Is the sequence
x
n
=
∑
k=1
n
tan(k)
bounded?
Oh. Mein. Gauss. Was für eine liebenswerte Folge.
Okay, lass mich erst die Frage beantworten, sodass du während dem Rest meiner Überlegungen nicht leiden musst: Nein, die Folge ist nicht beschränkt und es ist auch nicht schwierig zu beweisen. Das Lustige ist die Art und Weise, wie sie bei wachsendem
n
herumtanzt.
Schauen wir doch mal auf die Partialsummen der Folge
tan(1),tan(2),tan(3),...
und so weiter. Die Werte
1,2,3
sind natürlich Bogenmaß. Zuerst sehen wir uns mal die Folge an sich an - wie schaut es mit den ersten 10 Gliedern aus?
1.557,−2.185,−0.1425,1.158,−3.380,−0.2910,0.8715,−6.800,−0.4523,0.6483
(alle Codeschnipsel sind Sage
, aber manchmal habe ich die Ausgabe um der Lesbarkeit willen ein bisschen umformatiert. Die Entwicklungsumgebung ist Jupyter
)
Sieht recht harmlos aus, oder? Zufällig aussehende kleine Zahlen, manche positiv, manche negativ. Wenn wir uns die Partialsummen ansehen, das heißt
tan(1),tan(1)+tan(2),tan(1)+tan(2)+tan(3)
und so weiter, erwarten wir irgendwas, das sich wie zufällig hoch und runter dahinschlängelt. Und tatsächlich sehen wir das:
Ich meine klar, es sieht ein bisschen fallend aus, aber nicht allzu dramatisch. Vielleicht ist es doch beschränkt? Wenn die positiven und negativen Glieder weiterhin so zufällig auftauchen, heben sie sich vielleicht gegenseitig auf. Womöglich bleibt es beschränkt.
Wir haben bei
tan(10)=0.6483...
aufgehört, vielleicht sollten wir mal ein bisschen weiter schauen? Was ist eigentlich
tan(11)
?
LOL warte was?
tan(11)
ist minus zwei Hundert irgendwas? Warum…? Wie…?
Bevor wir das beantworten, sollten wir uns darauf einigen, dass dieser Kandidat die Partialsumme ziemlich nach unten drückt. Und wenn sich
tan(12),tan(13)
etc. ähnlich verhalten, werden wir weiterhin unten bleiben. Und tatsächlich:
Beachte die Skala links: Anstatt uns um irgendwelche kleinen negativen Zahlen herumzubewegen, stecken wir nun tief im Abgrund fest. Schauen wir mal weiter.
Das ist eine… das ist die komischste Treppe, die ich je bei einer so einfachen Funktion gesehen habe. Die Stufen nach unten scheinen sich aber selbst leicht zu vermindern… sollen wir weitermachen? Hier sind die ersten 300 Partialsummen:
Boah.
Aber abwarten, wir haben noch gar nichts gesehen. Hier sind die ersten 400:
Okay, krass. Irgendwo rund um
350
hat irgendwas die Summen zurück zur Null gepusht und dann sind sie wieder zurück nach unten gesprungen. Was zum…? Und woher kommt diese coole Symmetrie?
Offensichtlich müssen wir unser Spiel verbessern. Die ersten 1.000?
Okay, das sieht ziemlich beschränkt aus, oder? Es ist kurios, aber relativ regelmäßig und schaut so aus, als wäre es irgendwo zwischen den negativen 400ern und kleinen positiven Werten begrenzt. Wird es so bleiben? Ich meine, die Zacken scheinen ein bisschen anzusteigen, aber das ist wahrscheinlich nichts… oder?
Ich denke nicht.
Diese "periodischen" Hüpfer, von denen drei bis 1.000 vorkamen, waren nur die ersten paar Schwingungen in etwas, was wie ein unerbittlicher Aufwärtstrend aussieht. Wir erinnern uns, als die Folge im Negativen verlief - davon sind wir wohl lange weg.
Dann machen wir mal vorsichtig weiter… bis 50.000:
"Beschränkt" scheint nicht länger das richtige Wort zu sein, oder? Eher so etwas wie "exponentiell wachsend"? Nur zur Erinnerung, der Graph enthält ein feines Detail: Wenn wir reinzoomen, sehen wir die hüpfburgmäßigen Mulden des vorherigen Graphen. Unheimlich.
Aber warum bei 50.000 aufhören? Wir sind jung, wir sehen gut aus, wir haben Computer. 100.000, hier kommen wir:
W A A A A A A A A S . . .
Okay, scheinbar hat sich irgendwas zur 50.000er-Marke geschlichen und den exponentiellen Verlauf einfach zerschmettert. Seitenwechsel. Nochmal.
Meinst du, es ist das letzte Mal? Ich glaube, mittlerweile haben wir es aufgegeben, irgendetwas Vorhersehbares zu erwarten oder etwas zu Erwartendes vorherzusehen. Oder so. Hier weiter im Text:
Wir sind jetzt so ziemlich krass im NSFW-Territorium.
Okay. Es ist Zeit, diesem Wahnsinn einige Überlegungen zu gönnen.
Wir rekapitulieren:
tan(11)=−225.95...
Was hat es mit dieser 11 auf sich?
Erinnern wir uns, dass
π≈
22
7
eine ziemlich gute Näherung für
π
ist. Das heißt,
11
7
ist recht nahe an
π
2
, was wiederum bedeutet, dass
11
sehr nah an
7
π
2
liegt, einem ungeraden Vielfachen von
π
2
.
Was passiert sonst bei ungeraden Vielfachen von
π
2
? Na ja,
sin(x)
ist ziemlich groß (fast
1
), während
cos(x)
ziemlich klein ist. Dadurch wird ihr Quotient
tan(x)
vom Absolutbetrag her echt riesig - entweder positiv oder negativ, je nachdem ob man sich leicht über oder leicht unter einem ungeraden Vielfachen von
π
2
befindet.
Das erklärt, warum
tan(11)
so riesig ist. Die Zahl
11
scheint einfach so extrem nah an
7
π
2
zu liegen. Die nächste recht bekannte Näherung für
π
ist
355
113
, aber
355
ist ungerade, also bekommen wir ein gerades Vielfaches von
π
2
, was
tan(355)
sehr klein, fast null werden lässt. Wie auch immer,
11
Schritte vorher treffen wir von unten auf ein ungerades Vielfaches, deshalb ist
tan(355)
so groß, sogar so groß, dass es die Auswirkungen von
tan(11)
aufhebt (weil
355
fast
113π
ist, ist
tan(355−11)
fast das Negative von
tan(11)
.) Daraus entsteht diese Hüpfburg.
Die Summe jeder dieser Mulden ist positiv, wenn wir sie also zusammenrechnen und währenddessen weiter wegdriften, steigt das Ergebnis an und ergibt diese exponentiell wachsende Kurve. Aber dann erreichen wir eine neue recht gute Näherung für
π
mit einem geraden Nenner, nämlich
104348
, daher entstand bei
104348/2=52174
unser "Abwärtsdrama", dieser massive Abfall, gefolgt von einem Spiegel früherer Ereignisse:
tan(52174)
ist ungefährt minus 181 Tausend.
Der Grund, warum diese irre guten Näherungen immer wieder auftauchen, ist der Fakt, dass
π
, wie eigentlich jede schöne irrationale Zahl eine Folge von Näherungsbrüchen besitzt, die aus der Kettenbruchentwicklung entstehen.
Ähnliche Beweise finden sich hier und hier. Wie wir gesehen haben, zeigt die bloße Irrationalität von
π
, dass die Folge
nmodπ
dicht ist, sie geht also beliebig dicht an
π/2
, was impliziert, dass
tan(n)
nicht beschränkt ist und dementsprechend können die Partialsummen
x
n
ebenso wenig beschränkt sein. Wenn sie alle zwischen irgendwelchen Schranken
A
und
B
lägen, könnte
tan(n)
die Schranke
B−A
nicht überschreiten, aber letztendlich passiert es doch.
Dieser Beweis lässt die Möglichkeit offen, dass
x
n
nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, oder vice versa. Ich bin mir ziemlich sicher, dass das nicht so ist, aber das bedarf vermutlich einer ein wenig gründlicheren Analyse. Auf jeden Fall aber sind die Partialsummen nicht beschränkt.
Was für eine bezaubernde Folge!