In einfachen Worten, warum ist Quaternion-Multiplikation nicht kommutativ?
Wolfgang Keller hat dazu gesagt, was mathematisch zu sagen ist - weil es so definiert ist, und weil es nicht anders möglich ist, den Zahlenraum über die komplexen Zahlen hinaus zu erweitern. Ich möchte auf mögliche Anwendungen hinweisen.
In gewissem Sinne beschreibt die Multiplikation mit einer komplexen Zahl eine Drehung und Streckung in der Ebene (was man sofort sieht, wenn man komplexe Zahlen in Polarkoordinatenform betrachtet; eine Multiplikation mit r·e^(i·φ) dreht einen Punkt in der kompexen Ebene um den Winkel φ und vergrößert den Abstand zum Nullpunkt um den Faktor r).
In ähnlicher Weise beschreiben Quaternionen Drehungen und Streckungen im Raum; ich kenne allerdings leider keine ebenso einfache Veranschaulichung, mit dem an das sofort sieht, aber es ist so.
Nun führen zwei hintereinander ausgeführte solche Drehstreckungen in der Ebene unabhängig von der Reihenfolge zum selben Ergebnis - die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist kommutativ. Aber im Raum sind Drehstreckugen nicht kommutativ. (wie jeder merkt, der den Rubik-Würfel mal in der Hand gehabt hat).