רוני הופיע לראשונה בוואדוויל כשחקן ילד, ועשה את הופעת הבכורה שלו בסרט בגיל 6. הוא שיחק את הדמות הראשית בסדרה הפופולרית "מיקי מקגייר" של 78 סרטים קצרים, מגיל 7 עד 13. בגיל 14 ו-15, הוא שיחק את פאק במחזה והאידאפציה הקולנועית של "חלום ליל קיץ". בגיל 16 הוא החל לשחק את אנדי הארדי, וזכה להכרה ראשונה בגיל 17 כווייטי מארש ב"עיר הבנים". בגיל 19 בלבד.
בשנת 1939 הוא היה המועמד השני הצעיר ביותר לשחקן הטוב ביותר בתפקיד ראשי והמתבגר הראשון שהוגש למועמד לפרס האוסקר על הופעתו בתפקיד מיקי מורן בסרט העתקה של מחזמר ברודוויי "Babes in Arms". הוא זכה בפרס אוסקר מיני בשנת 1939. רוני קיבל את מועמדותו השנייה לפרס האוסקר באותה קטגוריה על תפקידו כהומר מקולי ב"הקומדיה האנושית". בגיל 23 הוא היה גם המועמד השלישי הצעיר ביותר באותה קטגוריה, לפני שהוותר עליו טימותי צ'לאמט בן ה-22 על תפקידו של אליו פרלמן בסרט הדרמה הרומנטית "קרא לי בשמך", ב-2017, 74 שנים לאחר מכן.