Welchen Sinn hat die Quersumme einer Zahl in der Mathematik?
Irgendwann traf ich auf Youtube das Video von einer duften Biene an.
Das ware so ' ne Art Mathelehrerin; die wollte uns so bissele schlau machen.
Als Erstes kam Gometrie; da hatte sie die Schnittmenge eines Dreiecks mit einem Rechteck.
die Teilmemge war rot markiert und war zu berechnen.
Mittels einer genitalen Zerlegung gelang ihr das mit Hilfe versch. Kongruenzsätze.
So soll es auch sein.
Doch nun wollte sie uns ihre Kenntnisse aus dem Reich der Teiler vermitteln.
Das begann bereits damit, dass sie kühn behauptete, für die Teilbarkeit durch 7 gebe es keine Quersumme …
Auch hier hatte ich nichts anderes erwartet. Die Tuss ist einfach deshalb plem, weil sie nicht einsehen will, was schon seit Jahrhunderten bekannt ist. Mir juckte es förmlich in den Fingern; ich dachte mir, Mädchen halt mal deine süße Schnute. Sonst wirdt du zur Strafe von Hinten gefickt …
Also; wie funktioniert die Neunerprobe?
Es handelt sich um eine Abb. in den ===> Restklassenring mod 9
|N ===> |Z / 9 |Z ( 1 )
Merken wir uns; für Teilbarkeit durch n gibt es eine Quersumme Q_k ===> k_ter Ordnung ( dann und nur dann ) wenn
n | 10 ^ k - 1 ( 2a )
Nun gilt aber
9 | 10 ² - 1 ( 2b )
Und folglich ist die Q2, die Quersumme 2. Ordnung, eine Teilbarkeitsregel auf die 9 .
Jetzt kommt wieder der alte Witz
" Was sagt uns das? " " Nichts "
" Und was haben wir davon? " " Wieder nichts … "
Weil jetzt kommt die eigentl. Hauptsache.
Sämtl. que rsummen funktionieren auch modulo.
Also in ( 2b )
m = Q2 ( m ) mod 9 ( 3a )
Fruchtbar wird das ganze Spielchen aber erst durch die Symmetrisierung des Restklassenrings
|Z / 9 |Z = { 0 ; + - ( 1 ; … ; 4 ) } ( 3b )
Wir sind hier nicht verrückt. Wir zerlegen die zu untersuchende Zahl in Zweiergruppen; und dann schreiben wir unter jede Gruppe ihren Rest mod 9 gemäß ( 3b )
Den Rest einer zweistelligen Zahl mod 9 können wir auswändig bestimmen; d.h. gegenüber Wikis naiver Q1 haben wir eine erhebliche Beschleunigung der Rechenkapazität.
Und die Vorzeochen in ( 3b ) entsprechen der Politik; ich hebe darauf ab, dass sich am Ende immer alles zu Null weg interferiert. Auf jeden Fall bleiben die Zahlen " klein "
Nehmen wir juns gleich die Plutimikation vor, die kompliziertese Aufgabe.
573 X 492
Q2 ( 573 ) = 05 | 73 ( 4a )
73 = ( + 1 ) mod 9 ( 4b )
5 = ( - 4 ) mod 9 ( 4c )
573 = 1 - 4 = ( - 3 ) mod 9 ( 4d )
Hinweis. Da mod 9 die Q2 von der Q1 ab stammt, dürft ihr in diesem Ausnahmefall die Zweiergruppen sogar von Links abtragen.
Q2 ( 492 ) = 04 | 92 ( 5a )
92 = ( + 2 ) mod 9 ( 5b )
4 = ( + 4 ) mod 9 ( 5c )
492 = 4 + 2 = 6 mod 9 = ( - 3 ) mod 9 ( 5d )
Sämtliche Zahlen, die einen ggt mit der Basis 9 gemeinsam haben, sind ===> Nullteiler . In ( 4d;5d ) folgt demnach
573 X 492 = 3 X 3 mod 9 = 0 mod 9 ( 6 )
Das Ergebnis behauptet Wiki 281 916
Q2 ( 281 916 ) = 28 | 19 | 16 ( 7a )
16 = ( - 2 ) mod 9 ( 7b )
19 = ( + 1 ) mod 9 ( 7c )
28 = ( + 1 ) mod 9 ( 7d )
Ich denke an Hand von ( 7b-d ) erkennt man schon die Übereinst. mit ( 6 )
Und die Elferprobe entspricht der Abb. in den ===> Primrestklassenkörper F11. Überzeugt euch zunächst in ( 2a ) , dass auch bei der Elferprobe die Q2 voll in Kraft bleibt. In ( 3b ) müssen wir jedoch eine kleinere Änderung berücksichtigen:
F11 = { 0 ; + - ( 1 ; … ; 5 ) } ( 8 )
Statt ( 4b-d ) haben wir jetzt
73 = ( - 4 ) mod 11 ( 9a )
5 = ( + 5 ) mod 11 ( 9b )
573 = 5 - 4 = 1 mod ( 11 ) ( 9c )
Und ( 5b-d )
92 = ( + 4 ) mod 11 ( 10a )
4 = ( + 4 ) mod 11 ( 10b )
492 = 4 + 4 = 8 mod 11 = ( - 3 ) mod 11 ( 10c )
573 X 492 = 1 * ( - 3 ) = ( - 3 ) mod 11 ( 11 )
Vergleichewn wir wieder mit ( 7b-d )
16 = ( + 5 ) mod 11 ( 12a )
19 = ( - 3 ) mod 11 ( 12b )
28 = ( - 5 ) mod 11 ( 12c )
Nehmt es euch zu Herzen; nicht immer ist Wiki optimal.
( Ich genieße den Vorzug, dass mir das ja keiner erklärt hat … )