 Fi ẹrí hàn mí wípé gbòǹgbò orí ẹẹkan nínú 2 jẹ irational : Àrídájú nípa àríyànjiyàn rèé pé gbòǹgbò orí ẹẹkẹta nínú méjì kì í ṣe ọrọ tó bọgbọn mu. Lákọọkọ ná, ẹ rántí pé àwọn iye tí kò ṣeé ṣe láti kọ bí pq fún àwọn iye p àti q. Jẹ ki a ro pe square root ti 2 jẹ rational, eyi ti yoo tumọ si pe sqrt2  p  q fun diẹ ninu awọn nọmba p ati q. Ní àfikún sí èyí, ká gbà pé àlàfo yìí wà ní oríṣi tí ó dín kù, èyí tí ó túmọ sí pé p àti q kò ní àwọn èròjà tó jọra. A le ro yi nitori eyikeyi odidi odidi le ti wa ni kọ ni iru a dinku fọọmu, ki awọn aye ti eyikeyi rational ifihan fun sqrt 2 yoo tumo si awọn aye ti ọkan ni a dinku fọọmu. Ní báyìí, a ó fi ìhà méjèèjì ti àpapọ yìí sí àyè kejì, a ó rí  2  p2  q2  fún àwọn àpapọ iye p àti q tí kò ní àwọn àpapọ ìdíwọ. Ní báyìí, a ó fi q2 kún un láti rí  2  q2  p2  Rántí wípé apá òsì jẹ paati nítorí kókó 2, nítorí náà apá ọtún p2 jẹ paati pẹlú. Èyí túmọ sí pé p ní láti jẹ paati pẹlú, bí bẹẹ kọ p2 kò ní jẹ paati. Nítorí náà, a lè kọ p gẹgẹ bíi 2  x fún iye kan tí ó pé x. Tí a bá fi èyí sínú àpapọ yìí, a ó rí  2  q2  2  x 2  22  x2  Kíyèsí wípé àwọn ìhà méjèèjì nínú àpapọ náà ní ìdíje 2 tí a lè fagídí. Ṣíṣe èyí, a gba  q2  2  x2  Nípasẹ àríyànjiyàn kan tó jọ èyí tó wà lókè yìí, a lè parí èrò sí pé q jẹ paapa. Àmọ, èyí ta ko àròsọ wa pé p àti q kò ní àwọn ohun tó jọra. Nítorí náà, àbá wa àkọkọ pé sqrt2 jẹ ọnà àbáyọ jẹ àṣìṣe, èyí tí a fẹ fi hàn. 