Warum beweisen wir nicht, dass die in der Physik verwendeten Funktionen kontinuierlich und differenzierbar sind?
Ganz viele Theorien der Physik werden in Form von Differentialgleichungen formuliert; d.h. die Physiker nehmen in diesen Theorien an, dass sie Raum, Zeit, elektromagnetische Felder, Gravitationsfelder etc. als stetig und differenzierbar betrachten können. Die Bewegungsgleichungen usw., die dann beim Lösen solcher Differentialgleichungen herauskommen, sind dann auch stetig und differenzierbar; da muss nicht erst extra was bewiesen werden.
Das hat aber nichts mit der Frage zu tun, ob und wie genau die mathematische Vorstellung "stetig" oder "differenzierbar" auch tatsächlich auf die Natur passt. ob also jede physikalische Fragestellung in dieser Form auch beantwortet werden kann. Zum Beispiel kommt es in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu sog. Singularitäten (in schwarzen Löchern), das sind Punkte in der Raumzeit, an denen irgend etwas eben unstetig ist (weil undefiniert, da wird irgendetwas durch Null geteilt) - was man nur so interpretieren kann, dass diese Theorie da eben nicht mehr anwendbar ist. Es gibt Physiker, die sich überlegen, ob Raum und Zeit gequantelt sind, ob es also überhaupt sinnvoll ist, von beliebig kurzen Entfernungen zu sprechen - wenn dem so ist, dann ist die Natur in diesen Größenordnungen eben nicht stetig; da hilft auch kein mathematischer Beweis.