Was ist der unterschied zwischen die Agentur für Arbeit und die Arbeitsagentur?
"Agentur für Arbeit" ist die offizielle Bezeichnung.
Aber Menschen sind faul, Deutsche bilden da keine Ausnahme. "
Arbeitsagentur" ist einfacher auszusprechen (vom Rhythmus her), also benutzen die Leute das Wort lieber.
Außerdem sprechen geschätzte 60% der Deutschen kein vernünftiges Deutsch (Missachtung der Fälle, Satzbau, Fehlnutzung von Worten, Nicht-Trennen von Dialekt und Hochdeutsch, Slang-Ausdrücke usw.). Da wäre es schon fast verwunderlich, wenn jemand für irgendetwas die korrekte Bezeichnung verwendete.
Und nur für den Fragesteller, der sich wahrscheinlich viel Mühe gibt, die Sprache zu lernen:
Was ist der Unterschied zwischen der Agentur für Arbeit und der Arbeitsagentur?
oder
"Was ist der Unterschied zwischen der Agentur für Arbeit und (der) "die Arbeitsagentur"?
"Unterschied" als Hauptwort groß geschrieben.
Agentur für Arbeit und Arbeitsagentur stehen in dieser Frage im Dativ, daher das "der". "die" wäre dort falsch.
Im zweiten Beispiel ist "die Arbeitsagentur" als Eigenname mit Artikel zur Verdeutlichung in den Anführungszeichen zusammengefasst, daher wäre das "die" speziell dort auch korrekt. Beim lauten Vorlesen des Satzes würde man dann hinter dem "und" eine minimale Pause machen, um zu verdeutlichen, dass das "die" zum Eigennamen Arbeitsagentur gehören soll. Schriftlich greift man zum Hilfsmittel der Anführungszeichen, wobei ich jetzt gerade nicht weiß, ob das wirklich korrekt wäre. Es versteht aber jeder.
Das (deswegen von mir in Klammern gesetzte) "der" fällt in der Variante weg, weil es absolut holprig und dämlich klingen würde. Ganz streng genommen wäre es aber richtig.