Wie ist die Gleichung
2
2x+1
−
−
−
−
−
√
3
=
x
3
−1
zu lösen?
2 ( 2 x + 1 ) ^ 1/3 = x ³ - 1 | ³ ( 1a )
Auf der rechten Seite von ( 1a ) steht die 2. binomische bzw. der ===> binomische Lehrsatz " Hoch 3 "
8 ( 2 x + 1 ) = x ^ 9 - 3 x ^ 6 + 3 x ³ - 1 ( 1b )
Fassen wir zusammen
f ( x ) := x^9 + a8 x^8 + a7 x^7 + a6 x^6 + a5 x^5 + a4 x^4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 ( 2a )
a8 = a7 = a5 = a4 = a2 = 0 ( 2b )
a6 = ( - 3 ) ; a3 = 3 ; a1 = ( - 16 ) ; a0 = ( - 9 ( 2c )
( Wir wollen ganz allgemein den Buchstaben a_k für die Koeffizienten der Normalform benutzen. )
So; an dieser Stelle ist wieder meine Hetzrede fällig über den Jahrtausendfake auf dem Gebiet der Algebra, den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Dies Mal mach ich ' s auch bedeutend kürzer als normal; versprochen. Wir haben nämlich noch viel vor.
Ich lernte den SRN kennen im Jahre 2011 auf dem ( leider fossilen ) Portal " Lycos " Der hoch begabte Schüler, User " Ribek " , der mir schon manchen nützlichen Tipp gegeben hatte, teilte mir solches mit in einem Kommentar zu einer meiner Antworten. Ich nannte es daher fortan das " Ribektheorem " , obgleich ich von Ribek nie eine Antwort erhielt, ob er der Entdecker sei bzw. auf meine Bitte um einen Beweis.
In dieser meiner Haltung wurde ich noch bestärkt durch einen Mannheimer User, der ein Online Tool betreibt analog Wolfram und dessen Logo ( vor seiner Deaktivierung ) der ===> Wittgensteinsche HE_Kopf war ( zu dumm, dass ich seinen Nickname verschwitzt habe. ) Der HE_Kopf ließ mich wissen, die Lycosmoderation habe " etliche User platt gemacht, weil ( dieses ) Theorem in Lycos entdeckt worden sei und folglich geistiges Eigentum der Plattform " sei. Die gemaßregelten User hätten sich erdreistet, " unter Umgehung des Urheberrechtsgesetzes dieses Theorem auf verschiedenen Matheforen " zu diskutieren … Ja ein Student wusste gar zu berichten, " völlig fassungslos " sei der Leiter seiner Algebraübungsgruppe gewesen. Tja da kann ich nur sagen, da staunt der Laie. Und der Fachmann wundert sich …
Bis mich schließlich eines schönen Tages User " Ascon " von Links anmachte, ich sei ein " Troll " Ein Ribektheorem gebe es gar nicht. Der Lehrsatz höre auf den Namen SRN ; und ich hätte bitte schön zu zitieren, dass besagter SRN auf Gauß zurück gehe. Genau so steht das auch bei Wiki et al, eben den ( wenigen ) Textbüchern, die ihn überhaupt zur Kenntnis nehmen. Und seit dem sehe ich nur noch rot; genau das ist die Jahrtausendfälschung.
Von den Moderatoren des Forums Mathelounge ließ ich mir ausdrücklich bestätigen, dass weder v.d. Waerden ( 1930 ) noch Emil Artin ( 50 ) , beide Algebrapäpste, beide Urgestein der Algebra, einen SRN kennen. Forscht selber nach; fragt eure Lehrer und Profs.
Wurzel 2 und kein Ende. Wer es vergessen haben sollte. Den kanonischen Beweis, warum Wurzel 2 irrational, findet ihr auf Youtube. Halt Stop; und jetzt das ganze nochmal mit dem SRN . Der Moment der Erleuchtung, im jap. ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori. Wenn doch der SRN schon 200 Jahre alt ist; warum lernt dann niemand diesen wesentlich einfacheren Beweis?
Mathematiker stopfen die Löcher in ihren Lehrsätzen auch nicht anders, als es Juristen mit ihren Strafgesetzen tun. Höchst wahrscheinlich stammt der SRN aus dem Jahre 1990 , eher später. Die Kopisten bringen es ja nicht mal fertig, ihn korrekt zu zitieren ( weil er noch so neu ist, hihi … ) Warum sieht denn niemand ein, dass die SRN Aussage überhaupt nur Sinn hat für primitive Polynome !!! ??? Wiki et al. halten gar gebrochene Koeffizienten für Denkbar. Vergleiche mit dem Zwillingsbruder des SRN , der authentisch aus dem Jahre 1880 stammt und nunmehr auch für Schüler Mega intressant werden dürfte. Ich meine den ===> Eisensteintest.
" Herr Zeuge Dr. Schmitt; Sie stehen unter Eid. Sind Sie wirklich völlig sicher mit Ihrer Behauptung, dass vor Ihnen noch kein Skript Bruchzahlen in Polynome eingesetzt hat? Oder nur ' fast ' sicher? " " Absolut sicher. Der Beweis: Noch in jener Woche des Jahres 2011, als ich die SRN Aussage von User Ribek erfuhr, gelang mir rein empirisch die Entdeckung einer unmittelbaren Verallgemeinerung der SRN Aussage, von der niemand außer mir weiß. Auch Wiki nicht. Die ===> Hornerfolge jeder rationalen Nullstelle ist ganzzahlig. Das hätte jedem förmlich in die Augen springen müssen, der Bruchzahlen in Polynome einfüttert. "
Die Problematik mit diesen primitiven Polynomen bringt es mit sich, dass ich in der Algebra eine Definitionslücke schließen muss:
Definition 1 ( Normiertes Polynom )
################################
Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form mit seiner Normalform überein stimmt. Oder äquivalent: Wenn seine Normalform ganzzahlig ist.
####################################################
Wir halten also fest: Unser Ausgangspolynom ( 2a-c ) ist normiert. Und jetzt sind wir erstmals im Stande, jene berühmte Ganzzahligkeitsaussage korrekt zu formulieren:
Korollar 1 zum SRN
#####################
Normierte Polynome können, wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.
#####################################################
Wie schrieb doch ===> Stanislav Lem so schön in seiner SF Satire " Der Elektrodrache " ?
" Wir müssen eine allgemeine Theorie der Elektrodrachen aufstellen. Der Elektrodrache auf dem Mond erweist sich dann als Sonderfall jener Theorie. "
Und wir stellen eine allg. Theorie aller normierten Polynome auf. Der Fall Wurzel 2 erweist sich dann als Sonderfall jener Theorie. Ob wohl Lem etwas ahnte? Weil er stellt seinem Elektrodrachen u.a. jene Aufgabe, er möge aus sich die Wurzel ziehen - wie der Text wohl im polnischen Original heißt? Ist es da auch ein Drache?
Gemäß SRN und Korollar 1 kann unser Polynom ( 2a-c ) ( dem Betrage nach ) nur die drei möglichen Wurzeln 1 , 3 oder 9 haben. Und gleich mit x0 = ( - 1 ) werden wir fündig. Polynomdivision ( PD ) könnt ihr alle. Schematisch läuft sie ab nach dem Verfahren
f ( x ) : ( x + 1 ) =: g ( x ) Rest f ( - 1 ) ( 3a )
wobei g ( x ) das Faktorpolynom 8. Grades ist. Zum Beweis von ( 3a ) rufe ich die äquivalente Form in Erinnerung
f ( x ) = ( x + 1 ) g ( x ) + f ( - 1 ) ( 3b )
Denn das Restpolynom bei PD muss ja vom Grad her kleiner sein als das Nennerpolynom ( x + 1 ) , d.h. der Rest muss vom Grade null sein. Und ein Polynom vom Grad null ist einfach eine c_Zahl. Jetzt setze in ( 3b ) x = ( - 1 ) ; dann folgt unmittelbar die Behauptung.
Ich will mich aber hier nicht auf das verrostete, quietschende, nicht geölte Zahnradgetriebe der PD einlassen. Genau genommen haben wir ja in ( 3ab ) eine PD durch Linearfaktor ( PDLF ) Und die meisten werden eben doch wissen: PDLF ist äquivalent Onkel Horner. Denkt daran, was ich euch unter Punkt 7 gesagt habe; Horner entpuppt sich eben doch als weit mehr als nur ein popeliges Rechenschema. wer weiß, welche Entdeckungen unser noch harren …
Bei Lichte besehen, ist ja Horner weiter nix als eine endliche ===> Folge:
p_n ( f ; - 1 ) ; n = 9 , … , 0 ( 4a )
p0 ( f ; - 1 ) = f ( - 1 ) ( 4b )
In ( 4b ) kommt also " das selbe raus " wie in ( 3a ) - Zufall? Ihr müsst die Folge auf einem Schmierzettel protokollieren und dürft nicht alles " im Sinn " behalten. In der Notation ( 3a ) gilt
p_9;8;7,6;5;4;3;2;1 ( f ; - 1 ) = a_8;7,6;5;4;3;2;1;0 ( g ) ( 4c )
das sind nur die " Noten " ; das Schema musst du alleine abrollen:
p9 ( f ) := a9 ( f ) = 1 = a8 ( g ) ( 5a )
p8 ( f ; - 1 ) := - p9 + a8 ( f ) = - 1 + 0 = ( - 1 ) = a7 ( g ) ( 5b )
p7 ( f ; - 1 ) := - p8 + a7 ( f ) = 1 + 0 = 1 = a6 ( g ) ( 5c )
p6 ( f ; - 1 ) := - p7 + a6 ( f ) = - 1 - 3 = ( - 4 ) = a5 ( g ) ( 5d )
p5 ( f ; - 1 ) := - p6 + a5 ( f ) = 4 + 0 = 4 = a4 ( g ) ( 5e )
p4 ( f ; - 1 ) := - p5 + a4 ( f ) = - 4 + 0 = ( - 4 ) = a3 ( g ) ( 5f )
p3 ( f ; - 1 ) := - p4 + a3 ( f ) = 4 + 3 = 7 = a2 ( g ) ( 5g )
p2 ( f ; - 1 ) := - p3 + a2 ( f ) = - 7 + 0 = ( - 7 ) = a1 ( g ) ( 5h )
p1 ( f ; - 1 ) := - p2 + a1 ( f ) = 7 - 16 = ( - 9 ) = a0 ( g ) ( 5i )
p0 ( f ; - 1 ) := - p1 + a0 ( f ) = 9 - 9 = 0 = f ( - 1 ) ( 5j )
Fassen wir die Ergenisse zusammen:
g ( x ) = x^8 + a7 x^7 + a6 x^6 + a5 x^5 + a4 x^4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 ( 6a )
a7 = ( - 1 ) ; a6 = 1 ; a5 = ( - 4 ) ; a4 = 4 ; a3 = ( - 4 ) , a2 = 7 , a1 = ( - 7 ) ; a0 = ( - 9 ) ( 6b )
Dass x0 = ( - 1 ) eine Lösung von ( 1a ) ist, erweist die Probe sofort. Aber es gibt ja nicht nur Wolfram; sondern ihr könnt auch googeln unter dem hervor ragenden Skript
" Arndt Brünner Polynome faktorisieren "
Keine Ahnung, welche Heuristiken hier eingesetzt werden. Diese Tools finden zusätzlich
r ( x ) := x ² - p x + q ( 7a )
p = 1 ; q = ( - 1 ) ( 7b )
Wie ülich machen wir PD
g ( x ) : r ( x ) =: G ( x ) ( 7c )
x^8-x^7+1x^6–4x^5+4x^4–4x³+7x²-7x-9):(x²-x-1)=x^6+2x^4–2x³+4x²-2x+9 ( 7d )
x^8-x^7–1x^6
#################################
#######2x^6–4x^5+4x^4–4x³+7x²-7x-9
#######2x^6–2x^5–2x^4
###############################
###########-2x^5+6x^4–4x³+7x²-7x-9
###########-2x^5+2x^4+2x³
################################
#################4x^4–6x³+7x²-7x-9
#################4x^4–4x³-4x²
##################################
####################-2x³+11x²-7x-9
####################-2x³+2x²+2x
###################################
########################9 ( x²-x-1)
Ein gefickter Editor, der Blank = ASCII 32 = HEX 20 nicht genau so behandelt wie alle anderen Zeichen. So wohl in unserem Intranet Mail als auch in unserem Screenshot konntest du so viel Blanks einfügen, wie du wolltest. SOL und EOL wurden überhaupt erst generiert, wenn du den Screenshot abgeschickt hast. Die Seite war echt 2 D und nicht so wie hier aus Zeilen aufgebaut.
( wird fort gesetzt )