דרוגבה נולד באביג'אן, חוף השנהב, ובגיל חמש הוריו שלחו אותו לצרפת לגור עם דודו מישל גובה, שחקן כדורגל מקצועי. עם זאת, דרוגבה התגעגע לביתו וחזר לאביג'אן לאחר שלוש שנים. אמו כינתה אותו "טיטו", על שם הנשיא יוסיפ ברוז טיטו של יוגוסלביה, שאותו היא העריצה מאוד. הוא שיחק כדורגל כל יום בחניון בעיר, אך שובו לחוף השנהב היה קצר. שני הוריו איבדו את עבודתם והוא חזר שוב לגור עם דודו. בשנת 1991 הוריה נסעו גם הם לצרפת; תחילה לוואנס ולאחר מכן, בשנת 1993, התיישבו באנטוני בפרברים של פריז, ובשלב זה חזר דרוגבה בן ה-15 לגור איתם ואחיו. למרות שהחל לחיות כאן, הוא נכשל לשחק יותר בקבוצת כדורגל מקצועית, והצטרף לקבוצת הכדור הצעירים הצרפתית, אך רכש שם כמאמן בכיר.
לגור עם דודו.