Ta oli 2012. aasta Eurocup Formula Renault 2.0, 2012. aasta Formula Renault 2.0 Alps Series ja 2013. aasta GP3 Series meister. Ta tegi oma debüüdi Formuulas 1 Toro Rosso sõitjana, lõpetades 15. maailmasõidu. Seejärel kolis ta Red Bull Racingisse, et saada 2015. aasta hooaja partneriks Daniel Ricciardo. Ta saavutas oma esimese Formuli 1 poodiumi 2015. aasta Ungari Grand Prix'l, lõpetades Sebastian Vetteli järel teisena. Oma esimesel hooajal Red Bull Racingis lõpetas Kvyat seitsmendana sõitjate meistrivõistluses, oma meeskonnakaaslase ees. Ta alustas 2016. aasta hooaega Red Bull Racing'iga, saavutades oma teise poodiumi, lõpetades 2016. aasta Hiina Grand Prix's kolmandal kohal. Kuid pärast vastuolulist kokkupõrget oma kodujooksu esimesel ringil Sotšis, alandati Kvyat Toro Rosso enne 2016. aasta Hispaania Grand Prix'd, kus ta lõpetas hooaja ja meeskond säilitas ta järgmiseks hooajaks. Kuigi ta oli 2017. aastal kvalifitseerumisel järjekindlalt edukas, oli tema hooajal mitmeid probleeme, sealhulgas mitu pensionile jäämist võistlustel, kus ta oleks võinud punkte teenida. Pärast 2017. aasta Ameerika Ühendriikide Grand Prix't
Kvyat ja Red Bull lahkuvad, lõpetades tema lepingu. Kvyat veetis 2018. aasta Scuderia Ferrari arendusteenustöötajana, enne kui Toro Rosso teda hooaja jooksul uuesti allkirjastas. 2019. aasta Saksamaa Grand Prix'l sai Kvyat oma karjääri kolmas poodium, lõpetades kolmandal kohal; see oli ka Scuderia Toro Rosso teine poodium, pärast seda, kui nad võitsid 2008. aasta Itaalia Grand Prix'd Sebastian Vetteliga.