Was ist
0×∞
? Warum ist es nicht definiert?
Ei ganz wichtiger Grenzwertsatz
lim a b = lim a lim b ( 1 )
Für z ====> ( °° ) geht x = z auch gegen Unendlich so wie y = 1 / z gegen Null. Aber
x y = z * ( 1/z ) = 1 ( 2 )
Also 0 * ( °° ) = 1 Und jetzt setze
x = 2 z ; y = 1 / z ( 3a )
x z = 2 z * ( 1/z ) = 2 ( 3b )
Vergleiche ( 2 ) mit ( 3b ) ; der Grenzwert 0 * ( °° ) hängt davon ab, wie du gegen Null bzw. Unendlich gehst. Und genau darum existiert er nicht; ein Grenzwerrt existiert per Definitionem nur dann, wenn er heraus kommt unabhängig, wie schnell oder auf welchem Umwege du dich ihm näherst.
Solltest du schon über den ( verwandten ) Begriff der Stetigkeit verfügen. Aus ( 1 ) folgt, dass die Funktion
f : |R ² ====> |R ( 4a )
( x | y ) ====> x y ( 4b )
stetig ist. Aber sie ist eben nicht stetig in ( °° | 0 )