Wie kann man beweisen, dass
1+2+3+⋯+n=
n(n+1)
2
mit
n
als ganze Zahl gilt?
Du zeichnest ein Rechteck mit der Kantenlängen n und n+1 in ein Karomuster, auf kariertes Papier. Damit hast Du schon mal den Zähler des Terms dargestellt.
Du halbierst das Rechteck, indem Du eine Zickzack-Diagonale hervorhebst, die dabei zwei gleichgroße Treppen-Dreiecke entstehen lässt.
Jede dieser beiden Figuren lässt sich in Streifen aufteilen:
Der erste Streifen ist ein einzelnes Karo, der nächste besteht aus zwei Karos, und das geht so weiter bis zum längsten Streifen mit n Karos.
Für mich kommt das einem Beweis schon recht nahe.
Was da in der Argumentation noch fehlt, ist der Übergang von Deiner willkürlich gewählten Anzahl Karos zu jeder Anzahl.
Wir nehmen eines Deiner Dreiecke mit den Streifen der Karo-Anzahlen 1 bis n.
Der nächste Streifen erweitert die Figur mit einem n+1 Streifen, und das gilt für jeden Übergang bei beliebigem n. Der nächste Streifen ist immer um eins größer, also n+1.
Wenn diese Konstruktion wenigstens einmal tragfähig ist, dann gilt sie von da an immer. Wir suchen nun einen Anfang, für den die in der Frage genannte Formel gilt.
Dort werden Zahlen genannt, die positiv sind.
(…. und nicht null, auch nicht negativ. Bei null anzufangen wäre wie beim Training vom Kung Fu Panda. Die Existenz von Level 0 stellt sich erst später raus.)
Wenn wir n = 1 nehmen, dann erhalten wir zwei Karos als Rechteck, die Hälfte davon ist ein Karo, und das passt schon.
Die Formel aus der Frage gilt für diesen Anfang, und wir hatten schon gezeigt, dass sie dann für jede weitere Anzahl n gilt. Wow! Die Formel gilt ja für den gesamten Bereich der positiven ganzen Zahlen!
Das wird gefeiert. Denn Du hast verstanden, dass etwas, das für einen beliebigen Anfang gilt, und wenn es immer für das nächste auch gelten muss, dann vollständig für alle gilt.
Leider ist die gestellte Frage damit noch nicht beantwortet. Mit n als ganze Zahl steht da. Ich befürchte, dass ich das Karo-Modell jetzt über seine Grenzen hinaus strapazieren muss. Nochmal zu Erinnerung: für positive Ganzzahlen steht der Beweis schon. Felsenfest. Per vollständiger Induktion, die hier klar und einleuchtend benutzt wurde.
Prüfen wir also, wie das mit 0 geht. Ein Rechteck mit den Seiten 0 und 1. Ob das ein Rechteck im Karo-Modell ist, ist fraglich. Es wäre ja nur die Strecke am Rand eines Karos. Da besteht jetzt die Möglichkeit, einem solchen Strich null Karos beim Zählen der Karos zuzuordnen. Wenn eine Erweiterung ohne Widerspruch funktioniert, dann wird das in der Mathematik gerne getan. In diesem Fall sehe ich keinen Widerspruch, einem entarteten Rechteck, dessen eine Seite die Länge 0 hat, als Figur für n=0 zuzulassen. Null Karos. (… nun gibt es doch Level 0…)
Nun geht es weiter mit negativem n, wir untersuchen n = -1 und freuen uns, dass beim zugehörigen Rechteck mit -1 und 0 als Seitenlängen die Null dabei ist und unsere Fantasie das verkraftet und wir noch gar nicht wissen müssen, wie negative Seitenlängen zu interpretieren sind.
Inzwischen kommen mir Zweifel, ob ich das mit negativen Zahlen weiterhin positiv betrachten soll. Und ob jetzt ein Aufschrei durch die Quora-Gemeinschaft geht, weil die Fantasie überstrapaziert wird mit derart Negativem. Mal sehen! Wie sieht es denn aus mit n=-2?
Das Rechteck mit den Seitenlängen -2 und -1 ist zu sehen als doppelt gespiegelt, das Produkt ist positiv.
Was mir jetzt noch Sorge bereitet: Wie setze ich das in die Formel aus der Frage ein?
Hier ist es problematisch, dass die Aufzählung bei 1 beginnt und bei negativem n aufhört, bevor der Anfang erreicht ist. Da müsste eine echte Summenformel her, mit der Möglichkeit, auch jede ganze Zahl für n einsetzen zu können. Da besteht die Gefahr, etwas nicht Vorhandenes zu beweisen.
Die Formel ist für positive n bewiesen.
Negative n sind außerhalb des durch die Formel interpretierten Bereichs, insofern ist die Aussage nicht beweisbar, also im Sinne der Frage unzutreffend.
Nachtrag: Für negative Ganzzahlen gilt - auch ohne dass ich dass hier beweise, nur per Symmetrie plausibilisiere - folgendes:
-n + (-n+1) +(-n+2) + … + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) + n = 0
Negative Ganzzahlen könnten schon auch irgendwie betrachtet werden, nur eben werden sie in der Fragen-Formel nicht erwähnt.