text: определение:множество a называется подмножеством множества b , если все элементы, принадлежащие a , также принадлежат b. формальное определение:символ \subset является аналогом , то есть в случае a \subset b в b есть элементы, которых нет в a.обе системы обозначений предусмотрены стандартом iso 31-11, но используют символ \subset в разных смыслах, что может привести к путанице. в данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.множество b называется надмножеством множества a , если a является подмножеством множества b.множества a и b называются равными a b , если они состоят из одних и тех же элементов, то есть a \subseteq b и b \subseteq a.собственное и несобственное подмножество:любое множество b среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. само множество b и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными подмножествами.то есть, если мы хотим исключить само b и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием собственного подмножества, которое определяется так:в зарубежной литературе несобственным подмножествам в вышеуказанном смысле соответствуют тривиальные, а собственным — нетривиальные, а термин «собственное подмножество» применяется в значении «строгое включение a в b» или «подмножество a, строго входящее в множество b, и в котором нет как минимум одного элемента множества b». то есть в отличие от собственного подмножества в русскоязычных источниках, proper subset b не включает само множество b, но включает пустое множество. как следствие: так как пустое множество является подмножеством любого множества, то оно является собственным подмножеством всех множеств.в этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиального подмножества, которое определяется так:примеры:множества \varnothing,~ \0\,~ \1,3,4\,~ \0,1,2,3,4,5\ являются подмножествами множества \ 0,1,2,3,4,5\.множества \varnothing,~ \0,1,2,3,4,5\ являются тривиальными подмножествами множества \ 0,1,2,3,4,5\, все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.множества \ \varnothing, \uparrow, \mboxoca \,~ \ \$,\%, ,\uparrow \,~ \\varnothing\,~ \varnothing являются подмножествами множества \ \$, \%, \varnothing, \uparrow,, \mboxoca \.свойства:пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:подмножества конечных множеств:если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. а именно, у n -элементного множества существует 2^n подмножеств. чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет n -кратным произведением двоек. если же рассматривать только подмножества n -элементного множества из k\le n элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом \textstyle\binomnk. для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. первый элемент можно выбрать n способами, второй n-1 способом, и так далее, и, наконец, k -й элемент можно выбрать n-k+1 способом. таким образом мы получим последовательность из k элементов, и ровно k! таким последовательностям соответствует одно подмножество. значит, всего найдется \textstyle\fracn \dots k!\binomnk таких подмножеств.