text: подгруппа ― подмножество h группы g , само являющееся группой относительно операции, определяющей g.примеры:подмножество группы g , состоящее из одного элемента 1 , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы g.связанные определения:всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.сама группа g и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы g , все остальные ― собственными.пересечение всех подгрупп группы g , содержащих все элементы некоторого непустого множества m , называется подгруппой, порождённой множеством m , и обозначается \langle m\rangle.если m состоит из одного элемента a , то \langle a\rangle называется циклической подгруппой элемента a.если группа g_1 изоморфна некоторой подгруппе h группы g , то говорят, что группа g_1 может быть вложена в группу g.основные свойства:непустое множество h\subset g является подгруппой группы g тогда и только тогда, когда для любых a, b \in h выполняется ab^-1 \in h.теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. объединением подгрупп h и k называется подгруппа, порожденная объединением множеств h\cup k.если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.смежные классы:для подгруппы h и некоторого элемента a \in g , определяется левый смежный класс ah \ax: x \in h\. количество левых смежных классов подгруппы h называется индексом подгруппы h в g и обозначается g: h. аналогично можно определить правые классы смежности ha \xa: x \in h\.если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. это свойство даёт возможность построить факторгруппу gh группы g по нормальной подгруппе h.литература: