 Pari gbolohun yii: Conway darapọ mọ Ile-ẹkọ Leinster ni ibẹrẹ akoko 2009-10. Conway fọwọsi iwe adehun ọjọgbọn akọkọ rẹ ni ọdun 2010 fun Leinster lẹhin ti o ṣe iyalẹnu pẹlu Ile-ẹkọ giga. Ó ṣe àkọkọ rẹ fún Leinster nínú ìdíje Magners League lòdì sí Scarlets ní ọjọ 20 oṣù kejì ọdún 2010, ó wọlé gẹgẹ bí àyípadà tí ó pẹ tí ó sì ṣe ìdánwò fún Jonathan Sexton. Ó ṣe àkọkọ rẹ fún Leinster ní ọjọ 7 oṣù kẹta ọdún 2010, pẹlú ìṣẹgun lórí Cardiff Blues. Conway ṣe àkọkọ rẹ nínú ìdíje Heineken Cup nínú ìdíje Heineken Cup 201213 tí Leinster ṣe lòdì sí Exeter Chiefs ní ọjọ kẹtàlá oṣù kẹwàá ọdún 2012. Conway ṣe agbabọọlu hat-trick fun Leinster ni ọjọ kẹta oṣu karun ọdun 2013, ninu ere Pro12 wọn lodi si Ospreys. Ó bẹrẹ fún Leinster lòdì sí Stade Français nínú 201213 European Challenge Cup Final ní 17 May 2013, èyí tí Leinster gbà 3413. Conway tun bẹrẹ fun Leinster ni : 201213 Pro12 Ìkẹyìn ìṣẹgun lòdì sí Ulster ní 25 May 2013, èyí tí Leinster gbà 2418. 