Kvitelashvili tegi oma debüüdi ISU Challenger Series'is (CS) 2014. aasta septembris Lombardia Trophys viiendal kohal. Novembris võistles ta 2014. aasta Rostelecom Cupis, asendades vigastatud Kolyada; ta lõpetas sündmusel kaheteistkümnendana, mis oli tema karjääri esimene vanem Grand Prix (GP) ülesanne. Pärast kaheksandat kohtumist 2015. aasta Venemaa meistrivõistlustel
2015. aasta veebruaris Hispaanias Granadas toimunud võistlusel lõpetas ta seitsmendana.