Wie kann man die Aufgabe x⁴+6x²+1 lösen?
Hier ich mach dir die ganze Kurvendiskussion. ( KD )
f ( x ) = x ^ 4 - p x ² + q ( 1a )
p = ( - 6 ) ; q = 1 ( 1b )
eine biquadr. Fkt. ( BQF ) Im Gegentum zu deinem Lehrer habe ich ja meine Hausaufgaben gemacht; sämtliche BQF teile ich in Kategorien ein. ( 1ab ) gehört z.B. der Kategorie an
p < = 0 ; q > 0 ( 1c )
Funktionen des Typs ( 1c ) können keine reellen Wurzeln haben. Hier liegt ein Entartungsfall der cartesischen Vorzeichenregl ( CV ) vor; hier wie soll denn die Summe aus drei pos. Termen je Null werden? Trotzdem wollen wir aus gegebenem Anlass die komplexen Nullstellen suchen.
Wie es nicht geht. Ihr würdet jetzt diese z_Substitution machen
z := x ² ( 2a )
Dann wird aus ( 1ab ) die gewöhnl. quadr. Gl.
z ² + 6 z + 1 = 0 ( 2b )
und die Mitternachtsformel ( MF ) führt auf die Lösung
z1;2 = - 3 - + 2 sqr 2 = ( 2c )
= - sqr ( 9 ) - + sqr ( 8 ) ( 2d )
Das Problem. Das nützt uns überhaupt nichts; denn wegen ( 2a ) müssen wir über ( 2c ) noch einen Wurzelhaken machen. Und was kommt dann raus? ( 2c ) ist eine ===> Linerkombination ( LK ) aus dem rationalen Term 3 und dem Wurzelterm sqr ( 2 ) Eine solche LK möchte ich bezeichnen als verallg. Wurzel. Und unser Problem, aus einer verallg. Wurzel nochmals die Wurzel zu ziehen, bezeichne ich als Wurzelwurzel ( W W ) Dazu kommt noch - in ( 2d ) transparent gemacht - beide z_Werte sind negtiv; wir erwarten daher ( rein ) imag. Lösungen für ( 1ab )
Der korrekte Weg führt über Vieta " das geschmähte Stiefkind " , wie ich immer so gerne sage. Wir werden einen Handshake konstruieren zwischen Vieta und MF . Wie lautet der Vieta von ( 2b ) ?
p = z1 + z2 = ( - 6 ) 3a )
Und jetzt ein ganz schäbiger Trick; ich liiiiebe ausgefuchste Tricks. In ( 3a ) nimmst du die z_Prostitution ( 2a ) zurück:
p = x1 ² + x2 ² = ( - 6 ) ( 3b )
Kennst du diesen Witz?
" Und? Was sagt uns das? Nichts. Und was haben wir davon? Wieder nichts … "
Nein; meine Vorderlist geht ja noch weiter. Jetzt Vieta q :
u ² := q = z1 z2 = 1 ( 3c )
Die Betonung liegt auf der Einführung des neuen Parameters u ; aus ( 3c ) lässt sich sofort die Wurzel ziehen:
u = x1 x2 = 1 ( 3d )
Während also die MF den Umweg geht, den Term p/2 zu quadrieren, habe ich in ( 3d ) bereits zum ersten Mal die Wurzel gezogen.
Erste binomische; ( 3d ) ist die quadr. Erg. von ( 3b ) Seht ihr das?
( x1 + x2 ) ² = p + 2 u = ( - 6 ) + 2 * 1 = ( - 4 ) | sqr ( 4a )
x1 + x2 = 2 i ( 4b )
analog ( 4a ) die 2. Binomische:
( x1 - x2 ) ² = p - 2 u = ( - 8 ) | sqr ( 4c )
x1 - x2 = 2 i sqr 2 ( 4d )
Erstaunlich genug; die Lösung des W W Problems folgt aus dem LGS ( 4bd )
x1;2 = i [ 1 + - sqr ( 2 ) ] ( 4e )
Man darf ( 4e ) nicht missverstehen; " Plusminus Wurzel " bedeutet hier nicht etwa " konjugiert komplex "
Noch ein Wort zu Wolfram. In Wolfram steckt ja nun die geballte Intelligenz der klügsten Mathematiker; nur deshalb ist es ja so hilfreich. Z.B. beim Wurzel Ziehen beachtet Wolfram peinlich genau die Primfaktorenzerlegung des Radikanden.
Doch die Bearbeitung von BQF endet stets mit der Lösung ( 2c ) Hier bestätigt sich endgültig, was ich schon seit Jahrzehnten vermute: In Puncto W W besitze ich Priorität; niemand außer mir hat bisher diesen Zusammenhang bzw. die Notwendigkeit von W W erkannt.
Bietet man jedoch Wolfram umgekehrt Lösung ( 4e ) als Probe an, so ist Wolfram selbst redend in der Lage, die Richtigkeit zu verifitieren - so viel zu dem Thema KI …
Thema KD ; Mathelehrer halten die Schüler immer dazu an, die erste und zweite Abl. zu bilden - auf den Portalen hab ich ja die Musterlösungen verfolgt für Steckbriefaufgaben und KD. Hier nun schafft meine Kategorienlehre eine ganz entscheidende Übersicht.
Die ===> Topologie der Kurve wird ausschließlich bestimmt durch den Parameter p . Für p < = 0 hast du V_Form analog Parabel. Jedes gerade Polynom nimmt auf |R sein Abs Min an ; für BQF liegt dieses Min natürlich bei x = 0 .
In den Aufgabensammlungen intressiert man sich ausschließlich für den nicht trivialen Fall p > 0 Dann liegt W_Form vor; und die mittlere Spitze des W entspricht einem lokalen Max.
Die Seitenspitzen sind dann die Abs Minima; und zwischen Min und Max muss ja auch immer ein Wendepunkt liegen. Wenn ihr sowas mal brauchen solltet; Min und Wendepunkt sind völlig einfache, übersichtliche Funktionen von p . Und diese Formeln würde ich euch dann diktiere für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel.
( Ich hAB GRAD KEINE zEIT, WIRD FORT GESETZT )W