Was versteht man unter Splines in der Numerik?
Splines sins stückweise Polynome; zu diesem Thema empfehle ich dir das Lehrbuch von Paddy Prenter. ( Das Wort bedeutet " Kurvenlineal " ) In der Uni geht es bei Leibe nicht so zu wie in der Schule. Es ist nicht zulässig, z.B. ein Polynom 3. Grades durch beliebige vier Bedingungen fest zu legen; das kann nämlich ====> schlecht konditioniert sein. Berühmtes Gegenbeispiel: Du hast Maximum und Minimum gegeben.
f ' ( x_min ) = 0 ( 1a )
f ' ( x_max ) = 0 ( 1b )
und jetzt noch den Wendepunkt
y_w := f ( x_w ) ( 2a )
f " ( x_w ) = 0 ( 2b )
Sind auch vier Bedingungen. Es geht aber schief, weil du die Mittelwertbeziehung hast
x_w = 1/2 ( x_max + x_min ) ( 3 )
Wenn du x_w beliebig vorgibst, hat dein LGS überhaupt keine Lösung …
Ein Typ, der offensichtlich auf Alexandere Hermite zurück geht, sind die Hermiteschen Splines. Das sind kubistische Polynome mit den Randb.
f ( x1 ) ; f ' ( x1 ) ; f ( x2 ) ; f ' ( x2 ) ( 4 )
D.h. in den Knoten hast du Schätzwerte für die Kurvensteigung. Du hast vier Basisfunktionen, die findest du in jedem Lehrbuch.
Als Alternative gibt es ja die B_splines; da schnitzt du dir die Ableitungen selber:
f_n ' ( x_n ) = f_n-1 ' ( x_n ) ( 5a )
f_n ' ( x_n+1 ) = f_n+1 ' ( x_n+1 ) ( 5b )
Es wird also nur gesagt, die Ableitungen in den Randpunkten sollen mit der jeweils anschließenden Kurve überein stimmen.
Ich entstamme ja einem Welt_Eöektronikkonzern. Mein Chef Günther Kaufmann verfügte ja über eine gesunde Halbbildung. In irgendwelchen Büchern, wo ich mich i8mmer fragte, wo der die ganze Literatur her hat, hatte er diese B_Splines gefunden; ich solle ihm die programmieren.
Ich will mal so sagen. Während meiner Diplomarbeit hatte ich auch ein LGS mit mehreren hundert Gl. zu lösen. Unser Assistenzprof " Hank Miller " schlug die Hände über dem Kopf zusammen; in seinem typischen " American dialect " meinte er
" Isch habs noch kein gesäin, dähr seine eigen LINGL schreibt. "
( Mit LINGL war die LGS routine aus dem Mathpack des Hochschulrechenzentrums gemeint. )
Hätte Kaufmann ein solches LINGL besessen; und hätte er gesagt, jetzt setzen Sie halt das LGS auf und lösen es; ich hätte mich dem Druck wohl gefügt. Denn für beispielsweise 100 Srtützpunkte brauchst du ein 200 X 200 LGS , dessen nummerisches Verhalten alles andere als überschaubar ist.
Beim Einschlafen kommen mir immer die besten Ideen. Manchmal bist du echt gezwungen, deinem Chef die Stirn zu bieten. Was ich nachentdeckte, waren - die Hermiteschen Splines … Nur hielt ich mich selber für den Entdecker.
Ich ließ mich leiten von den vier Unbekannten. Tatsächlich führte ich eine Transformation ein, die den Ursprung in den Mittelpunkt des Intervalls verlegt; dann zerfällt das Problem nämlich in zwei getrennte 2 X 2 Unterprobleme.
Mein Chef tobte; er gab erst Ruhe, als er mir diesen Band von der Paddy bestellt hatte. Und da hieltich ihm das Hermitesche Kapitel unter die Nase.
Du kannst so viel leisten und entdecken, wie du willst. Z.B. dieser Kaufmann glaubte mir gar nix. Der glaubte mir nur, was in irgendwelchen Büchern steht …
Inzwischen weiß ich sogar noch mehr. B_splines werden allgemein abgelehnt, weil ihr ===> Träger nicht ===> kompakt ist. will sagen: für die inflationäre Anzahl an Unbekannten wirst du zusätzlich noch bestraft; wenn du z.B. Datenpunkt y100 verschiebst, hat dies messbare Rückwirkungen auf den Kurvenverlauf etwa in x15. Bei Onkel Hermite nartürlich nicht.
Tja; so hab ich mal mein Geld verdient …