Wie würde eine Massenzunahme ablaufen, wenn man sich der Lichtgeschwindigkeit nähert? Was gewinnt da an Masse und wie soll das aussehen?
Das wird oft missverstanden. Ein Körper gewinnt mit zunehmender Geschwindigkeit überhaupt nicht an Masse[1] . Das klassische Newtonsche Kraftgesetz (2. Newtonsche Axiom
)
F=
dp
dt
=
m
0
dv
dt
nimmt relativistisch mit
p=γ(v)
m
0
v
die folgende Form an:
F=γ(v
)
3
m
0
a
∥
+γ(v)
m
0
a
⊥
,
γ(v)=
1
1−
v⋅v
c
2
√
γ(v)
steht hier für den geschwindigkeitsabhängigen relativistischen Lorentzfaktor
,
m
0
für die invariante Ruhemasse
, also die Masse, welche ein Objekt in einem System besitzt, in dem es ruht. Man erkennt in der Gleichung bereits eine Aufspaltung in einen zur Bewegungsrichtung senkrechten und parallelen Anteil (der senkrechte Teil ist es, was man heute als relativistische Masse
bezeichnet, siehe weiter unten).
Würde man nun z. B. nur Kräfte betrachten, welche senkrecht zur Geschwindigkeit wirken, so würde man
F
⊥
=γ(v)
m
0
dv
dt
=
m
0
[γ(v)
dv
dt
]=
m
0
g(v,
v
˙
),
d
dt
Γ(v(t))=
∂Γ
∂v
⋅
dv
dt
=γ(v)
dv
dt
=g(v,
v
˙
)
Γ(v)=c⋅arcsin(
v
c
)+C
⟹
F
⊥
=(
m
0
c)
d
dt
[
Γ(v(t))
c
]=(
m
0
c)
d
dt
sin
−1
(
v(t)
c
)
=
v≪c
m
0
c
d
dt
v(t)
c
=
m
0
dv
dt
(…=
m
0
d
dt
(v+
v
3
6
c
2
+
3
v
5
40
c
4
+O(
v
7
))=
m
0
(1+
v
2
2
c
2
+
3
v
4
8
c
4
+O(
v
6
))
dv
dt
=
m
0
γ(v)
dv
dt
=m(v)
dv
dt
=(
m
0
+
m
0
v
2
2
c
2
+
3
m
0
v
4
8
c
4
+O(
v
6
))
dv
dt
)
erhalten. In diesen Gleichungen stellt
m
0
nach wie vor eine Invariante und damit für jeden Beobachter konstante Größe dar. Das Interessante an der letzten Gleichung ist nun, dass der erste Faktor
m
0
c
den (klassischen) Impuls eines Teilchens mit der Ruhemasse
m
0
darstellt, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Dieser Term ist lorentzinvariant
und damit allgemeingültig, während der zweite Faktor allein von der relativen Geschwindigkeit des Beobachters zum Objekt abhängt und somit streng subjektiv ist. Der Lorentzfaktor
γ(v)
ändert also lediglich das klassische (
c→∞
) Kraftgesetz, welches nur noch in Näherung für kleine Geschwindigkeiten gültig ist (wie auch das klassische Newtonsche Gravitationsgesetz nur als Näherung der Allgemeinen Relativitätstheorie zu verstehen ist).
Erst wenn man den Lorentzfaktor mit der Ruhemasse zusammenführt, wofür es allerdings keinen triftigen Grund gibt, würde man
F
⊥
=m(v)
dv
dt
m(v)=
m
0
1−
v
2
c
2
√
und eine relativistische Masse
m(v)
erhalten. Das ist mathematisch zwar immer noch korrekt, gibt aber eine vollkommen falsche Vorstellung. Vielmehr verändert der Lorentzfaktor nicht die Ruhemasse, sondern er ist ein fester Bestandteil des relativistischen Kraftgesetzes (eher noch gehörten die geschwindigkeitsabhängigen Terme zusammen, siehe weiter oben).
In der für die SRT
besser geeigneten Formulierung mit Vierervektor
en, deren Betrag unter Lorentz-Transformation
en invariant ist, ist die Masse immer nur der Betrag des Viererimpuls
es und mit
(
E
c
p
)⋅(
E
c
p
)=
E
2
−
p
2
c
2
=
m
2
0
c
4
(
in allen Bezugssystemen gleich.
Man kann sich auch ganz einfach überlegen, warum sich Masse, als intrinsische Eigenschaft des Körpers, nicht verändern kann. Ein Körper kann gleichzeitig von mehreren Beobachtern, welche sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit relativ zu diesem bewegen können, betrachtet werden. Wäre die relativistische Masse ein reales Phänomen und Eigenschaft des Körpers selbst, so würden die Beobachter ja unterschiedliche relativistische Massen feststellen und der Körper müsste demnach in einem Moment gleichzeitig verschiedene Massen aufweisen. Diese Vorstellung ist natürlich widersprüchlich, so dass die relativistische Massenzunahme lediglich ein scheinbarer Effekt ist, der Betrachtung aus unterschiedlichen Bezugssystemen und dem irrtümlichen Festhalten am klassischen Kraftgesetz geschuldet. Wie alle Phänomene in der SRT geht dies auf die endliche und für alle Beobachter konstante Lichtgeschwindigkeit zurück.
Aus diesem Grund kann ein sich auch noch so schnell bewegtes Teilchen nicht in ein reales schwarzes Loch verwandeln, denn in seinem Ruhesystem hat sich die Masse überhaupt nicht verändert. Es kann höchstens für bestimmte Beobachter wie ein solches erscheinen, aber es gibt eben immer auch Bezugssysteme, in denen es sich komplett normal verhält[2] . Ein reales schwarzes Loch hingegen ist für jeden Beobachter ein solches. Die Bedingungen für das Entstehen von schwarzen Löchern sind gar nicht so einfach zu formulieren.
Fußnoten
[1] Is relativistic mass real?
[2] Can a Really, Really Fast Spacecraft Turn Into A Black Hole? - Universe Today