Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? Was sind ihre Anwendungen in der Physik?
Was sie mathematisch sind, findest du jeder Zeit in AGULA Lehrbüchern wie Kowalsky Band 2 bzw. Greub Band 2 . In beiden steht genau das Selbe. sollte es aber dann immer noch nicht klar sein - schick mir nochmal einen Kommentar.
Deine Frage bezieht sich wohl weit eher auf QM . Hier empfehle ich dir das revolutionäre Lehrbuch von Eugen Fick / Darnstadt - zu Mindest als Einstiegsdroge.
Grundregel; lies den Fick diagonal. Beginne immer mit dem, was dich am Meisten anspricht und wo du meinst, dass du es am Leichtesten verstehst. Also ich habe seiner Zeit angefangen mit dem
ZWEITEN tEIL , Der unitäre Vektorraum
Kleine Kritik meiner Seits; dieser Raum ist weit eher unter dem Schlagwort " Hilbertraum " bekannt.
In meiner Ausgabe des Fick entspricht das den Seiten 110 - 150 .
Unser " Harry " - er war ein toller Mann, sag ich dir - bestand seiner Zeit darauf, dass er sein eigenes Süppchen kocht; von dem Mist, der in den Lehrbüchern steht, werde er sich nicht umstimmen lassen. Auch nicht von einer noch so großen Mehrheit seiner Hörer - da kenne er keine Gnade …
Und einen Tag später
" Dies ist das erste Mal, dass ich mich erweichen lasse. Einige Ihrer Kommilitonen haben mir den Fick gezeigt; ich wusste gar nicht, dass es ein Lehrbuch gibt, das nach meinem Skript vor geht.
Ich werde daher in jeder Stunde an die Tafel schreiben; heute machen wir Fick § soundso Seite soundso … "
Also; Harry hat es uns so erklärt.
Die klass. Mechanik identifiziert trivial Messgröße ( = " ===> Observable " ) und Messwert,.
Diese Gleichsetzung genau wird in der Matrizenmechanik aufgegeben.
Die möglichen physikalischen Zustände des Systems sind jetzt die ( auf Wahrscheinlichkeit Eins ) noemierten Vektoren im Hilbertraum. Das ist nämlich ein weiterer Punkt; der phys. Zustand ist jetzt etwas völlig anderes als die Messgröße.
In älteren Texten findest du statt Zuständsvektor auch den etwas unanständigen Ausdruck " Wellenfunktion " ; doch es ist das Selbe.
Fick führt es abstakt, aber auch konkret vor. Etwa am Beispiel des Drehimpulses.
Wie bekommst du diese Messgrößen, also die Matrizen in der Matrizenmechanik?
Ausgangspunkt sind immer anschauliche Überlegungen aus der Gruppentheorie.
Und welche Messwerte kann eine bestimmte phys. Größe haben?
Das sind genau die Eigenwerte ihrer Matrix.
Fick bezeichnet Matrizen immer kursiv.
Sagen wir ich will die Eigenschaft M messen.
Ach fällt mir grad noch ein; beschäftige dich unbedinvgt mit dem Diracschen Bracketformalismus.
Kleiner Tipp, was dir niemand sagt. Du steigst nämlich schneller durch, wenn du kapierst:
Ein Bra ist nix weiter als ein Zeilenvektor; und ein Ket ist nix weiter als ein Spaltenvektor.
( Da musst ich aucg erst mal drauf kommen … )
Was die QM schon mal von der klass. Physik unterscheidet. Es kan nämlich gar keine Rede davon sein, dass sich ein Quantensystem unabhängig von einem " Beobachter " - was das genau ist, darum streiten sich heute noch die klügsten Philosophen - dass sich das System in einem objektiv realen Zustand befindet. sondern du musst es immer erst mal ===> präparieren. Und diese Präparierung birgt eben immer einen subjektiven Faktor. Sagen wir also, das System befinde sich im Zustand | Psi > Die Eigenwerte des ( Hermiteschen ) Operators M bezeichne ich mit m_k Dann sagt die QM aus:
Wenn ich an dem System im Zuatand | Psi > eine M_Messung vornehme, dann ist die Wahrscheinlichkeit, hinterher Eigenwert m_k vor zu finden, gleich
w_k = | < m_k | Psi > | ²
Der Punkt ist nämlich genau der.
Probabilistische Elemente kennt ja die klass. Physik auch; hier folgen Wahrscheinlichkeiten stets dem ===> Bayestheorem. In der QM ist das alles völlig anders. Dieser Matrixformalismus bezieht seinen Sinn daher, dass in der QM Wahrscheinlichkeiten interferieren.
Der Fick eignet sich übrigens hervor ragend auch als philosoph. Kompendium oder auch Formelsammlung. Folgende Anekdote.
Man sagt ja so; " Doktorvater " Und? Wie heißt es bei der Diplomarbeit?
Etwa " Dipl.Papa " ?
Ich ging also zu " Reiner_Martin "
Ich muss übrigens etwas ganz Besonderes muss ich sein.
Denn zu den anderen Kommilitonen sagte Reiner_Martin z.B.
" Manfred " und " Sie " Und zu mir sagte er konstant " Hr. Schmitt " und " Sie "
Und dann sprach er
" Du liiiiebe Güüte. Dass Sie bei mir einen Hiwijob haben.
Das heißt doch nicht, dass Sie bei mir auch als diplomand anheuern müssen. "
Ja und dann gab er mir eine kleine Aufgabe aus der sog. 2. Quantisierung ( Q2 ) :
" Zeigen Sie ruhig mal, was Sie können. Natürlich könnte ich die Antwort in einer halben Stunde rechnen; Sie werden eher drei Wochen benötigen.
Die Antwort werden Sie in keinem Lehrbuch finden; mit sowas gibt sich niemand ab.
[ Da hatte er Recht; na siehste mal, was für ein schauderhaftes Niveau Lehrbücher haben. ]
Sie werden sich daher schon bei meinen Mitarbeitern erkundigen müssen.
Die Damen und Herren sind instruiert; sie werden mir berichten, wie Sie sich geschlagen haben … "
Tatsächlich hatte ich auf dem Gebiet der Q2 selbst noch Harrys Pflichtvorlesung vertrödelt …
Schau ich doch mal kurz in den Fick. Und siehe da …
Was kein Textbuch auch nur einer Silbe für wert findet.
Die von Reiner_Martin geforderte " Zweiteilchenentwicklung " ( seines Operators ) - sie stand groß umrahmt im Fick. Ich brauchte nix weiter tun, als Reiner sein spezielles Beispiel in die Formel einsetzen …
Der Mann staunte nicht schlecht, als ich ihm, ohne irgend einen Knilch gefragt zu haben, andern Tages die geforderte Lösung präsentierte ( Der Rechenaufwand aller Dings war immer noch beträchtlich. )
Ich sagte ihm auch ganz unbekümmert; he<y ich hab das gestern mit dem Fick gemacht.
Da wird der doch richtig frech und meint
" Sie werden mir Recht geben. Würden Sie so etwas wie den Fick etwa als Grundlage für eine Vorlesung benutzen !!! "
Aber bevor dass ich hier das absolute Loblied des Fick singe.
Wenn du schon bissele weiter bist. Da gibt es den Nobelpreis verdächtigen ===> Gordon Baym. In der Zeitschrift Spektrum stand ja zu lesen; um die starke Kernkraft ( Quantencromodynamik, QCD ) hat sich dieser Genosse unsterblich verdient gemacht.
Baym hat ein zweibändiges Lehrbuch verfasst, das gut tausend Seiten dick ist und mit dem du locker einen ausgewachsenen Mann erschlagen könntest … Der rechnet jetzt auch mit Matrizen rum wie ein Weltmeister - vielleicht nicht so axiomatisch präzise wie der Fick. Dafür legt Baym das Schwergewicht mehr auf die Frage; hey was bringt mir das alles? Wie rechne ich konkrete quantensysteme? So fand ich bei ihm beispielsweise die Herleitung, warum im H2O_Molekül der Bindungswinkel zwischen den beiden Bindungen des O_Atoms 110 ° beträgt.