Sind alle Quadratwurzeln irrational?
Ich verstehe die Frage als “sind alle Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen irrational?”.
Nein, nicht alle - die Wurzel aus 9 ist zum Beispiel gleich 3, und das ist rational. Allgemein: rational sind die Wurzeln aus Quadratzahlen wie 4, 9, 16, 25, 49, … - aber auch nur die. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl, die einerseits rational, aber nicht selber ganzzahlig ist.
Das kann man ziemlich einfach beweisen. Angenommen, die Wurzel aus einer natürlichen Zahl
n
sei rational, dann muss sie als Bruch natürlicher Zahlen
p
q
darstellbar sein, und man kann
p
und
q
so wählen, dass
p
und
q
teilerfremd sind (also keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben). Nun ist nach Voraussetzung
(
p
q
)
2
=
p
2
q
2
=n
also ganzzahlig, also ist
q
2
ein Teiler von
p
2
, denn sonst wäre
p
2
q
2
nicht ganzzahlig. Also ist jeder Primfaktor von
q
2
auch ein Primfaktor von
p
2
. Die Primfaktoren von
q
2
sind aber genau die von
q
(nur mit verdoppeltem Exponenten), und die von
p
2
sind genau die von
p
. Nach Voraussetzung sind aber
p
und
q
teilerfremd, d.h. kein Primfaktor
≥2
von
q
ist auch Primfaktor von
p
; es bleibt daher nur die Möglichkeit
q
2
=1
und damit
q=1
— mit anderen Worten: wenn eine Wurzel aus einer natürlichen Zahl
n
rational ist, dann ist sie sogar ganzzahlig, und dann ist
n
eine Quadratzahl.