Warum sollte die Lagrange-Gleichung den Prinzip der kleinsten Wirkung erfüllen? S = ∫L (q, q', t) dt
Die Lagrange-Gleichungen werden verwendet, um die Bewegungsgleichungen eines Festkörpermechanikproblems, einschließlich der Dämpfung, in Matrixform abzuleiten. Sie schreiben das Wirkungsfunktional auf, verlangen, dass es ein Minimum (oder Maximum) ist, und erhalten die Euler-Lagrange-Gleichungen. Großartig! Nun wollen Sie aber, dass diese Euler-Lagrange-Gleichungen nicht nur aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung ableitbar sind, sondern dass sie dem Prinzip der kleinsten Wirkung gleichwertig sind. Nachdem Sie eine Weile darüber nachgedacht haben, stellen Sie fest, dass dies bedeutet, dass das Prinzip der kleinsten Wirkung in Wirklichkeit gar nicht das Prinzip der kleinsten Wirkung ist: Es ist das "Prinzip der stationären Wirkung". Vielleicht liegt es nur an mir, aber so großzügig ich auch sein mag, ich werde Ihnen nicht zugestehen, dass es "natürlich" ist, anzunehmen, dass die Natur dazu neigt, den Weg zu wählen, der der stationäre Punkt der Handlungsfunktion ist. Ganz zu schweigen davon, dass es nicht einmal offensichtlich ist, dass es einen solchen Weg gibt, oder wenn es einen gibt, dass er einzigartig ist.
Aber die Probleme hören damit nicht auf. Selbst wenn man das "Prinzip der stationären Wirkung" als grundlegend und allgemeingültig anerkennt, stellt man fest, dass nicht alle Bewegungsgleichungen, die man gerne hätte, daraus ableitbar sind, wenn man sich auf einen Lagrangian der Form T-V
. Soweit ich das beurteilen kann, muss man von hier aus so lange herumspielen, bis man eine Lagrange erhält, die die gewünschten Bewegungsgleichungen liefert.
Aus meiner (vielleicht naiven) Sicht hat die Formulierung der klassischen Mechanik auf diese Weise nichts besonders Natürliches an sich (obwohl ich zugeben muss, dass sie recht nützlich ist). Natürlich wäre das keine so große Sache, wenn diese klassischen Ideen in der klassischen Physik bleiben würden, aber diese Ideen sind absolut grundlegend dafür, wie wir über so moderne Dinge wie die Quantenfeldtheorie denken. Gelegentlich gibt es PDE höherer Ordnung von physikalischem Interesse, die als Euler-Lagrange-Gleichungen von Lagrangeschen mit mehr als einer Ableitung auftreten.
Berechnet man die Variation δS/δx(t)=E(t)
so stellt man fest, dass E(t)=E(x(t),x˙(t),x¨(t),t)
ein lokaler/differentieller Ausdruck ist (der Wert von E(t)
hängt nicht von x(t′) ab
oder seinen Ableitungen zu anderen Zeiten t′≠t
). Dies ist nicht mehr der Fall, wenn Sie exp(S)
anstelle von S
. Es ist unbestritten, dass S
und exp(S)
die gleichen kritischen Punkte haben (Anmerkung: Variationen erster Ordnung können nicht zwischen kritischen Punkten verschiedener Art wie Maxima, Minima oder Sattelpunkten unterscheiden). Aber wenn Sie δS/δx(t)
lokal sein soll (was manche Leute tun), dann müssen Sie sich mit lokalen Aktionsfunktionalen begnügen.