Was ist das besondere an Primzahlen?
Begfrifflich gilt es zu unterscheiden zwischen Primzahlen und unzerlegbaren elementen. u heißt unzerlegbar, wenn aus der Zerlegung
u = x y ( 1 )
folgt: x ist ===> Einheit; oder y ist Einheit. Beispiel: die 11 besitzt nur die beiden Zerlegungen
1 = 1 * 11 = ( - 1 ) * ( ( - 11 ) ( 2 )
( Beide; Plus wie Minus Eins, sind Einheiten. )
Dagegen eine Primzahl p ist etwas anderes; wenn p ein Teiler von x y ist, so ist p Teiler von x , oder p ist Teiler von y .
So ist 4 beispielsweise ein Teiler von 2 * 6 , aber weder von 2 noch von 6 . Daher nicht prim
p | x y ===> p | x v p | y ( 3 )
Jedes Primelement ist unzerlegbar. In ===> Euklidischen Ringen wie |Z gilt auch die Umkehrung, weshalb wir beide meist miteinander identifizieren.