השלים את המשפט הבא: יליד קוויבק, גאוטייה התפתח בתוכניות ההוקי הקרח הקטנות המקומיות שלו והתכוון להמשיך בקריירה קולג'ית ולא QMJHL. לאחר שנבחר על ידי האוקיאניקה בליגת הוקי הקוויטנזיה והיאנגסטאון פנטומים בליגת ההוקי של ארצות הברית, הוא עודד את סידני קרוסבי להמשיך בקריירה במחוז הולדתו. במהלך כהונתו עם הקבוצה, גאוטייה התחרה עבור קבוצת קנדה בטורנירים בינלאומיים שונים. הוא זכה במדליית זהב באליפות העולם U18 של ה- IIHF בשנת 2013 ו
אליפות העולם לצעירים 2015 בהוקי קרח.