Wie löst Man (6x^3 - 5y^3 + 34 / 5) + (2x^3 - 3y^3 - 46 / 8) = 36 / 5?
8 x ³ - 8 y ³ + 34/5 - 23/4 = 36/5 | - 34/5 ( 1a )
8 ( x ³ - y ³ ) = 2/5 + 23/4 | * HN ( 1b )
160 ( x ³ - y ³ ) = = 2 * 4 + 5 * 23 = 123 ( 1c )
x ³ - y ³ = 123/160 ( 1d )
- es handelt sich um eine ===> implizite Fkt; den Plot seht ihr ja auf Wolfram. Mach ich euch also die Kurvendiskussion. Beginnen wir mit der Symmetrie. An Hand der Zeichnung ist unmittelbar klar: Der Graf verläuft symmetrisch zur fallenden WH . In der impliziten Darst. wird das transparent. ( 1d ) ist invariant unter der Achsenvertauschung
x ===> ( - y ) ( 2a )
y ===> ( - x ) ( 2b )
Und die fallende WH hat Gleichung
x + y = 0 ( 2c )
Ach noch ein Einschub, was mir heut Nacht eingefallen ist. Welche Fixpunkte des Grafen liegen direkt auf Symmetrieachse ( 2c ) ; bzw. in welchen Punkten schneidet der Graf diese Achse? ( 2b ) einsetzen in ( 1d )
x ³ - ( - x ³ ) = 123 / ( 2 ^ 5 * 5 ) ( 2.1a )
x_fix = ( 1/4 ) ( 123/5 ) ^ 1/3 ( 2.1b )
Dieser Punkt liegt im 4. Quadranten. Rein von der Symmetrie vermute ich mal, dass er mit dem " Bauchpunkt " identisch ist, dem Punkt mit max Krümmung. Leider ist die Krümmung immer so Mega schwer zu berechnen; jeder macht einen Bogen darum.
Kommen wir zu den Nullstellen; mit ( 1d ) finden wir
x0 = ( 1/2 ) ( 123/20 ) ^ 1/3 ( 3a )
und den y_Achsen_Abschnitt entspr. ( 2ab )
f ( 0 ) = - x0 ( 3b )
Ihr seht; wir haben zwei Wendepunkte. Doch stellen wir uns erst mal mit dem Bömmel ganz dumm und berchnen die erste Ableitung, als wenn wir keine Ahnung hätten. Eingesetzt wird ===> implizites Differenzieren ( ID ) in ( 1d )
x ² - y ² y ' = 0 ( 4a )
ID hißt aber auch: In ( 4a ) setzen wir sang_und klanglos y ' = 0 , weil wir ja die kritischen Stellen suchen und finden x_krit = 0
Johann_Sebastian; Kaffeekantate
" Was ich immer alle Tage / Meiner Tochter Lieschen sage
Gehet ohne Frucht vorbei … "
Ich predige immer: Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Bedingungen.
Diktat für das Regelheft:
" Eine gerade Nullst. ist immer ein ( lokales ) Extremum.
Hierbei entscheidet wie üblich das Vorz. der ersten von Null versch. Ableitung, ob Max oder Min.
Und eine ungerade Nullst. ( mindesens 3. Ordnung ) ist immer ein ===> Terrassenpunkt. ( TP ) "
Weil früher hab ich ja auf dem ( fossilen ) Portal " Lycos " gearbeitet. Da waren dann Schüler, die standen wie der Ox vorm neuen Tor vor der Funktion f ( x ) = x ^ 4 712 und fragten; wie kann die ein Min haben bei x0 = 0 ? Ihre ersten beiden Abl. verschwinden doch …
Leiten wir also ( 4a ) zum zweiten Mal ab.
2 x - y ² y " - 2 y y ' ² = 0 ( 4b )
Der erste Term ist Null wegen x = 0 und der dritte, weil wir die erste Abl. ja Null gesetzt hatten.
y im zweiten Term ist nicht Null wegen ( 3b ) , so dass auch f " ( 0 ) = 0 . Weil es so schön war, 3. Abl.
2 - y ² y(³) - 2 y y ' y " - 2 y ' ³ - 4 y y ' y " = ( 4c )
= 2 - y ² y(³) - 6 y y ' y " - 2 y ' ³ = 0 ( 4d )
Term Nr. 3 und 4 verschwinden wieder, und es überlebt
f(³) ( 0 ) = 2 / x0 ² ( 4e )
und wir haben den erwarteten TP.
Jetzt haben wir ein ernstes Problem wegen der Symmetrie. In der Nullst. y = 0 erwarten wir einen zweiten Wendepunkt, wegen der Spiegelsymmetrie dies Mall aller Dings mit vertikaler Wendetangene. Das fällt auch schon in ( 4a ) auf; wenn wir y = 0 setzen, können wir nicht mehr nach y ' umstellen.
Ich will darauf nicht weiter ein gehen.
So jetzt will ich euch mal zeigen, wie geil dass ID ist. Kein ölästiges Auflösen und Umstellen; keine Wurzeln. A Propos Kubikwurzel; was ist ein Kubikmeter? Das ist, wenn sich eine Kuh einen Meter bikt …
Wir könnten immer noch nach weiteren Wendepunkten forschen, wie das üblich ist. Dazu müssen wir also in ( 4b ) den zweiten Term mit y " Null setzen.
y y ' ² = x ( 5a )
Hier stört der Faktor y ' . Wenn wir den aus ( 4a ) einsetzen, sollten wir eine Bez. zwischen x und y bekommen.
y ' = ( x/y ) ² ( 5b )
und damit
( x/y ) ³ = 1 ( 5c )
Ich habe mir gleich erlaubt, durch x zu kürzen; der Fall x = 0 intressiert nicht mehr.
oder umgestellt
x ³ - y ³ = 0 ( 5d )
Bitte vergleiche ( 5d ) mit ( 1d ) ; was können wir daraus schließen?
Ich habe jetzt noch einen fiesen Anschlag auf dich vor; berechnen wir die Asymptoten unseres Grafen. Schau ruhig in Wiki. Genies wie Fermat oder Riemann werden nicht so sehr durch ihre Entdeckungen, sondern durch ihre unbewiesenen Hypothesen berühmt. Und da wusste ich überhaupt noch nicht, dass es Wiki gibt. Da definierte ich die Asymptote als uneigentl. Tangente ( s.u. ) Meine Vermutung lautet also: Meine und Wikis Def sind äquivalent. Aber selbst wenn das nur unter speziellen Vor. stimmen sollte; die Mathematikerzunft scheint in Puncto Tangente völlig ahnungslos zu sein; sonst würde Wiki es ja erwähnen.
Folgen wir ruhig Wiki, damit du mich nicht anmotzt. Was wir aber verlieren, ist das edle Werkzeug der Diffrechnung; jetzt müssen wir ( 1d ) eben doch nach y umstellen.
y = f ( x ) = ( x ³ - 123/160) ^ 1/3 ( 6a )
Die Asymptote lautet
a ( x ) := m x + n ( 6b )
( schräge Asymptote )
lim x ===> ( °° ) f ( x ) - a ( x ) = 0 ( 6c )
Schwierig schwerig - wie macht man sowas; Kubikwurzel Minus linearer Term?
Und da begegnete mir auf dem o.e. Lycos ein genialer User ( Die Namen der Genies vergesse oich immer so leicht ) der machte die Diffrechnung anwendbar für derartige Grenzwerte. Er schlug eine ===> Inversion am Einheitskreis vpr, die ich noch einmal verallgemeinert habe; sie lautet
x ^ r =: 1 / z ^ k ; r € |R ; k € |N ; z ===> 0 ( 7a )
Hier beutet: r die höchste Potenz, mit der x im Radikanden vorkommt. In ( 6a ) wäre das also r = 3 Und k gibt die Ordnung der wurzel; k = 3 für Kubikwurzel. Was passiert jetzt? Setzen wir dieses z in ( 6a-c ) ein:
x ³ = 1 / z ³ ===> x = 1/z ( 7b )
f ( z ) - a ( z ) = ( 1 / z ³ - 123/160 ) ^ 1/3 - m/z - n = ( 7c )
= ( 1/z ) [ ( 1 - 123 z ³ / 160 ) ^ 1/3 - m ] - n ( 7d )
Das ganze Theater machen wir nur, damit wir z heraus ziehen können. Bei Lichte besehen, steht nämlich in ( 7d ) nix anderes als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion
F ( z ) := ( 1 - 123 z ³ / 160 ) ^ 1/3 ( 7e )
genommen zwischen z0 = 0 und der bel. Stelle z . Doch gemach; was ist eigentlich F ( 0 ) ?
F ( 0 ) = 1 ( 7f )
Der DQ in ( 7d ) konvergiert doch nur dann, wenn sein Zähler gegen Null geht; mithin folgt aus ( 7f )
m = 1 ( 8a )
und ohne einen Schuss haben wir bereits die Asymptotensteigung …
Ihr wisst, dass der Grenzwert des DQ in ( 7d ) gleich der Abl. ist
F ' ( 0 ) ( 8b )
Ein User kommentierte das Ganze mal; hey wozu lernen wir eigentlich Defbereich, wenn wir mit dieser z_Transformation eh den Defbereich ändrrn?
F ' ( z ) =
- 123 z ²
——————————————- ( 8c )
160 ( 1 - 123 z ³ / 160 ) ^ 2/3
und damit
F ' ( 0 ) = 0 ( 8d )
Und damit lautet der Grenzwert in ( 6c )
lim f ( x ) - a ( x ) = n ( 8e )
Folglich müssen wir n = 0 setzen; die Asymptote geht durch den Ursprung.
Mal abgesehen davon, dass die Wikimethode voraus setzt, dass wir ( 1d ) explizit nach y auflösen können - für die wenigsten impliziten Funktionen gibt es so eine Darst. In ( 6 - 8 ) mussten wir uns ganz schön das Hirn verbiegen; das hat schon was. Ausgerechnet m und n , also die beiden gesuchten Parameter, mussten wir uns als konstant, als vorgegeben denken. Und dann diese abenteuerlichen Grenzwertregeln, die kein Mensch kennt und auf die auch keiner kommt …
Mit der Diffrechnung halten wir ja ein allgemein einsetzbares und leicht zu handhabendes Werkzeug; ich erkläre euch jetzt, wie ich mir das denke. Wir gehen aus von der Tang Ente g ( x ; x0 ) an die Stelle x0
g ( x ; x0 ) =: x m ( x0 ) + n ( x0 ) = ( 9a )
= f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 ) = ( 9b )
= y0 + ( x - x0 ) y0 ' ( 9c )
( 9b ) stimmt ja auch, denn du hast
g ( x0 ; x0 ) = f ( x0 ) ( 9d )
Die Asymptote " Alfonsinischer Art " sei jetzt definiert als Grenztangente
a ( x ) := lim x0 ===> ( °° ) g ( x ; x0 ) ( 10a )
=: M x + N ( 10b )
Man könnte also auch sagen; die Asymptote ist die Tangente an die Kurve in einem uneigentl. Punkt; hier
( x0 | y0 ) = ( °° | °° ) ( 10c )
Oder noch anders: Dass die Funktion f ( x ) divergiert, heißt ja noch lange nicht, dass auch die Tangente divergieren müsste. Dann ergeben sich aber aus ( 9a;10b ) die beiden Identitäten
M = lim m ( x0 ) ( 10d )
N = lim n ( x0 ) ( 10e )
Doch jetzt muss ich eine rein formale Betrachtung voraus schicken, die uns aber unten sehr von Nutzen sein wird. Wir gehen wieder mal zurück nach ( 1d )
y ³ = x ³ - 123/160 | : x ³ ( 11a )
q ³ ( x ) = 1 - 123 / ( 160 x ³ ) | lim x ===> ( °° ) ( 11b )
wobei gesetzt wurde
q ( x ) := y/x ( 11c )
Ich führe noch ein
Q := lim q ( x ) ( 11d )
Dann führt der Umformungsschritt in ( 11b ) auf
Q = 1 ( 11e )
q ( x ) hat durchaus nichts mit einer Tangente zu tun; Gegenbeispiel x = 0 . Anschaulich bedeutet es die Steigung des Fahrstrahls vom Ursprung zu dem Kurvenpunkt ( x | y ) Es wird sich aber bei der " untigen " Betrachtung als sehr nützlich erweisen.
Koeffizientenvergleich ( KV ) zwischen ( 9a ) und ( 9b ) , um besondere Beachtung von ( 5b ) wird gebeten
m ( x0 ) = y0 ' = 1 / q ² ( x0 ) | lim ( 12a )
M = 1 / Q ² = 1 ( 12b )
Jetzt noch mal, weil ' so schön war, KV und ( 5b )
n ( x0 ) = y0 - x0 y0 ' = ( 12c )
= y0 - x0 ³ / y0 ² = ( 12d )
= ( y0 ³ - x0 ³ ) / y0 ² ( 12e )
= - 123 / ( 160 y0 ² ) ===> 0 ( 12f )
Und zwar folgt die Form von ( 12f ) wieder aus ( 1d ) Übrigens dass in der Tat mit x ===> ( °° ) auch y ===> ( °° ) , folgt bereits aus ( 1d )
Doch; schöne Aufgabe …