Wie kann ich das lösen? (z-2i) ^6=8i
Hier hilft eine gewisse Systematik weiter. Betrachten wir erstmal die sexte Wurzel Die imaginäre Einheit i hat Phasenwinkel = 90 ° C ; füglich werden wir für i ^ 1/6 die Phase 15 erwarten. Nächste Frage; was sind Sinus und Kosinus von 15? Hier werden wir nämlich die LMNTAre Darstellung brauchen; da gibt es nämlich einen fiesen Verbrechertrick. Wir gehen aus von dem alt bekannten Pythia und Goras
cos ² 15 + sin ² 15 = 1 ( 1 )
Se joke behind se sing ist nämlich die geschickte Ausnutzung eines ===> Additionstheorems ( AT ; hier: Sinustheorem )
sin 30 = 2 sin 15 cos 15 = 1/2 ( 2 )
Siehst du, dass ( 2 ) die quadr. Erg. von ( 1 ) ist? Unser Ansatz funktioniert überhaupt nur deshalb so reibungslos, weil sin ( 30 ) rational ist. Im Allgemeinen bekämst du ja nur irgendeinen Schrott; dagegen wir werden alles reduzieren auf die ===> Linearkombination von Wurzeln aus ganzen Zahlen ( wenn du das jetzt schon überblicken solltest ) Also Additionsverfahren ( 1 ) + ( 2 )
( cos 15 + sin 15 ) ² = 1 + 1/2 = 6/4 | sqr ( 3a )
Anmerkung; im Nenner darf nie eine Wurzel stehen; das hast du gelernt.
cos 15 + sin 15 = 1/2 sqr 6 ( 3b )
Analog ergibt das Subtraktionsverfahren ( 1 ) - ( 2 )
cos 15 - sin 15 = 1/2 sqr 2 ( 3c )
Das LGS ( 3b;c ) ist zu lösen . Es handelt sich gerade zu um den Prototyp eines LGS : die Lösung ist immer die selbe. Kosinus erhältst du als arithm. Mittelwert so wie Sinus als halbe Differenz:
cos 15 = 1/4 ( sqr 6 + sqr 2 ) ( 3d )
sin 15 = 1/4 ( sqr 6 - sqr 2 ) ( 3e )
Jetzt haben wir aber noch den Vorfaktor 2 ^ 3/6 = 2 ^ 1/2 zu beachten:
z1 = 2 i + 2 ^ 1/2 exp ( Pi i/12 ) = ( 4a )
= 1/2 ( 1 + sqr 3 ) + i/2 ( 3 + sqr 3 ) ( 4b )
Hurra; von Wolfram für Gut befunden. Hier du musst dir doch jetzt sagen: Du hast eine Polynomgl. sexten Grades; ergo a Tergo hat sie gemäß dem ===> Fundamentalsatz auch sechs Wurzeln. Aha; wir haben sechste ===> Einheitswurzeln ( EW ) Als ===> primitive ( PEW ) bietet sich an 360 °/6 = 60 ° entsprechend exp ( Pi i/3) ( Die Lösungsvektoren bilden ein Regel mäßiges Sechseck, das um 15 ° gedreht ist )
15 ° + 60 = 75 = Komplementwinkel ( 15 ) ( 5a )
und dem gemäß
cos 75 = sin 15 ( 5b )
sin 75 = cos 15 ( 5c )
z2 = 1/2 ( sqr 3 - 1 ) + i/2 ( 5 + sqr 3 ) ( 5d )
Und dann geht es weiter
15 + 2 * 60 = 90 + 45 ( 6a )
Die Verhältnisse lassen sich ja recht anschaulich am Einheitskreis ablesen; ich möchte aber mal ein Gefühl vermitteln, wie treffsicher AT sind:
cos ( 90 + 45 ) = - sin 90 sin 45 = - sin 45 ( 6b )
sin ( 90 + 45 ) = sin 90 cos 45 = cos 45 ( 6c )
z3 - 2 i = 2 ^ 1/2 ( i - 1 ) / sqr ( 2 ) = i - 1 ( 7a )
z3 = 3 i - 1 ( 7b )
Die Probe auf ( 7a ) erscheint besonders einfach:
w := i - 1 = exp ( 3 Pi i/4 ) * 2 ^ 1/2 | ^ 6 ( 8a )
w ^ 6 = exp ( 9 Pi i/2 ) * 2 ^ 6/2 = 2 ³ exp ( 4 Pi i ) exp ( Pi i/2 ) ( 8b )
exp ( 4 Pi i ) = 1 ; exp ( Pi i/2 ) = i ; ok ( 8c )
Aber versuchen wir es doch einmal direkt über den binomischen Lehrsatz:
( i - 1 ) ^ 6 = ( 1 - i ) ^ 6 = ( 9a )
= 1 - 6 i + 15 i ² - 20 i ³ + 15 - 6 i + i ² ( 9b )
Zählen wir wie üblich die Terme durch von k = 0 bis 6 . Gerade Potenzen von i sind reell; Spiegel symmetrisch hebt sich Term 0 weg gegen Term 6 . so wie Term 2 gegen Term 4 . Stehen bleiben nur ungerade Glieder
( 9b ) = ( - 6+ 20 - 6 ) i = 8 i ; ok ( 9c )
Gestern war ich einfach schon zu müde. Vor dem Einschlafen hab ich immer die besten Ideen. Wir sind eigentlich schon fertig; du merkst es nur noch nicht. Die drei Wurzeln z1;2;3 ( 4b;5d;7b ) sind " wesentlich " voneinander verschieden. Eine Wurzel von gerader Ordnung wie hier die sechste ist stets Punkt symmetrisch; du hast immer " Plus / Minus Wurzel " , weil ja auch " Minus Mal Minus " Plus ergibt. D.h. z4;5;6 generierst du aus z1;2;3 ganz easy, indem du statt " 2 i Plus Wurzel " sagst " 2 i Minus wurzel "