Warum ist die Maclaurin-Reihe ungenau für Funktionen wie In(1+x), aber extrem genau für Funktionen wie sin(x)?
Die Maclaurin-Reihe ist eine Taylorreihe, die um x=0 entwickelt wird.
Die Maclaurin-Reihe für ln(1+x) ist nur für |x|<1 absolut konvergent,
divergiert aber für |x|>1.
D.h. für |x|<1 liefert sie genau Werte, auch mit nur endlich vielen Gliedern.
Für |x|>1 mögen die ersten paar Glieder einen endlichen Wert ergeben, aber der ist bedeutungslos und geht gegen unendlich, wenn man mehr Glieder hinzu nimmt.
Taylorreihe der Logarithmusfunktion
Taylorreihe der Logarithmusfunktion Satz 16K6 Gegeben sei die Logarithmusfunktion f ( x ) = ln ⁡ ( 1 + x ) f(x)=\ln(1+x) f ( x ) = ln ( 1 + x ) mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 . Es gilt ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k x k + R n ( x ) \ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+R_n(x) ln ( 1 + x ) = k = 1 ∑ n k ( − 1 ) k − 1 x k + R n ( x ) (1) wobei R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 x n + 1 n + 1 R_n(x)=(-1)^n\Theta_1\dfrac{x^{n+1}}{n+1} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 1 n + 1 x n + 1 , 0 < Θ 1 < 1 0<\Theta_1<1 0 < Θ 1 < 1 , 0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq 1 0 ≤ x ≤ 1 R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 x n + 1 1 + x R_n(x)=(-1)^n\Theta_2\dfrac{x^{n+1}}{1+x} R n ( x ) = ( − 1 ) n Θ 2 1 + x x n + 1 0 < Θ 2 < 1 0<\Theta_2<1 0 < Θ 2 < 1 , − 1 < x < 0 -1<x<0 − 1 < x < 0 ( Θ 1 , Θ 2 \Theta_1, \Theta_2 Θ 1 , Θ 2 hängen von n n n und x x x ab.) Die Taylorreihe ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k x k \ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k ln ( 1 + x ) = k = 1 ∑ ∞ k ( − 1 ) k − 1 x k − 1 < x ≤ 1 -1<x\leq 1 − 1 < x ≤ 1 ist für − 1 < x < 1 -1<x<1 − 1 < x < 1 absolut konvergent und für ∣ x ∣ > 1 |x|>1 ∣ x ∣ > 1 divergent . Beweis f ( x ) = ln ⁡ ( 1 + x ) f(x)=\ln(1+x) f ( x ) = ln ( 1 + x ) ; f ′ ( x ) = 1 1 + x f\, '(x)=\dfrac{1}{1+x} f ′ ( x ) = 1 + x 1 ; f ′ ′ ( x ) = − 1 ( 1 + x ) 2 f\, ''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2} f ′ ′ ( x ) = − ( 1 + x ) 2 1 ; f ′ ′ ′ ( x ) = 2 ( 1 + x ) 3 f'''(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3} f ′ ′ ′ ( x ) = ( 1 + x ) 3 2 ; Allgemein: f ( n ) ( x ) = ( n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 1 ( 1 + x ) n f^{(n)}(x)=(n-1)!(-1)^{n-1}\dfrac{1}{(1+x)^n} f ( n ) ( x ) = ( n − 1 ) ! ( − 1 ) n − 1 ( 1 + x ) n 1 Einsetzen in Taylorformel : ln ⁡ ( 1 + x ) = f ( x ) \ln(1+x)= f(x) ln ( 1 + x ) = f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! + R n =\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}+R_n = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( 0 ) + R n = ∑ k = 1 n ( k − 1 ) ! ( − 1 ) k − 1 1 k ! x k + R n ( x ) = \sum\limits_{k=1}^n (k-1)!(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k!}x^k+R_n(x) = k = 1 ∑ n ( k − 1 ) ! ( − 1 ) k − 1 k ! 1 x k + R n ( x ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 x k k + R n ( x ) = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k}+R_n(x) = k = 1 ∑ n ( − 1 ) k − 1 k x k + R n ( x ) Untersuchung der Restglieder: 1. Fall 0 ≤ x ≤ 1 0\leq x\leq 1 0 ≤ x ≤ 1 : Restglied von Lagrange : R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( Θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\Theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} R n ( x ) = ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( Θ x ) x n + 1 = ( − 1 ) n 1 ( 1 + Θ x ) n + 1 x n + 1 n + 1 =(-1)^n {\dfrac{1}{(1+\Theta x)^{n+1}}}\, \dfrac{x^{n+1}}{n+1} = ( − 1 ) n ( 1 + Θ x ) n + 1 1 n + 1 x n + 1 mit 0 < Θ ≤ 1 0<\Theta\leq 1 0 < Θ ≤ 1 . Wir setzen Θ 1 : = 1 ( 1 + Θ x ) n + 1 \Theta_1:=\dfrac{1}{(1+\Theta x)^{n+1}} Θ 1 : = ( 1 + Θ x ) n + 1 1 und es gilt 0 < Θ 1 < 1 0<\Theta_1<1 0 < Θ 1 < 1 , denn 1 + Θ x ≥ 1 1+\Theta x\geq 1 1 + Θ x ≥ 1 . Daher folgt, 1 1 + Θ x ≤ 1 \dfrac{1}{1+\Theta x}\leq 1 1 + Θ x 1 ≤ 1 . Somit ist R n (
https://mathepedia.de/Logarithmusfunktion.html
Bei sin(x) gibt es solche Probleme nicht. Dessen Maclaurin-Reihe konvergiert für alle x.