Eberspächer sündis 18. novembril 1915 Tübingenis, mis oli tol ajal osa Württembergi kuningriigist, Saksa keisririigi föderaalsest riigist. 1934. aastal astus ta vabatahtlikult sõjaväeteenistusse Reichswehris ja teenis relvastatud luurepataljonis. Paralleelselt sõjaväeteenistusega õppis ta Stuttgardi ülikoolis masinaehitust. Pärast kooli lõpetamist 1939. aastal läks ta Luftwaffe'isse. 1940. aasta juulist kuni 1943. aasta jaanuarini teenis ta Lehrgeschwader 2 7. (Fernaufklärungs-) "Staffelis" (II demonstreerimisväe 7. pikamaa-uurimiseskadril) mõlemal Lääne-
ja Ida-Frontid. Seejärel muutus ta maa-rünnaku rolliks ja alates märtsist 1943 teenis ta Schnellkampfgeschwader 10 (SKG 10<unk>10th Fast Bomber Wing), lendades hävitaja-pommituse missioonidel Lõuna-Inglismaal ja laevandusvastastes operatsioonides La Manche'is. Ta edutati 1. mail 1944 Hauptmann'i (kapten) auastmele ja määrati Staffelkapitän'iks (eskadriini juht) Kurt Dahlmann'i I./SKG 10 (1. rühm).