Nachdem Du ein Buch aufgeschlagen hast, stellst Du fest, dass das Produkt der beiden Seitenzahlen auf den gegenüberliegenden Seiten 650 beträgt. Wie lauten die beiden Seitenzahlen?
Die Seitenzahlen; sie mögen x und y heißen.
y < x ( 1a )
x - y = 1 ( 1b )
x y = 650 ( 1c )
Nein; Mahmuds traditionalistisches Einsetzverfahren ist völlig ungenügend. Ich gebe mich jetzt meiner Lieblingsbeschäftigung hin, den Rückwärtsgang einzulegen, hihi … Ex cathedra verkünde ich nämlich den Ansatz, die Lösungen des Problems sind Wurzeln der quadr. Gl. ( QG )
z ² - p z + q = 0 ( 2a )
Ja und was ist jetzt p und q ? Ja viel schlimmer noch; nehmt bitte zur Kenntnis, dass ich bisher noch nicht mal über den Sinn bzw. die physikalische Bedeutung der beiden Unbekannten z1;2 verfügt habe. Ich würd mal sagen; eine QG ist schon eindeutig bestimmt, wenn wir eine Ahnung haben, was die beiden Unbekannten sind. Ich setze also aus heiterem Himmel
z1 := - y ; z2 := x ( 2b )
Abermals Aktion Rückwärtsgang. Zum Einsatz kommt " Vieta das geschmähte Stiefkind " , wie ich das immer so gerne formuliere. Mit ( 1b;2ab ) folgt nämlich Vieta p
p = z1 + z2 = x - y = 1 ( 2c )
z ² - z + q = 0 ( 2d )
und entsprechend mit ( 1c;2ab ) Vieta q
q = z1 z2 = - x y = - 650 ( 2e )
z ² - z - 650 = 0 ( 2f )
Jetzt hat aber Mahmuds auch nix anderes als ( 2f ) Die neg. Wurzel erklärt er für Sinn los, weil es " keine neg. Seitenzahlen gebe " Entsprechend ( 2b ) interpretiere ich die beiden Lösungen als die gesuchten Seitenzahlen x und y . Demnach ist meine Auffassung richtig und Mahmuds Auffassung falsch; hihi …
Vielleicht noch eine Bemerkung zu ( 2f ) Hier mit der ( traditionellen und obendrein noch kontra_intuitiven ) Mitternachtsformel ( MF ) aufzuwarten, wäre wirklich mit Kanonen nach Spatzen geschossen. Ich freu mich ja, dass sich hier im Netz der ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) herum spricht. Im Falle ( 2f ) trifft er die ( vernünftig scheinende ) Aussage, dass wenn die Seitenzahlen überhaupt rational heraus kommen, sie auch ganzzahlig sein müssen.
Ganz in diesem Sinne böte es sich doch an, wörtlich zu tun, was gefordert ist: Sämtliche Zerlegungen der 650 anzugeben.
650 = 2 * 5 ² * 13 ( 3a )
Welche Kombinationen gibt es? Manchmal muss man auch bissele findig sein. Auch in der Algebra musst du etwas " sehen " Da x und y genau 1 auseinander liegen, müssen sie Teiler fremd sein. Gleich in jener Woche des Jahres 2011 , als ich erstmals vom SRN erfuhr, " made I me on se way " , wie der Runaway sagt; und ich entwickelte eine vollkommen neuartige Thjeorie ( von der Gauß noch nie gehört hat ) wie du den ggt einer QG nicht nur erkennst, sondern auch durch den selben kürzest. Doch hier darf ich nicht genital glänzen, weil deine Aufgabe einfach zu trivial daher kommt, schluchz …
Teiler fremd heißt in ( 3a ) : Das Fünferpäckchen darfst du niemals aufschnüren. Der Faktor 5 ² = 25 muss als " Quasiprimzahl " immer zusammen entweder dem linken oder dem rechten Faktor zugeschlagen werden. Also
650 = 2 * 13 * 25 ( 3b )
Zunächst haben wir natürlich die triviale Möglichkeit:
650 = 1 * 650 ( 3c )
Seite 1 ^ Seite 650 ===> Differenz = 649 ( 3d )
Rein kombinatorisch ergeben sich bei drei Primfaktoren in ( 3b ) drei Kombinationen, wobei jeweils ein Primfaktor absepariert wird.
Zerlegung mit 2
650 = 2 * 325 ( 4a )
Seite 2 ^ Seite 325 ===> Differenz = 323 ( 4b )
Zerlegung mit 13
650 = 13 * 50 ( 4c )
Seite 13 ^ Seite 50 ===> Differenz = 37 ( 4d )
Wenn wir jetzt abschließend die 25 betrachten, würde ich nicht großartig 650 : 25 rechnen - wie tricky auch immer. Sondern du gehst direkt von der Faktorisierung ( 3b ) aus:
y = 25 ; x = 2 * 13 = 26 ( 4e )
Seite 25 ^ Seite 26 ===> Differenz = 1 ; Heureka ( 4f )