Stochastik: Die Sensitivität eines Coronatests ist 97% und die Spezifität auch 97%. Nun wurden 14 SchülerInnen alle negativ getestet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Tests richtig sind?
Ich würde erst einmal mit nur einem Schüler anfangen und mich fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Schüler bei einem negativen Test wirklich negativ ist - oder anders ausgedrückt, wie hoch ist das Verhältnis aus (I) korrekten negativen Tests zu (II) allen negativen Tests.
(I) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person negativ ist UND negativ getestet wird und
(II) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person negativ getestet wird. Das wiederum ist der Fall, wenn sie negativ ist UND korrekt getestet wird (siehe I) - ODER wenn sie positiv ist UND falsch getestet wird.
Mit c ... Anteil der positiven Personen in der Grundgesamtheit (Prävalenz),
p
Nn
… Wahrscheinlichkeit, dass eine negative Person mit einem negativen (korrekten) Ergebnis getestet wird (Spezifität) und
p
Pp
… Wahrscheinlichkeit, dass eine positive Person mit einem positiven (korrekten) Ergebnis getestet wird (Sensitivität) ergibt sich (I) aus
(1−c)⋅
p
Nn
und (II) aus
(1−c)⋅
p
Nn
+c⋅(1−
p
Pp
)
.
Wenn c = 0 ist (d.h. wenn niemand Corona hat), dann ist das Verhältnis aus (I) und (II) 1, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine negativ getestete Person kein Corona hat ist 100% (wenig überraschend) und wenn c=1 ist (d.h. wenn alle Personen mit Corona infiziert sind), ergibt sich 0, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativer Test auch richtig ist, beträgt dann 0% (ebenfalls wenig überraschend).
Für sinnvolle Werte für c, z.B. für c = 0.375% (entsprechend 300.000 Infizierten bei 80.000.000 Einwohnern, wie in Deutschland am 24. April 2021, Quelle siehe unten [und unter Vernachlässigung der Dunkelziffer]), und
p
Nn
=
p
Pp
=0.97
beträgt das Verhältnis aus (I) und (II) rund 99,99%, d.h. ein negativer Test ist ziemlich sicher richtig. Und auch 14 negative Tests am Stück sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,8% (
=
0.9998836
14
) sehr sicher alle richtig.
Zur Information: die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person auch wirklich infiziert ist, beträgt bei den oben genannten Werten "nur" 10,85% und die Wahrscheinlichkeit, dass von 14 positiven Tests am Stück alle richtig sind, ist verschwindend gering (ca. 3 Billionstel Prozent).
https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Situationsberichte/Apr_2021/2021-04-24-de.pdf?__blob=publicationFile