 Yọ àwọn ohun-ìní méjì tí ó tó láti fi hàn wípé àwùjọ-ìpín kan ti àyè Euclidean jẹ kókópọ. Fi àwọn ohun ìní wọnyí hàn nínú àkọsílẹ tí a tò sókè sódò.Context:Onírúurú ìtumọ ti compactness le lo, ti o da lori ipele ti generality. A máa ń pe apá kan àyè Euclidean ní compact bí ó bá ti dí pa àti tí ó bá ní ààlà. Èyí túmọ sí, nípa ìlànà Bolzano-Weierstrass, wípé gbogbo ìsọrí tí kò lópin láti inú àwùjọ náà ní ìsọrí tí ó máa ń sún mọ ibi kan nínú àwùjọ náà. Onírúurú èrò tí ó bá dọgba nípa bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó, irú bí bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó nígbà tó bá ń tẹ lé ara rẹ àti bí nǹkan ṣe máa ń díjú tó nígbà tó bá dé ibi tí ó yẹ kó dé, a lè gbé wọn kalẹ nínú àwọn àyè tí wọn ń pè ní metric space.  Ni idakeji, awọn ero oriṣiriṣi ti compactness kii ṣe deede ni awọn aaye topological gbogbogbo, ati imọran ti o wulo julọ ti compactness  ni akọkọ ti a pe ni bicompactness  ni a ṣalaye nipa lilo awọn ideri ti o ni awọn ṣeto ṣiṣi wo Itumọ ideri ṣiṣi ni isalẹ. Àkọsílẹ tí a mọ sí HeineBorel Theorem ni wípé oríṣi ìdìpọ yìí wà fún àwọn ìdìpọ-ìpín-ìpín tí ó ti dí àti tí ó ti dè ní Euclidean space. Ìpínpọ, nígbàtí a bá ṣàpèjúwe rẹ ní ọnà yìí, ó sábà máa ń jẹ kí ẹnìkan gba ìsọfúnni tí a mọ ní àdúgbò  ní àdúgbò kan ti àyè kọọkan  kí ó sì mú un lọ sí ìsọfúnni tí ó wà ní àgbáyé ní gbogbo àyè náà. Àpẹẹrẹ ìṣẹlẹ yìí ni àbá Dirichlet, tí Heine fi sílò ní ìpilẹṣẹ, pé iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó wà ní àlàfo kan jẹ iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó bá wà ní àlàfo kan; níbí, iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan jẹ iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan, àti iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan jẹ iṣẹ tí ó bá wà ní àlàfo kan tí ó bá wà ní àlàfo kan. : Gegebi ọrọ-ọrọ Heine-Borel awọn ohun-ini wọnyi to lati fi han pe ipin kan ti aaye Euclidean jẹ iwapọ: - Àwòrán náà ti pa - Àwòrán náà ti yí pa dà 