Fettich lõpetas keskkooli Szombathelys ja Budapestis. 1921. aastal lõpetas ta Budapesti Eötvös Loránd Ülikooli kunstide doktorikraadi, kirjutades väitekirja Rooma provintsis Pannoonias asuvatest vootiividest. Aastatel 1921-1923 oli ta Franz Liszti Muusikaakadeemia flöödiosakonna õpilane. Ta töötas 1926. aastal Ungari Rahvusmuuseumis numismatiikka ja muistsete varanduste kogumisel rändeperioodi eest. Olles õppinud vene keelt, oli ta üks Nõukogude Liidu ainsatest arheoloogidest aastatel 1929-1935. Ta oli 1939. aastal Folia Archeology asutaja. Aastal 1941 määrati ta Ungari rahvusmuuseumi direktoriks. Aastal 1941 sai temast kuldsepp. Ta tegi palju ajaloolisi reljeefseid. Pärast pensionile jäämist 1945. aastal sai ta füüsiliseks tööliseks, kuid töötas endiselt kuldseppina. 1956. aastal oli ta mitmete teaduslike tööde autor. Alates 1957. aastast kuni oma surmani oli ta kuldseppade kunstnike loomingulise liidu liige. 1957. aastal osales ta Expo 58-s.
Brüsselis. Aastatel 1959-1962 oli ta Ungari Teaduste Akadeemia liige, olles arheoloogiliste uuringute rühma lepinguline töötaja. Ta pälvis Ungari Arheoloogia ja Kunstiajaloo Medali ning oli Helsingi Soome-Ugri Kompanii liige. Fettich osales mitmetel arheoloogilistel kaevandustel.