Abashvili sündis Tbilisi linnas, mis oli tol ajal osa Vene impeeriumist. Ta lõpetas Leningradi mereväeülikooli 1931. aastal ja liitus Nõukogude Balti laevastikuga, kus ta teenis läbi Soome kampaania.
ja II maailmasõda. Aastal 1944 oli ta Balti laevastiku asepealiku staabiülem ja juhtis ka hävitajate diviisi, mis mängis olulist rolli Leningradi blokaadi leevendamisel. 1953. aastal oli ta Nõukogude laevade ülemohvitser, kes külastasid Poola, ning 1954. aastal Soomes kutsutud laevad. 1962. aasta Kuuba raketikriisi ajal oli Abashvili Issa Plijevi ülemjuhataja asetäitja ja Kuuba kavandatud Nõukogude vägede rühma (Operatsioon Anadyr) mereväe komandör. Ühe jutustuse kohaselt oli ta kriisipäevadel vägivalla vahetu kasutamise vastu. Ta väidetavalt viivitas Nõukogude rakettide käivitamise käsku pinge kõrgusel ja sai üheks inimeseks, kes aitas vältida tuumasõda. Samal aastal läks ta pensionile ja suri 1982. aastal Leningradis insultist.