Was ist die Lösung zu der Gleichung
e
x
=2x
?
Hey der Weg über den Logarithmus ist doch ein Umweg; siehe die Definition der Lambertschen W_Fnktion.
exp ( x ) = 2 x | * exp ( - x ) ( 1 )
Wir versuchen, ein vollständiges W zu bilden.
x exp ( - x ) = 1/2 | * ( - 1 ) ( 2 )
Die Frage ist immer; musst du im Linearfaktor oder im Exponenten angleichen?
- x exp ( - x ) = ( - 1/2 ) | W ( 3 )
Mit der W_Funktion aus negativen Zahlen verhält es sich aber ganz ähnlich wie mit der Wurzel aus negativen Zahlen. Ist der Betrag des Arguments kleiner 1/e , gibt es keine reelle Lösung mehr. Nun gilt aber die Abschätzung
2 < e < 3 | ^ - 1 ( 4a )
1/3 < 1/e < 1/2 ( 4b )
so dass ( 3 ) keine Lösung hat.