Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Verein der Fussball Bundesliga eine komplette Saison ohne ein einziges geschossenes Tor abschließt?
Eine interessante Frage! Schaut man sich alle 55 (*) bisherigen Bundesligasaisons an, so haben die Mannschaften mit den wenigsten Toren im Durchschnitt 32.18 Tore geschossen - bei einer "Schwankungsbreite" (Standardabweichung bzw. Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung vom Durchschnittswert) von 4.76 Toren (zu den Quellen, siehe unten). Die häufigste geringste Anzahl an Toren war 32 (7 mal, d.h. 12.7%), danach folgten 30 und 31 (je 6 mal, d.h. 10.9%) sowie 33 Tore (5 mal, d.h. 9.1%).
(*) Von der Betrachtung ausgeschlossen habe ich die Bundesligasaisons, bei denen entweder weniger (1963/1964, 1964/65) oder mehr (1991/1992) als 18 Mannschaften - wie in allen übrigen Saisons - teilnahmen. Ferner habe ich auch die Saison 1965/66 mit einem Ausreißerwert (Tasmania Berlin, 15 Tore) ausgeschlossen - zur Begründung siehe unten.
Die empirische Verteilung der Tore ist eingipflig und symmetrisch und lässt sich augenscheinlich recht gut durch eine Normalverteilung (mit den Parametern mu=32.18 und sigma = 4.76) beschreiben: bei einer normalverteilten Zufallsvariable liegen durchschnittlich 68% der Realisierungen innerhalb des Bereichs Mittelwert +/- 1*Standardabweichung, 95.5% innerhalb des des Bereichs Mittelwert +/- 2* Standardabweichung und 99.7% innerhalb des Bereichs Mittelwert +/- 3* Standardabweichung - das passt gut zu den Beobachtungen der empirischen Verteilung (hier: 27 bis 37 Tore: 69.1%, 23 bis 42 Tore: 96.4%, 18 bis 46 Tore: 100%.
Der Sinn, eine empirische Verteilung durch eine parametrische Verteilung zu approximieren, besteht unter anderem darin, dass man anhand der parametrischen Verteilung auch Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von sehr unwahrscheinlichen Ereignissen treffen kann. Im konkreten Fall, geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft mit den wenigsten Toren 0 Tore erzielt. Dieser Wert (0, bzw. 0.49999999) liegt rund 6.65 Standardabweichungen unterhalb des Erwartungswert (32.18). Bei einer normalverteilten Zufallsvariable würde diese Wahrscheinlichkeit rund 1.4 * 10^-11 betragen, d.h. nur einmal alle 70 Milliarden Jahre würde man so ein Ereignis erwarten. Zum Vergleich: man rechnet damit, dass die Erde nur noch 2 bis 3 Milliarden Jahre bewohnbar ist.
Anmerkung 1: Schaut man sich die historische Entwicklung an, scheint es einen Trend zu geben, gemäß dem sich ca. alle sechs Jahr die Anzahl der Tore der schlechtesten Mannschaft um ein Tor verringert. Gemäß diesem Trend würde man für aktuelle Saisons erwarten, dass die Mannschaft mit den wenigsten Toren nur ca. 28 Tore - statt 32 Tore - erzielt, so dass sich der Abstand zur "Null-Linie" verringert. Gleichzeitig würde so ein Trend aber auch einen Teil der beobachteten Torschwankungen im Zeitverlauf "wegerklären", so dass sich das Verhältnis aus Mittelwert und (unerklärter) Schwankungsbreite - zumindest für aktuelle Saisons - eher noch vergrößert, d.h. die Wahrscheinlichkeit Null Tore zu beobachten noch verringert hat.
Anmerkung 2: Die Analyse deckt nur die Auswirkungen "alltäglicher Zufälle" in Bezug auf die Anzahl erzielter Tore einer Mannschaft ab, die sich aus Formschwankungen, Pech bei der Chancenverwertung oder unglücklichen Schiedsrichterentscheidungen ergeben können. Nicht abgedeckt sind Ereignisse, die dazu führen können, dass eine Mannschaft systematisch in sehr vielen Spielen einer Saison keine - oder nur sehr wenige - Tore erzielen wird. Beispiele hierfür könnten Unglücksfälle sein, bei denen die besten Spieler einer Mannschaft (ab Beginn der Saison) dauerhaft ausfallen, Sanktionen der Bundesliga gemäß denen viele Spiele eines Vereins als zu Null verloren gelten oder - wie im Fall von Tasmania Berlin in der Saison 1964/65 - die Teilnahme von außergewöhnlich schlechten Mannschaften aufgrund von Quotenregelungen (hier bezüglich der regionalen Herkunft), die dann von den anderen Mannschaften kräftig vermöbelt werden.
Quellen:
Normalverteilung – Wikipedia
Normalverteilung Dichtefunktion Dichtefunktionen der Normalverteilung N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} : N ( 0 ; 0 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)} (blau), N ( 0 ; 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)} (rot), N ( 0 ; 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)} (gelb) und N ( − 2 ; 0 , 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)} (grün). Verteilungsfunktion Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen: N ( 0 ; 0 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)} (blau), N ( 0 ; 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)} (rot), N ( 0 ; 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)} (gelb) und N ( − 2 ; 0 , 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)} (grün) Parameter μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } – Erwartungswert σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma ^{2}>0} – Varianz ( μ {\displaystyle \mu } ist Lageparameter , σ {\displaystyle \sigma } ist Skalenparameter ) Träger T X = R {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}=\mathbb {R} } Dichtefunktion 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ σ ) 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)} Verteilungsfunktion 1 2 ( 1 + erf ⁡ ( x − μ 2 σ 2 ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)} – mit Fehlerfunktion erf ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {erf} (x)} Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } Median μ {\displaystyle \mu } Modus μ {\displaystyle \mu } Varianz σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}\,} Schiefe 0 {\displaystyle 0} Wölbung 3 {\displaystyle 3} Entropie 1 2 log 2 ⁡ ( 2 π e σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi e\,\sigma ^{2})} Momenterzeugende Funktion exp ⁡ ( μ t + 1 2 σ 2 t 2 ) {\displaystyle \exp \left(\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)} Charakteristische Funktion exp ⁡ ( i μ t − 1 2 σ 2 t 2 ) {\displaystyle \exp \left(i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)} Fisher-Information I ( μ , σ ) = ( 1 / σ 2 0 0 2 / σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}} I ( μ , σ 2 ) = ( 1 / σ 2 0 0 1 / ( 2 σ 4 ) ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}} Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß ) ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen . Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird auch Gauß-Funktion , gaußsche Normalverteilung , gaußsche Verteilungskurve , Gauß-Kurve , gaußsche Glockenkurve , gaußsche Glockenfunktion , Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Sie hat die Form f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},\quad x\in \mathbb {R} } mit dem Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } und der Standardabweichung σ {\displaystyle \sigma } . Die besondere Bedeutung der Nor
https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
Astronomie: Forscher berechnen Todeszeitpunkt der Erde
Eigentlich geht es um die Suche nach Leben im All: Astronomen haben berechnet, wie viel Zeit ferne Exoplaneten in der lebensfreundlichen Zone verbringen. Doch die Daten gelten auch für die Erde - und der steht in rund 1,75 Milliarden Jahren ein schreckliches Ende bevor.
https://www.spiegel.de/wissenschaft/weltall/astronomie-forscher-berechnen-todeszeitpunkt-der-erde-a-923360.html
HISTORIE: Schwache Tasmania - Feature 65_66
bundesliga.com
https://www.bundesliga.com/de/bundesliga/news/1965-66-tas-sorgt-fuer-saison-der-trostlosigkeit_0000114495.jsp
Quellen (Anzahl der Tore):
Die benötigten Daten zur Anzahl der Tore der Mannschaften mit den wenigsten Toren pro Saison wollte ich mir ursprünglich von Bing-Chat mit der folgenden Anfrage beschaffen:
"Nenne mir für alle Saisons der Fußball Bundesliga die Mannschaften mit den wenigsten Toren." [weiter][weiter][weiter]
Bing gibt daraufhin zwar eine vollständige Ergebnisliste aus - die Einträge waren aber fast alle falsch. Ich habe daraufhin die historischen Daten von Bundesliga 2022/2023 - Aktueller Spieltag
wie mit einem Python-Skript wie folgt ausgelesen: