Saudi Araabia lennufirma ja TAG suurte sponsoritena võeti FW06 esmakordselt 1978 Argentina Grand Prix'l võidusõiduteel.
Alan Jones ja üks auto võistles sel hooajal maailma meistrivõistlustel kõikides 16 raundides, lõpetades kolm korda punktides, sealhulgas Watkins Glenis teise koha, mis võrdus Williamsi parima tulemusega 1975. aasta Saksamaa Grand Prix's. Jones'i suurepärane sõit Long Beach'is ei olnud tasustatud. Teisel kohal sõites tekkis autole mehaaniline häire ja ta kukkus tagasi. Jonesile meeldis auto, väites, et see oli meeldiv juhtida ja oli väga juhitav võrreldes eelmise masinatega, mis talle anti, ja ta tundis, et see oli üks parimaid ilma maapõhiste efektidega autosid sel hooajal. Sponsoritehingu suurenenud eelarve võimaldas Patrick Headil FW06-d kogu aasta vältel pidevalt arendada. Williams lõpetas 1978. aastal konstruktorivõistluse üheksandana, võrdudes 1975. aastal saavutatud meeskonna parimaid tulemusi.