ברגומי נולד במילאנו, החל להתאמן עם הקבוצה הראשונה של אינטר מילאנו בגיל 16 בלבד, ועשה את הופעת הבכורה המקצועית שלו בעונת 1980-81.
אני לא יודע. לאחר שזכה בגביע איטליה בשנה שלאחר מכן, והגיע גם למחצית הגמר של גביע אירופה תוך ביצועי ביצועים עקביים, הוא היה במהרה חלק מבחירות הקבוצה הבכירה של איטליה.