Gibt es eine Lösung zu diesem fürchterlich aussehenden Integral
∫
tan(2x)
cos
4
(2x)−
sin
4
(2x)
cot(2x)
exp(2tan(x))cos(4x)
sec
2
(2x)−1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
sec
2
(x)dx
?
Ja, gibt es. Zunächst einmal wissen wir, dass
sec
2
(2x)−1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
√
=|tan(2x)|
Um das Integral zu vereinfachen, brechen wir es in zwei Teile, nämlich
I
1
=∫
tan(2x)
cos
4
(2x)
e
2tan(x)
cos(4x)tan(2x)
dx=∫
cos
4
(2x)
sec
2
(x)
e
2tan(x)
cos(4x)
dx
Verwende nun:
cos
4
(2x)=
1
8
(4cos(4x)+cos(8x)+3)
Somit hat man:
I
1
=
1
8
∫
(4cos(4x)+cos(8x)+3)
sec
2
(x)
e
2tan(x)
cos(4x)
dx
Das gibt wiederum:
I
1
=
1
2
∫
sec
2
(x)
e
2tan(x)
dx+
1
8
∫
1
e
2tan(x)
cos(8x)
cos(4x)
sec
2
(x)dx+
3
8
∫
1
e
2tan(x)
1
cos(4x)
sec
2
(x)dx
Wir stoppen hier an der Stelle, und beschäftigen wir uns weiter mit dem zweiten Teil des Integrals, nämlich:
I
2
=−∫
sin
4
(2x)
cot(2x)
sec
2
(x)
e
2tan(x)
cos(4x)tan(2x)
dx
=−∫
sin
4
(2x)
cos(4x)
sec
2
(x)
e
2tan(x)
dx
Nun verwende die folgende Identität:
sin
4
(2x)=
1
8
(−4cos(4x)+cos(8x)+3)
Dann hat man:
I
2
=
1
8
∫
(4cos(4x)−cos(8x)−3)
sec
2
(x)
e
2tan(x)
cos(4x)
dx
Wenn man nun
I=
I
1
+
I
2
bleibt nur das folgende Integral übrig:
I=∫
sec
2
(x)
e
2tan(x)
dx
das man durch die folgende Substitution lösen kann:
u=tan(x)→dx=
1
sec
2
(x)
du
Somit hat man:
∫
1
e
2u
du=∫
e
−2u
du=−
1
2
e
−2u
+C
Das Endresultat ist dann:
I=−
1
2
e
−2tan(x)
+C
Da grundsätzlich
tan(2x)
|tan(2x)|
≠1
ist, ist dann die allgemeine Lösung wie folgt:
I=∫
tan(2x)
|tan(2x)|
1
e
2tan(x)
sec
2
(x)dx
Substituiere
z=2x
, somit
I=∫
tan(z)
|tan(z)|
1
e
2tan(
z
2
)
sec
2
(
z
2
)dz
Substituiere nochmal
u=tan(
z
2
)
, weiterhin beachte, dass
tan(2arctan(u))=−
2u
u
2
–1
Dann hat man:
I=−∫
2u
u
2
–1
1
|
−2u
u
2
–1
|
1
e
2u
du
Substituiere noch mal
v=
u
e
−2u
∣
∣
u
2
−1
∣
∣
(
u
2
−1)|u|
→du=−
(
u
2
−1)
e
2u
|u|
2u|
u
2
−1|
dv
Somit erhält man:
I=
1
2
∫1dv=
v
2
+C
Nach Resubstitution hat man
I=
u
e
−2u
∣
∣
u
2
−1
∣
∣
(2
u
2
−2)|u|
+C
Das Endresultat ist dann:
I=
tan(x)
e
−2tan(x)
∣
∣
tan(x
)
2
−1
∣
∣
(2tan(x
)
2
−2)|tan(x)|
+C