Warum ist ein Polynom 5ten Grades oder höher nicht durch Wurzeln auflösbar?
Dieses ganze Problem mit den ===> Radikalen . Es ist doch vorne und hinten nichts wert.
Um quadratische Gleichungen mit der “ Mitternachtsformel “ zu lösen, must du Quadratzahlen können. Stell dir vor, der Radikand ist eine Quadratzahl mit 4 711 Stellen. Kannst du Quadratzahlen in dem Zahlenraum? Dann nutzt dir auch die Mitternachtsformel nichts.
Ja schön; die Cardanoformel gibt dir die Möglichkeit, die Nullstellen eines Polynoms 3. Grades als Kubikwurzeln zu schreiben. Aber wie kann das sein; du bekommst ja drei verschiedene Lösungen. Wie kann eine Kubikwurzel DREI Lösungen haben?
Hast du dich schon mal mit den ( komplexen ) ===> primitiven Einheitswurzeln ( PEW ) beschäftigt? Im Komplexen hat eine Kubikwurzel tatsächlich drei Lösungen ( und eine n_te Wurzel hat entsprechend n Lösungen. )
Winkel sind wie Logarithmen; die Kubikwurzel ziehst du aus einer komplexen Zahl, indem du ihre Phase durch 3 teilst ===> Dreiteilung des Winkels .
D.h. im Hinterkopf wird quasi voraus gesetzt, dass du die Kubikwurzel aus jeder komplexen Zahl kennst …
Wwir mit unserem modernen Verständnis und dem modernen TR sind aber sehr geneigt, die Berechnung von sin ( 1/3 ß ) nicht als algebraisches, sondern als transzendentes Problem aufzufassen
( Sinus isrt eine ===> transzendente Funktion )
Das Ganze “ bringt dir also nichts “ Selbst wenn es möglich wäre, die 4 711 Wurzeln eines Polynoms 4 711. Grades mit Radikalen zu lösen, wären das immer noch die 4 711 verschiedenen ( komplexen ) Lösungen für PEW .
Aber bitte. In unserem Assistentenzimmer war ich zusammen mit “ Wolf “ , einem schmierigen Typ, der ständig Panik hatte, ich könnte irgendwas gelernt haben, was er noch nicht weiß. Wolf
“ Du musst mir bei der vorbereitung der Diplomprüfung helfen. Das ist in deinem eigenen Interesse; wir alle machen schließlich Mathe Nebenfach funktionentheorie ( FT ) “
“ Also erstens will ichmal nicht so sein; ich bin nicht unkameradschaftlich und einfach zu gut für diese Welt.
Aber müssen muss ic gar nichts, im Vordiplom hatten wir ja das Angebot, wer sich freiwillig für FT meldet statt D & I , kriegt eine Note besser, als er verdient
[ Bessere Note für weniger Arbeit ]
ich folgte stets dem Axiom: Erfolgserlebnisse soll man nicht wiedrholen; ich stelle mich dem thema ===> Galoistheorie. Das ist nun wirklich mein Alleinstelungsmerkmal … “
Und von da hab ich eben doch noch eine ganze Menge Ahnung. Mein Vorschlag: Wenn du dir wirklich die Galoistheorie antun willst, besorge dir unbedingt das Algebraskript von Otto Haupt / Göttingen. Ohne Haupt hätte ich es nie kapiert. Haupt benutzt da moderne Sprache, wo alle anderen Skripten nur mystisch wabern.
ich selbst hab noch den v.d.Waerden benutzt und das Skript von Reiffen_Scheja; auch emil Artin ist ein Klassiker.
gehe zum Hugendubel. Begib dich direkt dorthin. gehe nicht über LOS. Ziehe nicht € 4 000 ein.
Beim Hugen findest du das ganze Thema Mathematik sortiert; ein Regal vier Etagen hoch nur Algebra; alles was das Herz begehrt.
Als Erstes musst du verstehen, wie man überhaupt zu einer ===> Körper_Erweiterung kommt; warum sowas immer existiert. Also wie man Nullstellen ===> adjungiert.
Der nächste Schritt ist dann die Galoiserweiterung ( GE ) eine GE ist eine
1) endliche
2) normale
3) trennbare Körpererweiterung .
Oder alternativ der Zerfällungskörper eines trennbaren Polynoms.
alle endlichen Körper; alle Körper der Charakteristik Null sind ===> vollkommen.
Daher ist auf diesen Körpern der Zerfällungskörper eines jeden Polynoms eine GE .
Und jetzt kommt der Hauptsatz; in einer GE entsprechen FixGRUPPEN und FixKÖRPER einander eineindeutig
( In einem “ unvollständig “ zerlegten Polynom ist das nicht so. )
Daher ziehst du jetzt quasi einen Turm hoch; die Eigenschaften von Zwischengruppen und Zwischenkörpern entsprechen sich immer wechselseitig.
Ein Polynom heißt auflösbar, wenn seine Wurzeln durch Radikale darstellbar sind
( Ich habe im Hinterkopf, dass irgendein Prof ein Polynom angegeben hat, wo du beweisen kannst, dass es auflösbar ist; die Auflösung ist jedoch bis Heute nicht gelungen … )
Und ein Polynom ist eben auflösbar <===> Seine Galoisgruppe ist auflösbar.
Mein Eindruck auf den ganzen Matheportalen ist:
Die Matheprofs lassen Milde walten; was das ist, eine auflösbare Gruppe, wird heute im Curriculum nicht mehr verlangt.
Aber du bist ja unbelehrbar; “ Jugend muss sich austoben “ , wie der Berliner sagt.
Ob eine Gruppe auflösbar ist, entscheidet sich im Wesentlichen, wenn du so eine russische Puppe aus ihren Quotienten_Quotienten_Quotienten … Gruppen bildest; ich erinnere mich noch dunkel ( und mit Schrecken ) an den ===> Satz von Jordan_Hölder.
Also ICH bin jedemal froh, wenn ich schon kapiert hab, was die Mathematiker mit Quotienten erster Ordnung vorhaben …
Auch ich bin übrigens Anhänger ( mehrerer ) Verschwärungstheorien. angeblich fiel Galois in einem Duell mit einem Bllen; komisch. Noch die Nacht vorher ließen sie ihn seine Theorie zu Papier bringen …
Meine Theorie; die haben den nur aus dem Verkehr gezogen so wie weiland Luther mit seiner Wartburg
“ An sich müssten wir Sie ja einbuchten, weil Sie so gar kein bisschen königstreu sind.
Aber Frankreich liegt uns doch allen am Herzen; Chiffrieren und Dechjiffrieren von Codes ist doch Ihre Domäne. Könnten Sie sich wirklich nicht vorstellen, als Undercover für Se. Majestät zu arbeiten? “
Ist das nicht ine der klassischen ===> Falltürfunktionen? aus den Wurzeln eines Polynoms bekommst du über Vieta trivial seine Koeffiienten; aber der umgekehrte Weg …