text: множество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством.изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.история понятия:основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены бернардом больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.с 1872 года по 1897 год георг кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел. в этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. поэтому общепризнано, что теорию множеств создал георг кантор. в частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо бертраном расселом и эрнстом цермело. в дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. до сих пор они всё ещё известны как теория типов рассела и теория множеств цермело. впоследствии теорию множеств кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.в практике, сложившейся с середины xx века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам zfc.при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами.элемент множества:множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. если a — элемент множества a , то записывают a \in a. если a не является элементом множества a , то записывают a \notin a. в отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:задание множества:первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. например, множество y неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: y \left \ 0, 2, 4, 6, 8 \right \. данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. в таком случае множества определяются свойствами их элементов. множество y задано, если указано условие a , которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству y и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству y.используется для задания множества y ; оно означает, что множество y состоит из тех и только тех элементов x множества x , для которых выполнено условие a.некоторые виды множеств и сходных объектов:специальные множества:универсальное множество — множество, содержащее все мыслимые объекты. в связи с парадоксом рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».сходные объекты:кортеж вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. порядок имеет значение, элементы могут повторяться.последовательность — функция одного натурального переменного. представляется как бесконечный набор элементов, порядок которых имеет значение.нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.по иерархии:система множеств — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения.отношения между множествами:a и b находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству a , элемент, принадлежащий исключительно множеству b , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:операции над множествами:бинарные операции:для объяснения смысла операций часто используются диаграммы венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.унарные операции:операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум, и сводится к разности множеств с этим универсумом:система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.булеан 2^x порождает систему множеств с фиксированным универсумом x , замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.приоритет операций:последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. при отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции, затем — пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет, затем — объединения и симметрической разности. операции одного приоритета выполняются слева направо. при этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что -c a + , для аналогичных операций над множествами это неверно. например, если a\1,3\, b\1,2\, c\2,3\, то \setminus c\1\, но, в то же время, a\cup\1, 3\.мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. обозначается - a - или \sharp a. мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения и распространением свойства мощности булеана конечного множества: - 2^a - 2^ - a - на случай бесконечных множеств.наименьшая бесконечная мощность обозначается \aleph_0 , это мощность счётного множества. мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается \ frak c или 2^\aleph_0. континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.