Das siebte Millenium-Problem handelt von Yang-Mills Gleichungen. Worum geht es dabei genau, verständlich ausgedrückt?
Yang Mills Gleichungen sind die partiellen Differentialgleichungen, die letztlich die Eichbosonen der starken und schwachen Wechselwirkung als Lösungen liefern.
Sie bilden eine Familie; zu jeder der Standard-Symmetriegruppen der Quantenfeldtheorie gehört eine Yang-Mills Gleichung. Nur der Fall
U(1)
wird meines Wissens nach beherrscht. Das führt auf die Quantenelektrodynamik (QED). Der Grund dafür, dass
U(1)
geht, ist, dass
U(1)
eine abelsche Symmetriegruppe ist (Einheitskreis).
Bei dem Preis-Problem geht es um einen recht klar umrissenen Fragenkreis im Zusammenhang mit nicht-abelschen Eichtheorien und dem Standard-Modell, z.B.:
Hat der niedrigste Anregungszustand einer Lösung immer eine positive Energie?
Kann man beweisen, dass die Lösungen nicht isoliert vorkommen können (Confinement)?
(Ende des verständlichen Teiles. Ich beschleunige jetzt etwas - aufpassen, dass keiner aus der Kurve fliegt):
Yang-Mills Gleichungen sind die Euler-Lagrange-Gleichungen eines Wirkungsintegrals
S=∫Tr(∗F∧F)
Dabei ist
F
das Yang-Mills Feld, mathematisch die Krümmung (Curvature) eines Zusammenhanges eines Hauptfaserbündels, also eines Bündels über einer Mannigfaltigkeit mit Faser = Strukturgruppe, die gerade die Gruppe von oben ist (im Idealfall also
SU(4)
oder
SO(1,3)
über dem Minkowski-Raum oder etwas ähnliches). Ein Zusammenhang ist in der Sprache der Differentialformen eine 2-Form, also reden wir bei der Wirkung über eine 4-Form
Tr(∗F∧F)
, die man über eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit integrieren kann.
F
ist definiert als
F=dA+gA∧A
(g eine durch die Physik definierte Konstante, die Wechselwirkungskonstante).
mit einem Zusammenhang des Hauptfaserbündels; also einer Lie-Algebra-wertigen 1-Form zu Lie-Algebra der betrachteten Strukturgruppe.