Warum ist die Quadratwurzel von zwei irrational?
Weil man beweisen kann, dass sie nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist. Das ist zuerst griechischen Mathematikern bzw. Philosophen aufgefallen, die eigentlich alles in der Welt durch Verhältnisse ganzer Zahlen beschreiben wollen (ganz klassisches Beispiel; die Obertöne einer schwingenden Saite, und davon ausgehend die Tonintervalle in der Musik.)
Aber sie haben schon im Altertum gemerkt, dass das mit der Wurzel aus 2 nicht funktioniert (und letztlich mit keiner Wurzel aus einer nicht-Quadratzahl). Das schien ihnen jeder Vernunft zu widersprechen - daher der Name "unvernünftige Zahlen", den wir bis heute beibehalten haben - "irrationale Zahlen" (lateinisch "ratio" bedeutet nicht nur "Verhältnis," wie "Verhältnis zweier ganzer Zahlen", sondern eben auch "Vernunft").
Jedesmal, wenn man den Zahlbegriff in der Geschichte der Mathematik erweitert hat, hat man die neu hinzugekommenen Zahlen in gewisser Weise abwertend bezeichet. Zu den "natürlichen" Zahlen kamen die "negativen" hinzu - der Name ist Programm; dann kamen die "gebrochenen" (lies: zerbrochenen, kaputten) Zahlen, und dann kamen die "irrationalen", eben "vernunftwidrigen" Zahlen wie die Wurzel aus 2, und schließlich die "imaginären" (lies: eingebildeten) Zahlen hinzu.
Soweit zur Bezeichnung "irrational", nun noch zum Beweis:
angenommen, es gäbe eine rationale Zahl (also einen Bruch ganzer Zahlen)
p
q
,
deren Quadrat gleich
2
wäre. Wir können annehmen, dass
p
q
soweit wie möglich gekürzt ist, also
p
und
q
keine gemeinsamen Primfaktoren haben (andernfalls kürzen wir den Bruch); wir können also voraussetzen, dass
p
und
q
teilerfremd sind.
Dieser Bruch
p
q
soll also die Wurzel aus
2
sein, d.h. sein Quadrat ist 2:
2=
(
p
q
)
2
oder
p
2
=2⋅
q
2
Also ist
p
2
durch
2
teilbar -
p
2
ist gerade. Nun sind Quadrate ungerader Zahlen aber immer ungerade; wenn also
p
2
gerade ist, muss auch
p
gerade sein, also kann man
p
schreiben als
p=2⋅r
. Damit ist dann
p
2
=4⋅
r
2
, und daher
p
2
=4⋅
r
2
=2⋅
q
2
oder
q
2
=2⋅
r
2
Nun kommt wieder dieselbe Argumentation wie oben:
q
2
ist also gerade, daher ist auch
q
gerade, und wir können
q
schreiben als
q=2⋅t
.
Sowohl
p
als auch
q
haben also einen Primfaktor
2
- das widerspricht aber der Annahme,
p
und
q
seien teilerfremd! Wir haben also einen Widerspruch gefunden; unsere Annahme,
2
–
√
sei eine rationale Zahl, führt zum Widerspruch und ist daher falsch.