Wenn die Schwerkraft auf eine geometrische Eigenschaft der Raum-Zeit zurückgeführt werden kann, welche Aufgaben haben dann die Gravitationswellen und das Graviton? Welche Information übertragen sie?
Das ist eine sehr gute Frage. Die beiden Bilder, also das der geometrischen Deutung der Gravitation und das der Deutung der Gravitation als nicht-lineare Quantenfeldtheorie sind im Moment jedenfalls nicht miteinander zu vereinbaren.
Die "klassische" Theorie der Gravitation, die allgemeine Relativitätstheorie, deutet Gravitation als Krümmung der Raumzeit. Gravitationswellen in diesem Bild können auch geometrische verstanden nwerden, eben als periodische Änderung der Raumzeit.
Gravitonen sind ein Konzept das aus der Quantenelektrodynamik entlehnt ist. Hier werden Wellen (Licht) als Anregung von Quantenzuständen ("Photonen") verstanden und mit Hilfe dieser Photonen kann man die gesamte Elektrodynamik widerspruchsfrei formulieren. "Reelle" Photonen entsprechen dabei dem (quantisierten) Lichtfeld, "virtuelle" Photonen vermitteln die elektrostatische Anziehung (bzw. Abstoßung). Photone bewegen sich dabei in der (ggfls. gekrümmten) Raumzeit. Wegen des Erfolges der QED kann man auf die Idee kommen, sowas ginge auch mit der Gravitation. Also Anregungen von Quantenzuständen der Raumzeit. "Reelle" Gravitonen entsprechen dann Gravitationswellen, "virtuelle" Gravitonen vermitteln die gewöhnliche Schwerkraft.
Das Problem dabei ist, dass Photonen untereinander nicht wechselwirken, d.h. Licht durchdringt Licht ungestört, solange keine (ggfls. virtuelle) Ladungen beteiligt sind. Im Falle der Gravitation ist das anders. Weil die Feldgleichungen der Gravitation nicht-linear sind, können Gravitonen mit Gravitonen direkt wechselwirken. Das ist jetzt nicht unbedingt ein Problem, aber da die Kopplungskonstante (also die Größe die dafür zuständig ist, wie stark Gravitationswellen miteinander wechselwirken bzw. wie wahrscheinlich es ist, dass zwei Gravitonen wechselwirken) keine reine Zahl ist, sondern die Einheit einer Masse hat, kann man den in der QED beliebten Trick, alle unangenehmen Unendlichkeiten die durch diese "Selbstwechselwirkung" entstehen einfach abzuziehen bzw. zu ignorieren, hier nicht anwenden.
Damit hat man das Problem, dass man keine in sich konsistente Quantentheorie der Gravitation nach dem Vorbild der QED, einer einfachen (abelschen) Eichtheorie hinschreiben kann.
Aber: Gravitonen funktionieren als Beschreibung von Gravitationswellen solange die Amplituden der GW nicht allzugroß sind. Dann ist das Bild aber insofern langweilig, weil es sich einfach nur um die Beschreibung einer GW im Frequenzbild handelt - man tauscht nur den Begriff "Gravitationswelle" mit dem Begriff "kohärenter Gravitonzustand" und alles bleibt ansonsten gleich.
Die Frage, welche (physikalische) Information diese "näherungsweisen" Gravitonen tragen, ist leicht zu beantworten: die gleichen die auch die klassische GW trägt. Energie, Impuls, Drehimpuls.