Was sind einige mathematische Paradoxa?
Ein wichtiges und leicht verständliches Paradoxon ist die Russelsche Antinomie. Man kann ganz gut in den Alltag transportieren:
“Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?” Quelle Wikipedia
Allgemeiner geht es darum: Gegeben sei die Menge aller Mengen, die sich nicht selber enthalten. Enthält diese Menge sich selber?
Das ist ein Paradoxon, denn angenommen die Menge enthält sich selber, dann enthält sie sich nicht selber - so ist sie ja definiert.
Aber angenommen sie enthält sich nicht selber. Dann enthält sie sich selber - denn so ist sie ja definiert, jede Menge die sich nicht enthält, ist enthalten.
Es gibt also keine Auflösung erst einmal in dem, was man heute die ‘naive Mengenlehre’ nennt. Naiv deshalb, weil nicht klar definiert ist, was eine Menge denn überhaupt sein soll.
In der modernen Mathematik werden Strukturen wie ‘Menge’ axiomatisch definiert. Das heißt, man legt einige Aussagen/Axiome fest und alles, was diese erfüllt ist eine Menge.
Stell dir vor, du willst die naive Vorstellungen von Räumlichkeit definieren. Dann überlegst du dir, welche Eigenschaften so ein Raum grundsätzlich haben soll. Zum Beispiel, dass die Strecke zwischen A und B genau so lange ist wie die umgekehrte Strecke zwischen B und A. Oder das eine Strecke von A über B nach C nicht kürze sein kann als die Strecke von A direkt nach B. Das genau eine Gerade durch zwei Punkte geht. Solche grundlegenden Dinge.
Diese Eigenschaften definieren dann, was ein “Raum” ist, nämlich alles, was diese Eigenschaften erfüllt. Alles, was mindestens eine Eigenschaft nicht erfüllt ist kein “Raum”.
Genau so hat man das mit dem Mengenbegriff gemacht und darauf geachtet, dass die problematische Menge nicht mehr im strengen formalen axiomatisch definierten Begriff der Menge enthalten ist.
In der Praxis kann es ganz schön schwierig sein, eine gute Axiomatisierung zu finden, denn schließlich willst du, dass möglichst viel noch als Menge durchgeht.
Außerdem kann es ein Problem sein zu beweisen, dass die ausgewählten Aussagen nicht auf subtile weise widersprüchlich sind (siehe zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz).