Weshalb muss das n bei der vollständigen Induktion "beliebig, aber fest" sein? Was genau ist mit den beiden Begriffen gemeint?
Beliebig und fest bedeutet, dass irgendein Element einer Menge gewählt wird, sich das für den betrachteten Fall aber nicht ändert (aber für den nächsten Fall variiert werden kann).
Hier mal ein Beispiel ohne Induktion:
y=a⋅
x
2
.
Wenn man jetzt a beliebig und fest setzt, hat man eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist, deren Öffnung von dem gewählten Parameter a abhängt.
Setzt man stattdessen x beliebig und fest, so hat man eine lineare Funktion, deren deren Graph eine Gerade durch den Ursprung ist, wobei die Steigung vom gewählten Parameter x abhängt.
Bei der vollständigen Induktion möchte man ja nun gerade zeigen, dass, wenn die Aussage für ein n gilt, dann auch für ihren Nachfolger. Die konkrete Wahl von n in einem Schritt ist dabei unerheblich (deshalb beliebig), wird aber in diesem Schritt als konstant angesehen (deshalb fest).