Wie zeigt man ln(x) +1/x>=1 für alle x ∈] 0,∞ [ (ohne integral)?
Ableiten, Extremwert suchen; verifizieren, dass es ein Minimum ist; Funktionswert ausrechnen. Also so:
Die Funktion
f(x)=ln(x)+
1
x
ist in
(0,∞)
offenbar überall definiert, stetig und differenzierbar. Die erste Ableitung davon ist
f
′
(x)=
1
x
−
1
x
2
.
Nullsetzen von
f
′
(x)
ergibt: einziger Kandidat für ein Extremum im Bereich
(0,∞)
ist
x=1
.
Die zweite Ableitung ist (nach ein bisschen Herumrechnen)
f
′′
(x)=
2−x
x
3
,
die ist für
x=1
positiv - also ist am Punkt
x=1
ein Minimum. Der Funktionswert dieses Minimums ist
1
- also ist die Funktion überall
≥1
. QED.