קוני שיחק לראשונה עבור לינסטר ב-2 בספטמבר 2011, כאשר הוא החל נגד אוספריס בסוואנסי במהלך המשחק הפותח של 2011<unk>12 Pro12
אני לא יודע. קוני המשיך להופיע עבור לינסטר בליגה, שיחק עוד ארבע פעמים, אף על פי שכל אחת מההופעות הללו הגיעה מהספסל. רוב הופעותיו של קוני הגיעו בזמן שהשחקנים של לינסטר היו מחוץ לקבוצה בגביע העולם 2011, למרות שהוא גם הבקיע את הניסיון הראשון שלו עבור הקבוצה מאוחר יותר בעונה בניצחון על בנטון טרביזו. קוני הופיע לראשונה באירופה בגמר גביע היינקן 2011/12, והשתתף כחצי מחליף בניצחון של לינסטר על יריביו האיריים אולסטר ב-42:14, וזכה במדליה.