השלים את המשפט הבא: נולד במילאנו, ברגומי התחיל להתאמן עם הקבוצה הראשונה של אינטר מילאנו בגיל 16 בלבד, ועשה את הופעת הבכורה שלו
עונת 1980-81. לאחר שזכה בגביע איטליה בשנה שלאחר מכן, והגיע גם למחצית הגמר של גביע אירופה תוך ביצועי ביצועים עקביים, הוא היה במהרה חלק מבחירות הקבוצה הבכירה של איטליה.