How can mathematical platonism explain the undecibility of the continuum hypothesis?
Eine platonische Sichtweise geht davon aus, dass es in Bezug auf die CH ein Faktum gibt, da die natürlichen Zahlen und die Realen (oder die Teilmengen der natürlichen Zahlen) eine eindeutige Identität haben, die unabhängig von unserer Untersuchung dieser Zahlen ist.
Die Unentscheidbarkeit der CH stellt für diese Weltanschauung kein besonderes Problem dar. Sie besagt lediglich, dass die ZFC oder eine der anderen gängigen logischen Theorien einfach unzureichend ist, und wir bessere Axiome finden müssen. Jede konsistente, rekursive, hinreichend reichhaltige logische Theorie erster Ordnung muss verschiedene Sätze unentscheidbar lassen, und CH ist zufällig ein solcher Satz in der ZFC.
Unentscheidbarkeit ist kein absoluter Begriff. Kein Satz ist in jeder Theorie unentscheidbar. Für einen Platoniker besteht die Herausforderung für uns darin, einen guten, überzeugenden Kandidaten für einen reicheren Satz von Axiomen zu finden, der CH entscheiden würde. Wenn alles andere fehlschlägt, könnten wir einfach CH selbst (oder seine Negation) als Axiom hinzufügen, aber dazu müssen wir uns eine Meinung über seine tatsächliche Wahrheit bilden.
Gödel beispielsweise vertrat eine platonische Weltanschauung, und er hielt CH für falsch. Ein Teil seiner Forschung war von dem Wunsch geleitet, Beweise für diese Sichtweise zu finden und den Kardinal des Kontinuums zu bestimmen. Cohens Beweis für die Unentscheidbarkeit von CH innerhalb der ZFC hat seine platonische Perspektive nicht beeinträchtigt, und es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass dies der Fall sein sollte.