Warum hat ein Quadrat einen größeren Flächeninhalt als ein Rechteck bei gleichem Umfang?
Diese übersichtliche Lösung fand ich schon vor vielen Jahren auf einem Mathe-Bord:
Die Aufgabe ist ganz einfach wenn man einen kleinen Trick anwendet (wie so oft bei Mathe) :

der Umfang vom Quadrat ist :
u = 4*a = 2*a +2*a

jetzt kann man sich überlegen das die eine Seite eines Rechtecks ein bisschen kürzer , und die ander ein bischen länger ist als die vom Quadrat, also sieht der Umfang eines Rechtecks so aus :

u = 2*(a-c) + 2*(a+c) = 4*a

das ist der Trick, der Umfang bleibt gleich nur die Seiten änder sich, die beide Seite vom Rechteck sind also :
m = a+c und
n = a-c

jetzt braucht man nur noch den Flächeninhalt ausrechnen :
Quadrat : A = a*a
Rechteck : A = (a-c)*(a+c) = a*a - c*c
Nachtrag: hier sieht man die 3. binomische Formel im Einsatz
Da a*a - c*c kleiner ist als a*a hast du den Beweis erbracht :-)
QED