sich im Grunde heraus stellen als die HQF der ( beiden ) Äste einer Hyperbel.
Und deine Aufgabe, ( 1ab ) zu faktorisieren, bedeutet eben anschaulich, dass du die ( beiden ) Asymptoten von ( 2d;3 ) ermitteln sollst.
So. Jetzt hast du zum ersten Mal etwas verstanden … Ich gebe dir jetzt ( zunächst ohne Beweis ) ein Kochrezept an die Hand, wie man die Asymptoten findet. Oben in ( 3 ) setzen C = 0
q x ² - p x y + y ² = 0 ( 5a )
Doch halt; da stimmt doch was nicht. Für verschiedene C entsprechen unsere Hyperbeln einer Schar paralleler Höhenlinien. Eine Asymptote, sagten wir, ist eine ( uneigentliche ) Tangente. Nach Kochrezept ( 5a ) ist die Asymptote aber gleichzeitig die Höhenlinie für NN Meeresniveau. Wie kann das sein, dass eine Höhenlinie eine andere berührt ( und dann noch alle zusammen ) ?
Im Unendlichen ist alles bissele anders. Freilich; die Hyperbeln rücken immer dichter zusammen ( und auch gegen die Asymptote ) Aber nur in der ( x | y ) Projektion, nicht in der räumlichen z_Dimension. Wenn du genügend große x_Werte berücksichtigst, müsstest du ein Gebirge mit ( fast ) senkrecht abstürzender Wand erhalten, das beidseitig auf Meeresniveau von den Asymptoten flankiert wird.
Ich erinnere dich jetzt an die Formel für die Geradensteigung
m = y/x ( 5b )
Und jetzt kommt ein ganz entscheidender Schritt; wir klammern den Faktor x ² aus aus ( 5a ) unter freundlicher Beachtung von ( 5b )
x ² ( m ² - p m + q ) = 0 ( 5c )
Und jetzt erinnere ich dich an den Satz vom ===> Nullprodukt. Doch; ganz wichtiges Thema. Sollte ein Schüler deines Alters unbedingt mit vertraut sein.
Entweder x ist Null; oder die Klammer verschwindet.
Aber x war doch beliebig, daher
m ² - p m + q = 0 ( 5d )
Schau noch mal oben ( 2d ) . ( 5d ) ist eine stink normale QG. Wie man die löst, darüber behalte ich mir noch in einem Nachtrag vor, mir das Maul zu zerreißen. Im Übrigen hast du, das sagte ich bereits, die MF zu können. Wie auch immer
m1 = ( - 1 ) ; m2 = 3 ( 6a )
Zu meiner Zeit gab es im Fernsehen das heitere Quiz mit Heinz Maegerlein
" Was man weiß, was man wissen sollte. "
Z.B. die ===> Nullstellenform ( = faktorisierte Form ! ) einer QG. Z.B. in ( 5d )
m ² - p m + q = ( m - m1 ) ( m - m2 ) = ( 6b )
= ( m + 1 ) ( m - 3 ) ( 6c )
Nicht dass du den Überblick verlierst; erinnere dich bitte an ( 3;5c;6c ) Alles zusammen ergibt doch schon die Faktorisierung von G
G ( x ; y ) = x ² ( m + 1 ) ( m - 3 ) ( 6d )
Warum haben wir in ( 5c ) den Faktor x ² ausgeklammert? Weil wir mit den beiden Veränderlichen x und y nicht zu Recht kommen; dagegen ein Verfahren für die eine Unbekannte m haben wir gelernt. Jetzt wo wir aber ( 6d ) haben, können wir x ² eben so gut wieder unter die Klammer ziehen. Und zwar ein x unter die linke Klammer, das andere unter die rechte unter freundlicher Beachtung von ( 5b )
G ( x ; y ) = ( y + x ) ( y - 3 x ) ( 6e )
und jetzt noch ( 2e ) ( um einem dringenden Bedürfnis abzuhelfen )
F ( x ; y ) = - 18 ( y + x ) ( y - 3 x ) ( 6f )
Mit dem Satz vom Nullprodukt besitzt ( 6f ) wieder eine anschauliche Interpretation; um die beiden Asymptoten auszurechnen, müssen wir ( 6f ) gleich Null setzen:
x + y = 0 v y - 3 x = 0 ( 7 )
Mal so gefragt. Was hättest du gedacht bzw. gesagt, wenn ich dir das alles so vor gerechnet hätte ohne Sinn und Verstand, ohne Hyperbeln und Asymptoten? Du ein reines ===> Glasperlenspiel wäre das geworden, ein L ' art pour l ' art oder Abrakadabra. Ich hatte so ähnliche Aufgaben schon im Jahre 2001 hier im Netz. Und damals entdeckte bzw. entwickelte ich obigen Algorithmus. Immerhin wäre es deine erste Bekanntschaft mit ===> analytischer Geometrie; oder habt ihr schon mal so was gemacht?
Ich befinde mich jetzt typisch in der Lage von Great Alex, dessen Truppen, nachdem er Persien erobert hatte, heimwärts drängten. Doch Alex wollte noch Indien erstürmen.
( Er scheiterte, weil er sich dort die Malaria einfing, wovor ihn Siwah nicht gewarnt hatte und weil er kein Tommy war, worauf ihn Delphi ausdrücklich verwiesen hartte … )
Weil ich habe noch vier Nachträge offen; ansonsten habe ich dein Begehr beantwortet. So weit noch Fragen?
Übrigens; hattet ihr schon Mengenlehre? Heute macht man das ja schon in Kl. 1. Das finde ich total albern, weil man da ja nie über endliche Mengen hinaus kommt; und dafür brauchte es den ganzen Kokolores nicht.
Dass ich ein echt klassener Typ sein muss, erkennst du wieder an meinem Vorschlag. Bereits seit Jahrzehnten plädiere ich, warum führt man die Mengenlehre nicht zusammen mit dem Geometrieunterricht ein? Z.B. seit den alten Griechen gibt es die gespreizte Redewendung von dem " geometrischen Ort "
" Die Peripherie eines Kreises mit Radius R ist der geometrischen Ort aller Punkte, die von dem Mittelpunkt P0 den Abstand R haben. "
Quatsch mit Soße.
" Die Peripherie eines Kreises mit Radius R ist die Menge aller Punkte … "
Eine völlig exakte Sprechweise, wie sie dem Stand der modernen Mathematik entspricht.
Zwei Geraden g1 und g2 sind auch nichts weiter als Punktmengen. Und ihr Schnittpunkt P0 ist ihre Schnittmenge. Sind g1 und g2 parallel, so ist ihre Schnittmenge leer.
Und im Zahlenreich musst du dir hauptsächlich vier Mengen merken; zu jeder erzähle ich dir noch eine Anekdote über unseren Scientologen Rolf Thierbach.
Da sind zunächst die ( positiven und negativen ) ganzen Zahlen |Z ( einschließlich der 0 ) Da Scientology für " positives " Denken plädiert, weigerte sich Thierbach selbst dann noch, uns negative Zahlen zu unterrichten, als diese längst von der Rahmenrichtlinie auf dem Lehrplan standen und alle drei Parallelklassen das schon konnten.
In der Sexta sollten wir in der Klausur rechnen, 20 - 80 + 100. 15 von 20 Knaben hatten
20 - 80 = ( - 60 ) ; 100 - 60 = 40 . Jene ( eindeutige demokratische ) Mehrheit beschimpft Thierbach als Spinner.
Aber Hr. Thierbach; was hätten wir denn somst rechnen sollen? Seiner Meinung nach umstellen 100 + 20 = 120 ; 120 - 80 = 40 . Das ist aber auch nix weiter als das Kommutativgesetz auf |Z ; im Übrigen sollte ein Lehrer die Schüler nicht von Techniken abhalten, die intuitiv bereits verstanden sind und obendrein immer zum richtigen Ergebnis führen.
( Wollte man erst alle Regeln für das Rechnen mit natürlichen Zahlen beweisen, bevor man diese benutzen darf, brauchte es eine zweisemestrige Vorlesung, hihi … ) Schau mal hier; Friedrich Waismann, Rezension einer Wittgensteinvorlesung.
Amazon.de: Waismann, Friedrich; Claus, Heinz JOrg (ed.): Bücher
Zweitens die rationalen Zahlen |Q ( Brüche aus ganzen Zahlen, z.B. 4 711/1 234 )
Bei den per. Dezibrüchen vermied Thierbach geflissentlich, uns zu sagen, dass 0.999 … auch 1 gibt. ( Die Sekte lehrt ganz typisch, dass alles auf der Welt eindeutig sei; für Zweideutigkeiten oder unterschiedliche Ansichten ist einfach kein Raum. )
Thierbach war Perfektionist; auf dem Schulfest hatte man lustig zu sein. Man hatte alle Gesellschaftstänze zu können; und gegen Damen hatte man sich als Kavalier zu betragen.
Merkwürdig; wollte ich ihn mit den Mitteln der Feuerzangenbowle beschreiben. Nie stand er aufrecht vor der Klasse; gleich dem Gekreuzigten hielt er sich mit der linken Hand an der linken Bankreihe fest und mit der rechten an der rechten. Der Art vornüber gebeugt, schielte er uns Schüler an über den oberen Brillenrand. Er hatte jedoch vergessen, seinen Blazer zuzuknöpfen, so dass ihm die Krawatte wie ein Galileisches Pendel grotesk vor dem Mund baumelte …
Da kriegt unser Mathe Einser " Wolfram " von seinem Pappi gesagt, hey 0.999 … ist auch gleich 1 ( Den Beweis hat er ihm auch gleich erklärt. )
" Mensch Wolfram meld dich; dann bewundert dich der Thierbach … "
Wolfram hatte Angst vor der Courage. Mir, dem ( damals noch ) Mathe Dreier, flüsterte er ins Ohr wie eine Jungfrau, die das Wort " Po " in den Mund nehmen muss. Ich hatte das noch nie gehört; außerdem ging mir das Ganze voll am Aasch vorbei …
Hätte Wolfram keine Angst vor Pappi gehabt, nie hätte er sich gemeldet. Und Thierbach nahm solche Eigenmächtigkeit entsprechend ungnädig auf
" Ja; da seht ihr mal. Das gibt es also auch … "
Nie wieder kamen wir im Unterricht darauf zurück.
Als Nächstes die reellen Zahlen |R . Und jetzt berichte ich dir von meinem Klassenkameraden " Hans_Martin " , mit dem ich schon seit Kl. 1 zusammen war.
( In der Sexta war er dann so unvorsichtig, jedem einzelnen unter vier Augen zu beichten, seine Oma rufe ihn " Deydy " Na rate mal, was dem sein Spitzname wurde … Selbst wenn Namen an die Tafel geschrieben wurden für irgendwelche Gruppen, firmierte er immer unter Deydy …)
Dass er genial war, war mir noch nie entgangen. Gerade die Mathe Einser versuchten konstant, Thierbach zu veraaschen und in die Enge zu treiben. Da würde man doch annehmen; hey was vermag ein Quintaner schon gegen einen Mathe Studienrat auszurichten? Und Deydy schaffte es …
Die ganze Story lebt ausschließlich vom Sherlock_Holmes_Effekt, meiner ausgezeichneten Erinnerung an ( damals scheinbar ) bedeutungslose Umstände. Deydy meldet sich; aus dem Nichts heraus formuliert er
" Ich formuliere die Hypothese, dass alle Kommazahlen periodisch sind. "
Intuitiv erkennt er, in welcher Sprache Mathematiker ihre Theoreme formulieren. Und die wirklich klassischen Genies sind bekanntlich nicht die, die etwas bewiesen haben, sondern die, die durch ihre unbewiesenen Vermutungen unsterblich geworden sind ===> Fermathypothese, Riemannsche Vermutung.
Und überhaupt. Dass ein 12_jähriger Junge, noch dazu nicht mal Einserstar, diesen Gedanken überhaupt zu fassen vermag …
Thierbach war sprachlos. Und jetzt kommt erst der eigentliche Gag. Die wichtigste Eigenschaft eines Mathelehrers: Er muss extemporieren können, jeder Zeit in der Lage, voll unvorbereitet auch die abwegigsten Einwände zu parieren. Wenn es denn die Aufgabe eines Mathelehrers ist, jeden 12_jährigen Schööler in die Tasche zu stecken, dann hat Thierbach kläglich versagt …
Ihm fielen da all die irrationalen Zahlen aus dem Lehrbuch ein; e , Pi und Wurzel ( 2 ) ( Und dass wir das alles noch gar nicht kennen " dürfen " , hihi … ) Er soll aber kein Lehrbuch herunter rattern, sondern Deydys Frage beantworten.
Schlagartig erinnerte ich mich wieder dieser Episode, als ich dann in der Oberstufe ( übrigens gleichzeitig in mehreren Mathe Knobel_und Bastelbüchern ) die Definition der irrationalen Zahl µ fand:
µ := 1.101 001 000 100 001 000 001 … ( 8 )
Verblüffend; nicht wahr? Kopf schüttelnd saß ich seiner Zeit ( oder doch: " meiner Zeit " ? ) davor. Ich wollte es erst gar nicht glauben; eine Zahl mit vorhersehbarem Bildungsgesetz soll irrational sein?
Doch das genau ist ja das Teuflische an µ . Wenn wir etwa behaupten, die Periodenlänge sei n . Dann würde nach n Zyklen die Periode nur noch aus lauter Nulle bestehen. Und der n_te Zyklus ist immer noch gefolgt von unendlich vielen Einsen …
Ich würd mal sagen; wenn ein Lehrer die negativen Zahlen verbietet, dann ist das das sicherste Zeichen, dass er in seiner Klasse jegliche Kreativität unterdrückt.
A Propos Scientology; große Teile seines Unterrichts brachte er damit zu, uns wortwörtlich ein " Regelheft " zu diktieren, wo z.B. die ganzen Regeln der Bruchrechnung drin standen. Oder auch daran erinnere ich mich
" Die natürlichen Zahlen; eine größte natürliche Zahl gibt es nicht … "
Thierbach war gefürchtet; da war kein Lümmel, der den Zwischenruf gewagt hätte, doch, Hr. Thierbach …
Eben fällt mir was ein. Jetzt bin ich auch mal so genital wie der Deydy. Was ich will, erklär ich dir am Besten an einem Beispiel. Die Periodendarstellung von 1/7 lautet 1/7 = .142857 … Und wenn ich z.B. 6/7 will, dann muss ich nur rechnen 6 * 142 857 = 857 142 . Und? Was ist 7/7 ??? 7 * 142 857 = 999 999 Also; diese " 9 Periode " kommt nicht nur bei 3/3, sondern ( höchst wahrscheinlich ) auch bei 4 711/4 711.
also eine typische Mathematikerfrage; wieso ist die Darstellung der reellen Zahlen " nur " zweideutig, wie in allen Textbüchern steht ( wegen 1.000 = 0.999 … ) Gibt es nicht noch mehr darstellungen? Warum findet dieser Umstand in keinem Textbuch Erwähnung? Oder ist das wirklich nur banal, und ich habe etwas übersehen? Hier du bist Wolfram, und ich bin dein Pappi.
Hey melde dich; frag deinen Lehrer …
Ja und die vierte Zahlenmenge? Das sind die ===> komplexen Zahlen |C . Kennst du sie schon? Da könnte ich mir noch am Ehesten vorstellen, dass dein Lehrer sie " verbietet " … Die folgende Anekdote geht zur Abwechslung nicht über Wolfram, sondern über meine Wenigkeit.
In Kl. 8 wurde alles neu verteilt; d.h. wir bekamen " neue " , die ganz normal das Rechnen mit negativen Zahlen drauf hatten. Und die eimerten sich jetzt tot über Thierbach und uns alte. Zum ersten Mal kommt Thierbach in Zugzwang. Er muss einfach nachgeben und uns die neg. Zahlen erklären.
Judo heißt ja, die Kraft des Gegners ausnutzen. Thierbach hätte also den neuen sagen können, ihr seid meine Tutoren. Versucht doch einfach mal, den alten auszuhelfen bzw. ihre Fragen zu beantworten. Ich moderiere den Unterricht.
Natürlich in der autoritären Sekte nicht möglich. Uns alten diktiert Thierbach die Regeln der neg. Zahlen in unser Regelheft. Aber bei den neuen wäre das ja Quatsch; das spürt er wohl. Die neuen sitzen untätig rum und machen Krawall, Fez und Kokolores; man hätt grad meinen können, wir sind eine Zwergschulklasse …
Warum sind neg. Zahlen bereits bei Vorschulkindern populär? Weil sie ihnen begegnen
1) bei neg. Celsiusgraden
2) bei finanziellen Schulden
3) und bei der Zeitrechnung vuZ
Nirgends aber werden zwei neg. Zahlen miteinander multipliziert; bis Heute ist mir kein Modell bekannt geworden, das anschaulich vermitteln könnte, wieso " Minus Mal Minus " Plus ergibt. Aus welchem Grunde ich selbst es glaubte - ausnahmsweise ereilt mich da ein Blackout. Meinen heutigen axiomatischen Standpunkt hatte ich seiner Zeit sicher noch nicht; streng genommen folgt es direkt aus dem Distributivgesetz. Du kannst es ja mal als Hausaufgabe versuchen …
Etwa drei Wochen, nachdem wir also mit neg. Zahlen angefangen haben, baggert mich also Mathe Einser " Webbus " schräg von Links an. Was ihn von Wolfram unterscheidet: Ganz offenbar kommt er nicht in Pappis Auftrag. Und von Deydy hebt ihn ab, dass er kein bissele genial ist. Im Gegentum; er markiert den neun Mal Klugen siebengescheiten Besserwisser, der nach Bewunderung lechzt:
" Hey Alfons; was ist die Wurzel aus Minus 1 ? "
" Minus Mal Minus gibt Plus " , brüllt mein Unterbewusstsein grad eben noch. Ich stehe unter Schock. Diese Regel mauert mich ein; keine Chance für eine Wurzel ( - 1 )
Triumphierend verkündet Webbus
" Es handelt sich um die imag. Einheit ' i ' "
Claro, dass das nicht auf seinem Mist gewachsen ist. Wie hätte er denn wissen können, dass diese Zahl ausgerechnet imaginär heißt?
Doch was ich ihm zu Gute halte. Dann ein Jahr später, als ich also genau so alt war wie du, legte er seine Quelle offen. Alte Bücher sind oft viel besser als neue. Es handelt sich um den Titel " Im Zaubergarten der Mathematik " aus dem Jahre 39 von Alexander Niklischek:
alexander niklitschek im zaubergarten der mathematik
Das Buch ist im Stil einer romantischen Abenteuererzählung gehalten: ein Knobel_und Bastelbuch, das nachdenklich stimmen soll. Gleich Kap. 2 ist das von Webbus zitierte
" Eine Zahl, die nur in der Einbildung existiert. "
Das ist also ein erster Schnupperkurs in komplexen Zahlen, falls du sowas noch nie gesehen haben solltest.
Und wenn ich dir behilflich sein kann. Dass ich in Kl. 11 in Mathe als Senkrechtstarter den Sprung von der 3 auf die 1 schaffte, verdanke ich allein dem Niklitschek.
Nikli unternimmt es, ein Einführungskapitel zu schreiben über ===> Differenzialrechnung ( DR ) , eine Disziplin der ===> höheren Mathematik.
Bereits in deinem Alter habe ich als Mathe Dreier ( und Streber ) angefangen, DR zu lernen.
Es ist an dir zu entscheiden, ob du gleich mir total darauf abfährst, ob dir DR voll am Aasch vorbei geht bzw. ob du nur lernen willst, was der Lehrer " erlaubt " …
Was ich mir nicht abhandeln lasse:
Ein Schüler, der keine DR drauf hat, betrachtet Mathematik vergleichsweise mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt.
Es ist ein Paradigmenwechsel. Hast du dich mal gefragt, was der wesentliche Unterschied ist zwischen den ollen Griechen und der Neuzeit? Die DR. Ohne DR
1) keine Autos
2) keine Flugzeuge
3) keine Waschmaschinen
4) keine Fernseher
5) keine Mondlandung
Falls du dich entschließen solltest, was ich ja nicht wissen kann, auf eigene Faust weiter zu machen. Auch hier wieder gibt es ein richtiges zweibändiges Lehrbuch, eine Vorlesung aus den USA des Jahres 40. Auch hier gilt wieder: Alte Bücher sind besser als neue. Aktion Aladin
" Wer tauscht alte Lampen gegen neue? "
Ich meine den " Kuhrand " ( Richard Courant / David Hilbert )
Funktionen einer Veränderlichen: Amazon.de: Courant, Richard: Bücher
Es gibt auf jeden Fall noch einen Band 2
Worauf ich aber eigentlich hinweisen wollte; ein Gedanke, der einem Schüler von Kl. 9 doch eher fern liegen dürfte. Eine Zahlenmenge, auf der die vier Grundrechenarten unbeschränkt ausführbar sind, bezeichnet man als ===> Körper. Demnach sind |Q , |R und |C Körper, |Z jedoch nicht ( weil für ganze Zahlen die Division nur eingeschränkt ausführbar ist )
Nun hatten wir oben die Lösung deiner Hausaufgabe auf die Faktorisierung der QG ( 5d ) zurück geführt.
1) Entweder ( 5d ) faktorisiert auf |Z ( worauf wir ja keinen Einfluss haben )
Dann betrachten wir dies als Lösung, so wie ich dir das in ( 6ef ) vorgerechnet habe.
2) Oder es faktorisiert über |Q ( d.h. Bruchzahlen ) Dann wird man das Polynom wohl eher mit dem Hauptnenner multiplizieren.
3) ( 5d ) faktorisiert erst über |R ; typisches Beispiel:
x ² - 2 = ( x + sqr 2 ) ( x - sqr 2 ) ( 9 )
Das wäre ja auch mal sehr informativ; die Steigungswerte der beiden Asymptoten sind irrational. Aber solche Lösungen meint man eben nicht, wenn man von Faktorisieren spricht. Es ist ganz typisch die Frage, über welchem Körper faktorisiert ( 5d ) eigentlich? Und hier ist immer still schweigend |Q gemeint, ohne dass der Herr Lehrer es eigens dazu sagt; die Schüler " sollen es nicht mit kriegen und dürfen es noch nicht wissen " , hihi …
4) Denke an die Diskriminante der MF. Und? Wenn ( 5d ) erst über |C faktorisiert???
Hier was ist denn das, eine komplexe geradensteigung?
Dann liegt in ( 1ab ) eine Ellipse vor; ellipsen haben " imaginäre " bzw. komplexe Asymptoten
" Asymptoten, die nur in der Einbildung existieren " , hihi …
Wenn du einen Studenten fragst, wie du bei einer HQF den Fall Ellipse von einer Hyperbel auseinander kennst, wird er dir vermutlich etwas von ===> Eigenwerten erzählen, einem Konzept, das so weit jenseits deines Begriffsvermögens liegt, dass selbst ich es im ersten Semester noch als totalen Schocker empfand … Und daher war ich nicht wenig " übergerascht " ( um es mit meiner jap. Freundin zu sagen ) , als ich auf dem ( fosssilen ) Portal " Lycos " im Rahmen meiner Forschungen zu der Entdeckung kam, dass eine stink normale QG wie ( 5d ) die selben dienste tut …
Jetzt habe ich aber noch ein besonderes Anliegen. Mathemati8k ist längst nicht so unspannend, wie du vermeinst; wir wenden uns der Jahrtausendfälschung auf dem Gebiete der Algebra zu. Die Rede soll sein vom ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Auf dem ( fossilen ) Portal " Lycos " bekamst du für deine Antworten Punkte und Ränge ( " Vizeleonardo " , " Einstein Hoch 4 711 " ) Dann hätte aber theoretisch jeder die Aussicht gehabt, beliebig hoch zu klettern. Um dem einen Riegel vor zu schieben, deaktivierten die Administratoren nach dem Zufallsprinzip Zahl reiche Accounts ( ähnlich wie bei " Wer wird Millionär? " ( laut Wiki ihr einziger Daseinszweck) Z.B. " Ich hieß immer Zauberhexe; jetzt heiße ich Rumpelhexe. " ( Wemm dir also diese Ränge egal waren, konntest du beliebig weiter machen. ) Meine erste Deaktivierung; die 14_jährige Schülerin " Rosa_Linda " will Spaß. Ihre Frage, " Hilfe! Ich habe zwei Freunde; wer rettet mich? " Ich antworte mit der Schlusszeile aus Schillers Bürgschaft, " Ich sei, gewährt mir die Bitte, in eurem Bunde der dritte. " Rosa will aber nur Fez. Deshalb meldet sie " Missbrauch " ; angeblicher Grund meiner Sperrung: " Du hast eine Minderjährige zur Unzucht angereizt … " Dann kam eine Frage; " Dieses Treuegelöbnis, ' Bis zum Tod der Scheide ' . Heißt das wirklich, bis dass die olle abkratzt? " Nachdem ich in meiner Antwort erst mal des Längeren und Breiteren die Formulierung richtig gestellt habe, motzt mich ein Administrstor an, " Du sollst die Frage beantworten. Dir kommt es nicht zu, ihren Sinn in Frage zu stellen … " Als Lycos dann dicht gemacht wurde, kamen ernsthafte Anfragen, ob man sich jene Ränge in Bar auszahlen lassen könne …
Von dem SRN erfuhr ich auf besagtem Lycos im Jahre 2011. Ich muss sagen es traf mich wie ein Blitz aus heiterem Himmel, ein Paradigmenwechsel auf dem Gebiet der Algebra. Da war User " Ribek " ; ein hoch begabter Oberstufenschüler, der mir schon manchen nützlichen Hinweis gegeben hatte. Und Ribek erwähnte den Inhalt jenes Lemmas in einem Kommentar speziell zu einer meiner Antworten. Meine angelegentliche Rückfrage, ob er der Entdecker sei bzw. meine Bitte um einen Beweis ließ er jedoch beide bis zu Letzt unbeantwortet. Sagt dir der Kabarettist ===> Jürgen v. Manger alias Tegtmeier noch etwas? ( Online ) ( " Die Führerscheinprüfung " , " Wilhelm Tell " , " Der Schwiegermuttermörder " , " Der Henker " ) Frei nach Manger stelle ich fest, " Ich bin einen höflichen Menschen. " Und so kam es, dass ich die Aussage des SRN als " Ribektheorem " bezeichnete; irgend einen Namen musste das Dingsbums schließlich haben …
Ja die Lycosmoderation bestärkte mich gar noch in dieser Meinung. Da " dieses Theorem " auf der Plattform entdeckt worden sei, sei es " geistiges Eigentum des Forums und urheberrechtlich geschützt " ( An math. Lehrsätzen kannst du kein Urheberrecht erwerben. ) Mit diesem Vorwand wurden all jene Accounts platt gemacht, die man dabei erwischt hatte, dass sie den SRN in Fremdforen, auf Matheplattformen veröffentlicht und diskutiert hatten … Ein Student wusste gar ( durchaus glaubhaft ) zu berichten, " völlig fasungslos " sei der Übungsleiter seiner Algebragruppe gewesen, als er ihm während der Übungen den SRN vortrug … Hier kennste den? " Da staunt der Laie; und der Fachmann wundert sich … "
Zwei Wilhelm_Busch_Zitate, Plisch und Plum: " Aber hier wie überhaupt / Kommt es anders, als man glaubt. " Und aus Max und Moritz: " Alles konnte Böck ertragen / Ohne nur ein Wort zu sagen. Aber wenn er dies erfuhr / Ging ' s ihm wider die Natur. " Mit all dem konnte ich leben. Doch eines Tages bellt mich User " Ascon " an, ich sei ein Troll. Ein Ribektheorem gebe es gar nicht. Das in Rede stehende Lemma höre auf den Namen SRN ; und ich hätte bitte schön zu zitieren, dass Gauß der Entdecker sei. Dass dies nicht stimmt, kannst du ganz konkret selber nachprüfen. Von den Moderatoren des Forums " Mathelounge " ließ ich mir ausdrücklich bestätigen, dass die beiden Algebrapäpste v. d. Waerden ( 1930 ) so wie Emil Artin ( 50 ) keinen SRN kennen. Aktion Wolfram; frag deinen Lehrer. Der soll nachsehen; der kennt das. Und frag ihn, was er selber vom SRN und dessen Geschichte zu vermelden weiß. Vielleicht wieder eine Anekdote; als unser " Streusel " eine kubische Gleichung löste mit dem Ansatz " x = 1 durch Erraten; jawohl meine Herren; Raten ist eine legitime Strategie " , da lachte die ganze Klasse ihn aus. Hätte er sich ( 1968 ) auf den SRN berufen können, wäre es ihm ein Leichtes gewesen, die ( meist sehr übersichtliche ) Kandidatenliste anzuschreiben.
Eine Mitteilung speziell an deinen Lehrer. Ich bin praktisch so etwas wie Fachmann für gefälschte Rembrandts. Denn wie sagt schon Schiller? " Das ist der Fluch der bösen Tat, dass sie fort zeugend Böses muss gebären. " Das Unglück will es nämlich, dass ich in jener Woche des Jahres 2011 Ribek als Anregung nahm, drei Folgeentdeckungen zum Thema SRN zu formulieren, von denen weder Ribek noch Wiki noch sonst wer irgendetwas wissen. Nun stehen diese leider nicht im Zusammenhang mit deinen Asymptoten. Eine dieser Entdeckungen ist eine direkte Verallgemeinerung der SRN Aussage: " Die Hornerfolge jeder rationalen Nullstelle ist ganzzahlig. " Warum ist diese Aussage für meinen Fälschungsvorwurf so bedeutsam? Wäre der SRN tatsächlich ( zur Zeit von ) Gauß entdeckt worden, hätte längst jemand Bruchzahlen in ein Polynom eingesetzt. Ich kenne die Literatur jedoch hinreichend gut, um den Verdacht zu erhärten, dies sei nie geschehen ( kein Skript und kein Lehrbuch ) Der von mir entdeckte Hornersatz jedoch lässt den bloßen Verdacht zur Gewissheit werden. Denn wer immer Bruchzahlen in Polynome einfüttert, wird gerade zu empirisch bzw. heuristisch auf diese Hypothese geführt ( lange vor einem Beweis. ) Trotzdem bin ich natürlich immer noch ein ganz toller Hecht. Denn wenn man das wahrscheinliche Entdeckungsjahr des SRN mit 1990 ( eher später ) veranschlagt, war ich nach immer hin 21 Jahren der erste, der aus diesem Theorem quasi in Windeseile elementarste Konsequenzen gezogen hat ( Und man soll sein Licht nicht unter den Scheffel stellen. )
Man soll sich ja nichts vormachen. Bei der Formulierung ihrer Lehrsätze gehen Mathematiker analog vor wie Juristen, die Strafgesetze aufstellen. Beide stopfen nur, langfristig gesehen, ihre Lücken … Im Jahre 1920 hatten zwei 14_jährige Rowdys einen PKW gestohlen. Der Verteidiger schärfte ihnen ein, sie sollten sagen, sie seien Abenteuer lustig. Sie wollten lediglich mal eine Spritztour ausprobieren … Aha. Ein Gesetz " egen das unbefugte Führen eines KFZ " musste her. Genau so hier; hier ist doch nur eine Herde von Kopisten tätig, die einer vom anderen den SRN falsch abpinnen ohne Sinn und Verstand ( so fern sie diesen Lehrsatz überhaupt zur Kenntnis nehmen ) Der SRN hat doch überhaupt nur Sinn für primitive Polynome ( Warum ??? !!! ) Wiki lässt gar gebrochene Koeffizienten zu; ein professionell formulierter Beitrag würde beginnen " Gegeben sei das primitive Polynom f ( x ) " Vergleiche die Situation mit dem Zwillingsbruder des SRN , der übrigens jetzt auch für Schüler intressant wird. Ich meine den ===> eisensteintest, der authentisch aus dem Jahre 1880 stammt und dem zu Folge auch korrekt zitiert wird; gefordert: primitives Polynom. Die falsche Zitierweise bei dem SRN lässt eben auf ein noch sehr junges Datum schließen. Dieses falsche Zitat nun zwang mich meinerseits, eine Definitionslücke zu schließen im Lehrgebäude der Algebra:
Definition ( normiertes Polynom )
###################################
Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive mit seiner Normalform überein stimmt. Oder was dir vielleicht eher einleuchtet: wenn seine Normalform ganzzahlig ist.
#######################################################
Und? Wozu brauchen wir diese Definition? Aus meinem Munde hörst du erstmals jenes Korollar richtig:
" Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "
7. Wurzel 2 und kein Ende . Von den ollen Griechen wird ja berichtet, den Entdecker der Irrationalität von Wurzel 2 hätten sie als Poseidonopfer im Meer ersäuft, um diesen Gott gnädig zu stimmen … Hattet ih den Beweis schon in der Schule?
Googele mal nach " Wurzel 2 , Wurzel 3 , Wurzel 5 , Wurzel 7 irrational. " Da wirst du einen ( sogar US ) Prof finden, der dir mittels abenteuerlichster geistiger Verrenkungen den sog. " kanonischen " , d.h. offiziellen Beweis vor rechnet. Kanonisch heißt, bis Heute haben sie nichts Einleuchtenderes, Schnelleres gefunden. Binnen weniger Wochen hast du diesen Beweis wieder vergessen; zum linken Ohr rein, zum rechten raus …
Halt Stop. Und jetzt führe den Beweis nochmal über den SRN . Das Polynom ( x ² - 2 = 0 ) ist normiert …
Der Augenblick der Erleuchtung; im jap. ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori; diesen Beweis wirst du dein Leben lang nicht mehr vergessen … ( Aber der SRN stammt ja von Gauß, hihi … )
Wir kannten seiner Zeit ja noch die Frage:
" Ist es denkbar, dass auch heute wieder etwas entdeckt wird so einfach wie Pi und für Schüler so wichtig wie Pi? " Ja siehste doch; der SRN …
Und jetzt hätte ich eine große Bitte: Lege diese 7_Punkte_Denkschrift deinem Lehrer vor.
Noch einmal zurück zu der QG oben ( 2d;5d ) Den ( Damen und ) Herren Pädagogen ist sehr wohl bewusst, dass die MF kontra_intuitiv ist; die Schüler schätzen sie gar nicht. Ferner ist den Lehrern bewusst, dass Schüler nichts lieber tun als Raten und Knobeln. Es hat daher nicht an Versuchen gefehlt, QG durch Ratestrategien zu knacken über " Vieta das geschmähte Stiefkind " All diese Ansätze waren jedoch zum Scheitern verurteilt, weil den Autoren der SRN völllig unbekannt war.
Wenn du einmal davon ausgehst, dass p und q in ( 2d ) ganze Zahlen sind, wird spontan klar, dass ( 5d ) normiert ist. Beginnen wir mit Vieta q
q = m1 m2 = ( - 3 ) ( 10a )
In ( 10a ) hast du bitte verstanden: Es handelt sich darum, die 3 zu zerlegen in zwei ganzzahlige Faktoren ( SRN ! ) Nun; da gibt es nicht viel Auswahl; schließlich ist 3 prim.
| m1 | = 1 ; | m2 | = 3 ( 10b )
Nun müssen wir nur noch das Vorzeichen richtig drehen. Hinreichende Bedingung ist stets Vieta p
p = m1 + m2 = 2 ( 10c )
Und zwar muss wegen p > 0 der betragsgrößere, also m2, positiv sein:
m1 = ( - 1 ) ; m2 = 3 ( 10d )
Und? Was würde passieren, wenn | p | nicht 2 wäre? Dann weißt du bereits, dass die Mitternachtswurzeln irrational sein müssen. Das ist es, was ich mit Paradigmenwechsel meine; du hast auf einmal einen übergeordneten Überblick über QG .
Jetzt habe ich aber noch eine weitere Ergänzung. In ( 3 ) hatten wir gesagt, die Asymptoten einer Hyperbel kriege wir, indem wir setzen C = 0 . Wie kann man das beweisen?
Zunächst ohne Beweis. Die beiden Asymptoten schneiden sich im Symmetriepunkt =: P0 der Hyperbel. Die ( beiden Äste ) einer Hyperbel verlaufen nämlich Punkt symmetrisch gegen P0. Wenn du den linken Ast Punkt spiegelst an P0, kommt genau der rechte Ast raus. Und wenn du P0 in den Koordinatenursprung schiebst, wird jede Hyperbel dargestellt durch eine HQF .
a11 x1 ² + a12 x1 y1 + a22 y1 ² = C | : x1 ² ( 11a )
P1 = ( x1 | y1 ) soll jetzt mal ein fest gewählter Punkt auf der Hyperbel sein. Und jetzt ziehe ich eine Gerade von P0 nach P1 ; welche Steigung hat sie? Den Umformungschritt in ( 11a ) habe ich vermerkt
m := y1/x1 ( 11b )
a22 m ² + a12 m + a11 - C/x1 ² = 0 ( 11c )
x1 ist gegeben; und ( 11c ) ist eine QG zur Bestimmung von m . Wir erhalten zwei Lösungen für die beiden Hyperbeläste. so; und jetzt lass mal x1 gegen Unendlich gehen. Dann verschwindet doch der C_Term; das ist genau, was ich meine. Die Gerade, die die Hyperbel erst im Unendlichen schneidet, kriegst du, indem du setzt C = 0
a22 m ² + a12 m + a11 = 0 ( 11d )
Und jetzt noch abschließend. Wenn du ( 3 ) vergleichst mit ( 4b ) , dann fällt dir vielleicht dieser " Kreuzterm " p x y " auf. Was bewirkt er? vielleicht hast du ja auch an deinem 3 D Druckermodell bereits gemerkt, dass dein Hyperbelgebirge gegen das x - y - Achsenkreuz verdreht ist. Studenten würden diesen Drehwinkel ermitteln, indem sie die HQF " diagonalisieren " Ich kenne da wieder einen wesentlich leichteren Zugang.
gleich als Erstes musst du die ===> Winkelfunktionen ===> Sinus so wie ===> Tangens lernen. Doch das schaffst du; es kommt eh irgendwann dran. Alles was du bei mir wissen musst: Wenn m das Steigungsmaß einer Geraden ist und ß ihr Steigungswinkel, dann gilt der Zusammenhang
m = tg ( ß ) ( 12a )
Die allgemeine liegende Hyperbel hat die Gestalt
a22 y ² - a11 x ² = C ( 12b )
Zur Ermittlung der Asymptote setzt du wieder C = 0
( y sqr a22 + x sqr a11 ) ( y sqr a22 - x sqr a11 ) = 0 ( 12c )
wobei in ( 12c ) die 3. binomische ausgenutzt wurde. Du kiegst demnach immer eine steigende Asymptote mit Steigungsmaß
m = sqr a11 / sqr a22 ( 12d )
und eine fallende mit Steigung ( - m ) Der arithm. Mittelwert der beiden Steigungswinkel ist Null. Und im Falle deiner Aufgabe müssen wir jetzt nur noch die beiden Tangenswerte von ( 6a ) bestimmen.
m1 = ( - 1 ) entspricht der fallenden Winkel Halbierenden ß1 = ( - 45 ° C ) Aber wann ist Tangens gleich 3? Du hast ja den TR. Ich mach das jetzt noch mit Muttis Logarithmentafel. Doch ich entsinne mich an Fred Feuerstein, als wir die Logarithmen noch in sog. Logarithmenstelen eingravieren mussten …
Und dann hatte ich Mathelehrerin " Gumboldt " ( Ein Moderator von Mathelounge rügte, Mensch warum habt ihr der net den Spitznamen " Kobold " gegeben? ) Komisch; die konnt einfach keine Disziplin halten. Obgleich sie doch ein so ernstes Fach wie Mathe unterrichtete, war in ihren sämtlichen Klassen schon weit hin hörbar nur Allotria.
Die war aber okay; nicht so sektiererisch angehaucht wie der Thierbach. Natürlich mahnte auch sie, Wurzel ( a ² + b ² ) sei nun mal nicht das selbe wie ( a+ b ) aber ein Regelheft kannte sie nicht …
Ja und in einer Klausur hatte sie extra eine Aufgabe; da sollten wir aus einer Tabelle interpolieren. Mir war das alles damals ( noch ) zu schwer; ich sagte mir
" Wenn du dich damit abquälst, verlierst dunur Wert volle Zeit und kriegst eine 3 , vielleicht sogar eine 3 Minus. wenn du aber aus Faulheitsprinzip den Wert Original aus der Tab abschreibst, ohne zu interpolieren, dann wird die das gar net merken. Ich krieg einen Punkt Abzug; und das reicht dicke für eine 2 … " Und genau so kam es …
Und heut mach ich das sogar gerne:
tg 71 ° 30 ' = 2.989
tg 71 ° 40 ' = 3.018
x/10 = 11/29 ===> x = 110/29 = 4
ß = 71 ° 34 '
Und damit ist der arithm. Mittelw. = ( + 13 ° 17 ' )