Wie genau sind unendliche Mengen definiert? Wie kann man sie Nicht-Mathematikern verständlich machen?
Für Mathematiker ist eine unendliche Menge eine Menge, die eine echte Teilmenge (das ist eine Teilmenge, die nicht alle Elemente der Menge enthält) besitzt, die aber "bijektiv" (in beiden Richtungen eindeutig) auf die Grundmenge abgebildet werden kann.
Beispiel: wir wählen als Menge die natürlichen Zahlen {1,2,3,4,5,6,…} und als Teilmenge die geraden Zahlen {2,4,6,8,10,…} Dann können wir diese beiden Mengen umkehrbar eindeutig einander zuordnen: jede natürliche Zahl bilden wir auf die doppelt so große Zahl ab:
1 → 2
2 → 4
3 → 6
…
usw; und umgekehrt geht das auch, wir bilden jede gerade Zahl auf die halb so große Zahl ab (das geht, weil die Zahl hier ja gerade ist).
2 → 1
4 → 2
6 → 3
…
usw. Beide Abbildungen sind eindeutig (niemals haben zwei verschiedene Zahlen dasselbe Bild), und jede Zahl der Bildmenge wird auch gefunden.
Findet man eine solche Abbildung, dann sagen Mathematiker: die beiden Mengen sind "gleichmächtig". Umgangssprachlich ausgedrückt: es gibt genauso viele natürliche Zahlen wie gerade Zahlen, obwohl das dem "gesunden Menschenverstand" zu widersprechen scheint. Und genauso geht das mit den Q!uadratzahlen 1, 4, 9, 25 usw., oder mit den Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 usw. - auch das sind unendlich viele, auch auf die lassen sich die natürlichen Zahlen umkehrbar eindeutig abbilden - es gibt also genausoviele Primzahlen wie natürliche Zahlen, obwohl sehr viele Zahlen eben nicht prim sind.
Kurz: Eine unendliche Menge hat zu ihr selbst gleichmächtige (ebenfalls unendliche) echte Teilmengen.