Wie kann man
e
x
=x+2
lösen?
Das ist eine typische transzendente Gleichung, die man mit Hilfe von Lambert-Funktion lösen kann. Zunächst ändern wir die Form der Gleichung derart, dass sie gleich zu
f(x)=x
e
x
ist und lösen wir sie mit
x=W(x
e
x
)
.
e
x
e
x
e
2
e
x+2
ln(
e
x+2
)
(x+2)ln(e)
ln((x+2)
e
2
)
ln((x+2)
e
2
)
1
(x+2)
ln((x+2)
e
2
)
e
ln(
1
(x+2)
)
ln((x+2)
e
2
)
e
−ln((x+2))
=x+2
=(x+2)
e
2
=(x+2)
e
2
=ln((x+2)
e
2
)
=ln((x+2)
e
2
)
=(x+2)
=1
=1
=1
Nun beide Seiten mit
e
−ln(
e
2
)
erweitern
ln((x+2)
e
2
)
e
−ln((x+2)
e
2
)
=
e
−2
Beide Seiten jetzt mit -1 erweitern
−ln((x+2)
e
2
)
e
−ln((x+2)
e
2
)
=−
e
−2
also
W(−ln((x+2)
e
2
)
e
−ln((x+2)
e
2
)
)=W(−
e
−2
)
W(−
e
−2
)=−ln((x+2)
e
2
)
Nun verwenden wir die allgemeine Gleichung für die Lambert-Funktion, nämlich
z
0
=W(
z
0
)
e
W(
z
0
)
und erhalten
−
e
−2
1
e
2
x+2
=W(−
e
−2
)⋅
1
(x+2)
e
2
=−W(−
e
−2
)⋅
1
(x+2)
e
2
=−W(−
e
−2
)
x=−W(−
e
−2
)−2
Somit sind die reellen Lösungen
x
1
x
2
=−1.84141
=1.14619