Wenn
x
6
+
x
4
+10=0
Was ist x ?
Wir werden die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV ) so wie den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) benötigen - beides kann man nicht allgemein voraus setzen. Da ich eben eine ähnliche Aufgabe gerechnet habe, wirst du verstehen, dass ich mich nicht dauernd wiederholen will; Näheres in " untigem " Link ( Es sei denn, du hast immer noch Fragen. )
Antwort von Alfons Schmitt auf Falls
x
5
+
x
4
+5=0
was ist dann x?
f ( x ) := x ^ 6 + x ^ 4 + 10 ( 1 )
Hier brettert die CV auf einen Entartungsfall; hier wie soll denn die Summe aus drei positiven Termen je Null werden? Polynom ( 1 ) zeigt gerade Symmetrie; eine Kurvendiskussion würde einen Verlauf enthüllen analog Parabel. Doch hier ist die Berechnung auch der komplexen Wurzeln LMNTAR möglich; deshalb fahre ich fort.
Verschaffen wir uns doch erst mal einen Überblick über die relative Lage von x1;2;3;4;5;6 in der komplexen Ebene; gehen wir aus von x1 im ersten Quadranten. Dann ergibt sich trivial
x4 = ( x1 * ) ( 2a )
die komplex konjugierte ( kk ) Lösung aus dem vierten Quadranten. Das wäre an sich genau so bei jedem ( reellen ) Polynom; das ist noch nichts Besonderes. x4 folgt aus x1 durch Achsenspiegelung an der reellen Achse. Nun sagten wir aber oben schon, Polynom f hat gerade Symmetrie:
f ( - x ) = f ( x ) ( 2b )
D.h. durch Punktspiegelung am Ursprung bekommen wir aus x1 eine dritte Lösung x3 im dritten Quadranten:
x3 = - x1 ( 2c )
Und jetzt die Achsenspiegelung von x3:
x2 = ( x3 * ) = ( - x1 ) * = - ( x1 * ) = - x4 ( 2d )
Die vier Wurzeln biilden einen " Stern " ; was meine ich mit Stern?
In jedem Quadranten liegen gleich viel Wurzeln ( Bei einem allg. Polynom wäre das nicht so. )
Sämtliche Wurzeln haben gleiche Länge ( den selben Betrag; auch das ist i.A. nicht so. )
Der Phasenwinkel zwischen x1 und x4 ist gleich dem Winkel zwischen x2 und x3 ; bei einem allg. Polynom 4. Grades wäre das anders.
Doch jetzt verbleiben uns nur noch x5;6 . Und das sind nicht genug; was tun, sprach Zeus? Offenbar müssen wir fordern
x6 = ( x5 * ) = - x5 ( 2e )
Und damit sind x5;6 rein imag ( Phasenwinkel + - 90 ° C ) Und weiter mit Mikes y_Substitution, die ihr anderweitig von den biquadr. Gleichungen kennt:
f ( y ) := y ³ + a2 y ² + a1 y + a0 ( 3a )
a2 = 1 ; a1 = 0 ; a0 = 10 ( 3b )
In ( 3ab ) fällt die Antwort der CV völlig anders aus als oben in ( 1 ) ; wir haben genau eine negative Nullstelle. In der Anfängervorlesung Algebra lernt man ja zur Not noch, dass für ein kubistisches Polynom die Alternative gilt: Entweder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab, oder es entpuppt sich als prim, als ===> Minimalpolynom seiner drei ( irrationalen ) Wurzeln ( was hier leider der Fall ist )
Denn mit dem SRN wären ja nur die folgenden Nullstellen vereinbar
- ( 10 ; 5 ; 2 ; 1 ) ( 4 )
Noch nie waren Irrationalitätsbeweise so einfach.
Ich entstamme einem welt_elektronikkonzern. Mein Chef pflag zu sagen - und da stimme ich ihm ausnahmsweise zu
" Wenn denn doch alle Iterationsverfahren nur Näherungen sind. Nehmen Sie doch gleich das einfachste, die ' Telefonbuchsuche ' ( fort gesetzte Intervallhalbierung ) "
Entweder du schreibst es gleich als Computerprogramm, oder du programmierst Onkel Horner auf dem TR und arbeitest halb automatisch. Genauigkeit < 1 Promille nach spätestens zehn Schritten. Ich selber halt mich net lange damit auf, sondern konsultiere lieber gleich Wolfram:
y3 = ( - 2.545 ) ===> x5;6 = + - 1.595 i ( 5 )
( 5 ) ist die reine imag Wurzel, die wir in ( 2e ) voraus gesagt hatten.
Ich will ja nicht hetzen. Aber die ( von Mike eingesetzte ) Cardanoformel ist ein wahrer Teufelspakt. Sicher; dir wird garantiert, dass sich die Lösung in Form von Kubikwurzeln darstellen lässt. Hier klappt das ausnahmsweise sogar. Doch so bald du drei reelle Wurzeln hast, bretterst du auf den ===> Casus irreducibilis ( Dies übrigens der Anlass, warum die italiener im 16. Jh. zuerst komplexe Zahlen einführten. )
Dir wird nämlich nur versprochen, dass du Kubikwurzeln aus komplexen Zahlen ziehen musst, eine Prozedur, die für modernes Empfinden nichts Algebraisches mehr an sich hat, sondern eine typisch transzendente Aufgabenstellung darstellt ===> Dreiteilung des Winkels. ( Eigentlich auch logisch. Nur im Komplexen ist die Kubikwurzel dreideutig, hat drei Lösungen. Im Reellen wäre sie ja eindeutig. )
Wie geht es jetzt weiter? Wir suchen das quadr. Faktorpolynom g ( y ) ,dessen Wurzeln die gesuchten y1;2 sind.
f ( y ) =: ( y - y3 ) g ( y ) ( 6a )
g ( y ) =: y ² - p y + q ( 6b )
Polynomdivision ( PD ) für Gleitkommagrößen - so etwas fordert noch nicht mal das Internet. Und da trifft es sich günstig, dass ich zur Bestimmung von p und q ein LGS entwickelt habe - LGS sind ja bei den Schülern bestens eingeführt. Ich fand es ganz witzig, sie zu nennen " erste und zweite Alfonsinische pq_Formel " ( AF1 bzw. AF2 ) Damit habe ich insgesamt schon drei pq_Formeln entdeckt, während eure faulen Pauker noch immer in dem Wahn leben, es gebe nur eine pq_Formel …
Ich habe nämlich einen Kronzeugen, Michael Ende habe seinen Jim Knopf für mich alleine geschrieben. Ja und darum benannte ich meine Formeln nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland … In einem Kommentar bekam ich auch schon das Kompliment, meine AF ( unter diesem Namen scheinen sie sich durch gesetzt zu haben ) seien " die beste Formel " Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Schmierzettel; siehe ( 3b )
a2 = - ( p + y3 ) = 1 ===> p = 1.545 ( AF1 ) ( 7a )
a0 = - q y3 = 10 ===> q = 3.929 ( AF2 ) ( 7b )
Hier ihr hattet eindeutig schon schwerere LGS zu knacken; dabei sind ( 7ab ) noch bichtmal gekoppelt …
Eine Warnung muss ich jedoch immer wieder aussprechen; eine Fußangel, die Anfängern droht. Die PD ist ja robust. Der macht es nichts aus, ob das Polynom in Normalform oder in beliebiger anderer Skalierung vorliegt. Dagegen meine AF ( 7ab ) funktionieren nur, wenn das Polynom in Normalform vorliegt analog ( 3ab ) Aber an sich kennt ihr das ja schon von der Mitternachtsformel ( MF ) ; man gewöhnt sich daran.
Nein die MF mit ihren kontra_intuitiven Wurzeln wollen wir vermeiden, wo immer möglich. Und komplexe Wurzeln findet ihr weitaus schneller mittels Vieta dem " geschmähten Stiefkind " Analog ( 7ab ) lest ihr alles direkt aus p und q ab. ( Die komplexen Wurzeln y1;2 sind natürlich y1 , y1 * )
p = 2 Re ( y1 ) = 1.545 ===> Re ( y1 ) = .7725 ( vgl. Wolfram ) ( 8a )
q = | y1 | ² = 3.929 ===> | y1 | = 1.982 ( 8b )
Tja und jetzt müssen wir aus ( 8ab ) ja noch die Wurzel ziehen; ich erinnere an Mikes Definition von y . Wie man aber aus komplexen Zahlen die Wurzel zieht, darüber scheinen die wunderlichsten Vorstellungen zu kursieren.
y1 = x1 ² ( 9a )
x1 =: R + i J ; R , J € |R ( 9b )
R = Real_,J= Imagteil von x1 .
x1 ² = R ² - J ² + 2 i R J ( 9c )
Damit ergibt sich aber durch Koeffizientenvergleich zwischen ( 8a;9ac )
Re ( y1 ) = R ² - J ² = .7725 ( 10a )
Und wo nehmen wir jetzt unsere zweite Bedingung her? Da fallen selbst gestandene Lehrer drauf rein und versuchen, über den Imagteil von ( 9c ) zu gehen. Den Nachhilfelehrern bzw. selbst ernannten Moderatoren auf dem Forum " Onlinemathe " schrieb ich darauf hin, diese Methode gleiche einem zweijährigen Kind, das sich ständig wie ein Dobsch im Kreis dreht, weil es versucht, den Ärmel von seiner Jacke auszuziehen - worauf hin ich deaktiviert wurde …
Nein; nimm doch gnädig mein Angebot ( 8b ) an; es steht doch schon alles da;
| y1 | = | x1 | ² = R ² + J ² = 1.982 ( 10b )
( 10ab ) ist der prototyp eines LGS ; seine Lösungen sind immer die gleichen:
R ² = arithm. Mittelw. ( .7725 ; 1.982 ) = 1.377 ===> R = 1.174 ( vgl. Wolfram ) ( 10c )
J ² = halbe Diff ( 1.982 , .7725 ) = .6048 ===> J = .7777 ( vgl. Wolfram ) ( 10d )
und damit
x1 = 1.174 + .7777 i ( 10e )