Kondrashin on sündinud Moskvas orkestri muusikute perekonnas. Pärast seda, kui ta oli veetnud palju tunde proovis, tegi ta 14-aastaselt kindla otsuse saada dirigendiks. Ta õppis Moskvas konservatooriumis aastatel 1931-1936 dirigendi Boris Khaikini juhtimisel. Kondrashin alustas juhtimist Moskvas Noorte Teatris aastal 1931, jätkates Stanislavski ja Nemirovitši-Danðenko Moskva Akadeemilises Muusikateatris kolm aastat hiljem. Ta juhtis Maliy Opera Teatris Leningradis aastatel 1938-1942 ja Moskvas Bolshoi Teatris alates 1943.
1943. aasta