Konplete fraz sa a: Nan ane 1960 yo, pandan sa yo rele Thaw a, Voznesensky souvan vwayaje aletranje: nan Lafrans, Almay, Itali, Etazini ak lòt peyi yo. Popilarite nan Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko ak Bella Akhmadulina te make pa pèfòmans yo devan foul moun yo adore nimewo nan dè milye nan estad, nan sal konsè ak inivèsite. Nan fè sa, li te sèvi kòm "yon sòt de ofisyèl Kremlin kiltirèl anvwaye", selon "The New York Times". Li te gen gwo kapasite pou li pwezi. Li te konpetisyon ak Laurence Olivier ak Paul Scofield nan yon montre nan Lond. Li te kritike
1968 envazyon nan Tchekoslovaki. Pandan li te Ozetazini, li te rankontre Allen Ginsberg, Arthur Miller, ak Marilyn Monroe.