 Ṣàpèjúwe Lie AlgebraContext:Nínú ìṣirò, àwùjọ Lie tí ó rọrùn jẹ àwùjọ Lie tí kò ní Abelian G tí kò ní àwọn àwùjọ abẹlé tí ó jẹ ti kòṣeémánìí. Àtòjọ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn ni a lè lò láti ka àwọn àtòjọ àwọn algebra Lie tí ó rọrùn àti àwọn àyè Riemannian tí ó bára mu.  Paapọ pẹlu ẹgbẹ Lie commutative ti awọn nọmba gidi, mathbb R, àti ti àwọn nọńbà dídíjú tí ó jẹ ẹyà-ọkan, U1 àyíká ẹyà-ọkan, àwọn ẹgbẹ Lie díẹ fúnni ní àwọn ìdìpọ atomiki tí ó ṣe gbogbo àwọn ẹgbẹ Lie tí ó so pọ tí ó ní ìpele tí ó ní àlàfo nípasẹ iṣẹ ìmúgbòòrò ẹgbẹ. Ọpọlọpọ àwọn ẹgbẹ Lie tí a máa ń rí ni ó jẹ èyí tí ó rọrùn tàbí tí ó súnmọ dídi èyí tí ó rọrùn: fún àpẹrẹ, ohun tí a ń pè ní àkànṣe ẹgbẹ ìlà SL n ti n by n matrices with determit equal to 1 jẹ èyí tí ó rọrùn fún gbogbo n  1.  Wilhelm Killing ni ó kọkọ ṣe àkójọ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn, Élie Cartan sì ṣe àtúnṣe sí iṣẹ yìí nígbà tó yá. Àkójọ tí a ṣe níkẹyìn ni a sábà máa ń pè ní Àkójọ Killing-Cartan. : Ó bani nínú jẹ pé kò sí àlàyé tí gbogbo ènìyàn gbà nípa àwùjọ Lie tí ó rọrùn. Ní pàtàkì, a kì í sábà ṣàpèjúwe rẹ gẹgẹ bí ẹgbẹ Lie tí ó rọrùn gẹgẹ bí ẹgbẹ tí a kò lè mọ. Àwọn òǹkọwé ní èrò tó yàtọ lórí bóyá ó yẹ kí àwùjọ Lie díẹ wà ní ìsopọ, tàbí bóyá ó yẹ kí ó ní àárín tí kò ṣe pàtàkì, tàbí bóyá  ì mathbb R jẹ àwùjọ Lie tí ó rọrùn.  Ìtumọ tí ó wọpọ jùlọ ni wípé ẹgbẹ Lie jẹ èyí tí ó rọrùn tí ó bá so pọ, tí kò bá jẹ ti Abelian, àti gbogbo ẹgbẹ abẹlé tí ó so pọ tí ó sì ti dí ni ìjùmọ tàbí gbogbo ẹgbẹ náà. Ni pataki, awọn ẹgbẹ ti o rọrun ni a gba laaye lati ni aarin ti ko ṣe pataki, ṣugbọn  ì kì í ṣe ohun tó rọrùn.  Nínú àpilẹkọ yìí, a ṣe àkójọ àwọn àwùjọ Lie tí a so pọ pẹlú àárín-òpó tí kò ṣe pàtàkì. Lọgan ti a ba mọ awọn wọnyi, awọn ti o ni aarin ti ko ṣe pataki ni o rọrun lati ṣe akojọ bi atẹle. Ẹgbẹ Lie ti o rọrun eyikeyi pẹlu aarin ti ko ṣe pataki ni ideri gbogbo agbaye, ti aarin rẹ jẹ ẹgbẹ ipilẹ ti ẹgbẹ Lie ti o rọrun. A lè rí àwọn àwùjọ Lie tí ó bára mu pẹlú ààrin tí kò ṣe pàtàkì bí àwọn ìpín ti ìbòjú àgbáyé yìí nípa àwùjọ abẹ ààrin.  Àwọn àtúnṣe Ìtumọ kan tí ó bára mu ti àwùjọ Lie tí ó rọrùn ni ó tẹlé láti inú ìjápọ Lie: Ẹgbẹ Lie tí ó so pọ jẹ èyí tí ó rọrùn bí algebra Lie rẹ bá jẹ èyí tí ó rọrùn. Àkọlé pàtàkì kan ni wípé àwùjọ Lie lè ní àwọn àwùjọ abẹ àwùjọ abẹ àwùjọ abẹ àwùjọ. Nítorí ìdí èyí, ìtumọ àwùjọ Lie tí ó rọrùn kò bá ìtumọ àwùjọ Lie tí ó rọrùn gẹgẹ bí àwùjọ tí a kò lè mọ.  Àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn ní àwọn àwùjọ Lie tí ó jẹ ti ìgbà àtijọ, èyí tí ó fúnni ní ẹrí-ọrọ àwùjọ tí ó jẹ ìpìlẹ fún ìṣirò onímọ nípa àgbáyé, ìṣirò onímọ nípa àgbáyé àti àwọn ìṣirò onímọ nípa àgbáyé tí ó jẹ ti ìgbà àtijọ ní ìtumọ ètò Erlangen ti Felix Klein. Ó fara hàn nínú ètò ìdánilẹkọọ àwọn àwùjọ Lie tí ó rọrùn pé àwọn àrà òdì bíi mélòó kan tún wà tí kò bára mu pẹlú àwọn ẹyà-ìṣírò tí a mọ. Àwọn àwùjọ àrà ọtọ wọnyí ní àwọn àpẹẹrẹ àrà ọtọ àti àwọn ìtòlẹsẹẹsẹ nínú àwọn ẹka mìíràn ti ìṣirò, àti nínú ìmọ-ìjìnlẹ físíìsì òde òní.  Bí àpẹẹrẹ, àwùjọ ìlà kan kò rọrùn rárá, kò sì rọrùn rárá. Èyí jẹ nítorí wípé àwọn ìlọpo-ìlọpo ti ìdánimọ náà dá àwùjọ-alábẹ-àpapọ tí kò ṣe pàtàkì, nípa bẹẹ wọn ń yẹra fún ìtumọ náà. Bákan náà, algebra Lie tí ó bá a mu ní oríṣi Killing tí ó bàjẹ, nítorí pé ọpọlọpọ ti àwòrán ìṣọkan náà sí eroja òfo ti algebra. Nítorí náà, Lie algebra tí ó bá a mu kò rọrùn rárá tàbí kó má rọrùn rárá. Àpẹẹrẹ mìíràn ni àwọn àwùjọ orthogonal àkànṣe tí ó wà ní ìyí tó bá dọgba. Àwọn wọnyí ní matrix - ì í ì  ì -I ni aarin, ati pe eroja yii ni ọna asopọ si eroja idanimọ, ati nitorinaa awọn ẹgbẹ wọnyi yago fun itumọ naa. Àwọn méjèèjì yìí jẹ àwùjọ tí a lè dín kù. 