 Parí gbólóhùn yìí: Ashmore bẹrẹ iṣẹ rẹ nínú Formula Junior pẹlú arákùnrin rẹ Chris, ní 1960. Lẹyìn ọdún náà, ó díje ní Zeltweg àti Innsbruck, ó parí ipò kẹta lẹyìn Hans Herrmann àti Wolfgang von Trips. Ní ọdún 1961 ó gòkè lọ sí Formula One pẹlú ọkọ ayọkẹlẹ Lotus 18 tí ó jẹ ti ara ẹni, ó sì gba ipò kejì nínú ìdíje Naples Grand Prix lẹyìn tí ó gba ipò àkọkọ. Nígbà tó yá lọdún yẹn, ó kópa nínú : Ọkan lára àwọn tó kópa nínú ìdíje Grand Prix ti ilẹ Gẹẹsì, àmọ ó fi eré náà sílẹ lẹyìn ìyí mélòó kan péré. Ìgbà tí ó kẹyìn tó kópa nínú ìdíje ìdíje àgbáyé ni ìgbà tó wà nínú Lotus rẹ ní 1962 ní Monza, nígbà tí ó kùnà láti gba ipò. 