Gibt es theoretisch seriöse Überlegungen, wie man Gravitation abschirmen könnte?
Es geht nicht, weil es keine negativen Massen gibt. Es gibt allerdings ganz spezielle Konfigurationen. Wäre etwa die Massenverteilung in der Erde ideal Kugel symmetrisch, so würdest du, wenn du einen Tunnel in die Erde gräbst, immer nur die Anziehung der Teilkugel unte dir spüren; die Gravitation aller Massen über dir kürzt sich heraus.
Sonderfall; fräsest du eine Kaverne um den Erdmittelpunkt aus, befindet sich unte dir ja nicht mehr - du würdest schwerelos in der Höhle schweben.
Eine Folge des Gesagten ist ja, dass die Coulombkräfte Sättigungscharakter haben. Wo immer sich ein Berg Elektronen anhäuft, lauern schon wieder positive Atomrümpfe, die sie wieder weg ziehen. Deshalb blieb der Menscheit auch die Coulomb W W so lange verborgen.
" Plus und Minus versuchen sich immer in einem Stromfluss auszugleichen. "
Nun gibt es aber keine negativen Massen; und dies ist letzten Endes der Grund, warum die Schwerkraft, die ja (E40) mal schwächer ist als Onkel Coulob, über kosmische Distanzen doch gewinnt. Kleinvieh macht auch Mist; über astronomische Distanzen bleibt die Gravitation Sieger.
Bernstein; ich will doch mal versuchen, ob ich es noch zusammen kriege.
An sich eine Übungsaufgabe aus dem ersten Semester.
Seien r , ß , µ die drei Kugelkoordinaten ( Andere gr. Buchstaben habe ich leider nicht; schon seit Jahren plädiere ich dafür, dass hier auf Quora endlich die Mathesymbole des Forums " Onlinemathe " eingeführt werden. Du das ist kein Latex; bei Onlinemathe kannst du komplizierteste Matrizen und Integrale direkt mit der ASCII_Tastatur eingeben. )
Also
0 < = µ < 2 Pi ; geogr. Länge ( 1a )
- Pi/2 < = ß < = Pi/2 ; geogr. Breite ( 1b )
Wir wollen also eine sphärisch symmetr. Dichtevert. annehmen
p ( r ; ß ; µ ) ident = p ( r ) ( 2 )
( p soll Rho sein. )
Konstruoeren wir ein Massenelement; ein infinitesimales Würfelchen hat in Richtung r die Kantenlänge dr , in µ ( Längenkreis ) r dß so wie in ß ( Breitenkreis ) Länge r cos ( ß ) dµ . Demnach beträgt sein Volumen
dV = r ² cos ( ß ) dr dß dµ ( 3 )
Das ist anschaulich und wird auch in allen Physikbüchern so dargestellt. Trotzdem ist es unbefriedigend, weil man gerne einen exakten Beweis hätte. Auf Wunsch reiche ich ihn nach; du musst mir nur Kommentar schreiben.
Die klass. Gravitation ist eine Potenzialtheorie; das machen wir uns hier ganz fies zu Nutze. Keine irgendwie geartete Zerlegung von Kräften nach ihren Komponenten; das Potenzial ist eine skalare Größe.
Als Erstes müsen wir unterscheiden zwischen Quell_und Aufpunkt; der am Quellpunkt r befindl. Massenpunkt m erzeugt im Aufpunkt R das Potenzial
U ( r ; R ) = ( 4a )
- G m
——————- ( 4b )
| R - r |
Für das Massenelement dm in ( 3 ) finden wir demnach
dm = p ( r ) dV = p r ² cos ( ß ) dr dß dµ ( 5 )
Nehmen wir oBdA an ( Beweis für Obdach lose ) ; R liege auf der z_Achse:
x ( r ) = r cos ( ß ) cos ( µ ) ; x ( R ) = 0 ( 6a )
y ( r ) = r cos ( ß ) sin ( µ ) ; y ( R ) = 0 ( 6b )
z ( r ) = r sin ( ß ) ; z ( R ) = R ( 6c )
Und damit nach Pythia und Goras
| R - r | ² = r ² + R ² - 2 r R sin ( ß ) ( 7a )
Wegen ( 3;4b;7a ) wird das Potenzial jetzt zu einem dreifachen Gebietsintegral:
U ( R ) = - G $ $ $ ( 7b )
p r ² cos ( ß ) dr dß dµ
——————————————— ( 7c )
sqr ( r ² + R ² - 2 r R sin ß )
Wegen der Rotationssymmetrie haben wir ja das µ _ Integral sofort:
U = - 2 Pi G $ $ ( 7d )
p r ² cos ( ß ) dr dß
——————————————— ( 7e )
sqr ( r ² + R ² - 2 r R sin ß )
Die ß _ Integration; jetzt müssen wir uns was mit der Wurzel überlegen. Für Wurzeln gilt diee Standard Aufleitungsregel
" Steht im Nenne die Wurzel und im Zähler die Ableitung des Radikanden, so ist die Aufleitung gleich 2 Mal dieser Wurzel. "
Ich schreib jetzt nur mal die Stammfunktion J ( ß ) ohne Rücksicht auf das r_Integral.
Von der Ableitung des Nenners ( 7e ) haben wir ( 7d ) bereits die Minus 2 so wie im Zähler von ( 7e ) ein " r "
Ein Faktor " Pi p G r " tritt vor die Stammfunktion..
Und dann müssen wir uns noch ein R " borgen "
J ( ß ) = ( 2 Pi p G r / R ) sqr ( r ² + R ² - 2 r R sin ß ) ( 8a )
Und jetzt müssen wir uns die Grenzen überlegen.
J ( + Pi/2 ) = ( 2 Pi p G r / R ) sqr ( r ² + R ² - 2 r R ) = ( 8b )
= ( 2 Pi p G r / R ) sqr ( R - r ) ² = 2 Pi p G r ( R - r ) / R ( 8c )
Hier kommt " als " die Frage; hat man mit dem Mathestudium auch gute Berufsaussichten?
Aber ja doch, sagt der ZDF Studienführer.
Und zwar nicht etwa, weil du im Wolkenkuckucksheim irgendwas beweisen kannst.
Sondern sämtliche Personalabteilungen wissen, dass du Fallunterscheidung gelernt hast.
Als Programmierer kriegst du vom Chef ein Pflichtenheft; häufig musst du dieses erst mal übersetzen, dass die Bedingungen auch eine Partition ergeben.
In ( 8bc ) ergibt sich nämlich so eine Fallunterscheidung; diese lästige Aufgabe kennst du ja schon aus der Schule. Unter der Quadratwurzel verstehen wir grundsätzlich die positive Wurzel. Wir betrachten also zunächst mal den Fall r < R ; die das Feld erregende Masse liegt " innen "
J ( - Pi/2 ) = 2 Pi p G r ( R + r ) / R ( 8d )
Das war jetzt nicht schwer, so dass
J ( + Pi/2 ) - J ( - Pi/2 ) = - 4 Pi p G r ² / R ( 9a )
Halt Stop. In ( 7e ) hatten wir ja noch die r_Integration offen. Und jetzt bemühe ich in ( 9a ) wieder einen ganz fiesen Trick.
- 4 Pi G p ( r ) r ² dr / R = ( 9b )
= - p G dV / R = ( 9c )
= - dM / R ( 9d )
Denn in ( 9b ) ist ja p eine Funktion ausschließlich von r. Und Kugeloberfl. 4 Pi r ² mal dr gibt das Volumen dV einer ( infinitesimalen ) Kugelschale.
Das Potenzial in R ist also effektiv das selbe, wie wenn die gesamte innere Masse im Kugelmittelpunkt vereinigt wäre.
Gravitationsfeldstärke wie üblich gleich negativer Gradient de Potenzials.
Und jetzt schauen wir uns in ( 8c ) mal die äußere Kugelschale an.
Ich seh grad. Wir können ( 8c ) wörtlich übernehmen, müssen jetzt aber bedenken, dass wegen r > R Quell_und Aufpunkt die Rollen tauschen. Dann hätten wir aber in ( 9b )
U = - 4 Pi G R ² $< r;R > p ( r ) dr / r ( 10a )
Das ist aber nur das Potenzial. Und das Feld kriegst du wie üblch durch Grdientenbildung nach R . Siehe Hauptsatz; du musst den Integranden an der Stelle R nehmen. Und da wir uns im Inneren der Kugel befinden, ist
p ( R ) = 0 ( 10b )