הוא היה במקום השני בגביע אירופה 2012 פורמולה רנו 2.0, וזוכה באליפות 2012 פורמולה רנו 2.0 אלפים סדרה ו 2013 GP3 סדרה. הוא עשה את הופעת הבכורה שלו בפורמולה 1 כנהג טורו רוסו בסיום במקום ה-15 באליפות העולם. לאחר מכן עבר לרד בול רייסינג כדי להיות שותף לדניאל ריצ'ארדו לעונת 2015. הוא השיג את פסגת הפודיום הראשונה שלו בפורמולה 1 בגרנד פרי הונגרי 2015, כשהוא סיים במקום השני מאחורי סבסטיאן וטל. בעונה הראשונה שלו עם רד בול רייסינג, קוויאט סיים במקום השביעי באליפות הנהגים, לפני חברו לקבוצה. הוא החל את עונת 2016 עם רד בול רייסינג, כבש את הפודיום השני שלו, סיים במקום השלישי בפרס הגדול הסיני 2016. עם זאת, בעקבות התנגשות שנויה במחלוקת במהלך הסיבוב הראשון של המירוץ הביתי שלו בסוצ'י, קוויאט הורד לדרגת טורו רוסו לקראת גראנד פרי הספרדי 2016, שם סיים את העונה והוחזק על ידי הקבוצה לעונה הבאה. אף על פי שהוכיח ביצועים מוצלחים בתחרות 2017, העונה שלו הייתה מוטרדת על ידי בעיות שונות, כולל כמה פרישות במירוצים שבהם הוא היה יכול להרוויח נקודות. לאחר גראנד פרי ארה"ב 2017
קוויאט ורד בול נפרדו, באופן אפקטיבי סיים את החוזה שלו. קוויאט בילה את 2018 כנהג פיתוח עבור סקודריה פרארי, לפני שחתם מחדש עם טורו רוסו לעונה. בפרס הגדול של גרמניה 2019 זכה קוויאט לפודיום השלישי בקריירה שלו על ידי סיום במקום השלישי; זה היה גם הפודיום השני של סקודריה טורו רוסו לאחר שניצחו בפרס הגדול האיטלקי של 2008 עם סבסטיאן וטל.