לאחר הצלחות קטנות בקטגוריות הקטנות, במיוחד ניצחון באליפות פורמולה 3000 ב-1989, הקריירה שלו בפורמולה 1 כללה תקופות בטיראל, בנטון, סאובר, פרוסט, ג'ורדן ופררי, שם הוא הוכיח שהוא מאוד פופולרי בקרב הטיפוסי. במהלך תקופתו בפרארי מ-1991 עד 1995, סגנון הנהיגה האגרסיבי שלו, בשילוב עם השימוש במספר 27 על מכוניתו, הוביל כמה עיתונאים ואת tifosi, להשוות אותו לג'יל ווילנוב והוא זכה בפרס הגדול של קנדה 1995
, אבל זה הוכח להיות הניצחון היחיד של הקריירה שלו בפורמולה 1. במהלך תקופתו בפורמולה 1, אלסי היה טוב במיוחד במים רטובים, והיה רוכב מרקורי ותוקף, שהרגשות שלו לפעמים השתלטו עליו.