סמית' נולדה בשם סאדי סמית' וילסדן שבמחוז ברנט שבצפון-מערב לונדון. אמה היה ג'מייקאי, איבון ביילי, ואביו היה אנגלי, הארווי סמית'. בגיל 14 שינתה את שמה לזאדי. אמה של סמית' גדלה בג'מייקה, והיגרה לאנגליה בשנת 1969. ההורים של סמית' התגרשו כשהייתה נערה. יש לה אחות למחצה, אח למחצה ושני אחים צעירים יותר (אחד מהם הוא הראפר והקומיקאי דוק בראון, והשני הוא הראפר סקיי לוקז). בילדותה סמית' הייתה חובבת ריקוד טפט, ובשנות העשרה שלה היא שקלה קריירה במוזיקה. בזמן שנסמית' הייתה באוניברסיטה, היא הרוויחה כסף כזמרת ג'אז ורצתה להיות עיתונאית. למרות שאיפותיה המוקדמות, התעניינה העיקרית שלה הייתה בספרות.
איבון ביילי.