Ist das grundlegendste Axiom der aristotelischen Logik, es gibt nur "wahr" und "nicht wahr" und kein Drittes, falsch? Ist die Aussage "Programm X terminiert" wahr oder falsch, wenn das Halteproblem des Programms unlösbar, also unbestimmbar ist?
Es gibt keine "wahren" und "falschen" Axiome. Es gibt nur welche, die zu Widersprüchen führen und solche, die es nicht tun. Führt ein Axiom zu Widersprüchen, kann man entweder damit leben oder muss das Axiom verwerfen.
Es gibt Programme, die terminieren. Es gibt auch solche, die das nicht tun, oder abhängig von einer (hier nicht erwähnten) Eingabe tun oder nicht tun. Das ist qualitativ etwas anderes als die Dinge, von denen Aristoteles gesprochen hat.
Aristoteles' Axiom vom ausgeschlossenen Dritten erzeugt keine Widersprüche, aber einen Mangel. Es ist z.B. nicht möglich, die Frage, ob "ein Programm" terminiert, algorithmisch zu beantworten. Möglicherweise kann ein Mensch beweisen, dass das Programm terminieren wird, aber das ist dann nicht die Fragestellung des Halteproblems.
Ich denke, der wichtigste Mangel dieses Axioms liegt darin, dass ein Beweis, der dieses Axiom verwendet, nur noch abstrakt gilt. Ohne dieses Axiom würde ein Beweis immer eine Konstruktion beinhalten. Das heißt, beweist man eine Aussage ohne dieses Axiom zu verwenden, erhält man viel mehr als bloß die Aussage des Beweissatzes. Nämlich ein Programm, das die Lösung berechnet
. Möglicherweise möchtest du im Umfeld von Gödels Unvollständigkeitssatz
suchen. Ein beliebtes Beispiel ist das "Parallelenaxiom" - das schließlich als überwiegend überflüssig erschien.