Brinkmani 35 aasta pikkune kohtumõistmine ületas Larry Barnett'i (1968-1999) rekordi. Brinkman on viies kõigi aegade mängude arvul, mis töötasid Major Leagues. Kolm neljast tema ees on kuulsuste saalis. Brinkman oli kohtunik kolmes maailmameistrivõistluses: 1978, 1986, 1995). Ta kohtus viies American League Championship Series'is (1976, 1980, 1987, 1992).
, 1997), ja kolm All-Star mängud (1977, 1991, 1996), kutsudes pallid ja streikid 1991. Brinkman mängis Division Series'is 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 ja 2005. aastal. Ta oli ka kohtunik A. J. Burnett'i no-hitteril San Diego Padres'i vastu 12. mail 2001. Brinkman oli ALCS-i meeskonnajuht 1987. ja 1997. aastal ning ka 2005. aasta NLDS-is. Tema pensionile jäämine kuulutati välja 22. augustil 2006. Endine kohtunik Bob Davidson asendas Brinkmani. Ta oli koduplats finaalis Comiskey Parkis 1990. aastal.