סמית' נולדה בשם סאדי סמית' וילסדן שבמחוז ברנט שבצפון מערב לונדון. אמה היה ג'מייקאי, איבון ביילי, ואביו היה אנגלי, הארווי סמית'. בגיל 14 שינתה את שמה לזאדי. אמה של סמית' גדלה בג'מייקה, והיגרה לאנגליה ב-1969. ההורים של סמית' התגרשו כשהייתה נערה. יש לה אחות למחצה, אח למחצה ושני אחים צעירים יותר (אחד מהם הוא הראפר והקומדיסט דוק בראון, והשני הוא הראפר סקיי לוקז). בילדותה סמית' הייתה חובבת ריקודי טפט, ובשנות העשרה שלה היא שקלה קריירה במוזיקה. בזמן שנסמית' הייתה באוניברסיטה, היא הרוויחה כסף כזמרת ג'אז ורצתה להיות עיתונאית. למרות שאיפותיה הראשונות, התעניינות העיקרית שלה הייתה לספרות. שאלה: מתי התגרשו הוריה?
כשהיתה נערה