Warum ist bei Licht der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel? Warum ist er nicht doppelt oder halb so groß?
Es gibt zwei Möglichkeiten sich dies klar zu machen. Die eine Möglichkeit bestände darin, sich Licht als Überlagerung von Elementarwellen vorzustellen (→Huygenssches Prinzip
), welche über Superposition
zu Interferenzen
führen. Nach der Reflexion am Medium würde sich durch konstruktive Interferenz eine neue Wellenfront bilden, welche sich senkrecht zu sich selbst ausbreitet.
(Quelle: Huygenssches Prinzip – Wikipedia
)
Führt man die Berechnungen durch, so stellt man fest, dass sich nur entlang der Richtung eine konstruktive Interferenz einstellt, welche vom Winkel her auch dem Einfallswinkel entspricht.
Die andere Möglichkeit würde auf den Teilchencharakter des Lichts (→Photonen
) eingehen und damit indirekt dem Fermatschen Prinzip
(Licht verläuft immer entlang des Weges mit der extremalsten optischen Weglänge
) folgen.
Die optische Weglänge unterscheidet sich von der normalen Weglänge dadurch, dass sie mit dem Brechungsindex des gegenwärtigen Mediums multipliziert wird. Dies wird notwendig, wenn man den Verlauf von Lichtstrahlen durch verschiedene Medien, wie z. B. Lichtbrechung in einem ein Prisma, verfolgen will. Verfolgt man Lichtstrahlen nur in einem Medium, wie bei der Reflexion, so entspricht die optische Weglänge einfach der normalen Weglänge.
Dies führt unter anderem dazu, dass Licht bei einer Reflexion immer den kürzesten Weg nimmt, also den mit der kürzesten Laufzeit (der Weg, bei dem der Ausfallswinkel mit dem Einfallswinkel übereinstimmt, entspricht einem solchen).
Was ist nun aber die Grundlage des Fermatschen Prinzips und warum sollten Photonen den kürzesten Weg nehmen bzw. ihn überhaupt kennen? Es gibt in der Physik ein sehr viel allgemeineres Prinzip, nämlich das Hamiltonsche Prinzip
(auch Prinzip der extremalen oder stationären Wirkung genannt). Das Fermatsche Prinzip lässt sich nun in Form des Hamiltonschen Prinzips ausdrücken[1] , sodass der kürzeste Weg auch einer minimalen Wirkung
entspricht. Dieser Weg lässt sich über Variationsrechnung
bestimmen oder man könnte sich auch einfach zwei Punkte vorstellen und diese über Reflexion an einem Punkt in der Reflexionsebene mit Geraden miteinander verbinden. Du wirst feststellen, dass der Gesamtweg genau dann minimal wird, wenn Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel ist.
Warum aber folgt die Natur einer extremalen Wirkung? Um das zu verstehen, muss man etwas tiefer in die Quantenphysik und die Pfadintegralmethode
einsteigen. Um quantenmechanisch den Weg eines Teilchens von Punkt A nach B zu bestimmen, betrachtet man in der Feynmanschen Pfadintegralmethode ALLE möglichen Bahnen EINES Teilchens von A nach B. Jedes (mögliche) Photon trägt nun auch eine Phase, mit der es schwingt und welche zu Interferenz mit sich selbst fähig ist (man kann sich die Phase als eine Art innere Uhr vorstellen).
Es ist nun so, dass benachbarte Bahnen in der Nähe eines extremalen Weges zu konstruktiver Interferenz neigen, da sie über ähnliche Phasen verfügen, während andere Wege sich gegenseitig weginterferieren und so nur noch die extremalen übrig bleiben.
Beispiel: In der Parabel
f(x)=
x
2
wäre z. B. der Scheitelpunkt bei
x=0
ein Extremum. Die (lokalen) Punkte links und rechts davon wären symmetrisch, während an allen anderen Stellen diese verschieden wären. Nur gleiche Werte würden konstruktiv wirken.
Wege mit extremaler Wirkung führen zu konstruktiver Interferenz der benachbarten Bahnen (→Feynmansche Prinzip). Die extremale Bahnen entsprechen über die Relation zwischen Hamiltonschen und Fermatschen Prinzip dem kürzesten Weg (der längste Weg wäre auch eine extremale Lösung) und über einfache Geometrie lässt sich feststellen, dass der Weg bei einer Reflexion eben minimal wird, wenn Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel ist.
Fußnoten
[1] https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1467/1/012038