Ist
f(x)=0
die einzige Funktion, welche gerade und ungerade zur selben Zeit ist?
Ja.
Für eine gerade Funktion gilt
f(x)=f(−x)
.
Für eine ungerade Funktion gilt
f(x)=−f(−x)
.
Nehmen wir also an, die Funktion
f
ist sowohl gerade als auch ungerade und wählen wir irgendein beliebiges
x
aus. Dann gilt
f(x)=f(−x)=−f(−(−x))=−f(x).
Dann muss
f
aber für alle
x
null sein.