Kann ein einzelner Vektor jemals linear abhängig sein?
Ein kleines Missverständnis. Nicht mal die seriösen Textbücher beugen dem vor. Linear (un)abhängig sind niemals ( einzelne oder auch noch so viele ) Vektoren; das ist nur eine schlampige Sprache. Sondern stets eine Familie von Vektoren, hier angedeutet durch spitze Klammern < > . So ist z.B. die Familie
< u ; u > ( 1a )
linear abh. Denn z.B.
1 * u + ( - 1 ) * u = 0 ( 1b )
Halt Stop. Ist etwa eine Familie das Selbe wie eine Menge? Nein. Denn in einer Menge darf jedes Element nur einmal genammt werden. Wie viel Elemente würde denn ( 1a ) besitzen, wenn es eine Menge wäre? Nur eines.
Wenn du wirklich wissen willst, was hier passiert, musst du dich mal im Internet schlau machen über ===> Ordinalzahlen ( OZ ) Hier kommt so oft die Frage; was ist eigentlich " Null " ?
0 := { } = leere Menge ( 2a )
1 := { 0 } ( 2b )
2 := { 0 ; 1 } ( 2c )
Diese OZ sind ineinander geschachtelt wie russ. Puppen.
Jede OZ enthält ihre Elemente gleichzeitig als Teilmengen.
Die Elemente einer OZ sind ihre sämtlichen Vorgänger.
Jede OZ gibt gleichzeitig an, wie viel Elemente sie enthält.
Jede OZ ist ===> wohl geordnet; d.h. jede Teilmenge einer OZ besitzt ein ( eindeutiges ) kleinstes Element. Und im Sinne der Wohlordnung stellen OZ eine Verallg. der Menge |N der nat. Zahlen dar.
Im Falle ( 1a ) könntest du etwa die Zwei als OZ her nehmen. Sei V ein Vektorraum
f : 2 ===> V ( 3a )
0 ===> v0 ( 3b )
1 ===> v1 ( 3c )
Und hier nun habe ich die Mathematiker mit ihrer super genau spitzfindigen Sprache übergelistet. Linear (un)abh. sind niemals noch so viele Vektoren; so weit waren unsere Assistenten auch immer d ' accord.
Wir erinnern uns. Eine Funktion f ist eine rechtseind. Relation.
Lin. (un)abh. ist nämlich in ( 3a-c ) die Funktion f.
Gell da staunste. Im Falle eines einzelnen Vektors v0 ist die Sache natürlich besonders einfach. Es soll also lineare Abh. gelten
a0 v0 = 0 | : a0 ( 4 )
Division durch a0 ist ohne Weiteres gestattet, weil ja wegen der lin. Abh. voraus gesetzt war a0 > 0 . Dann folgt aber v0 = 0 .
Erst mal so viel, bis dass du den Schock verarbeitet hast. Wie sagte doch unser Assistent im ersten Semester in seinem unnachahmlichen Slang von die Ebbelwoikneipe aus die Sachsehäuser Klappergass?
Mit die Erstsemester kannse noch nix anfang. Die könne noch nettemaa denke; denke in ' em ganz allteeglischen Sinne. Dene ihr Zeusch kannse voll in die Feif rauche. Unn des Schlimmste; die maane esch ( echt ) ' s weeer wüükisch ( wirklich ) so, wiese saache.
Nachher im siebte Semester kannse schon emaa Pippifax mache; da werd des net missverstanne …