Benčić sündis Flawil'is, kirde-Šveitsis, Dana ja Ivan Benčič'ile. Tema vanemad sündisid mõlemad Tšehhoslovakkias, kuid tema isa perekond emigreerus 1968. aastal Varssavi pakti sissetungi eest Šveitsi.
Nõukogude Liit. Tema isa oli professionaalne hokimängija Šveitsi A- ja B-liigas, enne kui ta sai kindlustusmakleriks. Tema ema oli kõrgetasemeline käsipallur. Bencic lõi oma esimest tennisepalli kahe aasta vanuses ja hakkas treenima oma isa, kes oli ka meelelahutuslik tennise mängija, ühe tunni jooksul päevas nelja-aastaselt. Ta osales oma esimesel rahvuslikul turniiril selles eas, kaotades kuus aastat vanema vastase vastu, ilma et oleks võitnud ühtegi mängu. Bencic kohtus regulaarselt lapsepõlves palju vanemate vastastega ja tema isa julgustas teda üritama võita kaks mängu komplektis.