Wie kann man diese Rechnung 0= x⁴+5x³+8x²+4x lösen? Was gibt es für Rechenverfahren und kann es jemand Schritt für Schritt lösen (denn ich als *hust* Super-Mathegenie *hust* komm nicht weiter)?
Ich geb ' s ja zu; ich habe bei Wolfram gespickt. Doch jetzt werde ich dir erstmal beweisen, dass Mathematik - historisch gesehen - gsr nicht so unspannend ist. Wäre aber nett, wenn du diese meine Erkenntnisse " mit deinem Lehrer teilst " , wie das heute so schön heißt.
Hast du je von dem äußerst fundamentalen ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) vernommen; ja kennt den dein Lehrer überhaupt??? Weil über dieses Theorem können wir dein Problem spielend knacken. Ich bitte aber erst mal um Aufmerksamkeit für meine historische Abhandlung.
Vielleicht ist die Moral von Märchen ja gar nicht so verkehrt. Der absolute Brüller; von Kl. 1b) ( und später noch bis 10d) ) war ich eng befreundet mit dem autistisch behinderten Busenfreund " Gert " , der übrigens erst mit 16 lesen lernte …
Weil völlig unbelehrbar hielt der fest an jener Formulierung
" Aladin und der Geist des Lampes … "
Das meinte der keines Wegs spaßig. Tot sicher hätte er mir die Frendschaft gekündigt, hätte ich auch nur die leiseste kritik gewagt …
Weil der Anfang des Märchens ist ja Welt berühmt. Aladin ist ( einziger ) Sohn eines Mittel losen Schneiders. Kurz nach dem Tod des Vaters besucht die Familie ein Betrüger, eben der zöse Bauberer, der vorgibt, sein " Oheim " zu sein. Ich finde die Geschichte vom SRN hat viel mit jenem Oheim gemein, wie du gleich sehen wirst.
Erfahren habe ich davon auf dem ( leider fossilen ) Portal " Lycos " Dort erhielt ich im Jahre 2011 jenen Komentar, der mein ganzes Leben verändern sollte. Der Schüler bzw. User " Ribek " , der mir schon öfter als hoch begabt aufgefallen war, trug mir darin den Inhalt des SRN vor. Meine Rückfrage, ob er der Entdecker sei bzw. meine Bitte um einen Beweis ließ er jedoch unbeantwortet.
Nun bin ich " ein höflichen Menschen " , um mit ===> Jürgen v. Manger zu sprechen. Ich nahm daher besagten Ribek als Entdecker an und bezeichnete die Aussage ihm zu Ehren als Ribektheorem.
Ja darin wurde ich durch die Lycosmoderation sogar noch bestärkt. Ich erfuhr nämlich, dass einige User, die genau so vorwitzig sind wie ich, jenes Ribektheorem auf den verschiedensten Matheplattformen zur Diskussion gestellt hatten. Auf Lycos war man ganz allgemein schnell bei der Hand mit Sperrungen von Useraccounts. Und jene Zeitgenossen wurden eben unbarmherzig gesperrt mit der Begründung, bei " jenem Theorem " handle es sich um " geistiges Eigentum des Forums, da es ja auf dem Forum entdeckt " worden sei. Man habe also gegen den Urheberrechtsschutz verstoßen … ( Ein Student wusste gar zu vermelden, die Aussage des ( SRN ) habe bei seinem Übungsleiter in der Algebra Übungsgruppe größtes Ersaunen hervor gerufen. Wie heißt es doch so schön
" Da staunt der Laie; und der Fachmann wundert sich … " )
Und eines Tages eben verstand ich die Welt nicht mehr. Da giftete mich User " Ascon " an, ich sei ein " Troll " . Ein Ribektheorem habe es nie gegeben; das Dingsbums höre nunmal auf den Namen SRN , und sei Entdecker sei kein geringerer als Gauß . Genau diese Lesart übernehmen sämtliche Lehrbücher ( übrigens auch Wiki )
Seit dem sehe ich nur noch Rot. Weil es sich hier nämlich um den gezielten Versuch handelt, jenes anonyme Internetgenie zu enteignen und zu prellen, der der wahre Entdecker des SRN ist.
Wer bin ich - rein vom Charakter, meine ich. Mir fiel jene Gnade zu, in eine Klase gehen zu dürfen mit dem heute " Welt berühmten Künstler " ===> Siegfried Prillwitz. Mit 14 spielten wir noch zusammen; wenige Wochen später dann nicht mehr. Prillwitz
" Es gibt ganz klar Kinder, die gut sind und andere böse. Doch das ist eindeutig. Natürlich würdest du nie eine Bank überfallen; du eignest dich aber auch im Spiel nicht dazu, die Rolle des Bankräubers zu übernehmen. Das genau ist der Punkt. "
Die nicht triviale Rollenverteilung, die er sich jetzt ausdenkt, nötigt mir heute noch Bewunderung ab. Ich hätte da von einem Banküberfall gehört. In meiner Rolle als untadeliger " Robin Hood der Gerechtigkeit " hätte ich nun meinerseits den Bankräuber um seine Beute beraubt …
Prillwitz hatte darauf bestanden, die " Banknoten " in Echt mit Bleistift, Papier und Schere zu basteln. Ich möge bitte mit spielen; er spielte den Sheriff, der in einer Straßenkontrolle mein Fahrzeug anhält. Er bezichtigte mich des Banküberfalls, ich solle alles ableugnen …
Er sieht sich die Scheine doch etwas genauer an. Auf dem ersten steht vorne 100 DM und hinten 250.35 DM …
Der zweite hat vorne 1 000 DM ; die Rückseite ist leer. Und auf dem dritten stehen vorne 200 DM ; und der Betrag 500 DM auf der Rückseite ist - durch gestrichen …
Wegen Betruges und Geldfälschung sei ich verhaftet, hihi …
Auch ich habe im Gymnasium schon drei Fünfen geschrieben - alle in einer Matheklausur. Das hat mir an meiner Wiege niemand gesungen, dass ich dereinst Gutachter werden würde für die Jahrtausendfälschung auf dem Gebiete der Algebra.
A Propos Fälschung. Ich habe mehrfach erlebt, wie unser Mathelehrer, der Meisterfälscher und Scientologe Rolf Thierbach, ganze Klausurhefte von Hand abgeschrieben hat, nur um auf Weisung der Sekte die laufende Klausur zu fälschen. Ein vergleichsweise harmloses Beispiel; in Kl. 7d) setzte er in einer Geoklausur alle Dreien einheitlich hinauf auf 2 und alle Zweien einheitlich auf 3 . Wer hier gut ist in Gaußverteilung, mag nachrechnen, wie hoch dass die Wahrscheinlichkeit ist, dass so etwas unabsichtlich durch Zufall passiert - denn Vorsatz wird mit der Suspendierung geahndet.
Scientology ging es nur darum, die sprichwörtliche " sittliche Reife " der Klasse zu testen. Weil bei Besprechung der Korrektur fiel diese Ungerechtigkeit natürlich auf. Ich selbst gehörte zu den Gewinnern und wurde von 3 auf 2 herauf gesetzt. Darauf hin verbarrikadierten die Verlierer am Ende der ( sechsten ) Stunde die Klassentür und drohten uns bzw. mir mit " Klassenkeile, weil wir gefälligst das Maul hätten halten sollen "
Schau bitte selber nach im v. d. Waerden ( 1930 ) bzw. Emil Artin ( 50 ) , beide Urgestein auf dem Gebiete der Algebra. Auch dein Lehrer kennt das; der hat schließlich studiert. Er soll dir bitte bestätigen, dass weder Waerden noch Artin einen SRN kennen .
So viel zu dem Thema Gauß. Ich persönlich halte 1990 für das wahrscheinlichste Entdeckungsjahr; vielleicht fndet ja dein Lehrer Genaueres heraus. Die Zuschreibung des SRN an Gauß erinnert so bissele an Fälscher von Rembrandtgemälden, die sich in ihrer Chuzpe obendrein brüsten, wir sollten doch dankbar sein für die Erkenntnis, dass auch Rembrandt schon moderne Methoden einsetzte …
Meine Kritik setzt ja bedeutend tiefer an. So gibt es ( wahrscheinlich auch heute noch ) kein Lehrbuch und kein Skript, das Bruchzahlen in ein Polynom einsetzen würde.
Wie formulieren Mathematiker eigentlich ihre Theoreme? Ich würd mal sagen so ähnlich wie Juristen ihre Strafgesetze. So hatten im Jahre 1920 zwei 15_jährige Bengels einen PKW gestohlen. Der Verteidiger schärfte ihnen ein, sie sollten sagen, nein das sei nur jugendlicher Übermut gewesen. Sie wollten nur grad eben mal eine Spritztour ausprobieren …
Aha; ein Gesetz gegen das unbefugte Führen von KFZ musste her.
Wie sagt man im Deutschen so schön unübersetzbar?
Ich apelliere an deine Vernunft.
Die Aussage des SRN ist doch nur Sinn voll für primitive Polynome ( Warum !!! ??? )
Der SRN ist noch so druckfrisch, dass ihn die ganzen Kopisten voneinander falsch abschreiben. Als Beispiel zitiere ich Wiki; andere Textbücher sind da keines Wegs besser. Lässt doch Wiki gebrochene ( !!! ) Koeffizienten zu.
Zum Vergleich der Zwillingsbruder des SRN , der ja jetzt für die Schüler hoch interessant wird; ich meine den ===> Eisensteintest. Und der stammt wirklich aus dem Jahre 1880; da findest du die Bedingung " primitives Polynom " auch überall korrekt zitiert …
In Anbetracht der Lage an der Front sah ich mich gezwungen, in die Algebra eine neue Definition einzuführen.
" Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form mit der Normalform überein stimmt.
Oder was das selbe ist: Wenn seine Normalform ganzzahlig ist. "
Besaßen doch die selbst ernannten Mods auf dem Portal " Onlinemathe " , die so arm sind, dass sie von Online Nchhilfe leben müssen, die Frechheit, mich anzumachen, meine obige Definition sei schon im 19. Jh. nachweisbar …
Bitte versuche das folgende Korollar zum SRN jetzt selber nachzuvollziehen; wir werden es brauchen:
" Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "
Es gibt da viele Nägel, die ich schon auf Gauß seinen Sarg genagelt habe. Der folgende ist ganz edel. Kennst du noch den Beweis, dass Wurzel ( 2 ) irrational?
( Die Videos auf Youtube bieten alles, was das Herz begehrt; gestandene US Professoren erzählen dir da, ohne rot zu werden, warum ist sqr ( 2 ) irrational? Warum sqr ( 3 ) , warum sqr ( 5 ) und sqr ( 7 ) ? Hier das ist dem Schlumpf jedes Mal eine eigene Vorlesung wert … )
Halt Stop. Und du wirst den Beweis nunmehr per SRN führen; Junge das gibt ein " Vernunftargument im Kopf " …
Die Erleuchtung; im jap. ===> Zen Buddhismus heißt sie ===> Satori.
Darauf sind also weder Gauß noch seine Nachfolger je gekommen.
Was glaubst du? Kann der SRN von Gauß stammen?
Ich selbst erinnere mich an unseren " Streusel " in der Oberprima. Da hatten wir doch nochmal Wurzel ( 2 ) wiederholt. Fragt ein Knabe nach Wurzel ( 3 ) . Also vom SRN hat der Streusel nix gepfiffen ( Der wollte us nur mal prüfen; hihi .. )
( Ich bin der Abijahrgang 70 )
Jetzt habe ich aber genug geschimpft. Wenn in Kl. 1 und 2 unsere Frau Russ jeden Tag Pausen los schimpfte, statt ihren Unterricht zu machen, kam das den Wünschen der Klasse natürlich voll entgegen. Der lief dann jedes Mal voll die Soße runter - vor allem unter der Unterwäsche. Als Maso keuchte sie dann auch immer so Trieb feucht; und dann sprach sie die geflügelten Worte
" Mir tun bloß all die vielen guten Kinder Leid, die sich das alles hier anhören müssen, obwohl sie gar nix dazu können …. "
Einmal meldet sich Gisela. Auch ich sei inzwischen schon viel zu frech; und da müsse sie zur Abwechslung auch mal mich ausschimpfen. Da jammert sie rum, haaaach, ich sei doch immer ein so guuuutes Kind gewesen …
Da brüllt die Göre sie an
" Mensch halten Sie doch die Klappe; und hören Sie auf, von Dingen zu schwadronieren, von denen Sie keine Ahnung haben … "
Sie hat es geschluckt - einfach so …
Also. Du hast ein Polynom 4. Grades. Die anderen haben dir ja schon gesagt, dass man sofort die triviale Nullstelle x4 = 0 abspalten kann. Was du dann übrig behältst, ist ein normiertes Polynom 3. Grades.
g ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 1a )
a2 = 5 ; a1 = 8 ; a0 = 4 ( 1b )
Zur besseren Unterscheidung führe ich folgende Konvention ein; die Koeffizienten der Normalform bezeichne ich mit dem Buchstaben a_i und die primitive Form mit b_i ( s.u. )
Was man jedem Studenten in der Anfängervorlesung Algebra erklärt; mach dir bitte folgende Alternative bewusst:
" Entweder ein kubistisches Polynom ist prim; das ===> Minimalpolynom seiner drei ( irrationalen ) Wurzeln. Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab. "
Und dieser RLF ist natürlich ganzzahlig; siehe SRN . Da es ja für höhere Polynome doch keine allgemein verbindliche Lösungsstrategie gibt, mache ich den kühnen Ansatz, dass unser Polynom diesen RLF nicht nur abspaltet, sondern vollständig zerfällt.
Was heißt das jetzt? Ich sage ja immer, ===> Vieta das geschmähte Stiefkind. Der Vieta von " Hoch 3 " ist ja sehr wenig geläufig; kennst du ihn? Du kriegst ihn ganz bequem durch Auflösen der Produktdarstellung:
a0 = - x1 x2 x3 = 4 ( 2a )
Wie viel Möglichkeiten gibt es, die 4 in drei Teiler zu zerlegen? Eigentlich nur zwei; die triviale 4 = 1 * 1 * 4 so wie die nicht triviale 4 = 1 * 2 * 2 . Aber " Minus Mal Minus " gibt ja auch Plus. Wir wüssten also gerne, wie sich die Vorzeichen auf die drei Faktoren verteilen. Und hierfür gibt es die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV , die man den Schülern natürlich wieder vorenthält, weil sie so nützlich ist. )
( In der mündlichen Diplomprüfung Mathe Nebenfach Polynomalgebra konnte ich eine Eins Plus schaffen, ohne je von ihr gehört zu haben … )
Gleich für x > 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall. ( Hier wie soll denn auch eine Summe aus vier positiven Termen je Null werden, hihi … )
Im Falle x < 0 jedoch hast du drei V Z W . Die CV macht jetzt aber die zusätzliche Aussage, dass wenn sämtliche Wurzeln reell sind, ist die Anzahl der V Z W genau gleich der Anzahl Nullstellen. Und wir wetten ja, das sie alle reell sind; also drei negative.
In Wirklichkeit hat unser Ansatz mit der CV bereits Erfolg reich seine erste Hürde genommen. Polynomgrad 3 ist nämlich der kleinste Grad, wo du einem Polynom schon an der CV ansehen kannst, dass es nie in se Leben drei Nullstellen haben kann. Schnitz dir ruhig mal ein Gegenbeispiel; das wird jetzt deine Hausaufgabe.
Als Diskriminante wähle ich Vieta a2 ; er lautet
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 2b )
Schritt für Schritt wolltest du es gerechnet haben. Setzen wir doch beide obigen Ansätze in ( 2b ) ein:
x1 = ( - 4 ) ; x2;3 = ( - 1 ) ===> a2 = 6 ( 3a )
x1;2 = ( - 2 ) ; x3 = ( - 1 ) ===> a2 = 5 ; okay ( 3b )
Offenbar war unser Ansatz also gar nicht so verkehrt. Hinreichende Bedingung sind jedoch sämtliche Vietakoeffizienten; fehlt also nur noch a1 Hier lautet er
a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 = ( 4a )
Jetzt wird es eng; klappt es ider nicht?
= ( 2 + 2 ) * 1 + 2 * 2 = 8 ; hurra ( 4b )
Nun? Habe ich es dir Schritt für Schritt erklärt? Weißt du was ich gar nicht schön fände? In sämtlichen Internetforen war immer wieder diese mangelnde Zivilcourage zu bemerken. Die haben ja alle gelesen, dass ich mich für den SRN stark mache. Aber sie haben es nicht nur ihrem Lehrer verheimlicht ( damit der nicht merkt, dass sie ihre Hausaufgaben aus dem Internet abschreiben ) Sondern auch untereinander ignorierten sie mich in ihren Kommentaren. Da war also auf einmal nix mehr von Kameradschaft; urplötzlich war jeder bereit, seine Kameraden über den Tisch zu ziehen … Ich fände es daher nur fair, wenn du den Inhalt dieser Abhandlung als Referat bei euch im Unterricht vorträgst. Solltest du Zweifel hegen, dann drück es doch deinem Lehrer einfach in die Hand; Mensch ist das nix? Ein Gebiet, das euer Schrat noch gar nicht kennt?
Von Mathematikern wird vor allem eines erwartet: Flexibilität. D.h. den wahren Mathelehrer erkennst du daran, wenn ihn auf einmal ein Schüler mit einer Aufgabe konfrontiert, wo der sich vorher noch nie Gedanken drüber gemacht hat. Und uinser kleines SRN Beispiel zeigt eben doch: Das passiert schneller als du glaubst.
Du sagst, du bist kein Genie. Ich selbst bezeichne mich gerne als Genie zweiter Ordnung oder Genie der zweiten Reihe. So ganz typisch; mir blieb ja die Entdeckung des SRN versagt. Aber als typischer Physiker habe ich eben einen Blick, welche Theoreme wichtig sein könnten und was aus ihnen folgt.
Auch den folgenden Punkt möchte ich mal klar stellen. Hausaufgaben sollst du eigentlich gar nicht alleine machen; es wird erwartet, dass ihr euch mittags nach dem Essen gegenseitig besucht und miteinander diskutiert. Und in Ganztagsschulen helfen dir sogar die Lehrer. Hier wird endlichmal die Forderung verwirklicht, dass auch Lehrer pro Tag acht und nicht nur vier Stunden arbeiten sollen …
Und jeder darf dir helfen - die Eltern sowieso. Aber auch das Internet. Denn wenn du vor der Klasse das vorträgst, was ich dir heute gesagt habe, dann ist das ja kein stures Abpinnen.
A Propos Hausaufgaben. Schon ein Jahr vor der Einschulung war Astronomie mein erstes Hobby. Und über diese Geheimnis vollen Planetenatmosphären kam ich zu der Frage, was bedeuten diese Symbole, CH4 und CO2 ? Spätestens in Kl. 3 hatte ich es dahin gebracht, dass ich das " Chemiewunderkind " war mit den Kenntnissen, die man normal erst in Kl. 10 verlangt.
Und dann in Kl. 10 bei Herrn Herrrler bekamen wir normal Hausaufgaben. Das artete dann dahin gehend aus, dass die Klasse, wie Herrler später bemerken sollte, " von mir jedes Mal Satz für Satz, Wort für Wort und Komma für Komma " abschrieb. Und da manipulierte er eben ( wozu er die Erlaubnis vom Direx benötigte ) Er schützte vor, " rein vom Stundenplan aus organisatorischen Gründen " sei unsere Klassenfrequenz mit 36 einfach zu hoch. In Halbgruppen zu je 18 hatten wir Chemie, während die anderen im Wechsel gleichzeitig Physik hatten.
Was mir damals nicht weiter auf fiel, sondern erst jetzt, wo ich es schreibe. Dass meine Kameraden von mir abschrieben, war kein Akt der Anerkennung oder Bwunderung, sondern schlicht Ausbeutung, Nötigung und Erpressung. In den Internetforen siehst du ja auch oft so Naivlinge, die glauben, sie könnten einen User zur Antwort auf ihre Fragen zwingen.
Weil wie war denn die psychische Verfassung der Vergleichsgruppe? Das waren doch auch weiterhin meine Kameraden. Die hätten doch ohne Weiteres zu mir kommen können, könntest du mal grad kurz die Ergebnisse überprüfen? Das taten sie eben deshalb nicht, weil sie dazu schlicht zu hochnäsig und zu eingebildet waren. Die wollten mir so richtig zeigen, dass ich für sie der letzte Dreck bin; gegen Herrlers Manipulation verhielten sie sich völlig gleichgültig. ( Es kam auch keiner auf die Idee, " unbemerkt " in meine Gruppe zu wechseln … )
Ich glaube hier genau siehst du sehr schön die Ursache, warum kein Schüler bereit ist, den SRN in den Unterricht einzuführen. Ein Sonderschüler sagte mir mal, vor Gymnasiasten habe er eh keine Achtung. Kein Gymnasiast habe je mehr geleistet, als unbedingt gefordert. Ja dieses Verhalten sei so " standestypisch " , dass Gymnasiasten ein eigenes Schimpfwort ersonnen hätten für die, die es doch tun: Streber.
Und eines Tages eben machte sich Herrler über uns lustig ohne Ende:
" Ihr seid so dumm, dass ihr meine Manipulation nicht mal durchschaut habt. Das hat mich dann doch überrascht, weil ihr den ganzen Tag von nix anderem redet als der Entlarvung von Manipulationen. Nein; ich wollte einfach mal auswerten, welche Gruppe besser abschneidet. Und völlig überraschend seid das nicht ihr, sondern die Vergleichsgruppe. Die haben ja keinen so ' n Depp wie den Alfons schlicht und ergreifend, weil sie selber alle Deppen sind … "
Und dann apellierte Herrler an unsere berühmte " sittliche Reife " Ob sich denn keiner überlegt habe, dass er z.B. mit dem Ende von Kl. 10 mit der mittleren Reife abgehen werde.
" Und darum verhandle ich ab Jetzt mit euch wie mit vernünftigen Menschen. Keiner soll gezwungen sein, irgendwas abzuschreiben. Ab Heute gibt es keine Hausaufgaben mehr. Sagt mal; sind das meine Zeugnisnoten oder eure?
Und wenn ihr glaubt, ihr müsst noch üben. Dann kommt in Zukunft von euch aus zu mir und bittet mich höflich, dass ich euch Aufgaben geben soll … "
Weil damals war ich ja stolz wie Oskar. Aus meiner Sicht stellte sich das jetzt so dar, dass Herrler im Clinch mit mir unterlegen war und ich erstritten hatte, dass ich keine Hausaufgaben mehr machen brauchte. ( Ein Marxist mag wohl einwenden, ich hatte ein falsches Bewusstsein; und meine persönlichen Interessen gehen keines Wegs konform mit den Interessen der Klasse … )
( Man darf aber darüber nicht gänzlich vergessen, dass er ursprünglich wegen meiner Handschrift bzw. " Sauklaue " darauf bestanden hatte, ich als einziger solle meine Hausaufgaben maschinenschriftlich abgeben; von Da bis zur Befreiung von jeglichen Aufgaben ist dann doch ein gewaltiger Triumphzug … )
Langer Rede kurzer Sinn; die Ergebnisse von ( 3b ) fasse ich nochmal unmissverständlich zusammen. dein Polynom
f ( x ) := x ^ 4 + a3 x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 5a )
a3 = 5 ; a2 = 8 ; a1 = 4 ; a0 = 0 ( 5b )
hat die Produktdarstellung
f ( x ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ² ( 5c )
Damit wäre ich an sich fertig. Sag mal; hattet ihr schon Ableitungen und ===> Kurvendiskussion ( KD ) ? Doch; ich bin an sich ein Streber. Vielleicht liest mich ja auch jemand, den es intressiert. Um es mit dem Schweizer Kabarettisten ===> Emil Steinberger zu sagen
" Gääbet sie mir einen Funckch; es intressiert mich persönlich. "
Hier wäre Heinrich Spoerl gescheitert, hätte er in seiner ===> Feuerzangenbowle statt des Bömmel einen Schwyzer Lehrer auftreten lassen. Der klingt zwar viel komischer; Schwyzerdütsch besteht jedoch nur aus ===> Allofonen und lässt sich von Daher mit Feuerzangenorthigrafie überhaupt nicht darstellen. Vor allem das " CH " in " Buch " und " Küche " werden im Schriftbild nicht unterschieden; alleine das wäre schon sehr hilfreich.
Ich ernte ja immer Kritik ohne Ende, wenn ich betone
" Halt Stop; Ableiten is noch lange nich … "
Bevor ich auch nur eine Ableitung bilde, muss ich den Slalom abstecken, mir einen qualitativen Überblick verschaffen, wo sich überhaupt kritische Punkte verstecken. Knoten sind dazu schon sehr hilfreich, insofern war deine Aufgabenstellung durchaus ein hoffnungsvoller Anfang. Genau so wichtig scheint mir aber die Asymptotik dieses Polynoms.
Asymptotik. Als gerades Polynom geht ( 5a ) für x ===> ( - °° ) nach ( + °° )
Doppelte Nullstelle; eine gerade Nullstelle ( so wie hier die doppelte x1;2 = ( - 2 ) ) ist immer ein ( lokales ) Extremum. Wegen der Asymptotik unter Punkt 1) offenbar ein Minimum.
Maximum . Wir hatten ja gesagt x3 = ( - 1 ) ; damit ist die Funktion ( 5ab ) auf dem Intervall J1 := ( - 2 ; - 1 ) positiv. Dann muss in diesem Intervall aber ein Maximum x_max liegen.
Wendepunkt. Zwischen einem Minimum ( hier: x1;2 ) und dem folgenden Maximum ( hier: x_max ) liegt immer ein Wendepunkt; sagen wir x1_w
Abszissenschnittpunkt. x3 = ( - 1 ) ist eine einfache Nullstelle ( d.h. mit nicht verschwindender Ableitung ) Nach Durchlaufen von x_max überquert der Graf in x3 die Abszisse fallend von Plus nach Minus.
Asymptotik. Nach Rechts für x ===> ( + °° ) strebt jedes Polynom nach ( + °° )
Minimum. Wegen der Asymptotik unter Punkt 6) erwarten wir noch ein Minimum x_min . Und zwar wegen der Nullstelle x4 im Ursprung muss dieses x_min insbesondere noch links von der Null liegen.
Wendepunkt. Auch hier wieder zwischen x_max und x_min eine zweite Wendestelle x2_w
Versuchen wir, diese Erkenntnisse in ( zwei ) Ungleichungen zusammen zu fassen:
( - 2 ) < x1_w < x_max < ( - 1 ) < x_min < 0 ( 6a )
( - 2 ) < x1_w < x_max < x2_w < x_min < 0 ( 6b )
Jedes gerade Polynom nimmt auf |R sein globales Minimum an; im Falle ( 5ab ) ist dies offenbar x_min, weil auf J2 := ( - 1 ; 0 ) f negativ ist.
Der Unterschied zwischen ( 6a;b ) besteht darin, dass wir einstweilen noch nicht wissen, ob xw_2 links oder rechts neben x3 liegt. Und jetzt denk mal scharf nach, welche Vorteile meine Herangehensweise hat. ( 5a ) ist ein Polynom 4. Grades. Damit ist aber seine erste Ableitung vom dritten Grad ( und ihre Nullstellen sind sämtliche möglichen Extremata. )
Ein Polynom 3. Grades kann höchstens drei Wurzeln haben.
Sie werden auch alle gebraucht unter Ziffer 2) , 3) und 7) ; Prüfungen mit höheren Ableitungen können entfallen. analog für die Wendepunkte.
So und jetzt geht das los mit den Ableitungen. Gleich die erste Ableitung ist primitiv; unserer Konvention gemäß notiere ich ihre Koeffizienten als b_i
f ' ( x ) = b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 7a )
b3 = 4 ; b2 = 15 ; b1 = 16 ; b0 = 4 ( 7b )
Für Nachher benötige ich noch die Normalform; ich sag euch gleich warum.
g ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 7c )
a2 = 15/4 ; a1 = 4 ; a0 = 1 ( 7d )
Ich will jetzt mal, so lange wir uns mit Polynom ( 7a-d ) herum schlagen, dessen Nullstellen vorläufig mit x1;2;3 bezeichnen, damit das hier keine Verwirrung ohne Ende gibt. Gleich die erste, die wir kennen, ist x3 = ( - 2 ) Denn eine doppelte Wurzel von Polynom ( 5ab ) ist ja immer noch eine einfache ihrer ( ersten ) Ableitung. Und jetzt erhebt sich eben die schicksalsschwere Frage: Wie kommen wir an die beiden anderen dran? Rein formal hast du doch in ( 7c ) das quadratische Faktorpolynom h ( x )
g ( x ) =: ( x - x3 ) h ( x ) ( 8a )
wobei die Wurzeln von h wie üblich x1;2 heißen mögen. Du siehst, die Konvention war schon Sinn voll , " Minus 2 " als x3 zu bezeichnen. Und die Normalform von h ist entsprechend
h ( x ) =: x ² - p x + q ( 8b )
Was ist gegegeben, was ist gesucht? Die Koeffizienten ( 7d ) sind uns ja bekannt. Und p und q sind offenbar gesucht. Und da könn6t ihr euch eben freuen, dass ich schon in den 90_ern ein LGS entwickelt habe; ich habe es getauft " erste und zweite Alfonsinische pq_Formel " ( AF1 bzw. AF2 ) pq_Formeln sind wichtig, das wisst ihr. Eure Pauker glauben immer noch, es gebe nur eine pq_Formel, während ich schon insgesamt zwei entdeckt habe, hihi … ( Also außer den beiden AF noch zusätzlich zwei; wir wollen schon korrekt zählen … )
Noch zu dem Namen. Ich besitze einen Kronzeugen, dass Michael Ende seinen Millionenseller " Jim Knopf " für mich alleine verfasst hat. Und da fand ich es eben total witzig, meine Formeln zu taufen nach King Alfons 3/4 XII von Lummerland. ( Immer noch besser, als die Elementarteilchen " Quarks " nach weißem Käse zu benennen. )
Hier folgen die beiden AF; diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:
a2 = - ( p + x3 ) = 15/4 ===> p = ( - 7/4 ) ( AF1 ) ( 8c )
a0 = - q x3 = 1 ===> q = 1/2 ( AF2 ) ( 8d )
( 8c;d ) sind noch nicht mal gekoppelt; ihr habt bestimmt schon kompliziertere LGS gelöst. Hier bekam ich sogar mal das Lob, die AF ( unter diesem Namen ! ) sei mittler Weile die beste Formel.
Jetzt weiter mit der Mitternachtsformel ( MF ) , obwohl. Es gibt hier im Netz erstaunlich viele, die gleich mir die quadr. Erg. bevorzugen
" Macht was ihr wollt, aber macht ' s richtig. "
( 8cd ) führen auf das Endergebnis
x_max/min = 1/8 ( - 7 - + sqr 17 ) ( 9 )
Doch an dieser Stelle muss ich noch eine dringende Warnung aussprechen. Meine AF sind längst nicht so robust wie die euch ( bestens ) vertraute Polynomdivision ( PD ) Weil der PD ist es ja Wurscht, ob ihr die Polynome in primitiver, in Normalform oder einer anderen beliebigen Normierung eingebt. Dagegen meine AF akzeptieren das ( kubische ) Ausgangspolynom ausschließlich in der Normalform ( 7c ) Ich geb ja zu, dass ich anfangs selber damit Schwierigkeiten hatte. Aber ich meine, bei der MF seid ihr ja auch daran gewöhnt, dass die sich nur auf die Normalform bezieht; im Laufe der Zeit gewöhnt man sich schon dran.
Ach ja; für alle Interessenten der Beweis der AF. Der Vieta von ( 8b ) sollte bekannt sein:
p = x1 + x2 ( 10a )
q = x1 x2 ( 10b )
Ich erinnere an ( 2ab ) , das " Ei des Alfons " Was ich am Liebsten tute; den Rückwärtsgang einlegen. Die gebratenen Unbekannten fliegen euch förmlich ins Maul; setze ( 10b ) ein in ( 2a ) Das liefert dir dann ( 8d ) Entsprechend ( 10a ) in ( 2b ) ; das gibt ( 8c )
Jetzt mach ich grad noch die 2. Ableitung fertig
f " ( x ) = 12 x ² + 30 x + 16 = 0 ( 11a )
primitive Form
g ( x ) = b2 x ² + b1 x + b0 ( 11b )
b2 = 6 ; b1 = 15 ; b0 = 8 ( 11c )
Normalform
g ( x ) = x ² - p x + q ( 11d )
p = ( - 5/2 ) ; q = 4/3 ( 11e )
Na vielleicht mach ich ' s doch mal zu Fuß. Quadr. Erg. ist ( 5/4 ) ² = 25/16 Und der HN von 3 und 16 = 2 ^ 4 ist 2 ^ 4 * 3 Unter der Mitternachtswurzel steht also
( 3 * 25 - 4 * 16 ) / 2 ^ 4 * 3 = 11/ 2 ^ 4 * 3 ( 12a )
Nun darf man aber nie eine wurzel im Nenner haben; also musst du nochmals mit 3 erweitern, und das gibt dann
( 12a ) = 33/ 12 ² ( 12b )
so dass, wenn wir zum glücklichen Ende alles auf 12_tel bringen
x1;2_w = 1/12 ( - 15 - + sqr 33 ) ( 13 )
Nein ich bin nicht so tolerant wie eure Lehrer. Der TR bleibt mir in der Tasche; schließlich ist er weder ein Schub_noch ein Fensterladenrechner. Ungleichungen ( 6ab ) verlange ich zu Fuß mit Zahlentheorie; mühsam ernährt sich das Eichhörnchen …
Und zwar kämpfe ich mich im Häuserkampf von Straße zu Straße durch:
| x1_w | < 2 ( 14a )
1/12 ( 15 + sqr 33 ) < 2 | * HN ( 14b )
Analog Unbekannten besteht unsere Strategie darin, dass wir die Wurzel isolieren, auf eine Seite bringen:
15 + sqr 33 < 24 | - 15 ( 14c )
sqr 33 < 9 ( 14d )
Um ( 14d ) einzusehen, müssen wir ein m < 9 angeben, das gleichzeitig obere Schranke der Wurzel ist. Ein solches m kann es aber nur dann geben, wenn es gelingt, den Radikanden 33 auf die nächst höhere Quadratzahl auf zu runden.
sqr 33 < sqr 36 = 6 < 9 ( 14e )
Aber ist das nicht im Grunde verkehrte Welt? Da war zunächst ( die zu beweisende ) Aussage ( 14b ) , von der wir gerade nicht wissen, ob sie stimmt. Aus dieser haben wir uns dieses ( 14d ) geschnitzt, dessen Richtigkeit wir anderweitig zeigen konnten - verwirrend …
Sämtliche Umformungen sind zulässige ===> Äquivalenzumformungen der Ungleichung; du könntest die Schlusskette genau so gut rückwärts von ( 14d ) nach ( 14b ) verfolgen. ( 14b ) <===> ( 14d ) D.h. in dem Augenblick, in dem wir uns von ( 14d ) überzeugt haben, haben wir unsere Ausgangsbehauptung auch schon bewiesen.
| x_max | < | x1_w | ( 15a )
1/8 ( 7 + sqr 17 ) < 1/12 ( 15 + sqr 33 ) * HN ( 15b )
21 + 3 sqr 17 < 30 + 2 sqr 33 ( 15c )
Sortieren; Wurzeln nach Links, Zahlen nach Rechts.
3 sqr 17 - 2 sqr 33 < 9 ( 15d )
Aktion ===> Bendow, Lpriot. Haach ist das aufregend; wer gewinnt denn? Minuend oder Subtrahend?
Eine Differenz aus zwei Wurzeln schätzt man nach Oben ab, indem man den Minuenden auf die nächste Quadratzahl auf_und den Subtrahenden abrundet.
3 sqr 17 - 2 sqr 33 < 3 sqr 25 - 2 sqr 25 = 5 < 9 ( 15e )
Ich seh grade; wenn wir den LF unter die Wurzel ziehen, lässt sich Abschätzung ( 15e ) bedeutend verschärfen:
3 sqr 17 = sqr 153 < sqr 169 = 13 ( 15f )
2 sqr 33 = sqr 132 > sqr 121 = 11 ( 15g )
3 sqr 17 - 2 sqr 33 < 13 - 11 = 2 ( 15h )
Jetzt bin ich doch mal neugierig und hol den TR raus
sqr 153 = 12.37 ; sqr 132 = 11.49 ( 15i )
sqr 153 - sqr 132 = .88 < 1 ( 15j )
Damit ist die kleinste obere Schranke sogar 1 .
Ich geb ' s ja zu; ich hab in Wolfram gespickt. Ich meine die Frage, auf welcher Seite der Eins der Wendepunkt x2_w liegt; rechts. ( 6ab ) müssen richtig heißen
x_max < ( - 1 ) < x2_w < x_min ( 6a )
Wir untersuchen also jetzt
1 < | x_max | ( 16a )
1 < 1/8 ( 7 + sqr 17 ) ( 16b )
sqr 17 > 1 ( 16c )
( 16c 9 ist ganz analog ( 14d ) , nur mit dem Unterschied, dass wir hier auf die nächst niedrigere quadratzahl abrunden müssen:
sqr 17 > sqr 16 = 4 > 1 ( 16d )
| x2_w | < 1 ( 17a )
1/12 ( 15 - sqr 33 ) < 1 ( 17b )
sqr 33 > 3 ( 17c )
sqr 33 > sqr 25 = 5 > 3 ( 17d )
| x_min | < | x2_w | ( 18a )
1/8 ( 7 - sqr 17 ) < 1/12 ( 15 - sqr 33 ) ( 18b )
Und jetzt ordne ich ganz listig um:
21 + sqr 132 < 30 + sqr 153 ( 18c )
( 18c ) ist trivial wahr, da bereits getrennt für die Ganzzahlkomponente 21 < 30 so wie für die beiden radikanden 132 < 153