 Kí ni àwọn ohun èlò tí ó wúlò fún ìlànà Burnside nínú àwọn àpapọ èrò orí tí ó dá lórí àyọkà yìí?Context:Lémà Burnside, tí wọn tún máa ń pè ní theorem counting Burnside, lemà CauchyFrobenius, theorem counting orbit, tàbí lemà tí kì í ṣe ti Burnside, jẹ àbájáde nínú ẹkọ àwùjọ tí ó máa ń wúlò nínú gbígbé àròpọ kalẹ nígbà tí wọn bá ń ka àwọn ohun ìṣirò. Orúkọ oríṣiríṣi tí wọn ń pè é ni William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, àti Ferdid Georg Frobenius. Ìyọrísí náà kò jẹ ti Burnside fúnra rẹ, ẹni tí ó wulẹ tọka sí i nínú ìwé rẹ On the Theory of Groups of Finite Order, tí ó ní dípò Frobenius 1887. Lemma Burnside ka orbit, eyi ti o jẹ ohun kanna bi kika awọn ohun ti o yatọ si gbigba iṣiro ti symmetry kan. Àwọn ọnà míràn láti sọ ọ ni kíka àwọn ohun tó yàtọ síra títí dé ìjùmọ ìjùmọ R, tàbí kíka àwọn ohun tí ó wà ní oríṣiríṣi ọnà.  Ninu nkan to n bọ, jẹ ki G jẹ ẹgbẹ to lopin ti o ṣiṣẹ lori ṣeto X. Fun g kọọkan ni G, jẹ ki Xg ṣe afihan ṣeto ti awọn eroja ni X ti o wa titiipa nipasẹ g tun sọ pe a fi silẹ invariant nipasẹ g, eyini ni, Xg   x  X  g.x  x . Lémà Burnside sọrọ nípa ọnà tí ó tẹlé fún iye àwọn ìyípo, tí a fi àmì XG hàn:  Ó ṣe tán,  ì   ì Ó ṣe tán,  1 ì ì Ó ṣe tán,  ì Ó ṣe tán,   ì  ì  ì Ó ṣe tán,  ì  ì Ó ṣe tán, ó ṣe tán. displaystyle XG Berryfrac 1BerryG Berrysum _gin G Berry Xg Berry. Nítorí náà, iye àwọn orbit nọmbà àbínibí tàbí  jẹ dọgba pẹlú iye apapọ àwọn ìlà tí ó dúró fún ohun kan nínú G èyí tí ó tún jẹ nọmbà àbínibí tàbí àìlópin. Ti G ba jẹ ailopin, pipin nipasẹ G le ma ṣe apejuwe daradara; ninu ọran yii gbólóhùn atẹle ni iṣiro cardinal waye:  Ó ṣe tán,  ì Ó ṣe tán, Ó ṣe tán,  ì   ì Ó ṣe tán,    ì  ì  ì Ó ṣe tán,  ì  ì Ó ṣe tán, ó ṣe tán. displaystyle GgadgadgadgadgadXGgadgadgadsum _gin GgadgadgadXggadgad. Àpẹẹrẹ àwọn ohun èlò láti ṣe àkójọ Àwọn òrùka ọrùn O wa 8 ti o ṣeeṣe bit vectors ti ipari 3, ṣugbọn nikan mẹrin ọtọtọ 2-awọ necklaces ti ipari 3: 000, 001, 011, ati 111, nitori 100 ati 010 jẹ deede si 001 nipa iyipo; bakanna 110 ati 101 jẹ deede si 011. Àlàfo náà dá lórí iye ìyípadà, èyí tí ó jẹ 3 nínú ọràn yìí pẹlú ìyípadà tí kò ní ìyípadà, àti iye àwọn ìyípadà tí kò yí padà nínú ìyípadà kọọkan. Gbogbo àwọn ẹyà 8 bit kò yí padà nípa ìyípadà òfo, àti méjì 000 àti 111 kò yí padà nípa ìyípadà méjì yòókù, tí ó fún wa ní: 4 ì ì  1 ì ì 3 ì ì ì ì ì 8 àwọn  ì ì Ì2  ì ì Ì2  ì ì displaystyle 4frac 13822.  Fun gigun 4, awọn vetori bit 16 ti o ṣeeṣe wa; awọn iyipo mẹrin; iyipo null fi gbogbo awọn vetori bit 16 silẹ laiyipada; iyipo 1-ati iyipo 3-kọọkan fi awọn vetori bit meji silẹ laiyipada 0000 ati 1111; iyipo 2-fi awọn vetori bit 4 silẹ laiyipada 0000, 0101, 1010, ati 1111; fifun: 6 ì ì  1 ì ì 4 ì ì ì ì ì 16 ì ì  ì ì Ì2  ì ì 4 ì ì  ì ì Ì2  ì ì displaystyle 6frac 1416242. Àwọn ni: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, àti 1111.  Àwọn àwọ tí wọn fi ń ṣe kọbù Nọmba ti awọn awọ ti o yatọ ti awọn oju ti onigun kan nipa lilo awọn awọ mẹta ni a le pinnu lati inu agbekalẹ yii bi atẹle.  Jẹ kí X jẹ àpapọ àwọn àpapọ 36 tí ó ṣeé ṣe láti fi àwọ ojú ṣe tí a lè lò sí kóbù ní ìtọjú kan pàtó, kí àwùjọ ìyípo G ti kóbù náà sì ṣiṣẹ lórí X ní ọnà àbínibí. Lẹhinna awọn eroja meji ti X jẹ ti iyipo kanna gangan nigbati ọkan ba jẹ iyipo ti ekeji. Nọmbà àwọn àwọ tó yàtọ síra nípasẹ ìyípadà jẹ bákan náà pẹlú nọmbà àwọn ìyípo, a sì lè rí i nípa kíka àwọn ìyípo tí ó wà fún àwọn èròjà mẹrìnlélógún ti G.   Kúbù pẹlú ojú tí ó ní àwọ ohun kan ti o jẹ idanimọ ti o fi gbogbo awọn eroja 36 ti X silẹ laisi iyipada ìyípo ìyípo ìyípo mẹsàn-án, tí ìyípo ìyípo kọọkan fi 33 nínú àwọn èròjà ti X sílẹ láìyípadà ìyípo ìyípo ìyípo ìlà 120-ìyípo ìlà mẹjọ, tí ìyípo ìlà kọọkan fi 32 nínú àwọn èròjà X sílẹ láìyípadà ìyípo ẹka mẹfà tó ní ìyípo 180-degree, tí ìyípo kọọkan fi 33 lára àwọn ohun tó wà nínú X sílẹ láìyípadà A lè rí àyẹwò tó kún rẹrẹ nípa àwọn automorphisms wọnyí níbí.  Iwọn apapọ ti o ṣatunṣe jẹ nitorinaa  1 ì ì 24 àwọn ì ì ì 3 ì ì 6 ì ì  ì ì 6 ì ì  ì ì 3 ì ì 3 ì ì  ì ì 3 ì ì  ì ì 3 ì ì 4 ì ì  ì ì 8 àwọn  ì ì 3 ì ì Ì2  ì ì 6 ì ì  ì ì 3 ì ì 3 ì ì  ì ì  57 ọdún. frac 124left366cdot 333cdot 348cdot 326cdot 33right57. Nítorí náà, ó jẹ pé àwọ tí ó yàtọ síra ní ìyípadà ni ó jẹ 57 ti ojú kúpù kan ní àwọ mẹta. Ni gbogbogbo, iye awọn awọ ti o yatọ ni iyipo ti awọn oju ti onigun ni awọn awọ n ni a fun nipasẹ  1 ì ì 24 àwọn ì ì ì 6 ì ì  ì ì 3 ì ì  ì 4 ì ì  ì ì 12 ì ì  ì 3 ì ì  ì ì 8 àwọn  ì Ì2  ì ì ó ṣe tán. frac 124leftn63n412n38n2right. ì í ì ì ì Àdììtú Àwọn Ọbabìnrin Mẹjọ Nínú àdììtú àwọn ayaba mẹjọ, àwọn ojútùú méjìléláàádọrùn-ún 92 ló wà, nínú èyí tí àwọn ojútùú pàtàkì méjìlá ti fara hàn kedere títí dé yípadà àti àgbéyọ àga náà. Àwọn àpapọ ìyípo àti àgbéyọ mẹjọ ló wà, títí kan ìyípo tí kò ní ìyípo. Ìṣe tí kò ní ìmúṣẹ kò yí gbogbo ìdáhùn méjìléláàádọrùn-ún padà. Mẹrin ninu awọn solusan 92 jẹ symmetrical, ko yipada nipasẹ iyipo 180 . Èyí fi hàn pé: 12 ì ì  1 ì ì 8 àwọn ì ì ì 92 ì ì  ì ì 4 ì ì  ì ì displaystyle 12frac 18924. :  Ìṣòro dídán iye ọrùn: dídán iye ọrùn tí ó yàtọ síra tí ó ní gígùn tí ó yàtọ síra níbi tí òrùka kọọkan ti lè jẹ ọkan nínú àwọ méjì. Ohun tí wọn kà ni òrùka ọrùn tó gùn tó mẹta àti mẹrin, ìdáhùn náà sì jẹ mẹrin àti mẹfà.  Àwòrán àwòkọ ti kóbù Ìṣòro: Ka àwòrán àwòkọ tí ó yàtọ síra nípa yípadà ti ojú kóbù. Àpilẹkọ náà sọ nípa bí wọn ṣe máa ń lo àwọ mẹta tí ìdáhùn wọn sì jẹ 57.  8 queens puzzle: a classic version of the problem is counting different ways to place 8 chess queens on a 8x8 board so that no queen attacks another the answer is 92.  8 queens puzzle: a classical version of the problem is counting different ways to place 8 chess queens on a 8x8 board so that no queen attacks another the answer is 92. Pẹlu ohun elo lemma Burnside, nkan naa ka nọmba awọn ipo oriṣiriṣi ti awọn ayaba titi di iyipo ati isonu, de ọdọ 12 bi idahun. 