How can one express the floor function
⌊τ⌋
as an infinite series?
Wie kann man die Abrundungsfunktion
⌊x⌋
als unendliche Reihe darstellen?
Mal sicher nicht als Taylorreihe, das steht fest. Die Abrundungsfunktion ist überall konstant wo sie stetig ist, so Potenzreihe um jeden stetigen Punkt wäre konstant und nur bis zur Diskontinuität gültig.
Die Abrundungsfunktion könnte trivial als diese Reihe ausgedrückt werden:
⌊x⌋=⌊x⌋+0+0+0+…
Aber ich bin mir nicht sicher ob das gewünschte Resultat ist. Versuchen wir etwas konstruktiveres:
⌊x⌋=−I(x<0)+I(x≥1)−I(<−1)+I(x≥2)−I(<−2)+I(x≥3)+…
wo
I(x≥1)
gleich
1
ist wenn
x≥1
und sonst
0
. Dass ist eine unendliche Reihe von nicht trivialen Funktionen über
x
. Reicht das aus?
Oder vielleicht willst du die Abrundungsfunktion als unendlich analytische Reihe (oder kontinuierliche, differenzierbare, elementare, nette …) Funktion über
x
. Wie können wir das bewerkstelligen?
Ja. Lass uns mit dem netten Teil von
⌊x⌋
beginnen. Es sieht beinahe wie
x
aus mit einem kleinen Zick-Zack darüber. Ich würde dir ein Bild davon zeichnen wenn ich könnte.
⌊x⌋=x−(x−⌊x⌋)
ist ein offensichtliches Statement, aber ein Nützliches. Wie sieht der Ausdruck in den Klammern
(x−⌊x⌋)
aus? Es ist periodisch, also kann es als Fourierreihe dargestellt werden. In der Tat ist es eine Kippschwingung und deren Fourierreihen sind gut bekannt
.
Da hast du es, die Abrundungsfunktion kann als unendliche Reihe von analytischen Funktionen dargestellt werden: den linearen Teil von
x
plus die den periodischen Teil, der durch eine Fourierreihe gegeben ist.