Die Summe zweier positiver Zahlen ist 151. Die kleinere Zahl ist 19 mehr als die Quadratwurzel der größeren Zahl. Was ist der Wert der größeren Zahl minus der geringeren Zahl?
I x + y = 151
II y - 19 = x^0,5 (x^0,5 = Wurzel aus x) |^2
II (y - 19)^2 = x
2. Binomische Formel
II y^2 - 38y + 361 = x
I x + y = 151| - y
I x = 151 - y
I = II
151 - y = y^2 - 38y + 361| - 151 + y
0 = y^2 - 37y + 210
pq-Formel
y1/2 = 18,5 +/- Wurzel aus 18,5^2 - 210
y1/2 = 18,5 +/- Wurzel aus 342,25 - 210
y1/2 = 18,5 +/- Wurzel aus 132,25
y1/2 = 18,5 +/- 11,5
y1 = 18,5 + 11,5 = 30
y2 = 18,5 - 11,5 = 7
Einsetzen von y in I
x1 + 30 = 151| - 30
x1 = 121
x2 + 7 = 151| - 7
x2 = 144
Erstes Zahlenpaar (121/30)
Zweites Zahlenpaar (144/7)
Das zweite Zahlenpaar (144/7) kommt aber als Lösung der obigen Aufgabe nicht in Frage, wenn dies auf die negative Wurzel aus 144 abzielt (die Wurzeln aus 144 sind nämlich sowohl +12 als auch -12, also in diesem Falle auf -12). Die Zahl -12 ist aber nicht positiv, so dass wir also nur +12 als Lösung für diese Aufgabe gelten lassen könnten. Die Zahl +12 ist aber nicht um 19 größer als die Zahl +7, sondern nur als die Zahl -7, so dass wir das zweite Zahlenpaar also insgesamt als Lösung dieser Aufgabe ausschließen müssen. Beim ersten Zahlenpaar (121/30) müssen wir auch eine Lösung ausschließen, nämlich die negative Wurzel von 121, also -11, da sie erstens keine positive Zahl ist (wie in der Aufgabe gefordert) und zweitens nicht um 19 kleiner als die zweite Zahl 30 ist, sondern um 41 kleiner. Wir können als einzige Lösung dieser Aufgabe also nur die positive Wurzel aus 121, also die Zahl +11 gelten lassen, die zum einen positiv und zum anderen um 19 kleiner ist als die Zahl 30, was im Umkehrschluss nichts anderes bedeutet, als dass die kleinere Zahl 30 um 19 größer ist als die (positive) Wurzel der größeren Zahl 121, also die Zahl 11, denn 30 - 19 = 11.