Ist es möglich, einen Vektor in einen Skalar und einen Skalar in einen Vektor umzuwandeln?
Vektoren können durch Skalare ausgedrückt werden, aber nicht so einfach wie bei Vektoren, denn Vektoren haben Betrag und Richtung, Skalare nur den Betrag.Die Tatsache, dass der Betrag sowohl bei Skalaren als auch bei Vektoren vorkommt, kann dazu führen, dass Vektoren weiterhin mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit durch Skalare ausgedrückt werden können. Eine so genannte vorzeichenbehaftete Zahl ist eigentlich ein Vektor im 1-Raum. Ein Vektor bedeutet eigentlich eine Positionsveränderung in einem Raum. Das ist die Bedeutung des lateinischen Wortes. Wenn man mit Vektoren arbeitet, ist es in der Regel viel bequemer, sie in Komponentenvektoren aufzuteilen. Komponentenvektoren sind Vektoren, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Ein zweidimensionaler Vektor hat zum Beispiel zwei Komponentenvektoren, einen in X-Richtung und einen in Y-Richtung. Durch diese "Analyse" kommen wir der Numerizität eines Vektors als Skalar weit näher. Ein Beispiel dafür ist die allgemeine Relativitätstheorie. Obwohl oft von der "Krümmung der Raumzeit" die Rede ist, ist sie eigentlich nicht notwendig (zumindest in wissenschaftlich gesicherten Bereichen). Wie bei Elektrik & Magnetik könnte man auch einfach ein viel schwierigeres Kraftgesetz aufstellen und erklären, wie es auch für masselose Felder gilt. Dieses Kraftgesetz ist wirklich ziemlich kompliziert wegen der Zeitverzögerung.
Die Tatsache, dass die Krümmung der Raumzeitmetrik (in gewissem Sinne) eine "einzigartige" Idee im mathematischen Raum ist (genauer gesagt, aufgrund des Wunders der Riemannschen Geometrie, die eine einzigartige Verbindung herstellt), lässt einen sozusagen "natürlich" denken, dass die Physik so funktionieren "sollte", auch wenn man es als sehr kompliziertes Kraftgesetz ausdrücken kann (oder als seltsam spezifischen Lagrangian für ein Spin-Zwei-Feld). Zum Beispiel könnte die Multiplikation eines Vektors mit einem anderen einen Vektor, einen Skalar oder eine andere Größe ergeben.Mir geht es hier nicht um die Multiplikation von Vektoren, sondern um die Frage, was eine Größe sein kann, die sowohl ein Skalar als auch ein Vektor ist. Ich denke, dass wir bei der Definition von Vektoren und Skalaren die Definition in Bezug auf die Richtung vorschlagen. In einer Richtung wird sie berücksichtigt, in einer anderen nicht. Wie kann diese Definition dann Raum für eine andere Größe lassen, die sowohl eine als auch eine ist?
Dies, alles in allem, spricht über die Verwendung des äußeren Produkts in der "Quantenmechanik". Diese Bemerkung ist zwar richtig, aber ich fürchte, sie vermittelt den falschen Eindruck, dass man sich bis zur QM hocharbeiten muss, um diesen mathematischen Wesen zu begegnen. Ich möchte darauf hinweisen, dass äußere Produkte ausgiebig in der bescheideneren "Kontinuumsmechanik" verwendet werden, von der die Festkörpermechanik und die Strömungsmechanik zwei Zweige sind. In einem mathematischen Sinn ist eine Matrix Teil eines Vektorraums, also ist sie ein Vektor. Ich stimme zu, dass die Transformation im Raum notwendigerweise stattfand. Aber als ich zum ersten Mal ein solches physikalisch-mathematisches Phänomen auf diese Weise erklärt sah (in Feldtheoriekursen), fand ich, dass es meiner Intuition half. Ich finde, es hilft, die Existenz des Feldes der Skalare zu rechtfertigen (warum gibt man ihnen überhaupt einen Namen). Ich muss auch hinzufügen, dass Vektoren keine übermäßig definierte Position haben. Aber man kann jedem Punkt im Raum Vektoren zuordnen: Skalar-Vektor-Felder. Und diese transformieren, wie ich oben gesagt habe.