في الرياضيات، الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.
تعريف وتوضيح.
المثال الأول: الأعداد الصحيحة.
من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:
الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة نموذجٌ للبديهيات التجريدية للزمر.
تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.
تعريف.
الزمرة هي مجموعة formula_1 مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز formula_2 وتسمى قانون الزمرة لـ formula_1 أو عملية الزمرة، تربط كل عنصرين اثنين formula_4 و formula_5 من عناصرها بعنصر ثالث formula_6 ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها formula_7 أو formula_8، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب formula_9، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل formula_10 أو formula_11. وكل من المجموعة والعملية formula_12 يحققان البديهيات التالية:

 هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس
ما هي الزمرة في الرياضيات وما هي الشروط الأربعة التي يجب أن تتحقق فيها؟

 يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية
ما هو مبدأ الزمر وكيف يمكن استخدامه في الجبر المجرد والمجالات الرياضية الأخرى؟

من الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم
ما هو دور الزمر في نظرية الزمر وما يتم دراسته في هذا الفرع من الرياضيات؟

ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر
كيف يرتبط الزمر بفكرة التناظر؟

في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية
ما هي زمرة التماثل وكيف يمكن استخدامها لوصف التناظر الهندسي؟

 هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل
ما هي زمرة لي وما هي دورها في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات؟

هي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور
ما هي نظرية الزمر ومتى نشأت؟

على يد إيفاريست
على يد من نشأت نظرية الزمر؟
هي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ
ما هي مشكلة إيجاد معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة؟

 ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ
كيف تم استخدام مفهوم الزمر في مجالات أخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة؟

الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة
ما هي الأقسام المختلفة لنظرية الزمر؟

 تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية
ما هي أهمية تمثيلات الزمر في الفيزياء والمعلوماتية وعلم البلورات؟

 وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983
ما هو تصنيف الزمر المنتهية البسيطة ومتى تم إعلانه؟

التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر
ما هي نظرية الزمر الهندسية وماذا تهتم بدراسته؟

من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:

ما هي خصائص زمرة الأعداد الصحيحة وكيف تشكل زمرة تحت عملية الجمع؟

تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية
ما هو التعريف التجريدي للزمرة وعملية الزمرة؟

.
ما هي الطرق المختلفة للتعبير عن عملية الزمرة وما هي البديهيات التي يجب أن تحققها؟



