Können Universitäten bezüglich der HZB bei den Schulen anfragen und diese bekommen?
Das könnten Universitäten sicherlich tun, werden es aber mit Bestimmtheit nicht tun. Es ist die Aufgabe des Studierwilligen die Hochschulzugangsberechtigung der Universität vorzulegen.
Sofern eine HZB im Ausland erworben wurde, unterliegt sie einem Anerkennungsverfahren in Deutschland. Näheres findet sich hier:
Ausländische Hochschulreife
Wenn ausländische Bildungsabschlüsse nicht reichen Reichen Ihre im Ausland erworbenen Qualifikationen nicht für die Aufnahme eines Studiums an einer deutschen Hochschule aus, haben Sie die Möglichkeit, sich in Studienkollegs auf die sogenannte Feststellungsprüfung vorzubereiten. Die Feststellungsprüfung erfolgt in den Fächern, die für Ihren angestrebten Studiengang relevant sind, und belegt, dass Sie alle erforderlichen Vorkenntnisse besitzen, um studieren zu können. Außerdem müssen Sie nachweisen, dass Sie über ausreichende deutsche Sprachkenntnisse verfügen.
https://www.hochschulkompass.de/studium/voraussetzungen-fuer-studium/hochschulzugangsberechtigung/auslaendische-hochschulreife.html
Weiterführende Links enden leider häufig im "Nichts". Die Anerkennung ist aber jeweils Ländersache. Es wäre also hilfreich zu wissen, in welchem Bundesland das Studium aufgenommen werden soll.