Was ist 3 Sigma?
Ich kenne “Sigma” als eine Größe aus der Statistik. Wenn man eine “normalverteilte” Größe hat, dann gibt es für diese Größe einen Mittelwert (also der Wert, der am häufigsten auftreten wird) und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung um diesen Mittelwert, die Gaußförmig ist.
Normalverteilung – Wikipedia
Normalverteilung Dichtefunktion Dichtefunktionen der Normalverteilung N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} : N ( 0 ; 0 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)} (blau), N ( 0 ; 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)} (rot), N ( 0 ; 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)} (gelb) und N ( − 2 ; 0 , 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)} (grün). Verteilungsfunktion Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen: N ( 0 ; 0 , 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;0{,}2)} (blau), N ( 0 ; 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;1)} (rot), N ( 0 ; 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0;5)} (gelb) und N ( − 2 ; 0 , 5 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(-2;\,0{,}5)} (grün) Parameter μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } – Erwartungswert σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma ^{2}>0} – Varianz ( μ {\displaystyle \mu } ist Lageparameter , σ {\displaystyle \sigma } ist Skalenparameter ) Träger T X = R {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}=\mathbb {R} } Dichtefunktion 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ σ ) 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)} Verteilungsfunktion 1 2 ( 1 + erf ⁡ ( x − μ 2 σ 2 ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)} – mit Fehlerfunktion erf ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {erf} (x)} Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } Median μ {\displaystyle \mu } Modus μ {\displaystyle \mu } Varianz σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}\,} Schiefe 0 {\displaystyle 0} Wölbung 3 {\displaystyle 3} Entropie 1 2 log 2 ⁡ ( 2 π e σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi e\,\sigma ^{2})} Momenterzeugende Funktion exp ⁡ ( μ t + 1 2 σ 2 t 2 ) {\displaystyle \exp \left(\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)} Charakteristische Funktion exp ⁡ ( i μ t − 1 2 σ 2 t 2 ) {\displaystyle \exp \left(i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)} Fisher-Information I ( μ , σ ) = ( 1 / σ 2 0 0 2 / σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}} I ( μ , σ 2 ) = ( 1 / σ 2 0 0 1 / ( 2 σ 4 ) ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}} Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß ) ist in der Stochastik ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen . Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird auch Gauß-Funktion , gaußsche Normalverteilung , gaußsche Verteilungskurve , Gauß-Kurve , gaußsche Glockenkurve , gaußsche Glockenfunktion , Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Sie hat die Form f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},\quad x\in \mathbb {R} } mit dem Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } und der Standardabweichung σ {\displaystyle \sigma } . Die besondere Bedeutung der Nor
https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung?wprov=sfti1
Nur mal, weil beim Thema “Statistik” immer Würfel vorkommen: die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Würfel ist NICHT normalverteilt, sondern gleichverteilt, d.h. Jede Zahl auf dem Würfel wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt, vorausgesetzt der Würfel ist nicht gezinkt… Typische normalverteilte Größen sind zum Beispiel Messgrößen, beispielsweise irgendwelche Längen - sagen wir mal die Länge von Regalbrettern, die ein Schreiner zuschneidet. Die Länge dieser Bretter wird immer um eine gewisse Solllänge schwanken - je nachdem ob sie per Hand abgesägt werden oder maschinell, mal mehr mal weniger.
Zurück zur Größe “Sigma”: die Gaußfunktion, die normalverteilte Größen beschreibt, wird durch den Mittelwert charakterisiert, die Höhe und die Breite der Funktion. In der Statistik ist eine Besonderheit, dass die Fläche - das Integral - unter der Gaußfunktion immer gleich 1 ist. “1” bedeutet, dass alle möglichen Werte unter der Kurve liegen, mit anderen Worten: 100% der Messwerte (Längen der Regalbretter) werden durch den Wertebereich (x-Achse) der Kurve erfasst. Die Gaußfunktion für verschiedene Mittelwerte und Breiten sieht wie folgt aus (Quelle: Wikipedia)
Und wird durch folgende Formel beschrieben:
f(x)=
1
2π
σ
2
√
e
(x−μ
)
2
2π
σ
2
Wobei
μ
: der Mittelwert
σ
2
:
“Sigma” ist die “Varianz” der Funktion, ein Maß für die “Breite” derselben.
σ
selbst heißt auch “Standardabweichung”.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis/ein Messwert innerhalb eines Intervalls um den Mittelwert liegt, gilt dann:
68,3% der Messwerte liegen im Intervall vom Mittelwert
μ
minus der Standardabweichung
σ
bis
μ+σ
. Das ist der sogenannte “1 Sigma-Intervall”
95,4% der Messwerte liegen im “2 Sigma-Intervall vom
μ−2σ
bis
μ+2σ
99,7% liegen im “3 Sigma-Intervall”
Nehmen wir an, dass die Standardabweichung (Sigma) für unsere Bretter 1 mm ist (der Schreiner arbeitet mit der Hand und Zollstock), dann werden von 1000 zugesägten Brettern 3 außerhalb “3 Sigma” fallen und eine Längenabweichung von mehr als 3 mm haben, 997 (= 99,7%) werden kleinere Längenabweichungen haben.