Ist die Idee der absoluten Unendlichkeit in der Mathematik bewiesen?
Die Idee ist das Auswahlprinzip. Aus einer endlichen Menge kann ich jedes Element mittels einer Strategie auswählen. Ich kann geeignete Menge stets um eine weiteres Element erweitern. Auf dem Auswahlprinzip beruht das Verfahren, welches im Deutschen als Induktion bekannt ist und für die Berechnung algebraischer oder analytischer Grenzwerte verwendet wird. Methodisch besteht der Schrittzyklus zu erkennen eine Aussage ist wahr für einen festen endlichen Index. Dann erweitert die Logik auf weitere Indizes für die die Aussage wahr ist. Schließlich geht man zur Systematik über und nimmt einen auswählten Index und den darauf folgenden, nicht zwingend n+1, und die beweist die Aussagegültigkeit für den folgenden Index folgt aus der für den ausgewählten. Die gilt dann ohne weiteren Beweis für alle weiteren folgenden Indize und schließlich für Unendlich, Aleph_0. Dieser griechische Buchstabe benennt die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen also -n,….,n für n=Unendlich. Aleph0 ist eine absolute Größe. Wäre sie relativ, so gäbe es vergleich fundamentale Menge die auf bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbildbar wären, aber eine andere Mächtigkeit hätten. Der relative Charakter zeigt sich in den anderen Mächtigkeiten, etwa die der rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen (Kardinalitäten nach Cantor). Die ist eine willkürliche Einschränkung auf mathematisch-technisch relevante Zahlenkörper. Der Begriff der absoluten Unendlichkeit gehört zur mathematischen Philosophie, etwa bei Hegel. Die praktische Mathematik kennt die Attribute aktuale oder potenzielle Unendlichkeit. Wobei aktual sich auf tätig bezieht, also ein berechneter Grenzwert, etwa limit x->0 exp(-1/(pi x)=0, oder ein angenommener Grenzwert Unendlich, wenn die Vermutung nicht widerlegt werden kann, etwa der Grenzwert von 1/x, aber der Wert gar berechenbar ist. Für einige Mathematiker gibt die Absolutfunktion die der Betragsfunktion entspricht und jeder reellen Zahl ihren absoluten Betrag zuweist, minus Eins hat den Absolutwert 1. Eine grundlegende Diskussion bieten die Wikipedia-Stichworte Potentielle und aktuale Unendlichkeit, Auswahlprinzip von Rado, Auswahlaxiom, welches den potenziellen Aspekt der Unendlichkeit nutzt und meiner Erklärungsvariante formelle Konkretisierung gibt. Moderne mathematische Theorie verleiht der Auswahl/Choice größere Bedeutung. Eine Variante ist die verallgemeinerte Kontinuumshypothese von Sierpinski. Gute Infrage stellen lässt sich die Unendlichkeit mit dem Tarski-Banach-Paradoxon. Der Wikipedia-Artikel Auswahlaxiom enthält eine Liste aller zum Auswahlaxion äquivalenten Sätze der Mathematik. Den Artikel schlechthin schriebt Kurt Gödel über die Konsistenz des Auswahlaxioms und der Kontinuumhypothese. Es gibt eine Diskussion, ob das Unendlichkeitsaxiom dem Auswahlaxiom vorzuziehen ist. Mein Ansatz folgt dem Konzept das Unendlichkeitsaxiom folgt aus dem Auswahlaxiom. Detaills bieten die Kardinalitätenaxiome ZFC: Die Beobachtung, dass große Kardinalaxiome linear nach Konsistenzstärke geordnet sind, ist jedoch nur eine Beobachtung, kein Theorem. (Ohne eine akzeptierte Definition der großen Kardinaleigenschaft unterliegt sie keinem Beweis im gewöhnlichen Sinne). Joseph Weissman: Nur im Vorbeigehen: Ich denke, Cantor war religiös und hielt das absolut Unendliche für Gott. DBK
Tatsächlich kann das, was Cantor speziell die " absolute Unendlichkeit
" nannte (und mystisch wurde, wie @JosephWeissman feststellte), mathematisch behandelt werden. Siehe auch meine Antwort auf eine andere Frage hier