Warum ist
0,
9
¯
=1
?
Diese Frage zeigt, wie grundlegend falsch das allgemeine Zahlenverständnis ist und was für ein schlechtes Zahlenverständnis die Schule vermittelt.
Für viele Menschen ist eine Zahl wohl einfach eine Folge von Ziffern, und in diesem Sinne wären obige Ausdrücke auf jeden Fall verschieden. Nun ist aber eine Zahl nicht einfach eine Folge von Ziffern, die Folge von Ziffern dient nur dazu die Zahl zu beschreiben.
Zahlen werden geometrisch dargestellt durch einen Zahlenstrahl, dazu fixiert man einen Punkt, den man 0 nennt, und einen weiteren Punkt den man 1 nennt. Durch diese zwei Punkte zieht man dann eine Gerade und so erhält man den Zahlenstrahl. Zahlen sind nun einfach Punkte auf dem Zahlenstrahl.
Wenn 0,999… eine Zahl ist, dann müssten wir sie ja irgendwo auf dem Zahlenstrahl eintragen können, aber wo? Was fehlt, ist, dass wir noch gar nicht definiert haben welche Zahl 0,999… überhaupt sein soll!
Das ist der erste entscheidende Punkt für ein richtiges Verständnis, man muss sich klar werden, dass die eigentliche Frage nicht lautet, ob 0,999…=1 ist, sondern: Was ist 0,999…? Wir müssen also erstmal auf eine sinnvolle Art und Weise definieren was 0,999… ist!
Nun ist 0,999… wie folgt definiert:
0,999… ist definiert als der Grenzwert der Folge 0,9 0,99 0,999 …, d.h. diejenige Zahl x, der sich die Folgeglieder 0,9 0,99 0,999 … immer mehr annähern (genauer: für jede noch so kleine Zahl x>0 wird der Abstand zwischen 1 und den Folgegliedern ab einer bestimmten Stelle stets kleiner als x sein) und das ist offensichtlich die 1 :)
Anmerkung:
Im Internet findet man häufig folgenden Pseudobeweis:
0,333…=1/3 | *3
0,999…=1
Problem: dass 0,333…=1/3 ist, ist genauso wenig klar (bzw. genauso klar^^), wie dass 0,999…=1 ist, außerdem ist auch nicht klar, dass 0,333…*3=0.999… ist, hier müsste man sich zunächst mit dem Rechnen solcher Ausdrücke beschäftigen, was auch wieder impliziert, dass man weiß, wie 0,333… und 0,999… definiert sind!