Was ist ein Euklidischer Ring in der Mathematik?
Euklidische Ringe sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen. Die beherrschende Eigenschaft des Ringes der ganzen Zahlen ist der Euklidische Algorithmus, also die Division mit dem Betrage nach kleinsten Rest.
Z
hat offensichtlich eine Betragsfunktion: ich ordne jeder ganzen Zahl sie selbst oder ihr Negatives zu, je nachdem welche davon positiv ist.
Für jedes
n∈Z
und jedes
m∈Z
gibt es eindeutig bestimmte
q
und
r
mit Betrag von
r
kleiner Betrag von
m
, so dass gilt:
n=qm+r
.
In dieser unschuldigen Formel steckt (fast) die ganze Weisheit über
Z
. Ich kann beweisen, dass
Z
ein Hauptidealring ist, dass es eine eindeutige Primzahlzerlegung gibt; ich definiere GGT und KGV und kann sie sogar berechnen:
Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen 105 und 18. Fortgesetzte Division mit Rest ergibt:
105 = 5*18 +15
18 = 1 * 15 + 3
15 = 5*3.
Damit haben wir 3 als größten gemeinsamen Teiler von 105 und 18 erkannt.
Was liegt für einen Mathematiker nun näher, als eine so starke Eigenschaft wie die Division mit Rest zu verallgemeinern. Und genau das führt auf den Begriff des Euklidischen Ringes. Ein Euklidischer Ring hat eine Betragsfunktion, so dass ein Divisionsalgorithmus wie oben gilt.
Damit gilt erst einmal alles, was in
Z
als Ringeigenschaften aus dem Algorithmus folgt:
Hauptidealring, Krull-Dimension 1 (jedes von Null verschiedene Primideal ist gleich maximal), Eindeutige Primfaktorzerlegung, …
Also: ein euklidischer Ring ist ein Ring R mit einer Betragsfunktion
g:R→Z,
die die Eigenschaft hat: wenn
a,b≠0
, dann auch
ab≠0
und
g(ab)>g(a)>0,
und für den gilt zu
n,m∈R
gibt es stets
q
und
r
mit
n=qm+r
und
g(r)<g(m)
Ein einfaches Beispiel für einen Euklidischen Ring, der nicht gleich
Z
ist, ist der Ring der Polynome über einem Körper
K
:
P=K[x]
, mit der Gradfunktion als Betragsfunktion.