Warum steht bei Lichtgeschwindigkeit, die Zeit still?
[Leider reichen sämtliche Antworten bisher von falschen Antworten über inhaltsleeres philosophisches Gefasel bis hin zu pseudowissenschaftlichem Wortsalat. Diese am besten einfach ignorieren.]
Im Grunde ist es ganz einfach: Bezeichnet man die Zeit, die mit einer Uhr gemessen wird, die in einem beliebig gewählten, als Ruhesystem bezeichneten Inertialsystem
ruht, als Eigenzeit
, so ist die Tatsache, wieviel Eigenzeit im Vergleich dazu in einem anderen, zu diesem relativ bewegten, Inertialsystem vergeht, davon abhängig, wie gross die Relativgeschwindigkeit dieses „bewegten“ Systems ist.
[Das ist eine der Konsequenzen, die sich ergeben, wenn die Mechanik und die Maxwell-Gleichungen
für das elektromagnetische Feld, aus denen sich eine konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ergibt – die, wie Experimente zeig(t)en, offenbar in allen Inertialsystemen gleich gross ist – dasselbe Relativitätsprinzip erfüllen sollen (so wie es die Spezielle Relativitätstheorie
beschreibt).]
Mathematisch lässt sich das am einfachsten über die Minkowski-Metrik
zeigen, die unter Lorentz-Transformationen
invariant (also unabhängig von der Wahl des Inertialsystems) ist:
ds
2
=
c
2
dτ
2
=
c
2
dt
2
−
dx
2
−
dy
2
−
dz
2
,
wobei
τ
die Eigenzeit ist (wie man sieht, entspricht sie
t
genau dann, wenn
dx=dy=dz=0
, was genau der vorherigen mit Worten gegebenen Definition entspricht).
Es folgt¹
c
2
dτ
2
=
dt
2
[
c
2
−
(
dx
dt
)
2
−
(
dy
dt
)
2
−
(
dz
dt
)
2
]=
dt
2
[
c
2
−
v
⃗ 
2
],
wobei
v
⃗ 
der Vektor der Relativgeschwindigkeit ist.
v:=∥
v
⃗ 
∥
2
ist die (euklidische) Norm der Relativgeschwindigkeit; also das, was Laien unter „Geschwindigkeit“ verstehen: die Grösse, die man auf einem Tachometer ablesen kann. [Wegen
v
⃗ 
2
=
v
⃗ 
⋅
v
⃗ 
=
∥
v
⃗ 
∥
2
2
=
v
2
:]
Durch Ausklammern von
c
2
und Wurzelziehen ergäbe sich der bekannte Lorentz-Faktor
γ(v)=
1
1−
v
2
c
2
−
−
−
−
−
−
√
,
und man könnte damit einen Effekt bezüglich vergangener Eigenzeiten in verschiedenen Inertialsystemen berechnen, der auch als „(kinetische) Zeitdilatation“ bekannt ist.[1]
Wir müssen uns damit aber hier nicht aufhalten, sondern sehen unmittelbar:
v=c⟹dτ=0⟹Δτ:=
∫
W
dτ=0,
wobei
W
der Abschnitt einer entsprechenden Weltlinie
ist.
In Worten: In einem Bezugssystem, welches sich mit Geschwindigkeit
c
relativ zu einem beliebig gewählten Ruhesystem bewegt, vergeht keine Eigenzeit.
Eine Besonderheit eines solchen Systems ist aber, dass es sich relativ zu allen anderen Inertialsystemen mit
c
bewegt. Es ist also korrekt zu sagen: In diesem System vergeht relativ zu allen anderen keine Zeit.
Zu beachten ist, dass es nicht möglich ist, dass sich ein materieller Beobachter (dessen Masse
m>0
ist) mit
c
durch den Raum bewegt.
Wendet man nämlich die Minkowski-Metrik auf die physikalischen Grössen der Mechanik an, dann erhält man die Energie–Impuls-Beziehung[2]
E
2
=
m
2
c
4
+
p
⃗ 
2
c
2
.
Mit dem Impuls für eine geradlinig-gleichförmige Bewegung entlang einer (räumlichen) Koordinatenachse für
m>0,
p
⃗ 
=γm
v
⃗ 
,
ergibt sich für die Norm der Geschwindigkeit:
v=c
1−
m
2
c
4
E
2
−
−
−
−
−
−
−
−
√
<c.□
Trotzdem folgt aus dem (speziellen) Relativitätsprinzip: Gäbe es einen solchen Beobachter, dann würde für ihn die Zeit im Rest des Universums stillstehen.²
Daher kommt die populärwissenschaftliche Aussage, dass „die Zeit dann stillstünde“.
¹ Wer sich – so wie ich noch bis vor kurzem – fragt, weshalb es erlaubt ist, hier scheinbar durch Differentiale zu dividieren, der sei dadurch beruhigt, dass
ds
2
=
c
2
dt
2
−
dx
2
−
dy
2
−
dz
2
per Definition dasselbe ist wie
1=
(
d(ct)
ds
)
2
−
(
dx
ds
)
2
−
(
dy
ds
)
2
−
(
dz
ds
)
2
bzw. (mit Einsteinscher Summenkonvention
)
1=
η
μν
d
x
μ
ds
d
x
ν
ds
=
(
∥
∥
∥
d
x
⃗ 
ds
∥
∥
∥
1,3
)
2
mit metrischem Tensor
[η
]
μν
=diag(1,−1,−1,−1)
, d. h. ein Ausdruck dafür, dass die (Minkowski-)Norm eines Tangentialvektors an eine Kurve in dieser Mannigfaltigkeit gleich 1 ist.
² Er würde sich aber auch überall gleichzeitig auf einer Gerade entlang seiner Bewegungsrichtung befinden – "unendliche" „Längenkontraktion“
L
′
=
L
γ(v)
⟹ 
lim
v→c
L
′
=0
–, so dass es keinen konzeptionellen Widerspruch gibt. Das Leben bei Lichtgeschwindigkeit ist eben beliebig kompliziert – deshalb benutzt man stattdessen den Warpantrieb 😉
Fußnoten
[1] Antwort von Thomas Lahn auf Was beeinflusst die gravitative Zeitdilatation: grosse Massen oder hohe Geschwindigkeiten relativ zu diesen Massen?
[2] http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.26900.58240