Was sind zwei Beispiele für nicht messbare Mengen?
Lass mal Pappi ran. Beginnen wir mit dem Riemannintegral. Jede auf einem ( kompakten ) Intervall stetige Funktion ist R_Integrierbar; gilt auch die Umkehrung? Nur f.ü. Bereits hier taucht jenes ominöse " f.ü. " auf.
f R_integrierbar auf Intervall J <===> f stetig f.ü. auf J
Gegenbeispiel; die Dirichletfunktion ist nicht R_intefrierbar, da sie nirgends stetig ist.
Als ich Assistent für Erstsemester war, sagten meine Freunde
" Du musst schon verstehen, dass unser Hauptinteresse nicht in der theoretischen Mechanik liegt. schließlich müssen wir unsere D & I_Aufgaben abgeben. Hast du eine Ahnung, ob folgendes Integral existiert
(+Pi)
$ sin ( 1/x ) dx ( 1 )
(-Pi)
( Du musst schon dieses schreckliche Schriftbild entschuldigen. )
Die Falle: Der Integrand hat eine Definitionslücke bei x = 0 ; die sollten sich natürlich wieder so eine gefickte €_Abschätzung überlegen. Was ihnen der Prof eben verschweigt und was auch so gut wie keiner wissen dürfte. da die Funktion stetig ist bis auf die Nullmenge { 0 } , ist sie integrierbar.
Szenenwechsel; unsere modernen Kenntnisse über unendl. Mengen entstammen sämtlich mittelalterlichen Paradoxien, insbesondere Gottesbeweisen. Folgende Frage; du müsstest mal abklären, ob es jetzt auf König Artus zurückgeht, Thomas v. Aquin, Abälard oderAlbertus Magnus.
Angenommen du hast eine Strecke von 1 m Länge. Ein Punkt hat aber das Maß 0 . Und jetzt zähle ich alle Punkte zusammen:
0 + 0 + 0 …. + 0 = 1 m ( ? ) ( 2 )
Hier wie kann das sein? Dies ist bereits der erste Schritt zum L_Integral.
Beschränkst du dich nämlich nur auf sämtliche abzählbar vielen rationalen ( bzw. algebraischen ) Zwischenpunkte der Strecke, so geht Gl. ( 2 ) tatsächlich auf.
" Jede abzählbare Menge ist eine Nullmenge. "
" Jede abzählbare Vereinigung von Nullmenge ist selber wieder eine Nullmenge. "
Aber jetzt mal im Ernst. Jede Reihe - selbst eine unendliche - bleibt immer noch abzählbar. Du hast doch " Term T0, T1, T2, … "
Was, bitte, soll denn eine Reihe aus überabzählbaren Punkten sein???
Zunächst kann ja eine Menge eine beliebig große Kardinalzahl haben- selbst
" eine, die so groß ist, dass sie einem normalen Mathematiker niemals begegnet. "
Als Lebesgue_Paradoxie möchte ich jene Erkenntnis bzeichnen, dass überabzählbare Mengen ein positives Maß haben können.
Ist jede Teilmenge U einer messbaren Menge M selber auch messbar? Dass dies nicht so ist, ist Inhalt des Lemmas von Vitali. Den Beweis in Wiki halte ich aller Dings für grob Missverständlich. Ich führe hier einen Gedankengang vor, wie ich ihn im Fischerlexikon Mathe fand, das leider nie mehr aufgelegt wurde.
Zunächst ein Wort in eigener Sache; Fremdwörter konnte ich noch nie ausstehen. Statt " Äquivalenzrelation " wollen wir sagen Gleichheitsbeziehung ( GB )
Und zwar stifte ich eine solche GB am Einheitskreis K ; betrachte einmal die Zuordnung
z ===> z_n := exp ( i n ß ) z ; z € K , n € |Z ( 3 )
Sämtliche z_n liegen in [ z ] , der Klasse von z . Und jetzt gehe ich ganz listig her und fordere, Pi/ß möge irrational sein ( so dass also der Winkel ß niemals im Vollkreis 2 Pi aufgeht. ) Dann sind sämtliche [ z_r ] abzählbar unendlich. Umgekehrt muss dann aber die Anzahl jener Klassen [ z_r ] selbst überabzählbar sein ( weil ja K eine überabz. Menge darstellt )
Hier hast du nun einen typischen Anwendungsfall des Lebesgue_Paradoxons. Obgleich jede Klasse für sich nur eine Nullmenge darstellt, muss ihre Vereinigung doch 2 Pi ergeben ( da ja die Klasseneinteilung von K eine vollst. Partition ergibt. ) Das ist aber weiter nicht schlimm, weil wir ja gesagt hatten, wir haben überabz. viele Klassen.
Und jetzt kommt jener Teufelspakt ins Spiel, das ===> Auswahlaxiom ( AA ) Es ist deshalb so " mefistofelisch " , weil wir hier einen Blankoscheck ausstellen - es soll für jede Menge gelten. Sei also M eine ( beliebige ) Menge und 2 ^ M ihre ===> Potenzmenge. Dann definiere ich die eigentliche Potenzmenge
P ( M ) := M \ { } ( 4a )
Die Elememte von P sind demnach die nicht leeren Teilmengen von M . Diese Elemente von P mögen Urnen von M heißen und die Elemente von M " Kugeln " Dann gibt mir das AA das Recht, aus jeder Urne eine Kugel zu ziehen; genauer: Es existiert eine Abbildung a ( a wie " auswahl " )
(E) a : P ( M ) ====> M ( 4b )
U ===> x € U ( 4c )
Im Folgenden intressieren wir uns insbesondere für die Auswahlabbildung a ( K ) so wie die Zuordnung
a : [ z_r ] ===> z0_r ( 4d )
D.h. wir ziehen aus jeder Klasse eine Kugel.
( Man sagt ja immer so leichtfertig, bei einer GB könne man aus jeder Klasse einen Vertreter ziehen; genau genommen, ist das ja nur zuläsig, wenn du das AA hast. ) Um die Schreibweise nicht unnötig zu verkomplizieren, wollen wir jenes z0_r in ( 4d ) mit z_r identifizieren. Dann habe ich also eine Menge, die ich mal V nennen möchte:
V := { z_r } ( 5a )
Also nochmal. In ( 4d ) hatten wir gesagt, V enthält aus jeder Klasse nur genau ein Element.
Anmerkung; in der Literatur findet ihr das AA sogar in aller Regel in der Form ( 5a ) Dann lautet es: Zu jeder Partition von M gibt es eine Menge V , die jede Gleichheitsklasse von M in genau einem Element trifft. ( Eine Menge V , die sich genau aus den Klassenvertretern zusammen setzt. ) Dies ist äquivalent ( 4bc ) , obgleich mich selber oben ( 4bc ) weitaus anschaulicher dünkt.
Welches Maß hat V???
Mich erinnert das so ein bisserl an den Teufelspakt aus dem Marionettenspiel von Fausts Verdammnis und Höllenfahrt. Der Vertrag ist auf 24 Jahre abgeschlossen. Mefisto wendet jedoch ein; da ich dir nicht nur 12 h dienstbar war, sondern 24, also Tag und Nacht, ist der Vertrag jetzt mit zwölf Jahren schon um. Wir bilden
V_n := exp ( i n ß ) V ( 5b )
Streng gesprochen, sind die V_n die Klassen einer zweiten, einer weiteren GB . Ich will das jetzt mal formalisieren:
(V) x € K (E) z ( x ) € V , n ( x ) € |Z | x = exp ( i n ß ) z ( 5c )
In Worten: Zu jedem x findest du seinen Vertreter, seinen " Abgeordneten z " , so dass x äquivalent z . Wenn wir in ( 5c ) definieren
x ( = ) y : n ( x ) = n ( y ) ( 5d )
dann sind die V_n genau die Klassen der GB ( 5d ) ( Ich wollte es nur mal formal ganz korrekt hingeschrieben haben. )
Jetzt haben wir aber genau die beiden Begriffe " Abzählbar " und " Übereabzählbar " umgedreht.
Jedes V_n ist überabzählbar ( da es ja in ( 3 ) überabzählbar viele [ z ] gibt ) ; und es gibt nur abzählbar viele V_n .
Als ganz gewaltiger Schlag ins Kontor erweist sich hier die Gutartigkeit des L_Maßes ( Sämtliche V_n haben das selbe Maß: das Maß einer Menge ändert sich nicht, wenn du sie rotierst. )
( Eine exakte Analyse würde ergeben, dass das L_Maß unserer Intuition entspricht, dass die Länge von jedem Teilstück des Einheitskreises invariant ist bei Drehung um den Winkel n ß )
Gesetzt den Fall, V sei eine Nullmenge. Dann sind es die anderen V_n auch.
( Doch; es gibt überabzählbare Nullmengen; die ofiziellen Textbücher schweigen sich darüber immer so schamhaft aus. Das Fischer lexikon zitiert die ===> Cantormenge J_(°°) ===> Fraktal: )
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Vorbereitend definieren wir die Zifferndarstellung einer reellen Zahl zur Basis 3 aks ihre ternäre Zifferndarstellung ( TZD )
1) J0 := [ 0 , 1 ] hat Maß 1
2) J1 entsteht aus J0, indem du das mittlere Drittel [ 1/3 , 2/3 ) weg radierst; das sind genau jene Zahlen, deren TZD in der ersten Nachkommastelle eine 1 haben. Dann bleiben zwei Intervalle über mit Gesamtlänge 2/3 ; genau die Zahlen, in deren TZD in der ersten Nachkommastelle die 1 fehlt.
3) Vor dem n_ten Teilungsschritt hast du insgesamt 2 ^ ( n - 1 ) Intervalle; aus jedem von ihnen schneidest du analog wieder das mittlere Drittel heraus. Dann verbleiben dir 2 ^ n Intervalle mit Gesamtlänge ( 2/3 ) ^ n ; und die ersten n Nachkommastellen ihrer TZD dürfen nicht 1 sein. Diese Restmenge nenne ich analog J_n .
4) Mit J_(°°) schließlich bezeichne ich die Schnittmenge aller J_n . Gewisser Maßen die Menge jener Punkte, die auch dem härtesten Radierversuch Stand halten. J_(°°) hat Maß ( 2/3 ) ^ ( °° ) = 0 ===> J_(°°) ist Nullmenge. Es besteht genau aus all jenen reellen Zahlen, deren ternäre Nachkommaziffern nur 0 oder 2 sein dürfen; die 1 haben wir ja radiert. Das sind aber immer noch überabzählbar viele; und darum ist J_(°°) ein Beispiel für eine überabzählbare Nullmenge. ( Nein Ihor; als Nullmenge ist die Cantormenge selbstverständlich messbar und somit kein Beispiel. )
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Dann wäre aber K als Vereinigung der ( bloß ) abzählbar vielen Nullmengen V_n selbst eine Nullmenge.
Also haben die V_n ein positives Maß =: € > 0
2 Pi = ( 1 + 1 + 1 + 1 + … ) € ( 6 )
( 6 ) ist aber eine divergente Reihe; demnach wäre der Einheitskreis unendl. lang, hihi …
Ein zweites oft zitiertes Beispiel ist das ===> Tarskiparadox. Eine Kugel vom Durchmesser 1 m ( und Volumen V0 ) lässt sich so in fünf Teilmengen M_(1–5) partitionieren, dass wenn du sie auseinander nimmst und ihre Teile nur durch geeignete Translation und Rotation anders zusammen setzt, bekommst du eine Kugel von doppeltem ( bzw. halbem ) Durchmesser:
V ( M1 + M2 + M3 + M4 + M5 ) = 8 V0 ( 7 )
Scheinbar widerspricht dies jenem LMNTARen Lehrsatz, dass die summe der Teilvolumina aller Klassen doch wieder das Gesamtvolumen ergeben muss.
Schon im Mittelalter galt von der Reichsstadt Nürnberg das sarkastische Sprichwort
" Die Nürnberger hängen keinen; sie hätten ihn denn … "
Wie oft haben dir die Mathematiker gesagt, du musst aller erst die Existenz von etwas beweisen; hihi … Keine jener fünf Teilmengen M_(1–5) ist messbar; ja es sind partitionen der Kugel denkbar, so dass keine ihrer Teilklassen ein definiertes Volumen hat. Und da is der Lehrsatz von der Addition der Teilvolumina gar nicht anwendbar …