Wenn x^2+5x+7 durch x+k geteilt wird, ist der Rest 3. Wie hoch ist der Wert von k?
Michael Bölting ist aber voll drauf rein gefallen. Er verhält sich quasi wie ein Dopsch; wie ein Zweijähriger, der sich beständig im Kreis dreht, weil er versucht, den Ärmel von seinem Anorak zu fassen zu kriegen, damit er ihn ausziehen kanjn …
" Jetz stellemer ons janz domm, unne sagemer so … "
Versuche zunächst mal, dich zu erinnern, was passiert, wenn du die ( natürliche ) Zahl z ( Zähler ) schriftlich dividierst durch den Nenner n ; du erhältst Quotient q und Rest r .
z : n = q Rest r ( 1a )
Dies bedeutet nichts anderes als
z = q n + r ( 1b )
So wie ( 1b ) da steht, wäre das nicht eben mehr als die Definition des Restglieds r . Wir brauchen noch eine Zusattzforderung
r < n ( 1c )
Claro; der Rest ist stets kleine als der Nenner. Man kann sogar ganz allgemein beweisen, dass Darst. ( 1bc ) eindeutig ist. Und jetzt zur Polynomdivision ( PD ) Die läuft im Prinzip genau so ab.
z ( x ) möge jetzt das Zählerpolynom sein und n ( x ) das Nennerpolynom . Wieder bezeichne ich mit q ( x ) das Faktorpolynom und mit r ( x ) das Restpolynom.
z ( x ) = q ( x ) n ( x ) + r ( x ) ( 2a )
Und für den Grad des Polynoms gilt hier
Grad q = Grad z - Grad n ( 2b )
Grad r < Grad n v r = 0 ( 2c )
In ( 2c ) sind wir also ganz genau; die Division könnte ja auch ohne Rest aufgehen …
In deiner Aufgabe hast du den Sonderfall einer PD durch Linearfaktor ( PDLF ) Ich meine
n ( x ) := x - x0 ( 3a )
ein Polynom ersten Grades. In ( 2c ) wurde abe gesagt: Der Grad vom Rest r muss grundsätzlich kleiner sein als Grad n , also kleiner als 1 . Damit wäre r aber ein " Polynom vom Grade Null "
Überleg mal. Ein Polynom nullten Grades, also mit höchstem Term " x Hoch Null " , ist doch bei Lichte besehen nix weiter als eine Zahl, eine " c_Zahl " ( konstante Zahl ) wie man das auch nennt. Also
z ( x ) = ( x - x0 ) q ( x ) + c ( 3b )
Und jetzt setze ich ganz cool x = x0
( x0 - x0 ) q ( x0 ) + c = z ( x0 ) ===> c = z ( x0 ) ( 3c )
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel
Der Rest bei PDLF von z ( x ) durch ( x - x0 ) ist immer der Funktionswert z ( x0 ) an der Stelle x0
Haben wir das verstanden; hierzu noch Fragen?
Folgende Tipps.
Du solltest dich schlau machen über das ===> Hornerschema, ein besonders eleganes und genaues Verfahren zur Berechnung von Polynomen. Ursprünglich wurde es nur erfunden, um die Rechenfehler von TR und Computern zu minimieren. Frag deinen Lehrer; notfalls frage nochmal mich.
Es ist auch nix anderes als Kettenrechnungen, wie wir sie uns gegenseitig in Grundschule Kl. 4 gestellt haben …
Warum ich das hier erwähne. Wenn ich mich recht erinnere, gelang schon vor der Jahrtausendwende jene sensationelle Entdeckung, dass Horner das selbe in Grün ist wie PDLF . Euer Lehrer oder ein Klassenkamerad sollte dir das mal echt vorführen, wie erheblich die Zeitersparnis wird, wenn du deine PD mit Onkel Horner durch ziehst. Ich las hier schon den Kommentar
" Während sich der Schrat da vorne an der Tafel eine geschlagene Viertelstunde abmüht mit seiner gefickten PD, habe ich das Ergebnis in einer Minute im Kopf.
[ Notizzettel wäre schon oligatorisch; die Zeitschätzung stimmt aber. ]
Ich verrate dir sogar, wie es geht. Aber nur, wenn du auch ganz ganz höflich zu mir bist … "
Gut; es läge an dir. Ich will dich jetzt nicht zutexten.
Mit ( 3c ) ist also die ganze Aufgabe auf die triviale Fragest. zurück geführt, dass du in das angegebene Polynom den Wert " Minus a " einsetzen sollst; für welche Werte von a nimmt das Polynom den Wert 3 an?
Das Geniale ist immer einfach; siehe das Ei des Kolumbus.
Weil bei einer historisch_kritischen Würdigung der Antwort von Mike Bölting geht also ganz klar hervor, dass er in keiner Phase des Projekts durchschaut hat, was er sehr wohl getan hätte, wenn man es ihm gesagt hätte: Für welche Werte von a nimmt das Polynom den Wert 3 an? Beachte bitte; wegen ( x + a ) haben wir " Minus a " Es ist ja auch voll egal, ob du die Unbekannte a ode x nemmst.
Du siehst eben auch hier wieder: Das Genie ist zu faul zu arbeiten und denkt lieber einmal zui viel nach.
x ² - 5 x + 7 = 3 ( 4a )
x ² - p x + q = 0 ( 4b )
p = 5 ( 4c )
q = 4 ( 4d )
Wahrscheinlich entscheidest du dich für die ===> Mitternachtsformel ( MF ) - egal.
Du sollst aber auch das Gefühl haben, dass Mathemati also sowas von Spannend ist.
Intressierst du dich für falsche Rembrandts? An meiner Wiege hat mir auch keiner gesungen, dass ich mal zum Fachmann aufsteigen würde für eine Jahrtausendfake auf dem Gebiete der Algebra …
Schau mal in Wiki unter dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Im Jahre 2011 war ich User bei dem ( fossilen ) Portal " Lycos " ( wäre Griechisch für " Wolf " ; keine Ahnung ) Mann da war schon was los … Für die Punkte bekamst du da aber noch zusätzlich Ränge wie " Vizeleonardo " oder " Mileva Einstein Hoch 4 711 " Und in der Rubrik " Sex und Liebe " ; nicht zu sagen.
Ein Mädchen, von ihrem Profil offenbar Schülerin ( 14 ) will nur Fez.
" Ich habe zwei Freunde. Hiiiiiilfeeeee !!! Wer rettet mich? "
Ich begann echt zu zweifeln an der berühmten " Jugend von Heute "
Die größten Rüpel, die ansonsten ihre Klassenbucheinträge vor sich her tragen wie das Ritterkreuz, kamen kleinlaut und Moralin sauer daher
" Das darfst du nicht; bestelle beide zu einer Aussprache. "
Ich wollte dann doch meine Building spüren lassen und antwortete schlagfertig mit der Schlusszeile aus Schillers ===> Bürgschaft
[ Online der Text so wie die Parodie von Peter Frankenfeld … ]
" Ich sei, gewährt mir die Bitte / In eurem Bunde der Dritte. "
Das Girl will aber nur Fez. Deshalb drückt sie " Missbrauch " und - hat Erfolg …
Die Administratoren dektivierten meinen Account
" Du hast eine Minderjährige zur Unzucht angereizt … "
Ein anderes Mädchen will wissen
" Würdet ihr eurem Freund vergeben, wenn er wuch mit einer Pott hässlichen betrogen hätte? "
Eine der Antworten
" Gerade dann … nie … "
Der Gipfel der geistigen Verwirrung; ein Knabe fragt an
" Das Ehegelöbnis ' Bis zum tod der Scheide '
Hier heißt das jetzt echt, bis dass die Fotze abkratzt? "
Ich korrigiere
" Wahrscheinlich wird es dir doch klarer, wenn du einmal mit der engl. Übersetzung vergleichst
' Until death do you part. '
Die unmissverständlich ist und keinerlei, weder direkte noch indirekte Hinweise auf Geschlechtsorgane enthält. "
Ich nehme an, den Knaben packte der Zorn, weil er Englisch 5 stand.
Auch er drückt übrigens Missbrauch - sogar mit Erfolg …
Hier ohne Witz; ich stand wieder mal hart am Rande einer Deaktivierung.
Die Mods unkten
" Du hast das Recht, die Frage zu beantworten.
Selbstverständlich bist du nicht dazu verpflichtet.
Doch keines Falls kommt dir das Recht zu, die Frage für Sinn los zu erklären oder dem User gar den Vorschlag zu unterbreiten, er hätte eine andere Frage stellen sollen … "
Eine Frage vorpubertären Charakters.
" Wie viel Tiere nahm Moses in seine Arche? "
Ich antwortete schlagfertig
" Und Noah nahm von jedem Floh und jeder Laus ein Pärchen mit an Bord, wie ihn der Herr geheißen. Denn wofern er das nicht getan hätte, hätten wir heute keine Läuseplage … "
Meine Deaktivierung folgte auf dem Fuße wegen - Gotteslästerung …
Ja und im Jahre 2011 erhielt ich einen Kommentar von dem hoch begabten Schüler " Ribek " , der mir auch vorher schon viel Mathe beigebracht hatte. Der Kommentar enthielt bereits das, was du als SRN kennst. Ich war elektrisiert; ich empfand es als Zeitenwende und Paradigmenwechsel. Immer klarer zeichnete sich in meinem Kopf das Bild ab, dass von Jetzt ab alle Lehrbücher rein von der Reihenfolge der Kapitel umgeschrieben werden müssen. Hier beginnt etwas ganz Neues …
Meine Frage, ob er, Ribek, der Entdecker sei bzw. meine Bitte um einen Beweis blieben aller Dings bis Heute unbeantwortet.
Anfänglich unternahm das Forum tatsächlich alles, den Eindruck zu festigen, Ribek sei der Entdecker.
Ein Student meinte gar, er habe das Theorem dem Übungsleiter seiner Algebragruppe vorgetragen. Fassungslos sei der gewesen … Und dann begannen die Administratoren, was sie sowieso am Liebsten taten: Acounts sperren. Der Vorwurf: " Dieses Theorem " sei hie auf der Plattform Lycos entdeckt worden und damit " geistiges Eigentum " des Forums. Der inkriminierte User habe es unternommen, " unter Bruch des UrhG das Theorem eigenmächtig auf Mathe Fremdforen zu diskutieren … "
So weit war ja alles in schönster Ordnung. Doch da gab es den Streithammel User Ascon, von dem ich bislang verschont geblieben war. Und eines Tages ereilte es eben auch mich:
" Alfons du bist ein Troll [ Wie das? ] Ein Ribektheorem hat es nie gegeben. Das Dingsbums hört offiziell auf den Namen SRN ; und ich erwarte von dir, dass du zitierst, dass Gauß der Entdecker ist … "
Genau diese Beh. findet sich auch bei Wiki. Und ab diesem Pinkt sehe ich Rot.
Ich bellte Ascon zurück, ich sei nun mal nicht bereit, Gauß ' Urheberschaft anzuerkennen. Darauf hin Ascon in seiner schnoddrigen Art
" Der materielle Wert an Gips, der in den Gaußbüsten verbaut ist, reicht ja auch nicht entfernt an seine idelle Bedeutung heran. In so fern bist du entschuldigt … "
Worum geht es mir? Weder v.d. Waerden ( 1930 ) noch Emil Artin ( 50 ) , beide Urgestein der Algebra, haben je etwas von einem SRN gehört … Frag deinen Lehrer. Der hat studiert; der kann Literatur lesen. Der muss das wissen.
Ich will jetzt nicht zu viele Dinge einführen, die ihr noch nie hattet.
Irgendwo in deinen Aufzeichnungen befindet sich noch die Karteileiche; warum ist Wurzel ( 2 ) irrational? Sollte es dir wirklich entfallen sein; das Interner hilft dir da gaantiert weiter …
[ Der sog. " kanonische " Beweis; kanonisch heißt:
Vorbildlich für alle Textbücher kommender Jahrmillionen, hihi … ]
So. Und jetzt versuchen wir nochmal den Beweis aus dem SRN .
Der Augenblick der Erleuchtung - im ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori.
Du das ist jetzt ein echter Krimi.
Wer immer den kanon. Beweis vorträgt, legt damit ein Geständnis ab, dass er noch nie vom SRN gehört hat. Ich soll also glauben, dass in den 200 Jahren von 1800 - 2011 weder Gauß noch einer seiner Nachfolger in der Lage war, diese nahe liegende Folgerung aus dem SRN zu ziehen …
Mathematiker gehen ja mit ihren Theorememen ähnlich um wie Juristen, die im Laufe der Zeit die Schlupflöcher ihrer Gestze stopfen. Auch in der Mathematik kommt nur all zu oft raus, dass die Sätze nur unter sehr einschränkenden Voraussetzungen gelten …
Also wenn du mich fragst. Der SRN kann nicht älter sein als 1990, eher jünger.
Schau mAl in Wiki. Sieht denn niemand, dass die SRN Aussage überhaupt nur Sinn hat für primitive Polynome ( Warum !!! ??? ) So sah ich mich gezwungen, die Algebra mit folgender Definition zu beglücken bzw. eine Deflücke zu schließen:
Def 1 ( Normiertes Polynom )
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Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive mit seiner Normalform überein stimmt.
Oder äquivalent, nur anschaulicher:
Wenn seine Normalform ganzzahlig ist.
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Korollar zum SRN
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Normierte Polynome können wenn überhaupt rationale, so nur ganzz. Wurzeln haben.
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Entschuldige diesen Parforceritt. Aber genau an dieser Stelle muss ich besonders exakt sein.
Dieser Wischiwaschi ist Wiki an sich nicht würdig und geht mir voll auf den Keks.
Zurück zu Polynom ( 4b-d ) Dieses Polynom ist normiert ( Seine Normaldorm ist ganzzahlig. )
Eure famosen Pädagogen wissen doch sehr genau, wie beliebt Knobeln und Raten bei Schülern ist - und wie kontra_intuitiv die MF. Sie kennen bloß den SRN nicht …
Stichwort " Vieta das geschmähte Stiefkind " wie ich das immer so gerne sage. In ( 4d ) gilt Vieta q
q = x1 x2 = 4 ( 5 )
Die 4 hat die triviale Zerlegung 4 = 1 * 4 so wie die nicht triviale 4 = 2 * 2
Bitte entschuldige; ich will dich jetzt nicht überfordern. Jene nicht triviale Zerlegung 2 * 2 würde unterstellen, dass die beiden Wurzeln einen ggt haben. Das ist auch so ein Punkt; in der nämlichen Woche des Jahres 2011 habe ich zu diesem SRN Thema mehr geschafft als Gauß in seinem ganzen Leben - u.a. eben auch den ggt . Na vielleicht ein andermal; man sieht sofort, dass x1;2 Teiler fremd sein müssen:
x1 = 1 ; x2 = 4 ( 6 )
Doch in ( 5 ) ergibt ja " Minus Mal Minus " auch Plus. Wieder so ein Kapitel; die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) wird allen Schülern und Studenten systematisch vorenthalten, weil sie so nützlich ist … In ( 4b-d ) also zwei pos. Wurzeln; alles paletti …
Hinreichende Bed. ist stets Vieta p in ( 4c )
p = x1 + x2 = 5 ; ok ( 7 )
Ich weiß. Auf dich wirkt das alles noch so neu. Doch du sollst ein Feeling dafür bekommen: Im Grunde ist es eine Erleichterung gegenüber der herkömml. Methode.