الاستقرار في الرياضيات هو حالة من حالات الأنظمة أو بتعبير آخر هو خاصية رياضية عادة ما تذكر اقترانا بحل معادلة تفاضلية حيث يقال حل المعادلة التفاضلية كذا وكذا مستقر أو غير مستقر.
الأنظمة الخطية والاستقرار.
بالنسبة للأنظمة الخطية أو المعادلات التفاضلية الخطية، يجب على القيمة الذاتية (eigenvalue) أن تكون سالبة أو بالأحرى إذا سلمنا بأن القيمة الذاتية هي عدد مركب فإنه يجب أن يكون جزئه الحقيقي سالبا. إذا كان الجزء الحقيقي صفرا فإن النظام يسمى شبه مستقر أي أنه لا يعود إلى حالته السابقة، إذا قمنا بتغييرها تغييرا طفيفا بل يبقى في الحالة التي وضعناه فيها. أما النظام المستقر فيعود إلى حالته الأولى، إذا أبعدناه عنها إبعادا طفيفا. النظام غير المستقر يبتعد أكثر فأكثر من حالته الأولية إذا أبعدناه عنها. الصورة أسفله مثلا ترمز لكرة متحركة على أسطح مختلفة وتبين اختلاف خاصية استقرار الوضعية حسب الأرضية. رياضيا يدرس هذا المثال باشتقاق نموذج هو عبارة عن معادلة تمثل حركة الكرة ثم تتم دراسة استقراره حسب الطرائق المبينة أسفله.
الأنظمة غير الخطية والاستقرار.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية من نوع:
formula_1
حيث formula_2 دالة غير خطية
و formula_3 ،
formula_4 متـّـجهان، يصعب حساب القيمة الذاتية أو أن مفهوم القيمة الذاتية غير متعارف عليه في هذه الأنظمة. في هذه الحالة تكون أحد الطرق التي يمكن من خلالها معرفة إن كان نظام ما مستقر أم لا هو الاستعانة بمبرهنة ليابونوف. وقبل تبيين طريقة ليابونوف لدراسة الاستقرار فإنه يجدر بالذكر أنه يمكن إخطاط خاصـّـيـّـات النظام (linearization of the properties of the system) أو المعادلة في نقطة معينة formula_5 وحساب القيمة الذاتية لهذا النظام الخطي فيها؛ وعلى أساس القيمة الذاتية المتحصل عليها نقول أن النظام مستقر أم لا. المشكل الوحيد هو أن تصنيفنا هذا للنظام ليس صحيحا إلا في دائرة ضيقة حول نقطة الإخطاط، أي أنه مثلا إذا قلنا أن النظام مستقر فهذا يعني أنه مستقر في النقطة formula_6 وبعض النقاط حولها ولكن لا نعرف حجم المجال الذي يضم هذه النقاط.
مبرهنة ليابونوف.

هو حالة من حالات الأنظمة أو بتعبير آخر هو خاصية رياضية 
ما هو المقصود بالاستقرار في الرياضيات؟

تذكر اقترانا بحل معادلة تفاضلية حيث يقال حل المعادلة التفاضلية كذا وكذا مستقر أو غير مستقر
ما هي الخاصية الرياضية التي ترتبط بحل المعادلات التفاضلية المستقرة؟

 تكون سالبة أو بالأحرى إذا سلمنا بأن القيمة الذاتية هي عدد مركب فإنه يجب أن يكون جزئه الحقيقي سالبا.
ما هي الشروط التي يجب توفرها في القيمة الذاتية للنظام الخطي ليكون مستقرًا؟

إذا كان الجزء الحقيقي صفرا فإن النظام يسمى شبه مستقر أي أنه لا يعود إلى حالته السابقة،
ماذا يعني أن النظام الخطي يكون شبه مستقرًا؟

.
ما هو التأثير الذي يحدثه الجزء الحقيقي الصفري للقيمة الذاتية على استقرار النظام؟

.
ما هو الفرق بين النظام المستقر والنظام غير المستقر في الرياضيات؟

يدرس هذا المثال باشتقاق نموذج هو عبارة عن معادلة تمثل حركة الكرة ثم تتم دراسة استقراره حسب الطرائق المبينة أسفله.
ما هي الطرق المستخدمة لدراسة استقرار الأنظمة الخطية في الرياضيات؟

 يصعب حساب القيمة الذاتية أو أن مفهوم القيمة الذاتية غير متعارف
ما هي الصعوبات التي تواجه دراسة استقرار الأنظمة غير الخطية في الرياضيات؟

.
ما هي أهمية دراسة استقرار النظم الرياضية في المجالات المختلفة مثل الهندسة والفيزياء وعلوم الحاسوب؟



