Warum gibt es in der westlichen Musik kaum Lieder, in denen Vierteltonschritte verwendet werden?
Zunächst einmal: Diese Antwort ist von vorn bis hinten rein spekulativ. Niemand wird hier ein "Warum" belegen können.
Dann: Wo gibt es eigentlich Musik, die sich nicht nahe an diatonische Tonschritte hält? Bei Alphörnern, wo man die Naturtonreihe nimmt, wie sie ist., und bei Dudelsäcken — hier ist man sich einig, dass die Töne keinen gleichmäßigen Stufen einer zwölffach unterteilten Oktav entsprechen; der Rest ist schwierig.
Es hat jedenfalls in beiden Fällen mit Instrumenten zu tun. Nächste Spekulation: Im Mittelmeerrraum wurde Musik vorrangig, oder prestigeträchtiger, mit Saiteninstrumenten gemacht. Saiteninstrumente stimmt man einfachsten, indem man sich von einer Saite den Flageoletton vom Drittel der Saitenlänge nimmt (die Duodezime) und die nächste Saite eine Oktav tiefer als diesen Ton stimmt: die Quinte. Das führt zu einer Kette von Quinten.
Tatsächliche Praxis war in der Antike, dass man eine Oktav als Rahmen hatte und dazwischen Quinte und Quarte als feste Töne. In die Zwischenräume konnte man einen oder zwei weitere Töne legen, was zu Tonleitern mit fünf und sieben Tönen führte. Die Lage dieser Töne war ziemlich frei; beliebt waren die chromatischen und enharmonischen Tongeschlechter, bei denen von der ursprünglichen leeren Quart immer noch eine kleine oder gar große Terz als Tonschritt blieben und die zwei Töne sich in die übrigbleibende große oder kleine Sekunde pressten.
Ein Genus aber war das diatonische. Das bestand tatsächlich aus einer Kette von sieben Quinten, und fünf der Tonschritte waren Sekunden von der gleichen Größe, die auch schon zwischen der Rahmenquinte und -quarte bestand. Da Pythagoras sowohl die Intervalle der Oktav, Quarte und Quinte genau beschrieben hatte und sein Name immer noch im Matheunterricht fällt, hat diese "durchschreitende" ("diatonische") Leiter eine Menge Prestige. Die anderen griechischen Musiktheoretiker kennt der Mensch von der Straße eher nicht. Und die Leiter ist einfacher als die anderen, da sie nur zwei verschiedene Intervallgrößen hat. Das chromatische und enharmonische Genus hatten drei. (Eine seriöse Antwort hätte hier wiedergegeben, wie die pythagoräische Tradition durch Boethius und die katholische Kirche in den Rest von Europa kam.) Typisches Repertoire: der gregorianische Choral; wobei auch Luther für seine Kirchenlieder viele Melodien übernahm.
Jetzt gab es im Rest von Europa aber schon Musik, bevor christliche Missionare ihr Repertoire mitbrachten. Sowohl schriftliche Quellen als auch archäologische Fundstücke belegen für das keltische und germanische Nordeuropa vor allem eines: lange, gebogene Blechblasinstrumente, insbesondere die Luren.
Die fand man typischerweise in Paaren, ein Instrument vom andern um eine Quarte versetzt, so dass zum Beispiel eine Instrument einen C-Dur-Dreiklang spielen konnte (Teiltöne 6, 8, 9, 10, 12), das andere F-Dur (Teiltöne 3, 4, 5, 6,). In Kombination ergeben sich Melodien aus sechs Tönen der Durtonleiter — die Septime fehlt. "Alle meine Entchen" und andere Kinderlieder fallen darunter.
Die Terz dieser Naturinstrumente ist kleiner als die Terz, die sich aus der Stimmung in Quinten ergibt. Sie ist außerdem konsonant und ermöglicht dadurch die ganze mehrstimmige Musik, die sich in Europa entwickelt hat. Diese Leiter hat vier Intervallgrößen: den großen Ganzton, der mit der pythagoräischen Sekunde übereinstimmt, ein kleiner Ganzton und dafür ein etwas größerer Halbton. Dazu fehlt oben die Septime, so dass noch eine kleine Terz dazukommt ("Fuchs, du hast die Gans gestohlen"). Man kann aber auch die Tetrachorde C—F und G—C als gleich betrachten und hat so drei Schrittgrößen, die eine ähnliche Skala bilden wie das diatonische Genus der Griechen; es sind lediglich drei Töne etwa 18 Cent zu tief.
Aus dem Zusammenfall der Skalen ergab sich im allerspätesten Mittelalter die mitteltönige Temperatur und schließlich das gleichstufige 12tönig System, das im Lauf des 19. Jahrhunderts immer weiter anerkannt wurde.
Früher scheinen es in Europa aber neutrale Terzen und ähnliche Ungereimtheiten ohne Maß und Zahl gegeben zu haben. Barnaby Brown wirft am Ende des hier verlinkten Artikels, der Interessierten Dinge über die Dudelsackstimmung verrät, die sie bestimmt eigentlich lieber nicht gewusst hätten, einen Blick auf die Volksmusikpflege in Norwegen, die das zu erhalten versucht.
http://elearning.thepipingcentre.co.uk/wp-content/uploads/2013/03/PT38_AncientIntonation.pdf