Wie kann die Gleichung
4
x
3
+8
x
2
+4x=12
gelöst werden?
Mathematik ist längst nicht so unspannend, wie du vermeinst. Gleich als Erstes bitte ich dich, dir meine Schimpfkanonade zu dem Thema ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) rein zu ziehen, damit ich nicht immer alles wiederholen muss. Hier der Link
Antwort von Alfons Schmitt auf Wie kann ich die Gleichung
3
x
6
−12
x
4
+11
x
2
+2x−12=0
lösen?
Hier insbesondere die von mir eigens markierten Punkte 1. - 7. meiner Hetzrede zu dem Thema. Und dann schreib mir doch mal, ob dein Lehrer je etwas zu dem Thema gesagt hat. Oder du fragst ihn und wartest, wie der Schrat reagiert …
Insbesondere unter Punkt 7 habe ich dir meine Definition erläutert, was meiner Meinung nach ein normiertes Polynom sein soll. Dann wirst du nämlich sofort schnallen:
Dein Dingsbums ist normiert.
f ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 1a )
a2 = 2 ; a1 = 1 ; a0 = ( - 3 ) ( 1b )
Noch einmal langsam zum mit Schreiben. Die Definition besagt, die primitive Form ist gleich der Normalform ( Ich habe alles gekürzt. ) Oder alternativ: Die Koeffizienten der Normalform ( 1ab ) sind ganzzahlig.
Jetzt berichtete ich dir ( auch unter Punkt 7. ) von jenem Lemma
" Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "
Auch an Punkt 6. meiner Philippika möchte ich gerne anknüpfen, wo drinne steht, dass die andern alle Idioten sind. ( wo ich das Beispiel mit der Spritztour mit dem PKW bringe ) Der SRN gilt doch nur für primiefe Polynome. D.h. aus ( 1b ) kannst du unschwer ersehen, dass die einzig denkbaren Wurzeln ( + - ) 1 oder 3 wären ( weil ja 3 eine Primelzahl ist. )
Du kannst doch nicht " me nothing you nothing " ( wie wir Runaways sagen; mir nichts, dir nichts ) dein Polynom mit 4 erweitern ( was du gemacht hast ) und dann vielleicht noch hoffen, dass dadurch x = 12 zu einer denkbaren Wurzel wird.
Mensch glaub mir doch; sie sind alle Idioten …
Mal andere Frage; hat euch euer Lehrer schon die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV ) gelernt? Wahrscheinlich nicht. Weil mit der CV bekommst du raus, dass dein Polynom genau eine positive Wurzel hat.
Das nummerische Verfahren überlass ich jetzt dir. Mein Chef sagte auch immer, die " Telefonbuchsuche " , wie er Felix seine " Bisektion " nannte ( Vornehme Leute sprechen hier von fort gesetzter oder iterierter ===> Intervallhalbierung ) sei immer noch das unkomplizierteste Verfahren. In Anbetracht des Umstandes, dass alle Verfahren ja eh nur Näherungen liefern. Warum Telefonbuchsuche? Stell dir vor, du willst deinen Freund Hubertus Fürchtegott Müller_Wipperfürth in Castrop_rauxel anrufen. Da beginnen wir erst mal mit der Vorwahl von Castrop. Die erste Hälfte des ABC sind die Buchstaben A - M Und genau in der ersten Hälfte des ABC wirst du die Suche beginnen. Die Hälfte der ersten Hälfte sind dann die Buchstaben A - F . Jetzt nochmal die linke Hälfte A - C Und in dem Block musst du aber jetzt in die rechte Hälfte wechseln, die den beiden Buchstaben B und C entspricht. Jetzt nochmal die rechte.
Mach dir bitte klar: Die Geschwindigkeit des Verfahrens ist genau so rapide wie die " Reiskörner auf dem Schachbrett "
f ( 0 ) = ( - 3 ) < 0 ; f ( 1 ) = 1 > 0
Wir wählen den Mittelpunkgt des Intervalls:
1. Schritt f ( 0.5 ) = ( - 1.875 ) < 0 ( Wolfram )
Wir liegen also immer noch zu weit links. Der Mittelpunkt des rechten Teilintervalls wäre aber x = 0.75
2. Schritt f ( 0.75 ) = ( - 0.7031 ) < 0
Immer noch zu weit links. Der Mittelpunkt des rechten Teilintervalls ist der arithm. Mittelw. aus .75 und 1 = 1.75/2 = 0.875
3. Schritt f ( 0.875 ) = 7.617 (E-2) > 0
Jetzt müssen wir zum ersten Mal nach links zurück. Unsere jetzigen Randpunkte sind 0.75 und 0.875 ; und der arithm Mittelw. ist 0.8125
4. Schritt f ( 0.8125 ) = ( - 0.3308 ) < 0
Zugegeben; gegen Schritt 3 haben wir uns erstmals verschlechtert. Jetzt schleunig zurück nach Rechts
5. Schritt f ( 0.8438 ) = ( - 0.1314 ) < 0
Im 5. Schritt wurde der x_Wert erstmals aufgerundet; ich strebe lediglich eine 4_stellige Mantisse an.
6. Schritt f ( 0.8594 ) = ( - 2.874 ) (E-2) < 0
7. Schrittt f ( 0.8672 ) = 2.344 (E-2) > 0
8. Schritt f ( 0.8633 ) = ( - 2.720 ) (E-3) < 0
9. Schritt f ( 0.8653 ) = 1.068 (E-2 ) > 0
10. Schritt f ( 0.8643 ) = 3.974 (E-3) > 0
11. Schritt f ( 0.8638 ) = 6.256 (E-4)
Was ich dir zeigen wollte, ist die Vorhersehbarkeit des Verfahrens, die man Zweifel los als Vorteil ansprechen muss. Da 2^10 = 1 024, wie jeder Computerfreak weiß - und ich war ein Leben lang in dem Job - kannst du unabhängig von der Funktion und dem konkreten Beispiel wissen, dass die 3. Dezimale nach spätestens 10 Iterationen stabil bleibt. Bereits einmal nach der 8. Iteration wird sie erreicht und sich darum auch nach der 11. Iteration nicht mehr ändern. Vergleiche Wolfram
x3 = .8637 ( 2 )
Rein von obigem SRN hast du also bitte verstanden: Dieser x3_Wert ist irrational, unperiodisch wie z.B. auch Pi. Und jetzt setze ich voraus, dass du ===> Polynomdivision ( PD ) kannst ( Doch; könnt ihr alle. Ich weiß das von dem ( fossilen ) Portal " Lycos " , wo ich übrigens wesentlich näher am Schööler gearbeitet habe als hier. )
Was will PD? Jedes Polynom 3. Grades hat drei Nullstellen; x3 haben wir ja jetzt mit Mühe und Not ermittelt. Wir suchen das ( quadratische ) Faktorpolynom g
f ( x ) =: ( x - x3 ) g ( x ) ( 3a )
g ( x ) = ( x - x1 ) ( x - x2 ) = ( 3b )
=: x ² - p x + q ( 3c )
dessen Nullstellen die beiden noch fehlenden x1;2 sind. Die frohe Botschaft; auf das quietschende, klemmende, rostige, ungeölte Zahnradgetriebe der PD werde ich mich hier auf keinen Fall einlassen; nur über meine Leiche. Kein Lehrer und kein Internetportal fordern PD durch Gleitkommazahlen.
Ich hab da was viel Feineres. Es handelt sich um ein LGS zur Bestimmung von p und q. Was ist gegeben? die Koeffizienten in ( 1b ) ( und natürlich auch x3 ) Und gesucht sind p und q in ( 3c ) LGS sind seit Je bei den Schülern bestens eingeführt. Und zwar nenne ich meine Entdeckung die erste und zweite Alfonsinische pq_Formel ( AF1 bzw. AF2 ) In einem Kommentar bekam ich sogar schon das Lob, meine AF ( Unter diesem Namen haben sie sich bereits offiziell durch gesetzt ) seien " die beste Formel " pq_Formeln sind wichtig, das weißt du. Doch während dein Lehrer glaubt, es gebe nur eine pq_Formel, habe ich schon wieder drei neue entdeckt - eine von ihnen die Alfonsinische. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel
a2 = - ( p + x3 ) = 2 ===> p = ( - 2.864 ) ( AF1 ) ( 4a )
a0 = - q x3 = ( - 3 ) ===> q = 3.473 ( AF2 ) ( 4b )
Doch eine Warnung sei hier ausgesprochen. Der PD ist es ja schnurz, wie du dein Polynom normierst, sie schert sich nicht an ===> Leitkoeffizienten. Bei meinen AF ist das voll anders. Da sie abstammen von " Vieta dem geschmähten Stiefkind " ( warum auch vor mir noch niemand darauf gekommen ist ) funktionieren die AF ausschließlich in der Normalform . Eselsbrücke gefällig? Die Mitternachtsformel ( MF ) , ihres Zeichens ja auch eine pq_Formel, darf ja auch nur in Normalform angewandt werden. ( Im Übrigen gilt in meinen Beiträgen durch gehend die Konvention: Koeffizienten, die a_k heißen wie in ( 1b ) , sind still schweigend die Koeffizienten der Normalform; ansonsten benutze ich schon einen anderen Buchstaben. )
Hier du musst mir doch jetzt zugeben, du musstest schon weit komplitückischere LGS bewältigen; dabei sind ( 4ab ) noch nicht mal gekoppelt …
Kleiner historischer Exkurs gefällig; wieso habe ich diese Formeln " Alfonsinisch " getauft? Das ist nur ein Witz - nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland, einer Figur aus dem Jim Knopf von Michael Ende. Ich habe nämlich einen Kronzeugen, den Vater meines Klassenkameraden Mike damals in Kl. 4b). Der ließ mir nämlich durch seinen Sohn ausrichten, Michael Ende habe den Jim Knopf für mich alleine verfasst
" Es fällt mir wie Schuppen von den Augen. Jim Knopf lesen heißt, die Welt mit Alfons seinen Augen betrachten; denken, wie der denkt. Wo ich aber voll dagegen bin: Michael Ende ist nicht dem Alfons sein Erziehungsberechtigter; wie kommt der dazu, ein Buch zu drucken, wo drin steht, was alles er nach seiner im Übrigen voll unmaßgeblichen Ansicht am Alfons so toll findet? "
Oh doch. Lange vor Mike kamen diese Anspielungen auf meine Wenigkeit bei mir an. Im Rechnen war ich nun mal nicht der beste. Den Wink mit dem Zaunpfahl verstand ich wohl, wo Michael Ende meint
" Naaa Alfons? Li Si kann das doch auch. Wollen wir nicht auch mal so perfecktamente im Rechnen werden wie deine Freundin Li Si? "
Nein auf ( 3c ) die MF los zu lassen, wäre jetzt echt ein Umweg. Es gibt nämlich keine reellen Wurzeln mehr; wir bekommen die beiden ( konjugiert ) komplexen z0 , z0 * . Auch hier bewährt sich übrigens abermals Velveta
p = 2 Re ( z0 ) = ( - 2.864 ) ===> Re ( z0 ) = ( - 1.432 ) ( vgl. Wolfram ) ( 5a )
q = | z0 | ² = 3.473 ===> | z0 | = 1.864 ( 5b )