Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagnolen eines Würfels?
Es ist der Winkel der Diagonalen eines DIN A4-Blattes:
Die Ebene von zwei Raumdiagonalen teilt den Würfel entlang der Quadrat-Diagonalen zweier gegenüberliegender Seiten. Die sind wurzel(2) mal so lang wie die Würfelkanten.
Die Verbindungskanten der gegenüberliegenden Quadrat-Ecken sind Würfelkanten.
Insgesamt sind die Raumdiagonalen also Rechteck-Diagonalen von Rechtecken mit Seitenverhältnissen 1 zu wurzel(2)
Somit ist dieser Winkel (wir nehmen den, der kleiner als ein rechter ist, beide ergänzen sich zu einem gestreckten von 180°) doppelt so groß wie der zwischen der DIN-Blatt Diagonale und längerer Seite,
alpha ist das Doppelte des arcus tangens von der Hälfte von wurzel(2)
Der Windowsrechner liefert 74,528779365509308630754000660038‬°
Zur Plausibilisierung: Wenn man über der unten liegenden kürzeren Seite eines DIN A4 Blattes ein gleichseitiges Dreieck konstruiert (so mit Zirkel, beide Male die Seitenlänge als Radius genommen), dann liegt der Diagonalenschnittpunkt innerhalb des gleichseitigen Dreiecks. Der Winkel muss also größer sein als 60°.
Nachtrag:
Nimm zwei DIN A4 Blätter, schneide sie von der Mitte der längeren Seite bis zum Blattmittelpunkt ein. Dann stecke die beiden Blätter ineinander. So im 90° Winkel. Die Ecken bilden dann einen Würfel mit der Kantenlänge der kürzeren Blattseite. Falls Du den Mittelpunkt per Diagonalenschnittpunkt konstruiert hast, dann hast du sie jetzt als Raumdiagonale.
Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagnolen eines Würfels?