Warum bildet die Relativitätsenergie-, Masse- und Impulsbeziehung ein rechtwinkliges Dreieck?
Wenn man die relativistische Energie-Impuls-Beziehung
etwas umformt, erkennt man besser, warum sie diese Form annimmt:
E
2
−(pc
)
2
=(m
c
2
)
2
.
Auf der rechten Seite steht nun das Quadrat einer lorentzinvarianten
Größe. Solche Größen treten z. B. immer als Norm eines relativistischen Vierervektors
auf. Die Norm erhält man über das spezielle Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst (der Minkowski-Raum
ist ein mit einer Metrik und einem Skalarprodukt versehener Vektorraum).
Der zugehörige (kontravariante) Vierervektor ist der Impulsvektor:
p
μ
=(
γmc
γmv
)
.
Die obere Komponente
γmc
ist nun einfach nur die relativistische Energie
E
c
. Den Viererimpuls erhält man aus der Vierergeschwindigkeit durch Multiplikation mit der Masse
m
. Die Vierergeschwindigkeit hingegen erhält man wiederum aus dem Ortsvektor, indem man diesen nach der Eigenzeit
τ
ableitet.
Du kannst das Ganze also bis auf den Ortsvektor zurückführen und es gibt dir letztendlich nur die spezielle pseudo-euklidische Metrik des Minkowski-Raums wieder, hier in der (+,-,-,-) Signatur formuliert:
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−d
x
2
−d
y
2
−d
z
2
.
Die spezielle Form ist also die direkte Folge einer pseudo-euklidischen Metrik und einer einfachen Umformung.