N ist die Anzahl an Würfel-Würfen, die ich benötige, um genau eine 1 zu würfeln. Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten von N=1 bis 20 und wo hat die Kurve ihr Maximum?
Ich hatte mir das kurz überlegt und kam zu folgendem Schluss:
die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beim N-fachen Würfelwurf beträgt
6
N
Die Anzahl der gesuchten Ergebnisse, also all derjenigen, die genau eine 1 enthalten beträgt
N⋅
5
N−1
die 1 kann an N verschiedenen Positionen stehen und für die restlichen N-1 Positionen kommen nur noch die Zahlen 2–6 infrage.
Somit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit
P
N
=
N
6
⋅
(
5
6
)
N−1
Zur Suche nach dem Extremum kann man
P
N
+1
P
N
betrachten:
P
N
+1
P
N
=
N+1
N
⋅
5
6
Bei
N=5
ist dieser Wert
=1
. Bei
N<5
ist dieser Wert
>1
. Bei
N>5
ist dieser Wert
<1.
Somit liegt das Maximum bei N=5 und N=6
Man kann das für die ersten paar Zahlen natürlich auch kurz durch Ausrechnen prüfen:
p
1
=0.1667
p
2
=0.2778
p
3
=0.3472
p
4
=0.3858
p
5
=0.4019
p
6
=0.4019
p
7
=0.3907
p
8
=0.3721
p
9
=0.3489
p
10
=0.323
p
11
=0.2961
p
12
=0.2692
p
13
=0.243
p
14
=0.2181
p
15
=0.1947
p
16
=0.1731
p
17
=0.1532
p
18
=0.1352
p
19
=0.1189