Wie kann ich den Term
5
y
2
−2
2y
+
y
2
−4
2y
zusammenfassen und vereinfachen?
Wir schreiben das jetzt korrekt mit x:
y = f ( x ) := ( 5 x ² - 2 + x ² - 4 ) / 2 x = ( 1a )
= 3 ( x ² - 1 ) / x = ( 1b )
= 3 ( x - 1/x ) ( 1c )
So; und jetzt will ich dich mal voll veraaschen. Was vermeinst du wohl, was ( 1c ) für eine Kurve ist?
" Gerade + Hyperbel "
" Gerade 3 x + Hyperbel gleich Minus 3/x "
Natürlich habe ich dich gefragt, um dich rein zu legen; weil du jetzt rein gefallen bist.
Gerade + Hyperbel = Hyperbel.
Kurve ( 1c ) ist eine Hyperbel. Und das werde ich dir jetzt beweisen. auf dem ( leider fossilen ) Portal " Lycos " war ich damit beschäftigt, eine ganz bestimmte Extremwertaufgabe zu lösen ( " Minimaxaufgabe " ) Und da transformierte ich so bissele hin und her, wie das so meine Art ist - immer wieder sagte ich mir, das kann einfach nicht sein … Folgende Umformung
y = 3 ( x - 1/x ) | - 3 x | * - 1 ( 1c )
3 x - y = 3/x | * x ( 2a )
F ( x ; y ) := 3 x ² - x y = 3 = const ( 2b )
Jeder Student im 2. Semester erkennt: Das was links von dem Gleichheitszeichen in ( 2b ) steht, ist eine ===> homogene quadratische Form ( HQF ) Und zwar stellen die Höhenlinien F ( x ; y ) = const ===> Kegelschnitte dar, entweder ===> Ellipsen oder ===> Hyperbeln in Abhängigkeit, welche ===> Eigenwerte die ===> Hessematrix der HQF hat. Sind beide Eigenwerte positiv, gibt es eine Ellipse:
( X/a ) ² + ( Y/b ) ² = 1 ( 3a )
Haben sie entgegen gesetztes Vorzeichen, ergibt sich eine Hyperbel.
( X/a ) ² - ( Y/b ) ² = 1 ( 3b )
Notieren wir einmal diese Hessematrix H im Fall ( 2b )
H =
F_xx F_xy = ( 4a )
F_xy F_yy
6 - 1 ( 4b )
- 1 0
In den Textbüchern wird die Säkulardeterminante immer so Mega kompliziert erklärt; wie findet man das Eigenwertpolynom einer 2 X 2 Matrix? Wir machen den quadr. Anatz
u ² - p u + q = 0 ( 5a )
Und jetzt folgt " Vieta das geschmähte Stiefkind " , wie ich das immer so gerne sage:
p = E1 + E2 = Sp ( H ) = 6 + 0 = 6 ( 5b )
q = E1 E2 = det ( H ) = 6 * 0 - 1 * 1 = ( - 1 ) ( 5c )
u ² - 6 u - 1 = 0 ( 5d )
Hinter der Überlegung ( 5bc ) steckt, dass Spur und Determinante Invarianten sind.
An sich ist ja klar, dass die Determinante in ( 5c ) negativ sein muss ( und somit beide Eigenwerte entgegen gesetztes Vorzeichen haben. ) In der Hauptdiagonale steht eine Null, und so trägt nur die Nebendiagonale bei. Und aus ( 5d ) folgen die beiden Eigenwerte
E1;2 = 3 - + sqr 10 ( 6 )
In sämtlichen Lehrbüchern gilt ja ( 3b ) als Normalform der Hyperbel; Normalform heißt, dass ihr diese Form immer erreichen könnt, wenn ihr nur das Zeichenblatt gescheit dreht ===> Hauptachsentransformation. Dem gegenüber habe ich also eine zweite, die " Alfonsinische " Normalform entdeckt.
Ihr müsst nur das Blatt so drehen, dass eine der ===> Asymptoten vertikal unter 90 ° C verläuft; dann nimmt die Hyperbel automatisch die einfache Form ( 1c ) , " Gerade + Hyperbel " , an.
Und jetzt rege ich einen Gedanken an, den ich an anderer Stelle schon mal hatte. ( 2b ) ist im Grunde eine dreidimensionale Funktion. Sie weist jedem Punkt der ( x | y )_Ebene einen z_Wert zu. Längst gibt es 3 D Programme, die einen solchen räumlichen Plot mit ===> verdeckten Kanten erstellen. Mein Rat; wer schon programmieren kann. Es ist eine ganz leichte Übung. Mein Chef wollte das Eingabeformat für die Datei
" Spalte Nr. eingeben für x , y , z Werte _? "
Längst gibt es auch Programme für die Höhenlinien des Gebirges ( 2b ) ( d.h. parallele Hyperbeln ) Aber was es zu meiner Zeit noch nicht gab; auf dem Hörfunksender SWR2 annoncierte mal eine von zwei Studenten gegründete Firma, die Aufträge für ihren 3 D Drucker einwarb.
( Mein Chef fragte noch, wie beschreiben Sie einen Telefonhörer mathematisch? )
Wäre doch Mega schick, wenn du Zugang zu einem 3 D Drucker hättest egal, ob privat oder kommerziell. Und dann erstellst du mit einem ad_hoc_Programm Datentripel für ( 2b ) , die grafisch schon mal schön aussehen - und druckst die 3 D aus. Und dieses Plastikgebirge bringst du dann in die Schule mit. Es zeigt ein Gebirge paralleler Hyperbeln, am Boden eingerahmt von ihren Asymptoten.
Wie man die ( beiden ) Asymptoten einer Hyperbel berechnet - da gibt es übrigens einen ganz schicken Trick. Auf der rechten Seite von ( 2b ) steht doch eine Konstante, in unserem Fall etwa 3 . Und jetzt tust du F ( x ; y ) einfach Null setzen:
3 x ² - x y = 0 ( 7a )
x ( 3 x - y ) = 0 ( 7b )
x = 0 v y = g ( x ) = 3 x ( 7c )
Wenn ihr das mal mit ( 1c ) vergleicht, wirkt ( 7c ) schon plausibel. Eine Kurvendiskussion muss aber auch immer nach Symmetrien fragen; und da fällt eben auf, dass ( 1c ) ungerade Symmetrie besitzt. Zufall?
Stellen wir uns eine Ellipse vor, dann wird das klarer. Jede Ellipse hat ja einen Mittelpunkt =: P0, in Bezug auf den sie Punkt symmetrisch verläuft. Und die Funktionsgleichung der Ellipse ist genau dann eine HQF , wenn du den Ursprung nach P0 verlegst.
Nun ist im Sinne der ===> Topologie die Ellipse eine zusammen hängende Kurve. Angenommen du hast zwei Punkte P1 und P2 auf der Ellipse. Dann kann ein fröhlicher Wandersmann von P1 nach P2 gelangen, ohne die Ellipse verlassen zu müssen.
Nicht so die Hyperbel. Diese besteht nämlich aus zwei ===> Zusammenhangskomponenten, ihren " Ästen " Und wenn du einen Punkt P1 hast auf dem linken Ast und P2 auf dem rechten, dann müsste der Wanderer das " verbotene Gebiet " durchqueren, um von dem einen Ast zu dem anderen zu gelangen. Aber auch hier gibt es ein Symmetriezentrum P0 , und zwar den Schnittpunkt der beiden Asymptoten. Und wenn du den linken Ast an P0 Punkt spiegelst, landest du bei dem rechten.
Wer kennt noch das 2. Keplersche Gesetz? Mir geht es hier um die Definition des Fahrstrahls, des " Radius Vector " Beschränken wir uns auf den rechten Ast, Defbereich x > 0 . Dann wird doch y, wenn wir uns dem Pol x_p = 0 von Rechts nähern, ( dem Betrage nach ) beliebig negativ. Wenn wir uns also einen Fahrsteahl vom Ursprung aus nach ( x | y ) denken, wird der im 4. Quadranten verlaufen und konvergiert gegen ß = ( - 90 ° ) ( Mir kommt es hier auf das Minuszeichen an. ) Und asymptotisch geht der Fahrstrahl gegen die Asymptote y = 3 x . Berechnen wir doch mal diesen Winkel. Ich hab meinen TR längst verschrottet und mach das jetzt mit Muttis Logtafel; wann hab ich schon mal so Rechnungen.
2.989 = tg 71 ° 30 ' ( 8a )
3.018 = tg 71 ° 40 ' ( 8b )
Hier wer kann noch interpolieren? Ich mach ' s ganz gern.
z/10 = 11/29 ===> z = 110/29 = 4 ( 8c )
3.000 = tg 71 ° 34 ' ( 8d )
Damit ergibt sich der Öffnungswinkel der Hyperbel zu
µ = 71 ° 34 ' - ( - 90 ° ) = 161 ° 34 ' ( 9 )
Eine Hyperbel mit Öffnungswinkel > 90 ° heißt gestreckt. Und? Warum sind gestreckte Hyperbeln so wichtig? Bei Lichte besehen ist ja ß eine ===> Polarkoordinate. Innerhalb unseres Defbereiches wächst sie von ( - Pi/2 ) bis zu dem ( positiven ) Wert ( 8d ) D.h. eine Nullstelle entspräche ß = 0 ; eine Hyperbel hat genau dann eine Nullstelle, wenn sie gestreckt ist. Prüfen wir das nach; in ( 1c ) finden wir trivial x0 = 1 .
Eine Hyperbel kann nur entweder ein Extremum haben oder eine Nullstelle, aber nie beides. Denn so wohl bei ( 1c ) als auch bei dessen erster Ableitung handelt es sich um quadr. Bedingungsgleichungen. Wegen der Punktsymmetrie verbleiben also nur noch eine pos. Nullstelle so wie ein pos. Extremum.
Von x = 0 kommend, müsste die Hyperbel demnach einem Maximum x_max zustreben. Wäre f_max < 0 , geht das schon mal gar nicht ; wegen der Nullstelle brauchten wir ja noch ein zusätzliches Minimum.
Ist dagegen f_max > = 0 , hättest du rechts automatisch zwei Nullstellen, demnach eine zu viel.
Ach eine kleine Ergänzung hätte ich noch. Wir hatten doch gesagt, in Alfonsinischer Normalform lautet die Hyperbel
f ( x ) = A x + B/x ( 10 )
Was dir vielleicht vertraut ist, sind die ===> gleichseitigen Hyperbeln. Diese sind dadurch definiert, dass ihr Öffnungswinkel 90 ° ist, bzw. die beiden Asymptoten stehen aufeinande senkrecht. Nun hatten wir aber gesagt, eine Asymptote ist eh identisch mit der Ordinate. Dann müsste die andere Logo mit der Abszisse zusammen fallen und damit A = 0 .